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Caderno de Exerc´ıcios de Lic¸o˜es de
Matema´tica
Volume 1
c© Data 5 de junho de 2013
Parte I
Exerc´ıcios de Conjuntos e
Func¸o˜es
3
1. Resolva as inequac¸o˜es:
(a) 3x+ 3 < x+ 6
(b) x+ 6 ≤ 6x− 2
(c) x− 3 > 3x+ 1
(d) 2x > 3x
4
2. Estude o sinal:
(a) 3x+ 1
(b)
2− 3x
x+ 2
(c) (2x− 1)(x2 + 1)
(d)
2− x
3− x
5
3. Simplifique:
(a)
4x2 − 9
2x+ 3
(b)
1
x2
− 1
x− 1
(c)
(x+ h)2 − x2
h
(d)
x4 − p4
x− p
6
4. Fatore o polinoˆmio P (x)
(a) P (x) = x3 − 2x2 − x− 2
(b) P (x) = x4 − 3x2 + x2 + 3x− 2
(c) P (x) = x3 + 2x2 − 3x
(d) P (x) = x3 − 1
7
5. Determine o domı´nio de f(x):
(a) f(x) = 1
x−1
(b) f(x) = 2x
x2+1
(c) f(x) =
√
x+ 2
(d) f(x) =
√
x−1
x+1
8
6. Determine o domı´nio de f(x):
(a) f(x) = 3
√
x2 − x
(b) f(x) =
x+ 1
x2 + x
(c) f(x) =
√
x(2− 3x)
(d) f(x) =
√
x
3
√
x− 1
9
7. Deˆ o domı´nio e esboce o gra´fico.
(a) f(x) = 3x
(b) f(x) = −2x+ 3
(c) f(x) = x2 − 2x+ 3
(d) f(x) = −x2 + x− 1
10
8. Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (2,1) e tem coefi-
ciente angular igual a 3.
11
9. Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (-3,-1) e tem coefi-
ciente angular igual a 1.
12
10. Determine a equac¸a˜o da reta que passa por dois pontos (x1, y1) e (x2, y2)
dados, o coeficiente angular da reta. Esboce o gra´fico e determine o
domı´nio e o conjunto imagem:
(a) (x1, y1) = (−3,−5) e (x2, y2) = (−1, 1)
(b) (x1, y1) = (0, 3) e (x2, y2) = (−1, 5)
(c) (x1, y1) = (−3,−1) e (x2, y2) = (2, 3)
(d) (x1, y1) = (0, 0) e (x2, y2) = (−1,−2)
13
11. Construir os gra´ficos das func¸o˜es reais abaixo.
(a) f(x) = |x− 1|
(b) f(x) = |x2 + 4x|
(c) f(x) = |x− 3|+ x+ 2
(d) f(x) = |x+ 1|+ |x− 1|
14
12. Fac¸a um esboc¸o dos gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x3 + 1
(b) f(x) = −x3
(c) f(x) = (x+ 1)3
(d) f(x) = x3 − x
15
13. Fac¸a um esboc¸o dos gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
x2 − 1
x− 1
(b) f(x) =
x+ 3
x+ 2
(c) f(x) =
x+ 1
x− 1
(d) f(x) =
x− 1
2− x
16
14. Nas func¸o˜es abaixo de R em R obter a lei de correspondeˆncia que define
a func¸a˜o inversa.
(a) f(x) = 2x+ 3
(b) f(x) = 4x−1
3
(c) f(x) = x3 + 3
(d) f(x) = 3
√
x− 1
(e) f(x) = 3
√
1− x2
17
15. Nas func¸o˜es que seguem construir num mesmo plano cartesiano os
gra´ficos de f e f−1.
(a)
f : R −→ R
x 7−→ 2x+ 1.
(b)
f : R −→ R
x 7−→ 2x+4
3
.
(c)
f : R −→ R
x 7−→ 1− x3.
(d)
f :]−∞, 0] −→]−∞, 1]
x 7−→ 2x+ 1.
Parte II
Exerc´ıcios de Limites e
Continuidade
19
1. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
x→100
(7)
(b) lim
x→5
(3x− 5)
(c) lim
x→2
(x2 + 2x− 1)
(d) lim
x→1
(x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1)8
20
2. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
x→5
(
x+ 2
x− 4)
(b) lim
x→3
(
4x− 5
5x− 1)
(c) lim
x→0
(x3 + 2x+ 1)(x− 1)
(d) lim
x→3
(x2 + 2)
21
3. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
x→−3
√
9 + x2
(b) lim
x→2
√
x2 + 3x+ 4
x3 + 1
(c) lim
z→−2
(z3 + 8)
(d) lim
x→−3
3
√
5 + 2x
5− x
22
4. Use uma simplificac¸a˜o alge´brica para encontrar o limite, se existe.
(a) lim
x→−3
(
x2 − x− 12
x2 + 4x+ 3
)
(b) lim
x→2
(
x2 − 4
x− 2 )
(c) lim
r→1
(
r2 − r
2r + 5r − 7)
(d) lim
h→0
(x+ h)2 − x2
h
23
5. Use uma simplificac¸a˜o alge´brica para encontrar o limite, se existe.
(a) lim
h→−3
(
h3 + 8
h+ 2
)
(b) lim
z→−2
(
z − 4
z2 − 2z − 8)
(c) lim
x→−1
(
x3 + x2 + 3x+ 3
x− 3 )
(d) lim
x→3
(
2x3 − 6x2 + x− 3
x− 3 )
24
6. Use uma simplificac¸a˜o alge´brica para encontrar o limite, se existe.
(a) lim
x→25
(
√
x− 5
x− 25 )
(b) lim
z→2
(
z3 − 8
z2 − 4)
(c) lim
x→0
(
√
x+ 1− 1
x
)
(d) lim
x→1
(
4
√
x− 1
5
√
x− 1)
25
7. Determine k tal que
(a) lim
x→5
(3kx2 − 5kx+ 3k − 1) = 3
2
(b) lim
x→k
(x2 − 5x+ 6) = 0
(c) lim
x→2
(5x4 − 3x2 + 2x− 2) = k
(d) lim
x→1
(
k − x2
x+ k
) = −1
26
8. Dado
f(x) =
{
3x+ 2 se x < 0,
5x+ k se x ≥ 0.
Ache o valor de k para o qual lim
x→0
f(x) exista.
27
9. Dado
f(x) =
{
3kx− 1 se x ≤ 1,
x2 + 2k se x > 1.
Encontre o valor de k para o qual lim
x→1
f(x) exista.
28
10. Dado
f(x) =


x2
2
se x ≤ −2,
ax+ b se − 2 < x < 2
2x− 3 se x ≥ 2.
Enconte o valor de a e b para o qual lim
x→−2
f(x) e lim
x→2
f(x) ambos existam.
29
11. Sejam f e g func¸o˜es continuas tais que f(1) = 2 e
lim
x→1
(f(x)− 3g(x)) = 5.
Calcule o valor de lim
x→1
g(x). Qual e´ o valor de g(1)?
Parte III
Exerc´ıcios de Derivada
31
1. Seja f(x) = x2 − 3x+ 1. Calcule:
(a) f ′(1)
(b) f ′(0)
(c) f ′(x)
32
2. Seja f(x) = mx+n (m 6= 0). Pensando geometricamente, qual o valor
que voceˆ espera para a derivada de f em a ∈ Dom(f)? Ca´lcule f ′(a).
33
3. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao grafico de f de abscissa indi-
cado.
(a) f(x) = x2 e a = 2
(b) f(x) = 1
x
e a = 2
(c) f(x) =
√
x e a = 9
(d) f(x) = x2 − x e a = 1
(e) f(x) =
√
x− 3 e a = 7
34
4. Calcule g′(x) sendo g dado por
(a) g(x) = x6
(b) g(x) = x100
(c) g(x) = 1
x
(d) g(x) = x−7
(e) g(x) = 1
x3
35
5. Dados g(x), calcule g′(x).
(a) g(x) = 4
√
x
(b) g(x) = 6
√
x
(c) g(x) = 8
√
x
(d) g(x) = 9
√
x
(e) g(x) = 14√x
36
6. Calcule a derivada de cada func¸a˜o aplicandos as regras opera´torias para
a derivac¸a˜o.
(a) f(x) = x5 − 3x3 + 1
(b) f(x) =
x10
10
+
x5
5
+ 6
(c) f(t) = t8 − 2t7 + 3t+ 1
(d) F (x) =
3
x2
+
4
x
(e) f(y) =
5
y5
− 25
y
(f) g(x) = 3x−2 − 7x−1 + 6
(g) f(x) =
2
5x
−
√
2
3x2
37
(h) F (x) = x2(3x3 − 1)
(i) G(x) = (x2 + 3x)(x3 − 9x)
(j) f(y) = (2y − 1)(4y2 + 7)
(k) f(x) = (x3 − 8) ( 2
x
− 1)
(l) g(x) =
(
1
x2
+ 3
)(
2
x3
+ x
)
(m) f(x) =
2x+ 7
3x− 1
(n) g(x) = 2x
2+x+1
x2−3x+2
38
7. Suponha que f , g e h sejam func¸o˜es diferencia´veis em x = 2 tais que
f(2) = −2, f ′(2) = 3, g(2) = −5, g′(2) = 1, h(2) = 2, e h′(2) = 4. Use
as regras de derivac¸a˜o´para calcular:
(a) (f + g + h)′(2)
(b) (2f − g + 3h)′(2)
(c) (fgh)′(2)
39
8. Seja y = t2x, onde x = x(t) e´ uma func¸a˜o deriva´vel. Calcule dy
dt
|t=1
supondo dx
dt
|t=1 = 2 e x(1) = 3.
40
9. Seja y = 1
x
. Verifique que
x2
d3y
dx3
= 6
dy
dx
41
10. Seja f : R −→ R diferencia´vel e seja g(x) = f(x2 + 1). Supondo
f ′(2) = 5, calcule g′(1).
42
11. Expresse dy
dx
em termos de x e y, onde y = f(x) e´ uma func¸a˜o difer-
encia´vel dada implicitamente pela equac¸a˜o:
(a) x2 − y2 = 4
(b) xy2 + 2y = 3
(c) x2 + 4y2 = 3
(d) x2 + y2 + 2y = 0
43
12. Um particula desloca´-se sobre o eixo x com func¸a˜o posic¸a˜o
x(t) = 3 + 2t− t2, t ≥ 0.
(a) Qual a velocidade no instante t?
(b) Qual a acelerac¸a˜o no instante t?
(c) Estude a variac¸a˜o do sinal de v(t).
(d) Esboce o gra´fico da func¸a˜o de posic¸a˜o.
44
13. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x com func¸a˜o de posic¸a˜o
x(t) =
1
2
t+ 1, t ≥ 0.
(a) Determine a velocidade no instante t.
(b) Qual a acelerac¸a˜o no instante t?
(c) Esboce o grafico da func¸a˜o de posic¸a˜o.
45
14. Uma escada de 8 m esta´ encostada em uma parede. Se a extremidade
inferior da escada for afastada do pe´ da parede a uma velocidade con-
stante de 2 (m/s), com que velocidade a extremidade superior estara´
descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede?
46
15. Se a a´rea de um circulo e´ crescente a uma taxa constante de 4 (cm/s2),
a que taxa esta´ crescendo o raio no instante em que o raio e´ de 5(cm)?
47
16. Duas rodovias interceptam-se perpendicularmente. O carro A numa
rodovia esta´ a 1
2
km da intersec¸a˜o e se move a uma raza˜o de 96 km/h,
enquanto o carro B na outra rodovia esta a 1 km da intersec¸a˜o e cam-
inha para ela a uma raza˜o de 120 km/h. A que raza˜o esta´ variando a
distaˆncia entre os dois carros neste instante?
48
17. A a´gua esta´ escoando para fora de um funil coˆnico a uma vaza˜o de 3
cm3/s. O funil possui um raio de 2 cm e altura de 8 cm. Qual sera´ a
velocidade que abaixara´ o n´ıvel da a´gua que se escoa quando ela estiver
a 3 cm do topo?
49
18. Determine as equac¸o˜es das retas tangente e normal ao gra´fico da func¸a˜o
dada, no ponto indicado.
(a) f(x) = x2 − 3x, no ponto de abscissa 0.
(b) f(x) = 3
√
x, no ponto de abscissa 8.
(c) g(x) = 1
x2
, no ponto de abscissa 1.
(d)g(x) = x+ 1
x
, no ponto de abscissa 1.
50
19. Seja f(x) = x2. Determine a equac¸a˜o da reta que e´ tangente ao gra´fico
de f e paralela a` reta y = 1
2
x+ 3.
51
20. Sabe-se que r e´ uma reta tangente ao gra´fico de f(x) = x3 + 3x e
paralela a` reta y = 6x− 1. Determine a equac¸a˜o de r.
Parte IV
Exerc´ıcios de Aplicac¸o˜es da
Derivada
53
1. Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o.
(a) f(x) = x
4
4
+ x3 − 2x2 + 3
(b) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1
(c) f(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+ 1
(d) x(t) = 3
√
t3 − 2t+ 1
(e) f(x) = (x4 + 2x3 + x2 + 1)−1
54
2. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos (caso existam) da func¸a˜o
dada, no intervalo dado.
(a) f(x) = x
4
4
− x3 − 2x2 + 3 em [−2, 3]
(b) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1 em [−2, 1]
(c) f(x) = 3
√
x3 − 2x2 em [−1, 2]
(d) f(x) = 1
x3−2x2 em ]0, 2[
55
3. Use o teste da derivada primeira para estudar as func¸o˜es dadas com
relac¸a˜o aos ma´ximos e mı´nimos locais.
(a) f(x) = x2 − x
(b) f(x) = x
1+x2
(c) f(x) = x3 − 3x+ 5
(d) f(x) = x2 + 3x+ 2
56
4. Use o teste da derivada segunda para estudar as func¸o˜es do exerc´ıcio
anterior com relac¸a˜o aos ma´ximos e mı´nimos locais.
57
5. Determine a altura do cilndro circular reto, de volume ma´ximo, inscrito
na esfera de raio R dado
58
6. Determine a a´rea do retaˆngulo ma´ximo, com base no eixo dos x e
ve´rtices superiores sobre a para´bola y = 12− x2.
59
7. Com uma quantidade A de material dada deve-se construir um depo´sito
de base quadrada e paredes verticais. Determine as dimenso˜es que da˜o
o volume ma´ximo.
60
8. Uma reta r passando por (1, 2) corta o eixo dos x em A = (a, 0) e o
eixo dos y em B = (0, b) com a > 0 e b > 0. Determine r de modo que
as distaˆncias de A e B seja a menor poss´ıvel.
61
9. Determine o volume do maior cilindro circular reto que pode ser inscrito
numa esfera de raio r.
62
10. Certa pessoa que se encontra em A, para atingir C, utilizara´ na trav-
essia do rio (de 100 m de largura) um barco com velocidade ma´xima
de 10 Km/h; de B a C utilizara´ uma bicicleta com velocidade ma´xima
de 15 Km/h. Determine B para que o tempo gasto no percurso seja o
menor possivel.
CB
A
Rio100m
10Km
63
11. Determine o ponto da curva
y =
2
x
, x > 0
que esta´ mais pro´ximo da origem.
64
12. Deseja-se construir uma caixa, de forma cil´ındrica, de 1 m3 de volume.
Nas laterais e no fundo sera´ utilizado material que custa R$ 10, 00 o
metro quadrado e na tampa sera´ utlizado material que custa R$ 20, 00
o metro quadrado. Determine as dimenso˜es da caixa que minimizem o
custo do material empregado.
65
13. Do ponto A, situado numa das margens do rio, de 100m de largura,
deve-se levar energia ele´trica ao ponto C situado na outra margem do
rio. O fio a ser utilizado na a´gua custa R$ 5 o metro, e o que sera´
utilizado fora custa R$ 3 o metro. Como devera´ ser feita a ligac¸a˜o
para que o gasto com com os fios seja o menor poss´ıvel? (Suponha as
margens retil´ıneas e paralelas.)
CB
A
Rio100m
1000m
66
14. Calcule a diferencial.
(a) y = x3
(b) y = x2 − 2x
(c) y = x
x+1
(d) y = 3
√
x
(e) y = xe−x
67
15. Use diferenciais para aproximar:
(a)
√
50
(b)
√
37, 5
(c)
√
16, 01,
(d) e0,01
(e) ln(0, 99)
68
16. Seja A(l) = l2, l > 0.
(a) Calcule a diferencial.
(b) Interprete geometricamente ∆A− dA.
69
17. Seja C(x) = x
2
8
+ 3x + 98 o custo de produc¸a˜o de x unidades de um
produto cujo prec¸o e´ p(x) = 75−x
3
.
(a) Determine o custo marginal e a receita marginal.
(b) Calcule o custo real e marginal de fabricac¸a˜o da nona unidade.
(c) Calcule o receita real e marginal de fabricac¸a˜o da nona unidade.
70
18. Considere P (x) o lucro total na venda de x centenas de um determinado
produto. Suponha que
P (x) = (−0, 0035)x3 + (0, 07)x+ 25x− 200.
milhares de reais.
(a) Determine a func¸a˜o lucro marginal.
(b) Determine o lucro marginal para x = 10, x = 50, x = 80.
(c) Interprete os resultados.
Parte V
Exerc´ıcios de Func¸o˜es
Exponencial e Logar´ıtmica
72
1. Construir os gra´ficos cartesianos das seguintes func¸o˜es exponenciais:
(a) y = 3x
(b) y = (1
3
)x
(c) y = 4x
(d) y = 10x
(e) y = 10−x
73
2. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b, e c sa˜o
reais positivos):
(a) log2
(
2ab
c2
)
(b) log3
(
5a3b2
c4
)
(c) log
(
2a3
b2
√
c
)
(d) log5
(
5a
b2c
)
(e) log3
(
7ab3
c
3
√
a2
)
74
3. Determine o domı´nio das func¸o˜es:
(a) f(x) = log3(x
2 − 4)
(b) f(x) = log2(1− 2x)
(c) f(x) = log3(4x− 3)2
(d) f(x) = log5
(
x+ 1
1− x
)
(e) f(x) = log(x2 + x− 12)
75
4. Determine o domı´nio das func¸o˜es:
(a) f(x) = log(x2+1) x
(b) f(x) = log(2x+1)(2x
2 − 5x)
(c) f(x) = log(3−x)(x+ 2)
(d) f(x) = log3x(x
2 + x− 2)
(e) f(x) = log(2x−3)(3 + 2x− x2)
76
5. Construir os gra´ficos cartesianos das seguintes func¸o˜es logar´ıtmicas:
(a) f(x) = log3 x
(b) f(x) = log 1
3
x
(c) f(x) = log2(x− 1)
(d) f(x) = log2 x
2
(e) f(x) = 2 + log2 x)
77
6. Determine o valor de L para que as seguintes func¸o˜es sejam continuas
nos pontos dados:
(a)
f(x) =
{
x2−x
x
se x 6= 0,
L se x = 0
c = 0
(b)
f(x) =
{
x2−9
x−3 se x 6= 3,
L se x = 3
c = 3
(c)
f(x) =
{
x+ 2L se x ≥ −1,
L2 se x < −13
c = −1
(d)
f(x) =
{
4− x+ x3 se x ≥ 1,
9− Lx2 se x < 1
c = 1
78
7. Verifique se as seguintes func¸o˜es sa˜o cont´ınuas e esboce os gra´ficos
correspondentes:
(a) f(x) = |x2 + 2x+ 1|, x ∈ R
(b) f(x) =
{
2x, se x ≥ 1,
1, se x > 1.
(c) f(x) =
{
x2−4
x−2 , se x 6= 1,
4, se x = 1.
(d) f(x) =
{
x2, se x ≥ 0,
2x, se x > 0.
79
8. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = ex no ponto
de abscissa 0. Esboce os gra´ficos de f e da reta tangente.
80
9. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = lnx no
ponto de abscissa 1. Esboce os gra´ficos de f e da reta tangente.
81
10. Dados f(x), calcule f ′(x).
(a) f(x) = ex
2
(b) f(x) = 2x+1
(c) f(x) = 5x
3−x+1
(d) f(x) = pix
(e) f(x) = 71−3x
2
82
11. Dados g(x), calcule g′(x).
(a) g′(x) = log3(1 + x
2)
(b) g′(x) = log5(x
3 + 2x+ 1)
(c) g′(x) = log10(2x+ 3)
(d) g′(x) = ln(x lnx)
(e) g′(x) = log7(x+ 3)
3
83
12. Calcule a derivada de cada func¸a˜o abaixo:
(a) f(x) = x2ex
(b) F (t) = 3t+ 5 ln t
(c) f(x) = ex ln x
(d) f(x) = 1+e
x
1−ex
(e) g(x) = ex lnx+ 2ex
Parte VI
Exerc´ıcios de Integrais
Indefinidas
85
1. Use a integrac¸a˜o por substuic¸a˜o para calcular as seguintes integrais:
(a)
∫
(3x+ 1)19dx
(b)
∫
e3xdx
(c)
∫
xex
2
dx
(d)
∫
x
1 + x2
dx
(e)
∫
2x+ 3
x2 + 3x+ 1
dx
86
(f)
∫
x
1 + x4
dx
(g)
∫
ln x
x
dx
(h)
∫
x2
1 + x3
dx
(i)
∫
x2
(1 + x3)2
dx
(j)
∫
1
x ln x
dx
(k)
∫
x5
√
1− x2dx
87
2. Use a integrac¸a˜o por partes para calcular cada integral:
(a)
∫
xe2xdx
(b)
∫
x2ex dx
(c)
∫
x ln 2x dx
(d)
∫
ln x dx
(e)
∫
x ln x2dx
88
(f)
∫
x ln x dx
(g)
∫
x(x+ 1)3dx
(h)
∫
x
√
x+ 2dx
(i)
∫
(x− 1)e1−xdx
(j)
∫
lnx
x2
dx
(k)
∫
x(ln x)2dx
89
3. Determine y = f(x), x ∈ R, tal que
(a)
{
f ′(x) = 2f(x);
f(0) = 1
(b)
{
f ′(x) = −2f(x);
f(0) = 1
Esboce o gra´fico de f .