Apostila Cálculo 1

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1 
 
Professor: Valter Costa Fernandes Junior 
 
CAPÍTULO 1: REVISÃO PARA O ESTUDO DE LIMITE 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
• Quadrado da soma de dois números reais: 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 +2𝑎𝑏 + 𝑏2 
Exemplos: 
a) (𝑥 + 2)2 = 𝑥⏟
𝑎
2 +2. 𝑥⏟
𝑎
. 2⏟
𝑏
+ 2⏟
𝑏
2 = 𝑥2 +4𝑥 + 4 
b) (2𝑥 + 1)2 = (2𝑥)⏟
𝑎
2 + 2. (2𝑥)⏟
𝑎
. 1⏟
𝑏
+2⏟
𝑏
2 = 4𝑥2 + 4𝑥 + 4 
c) (2𝑥 + 3)2 = (2𝑥)⏟
𝑎
2+ 2. 2𝑥⏟
𝑎
. 3⏟
𝑏
+3⏟
𝑏
2 = 4𝑥2 + 12𝑥 + 9 
• Quadrado da diferença de dois números reais: 
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 −2𝑎𝑏 + 𝑏2 
Exemplos: 
a) ( )
2
2x − = (𝑥 − 2)2 = 𝑥⏟
𝑎
2 − 2. 𝑥⏟
𝑎
. 2⏟
𝑏
+2⏟
𝑏
2 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 
b) (2𝑥 − 1)2 = (2𝑥)⏟
𝑎
2 − 2. (2𝑥)⏟
𝑎
. 1⏟
𝑏
+2⏟
𝑏
2 = 4𝑥2 − 4𝑥 + 4 
c) (2𝑥 − 3)2 = (2𝑥)⏟
𝑎
2− 2. 2𝑥⏟
𝑎
. 3⏟
𝑏
+3⏟
𝑏
2 = 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 
• Cubo da soma de dois números reais: 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
Exemplos: 
a) (𝑥 + 2)3 = 𝑥⏟
𝑎
3 +3. 𝑥⏟
𝑎
2 . 2⏟
𝑏
+3. 𝑥⏟
𝑎
. 2⏟
𝑏
2 +2⏟
𝑏
3 = 𝑥3 +6𝑥2 +12𝑥 + 8 
b)(2𝑥 + 1)3 = (2𝑥)⏟
𝑎
3
+3. (2𝑥)⏟
𝑎
2
. 1⏟
𝑏
+3. (2𝑥)⏟
𝑎
. 1⏟
𝑏
2 + 1⏟
𝑏
3 = 8𝑥3 + 3.4𝑥2. 1 + 6𝑥 + 1 = 8𝑥3 +
12𝑥2 + 6𝑥 + 1 
c) (2𝑥 + 3)3 = (2𝑥)⏟
𝑎
3
+3.(2𝑥)⏟
𝑎
2
. 3⏟
𝑏
+3. (2𝑥)⏟
𝑎
. 3⏟
𝑏
2 + 3⏟
𝑏
3 = 8𝑥3+ 3.4𝑥2. 3 + 6𝑥. 9 + 27 = 8𝑥3 +
36𝑥2 + 54𝑥 + 27 
• Cubo da diferença de dois números reais: 
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 
Exemplos: 
2 
 
a) (𝑥 − 2)3 = 𝑥⏟
𝑎
3 − 3. 𝑥⏟
𝑎
2 . 2⏟
𝑏
+3. 𝑥⏟
𝑎
. 2⏟
𝑏
2 − 2⏟
𝑏
3 = 𝑥3 − 6𝑥2 +12𝑥 − 8 
b)(2𝑥 − 1)3 = (2𝑥)⏟
𝑎
3
−3. (2𝑥)⏟
𝑎
2
. 1⏟
𝑏
+3. (2𝑥)⏟
𝑎
. 1⏟
𝑏
2 − 1⏟
𝑏
3 = 8𝑥3 − 3.4𝑥2. 1 + 6𝑥 − 1 = 8𝑥3 −
12𝑥2 + 6𝑥 − 1 
c) (2𝑥 − 3)3 = (2𝑥)⏟
𝑎
3
−3.(2𝑥)⏟
𝑎
2
. 3⏟
𝑏
+3. (2𝑥)⏟
𝑎
. 3⏟
𝑏
2 − 3⏟
𝑏
3 = 8𝑥3− 3.4𝑥2. 3 + 6𝑥. 9 − 27 = 8𝑥3 −
36𝑥2 + 54𝑥 − 27 
• Observação: No caso do desenvolvimento da expressão (𝑎 + 𝑏)𝑛, onde n é um número natural, 
podemos usar os estudos sobre Binômio de Newton e Triângulo de Pascal. Como exemplo, para 
relembrar, temos: 
(𝑎𝑥 + 2)5 = ? 
 0 1 2 3 4 5 
0 1 
1 1 1 
2 1 2 1 
3 1 3 3 1 
4 1 4 6 4 1 
5 1 5 10 10 5 1 
 
A tabela acima representa o famoso triângulo de Pascal, podemos usá-lo para desenvolver 
expressões do tipo (𝑎 + 𝑏)𝑛. No exemplo acima, como o expoente 𝑛 = 5, usaremos a linha 5 do 
triângulo de Pascal. 
(𝑎𝑥 + 2)5 = 1(𝑎𝑥)5+5. (𝑎𝑥)4.2 + 10. (𝑎𝑥)3. 22 +10. (𝑎𝑥)2.23 +5. (𝑎𝑥).24 +1.25 =
𝑎5𝑥5+10𝑎4𝑥4+ 40𝑎3𝑥3+80𝑎2𝑥2+80𝑎𝑥 + 32 
Note que, os elementos em vermelho na expressão são os valores da linha 5 do triângulo de Pascal, 
respeitando a ordem. 
 
Para complemento de estudos, procurem por Números Binomiais e triângulo de Pascal. 
 
• Produto da soma pela diferença: 
( )( ) 2 2a b a b a b− + = − 
Exemplos: 
a) (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 𝑥2 −32 = 𝑥2 −9 
b) (2 − 𝑥)(2 + 𝑥) = 22 −𝑥2 = 4 − 𝑥2 
3 
 
c) (2𝑥 −√5)(2𝑥+ √5) = (2𝑥)2− (√5)
2
= 4𝑥2− 5 
 
FATORAÇÃO 
Fatorar é escrever uma expressão na forma de produto entre dois ou mais termos. No nosso caso, 
não faz sentido um dos termos ser o número 1. 
 
• Diferença entre dois quadrados: 
( )( )2 2a b a b a b− = − + 
Exemplos: 
a) 𝑥2 − 4 = 𝑥⏟
𝑎
2 − 2⏟
𝑏
2 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) 
b) 9𝑥2 −16 = (3𝑥)⏟
𝑎
2
−4⏟
𝑏
2 = (3𝑥 − 4)(3𝑥 + 4) 
c) 2𝑥2−5 = (√2𝑥⏟
𝑎
)
2
−(√5⏟
𝑏
)
2
= (√2𝑥 −√5)(√2𝑥+ √5) 
 
• Diferença entre dois cubos: 
( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + + 
Exemplos: 
a) 27𝑥3 −8 = (3𝑥)⏟
𝑎
3
−2⏟
𝑏
3 = (3𝑥 − 2)[(3𝑥)2+3𝑥.2+ 22] = (3𝑥 − 2)(9𝑥2 +6𝑥 + 4) 
b) 𝑥3 −64 = 𝑥⏟
𝑎
3 −4⏟
𝑏
3 = (𝑥 − 4)(𝑥2 +4𝑥 + 42) = (𝑥 − 4)(𝑥2+ 4𝑥 + 16) 
c) 1000 − 8𝑥3 = (10)⏟
𝑎
3
− (2𝑥)⏟
𝑏
3
= (10 − 2𝑥)[(10)2+10.2𝑥 + (2𝑥)2] = (10− 2𝑥)(100 + 20𝑥 +
4𝑥2) 
• Soma entre dois cubos: 
( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − + 
Exemplos: 
a) 27𝑥3 +8 = (3𝑥)⏟
𝑎
3
+2⏟
𝑏
3 = (3𝑥 + 2)[(3𝑥)2−3𝑥.2+ 22] = (3𝑥 + 2)(9𝑥2 −6𝑥 + 4) 
b) 𝑥3 +64 = 𝑥⏟
𝑎
3 +4⏟
𝑏
3 = (𝑥 + 4)(𝑥2 −4𝑥 + 42) = (𝑥 + 4)(𝑥2− 4𝑥 + 16) 
c) 1000 + 8𝑥3 = (10)⏟
𝑎
3
+ (2𝑥)⏟
𝑏
3
= (10 + 2𝑥)[(10)2−10.2𝑥 + (2𝑥)2] = (10+ 2𝑥)(100 − 20𝑥 +
4𝑥2) 
 
4 
 
• Diferença entre potências com expoente natural n: 
1 2 2 1( )( ... )n n n n n na b a b a a b ab b− − − −− = − + + + + 
Exemplos: 
a) 𝑥4 −16 = 𝑥⏟
𝑎
4 − 2⏟
𝑏
4 = (𝑥 − 4)(𝑥3+𝑥2. 2 + 𝑥. 22 +23) = (𝑥 − 4)(𝑥3 +2𝑥2 +4𝑥 + 8) 
b) 32𝑥5−243 = [(2𝑥)⏟
𝑎
5
−3⏟
𝑏
5] = (2𝑥 − 3)[(2𝑥)4+ (2𝑥)3.3 + (2𝑥)2.32 + (2𝑥). 33 +34] =
(2𝑥 − 3)(16𝑥4 +24𝑥3+36𝑥2+ 54𝑥 + 81) 
c) 729 − 𝑥6 = 3⏟
𝑎
6 −𝑥⏟
𝑏
6 = (3− 𝑥)(35 +34. 𝑥 + 33. 𝑥2+32. 𝑥3+ 3.𝑥4 +𝑥5) = (3 − 𝑥)(243 +
81𝑥 + 27𝑥2 +9𝑥3 +3𝑥4 +𝑥5) 
 
• Fator comum: 
Quando as parcelas de uma expressão algébrica possuem fator comum, nesse caso podemos 
fazer o inverso da distributiva, o que chamamos de “colocar em evidência”. 
Exemplos: 
a) 𝑥2 +2𝑥 = 𝑥.𝑥 + 2.𝑥 = 𝑥(𝑥 + 2) 
b) 𝑥3 +5𝑥 = 𝑥.𝑥2 +5. 𝑥 = 𝑥(𝑥2+5) 
c) 5 22 8x x− = 2𝑥5− 8𝑥2 = 2𝑥2. 𝑥3 −4.2𝑥2 = 2𝑥2(𝑥3−4) 
 
• Agrupamento: 
Em alguns casos não há fator comum em todos os termos, pode parecer que a expressão não 
pode ser escrita como produto de duas expressões algébricas, diferentes de 1. Mas os exemplos abaixo 
nos mostram que em alguns casos podemos agrupar termos que possuem fatores em comum e, depois 
de manipularmos, aparece um novo fator comum na nova expressão, chegando assim a fatoração. 
Exemplos: 
a) 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 + 𝑎𝑦 − 𝑏𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 − 𝑏𝑦 − 𝑏𝑥 = 𝑎(𝑥 + 𝑦)− 𝑏(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)(𝑎 − 𝑏) 
b) 𝑎𝑏 + 3𝑏 + 7𝑎 + 21 = 𝑎𝑏+ 7𝑎 + 3𝑏+ 21⏟
3.7
= 𝑎(𝑏 + 7)+ 3(𝑏 + 7) = (𝑏 + 7)(𝑎 + 3) 
c) 2𝑥2+8𝑥 + 3𝑥 + 12 = 2𝑥.𝑥 + 4.2𝑥 + 3𝑥 + 4.3 = 2𝑥(𝑥 + 4) + 3(𝑥 + 4) = (𝑥 + 4)(2𝑥 + 3) 
 
• Fator comum de uma forma não convencional: 
Em alguns casos para resolver alguns limites, usamos a técnica que será explicada abaixo, por 
meio de exemplos. 
A ideia é colocar em evidência a variável com maior expoente, assim dentro dos parênteses aparecerá 
o resultado da expressão quando dividimos todas as suas parcelar pela variável de maior expoente. 
 
5 
 
Exemplos: 
a) 𝑥3 −5𝑥2 +𝑥+ 3 = 𝑥3 (1−
5
𝑥
+
1
𝑥2
+
3
𝑥3
) 
b) −3𝑥4 +2𝑥3 +5𝑥 − 5 = 𝑥4 (−3+
2
𝑥
+
5
𝑥3
−
5
𝑥4
) 
c) 𝑥5 +2𝑥4 −𝑥3 +3𝑥2 +5𝑥 − 10 = 𝑥5 (1 +
2
𝑥
−
1
𝑥2
+
3
𝑥3
+
5
𝑥4
−
10
𝑥5
) 
 
• Trinômio quadrado perfeito: 
𝑎2 +2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 ou 𝑎2− 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2 
Exemplos: 
a) 𝑥2 +2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2 
b) 2𝑥2 −4√2𝑥 + 4 = (√2𝑥 − 2)
2
 
c) 𝑥2 −6𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)2 
 
Procedimento: Para fatorar um trinômio quadrado perfeito e colocá-lo na forma (𝑎+ 𝑏)2, observe que 
𝑎 é sempre a raiz quadrada de um dos termos (normalmente o primeiro termo), umas vez definido 𝑎, 
determinemos o termo em que aparece 2. 𝑎. 𝑏 (normalmente é o termo central) e, daí, encontramos o 
valor de 𝑏. 
 
• Completando quadrado: 
Nem sempre o trinômio é um quadrado perfeito, nesse caso podemos escrever tal trinômio como 
uma soma, onde uma das parcelas é o quadrado da soma (ou diferença) de dois números reais. 
Exemplos: 
a) 𝑥2 +2𝑥 + 2 = (𝑥 + 1)2+2 −1 = (𝑥 + 1)2+1 
b) 4𝑥2 −2𝑥 + 4 = (2𝑥 −
1
2
)
2
+4−
1
4
= (2𝑥 −
1
2
)
2
+
16−1
4
= (2𝑥 −
1
2
)
2
+
15
4
 
c) 𝑥2 −6𝑥 + 7 = (𝑥 − 3)2+ 7−9 = (𝑥 − 3)2 −2 
 
Procedimento: Para completar quadrado em um trinômio passando da forma 𝑎2+2𝑎𝑏 + 𝑐 para a 
forma (𝑎 + 𝑏)2+𝑑, observe que 𝑎 é sempre a raiz quadrada de um dos termos (normalmente o 
primeiro termo), uma vez definido 𝑎, determinemos o termo em que aparece 2. 𝑎. 𝑏 (normalmente é o 
termo central) e, daí, encontramos o valor de 𝑏. Note que, neste procedimento, quando fazemos o 
desenvolvimento do quadrado da soma (𝑎 + 𝑏)2, podemos ter 𝑏2 ≠ 𝑐. Assim, para determinarmos 𝑑, 
mantemos o número 𝑐 e subtraímos 𝑏2, isto é, 𝑑 = 𝑐 − 𝑏2. 
 
EXERCÍCIOS 1.1 
1- Desenvolva: 
6 
 
a) ( )
2
2 3x + = b) ( )
2
4 x+ = c) ( )
2
2x x+ = d) ( )
2
2x + = 
e) ( )
2
3 5x − =f) ( )
2
35 x− = g) ( )
2
32x x− = h) ( )
2
2 53x x− = 
i) 
3
1
2
2
x
 
+ = 
 
 j) ( )
3
2x x+ = k) 
3
22
2
x
x
 
+ = 
 
 l) ( )
3
3 2x + = 
m) ( )
3
2 3x − = n) ( )
3
x x− = o) ( )
3
3 2x − = p) 
3
5 2
3
x
 
+ = 
 
 
q) ( )
4
2x + = r) ( )
4
2x − = s) ( )
5
2 3x + = t) ( )
5
2 3x − = 
u) ( )( )2 3 2 3x x− + = v) ( )( )1 1x x− + = x) ( )( )2 25 5x x x x− + = 
2- Fatore as expressões algébricas abaixo: 
a) 
24 100x − = b) 22 3x − = c) 425 x− = d) 4
1
16
4
x − = 
e) 
38 27x − = f) 6
1
8
x − = g) 3 512x + = h) 3125 2x+ = 
i) 
4 16x − = j) 532 243x − = k) 61 3x− = l) 24 100x x− = 
m) 
5 44 2x x− = n) 3 215 10x x+ = o) 8 54 10x x− = p) 5 34 100 24x x x+ − = 
q) 
3 22 2 4x x x− + − = r) 3 2 2b b a ba a+ + + = s) 2 2 2x x xy y− + − = 
3- Coloque, em cada letra, a variável de maior expoente em evidência: 
a) 
22 3 1x x− + = b) 4 33 6x x x− + − = c) 6 4 3 24 5 2 3x x x x− − + + − = 
4- Simplifique as expressões abaixo. 
a) 
2 2
2
x x
x
+
+
, para 2x  − . 
b) 
2 2 1
1
x x
x
+ +
+
, para 1x  − . 
c) 
2 16
4
x
x
−
−
, para 4x  . 
d) 
16
4
x
x
−
−
, para 16x  . 
e) 
3 8
2
x
x
−
−
, para 2x  . 
f) 
3
8
2
x
x
−
−
, para 8x  . 
5- Simplifique as expressões abaixo, colocando a variável de maior expoente em evidência e sabendo 
que 0x  . 
7 
 
a) 
3 2
3 2
2 4 8
3 2 3
x x
x x x
+ −
=
− + −
 
b) 
4 3 2
3
2 4 5
2 6 10
x x x x
x x
+ + − −
=
− +
 
c) 
2
5 4 2
6 8
4 3 2 1
x x
x x x x
− −
=
− + + −
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
Seja o triângulo ABC conforme figura 1, abaixo. 
 
As razões entre as medidas dos lados nos definem relações trigonométricas em relação ao ângulo  , 
que são: 
• Seno de  : ( )
b
sen
c
 = 
• Cosseno de  : ( )cos
a
c
 = 
• Tangente de  : ( )
b
tg
a
 = 
• Secante de  : ( )
( )
1
sec
cos
c
a


= = 
• Cossecante de  : ( )
( )
1
cossec
c
b sen


= = 
• Cotangente de  : ( )
( )
1a
ctg
b tg


= = 
Como consequência dessas razões, obtemos as seguintes relações: 
• Relação fundamental da trigonometria: ( ) ( )2 2 1cossen  + = . 
Demonstração (usando a figura 1): 
8 
 
 
 
 
 
Observação: Esta é a relação mais importante da trigonometria e, por meio dela, podemos demonstrar 
várias outras relações. 
• Relação entre tangente e secante: ( ) ( )2 21 sectg  + = . 
Demonstração (usando a figura 1): 
 
 
 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
A figura 2 nos mostra o significado das relações trigonométricas na circunferência de raio 1. 
 
Figura 2: Relações trigonométricas na circunferência 
Fonte: Próprio autor. 
• Seno da soma (ou diferença) de dois arcos (ou ângulos): 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cossen a b sen a b sen b a+ = + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cossen a b sen a b sen b a− = − 
• Cosseno da soma (ou diferença) de dois arcos (ou ângulos): 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cosa b a b sen a sen b+ = − 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cosa b a b sen a sen b− = + 
• Tangente da soma (ou diferença) de dois arcos (ou ângulos): 
( )
( ) ( )
( ) ( )1
tg a tg b
tg a b
tg a tg b
+
+ =
−
 
9 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )1
tg a tg b
tg a b
tg a tg b
−
− =
+
 
Quando a e b forem iguais, teremos: 
• Seno do arco duplo: 
( ) ( ) ( )2 2 cossen a sen a a= 
Demonstração: 
 
 
 
• Cosseno do arco duplo: 
( ) ( ) ( )2 22cos cosa a sen a= − 
Demonstração: Fica como exercício. 
Esta última relação juntamente com a relação fundamental nos fornece: 
a) ( )
( )2 1 2
2
cos a
sen a
−
= 
Demonstração: 
 
 
 
b) ( )
( )2 1 2
2
cos
cos
a
a
+
= 
Demonstração: Fica como exercício. 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Antes de estudarmos os gráficos e características das funções, devemos perceber a importância 
de estendermos as ideias da trigonometria no triângulo retângulo para a circunferência. O estudo na 
circunferência nos permite definir as relações para ângulos não agudos. As análises dos gráficos das 
funções trigonométricas podem ser feitas no círculo trigonométrico e, lembrando que todo ângulo obtuso 
pode ser “reduzido” ao primeiro quadrante, para facilitar os cálculos. Além disso, o estudo no circulo 
trigonométrico também nos mostra que tais funções são periódicas. 
O estudo do sinal das funções trigonométricas (Seno, Cosseno e Tangente) pode ser feito no 
circulo trigonométrico como mostra a figura 3, abaixo. 
10 
 
 
 
Gráficos e propriedades das funções trigonométricas. 
• Função Seno: 
 
Figura 4: Função Seno 
Fonte: Próprio autor 
 
A função Seno definida nos reais possui período (P) igual a 2 e é limitada ao intervalo  11,−
. 
• Função Cosseno: 
 
Figura 5: Função Cosseno 
Fonte: Próprio autor 
 
A função Cosseno definida nos reais possui período (P) igual a 2 e é limitada ao intervalo 
 11,− . 
 
• Função Tangente: 
11 
 
 
Figura 6: Função Tangente 
Fonte: Próprio autor 
 
A função Tangente definida para todo real x, tal que 
2
x k

 + , com k  , possui período 
(P) igual a  e não é limitada. 
Observações: 
i – Pela dependência das funções, a função Cossecante possui período igual à função Seno. Da mesma 
forma que a função Secante possui período igual à função Cosseno e, a função Cotangente possui 
período igual à função Tangente. 
ii – O que muda o período de uma função trigonométrica é a multiplicação de um número real, diferente 
de 1, à variável. Por exemplo, ( ) ( )2F x sen x= não tem período igual a 2 , na verdade seu período 
é  . Uma fórmula para calcularmos (ou descobrirmos) o período de uma função trigonométrica é dada 
por: 
p
P
k
= , 
onde p é o período da função trigonométrica “original” e k é o valor da constante que está multiplicando 
a variável. No caso do exemplo ( ) ( )2F x sen x= , temos que 2p = e 2k = , obtendo assim o 
período P = . 
iii – Lembrando: 
12 
 
 
0º ou 0 30º ou 
6

 45º ou 
4

 60º ou 
3

 90º ou 
2

 
( )sen x 0 
1
2
 
2
2
 
3
2
 1 
cos( )x 1 
3
2
 
2
2
 
1
2
 0 
( )tg x 0 
3
3
 1 3 Não existe 
 
EXERCÍCIOS 1.2 
 
1 – Um barco atravessa um rio de 87 m de largura em um trecho em que as margens são paralelas. 
Devido à correnteza, segue uma direção que forma um ângulo de 76° com a margem de partida. Qual é 
a distância percorrida pelo barco? (Considere: 𝑠𝑒𝑛76°=0,9703, 𝑐𝑜𝑠76°=0,2419, 𝑡𝑔76°= 4,0108). 
2 – Observe a situação abaixo e responda o que se pede: 
 
 
 
 
 
 
 
3 – Observe a situação abaixo e responda o que se pede: 
Para medir a largura de um rio, um engenheiro 
utilizou como referência duas estacas de madeira, 
que fincou em uma das margens do rio e uma 
pedra localizada na margem oposta, conforme 
esquema da figura ao lado. 
Qual é, aproximadamente, a largura do rio? 
O teleférico mais famoso do Brasil é o 
Bondinho do Pão de Açúcar, localizado na 
cidade do Rio de Janeiro. O teleférico é 
formado por três estações: a da Praia 
Vermelha, a do Morro da Urca, com 220 m 
de altura, e a do Morro do Pão de Açúcar, 
com 396 m de altura. A figura ao lado 
apresenta o esquema que representa a 
13 
 
 
 
4 – (UFPI – 2003) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo um 
ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1000 metros, 
a altura atingida pelo avião, em metros, é: 
 
5 – De um ponto de observação localizado no solo, vê-se o topo de um edifício em um ângulo de 30°. 
Aproximando-se 60 metros do prédio, o ângulo de observação passa a ser de 45°. Determine: 
a) a altura do edifício; 
b) a distância do edifício ao primeiro ponto de observação. 
 
6 - Dê a imagem e o período das funções: 
a) 1
2
x
y sen
 
= + 
 b) 5
3
x
y sen
 
= − 
 
 
c) ( )4 2cosy x= − d) ( )2 3 2 6cosy x= − + 
 
7 - Na função ( )y sen mx= , determinar m tal que o período da função seja: 
a)  b) 
4

 
8 – Determine o valor mínimo e máximo de cada função abaixo. 
a) 10 2
2
x
y sen
 
= − 
 
 b) ( )2 3 7cosy x= − + 
9 – Determine o domínio e o período das funções definidas abaixo: 
a) 
3
y tg x
 
= + 
 
 b) ( )3y tg x= 
c) 3
3
y ctg x
 
= − 
 
 d) 
2 3
x
y ctg
 
= + 
 
 
10 – Determine ( )sec x nos casos abaixo. 
a) Sabendo que ( )
2
3
cos x = ; 
estação do Morro da Urca, no ponto B, e do 
Morro do Pão de Açúcar, no ponto A. 
Determine os ângulos agudos do Δ𝐴𝐵𝐶. 
14 
 
b) Sabendo que ( )
4
5
sen x = . 
11 – Determine ( )cossec x nos casos abaixo. 
a) Sabendo que ( )
1
7
sen x = ; 
b) Sabendo que ( )
5
8
cos x = . 
12 – Desenvolva as expressões abaixo. 
a) ( )sen x + = b) 
2
sen x
 
− = 
 
 
c) 
4
cos x
 
− = 
 
 d) ( )2cos x + = 
e) 
3
tg x
 
+ = 
 
 f) 
2
3
tg x
 
− = 
 
 
13 – Calcule: 
a) ( )75ºsen = b) ( )15ºsen = 
c) ( )75cos º = d) ( )15cos º = 
e) ( )75ºtg = f) ( )15ºtg = 
14 – Desenvolva as expressões abaixo. 
a) ( ) ( ) ( ) ( )2 33 3 cossen x sen x x sen x= − 
b) ( ) ( )24 4 3cos cosx x+ = − + 
c) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 5
2 4
5 2
5
1 6
tg x tg x tg x
tg x
tg x tg x
− +
=
− +
 
15 – (UEPB – 2006) Sabendo que ( ) ( )
2
5
cossen a a− = , o ( )2sen a será igual a: 
 
 
CAPÍTULO 2: LIMITE DE FUNÇÔES 
 
O estudo de limite de uma função se resume a uma análise sobre o comportamento da mesma 
em torno de um ponto 𝑥 = 𝑎. Dessa forma, pode ser que a função não esteja definida nesse ponto 𝑥 =
𝑎. 
• Definição do limite de uma função: O limite de uma função 𝐹, quando 𝑥 tende a 𝑎, existe e é 
𝐿 se, para todo 𝜀 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 implica |𝐹(𝑥) − 𝐿| < 𝜀. 
15 
 
Essa definição significa que, se um número 𝐿 é o limite de uma função, quando 𝑥 tende a 𝑎, então para 
todo intervalo aberto 𝐼 contendo 𝐿, conseguiremos um intervalo aberto 𝐼1 contendo 𝑎 tal que todo 
elemento 𝑥 do domínio que pertencer a 𝐼1 terá sua imagem 𝐹(𝑥) pertencendo a 𝐼. 
Graficamente temos: 
 
Figura 7: Gráfico da Função 𝐹(𝑥) = (𝑥 − 1)3+1 
Fonte: Próprio autor 
 
No exemplo gráfico acima, temos o limite da função 𝐹(𝑥) = (𝑥 − 1)3+1, definida para todo número 
real. Note que, para cada 𝑥 ∈ 𝐼1 = (𝑎 − 𝛿,𝑎 + 𝛿) sua imagem 𝐹(𝑥) ∈ 𝐼 = (𝐿 − 𝜀,𝐿 + 𝜀). 
Nas figuras 8 e 9, abaixo, vemos dois exemplos do estudo de limites, no primeiro o limite de F 
em torno de 2x = , onde F está definida em 2x = e, no segundo, o limite de G em torno de 1x = , 
onde G não está definida 1x = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 8: Gráfico de ( ) 2F x x= Figura 9: Gráfico de ( )
2 1
1
x
G x
x
−
=
−
 
 Fonte: Próprio autor Fonte: Próprio autor 
16 
 
 
Na figura 8, quando x de aproxima de 2, tanto pela direita como pela esquerda, a função tende 
a 4. Nesse caso, dizemos que o limite de F(x) quando x tende a 2 é 4. 
Na figura 9, apesar da função G não estar definida em 1x = , podemos calcular o limite quando 
x tende a 1. Nesse caso, quando tomamos valores do domínio se aproximando de 1x = vemos que as 
imagens vão se aproximando de 2y = , ou seja, o limite de G(x) quando x tende a 1 é o valor 2. 
Em símbolos temos: 
( )
2
4lim
x
F x
→
= e ( )
1
2lim
x
G x
→
= . 
Os limites de F e G, discutidos acima, podem ser analisados por meio de tabelas, como é 
mostrado abaixo. 
 
x F(x) x G(x) 
 1,9 3,61 0,9 1,9 
1,99 3,9601 0,99 1,99 
1,999 3,996001 0,999 1,999 
2,001 4,004001 1,001 2,001 
2,01 4,0401 1,01 2,01 
2,1 4,41 1,1 2,1 
O limite de uma função F em torno de um valor x=a pode não existir, isso acontecerá quando 
não conseguirmos determinar um único valor para a função F quando tomarmos valores se aproximando 
de x=a. Vejamos os exemplos abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 10: Gráfico de ( )
1
F x
x
= Figura 11: Gráfico de ( )
1
3 4
4
1
1 4
2
 , se ;
 , se .
x x
G x
x x

− + 
= 
 − 

 
 Fonte: Próprio autor Fonte: Próprio autor 
 
Notemos que, quando x tende a 0 a função F não se aproxima de um valor fixo, na verdade ela crescerá 
infinitamente se a aproximação a x=0 for por valores positivos e, decrescerá infinitamente se a 
aproximação a x=0 for por valores negativos. Já a função G, quando x tende a 4, ela se aproximará de 
y=1, desde que tomemos valores maiores do que 4, ou de y=2, para valores de x maiores do que 4. 
17 
 
O teorema a seguir, cuja demonstração pode ser encontrada nos livros de cálculo, nos garante 
que o limite de uma função, quando existe, é único. 
• Teorema (Unicidade do limite): Se o limite de uma função F, quando x tende a a, existe e é L, 
então ele é único. 
Em símbolos, temos: 
Se ( )lim
x a
F x L
→
= e ( )lim
x a
F x M
→
= , então L M= . 
 
• Propriedades do limite. Seja ( ) 1lim
x a
F x L
→
= e ( ) 2lim
x a
G x L
→
= , temos: 
(i)   1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
F x G x F x G x L L
→ → →
+ = + = + . 
(ii)   1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
F x G x F x G x L L
→ → →
− = − = − . 
(iii)   1 2lim ( ). ( ) lim ( ).lim ( ) .
x a x a x a
F x G x F x G x L L
→ → →
= = . 
(iv) 
( )
( )
( )
( )
1
2
lim
lim
lim
x a
x a
x a
F xF x L
G x G x L
→
→
→
 
= = 
  
, para ( ) 2 0lim
x a
G x L
→
=  . 
 
EXERCÍCIOS 2.1 
1- Considere as funções ( ) 2 2F x x= − e 
2 1
1
( )
x
G x
x
−
=
+
. Complete as tabelas abaixo. 
x F(x) x G(x) 
0,9 0,9 
0,99 0,99 
 
0,999 
 
0,999 
 
1,001 1,001 
1,01 1,01 
1,1 1,1 
 
Intuitivamente, o que podemos dizer sobre as funções F e G , quando 1x → ? 
 
2- Observe o gráfico de uma função F representada abaixo. 
18 
 
 
Fonte: 
https://www.google.com.br/search?q=gr%C3%A1ficos+de+fun%C3%A7%C3%B5es+descont%C3%
ADnuas&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwir8pKx0rLZAhVKlJAKHX5aBgkQ_AUIC
igB&biw=1366&bih=588#imgrc=M6H030mir7EgbM: 
Existe o 
3
lim ( )
x
F x
→
? Justifique. 
 
3- Sabendo que para F, G e H, temos 
1
2lim ( )
x
F x
→
= , 
1
3lim ( )
x
G x
→
= e 
1
0lim ( )
x
H x
→
= . Calcule: 
a)  
1
lim ( ) ( )
x
F x G x
→
+ 
b)  
1
lim ( ) ( )
x
G x H x
→
− 
c)  
1
lim ( ). ( )
x
F x H x
→
 
d) 
1
( )
lim
( )x
H x
G x→
 
 
 
 
e) 
1
( )
lim
( )x
F x
H x→
 
 
 
 existe? Justifique. 
 
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 
 
• Definição: Uma função F é contínua em um ponto x a= se, e somente se, as três condições 
abaixo se cumprirem: 
(i) F está definida em x a= ; 
(ii) O limite de F existe, ou seja, ( )lim
x a
F x L
→
= onde L é um número real; 
(iii) ( ) ( )lim
x a
F x L F a
→
= = , ou seja, além do limite existir, o mesmo tem que ser a imagem de x a=
. 
• Definição: Uma função é dita contínua quando é contínuaem todos os pontos do domínio. 
https://www.google.com.br/search?q=gr%C3%A1ficos+de+fun%C3%A7%C3%B5es+descont%C3%ADnuas&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwir8pKx0rLZAhVKlJAKHX5aBgkQ_AUICigB&biw=1366&bih=588#imgrc=M6H030mir7EgbM
https://www.google.com.br/search?q=gr%C3%A1ficos+de+fun%C3%A7%C3%B5es+descont%C3%ADnuas&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwir8pKx0rLZAhVKlJAKHX5aBgkQ_AUICigB&biw=1366&bih=588#imgrc=M6H030mir7EgbM
https://www.google.com.br/search?q=gr%C3%A1ficos+de+fun%C3%A7%C3%B5es+descont%C3%ADnuas&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwir8pKx0rLZAhVKlJAKHX5aBgkQ_AUICigB&biw=1366&bih=588#imgrc=M6H030mir7EgbM
19 
 
 
FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 
Uma função é definida por mais de uma sentença quando seu domínio é formado por uma união 
de intervalos disjuntos e, para cada um desses intervalos, há uma lei de formação. 
Exemplo: Seja :F → com ( )
2 1
1 1
, se ,
, se .
x x
F x
x x
 
= 
+ 
 
O gráfico de F pode ser desenhado e pensado como a junção de dois gráficos, cada um representando 
uma das sentenças e respeitando os respectivos domínios. 
Para construir o gráfico de 𝐹, vamos seguir o roteiro abaixo: 
• Determinando o(s) zero(s) de 𝐹: 
𝑥2 = 0 ⟹ 𝑥 = 0 e 0 < 1. 
𝑥 + 1 = 0⟹ 𝑥 = −1, porém −1 não é maior ou igual a 1, logo não será um zero de 𝐹. 
• Como uma das sentenças representa uma parábola, vamos determinar o vértice da mesma: 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
= −
0
2.1
= 0 e 𝑦𝑣 = −
Δ
4𝑎
= −
0
4.1
= 0 
Como 𝑥𝑣 = 0 < 1, segue que, o vértice 𝑉 = (0,0) pertence ao gráfico de 𝐹. 
• Determinando o ponto de interseção do gráfico de 𝐹 com o eixo 𝑂𝑦: 
Temos que, quando 𝑥 = 0 a função 𝐹 está definida pela primeira sentença. Logo, 𝐹(0) = 02 = 0. 
• Vamos determinar o valor das expressões que representam as sentenças no valor 𝑥 = 1, que 
“dividi” as sentenças. 
𝐹(1) = { 1
2 = 1
1 + 1 = 2
 
Como a primeira sentença não está definida para 𝑥 = 1, temos que o ponto (1,1) não pertence ao gráfico 
de 𝐹. Por outro lado, 𝑥 = 1 está definido na segunda sentença, logo o ponto (1,2) pertence ao gráfico de 
𝐹. 
• Note que, precisamos encontrar mais um ponto que pertença a reta que representa a segunda 
sentença, pois até o momento só conhecemos um ponto pertencente ao gráfico que a representa 
e, como tal gráfico é uma reta, é necessário conhecer dois pontos para defini-lo. Para isso, 
escolhe-se qualquer valor 𝑥 > 1, para que a função esteja definida. Fazendo 𝑥 = 2, temos que, 
𝐹(2) = 2+ 1 = 3, ou seja, o ponto (1,3) pertence ao gráfico de 𝐹, pela segunda sentença. 
20 
 
 
 
LIMITES LATERAIS 
 
Os limites laterais são calculados quando analisamos o comportamento de uma função F 
próxima a um ponto x a= , esta análise pode ser feita por valores maiores do que a ou menores do que 
a . Quando o estudo for feito para valores x a , teremos o que chamamos de limite à direita de F. E, 
quando o estudo for feito para valores x a , teremos o que chamamos de limite à esquerda de F. 
Em símbolos, temos: 
( )lim
x a
F x
+→
 limite lateral à direita, que pode existir ou não. 
( )lim
x a
F x
−→
 limite lateral à esquerda, que pode existir ou não. 
No exemplo da página 19, vamos determinar, por meio do gráfico, ( )
1
lim
x
F x
+→
 e ( )
1
lim
x
F x
−→
. 
Analisando o gráfico esboçado, observe que, quando 𝑥 → 1+ temos 𝐹(𝑥) se aproximando de 2, ou seja, 
lim
𝑥→1+
𝐹(𝑥) = 2. Por outro lado, quando 𝑥 → 1−, 𝐹(𝑥) tende a 1, isto é, lim
𝑥→1−
𝐹(𝑥) = 1. 
 
Como resultado importante no estudo dos limites laterais, temos o seguinte teorema. 
• Teorema: Se ( ) ( )lim lim
x a x a
F x L F x
− +→ →
= = , então ( )lim
x a
F x L
→
= . Ou seja, se os limites laterais 
existem e são iguais, então o limite de F quando x a→ existe e é L . 
Voltando ao exemplo da página 19, temos que ( )
1
lim
x
F x
→
 não existe, pois 
( ) ( )
1 1
lim lim
x x
F x F x
+ −→ →
 . 
 
TÉCNICAS PARA CALCULAR LIMITES 
 
O estudo feito, até agora, se limitou às noções intuitivas e com o auxílio de gráficos. Agora, 
vamos resolver os limites com cálculo algébrico, usando resultados já mostrados. 
Para calcularmos o limite ( )lim
x a
F x
→
, fazemos: 
21 
 
(i) Se a função for contínua no ponto x a= , então basta substituir a na função e teremos 
( ) ( )lim
x a
F x F a
→
= . 
A questão é saber se a função é contínua ou não, normalmente ela não será contínua em 𝑥 = 𝑎 se 
substituirmos o valor de 𝑎 na mesma e chegarmos a uma situação onde não é possível resolver a 
expressão numérica. Em uma função racional, por exemplo, o valor a ser substituído não pode zerar o 
denominador. 
(ii) Se a função não for contínua no ponto x a= , então teremos que fazer manipulações algébricas afim 
de obter uma lei de formação equivalente à lei de formação de F , na qual é possível fazer a substituição 
x a= . 
• Exemplo 1: Calcule. 
a) 2
2
1lim
x
x
→
+ = 22 +1 = 4+ 1 = 5 
b) 
3
0
2 1
1
lim
x
x x
x→
− +
=
−
03−2.0+1
0−1
=
1
−1
= −1 
c) ( )
6
lim
x
sen x

→
= 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
6
) =
1
2
 
Nas letras (a), (b) e (c), basta substituir diretamente o valor de 𝑥. 
d) 
4
2
4
lim
→
−
=
−x
x
x
 
Fazendo a substituição de 𝑥 por 4, obtemos: 
√4−2
4−4
=
2−2
0
=
0
0
 
0
0
 é uma indeterminação, então temos que manipular a expressão que representa a lei de formação de 
tal forma que cheguemos a uma expressão que seja possível fazer a substituição. 
Vamos multiplicar o numerador e denominador pela expressão √𝑥 + 2. 
lim
𝑥→4
√𝑥 − 2
𝑥 − 4
∙
√𝑥 + 2
√𝑥 + 2
= lim
𝑥→4
(√𝑥)
2
−22
(𝑥 − 4)(√𝑥 + 2)
= lim
𝑥→4
𝑥 − 4
(𝑥 − 4)(√𝑥 + 2)
= lim
𝑥→4
1
(√𝑥 + 2)
 
No último limite podemos substituir 𝑥 por 4. Logo, 
lim
𝑥→4
√𝑥 − 2
𝑥 − 4
= lim
𝑥→4
1
√𝑥 + 2
=
1
√4+ 2
=
1
2+ 2
=
1
4
 
22 
 
Outra forma de calcular: 
lim
𝑥→4
√𝑥− 2
𝑥 − 4
= lim
𝑥→4
√𝑥 − 2
(√𝑥− 2)(√𝑥 + 2)⏟ 
𝑥−4
= lim
𝑥→4
1
√𝑥 + 2
=
1
√4+ 2
=
1
2 + 2
=
1
4
 
e) 
21
1
1
lim
x
x
x→
−
=
−
1−1
12−1
=
0
0
 , que é uma indeterminação. 
Vamos fazer a manipulação algébrica e calcular. 
lim
𝑥→1
𝑥 − 1
𝑥2− 1
= lim
𝑥→1
𝑥 − 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)⏟ 
𝑥2−1
= lim
𝑥→1
1
𝑥 + 1
=
1
1 + 1
=
1
2
 
f) 
( )
( )
2
2
lim
cosx
sen x
x→
=
𝑠𝑒𝑛 (2.
𝜋
2
)
cos(
𝜋
2
)
=
0
0
 , que é uma indeterminação. 
Fazendo as manipulações algébricas e calculando o limite: 
lim
𝑥→
𝜋
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
cos (𝑥)
= lim
𝑥→
𝜋
2
2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥). cos (𝑥)⏞ 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
cos (𝑥)
= lim
𝑥→
𝜋
2
2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 2. 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋 
2
) = 2.1 = 2 
• Exemplo 2: Calcule, se existir os limites abaixo. Caso não exista o limite, justifique. 
a) ( )
0
lim
x
F x
→
, onde ( )
0
0
 , se ,
 , se .
x x
F x
x x
 
= 
− 
 
Temos: 
lim
𝑥→0+
𝐹(𝑥) = lim
𝑥→0+
√𝑥 = √0 = 0 
lim
𝑥→0−
𝐹(𝑥) = lim
𝑥→0−
−𝑥 = −0 = 0 
Como os limites laterais são iguais, segue que, lim
𝑥→0
𝐹(𝑥) = 0 
b) ( )
1
lim
→x
F x , onde ( )
2 1
1
2 1
x , se ,
 , se ,
 , se .
 

= − 
 =
x
F x x x
x
 
Temos: 
23 
 
lim
𝑥→1+
𝐹(𝑥) = lim
𝑥→1+
𝑥2 = (1)2 = 1 
lim
𝑥→1−
𝐹(𝑥) = lim
𝑥→1−
−𝑥 = −(1) = −1 
Como os limites laterais são diferentes, segue que, lim
𝑥→1
𝐹(𝑥) não existe. 
 
• Exemplo 3: Verifique se as funções abaixo são contínuas em 2x = . 
a) ( )
2 4
2
2
4 2
 , se ,
 , se .
x
x
F x x
x
 −

= −
 =
 
Temos: 
lim
𝑥→2
𝐹(𝑥) = lim
𝑥→2
𝑥2 −4
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
𝑥 + 2 = 4 
Como lim
𝑥→2
𝐹(𝑥) = 4 = 𝐹(2), segue que, 𝐹 é contínua em 𝑥 = 2. 
 
b) ( )
2
2
2
4 2
 , se ,
 , se .
x
x
G x x
x
−

= −
 =
 
Temos: 
lim
𝑥→2
𝐺(𝑥) = lim
𝑥→2
𝑥 − 2
√𝑥 −√2
=
2 − 2
√2− √2
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜) 
Fazendo uma manipulação algébrica: 
lim
𝑥→2
𝑥 − 2
√𝑥 − √2
∙
√𝑥 + √2
√𝑥 + √2
= lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(√𝑥 + √2)
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
√𝑥 +√2 = √2+ √2 = 2√2 
Como lim
𝑥→2
𝐺(𝑥) = 2√2≠ 4 = 𝐺(2), segue que, 𝐺 nãoé contínua em 𝑥 = 2. 
 
24 
 
c) ( )
1 2
3 2
 , se ,
 , se .
x x
H x
x x
− + 
= 
− 
 
Temos: 
lim
𝑥→2+
𝐻(𝑥) = lim
𝑥→2+
𝑥 − 3 = 2− 3 = −1 
lim
𝑥→2−
𝐻(𝑥) = lim
𝑥→2−
−𝑥 + 1 = −2+ 1 = −1 
Note que, lim
𝑥→2+
𝐻(𝑥) = −1 = lim
𝑥→2−
𝐻(𝑥), isto implica que o limite de 𝐻(𝑥) existe, quando 𝑥 →
2, e é −1, isto é, lim
𝑥→2
𝐻(𝑥) = −1. 
Como 𝐻(2) = −(2) + 1 = −1 = lim
𝑥→2
𝐻(𝑥), segue que, 𝐻 é contínua em 𝑥 = 2. 
 
• Exemplo 4: Determine o valor de k de modo que a função 
( )
9 3
3
3
3
 , se ,
 , se 
x
x
F x x
k x
−

= −
 =
, 
seja contínua em 3x = . 
Temos que, 𝐹(3) = 𝑘 (pela lei de formação da função). Para que 𝐹 seja contínua em 𝑥 = 3 
devemos ter lim
𝑥→3
𝐹(𝑥) = 𝐹(3) = 𝑘. Vamos calcular o limite de 𝐹 quando 𝑥 → 3. 
lim
𝑥→3
𝐹(𝑥) = lim
𝑥→3
9 − 3𝑥
3 − 𝑥
= lim
𝑥→3
3.3 − 3𝑥
3 − 𝑥
= lim
𝑥→3
3(3 − 𝑥)
3 − 𝑥
= lim
𝑥→3
3 = 3 
Daí, segue que, 𝑘 = 𝐹(3) = lim
𝑥→3
𝐹(𝑥)= 3. 
• Exemplo 5: Determine o valor de k de modo que a função 
( )
2 1 2
1 2
 , se ,
 , se 
x x
F x
kx x
 −  −
= 
+  −
, 
Seja contínua em 2x = − . 
25 
 
Temos que, 𝐹(−2) = (−2)2 − 1 = 3 (pela lei de formação da função). Para que 𝐹 seja contínua 
em 𝑥 = −2 devemos ter lim
𝑥→−2
𝐹(𝑥) = 𝐹(−2) = 3. Vamos calcular o limite de 𝐹 quando 𝑥 →
−2. 
lim
𝑥→−2+
𝐹(𝑥) = lim
𝑥→−2+
𝑘𝑥 + 1 = 𝑘(−2) + 1 = −2𝑘 + 1 
lim
𝑥→−2−
𝐹(𝑥) = lim
𝑥→−2−
𝑥2 −1 = (−2)2 −1 = 3 
O limite de 𝐹(𝑥) existe, quando 𝑥 → −2, se lim
𝑥→−2+
𝐹(𝑥) = lim
𝑥→−2−
𝐹(𝑥). Daí, 
−2𝑘 + 1 = 3⟹ −2𝑘 = 3 − 1 ⟹ −2𝑘 = 2⟹ 𝑘 =
2
−2
= −1 
Portanto, 𝑘 = −1. 
• Exemplo 6: Calcule os limites. 
a) 
2
21
3 2
lim
x
x x
x x→
− +
=
−
12−3.1+2
12−1
=
0
0
 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 
Aplicando Briot-Ruffini: 
1 1 -3 2 
 1 -2 0 
(resto) 
𝑥2 −3𝑥 + 2 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) 
1 1 -1 0 
 1 0 0 
(resto) 
𝑥2 − 𝑥 = (𝑥 − 1). 𝑥 
Logo, lim
𝑥→1
𝑥2−3𝑥+2
𝑥2−𝑥
= lim
𝑥→1
(𝑥−1)(𝑥−2)
𝑥.(𝑥−1)
= lim
𝑥→1
𝑥−2
𝑥
=
1−2
1
= −1 
b) 
2
22
2
5 6
lim
x
x x
x x→−
+ −
=
+ +
(−2)2+(−2)−2
(−2)2+5(−2)+6
=
0
0
 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 
Aplicando Briot-Ruffini: 
 
26 
 
-2 1 1 -2 
 1 -1 0 
(resto) 
𝑥2 +𝑥− 2 = (𝑥 − (−2)) (𝑥 − 1) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) 
-2 1 5 6 
 1 3 0 
(resto) 
𝑥2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 − (−2))(𝑥 + 3) = (𝑥 + 2)(𝑥+ 3) 
Logo, lim
𝑥→−2
𝑥2+𝑥−2
𝑥2+5𝑥+6
= lim
𝑥→−2
(𝑥+2)(𝑥−1)
(𝑥+2)(𝑥+3)
= lim
𝑥→−2
𝑥−1
𝑥+3
=
−2−1
−2+3
=
−3
1
= −3 
 
c) 
3 2
23
3 3
2 3
lim
x
x x x
x x→
− + −
=
− −
33−3.32+3−3
32−2.3−3
=
0
0
 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 
Aplicando Briot-Ruffini: 
3 1 -3 1 -3 
 1 0 1 0 
(resto) 
𝑥3 −3𝑥2 +𝑥− 3 = (𝑥 − 3)(𝑥2 +0𝑥 + 1) = (𝑥 − 3)(𝑥2 +1) 
3 1 -2 -3 
 1 1 0 
(resto) 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) 
Logo, lim
𝑥→3
𝑥3−3𝑥2+𝑥−3
𝑥2−2𝑥−3
= lim
𝑥→3
(𝑥−3)(𝑥2+1)
(𝑥−3)(𝑥+1)
= lim
𝑥→3
𝑥2+1
𝑥+1
=
32+1
3+1
=
9+1
4
=
10
4
=
5
2
 
 
d) 
4 2
5 3 22
3 2
3 12 3 2 8
lim
x
x x x
x x x x→
− + + +
=
− + + − −
−24+3.22+2+2
−3.25+12.23+3.22−2.2−8
=
−16+12+4
−96+96+12−12
=
0
0
 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 
Aplicando Briot-Ruffini: 
 
27 
 
2 -1 0 3 1 2 
 -1 -2 -1 -1 0 
(resto) 
−𝑥4 +3𝑥2 +𝑥+ 2 = (𝑥 − 2)(−𝑥3− 2𝑥2− 𝑥− 1) 
2 -3 0 12 3 -2 -8 
 -3 -6 0 3 4 0 
(resto) 
−3𝑥5 +12𝑥3 + 3𝑥2 −2𝑥 − 8 = (𝑥 − 2)(−3𝑥4 −6𝑥3 + 3𝑥 + 4) 
Logo, lim
𝑥→2
−𝑥4+3𝑥2+𝑥+2
−3𝑥5+12𝑥3+3𝑥
2
−2𝑥−8
= lim
𝑥→2
(𝑥−2)(−𝑥3−2𝑥2−𝑥−1)
(𝑥−2)(−3𝑥4−6𝑥3+3𝑥+4)
= lim
𝑥→2
−𝑥3−2𝑥2−𝑥−1
−3𝑥4−6𝑥3+3𝑥+4
=
−23−2.22−2−1
−3.24−6.23+3.2+4
=
−8−2.4−2−1
−3.16−6.8+3.2+4
=
−8−8−2−1
−48−48+6+4
=
−19
−86
=
19
86
 
 
EXERCÍCIOS 2.2 
 
1- Sejam F e G definidas dos Reais nos Reais, tais que 
( )
2 1
1 1
, se ,
, se ;
x x
F x
x x

= 
+ 
 e ( )
3 1
1 1
, se ,
, se .
x x
G x
x x
 
= 
− 
 
a) Calcule os limites laterais de F e G, para 1x → . 
b) Existem os limites 
1
lim ( )
x
F x
→
 e 
1
lim ( )
x
G x
→
? Justifique. 
c) F é contínua em 1x = ? Justifique. 
d) G é contínua em 1x = ? Justifique. 
2- Calcule os limites laterais das funções abaixo. 
a) ( )
2 2
3 2
, se ,
, se ;
x
F x
x x

= 
− 
 para 2x → . 
b) ( )
2 3
2 3 3
, se ,
, se ;
x x
H x
x x
 
= 
+ 
 para 3x → . 
3- Calcule, se existir os limites abaixo. Caso não exista o limite, justifique. 
a) ( )
0
lim
x
F x
→
, onde ( )
2 0
0
 , se ,
 , se .
x x
F x
x x
 
= 
− 
 
b) ( )
1
lim
x
F x
→−
, onde ( )
3 1
1
3 1
 , se ,
 , se ,
 , se .
x x
F x x x
x
  −

= −  −
 = −
 
28 
 
4- Verifique se as funções abaixo são contínuas em 1x = − . 
a) ( )
2 1
1
2 1
2 1
 , se ,
 , se .
x
x
F x x
x
 +
 −
= +
 − = −
 
b) ( )
1
0 1
1
1 1
 , se e ,
 , se .
x
x x
G x x
x
− −
  −
= − +
 = −
 
c) ( )
1 1
2 4 1
 , se ,
 , se .
x x
H x
x x
− +  −
= 
+  −
 
5- Determine o valor de k de modo que a função 
( )
25 5
5
5
5
 , se ,
 , se 
x
x
F x x
k x
−

= −
 =
, 
seja contínua em 5x = . 
6- Determine o valor de k de modo que a função 
( )
3 1 1
1 1
 , se ,
 , se 
x x
F x
kx x
 − 
= 
+ 
, 
Seja contínua em 1x = . 
7- Calcule os limites. 
a) 3
27
1lim
x
x
→−
− = 
b) 
4 2
30
3 2 1
1
lim
x
x x x
x→
− + +
=
−
 
c) 
64
8
64
lim
x
x
x→
−
=
−
 
d) 
23
3
9
lim
x
x
x→
−
=
−
 
e) 
3 2
21
3 3 2 2
2 1
lim
x
x x x
x x→
− + −
=
− −
 
29 
 
f) 
2
22
2 3 2
5 6
lim
x
x x
x x→−
− − +
=
+ +
 
g) 
3 2
21
3 3
2 3
lim
x
x x x
x x→−
− − +
=
− −
 
h) 
4 2
5 3 20
3
3 12 3 2
lim
x
x x x
x x x x→
− + +
=
− + + −
 
 
LIMITE FUNDAMENTAL TRIGONOMÉTRICO 
 
Para justificarmos o limite fundamental trigonométrico, mostraremos a seguir o teorema que o 
justifica, que é o teorema do Confronto. 
• Teorema do Confronto (ou Sanduiche): Sejam F , G e H funções tais que 
( ) ( )lim lim
x a x a
F x L G x
→ →
= = , se F H G  para alguma vizinhança de a não contendo a , 
então ( )lim
x a
H x L
→
= . 
 
 
Este teorema tem muita utilização, pois muitas vezes calculamos o limite de uma função comparando-o 
com os limites de outras funções, já conhecidos. No nosso caso, o teorema aqui posto, será utilizado 
apenas para justificar o limite fundamental trigonométrico. 
• Limite Fundamental trigonométrico: 
( )
0
1lim
x
sen x
x→
= 
30 
 
Demonstração: Para 𝑥 > 0, temos 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≤ 𝑥 ≤ 𝑡𝑔(𝑥), a figura abaixo nos dá uma ideia da situação. 
(Lembrando que 𝒙 → 𝟎). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo a desigualdade por 𝑠𝑒𝑛(𝑥): 
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
≤
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
≤
𝑡𝑔(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
⟹ 1 ≤
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
≤
1
cos (𝑥)
 
Vamos nomear as três expressões da desigualdade, para ficar mais claro o uso do Teorema do Sanduíche 
(Confronto): 𝐹(𝑥) = 1; 𝐻(𝑥) =
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
 e 𝐺(𝑥) =
1
cos (𝑥)
 
Como lim
𝑥→0+
𝐹(𝑥) = lim
𝑥→0+
1 = 1 , lim
𝑥→0+
𝐺(𝑥) = lim
𝑥→0+
1
cos (𝑥)
=
1
1
= 1 e 1⏟
𝐹(𝑥)
≤
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)⏟ 
𝐻(𝑥)
≤
1
cos (𝑥)⏟ 
𝐺(𝑥)
 , então, 
pelo Teorema do Sanduíche, lim
𝑥→0+
𝐻(𝑥) = lim
𝑥→0+
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
= 1. 
Observe que, 
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
=
1
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
. Assim, lim
𝑥→0+
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→0+
1
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
=
1
1
= 1. 
 
No caso em que 𝑥 < 0, temos 𝑡𝑔(𝑥) ≤ 𝑥 ≤ 𝑠𝑒𝑛(𝑥). A figura a seguir mostra a situação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo a desigualdade por 𝑠𝑒𝑛(𝑥) < 0, obtemos: 
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
≤
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
≤
𝑡𝑔(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
⟹ 1 ≤
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
≤
1
cos (𝑥)
 
31 
 
Chegamos a desigualdade idêntica ao primeiro caso (quando 𝑥 > 0). Seguindo de forma análoga ao que 
foi feito para o caso em que 𝑥 > 0, concluímos que: 
lim
𝑥→0−
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
= 1 
Para finalizar a demonstração, como os limites laterais são iguais, segue que, lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
= 1. 
 
• Observação: Outro resultado importante que pode ser concluído através do teorema do 
Confronto é o seguinte: 
Seja Fuma função tal que ( ) 0lim
→
=
x a
F x e G uma função limitada, então ( ) ( ) 0lim .
→
=
x a
F x G x . 
Demonstração: 
Como 𝐺 é limitada, tomemos 𝑘 ∈ ℝ tal que |𝐺(𝑥)| ≤ 𝑘, para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝐺. A desigualdade |𝐺(𝑥)| ≤ 𝑘, 
pode ser reescrita como −𝑘 ≤ 𝐺(𝑥) ≤ 𝑘. Multiplicando esta última desigualdade por 𝐹(𝑥), temos: 
−𝐹(𝑥).𝑘 ≤ 𝐹(𝑥).𝐺(𝑥) ≤ 𝐹(𝑥).𝑘 
Como lim
𝑥→𝑎
−𝐹(𝑥). 𝑘 = 0 e lim
𝑥→𝑎
𝐹(𝑥). 𝑘 = 0, então, pelo Teorema do Sanduíche, lim
𝑥→𝑎
𝐹(𝑥). 𝐺(𝑥) = 0. 
 
 
LIMITE INFINITO 
 
• Exemplo 7: Analise os gráficos das figuras 12 e 13, para calcular os limites abaixo. Para auxiliar 
a construção da ideia, vamos usar tabelas para verificar o que acontece com as funções. 
a) 
0
1
lim
x x→
= 
 Temos: 
lim
𝑥→0+
1
𝑥
= +∞ 
lim
𝑥→0−
1
𝑥
= −∞ 
 
 
 
 
 
 Figura 12: ( )
1
F x
x
= 
 Fonte: Próprio autor 
 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
20
1
lim
x x→
= 
Temos: 
lim
𝑥→0+
1
𝑥2
= +∞ 
lim
𝑥→0−
1
𝑥2
= +∞ 
 
 
 
 
 Figura 13: ( ) 2
1
G x
x
= 
 Fonte: Próprio autor 
 
 
 
 
 
 
Importante: De forma geral, seja 𝑐 ∈ ℝ uma constante real, temos: 
lim
𝑥→𝑎⏟
(𝑜𝑢 𝑥→𝑎±)
𝐺(𝑥)
𝐹(𝑥)
=
{
 
 
+∞ , 𝑠𝑒 𝐺(𝑥) → 𝑐 > 0 𝑒 𝐹(𝑥) → 0+
+∞ , 𝑠𝑒 𝐺(𝑥) → 𝑐 < 0 𝑒 𝐹(𝑥) → 0−
−∞ , 𝑠𝑒 𝐺(𝑥) → 𝑐 > 0 𝑒 𝐹(𝑥) → 0−
−∞ ,𝑠𝑒 𝐺(𝑥)→ 𝑐 < 0 𝑒 𝐹(𝑥)→ 0
+
 
No exemplo 8, mais adiante, iremos usar estes resultados. 
 
• Definição: A reta x a= é chamada de assíntota vertical da curva ( )y F x= se pelo menos 
uma das seguintes condições estiver satisfeita: 
a) ( )lim
x a
F x
→
= + c) ( )lim
x a
F x
−→
= + e) ( )lim
x a
F x
+→
= + 
b) ( )lim
x a
F x
→
= − d) ( )lim
x a
F x
−→
= − f) ( )lim
x a
F x
+→
= − 
𝑥 → 0+ F(x) 𝑥 → 0− F(x) 
0,1 10 -0,1 -10 
0,01 100 -0,01 -100 
0,001 1000 -0,001 -1000 
0,0001 10000 -0,0001 -10000 
0,00001 100000 -0,00001 -100000 
0,000001 1000000 -0,000001 -1000000 
𝑥 → 0+ F(x) 𝑥 → 0− F(x) 
0,1 100 -0,1 100 
0,01 10000 -0,01 10000 
0,001 1000000 -0,001 1000000 
33 
 
• Exemplo 8: Calcule os limites abaixo. 
a) 
1
2
1
lim
x x→
=
−
 
Note que, se 𝑥 → 1+ então 𝑥 − 1 → 0+, ou seja, lim
𝑥→1+
2
𝑥−1
= +∞. Por outro lado, se 𝑥 → 1− então 𝑥 −
1 → 0−, logo lim
𝑥→1−
2
𝑥−1
= −∞. 
 
b) 
2
3
2
lim
→
=
−x
x
x
 
Se 𝑥 → 2+ então 3𝑥 → 6 e 2 − 𝑥 → 0−, ou seja, lim
𝑥→2+
3𝑥
𝑥−2
= −∞. 
Se 𝑥 → 2− então 3𝑥 → 6 e 2 − 𝑥 → 0+, logo lim
𝑥→2−
3𝑥
𝑥−2
= +∞. 
 
 
LIMITE NO INFINITO 
 
O estudo do limite no infinito é uma análise do comportamento da função quando x tende a 
infinito ( x →  ). Vejamos no exemplo gráfico abaixo o que acontece com a função ( )
1
F x
x
= , 
quando x →  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14: Gráfico de ( )
1
F x
x
= 
Fonte: Próprio autor 
 
Por meio de uma tabela, também podemos verificar a situação. 
34 
 
𝑥 → +∞ F(x) 𝑥 → −∞ F(x) 
1 1 -1 -1 
10 0,1 -10 -0,1 
100 0,01 -100 -0,01 
1000 0,001 -1000 -0,001 
10000 0,0001 -10000 -0,0001 
100000 0,00001 -100000 -0,00001 
 
Analisando o gráfico de 𝐹 e usando a tabela, percebemos que o limite é zero, tanto para 𝑥 → +∞, quanto 
para 𝑥 → −∞. Em símbolos temos: 
lim
𝑥→+∞
𝐹(𝑥) = 0 e lim
𝑥→−∞
𝐹(𝑥) = 0 
 
 
• Exemplo 7: 
a) lim
x
c
x→+
= 
Temos: lim
𝑥→+∞
𝑐
𝑥
= 0 
De forma geral, se 𝐺(𝑥) → ±∞ e 𝐹(𝑥) → 𝑐 ≠ 0, quando 𝑥 → ±∞ (ou 𝑥 → 𝑎), então lim
𝑥→±∞(𝑜𝑢 𝑎)
𝐹(𝑥)
𝐺(𝑥)
=
0 
b) 
1
1lim
x x→+
+ = 
Temos: lim
𝑥→+∞
(
1
𝑥
+1) = 0+ 1 = 1 
c) 
2
2
3
7 1
lim
x
x x
x x→+
− +
=
− +
 
Temos: lim
𝑥→+∞
𝑥2−𝑥+3
𝑥2−7𝑥+1
=
+∞
+∞
 → 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 
lim
𝑥→+∞
𝑥2 −𝑥 + 3
𝑥2 −7𝑥 + 1
= lim
𝑥→+∞
𝑥2(1 −
1
𝑥
+
3
𝑥2
)
𝑥2(1 −
7
𝑥
+
1
𝑥2
)
⏞ 
𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (𝑟𝑒𝑣𝑖𝑠ã𝑜)
= lim
𝑥→+∞
1−
1
𝑥
+
3
𝑥2
1−
7
𝑥
+
1
𝑥2
=
1−0 + 0
1− 0 + 0
=
1
1
= 1 
 
d) 
5 3 2
6 3 2
6 2 14
3 3 12
lim
x
x x x
x x x x→−
− − + −
=
+ + − −
 
Temos: lim
𝑥→−∞
−𝑥5−6𝑥3+2𝑥2−14
𝑥6+3𝑥3+3𝑥2−𝑥−12
=
+∞
+∞
 → 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 
35 
 
lim
𝑥→−∞
−𝑥5−6𝑥3+2𝑥2 −14
𝑥6 +3𝑥3 +3𝑥2 −𝑥 − 12
= lim
𝑥→−∞
𝑥5 (−1−
6
𝑥2
+
2
𝑥3
−
14
𝑥5
)
𝑥6 (1+
3
𝑥3
+
3
𝑥4
−
1
𝑥5
−
12
𝑥6
)
= lim
𝑥→−∞
−1−
6
𝑥2
+
2
𝑥3
−
14
𝑥5
𝑥 (1+
3
𝑥3
+
3
𝑥4
−
1
𝑥5
−
12
𝑥6
)
=
−1
−∞⏟
𝐴𝑏𝑢𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑢𝑎𝑔𝑒𝑚
(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑚 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)
= 0 
 
 
e) 
3 2
2
2 2 12
3 5
lim
x
x x x
x x→+
− + − +
=
+ −
 
Temos: lim
𝑥→+∞
−2𝑥3+2𝑥2−𝑥+12
𝑥2+3𝑥−5
=
−∞
+∞
 → 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 
lim
𝑥→+∞
−2𝑥3 +2𝑥2 −𝑥+ 12
𝑥2 +3𝑥 − 5
= lim
𝑥→+∞
𝑥3(−2+
2
𝑥
−
1
𝑥2
+
12
𝑥3
)
𝑥2 (1+
3
𝑥
−
5
𝑥2
)
= lim
𝑥→+∞
𝑥 (−2+
2
𝑥
−
1
𝑥2
+
12
𝑥3
)
1 +
3
𝑥
−
5
𝑥2
=
−2(+∞)
1⏟ 
𝐴𝑏𝑢𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑢𝑎𝑔𝑒𝑚
(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑚 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)
= −∞ 
 
A letra (e) do último exemplo é uma introdução para a próxima seção, mas antes de passarmos a ela, 
vejamos a seguinte definição. 
• Definição: Quando ( )lim
x
F x L
→
= , ou seja, existe e é L , a reta y L= é chamada de 
assíntota horizontal da curva ( )y F x= . 
• Exemplo 8: Determine as assíntotas em cada função do exemplo 7. 
 
 
LIMITES INFINITOS NO INFINITO 
 
Notações: 
( )lim
x
F x
→+
= + ( )lim
x
F x
→+
= − ( )lim
x
F x
→−
= − ( )lim
x
F x
→−
= + 
 
O significado dessas expressões é que quando x →  a função crescerá (ou decrescerá) infinitamente. 
• Exemplo 9: Determine 3lim
x
x
→+
 e 3lim
x
x
→−
. 
As tabelas abaixo nos auxiliam, de forma intuitiva, a determinar os limites pedidos. 
36 
 
 
 
 
Assim, temos: 
lim
𝑥→+∞
𝑥3 = +∞ e lim
𝑥→−∞
𝑥3 = −∞ 
 
• Exemplo 10: Determine: 
a) ( )2lim
x
x x
→+
− 
Temos: lim
𝑥→+∞
(𝑥2 −𝑥) = (+∞−∞) → 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 
lim
𝑥→+∞
(𝑥2 −𝑥) = lim
𝑥→+∞
𝑥2 (1 −
1
𝑥
) = +∞.1⏟ 
𝐴𝑏𝑢𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑢𝑎𝑔𝑒𝑚
(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑚 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)
= +∞ 
b) 
2
3
lim
x
x x
x→−
+
−
 
Temos: lim
𝑥→−∞
𝑥2+𝑥
3−𝑥
=
+∞
+∞
 → 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 
lim
𝑥→−∞
𝑥2+ 𝑥
3 − 𝑥
= lim
𝑥→−∞
𝑥2 (1 +
1
𝑥
)
𝑥 (
3
𝑥
− 1)
= lim
𝑥→−∞
𝑥 (1+
1
𝑥
)
3
𝑥
− 1
=
(−∞).1
−1⏟ 
𝐴𝑏𝑢𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑢𝑎𝑔𝑒𝑚
(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑚 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)
= +∞ 
 
Vamos explicar a técnica usada nas letras c, d e e do exemplo 7. Em ambos os exemplos, temos uma 
função do tipo ( )
( )
( )
G x
F x
H x
= , com ( )lim
x
G x
→
=  e ( )lim
x
H x
→
=  . Daí, ( )lim
x
F x
→

=

 o 
que chamamos de indeterminação. A técnica usada “acaba” com a indeterminação. 
 
Resultado importante: Seja 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1+⋯+𝑎2𝑥
2+𝑎1𝑥 + 𝑎0 um polinômio de 
grau 𝑛. O lim
𝑥→±∞
𝑃(𝑥) = lim
𝑥→±∞
𝑎𝑛𝑥
𝑛 = ±∞ (a depender da paridade de 𝑛 e do sinal de 𝑎𝑛). 
Temos: 
lim
𝑥→+∞
𝑃(𝑥) ={
+∞ , 𝑠𝑒 𝑎𝑛 > 0;
−∞ , 𝑠𝑒 𝑎𝑛 < 0
 e lim
𝑥→−∞
𝑃(𝑥) =
{
 
 
+∞ , 𝑠𝑒 𝑎𝑛 > 0 𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟;
+∞ , 𝑠𝑒 𝑎𝑛 < 0 𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 í𝑚𝑝𝑎𝑟;
−∞ , 𝑠𝑒 𝑎𝑛 < 0 𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟;
−∞ , 𝑠𝑒 𝑎𝑛 > 0 𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 í𝑚𝑝𝑎𝑟
 
 
• Propriedades: 
𝑥 → +∞ 𝑥3 𝑥 → −∞ 𝑥3 
1 1 -1 -1 
10 1000 -10 -1000 
100 1000000 -100 -1000000 
37 
 
a) Se ( )
( )
lim
x a ou
F x
→ 
= + e ( )
( )
lim
x a ou
G x
→ 
= + , então ( ) ( )
( )
lim
x a ou
F x G x
→ 
 + =+ 
. 
b) Se ( )
( )
lim
x a ou
F x
→ 
= − e ( )
( )
lim
x a ou
G x
→ 
= − , então ( ) ( )
( )
lim
x a ou
F x G x
→ 
 + = − 
. 
c) Se ( )
( )
lim
x a ou
F x
→ 
= + e ( )
( )
lim
x a ou
G x
→ 
= − , então ( ) ( ) ( )
( )
lim
x a ou
F x G x
→ 
 + = + − 
 é 
uma indeterminação, assim temos que manipular as expressões para retirarmos a indeterminação. 
d) Se ( )
( )
lim
x a ou
F x
→ 
= + e ( )
( )
lim
x a ou
G x
→ 
= + , então ( ) ( )
( )
lim .
x a ou
F x G x
→ 
  = + 
. 
e) Se ( )
( )
lim
x a ou
F x
→ 
= − e ( )
( )
lim
x a ou
G x
→ 
= − , então ( ) ( )
( )
lim .
x a ou
F x G x
→ 
  = + 
. 
f) Se ( )
( )
lim
x a ou
F x
→ 
= + e ( )
( )
lim
x a ou
G x
→ 
= − , então ( ) ( )
( )
lim .
x a ou
F x G x
→ 
  = − 
. 
g) Se ( )
( )
lim
x a ou
F x
→ 
= + , então ( )
0
0( )
, se 
lim .
, se x a ou
c
c F x
c→ 
+ 
  =   − 
, onde c é uma constante 
real. 
h) Se ( )
( )
lim
x a ou
F x
→ 
= − , então ( )
0
0( )
, se 
lim .
, se x a ou
c
c F x
c→ 
− 
  =   + 
, onde c é uma constante 
real. 
 
EXERCÍCIOS 2.3 
 
1- Observe os gráficos abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine, se houver, 
1
1
1
lim
x x→ −
 e 22
1
2
lim
( )x x→ −
. Justificando. 
2- Calcule os limites abaixo. 
38 
 
a) 
1
2
1
lim
x x→
=
−
 
b) 
2
3
2
lim
x
x
x→
=
−
 
 
3- Calcule. 
a) lim
x
c
x→+
= 
b) 
1
1lim
x x→+
+ = 
c) 
2
2
3
7 1
lim
x
x x
x x→+
− +
=
− +
 
d) 
5 3 2
6 3 2
6 2 14
3 3 12
lim
x
x x x
x x x x→−
− − + −
=
+ + − −
 
e) 
3 2
2
2 2 12
3 5
lim
x
x x x
x x→+
− + − +
=
+ −
 
 
4- Determine: 
a) ( )2lim
x
x x
→+
− 
b) 
2
3
lim
x
x x
x→−
+
−
 
 
LIMITES FUNDAMENTAIS 
 
1º - 
1
1lim
x
x
e
x→
 
+ = 
 
 
2º - ( )
1
0
1lim x
x
x e
→
+ = 
3º - 
0
1
lim ln
x
x
a
a
x→
−
= 
• Exemplo 11: Calcule. 
a) 
2
1lim
x
x x→+
 
+ = 
 
 
b) 
2
1
1lim
x
x x→−
 
+ = 
 
 
39 
 
c) ( )
2
0
1lim x
x
x
→
+ = 
d) ( )
1
0
1 3lim x
x
x
→
− = 
e) 
1
0
5 5
lim
x
x x
+
→
−
= 
f) 
2
0
1
lim
x
x
e
x→
−
= 
 
 
CAPÍTULO 2: DERIVADA 
 
Nosso estudo agora se baseia em estudar o gráfico de uma função por meio de aproximações 
por retas. Outro ponto importante desse estudo é que quando tomamos uma reta tangente ao gráfico, o 
coeficiente angular da mesma, nos fornece a taxa de variação instantânea, que tem muitas aplicações 
importantes. 
A derivada de uma função F em um ponto x a= , no domínio de F , nos fornece o 
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de F no ponto x a= . Antes de definirmos a derivada 
de uma função F em um ponto x a= , vamos estudar a equação da reta tangente ao gráfico de F, para 
isso consideremos a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
 
 Figura 15: Gráficos mostrando a aproximação por retas secantes à reta tangente a 
função ( ) 3 1F x x= + , no ponto ( ), ( )a F a . 
Fonte: Próprio autor 
 
Na sequência de gráficos mostrada na figura 15, temos uma reta tangente (verde) ao gráfico da função 
F no ponto ( ), ( )a F a e, uma reta secante (azul) ao gráfico de F que passa pelo ponto ( ), ( )a F a . 
Note que, quando fazemos o ponto B (pertencente ao gráfico de F) se aproximar do ponto ( ), ( )a F a , 
a reta secante (azul) se aproxima da reta tangente (verde). Como não conseguimos determinar a equação 
de uma reta com apenas a informação de um ponto, precisamos usar a ideia acima, que é aproximar uma 
secante à reta tangente que queremos. Tal aproximação é feita fazendo com que os valores de x (abscissa 
de B) se aproximem de a (abscissa de do ponto de tangência). Para cada posição de B sobre o gráfico 
de F temos, conforme a figura. 
 
No triângulo retângulo menor, formado pela reta secante que aparece na figura, podemos calcular o 
coeficiente angular (taxa de variação) da reta secante ao gráfico de F que passa pelos pontos ( ), ( )a F a 
e B. O coeficiente angular (taxa de variação) é dado por: 
( ) ( )F x F a
tg
x a

−
=
−
. 
Usando agora a noção de limite, já estudada, quando fazemos x a→ a reta secante se aproximará da 
reta tangente. Assim, o coeficiente da reta tangente à F pelo ponto ( ), ( )a F a será: 
41 
 
1
( ) ( )
'( ) lim ( )
x a
F x F a
F a tg
x a

→
−
= =
−
, onde 
1
 é o ângulo da reta tangente. 
Com o coeficiente angular, dado pelo limite acima, e o ponto de tangência ( ), ( )a F a conhecido, 
podemos escrever a equação da reta tangente ao gráfico de F no ponto ( ), ( )a F a . A equação pode 
ser escrita como: 
( ) ( )( ) '( ) '( ) ( )y F a F a x a y F a x a F a− = −  = − + . 
• Exemplo 1: 
a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ( ) 2 1F x x= − no ponto ( )0 1,− . 
 
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ( ) 1F x x= − no ponto ( )1 0, . 
 
Observações: 
(i) Conhecendo o coeficiente angular de uma reta r dada e um ponto P da mesma, podemos escrever 
a equação da reta s que passa por P e é perpendicular a reta r . O coeficiente angular da reta s é dado 
por: 1.
r s
m m = − , onde 
r
m é o coeficiente angular da reta r e 
s
m o coeficiente angular da reta s . 
(ii) A reta normal à curva ( )y F x= , no ponto P dessa curva, é a reta que passa por P 
perpendicularmente à curva. Isto é, r é normal à curva ( )y F x= , no ponto P, quando r é 
perpendicular à reta tangente à curva nesse ponto. 
Com estas observações podemos resolver o próximo exemplo. 
 
c) Determine a equação da reta normal ao gráfico de ( ) 1F x x= − , no ponto ( )1 0, . 
 
 
 
A equação da reta normal ao gráfico de uma função F em um ponto ( ), ( )a F a é dada por: 
( ) ( )
1 1
( ) ( )
'( ) '( )
y F a x a y x a F a
F a F a
− = − −  = − − + . 
 
Agora vamos à definição de derivada, onde o símbolo '( )F a é a derivada de F no ponto ( ), ( )a F a . 
42 
 
• Definição 1: A derivada de um função F em Fx a D=  , se existir, é o limite 
( ) ( )
lim
x a
F x F a
x a→
−
−
, ou seja, 
( ) ( )
'( ) lim
x a
F x F a
F a
x a→
−
=
−
. Se tal limite não existir, então não 
existirá a derivada em x a= . 
• Exemplo 2: Calcule, caso exista, a derivada de ( )F x x= em 0x = . 
 
Figura 17: Para esboço do gráfico de F no exemplo 2. 
Fonte: Próprio autor. 
A definição 1 nos fornece o valor da derivada de F em x a= , caso exista. Podemos também, 
determinar a função derivada de F, ou seja, uma função (chamada de ( )'F x ) que associa cada valor 
x a= no domínio de F à sua respectiva derivada, desde que ( )'F x esteja definida para Fx a D=  . 
• Definição 2: A função derivada de F é o limite: 
0
( ) ( )
'( ) lim
h
F x h F x
F x
h→
+ −
= . 
Note que, a função derivada de F, ( )'F x , pode não ter o mesmo domínio de F, ou seja, pode haver 
pontos no domínio de F que não estão definidas em ( )'F x , isso ocorre nos pontos em que não existe 
como calcularmos a derivada. 
Nada impede que calculemos a derivada de F em Fx a D=  por meio da definição 2, 
determinamos a função derivada ( )'F x e depois substituímos o valor a na lei de formação, se x a= 
estiver definido em ( )'F x , então teremos a derivada em x a= . Caso contrário, a derivada em x a= 
não existe. 
43 
 
• Exemplo 3: Sendo 3( )F x x= , calcule ( )'F x . 
 
 
 
 
 
 
 
Para simplificar o processo de determinar a derivada de uma função, podemos estabelecer regras 
para serem aplicadas de forma mais direta do que usar a definição. 
• Derivada de funções constantes, potências e exponenciais: Mostraremos, por meio da 
definição de derivada, algumas regras de derivação. Enquanto outras só enunciaremos a regra. 
(i) Derivada de uma constante: Seja ()F x c= , onde c é uma constante real, então 0'( )F x = . 
 
 
 
(ii) A derivada de ( )F x x= é dada por 1'( )F x = . 
 
 
 
(iii) A derivada de ( ) nF x x= , onde n é um número natural, é dada por 1'( ) nF x nx −= 
 
 
 
(iv) A derivada de ( ) rF x x= , onde r é um número real, é dada por 1'( ) rF x rx −= . 
 
 
 
(v) A derivada de ( ) xF x a= , onde 0a  , é dada por '( ) ln( )xF x a a= . Em especial, se ( ) xF x e= 
então '( ) xF x e= . 
44 
 
 
 
 
• Exemplo 4: Calcule a derivada de cada função abaixo. 
a) 10( )F x = 
 
b) 5( )G x x= 
 
c) 
3 2( )H x x= 
 
d) 5( ) xJ x = 
 
 
• Derivada do produto de uma função F por uma constante: Seja F uma função derivável e c 
uma constante, então ( ). ( ) ' . '( )c F x c F x= . 
 
 
• Derivada da soma ou diferença entre duas funções F e G: Sejam F e G duas funções 
deriváveis, então  ( ) ( ) ' '( ) '( )F x G x F x G x+ = + e  ( ) ( ) ' '( ) '( )F x G x F x G x− = − . 
 
 
 
Com as duas regras, da derivada do produto de uma função por uma constante e da derivada 
entre a soma ou diferença entre duas funções, aumentamos nosso leque para o cálculo de derivadas sem 
a necessidade de voltarmos à definição. Vamos ao exemplo. 
• Exemplo 5: Determine a derivada de cada função abaixo. 
a) 53( )F x x= 
 
b) 25( )F x x−= − 
45 
 
 
c) 5 22 3 3( )F x x x= − + 
 
d) 
34( )F x x x−= − 
 
e) 
1 2
1 2 1 0
( ) ...n n
n n
F x a x a x a x a x a−
−
= + + + + + 
 
 
Este último exemplo nos mostra como calcular a derivada de uma função polinomial. 
 
• Regra do Produto: Sejam F e G duas funções deriváveis, então 
 ( ). ( ) ' '( ). ( ) ( ). '( )F x G x F x G x F x G x= +
 
 
• Exemplo 6: Calcule a derivada de cada função abaixo. 
a) 2( ) . xF x x e= 
 
 
b) 2( ) .
xG x x= 
 
 
c) 
31( ) ( ).H x x x= − 
 
 
• Exemplo 7: Se ( ) . ( )F x x G x= , onde 4 2( )G = e 4 3'( )G = , encontre 4'( )F . 
 
 
 
• Regra do Quociente: Sejam F e G duas funções deriváveis, então 
 
2
'
( ) '( ). ( ) ( ). '( )
( ) ( )
F x F x G x F x G x
G x G x
  −
= 
 
, 
onde 0( )G x  . 
46 
 
 
• Exemplo 8: Calcule a derivada de cada função abaixo. 
a) 
2
3
2
6
( )
x x
F x
x
+ −
=
+
 
 
 
b) 
2
( )
x
G x
x
= 
 
 
c) 
22
( )
x
H x
x
=
+
 
 
 
• Exemplo 9: Encontre uma equação da reta tangente à curva 21
xe
y
x
=
+
no ponto 1
2
,
e 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
• Derivadas de Funções trigonométricas: 
(i) Sendo ( ) ( )F x sen x= , então '( ) cos( )F x x= . 
 
 
 
(ii) Sendo ( ) cos( )F x x= , então '( ) ( )F x sen x= − . 
 
 
 
Sabendo as derivadas das funções seno e cosseno, aplicando a Regra do Quociente, 
podemos determinar as derivadas das outras funções trigonométricas, como mostraremos abaixo. 
(iii) Sendo ( ) ( )F x tg x= , então 2'( ) sec ( )F x x= . 
47 
 
 
 
(iv) Sendo ( ) sec( )F x x= , então '( ) ( ).sec( )F x tg x x= . 
 
 
(v) Sendo ( ) cossec( )F x x= , então '( ) cot ( ).cossec( )F x g x x= − . 
 
 
(vi) Sendo ( ) cot ( )F x g x= , então 2'( ) cossec ( )F x x= − . 
 
 
 
• Derivada do Logaritmo natural: Se ( ) ( )lnF x x= com 0x  , então ( ) 1'F x
x
= . 
 
 
• Exemplo 10: Conhecendo a derivada do logaritmo natural podemos calcular a derivada de 
qualquer logaritmo. Vamos calcular da derivada da função ( ) ( )logbF x x= , onde 0x  , 
0b  e 1b  . 
 
 
 
FUNÇÕES COMPOSTAS E REGRA DA CADEIA 
 
Vejamos o diagrama abaixo. 
 
Figura 18: Gráfico da função composta ( )g f x 
Fonte: https://www.infopedia.pt/$funcao-composta (acesso em: 27/09/2017). 
 
https://www.infopedia.pt/$funcao-composta
48 
 
• Definição: Sejam :g A B→ e : Im( )f g C→ . Definimos a composta de f com g e 
denotamos por f g (lê-se f “bola” g ), à função dada por ( ) ( )( )f g x f g x= . A 
função ( ) ( )( )h x f g x= é então denominada função composta de f com g , aplicada a x. 
Observação: x tem que pertencer ao domínio de g e ( )g x ao domínio de f . 
• Exemplo 11: Para refletirmos na observação acima, determine o domínio das funções f , g e 
( ) ( ) 3h x f g x x= = . 
 
 
 
• Exemplo 12: Identifiquem, em cada letra abaixo, as funções f e g na composição f g . 
a) ( ) ( )2f g x sen x= 
 
b) ( ) ( )lnf g x x= 
 
c) ( ) ( )
3
1f g x x= − 
• Regra da cadeia: Sejam f e g funções deriváveis. Se ( ) ( )( )h x f g x= , então 
( ) ( )( ) ( )' ' . 'h x f g x g x= . 
• Exemplo 13: Calcule a derivada das funções abaixo. 
a) ( ) ( )
10
22 3F x x= + 
 
 
b) ( ) ( )2F x sen x= 
 
 
c) ( ) ( )cosF x x= 
 
 
d) ( ) ( )2 1F x sen x= + 
 
 
49 
 
e) ( ) ( )2lnF x x= 
 
EXERCÍCIOS 3.1 
 
1- 
a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ( ) 3 1F x x= − no ponto ( )0 1, . 
 
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ( ) 3 1F x x= − no ponto ( )4 7, , para 0x 
. 
 
2- Determine a derivada das funções abaixo, por meio da definição. 
a) ( ) 7F x = − 
b) ( ) 4F x x= 
c) ( ) 2F x x= − , no ponto 4x = . 
d) ( ) 2F x x= , no ponto 1x = . 
 
3- Derive as funções abaixo. 
a) ( ) 100F x = − 
b) ( ) 2F x = 
c) ( ) 4 23 5 3F x x x= − + 
d) ( ) 3 27 5 2 11F x x x x= − + − 
e) ( ) 3 1F x x= − 
f) ( ) 34F x x x= − , para 0x  . 
g) ( ) 7. xF x x= 
h) ( ) 2.F x x x= , para 0x  . 
i) ( ) ( )( )3 21F x x x x= − + 
j) ( )
7 1x
F x
x
−
= , para 0x  . 
k) ( )
1
( )
x
F x
sen x
−
= , para 2x k , onde k é um número inteiro. 
50 
 
l) ( )
5 3
2
2 3 1x x
F x
x x
+ −
=
+
 
m) ( ) ( )8F x sen x= 
n) ( ) ( )4 5cosF x x= 
o) ( ) 35 xF x = 
p) ( ) 2logF x x= , para 0x  . 
q) ( ) ( )2 1lnF x x x= + − 
r) ( ) ( )
5
2 2F x x= + 
s) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2 2 24 3 1ln cosxF x x x x= − + − − 
 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 
 
• Definição: Dizemos que a derivada de ordem n de F , que se escreve como ( )
n
F , quando 
derivamos F sucessivamente n vezes. Neste processo, cada ( )
i
F é uma derivada da função 
( )1i
F
−
, onde 1 i n  . 
• Exemplo 14: Calcule 
( )3
F em cada função abaixo. 
a) ( ) 4 23 5F x x x= − + 
 
b) ( ) ( )3F x sen x= 
 
c) ( ) xF x e= 
 
• Observação: Para o nosso estudo, focaremos nas derivadas de ordem 1 e 2, ou seja, a primeira 
( 'F ) e a segunda ( ''F ) derivadas. 
 
OTIMIZAÇÃO 
 
Uma das mais importantes aplicações da derivada são os problemas de otimização, que 
consistem em determinar extremos locais ou globais de uma função. 
• Definição 1: Seja c um número no domínio D de uma função f . Então ( )f c é o 
51 
 
valor máximo absoluto de em se ( ) ( ) para todo em .
valor mínimo absoluto de em se ( ) ( ) para todo em .
f D f c f x x D
f D f c f x x D



 
• Definição 2: O número ( )f c é um 
valor máximo local de em se ( ) ( ) quando está próximo de .
valor mínimo local de em se ( ) ( ) quando está próximo de .
f D f c f x x c
f D f c f x x c



 
Vamos discutir essas definições no gráfico abaixo. 
 
Figura 19: Gráfico da função 4 3 2 1( )F x x x x x= − − + − . 
Fonte: Próprio autor. 
 
Na função F , da figura 19, ( )F a é o valor mínimo absoluto, dizemos que a é um ponto de 
mínimo absoluto de F , ou em outras palavras, que F tem um mínimo absoluto em a . Enquanto que, 
( )F b é um valor máximo local e ( )F c é um valor mínimo local, ou seja, F possui máximo e mínimo 
local em x b= e x c= , respectivamente. 
Observações: 
- Se ( )F a é o valor máximo absoluto, dizemos que a é um ponto de máximo absoluto de F . 
- Se ( )F a é o valor mínimo (ou máximo) local, dizemos que a é um ponto de mínimo (ou máximo) 
local de F . 
• Teorema do Valor Extremo: Se F for contínua em um intervalo fechado [ , ]a b , então F 
assume um valor máximo absoluto ( )F c e um valor mínimo absoluto ( )F d em certos números 
c e d em [ , ]a b . 
Na figura 19, se limitarmos o domínio de F ao intervalo [ , ]a c , teremos um valor máximo absoluto 
( )F b e um valor mínimo absoluto ( )F a . Vejamos o gráficona figura 20 abaixo. 
52 
 
 
Figura 20: : [ , ]F a c → com 4 3 2 1( )F x x x x x= − − + − . 
Fonte: Próprio autor. 
 
O contradomínio de F poderia ser o intervalo [ ( ), ( )]F a F b que é a imagem de F . 
A condição de que F tem que ser contínua no intervalo [ , ]a b é fundamental para garantir a 
existência dos extremos, como mostra a figura 21 abaixo. 
 
Figura 21: Uma função F não contínua definida no intervalo 0 2[ , ] . 
Fonte: Próprio autor. 
 
Na figura 21, vemos que 2 0( )F = é um valor mínimo absoluto, porém F não possui valor 
máximo absoluto. 
A condição de que o intervalo (domínio) tem que ser fechado no teorema do valor extremo 
também é fundamental para garantir os valores extremos. Vejamos a figura 22. 
 
53 
 
Figura 22: Uma função F definida no intervalo 0 2( , ) . 
Fonte: Próprio autor. 
 
Note que, na figura 22 a função F não tem valor máximo absoluto e nem valor mínimo 
absoluto. 
• Teorema de Fermat: Se F tiver um máximo ou mínimo local em c e se '( )F c existir, então 
0'( )F c = . 
• Definição de ponto crítico: Um ponto crítico de F é um número 
F
c D , tal que 0'( )F c = 
ou '( )F c não existe. 
• Teorema: Se F tiver um máximo ou mínimo local em c , então c é um ponto crítico de F . 
• Método do Intervalo fechado. Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma 
função contínua F em um intervalo fechado [ , ]a b : 
1 - Encontre os valores de F nos pontos críticos de F em ( , )a b . 
2 – Encontre os valores de F nas extremidades do intervalo. 
3 – O maior valor entre as etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores 
é o valor mínimo absoluto. 
• Exemplo 15: Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função 3 23 1( )F x x x= − +
, onde 
1
4
2
x−   . 
• Observação. Sendo c um ponto crítico de uma função F , um resultado que será mais 
detalhado posteriormente, no estudo de gráficos, mas que nos fornece uma ferramenta para 
garantir se ( )F c é máximo (ou mínimo) absoluto (ou local) é o seguinte: 
0 0
0 0
Se '( ) para todo e '( ) para todo , então ( ) é o valor máximo absoluto.
Se '( ) para todo e '( ) para todo ,então ( ) é o valor mínimo absoluto.
F x x c F x x c F c
F x x c F x x c F c
   

   
 
Se existir um 0  , tal que 
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
Se '( ) com , e '( ) com , , então ( ) é um valor máximo local.
Se '( ) com , e '( ) com , , então ( ) é um valor mínimo local.
F x x c c F x x c c F c
F x x c c F x x c c F c
 
 
   −   +

  −   +
 
Vamos usar esses resultados nos problemas de otimização. 
• Problemas de otimização: 
A - Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para 
motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5.000 
2m e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca 
necessária para a obra? 
 
54 
 
B - Encontre as dimensões de um cilindro circular reto, de área total igual a 50 2cm , de modo que o 
volume seja máximo. 
 
C - Cinquenta animais ameaçados de extinção são colocados em uma reserva. Decorridos t anos, a 
população x desses animais é estimada por: 
2
2
6 30
50
30
( )
t t
x t
t
+ +
=
+
. Em que instante essa população 
animal atinge seu máximo? Quanto ele vale? 
 
EXERCÍCIOS 3.2 
 
1- Encontre dois números cuja diferença seja 100 e cujo produto seja mínimo. 
2- Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima. 
3- Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 100 m cuja área seja a maior possível. 
4- Encontre as dimensões de um retângulo com área de 1000 2m cujo perímetro seja o menor possível. 
5- A taxa (em mg de carbono/ 3m / h ) na qual a fotossíntese ocorre para uma espécie de fitoplâncton 
é modelada pela função 
2
100
4
I
P
I I
=
+ +
 
em que I é a intensidade da luz (medida em milhares de velas). 
Para qual intensidade de luz P é máximo? 
6- Um modelo usado para a produção Y de uma colheita agrícola como função do nível de nitrogênio 
N no solo (medido em unidades apropriadas) é 
21
kN
Y
N
=
+
 
onde k é uma constante positiva. Que nível de nitrogênio dá a melhor produção? 
7- Considere o seguinte problema: um fazendeiro com 300 m de cerca quer cercar uma área retangular 
e então dividi-la em quatro partes com cercas paralelas a um lado do retângulo. Qual é a maior área 
total possível das quatro partes? 
8- Um fazendeiro quer cercar uma área de 15000 2m em um campo retangular e então dividi-lo ao meio 
com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma que minimize o 
custo da cerca? 
9- Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem volume de 32000 3cm . Encontre as dimensões 
da caixa que minimizam a quantidade de material usado. 
10- Se 1200 2cm de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem 
tampa, encontre o maior volume possível da caixa. 
 
55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO DE FUNÇÕES 
 
• Primeira derivada: Os gráficos da figura abaixo nos mostram a relação entre a primeira 
derivada ( 'F ) com o crescimento de uma função F . 
(1) (2) 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 23: Relação entre a derivada e o crescimento de uma função F . 
Fonte: Próprio autor. 
Notemos que, quando a reta tangente é crescente seu coeficiente angular é positivo. Assim, no intervalo 
em que as retas tangentes ao gráfico de uma função F são crescentes, consequentemente ( ) 0'F x  
neste mesmo intervalo, teremos F crescente. Se as retas tangentes ao gráfico de uma função F são 
decrescentes em um intervalo, consequentemente ( ) 0'F x  neste mesmo intervalo, teremos F 
decrescente. Em um esquema temos: 
0
0
 '( ) em um intervalo , então é crescente em .
 '( ) em um intervalo , então é decrescente em .
F
F
Se F x I D F I
Se F x I D F I
 

 
 
• Segunda derivada: A segunda derivada ( ''( )F x ) nos fornece a concavidade da curva, seguindo 
a regra abaixo: 
56 
 
0
0
 ''( ) em um intervalo , então a concavidade de em é para cima.
 ''( ) em um intervalo , então a concavidade de em é para baixo. 
F
F
Se F x I D F I
Se F x I D F I
 

 
 
• Ponto crítico: Os intervalos de crescimento e decrescimento de F serão determinados por 
pontos críticos ou por um valor 
F
x a D=  . 
(a) (b) 
Figura 24: Gráfico das funções 
2
1
( )F x
x
= e 3 1( )G x x= + em (a) e (b), respectivamente. 
Fonte: Próprio autor. 
 
Na figura 24, a função F cresce no intervalo 0( , )− e decresce em 0( , )+ , ou seja, 0x = determina 
os intervalos de crescimento e decrescimento, porém 0x = não pertence ao domínio de F . Enquanto 
que, o ponto crítico na função G é 0x = , porém não há mudança de crescimento para decrescimento, 
ou vice-versa, na função (neste caso, G é crescente em todo o seu domínio), ou seja, o ponto crítico 
nem sempre traz uma mudança em relação a crescimento e decrescimento de uma função. 
• Definição de ponto de inflexão: Um ponto de inflexão de F é um número 
F
d D , tal que 
0''( )F d = ou '( )F d não existe, caso F seja derivável até segunda ordem. 
O ponto de inflexão 
F
d D determinará os intervalos onde à concavidade, do gráfico de F , está 
voltada para baixo ou para cima. 
• Roteiro para a elaboração de um gráfico: 
(i) Determinar o domínio da função. 
(ii) Determinar, caso haja, os pontos de interseção do gráfico da função com os eixos 
coordenados. 
(iii) Determinar, caso haja, os pontos críticos da função. 
(iv) Determinar, caso haja, os pontos de inflexão da função. 
(v) Determinar, caso haja, as assíntotas verticais e horizontais. 
(vi) Esboçar o gráfico com as informações acima. 
 
57 
 
• Exemplo 16: Esboce o gráfico das funções 
1
( ) xF x e= e 3 22 3 12( )G x x x x= − −. 
 
 
NOTAÇÃO DE LEIBNIZ 
 
A notação de Leibniz para a derivada é muito utilizada no desenvolvimento da regra da cadeia 
em problemas de taxa de variação e, também, é importante para entender o símbolo de integral. Apesar 
de ser um símbolo, e que fique claro isso, funciona como um quociente. Alguns livros ou textos 
introduzem este símbolo logo no começo dos estudos, nós preferimos introduzi-lo por agora, para não 
confundir, ora usando um, ora usando outro. 
As notações (símbolos) são: 
( ) ( )' ( )
d
F x F x
dx
= ( )'
dF
F x
dx
= ( )'
dy
y x
dx
= 
• Exemplo 17: Calcule a derivada das funções abaixo, usando as notações de Leibniz. 
a) ( ) 35F x x= − . 
 
b) 2 10y x= − + . 
 
c) y x= − , no ponto 4x = . 
 
 
• Regra da Cadeia na Notação de Leibniz: Seja ( ) ( )( )H x F G x= , onde F e G são 
deriváveis. A derivada de H é dada por: ( ) ( ) ( )' ' ( ) . 'H x F G x G x= (1). 
Usando a notação de Leibniz, temos: ( )'
dH
H x
dx
= , ( )' ( )
dF
F G x
dG
= e ( )'
dG
G x
dx
= (2). 
Substituindo (2) em (1), obtemos: 
( )'
dH dF dG
H x
dx dG dx
= =  . 
 
TAXA DE VARIAÇÃO INSTÂNTANEA 
 
Uma das aplicações mais importantes do estudo de derivadas é nos problemas de taxa de 
variação instantânea. Vamos mostrar com exemplos a utilização da derivada nestes problemas. 
58 
 
• Exemplo 18: A que taxa de variação cresce a área de um círculo em relação ao seu raio, quando 
o raio é igual a 2? 
 
 
 
Neste primeiro exemplo o cálculo é direto, porém em muitos casos teremos que pensar (ou usar) na 
regra da cadeia, pois estaremos lidando com composição de funções. É o caso dos próximos exemplos. 
• Exemplo 19: A que taxa cresce o volume de uma bola de neve esférica, sabendo-se que o raio 
cresce à razão de 5cm s , no instante em que ele mede 10 cm ? 
 
 
 
• Exemplo 20: Em um tanque em forma de cilindro despeja-se água à razão de 3100 mincm . 
Sabendo-se que o diâmetro da base mede 180 cm , com que rapidez varia o nível (h) da água 
quando h mede 50 centímetros? 
 
EXERCÍCIOS 3.3 
 
1- Se V for o volume de um cubo com aresta de comprimento x e, à medida que o tempo passa, o cubo 
se expandir, encontre 
dV
dt
 em termos de 
dx
dt
. 
2- Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 cm s . A que taxa a área do quadrado 
está aumentando quando a área do quadrado for 16 2cm ? 
3- Um tanque cilíndrico com raio de 5 m está sendo enchido com água a uma taxa de 3 3 minm . 
Quão rápido a altura da água está aumentando? 
4- Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 km , a 800 km h , e passa diretamente sobre uma 
estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta 
quando ele está a 3 km além da estação. 
5- Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 30 km/h e o 
outro viaja para o oeste a 72 km/h. A qual taxa a distância entre os carros está aumentando duas 
horas depois? 
6- Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 6 metros de altura. Um homem com 2 m de altura 
anda, afastando-se do poste com velocidade de 1,5 m/s ao longo de uma trajetória reta. Com que 
velocidade se move a ponta de sua sombra quando ele está a 10 m do poste? 
 
 
59 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3: INTEGRAL 
 
A ideia de integral surge como o limite de uma soma, chamada de Soma de Riemann, que é a 
aproximação da área limitada pelo gráfico de uma função, o eixo OX e duas retas paralelas ao eixo OY, 
por uma soma de áreas de retângulos justapostos, como mostra a figura 25. Note que, na figura, nosso 
interesse é aproximar a área entre a função ( ) ( )
3 2
2 1 1( )F x x x x= − − + − + , o eixo OX e as retas 
x a= e x b= , por soma de áreas dos retângulos. 
 
 
Figura 25: Área sob o gráfico da função ( ) ( )
3 2
2 1 1( )F x x x x= − − + − + limitada pelas retas x a= , 
x b= e o eixo OX. 
Fonte: Próprio autor. 
 
Temos dois tipos de retângulos, os de base (sobre o eixo OX) medindo i e os de base (sobre o 
eixo OX) medindo 2i . Quando analisamos a soma das áreas dos retângulos de base i a aproximação, 
por falta, está mais longe da área real da região do que quando analisamos a soma das áreas dos 
retângulos de base 2i . Uma observação importante, para nossa análise, é que as regiões limitadas pelos 
retângulos de base i estão contidas nas regiões limitadas pelos retângulos de base 2i . Se inserirmos 
60 
 
pontos sobre o segmento com extremidades x a= e x b= , sempre tomando pontos médios de 
segmentos já formados, iremos construir retângulos com base cada vez menor, porém com soma de suas 
áreas cada vez mais próxima da área da região sob a curva. A ideia para calcular a área sob a curva de 
F é fazer 0i → para que o limite das somas das áreas seja exatamente a área que queremos. 
• Observação: Nesta introdução, estamos considerando uma função F contínua e positiva em 
um intervalo [ , ]a b , pois o cálculo de uma integral não nos dará a área entre o gráfico de F e 
o eixo OX, isso dependerá do estudo do sinal da função. Se F for positiva no intervalo [ , ]a b
, como no exemplo introdutório, então a área entre o gráfico e o eixo OX, restrita ao intervalo 
[ , ]a b , poderá ser calculada diretamente por uma integral. 
Iremos explorar o cálculo de áreas, por integral, na seção de integral definida e o teorema 
Fundamental do Cálculo. Por agora, estudaremos o cálculo de integrais como uma “operação inversa à 
operação de derivar”. 
 
 
PRIMITIVAS 
 
• Definição: Uma primitiva de uma função f é uma função F , derivável, tal que 
'( ) ( )F x f x= , ou seja, a função derivada de F é f . 
Calcular uma integral nada mais é do que encontrar uma primitiva, o símbolo utilizado para determinar 
primitivas de uma função f , ou calcular a integral de f é: 
( ) ( ) F x f x dx=  , 
onde o símbolo dx significa que a integral está sendo calculada em relação a x . 
Como a derivada de uma constante é zero, quando fazemos o cálculo da integral acima, 
encontramos uma família de primitivas ( )nF x , com n , onde o que as diferem é a soma de uma 
constante. Por exemplo: ( ) 21 1F x x= + e ( )
2
2
10F x x= − são primitivas da função 2( )f x x= . 
Como fazemos para descrever a família de primitivas relativas a uma função f ? A família de primitivas 
será descrita como a soma de uma primitiva com uma constante real C . 
( )( ) f x dx F x C= + . 
• Exemplo 1: Verifique, por derivação, se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas, onde 
C é uma constante real. 
a) 
2
2 3
2
 
x
x x dx x C− = − + 
 
61 
 
b) 1 1 2 lndx x x C
xx
− = − + , onde 0x  . 
c) 
( )
2
1
11
 
x
dx C
xx
= +
++
 
 
• Exemplo 2: Determine a família de primitivas da cada função abaixo. 
a) ( ) 3F x x= 
 
b) ( ) ( )F x sen x= 
 
c) ( )
1
F x
x
= , com 0x  . 
 
EXERCÍCIOS 4.1 
 
1- Verifique, por derivação, se as sentenças abaixo são verdadeira. (Obs: C é uma constante) 
a) 
2
1
1
x
dx x C
x
 
= + + 
+ 

 
b) 
 2 2 2cos( ) ( )x dx sex x C= + 
c) 
( )5 4 4 3x x dx x x C− − − −+ = + + 
d) 
2 3 2
1 3 2
x x x x
dx C
x−
 +
= + + 
 

 
 
 
INTEGRAL INDEFINIDA 
 
A integral ( ) f x dx é chamada de integral indefinida, pois seu resultado é uma família de 
funções, ou seja, não é um resultado (função) definido. 
• Propriedades operatórias: As propriedades operatórias, que listaremos abaixo, são 
consequências das propriedades operatórias das derivadas. 
I -  ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +   . 
II -  ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx− = −   . 
62 
 
III -  ( ) ( )kf x dx k f x dx=  , onde k é uma constante real. 
 
• Exemplo 3: Calcule as integrais. 
a) 3 2 x x dx+ 
 
b) 5cos( ) x dx 
 
c) 2
1
7 xe dx
x
+ − 
 
EXERCÍCIOS 4.2 
 
1- Calcule: 
a) ( )57x x dx+ = b) 
3
1
4x x
dx
x−
 −
= 
 
 c) ( )x dx =