Mecanica translacional

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Modelagem Integrada
Simulação Modelo
Sistema
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Sistema
● Coleção de itens que podem encontrar ou definir 
alguma relação de funcionalidade.
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Simulação
● Estuda o comportamento de sistemas reais atra-
vés de modelos, e se aplicam em diferentes áreas.
Simulação +
1) Ferramenta auxiliar na 
resolução de problemas; 
2) Executa vários eventos 
rapidamente.
=
● Alguns fatores desejados:
– Baixo custo;
– Visualização rápida;
– Repetição;
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Modelo
● O ser humano funciona baseado em modelos, e a 
maioria deles é criado pela mente (modelo mental).
● Por exemplo, dirigir um carro é a construção de um 
modelo para dirigir um carro.
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Modelo
● E se de repente, o carro muda?
● O carro mudou, mas o modelo de dirigir não.
● Modelo → Aquilo que serve de objeto de imitação. 
(Dicionário On line Aurélio)
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Classificação de modelo
● Na engenharia, os modelos se classificam-se em 
teóricos e matemáticos.
– Teóricos – Protótipos, planta piloto
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Aproximação
ou
Modelo Matemático (MM)
● Representação abstrata da realidade através de 
equações.
– Não incorpora todas as características macroscópicas 
e microscópicas.
– Leva-se em conta vários fatores, porém um bom mo-
delo é equilíbrio entre:
DETALHES
BENEFÍCIOS
TEMPO
ESFORÇO
Processo Real
Equações
Conjunto de equações
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Modelo Matemático
– Podem ser obtidos das seguintes formas (ou com-
binação delas):
● Teórica (modelagem fenomenológica) → Aplicam-se 
os princípios básicos da Física e/ou Química (Leis 
básicas e relações constitutivas);
● Empírica ou Heurística → Observação direta dos da-
dos operacionais do processo, ou seja, se analisa a 
entrada e a saída para se inferir o modelo; O mode-
lo é bem restrito, quando comparamos com o teóri-
co.
● Por analogia → Analogia feita com outros sistemas.
f(X,Y,P)X Y
P X – Variáveis de entrada;
Y – Variáveis de saída;
P – Parâmetros do sistema 
e condições de contorno.
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Modelagem de sistemas 
Mecânicos
● Este curso será dividido em quatro partes:
– Modelagem de Sistemas Mecânicos
– Analogia Elétrica
– Modelagem de Sistemas Fluídicos
– Modelagem de Sistemas Térmicos
● A modelagem de Sistemas Mecânicos se dividirá em:
– Parte 1 - Sistemas mecânicos translacionais - 1 GDL
– Parte 2 - Sistemas mecânicos rotacionais e híbridos
– Parte 3 - Equações de Lagrange (2º unidade)
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Grau de Liberdade
● Número mínimo de coordenadas independentes (coorde-
nadas generalizadas) que descrevem completamente o 
movimento de todos os elementos do sistema.
– Cada massa equivalente (momento de inércia equi-
valente), interligação entre elementos mecânicos 
diferentes e ponto de aplicação de força (torque) 
corresponde a 1 GDL.
– Exemplos de sistemas com 1 GDL.
No sistema ao lado, 
podemos usar x ou θ 
para descrever a sua 
dinâmica.
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Graus de Liberdade
– Sistemas com dois GDL
– Sistemas com três GDL
Nos sistemas que 
contém pêndulos 
simples, somente o 
ângulo θ é suficiente 
para descrever o sis-
tema, pois x e y se 
relacionam com o 
comprimento l do fio 
(l2 = x2 + y2)
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file:///media/Sharon_4GB/Modelagem%202013.1/Chaotic_motion_of_a_driven_triple_pendulum.flv
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Sistemas discretos x 
Sistemas contínuos
● Exemplos anteriores → Descritos por um número 
finito de GDL´s (sistemas discretos ou de parâme-
tros concentrados (função apenas do tempo)).
● Alguns sistemas, em especial os que envolve ele-
mentos elásticos contínuos, como a viga em balan-
ço mostrado abaixo, tem um número infinito de 
GDL´s (sistemas contínuos ou de parâmetros dis-
tribuídos (função do tempo e do espaço)).
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Sistemas discretos x 
Sistemas contínuos
● Na maioria das vezes, os sistemas contínuos são 
aproximados por sistemas discretos, para que a 
sua solução seja obtida de maneira simples.
● Um sistema contínuo fornece resultados exatos, 
porém os métodos analíticos existentes são limita-
dos a uma pequena parte dos problemas.
● Resultados mais precisos são obtidos com o au-
mento dos componentes e dos GDL´s.
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Sistemas Mecânicos
● Objetivos
– Obter as equações de movimento dos sistemas.
– Conhecer os elementos elementos mecânicos, res-
ponsáveis pelo armazenamento ou dissipação da 
energia
– Simplificar as configurações dos elementos mecâni-
cos, quando possível.
● Formas de obter as equações de movimento:
– leis de Newton
– equações de Lagrange.
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Leis de Newton
● Primeira Lei de Newton
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Leis de Newton
● Primeira Lei de Newton
– Define o referencial inercial.
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Leis de Newton
● Segunda lei de Newton → Translação
● Terceira lei de Newton
– O par ação reação é aplicado em corpos diferentes. 
∑ F=ma=m d vdt =m
d 2r
dt2
Em 3-D
∑ F x=m ẍ
∑ F y=m ÿ
∑ F z=m z̈
F AB=−F BA
A ação corresponde a seta azul, e a 
reação, seta vermelha.
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Massa
– Cada massa equivalente corresponde a um GDL.
– Energia potencial gravitacional (associada à posição 
em relação a um referencial E
g
(y
0
) = 0).
– Energia cinética (associada à velocidade). No caso 
translacional é:
E g=m g h
E c=
1
2
mv2
E g  y−E g  y0=m g y−m g y0
E g  y=m g  y− y0
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Elementos Mecânicos de 
Translação
– Unidades: 
● kg (sistema mks – SI);
● g (sistema cgs).
● libra (sistema inglês), também chamada de “li-
bra massa”.
– Massa Ideal → Quando todas as partículas de um cor-
po rígido possuem a mesma velocidade e aceleração 
(rigidamente conectadas) e seu momento linear de-
pendente linearmente da velocidade.
– Massa pontual → Várias partículas ou um corpo rígido 
são representados por um ponto (massa pontual) 
quando as sua dimensões forem muito menor que as 
dimensões do problema. Neste caso, a geometria ou a 
configuração não é relevante no movimento.
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Quando a configuração ou geometria influen-
ciar o movimento, usa-se a distribuição de 
massa. Neste caso o movimento é descrito 
pelo centro de massa. 
–Distribuição discreta de N partículas no 
espaço
xCM=
1
M∑i=1
N
xi mi
yCM=
1
M∑i=1
N
yi mi
zCM=
1
M∑i=1
N
zi mi
onde : M=∑
i=1
N
mi
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Elementos Mecânicos de 
Translação
–Distribuição contínua → Um corpo de 
massa M e volume V.
xCM=
1
M
∫ x dm
yCM=
1
M
∫ y dm
zCM=
1
M ∫ z dm
xCM=
1
V ∫ x dV
yCM=
1
V ∫ y dV
zCM=
1
V ∫ z dV
dm
dv
=
M
V
=
Para densidade ρ 
uniforme, as coorde-
nadas do centro de 
massa ficam:
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Mola Translacional
– Peça que possui alta flexibilidade elástica.
– Armazenam energia potencial elástica, associada à 
deformação elástica que o corpo sofre.
– Todo corpo possui alguma flexibilidade, ou seja, não 
existe corpo totalmente rígido.
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Elementos Mecânicos de 
Translação
– No ensaio de tração se obtém o seguinte gráfico;
– Um modelo de mola bem simples contém parâme-
tros concentrados com:
● amortecimento desprezível, ou se existir, será concen-
trado no amortecedor do sistema;
● massa desprezível, ou se existir, será concentrada na 
na massa do sistema.
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Elementos Mecânicos de 
Translação
– Cada mola é caracterizada pela sua rigidez, k;
– Para uma mola linear com extremidade fixa (x > x
0
).
– O sistema com esta mola possui no mínimo 1 GDL.
– Cálculo da energia potencial elástica
Fk=k Δ
E k=
1
2
k 2
Lei de Hooke 
(mola linear)
Energia Potencial Elástica 
de uma mola linear
E k=∫
x0
x
F k dx '
k=
dF
dx
=constante Linear
k=
dF
dx
= f  x Não Linear
Fk=k (X−X 0)
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Elementos Mecânicos de 
Translação
– Para uma mola linear com as extremidades móveis 
(x
2
 > x
1
): 
– Sistema com esta mola possui no mínimo 2 GDL's.
– A força elástica é uma força restauradora que não 
dissipa a energia do sistema.
– Esta força sempre faz a mola retornar ao compri-
mento relaxado, ou seja, dependendo do sentido 
de movimento, ela pode dificultar ou ajudar o mo-
vimento.
– As molas reais são não lineares, e seguem a lei de 
Hooke até certa deformação.
F k=k x2−x1=k
E k=
1
2
k x2−x1
2
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Exemplo 1: Um bloco de massa m é preso a uma mola 
ideal, de constante k e massa desprezível, e fica oscilando 
em torno de um ponto l
0
. Determine a equação de 
movimento, supondo que não existe atrito na superfície de 
contato.
– 1º Passo → Escolher o sistema de coordenadas
– 2° Passo → Fazer o diagrama de forças
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Continuação do exemplo 1:
– 3º Passo → Usar a segunda lei de Newton
● Lei de Hooke → 
● Observando o sistema de referência, e levando 
em conta de que l
0
 é constante, obtém-se:
∑ F=m z̈
F k=k
= z−l 0 z̈= ẍ
m ẍ=−kx
z=xl 0
ẍ
k
m
x=0 ED do oscilador 
harmônico simples.
Observem que x é medido a 
partir da posição de equilí-
brio.
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Exemplo 2: Um bloco de massa m está suspenso do 
teto por uma mola de constante k e comprimento relaxado 
l
0
, cuja massa é desprezível. Após uma perturbação 
externa, o sistema fica oscilando. Considerando o sistema 
ideal, ou seja, não existe dissipação de energia, encontre 
a equação de movimento.
∑ F=0
−F kP=0
−k mg=0
=
mg
k
● Em Sistemas na vertical, a resolução do problema 
se inicia analisando a situação estática
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Continuação do exemplo 2 → Situação Dinâmica
– Relacionando as variáveis
– Usando o resultado obtido na situação estática.
∑ F=m z̈
m z̈=−F kP
F k=k
= z−l0= y
m z̈=−k Δ+mg
m ÿ=−k ( y+δ)+mg
ÿ
k
m
y=0m ÿ=−k y=
mg
k
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Continuação do exemplo 2 → Comentários
– Este problema mostra novamente que podemos considerar 
uma variável, “y”, que é medida a partir da posição de 
equilíbrio estático, na descrição do movimento
– A equação de movimento é a mesmo do exemplo anterior.
– Usando δ obtido da situação estática, e a variável “y”, faz 
com que o peso não apareça na equação de movimento, 
ou seja, novamente a equação diferencial obtida é 
homogênea.
ÿ
k
m
y=0
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Mola Equivalente → Uma única mola que equivale a 
várias molas.
– A principal vantagem é simplificar a representação 
do sistema.
– Esta mola deve possuir:
● a mesma força resultante das N molas;
● a mesma energia potencial elástica correspondente as 
N molas.
∑i=1
N
Ek i=Ek eq
∑i=1
N
Fk i=F k eq
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Elementos Mecânicos de 
Translação
– Associação de Molas em série
● Duas molas (k
1
 e k
2
) submetidas a uma força F, pode 
ser substituída uma mola (k
eq
) 
● Aplicando a 2º lei de Newton no ponto de aplicação de 
força (B), e na interligação dos elementos (A):
● Analisando a figura, e usando o resultado anterior:
1 2= eq
F
k eq
=
F
k1

F
k 2
1
k eq
=
1
k 1

1
k 2
F=k1Δ 1=k2Δ 2
F=keqΔ eq
∑ FB=0
F−F k2=0
∑ F A=0
Fk2−Fk1=0
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Usando a energia, chega-se ao mesmo resultado.
● Para N molas em série, temos:
● Características da associação de molas em série
– A mesma força é aplicada nas N molas.
– A distensão da mola equivalente é a soma das disten-
sões das N molas
– Cada interligação entre as molas corresponde a um GDL.
– Se a mola equivalente tiver uma extremidade fixa, ela 
terá um único GDL.
1
k eq
=∑
i=1
N
1
k i
1
2
k eq eq
2
=
1
2
k11
2

1
2
k 2 2
2 k eq F
2
k eq
2 =
k 1 F
2
k 1
2 +
k 2 F
2
k 2
2
1
k eq
=
1
k 1

1
k 2
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Elementos Mecânicos de 
Translação
– Associação de Molas em paralelo – Distensões 
iguais.
● Duas molas em paralelo pode ser substituída por uma 
única mola.
● Para que os deslocamento das molas sejam iguais, 
não pode existir rotação na barra vermelha:
● Aplicando a segunda lei de Newton na barra vermelha 
de massa desprezível:
Δeq=Δ=Δ1=Δ2
k1Δ1+k2Δ2=k eqΔ keq=k1+k2
F−Fk1−Fk2=0∑ F=0 F=k eqΔ
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● O mesmo resultado é obtido usando a energia 
potencial elástica. 
● Para N molas em paralelo, temos:
● Características da associação de molas em paralelo:
– A força resultante é a soma das forças elásticas das N 
molas. Note que na configuração em série, a força 
resultante é igual a força elástica de cada mola, 
mesmo que a constante da mola seja diferente.
– A relação que acabamos de deduzir só pode ser usada 
quando as N molas:
● compartilharem a mesma coordenada;
● possuírem deslocamento iguais.
1
2
k eqΔeq=
1
2
k1Δ1
2
+
1
2
k2Δ2
2
keq=∑
i=1
N
k i
keq=k1+k2
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Exemplo 3: Achar a rigidez equivalente do sistema. Su-
ponha que os deslocamentos das molas paralelas sejam 
iguais.
● O primeiro passo neste problema, é reduzir as molas que estão em 
paralelo pelas suas equivalentes.
● O segundo passo, é reduzir as molasque estão em série pelas 
suas equivalentes.
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Continuação exemplo 3: A partir de agora surge uma 
dúvida as molas abaixo estão em série ou em paralelo?
● Para responder esta pergunta, observe o diagrama de 
força da massa m, supondo um movimento no sentido 
mostrado abaixo, para obter o sistema equivalente.
● Uma outra forma é usar a energia do sistema das duas 
molas que é igual a da equivalente.
Eeq=Ek /2+ E2k /3
1
2
k eq x
2
=
1
2
k
2
x2+
1
2
2k
3
x2 keq=
7k
6
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Exemplo 4: Um tambor de içamento equipado com um 
cabo de aço é montado na extremidade de uma viga em 
balanço, como mostrado abaixo. A viga em balanço pode 
ser substituída por uma mola na vertical de constante k
v
, e 
o cabo possui características elásticas (k
c
), determine a 
constante elástica equivalente.
● Observe que o tambor está 
extremidade da viga.
● A viga e o cabo suportam a 
mesma carga (configuração 
em série);
k eq=
k v k c
k vk c
1
k eq
=
1
k v

1
k c
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Como foi visto no exemplo anterior, os componen-
tes podem ser substituídos por uma constante elás-
tica equivalente, e na prática esta constante é fun-
ção da geometria, do módulo de Young E e do mó-
dulo de elasticidade transversal G.
Barra sob carga axial, onde A = Área da seção transversal
Barra cônica sob carga axial, onde D, d = diâmetro das extremi-
dades.
k eq=
EA
L
k eq=
 E D d
4 L
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
Mola helicoidal sob carga axial, onde d = diâmetro do arame; D 
= diâmetro médio do enrolamento; n = número de espiras. 
k eq=
G d 4
8 n D3
Viga fixa fixa com a carga no ponto médio, viga em balanço com 
carga na extremidade, viga simplesmente apoiada com carga no 
meio, onde I é o momento de inércia da área (seção transversal).
k eq=
192 E I
L2
k eq=
3 E I
L3
k eq=
48 E I
L3
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Exemplo 5: Para o exemplo anterior, admita que o cabo 
possua comprimento l e diâmetro da seção transversal d, e 
que o módulo de Young da viga e do cabo é E. Na enge-
nharia se usa muito o momento de inércia da área, neste 
caso para viga é 1/12 at3, que é diferente do momento de 
inércia J que será visto na próxima parte.
k v=
3 E I
b3
=
3 E
b3
1 a t 3
12
k c=
A E
l
=
 d 2 E
4 l
k eq=
E
4   a t
3 d 2
 d 2 b3l a t 3 
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F eq=k eq x=F x
Elementos Mecânicos de 
Translação
– Associação de Mola Inclinada (concorrente ou 
radial)
● A figura abaixo mostra um sistema com uma mola 
inclinada de um ângulo α em relação a direção do 
movimento da massa m. Deseja-se encontrar uma 
mola equivalente (k
eq
) a ser colocada na direção x.
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Para pequenos deslocamentos, o ângulo α 
praticamente não sofre modificação.
● Para N molas inclinadas com ângulos α
i
 com a hori-
zontal, que convergem para o mesmo ponto:
xm=x cos
F x=F cos
F=k 1 xm
k eq x=k 1 x cos
2

k eq=k 1 cos
2

k eq=∑
i=1
N
k i cos
2
i
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Exemplo 6: A lança AB de um guindaste é feito de uma 
barra de aço uniforme e possui uma rigidez k
1
. Um peso W 
é suspenso pelo cabo CDBEF, que é feito de aço (k
2
), en-
quanto o guindaste permanece estacionário. Desprezando 
o efeito do cabo CDEB, determine a constante elástica 
equivalente do sistema na direção vertical.
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Continuação exemplo 6: Temos duas molas inclinadas, 
com um dos ângulos desconhecidos (θ). A primeira 
observação a ser feita é que o sistema equivalente é na 
vertical, diferente da dedução que fizemos que foi na 
horizontal, logo devemos levar em conta os ângulos do 
vértice B, na cor vermelha, para poder usar a fórmula que 
deduzimos:
h=10 cos 45º=5 2
cos 90º−=
h
 h23h2
k eq=k 1 cos
290º−k 2 cos
2 45º
onde:
k eq≈0,3302∗k 1
k 2
2
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Elementos Mecânicos de 
Translação
– Associação de Mola com polia
● É muito comum, na prática, encontrar cabos e molas 
associados à polias, como pode ser visto na figura 
a).
● A configuração mostrada na figura a), pode ser 
substituída por uma única mola, como pode ser visto 
na figura b).
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Para encontrar a k
eq
, que equivale a configuração da 
figura a), será desprezado a massa da polia
● Massa nula na polia implica:
Ek=Ek eq
1
2
k x1
2
=
1
2
keq x
2
k x1=P /2 k eq x=P
∑ F=0 ∑ τ=0
A mola equivalente possui a mes-
ma energia da mola de constante 
k.
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Substituindo as relações da força na relação da 
energia, obtém-se:
● Uma outra maneira de fazer este problema é 
relacionar x e x
1
.
● Quando a massa m se desloca x, a mola k
1
 se 
distender 2x, ou seja, x
1
= 2x.
● Substituindo a relação anterior na relação das forças 
ou das energias, obtém-se o mesmo resultado 
acima.
k 2 x=keq x /2
P=k eq x
k x1=P /2
keq=4 k
1
2
k ( P2k )
2
=
1
2
keq( Pk eq )
2
1
2
k x1
2
=
1
2
keq x
2
k 4 x2=k eq x
2
keq=4 k
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Exemplo 7: Substitua o sistema mola polia por uma mola 
equivalente.
k 1 x1=2P k eq x=P
Desprezando a massa da polia
E k1=E k eq
1
2
k 1 x1
2
=
1
2
k eq x
2
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Continuação do exemplo 7:
– Substituindo as relações de x
1
 e x, na expressão da 
energia, obtém-se: 
– Analisando a geometria, observa-se que a mola se 
distende x/2 quando a massa m se desloca x.
– Substituindo nas relações das forças, obtém-se o 
mesmo resultado para k
eq
.
2P=k 1 x /2P=k eq x k eq=
k 1
4
2 k eq x=k 1 x /2
k eq=
k 1
4
k 1 2Pk 1 
2
=k eq  Pk eq 
2
4
k 1
=
1
k eq
x1=
x
2
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Amortecedor
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Elementos Mecânicos de 
Translação
– A força de amortecimento (força não conservativa) 
dissipa a energia mecânica (calor, som, etc) e 
sempre se opõe ao movimento. 
– Tipos de Amortecimento
● Viscoso → EAD
● Constante ou Coulomb (atrito seco)
– Acontece quando corpos deslizam sobre superfícies se-
cas. 
● onde N é a força normal e μ é o coeficiente de 
atrito dinâmico (adimensional).
F a= N
Materiais µ
c
madeira/madeira 0,2
gelo/gelo 0,03
metal/metal (sem lubrif.) 0,07
aço/aço (sem lubrif.) 0,6
borracha/cimento seco 0,8
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Dedução das equações de movimento de um sistemamassa mola com 1 GDL, mostrado abaixo, onde o 
atrito passa a ser relevante no movimento (amorte-
cimento seco).
● A força de atrito varia com o sentido da velocidade 
(movimento), como pode ser visto nos diagramas de 
forças mostrados abaixo e a cada meio ciclo as for-
ças mudam de sentido.
x0
ẋ0
ou
x0
ẋ0
x0
ẋ0
ou
x0
ẋ0
Situação 2Situação 1
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Para encontrar as equações de movimento, temos 
que convencionar um sentido positivo na direção x, 
para ambos os casos da esquerda para direita e 
aplicar a segunda lei de Newton para ambas situa-
ções.
● As duas ED's acima são não homogêneas de segunda 
ordem e a forma de resolvê-las é fazer uma mudan-
ça de variável.
∑ F y=0 ∑ F x=m ẍ
P−N=0
−kx1 N=m ẍ1
m ẍ1kx1− N=0
P−N=0
−kx2− N=m ẍ2
m ẍ2kx2 N=0
Situação 2Situação 1
xm1=x1−
 N
k
x1t =A1 cos wn t A2 senwn t  N / k
xm2=x 2
 N
k
x2 t =A3 coswn t A4 sen wn t − N / k
Situação 2Situação 1
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Até o momento a situação só foi resolvida matematicamen-
te, e para ter significado físico é necessário as condições 
iniciais. 
● Para as condições iniciais x(0) = x
0
 e v(0) = 0, nota-se que 
o bloco está no extremo, e o seu movimento será dado 
pela equação x
1
(t) cujo domínio será 0≤t≤π/w
n
.
● Para π/w
n
≤t≤2π/w
n
, usa a equação x
2
(t) com as condições 
x
1
(π/w
n
) = x
2
(π/w
n
) e v
1
(π/w
n
) = v
2
(π/w
n
),ou seja, as funções 
são contínuas.
x10=A1 N /k=x0
ẋ10=0 A2=0
x1t = x0− N /k  cos wn t  N /k
x1  /wn=−x02 N /k=−A3− N /k
ẋ1  /wn= ẋ2 /wn=0 A4=0
x2 t = x0−3 N /k  coswn t − N /k
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Quando t = 2π/w
n
, no terceiro ciclo se usa x
1
(t) com novos 
valores de A
1
 e A
2
 que são definidos x
2
(2π/w
n
) = x
3
(2π/w
n
) 
e v
2
(2π/w
n
) = v
3
(2π/w
n
), e o procedimento pode ser conti-
nuado até até o movimento parar ou seja, X
n
 ≤ μN/k.
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Algumas observações de um sistema sujeito ao 
amortecimento Coulomb. 
– A equação de movimento é não linear, pois pode ser 
escrita usando a função sigmum
– A frequência natural não é modificada;
– O movimento é periódico;
– A amplitude é reduzida linearmente;
– Em cada ciclo completo, a amplitude é reduzida pela 
quantidade 4μN/k.
– A posição é afastada em relação a posição de equi-
líbrio e seu valor é μN/k.
m ẍkxsgn ẋ  N /k=0
sgn  ẋ =1 para ẋ0
sgn ẋ=−1 para ẋ0
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Elementos Mecânicos de 
Translação
● Exemplo 8: Um bloco de metal colocado sobre uma su-
perfície irregular está ligada uma mola e recebe um deslo-
camento inicial de 10 cm em relação à sua posição de 
equilíbrio. Após cinco ciclos de oscilação em 2 s, constata-
se que a posição final do bloco de metal é 1 cm em rela-
ção a sua posição de equilíbrio. Determine o coeficiente de 
atrito entre a superfície e o bloco de metal.
Período
T=2 /5=0,4 s
Frequência Angular
wn=
2
T
=15,708 rad / s
wn= km
5 4m gk =0,1−0,01=0,09m
5 4 gwn2 =0,09 m
=
0,09 wn
2
20 g
=0,1132
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Exemplo 9: O martelo de uma prensa mecânica realiza 
um movimento periódico para conformar de chapas de aço 
no formato da bigorna. Para uma modelagem física, quais 
elementos mecânicos podem formar o sistema? 
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Continuação exemplo 9: Suponha inicialmente que a 
bigorna e a fundação seja um único componente 
representado pela massa m, e que tenha um 1 GDL. 
● O deslocamento sofrido por m é x
1
;
● O solo funciona como mola (rigidez 
k) e amortece parte da impacto do 
martelo (b).
● O próximo passo é o diagrama de 
força.
ẍ1
b
m
ẋ1
k
m
x1=0
=
mg
k
m ẍ1=−b ẋ1−k  x1P
Da situação 
de equilíbrio
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Exemplo 10: A bigorna de um martelo de forjar pesa 
5x103 N e está montada sobre uma base que tem uma ri-
gidez de 5x106 N/m e um amortecimento viscoso de 104 
Ns/m. Durante a operação de forjamento, o martelo-pilão 
(peso de 103 N), parte do repouso de uma altura de 2 m 
sobre a bigorna. O coeficiente de restituição entre a bigor-
na e o pilão é 0,4. Determine as velocidades antes e de-
pois do impacto e a resposta da bigorna após o impacto.
● Sentido positivo para baixo
● A resolução deste problema será feito 
em duas etapas:
● 1º Etapa → Antes do impacto (prin-
cípio da conservação da energia);
● 2º Etapa → Antes e depois do impac-
to (conservação do momento linear.
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Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Continuação do exemplo 10: 
V
m1
 – Vel. do martelo antes do impacto
V
m2
 – Vel. do martelo depois do impacto
V
M1
=0 – Vel. da bigorna antes do impacto
V
M2
 – Vel. da bigorna depois do impacto
E pg=E c
mgh=
1
2
m vm1
2
vm1=√2gh=6,26099 m / s
Pantes=Pdepois
mvm1+ M vM1=mvm2+ M vM2
r=−
vM2−vm2
v M1−vm1
Conservação da energia
Conservação do momento
1000
9,8
vm1=
1000
9,8
vm2+
5000
9,8
vM2
6,26099=vm2+ 5 vM2
Coeficiente de restituição
2,5044=v M2−vm2
vM2=1,4609 m / s vm2=−1,0435m / s
Resposta da bigorna
k
M
=9800 s−2>( b2M )
2
=192,08 s−2Subamortecido
x (t )=c0 e
−b
2M
t
cos (wd t−ϕ0 )
Dados: x
0
 = 0 (Φ
0
 = π/2) e v
0
 = 1,4609m/s
x (t )=0,0149e−9,8 t cos (98,025 t−π/2 )
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