Unidade_I_-_Fundamentos_das_Vibraes x

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<p>UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA</p><p>CENTRO DE TECNOLOGIA</p><p>DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA</p><p>VIBRAÇÕES DOS SISTEMAS MECÂNICOS</p><p>Fundamentos de Vibrações</p><p>Histórico, Importância do Estudo das Vibrações, Movimento</p><p>Harmônico, Classificação das Vibrações e Tópicos Essenciais.</p><p>N O T A S D E A U L A S</p><p>Virgílio Mendonça da Costa e Silva</p><p>Junho – 2020</p><p>2</p><p>1. Fundamentos de Vibração</p><p>1.1 Observações Preliminares</p><p>Este capítulo introduz o assunto de vibrações de maneira relativamente</p><p>simples. Começa com um breve histórico do assunto e continua com uma</p><p>explanação de sua importância. Em vários passos envolve análise de vibrações</p><p>de um sistema de engenharia onde são introduzidas definições especificas e</p><p>conceitos básicos de vibrações. Segue com a apresentação de conceitos de</p><p>analise harmônica geralmente usada para análise de movimentos vibratórios,</p><p>sem tratamento exaustivo. Concluímos com tópicos essenciais para modelagem</p><p>de sistemas mecânicos.</p><p>1.2 Breve Histórico de Vibrações</p><p>Os povos, de uma maneira geral, se tornaram interessados em vibrações</p><p>quando da descoberta do primeiro instrumento musical, provavelmente um</p><p>instrumento de sopro ou tambor. Mais tarde, vários instrumentos musicais</p><p>(percussão, cordas, metais, etc.) foram concebidos, aproveitando movimentos</p><p>vibratórios, geradores de ondas sonoras. Desde então surgiram às primeiras</p><p>investigações para estudos de fenômenos vibratórios.</p><p>O desenvolvimento da teoria da vibração resultou dos avanços das</p><p>ciências básicas das quais deriva: matemática e mecânica geral.</p><p>A origem, em termos históricos, encontra-se nos registros dos antigos</p><p>filósofos gregos do primeiro milênio antes de Cristo. O primeiro interessante do</p><p>envolvimento de um filósofo grego com um problema de natureza vibratória é</p><p>registrado em um incidente envolvendo Pitágoras (cerca de 570-497 A.C.)</p><p>Pitágoras estava passando por uma espécie de fundição e/ou forjaria e</p><p>percebeu uma certa harmonia entre os diversos sons produzidos pelos</p><p>martelos. Entrando no local ele suspeitou que a diversidade de sons fosse</p><p>originada pelas diferentes forças empregadas no uso dos martelos, concluindo,</p><p>entretanto, que a causa era o peso dos martelos. Pitágoras, então, estabeleceu</p><p>3</p><p>um método racional de medir frequências sonoras (origem do diapasão)</p><p>podendo ser considerado como o fundador da acústica.</p><p>Ele realizou experiências com martelos, cordas, tubos e placas criando o</p><p>primeiro laboratório de pesquisas em vibrações conhecido. O fato que existem</p><p>frequências que podem produzir movimento harmônico já era conhecido por</p><p>músicos quando foi estabelecido como uma lei natural por Pitágoras. Além</p><p>disso, ele provou com suas experiências com martelos que as frequências</p><p>naturais são propriedades dos sistemas e não dependem da magnitude da força</p><p>atuante. Ele provou ainda que:</p><p>1. A frequência natural de uma corda é inversamente proporcional ao seu</p><p>comprimento e diâmetro; ela cresce quando cresce a tensão “com outras</p><p>proporções” (não especificadas). É bastante provável que Pitágoras tenha</p><p>conhecido a regra correta de dependência da frequência natural com a</p><p>tensão.</p><p>2. A frequência natural da vibração longitudinal de uma coluna é</p><p>inversamente proporcional ao comprimento da mesma.</p><p>3. A tese anterior também é válida para recipientes. Pitágoras mudava a</p><p>frequência natural colocando água dentro deles.</p><p>4. Pitágoras também testou discos, mas não existem registros de</p><p>resultados. Existe um relato em Phaedon de Platão, que Hipasos (um</p><p>discípulo de Pitágoras que diz-se tenha sido morto por revelar segredos</p><p>pitagóricos) testou quatro discos de bronze e encontrou frequências</p><p>naturais inversamente proporcionais às espessuras</p><p>As pesquisas sobre o movimento do pêndulo se originaram nas culturas</p><p>grega e chinesa, encontrando-se indicações que tenha sido utilizado como</p><p>medidor de tempo (portanto sendo conhecido o seu isocronismo – período</p><p>constante) nos tempos de Aristófanes (450-388 A.C. ).</p><p>O primeiro texto sobre acústica, On Acoustics, foi escrito por Aristóteles,</p><p>tendo sido o termo utilizado pela primeira nesta época. Os instrumentos de</p><p>medição de vibrações se originam na Grécia e China antigas.</p><p>4</p><p>Heródoto (cerca de 484 a 425 A.C.) registra a existência de um</p><p>transdutor de vibração (um escudo coberto com uma fina camada de bronze)</p><p>que era encostado ao solo produzindo som quando este apresentava qualquer</p><p>movimento vibratório. Foi utilizado no sexto século A.C. para detectar a</p><p>escavação de túneis subterraneos em Barca, norte da África, atual Líbia, então</p><p>sob dominação persa.</p><p>Vários outros instrumentos podem ser citados, mas um merece especial</p><p>atenção: um sismógrafo construído na China por volta do ano de 132 D.C. O</p><p>governo imperial desejava detectar antecipadamente terremotos, para que</p><p>pudessem se preparar. O cientista e matemático Zhang Heng inventou um</p><p>instrumento que era constituído por um pêndulo de 3 m de comprimento,</p><p>usando bolas para registrar a direção e, talvez, a magnitude. Com 2 metros de</p><p>largura, parecia um jarro de bronze. Oito cabeças de dragão circundavam a</p><p>parte superior. Debaixo de cada uma havia um sapo de bronze. Quando o jarro</p><p>sentia um tremor de terra, mesmo ínfimo, uma bola caía de um dragão na boca</p><p>de um sapo. A genialidade desse ancestral de todos os sismógrafos estava no</p><p>fato de que a bola caía na direção de onde vinha o tremor graças a um</p><p>mecanismo no interior do jarro.</p><p>Alguns engenheiros supõem que se tratava de um pêndulo suspenso por</p><p>um cabo com oito alavancas ligadas às oito bocas de dragão. Quando um tremor</p><p>vinha do sul, por exemplo, fazia com que a parte inferior do pêndulo oscilasse</p><p>para o norte. Assim a parte superior inclinava-se para o sul, acionando a</p><p>alavanca ligada ao dragão do sul. Sua boca abria-se e a bola caía. Desse modo,</p><p>Zhang Heng podia informar à corte quando ocorria um terremoto, indicando a</p><p>direção da área atingida.</p><p>Este instrumento instalado no Departamento de Astronomia e</p><p>Calendário, da cidade de Luoyang, então capital da Dinastia Han (de 206 A.C. a</p><p>220 D.C.), registrou um terremoto ocorrido a cerca de 600 km de distância, não</p><p>sensível ao ser humano o que convenceu a todos da utilidade do mesmo.</p><p>Registro da National Geographic Brasil, fevereiro de 2004.</p><p>5</p><p>Registros da Era Moderna</p><p>1590 Galileu Galilei (*)</p><p>Ele escreveu o primeiro tratado em dinâmica moderna. Seu trabalho em</p><p>oscilações de um pêndulo simples e vibrações de uma corda foram de</p><p>fundamental significância na teoria de vibrações.</p><p>� Descobriu a relação entre comprimento de um pendulo e sua frequência.</p><p>� Descobriu a ressonância entres corpos conectados.</p><p>� Descobriu a relação entre densidade, tensão e frequência de uma corda</p><p>vibrante.</p><p>Físicos Wallis e Sauveur.</p><p>� Observaram, em trabalhos independentes em cordas vibrantes, o</p><p>fenômeno de forma dos modos de vibração com pontos estacionários</p><p>chamados nós.</p><p>� Descobriram que a frequência do segundo modo é o dobro da frequência</p><p>do primeiro e que a frequência do terceiro modo é três vezes a do</p><p>primeiro.</p><p>Físico Sauveur</p><p>� Criou o termo de frequência fundamental para representar a frequência</p><p>mais baixa e harmônicos para as demais frequência de um movimento</p><p>vibratório.</p><p>� Matemáticos Taylor, Bernoulli, D’Alembert, Euler, Lagrange e Fourier</p><p>Deram grandes contribuições para o desenvolvimento da teoria das vibrações</p><p>(*)(1564 -1642) Astrônomo italiano, filósofo, e professor de matemática da universidade de Pisa e</p><p>Pádua, em 1609 se tornou o primeiro homem a apontar um telescópio para o céu.</p><p>6</p><p>Matemático Bernoulli</p><p>� Foi quem primeiro propôs o principio de superposição de harmônicos e</p><p>descobriu que qualquer configuração</p><p>geral de vibrações livres é composta</p><p>das configurações de harmônicos, atuando independentemente da</p><p>variação de forças.</p><p>1676 Lei de Hook’s da Elasticidade</p><p>1744 Euler e 1751 Bernoulli</p><p>� Determinaram a equação diferencial que representa a vibração de um</p><p>barra prismática e investigaram sua solução para pequenas deflexões.</p><p>1784 Coulomb</p><p>� Apresentou estudos teóricos e experimentais de oscilações torcionais de</p><p>um cilindro metálico suspenso por fios.</p><p>1802 Chladni</p><p>� Desenvolveu um método de colocação de areia sobre uma placa vibrante</p><p>para encontrar as formas dos modos de vibrações e observar a beleza e a</p><p>complexidade das formas modais de placas vibrantes.</p><p>1816 Sophie Germain</p><p>� Foi premiado com 3000 francos por uma academia francesa pela</p><p>derivação da equação diferencial do movimento para as placas vibrantes</p><p>estudadas por Chladni, concorrendo sozinho, após ter sido desclassificado</p><p>por Lagrange (jurado) em 1811 devido a erro na derivação da equação e</p><p>em 1813 por falta de justificativa física para as suposições admitidas no</p><p>seu modelo. Premio concedido por Napolean Bonaparte, que estava</p><p>presente a um dos encontros onde Chladni apresentou o seu</p><p>experimento, para premiar a primeira pessoa que desse um tratamento</p><p>matemático satisfatório para a teoria de vibrações em placas.</p><p>7</p><p>� O fato é que mais tarde se descobriu que sua equação diferencial estava</p><p>correta, mas as condições de contornos estavam erradas.</p><p>1850 Kirchhoff</p><p>� Determinou as corretas condições de Contorno para placas vibrantes.</p><p>1877 Lord Rayleigh</p><p>� Publicou seu livro sobra a teoria do som considerado até hoje um clássico</p><p>no assunto de vibrações.</p><p>� Uma das mais notáveis contribuições de Rayleigh é o método para</p><p>encontrar a frequência fundamental de vibrações de sistemas</p><p>conservativos usando o principio de conservação de energia, conhecido</p><p>como Método de Rayleigh.</p><p>1902 Frahm</p><p>� Investigou a importância do estudo de vibração torcional no projeto de</p><p>eixos de hélices de navios.</p><p>1909 Frahm</p><p>� Propôs o absorvedor dinâmico de vibração, composto da adição de um</p><p>segundo sistema massa-mola para eliminar a vibração do sistema</p><p>principal.</p><p>Após 1909:</p><p>Stodola</p><p>� Desenvolveu um método para analise de vibrações em vigas também</p><p>aplicado a pás de turbinas.</p><p>Timoshenko e Mindlin</p><p>8</p><p>� Aprimoraram importantes resultados para a teoria de vibrações de vigas</p><p>e placas.</p><p>Após 1909</p><p>� Deu-se mais atenção a sistemas não lineares. Já há algum tempo tinha-se</p><p>observado que muitos problemas básicos da mecânica, incluindo</p><p>vibrações eram não lineares e que o tratamento linear comumente</p><p>adotado na época eram completamente satisfatórios para algumas</p><p>finalidades, mas não tão adequados para todos os casos, ou seja, em</p><p>sistemas não lineares frequentemente ocorrem fenômenos que são</p><p>teoricamente impossíveis de serem tratados como sistemas lineares.</p><p>No final do último século Poincaré e Lyapunov</p><p>� Já vinha utilizando a teoria matemática de vibrações não lineares nos</p><p>seus trabalhos.</p><p>Mas só após 1920 Duffing e Van der Pol</p><p>� Apresentaram a primeira solução definitiva da teoria de vibrações não</p><p>lineares e atraíram a atenção para a sua importância na engenharia.</p><p>A partir desta época</p><p>A atenção se voltou para vibrações aleatórias. Observou-se que as</p><p>características aleatórias estavam presentes em diversos fenômenos tais</p><p>como terremotos, ciclones, transporte de mercadoria em veículos de</p><p>rodas, mísseis e ruídos de turbinas a jato, etc. Se tornou necessário</p><p>desenvolver conceitos e métodos de análise de vibrações desses efeitos</p><p>aleatórios.</p><p>Embora em meados de 1905 Einstein</p><p>Ter considerado movimento Brawniano, um particular tipo de vibração</p><p>aleatória, nenhuma aplicação foi investigada até 1930.</p><p>9</p><p>1930 Taylor</p><p>� Desenvolveu a função de correlação.</p><p>1930 Wiener and Khinchin</p><p>� Desenvolveram a densidade espectral.</p><p>1943 Lin e 1945 Rice</p><p>� Publicaram artigos mostrando uma maneira para aplicações de vibrações</p><p>aleatórias em problemas práticos de engenharia.</p><p>Nesta época, contando com os avanços significativos da ciência, os estudos</p><p>de vibrações mesmo que relacionados com complexos sistemas de engenharia</p><p>eram feitos usando modelos grosseiros com poucos graus de liberdade.</p><p>1950 O advento de computadores digitais de alta velocidade</p><p>� Se tornou possível o tratamento de sistemas complexos e a geração de</p><p>soluções de forma semi-fechadas contando com métodos clássicos de</p><p>soluções usando avaliação numérica de certos termos que não podem ser</p><p>expresso de forma fechada.</p><p>Hoje em dia os desenvolvimentos de simulação pelo método de elementos</p><p>finitos habilitam engenheiros a usarem computadores digitais para detalhar</p><p>numericamente o comportamento da análise de vibrações de sistemas</p><p>mecânicos complexos, tais como veículos e estruturas com a exibição de</p><p>milhares de graus de liberdade.</p><p>1.3 Importância do Estudo das Vibrações</p><p>A vibração está tão intimamente ligada a nós que raramente paramos</p><p>para analisar suas características. Muitas das atividades humanas envolvem de</p><p>uma ou outra forma movimentos vibratórios. Exemplos:</p><p>� Nós ouvimos porque nossos tímpanos vibram.</p><p>� Nós vemos porque as ondas luminosas passam vibrando.</p><p>10</p><p>� A nossa respiração está associada com a vibração dos pulmões.</p><p>� Nossa caminhada envolve movimentos oscilatórios periódicos das pernas</p><p>e das mãos.</p><p>� Nós falamos devido o movimento oscilatório da laringe (língua).</p><p>Muitas instituições de ensino concentram seus esforços no conhecimento</p><p>de fenômenos naturais e desenvolvimento de teorias matemáticas para</p><p>descrever as vibrações de sistemas físicos.</p><p>Muitas investigações têm sido motivadas em engenharia por aplicações</p><p>de vibrações em projeto de máquinas, fundações, estruturas, turbinas, sistemas</p><p>de controle, etc.</p><p>Alguns problemas de vibrações</p><p>� Muitos sistemas mecânicos têm problemas vibracionais devidos o</p><p>desbalanceamento inerente das partes rotativas. O desbalanceamento</p><p>pode ser devido às falhas de projeto ou defeitos de fabricação.</p><p>� O desbalanceamento em motores diesel, por exemplo, pode causar ondas</p><p>terrestres suficientemente poderosas para criar perturbações em áreas</p><p>urbanas.</p><p>� As rodas de algumas locomotivas podem elevar mais que um centímetro</p><p>dos trilhos em altas velocidades devido o desbalanceamento.</p><p>� Em turbinas, as vibrações causam enormes falhas mecânicas. Muitas</p><p>vezes os engenheiros não são capazes de prever as falhas que resultam</p><p>da vibração de pás e discos em turbinas.</p><p>� Naturalmente as estruturas projetadas para suportarem pesadas</p><p>máquinas rotativas, tais como motores e turbinas ou maquinas</p><p>alternativas tais como motores a vapor e a gás e bombas alternativas</p><p>estão também sujeitos as vibrações. Em todas essas situações a estrutura</p><p>ou componentes das máquinas sujeitos as vibrações podem falhar por</p><p>causa da fadiga do material resultando de numa variação cíclica de</p><p>tensões induzidas. Além disso, as vibrações causam mais rapidamente</p><p>11</p><p>desgaste em partes de máquinas tais como mancais e engrenagens e</p><p>também causam excessivos níveis de ruído.</p><p>� Em máquinas, as vibrações causam afrouxamento dos parafusos de</p><p>fixação deixando as máquinas soltas.</p><p>� Em processo de usinagem de metais a vibração pode causar trepidações</p><p>que levam a um péssimo acabamento da superfície usinada.</p><p>� Sempre que a frequência natural de vibração de uma máquina ou</p><p>estrutura conhecide com a frequência de excitação ocorre um fenômeno</p><p>conhecido como ressonância</p><p>o qual leva a excessiva deflexão e falha.</p><p>� A literatura está repleta de casos de falhas em sistemas devido à</p><p>ressonância e excessos de vibrações em componentes e sistemas.</p><p>� Por causa do poder de destruição da vibração em máquinas e estruturas,</p><p>teste de vibrações tem se tornado procedimentos padrão nos projeto e</p><p>desenvolvimento de muitos sistemas de engenharia.</p><p>� Em muitos sistemas de engenharia, o homem atua com parte integral do</p><p>sistema. A transmissão da vibração para o homem resulta em desconforto</p><p>e perda de eficiência do trabalho. As vibrações em painéis de</p><p>instrumentos podem causar mal funcionamento ou dificuldades em</p><p>leitura dos medidores. Assim uma das mais importantes propostas de</p><p>estudos em vibrações e reduzir a vibração na fase de desenvolvimento do</p><p>próprio projeto da máquina e em seguida em suas instalações. Neste</p><p>sentido o engenheiro mecânico tenta projetar o motor ou máquina de</p><p>modo a minimizar o desbalanceamento enquanto o engenheiro de</p><p>estruturas tenta projetar a estrutura de suporte de modo a assegurar que</p><p>o efeito do desbalanceamento não causara danos.</p><p>1.4 Estudos das Vibrações</p><p>No mundo tecnológico atual o homem está sujeito a efeitos dinâmicos</p><p>não naturais, com grande frequência. Isto pode ser verificado em elevadores,</p><p>automóveis e, mais recentemente em veículos aeroespaciais, para citar alguns</p><p>exemplos práticos, onde o homem está sujeito a excessivas acelerações. Caso</p><p>12</p><p>de excessos de vibrações também é muito frequente, por exemplo, em</p><p>maquinas ferramentas e perfuradoras pneumáticas.</p><p>Na maioria dos casos a vibração é um subproduto indesejável de sistemas</p><p>mecânicos. É claro, que se a vibração ou seu efeito, a aceleração, não pode ser</p><p>eliminada pela adoção de um diferente principio de trabalho, precisam ser</p><p>adotadas medidas de contra atuação ou então é preciso introduzir nos projetos</p><p>arranjos dinâmicos para controlar ou isolar o efeito dentro de limites aceitáveis.</p><p>As vibrações de Sistemas Mecânicos podem ser analisadas sob dois</p><p>pontos de vistas:</p><p>� Do ponto de vistas de Engenharia Mecânica, movimento de máquinas, ela</p><p>provoca fadiga dos órgãos mecânicos (elementos de máquinas) levando-</p><p>os a ruptura do material. Neste caso é fundamental a seguinte pergunta:</p><p>Qual é o objetivo da análise? Em geral a análise recai sobre três</p><p>categorias</p><p>� Pesquisa e Desenvolvimento de Produtos/Máquinas</p><p>� Produção e Controle de Qualidade</p><p>Severidade</p><p>� Manutenção e Monitoramento em Operação</p><p>Diagnóstico</p><p>� Do ponto de vistas de Engenharia de Segurança ela provoca desconforto</p><p>humano ou dor como também pode aparecer na forma de ruído. Este</p><p>último pode levar o ser humano à morte.</p><p>� Quando um ser humano é exposto a um campo excessivamente</p><p>ruidoso, o seu organismo pode apresentar diversos distúrbios,</p><p>como mostra a Figura 1.</p><p>13</p><p>Figura 1 – Efeitos do Ruído no Homem</p><p>Além disso, pode ocorrer:</p><p>� Perda parcial ou total da audição.</p><p>� Perda na eficiência de Trabalho.</p><p>� Risco de vida, devido a problemas envolvendo comunicação.</p><p>� Perda na capacidade concentração na operação de máquinas.</p><p>� Risco de ter um filho com mal deformações físicas (no caso</p><p>de mulheres gestantes nos três primeiros meses de</p><p>gravidez).</p><p>1.5 O Movimento Harmônico</p><p>Vibração é em casos mais simples, e na sua maior parte, o movimento</p><p>periódico de corpos que se repetem após um determinado intervalo de tempo T,</p><p>chamado período, como mostra a Figura 2.</p><p>14</p><p>Figura 2 – Movimento Vibratório</p><p>Matematicamente, podemos escrever:</p><p>( ) ( )X t = X t T+ (1.1)</p><p>O Movimento Harmônico é o tipo mais simples de movimento periódico,</p><p>Figura 3, onde a relação deslocamento e tempo pode ser representada por:</p><p>Figura 3 – Movimento Harmônico Simples</p><p>Considera um sistema harmônico representado pela equação (1.2) e</p><p>Figura 4</p><p>( ) ( ) ( )X t = A sen = A sen t⋅ θ ⋅ ω (1.2)</p><p>onde:</p><p>ω é a frequência angular em rad/s  </p><p>A é a amplitude do movimento em mµ  </p><p>15</p><p>T</p><p>A</p><p>Figura 4 – Movimento Harmônico Simples Deslocamento em µM</p><p>A Frequência Natural de Vibração é o Número de Oscilações por unidade</p><p>de Tempo, ou seja:</p><p>1</p><p>f = Hz</p><p>T</p><p>   (1.3)</p><p>No caso do movimento harmônico tem-se:</p><p>Amplitude do Movimento - A mµ  </p><p>Frequência Angular - rad/sω   </p><p>Frequência Natural - f Hz  </p><p>Tempo - T s  </p><p>Substituindo a equação (1.2) na equação (1.1) tem-se:</p><p>( ) ( )( )A sen t = A sen t + T⋅ ω ⋅ ω (1.4)</p><p>Resolvendo a equação (1.4) chega-se a:</p><p>( ) t + T = t + 2 n ω ω π (1.5)</p><p>16</p><p>onde n é o número de ciclos.</p><p>Para um ciclo, n 1= , tem-se:</p><p>T = 2 ω π ⇒</p><p>2</p><p>T =</p><p>π</p><p>ω</p><p>(1.6)</p><p>Substituindo a equação (1.6) na equação (1.3) tem-se:</p><p>f =</p><p>2</p><p>ω</p><p>π</p><p>(1.7)</p><p>ou</p><p>= 2 fω π (1.8)</p><p>1.6 Classificação dos Movimentos Vibratórios</p><p>Um sistema vibratório para ser bem definido, é necessário que se</p><p>classifique pelas condições a seguir.</p><p>1. Sistema Linear ou Não Linear</p><p>No sistema linear a relação causa/efeito pode ser analisada pela teoria de</p><p>sistemas lineares, ou seja: Causa/Efeito = constante.</p><p>2. Número de Graus de Liberdade - GL</p><p>Número mínimo de coordenadas independentes necessário para se</p><p>estudar o comportamento do sistema.</p><p>Exemplo: Uma partícula no espaço: 3 GL</p><p>Um corpo rígido no espaço: 6 GL</p><p>Um corpo elástico no espaço: ∞ GL</p><p>3. Coeficientes da Equação Diferencial do Movimento</p><p>Paramétrica: Parâmetros do sistema dinâmico variando com o tempo.</p><p>Não Paramétrica: Parâmetros do sistema dinâmico não variando com o</p><p>tempo.</p><p>17</p><p>4. Classe da Vibração (Mecanismo de Surgimento)</p><p>Livre: O sistema oscila sob a ação de forças que lhe são inerentes e na</p><p>ausência da ação de qualquer força externa.</p><p>No caso de vibração livre o sistema poderá vibrar com uma ou mais de</p><p>suas frequências naturais, que são peculiares ao sistema dinâmico estabelecido</p><p>pela distribuição de suas massas e rigidez.</p><p>Forçada: O sistema oscila sob a ação de forças externa.</p><p>Quando a excitação é harmônica o sistema é obrigado a vibrar na</p><p>frequência de excitação. Se a frequência de excitação coincidir com uma das</p><p>frequências naturais do sistema, forma-se um estado de ressonância, dai</p><p>podendo resultar em amplas e perigosas oscilações.</p><p>Auto-excitada: Vibrações sem amortecimento sustentada por forças</p><p>externas, cujo caráter de influência determina-se pelo próprio processo</p><p>vibratório.</p><p>Exemplo: Motor a vapor alternativo ordinário de um cilindro, cujo pistão,</p><p>obviamente executa um movimento alternado.</p><p>5. Cinemática das Vibrações</p><p>Periódica: ( ) ( )X t X t T= +</p><p>Não Periódica: ( ) ( )X t X t T≠ +</p><p>Quase Periódica: ( ) ( )X t T X t+ − ≤ ξ onde 1ξ</p><p>Obrigatório: Massa ou Inércia ( M ) ou ( I )</p><p>Mola (Elasticidade) ( K )</p><p>Não Obrigatório: Amortecedor: ( C )</p><p>Força de Excitação: ( F )</p><p>Procedimento de uma análise dinâmica:</p><p>1. Escolher um modelo físico que seja representativo para o tipo de</p><p>análise desejada. Este modelo deve ser formado por uma associação dos</p><p>quatros parâmetros acima, levando-se em consideração o número de graus de</p><p>liberdade do sistema.</p><p>2. Montar um modelo matemático para o sistema físico.</p><p>A descrição matemática (modelo) de um sistema mecânico é feita através</p><p>de um modelo idealizado, associado ao sistema real por qualquer dos métodos a</p><p>seguir:</p><p>- Sistemas Discretos de Vários Corpos</p><p>- Elementos Finitos</p><p>- Sistemas Contínuos</p><p>- Sistemas Híbridos</p><p>3. Resolver o modelo matemático (Equação diferencial do Movimento -</p><p>EDM)</p><p>De posse da solução do modelo matemático observa-se a influência dos</p><p>parâmetros do sistema. A resposta é função do tipo de excitação e do</p><p>amortecimento presente. Pode-se a partir desta etapa alterar alguns</p><p>parâmetros (os mais convenientes) de modo a obter-se a solução otimizada, ou</p><p>seja, sem comprometer o projeto da máquina (Resistência dos Materiais) e a</p><p>segurança e conforto do homem.</p><p>19</p><p>Exemplos de alguns modelos físicos:</p><p>Figura 5 - Modelo de uma Máquina Desbalanceada de 1GL</p><p>Figura 6 - Modelo de um Veículo com 1GL</p><p>Figura 7 - Modelo de um veículo com 5 GL</p><p>20</p><p>Figura 8 - Modelo de uma Turbina Kaplan</p><p>Figura 9 - Modelo de um Veículo Espacial por Elementos Finitos</p><p>Figura 10 - Modelo de uma Motocicleta de 2 1GL</p><p>21</p><p>Figura 11 - Modelo Mecânico do Corpo Humano</p><p>1.8 Tópicos Essenciais ao Estudo das Vibrações de Sistemas Mecânicos</p><p>Antes de iniciamos com os estudos de vibrações apresentamos</p><p>preliminares sobre alguns tópicos essenciais à modelagem matemática de</p><p>sistemas mecânicos, que incluem:</p><p>A equação de Lagrange de segunda espécie para vibrações de</p><p>sistemas e as vantagens de seu uso em sistemas com um grau de</p><p>Liberdade com ou sem amortecimento;</p><p>O cálculo das formas exatas e aproximadas de energia cinética em</p><p>sistemas mecânicos oscilatórios;</p><p>A linearização de sistemas com uma e várias variaveis;</p><p>O cálculo das formas exatas e aproximadas de energia potencial em</p><p>sistemas mecânicos oscilatórios;</p><p>O cálcular a energia potencial gravitacional;</p><p>22</p><p>A influência da pré-carga de uma mola no cálculo de sua</p><p>energia potencial, ou seja, no cálculo da energia potencial de uma</p><p>mola com deformação estática;</p><p>Os detalhes no cálculo da energia potencial de uma mola</p><p>considerando suas deformações em duas direções ortogonais;</p><p>1.8.1 A Equação de Lagrange para Sistemas Mecânicos Oscilatórios</p><p>Existem várias maneiras que se pode usar para determinar as equações</p><p>diferenciais de movimento de sistemas mecânicos. Por exemplo, na mecânica</p><p>newtoniana, os principais papéis são desempenhados pelas quantidades</p><p>vetoriais: forças e acelerações expressas em termos de certas coordenadas.</p><p>Assim, os diagramas de corpo livres precisam ser formados, e aparecem forças</p><p>de restrição e reação. Essas forças são a princípio desconhecidas e algumas</p><p>equações adicionais são muitas vezes necessárias para tornar o número de</p><p>desconhecidos e de equações disponíveis iguais. Consequentemente, em alguns</p><p>casos, este procedimento pode ser complicado ou menos atraente.</p><p>Por outro lado, na base de mecânica analítica ou lagrangiana, três</p><p>quantidades escalares têm específicas importâncias: energia cinética, energia</p><p>potencial e trabalho virtual (ou resultante das forças generalizadas).</p><p>Independentemente do número de graus de liberdade, as equações de</p><p>movimento são derivadas dessas três quantidades. Além do mais, não há</p><p>necessidade de construir diagramas de corpo livres uma vez que o sistema é</p><p>considerado como um todo, e as restrições e reações das forças ideais não</p><p>aparecem na formulação. O número de equações de Lagrange coincide com o</p><p>número de graus de liberdade, e não são necessárias equações adicionais uma</p><p>vez que todos as quantidades precisam ser expressas em termos de</p><p>coordenadas generalizadas. O desenvolvimento para obtenção da equação de</p><p>Lagrange é omitido aqui neste capitulo. O foco está em seu uso para obter as</p><p>equações de movimento de certos sistemas mecânicos. Assim, apenas os</p><p>conceitos básicos necessários para este propósito são apresentados. Sua</p><p>derivação pode ser obtida a partir de princípios de trabalho virtual e princípios</p><p>integrais, como detalhado e apresentada no Capitulo V. Observe também que o</p><p>termo Equação de Lagrange refere-se apenas à equação de Lagrange de</p><p>segunda espécie. A Equação de Lagrange foi desenvolvida e apresentada pelo</p><p>matemático italiano Joseph Louis Lagrange (1736–1813) na sua obra-prima</p><p>23</p><p>Mechanique. A Equação de Lagrange é muito utilizada nos estudos de vibrações</p><p>de sistemas mecânicos com múltiplos graus de liberdade.</p><p>Comecemos por um sistema que tenha N graus de liberdade. Então, é</p><p>descrito por N coordenadas generalizadas qk (k = 1, ... , N). Essas coordenadas</p><p>generalizadas são mutuamente independentes e sem restrições, e definem de</p><p>forma exclusiva a configuração do sistema. Assim, para este sistema existem N</p><p>associadas equações de Lagrange, que têm a seguinte forma:</p><p>k</p><p>k k k k</p><p>d T T D U</p><p>- + + = Q</p><p>d t q q q qɺ ɺ</p><p>∂ ∂ ∂ ∂</p><p>∂ ∂ ∂ ∂</p><p>(1.9)</p><p>onde:</p><p>. o ponto aqui representa a derivada em relação ao tempo t;</p><p>d()/dt denota derivada no tempo total;</p><p>k()/ q∂ ∂ denota derivada parcial com relação a coordenada generalizada</p><p>kq ;</p><p>k()/ q∂ ∂ ɺ denota derivada parcial com relação a velocidade da coordenada</p><p>generalizada;</p><p>T é a energia cinética do sistema;</p><p>U é a energia potencial do sistema;</p><p>D é a energia dissipada do sistema;</p><p>kQ é a k-éssima força externa não conservativa generalizada aplicada ao</p><p>sistema, que é obtida das considerações de trabalho virtual;</p><p>kq é a k-éssima coordenada generalizada do sistema</p><p>Se o sistema executa pequenas oscilações em torno da posição de</p><p>equilíbrio estável, Kq 0= , estas equações de Lagrange podem ser simplificadas</p><p>para:</p><p>k</p><p>k k k</p><p>d T D U</p><p>+ + = Q</p><p>d t q q qɺ ɺ</p><p>∂ ∂ ∂</p><p>∂ ∂ ∂</p><p>(1.10)</p><p>enquanto as formas de energia cinética, função de dissipação, energia potencial</p><p>e as forças generalizadas serão discutidas a seguir.</p><p>24</p><p>Se um sistema possui um grau de liberdade ele é descrito apenas pela</p><p>coordenada generalizada q X= . Neste caso, há apenas uma equação de</p><p>Lagrange:</p><p>d T T D U</p><p>- + + = Q</p><p>d t X X X Xɺ ɺ</p><p>∂ ∂ ∂ ∂</p><p>∂ ∂ ∂ ∂</p><p>(1.11)</p><p>A sua simplificação também acompanha para o caso quando o sistema</p><p>executa pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio estável, q 0= .</p><p>A equação de Lagrange agora se torna:</p><p>d T D U</p><p>+ + = Q</p><p>d t X X Xɺ ɺ</p><p>∂ ∂ ∂</p><p>∂ ∂ ∂</p><p>(1.12)</p><p>enquanto a energia cinética, a função de dissipação, a energia potencial e</p><p>as forças generalizadas também podem ser obtidas de forma simplificada e</p><p>aproximada com respeito às suas formas exatas existentes nas Equações (1.9)</p><p>e (1.11). Nas seções a seguir apresentamos princípios básicos teóricos para</p><p>essas simplificações, onde observa-se que o termo "pequenas oscilações"</p><p>assume que apenas existem termos lineares na equação de movimento</p><p>representada pelas Equações (1.10) e (1.12).</p><p>1.8.2 A Energia Cinética em Sistemas Mecânicos Oscilatórios</p><p>A energia cinética dos sistemas mecânicos, em geral, depende do tempo,</p><p>das coordenadas generalizadas e suas velocidades,</p><p>( )K KT = T t, q , qɺ</p><p>(1.13)</p><p>e em caso de restrições escleronomicas (que não dependem exclusivamento do</p><p>tempo) podem ser representadas pela seguinte forma quadrática</p><p>25</p><p>n n</p><p>ij i j</p><p>i 1 j 1</p><p>1</p><p>T = T qq</p><p>2 = =</p><p>∑∑ ɶ ɺ ɺ (1.14)</p><p>onde os chamados coeficientes inerciais ijTɶ dependem das coordenadas</p><p>generalizado, isto é, ij ij i jT = T (q ,q )ɶ ɶ .</p><p>Sem perda de generalidade, esta forma e suas transformações adicionais</p><p>serão mostrado nos sistemas com dois graus de liberdade (n = 2, e coordenadas</p><p>generalizadas q1 e q2). Neste caso, a energia cinética Equação (1.14) é agora</p><p>dada por:</p><p>( )2 2</p><p>11 1 12 1 2 22 2</p><p>1</p><p>T = T q + 2T q q + T q</p><p>2</p><p>ɶ ɶ ɶɺ ɺ ɺ ɺ (1.15)</p><p>De particular interesse aqui é mostrar como essa formuláção muda se o</p><p>sistema realiza pequenas oscilações sobre a posição de equilíbrio estável q1=0 e</p><p>q2=0. Para esse fim, os coeficientes inerciais podem ser desenvolvidos em série</p><p>como:</p><p>ij ij</p><p>ij i j ij 1 2</p><p>1 2(0,0) (0,0)</p><p>T T</p><p>T (q ,q ) = T (0,0) + q + q +</p><p>q q</p><p>   ∂ ∂</p><p>   </p><p>   ∂ ∂   </p><p>ɶ ɶ</p><p>ɶ ɶ ⋯ (1.16)</p><p>Dado o requisito de que apenas os termos lineares aparecem nas</p><p>equações do movimento, deve-se realmente simplificar esta expressão apenas</p><p>para o primeiro termo:</p><p>ij 1 2 ijT (q ,q ) T (0,0)≈ɶ ɶ (1.17)</p><p>o que nos leva a uma conclusão muito importante quanto ao modo como a</p><p>energia cinética pode ser calculada em um sistema que realiza pequenas</p><p>oscilações sobre uma posição de equilíbrio estável: não há necessidade de</p><p>considerá-lo em uma posição arbitrária, mas apenas na posição quando o</p><p>26</p><p>sistema passa pela posição de equilíbrio ou é presumido que está passando por</p><p>esta posição.</p><p>Se o sistema tiver apenas um grau de liberdade, a análise análoga é</p><p>válida. Partindo da seguinte forma de energia cinética:</p><p>2</p><p>ij ij</p><p>1</p><p>T (q,q) = T q</p><p>2</p><p>ɶɺ ɺ (1.18)</p><p>pode-se desenvolver o coeficiente inercial na série e truncar a primeiro termo</p><p>apenas:</p><p>T(q) T(0) = constante≈ɶ ɶ (1.19)</p><p>levando a</p><p>21</p><p>T = T(0)q</p><p>2</p><p>ɶ ɺ (1.20)</p><p>que corresponde ao caso quando o sistema passa pelo posição de equilíbrio, de</p><p>modo que a coordenada generalizada seja igual a zero e a velocidade</p><p>generalizada é diferente de zero. A forma dada pela Equação (1.20) é a razão</p><p>pela qual o termo T / q∂ ∂ não aparece na Equação (1.12).</p><p>É interessante notar que a Equação (1.20) corresponde completamente à</p><p>energia cinética de um bloco de massa m deslizando ao longo de uma superfície,</p><p>como mostra a Figura 12 a seguir.</p><p>21</p><p>T = mx</p><p>2</p><p>ɺ (1.21)</p><p>Figura 12 – Sistema Massa-Mola com 1 GL e Movimento na Horizontal</p><p>onde a coordenada generalizada é escolhida para ser a coordenada X.</p><p>27</p><p>Lembre que xɺ é a magnitude da velocidade na direção do movimento x. Se</p><p>representarmos a velocidade por v = x i</p><p>��</p><p>ɺ , onde i</p><p>�</p><p>representa um vetor unitário</p><p>na direção do movimento x, a energia cinetica será:</p><p>21 1</p><p>T = mv v = mx</p><p>2 2</p><p>� �</p><p>ɺi (1.22)</p><p>Onde v v</p><p>� �</p><p>i é o produto escalar, também conhecido como produto interno, da</p><p>velocidade.</p><p>Se por acaso o vetor velocidade for representado por v = x i + yj + zk</p><p>� � ��</p><p>ɺ ɺ ɺ</p><p>a energia cinética será:</p><p>2 2 21 1</p><p>T = mv v = m(x + y + z )</p><p>2 2</p><p>� �</p><p>ɺ ɺ ɺi (1.23)</p><p>A mesma forma pode ser reconhecida na energia cinética do pêndulo da</p><p>Figura 13 a seguir.</p><p>Figura 13 – Sistema de Um Grau de Liberdade - O Pendulo Simples</p><p>2 21</p><p>T = ml</p><p>2</p><p>ϕɺ (1.24)</p><p>onde a coordenada generalizada é escolhida para ser o ângulo φ, com</p><p>x = l sen lϕ ≈ ϕ para pequenas oscilações. Neste caso x = lϕɺ ɺ e 2 2 2x = l ϕɺ ɺ</p><p>Ambos coeficientes inerciais em (2.21) e (2.24) são obviamente constantes.</p><p>Estes dois exemplos mostrados, representam paradigmas para osciladores</p><p>harmônicos simples, e serão analisados detalhadamentes no próximo Capítulo.</p><p>Também, em ambos os casos, a forma exata da energia cinética tem a mesma</p><p>28</p><p>forma quando o sistema passa pela posição de equilíbrio, que é nem sempre é o</p><p>caso.</p><p>1.8.3 A linearização de Sistemas com Uma e Duas Variáveis</p><p>Antes de abordarmos sobre a Energia Potencial em Sistemas Mecânicos</p><p>Oscilatórios, tratamos sobre a representação de funções em séries de Uma e</p><p>Duas Variáveis. A motivação para representação de funções em séries deve-se</p><p>ao fato de que quando deparamos com alguns sistemas reais ou fenômenos</p><p>reais da natureza, e precisamos descrevê-los de formas analíticas, os mesmos</p><p>apresentam relações matemáticas muito complexas que envolvem funções</p><p>complexas cujo cálculo extrapola muitas vezes o nosso conhecimento. Diante</p><p>dessas limitações, as representações por série dessas funções podem ser</p><p>aproximadas a funções mais simples, lineares, ou mesmo quadráticas.</p><p>Começaremos com funções de uma variável e estenderemos a seguir para duas</p><p>variáveis.</p><p>Considera uma função f(x) continua diferenciavel, representada pela</p><p>série de potências a seguir:</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 n</p><p>0 1 2 3 nf x = c + c x - a + c x - a + c x - a + + c x - a + ⋯ ⋯</p><p>(1.25)</p><p>Fazendo suas derivadas, obtém-se:</p><p>( ) ( ) ( ) ( )2 n-1'</p><p>1 2 3 nf x = c + 2c x - a + 3c x - a + + nc x - a + ⋯ ⋯</p><p>( ) ( ) ( ) ( )n-2''</p><p>2 3 nf x = 2c + 6c x - a + + n n-1 c x - a + ⋯ ⋯ (1.26)</p><p>⋯</p><p>( ) ( )n</p><p>nf x = n!c + ⋯</p><p>onde ( ) ( )nf x representa a derivada enésima da função ( )f x .</p><p>Se substituímos x=a em cada uma das equações (1.25) e (1.26), obtém-</p><p>se:</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( )n' ''</p><p>0 1 2 nf a = c , f a = c , f a = 2c , , f a = n!c ⋯ ⋯ (1.27)</p><p>29</p><p>Se explicitamos os coeficientes nc das equações (1.27) e substituímos na</p><p>função f(x) representada pelo polinômio da equação (1.25), no ponto a, obtém-</p><p>se:</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>n' '' '''</p><p>2 3 nf a f a f a f a</p><p>f x = f a + x - a + x - a + x - a + + x - a +</p><p>1! 2! 3! n!</p><p>⋯ ⋯</p><p>(1.28)</p><p>ou</p><p>( )</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>n</p><p>n</p><p>n 0</p><p>f a</p><p>f x = x - a</p><p>n!</p><p>∞</p><p>=</p><p>∑ (1.29)</p><p>onde: 0! = 1 e ( ) ( )0f x = f x .</p><p>A função f(x) representada pela série de potências da Equação (1.28) ou</p><p>(1.29), é conhecido como Polinômio ou Série de Taylor.</p><p>Para o caso especial a = 0 a série de Taylor tem a forma:</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>n' '' '''</p><p>2 3 nf 0 f 0 f 0 f 0</p><p>f x = f 0 + x + x + x + + x +</p><p>1! 2! 3! n!</p><p>⋯ ⋯(1.30)</p><p>ou</p><p>( )</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>n</p><p>n</p><p>n 0</p><p>f 0</p><p>f x = x</p><p>n!</p><p>∞</p><p>=</p><p>∑ (1.31)</p><p>A função f(x) representada pela série de potências da equação (1.30) ou</p><p>(1.31), é conhecido como Polinômio ou Série de Mclaurin. A Série de Mclaurin é</p><p>utilizada para aproximações de funções de Sistemas Mecânicos com um grau de</p><p>liberdade em funções lineares ou em formas de grau superior mais simples.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Encontar a série de Mclaurin da função f(x) = f(θ) = sen(θ) e linearizar</p><p>para pequenos valores de θ.</p><p>Solução:</p><p>As derivadas da função f(θ) = sen(θ) no ponto θ = 0 são:</p><p>30</p><p>( ) ( )(0)f = senθ θ ⇒ ( ) ( )(0)f 0 = sen 0 = 0</p><p>( ) ( )'f = cosθ θ ⇒ ( ) ( )'f 0 = cos 0 = 1</p><p>( ) ( )''f = - senθ θ ⇒ ( ) ( )''f 0 = - sen 0 = - 0</p><p>( ) ( )'''f = - cosθ θ ⇒ ( ) ( )'''f 0 = - cos 0 = - 1</p><p>⋯</p><p>Substituindo os resultados das derivadas da função f(θ) = sen(θ) no ponto</p><p>θ = 0, na equação (1.30), tem-se:</p><p>( )</p><p>3</p><p>sen = 0 + - 0 - +</p><p>6</p><p>θθ θ ⋯</p><p>Considerando pequenos valores de θ, a função f(θ) = sen(θ) pode ser</p><p>aproximada (linearizada) para ( )sen θ ≈ θ .</p><p>Exemplo 2:</p><p>Encontrar a série de Mclaurin da função f(x) = f(θ) = cos(θ) e,</p><p>considerando pequenos</p><p>valores de θ, aproximar para segunda ordem.</p><p>Solução:</p><p>As derivadas da função f(θ) = cos(θ) no ponto θ = 0 são:</p><p>( ) ( )(0)f = cosθ θ ⇒ ( ) ( )(0)f 0 = cos 0 = 1</p><p>( ) ( )'f = - senθ θ ⇒ ( ) ( )'f 0 = - sen 0 = - 0</p><p>( ) ( )''f = - cosθ θ ⇒ ( ) ( )''f 0 = - cos 0 = - 1</p><p>( ) ( )'''f = senθ θ ⇒ ( ) ( )'''f 0 = sen 0 = 0</p><p>⋯</p><p>Substituindo os resultados das derivadas da função f(θ) = cos(θ) no ponto</p><p>θ = 0, na equação (1.30), tem-se:</p><p>( )</p><p>2</p><p>cos = 1 - 0 - + 0 +</p><p>2</p><p>θθ ⋯</p><p>31</p><p>Considerando pequenos valores de θ, a função f(θ) = cos(θ) pode ser</p><p>aproximada para forma quadrática ( )</p><p>2</p><p>cos 1 -</p><p>2</p><p>θθ ≈ .</p><p>Quando abordamos o polinômio de Taylor para uma variável os</p><p>representamos por</p><p>( ) ( )n</p><p>n</p><p>n 0</p><p>f x = c x - a</p><p>∞</p><p>=</p><p>∑ (1.32)</p><p>e desenvolvemos até chegarmos na equação (1.30) ou (1.31).</p><p>Fica induzido, portanto, que para duas variáveis a séria de Taylor passa a</p><p>ser:</p><p>( ) ( ) ( )n? n?</p><p>n</p><p>n 0</p><p>f x, y = c x - a y - b</p><p>∞</p><p>=</p><p>∑ (1.33)</p><p>Por limitações de tempo, não iremos desenvolver a formulação</p><p>matemática do Polinômio de Taylor para função de duas variáveis, mas</p><p>apresentamos a sua formatação a seguir:</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>0 0 0 0 0 0 0 0</p><p>2 2 2</p><p>2 2</p><p>0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2</p><p>nn</p><p>n - j j</p><p>0 0 0 0n - j j</p><p>j - 0</p><p>f f</p><p>f x, y = f x , y + x , y x - x + x , y y - y</p><p>x y</p><p>1 f f f</p><p>+ x , y x - x + 2 x , y x - x y - y + x , y y - y</p><p>2! x yx y</p><p>n1 f</p><p>+ + x , y x - x y - y</p><p>n! x yj</p><p>∂ ∂</p><p>∂ ∂</p><p> ∂ ∂ ∂</p><p> ∂ ∂∂ ∂ </p><p>  ∂</p><p>  ∂ ∂ </p><p>∑⋯</p><p>(1.34)</p><p>Assim, para funções de duas variáveis a Série de Taylor será:</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>nn</p><p>n - j j</p><p>0 0 0 0n - j j</p><p>n = 0 j - 0</p><p>n1 f</p><p>f x, y = x , y x - x y - y</p><p>n! x yj</p><p>∞   ∂</p><p>  ∂ ∂ </p><p>∑ ∑ (1.35)</p><p>Fazendo o ponto ( ) ( )0 0x , y = 0, 0 chegaremos a Série de Mclaurin</p><p>32</p><p>para funções de duas variáveis, ou seja</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>nn</p><p>n - j j</p><p>n - j j</p><p>n = 0 j - 0</p><p>n1 f</p><p>f x, y = 0, 0 x y</p><p>n! x yj</p><p>∞   ∂</p><p>  ∂ ∂ </p><p>∑ ∑ (1.36)</p><p>1.8.4 A Energia Potencial em Sistemas Mecânicos Oscilatórios</p><p>A energia potencial dos sistemas mecânicos, em geral, depende do tempo</p><p>e das coordenadas generalizadas,</p><p>( )KU = U t, q (1.37)</p><p>e em caso de restrições escleronomicas podem ser representadas no seguinte</p><p>forma quadrática</p><p>n n</p><p>ij i j</p><p>i 1 j 1</p><p>1</p><p>U = U qq</p><p>2 = =</p><p>∑∑ ɶ (1.38)</p><p>onde ijUɶ representa os chamados coeficientes elásticos (rigidez equivalente).</p><p>Como no caso da energia cinética, a consideração da energia potencial</p><p>dos sistemas escleronomicos e suas aproximações para pequenas oscilações em</p><p>torno da posição de equilíbrio estável será relacionada à sua forma</p><p>correspondente a sistemas com dois graus de liberdade</p><p>i jU= U(q ,q ) . Agora, ele</p><p>pode ser desenvolvido em série da seguinte forma:</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>1 2 1 2</p><p>1 2</p><p>2 2 2</p><p>2 2</p><p>1 1 2 22 2</p><p>1 21 2</p><p>U U</p><p>U q , q = U 0, 0 + 0, 0 q + 0, 0 q</p><p>q q</p><p>1 U U U</p><p>+ 0, 0 q + 2 0, 0 q q + 0, 0 q +</p><p>2! q qq q</p><p>∂ ∂</p><p>∂ ∂</p><p> ∂ ∂ ∂</p><p> ∂ ∂∂ ∂ </p><p>⋯</p><p>(1.39)</p><p>Observe que a série está truncada apenas nos termos quadráticos, pois</p><p>isso resultará na existência de termos lineares nas equações de movimento.</p><p>33</p><p>É sempre possível calibrar a energia potencial para que seja igual a zero</p><p>na posição de equilíbrio. Mesmo que isso não tenha sido feito, o termo U(0, 0)</p><p>fica constante e será perdido durante o processo de formação das equações do</p><p>movimento, uma vez que será diferenciado. Além disso, o sistema oscilará em</p><p>torno da posição de equilíbrio, que corresponde ao mínimo de energia potencial,</p><p>isto é:</p><p>( )</p><p>1</p><p>U</p><p>0, 0 = 0</p><p>q</p><p>∂</p><p>∂</p><p>e ( )</p><p>2</p><p>U</p><p>0, 0 = 0</p><p>q</p><p>∂</p><p>∂</p><p>(1.40)</p><p>Assim, a energia potencial (1.39) tem a forma:</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>2 2 2</p><p>2 2</p><p>1 2 1 1 2 22 2</p><p>1 21 2</p><p>1 U U U</p><p>U q , q 0, 0 q + 2 0, 0 q q + 0, 0 q</p><p>2! q qq q</p><p> ∂ ∂ ∂</p><p>≈  ∂ ∂∂ ∂ </p><p>(1.41)</p><p>ou, pode ser expresso como</p><p>( ) ( )2 2</p><p>1 2 11 1 12 1 2 22 2</p><p>1</p><p>U q , q U q + 2 U q q + U q</p><p>2!</p><p>≈ ɶ ɶ ɶ (1.42)</p><p>Para sistemas com um grau de liberdade, a forma (1.42) torna-se:</p><p>( ) 21</p><p>U q Uq</p><p>2</p><p>≈ ɶ (1.43)</p><p>onde Uɶ é uma constante.</p><p>1.8.4.1 Energia Potencial Gravitacional</p><p>A energia potencial gravitacional Ug é a energia que um objeto maciço</p><p>possui por sua posição em um campo gravitacional. O uso mais comum de</p><p>energia potencial gravitacional é para objetos próximos da superfície do terra,</p><p>onde a aceleração gravitacional g pode ser assumida como constante.</p><p>Existem várias maneiras pelas quais ela pode ser obtida, mas é sempre</p><p>proporcional ao peso mg. O primeiro método é apresentado na Figura 14 (a),</p><p>quando depende da coordenada z em um sistema de coordenadas fixo:</p><p>34</p><p>g cU mgz= (1.44)</p><p>Figura 14 – Formas de Energia Potencial Gravitacional</p><p>Se o eixo tiver a direção oposta, Figura 14 (b), a energia potencial será:</p><p>g cU - mgy= (1.45)</p><p>Além disso, é possível defini-lo em relação ao zero de energia potencial</p><p>gravitacional, gU 0≡ , que pode ser escolhida como uma horizontal através de</p><p>qualquer ponto fixo (como a escolha do zero de um sistema de coordenadas).</p><p>Dois destes são mostrados na Figura 14 (c). Neste caso, a energia potencial</p><p>depende da distância vertical em relação a cada uma destas linhas zero:</p><p>g 1U + mgh= (1.46)</p><p>ou</p><p>g 2U - mgh= (1.47)</p><p>O sinal de mais é usado quando o centro de gravidade está acima do zero</p><p>de energia potencial gravitacional e o sinal de menos quando está abaixo desse</p><p>nível. Na formulação Lagrangeana, a altura/distância vertical do zero da</p><p>energia potencial gravitacional é a função de coordenadas generalizadas</p><p>ih h(q )= .</p><p>Para as considerações em sistemas que realizam pequenas oscilaçõe em</p><p>torno de uma posição de equilíbrio, isso deve ser desenvolvido em uma série</p><p>35</p><p>truncada aos termos quadráticos de coordenadas generalizadas, como veremos</p><p>mais adiante.</p><p>1.8.4.2 Energia Potencial de uma Mola (Energia Potencial Elástica)</p><p>Uma mola é um componente elástico fundamental encontrado em muitas</p><p>sistemas. Uma mola também é usada como modelo físico para representar</p><p>certas propriedades de materiais elásticos. Suas características básicas são a</p><p>rigidez, constante elástica da mola – K, e a deflexão total ∆l. Eles são de</p><p>particular importância uma vez que definem a força de restauração</p><p>correspondente F e a energia potencial U.</p><p>Para molas lineares, elas são respectivamente dadas por:</p><p>TF K l= ∆ (1.48)</p><p>( )2</p><p>T</p><p>1</p><p>U K l</p><p>2</p><p>= ∆ (1.49)</p><p>A deflexão total, ver Figura 15 a seguir, é dada por:</p><p>T 0l = l - l∆ (1.50)</p><p>onde l é o comprimento da mola em uma posição arbitrária e l0 é o comprimento</p><p>da mola não deformada.</p><p>Figura 15 – Sistema Massa Mola com Deformação Colinear com a Direção da Mola</p><p>36</p><p>Esta deflexão também pode ser expressa como a soma da deflexão</p><p>estática da mola stl∆ e a deflexão medida a partir da posição de equilíbrio</p><p>estático X, isto é,</p><p>T stl = l + X∆ ∆ (1.51)</p><p>Como pode ser visto na Figura 15 a deflexão adicional X é a diferença</p><p>entre o comprimento da mola l e o comprimento da mola na posição de</p><p>equilíbrio estática lst</p><p>stX = l - l (1.52)</p><p>Deve-se enfatizar que o procedimento para a obtenção da deflexão da</p><p>mola usando as equations (1.50) ou (1.51)</p><p>é fácil e direto para mola que se</p><p>deforma axialmente, isto é, colinearmente com sua direção na posição de</p><p>equilíbrio estático, independente da mesma está na posição vertical ou</p><p>horizontal. No entanto, em muitos sistemas reais, este não é o caso, pois as</p><p>molas exibem deformações no plano. Então, a deflexão da mola leva à</p><p>consideração de não linearidade geométrica. Neste caso, a expressão</p><p>correspondente pode ter uma formulação inadequada para exibições na forma</p><p>análitica, o que nós leva a fazer um desenvolvimento direto em forma de série</p><p>polinomial com relação a(s) coordenada(s) generalizada(s).</p><p>A pergunta que surge naturalmente é: Como pode-se determinar</p><p>facilmente a deflexão e a energia potencial, alternativamente, para evitar</p><p>cálculos longos relacionado à deflexão total exata e levando-se em</p><p>consideração a deflexão estática (se existir)? A seção a seguir tem como</p><p>objetivo responder esta pergunta apresentando um método original para</p><p>determinar aproximações para a deflexão de uma mola e sua energia potencial</p><p>de forma conveniente. Este método foi desenvolvido originalmente, a priori,</p><p>para molas lineares e estendido posteriormente para molas não-lineares.</p><p>1.8.4.3 Aproximação Linear para Deflexão de Molas no Plano</p><p>Considere uma mola A0B0 na posição de equilíbrio estático, conforme</p><p>mostra a Figura 16 a seguir. De acordo com a figura, o seu comprimento nesta</p><p>posição é representado por lst. Quando deformada, a mola assume a posição</p><p>A1B1=l. Para encontrar a diferença entre os comprimentos l e lst, as deformações</p><p>em duas direções características são consideradas. A primeira é a direção u, que</p><p>37</p><p>é colinear com a direção da mola na posição de equilíbrio estático. Quando a</p><p>mola é estendida, mantém-se u>0, e quando é comprimido, considera-se u</p><p>Potencial Gravitacional, dada, de acordo com a Figura 19, por:</p><p>( )o</p><p>GravitacionalU = mgacos 60 + ϕ</p><p>e a Energia Potencial da Mola devido sua deformação total, ou seja, Deformação</p><p>Estática stf mais Deformação λ devido a oscilação ϕ , dada por:</p><p>42</p><p>( )2</p><p>Mola st</p><p>1</p><p>U = k f +</p><p>2</p><p>λ</p><p>A deformação λ é a diferença entre o comprimendo da mola pós oscilação</p><p>( )λ ϕ e o comprimento da mola na posição de equilibrio estática ( )0λ , dada</p><p>por:</p><p>( ) ( ) ( ) ( )22 2 o = - 0 = a + 2a - 4a cos 60 + - a 3λ λ ϕ λ ϕ</p><p>( )o = a 5 - 4cos 60 + - a 3λ ϕ</p><p>Substituindo a expressão acima na expressão de Energia Potencial da</p><p>Mola, chaga-se a:</p><p>( ) ( )</p><p>2</p><p>o o1 mg 3</p><p>U = mgacos 60 + + k + a 5 - 4cos 60 + - a 3</p><p>2 2k</p><p> </p><p>ϕ ϕ  </p><p> </p><p>Esta é a expressão exata da Energia Potencial do Sistema Mecânico</p><p>representado pela Figura 17. Veremos mais adiante que se usarmos essa</p><p>expressão para encontramos a Equação Diferencial do Movimento do Sistema</p><p>chagaremos a um Sistema Mecânico Não Linear. Como estamos trabalhando</p><p>com Sistemas Mecânicos Lineares, teremos que linearizar a Equação Diferencial</p><p>do Movimento do Sistema, como veremos mais na frente, ou, considerando</p><p>pequenas oscilações, fazemos uma aproximação na expressão de deformação λ</p><p>para obtermos a Expressão Aproximada da Energia Potencial do Sistema</p><p>Mecânico.</p><p>Para fazermos a aproximação, considerando pequenas oscilações,</p><p>representamos a expressão de deformação λ em uma Série de Taylor de</p><p>segunda ordem e em seguida executamos um truncando até o termo de ordem</p><p>quadrática. Veremos mais adiante que essa aproximação é necessária para</p><p>transformamos o Sistema Mecânico Não Linear em um Sistema Mecânico Linear.</p><p>Para fazer essa aproximação, usaremos a equação (1.56). Precisamos</p><p>antes determinar a deformação da mola na diração colinear u, correspondente</p><p>à direção do vetor unitário 1e</p><p>�</p><p>, e na direção perpendicular v , correspondente à</p><p>43</p><p>direção do vetor unitário 2e</p><p>�</p><p>, rapresentados na Figura 19.</p><p>A deformação u pede ser calculada com:</p><p>( )o</p><p>1u = r e = 2asen 60 + - a 3ϕ</p><p>��</p><p>i</p><p>( ) ( ) ( ) ( )( )o ou = 2a sen 60 cos + cos 60 sen - a 3ϕ ϕ</p><p>2</p><p>23 1 a 3</p><p>u 2a 1 - + - a 3 = a -</p><p>2 2 2 2</p><p>  ϕ≈ ϕ ϕ ϕ     </p><p>A deformação v pede ser calculada com:</p><p>( )o</p><p>2v = r e = a - 2acos 60 + ϕ</p><p>��</p><p>i</p><p>( ) ( ) ( ) ( )( )o ov = a - 2a cos 60 cos - sen 60 senϕ ϕ</p><p>1 3</p><p>v a - 2a 1 - = a 3</p><p>2 2</p><p> </p><p>≈ ϕ ϕ  </p><p> </p><p>De acordo com a equação (1.36) temos:</p><p>( ) ( )</p><p>21</p><p>u,v u + v</p><p>2 0</p><p>λ ≈</p><p>λ</p><p>Substituindo as expressões u e v na equação acima obtemos a</p><p>expressão aproximada para λ , ou seja:</p><p>( )2</p><p>2a 3 1</p><p>a - + a 3 = a</p><p>2 2a 3</p><p>λ ≈ ϕ ϕ ϕ ϕ</p><p>Substituindo o valor de λ na expressão de Energia potencial da Mola,</p><p>obtemos:</p><p>( )2</p><p>Mola st</p><p>1</p><p>U = k f +</p><p>2</p><p>λ</p><p>44</p><p>2</p><p>Mola</p><p>1 mg 3</p><p>U k + a</p><p>2 2k</p><p> </p><p>≈ ϕ  </p><p> </p><p>Assim, a Expressão Aproximada da Energia Potencial do Sistema</p><p>Mecânico, será:</p><p>( )</p><p>2</p><p>o</p><p>Gravitacional Mola</p><p>1 mg 3</p><p>U U + U = mgacos 60 + + k + a</p><p>2 2k</p><p> </p><p>ϕ ϕ  </p><p> </p><p>≃</p><p>2</p><p>21 3 1 mg 3</p><p>U mga 1 - - + k + a</p><p>2 2 2 2 2k</p><p>    ϕ</p><p>≈ ϕ ϕ       </p><p>    </p><p>2 21 mga</p><p>U ka -</p><p>2 2</p><p> ≈ ϕ </p><p> </p>