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<p>1</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Ponte de Tacoma</p><p>Narrows durante</p><p>vibração induzida pelo</p><p>vento. A ponte foi</p><p>inaugurada em 1º de</p><p>Julho de 1940 e caiu</p><p>em 7 de Novembro de</p><p>1940.</p><p>Fonte: RAO. S. 2008, p. 6.</p><p>2</p><p>Teste de vibração do</p><p>ônibus espacial</p><p>Enterprise.</p><p>Fonte: RAO. S. 2008, p. 6.</p><p>3</p><p>▪ Qualquer movimento que se repita após um</p><p>intervalo de tempo é denominado vibração</p><p>ou oscilação.</p><p>▪ O balançar de um pêndulo e o movimento</p><p>de uma corda dedilhada são exemplos</p><p>típicos de vibração. A teoria de vibração</p><p>trata do estudo de movimentos oscilatórios</p><p>de corpos e as forças associadas a eles.</p><p>▪ A maior parte das vibrações em máquinas e</p><p>estruturas é indesejável devido ao aumento</p><p>de tensões e perdas de energia que as</p><p>acompanham, o que nos induz a pensar que</p><p>elas deveriam, e de fato devem, ser</p><p>eliminadas ou reduzidas ao máximo por</p><p>meio de projetos adequados. Entretanto, há</p><p>situações em que a vibração é desejável.</p><p>Sistema massa/mola</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. (2011)</p><p>4</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>5</p><p>1.1.1 Partes elementares de um sistema vibratório</p><p>1.1.2 Graus de liberdade</p><p>1.1.3 Sistemas contínuos ou distribuídos</p><p>1.1.4 Sistemas discretos ou de parâmetros concentrados</p><p>▪ Em geral, um sistema vibratório inclui um</p><p>meio para armazenar energia potencial</p><p>(mola ou elasticidade), um meio para</p><p>armazenar energia cinética (massa ou</p><p>inércia) e um meio de perda gradual de</p><p>energia (amortecedor).</p><p>▪ A vibração de um sistema envolve a</p><p>transferência alternada de sua energia</p><p>potencial para energia cinética e de</p><p>energia cinética para energia potencial.</p><p>▪ Se o sistema for amortecido, certa</p><p>quantidade de energia é dissipada em cada</p><p>ciclo de vibração e deve ser subsidiada por</p><p>uma fonte externa, se for preciso manter um</p><p>regime permanente de vibração.</p><p>Componentes básicos de um sistema</p><p>vibratório</p><p>6</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Sistema</p><p>vibratório</p><p>Massa</p><p>Mola</p><p>Amortecedor</p><p>▪ O número mínimo de coordenadas</p><p>independentes requeridas para determinar</p><p>completamente as posições de todas as</p><p>partes de um sistema a qualquer instante</p><p>define o grau de liberdade do sistema.</p><p>▪ Os sistemas dispostos na figura ao lado são</p><p>exemplos de sistemas com um grau de</p><p>liberdade.</p><p>▪ As coordenadas necessárias para descrever</p><p>o movimento de um sistema constituem um</p><p>conjunto de coordenadas generalizadas. As</p><p>coordenadas generalizadas normalmente</p><p>são denotadas por 𝑞1, 𝑞2… e podem</p><p>representar coordenadas cartesianas ou</p><p>não cartesianas.</p><p>Sistemas com um grau de liberdade</p><p>Fonte: RAO. S. 2008, p. 7.</p><p>7</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Exemplos de sistemas</p><p>com dois graus de</p><p>liberdade</p><p>Fonte: RAO. S. 2008, p. 8.</p><p>8</p><p>Exemplos de sistemas</p><p>com três graus de</p><p>liberdade</p><p>Fonte: RAO. S. 2008, p. 8.</p><p>9</p><p>▪ Uma grande quantidade de sistemas</p><p>práticos pode ser descrita usando um</p><p>número finito de graus de liberdade.</p><p>▪ Entretanto, alguns sistemas, em especial os</p><p>que envolvem elementos elásticos</p><p>contínuos, têm um número infinito de graus</p><p>de liberdade.</p><p>▪ Como exemplo simples considere a viga ao</p><p>lado. Visto que ela apresenta um número</p><p>infinito de coordenadas para especificar</p><p>sua configuração defletida, um número</p><p>também infinito de coordenadas define sua</p><p>curva de deflexão elástica. Assim, a viga em</p><p>balanço tem um número infinito de graus de</p><p>liberdade.</p><p>▪ Esses sistemas são denominados sistemas</p><p>contínuos ou distribuídos.</p><p>Uma viga em balanço (um sistema com</p><p>um número infinito de graus de</p><p>liberdade)</p><p>Fonte: RAO. S. 2008, p. 7.</p><p>10</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Grande parte dos sistemas estruturais e de</p><p>máquinas tem elementos deformáveis</p><p>(elásticos) e, como consequência, um</p><p>número finito de graus de liberdade.</p><p>▪ Sistemas com um número finito de graus de</p><p>liberdade são denominados discretos ou</p><p>de parâmetros concentrados.</p><p>▪ Na maioria das vezes, sistemas contínuos</p><p>são aproximados como sistemas discretos, e</p><p>as soluções são obtidas de uma maneira</p><p>mais simples.</p><p>11</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>12</p><p>1.2.1 Vibrações livres</p><p>1.2.2 Vibrações Forçadas</p><p>1.2.3 Vibrações não amortecidas e amortecidas</p><p>1.2.4 Vibrações lineares e não lineares</p><p>1.2.5 Vibração determinística e aleatória</p><p>1.2.6 Tipos de excitações mecânicas</p><p>1.2.7 Resposta de um sistema aos diferentes tipos de excitação</p><p>▪ Se um sistema, após uma perturbação</p><p>inicial, continuar a vibrar por conta própria,</p><p>a vibração resultante é conhecida por</p><p>vibração livre, a qual, é mantida pelas</p><p>forças restauradoras (elásticas ou</p><p>gravitacionais).</p><p>Viga engastada em vibração livre</p><p>Disponível em:</p><p><https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_viga_de_Euler-</p><p>Bernoulli></p><p>13</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Se um sistema estiver sujeito a uma força</p><p>externa (intermitente ou periódica), a</p><p>vibração resultante é conhecida como</p><p>vibração forçada.</p><p>▪ Se a frequência da força externa coincidir</p><p>com uma das frequências naturais do</p><p>sistema, ocorre uma condição conhecida</p><p>como ressonância, e o sistema sofre</p><p>oscilações perigosamente grandes. Falhas</p><p>de estruturas como edifícios, pontes,</p><p>turbinas e asas de aviões foram associadas</p><p>à ocorrência de ressonância.</p><p>Sistema massa/mola em vibração</p><p>forçada</p><p>Disponível em:</p><p><http://www.mspc.eng.br/mecn/mvbr140.shtml></p><p>14</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Se nenhuma energia for perdida ou</p><p>dissipara por atrito ou outra resistência</p><p>durante a oscilação, a vibração é conhecida</p><p>como vibração não amortecida.</p><p>▪ Todavia, se qualquer energia for perdida</p><p>dessa maneira, ela é denominada vibração</p><p>amortecida.</p><p>▪ Em muitos sistemas físicos, a quantidade de</p><p>amortecimento é tão pequena que pode ser</p><p>desprezada para a maioria das finalidades</p><p>de engenharia. Contudo, considerar o</p><p>amortecimento torna-se extremamente</p><p>importante na análise de sistemas</p><p>vibratórios próximos a ressonância.</p><p>Sistema de suspensão automotiva com</p><p>amortecimento</p><p>Disponível em:</p><p><https://www.youtube.com/watch?v=fVbl2iDQObI></p><p>15</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Se todos os componentes básicos de um</p><p>sistema vibratório – a mola, a massa e o</p><p>amortecedor – comportam-se linearmente,</p><p>a vibração resultante é conhecida como</p><p>vibração linear.</p><p>▪ Entretanto, se qualquer dos elementos se</p><p>comportar não linearmente, a vibração é</p><p>denominada vibração não linear.</p><p>▪ As equações diferenciais que comandam o</p><p>comportamento de sistemas vibratórios</p><p>lineares e não lineares são lineares e não</p><p>lineares, respectivamente.</p><p>Comportamento de molas lineares e</p><p>não lineares</p><p>Disponível em:</p><p><http://gruposenac12.blogspot.com.br/2016/04/pesquisa-</p><p>sistemas-mecanicos-metalicos.html></p><p>16</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Se o valor ou magnitude da excitação (força</p><p>ou movimento) que está agindo sobre um</p><p>sistema vibratório for conhecido a qualquer</p><p>dado instante, a excitação é denominada</p><p>determinística.</p><p>▪ Em alguns casos, a excitação é não</p><p>determinística ou aleatória e o valor da</p><p>excitação em um dado instante não pode</p><p>ser previsto. Nesses casos, um grande</p><p>número de registros da excitação pode</p><p>exibir alguma regularidade estatística.</p><p>Assim, é possível estimar médias como</p><p>valores médios e valores médios ao</p><p>quadrado da excitação.</p><p>17</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Exemplos de excitações aleatórias são a</p><p>velocidade do vento, a aspereza de uma</p><p>estrada e o movimento do solo durante</p><p>terremotos.</p><p>▪ Se a excitação for aleatória, a vibração</p><p>resultante é denominada aleatória.</p><p>▪ Os slides seguintes trazem as principais</p><p>excitações (forças) mecânicas e as</p><p>respostas dos sistemas a elas submetidos.</p><p>18</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>19</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Vibração periódica</p><p>harmônica</p><p>Vibração periódica</p><p>não harmônica</p><p>Vibração aleatória</p><p>20</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Quanto à</p><p>dissipação de</p><p>energia</p><p>vibratória</p><p>Quanto ao</p><p>tipo de</p><p>excitação</p><p>Quanto ao</p><p>tipo de</p><p>movimento</p><p>Fenômeno</p><p>físico</p><p>Vibração</p><p>mecânica</p><p>Translacional</p><p>Livre</p><p>Amortecida</p><p>Não-amortecida</p><p>Forçada</p><p>Amortecida</p><p>Não-amortecida</p><p>Torcional</p><p>Livre</p><p>Amortecida</p><p>Não-amortecida</p><p>Forçada</p><p>Amortecida</p><p>Não-amortecida</p><p>21</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Vibração</p><p>mecânica</p><p>Livre</p><p>Amortecida</p><p>Não</p><p>amortecida</p><p>Forçada</p><p>Excitação</p><p>periódica</p><p>Harmônica</p><p>Amortecida</p><p>Não</p><p>amortecida</p><p>Não</p><p>harmônica</p><p>Amortecida</p><p>Não</p><p>amortecida</p><p>Excitação</p><p>aleatória</p><p>Amortecida</p><p>Não</p><p>amortecida</p><p>22</p><p>1.3.1 Considerações iniciais</p><p>1.3.2 Procedimentos para analise de sistemas vibratórios</p><p>1.3.2.1 Modelagem matemática</p><p>1.3.2.2 Derivação das equações governantes</p><p>1.3.2.3 Solução das equações governantes</p><p>1.3.2.4 Intepretação dos resultados</p><p>▪ Um sistema vibratório é um sistema</p><p>dinâmico para o qual as variáveis como as</p><p>excitações (entradas) e respostas (saídas)</p><p>são dependentes do tempo.</p><p>▪ Em geral, a resposta de um sistema</p><p>vibratório depende das condições iniciais,</p><p>bem como das excitações externas.</p><p>▪ A maioria dos sistemas vibratórios</p><p>encontrados na prática são muito</p><p>complexos, de modo que, é impossível</p><p>considerar todos os detalhes para uma</p><p>análise matemática.</p><p>23</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Somente as características mais importantes</p><p>são consideradas na análise para prever o</p><p>comportamento do sistema sob condições</p><p>de entradas especificadas.</p><p>▪ Muitas vezes, o comportamento global do</p><p>sistema pode ser determinado</p><p>considerando até mesmo um modelo</p><p>simples do sistema físico complexo.</p><p>▪ Os procedimentos para análise de um</p><p>sistema vibratório estão esquematizados no</p><p>slide seguinte.</p><p>24</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Modelagem</p><p>matemática</p><p>do sistema</p><p>Obtenção das</p><p>equações</p><p>governantes</p><p>Solução das</p><p>equações</p><p>Obtenção dos</p><p>resultados</p><p>▪ A finalidade da modelagem matemática é</p><p>representar todos os aspectos importantes</p><p>do sistema com o propósito de obter as</p><p>equações matemáticas (ou analíticas) que</p><p>governam o comportamento do sistema.</p><p>▪ O modelo deve incluir detalhes suficientes</p><p>para conseguir descrever o sistema em</p><p>termos de equações sem, contudo, torná-lo</p><p>muito complexo.</p><p>▪ O modelo matemático pode ser linear ou não</p><p>linear, dependendo do comportamento dos</p><p>componentes do sistema.</p><p>▪ As vezes, o modelo matemático é</p><p>aperfeiçoado gradativamente para obter</p><p>resultados mais precisos. Nessa abordagem,</p><p>em primeiro lugar, é usado um modelo muito</p><p>grosseiro ou elementar para ter-se uma ideia</p><p>rápida do comportamento global do sistema</p><p>e, na sequência, o modelo é refinado com a</p><p>inclusão de mais componentes e/ou detalhes</p><p>de modo que o comportamento do sistema</p><p>possa ser observado mais de perto.</p><p>Modelagem matemática de um</p><p>sistema vibratório</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 11</p><p>25</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Modelagem de um</p><p>martelo de forjar</p><p>Fonte: RAO. S. 2008, p. 10.</p><p>26</p><p>▪ Uma vez disponível o modelo matemático,</p><p>usamos os princípios da dinâmica para a</p><p>obtenção das equações que governam o</p><p>movimento.</p><p>▪ As equações de movimento podem ser</p><p>obtidas convenientemente desenhando-se</p><p>os diagrama de corpo livre de todas as</p><p>massas envolvidas.</p><p>▪ As equações de movimento de um sistema</p><p>vibratório estão normalmente na forma de</p><p>um conjunto de equações diferenciais</p><p>ordinárias para um sistema discreto e um</p><p>sistema de equações diferenciais parciais</p><p>para um sistema contínuo.</p><p>▪ As equações podem ser lineares e não</p><p>lineares dependendo do comportamento</p><p>dos componentes do sistema.</p><p>Determinação do movimento oscilatório</p><p>vertical</p><p>Fonte: BEER, F. P; JOHNSTON, E. R; CORNWELL. P. J.</p><p>(2012)</p><p>27</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ As equações de movimento devem ser</p><p>resolvidas para que se possa determinar a</p><p>resposta do sistema vibratório.</p><p>▪ Dependendo da natureza do problema,</p><p>podemos usar uma das seguintes técnicas</p><p>para determinar a solução: métodos</p><p>padronizados para resolver equações</p><p>diferenciais, métodos que utilizam</p><p>transformada de Laplace, métodos</p><p>matriciais (espaço de estados) e métodos</p><p>numéricos.</p><p>Solução da equação diferencial</p><p>28</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>𝑚 ሷ𝑥 + 𝑘𝑥 = 0 𝑥 𝑡 = 𝑥0 cos𝜔𝑛𝑡 +</p><p>ሶ𝑥0</p><p>𝜔𝑛</p><p>sin𝜔𝑛𝑡</p><p>▪ A solução das equações governantes</p><p>fornece os deslocamentos, velocidades e</p><p>acelerações das várias massas do sistema.</p><p>▪ Esses resultados podem ser interpretados</p><p>com uma clara visão da finalidade da</p><p>análise e das possíveis implicações dos</p><p>resultados no projeto.</p><p>Análise de resultados vibratórios</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 106</p><p>29</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>30</p><p>1.4.1 Molas helicoidais lineares</p><p>1.4.2 Molas helicoidais não-lineares</p><p>1.4.3 Elementos elásticos estruturais</p><p>1.4.4 Associação de molas em paralelo</p><p>1.4.5 Associação de molas em série</p><p>▪ Uma mola linear é um tipo de elo mecânico</p><p>cuja massa e amortecimento são, de modo</p><p>geral, considerados desprezíveis.</p><p>▪ A força da mola é proporcional à quantidade</p><p>de deformação e é dada por.</p><p>𝐹 = 𝑘𝑥 (1.1)</p><p>▪ Onde 𝐹 é a força da mola, 𝑥 é a deformação</p><p>e 𝑘 é a constante da mola ou constante</p><p>elástica.</p><p>▪ A deflexão estática, é a deformação devido a</p><p>carga estática suportada, dada por:</p><p>𝛿𝑠𝑡 =</p><p>𝑊</p><p>𝑘</p><p>(1.2)</p><p>▪ O trabalho (U) realizado na deformação de</p><p>uma mola é armazenado como deformação</p><p>ou energia potencial da mola, dado por:</p><p>𝑈 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑘𝑥2 (1.3)</p><p>Constante de mola linear</p><p>Fonte: BEER, F. P; JOHNSTON, E. R; CORNWELL. P. J. (2012)</p><p>31</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Molas reais são não lineares e seguem a</p><p>Eq. 1.1 até certa deformação. Quando a</p><p>deformação ultrapassa certo valor (após o</p><p>ponto A da figura ao lado), a tensão</p><p>ultrapassa o limite de escoamento do</p><p>material e a relação força deformação</p><p>torna-se não linear.</p><p>▪ Em muitas aplicações práticas, admitimos</p><p>que as deflexões são pequenas e usamos a</p><p>relação linear da Eq. 1.1.</p><p>▪ Ainda que a relação força-deflexão de</p><p>uma mola seja não-linear, como mostra o</p><p>slide seguinte, frequentemente nós a</p><p>aproximamos como linear usando um</p><p>processo de linearização (expansão em</p><p>serie e Taylor).</p><p>Não linearidade além do limite de</p><p>escoamento</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 12</p><p>32</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Processo de</p><p>linearização</p><p>Fonte: RAO. S. 2008, p. 10.</p><p>33</p><p>▪ Elementos elásticos como vigas também</p><p>comportam-se como molas.</p><p>▪ Por exemplo, considere uma viga em</p><p>balanço com uma massa 𝑚 na</p><p>extremidade como mostrado na figura ao</p><p>lado.</p><p>▪ Admitindo (por simplificação) que a massa</p><p>da viga é desprezível em comparação com</p><p>a massa 𝑚 do bloco, podemos determinar</p><p>a constante de mola conhecendo-se a</p><p>deflexão estática da viga:</p><p>𝛿𝑠𝑡 =</p><p>𝑊𝑙3</p><p>3𝐸𝐼</p><p>(1.4)</p><p>▪ Correlacionando com a deflexão estática,</p><p>obtemos:</p><p>𝑘 =</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>(1.5)</p><p>Viga em balanço com massa na</p><p>extremidade</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 12</p><p>34</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>35</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Em muitas aplicações práticas, várias</p><p>molas lineares são usadas em associação.</p><p>Essas molas podem ser associadas em</p><p>uma única mola equivalente: em série ou</p><p>em paralelo.</p><p>▪ Para molas ligada em paralelo, como</p><p>mostrado na figura ao lado, a constante de</p><p>mola equivalente para um número “𝑛” de</p><p>molas é dado por:</p><p>𝐾𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2 +⋯𝑘𝑛 (1.6)</p><p>Molas associadas em paralelo</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 13</p><p>36</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Para molas ligada em série, como</p><p>mostrado na figura ao lado, a constante de</p><p>mola equivalente para um número “𝑛” de</p><p>molas é dado por:</p><p>1</p><p>𝑘𝑒𝑞</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑘1</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑘2</p><p>+⋯</p><p>1</p><p>𝑘𝑛</p><p>(1.7)</p><p>Molas associadas em série</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 13</p><p>37</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>A figura mostra o sistema de suspensão de um vagão ferroviário de carga com um</p><p>arranjo de molas em paralelo. Determine a constante elástica equivalente da</p><p>suspensão se cada uma das três molas helicoidais for fabricada em aço com um</p><p>módulo de elasticidade transversal 𝐺 = 80 × 109 Τ𝑁 𝑚2 e tiver 5 espiras efetivas,</p><p>diâmetro médio do enrolamento 𝐷 = 20 𝑐𝑚, e diâmetro do arame 𝑑 = 2 𝑐𝑚.</p><p>38</p><p>PROF. EDIMAR</p><p>NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Um tambor de içamento equipado com um cabo de aço é montado na extremidade</p><p>de uma viga em balanço como mostrado na figura. Determine a constante elástica</p><p>equivalente do sistema quando o comprimento de suspensão do cabo é 𝑙. Admita</p><p>que o diâmetro efetivo da seção transversal do cabo é 𝑑 e que o módulo de</p><p>elasticidade da viga e do cabo é 𝐸.</p><p>39</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>A lança AB do guindaste mostrado na figura (a) é uma barra de aço uniforme de</p><p>comprimento 10 𝑚 e área de seção transversal de 2.500 𝑚𝑚2 . Um peso 𝑊 é</p><p>suspenso enquanto o guindaste permanece estacionário. O cabo CDEBF é feito de</p><p>aço e tem uma área de seção transversal de 100 𝑚𝑚2. Desprezando o efeito do cabo</p><p>CDEB, determine a constante elástica equivalente do sistema na direção vertical.</p><p>𝐸𝑎ç𝑜 = 207 𝐺𝑝𝑎</p><p>40</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>A posição de equilíbrio estático de uma barra rígida sem massa (idealizada),</p><p>articulada no ponto 𝑂 e conectada com molas é mostrado na figura. Assumindo que</p><p>o deslocamento 𝑥 resultante da aplicação de uma força Ԧ𝐹 no ponto 𝐴 é pequena.</p><p>Encontre a constante de mola equivalente do sistema, 𝑘𝑒𝑞, que pode ser relacionada</p><p>a força Ԧ𝐹 aplicada ao deslocamento 𝑥 como 𝐹 = 𝑘𝑒𝑞𝑥.</p><p>41</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>A figura que segue mostra uma barra rígida uniforme de massa 𝑚 que é articulada</p><p>no ponto 𝑂 e conectada por molas de rigidezes 𝑘1 = 𝑘 e 𝑘2 = 2𝑘. Considerando um</p><p>pequeno deslocamento angular, 𝜃, da barra rígida em torno de 𝑂, determine a</p><p>constante de mola esquivamente associada ao momento de restauração 𝑇 = 𝑘𝑡 𝑒𝑞𝜃.</p><p>42</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Determine a constante elástica torcional do eixo de hélice em aço mostrado na</p><p>figura. Considere 𝐺𝑎ç𝑜 = 80 𝐺𝑝𝑎</p><p>𝑘𝑡 =</p><p>𝐺𝐽</p><p>𝑙</p><p>Em quê:</p><p>𝐺 = módulo de rigidez torcional;</p><p>𝐽 = momento polar de inércia;</p><p>𝑙 = comprimento do eixo.</p><p>43</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Elabore o projeto de uma mola de ar usando um recipiente cilíndrico e um pistão</p><p>para conseguir uma constante elástica de 13 𝑘𝑁/𝑚. Admita que a máxima pressão</p><p>de ar disponível seja 10 𝑏𝑎𝑟.</p><p>Dados: 𝑘𝑒𝑞 𝑚.𝑎𝑟</p><p>=</p><p>𝑛𝐴𝑃0</p><p>𝐿</p><p>𝑛 =</p><p>𝑐𝑝</p><p>𝑐𝑣</p><p>= 1,4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑎𝑟</p><p>Em que:</p><p>𝐴 = área do pistão;</p><p>𝑃0 = pressão inicial do gás confinado;</p><p>𝐿 = comprimento do cilindro;</p><p>𝑛 = razão de calores específicos.</p><p>44</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>45</p><p>1.5.1 Definição</p><p>1.5.2 Associação de massas</p><p>1.5.2.1 Massas de translação ligadas por uma barra rígida</p><p>1.5.2.2 Massas de translação e rotacionais acopladas</p><p>1.5.2.2.1 Massa equivalente de translação</p><p>1.5.2.2.2 Massa equivalente de rotação</p><p>▪ Admite-se que o elemento de massa ou</p><p>inércia é um corpo rígido; pode ganhar ou</p><p>perder energia cinética sempre que a</p><p>velocidade do corpo mudar.</p><p>▪ Trabalho é igual a força multiplicada pelo</p><p>deslocamento na direção da força e o</p><p>trabalho realizado sobre uma massa é</p><p>armazenado na forma de energia cinética da</p><p>massa.</p><p>▪ Uma vez escolhido o modelo matemático</p><p>representativo do sistema vibratório, os</p><p>elementos de massa ou inércia do sistema</p><p>podem ser identificados com facilidade.</p><p>▪ Por exemplo, considere a viga em balanço</p><p>com uma massa na extremidade. Para uma</p><p>análise rápida e de razoável precisão, a</p><p>massa e o amortecimento da viga podem ser</p><p>desprezados e o sistema modelado poderá</p><p>ser modelo tal como mostrado ao lado.</p><p>Viga em balanço com massa na</p><p>extremidade</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 13</p><p>46</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Em muitas aplicações práticas, várias</p><p>massas aparecem associadas.</p><p>▪ Para uma análise simples, podemos</p><p>substituir essas massas por uma única</p><p>massa equivalente, como ilustrado ao lado.</p><p>Massas de translação ligadas por uma</p><p>barra rígida</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 16</p><p>47</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Considere as massas ligadas a uma barra</p><p>rígida articulada em uma extremidade,</p><p>como mostrado na figura ao lado.</p><p>▪ Podemos supor que a massa equivalente</p><p>está localizada em qualquer ponto ao</p><p>longo da barra.</p><p>▪ Supondo que a localização da massa</p><p>equivalente seja a mesma da massa 𝑚1.</p><p>Admitindo pequenos deslocamento</p><p>angulares para a barra, obtemos:</p><p>ሶ𝑥2 =</p><p>𝑙2</p><p>𝑙1</p><p>ሶ𝑥1; ሶ𝑥3 =</p><p>𝑙3</p><p>𝑙1</p><p>ሶ𝑥1 (1.8)</p><p>e</p><p>ሶ𝑥𝑒𝑞 = ሶ𝑥1 (1.9)</p><p>Massas de translação ligadas por uma</p><p>barra rígida</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 16</p><p>48</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Igualando a energia cinética do sistema de</p><p>três massas à do sistema de massa</p><p>equivalente, obtemos:</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚1 ሶ𝑥1</p><p>2 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚2 ሶ𝑥2</p><p>2 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚3 ሶ𝑥3</p><p>2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥𝑒𝑞</p><p>2 (1.10)</p><p>▪ Substituindo 1.8 e 1.9 em 1.10, obtemos:</p><p>𝑚𝑒𝑞 = 𝑚1 +</p><p>𝑙2</p><p>𝑙1</p><p>2</p><p>𝑚2 +</p><p>𝑙3</p><p>𝑙1</p><p>2</p><p>𝑚3 (1.11)</p><p>Massas de translação ligadas por uma</p><p>barra rígida</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 16</p><p>49</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Considere a massa 𝑚, com velocidade de</p><p>translação ሶ𝑥, acoplada a outra massa (de</p><p>momento de inércia de massa 𝐽0) com uma</p><p>velocidade rotacional ሶ𝜃, como no arranjo</p><p>de cremalheira e pinhão mostrado ao lado.</p><p>▪ Essas duas massas podem ser associadas</p><p>para obter-se uma única massa</p><p>equivalente de translação, 𝑚𝑒𝑞 , ou uma</p><p>única massa equivalente rotacional, 𝐽𝑒𝑞.</p><p>Massas de translação e rotacional em</p><p>um arranjo de pinhão e cremalheira</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 16</p><p>50</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ A energia cinética das duas massa é dada</p><p>por:</p><p>𝑇 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚 ሶ𝑥2 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐽0 ሶ𝜃2 (1.12)</p><p>▪ A energia cinética da massa equivalente</p><p>pode ser expressa como:</p><p>𝑇𝑒𝑞 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥𝑒𝑞</p><p>2 (1.13)</p><p>▪ Visto que 𝑥𝑒𝑞 = ሶ𝑥 e ሶ𝜃 = Τሶ𝑥 𝑅 , a</p><p>equivalência de 𝑇 e 𝑇𝑒𝑞 da:</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚 ሶ𝑥2 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐽0</p><p>ሶ𝑥</p><p>𝑅</p><p>2</p><p>(1.14)</p><p>▪ Isto é:</p><p>𝑚𝑒𝑞 = 𝑚 +</p><p>𝐽0</p><p>𝑅2</p><p>(1.15)</p><p>Massas de translação e rotacional em</p><p>um arranjo de pinhão e cremalheira</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 16</p><p>51</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Aqui ሶ𝜃𝑒𝑞 = ሶ𝜃 e ሶ𝑥 = ሶ𝜃𝑅 e a equivalência de</p><p>𝑇 e 𝑇𝑒𝑞 leva a:</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐽𝑒𝑞 ሶ𝜃2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚 ሶ𝜃𝑅</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐽0 ሶ𝜃2 (1.16)</p><p>▪ Isto é:</p><p>𝐽𝑒𝑞 = 𝐽0 +𝑚𝑅2 (1.17)</p><p>Massas de translação e rotacional em</p><p>um arranjo de pinhão e cremalheira</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 16</p><p>52</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Um mecanismo came-seguidor é usado para converter o movimento rotativo de um</p><p>eixo no movimento oscilatório de uma válvula. O sistema de rolete de came consiste</p><p>em uma haste de empuxo (comando de válvula) de massa 𝑚𝑝, um balancim de</p><p>massa 𝑚𝑟 e um momento de inércia de massa 𝐽𝑟 ao redor de seu C.G., uma válvula</p><p>de massa 𝑚𝑣 e uma mola da válvula de massa desprezível. Determine a massa</p><p>equivalente 𝑚𝑒𝑞 desse sistema came-seguidor supondo que a localização de 𝑚𝑒𝑞</p><p>seja: (a) o ponto A e (b) o ponto C.</p><p>53</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Determine a massa equivalente para o sistema em relação à coordenada 𝑥.</p><p>54</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Determine o momento de inércia de massa equivalente do trem de engrenagens</p><p>mostrado na figura em relação ao eixo de transmissão. Na figura, 𝐽𝑖 e 𝑛𝑖 denotam o</p><p>momento de inércia de massa e o número de dentes, respectivamente, da</p><p>engrenagem 𝑖.</p><p>55</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>56</p><p>1.6.1 Definição</p><p>1.6.2 Amortecimento viscoso</p><p>1.6.3 Amortecimento Coulomb ou por atrito seco</p><p>1.6.4 Amortecimento sólido ou por histerese</p><p>1.6.5 Construção de amortecedores viscosos de placas</p><p>1.6.5 Constante de amortecimento para amortecedores viscosos a êmbolo</p><p>1.6.6 Constante de amortecimento para mancais de deslizamento</p><p>▪ Em muitos sistemas práticos, a energia de</p><p>vibração é gradativamente convertida em</p><p>calor ou som.</p><p>▪ Em virtude da redução da energia, a</p><p>resposta, tal como o deslocamento do</p><p>sistema, diminui gradativamente. O</p><p>mecanismo pelo qual a energia de</p><p>vibração é gradativamente convertida em</p><p>calor ou som é</p><p>conhecido como</p><p>amortecimento.</p><p>▪ Embora a quantidade de energia</p><p>convertida seja relativamente pequena, é</p><p>importante considerar o amortecimento</p><p>para uma previsão precisa da resposta de</p><p>vibração de um sistema.</p><p>57</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Admite-se que o amortecedor não tem</p><p>nem massa nem elasticidade, e que a</p><p>força de amortecimento só existe se</p><p>houver uma velocidade relativa entre as</p><p>duas extremidades.</p><p>▪ É difícil determinar as causas do</p><p>amortecimento em sistemas práticos.</p><p>Como consequência ele é modelado</p><p>como um ou mais dos tipos descritos a</p><p>seguir.</p><p>▪ É o mecanismo de amortecimento mais</p><p>comumente usado em análise de</p><p>vibrações.</p><p>▪ Quando sistemas mecânicos vibram em</p><p>um meio fluido como ar, gás, água e óleo, a</p><p>resistência oferecida pelo fluido ao corpo</p><p>em movimento faz com que a energia seja</p><p>dissipada.</p><p>▪ Nesse caso, a quantidade de energia</p><p>dissipada depende de muitos fatores</p><p>como o tamanho e a forma do corpo em</p><p>vibração, a viscosidade do fluido, a</p><p>frequência de vibração e a velocidade do</p><p>corpo em vibração.</p><p>58</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ No amortecimento viscoso, a força de</p><p>amortecimento é proporcional à</p><p>velocidade do corpo vibratório.</p><p>▪ Exemplos típicos de amortecimento</p><p>viscoso são (1) película de fluido entre</p><p>superfícies deslizantes, (2) fluxo de</p><p>fluido ao redor de um pistão dentro de</p><p>um cilindro, (3) fluxo de fluido através</p><p>de um orifício e (4) película de fluido</p><p>ao redor de um mancal de apoio.</p><p>▪ Nesse caso, a magnitude da força de</p><p>amortecimento é constante, mas no</p><p>sentido oposto ao movimento do corpo</p><p>vibratório.</p><p>▪ O amortecimento, nesse caso, á provocado</p><p>pelo atrito entre superfícies em contato</p><p>que estejam secas ou não tenhas</p><p>lubrificação suficiente.</p><p>59</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Quando um material é deformado, ele</p><p>absorve e dissipa energia. O efeito deve-</p><p>se ao atrito entre os planos internos, que</p><p>deslizam ou escorregam enquanto as</p><p>deformações ocorrem.</p><p>▪ Quando um corpo com amortecimento por</p><p>histerese é sujeito à vibração, o diagrama</p><p>tensão-deformação mostra um ciclo de</p><p>histerese como indicado na figura ao lado.</p><p>▪ A área desse ciclo denota a energia</p><p>perdida por unidade de volume do corpo</p><p>por ciclo devido ao amortecimento.</p><p>Ciclo de histerese para materiais</p><p>elásticos</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 18</p><p>60</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Um amortecedor viscoso pode ser</p><p>construído usando-se duas placas</p><p>paralelas separadas por uma distância ℎ,</p><p>com um fluido de viscosidade 𝜇 entre as</p><p>duas placas.</p><p>▪ Considere que uma das placas é fixa e a</p><p>outra está movimentando-se com uma</p><p>velocidade 𝑣 em seu próprio plano.</p><p>▪ As camadas de fluido em contato com a</p><p>placa em movimento movem-se com uma</p><p>velocidade 𝑣, enquanto as que estão em</p><p>contato com a placa fixa não se movem.</p><p>▪ Admite-se que as velocidades das</p><p>camadas intermediárias de fluido variam</p><p>linearmente entre 0 e 𝑣, como mostrado na</p><p>figura.</p><p>Ciclo de histerese para materiais</p><p>elásticos</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 18</p><p>61</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Segundo a Lei de Newton de fluxo viscoso,</p><p>a tensão de cisalhamento (𝜏) desenvolvida</p><p>na camada de fluido a uma distância 𝑦 da</p><p>placa fixa é dada por:</p><p>𝜏 = 𝜇</p><p>𝑑𝑢</p><p>𝑑𝑦</p><p>(1.18)</p><p>▪ Onde Τ𝑑𝑢 𝑑𝑦 = Τ𝑣 ℎ é o gradiente de</p><p>velocidade. A força de cisalhamento ou de</p><p>resistência (𝐹) desenvolvida na superfície</p><p>inferior da placa em movimento é:</p><p>𝐹 = 𝜏𝐴 =</p><p>𝜇𝐴𝑣</p><p>ℎ</p><p>= 𝑐𝑣 (1.19)</p><p>▪ Com:</p><p>𝑐 =</p><p>𝜇𝐴</p><p>ℎ</p><p>(1.20)</p><p>Ciclo de histerese para materiais</p><p>elásticos</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 18</p><p>62</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Para um mancal de deslizamento, como</p><p>mostrado na figura ao lado, a constante de</p><p>amortecimento torcional, 𝑐𝑡, é dada por:</p><p>𝑐𝑡 =</p><p>2𝜋𝜇𝑅3𝑙</p><p>𝑑</p><p>(1.21)</p><p>𝜇 = viscovidade dinâmica do lubrificante;</p><p>𝑅 = raio do eixo ou munhão;</p><p>𝑙 = comprimento do mancal de</p><p>deslizamento;</p><p>𝑑 = folga do mancal de deslizamento.</p><p>Mancal de deslizamento</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 49</p><p>63</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>▪ Para um amortecedor de êmbolo, como</p><p>mostrado na figura ao lado, a constante de</p><p>amortecimento é dada por:</p><p>𝑐 = 𝜇</p><p>3𝜋𝐷3𝑙</p><p>4𝑑3</p><p>1 +</p><p>2𝑑</p><p>𝐷</p><p>(1.21)</p><p>Amortecedor viscoso de êmbolo</p><p>Fonte: RAO, S. 2011, p. 20</p><p>64</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Verificou-se que um mancal, que pode ser aproximado como duas placas planas</p><p>separadas por uma fina película de lubrificante, oferece uma resistência de 400 𝑁</p><p>quando é usado óleo 𝑆𝐴𝐸 30 como lubrificante e a velocidade relativa entre as</p><p>placas é 10 𝑚/𝑠. Se a área das placas (𝐴) for 0,1 𝑚2, determine a folga entre as</p><p>placas. Suponha que a viscosidade absoluta do óleo 𝑆𝐴𝐸 30 seja 0,3445 𝑃𝑎 ∙ 𝑠.</p><p>65</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>Determine uma única constante de amortecimento equivalente para os seguintes</p><p>casos.</p><p>(a) Quando três amortecedores estão em paralelo;</p><p>(b) Quando três amortecedores estão em série;</p><p>(c) Quando três amortecedores estão conectados a uma barra rígida (figura abaixo)</p><p>e o amortecedor equivalente está no ponto 𝑐1.</p><p>OBS: A energia dissipada por um amortecedor viscoso em um ciclo durante</p><p>movimento harmônico circular é dada por 𝜋𝑐𝜔𝑋2 , em que 𝑐 é a constante de</p><p>amortecimento,𝜔 é a frequência e 𝑋 é a amplitude de oscilação.</p><p>66</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p><p>❑ BALACHANDRAN, B; MAGRAB, E. B. Vibrações mecânicas; tradução da 2ª edição</p><p>norte-americama. São Paulo: Cengage Learnig, 2011.</p><p>❑ BEER, F. P; JOHNSTON, E. R; CORNWELL. P. J. Mecânica vetorial para</p><p>engenheiros: dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2012. 755.p.</p><p>❑ HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo:</p><p>Pearson Prentice Hall, 2011. 591. p.</p><p>❑ RAO, Singiresu. S. Vibrações mecânicas. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall,</p><p>2008. 424. p.</p><p>67</p><p>PROF. EDIMAR NATALI MONTEIRO <emonteiro2603@gmail.com></p>