Questão resolvida - Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo - Cálculo I - INFNET

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• Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo dado:f
 
a) f x = 3x − 12x + 5, em 0, 3( ) 2 [ ]
 
b) f x = 3x − 4x − 12x + 1, em −2, 3( ) 4 3 2 [ ]
 
Resolução:
 
a)
 
Os pontos críticos de uma função é dada pelos zeros da função derivada primeira;
 
f' x = 2 ⋅ 3x− 12 f' x = 6x− 12( ) → ( )
Igualando a zero, temos;
6x− 12 = 0 6x = 12 x = x = 2→ →
12
6
→
Logo, a função possuí um ponto crítico para , como se trata de uma parábola x = 2
concavidade voltada para cima, esse coordenada é, necessariamente, coordenada x
de um ponto de mínimo absoluto no intervalo 0, 3[ ]
 
b)
 
Da mesma forma, vamos fazer a derivada para chegarmos aos pontos críticos da função;
 
f' x = 4 ⋅ 3x − 3 ⋅ 4x − 2 ⋅ 12x f' x = 12x − 12x − 24x( ) 3 2 → ( ) 3 2
 
Igualando a zero, temos;
 
12x − 12x − 24x = 0 12 x − x − 2x = 0 x − x − 2x = x − x − 2x = 03 2 → 3 2 → 3 2
0
12
→
3 2
Colocanco em evidência, temos;x
 
x x − x− 2 = 0 x = 0 ou x − x− 22 → 2
 
Resolvendo a equação do 2° grau remanescente;
 
 
 
x − x− 2 = 02
 
x = x' = = = = = 2
- -1 ±
2 ⋅ 1
( ) -1 - 4 ⋅ 1 ⋅ −2( )2 ( )
→
1 +
2
1 + 8 1 +
2
9 1 + 3
2
4
2
 
 x" = = = = = - 1
1 -
2
1 + 8 1 -
2
9 1 - 3
2
-2
2
Logo, os pontos críticos ocorrem para x = 0, x = 2 e x = -1
 
Agora, vamos verificar qual o sinal de antes de (em ), entre f'(x) x = -1 x = -2
 (em , entre (em e para (em );x = -1 e x = 0 x = -
1
2
) x = 0 e x = 2 x = 1) x > 2 x = 3
 
se x = -2 f' -2 = 12 -2 − 12 -2 − 24 -2 = 12 -8 − 12 4 + 24 = - 96 < 0→ ( ) ( )3 ( )2 ( ) ( ) ( )
 
 
se x = - f' - = 12 - − 12 - - 24 - = 12 - − 12 + 12
1
2
→
1
2
1
2
3
1
2
2
1
2
1
8
1
4
 
= - − + 12 = - − + 12 = - - 3 + 12 = + 9 = = > 0
12
8
12
4
12
8
12
4
3
2
3
2
-3 + 18
2
15
2
 
 
se x = 1 f' 1 = 12 1 − 12 1 − 24 1 = 12 1 − 12 1 - 24 = - 24 < 0→ ( ) ( )3 ( )2 ( ) ( ) ( )
 
 
 
se x = 3 f' 3 = 12 3 − 12 3 − 24 3 = 12 ⋅ 27− 12 ⋅ 9 - 24 = 144 > 0→ ( ) ( )3 ( )2 ( )
 
Onde a derivada é negativa, a função decresce e onde a derivada é positiva a função 
cresce, com isso, podemos montar o esquema a seguir;
 
 
 
Dessa forma, o ponto de máximo absoluto no intervalo é o que tem −2, 3[ ]
coordenada e os pontos de mínimo absoluto ocorrem quando e .x = 0 x = 2 x = -1
 
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 60
+-+
decrescente
cre
sce
nte
cres
cent
e
decrescente
-