aula 6 - aplicações de derivadas problemas de otimização

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
AULA 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Ao longo dos cursos das áreas de exatas, temos contato com o cálculo 
diferencial e suas interpretações a todo momento! Mas ainda não terminou. 
Nesta aula iremos discutir os conceitos de funções crescentes e decrescentes, 
entendendo como eles nos permitem investigar quais são os pontos que 
otimizam determinadas funções, isto é, que encontram seus valores máximos ou 
mínimos. 
Além dessa discussão, veremos como utilizar essa estratégia para 
realizar o esboço do gráfico de determinadas funções. 
TEMA 1 – FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 
1.1 Como definir funções crescentes e decrescentes e relacioná-las à 
operação de derivada? 
Ao longo do curso, você deve ter percebido que a derivada tem uma forte 
relação com o comportamento da função. Investigamos, por exemplo, que uma 
taxa de variação de financiamento de 1,5%/𝑎𝑛𝑜 indica que a taxa de 
financiamento está aumentando ao longo do tempo, isto é, está crescendo ao 
longo do tempo. Ou, quando encontramos que 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −30 milhas/hora, estamos 
indicando que a distância 𝑥 está diminuindo ao longo do tempo, o que significa 
que está decrescendo. 
Isso porque a derivada explica o comportamento de crescência ou 
decrescência da função. Para notar isso, vamos definir função crescente e 
decrescente e analisar a definição de derivada. 
Dizemos que uma função definida no intervalo (𝑎, 𝑏) é crescente quando 
∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝑠𝑒 𝑥1 < 𝑥2 então 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2). 
De forma equivalente, dizemos que uma função definida no intervalo (𝑎, 𝑏) 
é decrescente quando 
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝑠𝑒 𝑥1 < 𝑥2 então 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) 
 
 
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Note que existe uma relação entre o crescimento da variável 
independente 𝑥 e o comportamento da imagem 𝑓(𝑥). Agora, lembre-se de que a 
definição da derivada de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é dada por: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
Δ𝑥→0
𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥)
Δ𝑥
 
Mas, se considerarmos Δ𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1, escrevemos: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
𝑥2→𝑥1
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
 
Observe que, na definição, tanto de função crescente quanto de função 
decrescente, 𝑥1 < 𝑥2, verificamos que 𝑥2 − 𝑥1 > 0. No numerador, verificamos 
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1), que acaba definindo o sinal da derivada, ou seja, se 𝑓(𝑥2) −
𝑓(𝑥1) < 0, isso implica 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
< 0, enquanto se 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) > 0, temos que 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
> 0. 
Assim, escrevemos o seguinte teorema: 
I. Se 𝑓′(𝑥) > 0, para todo 𝑥 no intervalo (𝑎, 𝑏), então 𝑓 é uma função 
crescente. 
II. Se 𝑓′(𝑥) < 0, para todo 𝑥 no intervalo (𝑎, 𝑏), então 𝑓 é uma função 
decrescente. 
III. Se 𝑓′(𝑥) = 0 no intervalo (𝑎, 𝑏), então 𝑓 é uma função constante. 
Por exemplo, suponha que precisemos determinar os intervalos nos quais 
a função 𝑦 = 𝑥2 é crescente ou decrescente. Assim, encontramos 𝑦′ = 2𝑥. Note 
que tal expressão será nula quando 
2𝑥 = 0 
𝑥 = 0 
Note também que, para 𝑥 > 0, 𝑓′(𝑥) > 0, o que indica que a função será 
crescente nesse intervalo. Mas para 𝑥 < 0, 𝑓′(𝑥) < 0, o que indica que a função 
será decrescente nesse intervalo. O gráfico da Figura 1 indica esse 
comportamento. 
 
 
 
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Figura 1 – Gráfico da função 𝑦 = 𝑥2, crescente em [0, ∞] e decrescente em 
[−∞, 0] 
 
Em um outro exemplo, podemos considerar a função 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 24𝑥 + 32 
Para determinar seus intervalos crescentes e decrescentes, precisamos 
encontrar a derivada igual a zero, dada por: 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥 − 24 = 0 
𝑥2 − 2𝑥 − 6 = 0 
Note que a equação tem duas raízes, 𝑥′ = −2 e 𝑥′′ = 4. Como a função 
do segundo grau é contínua, entre as raízes teremos sempre o mesmo sinal. Ao 
substituir, por exemplo, 𝑥 = 0, verificamos que entre −2 e 4, a função derivada 
tem sinal negativo, indicando uma função decrescente. Quando substituímos um 
valor maior que 4 ou menor que −2, verificamos que a função derivada tem sinal 
positivo, indicando uma função crescente. Assim, o intervalo de crescimento 
dessa função é [−∞, −2] ∪ [4, ∞], enquanto o intervalo de decrescimento é 
[−2,4]. Olhando o gráfico da Figura 2, percebemos que essa afirmação se 
confirma. 
 
 
 
 
 
 
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Figura 2 – Gráfico da função 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 − 24𝑥 + 32, crescente em [−∞, −2] ∪
[4, ∞], decrescente em [−2,4] 
 
TEMA 2 – EXTREMOS RELATIVOS 
2.1 Como investigar características dos pontos de máximos e mínimos 
relativos? 
O estudo de funções crescentes e decrescentes já nos permite investigar 
quando uma função possui pontos de máximo ou mínimo locais (ou relativos). 
Nosso objetivo é, por exemplo, em uma determinada função custo encontrar qual 
seu ponto de minimização; ou em uma certa função velocidade, qual seu ponto 
de maximização. Entretanto, essa estratégia é levantar características de pontos 
que são considerados extremos, isto é, mínimos ou máximos, em certo intervalo. 
Isso não significa que esses pontos são, necessariamente, os menores ou 
maiores, respectivamente, valores que a função pode assumir, mas tem o seu 
valor nessa investigação. 
Para isso, definimos o ponto de máximo relativo, como o ponto 𝑥 = 𝑐 em 
que 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) para qualquer 𝑥 no intervalo (𝑎, 𝑏) dado. E definimos o ponto de 
mínimo relativo, como o ponto 𝑥 = 𝑐 em que 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) para qualquer 𝑥 no 
intervalo (𝑎, 𝑏) dado. Para compreender o que tais pontos têm em comum, é 
preciso perceber que ambos separam uma região de crescimento de uma região 
de decrescimento. Basta, por exemplo, olhar novamente o gráfico apresentado 
 
 
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na Figura 1. Então, por se tratar de função contínua, obrigatoriamente, os pontos 
de máximo e mínimo são pontos em que 𝑓′(𝑥𝑐) = 0. Entretanto, tais pontos não 
são os únicos que possuem essa característica. A todos que o possuem, 
chamamos de pontos críticos. Então, segue um importante teorema: 
𝑥𝑐 é considerado um ponto crítico de 𝑓(𝑥), se 𝑓′(𝑥) = 0, podendo ser: 
a. Ponto de mínimo; 
b. Ponto de máximo; 
c. Ponto de inflexão. 
O ponto de inflexão é um ponto em que a função tem um certo 
comportamento, digamos crescente, até chegar ao ponto crítico com derivada 
igual a zero, ao invés de se tornar decrescente a função continua a ser crescente, 
não configurando um ponto de máximo ou de mínimo. Veja a Figura 3, com a 
função 𝑦 = 𝑥3, que apresenta um ponto de inflexão. 
Figura 3 – Gráfico da função 𝑦 = 𝑥3, crescente em todo o intervalo e com ponto 
de inflexão em 𝑥 = 0 
 
TEMA 3 – TESTE DA DERIVADA SEGUNDA 
3.1 Como classificar os pontos críticos em ponto de máximo, ponto de 
mínimo ou ponto de inflexão? 
Quando investigamos os pontos críticos em que 𝑓′(𝑥𝑐) = 0, ainda 
precisamos classificá-los entre ponto de máximo, ponto de mínimo ou ponto de 
inflexão. A esse teste que realizamos chamamos de teste da derivada primeira 
e ao teste que classifica os tipos de pontos críticos, damos o nome de teste da 
derivada segunda. Isso porque precisamos ver o que está ocorrendo com a 
função para caracterizar ponto de máximo ou ponto de mínimo. 
 
 
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Note que uma função que possui ponto de máximo precisa ser crescente 
e, após o ponto crítico, se tornar decrescente. Então, veja que a taxa de variação 
da derivada, ou seja, a taxa de variação segunda deve ser negativa. Isso porque, 
para 𝑥 < 𝑥𝑐, 𝑓′(𝑥) > 0 e quando 𝑥 > 𝑥𝑐, 𝑓′(𝑥) < 0. Então, a variação da derivada 
é negativa! 
Enquanto isso, uma função que possui ponto de mínimo é decrescente 
para 𝑥 < 𝑥𝑐, i.e. 𝑓′(𝑥) < 0, mas crescente para 𝑥 > 𝑥𝑐, i.e. 𝑓′(𝑥) > 0, indicando 
que a variação da derivada é positiva. 
Resta observar que, para um ponto de inflexão, o teste da derivada 
segunda indica que 𝑓′′(𝑥) = 0. Dessa forma, podemos escrever um importante 
teorema. Note que esse teorema só pode ser aplicado para os pontos 
previamente conhecidos como pontos críticos. Não pode classificar os pontos 
que não sãopontos críticos, sob pena de inferir em um erro gravíssimo de 
considerar todos os pontos do domínio como pontos de máximo, mínimo ou 
inflexão. O teorema nos diz que, dado 𝑥𝑐 um ponto crítico em que 𝑓′(𝑥𝑐) = 0, 
I. Se 𝑓′′(𝑥𝑐) > 0, então 𝑥𝑐 é um ponto de mínimo local; 
II. Se 𝑓′′(𝑥𝑐) < 0, então 𝑥𝑐 é um ponto de máximo local; 
III. Se 𝑓′′(𝑥𝑐) = 0, então 𝑥𝑐 é um ponto de inflexão. 
Por exemplo, podemos usar essa técnica para encontrar e classificar os 
pontos críticos da função 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 24𝑥 + 32 
a qual já encontramos no intervalo de crescimento em [−∞, −2] ∪ [4, ∞] e 
decrescimento em [−2,4]. Quando derivamos, encontramos: 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥 − 24 
Ao igualar a zero, obtemos as raízes 𝑥′ = −2 e 𝑥 = 4. Precisamos 
classificar esses pontos, então encontramos a derivada segunda dada por: 
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 − 6 
Veja que, para 𝑥 = −2, obtemos: 
𝑓′′(−2) = −18 
 
 
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indicando que 𝑥 = −2 é um ponto de máximo local, enquanto para 𝑥 = 4, 
obtemos: 
𝑓′′(4) = 18 
Isso indica que 𝑥 = 4 é um ponto de mínimo local. Uma revisita no gráfico 
da Figura 2 confirma essa informação. 
TEMA 4 – APLICAÇÃO EM UM PROBLEMA REAL 
4.1 Como investigar a otimização em um problema real? 
Considere uma função que descreve o índice de criminalidade à medida 
que o tempo passa. Suponha que ele seja dado por: 
𝑁(𝑡) = −0,1𝑡3 + 1,5𝑡2 + 100 
Em que 𝑡 = 0 é medido em anos e representa o ano de 1997, enquanto 𝑁 
representa o índice de criminalidade medido em quantidade de crimes. Então, 
poderíamos investigar quando o índice de criminalidade obteve seu menor valor. 
Para isso, devemos derivar 𝑁(𝑡) em função do tempo e igualar a zero para 
encontrar seus pontos críticos. Assim, 
𝑁′(𝑡) = −0,3𝑡2 + 3𝑡 
−0,3𝑡2 + 3𝑡 = 0 
𝑡(−0,3𝑡 + 3) = 0 
Desse modo, vemos que 𝑡 = 0 e 𝑡 = 10 anos representam os pontos 
críticos. Para classificá-los, precisamos encontrar a derivada segunda, dada por: 
𝑁′′(𝑡) = −0,6𝑡 + 3 
E, finalmente, interpretar o sinal de cada um dos dois 𝑡𝑐 encontrados: 
𝑁′′(0) = 3 
𝑁′′(10) = −3 
 
 
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Veja, portanto, que o índice de criminalidade foi mínimo localmente no 
início do modelo, em 𝑡 = 0, ou seja, em 1997, enquanto foi máximo localmente 
em 𝑡 = 10, isto é, em 2007. 
Alguém poderia estar interessado em saber a quantidade de crimes 
ocorridos nesses dois momentos. Para isso, é necessário ter cuidado ao 
substituir na expressão certa, ou seja, em 𝑁(𝑡) que representa a quantidade de 
crimes. Então, 
𝑁(0) = 100 
𝑁(10) = 150 
Intuitivamente, a quantidade de crimes foi máxima em 2007 e mínima em 
1997. 
TEMA 5 – MÁXIMOS E MÍNIMOS GLOBAIS 
5.1 Como encontrar os pontos de máximo e mínimo globais (absolutos) 
de determinado intervalo? 
No problema anterior, intuitivamente, a quantidade de crimes foi máxima 
em 2007 e mínima em 1997, mas isso não é necessariamente verdade, visto que 
a Figura 4 apresenta o gráfico de 𝑁(𝑡) = −0,1𝑡3 + 1,5𝑡2 + 100. 
Figura 4 – Gráfico da função 𝑁(𝑡) = −0,1𝑡3 + 1,5𝑡2 + 100 
 
 
 
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Nela está claro que fora do intervalo entre (0,10) a função tem um ponto 
de máximo e de mínimo muito maiores do que os valores indicados. Aos pontos 
que realmente têm o maior valor damos o nome de máximos (ou mínimos) 
globais ou absolutos. E como encontrá-los? 
Para isso, é preciso perceber que o teste da derivada primeira levanta 
todos os pontos críticos da função. Entretanto, esses pontos nada mais são do 
que os pontos que separam uma região de crescimento de uma região de 
decrescimento. Entretanto, os pontos de máximo e mínimo, quando não 
acontecem nos pontos críticos, devem acontecer necessariamente nos extremos 
do intervalo. E por que isso? Justamente porque, se não fosse assim, deveriam 
ser apresentados no teste da derivada primeira! 
Como exemplo, vamos verificar o comportamento da função 
𝑃(𝑥) = −0,02𝑥2 + 300𝑥 + 200.000 
No domínio de 0 < 𝑥 < 20.000. Ao derivar, encontramos: 
𝑃′(𝑥) = −0,04𝑥 + 300 
Igualando a zero, vemos a existência de um único ponto crítico: 
−0,04𝑥 + 300 = 0 
𝑥𝑐 = 7.500 
A derivada segunda nos mostra que: 
𝑃′′(𝑥) = −0,04 
Isso indica que: 
𝑃′′(7.500) = −0,04 < 0 
mostrando que 𝑥𝑐 = 7.500 é um ponto de máximo local. Os outros candidatos 
que deveremos investigar são 𝑥 = 0 e 𝑥 = 20.000, que são os extremos do 
intervalo. Para isso, basta verificarmos a imagem de cada um desses pontos 
para a função 𝑃(𝑥): 
𝑃(0) = 200.000 
𝑃(7.500) = 950.000 
 
 
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𝑃(20.000) = −2.200.000 
Aqui observamos que 𝑥 = 7.500, além de ponto de máximo local, é ponto 
de máximo global, enquanto o ponto de mínimo global é de 𝑥 = 20.000. 
Poderíamos traçar a figura para observar esse comportamento, mas a escala 
não permite uma boa visualização. 
NA PRÁTICA 
Resolva os seguintes problemas: 
1. Um carpinteiro recebeu a missão de construir uma caixa aberta de fundo 
quadrado. O material usado para fazer os lados da caixa custa R$ 3,00 o 
metro quadrado e o material usado para fazer o fundo custa R$ 4,00 o 
metro quadrado. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que 
pode ser construída por R$ 60,00? 
2. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura de 4 m e raio 
da base (isto é, do topo) de 1 m. O tanque se enche de água à taxa de 2 
m³/min. Com que velocidade sobe o nível da água no instante em que ela 
tem 3 m de profundidade? 
3. Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma 
que o seu volume seja 2.500 m³. O material da base vai custar R$ 
1.200,00 por m² e o material dos lados R$ 980,00 por m². Determine as 
dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo. 
4. Uma caixa de base quadrada, sem tampa, deve ter 1 m³ de volume. 
Determine as dimensões que exigem o mínimo de material (despreze a 
espessura do material e as perdas na construção da caixa). 
FINALIZANDO 
Encerramos nossa aula apresentando as principais aplicações e 
interpretações da derivada. Agora poderemos dar continuidade a outra disciplina 
de estudos, apresentando a operação inversa da derivada, conhecida como 
integração. 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
FACCIN, G. M. Elementos de cálculo diferencial e integral. Curitiba: 
InterSaberes, 2015. 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001, v. 1. 
HOWARD, A. Cálculo: um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 1999. v. 1. 
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. São Paulo: Habra, 1999. v. 
1. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2012. v. 1.