Capital

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Aula de Economia Monetária: Capital
Prof. José Coelho
June 1, 2022
1 Introdução
Nos tópicos anteriores, os indivíduos tinham na retenção de moeda �duciária o único meio
de adquirir bens de consumo no segundo período de vida. No entanto, no mundo real,
existem outros ativos capazes de cumprir este papel. Aqui, focaremos no ativo conhecido
como CAPITAL, porque capital produz bens e afeta o produto real da economia. Entre-
tanto, apesar dessa particularidade, as conclusões são, basicamente, aplicáveis aos outros
substitutos da moeda.
1.1 Capital
Considere a seguinte tecnologia de produção: se o indivíduo converter kt unidades de bem
de consumo em bens de capital no período t, receberá xkt unidades do bem de consumo
no período t+ 1, onde x > 0 é a taxa bruta de retorno sobre o capital, de modo que
kt+1 = xkt
Aqui é assumido que a taxa de depreciação do capital é 100% ou, o que é o mesmo, que
o capital produz apenas se antes for desintegrado completamente.
As hipóteses do modelo são parecidas com as hipóteses do modelo inicial:
(i). Ao nascer, o indivíduo recebe uma dotação de y unidades do bem de consumo,
mas nada recebe quando envelhece.
(ii). A população cresce à taxa bruta n > 1.
(iii). Cada membro da geração inicial (initial old) começa com um estoque de capital
que produz xk0 unidades do bem de consumo no período 1. Isto é,
k1 = xk0
1
O Equilíbrio Não-Monetário
Analisemos, inicialmente, um equilíbrio sem moeda.
A tecnologia do capital habilita o jovem a usar alguma quantidade do bem de consumo
hoje, para produzir o bem de consumo no período seguinte, o que permitirá sua sobre-
vivência na velhice.
Isto é, quando jovem, o indivíduo nascido no período t, consome uma parte (c1,t) da
sua dotação (y) e converte a outra parte em capital
y − c1,t = kt
de modo a, no período seguinte, quando velho, poder consumir os bens produzidos pelo
capital
c2,t+1 = xkt
Assim, as restrições enfrentadas pelo indivíduo nascido no período t, são
Período t: c1,t + kt ≤ y
Período t+ 1: c2,t+1 ≤ xkt
Isolando x na segunda restrição e substituindo o resultado na primeira, teremos a
Restrição orçamentária intertemporal: c1,t +
c2,t+1
x
≤ y
Da restrição orçamentária intertemporal, concluímos que a taxa bruta de retorno do
capital, x, determina a inclinação da reta orçamentária. (Ver Figura 1).
Se, por exemplo, x > 1, o intercepto vertical da reta orçamentária será mais distante da
origem do que o intercepto horizontal.
Para decidir quanto capital cada indivíduo deseja, basta sobrepor o mapa de indifer-
ença individual no conjunto orçamentário, como na Figura 1.
Na Figura 1, a reta orçamentária é desenhada para uma taxa bruta de retorno do capi-
tal igual a x, tal que o indivíduo maximiza a utilidade escolhendo o padrão de consumo
(c∗1, c
∗
2) e retendo o capital k
∗ = y − c∗1. Isto é, o equilíbrio intertemporal é
c∗1 +
c∗2
x
= y
Até aqui, o modelo, como está desenhado, assume rendimentos marginais constantes do
capital (note que dkt+1
dkt
= x), signi�cando que as escolhas do estoque de capital não são
afetadas pelas forças econômicas, o que parece pouco realista.
2
Figure 1:
Nesse sentido, consideremos uma abordagem alternativa, supondo que a função de pro-
dução, f(k), é côncava ou, o que é o mesmo, que o capital exibe produtividade marginal
decrescente.
Isto é, valem as seguintes relações (ver Figura 2):
f ′(k) > 0
f ′′(k) < 0
Figure 2:
3
1.2 A Igualdade entre Taxas de Retorno
Além da alternativa do capital à moeda �duciária, as pessoas podem acumular valores de
muitas outras formas. Podem, por exemplo, adquirir ou vender terras; podem emprestar
para outras pessoas que desejam tomar empréstimos com garantia de rendas futuras etc.
Quais são as implicações da existência de outros ativos ou formas de acumular valores?
Consideremos uma economia com capital e dívida privada, que oferecem taxas de re-
torno x e r, respectivamente. Há alguma relação entre tais taxas de retorno?
Suponha, inicialmente, que r < x.
Haverá alguém racional disposto a efetuar empréstimo à taxa r?
A resposta é, obviamente, NÃO! Para isso acontecer, o emprestador teria de aceitar uma
taxa de retorno inferior ao que obteria criando capital. Neste caso, as pessoas preferirão
aplicar todas as suas poupanças em capital, a emprestá-las. E acontecerá o contrário se
r > x.
O resultado disso é que, para que as pessoas desejem reter os dois ativos (capital e dívida
privada), as duas taxas de retorno terão que ser idênticas (r = x) e qualquer desequilíbrio
entre dois ativos implicará que as pessoas gravitarão em torno do ativo que pagar a maior
taxa de retorno.
Conclusão
Quando houver dois ou mais ativos disponíveis para o indivíduo e não houver incertezas
sobre seus retornos, além de não haver restrições do governo que inter�ram na decisão in-
dividual de reter ativos, para que o indivíduo deseje reter todos os ativos simultaneamente,
as taxas de retorno desses ativos terão que ser idênticas. A isso chamamos princípio da
igualdade entre taxas de retorno.
1.3 Poderá a Moeda Fiduciária Coexistir com Outros Ativos?
Suponhamos que, nessa economia, seja introduzida a moeda �duciária (M) adicional-
mente ao capital (k) e à dívida privada (d), de modo que tenhamos, potencialmente, três
formas de poupança por parte do emprestador, com os três ativos sendo considerados
perfeitos substitutos.
Sabemos, do Capítulo 3, que, quando a população cresce à taxa n e a oferta de moeda
�duciária cresce à taxa z, a taxa de retorno da moeda �duciária será
vt+1
vt
=
n
z
Portanto, para que os três ativos sejam retidos, o princípio da igualdade entre taxas de
retorno requer que
n
z
= r = x
4
Deste modo, se a taxa de retorno da moeda �duciária for menor do que as taxas de retorno
do capital e da dívida privada, então a moeda �duciária jamais será escolhida como forma
de poupança pelos emprestadores. Logo, para ser valorada, a taxa de retorno da moeda
�duciária tem de ser, pelo menos, igual às taxas de retorno dos outros ativos.
1.4 O Efeito Tobin
Vimos, no item anterior, que numa economia em que o capital (k) e a moeda �duciária
(M) são substitutos perfeitos, as taxas de de retornos desses dois ativos têm de ser iguais.
Isto é,
n
z
= x
Então, quando o capital e a moeda �duciária são valorados, o estoque de capital de equi-
líbrio, k∗, é determinado pela taxa de retorno da moeda, n
z
.
Porém, qual será a taxa de retorno do capital, quando o capital (k) tiver retornos marginais
decrescentes?
Pelo que foi dito acima, pela perfeita substitubilidade entre capital (k) e moeda (M),
a taxa de retorno do capital será dada pela relação
f ′(k) =
n
z
Por outro lado, por de�nição, f ′(k) > 0 e f ′′(k) < 0 nos informam que o produto adicional
produzido quando o estoque de capital aumenta em 1 unidade será positivo, porém será
decrescente.
Neste sentido, usando o fato de que capital e moeda são substitutos perfeitos, de modo
que, em equilíbrio, quando k = k∗, f ′(k∗) = n
z
, o estoque de capital se comporta como na
Figura 3.
Para ver como isso afeta a análise, consideremos um aumento permanente na oferta de
moeda, de z para z′, gerando in�ação e diminuindo a taxa de retorno (antecipada!) da
moeda �duciária, de n
z
para n
z′
, induzindo o indivíduo a reter mais capital ao invés de
moeda.
Em contrapartida ao aumento da retenção de capital, ocorre uma redução na sua produ-
tividade marginal, até que os saldos se tornem nulos ou enquanto a taxa de retorno do
capital não cair até igualar-se à nova taxa de retorno da moeda (k∗
′
na Figura 3).
A substituição da moeda �duciária por capital privado, em reação a um aumento anteci-
pado na in�ação, é conhecido na literatura como Efeito Tobin e é usado como argumento
para justi�car porque um aumento antecipado no estoque de moeda pode ser considerado
5
Figure 3:
como promotor do crescimento econômico1. Neste caso, a moeda seria riqueza, como
querem os keynesianos.
Concluímos que quando capital e moeda �duciária são substitutos perfeitos, um aumento
na taxa de criaçãoda moeda �duciária leva a um aumento no estoque de capital.
Dado que o uso do capital no período t − 1 gera produto no período seguinte, maior
estoque de capital implica em subsequente aumento no produto. Então, no período t, o
produto real da economia (PIBt) é igual ao total da dotação da economia (Nty) mais o
produto agregado do capital gerado no período prévio (t− 1). Isto é,
PIBt = Nty +Nt−1f(kt−1) (1)
A pergunta que emerge é: num mundo em que capital e moeda �duciária são substitutos
perfeitos, devemos usar a in�ação antecipada (z) para aumentar o produto? A resposta
é NÃO!, por duas razões.
Primeiro, não se deve confundir crescimento econômico com bem estar: o objetivo de
um governo benevolente é aumentar o bem estar dos indivíduos (utilidade) e não apenas
aumentar o produto.
Ocorre que, o aumento do estoque de moeda �duciária em z faz com que as pessoas
aumentem sua retenção de capital, de modo a diminuir sua taxa de retorno, tornando
o estoque de capital da economia diferente do que seria o estoque ótimo, que deveria
obedecer à relação f ′(k∗) = n, como será provado na Seção 3. No entanto, uma política
in�acionista conduz o estoque de capital a uma posição maior do que a de equilíbrio, isto
1Lembre-se: f ′(k) > 0.
6
é, k > k∗ e f ′(k∗) < n.
Em segundo lugar, é importante notar que o efeito da expansão monetária sobre o es-
toque de capital não é grande o su�ciente no mundo real, dado que o estoque de moeda
�duciária, como proporção do estoque de capital, é muito pequeno. Isto é, o amento de
produto gerado por pela expansão do estoque de capital resultante do aumento da in�ação
será pequeno, já que o estoque de capital crescerá proporcionalmente menos.
2 Quando a Moeda Fiduciáiria e Outros Ativos não são
Substitutos
Olhemos de perto os efeitos da in�ação
(
pt+1
pt
)
sobre a taxa de juros (rt), sobre o capital
(kt) e sobre o produto (yt), quando a moeda �duciária e outros ativos não forem substitu-
tos. Em particular, examinemos o caso em que as taxas de retorno do capital e de outros
ativos excedem a taxa de retorno da moeda �duciária.
Pergunta
Quando a moeda �duciária é dominada em retorno por outros ativos, por que razão a
mesma continua a ser valorada ou, o que é o mesmo, por que continua a ser demandada?
Deixando de lado a resposta de Hicks (1935)2, basta assumir que cada pessoa jovem seja
legalmente obrigada adquirir saldos reais de moeda �duciária num valor �xo em bens, q∗.
Isso assegurará que a moeda �duciária, apesar de dominada em retorno, será valorada
e nos dará uma noção dos efeitos da in�ação antecipada, quando a taxa de retorno da
moeda �duciária é dominada pelas taxas de retorno de outros ativos.
Por de�nição, a taxa de juros cotada num intermediário �nanceiro é uma taxa
nominal que descreve o número de unidades monetárias pagas em juros por
cada unidade monetária emprestada . Em períodos in�acionários, esta taxa nominal
não re�ete a taxa real de retorno, que é dada pela quantidade de bens pagas em juros por
cada bem emprestado.
Como a utilidade depende do consumo real e as taxas cotadas nos empréstimos são valores
nominais, é importante ver a conexão entre as taxas reais e taxas nominais. Nesse sentido,
(a). Seja Rt a taxa nominal de juros bruta , no período t, uma medida da taxa
de retorno nominal da moeda �duciária e seja rt a taxa real de juros bruta,
medindo a taxa de retorno da moeda �duciária, em unidades de bens.
(b). Seja pt o preço do bem em moeda �duciária e seja vt = 1pt o valor real de uma
unidade monetária.
A taxa nominal de juros no período t (Rt) representa a quantidade de unidades monetárias
recebidas no período t+ 1 dividida pela quantidade de unidades monetárias emprestadas
no período t. Isto é,
2Segundo Hicks (1935), os indivíduos retêm moeda, um ativo dominado em retorno por outros ativos,
em razão dos altos custos de transformar outros ativos em moeda, quando for necessário usá-la.
7
Rt ≡
Rtd
d
A taxa real de juros bruta (rt) é representada pela taxa nominal de juros bruta (Rt)
expurgada a in�ação do período e é dada por
rt =
Rtd
pt+1
d
pt
=
Rtpt
pt+1
=
Rt
pt+1
pt
(2)
onde d representa o valor do empréstimo (ou a quantidade de unidades monetárias em-
prestadas) no período t.
Isto é, a taxa real de juros (rt) resulta da divisão do valor real a ser pago pelo tomador no
período t+1, dado por Rtd
pt+1
, dividido pelo valor real do que foi emprestado, no período t,
dado por d
pt
.
Rearranjando a expressão acima, concluimos que a taxa nominal de juros bruta (Rt)
e a taxa real de juros bruta (rt) estão ligadas pela relação
Rt = rt
(
pt+1
pt
)
(3)
Subtraindo 1 de ambos os lados da equação anterior, vem
Rt − 1 = rt
(
pt+1
pt
)
− 1 = [(rt − 1 + 1)]
[(
pt+1
pt
)
− 1 + 1
]
− 1
De modo que
Rt − 1 = (rt − 1) +
(
pt+1
pt
− 1
)
+ (rt − 1)
(
pt+1
pt
− 1
)
(4)
A equação acima a�rma que a �taxa nominal de juros líquida� é igual à �taxa real de juros
líquida�, mais a �taxa de in�ação líquida�, mais o produto dos dois termos anteriores. Para
baixos valores da taxa real de juros e da in�ação, a última parcela é pequena e pode ser
ignorada.
De acordo com os resultados do modelo OLG visto em sala de aula, qual é a taxa líquida
de in�ação? No Capítulo 3 (In�ação), vimos que a taxa bruta de retorno da moeda numa
economia em crescimento e com expansão monetária é vt+1
vt
= n
z
. Além disso, vimos que,
como o valor �nominal� da moeda é dado por ptvt = 1, de modo que o nível de preços em
cada período é dado por
pt =
1
vt
(5)
então a in�ação líquida é dada por
8
pt+1
pt
− 1 = vt
vt+1
− 1 = z
n
− 1 (6)
2.1 A In�ação Antecipada e a Taxa Nominal de Juros
Retornemos à equação (4) para examinar o efeito da in�ação sobre as taxas real e nominal
de juros. Em particular, desejamos saber se a taxa nominal de juros se ajustará plena-
mente a uma variação antecipada na taxa de in�ação, de modo que a taxa real de juros
permaneça constante, como no chamado �efeito Fisher�.
Assuma que o capital pague uma taxa de retorno bruto constante e igual a x. Pela
noção de igualdade das taxas de retorno, a taxa real de juros (r) nessa economia deve
permanecer igual à taxa real de retorno do capital (x), de modo que um empréstimo
concedido deve oferecer uma taxa nominal de retorno, R, tal que
x =
R
pt+1
1
pt
= R
(
vt+1
vt
)
= R
(n
z
)
(7)
ou
R = x
( z
n
)
(8)
Isto é, a taxa nominal de juros (R) cresce com a in�ação antecipada (n
z
), para manter a
taxa real de juros constante em x.
2.2 A In�ação Antecipada e a Taxa Real de Juros
Uma exceção ao �efeito Fisher� pode ocorrer se duas condições forem atendidas:
(i). Se a moeda e o capital forem substitutos, um aumento na taxa de in�ação ante-
cipada encorajará as pessoas a reduzirem sua retenção de moeda �duciária e a aumentar
sua retenção de capital (o chamado �efeito Tobin�).
(ii) Se, além disso, assumirmos que o capital tem rendimentos marginais decrescentes,
um aumento na retenção de capital descrito no �efeito Tobin� causará uma redução na
PMgK, representando uma redução no retorno real do capital e, portanto, em decor-
rência da igualdade entre taxas de retornos, uma redução na taxa real de juros. Neste
caso, embora um aumento antecipado na taxa de in�ação conduza a um aumento na taxa
nominal de juros, em razão da simultânea redução da taxa real de juros, a taxa nominal
não cresce na mesma proporção da taxa de in�ação antecipada.
Isto é, se chamarmos a expansão monetária esperada de ze(= z) e a taxa nominal de
juros esperada de Re, então
Re = x′
(
ze
n
)
< x
( z
n
)
= R
onde x′ representa a taxa de retorno do capital após a expansão monetária esperada ze.
9
2.3 Risco
Na discussão sobre a igualdade das taxas de retorno, assumimos que todos os ativos pagam
uma taxa de retorno conhecida com certeza completa. O que acontecerá com a igualdade
entre taxas de retorno se, ao invés de certeza completa, assumirmos que os ativos tenham
taxas de retornos aleatórias? Por exemplo, o que acontecerá se modi�carmos a hipótese
de perfeito resgate do empréstimo?
Para ver isso,suponhamos que existe uma probabilidade positiva de o empréstimo não
ser pago pelo tomador (default). Como anteriormente, suponhamos que o capital sem-
pre paga a taxa de retorno x, porém, agora, capital e empréstimos não são substitutos
perfeitos. Isto é, um dos ativos (empréstimo) paga uma taxa de retorno desconhecida
(lembre-se: há possibilidade de o empréstimo não ser resgatado) e o outro (capital) paga
um retorno x, com certeza.
Se as pessoas forem �neutras ao risco�, espera-se que a igualdade entre taxas de retorno
seja assegurada em média: para emprestadores que desejam emprestar, eles esperam re-
ceber, em média, uma taxa de retorno E(r) sobre os empréstimos igual à taxa de retorno
do capital (x). Isto é, se os agentes forem neutros ao risco, então,
E(r) = x
A expressão da taxa de retorno esperada é dada por
E(r) = π1r1 + π2r2 + ...+ πnrn (9)
onde πi representa a probabilidade de o i-ésimo tomador pagar a taxa de retorno ri e onde∑n
i πi = 1.
Exemplo 1: Considere um empréstimo que paga 15% de taxa de juros, com proba-
bilidade de de 10% de default e retorno de apenas metade do valor principal no caso de
default. Qual é a taxa de retorno esperada?
E(r) = (0.9)(1.15) + (0.1)(0.5) = 1.085
ou retorno líquido esperado de 8.5%.
O que dizer sobre a neutralidade das pessoas comuns diante do risco? Suponhamos que
lhe ofereçam uma aposta de acordo com os resultados do seguinte experimento aleatório:
uma moeda honesta é lançada. Se ela aterrissar �cara�, você perderá suas posses; se, por
outro lado, aterrissar �coroa�, suas posses serão dobradas. Você aceitaria tal aposta?
Suponha que suas posses valham $1.000. Neste caso, o retorno esperado será
E(r) = −$1.000(0.5) + $2.000(0.5) = $500
10
Se sua resposta for negativa, você será �averso ao risco�. A maioria das pessoas provavel-
mente recusaria essa aposta, porque a queda na utilidade resultante da perda da aposta
excede o ganho na utilidade de ganhá-la.
Para uma pessoa ser aversa ao risco, não signi�ca que jamais aceitará um ativo arriscado.
Na qualidade de pessoa aversa ao risco, você não apostará $1.000 no lançamento de uma
moeda honesta, se você tiver chance de ganhar apenas outros $1.000. No entanto, você
poderá apostar $1.000 se você tiver chance de ganhar $100.000 ao acertar seu lance. Isto
é, se as pessoas são aversas ao risco, elas não aceitarão um ativo arriscado se a taxa de
retorno for igual à do ativo seguro (livre de risco). No entanto, aceitarão reter um
ativo arriscado, se sua taxa de retorno esperada exceder a taxa de retorno do
ativo seguro.
A diferença entre as taxas de retorno do ativo arriscado, E(rrisky) e do ativo seguro, rsafe,
é chamado prêmio de risco (riskpremium), de modo que, quanto maior for a probabilidade
de perda, maior deverá ser o prêmio de risco.
riskpremium = E(rrisky)− rsafe (10)
3 Apêndice: A Regra de Ouro do Estoque de Capital
Mais capital será sempre desejável? À primeira vista, pode parecer que mais capital será
sempre desejável porque leva a uma maior produção no futuro. No entanto, devemos
perceber que, para criar o capital que levará à maior produção no futuro, os indivíduos
devem desistir do consumo hoje. Com essa percepção, podemos também querer fazer as
seguintes perguntas: qual é o nível ótimo de capital? Um mercado livre necessariamente
induzirá o nível ótimo de capital?
Responderemos a essas perguntas no contexto de um modelo no qual o capital é cri-
ado no período t e paga o retorno f(kt) no período t + 1, onde f ′(kt) > 0 e f ′′(kt) < 0.
Isto é, o produto marginal do capital é positivo, mas é decrescente. Para determinar o
estoque de capital ótimo, devemos primeiro saber quais combinações de consumo e cap-
ital são viáveis ou factíveis em uma economia com capital. Isto é, devemos conhecer o
conjunto viável ou factível para economias com capital.
Com a introdução de capital no nosso modelo, agora temos uma fonte de bens além
de dotações de bens a cada indivíduo jovem: os bens disponíveis para uso no período t
agora incluem a produção do capital criado no período anterior, Nt−1f(kt−1), bem como
as dotações aos indivíduos jovens, Nty. Além disso, há também um novo uso para os bens:
o investimento em capital. Isto é, os bens disponíveis período t destinam-se ao consumo
dos jovens (Ntc1,t), ao consumo dos idosos (Nt−1c2,t) e ao investimento em capital (Ntkt).
Assim, o conjunto factível pode ser escrito como
Ntc1,t +Nt−1c2,t +Ntkt ≤ Nty +Nt−1f(kt−1) (11)
Como antes, devemos dividir tudo por Nt para encontrar a relação �por indivíduo jovem�.
11
Como a população cresce a uma taxa bruta n > 1, isto é, Nt = nNt−1, então, após eliminar
o subscrito para referir-nos ao estado estacionário, teremos seguinte conjunto factível
c1 +
c2
n
+ k ≤ y + f(k)
n
(12)
ou
c1 +
c2
n
≤ y +
[
f(k)
n
− k
]
(13)
A equação (13) revela as condições sob as quais o capital é desejável em uma alocação
estacionária. O lado direito desta equação representa o produto líquido dos custos de
investimento (ou produto interno líquido) por indivíduo jovem, representando os bens
disponíveis para consumo. Então, o estoque de capital estacionário ótimo maximiza os
bens disponíveis para consumo em uma alocação estacionária.
Considere, primeiro, o caso de uma população constante (n = 1). Um aumento de uma
unidade de capital por jovem em cada geração, k, tem dois efeitos sobre o produto líquido
de investimento: (a) aumenta a produção do capital, f(k) na proporção do seu produto
marginal, f ′(k), mas aumenta o custo do investimento em 1 e (b) enquanto a unidade
de capital produzir mais do que custa, aumentará os bens disponíveis para consumo em
alocações estacionárias.
O caso de uma população em crescimento, (n > 1), é apenas ligeiramente diferente.
O benefício marginal por jovem de um aumento em k é o produto marginal do capital,
f ′(k), dividido por n, porque a produção do capital vem de um número menor de pessoas.
Isto é, há apenas 1
n
idosos para cada jovem. Portanto, um aumento de uma unidade no
capital por pessoa idosa aumenta os bens disponíveis para consumo em f
′(k)
n
. Segue-se
que capital extra é desejável em uma alocação estacionária desde que seus benefícios ex-
cedam seus custos, isto é, f
′(k)
n
> 1. A Regra de Ouro para a acumulação de capital é,
portanto, aumentar o capital até que seu produto marginal seja exatamente igual à taxa
de crescimento populacional, f ′(k) = n, conforme ilustrado na Figura 4.
Lembre-se de que o princípio da igualdade da taxa de retorno exige que as taxas de juros
sejam iguais ao produto marginal do capital. Logo, para saber se a economia estacionária
está na Regra de Ouro, basta comparar sua taxa de juros com sua taxa de crescimento:
se a taxa de crescimento exceder a taxa de juros, a economia terá excesso de capital,
ou �superacumulação de capital�; por outro lado, se a taxa de juros exceder a taxa de
crescimento, a economia terá muito pouco capital em relação à Regra de Ouro, ou �sub-
acumulação de capital�.
Assim que o capital estiver no nível k̂ que maximiza o produto líquido, resta encontrar
a Regra de Ouro da alocação do consumo entre c1 e c2. Representando gra�camente o
conjunto factível em k̂, encontraremos uma linha de inclinação −n, como representado
gra�camente na Figura 5. Como antes, teremos a Regra de Ouro da alocação do consumo
na tangência entre o conjunto viável e a curva de indiferença (ponto A na Figura 5).
Nada garante que um mercado livre levará a uma taxa de juros igual à taxa de cresci-
mento da economia. O estoque de capital é determinado pela quantia que as pessoas
12
Figure 4:
desejam poupar para mais tarde na vida. Se esse valor for menor que o estoque de capital
da Regra de Ouro (ou seja, se houver subacumulação de capital), o produto marginal do
capital será maior que n. Se esse valor for maior que o estoque de capital da Regra de
Ouro (ou seja, se houver superacumulação de capital), o produto marginal do capital será
menor que n.
Quando a taxa de juros for igual a n, ambas as condições para a Regra de Ouro serão
atendidas:1. O capital estará no nível que maximiza a produção (seu produto marginal é igual
à taxa de juros n).
2. O consumo será distribuído entre jovens e idosos de modo a maximizar a utilidade no
estado estacionário.
Quando o capital estiver superacumulado, f ′(k) < n, uma maneira de alcançar a Regra de
Ouro é manter um estoque constante de moeda �duciária, com a taxa de retorno da Regra
de Ouro igual a vt+1
vt
= n. Com tal ativo como alternativa, ninguém escolherá investir em
qualquer capital cujo produto marginal seja menor que n. Além disso, na taxa de retorno
da Regra de Ouro, os indivíduos também escolherão a combinação de consumo c1 e c2 que
maximiza a satisfação, no estado estacionário.
Outra forma de alterar a acumulação de capital em equilíbrio é por meio de transferências
intergeracionais, como a previdência social nos Estados Unidos e no Canadá. Tributar
os jovens para pagar os idosos reduz o valor que as pessoas pouparão por conta própria
para se aposentar, reduzindo a necessidade de capital como forma de poupança. Isso
pode ajudar uma economia a sair de uma superacumulação de capital. Se a economia
enfrenta uma subacumulação de capital, a transferência deve ir na direção oposta, com os
idosos tributados para �nanciar subsídios aos jovens. Isso aumentará a poupança privada
por meio do capital, pois os jovens têm mais disponibilidade para poupar e uma maior
necessidade de poupança por causa dos impostos que enfrentarão quando envelhecer.
13
Figure 5:
14