Maq Sincronas - Cap 4

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MÁQUINAS DE CORRENTE CONTÍNUA E SÍNCRONAS 
 
CAPÍTULO 4: 
PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO DAS MÁQUINAS SÍNCRONAS 
 
4.1. INTRODUÇÃO 
 
Assim como as máquinas de corrente contínua e as máquinas de indução (assíncronas), 
as máquinas síncronas podem ser utilizadas tanto como motores como geradores. Entretanto, 
devido a razões construtivas e ao seu custo maior em relação às máquinas de indução, elas 
são mais utilizadas como geradores. Embora tenha aplicação mais restrita, a máquina síncrona 
e sem dúvida um tipo importante de máquina elétrica. Praticamente toda a energia elétrica 
disponível é produzida por geradores síncronos em centrais elétricas, independente do seu tipo 
(hídrica, a carvão, a diesel, etc), convertem, assim energia mecânica em elétrica. Geradores 
síncronos também são utilizados para geração de energia elétrica em centrais de pequeno 
porte e em grupos geradores de emergência, os quais são instalados em indústrias, hospitais, 
aeroportos, etc... Neste caso o gerador não está ligado a um grande sistema de energia, mas 
funcionando de forma isolada. É também praticamente o único tipo de máquina utilizada na 
geração de energia elétrica em aeronaves e astronaves. Como motores elas são em geral 
utilizadas em altas potências (acima de 600 CV), nas quais apresentam vantagens importantes 
em relação aos motores de indução e também em aplicações em que se deseja rotação 
rigorosamente constante, como em relógios elétricos, aparelhos de som, etc. 
 
Assim como todas as máquinas elétricas, todos os alternadores constam de um sistema 
indutor ou de excitação, e de um sistema induzido ou armadura. O sistema de excitação de um 
alternador consta de um número par de polos magnéticos, que podem ser obtidos por meio de 
imãs permanentes ou por meio de núcleos de ferro excitados por bobinas pelas quais circule 
corrente contínua. Os ímãs permanentes são utilizados nos pequenos motores e geradores 
síncronos, onde a melhora do desempenho obtida com a excitação por bobinas não compensa 
o aumento de custo e/ou volume. É o tipo de excitação empregado em alguns geradores 
utilizados na aeronáutica. Os geradores de energia elétrica empregados no fornecimento de 
energia à indústria e as comunidades necessitam de um controle da tensão gerada e, portanto, 
nestes casos, se empregam sistemas de excitação com bobinas, para que se possa controlar o 
fluxo magnético. Por outro lado, máquinas síncronas a imãs permanentes vêm tendo uma 
utilização cada vez maior em baixas e médias potências especialmente quando se necessitam 
de velocidade variável, alto rendimento e respostas dinâmicas rápidas. Tanto as máquinas 
síncronas tradicionais de rotor bobinado como as máquinas síncronas a imãs permanentes 
necessitam em geral um conversor para o seu acionamento e controle, caso seja necessário 
que elas operem como motor com velocidade variável. 
 
A armadura consta de um certo número de bobinas ligadas em paralelo e/ou em série, 
sobre as quais é gerada a tensão e pelas quais passa a corrente de carga. Quando o alternador 
é utilizado como gerador, a armadura é o enrolamento que fornece a corrente de carga que 
consome a potência gerada. Esta potência elétrica gerada é originada da potência mecânica 
fornecida ao eixo do gerador pela máquina primária. Quando a máquina síncrona é utilizada 
como motor, a armadura é o enrolamento que recebe a corrente da fonte, a qual fornece a 
potência elétrica que o motor transforma em potência mecânica que é consumida pela carga. 
Em resumo, a potência elétrica da armadura e a potência mecânica do eixo estão inter-
relacionadas, por um processo de conversão de energia. Já, a potência elétrica fornecida ao 
sistema de excitação não está relacionada à potência convertida de elétrica para mecânica e 
vice-versa. O enrolamento polar apenas consome energia na resistência, energia esta que é 
toda convertida em calor. 
Do exposto, verifica-se que o dimensionamento da armadura depende da potência da 
máquina, enquanto o dimensionamento do sistema de excitação depende da intensidade do 
campo magnético que ele deve fornecer. 
 
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4.1.1 - MÁQUINAS ROTATIVAS: REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS: 
 [FITZGERALD, Cap.3/3ed. ou Cap.4/6ed.] 
Lei de Faraday 
de
dt
λ= − 
Tensão induzida por um campo magnético variável no tempo. Tem-se em 
 
• MÁQUINAS ROTATIVAS 
Tensões geradas (em enrolamentos ou grupos de bobinas): 
• pela rotação mecânica destes enrolamentos dentro de um campo magnético 
• por um campo magnético girante que atravesse um enrolamento ou 
• fazendo com que a relutância do circuito magnético varie com a rotação do motor 
 
Em qualquer dos 3 casos, o fluxo concatenado ( λ ), com uma dada bobina, varia 
ciclicamente, gerando uma tensão variável no tempo 
 
• ENROLAMENTO DE ARMADURA 
Grupo de bobinas interligadas de tal forma que todas as tensões nelas geradas se somam. 
 
• BOBINAS 
9 Enroladas sobre núcleos de ferro - para facilitar o caminho do fluxo 
9 Devido ao núcleo de ferro ser submetido a um fluxo magnético variável aparecem nele 
as correntes de Foucault. Para minimizar estas perdas recorre-se a núcleo laminado. 
9 O circuito magnético se completa através do ferro da outra peça da máquina. Aí são 
colocadas as bobinas excitadoras (Enrolamentos de Campo) 
9 Enrolamentos de Campo: bobinas excitadoras que produzem o fluxo principal de 
operação da máquina. 
 
4.2 FUNCIONAMENTO ELEMENTAR 
 
4.2.1 MÁQUINA SÍNCRONA ELEMENTAR 
 
Uma máquina síncrona muito simplificada é ilustrada pela figura 4.1. Com raras 
exceções, o enrolamento de armadura de uma máquina síncrona encontra-se no estator, e 
o enrolamento de excitação no rotor. Este último enrolamento é excitado por corrente 
contínua conduzida até ele por escovas de carbono que deslizam em anéis de 
coletor. Questões construtivas determinam esta orientação dos dois enrolamentos: É 
vantajoso ter o enrolamento de baixa potência (excitação) no rotor. 
 
Fig. 4.1- Gerador síncrono elementar 
 
O enrolamento de armadura, que consiste em uma única bobina de N espiras, é 
indicado em corte pelos dois lados da bobina −a e a, alojados em ranhuras, diametralmente 
Caminhos 
de fluxo 
a, -a : enrolamento 
de armadura: bobina 
com N espiras 
Enrolamentos 
de campo 
Estator
Eixo magnético do enrolamento da armadura 
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opostas, na periferia interna do estator da figura 4.1. Os condutores que formam esses lados 
da bobina são paralelos ao eixo da máquina e estão ligados em série por conexões não 
mostradas na figura. Em um gerador, o rotor roda a uma velocidade constante, impulsionado 
por uma fonte de potência mecânica (máquina primária) ligada ao seu eixo. Supõe-se que o 
enrolamento de armadura esteja em circuito aberto e, portanto, o fluxo dessa máquina será 
produzido apenas pelo enrolamento de campo. Os caminhos de fluxo são mostrados na figura 
4.1 através das linhas tracejadas. 
 
A distribuição radial da densidade de fluxo B no entreferro é ilustrada na figura 4.2a 
como função do ângulo θ ao longo do contorno do entreferro. A densidade de fluxo de 
máquinas reais pode ser tornada uma distribuição aproximadamente senoidal 
através de uma cuidadosa construção das faces polares. Com a rotação do rotor, a onda 
do fluxo varre os dois lados da bobina. A tensão resultante (figura 4.2b) é uma função com a 
mesma forma de onda da distribuição espacial B. 
A tensão na bobina tem um ciclo completo de valores para cada revolução da máquina 
de 2 polos. A sua freqüência em ciclos/s(Hz) é a mesma que a velocidade do rotor em 
rotações por segundo, e esta é a razão para ser designada de máquina síncrona. Assim, 
uma máquina bipolar deve rodar a 3600 rotações por minuto (rpm) para produzir uma tensão 
senoidal de freqüência 60 Hz. Um grande número de máquinas síncronas tem mais de 2 polos. 
Como um exemplo específico, a figura 4.3 mostra um alternador elementar monofásico de 4 
polos. As bobinas de campo estão ligadas de forma a que os polos sejam alternadamente 
Norte-Sul. O fluxo tem agora 2 ciclos completos por rotação do rotor, assim como a 
tensão. A freqüência f em hertz (Hz) é, portanto, o dobro da velocidade mecânica em rotações 
por segundo (figura 4.4). 
 
Fig. 4.2 - a) Distribuição espacial do fluxo no entreferro; b) tensão induzida 
 
 
Fig. 4.3- Gerador síncrono 
elementar de quatro polos 
 
 
 
Fig. 4.4- Distribuição espacial do fluxo no entreferro para 
um gerador síncrono de quatro polos. 
 
MÁQUINAS COM 2 POLOS: 
1 Rotação completa Î 1 ciclo de tensão 
(completo) Î 
1 Tmec = 1 Telét 
 
n (rps) = f (hertz ou ciclos/s) 
 
60 rps = 60 Hz Î 60 rps . 60 = 3600 rpm 
MÁQUINAS COM 4 POLOS: 
Dois ciclos completos por rotação do rotor Î 
f (Hz)= 2 x nmec (rps) 
1 Tmec = 2 Telét Î 1 / fm = 2 / fe Î fe = 2 fm. 
 
2.n (rps) = 60 Hz 
 
2.30 (rps) = 60 Hz Î 30 rps . 60 = 1800 rpm 
 
Quando uma máquina tem mais de 2 polos é conveniente concentrar a atenção em 
apenas um único par de polos e assegurar-se que as condições elétricas, magnéticas e 
θm, rad 
mecânicos
θ, rad 
elétricos 
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mecânicas, associadas a cada um dos outros pares de polos, são repetições das associadas 
àquele. Por esta razão é conveniente expressar os ângulos em graus elétricos ou radianos 
elétricos ao invés de unidades mecânicas. Um par de polos numa máquina com P polos, ou 
um ciclo de distribuição de fluxo, corresponde a 2π radianos elétricos ou 360 elétricos, de 
onde: 
2e m
Pθ = θ ou θe = p x θm (4.1a) 
 
onde θe é o ângulo em unidades elétricas, θm é o ângulo em unidades mecânicas e P é o 
número de polos (e p é número de pares de polos). 
A freqüência elétrica da tensão gerada, ωe, em radianos por segundo é 
2e m
Pω = ω (4.1b) 
onde ωm é a velocidade mecânica em rad/s. 
 
A tensão de uma bobina em uma máquina de múltiplos polos passa por um ciclo 
completo toda vez que um par de polos passa pela bobina ou P/2 vezes a cada revolução. 
Portanto, a freqüência elétrica, em Hz, da tensão gerada em uma máquina síncrona é 
2 60
P nf = × [Hz] (4.1c) 
onde n é a velocidade mecânica em rpm, e portanto n/60 é a velocidade em rps. 
 
PARTICULARIDADES CONSTRUTIVAS 
 
O induzido da máquina síncrona, normalmente no estator, é idêntico ao da máquina 
assíncrona e, portanto, constituído por um enrolamento distribuído, normalmente trifásico e 
com um ou mais pares de polos. 
O indutor, normalmente no rotor, é constituído por um enrolamento alimentado por 
corrente contínua, também designado enrolamento de campo ou de excitação, embora se 
assista a um progressivo uso de ímãs permanentes em substituição desse enrolamento, nas 
unidades de menor potência. Normalmente o rotor apresenta-se sob duas formas possíveis, 
originando duas famílias de máquinas: 
 
a) Máquinas de polos salientes, como mostrado nas figuras 4.1 e 4.3, em que o 
enrolamento é constituído por bobinas concentradas em torno das cabeças polares. Este 
tipo de construção é possível para todas as velocidades de rotação síncrona e toda a gama 
de potências, entretanto o nº de polos mínimo é fixado em quatro. Este tipo de máquina é 
usado, por exemplo, em centrais hidroelétricas, acoplado a turbinas Francis ou Kaplan, 
devido à velocidade ser reduzida, segundo a natureza da queda. Por esse motivo, são 
máquinas com muitos polos o que as leva a serem maiores em diâmetro do que em 
profundidade (caracterizam-se por uma forma larga e pouco profunda). É a forma mais 
comum para motores, sobretudo para os que rodam a baixas velocidades. 
 
b) Máquinas de rotor cilíndrico (ou liso), neste caso o enrolamento de campo é um 
enrolamento distribuído, colocado em ranhuras e projetado de forma a produzir um campo 
aproximadamente senoidal , como mostrado esquematicamente na Fig. 4.5. Constroem-se 
deste modo máquinas que rodam a velocidades elevadas uma vez que não se ultrapassa 
com este tipo de enrolamento 2 ou 4 polos. Os rotores cilíndricos são utilizados 
principalmente em máquinas que rodam a grande velocidade como turbo-alternadores. 
São compostas de peças com grande resistência mecânica, normalmente rotores maciços 
em aço. As restrições mecânicas impõem o limite de 1250 mm para o diâmetro a 3000 
rpm, o que provoca a forma alongada para este tipo de máquinas. 
 
As razões para escolha entre rotores com polos salientes e rotores cilíndricos são dadas 
pela sua aplicação. Pela equação (4.1c) 
2 60
P nf = × 
Guilherme
Rectangle
Guilherme
Rectangle
Guilherme
Textbox
wn=120*f/P
Guilherme
Rectangle
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tem-se: 
 
Para geradores que funcionam a baixas 
velocidades (geradores hidrelétricos, devido à baixa 
velocidade das turbinas) são necessários muitos polos 
para se conseguir a freqüência desejada (em geral, 60 
Hz). Neste caso, mecanicamente, é mais conveniente 
trabalhar-se com polos salientes. 
 
Já no caso de termoelétricas as turbinas a vapor 
ou gás funcionam melhor com velocidades 
relativamente altas. Neste caso são necessários poucos 
polos e em geral se trabalha com rotor cilíndrico (a 2 ou 
4 polos). 
 
 
Figura 4.5: Máquina síncrona elementar 
de rotor cilíndrico 
 
GERADORES SÍNCRONOS TRIFÁSICOS 
 
- Em geral, os geradores síncronos são máquinas trifásicas (Figura 4.6) devido às vantagens 
de sistemas trifásicos para a geração e transmissão de energia elétrica, e a sua utilização em 
sistemas de grande potência. 
- Construídos com no mínimo 1 conjunto de 3 bobinas deslocadas de 120° no espaço, para 
uma máquina de 2 polos (conforme a figura a); no mínimo 2 conjuntos com 3 bobinas; para 
máquinas de 4 polos, no mínimo P/2 desses conjuntos para máquinas de P polos. 
- Bobinas ligadas em série e fases ligadas em estrela (Y) ou em triângulo (Δ). 
 
Obs.: 
 Para produzir 3 tensões defasadas de 120o elétricos no tempo => necessita-se de 3 bobinas 
deslocadas de 120o elétricos no espaço. 
 Numa máquina elementar de 4 polos => 2 conjuntos de bobinas p/ fase 
 Numa máquina de p polos => p/2 conjuntos 
 
 
 
Figura 4.6 – Estrutura básica da máquina síncrona trifásica 
 
Quando um gerador síncrono fornece potência elétrica a uma carga, a corrente de 
armadura cria uma onda componente do fluxo que gira à velocidade de sincronismo. Este fluxo 
reage com o fluxo criado pela corrente de excitação e obtém-se um conjugado eletromagnético 
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devido à tendência que os campos magnéticos têm de se alinhar. Num gerador este torque 
opõe-se à rotação e a máquina primária tem de produzir um torque mecânico para manter a 
rotação. 
 
Num motor síncrono fornece-se corrente alternada ao enrolamento de armadura ou 
induzido (habitualmente o estator) e excitação CC ao enrolamento de campo (por oposição, 
habitualmente no rotor).O campo magnético roda a velocidade de sincronismo, imposta pela 
freqüência da rede de alimentação (a rotação do campo deve-se a alimentação através de um 
sistema polifásico simétrico como iremos ver adiante). Para obter um torque eletromagnético 
estável, os campos magnéticos estatórico e rotórico devem ser constantes em amplitude e 
estacionários um em relação ao outro, o que, como o campo criado pela excitação CC rotórica 
é fixo em relação a este órgão, implica que o rotor tem de rodar a velocidade de sincronismo 
mecânica, ou seja à velocidade imposta pela freqüência da rede e pelo número de polos da 
máquina. No motor o torque eletromagnético está na direção da rotação e equilibra o torque 
resistente da carga. 
 
Complemento: Geração utilizando turbinas hidráulicas 
C.1) Turbinas Hidráulicas: 
Basicamente, quanto ao tipo de operação, existem dois tipos de turbinas hidráulicas: 
• Turbinas de Ação : onde a água atua diretamente sobre o rotor fazendo-o girar. 
• Turbinas de Reação : onde a saída da água é responsável por uma reação que faz o 
rotor girar (como, por exemplo, o torniquete de um jardim, usado para irrigação). 
Os tipos de turbinas hidráulicas, em função basicamente da altura disponível H(m) e da vazão 
da água Q(m3/s). Assim, tem-se: 
H alto (100<H<400m) e Q pequena (Q<100m3/s) Î Turbina PELTON (de ação) 
H < 100m e Q qualquer Î Turbina FRANCIS (de reação) 
H < 20m e Q qualquer Î Turbina KAPLAN (de reação) 
 
C.2) Gerador Hidrelétrico: 
Normalmente é um gerador síncrono (no Brasil, f = 60 Hz constante), trifásico, tensões entre 
20 e 25 kV fase-fase, com um grande número de polos e de baixa rotação. Por exemplo: 
Barra Bonita - Kaplan - gerador de 56 polos. 
Ilha Solteira - Kaplan - gerador de 84 polos. 
 
Exemplo 4.1 
 
Determine os respectivos números de polos das máquinas para o sistema de geração da 
usina de Itaipu: turbina Francis/ gerador com velocidade de 92,3 rpm a 60 Hz (lado brasileiro) 
e 90,9 rpm a 50 Hz (lado paraguaio) 
 
 
 
Exemplo 4.2 
 
Considere a alimentação de um sistema trifásico em 25 Hz a partir de um sistema 
trifásico de 60 Hz por meio de um conjunto Motor-Gerador constituído de duas máquinas 
síncronas acopladas diretamente. 
a) Qual o número mínimo de polos que o motor deve ter? 
b) Qual o número mínimo de polos que o gerador dever ter? 
c) Em que velocidade, em rpm, o conjunto irá funcionar? 
 
 
 
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4.2.2 F.M.M. DE ENROLAMENTOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS 
 
Uma máquina elétrica contém um fluxo magnético que resulta da ação simultânea de 
correntes que circulam nos diferentes enrolamentos. Estes enrolamentos são constituídos por 
bobinas de uma ou mais espiras em série, que formam um circuito ou uma parte do circuito da 
máquina. De acordo com o tipo de máquina considerada, os enrolamentos são concêntricos, 
dispostos geralmente sobre os polos salientes ou distribuídos em ranhuras ao longo da 
periferia do entreferro. 
 
A – ENROLAMENTO CONCENTRADO 
 
O estudo dos campos magnéticos de 
enrolamentos distribuídos pode ser 
aproximado pelo estudo do campo 
magnético de uma única bobina, colocada 
em ranhuras idealmente estreitas, de N 
espiras com passo 180º, chamada de bobina 
de passo pleno (ou integral), como mostrado 
na Fig. 4.7a. Por simplicidade é considerado 
um rotor cilíndrico. Com a rotação do rotor, 
a passagem de cada lado da bobina, a 
distribuição da força magnetomotriz vai ter a 
forma de uma onda retangular, saltando 
abruptamente de −Ni/2 para Ni/2 (e vice-
versa). 
 
A onda retangular de f.m.m. de uma 
bobina concentrada, dois polos, de passo 
pleno, distribuída em degraus de amplitude 
±N.i/2 pode ser decomposta em uma série 
de Fourier, que compreende uma 
componente fundamental e uma série de 
harmônicos de ordem ímpar. A componente 
fundamental é: 
1
4 cos
2a a
Ni= × θπF� (4.2) 
onde θa é medido a partir do eixo da bobina 
do estator, sendo o valor máximo da força 
magnetomotriz: 
max
4
2
Ni= ×πF� (4.3) 
 
B – ENROLAMENTO DISTRIBUÍDO 
 
No projeto de máquinas CA são feitos 
diversos esforços no sentido de distribuir o 
enrolamento, de modo a procurar a melhor 
aproximação a uma distribuição espacial 
senoidal da força magnetomotriz. 
Distribuindo o enrolamento por 
diversas ranhuras ao longo da periferia do 
entreferro, obtém-se uma melhor 
aproximação da senóide do que a onda 
retangular referida. 
Na figura 4.8, observa-se que a onda 
de f.m.m. é uma série de degraus de altura, 
cada um com altura 2Ncia se cada bobina 
tiver Nc espiras e ia for a corrente que a 
atravessa. 
Figura 4.7: (a) Fluxo produzido por uma bobina 
concentrada de passo pleno em uma máquina com 
entreferro uniforme. (b) FMM no entreferro 
produzida pela corrente nesse enrolamento 
 
 
Figura 4.8: FMM de uma fase de um enrolamento 
trifásico distribuído, 2 polos, passo pleno. 
Bobina de N 
espiras conduzindo 
uma corrente i. Linhas de fluxo 
Eixo magnético 
da bobina do 
estator 
Superfície 
do rotor
Superfície 
do estator 
Fundamental Fa1
Eixo da
fase a
Eixo da 
fase a 
Onda fundamental 
espacial da FMM 
Guilherme
Highlight
Guilherme
Rectangle
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Nota-se que é produzida uma onda com melhor aproximação senoidal de f.m.m. do que 
na bobina concentrada. 
Decomposta em série de Fourier vem que a fundamental é: 
1
4 cos
2a d a
Nik= θπF� (4.4) 
 
em que 
Kd – Fator de distribuição (0,85 a 0,95). 
N – N° de espiras em série, por fase. 
 
A componente fundamental resultante de um enrolamento distribuído é menor do que a 
soma das componentes fundamentais relativas a cada bobina individual porque os eixos 
magnéticos das bobinas individuais não estão alinhados com a resultante. O fator kd (ou kw, 
0,85 a 0,95) que determina a diferença é denominado fator de distribuição. Assim kdN é o 
número efetivo de espiras por fase em série para a componente fundamental da força 
magnetomotriz. 
Se a corrente da fase a for senoidal no tempo, por exemplo, ia = Im . cos ωt, o resultado 
será uma onda de FMM que é estacionária no espaço e varia senoidalmente em relação à θa e 
ao tempo. 
1
4 cos
2
d f
a a a
k N Pi
P
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟π ⎝ ⎠⎝ ⎠
F� (4.5) 
 
Para uma máquina polifásica e com P polos vem que o valor máximo da força 
magnetomotriz por fase (amplitude de pico da onda) é: 
( )1 4 fa d mmáx Nk IP
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟π ⎝ ⎠
F� (4.6) 
 
 
em que Nf é o número de espiras por fase e Im o valor máximo da corrente na fase “a”. 
 
A influência dos restantes harmônicos pode ser minimizada através do uso de artifícios 
como o uso de bobinas de passo fracionário. Este processo cria assim um segundo fator, o 
fator de passo kp 
 
 
4.2.3 CAMPOS MAGNÉTICOS GIRANTES 
 
Para se compreender a teoria e a operação de máquinas de C.A. polifásicas (síncronas e 
de indução), é necessário estudar a natureza do campo magnético produzido por um 
enrolamento polifásico. O estudo dos campos girantes pode ser realizado por duas formas 
diferentes: a Análise gráfica ou o Método Analítico. 
 
 
ANÁLISE GRÁFICA – Considere-se a máquina 
de C.A. vista na figura 4.9, do tipo trifásica, 
com 3 enrolamentos deslocados uns dos outros 
de 120°(elétricos), ao longo da circunferência 
do entreferro, marcadospelas bobinas a, -a, b, 
-b, c, -c. 
 
As ondas espaciais senoidais de f.m.m. 
produzidas são representadas por fasores 
centrados nos eixos magnéticos de cada fase. 
Logo, as três ondas de f.m.m. estão deslocadas 
de 120°E no espaço. 
 
Fig. 4.9 – Enrolamento de um estator trifásico, 2 
polos 
Eixo da 
fase a 
Eixo da 
fase b 
Eixo da 
fase c 
Guilherme
Highlight
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⇒ No caso: bobinas concentradas de passo pleno ⇒ representam enrolamentos distribuídos 
produzindo ondas senoidais de FMM centradas nos eixos magnéticos das respectivas fases. 
 
Cada fase é excitada por uma corrente 
alternada que varia de forma senoidal. Sob 
condições trifásicas balanceadas, as correntes 
instantâneas são: 
ia = Im cosωt 
ib = Im cos(ωt-120o) 
ic = Im cos(ωt-240o) 
 
onde Im é o valor máximo da corrente e a 
origem do tempo é tomada arbitrariamente 
como sendo o instante em que a fase a é 
máxima. Assume-se que a seqüência de fases 
seja abc. As correntes instantâneas estão 
mostradas na Fig. 4.10. 
 
 
Fig. 4.10 – Correntes de fase instantâneas sob 
condições de equilíbrio trifásico. 
Os pontos e cruzes nos lados das bobinas (Fig 4.9) indicam os sentidos de referência 
para correntes positivas de fase. 
 
Para correntes trifásicas equilibradas, a produção uma FMM girante pode ser mostrada 
graficamente. Considere a situação em t = 0. 
 
 
 
A f.m.m. da fase a tem seu valor máximo Fmax , para t=0, que é o momento em que a 
corrente da fase a está no seu valor máximo Im. Assim, 
 
Considerando ωt = 0 
 
⇒ corrente na fase a é máxima 
 
⇒ correntes nas fases b e c: 0,5 máximo 
negativo 
 
 
⇒ FMM tem um valor máximo na fase a ⇒ Fa = 
Famáx 
 
Fa = Famáx cosωt 
Fb = Fbmáx cos(ωt-120o) 
Fc = Fcmáx cos(ωt-240o) 
Para ωt = 0 Fa = Famáx 
Fb = Fbmáx cos(-120o) = -0,5 Fbmáx 
Fc = Fcmáx cos(-240o) = -0,5 Fcmáx 
A Fmm (campo magnético) resultante tem a direção do eixo da bobina a, -a e vale 
FR = Famáx + Fbmáx/4 + Fcmáx/4 
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Mas, Famáx = Fbmáx = Fcmáx = Fmáx (correntes balanceadas) 
Logo, FR = 3/2.Fmáx 
 
Considerando ωt = 60o 
 
⇒ corrente na fase c é máxima negativa 
 
⇒ correntes nas fases a e b: 0,5 máximo 
positivo 
 
 
Fa = 0,5Famáx 
Fb = 0,5 Fbmáx 
Fc = - Fcmáx 
 
A FMM (campo magnético) resultante tem a direção do eixo da bobina c, -c e vale 
 
FR = Fcmáx + 0,5Famáxcos60o + Fbmáxcos60o 
Mas, Famáx = Fbmáx = Fcmáx = Fmáx (correntes balanceadas) 
 
Logo, FR = 1,5.Fmáx 
 
Considerando ωt = 120o 
 
⇒ corrente na fase b é máxima positiva 
 
⇒ correntes nas fases a e c: 0,5 máximo negativo 
 
 
 
Fa = - 0,5Famáx 
Fb = Fbmáx 
Fc = - 0,5 Fcmáx 
 
A FMM (campo magnético) resultante tem a direção do eixo da bobina b, -b e vale 
FR = Fbmáx + 0,5Famáx(0,5) + Fcmáx(0,5) 
Logo, FR = 1,5.Fmáx 
 
Conclusão: 
 
Tem-se um campo magnético girando ao redor da circunferência do entreferro. 
O campo faz uma rotação completa por ciclo numa máquina de 2 polos. Numa máquina 
de P polos tem-se 2/P rotações por ciclo. 
 
Velocidade angular da onda ⇒ ω = 2πf (rad/s) 
 
ωm = (2/p) ωele 
 
n = 120f / P 
 
Um enrolamento trifásico excitado por correntes trifásicas equilibradas produz o mesmo 
efeito que a rotação de um imã permanente em torno de um eixo perpendicular ao imã, ou 
pela rotação dos polos de campo excitado por CC. 
 
 
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(rpm)
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4.3 TENSÃO GERADA: 
 
Sendo o processo de indução de tensão no estator de máquinas síncronas essencial 
para o entendimento do seu funcionamento, no que segue é apresentado brevemente às 
equações básicas que regem este fenômeno. Maiores detalhes são encontrados na bibliografia. 
O fluxo produzido pelo rotor é assumido como distribuído de forma senoidal sobre a 
periferia do estator. Sendo que os geradores são empregados em sistemas com tensões 
senoidais, eles são projetados e construídos para que a sua tensão induzida seja o mais 
próximo possível de uma senóide. Esta exigência impõe que a distribuição da indução no 
entreferro deva ser muito próxima de uma senóide. Isto é obtido basicamente pela forma 
como os enrolamentos do estator são distribuídos ao longo da superfície interna do estator. 
No caso da máquina de polos salientes uma influência acentuada na forma da tensão 
induzida é também exercida pela forma geométrica dos polos, os quais são cuidadosamente 
projetados para produzir uma indução senoidal no entreferro. 
No caso da máquina de polos lisos a indução aproximadamente senoidal no entreferro é 
obtida pela forma como o enrolamento de campo é distribuído sobre a superfície do rotor e 
pela relação entre a parte ranhurada e a parte lisa do rotor, como mostrado na Fig. 4.11. 
 
Fig. 4.11 – FMM de entreferro do enrolamento distribuído do rotor de um gerador de rotor cilíndrico. 
 
A onda fundamental de FMM no entreferro de um enrolamento de rotor de múltiplos 
polos pode ser obtida a partir de (4.5) em termos do número total Nr de espiras em série, a 
corrente de enrolamento Ir e um fator de enrolamento kr, obtendo-se 
1
4 cos
2
r r
a r r
k N PI
P
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟π ⎝ ⎠⎝ ⎠F� (4.7a) 
onde θr é o ângulo espacial medido em relação ao eixo magnético do rotor, como mostrado na 
Fig. 4.11b. Sua amplitude de pico é 
( )1 4 r ra rpico k N IP
⎛ ⎞= ⎜ ⎟π ⎝ ⎠F� (4.7b) 
Então, se o entreferro é uniforme, a densidade de fluxo magnético (indução) 
fundamental espacial no entreferro pode ser obtida multiplicando-se a permeabilidade do 
vácuo (μ0) pelo campo magnético do entreferro, o qual pode ser encontrado a partir da 
componente fundamental espacial da FMM no entreferro dividida pelo comprimento de 
entreferro g, ou seja 
( ) ( )0 011 4μ μ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟π ⎝ ⎠
a pico r r
a rpico
k NB I
g g P
F�
 (4.8) 
 
Desta forma, a hipótese de assumir uma distribuição aproximadamente senoidal para a 
indução no entreferro está de acordo com as características construtivas tanto do gerador de 
polos lisos como do gerador de polos salientes. Sendo que a hipótese se aplica a ambos os 
tipos de geradores (polos lisos e salientes) a formulação que segue se aplica igualmente a 
ambos. A velocidade de rotação do rotor também é assumida constante. 
 
A figura 4.12 ilustra de forma esquemática o arranjo de uma máquina síncrona, onde 
para facilitar a análise, os enrolamentos do estator estão ilustrados como concentrados, de 
múltiplas espiras e de passo pleno. Com base neste arranjo, pode-se estender a análise para o 
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caso mais geral de enrolamentos distribuídos e com passo encurtado. O rotor possui dois 
polos, porém a análise permanece válida também para qualquer número de polos. 
 
Resumindo: Tensão induzida na armadura = ∑ tensões induzidas em cada bobina. 
Supõe-se que o enrolamento de campo do rotor produz uma onda espacial senoidal de indução magnética (B) na 
superfície do estator. O rotor está girando à velocidade angularconstante de ω rad/s (elétricos) 
 
 
 
 
Figura 4.12: Seção transversal de uma máquina síncrona trifásica elementar de rotor cilíndrico. 
 
Quando os polos do rotor estão alinhados com o eixo magnético de uma fase do estator 
⇒ o fluxo concatenado ( λ ) com o enrolamento de uma fase do estator é NΦ (Φ = fluxo de 
entreferro, por polo, em Wb) 
 
O Campo produz indução magnética B, no estator, através de uma onda espacial 
senoidal. A indução magnética é 
B(θ) = Bpico ⋅cosθ 
em que 
Bpico - indução máxima no entreferro no centro do polo 
θ = θr - ângulo elétrico medido a partir o eixo magnético do rotor (centro do polo) 
 
O fluxo sob um polo é dado pela integral da indução que resulta para uma máquina 
de 2 polos: 
2
2
cosP picoB r d
+π
−π
φ = ⋅ θ ⋅ ⋅ ⋅ θ∫ A 
Integrando-se a expressão acima, 
resulta para o fluxo sob um polo 
2 picoB rφ = ⋅ ⋅ ⋅A 
φ - Fluxo magnético (Wb ou 108 Maxwell) 
B - densidade de fluxo (Wb/m2) 
l - Comprimento axial do estator. 
r - Raio no entreferro. 
P - número do polos da máquina 
 
Para uma máquina com P polos ( )2 / 2 picoP B rφ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅A 
A constante 2/P que aparece na expressão anterior decorre da conversão entre graus 
elétricos e graus mecânicos.: 
 
Conforme o rotor gira o fluxo concatenado com cada fase varia com o coseno do ângulo 
entre os eixos magnéticos da fase e do rotor, dado por θ = ωm⋅t, onde t é o tempo e ωm é a 
velocidade angular (rad/s) do rotor. O fluxo concatenado com a fase a é então 
( ) cos( )t N tλ = ⋅φ⋅ ω 
 
Eixo magnético da fase a 
Eixo magnético da fase b Bobina de N espiras 
Nf espiras 
por bobina
Eixo magnético do 
enrolamento do rotor 
Eixo magnético da fase c 
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(Fluxo por Polo)
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TENSÃO INDUZIDA NA BOBINA DO ESTATOR 
 
A origem do tempo, simbolizado por t, é escolhido como o instante em que o eixo da 
fase a coincide com o eixo magnético do rotor. De acordo com a Lei de Faraday, a tensão 
induzida no enrolamento da fase a é dada por: 
sen cosd de N t N t
dt dt
λ φ= = ω φ ω − ω 
Na expressão anterior existem dois termos para a tensão induzida. O primeiro termo, 
chamado de tensão de movimento, é devido ao movimento relativo entre o rotor e o estator. O 
segundo deles é chamado de tensão de transformação e se deve à variação temporal no fluxo. 
Este termo está presente sempre que a amplitude do fluxo variar, mesmo que não haja 
movimento do rotor. Em regime permanente, na maioria das máquinas rotativas, o fluxo é 
constante e o termo é nulo. 
 
⇒ para gerador ⇒ se o fluxo concatenado com a bobina diminui é induzida na mesma uma 
fem na direção que tende a produzir uma corrente que impediria a diminuição do fluxo 
concatenado com a bobina. 
 
No caso da máquina síncrona em regime permanente a corrente de excitação não varia 
e a amplitude do fluxo também permanece constante. Desta forma, em regime permanente, a 
tensão induzida é dada por: 
sene N t= ω φ ω (4.9) 
 
Pode-se ver que a distribuição senoidal da indução leva a uma tensão induzida 
igualmente senoidal. Deve-se notar que expressão acima também pode ser obtida a partir da 
tensão induzida em condutor que se movimenta no campo magnético criado pelo rotor. A 
obtenção da equação anterior sob este ponto de vista é deixada como um exercício. 
A partir de (4.9) pode-se obter o valor eficaz (RMS) da tensão induzida. Pela equação 
4.9 o valor máximo da tensão induzida é dado por: 
max 2E N fN= ω φ = π φ 
 
em que f - freqüência do rotor (Hz) 
 
Utilizando (4.9), o valor eficaz da tensão induzida é: 
2
2
E fNπ= φ ou 
4, 44E fN= φ 
 
A tensão induzida se refere a uma das fases. As demais fases possuem tensões com 
mesmas características, mas defasadas temporalmente de 120 graus elétricos. Este 
defasamento deve-se ao fato de as fases estarem defasadas espacialmente 120 graus elétricos 
(os eixos magnéticos das fases estão defasados 120 graus). A constante N que consta nas 
equações apresentadas é assim o número total de espiras em série em uma fase. Assim, a 
expressão apresentada fornece a tensão eficaz por fase quando N é o total de espiras em série 
por fase. 
 
Em geral os enrolamentos estão distribuídos em mais de uma bobina alojadas em 
ranhuras. Além disso, o passo do enrolamento em geral é encurtado, ou seja os lados das 
bobinas não estão em posições diametralmente opostas (180 graus de defasagem). Estas 
medidas contribuem para melhorar a dissipação térmica da máquina e também melhoram 
significativamente a forma de onda da tensão induzida, fazendo com que a mesma apresente 
um desvio menor em relação a uma senóide. 
Considerando que o enrolamento possa ser distribuído e com passo encurtado, a 
expressão do valor eficaz da tensão induzida é dada por: 
4,44 wE K fN= φ 
em que Kw é o fator de enrolamento. 
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O fator de enrolamento é obtido pelo produto do fator de distribuição e o fator de 
encurtamento de passo. Numericamente ele se situa entre 0.8 e 0.95, provocando assim uma 
diminuição do fluxo em relação ao caso de enrolamentos concentrados. 
 
Exemplo 4.3 
 
Um gerador de 60 Hz síncrono trifásico de dois polos ligado em Y e rotor cilíndrico tem um 
enrolamento de campo Nf com 68 espiras em série distribuídas e um fator de enrolamento kf igual 
0,945. O enrolamento de armadura tem 18 espiras em série por fase e fator de enrolamento 0,933. O 
comprimento do entreferro 4,5 cm e o raio médio do entreferro é 0,53 m. O comprimento ativo do 
enrolamento de armadura 3,8 m. 
O rotor é acionado por uma turbina a vapor a uma velocidade de 3600 rpm. Para uma corrente 
contínua de campo If = 720 A, calcule: (a) a FMM fundamental de pico produzida pelo enrolamento 
de campo, (b) a densidade de fluxo fundamental de pico no entreferro, (c) o fluxo fundamental por 
polo e (d) o valor eficaz da tensão gerada em circuito aberto na armadura. 
 
Exemplo 4.4 
 
Um pequeno alternador trifásico de 4 polos tem o enrolamento de armadura concentrado, de passo 
pleno, ligado em Y. Cada bobina tem 2 espiras e todas as espiras em qualquer fase são ligadas em 
série,. O fluxo por polo é 0,25 Wb e é senoidalmente distribuído no espaço. O rotor é girado a 1800 
rpm. Determinar: 
a) A tensão eficaz gerada, em relação ao neutro. 
b) Tensão eficaz de linha: 
c) Sistema de equações p/ as tensões de F – N trifásicos no tempo. 
d) Equações p/ as 3 tensões de linha (a – b, b – c, c –a). 
 
 
 
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4.4 TORQUE ELETROMAGNÉTICO EM MÁQUINAS CA COM ENTREFERRO CONSTANTE 
 
Nesta seção são abordados os principais aspectos relacionados com a produção de torque em 
máquinas de corrente alternada (CA). A abordagem é baseada em uma máquina elementar idealizada. 
Uma vez entendido os princípios básicos envolvidos nesta análise, ela pode ser facilmente estendida para 
máquinas mais complexas, compostas de enrolamentos trifásicos. 
Em máquinas CA sob condições normais de operação, existem dois campos magnéticos presentes, 
o campo magnético proveniente do circuito do rotor e o campo magnético proveniente do circuito do 
estator. A interação entre esses dois fluxos produz o torque na máquina, da mesma maneira que dois imãs 
permanentes que ao seaproximarem experimentarão um torque que tenderá a alinhá-los. As condições 
para existência de conjugado médio não-nulo são campos com mesmo número de polos e campos 
estacionários entre si. 
 
4.4.1 PONTO DE VISTA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS 
 
A máquina é vista como um conjunto de circuitos elétricos magneticamente acoplados, parte 
deles localizados no rotor e parte no estator. As indutâncias mútuas variam quando houver movimento 
relativo entre o rotor e o estator. Dentro desta abordagem, os fluxos concatenados e a energia magnética 
da máquina são expressos em termos das indutâncias mútuas e próprias de cada enrolamento. A tensão 
induzida em cada enrolamento é dada pela variação do fluxo concatenado (d dtλ ), que considerada 
junto com a queda de tensão na resistência do enrolamento (Ri) e a tensão externa aplicada resulta na 
equação de malha para o enrolamento em questão ( v Ri pλ= + ). Por outro lado, o torque poderá ser 
obtido por um balanço de potências. Alternativamente o torque também pode ser obtido a partir da 
derivada parcial da co-energia magnética do campo em relação à posição do rotor. Desprezando-se os 
efeitos de saturação magnética, pode-se considerar a relação entre fluxo e corrente linear. Neste caso, a 
energia e a co-energia magnética serão idênticas podendo-se também obter o torque a partir da derivada 
parcial da energia, ao invés da co-energia. As equações de torque e as de tensão descrevem 
completamente o comportamento da máquina, tanto em regime transitório (comportamento dinâmico) 
como em regime permanente. 
 
4.4.1.1. Equações Básicas da Máquina Elementar 
O entendimento da forma de produção de torque das máquinas CA pode ser entendido 
considerando-se a máquina elementar com entreferro constante e de dois polos mostrada na figura 4.13. 
 
(a) (b) 
Figura 4.13: Máquina elementar de dois polos com entreferro uniforme: (a) distribuição de enrolamentos no rotor 
e no estator e (b) representação esquemática dos enrolamentos 
 
A figura 4.13 b é uma representação esquemática da figura 4.13a, a qual relaciona as bobinas com 
uma representação comum de enrolamentos, estudada em circuito elétricos. Considera-se que uma 
corrente com o sentido da seta produz um campo magnético no entreferro também com o sentido da seta, 
de modo que uma única seta define os sentidos de referência da corrente e do fluxo. A máquina possui 
apenas um enrolamento no estator (s) e outro no rotor (r), os quais são considerados como distribuídos, de 
tal forma que o campo criado por eles pode ser analisado considerando-se apenas a fundamental. O 
ângulo θm representa o defasamento espacial entre os eixos magnéticos do rotor e do estator. Quando o 
rotor gira este ângulo varia. O valor θm = 0 corresponde a posição em que ambos os eixos coincidem, ou 
seja os campos magnéticos produzidos pelo rotor e estator estão alinhados. 
Desprezando-se os efeitos de saturação e a distorção do campo causada pela presença das 
ranhuras onde o enrolamento do estator está alojado, pode -se admitir que as indutâncias próprias de 
Eixo magnético 
do estator 
Eixo magnético 
do rotor 
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cada enrolamento não variam com posição do rotor, ou seja elas são constantes independentes de θm. Elas 
são representadas por Lss (estator) e Lrr (rotor). Analisando-se a figura 4.13a e 4.13b, pode-se constatar 
que a indutância mútua entre rotor e estator varia entre um máximo e um mínimo. Quando os eixos do 
rotor e estator coincidem a indutância mútua é máxima; quando eles estão deslocados de um quarto de 
volta do rotor (um quarto de período: θm = ±π/2) o valor da indutância mútua é zero. Uma vez que apenas 
as componentes fundamentais do campo são tomadas em conta, a indutância mútua varia senoidalmente 
com a posição do rotor, de acordo com a equação: 
cossr mL M= ⋅ θ (4.10) 
M - valor máximo da indutância mútua, o qual é obtido com θm = 0 . 
 
Os fluxos concatenados podem, então, ser obtidos em função das correntes do estator e do rotor e 
das indutâncias próprias e mútuas: 
coss ss s m rL i M i= ⋅ + ⋅ ⋅λ θ (4.11) 
cosr m s rr rM i L i= ⋅ ⋅ + ⋅λ θ (4.12) 
 
 
λs - fluxo concatenado com o enrolamento do estator 
λr - fluxo concatenado com o enrolamento do rotor 
is - corrente do enrolamento do estator 
ir - corrente do enrolamento do rotor 
 
Considerando a tensão induzida em cada enrolamento, dada pela variação temporal do fluxo 
concatenado com o mesmo, e a Lei das Tensões de Kirchhoff obtêm-se as seguintes equações de malha 
para os circuitos do rotor e do estator: 
s s s sv R i d dt= ⋅ + λ (4.13) 
r r rs rv R i d dt= ⋅ + λ (4.14) 
 
vs - tensão aplicada ao enrolamento do estator 
vr - tensão aplicada ao enrolamento do rotor 
Rs - Resistência do enrolamento do estator 
Rr - Resistência do enrolamento do rotor 
 
Considerando-se as equações (4.10) e (4.11), as equações de malha tomam a seguinte forma: 
cos sens rs s s ss m r m m
di di
v R i L M i M
dt dt
= ⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅θ θ ω (4.15) 
 
cos senr sr r r rr m s m m
di di
v R i L M i M
dt dt
= ⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅θ θ ω (4.16) 
 
em que m md dt=ω θ é a velocidade angular do rotor em rad/s 
 
A equação de malha de cada circuito contém, além da queda de tensão na resistência, três termos 
que resultam da variação do fluxo no tempo. Estes termos são analisados no que segue tomando como 
base a equação de malha do estator. Os termos do rotor possuem uma interpretação idêntica: 
9 s sR i⋅ - queda de tensão na resistência do estator; 
9 sss diL dt - tensão induzida devido à presença da indutância própria; existe apenas quando a corrente 
enrolamento do estator variar no tempo; este termo existe independente do rotor estar parado ou em 
movimento; 
9 cosr mdi Mdt ⋅ ⋅ θ - tensão induzida devido à existência da indutância mútua entre rotor e estator; existe 
sempre que a corrente do rotor variar no tempo; depende do valor da indutância mútua que 
corresponde à posição do rotor; este termo também existe independente do rotor estar em movimento 
ou não. Este Termo é chamada de tensão induzida de transformação. 
9 senr m mi M− ⋅ ⋅ ⋅θ ω - tensão induzida devido ao acoplamento magnético entre rotor e estator (indutância 
mútua) e também devida ao movimento relativo entre estator e rotor; só existe quando houver 
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movimento relativo entre rotor e estator. Este termo é chamado também de tensão induzida de 
movimento. 
 
Deve-se salientar que só ocorre conversão de energia elétrica em energia mecânica, e vice-
versa, quando a tensão induzida de movimento for diferente de zero. Esta tensão é representada pelo 
último termo das equações (4.15) e (4.16). 
 
4.4.1.2 Equação de Potência e Torque Eletromagnéticos 
 
Uma equação de balanço de potências pode ser obtida a partir da equação de malha do estator 
(ou alternativamente do rotor) multiplicando-se a equação de malha pela corrente: 
2 cos sens rs s s s ss s m s r s m m
di di
v i R i L i M i i i M
dt dt
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅θ θ ω (4.17) 
 
Pode-se verificar que a equação anterior representa um balanço de potências do seguinte tipo: 
potência de entrada=perdas + variação da energia magnética + potência mecânica 
 
A potência de entrada, dada por s sv i⋅ , é fornecidapela fonte ligada ao estator. Uma parte desta 
potência é usada para suprir as perdas do enrolamento (primeiro termo na eq. (4.17), 2s sR i⋅ . Outra parte 
desta potência está relacionada com a energia magnética que será armazenada no campo magnético 
(segundo e terceiro termos na eq. (4.17), dados pela expressão coss rss s m s
di di
L i M i
dt dt
⋅ + ⋅ ⋅ ⋅θ ). O restante 
corresponde a potência mecânica fornecida no eixo. Portanto, a potência mecânica é dada como: 
ω θ ω⋅ = = ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅sens s m m r s m mv i P T i i M (4.18) 
 
Pm - potência mecânica 
T - torque eletromagnético aplicado no eixo 
 
Pela última expressão, o torque pode ser expresso como: 
θ= − ⋅ ⋅ ⋅ senr s mT i i M (4.19) 
 
Por outro lado, o torque pode ser calculado a partir da expressão da co-energia magnética, a qual 
para a máquina elementar mostrada na figura 4.13 possui a seguinte expressão: 
( ) 2 21 1 cos
2 2m ss s rr r s r m
W L i L i M i i= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅θ θ (4.20) 
 
Uma vez que se desprezou o efeito da saturação, a expressão acima é idêntica à expressão da 
energia magnética. Assim, considerando-se (4.20) o torque eletromagnético pode ser obtido como: 
( )
senm s r m
m
W
T i i M
∂= = − ⋅ ⋅ ⋅∂
θ θθ (4.21) 
 
O sinal negativo na expressão do torque significa que o sentido do torque eletromagnético é 
sempre no sentido de fazer com que os campos do estator e do rotor se alinhem, ou seja o torque atua no 
sentido de diminuir o ângulo θm. As expressões obtidas até este ponto foram baseadas numa máquina com 
dois polos. Considerando uma máquina com P polos, existirá a seguinte relação entre o ângulo mecânico e 
o ângulo elétrico: 
2
2e m m e
P
P
= ⇒ =θ θ θ θ (4.22) 
 
θe - ângulo elétrico de defasagem entre o eixo magnético do estator e do rotor. Neste caso as expressões 
do torque assumem a seguinte forma: 
sen
2 2s r m
P P
T M i i⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠θ (4.23) 
 
É interessante salientar que, embora o número de polos apareça multiplicando a equação do 
torque, ele não afeta diretamente o torque fornecido pela máquina. Isto é explicado pelo fato que ao se 
aumentar o número de polos o valor máximo da indutância mútua se reduz na mesma proporção, deixando 
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o torque praticamente inalterado. Assim, o número de polos não aumenta diretamente a potência e o 
torque da máquina. Existem, no entanto, outros fatores que permitem que o torque fornecido aumente 
um pouco se aumentando o número de polos da máquina. Trata-se de fatores secundários que afetam 
potência indiretamente e em pequena proporção. O torque fornecido depende basicamente do volume de 
material ativo empregado (cobre+ferro) e do grau de carregamento elétrico e magnético a que os 
materiais estão submetidos (densidade de corrente dos condutores e densidade de fluxo nas partes 
ferromagnéticas). Em geral os materiais trabalham dentro de limites bem conhecidos, motivo pelo qual 
pode ser afirmado que o torque das máquinas elétricas depende praticamente do volume de material 
ativo empregado. 
 
4.4.2 PONTO DE VISTA DO CAMPO MAGNÉTICO 
 
9 Correntes nos enrolamentos da máquina criam um fluxo magnético no entreferro entre o estator e o 
rotor. 
9 Os caminhos do fluxo são completados através do ferro do estator e do rotor. 
9 Há o aparecimento de polos magnéticos no estator e no rotor, alinhados com os respectivos eixos 
magnéticos, como mostrado na Fig. 4.14a para uma máquina de dois polos com entreferro uniforme. 
 
 
Eixo do campo 
do estator (Fe) 
Eixo do campo 
do rotor (Fr) 
δer
Fe 
Fr Fe
δer δe 
δr 
 
Figura 4.14: Máquina de dois polos simplificada: (a) modelo elementar e (b) diagrama vetorial das ondas de FMM. O 
torque é produzido pela tendência a se alinhar dos campos magnéticos do rotor e do estator. 
 
9 O torque resulta do esforço dos dois campos magnéticos componentes para alinharem seus eixos 
magnéticos. 
9 O torque é proporcional ao produto das amplitudes das ondas de fmm do estator e do rotor. 
9 É ainda uma função do ângulo δer 
9 A maior parte do fluxo produzido pelos enrolamentos do rotor e do estator é concatenado com os dois 
enrolamentos ⇒ FLUXO MÚTUO (90%). 
9 Pequena parte (±10%) se concatena só com o rotor (fluxo disperso do rotor) ou só com o estator 
(fluxo disperso do estator). 
9 Somente o fluxo mútuo está relacionado diretamente à produção de torque. 
 
Fazendo-se algumas suposições: 
1) Só existe componente radial do campo magnético no entreferro (a componente tangencial é 
desprezível) 
2) O comprimento do entreferro (g) é pequeno, comparado aos raios de estator e rotor. 
 
Com estas suposições, não haverá 
diferença de indução magnética 
entre as superfícies de estator e 
rotor. O campo H será uma 
componente radial que irá variar 
com o ângulo ao longo da periferia. 
 
 
Pela lei de Ampère: 
1234
H dl FMM⋅ =∫ JG JJGv 
 
Fe gapμ μ� 
 
gapFe
Fe gap
Fe gap
BB
H Hμ μ= =� 
 
1 
2 
3 
4 
Máquinas de Corrente Contínua e Síncronas – Cap. 4 -- cópias de transparências/ anotações de aula – atualização / impressão: 15/1/2013 4. 19 
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Então, para um comprimento do entreferro g suficientemente pequeno 
 
H. g = Fer 
em que 
 
H ⇒ campo magnético 
g = espaçamento do entreferro (“gap”) 
Fer ⇒ FMM resultante de entreferro produzida pelos enrolamentos de rotor e de estator 
 
As ondas de FMM do estator e do rotor são ondas senoidais espaciais nas quais δer é o ângulo de 
fase entre seus eixos magnéticos em graus elétricos. Elas podem ser representadas pelos vetores espaciais 
Fe e Fr desenhados ao longo dos eixos magnéticos das ondas de FMM do estator e do rotor 
respectivamente, como na Fig. 4.13b. A FMM resultante Fer, também uma onda senoidal que atua no 
entreferro, é soma vetorial delas. Da fórmula trigonométrica da diagonal de um paralelogramo, o valor de 
pico é obtido de 
2 2 2 2 coser e r e r erF F F F F= + + δ (4.24) 
em que 
Fe, Fr =valores máximos (de pico) das FMM’s de estator e de rotor 
δer = ângulo elétrico de fase espacial entre as ondas de FMM do estator e do rotor 
 
Tomando-se como base à co-energia do campo magnético armazenada no entreferro, segue que a 
co-energia total [Fitzgerald] é 
' 20
4campo er
Dl
W F
g
= μ π (4.25) 
na qual “l” é o comprimento axial do entreferro, “D” seu diâmetro médio (no entreferro) e 70 4 10
−μ = π× 
é a permeabilidade magnética do ar 
 
Uma expressão para o conjugado eletromecânico T pode ser obtida agora, em termos dos campos 
magnéticos interatuantes, calculando-se a derivada parcial da co-energia do campo em relação ao ângulo. 
Assim, a expressão geral para o torque, de uma máquina de múltiplos polos, em termos dos campos 
magnéticos que estão interagindo é: 
0
2 2 e r er
DlP
T F F sen
g
⎛ ⎞μ π⎛ ⎞= − δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
 (4.26) 
 
O sinal de menos significa que os campos tendem a se alinhar entre si. Quando δer é positivo, o 
conjugado é negativo e a máquina está funcionando como gerador. De modo semelhante, um valor 
negativo de δer corresponde a um conjugado positivo e, desta forma, funciona como motor. 
 
Desprezando a saturação magnética e usando algumas relações trigonométricas, os campos podem 
ser expressos em termos das ondas de indução magnética ou do fluxo total por polo. 
 
Assim, em função da indução 
0 em que 2 2
er
er r r er
FP Dl
T B F sen B
g
π⎛ ⎞⎛ ⎞= − δ = μ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 
 
Em termos de fluxo: 
2
 medio
Dl
B A BP
πφ = ⋅ ⇒ φ = ⋅ ⋅π Î segue que 
2
2 2 er r r
P
T F sen
π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − φ δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.27) 
em que φer é fluxo por polo resultante, que é produzido pelo efeito combinado das FMM do estator e do 
rotor e δr= ângulo de conjugado. 
 
Conclusão: 
⇒ em todas as expressões do torque, o mesmo é proporcional aos campos que estão interagindo e do ângulo elétrico 
entre os eixos magnéticos 
 
Observação: 
⇒ Sinal (-): indica que o torque age no sentido de diminuir a ângulo δer. 
 
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4.5 MÁQUINAS SÍNCRONAS POLIFÁSICAS - CONSIDERAÇÕES TÉCNICAS 
 
Um gerador síncrono simples, quando fornece potência a uma impedância de carga, atua como 
uma fonte de tensão cuja freqüência é determinada pela velocidade da sua máquina motriz. A amplitude 
da tensão gerada é proporcional à freqüência e a corrente de campo. 
De fato, usualmente a máquina síncrona (MS) é ligada a um sistema interligado de grande porte 
(sistema de potência) conjuntamente com outras máquinas síncronas. Neste caso, a tensão e a freqüência 
em seus terminais de armadura são impostas pelo sistema. As correntes de armadura produzirão uma 
componente de campo magnético de entreferro, que gira na velocidade síncrona, determinada pela 
freqüência elétrica fe do sistema. Em condições normais, a queda de tensão na resistência da armadura 
pode ser desprezada e o fluxo de dispersão da armadura é pequeno, comparado com o fluxo resultante no 
entreferro φer. O restante do sistema pode ser representado como uma fonte de tensão e freqüência 
constantes, comumente referida como BARRAMENTO INFINITO. Neste caso, analisando o comportamento 
em RP da MS com base em (4.26), com alguma alteração na notação e omitindo o sinal negativo, tem-se 
2
sen
2 2 er f r
p
T F
π ⎛ ⎞= φ δ⎜ ⎟⎝ ⎠ (4.28) 
em que δr representa o ângulo defase elétrica entre os eixos magnéticos de φer e Ff. 
Em operação normal, em RP (regime permanente), o conjugado eletromecânico (Tem) 
contrabalança o conjugado mecânico (Tmec) aplicado ao eixo. Em um gerador, o conjugado da força motriz 
do acionador mecânico primário atua no sentido de rotação do rotor, impulsionando a onda de FMM do 
rotor à frente do fluxo de entreferro resultante (Fig. 4.15). O conjugado eletromecânico opõe-se então a 
rotação. Situação oposta ocorre no caso do motor. 
Quando os terminais da armadura são ligados a um "barramento infinito" polifásico, simétrico, o 
fluxo resultante no entreferro ( φ = ⋅ ⋅ ⋅4,44er t w eV f k N ) é aproximadamente constante. A FMM do 
enrolamento CC de campo (rotor) Ff é também constante em funcionamento normal. Assim, variações 
no conjugado eletromecânico resultam em variações correspondentes no ângulo de conjugado, δr, como se 
vê na eq. 4.28, relação também mostrada na forma de curva torque x ângulo na Fig. 4.16. 
 
⇒ GERADOR: à medida que aumenta o torque mecânico, o valor de δr deve crescer até que Tem = Tmec. 
Este processo é dinâmico (oscilação pendular)Î transitório de ajustamento (hunting transient). 
⇒ Quando δr = 90º ⇒ máximo torque possível ⇒ conjugado eletromecânico máximo em sincronismo 
(pull-out torque) para uma tensão terminal e corrente de campo fixas. 
⇒ perda do sincronismo quando o conjugado aplicado pela máquina motriz supera o torque máximo em 
sincronismo do gerador. O rotor é acelerado. As proteções devem atuar automaticamente. 
 
⇒ MOTOR: carga leve ⇒ conjugado pequeno ⇒ δr pequeno 
⇒ adição de carga ao eixo ⇒ rotor se atrasa o suficiente para um δr que gere um torque adequado. 
⇒ Se a carga exige além do conjugado máximo em sincronismo, o motor desacelera e fará com que o 
rotor perca o sincronismo. 
 
⇒ O conjugado máximo em sincronismo pode ser aumentado elevando-se, dentro dos limites 
operacionais, a tensão (Vt) e/ou a corrente de campo (If). 
 
 
Fig. 4.15 - Máquina Síncrona mostrando Fluxos 
Magnéticos do Estator e do Rotor 
 
Fig. 4.16 – Característica de conjugado x ângulo 
 
Gerador 
Motor δr
T
φe 
φer φr