Maq Sincronas - Cap 7

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CAPÍTULO 7 – TRANSITÓRIOS E DINÂMICA DE MÁQUINAS SÍNCRONAS 
 
7.1 INTRODUÇÃO 
 
Quando ocorrem alterações nas condições de operação, as mudanças na energia magnética 
armazenada não podem ocorrer instantaneamente. Entre as condições iniciais e finais de operação, o sistema 
necessita de um período transitório, ou de reajuste, em que ondas de tensão e/ou correntes anormais são 
produzidas. Os distúrbios que podem ocorrer na máquina síncrona (MS) e que causam transitórios elétricos 
ou mecânicos são: curto-circuito fase-terra; curto-circuito fase-fase, curto-circuito trifásico e mudança súbita 
de carga. No estudo a seguir serão considerados apenas 2 casos: curto-circuito trifásico nos terminais do 
estator e mudança súbita de carga (transitório mecânico). 
 
7.2 TRANSITÓRIOS – PONTO DE VISTA DE CIRCUITOS ACOPLADOS 
 
Antes de se iniciar este estudo é conveniente recapitular alguns pontos essenciais. Uma máquina 
síncrona, como mostrado na Fig. 7.1, é constituída de uma parte fixa: o estator (normalmente a armadura ou 
induzido) que encerra as três fases de um enrolamento , e uma parte móvel: o rotor (normalmente o indutor). 
O rotor, suposto de polos salientes, é constituído de dois enrolamentos: o enrolamento de campo f– 
alimentado em corrente contínua (através de anéis e escovas ou por uma excitatriz)– e o enrolamento 
amortecedor k, constituído por conjuntos de barras condutoras alojadas em ranhuras situadas nas sapatas 
polares, barras estas interligadas como aquelas das gaiolas dos motores de indução (ver Fig. 6.1). O 
enrolamento amortecedor tem como principal finalidade amortecer oscilações do rotor relativamente ao 
campo girante do estator. Na operação como motor, ele se presta também à partida como motor assíncrono. 
 
Fig. 7.1 - Máquina Síncrona trifásica, 2 pólos 
 
A representação dos enrolamentos amortecedores em uma máquina síncrona de pólos salientes, 2 
pólos, trifásica, conectada em Y é mostrada na Fig. 7.2. Os enrolamentos do estator são idênticos e 
distribuídos senoidalmente, separados de 120º, com Ns espiras equivalentes e resistência rs. O rotor é 
equipado com um enrolamento de campo e estimado com três enrolamentos amortecedores. O enrolamento 
de campo (enrolamento fd) tem Nfd espiras de resistência rfd. Um enrolamento amortecedor está no mesmo 
eixo magnético do enrolamento de campo. Este enrolamento, chamado kd tem Nkd espiras de resistência rkd. 
Os eixos magnéticos do segundo e do terceiro enrolamento amortecedor, enrolamentos kq1 e kq2, têm Nkq1 e 
Nkq2 espiras equivalentes, respectivamente, com resistências rkq1 e rkq2. As correntes positivas são, por 
convenção, saindo dos terminais para representar ação de gerador. Portanto, com a direção positiva dos eixos 
magnéticos, o enlace de “fluxo negativo” resulta da circulação de corrente positivas. 
Na Fig. 7.2, os eixos magnéticos dos enrolamentos do estator são denotados por as, bs e cs. O eixo q é 
o eixo magnético dos enrolamentos kq1 e kq2 enquanto o eixo d é o eixo magnético dos enrolamentos fd e kd. 
Embora os enrolamentos amortecedores sejam mostrados com a possibilidade para aplicar uma tensão, eles 
são, na realidade, enrolamentos curto-circuitados os quais representam os caminhos para as correntes 
induzidas no rotor. Estas correntes podem circular em enrolamentos do tipo gaiola similares à gaiola dos 
motores de indução ou no próprio ferro do rotor. Em máquinas de pólos salientes a superfície do rotor é 
laminada e as correntes circulando nos enrolamentos amortecedores estão confinados na gaiola. 
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Fig. 7.2 – Diagrama do circuito trifásico nas variáveis da máquina 
 
Em máquinas de alta velocidade, de dois ou quatro pólos, o rotor é cilíndrico e é feito de ferro maciço 
com um enrolamento tipo gaiola embebido na superfície do rotor. Neste caso, as correntes podem circular ou 
no enrolamento de gaiola ou no ferro maciço. 
Como mostrado na Fig. 7.2, devido à máquina síncrona operar comumente como gerador, é conveniente 
considerar correntes positivas de estator saindo nos terminais. Assim, as equações de tensão nas variáveis de 
máquina podem ser expressas, na forma de matriz, como 
= +v r i λabcs s abcs abcsp 
= +v r i λqdr r qdr qdrp 
em que 
rs = diag[rs rs rs] 
rr = diag[rr rr rr] 
( )
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
L Lλ i
λ iL L
s srabcs abcs
T
qdr qdrsr r
 
- os subscritos s e r indicam variáveis associadas com o estator e rotor, respectivamente. 
 
Análise Simplificada: 
SOB CONDIÇÕES DE REGIME PERMANENTE: 
¾ A onda de f.m.m. do estator (A) e a onda de fluxo associada (ΦRA) giram à mesma velocidade do rotor. 
¾ O fluxo de estator não está cortando os circuitos do rotor (dλ / dt = 0 Î não há variação no tempo). 
Nenhuma tensão é induzida em circuitos do rotor 
¾ Os enrolamentos amortecedores não têm efeito na máquina em REGIME PERMANENTE. 
 
SOB CONDIÇÕES TRANSITÓRIAS 
Is não é mais SENOIDAL Î fmm não é mais senoidal Î fluxo não é mais senoidal Î 
rotor: ωm ≠ ωs Î fluxo cortando todos os circuitos do rotor Î correntes são induzidas: enrolamentos de 
campo e amortecedores Î contribuem na excitação da máquina Î influenciam as correntes de estator. 
Para uma análise simplificada do desempenho de máquina síncrona em regime transitório: 
eixo as 
eixo cs 
eixo bs 
eixo q 
eixo d (direto) 
eixo em 
quadratura 
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¾ São desprezadas: 
o A saturação 
o As correntes parasitas (Foucault) 
o A histerese 
¾ É suposto que o entreferro seja uniforme 
¾ O princípio da superposição é aplicado 
¾ A análise básica envolve a solução de um complexo conjunto de 
equações diferenciais simultâneas de circuitos acoplados 
¾ A armadura e o campo podem ser decompostos em componentes a 
um eixo qualquer (transformação linear de variáveis). 
 
¾ Pode-se ver do ponto de vista dos circuitos acoplados (eixos d e q): (i) os circuitos do eixo d, kd, fd, D, são 
acoplados uns aos outros; (ii) os circuitos eixo q, kq, Q, são acoplados uns aos outros; (iii) os circuitos do 
eixo d não são acoplados aos circuitos do q quando eles forem a 90º 
 
7.3 TRANSITÓRIOS – QUADRO FÍSICO APROXIMADO 
 
Considere um gerador síncrono operando em vazio à velocidade síncrona ωs. A Fig. 7.3 representa o 
registro oscilográfico da corrente de armadura quando ocorre um curto-circuito trifásico nos seus terminais. 
 
 
Fig. 7.3 – Corrente de curto-circuito na armadura de um gerador síncrono. (Fonte: Fitzgerald [1], Fig. 10.2) 
 
A envoltória da forma de onda da corrente da Fig. 7.3 mostra claramente três períodos ou regimes de 
tempo distintos. 
a) Período subtransitório, durando somente os primeiros ciclos, durante os quais, o decréscimo de 
corrente é muito rápido. 
b) Período transitório, cobrindo um tempo relativamente maior, durante os quais, o decréscimo de 
corrente é mais moderado 
c) Período de regime permanente, a corrente é determinada pelos princípios analisados em tópicos 
anteriores. 
 
Sob condições de curto-circuito com resistência nula no circuito do estator, a onda de fmm do estator 
está no eixo d. Os circuitos de rotor (fd, kd) tornam-se de importância determinante. 
 
Para contrabalançar a fmm desmagnetizante, é necessário então que apareça uma componente 
induzida de corrente de campo, como mostrado na Fig. 7.4 a seguir 
 
Observa-se que: 
¾ A máquina tem maior excitação do que no regime permanente 
¾ A corrente transitória decresce com um a taxa determinada pela Rf (campo) e pela Leq (equivalente) 
¾ O correspondente ACRÉSCIMO de corrente de estator DECRESCE com a mesma taxa. 
 
eixo q 
eixo d 
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Fig 7.4 – Forma aproximada da corrente de campo de uma máquinasíncrona em seguida a um curto-circuito na 
armadura. 
 
O CAMPO PRINCIPAL NÃO É O ÚNICO CIRCUITO DE EIXO DIRETO DO ROTOR: 
 
Correntes também são induzidas no enrolamento amortecedor durante o período subtransitório, 
 
Corrente de amortecedor induzida representa mais uma excitação 
 
Junto com o campo principal Î > excitação Î determina o comportamento de Is 
 
OBS: 
As correntes induzidas durante o período subtransitório são maiores do que no período transitório. Então, a 
excitação no período subtransitório é maior que a excitação no período transitório. A corrente no estator é 
maior no subtransitório que no período transitório. 
 
Mas o oscilograma da Fig. 7.3 não é um caso geral, pois é mostrada uma onda de corrente simétrica. 
Os oscilogramas de curto-circuito mais usuais têm a aparência geral mostrada na Fig. 7.5. As formas de onda 
mostradas não são simétricas em relação ao eixo de corrente zero, e tem componentes contínuas que resultam 
em ondas deslocadas. Uma onda simétrica como a da Fig. 7.3 pode ser obtida redesenhando as ondas depois 
de subtrair a componente contínua, ou tomando uma série de oscilogramas até que seja obtida uma onda 
simétrica para uma das três fases. 
 
 
Fig. 7.5 – Correntes de curto-circuito nas três fases do gerador. 
 
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A componente contínua da corrente do estator se encaixa no quadro físico quando se reconhece que a 
constância de fluxos concatenados se aplica igualmente a cada uma das três fases do estator sem resistência. 
Se o curto-circuito aparece em um instante em que os fluxos concatenados com uma fase do estator são 
nulos, nenhuma componente contínua é exigida para mantê-los constantes neste valor, e a onda de corrente 
de curto-circuito para esta fase é simétrica. Se, entretanto, o curto-circuito aparece em um instante em que os 
fluxos concatenados com as fases possuem valores não nulos, uma componente contínua deve aparecer nesta 
fase a fim de manter os fluxos concatenados constantes. A componente contínua, com efeito, preenche a 
mesma necessidade da componente contínua de corrente transitória em um circuito RL simples, com uma 
tensão alternada subitamente aplicada. Como no circuito RL, o maior valor possível de componente contínua 
é igual ao maior valor instantâneo de corrente de curto-circuito durante o período subtransitório. Esta maior 
componente contínua ocorre quando o curto-circuito aparece no instante de fluxos concatenados máximos 
para uma fase do estator e, a onda de corrente de curto-circuito então está completamente deslocada do eixo 
zero. A componente contínua, não sendo mantida por uma tensão no circuito de estator, decresce com uma 
taxa determinada pela resistência e pela indutância equivalente do circuito do estator. 
 
Quais os efeitos da componente contínua da corrente do estator? 
 
A componente contínua de corrente de estator estabelece um campo componente no entreferro que é 
estacionário no espaço e que, portanto, induz uma tensão e corrente de freqüência fundamental nos circuitos 
do rotor que giram sincronamente. A Fig. 7.6 mostra a componente alternada superposta à corrente de campo 
imediatamente após um curto-circuito trifásico nos terminais do estator; também ilustrado nesta Fig. 7.6, a 
corrente de campo não pode mudar repentinamente ao primeiro instante. 
 
Fig. 7.6 – Corrente de campo em seguida a um curto-circuito na armadura 
 
Os campos pulsantes produzidos por estas correntes monofásicas podem ser decompostas em 
componentes girantes opostas. Uma componente é estacionária em relação ao estator, e reage diretamente 
contra a componente contínua da corrente do estator. A outra componente caminha a duas vezes a velocidade 
síncrona em relação ao enrolamento do estator e nele induz uma segunda harmônica. Se o circuito do estator 
é desequilibrado (por curto-circuito entre fases ou fase-neutro, em lugar de um curto-circuito trifásico 
simétrico, por exemplo) aparecem harmônicas superiores nas correntes de rotor e estator por reflexões 
sucessivas através do entreferro. Também são introduzidas harmônicas pela componente alternada da 
corrente de estator sob condições assimétricas. O resultado é que para um curto-circuito assimétrico nos 
terminais da máquina, a forma de onda pode ser decididamente diferente daquelas dadas nas figuras 7.3 e 
7.5. 
Quando os curto-circuitos ocorrem em pontos afastados dos terminais da máquina, as harmônicas 
podem ser fortemente diminuídas pela reatância interposta. 
A NBR 5117 da ABNT especifica que o valor da corrente de curto-circuito trifásico de pico (no 
regime subtransitório) não deve exceder 21 vezes o valor eficaz da corrente nominal, sob tensão nominal. 
 
 
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7.4 CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO 
 
a) Curto-circuito nos terminais do estator de um GS (Fig. 7.7): 
 
If gera uma tensão de circuito aberto (em vazio) Ef em 
cada fase. 
 
Quando os terminais do estator são curto-circuitados, 
uma grande corrente transitória circulará através deles. 
 
 
Fig. 7.7 - Diagrama esquemático de um 
gerador síncrono com curto-circuito nos 
terminais do estator 
Após o transitório, a corrente de curto-circuito será. 
f
curto
s
E
I
X
= Se Ef = 1 pu Xs = 1pu (tipicamente) 
Icurto = 1 pu (regime permanente) 
 
Essa é uma boa característica Î Se o curto-circuito é sustentado, não danificará a máquina. 
 
Entretanto no instante em que ocorre o curto-circuito, Ia pode ser muito alta (5 a 10 pu). É necessário 
um melhor conhecimento de Ia durante o período transitório, para se projetar o sistema de proteção. 
 
Em síntese, a análise do quadro físico (ver 7.3) mostra que: 
 
Antes da ocorrência do curto: 
• Fluxos que concatenam o enrolamento de campo e o 
enrolamento amortecedor são constantes. 
• Enrolamento amortecedor gira na mesma velocidade que o 
enrolamento de campo 
• Corrente CC no campo (If) Î é a única corrente presente 
 
Quando ocorre o curto: • Ia Î Fmm diretamente oposta a Fmm de campo Î afetando os 
fluxos que concatenam o enrolamento de campo e amortecedor 
 
ASSIM, PARA MANTER AS COMPONENTES DE FLUXO CONSTANTES EM SEUS VALORES 
INICIAIS, CIRCULARÃO COMPONENTES INDUZIDAS DE CORRENTES EM AMBOS OS 
ENROLAMENTOS. 
 
Fenômeno similar: 
Considere um anel condutor (Fig. 7.8), 
com uma indutância L, se um fluxo é 
subitamente aplicado no “loop”, então... 
Æ ocorre oposição a mudança do fluxo 
concatenado Æ 
Æ “i” é induzida no anel 
Æ i≈Φ/L 
 
Fig. 7.8 – fluxo concatenado em um “loop” condutivo 
 
As correntes induzidas nos enrolamentos de campo e amortecedor decaem devido às resistências 
nestes circuitos. 
 
A mudança na corrente de campo como 
resultado de um curto-circuito na armadura é 
mostrada na Fig. 7.9. 
 
Estas correntes induzidas são equivalentes a 
um aumento da excitação de campo, e assim, uma 
grande corrente fluirá pelo circuito de armadura 
(estator) imediatamente após a aplicação de curto. 
 
Fig.7.9 - Mudança na corrente de campo (If) resultante de 
um curto-circuito na armadura (estator) 
 
Rotor de pólos salientes: o enrolamento amortecedor é colocado nas faces dos pólos do rotor. 
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Rotor cilíndrico: geralmente não possuem enrolamento amortecedor, as correntes induzidas diretamente no 
rotor produzem os mesmos efeitos que as correntes no enrolamento amortecedor de uma máquina de pólos 
salientes 
 
O envelope da onda apresenta 3 períodos distintos (Fig. 7.10): 
 
• Período subtransitório Î ocorre 
somente nos primeiros ciclos, durante o 
qual a corrente diminui muito rapidamente 
(devido a pequena constante de tempo do 
enrolamento amortecedor) 
 
• Período transitório Î ocorre 
relativamentenum tempo maior, durante o 
qual a diminuição da corrente é mais 
moderada 
 
• Período de regime permanente Î a 
corrente é determinada pela equação 
f
curto
s
E
I
X
= 
 
Δi’ Î é a diferença entre o envelope 
transitório e amplitude do regime 
permanente 
 
Δi’’ Î é a diferença entre o envelope 
subtransitório e a extrapolação do 
envelope transitório. 
 
Obs: 
¾ O traço simétrico é obtido se o curto é 
aplicado em um instante em que o 
fluxo concatenado pré-curto da fase é 
zero. 
 
Fig. 7.10 – (a) curto-circuito trifásico, (b) envelope da forma de onda 
¾ Durante o curto, as Fmm’s (desmagnetizantes) atuam ao longo do eixo d 
¾ Período subtransitório: correntes induzidas nos enrolamentos de campo e amortecedor (cd) 
¾ Período transitório: correntes induzidas no enrolamento de campo (bde) 
 
 
7.5 REATÂNCIAS E CONSTANTES DE TEMPO EM REGIMES TRANSITÓRIOS 
 
Com as considerações efetuadas no item anterior, é possível identificar três reatâncias de eixo direto 
distintas bem como, outras tanto de eixo em quadratura. Assim, para cada período citado, tem-se: 
 
7.5.1 – Período Subtransitório 
 
a) Reatância Subtransitória de Eixo Direto (X”d): é igual a reatância de dispersão da armadura 
adicionada à reatância pelo fluxo de armadura que, atravessando o entreferro, penetra no rotor. O 
processo subtransitório dura 1 a 5 ciclos e determina o valor da corrente de curto-circuito dinâmica. 
b) Reatância Subtransitória de Eixo em Quadratura (X”q): a reatância subtransitória em quadratura 
coincide com a reatância síncrona em quadratura (Xq), pois os geradores síncronos não possuem 
enrolamentos perpendiculares ao eixo do pólo. 
 
 
 
transitório subtransitório
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7.5.2 – Período Transitório 
 
Como visto anteriormente, não apenas o enrolamento amortecedor reage a variações bruscas de 
carga, mas, também, o campo. Como o enrolamento amortecedor possui uma pequena constante de tempo, a 
sua ação tem breve duração. Ao cessar tal ação (período subtransitório), somente persiste a do campo. 
Nesta situação, o fluxo de reação de armadura pode circular por um caminho de baixa relutância; 
assim é claro que este fluxo assume níveis superiores ao anterior e, em conseqüência, a reatância é maior que 
X”d, porém ainda menor Xd. Esta reatância, de valor intermediário, corresponde à reação do campo, é 
conhecida como reatância transitória de eixo direto X’d. 
Em relação a X’q são válidas s mesmas considerações feitas para o período subtransitório. 
 
7.5.3 – Período ou Regime Permanente 
 
Analisado em itens anteriores. 
 
7.5.4 – Constantes de tempo 
 
A constante de tempo é definida como o tempo gasto para que a corrente atinja 36,8% de seu valor 
original. Nos geradores síncronos existem várias constantes de tempo, ou seja: 
a) Constante de tempo em vazio (T’do): definida como o tempo em segundos para que o valor da f.e.m. 
induzida em vazio caia a 36,8% de seu valor inicial, quando o enrolamento de campo é curto-
circuitado e a máquina esteja operando à velocidade nominal. 
b) Constante de tempo subtransitória (T”d): é o tempo necessário para que a componente subtransitória 
de corrente de curto-circuito seja reduzida a 36,8% de seu valor inicial, com a máquina operando à 
velocidade nominal. 
c) Constante de tempo transitória (T’d): é o tempo necessário para que a componente transitória de 
corrente de curto-circuito seja reduzida a 36,8% de seu valor inicial, com a máquina operando à 
velocidade nominal. 
d) Constante de tempo da armadura (Ta): é o tempo necessário para que a componente contínua da 
corrente de curto-circuito caia a 36,8% de seu valor inicial. 
 
Observe-se que as reatâncias citadas e as constantes da máquina são apropriadas para o uso, não 
somente para curto-circuito trifásico diretamente aos terminais de uma máquina em vazio, mas também par 
qualquer aplicação envolvendo uma mudança brusca nas correntes de eixo direto. Por outro lado, as tais 
constantes são importantes em estudos de variações de tensões e de restabelecimento da tensão terminal 
quando ocorrem mudanças de carga. 
 
7.5.5 Corrente de Curto-Circuito 
 
 A corrente de armadura pode ser determinada para os vários períodos usando reatâncias e constantes 
de tempo apropriadas 
 
Fig. 7.11 - (a) curto-circuito permanente 1, (b) Período transitório 2 e (c) Período subtransitório 3 
(1) Reatância em regime permanente: 2
0
f
d
E
X
a
= 
(2) Reatância transitória: ' 2
0
f
d
E
X
b
= 
(3) Reatância subtransitória: " 2
0
f
d
E
X
c
= 
 
dX 
'
dX "dX 
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A corrente de curto-circuito de uma fase da armadura é: 
 
[variação de amplitude] sencurtoI t= ω 
' "-t -t[0a+(0b-0a)e +(0c-0b)e ] sendo doT TcurtoI t= ω 
ou 
' "-t -t
' " '2 + - e + - e sendo do
f f f f fT T
curto
d d d d d
E E E E E
I t
X X X X X
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ω⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 
T’do Î constante de tempo durante o período transitório, determina o decaímento do envelope bde. 
T”do Î constante de tempo subtransitória, determina o envelope cd. 
 
 
7.5.6 COMPONENTE CC: 
 
Se o fluxo que concatena uma fase da armadura não é zero no instante que o curto é aplicado, então 
uma componente CC (DC) deve aparecer na corrente daquela fase para manter o fluxo constante (fig. 7.12 ) 
 
Fig. 7.12 – Correntes de curto-circuito trifásico. 
 
0
at T
dc dcI I e
−= 
 
em que Ta Î constante de tempo da armadura 
 
Com componente CC, icurto é 
 
' "-t -t
0' " '2 + - e + - e sendo do a
f f f f fT T t T
curto dc
d d d d d
E E E E E
I t I e
X X X X X
−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ω +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
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A maior componente CC ocorre em uma fase quando o fluxo concatenado dessa fase é um máximo 
no instante que o curto-circuito é aplicado. A maior componente CC possível é igual a amplitude da corrente 
subtransitória (t=0). Efeitos? Rever seção 7.3. 
 
 ( ) "max "/ 0 2 fdc p t d
E
I
X=
= 
 
Valores típicos das constantes de uma máquina de pólos salientes 
Xd = 1,0 pu 
Xd’ = 0,3 pu 
Xd” = 0,2 pu 
Ta = 0,15 s 
Tdo’ = 6,0 s 
Tdo" ´=0,06 s 
 
 
7.6 CURTO-CIRCUITO NUM GERADOR SÍNCRONO CARREGADO: 
 
Considere um GS entregando potência a uma carga ou a uma barra infinita. Quando o curto é 
aplicado, a reatância da máquina muda de Xd para X”d . As tensões de excitação (Ef) devem mudar para 
satisfazer a condição inicial de fluxo constante. Os circuitos equivalentes durante os três períodos de curto-
circuito são mostrados na Fig. 7.13. As tensões Ei, E’i e E”i são as tensões internas e podem ser calculadas a 
partir das condições anteriores ao curto. 
 
Fig. 7.13 – Circuito equivalente para determinação da corrente de curto-circuito de um gerador síncrono carregado. 
(a) regime permanente, (b) Transitório e (c) Subtransitório 
 ( )i f t a dE E V I jX= = + Tensão interna (atrás da reatância síncrona) antes da falta (pré-falta) 
 
' '
i t a dE V I jX= + Tensão interna (atrás da reatância transitória) pré-falta 
 
" "
i t a dE V I jX= + Tensão interna (atrás da reatância sub-transitória) pré-falta 
 
Ia Î é a corrente de pré-falta em regime permanente. A corrente de curto-circuito é 
 
 
' "
' " '
-t -t
0' " '2[ +( - )e +( - )e ] send d a
T T t Ti i i i i
curto dc
d d d d d
E E E E EI t I e
X X X X X
−= ω + 
 
Em que 
'
' '
0
d
d d
d
XT T
X
� e 
"
" "
0'
d
d d
d
XT T
X
� (Análise simplista de um problema complexo!) 
 
Exemplo 7.1: (Fonte: Sen, P. C.) 
Um gerador síncrono trifásico, 50 MVA, 15 kV, 60 Hz tem os seguintes parâmetros:Xd = 0,9 pu; X’d = 0,4 pu; X”d = 0,2 pu; T’do = 4 s; T”do = 0,6 s; Ta = 0,2 s. 
O gerador está fornecendo a carga plena para o barramento infinito com fator de potência 0,9 em atraso. Um 
curto-circuito trifásico ocorre subitamente nos terminais da máquina. 
a) Determine os valores pré-falta das tensões atrás das reatâncias. 
b) Determine o valor inicial máximo da componente CC na máquina. 
c) Obtenha uma expressão para a corrente de falta em função do tempo. Considerar componente contínua 
máxima na máquina. 
d) Determine o valor eficaz da corrente de falta em t = 0,1 s. 
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7.7 DINÂMICA DA MÁQUINA SÍNCRONA: Mudança súbita de carga 
 
É importante predizer se a MS permanecerá ou não em sincronismo após a ocorrência do distúrbio. 
 
7.7.1 Limite de Estabilidade em Regime Permanente (equação eletromecânica básica) 
 
3 sen 3 sen sent f t f máx
d s s d
V E V EPP T T
X X
δ δ δω ω= ⇒ = = = 
 
 
Fig. 7.14 - características T, P x δ 
• Se um Tcarga é aplicado lentamente (vagarosamente) no eixo, 
o ângulo de torque aumentará. 
• Se o Tcarga é subitamente aumentado, a máquina perderá o 
sincronismo porque o T < Tcarga. 
 
Conclusão: O Tcarga pode ser vagarosamente aumentado até o 
valor máximo de torque que a máquina pode desenvolver, 
chamado de limite de estabilidade em R.P. ou limite de 
estabilidade estática. 
 
7.7.2 Estabilidade Dinâmica: 
 
O máximo valor de Tcarga que pode ser aplicado subitamente sem perda de sincronismo pode ser obtido 
do comportamento dinâmico da MS 
 
• Considere um motor síncrono, sem carga, conectado a um sistema de potência. As perdas são 
negligenciadas (δ = 0º); 
• Um Tcarga é subitamente aplicado ao eixo do MS, o motor desacelera e δ aumenta; 
• atinge δL , no qual o Tcarga é o mesmo que o Tdesenvolvido pela máquina, porém a velocidade mecânica 
está abaixo da velocidade síncrona; 
• Devido à inércia, δ > δL e a máquina desenvolve mais torque do que o de carga (δ = δmáx); 
• O ângulo de carga oscila em torno de δL. 
 
 
 
 
 
Fig. 7.15 - (a) Característica T x δ, (b) Circuito equivalente durante o distúrbio (transitório) 
 
Eq. Diferencial que descreve a dinâmica do sistema [δ(t)?] 
 
Eq. do balanço de torques: T= Ta + Td + TL 
 
ou 
2
2senmáx j d L
d dT k k T
dt dt
δ δδ = + + em que 
Tmax 
Pmax 
P, T 
UFMS/DEL – Prof Valmir – notas de aula de MCCS – edição 2011 7. 12 
senmáxT T δ= é o torque desenvolvido pelo motor Î 
'
3 sen
'
t i
s d
V ET
X
δω= (I) 
2
2a j
dT k
dt
δ= é o torque de aceleração 
d d
dT k
dt
δ= é o torque de amortecimento 
TL é o torque da carga 
 
Eq. Não linear Î resolvida por métodos numéricos 
 
 
7.7.3 Análise Não Linear - Método das Áreas Iguais 
 
Na maioria dos casos o interesse é somente saber se o sincronismo é mantido, isto é, se ângulo δ se 
estabelece (alcança um ponto de operação estável) depois da máquina ter sido submetida a uma perturbação 
de valor considerável. Um método gráfico conhecido como Método das Áreas Iguais é capaz de fazer essa 
análise. 
Considere especificamente um motor síncrono com a curva de conjugado-ângulo da Fig. 7.16, 
baseada na equação (I). Considerando que o motor está inicialmente em vazio, e que portanto, o ponto de 
operação está na origem da curva. Quando uma carga mecânica TL é subitamente aplicada, o rotor desacelera 
até δ = δL, onde o conjugado produzido pela máquina iguala o conjugado de carga TL. Durante a 
desaceleração, energia cinética é retirada da massa girante. A área 0AB representa essa energia. Em δ = δL, a 
velocidade é ligeiramente menor que a velocidade síncrona. O ângulo δ continua a aumentar, fazendo a 
máquina produzir mais torque que o solicitado pela carga, o que faz o motor acelerar e recompor sua energia 
cinética perdida. Em δ = δmáx , a velocidade ultrapassa o seu valor síncrono. Portanto, a alteração total na 
energia cinética é zero. Assim, as áreas 0AB e BCD são iguais. Após isso, na ausência de amortecimento, o 
rotor continua a oscilar entre os pontos 0 e C à sua freqüência natural. Na prática, as oscilações sucessivas 
serão de amplitudes decrescentes e finalmente resultará em equilíbrio dinâmico no ponto B. 
 
O método de áreas iguais fornece um meio direto (simples) para se determinar o máximo ângulo de 
oscilação. Ele também fornece uma indicação simples sobre a manutenção do sincronismo, e uma medida 
grosseira da margem de estabilidade. Assim, se a perturbação na carga é tal que a área BCEDB na Fig. 7.16a 
é menor que a área OAB, o sincronismo nunca será restabelecido e o ângulo δ continuará aumentando como 
mostrado pela curva X na Fig. 7.16b. Por outro lado, se área BCED é maior que 0AB, o sincronismo é 
mantido com uma margem indicada pela diferença de áreas e a curva ângulo-tempo segue a curva Y na Fig. 
7.16b. Se as áreas BCED e 0AB forem iguais, o sistema alcançará um equilíbrio instável, para o qual é 
seguida a curva Z. 
 
 
Fig. 7.16 - (a) Curva de torque-ângulo de um motor síncrono e torque requerido pela carga (TL) e 
(b) Curvas de oscilação para uma súbita perturbação no torque de carga (sem amortecimento) 
 
UFMS/DEL – Prof Valmir – notas de aula de MCCS – edição 2011 7. 13 
O máximo valor de torque de carga TL(máx) 
que pode ser aplicado subitamente sem perda do 
sincronismo é chamado limite de estabilidade 
dinâmica, como mostrado na Fig. 7.17. 
 
 
 
7.17 – Limite de estabilidade dinâmica 
 
Exemplo 7.2: (Fonte: Sen, P. C.) 
Uma máquina síncrona tem os seguintes parâmetros: Xd = 0,8 pu e X’d = 0,3 pu. A corrente de campo da 
máquina síncrona é ajustada par produzir uma tensão de circuito aberto de 1 pu e a máquina é sincronizada 
com um barramento infinito. 
a) Determine o máximo torque em pu que pode ser aplicado gradualmente sem perda do sincronismo. 
b) Determine o máximo torque (em pu) que pode ser aplicado subitamente depois da sincronização sem 
perda do sincronismo. Pode este torque ser sustentado por um longo período.