Apostila da 1º Fase

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Curso de Administração e TC_RH
Disciplina: Matemática Aplicada – 2008 / 2o Semestre
Texto elaborado por: Ms. Gladis T. Borges de Oliveira gladis@sc.estacio.br 
 Ms. Rejane Costa rejane@sc.estacio.br 
 Ms. Maria da Graça Francisco, 
"Aquele que toma a realidade e faz dela um sonho é um artista. Também será artista aquele que do sonho faz a realidade." (Malba Tahan).
 FUNÇÃO LINEAR (PRIMEIRO GRAU) E SUAS APLICAÇÕES 
Introdução:
Vamos inicialmente ver duas situações problema do conteúdo que iremos estudar: 
1º.) O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa P é composta por duas partes: uma parte fixa, denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número d de quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 6,00 e o quilômetro rodado, R$ 1,20.
Expresse o preço P em função da distância d percorrida.
Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi rodou 10 km?
Sabendo que a corrida custou R$ 20,00, calcule a distância percorrida pelo táxi.
2º.) Em uma determinada loja, o salário mensal fixo de um vendedor é de R$ 240,00. Além disso, ele recebe R$ 12,00 por unidade vendida.
Expresse o ganho mensal (S) desse vendedor em função do número (u) de unidades vendidas.
Quantas unidades ele deve vender para receber um salário de R$ 700,00?
– Função de uma variável
– Definição: Sejam A e B conjuntos não vazios.
 Uma relação f de A em B é denominada função de A em B se e, somente se, para todo 
, exista um único 
 tal que, 
.
 Notação:
.
– Função polinomial do 1o grau – É a função definida por: 
 
; 
 e 
. O gráfico é uma reta.
 Exemplos: a) y = 5x + 3 ; b) y = -x + 7 ; c) y = 8 x ; d) 
 Coeficientes da função do 1º grau
Dada a função real f(x) = ax + b:
O coeficiente angular (a), também chamado declividade da reta, é a tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das abscissas, medido no sentido anti-horário.
O coeficiente b é chamado coeficiente linear (b) da reta e indica o valor da coordenada y para x igual a zero.
Assim, graficamente temos:
 
1.3 – Estudo da reta:
A) - Esboçar o gráfico da reta 
 no sistema de coordenadas cartesianas
Ex1) y = -3x + 2
 Y 
 
 + 2 y
 
 
 
 X 
Ex2) Esboce os gráficos das seguintes funções:
	a) y = 2x + 3 	 b) 
 c) y = –x 
 
B) - Determinar a equação da reta 
 conhecendo dois de seus pontos:
Ex3) Obtenha a lei das funções de 1º grau que passam pelos pares de pontos abaixo:
(-1, 2) e (2, -1)
Ex4) Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico está representado abaixo:
 
C) - Determinar os pontos de interseção de uma reta com os eixos coordenados:
Sabemos que a reta é determinada pela equação
. Assim: 
a) Quando 
. 
b) Quando 
.
 
Ex5) 
�� EMBED Equation.3 
Quando 
�� EMBED Equation.3 ; 0 X
 
 
Quando 
 
 
 Observe que os pontos que encontramos são pontos que estão sobre os eixos X ou Y, pois uma das coordenadas é igual a zero. 
 Y 
 
Ex6) 
�� EMBED Equation.3 
Quando 
�� EMBED Equation.3 ;
 0 X
Quando 
 
 
Ex7)
 
�� EMBED Equation.3 
 
 ●
 Quando 
�� EMBED Equation.3 ; (0,0)
Quando 
.
Observe que quando 
, utilizando esse procedimento, só encontramos um ponto: 
 , que é a origem do sistema de coordenadas. Toda reta do tipo 
 passa pela origem do sistema. Precisamos determinar mais um ponto: 
 Y 
 
 
 -1 
 0 X 
 
OBS.: Vimos que, dada a equação que representa a reta, podemos determinar dois de seus pontos e representá-la graficamente. Veremos agora como determinar a equação que representa uma reta conhecendo dois de seus pontos.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico passa pelo ponto (2, 3) e cujo coeficiente linear vale 5.
Uma piscina de 30 mil litros, totalmente cheia, precisa ser esvaziada para limpeza e para isso uma bomba que retira água à razão de 100 litros por minuto foi acionada. Baseado nessas informações pede-se:
A expressão que fornece o volume (V) de água na piscina em função do tempo (t) que a bomba fica ligada.
A expressão que fornece o volume de água que sai da piscina (VS) em função do tempo (t) que a bomba fica ligada.
O tempo necessário para que a piscina seja esvaziada.
Quanto de água ainda terá na piscina após 3 horas de funcionamento da bomba?
O esboço do gráfico que representa o volume de água na piscina em função do tempo em que a bomba fica ligada. 
Determinar a lei da função do 1º grau que passa pelo ponto (-2, 1) e cujo coeficiente angular é -4.
Determine a lei da função do 1º grau que passa pelos pares de pontos abaixo:
(0, 1) e (1, 4) b) (-1, 2) e (1, -1)
Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás. Sabendo que em média é consumido, por dia, 0,5 kg de gás:
Expresse a massa (m) de gás no botijão, em função do número (t) de dias de consumo.
Esboce o gráfico desta função.
Depois de quantos dias o botijão estará vazio?
A água congela a 0° C e a 32° F; ferve a 100° C e 212° F. A temperatura em graus Fahrenheit (F) varia linearmente com a temperatura em graus Celsius (C).
Expresse a temperatura em F em função de C e faça o gráfico desta função.
A temperatura do corpo humano não febril é de 37° C. Qual é esta temperatura em graus Fahrenheit?
A que temperatura, em graus Celsius, corresponde 20° F.
Dois táxis têm preços dados por: 
Táxi A: bandeirada a R$ 4,00, mais R$ 0,75 por quilômetro rodado.
Táxi B: bandeirada a R$ 3,00, mais R$ 0,90 por quilômetro rodado.
Obtenha a expressão quefornece o preço de cada táxi (PA​ e PB) em função da distância percorrida.
Para que distâncias é vantajoso tomar cada táxi? 
Sr. Pedro é um representante comercial e recebe, mensalmente, um salário composto de duas são partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1 700, 00 e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 5% sobre o total das vendas que ele faz durante o mês. 
Escreva a função que representa esta situação.
Quanto o Sr. Pedro recebeu neste mês, sabendo que o total das vendas foi de R$ 4.380,00? 
9) Calcule a equação da reta que contém os pontos representados no sistema abaixo:
 Y 
 
a)4500 ○ (0,4500) 
 
 
 
 
 50 ○ (100,50) 
 0 100 X 
10) Qual a equação da reta que contém os pontos representados no sistema abaixo:
 Y
 
 150 ○ (0,150)
 
 (10,0)
 ○
 0 10 X
TIRAR XEROX DO TEXTO COMPLEMENTAR “Aplicação da reta”
Referências bibliográficas:
MEDEIROS DA SILVA, S., SILVA, E.M. e SILVA, ER. M. – Matemática para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis – São Paulo: Atlas, 2002.
GENTIL, Nelson et ali. Matemática para o 2º grau. São Paulo: Ática, 1997. v.1.
GIOVANNI, José Rui; BONJORNO, José Roberto. Matemática: uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2000. v.1.
PAIVA, Manoel. Matemática: Conceitos, linguagem e aplicações.São Paulo: Moderna.
JURO E DESCONTO SIMPLES
A matemática financeira tem como principal objetivo o estudo do valor do dinheiro no tempo.
 “Investir em conhecimento rende sempre os melhores juros” Benjamin Franklin 
 
1 – Juro Simples
 O estudo que vamos iniciar agora, com todas as suas fórmulas e fatores, são feitos em função do crescimento de uma certa quantia em dinheiro aplicada com o tempo, isto é, dos juros.
 Juro – Capital – Taxa
 Se B empresta a C à importância de R$ 100,00 pelo prazo de um ano, é comum que, ao final desse prazo, C devolva a B a importância de R$ 100,00 acrescida de alguma quantia em dinheiro como compensação financeira denominada juro. Vamos supor que foi devolvida a quantia de R$ 110,00.
No nosso exemplo, podemos dizer que a taxa de juro considerada foi de:
 
.
Obs. 1: A taxa de juro pode ser representada por duas formas equivalentes:
 10% ao ano (forma percentual) ou 0,1 ao ano (forma unitária).
Sempre que falamos em juro relativo a um capital, estamos nos referindo à remuneração desse capital durante um intervalo de tempo que denominamos período financeiro ou período de capitalização.
Juro – é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital.
1.1 – Regime de Capitalização
 Regime de capitalização é o processo de formação do juro. Há dois regimes de capitalização: a juro simples e a juro composto.
No regime de capitalização a juro composto, o juro formado no fim de cada período é Incorporado ao capital que tínhamos no início desse período, passando esse montante a render juro no período seguinte; dizemos então que os juros são capitalizados.
Já no regime de capitalização a juros simples, por convenção, apenas o capital inicial rende Juro, isto é, o juro formado no fim de cada período a que se refere à taxa não é incorporado ao capital para, também, render juro no período seguinte; dizemos, neste caso, que os juros não são capitalizados.
 
1.2 – Juro Simples
Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.
Ex.1: Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 10.000,00, aplicado durante 3 anos, à taxa de 5% ao ano. (R$ 1.500,00)
 Cálculo do juro simples
Por definição, o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade.
 Assim, sendo: C ou P ou PV – capital inicial ou principal;
 j – juro simples;
 n – tempo de aplicação;
 i – taxa de juro unitária.
 Podemos escrever:
,que é a fórmula de cálculo do juro simples. 
Obs.2: Essa fórmula só pode ser aplicada se o prazo de aplicação n e a taxa i consideradas estiverem expressas na mesma unidade de tempo. 
 
Ex.2: Tomou-se emprestada a importância de R$ 45.150,00, pelo prazo de 5 bimestres, à taxa de 2,9% ao bimestre. Qual será o valor do juro a ser pago? (R$ 6.546,75)
Ex.3: Aplicou-se a importância de R$ 57.500,00, à taxa de 1,7% ao mês que rendeu de juros a importância de R$ 4.887,50. Quanto tempo o capital ficou aplicado? (5 meses)
 
1.3 – Juro Comercial (ou ordinário) e Juro Exato
 Quando empregamos, no cálculo do juro simples: 1ano = 360dias e 1mês = 30dias, estamos trabalhando com o que denominamos juro simples comercial (ou juro simples ordinário). Entretanto, podemos obter o juro fazendo uso do número exato de dias do ano, ou seja, 365 dias, ou 366 dias, se o ano for bissexto. Neste caso, o resultado é denominado juro simples exato. 
Obs.3: a) A técnica mais comumente usada é a do cálculo do juro simples comercial (ordinário). 
 
 b) Na maioria das vezes é conveniente transformarmos a unidade do intervalo de tempo para a mesma unidade da taxa.
�
Ex.4: A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 15.000,00 para que, em 4 meses e 10 dias, renda um juro de R$2.600,00 ? 
Resp.: Temos
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 a taxa é de 0,04 a.m. ou 4% a.m. (Fizemos a transformação em meses porque o problema pede a taxa mensal). 
 
1.4 – Montante
Montante é igual á soma do capital inicial (principal) com o juro relativo ao período de aplicação, isto é: Montante = capital inicial + juro 
Assim, temos: (M / F ou FV) F = P + j 
Como J = P. i . n 
 F = P. ( 1 + i . n ) 
Ex.5: Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 38.000,00 durante 10 meses, à taxa de 1,75% ao mês? (R$ 44.650,00)
 
 
 
Ex.6: Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 31.500,00 daqui a 3 trimestres, a uma taxa de 12% ao ano, no regime de juros simples? (R$ 28.899,08)
Ex.7: Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 8.640,00 e promete pagar ao credor, após 10 meses, a quantia de R$ 10.497,60.Determine a taxa de juro anual cobrada. (25,8% a.a.)
Ex.8: Por quanto tempo, em meses, deve ser aplicado o capital de R$ 15.000,00, à taxa de juro de 18% ao ano, para obtermos um montante de R$ 15.675,00?(3 meses)
 
1.4.1 – Montante para períodos não-inteiros – Pode ocorrer que o número de períodos financeiros não seja um número inteiro. Neste caso, devemos utilizar juro simples à taxa i, durante o período 
, sendo 
. Então: 
,que nos dá o montante para períodos não-inteiros. 
Ex.9: Qual será o montante de R$ 18.000,00, a juros simples de 42% ao ano, em 3 anos e 5 meses? 
 (R$ 43.830,00)
1.5 – Taxas
1.5.1 – Taxas Proporcionais
Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. 
 
Considerando: 
 - taxa anual, 
 - taxa bimestral,
 
 - taxa semestral, 
 - taxa mensal,	
 
 - taxa trimestral, 
 - Taxa diária.
Assim, temos que: 
. Assim, para um período 
 do ano, a 
taxa proporcional será 
, isto é: 
. 
 
 
 
Ex.10: Determine, em que prazo um empréstimo de R$ 23.850,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 26.235,00, sabendo que a taxa contratada é de 12% ao semestre em regime de juro simples, com capitalização mensal. (5 meses)
Ex.11: Qual o montante a receber da aplicação de um capital de R$ 100.000,00, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano, com capitalização trimestral? (R$ 148.000,00)
 
 
 
Ex.12: Qual o montante a receber da aplicação de um capital de R$ 100.000,00, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano, com capitalização mensal? (R$ 148.000,00)
Ex.13: Qual o montante a receber da aplicação de um capital de R$ 100.000,00, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano? (R$ 148.000,00)
 
1.5.2 – Taxas Equivalentes – São aquelas que, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante num mesmo tempo.
Cálculo da taxa equivalente:
Pelo conceito de taxas equivalentes, podemos afirmar que o montante F produzido pelo capital P, à taxa anual ia, durante 1 ano, tem que ser igual ao montante F produzido pelo mesmo capital C, durante 12 meses, à taxa mensal im, assim:
�� EMBED Equation.3 .
Para outras frações do ano, temos:
.
Ex.14: Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 30.000,00, aplicado durante 3 meses e 13 dias, à taxa de 1,9% ao mês. (R$ 1.957,00)
 
 
Ex.15: a) Qual é a taxa bimestral equivalente a 42% ao ano, em juros simples? (7%a.b.) 
b) Qual é a taxa anual equivalente a 2,5% ao mês, em juros simples? (30% a.a.)
Obs.4: Em juro simples temos que: Taxa Proporcional = Taxa Equivalente.
1.6 – Valor Atual (Partindo do Montante) – Valor Nominal
Valor Atual – Corresponde ao valor de um compromisso em uma determinada data compreendida entre o início e o término do compromisso. É o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento (Representado por A).
 Queremos calcular o valor que foi aplicado para formar um determinado montante após determinado período.
Valor Nominal – É o valor de um título na data de seu vencimento.
 É o valor indicado no título, importância a ser paga (ou recebida) no dia do vencimento (Representado por N).
Ex.16: Suponhamos que uma pessoa tenha uma dívida de R$ 10.950,80, que vença daqui a 3 meses. Se ela puder aplicar seu dinheiro hoje, a juros simples e à taxa de 1,85% a.m., quanto ela precisará aplicar para poder pagar a dívida na data do vencimento? 
 
Resposta.: Em situações como essa, costuma-se chamar o valor da dívida, na data do vencimento, de valor nominal: N; o valor que, aplicado numa data anterior, produz um montante igual ao valor nominal chama-se valor atual: A.
De acordo com a nossa definição 
 
 
.
No nosso ex., temos: N = 10.950,80, i = 1,85% a.m. = 0,0185 a.m. e n = 3.
Logo, A + A.0,0185.3 =10.950,80 
 A(1+0,0555)=10.950,80 
 1,0555.A=10.950,80 
.
Ou seja: 
.
Assim, o valor atual é de R$ 10.375,00.
Podemos verificar facilmente que, aplicando R$ 10.375,00 durante 3 meses, a juro simples e taxa de1,85% a.m., obteremos R$ 575,80 de juro e um montante de R$ 10.950,80.
 
Ex.17: Um título com valor nominal R$ 15.000,00 com vencimento para daqui a 2 anos e a taxa de juro de 30% ao ano, terá que valor atual racional, nas seguintes datas:
a) Hoje; (R$ 9.375,00) 
b) Daqui a 1 ano e 3 meses; (R$ 12.244,90) 
 
c) 5 meses antes do seu vencimento. (R$ 13.333,33) 
Ex.18: Um empresário deseja levantar o valor atual de sua carteira de cobranças. Ele possui dois títulos no valor de R$4.000,00 cada, com vencimento para 60 e 90 dias; um título com vencimento para 75 dias no valor de R$3.800,00; Um título no valor de R$ 7.200,00 com vencimento para 34 dias; e um último título no valor de R$ 7.350,00 com vencimento para 45 dias. Ele foi até o banco, onde informaram que a taxa corrente para desconto é de 3,2% ao mês. Qual o valor atual racional de sua carteira de cobranças? (R$ 24.888,94) 
 
 
2 – Descontos Simples
2.1 - Introdução - Se uma pessoa deve uma determinada quantia em dinheiro a ser paga em uma data futura é natural que forneça ao credor um comprovante desta dívida: 
 título de crédito. Todo título de crédito tem uma data de vencimento, mas o devedor pode resgatá-lo antecipadamente e com isso ganhar um abatimento denominado desconto.
2.2 - Títulos de Crédito
 2.2.1 - Nota Promissória - é um comprovante da aplicação de um capitalcom vencimento predeterminado. Bastante utilizado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma instituição financeira.
 2.2.2 - Duplicata - é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente, para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato. Utilizado por pessoa física ou jurídica.
 2.2.3 - Letra de Câmbio -é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado. É um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.
2.3 – Definições:
 2.3.1 -Dia de vencimento - é o dia fixado no título para o pagamento ou recebimento da aplicação. 
 2.3.2 - Valor nominal – é o valor indicado no título. Importância a ser paga ou a ser retirada no dia do vencimento. (valor nominal ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate).
 2.3.3 - Valor atual - é o líquido pago ou recebido antes do vencimento. (valor atual ou valor descontado).
 2.3.4 - Tempo ou Prazo - é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento (incluindo o primeiro e não o último ou incluindo o último e não o primeiro).
2.4 - Desconto - é a quantia a ser abatida do valor nominal N, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
2.4.1 - Desconto Comercial - Também chamado de desconto bancário ou desconto por fora é o equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e à taxa fixada.
Sabendo que: dc - é o valor do desconto comercial
 N - é o valor nominal do título
 A - é o valor atual comercial ou valor descontado comercial
 n - é o tempo
 i - é a taxa de desconto
Valor atual Comercial
De acordo com a definição obtemos: dc=N.i.n,que determina o valor do desconto comercial. Como o valor atual comercial é dado por: A = N – dc 
 A = N( 1 - i 
 n ).
 Assim: 
; 
 e 
.
Obs.5: O desconto comercial só pode ser aplicado para períodos curtos, pois para prazos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor nominal do título.
Ex.19: Um título de R$ 15.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,3% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: 
a) o valor do desconto comercial; (R$ 517,50) 
b) o valor atual comercial. (R$ 14.482,50) 
 
 
 
Ex.20: Uma duplicata de R$ 8.100,00 foi descontada antes de seu vencimento por R$ 6.804,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês.
 (4 meses) 
Ex.21: Um título no valor de R$ 20.000,00 com vencimento em12/11/2005 é resgatado em 7/08/2005. Se a taxa de juro contratada for de 36% ao ano, qual é o valor atual comercial? (R$ 18.060,00)
 
2.4.2 – Desconto Racional - Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.
Sabendo que: 
 Temos pela definição: 
.
 Como: 
Que é o valor do desconto racional em função do valor nominal do título.
Obs.6: Na prática, com juro simples, somente o desconto comercial é utilizado, por isso que quando no enunciado do problema não se fizer nenhuma referência utiliza-se a fórmula do desconto comercial; porém, é necessário fazermos referência ao desconto racional porque precisaremos do conceito quando estudarmos desconto composto.
Valor atual racional
O valor atual ou descontado racional é dado por: 
.
Como 
 
 
.
Obs.8: Como 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 ,o que nos permite concluir que o desconto racional é menor que o desconto comercial.
Ex.22: Um título de R$ 15.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,3% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:
O valor do desconto racional; (R$ 500,24) 
b) O valor atual racional. (R$ 14.499,76) 
 
 
2.5 - Taxa de juro efetiva - é a taxa de juro que no período n torna o capital C igual ao montante N (É a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de desconto). Assim, representando a taxa efetiva por 
, obtemos:
, pois: 
 e 
. Assim: 
.
Ex.23: Um cliente aplicou na compra de um título à quantia de R$ 30.674,85 para resgate em 2,5 anos. Foi oferecida pela financeira uma taxa de 2,1% ao mês.
a) Qual o valor do título? (R$ 50.000,01) 
(Obs.: Aplicou um capital na compra de um título
devemos primeiro determinar o valor do título
�� EMBED Equation.3 ).
b) Sabendo que o título foi resgatado 45 dias antes da data prevista, qual o valor do desconto comercial? (R$ 1.575,00) 
c) Qual o valor do resgate? (R$ 48.425,01) 
d) Qual a taxa de juro efetiva? (2,17%am) 
2.6 - Equivalência de capitais - Dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. 
Fazemos isso, normalmente quando temos a necessidade de substituir um título (ou mais) por outro (ou outros) com vencimento diferente. 
Obs.8:
Capitais diferidos- são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes.
Obs.9:
A solução deste tipo de problema consiste em estabelecer uma data (data de comparação) e comparar os valores atuais dos títulos em questão, nessa data. Se resultar uma igualdade, podemos concluir que esses capitais diferidos são equivalentes. No regime de juro simples, essa data de comparação deve ser a data zero, isto é, a data em que a dívida foi contraída: isto porque, neste regime, não podemos fracionar o prazo de aplicação, já que o juro é admitido como sendo formado no fim do período de aplicação. 
 
Ex.24: Substitua um título de R$ 120.000,00, vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses, sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 2,11% ao mês. Qual o valor nominal comercial do novo título? (R$ 125.661,26) 
Ex.25: Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de R$ 35.000,00 e o outro de R$ 47.000,00, vencíveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um único título vencível em 4 meses. Sendo a taxa de juro comercial igual a 2,82% ao mês, qual será o valor do novo título? 
 (R$ 81.237,15) 
 
 Ex.26: Substitua dois títulos, um de R$ 40.000,00 para90 dias e outro de R$ 110.000,00 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencíveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3,5% ao mês.
 (R$ 49.498,21) 
Ex.27: Substitua três títulos, um de R$ 82.500,00 para 2 meses, outro de R$ 40.000,00 para 4 meses e outro de R$ 31.000,00 para 8meses, por dois outros, com vencimentos para 3 e 6 meses respectivamente. Calcule o valor dos dois novos títulos, sabendo que o valor do segundo deverá ser o dobro do valor do primeiro e que a taxa de desconto comercial da transação é de 2,5% ao mês. 
 (R$ 53.019,05 / 106.038,10) 
LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 47.200,00, à taxa de 4,5% ao trimestre, durante 2 trimestres. (R$ 4.248,00)
2) Sabendo-se que a aplicação de um capital à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses, produziu R$ 3.750,00 de juros, calcule o valor desse capital. (R$ 200.000,00)
3) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 55.000,00, à taxa de 1,55% ao mês, durante 2 anos. 
 (R$ 75.460,00)
4) Uma pessoa aplicou R$ 19.000,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 33.250,00. Qual foi a taxa anual? (15% a.a.)
5) Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 30.000,00, a 2,5% ao mês, renda um montante de R$ 35.250,00? (7 meses)
6) A que taxa anual deve ser aplicado o capital de R$ 4.850,00 para que acumule em 1 ano e 2 meses um montante de R$ 6.547,50? (30% a.a.)
7) Um capital de R$ 24.000,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 15% ao ano. Determine o juro obtido. (R$ 3.000,00)
8) Calcule o montante correspondente a um capital de R$ 72.000,00, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 9% ao ano. (R$ 87.300,00)
9) Um título com valor nominal de R$ 32.000,00 com vencimento daqui a 3 anos e a taxa de juro é de 16,2% a.a., qual o valor atual racional deste título nas seguintes datas: 
a) Hoje; (R$ 21.534,32)
b) Daqui a um ano e 7 meses; (R$ 26.026,84)
c) 4 meses antes de seu vencimento. (R$ 30.360,53) 
10) Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$ 20.000,00, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial? (R$ 1000,00)
11) Um título, no valor nominal de R$ 8.400,00, com vencimento em 18/10/2003, foi resgatado em 10/07/2003. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual foi o valor atual comercial.
 (R$ 7.140,00)
12) Um título de R$4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule em dias, o tempo de antecipação do resgate. 
 (75dias)
13) Uma duplicata de R$23.000,00 foi resgatada de 112 dias antes de seu vencimento por R$ 21.068,00.Determine a taxa mensal de desconto e a taxa efetiva.
 (2,25%am e 2,46%am) 
14) Um título de valor nominal igual a R$ 6.300,00 para 90 dias deverá ser substituído por outro para 150 dias. Calcule o valor nominal do novo título, à taxa comercial de 2,5% ao mês. 
 (R$ 6.660,00)
15) Um industrial possui três títulos: um de R$ 40.000,00 para 30 dias, outro de R$ 100.000,00 para 60 dias e outro de R$ 160.000,00 para 90 dias, que devem ser resgatados para trocar por dois outros de mesmo valor nominal, vencíveis em 90 e 120 dias, respectivamente.
a)Qual o valor nominal comum dos novos títulos, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3,5% ao mês? (R$ 156.581,20)
b) Qual o valor aplicado para obter cada novo título? (R$ 140.140,17 e R$ 134.659,83)
 
17) Calcular o montante de:
a) R$ 500,00 a 25% a.s. por 8 meses; (R$ 666,67)
 
b) R$ 2.200,00 a 30,2%a.a. por 2 anos e 5 meses; (R$ 3.805,63)
 
 
c) R$ 3.000,00 a 34% a.a. por 19 meses. (R$ 4.615,00)
18) Qual é a taxa de juro anual que, de um capital de R$1.200,00, gera um montante de: 
a) R$ 1.998,00 em 3 anos e 2 meses? (21% ao ano) 
b) R$ 1.470,00 em 10 meses? (27% ao ano) 
c) R$ 2.064,00 em 1 ano e 8 meses? (43,2% ao ano)
19) Qual é o capital que rende: 
a) R$ 150,00 a 18% a.a. em 10 meses? 
 
 
 
b) R$ 648,00 a 21,6% a.a. em 2 anos e 1 semestre?
c) R$ 1.500,00 a 30% a.a. em 3 anos e 4 meses? (R$ 1.000,00 ; R$ 1.200,00 ; R$ 1.500,00)
20) Em quantos meses um capital de R$10.000,00, aplicado a 26,4% a.a.:
 
 a) Renderá R$ 4.620,00? (21 meses)
 b) Elevar-se-á R$ 16.160,00? (28 meses)
21) Uma loja vende uma mercadoria por R$ 400,00 à vista. A prazo pode ser comprada com uma entrada de R$ 225,00 e mais um pagamento de R$ 225,00 para 60 dias. Qual a taxa de juro anual cobrada pela loja? (171,43% a.a.)
22) Um capital de R$ 50.430,00 pode ser aplicado à taxa de 7% ao trimestre. Por quantos meses deve permanecer aplicado para elevar-se a R$ 58.666,90? (7meses)
23) Um investidor quer triplicar seu capital. Por quanto tempo, em meses, deve mantê-lo aplicado à taxa de 4,7% ao bimestre? (Aproximadamente 85 meses)
24) Um investidoraplicou 50% de seu capital à taxa de 30% ao ano e o restante a 3% ao mês. Ao final de 740 dias recebeu um montante de R$ 67.133,33.
a) Qual o capital inicialmente investido? (R$ 40.000,00)
b) Qual o juro total recebido? (R$ 27.133,33)
25) Determine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, acumulou em 3anos, 2meses e 20 dias um montante de R$ 586.432,00, em regime de juros simples. (R$ 313.600,00)
26) Um título de valor nominal R$ 60.000,00 foi descontado comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa simples de 4% ao mês. Calcule o valor descontado e a taxa de juros efetiva dessa operação. (R$ 55.200,00 ; 4,348%a.m.)
27) Para refinanciar uma dívida de R$ 2.000,00 em 25 dias, Guilherme paga R$ 780,00 no momento da negociação e é emitido um novo título para 100 dias. Se a taxa de desconto comercial simples utilizada foi de 6% ao mês e a data referência o instante 0, qual o valor nominal do novo título? (R$ 1.400,00)
29) Um banco cobra pela antecipação de um título a taxa de desconto simples de 9% ao mês. Numa antecipação de 50 dias feita nesse banco, qual o valor da taxa mensal de juro simples efetivamente cobrada? (10,59% a.m.)
30) Um artigo de preço à vista igual a R$ 700,00 pode ser adquirido com uma entrada de 20% mais um pagamento para 45 dias. Se o vendedor cobra juros simples de 8% ao mês, qual o valor do pagamento devido? (R$ 627,20)
31) Um comerciante descontou dois títulos em um banco: um de R$ 320.000,00, para 90 dias, e outro de R$ 200.000,00, para 150 dias. Desejando substituí-los por um título único, com vencimento para 120 dias, calcule o valor nominal deste último, supondo que a taxa de desconto de 8% ao mês em regime de juros simples permaneça inalterada. (R$ 534.117,65)
 
32) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou então a prazo com R$ 450,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1.300,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? 
 (5,952% a.m.)
33) André, dispondo de R$ 3.000,00, resolveu aplicá-los em dois bancos. No primeiro, aplicou uma parte a juros simples à taxa de 0,8% ao mês por 6 meses e, no segundo, aplicou o restante também a juros simples por 8 meses à taxa de 1% ao mês. Determine o quanto foi aplicado em cada banco sabendo-se que o total dos juros obtidos foi de R$ 182,40. (R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00)
 
34) Duas pessoas têm juntas R$ 261.640,00 e empregam o que têm à taxa de 40% ao ano, em regime de juro simples. Após 2 anos, a primeira recebe R$ 69.738,00 de juro a mais que a segunda. Qual o capital de cada uma? (R$ 174.406,25 e R$ 87.233,75)
 35) Um título de R$ 270.000,00 foi descontado faltando 60 dias para o vencimento do mesmo. Sabendo que o desconto foi de R$ 16.200,00, calcule a taxa mensal de desconto e a taxa efetiva. 
 (3% a.m. e 3,191% a.m.)
36) Um comerciante desconta em um banco uma nota promissória para 90 dias, à taxa de 3% ao mês, mais 1,5% de comissão. Sabendo que o líquido creditado para o comerciante foi de R$ 179.000,00, qual o valor da promissória? (R$ 200.000,00)
 
 
37) Um comerciante descontou dois títulos em um banco: um de R$ 120.000,00, para 120 dias, e outro de R$ 100.000,00, para 150 dias. Desejando substituí-los por um título único, com vencimento para 90 dias, calcule o valor nominal deste último, supondo que a taxa de desconto de 12% ao ano permaneça inalterada. (R$ 216.701,00)
38) Um título de R$ 3.000,00 foi descontado 23 dias antes de seu vencimento à taxa de 60% ao ano. Calcule a taxa mensal efetiva cobrada na operação. (5,20% ao mês)
39) Preciso de R$ 17.000,00 e tenho uma duplicata de R$ 20.000,00 em minha carteira de cobrança. Considerando a taxa de 40% ao ano, quantos dias antes de seu vencimento posso descontá-la para obter o capital de que necessito? (135 dias)
40) O valor atual comercial de uma nota promissória é igual a 25% de seu valor nominal. Sabendo que ela foi descontada oito meses antes de seu vencimento, qual a taxa de desconto anual e a taxa efetiva anual cobrada? ( 112,5% a.a. ; 450% a.a.)
41) Por quanto posso comprar um título, utilizando desconto racional, com vencimento para 6 meses, se o valor nominal do título for de R$20.000,00 e eu quiser ganhar 30% ao ano? (R$ 17.391,30)
42) Um lojista deseja levantar o valor atual de sua carteira de cobranças. Ele possui quatro títulos no valor de R$2.000,00 cada, com vencimento para 30/60/90 e 120 dias; um título com vencimento para 85 dias no valor de R$4.200,00; Dois títulos nos valores de R$ 3.900,00 e R$ 1.700,00 com vencimento para 37 dias; e um último título no valor de R$ 2.450,00 com vencimento para 55 dias. Ele foi até o banco, onde informaram que a taxa corrente para desconto é de 3,8% ao mês. Qual o valor atual de sua carteira de cobranças? (R$ 18.748,43)
43) Uma pessoa aplica R$ 52.000,00 à taxa de 18% ao ano. Após algum tempo, a taxa é aumentada para 2,5% ao mês. Determine o prazo em que vigorou a taxa de 2,5% ao mês, sabendo que em 10 meses os juros totalizaram R$ 9.880,00. (4 meses)
44) Uma instituição financeira deseja receber uma taxa de juros efetiva de 26% ao ano em operação de antecipação de duplicatas com prazo de 6 meses. Qual a taxa de desconto anual ela deve cobrar de seus clientes? (23,01% a.a) 
Livro Matemática Financeira – Carlos Roberto Vieira Araújo – Juros e Desc. Simples
	JUROS SIMPLES
	P=C= CAPITAL
	M=F= MONTANTE
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	MONTANTE
	
	
	
	
	
	
	TÍTULOS
	
	
	
	
	
	
	DESCONTO COMERCIAL (POR FORA)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO)
	
	
	
	
	
	
	TAXA EFETIVA
	
	
	
JURO E DESCONTO COMPOSTO
1 – Juro Composto
1.1 – Juro composto – é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior.
1.2 – Cálculo do Montante
Calcule o montante produzido por R$ 1000,00, aplicados em regime de juro composto a 2% ao mês, durante 3 meses.
 
	 MêsJuro Montante
	 0 - 1000,00
	 1 1000,00*0,02 = 20,00 1020,00 
	 2 1020,00*0,02 = 20,40 1040,40
	 3 1040,40*0.02 = 20,80 1061,21
 
Observe que a partir do 2o período, o montante no regime de juro composto é maior que no regime de juro simples.
Consideremos: P – Capital inicial – PV 
 i – taxa
 jn – juro composto – INT 
 F – Montante – FV, assim:
 Período Juro Montante
 1o j1 = P . i F1 = P + j1 = P + P . i = P(1 + i )
 2o j2 = F1 . i F2 = F1 + j2 = F1 + F1 . i = F1(1+i) = P(1+i)2 
 3o j3 = F2 . i F3 = F2 + j3 = F2 + F2 . i = F2(1+i) = P(1+i)3
 .......... ............... .....................................................................
 .......... ............... .....................................................................
Continuando o processo chegaremos em: 
 
 
 que é a fórmula do montante em regime de juro composto, onde 
 é o fator de capitalização ou fator de acumulação de capital. 
Assim: 
Ex.1) Uma pessoa toma emprestados R$ 30.000,00 , a juro de 5,3% a.m., pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? (R$ 50.281,12)
 
 
1.3 – Cálculo do capital (Valor Atual)
 De acordo com a definição, temos que: 
, onde 
é denominado fator de descapitalização.
1.4 – Cálculo do Juro
Temos que: 
 e 
, assim: 
.
Portanto: 
 ou 
.
1.5 – Cálculo do período de capitalização
Como: 
 
 
 
 
 
 
.
1.6 – Cálculo da taxa
Sabemos que: 
 
.
Ex.2) Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 5.800,00, sem entrada, para pagamento em um única prestação de R$ 6.578,51 no final de 2 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? (6,5%%a.m.)
Ex.3) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 17.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.197,77, sabendo que a taxa contratada é de 9,3% ao trimestre em regime de juro composto. (3 trimestres)
�
1.6.1- Taxas Proporcionais – Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.
Considerando: 
 - taxa anual, 
 - taxa bimestral,
 
 - taxa semestral, 
 - taxa mensal,
 
 - taxa trimestral, 
 - Taxa diária.
Assim, temos que: 
. Assim, para um período 
 do ano, a taxa proporcional será 
, isto é: 
.
1.6.2 – Montante para períodos não-inteiros – Pode ocorrer que o número de períodos financeiros não seja um número inteiro. Neste caso, devemos utilizar convenções adicionais: a convenção linear (os juros dos períodos não-inteiros são calculados por interpolação linear) e a convenção exponencial (os juros do período não-inteiro são calculados utilizando-se a taxa equivalente). Vamos utilizar a convenção exponencial por ser mais lógica: Vamos supor que um capital C, aplicado em regime de juro composto à
 taxa i, durante o período 
, sendo 
.Então:
,que nos dá o montante para períodos não-inteiros. 
OBS: (Período não inteiro
 utilizar na Hp12 o comando STO EEX
 c) 
Ex.4) Qual será o montante de R$ 32.000,00, a juros compostos de 12,5% ao ano, em 1 ano e 3 meses e 2 dias? (R$ 37.100,08) 
 
1.6.3 – Taxa Nominal – é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se refere. A transformação para a capitalização referida é dada por 
. (É aquela cujo período difere do período de capitalização).
1.6.4 – Taxa Efetiva – Quando o período da taxa dada difere do período de capitalização, a taxa paga não é a oferecida e, sim, maior. Essa é a taxa efetiva.
Observe que, quando oferecemos 6% ao ano e capitalizamos semestralmente a 3%, a taxa de 6% é como vimos à taxa nominal. A taxa efetiva é a taxa anual equivalente a 3% semestrais. Logo, sendo 
 a taxa efetiva, temos: 
�� EMBED Equation.3 
Assim, sendo: i a taxa nominal, if a taxa efetiva, k o número de capitalizações para o período da taxa nominal, ik a taxa por período de capitalização 
. Ou seja: K é o número de capitalização na unidade de tempo da taxa. Como if é equivalente a ik, temos:
 
 
 
Ex.5) a) Qual o montante de um capital de R$ 100.000,00, no fim de 8 trimestres, com taxa de 24% ao ano, capitalizados mensalmente? (R$ 160.843,72; 26,82%a.a.)
b) Calcule a taxa efetiva.
Ex.6) a) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 22.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 32.690,84sabendo que a taxa contratada é de 12% ao semestre em regime de juro composto, com capitalização mensal. 
 (20 meses;)
b) Calcule a taxa efetiva. (12,62%a.s)
Ex.7) a) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000,00, empregado durante 7 meses a uma taxa nominal de 22% ao ano, capitalizada bimestralmente. (R$ 9.074,59) 
b) Calcule a taxa efetiva. (24,12%a.a.)
 
Obs.1: Quanto o período de capitalização 
 período da taxa 
 Taxa nominal (mudança pela taxa proporcional). Note que em juros compostos, as taxas nominais determinam montantes diferentes.
 
Obs2: Quando o período de capitalização = período da taxa (Ou seja, unidades da taxa e do tempo são iguais) 
 a taxa que está no contrato é a que está efetivamente sendo cobrada.
1.6.5 – Taxas Equivalentes – São aquelas que, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante num mesmo tempo.
Cálculo da taxa equivalente:
Pelo conceito de taxas equivalentes, podemos afirmar que o montante produzido pelo capital PV, à taxa anual ia, durante 1 ano, tem que ser igual ao montante produzido pelo mesmo capital PV, durante 12 meses, à taxa mensal im, assim: 
Para outras frações do ano, temos:
.
Generalizando temos: 
 , onde 
 é a taxa que quero, 
 é a taxa que tenho e 
 determina a relação entre uma unidade da taxa que quero e uma unidade da taxa que tenho.
Ex.8) Calcule o montante, em regime de juro composto, relativo a um capital de R$ 100.000,00, empregado durante 8 trimestres, à taxa de 24% a.a.(mantendo a unidade da taxa). (R$ 153.760,00)
Obs.3: Quando a unidade da taxa não coincide com a unidade do tempo (e não está registrado capitalização), caso queira-se manter o tempo, muda-se a taxa utilizando a taxa equivalente.
Ex.9) Calcule o montante, em regime de juro composto, relativo a um capital de R$ 100.000,00, empregado durante 8 trimestres, à taxa de 24% a.a.(mantendo a unidade do tempo
em utilizar taxa equivalente)(i=5,5250147% a.t e R$ 153.760,00)
�
Ex.10) Em uma operação de desconto de duplicatas foi cobrada a taxa de 2,55% em uma antecipação de 25 dias. No mesmo dia, outra operação deseja ser contratada para uma antecipação de 41 dias. Qual a taxa equivalente para o período a ser cobrada? (4,22%)
Ex.11) a) Qual é a taxa bimestral equivalente a 55% ao ano, em regime de juro composto? (7,58% a.b.)
 
b) Qual é a taxa anual equivalente a 3,1% ao mês, em regime de juro composto? (44,25%a.a.) 
 
 
 
2 - Desconto Composto
2.1 – Desconto
É o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes de seu vencimento ou pela venda de um título antes de seu vencimento, observando os critérios da capitalização composta. Como no caso do desconto simples temos dois casos a considerar: Desconto composto racional (ou por dentro) e Desconto composto bancário (ou comercial, ou por fora). Utilizamos o desconto composto para operações a longo prazo. 
2.2 – Desconto Racional (Desconto por dentro) Composto:
O valor descontado é calculado sobre o valor atual.
Sabemos que: 
 e 
, assim
 
 ou
 
.
2.2.1 – Valor Atual 
É o valor descontado de um título (Valor líquido) – PV
É o valor recebido quando se desconta um título antes da data do seu vencimento.
 
 ou 
. 
 
2.2.2 – Valor Nominal 
Valor de um título na data de seu vencimento - FV
 
 ou 
.
 
Obs.3: As fórmulas para o cálculo de 
 e 
são as mesmas que estão na página 2.
Ex.12) Determine o valor atual de um título de R$ 45.800,00, saldado 3 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto racional composto de 2% ao mês. (R$ 43.158,36) 
 
Ex.13) Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 108.000,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de desconto racional composto de 36% ao ano, capitalizados semestralmente. (R$ 47.207,80)
 
Ex.14) Um título de valor nominal de R$ 20.000,00 foi resgatado 37 dias antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de desconto racional composto de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto concedido? (R$ 600,00)
 
Ex.15) Em uma operação de desconto racional composto, o portador do título recebeu R$ 36.954,00 como valor descontado. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de R$ 3.046,20, qual foi a taxa de juro mensal adotada? (2% a.m.)
 
 
2.3 – Equivalência de Capitais Diferidos
 
Ao estudarmos desconto em regime de juro simples, vimos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época são iguais. Vimos ainda, que em regime de capitalização simples essa data de comparação deve coincidir com a data zero. Em regime de capitalização composta, a data de comparação pode ser qualquer, porque os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos.
Ex.16) Um título no valor nominal de R$ 77.000,00, com vencimento para 7 meses, é trocado por outro com vencimento para 5 meses. Sabendo que a taxa de juro, do desconto racional composto, corrente no mercado é de 3% ao mês, qual o valor nominal do novo título? 
 (R$ 72.579,89)
 
 
Ex.17) Duas promissórias, uma de R$ 50.000,00, vencível em 120 dias, e a outra de R$ 80.000,00, vencível em 180 dias, deverão ser resgatadas por um só pagamento, dentro de 90 dias. Qual o valor desse resgate, no regime de juro composto, à taxa de desconto racional de 3% ao mês? 
 (R$121.755,01)
Ex.18) Uma empresa tomou um empréstimo à taxa de 3,25% a.m., em regime de juro compostos. Esse empréstimo deveria ser pago em duas parcelas, sendo a primeira de R$ 3.500,00 e a segunda R$ 4.000,00 com vencimentos em três e cinco meses, respectivamente. Passado dois meses, a empresa precisou renegociar o pagamento do empréstimo para um único pagamento após seis meses, que substituiria os dois outros. Qual o valor que a empresa terá que pagar, se a taxa de juros compostos, contratada para a nova negociação é de 4% a.m.? (R$ 8.887,43)
 
LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 18.500,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. (R$ 20.840,11)
2) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao mês, durante 5 meses, rendeu um montante de R$ 96.169,70, calcule esse capital. 
 (R$ 85.000,00)
	
3) O capital de R$ 27.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo a R$ 35.553,85. Calcule esse tempo. (8 meses)
 
4) Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje, uma quantia de R$ 123.000,00 para receber R$ 191.015,25 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto? (4.5%a.m.)
 
5) a) Quanto receberei ao final de um ano e meio, aplicando R$ 10.000,00 à taxa de 24% ao ano com capitalização bimestral?. (R$ 14.233,10 – 26,53% a.a)
b) Calcule a taxa efetiva
6) Determine a taxa mensal equivalente a 0,05% ao dia. (1,51% a.m.)
7) Determine a taxa semestral equivalente a 42% ao ano. (19,16% a.s.)
8) Em uma operação de desconto de duplicatas foi cobrada a taxa de 2,38% em uma antecipação de 22 dias. No mesmo dia, outra operação deseja ser contratada para uma antecipação de 51 dias. Qual a taxa equivalente para o período a ser cobrada?(5,60%) 
 
9) Empreguei um capital de R$ 25.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 35% ao ano, durante 2 anos e 6 meses. Quanto recebi? (R$ 52.938,84)
 
 
10) Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje, uma quantia de R$ 15.800,00 para receber R$ 17.444,48 daqui a 5 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto? (2% a. m.)
11) O capital de R$ 32.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,2% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo a R$ 38.657,00. Calcule esse tempo. (6 meses)
12) Para que se obtenha R$ 3.630,00 ao final de 6 meses, a taxa de juros compostos de 40% ao ano, capitalizado trimestralmente, qual a quantia que deve ser investida hoje?
 (R$ 3.000,00)
13) R$ 20.000,00 foram aplicados por 8 meses à taxa de 36% ao ano, capitalizado bimestralmente. Calcule o montante obtido com essa aplicação. (R$ 25.249,54)
14) Qual o montante de um capital de R$ 80.000,00, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano capitalizado trimestralmente? (R$127.507,85)
 
 15) Qual será o montante de R$ 20.000,00, a juros compostos de 38% ao ano, em 2 anos e 1 mês? 
 (R$ 39.124,14)
16) Qual o montante de um capital de R$ 82.500,00, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano capitalizado bimestralmente? (R$ 132.085,16)
17) Empreguei um capital de R$ 25.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 35% ao ano, durante 2 anos e 6 meses. Quanto recebi? (R$ 52.938,84) 
 
18) Um capital aplicado durante 9 meses, rendeu um montante igual ao seu dobro. Determine a taxa mensal da aplicação. (8% a m)
19) Um investidor depositou ¼ de seu capital à taxa de 24% ao ano, capitalizado trimestralmente, e o restante a 30 % ao ano, capitalizado mensalmente. Ao final de 3 anos, retirou o montante de R$331.192,29. Qual foi o total do capital empregado? (R$142.298,35)
20) Quero me aposentar daqui a trinta anos, e possuo um capital de R$ 30.000,00 disponível hoje. Fui a uma instituição financeira e me ofereceram quatro opções de investimento: 
a) à taxa de 0,98% ao mês; (R$ 1.004.276,14)
b) à taxa de 12,5% ao ano; (R$ 1.027.229,15)
c) à taxa de 12% ao ano, capitalizado bimestralmente; (R$ 1.059.624.94)
d) à taxa de 11,8% ao ano, capitalizado mensalmente. (R$ 1.016.281,49) 
 
 
 Qual opção me proporcionará uma maior quantia acumulada ao final do prazo proposto? (Opção C) 
 
21) Uma máquina é vendida por R$ 5.000,00 para pagamento daqui a 4 meses. À vista há um desconto de 10%. Qual a melhor opção de pagamento para um comprador que consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 2,5% ao mês? (Pagar à vista)
22) Qual a taxa efetiva cobrada numa operação onde a taxa nominal de 16% ao semestre é capitalizada bimestralmente? (16,87% a.s.)
23) Calcule o valor atual de um título de R$ 40.000,00, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 24% ao ano, capitalizado mensalmente.
 (R$ 29.137,83)
24) O valor nominal de um título é de R$ 200.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes de seu vencimento. Calcule o valor de resgate sabendo que a taxa de desconto composto é de 28% ao ano, capitalizado trimestralmente? (R$ 142.597,24)
 
 
 
25) Qual é a taxa trimestral equivalente a 40% ao ano? (8,78% a.t.)
 
26) Qual é a taxa anual equivalente a 3% ao mês? (42,58% a.a.)
27) Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia. (6,18% a.m.)
28) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente à taxa 2,5% ao bimestre? (15,97% a.a)
29) Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente à taxa 21% ao trimestre? ( 6,56% a.m.)
30) Dada à taxa de 24,03% em 57 dias, calcule a taxa equivalente em juros compostos para 93 dias. 
 (42,10%)
31) Em uma operação de desconto de duplicatas foi cobrada a taxa de 2,15% em uma antecipação de 21 dias. No mesmo dia, outra operação deseja ser contratada para uma antecipação de 50 dias. Qual a taxa equivalente para o período a ser cobrada? (5,20%)
32) Um título foi descontado à taxa de 18% ao ano, capitalizado mensalmente, faltando um semestre para seu vencimento. Sabendo que o valor do título era de R$ 5.000,00; qual o valor resgatado e qual a taxa efetiva cobrada na operação de desconto? (R$ 4.572,70 e 19,56%a.a.) 
 
33) Determine o valor atual de um título de R$ 70.000,00, saldado 3 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto de 2% ao mês. (R$ 65.962,56)
34) Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 98.000,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizado semestralmente. (R$ 42.836,70)
35) Em uma operação de desconto de duplicatas foi cobrada a taxa de 1,45% em uma antecipação de 18 dias. No mesmo dia, outra operação deseja ser contratada para uma antecipação de 47 dias. Qual a taxa equivalente para o período a ser cobrada? (3,83%) 
36) Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de R$ 120.000,00, faltando ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule seu valor atual, sabendo que a taxa de desconto racional composto é de 3,5% ao mês. (R$ 108.233,12)
37) Calcule o valor atual de um título de R$ 38.000,00, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto racional composto de 24% ao ano, capitalizado mensalmente. (R$ 27.680,94) 
 
38) O valor nominal de um título é de R$ 150.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes de seu vencimento. Calcule o valor descontado sabendo que a taxa de desconto racionalcomposto é de 28% ao ano, capitalizado trimestralmente. (R$106.947,93) 
39) A que taxa de desconto racional composto, foi descontada uma dívida de R$ 400.000,00 que, paga 4 bimestres antes do vencimento, se reduziu a R$ 316.837,50? (6% a.b.)
40) Por um título de R$ 290.000 foi pago R$ 262.725,70 com um desconto racional composto de 2,5% ao mês. De quanto tempo foi antecipado o pagamento? (4 meses)
41) Uma dívida de R$ 50.000,00 vence daqui a 2 meses e outra de R$ 60.000,00 vence daqui a 4 meses. Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 1,8% ao mês para fazer frente a esses compromissos? 
 (R$ 104.115,08)
42) Um título de valor nominal de R$ 120.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto concedido? (R$ 8.568,07)
 
43) Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 5% a.m., em regime de juro composto. Esse empréstimo deve ser pago em três parcelas de R$ 3.150,00, R$ 2.080,00 e R$ 5.100,00, daqui a três, quatro e cinco meses, respectivamente. Qual o valor que essa pessoa pagaria se fosse fazer um único pagamento no nono mês que substituiria os três outros? (R$ 13.075,04)
 
	JURO COMPOSTO
	PV= CAPITAL
	FV= MONTANTE
	INT = J = JUROS
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	TAXAS PROPORCIONAIS (CAPITALIZAÇÕES)
	
	
	
	
	
	
	DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) COMPOSTO
	
	
	
	TÍTULO 
VALOR ATUAL 
(A) = (PV)
	
	
	TÍTULO 
VALOR NOMINAL
(N) = (FV)
	
	
	TAXA EQUIVALENTE
	
	
	TAXA EFETIVA 
	
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2
3
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