Matemática Financeira

Prévia do material em texto

Professoras 
➢ Adriana Speggiorin 
➢ Beatriz Volkart Vaccari 
➢ Magda Mantovani Lorandi 
 
 
 
 
Caxias do Sul, 2020-2 
 
 
2 
 
INTRODUÇÃO 
 O cálculo financeiro e a análise de investimentos são ferramentas fundamentais para a 
tomada de decisões e a gestão financeira, tanto pessoal como de empresas. 
 Os cálculos matemáticos aplicados à área financeira ganharam muita agilidade com o 
advento das calculadoras financeiras, cujas funções específicas deixaram para trás as conhecidas 
tabelas financeiras. 
 O surgimento das planilhas eletrônicas significou um grande avanço, pois dentre as funções 
oferecidas, está a função financeira, que nos permite a realização dos mais diversos cálculos. 
 Mas não se pode esquecer que, apesar de ter à disposição todas essas ferramentas, faz-se 
necessário ter um sólido conhecimento dos conceitos que permitem a realização dos cálculos que 
se pretende. 
 
1. PORCENTAGEM 
A porcentagem é muito utilizada na prática. Ela é usada no cálculo de comissões, 
abatimentos, lucros, descontos, reajustes, etc. 
Vamos interpretar determinadas frases que ouvimos ou lemos, quase que diariamente: 
a) “Liquidação com desconto de 40%”. Significa que sobre cada R$ 100,00 do preço de uma 
determinada mercadoria, há um desconto de R$ 40,00. 
b) “Certo candidato está com 30% da preferência popular”. Significa que sobre cada 100 
pessoas, 30 gostam do candidato. 
Elementos básicos: 
Principal (C) - Valor sobre o qual se calcula a porcentagem. O principal corresponde sempre a 100% 
da operação. 
Porcentagem (p): É a parte do principal que corresponde à taxa. 
Taxa percentual (i): É a razão representada pela fração de denominador 100. 
 
Cálculo da porcentagem: Por ser um sistema proporcional, para o cálculo da porcentagem utiliza-
se a seguinte regra de três: 
 
 Principal ----------- 100% 
 Porcentagem ------------ taxa percentual 
 
 
Exemplo 1.1: Um empregado que ganha R$ 2.100,00 recebeu um aumento R$ 147,00. Qual foi a 
taxa percentual desse aumento? 
 2.100 ---------- 100% 
 147 ---------- x 
 𝑥 =
147 .100
2100
 → 𝑥 = 7% A taxa percentual de aumento foi de 7%. 
 
3 
 
Exemplo 1.2: Uma mercadoria foi comprada por R$ 80,00 e vendida por R$ 108,00. Calcular a taxa 
percentual de lucro. 
 80 ----------- 100% 
 108 ----------- x 
 x = 
108 .100
80
 
 x = 135% 
 O lucro foi de 35%. 
 80 ----------- 100% 
 28 ----------- x 
 x = 
 28.100
80
 
 x = 35% 
 
 
Exemplo 1.3: Calcular 23,5% de 140. 
 
23,5
100
 . 140 = 32,9 𝑜𝑢 0,235 . 140 = 32,9 
 
 ou 
 140 -------- 100% 
 x -------- 23,5% 
 𝑥 = 
140 .23,5
100
 
 𝑥 = 32,9 
 
Exemplo 1.4: Sabendo que uma pessoa pagou 45% de uma dívida, calcular o valor da dívida, se a 
pessoa pagou R$ 36,00. 
 x --------- 100% 
 36 --------- 45% 
 𝑥 =
36.100
45
 
 𝑥 = 80 
A dívida era de R$ 80,00. 
 
Exemplo 1.5: 15% de um rebanho bovino são vacas e o restante são bois. Qual é o total de cabeças 
desse rebanho, se há 17.000 bois? 
15% são vacas e um rebanho completo é 100% , portanto 100- 15 = 85% são bois. 
 x --------- 100% 
 17000 --------- 85% 
 𝑥 =
17000 . 100
85
 
 𝑥 = 20.000 
 O total de cabeças é 20.000. 
 
 
 
 
4 
 
Exemplo 1.6: Uma biblioteca tem 3.750 livros. Esse número é 25% maior do que o número de livros 
do ano passado. Quantos livros tinha essa biblioteca no ano passado? 
x -------- 100% 
 3750 -------125% 
𝑥 =
3700.100
125
 
𝑥 = 3.000 
A biblioteca tinha 3.000 livros. 
 
Exercícios 
1. Araci comprou uma antena parabólica por R$ 500,00 e vendeu por R$ 800,00. Qual o percentual 
do lucro, em relação ao preço de custo? 
2. Para vender um aparelho eletrônico com um certo lucro, Letícia acrescenta 35% ao valor que 
pagou. Sabendo que ela vendeu esse aparelho por R$ 2.700,00, quanto ela pagou? 
3. Numa cidade 25% são italianos, 12% são alemães, 10% são japoneses e os restantes 118.720 
são brasileiros. Quantos são alemães? 
4. Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 2.000,00 mais uma comissão de 5% das vendas 
efetuadas. Se num certo mês ele recebeu R$ 6.000,00 (fixo mais comissão), qual o valor das vendas 
efetuadas nesse mês? 
5. Segundo o censo do IBGE, em 2010, o Brasil tinha 147,4 milhões de pessoas com 10 anos ou 
mais que eram alfabetizadas, o que correspondia a 91% da população nessa faixa etária. Determine 
o número de brasileiros com 10 anos ou mais em 2010. 
6. Uma televisão que custava R$ 900,00 teve um aumento de R$ 50,00. Qual foi o percentual de 
aumento? 
7. Uma padaria de Campinas vendia pães por unidade, a um preço de R$ 0,20 por pãozinho de 50 
g. Atualmente, a mesma padaria vende o pão por peso, cobrando R$ 4,50 por quilograma do 
produto. Qual foi a variação percentual do preço do pãozinho provocada pela mudança de critério 
de cálculo do preço? 
8. O governo de determinado país estimou que o crescimento nominal da população é de 1,5% ao 
ano, enquanto o percentual de mortalidade é 0,33% ao ano, ambos em relação à população atual. 
Sendo o crescimento vegetativo a diferença entre a taxa de crescimento e a de mortalidade, e sendo 
a população atual de 194.000.000 de habitantes, qual seria a população daqui a um ano? 
9. O preço de um artigo triplicou. Portanto, qual o percentual de aumento de tal artigo? 
 
Respostas 
 
1. 60% 2. R$ 2.000,00 3. 26.880 alemães 4. R$ 80.000 
5. Aproximadamente 162 milhões de brasileiros 6. 5,56% 
7. 12,5% 8. 196.269.800 habitantes 9. 200% 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
VF = C(1+ i1)(1+ i2)......(1+ in) 
 
2. ABATIMENTOS e ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS 
 
2.1 Abatimentos sucessivos 
 
No meio comercial é muito comum o uso de abatimentos sucessivos, isto é, calcular os 
abatimentos sobre os valores líquidos encontrados anteriormente. O cálculo do valor líquido ou valor 
final é dado pela seguinte fórmula: 
 
VF = C(1 - i1)(1- i2)........(1- in) 
 
Sendo: 
VF = valor real a ser pago (ou FV = future value) 
C = principal, ou seja, valor de 100% (ou PV = present value) 
i = taxas unitárias sucessivas (i = interest rate) 
n = número de períodos (n = number) 
 
Exemplo 2.1: Sobre uma fatura de R$ 124.000,00 são dados os seguintes descontos sucessivos: 
20% + 10% + 5%. 
a. Qual o valor líquido a ser pago? 
C = 124.000,00 i1= 20/100 i2= 10/100 i3= 5/100 
VF = 124.000 x (1- 0,2) x (1- 0,1)x (1- 0,05) 
VF = 124.000 x 0,8x 0,9 x 0,95 
 VF = R$ 84.816,00 
 
b. Qual a taxa total de abatimentos? 
124.000 ------ 100% 
 84.816 ------ x 
 𝑥 =
84816 . 100
124000
 
 𝑥 = 68,4% 
 
A mercadoria custava 100% e ficou 68,4%, então o abatimento total foi de 31,6%. 
 
Exemplo 2.2: Por uma mercadoria foi pago R$ 70,00. Sabendo-se que sobre o preço constante na 
tabela foram dados descontos sucessivos de 30%+ 20%, qual era o preço da tabela? 
VF = 70,00i1= 30/100 i2= 20/100 
70 = C x (1- 0,3) x (1 – 0,2) 
70= C x 0,7 x 0,8 
70 = C x 0,56 
C= 70/ 0,56 
C = 125,00 O preço de tabela era R$ 125,00. 
 
2.2 Aumentos Sucessivos 
 
O cálculo do valor líquido ou valor final é dado pela seguinte fórmula: 
 
 
6 
 
Exemplo 2.3: O preço de uma mercadoria era de R$ 8,00, no início de um determinado mês. 
Durante o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%. 
 
a. Qual o preço final dessa mercadoria? 
C = 8,00 i1= 2,5/100 i2= 5/100 
VF= 8 x (1+ 0,025) x (1+0,05) 
VF = 8 x 1,025 x 1,05 
VF = R$ 8,61 
 
b. Qual a taxa total de acréscimo? 
 8,61 ------ x 
 8 ------ 100% 
 𝑥 =
8,61 .100
8
 
 𝑥 = 107,625% 
 
A mercadoria custava 100% e ficou 107,625%, então o acréscimo total foi de 7,625%. 
 
Exemplo 2.4: Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 20% + 15%, pagando o comprador 
R$ 144,90. Qual era o valor da mercadoria? 
 VF = 144,90 i1= 20/100 i2= 15/100 
144,90 = C x (1+0,2) x (1+0,15) 
144,90 = C x 1,2 x 1,15 
144,90 = C x 1,38 
C = 144,90/ 1,38 
C= R$ 105,00 
 
 
Exercícios Propostos 
 
1. Uma mercadoria que custava R$ 24,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 
30%+20%+10%. Pergunta-se: 
a. por quanto foi vendida? 
b. qual o percentual total do abatimento? 
 
2. Na compra de uma mercadoria foram obtidos abatimentos sucessivos de 20%+10%+5%. Se o 
total pago foi R$ 273,60, pergunta-se: 
a. qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos? 
b. qual o percentual total do abatimento? 
 
3. Um produto cujo preço era de R$ 36,00, sofreu aumentos sucessivos de 30%+25%. Pergunta-
se: 
a. qual o preço atual? 
b. qual o percentual do aumento? 
 
 4. O preço de um objeto foi aumentado, sucessivamente 10%, 10% e 20%, passando a custar R$ 
450,12. Qual era o preço inicial? 
 
7 
 
 
5. Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Na venda foi concedido um desconto 
de 15%, pagando o comprador R$ 24,48. Qual era o preço inicial desta mercadoria? 
 
6. Uma mercadoria custava R$ 75,00 e foi vendida com abatimentos sucessivos de 10%+5%+2%. 
Por quanto foi vendida? 
 
7. Calcular o valor liquido de uma duplicata no valor de R$ 8.600,00 que sofreu uma redução de 
15% sobre este valor e, em seguida, outro abatimento de 8%. 
 
8. Um artigo tem dois aumentos sucessivos de 7% e 3,5%. Determine o valor de venda se o preço 
inicial do produto é de R$ 250,00. 
 
9. Uma mercadoria sofreu um aumento de 25%. Na venda foram concedidos dois descontos 
sucessivos de 4% e 3,5% ficando o preço final em R$ 100,75. Qual era o preço inicial desta 
mercadoria? 
 
Respostas 
 
1a. R$ 12,10 1b. 49,58% 
2a. R$ 400,00 2b. 31,6% 
3a. R$ 58,50 3b. 62,5% 
4. R$ 310,00 5. R$ 20,00 6. R$ 62,84 
7. R$ 6.725,20 8. R$ 276,86 9. R$ 87,00 
 
 
 
3. TAXA ACUMULADA 
 
Algumas situações cotidianas voltadas para a matemática financeira envolvem a variação 
dos preços de mercadorias. As variações podem ocorrer no sentido de os preços aumentarem ou 
diminuírem, ocorrendo, respectivamente, inflação ou deflação. 
É comum em momentos de inflação o reajuste sucessivo de preços, envolvendo índices 
percentuais. Caso um determinado produto seja reajustado continuamente, temos a incidência de 
vários índices percentuais sobre o preço original. Nesse caso, dizemos que a incidência desses 
índices, sucessivas vezes, é chamada de taxa de juros acumulada. 
Taxa acumulada é aquela resultante ao final de n períodos e é dada pela seguinte expressão 
matemática: 
𝑖𝑎𝑐 = {(1 + 𝑖1)(1 + 𝑖2)(1 + 𝑖3) … . . (1 + 𝑖𝑛) − 1} .100 
 
 
Exemplo 3.1: Em dois anos consecutivos a taxa de juros anual de um banco foi 12% e 10%, 
respectivamente. Qual a taxa de juros acumulada no período? 
 i1=12/100 i2=10/100 
iac = {(1+0,12) x (1+0,10) -1} . 100= 
iac={(1,12 x 1,10)-1} . 100 
iac= 0,232 . 100 
iac = 23,2% 
8 
 
Exemplo 3.2: Ao ser pesquisado mensalmente o preço de uma mercadoria, foram registrados os 
seguintes valores no último dia do mês: 
Agosto: R$ 5,50 
Setembro: R$ 6,20 
Outubro: R$ 7,00 
Novembro: R$ 7,10 
Dezembro: R$ 8,90 
Determine a taxa acumulada referente ao aumento da mercadoria em questão. 
Primeiro deve-se calcular o percentual da mercadoria em relação ao mês anterior. 
5,50 ------ 100% 6,20 ----- 100% 
6,20 ------ x 7,00 ----- x 
x = 112,73% x = 112,90% 
 
7,00 ------ 100% 7,10 ----- 100% 
7,10 ------ x 8,90 ----- x 
x = 101,43% x = 125,35% 
 
Portanto, os aumentos da mercadoria durante os meses no período foram de: 12,73%, 
12,90%, 1,43% e 25,35%, respectivamente. 
Agora vamos calcular a taxa acumulada no período: 
i1=12,73/100 i2=12,90/100 i3= 1,43/100 i4= 25,35/100 
iac = {(1+0,1273) x (1+0,1290) (1+0,143) x (1+0,2535)-1} . 100 
iac={(1,12 73 x 1,129 x 1,0143 x 1,2535)-1} . 100 
iac= 0, 6182 . 100 
iac = 61,82% 
 
A taxa acumulada de aumento foi de 61,82% no período de agosto a dezembro. 
 
 
4. OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 
 
Quando se trabalha com compra e venda de mercadorias, tem-se a possibilidade de 
obtenção de lucro ou prejuízo, que pode ser sobre o custo ou sobre a venda. Na prática, entretanto, 
é mais fácil ao comerciante calcular a taxa de lucro ou prejuízo sobre o preço de venda; porque 
esse preço está nas tabelas de uso comercial e também nas etiquetas. 
 Utilizando o processo da porcentagem pode-se facilmente calcular, partindo do preço de 
custo, o preço de venda de mercadorias considerando o lucro sobre o preço de custo ou sobre o 
preço de venda. 
 
OBS: Preço de custo de uma mercadoria compreende o preço de aquisição, acrescido das 
despesas diretas sobre a compra e sobre a venda e, ainda, das despesas de administração e 
funcionamento da empresa. 
 
 
 
 
9 
 
 
4.1 Lucro sobre o Preço de Custo (compra) 
 
Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de custo, considera se o preço de 
custo como o valor correspondente a 100%. O preço de venda será equivalente a 100%+ i. 
 
 Fórmula ou Por regra de três: 
 C ---------- 100% 
 V = C(1+ i) V ---------- 100% + i 
 
 
Exemplo 4.1: Uma mercadoria foi comprada por R$ 120,00. Por quanto deverá ser vendida se o 
lucro desejado é de 40% sobre o preço de compra? 
C = 120,00 i = 40/100 
V= 120 x (1+0,4) 
V= 120 x 1,4 
V= R$ 168,00 
Ou 
120 -------- 100% 
 V -------- 140% 
100. V = 120 x 140 
V = 
120 . 140
100
 
 V = R$ 168,00 
 
Exemplo 4.2: Uma mercadoria será vendida por R$ 111,28. Por quanto foi comprada se o lucro 
desejado é de 30% sobre o preço de compra? 
V = 111,28 i = 30/100 
111,28 = C x (1+0,3) 
C= 111,28 / 1,3 
C= R$ 85,60 
 
Ou 
 C ---- 100% 
111,28 ---- 130% 
130C = 111,28 . 100 
C = 
11,28 .100
130
 
 C = R$ 85,60 
 
 
4.2 Lucro sobre o Preço de Venda 
 
Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de venda, considerase o preço de 
venda como o valor correspondente a 100%. O preço de custo será equivalente a 100% - i. 
 
 
10 
 
 
 Fórmula ou por regra de três: 
 
V = 
𝐶
1−𝑖
 C -------- (100 – i) % 
 V -------- 100% 
 
Exemplo 4.3: Por quanto deverá ser vendida uma mercadoria, comprada por R$ 20,00, desejando-
se obter um lucro de 20% sobre o preço de venda? 
 C = 20,00 i = 20/100 
V = 
20
1−0,2
 20 -------- 80% 
V = 
20
0,8
 V ------- 100% 
 V = R$ 25,00 80 . V = 20 . 100 
 V = 
2000
80
 
 V = R$ 25,00 
 
Exemplo 4.4: Um objeto foi vendido por R$ 800,00, com um lucro de 25% sobre o preço de venda. 
Calcular o preço de compra desse objeto. 
 V= 800 i = 25/100 
 800 = 
𝐶
1−0,25
 C --------- (100 -25)% 
 800 = 
𝐶
0,75
 800 ------- 100% 
C = 800 . 0,75 100C = 800. 75 
C = R$ 600,00 C = 
800 .75
100
 
 C = R$ 600,00 
 
Exercícios 
1. Calcule a taxa acumulada trimestral de um banco que pagou 1,2% no primeiro mês, 1,17% no 
segundo e 1,23% no terceiro mês do ano, levando em conta que a taxa é calculada sobre o mês 
antecedente. 
 
2. Uma mercadoria foi comprada por R$ 24,00. Por quanto deverá ser vendida para que o lucro seja 
de 30% sobre o preço de compra? 
 
3. Uma mercadoria foi vendida por R$ 50,75, com um lucro de 45% sobre o preço de compra. 
Quanto custou esta mercadoria? 
 
4. Uma mercadoria foi comprada por R$ 240,00 e deverá ser vendida com um lucro de 40% sobre 
o preço de venda. Qual o preço de venda? 
 
5. Um terreno foi comprado por R$ 47.500,00 e vendido com um lucro de 5% sobre o preço de 
venda. Por quanto foi vendido? 
 
6. Uma mercadoria foi vendida por R$ 12,50 com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Quanto 
custou esta mercadoria? 
 
11 
 
7. Em janeiro, fevereiro, março e abril de um ano, o preço de um produto teve, respectivamente os 
seguintes aumentos: 2%, 5%, 3,6% e 7%. Qual a taxa de aumento no quadrimestre, levando em 
conta que o aumento é sempre em relação ao mês antecedente? 
 
8. Na venda de um objeto um comerciante recebeu R$ 700,00. Quanto custou o objeto se o 
comerciante teve lucro de 15% sobre o preço de venda? 
 
9. Na venda de uma TV por R$ 2.190,72 a loja teve um lucro de 12% sobre o preço de custo. Qual 
foi o preço de custo da TV? 
 
10. Uma mercadoria que tem preço de custo R$ 324,00 e será vendida com um lucro de 8,5% sobre 
o preço de venda. Calcular o preço de venda dessa mercadoria. 
 
Respostas 
1. 3,64% 2. R$ 31,20 3. R$ 35,00 
4. R$ 400,00 5. R$ 50.000,00 6. R$ 7,50 
7. 18,72% 8. R$ 595,00 9. R$ 1.956,00 
10. R$ 354,10 
 
 
 
 
5. JUROS 
Juro é a remuneração dada a qualquer título de capitalização, ou seja, pelo uso do capital 
empregado, ou pela aplicação do capital em atividades produtivas, durante um certo período e à 
uma determinada taxa. 
 Esse intervalo de tempo usado na aplicação do capital à uma referida taxa, é denominado 
período financeiro ou período de capitalização. 
Os juros são fixados através de uma taxa percentual, que sempre se refere a uma unidade 
de tempo: ano, semestre, mês, etc. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no 
mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de 
juros. A taxa de juros que o banco cobra e paga inclui, além dos itens como risco e o tempo do 
empréstimo, a expectativa de inflação para o período. 
 
 
5.1 FLUXO DE CAIXA 
 Fluxo de caixa é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Eles 
são indispensáveis na análise de custos e de rentabilidade de operações financeiras, e no estudo 
de viabilidade econômica de projetos e investimentos. 
 Segundo Puccini (2017), o fluxo de caixa e a taxa de juros são as duas matérias-primas mais 
importantes da Matemática Financeira. 
 
 
12 
 
A representação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas e quadros ou 
esquematicamente, como na figura a seguir: 
 
 A seguir, a representação do fluxo de caixa através de tabela: 
 
Fluxo de caixa – ano comercial 
Data Dia Mês Valor (R$) 
20/03 0 0 ( - ) 2.000,00 
19/04 30 1 ( + ) 1.000,00 
20/05 60 2 ( + ) 1.200,00 
 
 
 
5.2 JUROS SIMPLES 
No regime de juros simples, a cada período os juros são calculados sobre o capital inicial, 
sendo diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. Raramente encontramos uso 
para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, cheque especial e do 
processo de desconto simples de duplicatas. 
Por exemplo, nas aplicações financeiras com mais de um período, os juros de cada período 
que não são pagos no final dele permanecem em poder da instituição financeira e não são somados 
ao capital inicial aplicado para o cálculo de juros nos períodos subsequentes. Nesses casos, os 
juros periódicos são sempre pagos de uma só vez, no final da operação, sem qualquer 
remuneração. 
Os juros, portanto, são contabilizados à parte, não são capitalizados periodicamente, e, 
consequentemente, não rendem juros. Assim, apenas o principal (capital inicial) rende juros. 
Será considerada a taxa para o ano comercial, ou seja, 30 dias por mês ou 360 dias por ano. 
Todavia, se nosso tempo estiver definido de forma que possamos afirmar quantos são os 
dias efetivamente, essa contagem é feita de acordo com o ano civil, segundo o calendário. 
Considere que uma pessoa no início de um ano aplicou R$ 1.000,00 com direito a receber 
juros simples a razão de 10% ao ano. Qual será o valor para resgate no final de 3 anos? 
 
 Cálculo dos juros simples 
Período 
(anos) 
Capital inicial 
(R$) 
Juros do período 
(i= 10% a.p.) 
(R$) 
Juros acumulados 
(R$) 
Montante 
(R$) 
0 1.000,00 0,00 0,00 1.000,00 
1 1000 x 0,10= 100 100,00 1.100,00 
2 1000 x 0,10= 100 200,00 1.200,00 
3 1000 x 0,10= 100 300,00 1.300,00 
 
Podemos observar que o valor do resgate será de R$ 1.300,00. 
 
13 
 
5.2.1 Conceito de Juros Simples 
 
 É o regime no qual, ao final de cada período de capitalização, os juros são calculados sobre 
o capital inicialmente aplicado. 
 
5.2.2 Elementos Básicos 
 
Capital ou Presente valor ou Valor Atual (C ou PV): É a quantia empregada no início da 
aplicação. 
Juro (j): É o valor pago pelo empréstimo do dinheiro. 
Taxa de juro (i): É a unidade de medida dos juros. Nas fórmulas de cálculo utiliza-se a taxa na 
forma unitária. (divide-se a taxa percentual por 100 para transformá-la em unitária). 
Tempo (n): É o tempo de duração do empréstimo. Deverá ser sempre representado em relação ao 
período da taxa. 
Montante ou Futuro Valor (M ou FV): É o valor total a ser pago ou recebido com a finalidade de 
quitar ou encerrar um empréstimo. 
 
5.2.3 Fórmula Fundamental de Juros Simples 
 
 ou 
 
 
 
 
Obs: A taxa de juros e o tempo devem ser expressos na mesma unidade. 
 Vamos estudar o juro comercial (ou ordinário), portanto o ano comercial tem 360 dias e o mês 
tem 30 dias. 
 
Exemplo 5.1:Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00 pelo prazo de 2 anos, à taxa de 
30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago? 
PV= 1.200,00 n = 2 anos i = 30/100 
 
j = 1.200,00 x 0,3 x 2 
j = R$ 720,00 
 
Exemplo 5.2: Calcule o capital necessário para que uma aplicação financeira produza rendimentos 
iguais a R$ 148.612,61, à taxa de juros simples de 12% ao ano, durante 3 anos. 
j = 148.612,61 i = 12/100 t = 3 anos 
 
148.612,61 = PV x 0,12 x 3PV = 148.612,61/ 0,36 
 PV = R$ 412.812,81 
 
 
j = PV.i.n j = C.i.n 
14 
 
 
Exemplo 5.3: Qual o tempo necessário, para que um capital de R$ 20.000,00 renda juros de R$ 
6.000,00, a uma taxa simples de 12% ao ano? 
PV = 20.000,00 j = 6.000,00 i = 12/100 
 
6.000,00 = 20.000,00 x 0,12 x t 
 t = 6.000,00/ 2.400,00 
 t = 2,5 anos, ou seja, 2 anos e 6 meses (Cuidado com a transformação do tempo!!!!)
 
Exemplo 5.4: Que capital deve ser empregado em juros simples à taxa de 60% ao ano, para que 
se obtenha um juro de R$ 330,00 em 60 dias? 
j = 330,00 n = 60 i = 60/100 
 
330 = PV x 0,6 x 60/360 → PV = 330/ 0,1 → PV = R$ 3.300,00 
 
Exemplo 5.5: Um título de R$ 22.000,00, vencido em 24/06 e pago em 08/08 do mesmo ano, foi 
penalizado com um juro de R$ 1.650,00. Qual foi a taxa mensal de juros simples cobrada? 
 
Nesse caso vamos contar os dias pelo calendário. 
Junho: de 25 a 30 = 6 dias 
Julho = 31 dias 
Agosto = 8 dias 
Portanto, o total é de 45 dias. 
 
Na HP-12C 
 
Usar g 4, aparecerá então no visor, a direita a notação D.MY. 
Para o cálculo do número de dias entre duas datas, basta digitar a primeira e depois a segunda e 
usar g EEX. 
As datas devem ser digitadas da seguinte maneira: o dia separados por ( . ), depois o mês e o ano 
um seguido do outro. 
24, 062011 enter 08,082011 g EEX = 45 dias 
 
 
Obs: Se não tiver o ano deve-se colocar qualquer ano, porque o cálculo só é realizado com a data 
completa. 
PV = 22.000,00 j = 1.650,00 n = 45 
 
1.650,00 = 22.000,00 x 45/30 x i 
 i = 1650,00/33.000,00 
 i = 0,05 x 100 = 5% a.m. 
 
 
5.2.4 Juros Comercial e Juro Exato 
 
A técnica que estamos empregando no cálculo de juros simples (1 ano = 360 dias) nos dá o 
que denominamos juros simples comercial. Entretanto, podemos obter o juro fazendo o uso do 
número exato de dias do ano (1 ano = 365 dias ou 366, se o ano for bissexto). Neste caso, o 
resultado é denominado juros simples exato. 
15 
 
 
 
5.2.5 Aplicação do Juro Simples 
 
 O mercado financeiro no Brasil trabalha quase sempre com juros compostos. Poucos são 
os exemplos no mercado em que os juros simples são usados. Um exemplo é o cheque especial. 
 Quando utilizamos o cheque especial, a cada dia que a conta fica negativa é aplicada uma 
taxa de juros sobre o saldo devedor, dessa forma são calculados os juros. Os juros totais que 
incorrem neste mês são debitados na conta corrente no mês seguinte. 
Vamos analisar um exemplo da movimentação de uma conta corrente ao longo do mês. 
 
Exemplo 5.6: Marcelo é um trabalhador que frequentemente utiliza o cheque especial para 
conseguir honrar os seus compromissos. Sabendo que o banco cobra 9% ao mês pela utilização 
do cheque especial, calcule quanto Marcelo terá que pagar ao banco. A tabela a seguir mostra a 
movimentação da conta corrente de Marcelo no mês de abril de 2007. 
 
Data Valor Saldo D/C 
Número de dias com 
o respectivo saldo negativo 
1/4/2007 R$ 1.500,00 R$ 1.600,00 C 0 
5/4/2007 R$ 1.000,00 R$ 600,00 D 0 
7/4/2007 R$ 700,00 (R$ 100,00) D 3 
10/4/2007 R$ 100,00 (R$ 200,00) D 5 
15/4/2007 R$ 50,00 (R$ 250,00) D 5 
20/4/2007 R$ 60,00 (R$ 310,00) D 10 
30/4/2007 R$ 1.500,00 R$ 1.190,00 C 0 
 
Observe que o banco informa a taxa com período mensal. Todavia como o saldo muda a 
cada dia, temos de encontrar a taxa ao dia. Como o mês de abril tem 30 dias, a taxa diária é 
simplesmente a taxa mensal dividida por 30. 
Assim: 
 𝑖𝑎𝑑 = 𝑖𝑎𝑚/30 então 9% ÷ 30 = 0,3% ao dia 
 
 
O juro total pago é dado pela soma do juro de cada dia. Observe que no dia 7 a conta ficou 
negativa para o dia 8 o juro será o produto do saldo devedor (R$ 100,00) pela taxa de juro ao dia 
(0,3%). Entretanto, esse saldo fica negativo em R$ 100,00 por 3 dias; dessa forma, multiplicamos 
também o período de tempo. Fazendo o mesmo com o restante do mês. 
 
j = R$ 100,00 x 0,003 x 3 + R$ 200,00 x 0,003 x 5 + R$ 250,00x 0,003 x 5 + R$ 310,00 x 0,003 x 10 
j = R$ 16,95 
Consequentemente Marcelo terá que pagar ao banco R$ 16,95 no próximo mês. 
 
 
 
 
 
16 
 
5.3 MONTANTE SIMPLES (M ou FV) 
 
Montante de um capital é igual à soma deste capital com os juros por ele produzido. 
 
 
 
 
 
 
Como a fórmula de juros é: j = PV.i.n, Então o montante simples pode ser calculado pela 
fórmula: 
 
 
 
 
Exemplo 5.7: Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado em juros simples num prazo fixo de 3 meses 
a taxa de 72% a.a.. Qual o valor do resgate? 
FV = ? FV = 20.000,00 x (1 + 0,72/12 x 3) 
i = 72% a.a. FV = 20.000,00 x (1 + 0,06 x 3) 
PV = 20.000,00 FV = 23.600,00 
n = 3 meses O valor do resgate é R$ 23.600,00. 
 
Exemplo 5.8: Qual o valor a ser aplicado, em juro simples, durante 42 dias à taxa de 4% a.m., para 
resgatar, no fim deste tempo, R$ 12.672,00? 
i = 4% a.m. 12.672,00 = PV x (1 + 0,04 x 42/30) 
n = 42 dias PV = 12672,00/ 1,056 
FV = R$ 12.672,00 PV = 12.000,00 
PV = ? O valor a ser aplicado é R$ 12.000,00. 
 
Exemplo 5.9: Um aplicador deseja transformar o capital de R$ 23.000,00 em R$ 29.997,88, em 556 
dias. Qual a taxa anual de juros simples que o aplicador deverá conseguir para alcançar seu 
objetivo? 
FV = 29.997,88 
PV = 23.000,00 
n = 556 dias 
i = ? anual 
 
 
 
 
 
A taxa de juros simples deverá ser 19,70% a.a.. 
 
 
 
 
FV = PV + j 
 
FV = PV (1+ i.n) FV = PV + PV.i.n 
 FV = PV . ( 1 + in) 
 29997,88 = 23000 . ( 1 + i . 556/360) 
 29997,88/23000 = 1 + i . 1,54444444 
1,304255652 – 1 = 1,54444444i 
 0,304255652 = 1,54444444i 
 i = 0,304255652/ 1,5444444 
 
 i = 0,1970 . 100 
 i = 19,70% a.a. 
 
17 
 
Exemplo 5.10: Um refrigerador é vendido por R$ 980,00 à vista ou com uma entrada de 25% e 
mais um pagamento de R$ 793,80 após 40 dias. Qual a taxa mensal de juro simples envolvida na 
operação? 
 
Preço à vista = 980 Entrada 25% do PV FV = 793,80 n = 40 d 
 980 ---- 100 % 
 E ---- 25% 
 E = 245 
 
PV = 980 – 245 j = 793,80 – 735 
PV = 735 j = 58,80 
 
 58,80 = 735 . 40/30 . i 
 58,80 = 980i 
 i = 58,80/ 980 
 i = 0,06 . 100 i = 6% 
 A taxa de juro simples deve ser 6% a.m.. 
 
 
Exemplo de dois investimentos de dois meses 
 
Vamos assumir que um investidor tivesse aplicado R$ 100.000,00 no Banco Alfa pelo prazo 
de dois meses, com a taxa de juros de 1,00% a.m., no regime de juros simples. E que, ao resgatar 
esse investimento ao final de dois meses, ele tenha decidido reaplicar integralmente esse montante 
no próprio Banco Alfa por mais dois meses, nas mesmas condições da primeira aplicação. 
Calcule o montante acumulado no final dessa segunda operação. 
 
1ª operação: FV = 100.000 + 100.000 x 0,01 x 2 → FV = R$ 102.000,00 
 
2ª operação: FV = 102.000 + 102.000 x 0,1 x 2 → FV = R$ 104.040,00 
 
 Se o investidor tivesse aplicado R$ 100.000,00 pelo prazo de 4 meses, com taxa de juros 
de 1% a.m., no regime de juros simples, teria: 
 
 FV = 100.000 + 100.000 x 0,01 x 4 → FV = R$ 104.000,00, ou seja, R$ 40,00 a 
menos que a situação anterior 
 
 
Exercícios 
 
1. Que capital aplicado em juro simples produz um juro de R$ 24.000,00 à taxa de 30% a.a. em 2 
anos? 
 
2. A que taxa anual de juros simples deve-se empregar o capital de R$ 80.000,00 para se obter um 
juro de R$ 32.000,00 durante 8 meses? 
 
3. Um banco cobra uma taxa de 3,5% por dia de atraso no pagamento de seus boletos. Joaquim 
pagou R$ 460,67 por um boleto, cujo valor nominal era de R$ 430,50. Por quantos dias de atraso a 
multa foi calculada? 
 
4. Calcule os rendimentos referentes a uma aplicação financeira de R$ 1.470,00, durante 95 dias, 
à taxa de juros simples de 21% a.a.. 
 
18 
 
5. Qual o valor do resgate de uma aplicação,sabendo-se que o investimento inicial foi de R$ 
32.500,00, o prazo de 135 dias e a taxa de juros simples de 2,3% ao mês? 
 
6. Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições: 
 Preço à vista= R$ 1.800,00; 
 Condições à prazo = 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias. 
 Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo. 
 
7. Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 
26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18% ao ano para 
obter o mesmo rendimento financeira? 
 
8. Uma mercadoria é oferecida num magazine por R$ 130,00 à vista, ou nas seguintes condições: 
20% de entrada e um pagamento de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros 
que está sendo cobrada. 
 
9. Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses e rende juros simples à taxa de 22% a.a.. Porém, 
o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. 
Qual o montante líquido de uma aplicação de R$ 4.000,00? 
 
10. Uma pessoa tomou emprestado R$ 1.400,00 durante 1 ano e 4 meses, a uma taxa de juros 
simples de 8% a.m.. Qual o valor dos juros a ser pago? 
 
11. Calcular a taxa anual de juros simples que rendeu um fundo de investimento, sabendo-se que 
o capital aplicado foi de R$ 4.000,00 e que o valor de resgate foi de R$ 5.200,00 após seis meses. 
 
12. Uma mercadoria cujo o preço à vista é R$ 500,00 foi vendida com uma entrada de 25% e, mais 
um pagamento no valor de R$ 401,25 com vencimento para 42 dias. Qual a taxa mensal de juros 
simples cobrada no financiamento? 
 
13. Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 
2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano. 
 
14. O preço à vista de um televisor é R$ 500,00. Entretanto, em dois pagamentos, com entrada, na 
ocasião, de R$ 200,00 e outro em 30 dias, o preço sobe para R$ 530,00, qual é a taxa cobrada? 
 
15. Um produto está sendo vendido nas seguintes condições: R$ 70,00 à vista ou uma entrada de 
40% e um cheque de R$ 48,00 para 42 dias. Qual a taxa de juros simples usada por este 
estabelecimento? 
 
16. Uma televisão é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou a prazo com R$ 300,00 de entrada mais 
uma parcela de R$ 1.308,00 após três meses. Qual a taxa mensal de juros simples do 
financiamento? 
 
17. O saldo bancário de Marcelo ficou negativo por 7 dias. Nos 3 primeiros dias o saldo devedor foi 
de R$ 200,00 e nos 4 dias seguintes foi de R$ 450,00. A tarifa do “cheque especial”, cobrada pelo 
banco é de 1,5% ao dia. Calcule quanto Marcelo terá que pagar ao banco pelo uso do serviço. 
 
19 
 
18. Um título de R$ 5.200,00 vencido em 14/06 será pago em 17/06. Se o banco cobra uma taxa 
de juros simples de 0,2% por dia de atraso, qual será o valor da multa a ser paga? 
 
19. Num período de 13 meses, apliquei R$ 6.200,00 e obtive R$ 4.836,00 de juros simples. 
Determine a taxa diária de juros dessa aplicação. 
 
20. Qual é a opção de juros simples mais vantajosa: aplicar um capital a 45% a.a. ou aplicar, durante 
o mesmo tempo, ¼ desse capital a 42% a.a. e o restante a 48% a.a.? 
 
21. Qual o valor que devo aplicar a 15% a.a., para, no mesmo período, obter os mesmos juros 
proporcionados pela importância de R$ 2.500,00, à taxa de 1% a.m.? 
 
22. É mais vantajoso aplicar R$ 5.260,00 a 24% a.a. ou R$ 3.510,00 a 22% a.a. e o restante a 28% 
a.a.? 
 
Respostas 
 
1. R$ 40.000,00 2. 60% a.a. 3. 2 dias 
4. R$ 81,46 5. R$ 35.863,75 6. 3,65% a.m. 
7. R$ 32.500,00 8. 2,79% a.m. 9. R$ 4.176,00 
10. R$ 1.792,00 11. 60% a.a. 12. 5% a.m. 
13. R$ 4.380,00 14. 10% a.m. 15. 10,204% a.m. 
16. 3% a.m. 17. R$ 36,00 18. R$ 31,20 
19. 0,2% a.d. 20. 2ª opção 21. R$ 2.000,00 
22. 1ª opção 
 
 
 
 
5.3. JUROS COMPOSTOS 
Avaliações de fluxos de caixa de toda e qualquer operação financeira e estudos de 
viabilidade econômica de projetos só́ devem ser feitos no regime de juros compostos. 
 
5.3.1 CONCEITO 
 
 O regime de juros compostos é o mais comum no dia-a-dia do sistema financeiro e do cálculo 
econômico. Os juros compostos são popularmente chamados de juros sobre juros. Isso ocorre 
porque os juros incidem não apenas sobre o valor original, mas também sobre os juros que estão 
acumulados. 
Ou seja, no regime de juros compostos, os juros de cada período são sempre calculados 
sobre o saldo devedor/credor do início dos respectivos períodos, que inclui os juros vencidos e não 
pagos. 
 Esse conceito difere fundamentalmente do regime de juros simples, que não inclui no cálculo 
dos juros do período as parcelas de juros vencidos e não pagos, pois nesse regime somente o 
capital inicial aplicado (principal) é remunerado em cada período. 
 
Considere o caso de um investidor que aplicou R$ 100.000,00 no Banco Beta, pelo prazo 
de quatro meses, com uma taxa de juros de 1,00% a.m., no regime de juros compostos. 
20 
 
 
Calcule o valor do saldo credor desse investidor nesse banco, no final de cada um dos 
quatros meses da operação, sabendo que os juros só́ serão pagos no final do quarto mês. 
 
 
 
Regime de Capitalização Composta 
 
Mês 
Capital aplicado no 
início do mês (R$) 
Juros de cada período 
(R$) 
Saldo credor no final do 
mês - Valor acumulado (R$) 
1 100.000,00 100.000,00 x 1% = 1.000,00 101.000,00 
2 101.000,00 101.000,00 x 1% = 1.010,00 102.010,00 
3 102.010,00 102.010,00 x 1% = 1.020,10 103.030,10 
4 103.030,10 103.030,10 x 1% = 1.030,30 104.060,40 
 
 
Utilizando as seguintes notações: 
 
PV = capital inicial 
FV = montante final 
 i = taxa unitária (sempre referente ao período da capitalização) 
 n = número de períodos de capitalização (ano, trimestre, mês, dia, etc.). 
 
O cálculo do montante foi assim efetuado: 
 
 FV1 = 100.000,00 ( 1 + 0,01 x 1) 
 FV2 = 101.000,00 ( 1 + 0,01 x 1) 
 FV3 = 102.010,00 ( 1 + 0,01 x 1) 
 FV4 = 103.030,10 ( 1 + 0,01 x 1) 
 
 
Substituindo os valores pelos símbolos, temos: 
 
 
• montante ao final do 1º período 
 FV1= PV0 (1 + i) 
• montante ao final do 2º período 
FV2= PV0 (1 + i)² 
• montante ao final do 3º período 
FV3= PV0 (1 + i)³ 
• montante ao final do 4º período 
FV4= PV0 (1 + i)4 
 
• montante ao final do n-ésimo período 
FVn= PV0 (1 + i)n 
 
 
Portanto, a fórmula fundamental para o Cálculo do Futuro Valor: 
 
 
n) i PV(1 FV += 
 
 
21 
 
Na HP-12C 
5000 CHS PV → 10 n → 3 i → FV 
 
 
Na HP-12C 
200000 CHS PV → 12 n → 5 i → FV 
 
 
5.3.2 CÁLCULO DO FUTURO VALOR 
 
Exemplo 5.11: Uma pessoa toma emprestados R$ 5.000,00 a juros de 3% a.m., pelo prazo de 10 
meses, com capitalização composta. Qual o valor a ser pago no final do período? 
 
PV = 5.000,00 i = 3% a.m. 
n = 10 m FV = ? 
 
FV = 5.000 . (1+i)n 
FV = 5.000 . (1+0,03)10 
FV = R$ 6.719,58 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5.12: Um empréstimo de R$ 200.000,00 deverá ser pago no final de um ano a taxa de 
5% a.m., num sistema de capitalização mensal. Qual o valor a ser pago no vencimento? 
 
PV = 200.000,00 i = 5% a.m. 
n = 1 ano (como a taxa está em mês passar o tempo também para mês) 
FV = ? 
 
FV = 200.000 . (1 + 0,05)12 
FV = 20.000 . 1,79585636 
FV = R$ 359.171,27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3.3 CÁLCULO DO PRESENTE VALOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )ni 1
FV 
 PV
+
= 
 
-n) i 1 ( FV PV += 
22 
 
Na HP-12C 
838426 CHS FV → 8 n → 12 i → PV 
 
 
 
Na HP-12C 
30000 CHS PV → 24 n → 506736,04 FV → i 
 
 
Exemplo 5.13: Que capital deve ser empregado a juros compostos a taxa de 12% a.t., para em 
dois anos, em capitalização trimestral, constituir um montante de R$ 838.426,00? 
 
FV = 838.426,00 i =12% a.t. 
n= 2 anos (
24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
) = 8 trimestres 
PV = ? 
 
PV = 838.426 . (1 + 0,12)-8 
PV = 838.426 . 0,403883 
PV =R$ 338.626,20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3.4 CÁLCULO DA TAXA 
 
1
PV
FV
 i
1
−





=
n
 1
PV
FV
 i −= n 
 
 
 
 
Exemplo 5.14: A que taxa de juro deve-se empregar o capital de R$ 30.000,00 para obter um 
montante de R$ 506.736,04 no final de dois anos em capitalização mensal? 
 
PV = 30.000,00 
FV = 506.736,04 
n = 2 anos (passar para mês porque pede a taxa mensal) 
i = ? mensal 
1
30.000,00
506.736,04
 i
24
1
−





= 
i = 1,125 – 1 
i = 0,125 . 100 
i = 12,5% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
Na HP-12C 
2000 CHS PV → 4 n → 2207,63 FV → i 
 
 
 
 
Na HP-12C 
120000 CHS PV → 6 i → 287586,98 FV → n 
 
 
 
Exemplo 5.15: A que taxa o capital de R$ 2.000,00 gera um juro de R$ 207,63, em 4 meses? 
PV = 2.000,00 i = ? 
J= 207,63 n= 4 m 
 
FV = PV + J 
FV = 2.207,63 
1
2000
2207,63
 i
4
1
−





= 
i = 1,025 -1 
i = 0,025 x 100 
i = 2,5% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3.5 CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS 
 
𝑛 =
log(FV/PV)
log(1 + 𝑖)
 
 
 
 
Exemplo 5.16: No final de quanto tempo, em capitalização mensal, a aplicação de um capital de 
R$ 120.000,00 à taxa de 6% a.m. oportuniza um resgate de R$ 287.586,98? 
 
PV = 120.000,00 FV = 287.586,98 
i = 6% a.m. n = ? 
 
( )06,01log
120.000,00
287.586,98
log
n
+






= 
meses 15 n = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
Na HP-12C 
4200 CHS PV → 4 i → 5268,48 FV → n 
 
 
 
 
 
Exemplo 5.17: Durante quanto tempo o capital de R$ 4.200,00, à taxa de 12% a.s., produza juros 
de R$ 1.068,48? 
PV = 4.200,00 i = 12%a.s. 
J= 1.068,48 
n= ? 
 
FV = PV + J 
FV = 5.268,48 
 
( )12,01log
4200,00
5268,48
log
n
+






= 
semestres 2 n = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3.6 CÁLCULO DO FUTURO VALOR QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS 
NÃO FOR UM NÚMERO INTEIRO 
 
 Na capitalização composta, muitas vezes o prazo da aplicação não corresponde a um 
número inteiro de períodos a que se refere a taxa de juros, mas a um número fracionário. Nesse 
caso, na maioria das vezes admite-se dois sistemas de cálculo. Um através da Convenção Linear 
e outro através da Convenção Exponencial. 
 
q
p
 m n += 
 
Onde m representa a parte inteira e 
𝑝
𝑞
 a parte fracionária. 
 
 
Convenção Linear: 
 
 No cálculo da convenção linear calculamos a parte inteira com capitalização composta e, 
para a parte fracionária, calculamos o juro simples sobre esse montante. 
 
 
FV = PV ( 1 + i)𝑚 (1 + 𝑖 ×
𝑝
𝑞
) 
 
 
 
25 
 
Na HP-12C 
Tirar o “C” 
100000 CHS PV → 437 enter 30 ÷ n → 12 i → FV 
 
 
 
 
Exemplo 5.18: Uma dívida de R$ 100.000,00 está sendo paga com 1 a, 2 m e 17 d de atraso. Qual 
deverá ser o valor cobrado se o cálculo é realizado no sistema de convenção linear e a taxa é de 
12% a.m.? 
PV = 100.000,00 i = 12% a.m. 
n= 437/30 = 14,56666666 meses FV = ? 
m = 14 e p/q= 0,56666666 
 
FV= 100.000,00 x (1+ 0,12)14 x ( 1 + 0,12 x 0,56666666) 
FV = R$ 521.943,59 
 
 
 
 
 
 
 
 
Convenção Exponencial: 
 
 No cálculo da convenção exponencial se baseia na fórmula fundamental, ou seja, inclusive 
no período fracionário o juro é calculado através do juro composto. 
 
Exemplo 5.19: Cálculo do exemplo anterior, através da convenção exponencial. 
 
 
( ) p/q mi 1 PV FV ++= 
 
 
FV = 100.000,00 x (1 + 0,12) 14,56666666 
FV= R$ 521.125,74 
 
Colocar o “C” e calcular igual ao exemplo anterior. 
 
 
Exercícios Propostos: 
 
1. Foram aplicados R$ 1.800,00 durante cinco trimestres a uma taxa de 8% a.t., no regime de juros 
compostos. Calcular o montante. 
 
2. Qual será o valor do resgate, aplicando-se R$ 5.000,00, em juros compostos a taxa de 6% a.m., 
durante dois anos em capitalização mensal? 
 
3. Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 75% do seu valor, se aplicado a 
6,25%a.m.? 
 
4. Um capital de R$ 6.600,00 foi aplicado durante um ano, a uma taxa de 1,6% ao mês. Qual foi o 
valor do juro composto produzido? 
 
5. O capital de R$ 22.000,00 foi aplicado durante dois anos e produziu o montante a juro composto 
de R$ 31.449,06. Calcule a taxa de juro mensal dessa aplicação. 
 
26 
 
6. Um investidor quer resgatar R$ 35.000,00 daqui a seis meses. Se o banco oferecer uma 
rentabilidade de 1,8% ao mês, quanto deverá aplicar hoje? Suponha capitalização mensal. 
 
7. Uma empresa tomou um empréstimo de R$ 98.000,00 e comprometeu-se liquidá-lo no final de 8 
meses mediante um pagamento de R$ 158.570,43. Calcular a taxa mensal de juro, sabendo-se que 
a capitalização é mensal. 
 
8. A que taxa de juro semestral um capital de R$ 43.000,00 pode ser dobrado em 36 meses? 
 
9. Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3%a.m. por 60 dias, e o de R$ 1.200,00, à taxa 
de 2% a.m. por 30 dias. qual foi o montante total recebido? 
 
10. Um capital foi depositado a juros compostos e, após 2 anos, triplicou de valor. Qual a taxa 
mensal de juros compostos usada? 
 
11. Calcule o juro produzido por um capital de R$ 100.000,00, a uma taxa de juro composto de 25% 
ao ano, em dois anos. 
 
12. Uma certa pessoa concedeu um empréstimo de R$ 10.000,00 à taxa efetiva de 4,8% a.m.. Qual 
o valor a ser cobrado na liquidação, um ano, três meses e seis dias após a realização do 
empréstimo: 
a) Calculado através da convenção linear. 
b) Calculado através da convenção exponencial. 
 
13. Foram aplicados R$ 28.700,00 a uma taxa efetiva de 2% ao mês, e foram recebidos R$ 
10.698,95 de juro. Qual foi o prazo da aplicação? 
 
14. Calcular o montante de R$ 18.000,00 durante 2 a4 m8 d, a juros de 5% a.t., capitalizados 
trimestralmente : 
a) Pela convenção linear. 
b) Pela convenção exponencial. 
 
15. Por quantos meses deve-se deixar um capital de R$ 260.000,00 investido, a taxa de 
juro de 1,17% a.m. para se obter um saldo de R$ 300.000,00? 
 
16. O capital de R$ 50.000,00 ficou empregado durante 6 meses, sendo que nos dois primeiros à 
taxa de 4,7% a.m., nos dois seguintes à taxa de 4,9% a.m. e nos dois últimos à taxa de 5,3% a.m.. 
Qual o montante constituído no final de seis meses? 
 
17. Por quantos meses o capital de R$ 1.800,00 foi aplicado a uma taxa de juro composto de 1,6% 
ao mês, tendo produzido o montante de R$ 2.247,94? 
18. Foram aplicados R$ 20.000,00 durante 35 anos, a uma taxa de juro composto de 15% ao ano 
nos primeiros dez anos, 18% ao ano nos dez anos seguintes e 17% ao ano nos últimos 15 anos. 
Determine o montante obtido. 
 
19. Um capital de R$ 8.100,00 foi aplicado a juros compostos, da seguinte forma: a 2,25% a.m. 
durante os primeiros cinco meses, a 1,8% a.m. nos três seguintes meses e a 1,65% a.m. nos 
próximos três meses. Calcule o total de juros apurado. 
 
20. Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao 
triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação? 
 
 
 
 
 
27 
 
Respostas 
1. R$ 2.644,79 2. R$ 20.244,67 3. 10 meses 
4. R$ 1.384,88 5. 1,5 % a.m. 6. R$ 31.447,16 
7. 6,2% a.m. 8. 12,25% a.s. 9. R$ 3.345,80 
10. 4,68% a.m. 11. R$ 56.250,00 12. R$ 20.393,49 
13. 16 meses 14. a) R$ 28.513,41 b) R$ 28.505,11 
15. 13 meses 16. R$ 66.876,13 17. 14 meses 
18. R$ 4.462.892,22 19. R$ 1.931,53 20. 44,22% a.t. 
 
 
 
 
 
6. DESCONTO SIMPLES 
Desconto é o abatimento concedido sobre um título de crédito em virtude de seu resgate 
antecipado. Representa a retirada do juro calculado pelo banco nas operações de capitalização 
simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de pagamento. 
 
Dentre os títulos de crédito reconhecidos pelo Direito Comercial Brasileiro, destacamos 
alguns: 
 
• Nota promissória: consiste em um documento oficial pelo qual uma pessoa declarando-sedevedora de certa quantia a outra pessoa, compromete-se a pagá-la em certa data, 
combinada entre as partes. 
 
• Duplicata: consiste em um documento oficial pelo qual uma pessoa se declara devedora de 
certa quantia à outra, relativa à compra de mercadorias. A duplicata corresponde a uma 
cópia da fatura de compra. 
 
Elementos básicos: 
 
• Valor nominal ( N ): valor do título a ser pago no dia do vencimento. 
• Valor atual ( A ): é o valor pelo qual o título foi adquirido. 
• Comissões (com ) 
• Despesas ( desp ) 
• Imposto sobre Operações Financeiras ( IOF ) 
• Taxa de desconto ( ia ): taxa unitária de desconto 
• Valor líquido ( VL ) 
• Tempo ( t ): tempo de antecipação → período compreendido entre o dia em que se negocia o 
título e seu vencimento 
• Desconto ( d ) : Valor que será abatido no título 
 
Quando se fala em desconto simples, temos duas modalidades de desconto a considerar: 
 
a) o racional ou por dentro. 
 b) o comercial ou bancário ou por fora. 
 
28 
 
 
 j = PV. i . n 
 
 
 
6.1 DESCONTO SIMPLES RACIONAL (ou “por dentro”) 
 
6.1.1 Conceito 
 Desconto simples racional é igual ao valor do juro simples calculado sobre o valor atual 
racional de um título, numa taxa de juro, durante o tempo que antecede o vencimento deste. 
 
dr = Ar . i . t 
 
 
6.1.2 Valor Atual Racional 
 
 Chama-se de valor atual racional de um título de valor nominal (N), vencível no final de um 
certo tempo ( t ), ao capital ( Ar ) que aplicado a juro simples, durante o tempo ( t ) produza um 
montante igual ao valor nominal do título (N). 
 
 𝐴𝑟 =
𝑁
1+𝑖𝑡
 ou 𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
1+𝑖𝑛
 
 
 
Exemplo 6.1: Qual o valor atual racional de um título de R$ 120.000,00 vencível no final de 60 dias, 
sendo 10% a.m. a taxa de juros simples? 
 
N = 120.000,00 i = 10% a.m. 
t = 60 dias Ar= ? 
 
30
60
1,01
120000
+
=rA 
2,01
120000
+
=rA 
=rA R$ 100.000,00 
 
 
 
6.1.3 Fórmula para cálculo do desconto racional em relação ao valor nominal 
Como 
dr = N - Ar e 𝐴𝑟 = 
𝑁
1+𝑖𝑡 
 
 
Logo: 
 𝑑𝑟 = 
𝑁𝑖𝑡
1+𝑖𝑡 
 ou 𝑗 = 
𝐹𝑉.𝑖.𝑛
1+𝑖𝑛 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Exemplo 6.2: Qual o desconto racional de um título de R$ 150.000,00 vencível no final de 45 dias, 
sendo 5% a.m. a taxa de juros simples? 
 
N = 150.000,00 i = 5% a.m. 
t = 45 dias Ar= ? 
30
45
05,01
150000
+
=rA dr = N - Ar 
075,01
150000
+
=rA dr = 150000 – 139534,88 
=rA R$ 139.534,88 dr = R$ 10.465,12 
 
Exemplo 6.3 Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00, vencível em um ano, que está sendo 
liquidado 3 meses antes do seu vencimento. 
Sendo de 42% a.a. a taxa de juros simples, qual o valor do desconto racional e o valor descontado 
dessa operação? 
 A N = 4.000 
 
 0 9 m 12 m 
 
N = 4.000,00 i = 42% a.a. 
t = 3 meses = 3/12 ano dr = ? Ar = ? 
 
𝑑𝑟 = 
4.000 𝑥 0,42 𝑥 3/12
1 + 0,42 𝑥 3/12 
 
 
dr = R$ 380,09 
Ar = 4.000 – 380,09 → Ar = R$ 3.619,91 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1. Um título de R$ 320.000,00 foi negociado racionalmente 75 dias antes do seu vencimento a uma 
taxa de 11,2% a.m.. Qual o desconto sofrido? 
 
2. Qual o desconto racional sofrido por um título de valor R$ 24.000,00 vencível no final de 4 meses, 
sendo 5% a.m. a taxa de desconto? 
 
3. Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, 
tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m. De quanto foi o valor pago 
pelo título? 
 
4. Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 7.560,00, vence em 6 meses e 15 dias. Calcular o 
valor atual, deste título, considerando 48% a.a. para o desconto por dentro. 
 
5. Calcular o desconto por dentro sobre um título de R$ 3.225,00vencível no final de 75 dias e 
negociado à taxa utilizada na operação é de 36% a.a.? 
 
30 
 
 
 j = FV. i . n 
6. Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, 
tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 60% a.m. De quanto foi o valor pago 
pelo título? 
 
Respostas 
 
1. R$ 70.000,00 2. R$ 4.000,00 3. R$ 2.740,00 
4. R$ 6.000,00 5. R$ 225,00 6. R$ 50.000,00 
 
 
 
6.2 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL (ou “por fora”) 
 
6.2.1 Conceito 
 O desconto simples comercial ou “por fora” é igual ao juro simples calculado sobre o valor 
nominal do título, a uma taxa de desconto durante o tempo que antecede o vencimento deste. Esse 
tipo de desconto é geralmente utilizado nos casos de operações de curto prazo. 
 
6.2.2 Fórmula de desconto comercial simples 
 
 
dr = N.i.t 
 
 
 
Exemplo 6.4: Um título de R$ 280.000,00 sofreu um desconto comercial 39 dias antes de seu 
vencimento, a uma taxa de desconto de 6%a.m.. Calcular o desconto. 
N = 280.000 t = 39 dias 
i = 6% a.m. d = ? 
 
d = 280000,00 x 0,06 x (39/30) 
d = R$ 21.840,00 
 
 
6.2.3 Valor Atual Comercial 
 É a diferença entre o valor nominal e o desconto comercial por ele sofrido. 
 
A = N – d ou A = N (1 – i . t) 
 
 
Onde: 
A = é valor líquido, já abatido o desconto, a ser pago (ou recebido) antecipadamente; 
d = desconto simples comercial 
ia = taxa de desconto 
t= tempo de antecipação 
 
 
 
31 
 
 
 
Exemplo 6.5: Um título de R$ 280.000,00 sofreu um desconto comercial 39 dias antes de seu 
vencimento, a uma taxa de desconto de 6%a.m. Calcular o valor atual. 
 
N =280.000 i = 6% a.m. 
t = 39 dias d= ? 
 
A = 280.000 x (1- 0,06 x 39/30) 
A = 280.000 x ( 1 – 0,078) 
A = 280.000 x 0,922 → A = R$ 258.160,00 
Ou 
A = N - d → d = 280.000 x 0,06 x 39/30 → d = 21.840 
A = 280.000 – 21.840 → A = R$ 258.160,00 
 
 
6.2.4 Valor Líquido 
Sempre que houver cobrança de comissões ou taxas, o valor líquido é igual ao valor atual 
diminuído da comissão. 
 
 
VL = A – com. 
 
 
 
Ou 
VL = N – ( d + com. + desp. + IOF ) 
 
 
 
Exemplo 6.6: Um título de R$ 240.000,00 sofreu um desconto bancário, 27 dias antes do seu 
vencimento, numa instituição financeira que opera com uma taxa de desconto de 7% a.m.. 
Sabendo-se que é cobrada uma comissão de 0,5% sobre o valor nominal, qual o valor líquido 
recebido pelo portador? 
 
N = 240.000 t = 27 dias 
i = 7% a.m. d = ? 
 
d = 240000 x 0,07 x 27/30 
d= R$ 15.120,00 
 
Com. = 0,5% sobre o valor nominal → com. = 0,005*240.000 → com. = 1.200 
 Ou usando regra de três: 
 240000 ---------- 100% 
 x ---------- 0,5% 
 x = 1200 
 
VL = ? 
VL = 240.000 – (15.120 + 1.200) = R$ 223.680,00 
 
 
32 
 
 
Exemplo 6.7: Uma empresa desconta 5 títulos no valor total de R$ 18.000,00 vencíveis em 36 dias, 
num banco que opera com uma taxa de desconto de 4,5% a.m.. Sabendo-se que o banco cobra 
uma comissão antecipada de 0,5 % sobre o valor nominal dos títulos, mais despesas para cobrança 
no valor de R$ 4,00 por título e mais o IOF (imposto sobre operações financeiras) que é de 0,123% 
a.m., qual o valor líquido creditado na conta da empresa? 
 
N = 18.000 t = 36 dias 
i = 4,5% a.m. VL = ? 
 
d = 18000 x 0,045 x 36/30 
d = 972,00 
 
IOF = 0,123% a.m. → IOF = 0,00123 x 18.000 x 36/30 → IOF = 26,57 
Com. =0,5% sobre o valor nominal → 0,005 x 18.000 → com. = 90,00 
 
Despesas de cobrança = R$ 4,00 por título → desp. de cobr. = 4 x 5 = 20,00 
 
 VL = 18000 – (972 + 90 + 20 + 26,57) 
 VL = R$ 16.891,43 
 
Obs: Quando não houver cobrança de comissões ou taxas o valor líquido é igual ao valor 
atual. 
 
 
 
6.2.5 Taxa efetiva de juro numa operação de desconto simples bancárioNuma operação de desconto, a taxa efetiva de juro é calculada levando-se em conta o valor 
nominal dos títulos, o prazo médio destes títulos e o valor líquido recebido pelo portador. 
É a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado, comercial ou bancário gera no 
período considerado um montante igual ao valor nominal. 
 Para calcular a taxa efetiva de juro do período do desconto de títulos com vencimento para 
t dias, basta efetuar a divisão entre o valor nominal e o valor líquido diminuindo de 1, ou seja, 
calcular a diferença percentual entre o valor líquido e o valor nominal. 
 Seu cálculo pode ser realizado utilizando a fórmula: 
 
𝑖𝑓 =
𝑁
𝑉𝐿 
 − 1 
 
Nota: Os valores correspondentes ao Desconto e ao valor Atual são utilizados tanto para 
juro comercial, quanto bancário. 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Exemplo 6.8: Uma empresa desconta um título de R$ 20.000,00, 39 dias antes de seu vencimento, 
num banco que opera com uma taxa de desconto de 6% a.m.. Qual a taxa efetiva de juro paga pela 
empresa nesta operação? 
 
N = 20.000 i = 6% a.m. 
t = 39 dias A = ? 
 
A = 20.000 x (1- 0,06 x 39/30) 
A = R$ 18.440,00 
 
if = ? i f = 20.000/18.440 -1 
 if= 1,0846 – 1 
 if= 8,46% a.p. 
 
Exemplo 2: Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada 3 meses antes de seu vencimento 
por R$ 6.072,00. Qual a taxa mensal de juros? 
N = 6.900 A = 6.072 
n = 3 meses if = ? 
if = 6900/6072 – 1 
if = 1,13636 -1 
if = 0,13636 . 100 
if= 13,64% ao período de 3 meses. 
 
 13,64% -------- 3 meses 
 x --------- 1 mês 
 x = 4,55% a.m. 
 
Exercícios propostos: 
 
1. Ao descontar uma promissória com prazo de 45 dias, um banco calculou um desconto de R$ 
1.200,00. Qual o valor da promissória sabendo-se que a taxa de desconto utilizada foi de 4% a.m.? 
 
2. Um pequeno comerciante leva a um banco o seguinte conjunto de cheques pré-datados para 
serem descontados à taxa de desconto de 2,8% a.m. 
 
 
Cheque Valor Prazo de antecipação 
A R$ 500,00 2 meses 
B R$ 1.500,00 1 mês 
C R$ 2.000,00 45 dias 
 
Determinar o valor líquido recebido pela empresa. 
 
 
34 
 
3. Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 14.000,00, dois meses antes do 
vencimento, a uma taxa de desconto de 3,5% a.m.. 
a) Qual o valor do desconto? 
b) Qual o valor descontado recebido pela empresa? 
c) Qual a taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco? 
 
4. Um título de R$ 5.000,00 sofreu um desconto por fora 42 dias antes de seu vencimento. Sabendo-
se que a taxa de desconto foi de 6% a.m., qual o valor do desconto? 
 
5. Uma empresa desconta três títulos no valor nominal total de R$ 8.000,00, 36 dias antes de seus 
vencimentos, num banco que opera com uma taxa de desconto de 4,5% a.m.. Sabe-se que para 
operações de desconto o banco cobra 0,0041% ao dia para IOF mais R$ 4,00 por título descontado. 
Com base nestes dados determine: 
a) O valor do desconto. 
b) O valor das despesas administrativas. 
c) O valor do IOF. 
d) O valor líquido total dos títulos. 
e) A taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco. 
 
6. Um título no valor de R$ 120.000,00 foi descontado por R$ 108.380,00, faltando 95 dias para o 
seu vencimento. Qual a taxa de juro semestral utilizada? 
 
7. Uma nota promissória foi descontada por R$ 25.000,00 no dia 10/10/08, à taxa de desconto de 
2,5%a.m, sabendo-se que o desconto foi de R$ 2.932,96. Qual a data do vencimento da nota 
promissória e qual o seu valor? 
 
8. Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de 
nominal é de $ 1.000,00 e cujo valor atual é de $ 880,00? 
 
9. Um título de R$ 13.600,00 sofreu desconto simples comercial 47 dias antes do seu 
vencimento, a uma taxa de desconto de 3,8%a.m..Qual foi o valor pago? 
 
10. Uma empresa possui um título cujo o valor é de R$ 13.550,00 com vencimento daqui 
350 dias. Quantos dias antes do vencimento deve descontá -lo, à taxa comercial de 60% 
a.a., para que possa adquirir uma mercadoria no valor de R$ 10.840,00? 
 
11. Uma empresa desconta uma duplicata de R$ 9.350,00 com vencimento a 7 meses. Se 
a taxa de desconto simples for de 36% a.a. e a taxa de serviço bancário for 1,5%sobre o 
valor nominal do título, qual será o valor líquido recebido e a taxa efetiva de juros paga 
pela empresa? 
 
12. Um título a vencer no dia 25/10/2018 foi descontado no dia 30/08/2018. Se o desconto 
comercial simples foi de R$ 2.740,00 e a taxa de 57%a.a. Qual seria o valo r nominal? 
 
Respostas 
 
1. R$ 20.000 2. R$ 3.846,00 3. a) R$ 980,00 b) R$ 13.020,00 
3-c) 7,53% a.p. 4. R$ 420,00 5. a) R$ 432,00 b) R$ 12,00 
5-c) R$ 11,81 5-d) R$ 7.544,19 5-e) 6,04% a.p. → 5,03% a.m. 
6. 20,31% a.s. 7. 13 de fevereiro , R$ 27.932,96 
8. 3% a.m. 9. R$ 12.790,35 10. 120 dias 
11. R$ 7.246,25 e 29,03% a.p. 12. R$ 30.902,26 
35 
 
 
 
Na HP-12C 
80000 CHS FV → 2 i → 4 n → PV 
 
 
 
 
 
 
d = N - N (1+i)-n 
 
d = N.[ 1 - (1+i)-n] 
7. DESCONTO COMPOSTO 
 
O conceito de desconto é o mesmo que no regime a juros simples: abatimento ao antecipar 
o pagamento de um vencimento. Existem as duas modalidades de desconto composto, o racional 
e o comercial. 
Ao contrário do desconto simples, que o mais utilizado é o comercial, no desconto compostos 
o mais utilizado é o racional. Por esta razão, vamos nos restringir ao desconto racional. 
 
 
 A = N (1+i)-n ou PV = FV (1+i)-n 
 
 
 
 
 d = N - A ou j = FV - PV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A = valor atual racional ou valor descontado racional → valor líquido pago ou recebido antes do 
vencimento 
N = valor nominal do título → valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento) 
i = taxa de desconto 
n = tempo → período compreendido entre o dia em que se negocia o título e seu vencimento (Obs.: 
inclui um dos dias extremos, o primeiro ou o último) 
d = desconto racional composto 
 
Exemplo 7.1: Determine o valor atual de um título de R$ 80.000,00, saldado 4 meses antes de 
seu vencimento, à taxa de desconto composto de 2% ao mês. 
 
N = 80.000,00 i = 2% a.m. n = 4 meses A = ? 
 
A = N (1+i)-n 
A = 80000 (1+0,02)-4 
A= 73.907,63 
O valor atual do título é de R$ 73.907,63 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
Na HP-12C 
50000 CHS FV → 2,5 i → 3 n → PV → 50000 enter 46429,97 ─ 
 
 
 
Na HP-12C 
 
10000 CHS PV → 1,2 i → 13314,73 FV → n 
 
 
Na HP-12C 
64000 CHS PV → 117 enter 30 ÷ n → 79600 FV → i 
 
 
Exemplo 7.2: Qual o desconto composto que um título de R$ 50.000,00 sofre ao ser descontado 3 
meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? 
 d =? N = 50.000 
 n = 3 meses i = 2,5% a.m. 
 
Como d = N – A, 
A = N (1+i)-n d = 50.000 - 46.429,97 
A = 50000 (1+0,025)-3 d = 3.570,03 
A = 46.429,97 
O valor do desconto é de R$ 3.570,03 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7.3: Um título de R$ 13.314,73 foi resgatado por R$ 10.000,00, antes do vencimento a 
uma taxa de 1,2% a.m. Quanto tempo de antecipação teve esse título? 
 N = 13.314,73 A = 10.000,00 
 i = 1,2%a.m. n = ? 
 
n = 
𝑙𝑜𝑔(
13314,73
10000
)
𝑙𝑜𝑔 (1+0,012)
 → n = 24 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7.4: Um título R$ 79.600,00 foi antecipado em 117 dias. Qual a taxa mensal de juros 
compostos cobrada se valor atual é de R$ 64.000,00? 
N = 79600,00 A = 64000 
N = 117 dias/30 = 3,9 meses i = ? 
 
𝑖 = (
79600
64000
)
1
3,9
− 1 
 
𝑖 = 5,75% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
Exercícios propostos1. Qual o valor atual de um título de R$ 10.000 vencível no final de 6 meses, sendo 7% a.m. a taxa 
de juro? 
 
2. Um título de valor nominal de R$ 150.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, 
tendo sido contratado à taxa de 2,5% a.m.. Qual foi o desconto concedido? 
 
3. Um título é descontado 5 meses antes do seu vencimento, pelo valor de R$ 
64.220,00, à uma taxa de juros de 4,88%a.m. Qual o seu valor nominal? 
 
4. Por um título de R$ 1.000.000,00 paguei R$ 887.971,00. Qual o prazo de antecipação desse 
título, se o desconto composto deu-se a 2% a.m.? 
 
5. Ao descontar uma Nota Promissória no valor de R$ 15.000,00 no vencimento, a financeira 
informou que sua taxa era de 45% ao ano. Se o desconto fosse efetuado 5 meses antes do 
vencimento, qual seria o valor de resgate recebido pelo possuidor do título? 
 
6. Uma indústria obteve um empréstimo para ser pago, em um único pagamento de R$ 2.000.000,00 
após 1 ano. Decorridos 10 meses, a diretoria resolveu liquidá-lo. Qual foi o desconto racional a que 
fez jus se a taxa adotada na operação foi de 5%a.m.? 
 
7. Um título de R$ 8.756,91 foi resgatado por R$ 8.500,00, antes do vencimento a uma taxa de 1,5% 
a.m. Qual foi o tempo de antecipação desse título? 
 
8. Um título de R$ 120.000,00 foi antecipado em seis meses e a pessoa recebeu R$51.879,31. Qual 
a taxa usada nessa transação? 
 
9. Uma nota promissória de R$ 200.000,00 foi descontada por R$ 114.036,18, no regime de 
desconto composto a uma taxa de 3,8% a.m. Determine o prazo de antecipação, em bimestres. 
 
10. Foi paga uma dívida 6 bimestres antes do vencimento, onde se reduziu para R$ 5.690,27 com 
uma taxa de 4% a.b.. Sabendo-se que o regime adotado foi o de desconto composto, qual o valor 
da dívida? 
 
11. Um título de valor nominal R$ 42.045,00 foi resgatado 6 meses antes de seu vencimento por 
R$ 36.991,00. Nas mesmas condições de taxa de juro e prazo de vencimento, por quanto será 
resgatado um título de valor nominal R$ 18.871,00? 
 
12. Um título de valor nominal de R$ 48.860,00 foi resgatado 8 meses antes do seu vencimento, 
tendo sido contratada a taxa de 2,45% ao mês. Qual foi o desconto concedido? 
 
Respostas 
 
1. R$ 6.663,42 2. R$ 10.710,09 3. R$ 81.495,51 
4. 6 meses 5. R$ 12.848,56 6. R$ 185.941,04 
7. 2 meses 8. 15% a.m. 9. 7,5 b. 
10. R$ 7.200,00 11. R$ 16.602,62 12. R$ 8.601,48 
 
 
38 
 
 
8. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 
O conceito de equivalência de capitais permite transformar formas de pagamento em outras 
formas equivalentes, para poder compará-las e decidir sobre a melhor alternativa. 
 
Dois capitais são equivalentes se, em uma mesma data n, seus valores são iguais. 
 
 
8.1 Data focal 
Data focal é a data única na qual se calculam os valores dos capitais de diferentes datas, 
com o objetivo de avaliação. A data focal é conhecida também como “data de avaliação” e pode ser 
determinada para qualquer data entre a data 0 e a data n. Se o capital é de uma data anterior à 
data focal, deve ser capitalizado até a data focal por meio da fórmula do valor futuro (montante). Se 
o capital pertencer a uma data posterior à data focal, deve ser descontado para a data focal por 
meio da fórmula do valor presente (capital). Veja na figura a seguir. 
 
 
 
Exemplo 8.1: Uma pessoa deseja substituir um título de valor nominal de R$ 85.000,00, com 
vencimento daqui a 2 meses, por outro título, com vencimento para 5 meses. Qual o valor nominal 
do novo título, sabendo-se que o banco em questão adota, nesse tipo de operação, a taxa composta 
De 9% a.m. e o critério do desconto racional? 
 
 
 
FV = PV . (1 + i)n 
FV = 85.000 . (1 + 0,09)3 
FV = 85.000 . (1,09)3 
FV = R$ 110.077,47 
 
39 
 
Exemplo 8.2: Uma empresa devedora de um título de R$ 15.000,00 vencível no final de 6 meses, 
propõe a substituição deste título por dois novos títulos, de mesmo valor nominal, vencíveis no final 
de 2 e 4 meses respectivamente. Se transação é realizada a taxa de 12% a.a. em capitalização 
mensal, qual o valor dos novos títulos? 
N1 = 15.000,00 N2 = N N3 = N 
n1= 6 meses n2 = 2 meses n3 = 4 meses 
 
A1 = A2 + A3 
15000 . (1 + 0,01)-6 = N . (1 + 0,01)-2 + N . (1 + 0,01)-4 
14.130,68 = 0,980296N + 0,96098N 
14.130,68 = 1,941276N 
N = 14130,68 / 1,941276 
N = R$ 7.279,07 
 
 
Exemplo 8.3: Um título no valor nominal de R$ 7.000,00, com vencimento para 5 meses, é trocado 
por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado é de 
3% a.m., qual o valor nominal do novo título? 
N1 = 7.000,00 N2 = N 
n1= 5 meses n2 = 3 meses 
 
A1 = A2 
7000 . (1 + 0,03)-5 = N x ( 1 + 0,03)-3 
6038,26 = 0,915142N 
N = 6038,26 / 0,915142 
N = R$ 6.598,17 
 
 
Exemplo 8.4: Duas promissórias, uma de R$ 4.000,00, vencível em 120 dias, e outra de R$ 
9.000,00, vencível em 180 dias, deverão ser resgatadas por um só pagamento, dentro de 90 dias. 
Qual o valor desse resgate, no regime de juros compostos, à taxa de 3% a.m.? 
 
N1 = 4.000,00 N2 = 9.000,00 N3 = N 
n1= 4 meses n2 = 6 meses n3 = 3 meses 
 
A1 + A2 = A3 
4000 . (1 + 0,03)-4 + 9000 . (1 + 0,03)-6 = N . (1 + 0,03)-3 
3553,95 + 7537,36 = 0,915142N 
11091,31 = 0,915142N 
N = 11091,31/ 0,915142 
N = R$ 12.119,77 
 
 
Exercícios propostos 
 
1. Uma nota promissória, cujo valor nominal é R$ 50.000 vence daqui a um mês. O devedor propõe 
a troca por outra nota promissória, a vencer daqui a 3 meses. Qual deve ser o valor nominal da 
nova nota promissória para que os capitais sejam equivalentes, à taxa de 2% ao mês? 
40 
 
 2. Dois títulos, um de R$ 6.000,00 para 6 meses e outro de R$ 20.000,00 para 1 ano, são trocados 
por um único, vencendo em 9 meses. Se for adotada a taxa de desconto de 3% a.m., qual deverá 
ser o valor desse novo título? 
 
3. Uma empresa devedora de R$ 221.490,00 com vencimento para 2 meses, deseja liquidar essa 
dívida em dois pagamentos iguais, sendo o primeiro hoje e o segundo em 1 mês. Quais os valores 
desses pagamentos, considerando a taxa de 7% a.m.? 
 
4. Certa pessoa devia dois títulos a um banco: o primeiro de R$ 5.000,00 e o segundo, 6 meses 
após o primeiro de R$ 7.000,00. Contudo, no vencimento da primeira parcela, propôs adiamento de 
sua dívida da seguinte maneira: pagamento de R$ 8.000,00 daí a 3 meses e o saldo em 9 meses. 
Se a taxa de juros considerada foi de 5% a.m., qual é o saldo restante? 
 
5. Uma empresa deve para um banco R$ 124.000,00 com vencimento para hoje. Não podendo 
efetuar esse pagamento, propõe a troca do título por outros dois, sendo o primeiro de R$ 73.500,00, 
com vencimento para 30 dias, e o saldo restante, para 60 dias. Qual o valor desse saldo restante, 
se o banco em questão opera com uma taxa de 5% a.m., pelo critério de desconto racional 
composto? 
 
6. Um dívida é resultante de 3 títulos: o primeiro, vencendo em 4 meses, no valor de R$ 1.000,00; 
o segundo, vencendo em 8 meses, no valor R$ 1.500,00 e o terceiro, em 1 ano, no valor de R$ 
2.000,00. O devedor, desejando liquidá-la rapidamente, propõe ao credor saldá-la em três 
pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 1 mês, o segundo em 2 meses e o terceiro em 3 meses. 
A taxa de juros contratada é de 3% a.m.. Qual é o valor dos pagamentos? 
 
7. Um varejista faz a seguinte proposta a um de seus fornecedores a quem deve certa quantia em 
dinheiro. Pagamentos de R$ 25.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 80.000,00 vencíveis dentro de 2, 6 e 10 
meses, respectivamente, ou um único pagamento dentro de 8 meses. Suponha taxa de juros de 
2%a.m. Qual o valor do pagamento? 
 
8. Uma empresa contraiu uma dívida de R$ 500.000,00 com um particular que cobra juros bimestrais 
de 8%. Decorridos 2 bimestres, a empresa paga R$ 200.000,00e combina liquidar o saldo restante 
no final de mais 4 bimestres. Qual o valor do pagamento final? 
 
9. Uma firma contraiu um empréstimo para pagar do seguinte modo: 1º pagamento depois de 1 mês 
no valor de R$ 50.000,00 e o 2º pagamento depois de 2 meses no valor de R$ 100.000,00. Esses 
pagamentos abrangiam capital mais juros calculados a 7% a.m. Se a firma modificar a forma de 
pagamento, saldando o débito com uma única prestação 4 meses após a data do contrato, qual o 
valor dessa única prestação? 
 
10. Um conjunto de sofás é vendido à vista por R$ 1.500,00, ou a prazo por três prestações mensais 
sem entrada, sendo a segunda igual ao dobro da primeira e a terceira o triplo da primeira. Obtenha 
o valor da segunda prestação, sabendo-se que a loja opera com uma taxa de juros de 5% a.m. 
 
Respostas 
1. R$ 52.020,00 2. R$ 24.859,20 3. 1º pagamento: R$ 100.000,00 
4.R$ 5.139,25 5. R$ 59.535,00 6. R$ 1.228,65 
7. R$ 146.663,56 8. R$ 521.339,37 9. R$ 175.742,15 
10. N1 = R$ 279,96 N2 = R$ 559,92 
41 
 
 
9. TAXAS DE JUROS 
 
Uma parte bastante complexa dentro da Matemática Financeira refere-se ao estudo das 
taxas de juros. Isso porque é muito comum a ocorrência de contratos escritos onde são usadas 
apenas taxa “referenciais” em que a capitalização não ocorre na periodicidade indicada pela taxa. 
 
 
9.1 TAXAS PROPORCIONAIS (ou taxa linear) 
 
Duas, ou mais taxas, são proporcionais quando, ao serem aplicadas sobre o mesmo capital 
durante o mesmo período, produzem o mesmo montante. Isso ocorre nos juros simples. 
 
Exemplo 9.1: 
 
a) 36% ao ano e 3% ao mês; 
 36% ao ano e 9% ao trimestre. 
 
b) Calcule os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal de R$100,00, 
no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros: 
a) 12,00% a.a. b) 6,00% a.s. c) 1,00% a.m. 
 
a) i = 12,00% a.a. = 0,12 n = 4 anos 
FV = PV (1 + i × n) → FV = 100,00 (1 + 0,12 × 4) → FV = R$ 148,00 
 
b) i = 6,00% a.s. = 0,06 n = 4 anos = 8 semestres 
FV = PV (1 + i × n) → FV = 100,00 (1 + 0,06 × 8) → FV = R$ 148,00 
 
c) i = 1,00% a.m. = 0,01 n = 4 anos = 48 meses 
FV = PV (1 + i × n) → FV = 100,00 (1 + 0,01 × 48) → FV = R$ 148,00 
 
 
 Observe que os cálculos foram realizados no regime de juros simples e que nos três casos 
o principal e o prazo foram os mesmos. 
 
 
 
Exemplo 9.2: Um empresário tem uma conta de cheque especial num banco que permite saques 
a descoberto e que cobra 1,50% a.m. sobre o saldo devedor, a juros simples, pelos dias que a 
conta ficar descoberta. Calcule o montante de juros cobrado no mês de abril, assumindo que a 
conta tem saldo zero no final de março e que em abril são emitidos os seguintes cheques: 
 
Data Valor do cheque (RS) 
1° de abril 2.000,00 
11 de abril 1.000,00 
21 de abril 1.000,00 
 
 Inicialmente devemos transformar a taxa de juros 1,50% a.m. na sua taxa proporcional 
diária, como segue: 
 
 
 
42 
 
i = 1,50% a.m. = (1,50% / 30) ao dia = 0,05% a.d. → i = 0,0005 
 
Cálculo dos juros devidos por período: 
 
 • Juros de 1° a 10 de abril: 
 n = 10 dias 
 saldo devedor: R$ 2.000,00 
 juros = 2.000,00 × 0,0005 × 10 
 j = R$ 10,00 
 
• Juros de 11 a 20 de abril: 
 n= 10 dias 
 saldo devedor: R$ 3.000,00 
 juros = 3.000,00 × 0,0005 × 10 
 j = R$ 15,00 
 
• Juros de 21 a 30 de abril: 
 n = 10 dias 
 saldo devedor: $ 4.000,00 
 juros = 4.000,00 × 0,0005 × 10 
 j = R$ 20,00 
 
Assim, temos: juros do mês de abril = (10,00 + 15,00 + 20,00) = R$ 45,00 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1. As taxas de 48% ao ano e 4% ao mês são proporcionais? 
 
2. As taxas de 8% ao mês e 42% ao semestre são proporcionais? 
 
3. As taxas de 90% ao semestre e 0,5% ao dia são proporcionais? 
 
4. As taxas de 0,8% ao dia e 25% ao mês são proporcionais? 
 
5. Determine as taxas mensais, trimestrais e anuais proporcionais à taxa de 0,4% ao dia. 
 
6. Determine as taxas diárias, semestrais e anuais proporcionais à taxa de 8,2% ao mês. 
 
Respostas 
1. Sim 2. Não 3. Sim 4. Não 
5. 12% a.m. , 36% a.t., 144% a.a. 6. 0,2733% a.d., 49,2% a.s., 98,4% a.a. 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
9.2. TAXA NOMINAL 
 
 A taxa de juros é nominal quando a sua unidade de tempo não coincide com a unidade de 
tempo dos períodos de capitalização. Na prática é comum utilizar, por exemplo, juros de 48% ao 
ano, capitalizado semestralmente. Nestes casos onde o período de capitalização não coincide com 
o período a que a taxa se refere diz-se que a taxa é nominal. 
A taxa nominal, bastante utilizada no mercado, não representa uma taxa efetiva e, por isso, 
não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos. Toda taxa nominal traz 
em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período 
de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime 
de juros simples. 
 
9.3. TAXAS EQUIVALENTES 
 
Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao 
serem aplicadas ao mesmo principal durante o mesmo prazo, produzem o mesmo montante 
acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos. 
O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros 
compostos. Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende 
exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros 
simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos. 
 
Exemplo 9.3: Calcule os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal 
de $100,00, no regime de juros compostos, com as seguintes taxas de juros: 
a) 12,6825% a.a.; b) 6,1520% a.s.; c) 1,00% a.m.. 
 
FV = PV (1 + i)n 
 
a) FV = 100 (1+0,126825)4 → FV = R$ 161,22 
b) FV = 100 (1+0,061520)8 → FV = R$ 161,22 
c) FV = 100 (1+0,01)48 → FV = R$ 161,22 
 
Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre igual a R$ 161,22, podemos 
concluir que as taxas de 12,6825% a.a., 6,1520% a.s. e 1,00% a.m. são taxas equivalentes, pois 
produzem o mesmo montante de R$ 161,22 ao serem aplicadas sobre o mesmo principal de 
R$100,00, pelo mesmo prazo de quatro anos, no regime de juros compostos. 
 
A equivalência é calculada pela seguinte fórmula: 
 
𝑖𝑒𝑞 = ( 1 + 𝑖 )
𝑄𝑄/𝑄𝑇 − 1 
 
 
Onde: 
i = taxa conhecida. 
i eq = taxa a ser calculada. 
QQ = é período desejado em dias em relação a taxa procurada 
QT = é o período fornecido em dias que se refere a taxa fornecida 
44 
 
Na HP-12C 
100 CHS PV 413 i 30 enter 360 : n FV 100 - 
 
 
 
Na HP-12C 
100 CHS PV 25 i 1 enter 90 : n FV 100 - 
 
 
 
Na HP-12C 
100 CHS PV 4 i 360 enter 30 : n FV 100 - 
 
 
 
Exemplo 9.4: Calcular a taxa mensal equivalente a 413% a.a.. 
 
𝑖𝑒𝑞 = ( 1 + 4,13)
30/360 − 1 
 𝑖𝑒𝑞 = 1,145978 − 1 
𝑖𝑒𝑞 = 0,145978 × 100 
𝑖𝑒𝑞 = 14,60% 𝑎. 𝑚. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9.5: Calcular a taxa diária equivalente a 25% a.t.. 
 
𝑖𝑒𝑞 = ( 1 + 0,25)
1/90 − 1 
 𝑖𝑒𝑞 = 1,00248 − 1 
𝑖𝑒𝑞 = 0,00248 × 100 
𝑖𝑒𝑞 = 0,25% 𝑎. 𝑑. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9.6: Calcular a taxa anual equivalente a 4% a.m. 
 
𝑖𝑒𝑞 = ( 1 + 0,04)
360/30 − 1 
 𝑖𝑒𝑞 = 1,6010 − 1 
𝑖𝑒𝑞 = 0,6010 × 100 
𝑖𝑒𝑞 = 60,1% 𝑎. 𝑎. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9.7: Um administrador deseja realizar um empréstimo. O banco A oferece uma taxa de 
juro de 129,2% a.a.. O banco B oferece uma taxa de 8,1% a.m. Qual das duas taxas é a mais 
atrativa? 
 Vamos transformar a taxa do banco A em taxa mensal. 
 𝑖𝑒𝑞 = ( 1 + 1,292)
30/360 − 1