EDO_Lista 3

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Matemática
MTM 125 � Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias � 2020/2 � T 82 e T 87
Prof. Fabiana Lopes Fernandes
3a. Lista de Exercícios � 16/06/2021
INSTRUÇÕES: Resolver à mão, de maneira organizada, clara e objetiva, com letra legível, explicitando, em cada etapa,
os recursos utilizados.
• Entrega até o dia 23/06/2021 via Moodle, em um único arquivo pdf preferencialmente intitulado L3-Nome.pdf;
• Na primeira página, faça um cabeçalho contendo:
� o título �Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias � 3a. Lista de Exercícios�;
� Data, nome e número de matrícula.
• Em cada nova página da resolução, escreva seu nome à mão no topo.
Soluções de Equilíbrio Semiestável. Considere a equação diferencial autônoma y′ = f(y). Quando
uma solução de equilíbrio φ(t) = y0 tem a propriedade de que soluções por um lado aproximam-se da so-
lução de equilíbrio e, pelo outro, afastam-se dela, a solução de equilíbrio é dita semiestável. Isso acontece
quando o ponto de equilíbrio associado y0 é um ponto de sela.
1. Para cada equação autônoma y′ = f(y) a seguir, faça uma análise qualitativa:
(i) Determine os pontos de equilíbrio e classi�que-os, bem como as soluções de equilíbrio associ-
adas;
(ii) Determine para quais valores de y as soluções têm pontos de in�exão;
(iii) Esboce algumas curvas integrais da equação diferencial; isto é, esboce diversos grá�cos de
soluções no plano ty.
Entregar dois itens.
(a) y′ = −k(y − 1)2, k > 0
(b) y′ = y2(y2 − 1)
(c) y′ = y(1− y2)
(d) y′ = ay − b√y, a, b > 0
(e) y′ = y2(4− y2)
(f) y′ = y2(1− y)2
(g) y′ = 10 + 3y − y2
(h) y′ = y3 − 6y2 + 8y
2. Em cada caso, determine os pares ordenados (t0, y0) para os quais é possível garantir que o problema
de valor inicial {
y′ = f(t, y)
y(t0) = y0
tem solução única.
(a) f(t, y) =
√
y2 − 4;
(b) f(t, y) =
√
ty;
(c) f(t, y) =
y2
t2 + y2
; (d) f(t, y) = t
√
y2 − 1.
3. Determine o maior intervalo no qual cada PVI abaixo tem solução única sem resolver o problema.
(a)
{
(t2 − 1)y′ + (t− 2)y = t
y(0) = y0
(b)
{
(t2 − 1)y′ + ty = t2
y(2) = y0
(c)
{
(t2 − t)y′ + (t+ 1)y = et
y(−1) = y0
(d)
{
(t2 − t)y′ + (t+ 3)y = cos t
y(2) = y0
Bom trabalho!
1
RESPOSTAS
1. (a) y = 1 é semi-estável
(b) y = −1 é estável; y = 0 é semi-estável;
y = 1 é instável
(c) y = −1 e y = 1 são estáveis; y = 0 é
instável
(d) y = 0 é estável; y = b
2
a2
é instável
(e) y = 2 é estável; y = 0 é semi-estável;
y = −2 é instável
(f) y = 0 e y = 1 são semi estáveis
2