Aula 8 - MECÂNICA VIBRATÓRIA

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GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
DISCIPLINA: MECÂNICA VIBRATÓRIA
João Pessoa 
Abril de 2022
Professor: José Anselmo de Lucena Júnior.
Vibrações livres não amortecidas
(Movimento Harmônico)
SEMANA 8
• Movimento harmônico pode ser
representado convenientemente por
meio de um vetor 𝑂𝑃 de magnitude 𝐴
que gira a uma velocidade angular
constante 𝜔.
• A projeção da extremidade do vetor
𝑋 = 𝑂𝑃 sobre o eixo vertical é dada
por
Representação vetorial de movimento harmônico 05
𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
• O método vetorial de representação de
movimento harmônico requer à
descrição de ambos os componentes,
horizontal e vertical.
• É mais conveniente representar
movimento harmônico usando uma
representação por números
complexos.
• Qualquer vetor 𝑋 no plano 𝑥𝑦 pode ser
representada como um número
complexo:
onde 𝑖 = −1; 𝑎 e 𝑏 representam as
componentes 𝑥 e 𝑦 de 𝑋
respectivamente.
Representação com número complexo de movimento harmônico 06
𝑋 = 𝑎 + 𝑖𝑏
• As componentes 𝑎 e 𝑏 também são
denominados as partes real e
imaginária do vetor 𝑋.
• Se 𝐴 denota o módulo ou valor
absoluto do vetor 𝑋, e 𝜃 representa o
argumento ou o ângulo entre o vetor e
o eixo 𝑥, então 𝑋 também pode ser
expressa como:
Representação com número complexo de movimento harmônico 07
𝑋 = 𝐴 cos 𝜃 + 𝑖𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝐴𝑒𝑖𝜃
𝐴 = 𝑎2 + 𝑏2
𝜃 = tan−1
𝑏
𝑎
• Números complexos podem ser representados sem usar à notação vetorial,
como
• Adição, subtração, multiplicação e divisão de números complexos podem ser
executadas utilizando-se as regras comuns da álgebra.
• A soma e a diferença de 𝑧1 e 𝑧2 podem ser calculadas como
Representação com número complexo de movimento harmônico 08
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏
𝑧1 = 𝑎1 + 𝑖𝑏1 = 𝐴1𝑒
𝑖𝜃1
𝑧2 = 𝑎2 + 𝑖𝑏2 = 𝐴2𝑒
𝑖𝜃2
𝐴𝑗 = 𝑎𝑗
2 + 𝑏𝑗
2 ; 𝑗 = 1, 2,…
𝜃𝑗 = tan
−1
𝑏𝑗
𝑎𝑗
; 𝑗 = 1, 2,…
𝑧1 + 𝑧2 = 𝐴1𝑒
𝑖𝜃1 + 𝐴2𝑒
𝑖𝜃2 = 𝑎1 + 𝑖𝑏1 + 𝑎2 + 𝑖𝑏2 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑖 𝑏1 + 𝑏2
𝑧1 − 𝑧2 = 𝐴1𝑒
𝑖𝜃1 − 𝐴2𝑒
𝑖𝜃2 = 𝑎1 + 𝑖𝑏1 − 𝑎2 + 𝑖𝑏2 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑖 𝑏1 − 𝑏2
• Usando representação por números
complexos, o vetor girante 𝑋 pode ser
escrito como
onde 𝜔 denota a frequência circular
(rad/s) de rotação do vetor 𝑋 no sentido
anti-horário. A diferenciação do
movimento harmônico em relação ao
tempo dada pela equação acima,
resulta em
Operações com funções harmônicas 09
𝑋 = 𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡
𝑑𝑋
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝑖𝜔𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝑖𝜔𝑋
𝑑2𝑋
𝑑𝑡2
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑖𝜔𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡 = −𝜔2𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡 = −𝜔2𝑋
• Assim, o deslocamento, a velocidade e a aceleração podem ser expressos
como
Deslocamento = Re 𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝐴 cos𝜔𝑡
Velocidade = Re 𝑖𝜔𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡 = −𝜔𝐴 sen𝜔𝑡 = 𝜔𝐴 cos 𝜔𝑡 + 90°
Aceleração = Re −𝜔2𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡 = −𝜔2𝐴 cos𝜔𝑡 = 𝜔2𝐴 cos 𝜔𝑡 + 180°
onde Re denota a parte real.
• Essas quantidades são mostradas como vetores girantes na figura. Pode-se
ver que o vetor aceleração está deslocado de 90° em relação ao vetor
velocidade, e este está deslocado de 90° em relação ao vetor deslocamento.
Operações com funções harmônicas 10
• Se o deslocamento harmônico for dado originalmente como 𝑥 𝑡 = 𝐴 sen𝜔𝑡,
então, temos
Deslocamento = Im 𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝐴 sen𝜔𝑡
Velocidade = Im 𝑖𝜔𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝜔𝐴 cos𝜔𝑡 = 𝜔𝐴 sen 𝜔𝑡 + 90°
Aceleração = Im −𝜔2𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡 = −𝜔2𝐴 sen𝜔𝑡 = 𝜔2𝐴 sen 𝜔𝑡 + 180°
onde Im denota a parte imaginária.
Operações com funções harmônicas 11
• Funções harmônicas podem ser somadas vetorialmente.
• Se Re 𝑋1 = 𝐴1 cos𝜔𝑡 e Re 𝑋2 = 𝐴2 cos 𝜔𝑡 + 𝜃 então a magnitude do vetor
resultante 𝑋 é dada por
e o ângulo 𝛼 por
Uma vez que as funções originais são dadas como componentes reais, a
soma 𝑋1 + 𝑋2 é dada por Re 𝑋 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝛼
Operações com funções harmônicas 12
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2𝑐𝑜𝑠𝜃
2 + 𝐴2𝑠𝑒𝑛𝜃
2
𝛼 = tan−1
𝐴2𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐴1 + 𝐴2𝑐𝑜𝑠𝜃
• Funções harmônicas podem ser somadas vetorialmente.
• Representação vetorial de Re 𝑋1 = 𝐴1 cos𝜔𝑡 e Re 𝑋2 = 𝐴2 cos 𝜔𝑡 + 𝜃
Operações com funções harmônicas 13
• Adição de movimentos harmônicos (Método 1: Usando relações
trigonométricas)
• Determine a soma dos dois movimentos harmônicos 𝑥1(𝑡) = 10 cos𝜔𝑡 e
𝑥2(𝑡) = 15 cos(𝜔𝑡 + 2).
Solução:
Já que a frequência circular é a mesma para ambas, 𝑥1(𝑡) e 𝑥2(𝑡) ,
expressamos a soma como
Sabendo da relação trigonométrica
Tem-se que:
Operações com funções harmônicas (EXEMPLO) 14
𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝛼 = 𝑥1 𝑡 + 𝑥2(𝑡)
𝑥 𝑡 = 𝐴 (cos𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛𝛼) = 10 cos𝜔𝑡 + 15 cos(𝜔𝑡 + 2)
• Adição de movimentos harmônicos (Método 1: Usando relações
trigonométricas)
• Determine a soma dos dois movimentos harmônicos 𝑥1(𝑡) = 10 cos𝜔𝑡 e
𝑥2(𝑡) = 15 cos(𝜔𝑡 + 2).
Solução: Aplicando a relação trigonométrica na função 𝑥2(𝑡)
Ou seja,
Operações com funções harmônicas (EXEMPLO) 15
𝐴 (cos𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛𝛼) = 10 cos𝜔𝑡 + 15 (cos𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠2 − 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛2)
cos𝜔𝑡 (𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼) − 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 (𝐴𝑠𝑒𝑛𝛼) = 10 cos𝜔𝑡 + cos𝜔𝑡 (15𝑐𝑜𝑠2) − 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 (15𝑠𝑒𝑛2)
cos𝜔𝑡 (𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼) − 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 (𝐴𝑠𝑒𝑛𝛼) = cos𝜔𝑡 (10 + 15𝑐𝑜𝑠2)−𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 (15𝑠𝑒𝑛2)
• Adição de movimentos harmônicos (Método 1: Usando relações
trigonométricas)
• Determine a soma dos dois movimentos harmônicos 𝑥1(𝑡) = 10 cos𝜔𝑡 e
𝑥2(𝑡) = 15 cos(𝜔𝑡 + 2).
Solução: Igualando os coeficientes correspondentes de cos𝜔𝑡 e sen𝜔𝑡 de
ambos os lados,
obtemos
Operações com funções harmônicas (EXEMPLO) 16
𝐴 cos 𝛼 =10 + 15 cos 2
cos𝜔𝑡 (𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼) − 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 (𝐴𝑠𝑒𝑛𝛼) = cos𝜔𝑡 (10 + 15𝑐𝑜𝑠2)−𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 (15𝑠𝑒𝑛2)
𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 15𝑠𝑒𝑛 2
𝐴 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛼 2 + 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛼 2
𝜃 = tan−1
𝑏
𝑎
= tan−1
𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛼
𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛼
= tan−1
15 𝑠𝑒𝑛 2
10 + 15 cos 2
𝐴 = 10 + 15 cos 2 2 + 15 𝑠𝑒𝑛 2 2
𝐴 = 14,1476 𝜃 = 74,5966°
• Adição de movimentos harmônicos (Método 2: Usando vetores)
• Determine a soma dos dois movimentos harmônicos 𝑥1(𝑡) = 10 cos𝜔𝑡 e
𝑥2(𝑡) = 15 cos(𝜔𝑡 + 2).
Solução: Para um valor arbitrário de 𝜔𝑡, os movimentos harmônicos 𝑥1(𝑡) e
𝑥2(𝑡) podem ser denotados graficamente,
Operações com funções harmônicas (EXEMPLO) 17
A adição vetorial dá o vetor 
resultante 𝑥 𝑡 :
𝑥 𝑡 = 14,1462 cos 𝜔𝑡 + 74,6°
• Adição de movimentos harmônicos (Método 3: Usando representação por
números complexos)
• Determine a soma dos dois movimentos harmônicos 𝑥1(𝑡) = 10 cos𝜔𝑡 e
𝑥2(𝑡) = 15 cos(𝜔𝑡 + 2).
Solução: Os dois movimentos harmônicos podem ser denotados na forma de
números complexos:
A soma de 𝑥1(𝑡) e 𝑥2(𝑡) pode ser expressa como
onde 𝐴 e ∝ podem ser determinados pelas equações
Operações com funções harmônicas (EXEMPLO) 18
𝑥1 𝑡 = Re 𝐴1𝑒
𝑖𝜔𝑡 = Re 10𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑥2 𝑡 = Re 𝐴2𝑒
𝑖(𝜔𝑡+2) = Re 15𝑒𝑖(𝜔𝑡+2)
𝑥 𝑡 = Re 𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡+∝)
𝑧1 = 𝑎1 + 𝑖𝑏1 = 𝐴1𝑒
𝑖𝜃1
𝑧2 = 𝑎2 + 𝑖𝑏2 = 𝐴2𝑒
𝑖𝜃2
𝐴𝑗 = 𝑎𝑗
2 + 𝑏𝑗
2 ; 𝑗 = 1, 2,…
𝜃𝑗 = tan
−1
𝑏𝑗
𝑎𝑗
; 𝑗 = 1, 2,…
Referências Bibliográficas
 RAO, Singiresu. Vibrações Mecânicas. 4ª. Ed. Editora Pearson do Brasil,
2009.
 BALACHANDRAN, Balakumar; MARGRAB, Edward B. Vibrações mecânicas.
Tradução da 2. ed. Norte - americana. São Paulo: CENGAGE Learning,
2011.
Muito obrigado!