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Notas de aulas Altemir Jose´ Borges Curitiba Marc¸o de 2015 A leitura destas notas de aulas na˜o dispensa, em hipo´tese alguma, uma leitura atenta ao referencial bibliogra´fico desta disciplina. ii Suma´rio 1 Matrizes 1 1.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Tipos de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Matriz nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.3 Matriz coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.4 Matriz linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.5 Matriz diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.6 Matriz tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.7 Matriz identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.8 Matriz escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.9 Matriz triangular superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.10 Matriz triangular inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.11 Matriz sime´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.12 Matriz antisime´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.13 Matriz conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 iii 1.2.14 Matriz esparsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.15 Matriz diagonalmente dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Operac¸o˜es com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Igualdade de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Adic¸a˜o de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3 Multiplicac¸a˜o por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.4 Transposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.5 Multiplicac¸a˜o de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.6 Matrizes em blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 Equivaleˆncia de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.2 Ca´lculo da inversa empregando operac¸o˜es elementares . . . . . . . . 22 1.4.3 Ca´lculo da inversa empregando matrizes de blocos . . . . . . . . . . 24 1.5 Exec´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Determinantes 36 2.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Desenvolvimento por Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Exec´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Sistemas de equac¸o˜es lineares 42 3.1 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 iv 3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 Vetores 52 4.1 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.1.1 Segmento orientado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.1.2 Segmentos equipolentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.1.3 Classe de equivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2 Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2.1 Vetor nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.2 Vetor unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.3 Versor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.4 Vetor oposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3 Operac¸o˜es com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.1 Adic¸a˜o de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.2 Multiplicac¸a˜o por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3.3 Subtrac¸a˜o de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4 Expressa˜o cartesiana de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4.1 Expressa˜o cartesiana do versor de um vetor . . . . . . . . . . . . . 58 4.4.2 Operac¸o˜es com vetores na forma cartesiana . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5 Paralelismo de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 v 4.6 Coplanaridade de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.6.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.7 Cossenos diretores de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.7.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.8 Produto escalar ou interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.8.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.8.2 Interpretac¸a˜o geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.8.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.8.4 Expressa˜o cartesiana do produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.8.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.9 Produto vetorial ou externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.9.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.9.2 Interpretac¸a˜o geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.9.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.9.4 Expressa˜o cartesiana do produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.9.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.10 Produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.10.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.10.2 Interpretac¸a˜o geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.10.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.10.4 Expressa˜o cartesiana do produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.10.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 vi 4.11 Exerc´ıcios gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5 A reta no R3 77 5.1 Equac¸o˜es da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.1.1 Equac¸a˜o vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.1.2 Equac¸o˜s parame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.1.3 Equac¸o˜es sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.1.4 Equac¸o˜es reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6 O plano no R3 84 6.1 Equac¸a˜o do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1.1 Equac¸a˜o vetorial do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1.2 Equac¸a˜o geral do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 84 6.1.3 Equac¸a˜o do plano que passa por um ponto e e´ ortogonal a um vetor 85 6.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7 Espac¸o Vetorial 90 7.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.2 Subespac¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.2.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.2.3 Intersec¸a˜o de subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 vii 7.2.4 Soma de subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.3 Combinac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.4 Subespac¸o gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.5 Dependeˆncia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.6 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.7 Mudanc¸a de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8 Transformac¸o˜es Lineares 114 8.1 Definic¸a˜o e Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 8.2 O espac¸o vetorial L(U,V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.2.1 Operac¸o˜es em L(U,V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.3 Nu´cleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.4 Transformac¸o˜es lineares e matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 8.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 9 Autovalores e autovetores 131 9.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.2 Autovalores e autovetores de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.3 Polinoˆmio caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.4 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.5 Diagonalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 viii 10 Espac¸os com produto interno 141 10.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.2 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 10.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 10.3.1 Aˆngulo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 10.4 Processo de Ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.5 Complemento ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 11 Coˆnicas e qua´dricas 154 11.1 Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 11.1.1 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 11.1.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 11.1.3 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 11.2 Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.2.1 Elipso´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.2.2 Hiperbolo´ide de uma folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.2.3 Hiperbolo´ide de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 11.2.4 Parabolo´ide el´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 11.2.5 Parabolo´ide hiperbo´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 11.2.6 Cone el´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 11.2.7 Cilindro el´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 11.2.8 Cilindro hiperbo´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 ix 11.2.9 Cilindro parabo´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 11.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 12 Respostas 165 x Cap´ıtulo 1 Matrizes 1.1 Definic¸a˜o Uma matriz de ordem m× n sobre um corpo1 F e´ uma aplicac¸a˜o do conjunto X dado por X = {(i, j) ∈ N× N : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} em F. Representaremos as matrizes por letras maiu´sculas do alfabeto latino. Exemplo 1. A aplicac¸a˜o A : X→ R, onde X = {(i, j) ∈ N× N : 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 2} definida por A(1, 1) = 7, A(1, 2) = −1, A(2, 1) = 5, A(2, 2) = 0, A(3, 1) = 1 e A(3, 2) = −3 e´ uma matriz de ordem 3× 2 sobre o corpo R. Exemplo 2. A aplicac¸a˜o I : X→ R, onde X = {(i, j) ∈ N× N : 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3} definida por I(i, j) = 1 , i = j0 , i 6= j e´ uma matriz sobre R. Notac¸a˜o: Para facilitar os ca´lculos que envolvera˜o matrizes, em exerc´ıcios futuros, iremos representar uma matriz A de ordem m× n dispondo suas imagens (A(i, j)) em uma tabela composta de m linhas e n colunas, ladeadas por colchetes. Cabendo a trans- 1Corpo e´ uma terna (F,+, .), que satisfaz as seguintes propriedades:(A1)(x+y)+z = x+(y+z),(A2)x+ y = y + x,(A3)x + 0 = x,(A4)x + (−x) = 0, (M1)(xy)z = x(yz),(M2)xy = yx,(M3)x.1 = x,(M4)Para todo x 6= 0 existe y ∈ F tal que xy = 1(D)x(y + z) = xy + xz. 1 formada do par (i, j) a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna da tabela, ficando assim a matriz A representada genericamente por: Am×n = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... am1 am2 · · · amn = [aij]m×n 1.2 Tipos de matrizes Existem matrizes que em determinados problemas tem forma ou propriedades espe- ciais, dentre essas matrizes podemos citar: 1.2.1 Matriz quadrada Uma matriz Am×n e´ dita quadrada quando m = n. Exemplo: A = 1 −3 0 pi √ 5 2 0 8 3 1.2.2 Matriz nula Uma matriz Am×n e´ chamada de matriz nula quando todos os seus elemento sa˜o iguais a zero, isto e´, aij = 0, ∀ i e j. Exemplo: A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1.2.3 Matriz coluna Uma matriz Am×n e´ chamada de matriz coluna quando possuir somente uma coluna, ou seja, n = 1. Exemplo: A = 1 −pi 0 √ 6 1.2.4 Matriz linha Uma matriz Am×n e´ chamada de matriz linha quando possuir somente uma linha, ou seja, m = 1. Exemplo: A = ( 1 −5 2 3 ) 1.2.5 Matriz diagonal E´ uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0 para todo i 6= j, isto e´, os elementos que na˜o esta˜o na diagonal principal2 sa˜o nulos. Exemplo: A = 1 0 0 0 √ 3 0 0 0 3 , B = 0 0 0 1 1.2.6 Matriz tridiagonal Uma matriz quadrada A e´ chamada de tridiagonal se os seus elementos sa˜o nulos, exceto aqueles que se encontram sobre a diagonal principal e sobre as diagonais imedia- tamente adjacentes. 2A diagonal principal e´ formada pelos elementos aij em que i = j. 3 Exemplo: A = 1 −5 0 0 0 2 8 −1 0 0 0 1 −3 4 0 0 0 6 9 5 0 0 0 1 2 1.2.7 Matriz identidade E´ uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 1 , i = j0 , i 6= j , isto e´, os elementos da diagonal principal sa˜o iguais a 1 e os que na˜o esta˜o na diagonal principal sa˜o nulos. As matrizes identidades de ordem m× n sera˜o denotadas por In. Exemplo: I3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , I2 = 1 0 0 1 1.2.8 Matrizescalar E´ uma matriz quadrada (m = n) onde aij = k , i = j0 , i 6= j , isto e´, os elementos da diagonal principal sa˜o iguais a um elemento k e os que na˜o esta˜o na diagonal principal sa˜o nulos. Exemplo: E = 3 0 0 0 3 0 0 0 3 1.2.9 Matriz triangular superior E´ uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0 para todo i > j, ou seja, e´ uma matriz quadrada na qual os elementos que esta˜o abaixo da diagonal principal sa˜o iguais a zero. Exemplo: S = 3 −2 5 0 2 −4 0 0 pi 4 1.2.10 Matriz triangular inferior E´ uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0 para todo i < j, ou seja, e´ uma matriz quadrada na qual os elementos que esta˜o acima da diagonal principal sa˜o iguais a zero. Exemplo: T = 3 0 0 7 2 0 5 2 pi 1.2.11 Matriz sime´trica E´ uma matriz quadrada (m = n) onde aij = aji para todo i e j. Exemplo: S = 3 −5 0 9 −5 2 2 8 0 2 pi 4 9 8 4 3 1.2.12 Matriz antisime´trica E´ uma matriz quadrada (m = n) onde aij = −aji para todo i e j. Exemplo: A = 0 −5 0 9 5 0 −2 −8 0 2 0 −4 −9 8 4 0 1.2.13 Matriz conjugada Considere Am×n uma matriz complexa, isto e´, seus elementos [aij] sa˜o nu´meros com- plexos, chama-se matriz conjugada de A a` matriz A∗ = [aij], onde aij e´ o conjugado complexo de aij. Propriedade: i) (A∗)∗ = A 5 1.2.14 Matriz esparsa E´ uma matriz que e´ formada por poucos elementos na˜o nulos. Exemplo: T = 3 0 0 0 0 0 2 0 7 0 0 0 0 0 −1 E´ importante citar que existira´ uma grande economia computacional se somente os elementos na˜o nulos da matriz forem armazenados. 1.2.15 Matriz diagonalmente dominante Uma matriz A e´ diagonalmente dominante se |ai,i| > n∑ j=1,j 6=i |aij|, i = 1, 2, . . . , n, isto e´, o mo´dulo do elemento da matriz na diagonal principal e´ maior que a soma dos mo´dulos de todos os demais valores (na˜o-diagonais) daquela linha. Exemplo: T = 13 0 2 7 9 0 5 2 8 1.3 Operac¸o˜es com matrizes 1.3.1 Igualdade de matrizes Duas matrizes Am×n = [aij] e Bm×n = [bij] sera˜o iguais, denotado por A = B, se ai,j = bi,j para todo 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Exemplo: As matrizes A = 0 −5 1 −5 0 2 4 2 0 e B = 0 x 1 −5 0 y z 2 0 sera˜o iguais se x = −5, y = 2 e z = 4. 6 1.3.2 Adic¸a˜o de matrizes Definic¸a˜o: Dadas as matrizes Am×n = [aij] e Bm×n = [bij] chama-se adic¸a˜o de A com B, denotado por A+B, a` matriz Cm×n = [cij] tal que cij = aij + bij para todo 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Exemplo: Sejam A = 0 −5 1 9 −5 0 2 8 4 2 0 −2 e B = 1 1 −1 3 2 3 1 4 −1 5 1 1 , enta˜o, A+B = 0 + 1 −5 + 1 1 + (−1) 9 + 3 −5 + 2 0 + 3 2 + 1 8 + 4 4 + (−1) 2 + 5 0 + 1 −2 + 1 = 1 −4 0 12 −3 3 3 12 3 7 1 −1 . Note que a adic¸a˜o de matrizes somente esta´ definida quando a matrizes a serem so- madas possu´ırem a mesma ordem. Propriedades: Sejam as matrizes Am×n, Bm×n e Cm×n, enta˜o: i) A+B = B + A (propriedade comutativa) ii) A+ (B + C) = (A+B) + C (propriedade associativa) iii) A+ 0 = A (existeˆncia do elemento neutro), onde 0 e´ a matriz nula de ordem m× n. iv) (A+B)∗ = A∗ +B∗ 1.3.3 Multiplicac¸a˜o por escalar Definic¸a˜o: Sejam uma matriz Am×n = [aij] e um escalar k. Chama-se multiplicac¸a˜o do escalar k pela matriz A, denotado por kA, a` matriz Pm×n = [pij] tal que pij = k × aij para todo 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. 7 Exemplo: Sejam A = 2 −1 1 2 3 0 −1 5 e k = 2, enta˜o: 2A = 2× 2 2× (−1) 2× 1 2× 2 2× 3 2× 0 2× (−1) 2× 5 = 4 −2 2 4 6 0 −2 10 Propriedades: Sejam as matrizes Am×n e Bm×n e os escalares a e b, enta˜o: i) a(A+B) = aA+ aB (propriedade distributiva em relac¸a˜o a` soma de matrizes) ii) (a+ b)A = aA+ bA (propriedade distributiva em relac¸a˜o a` soma de escalares) iii) a(bA) = (ab)A iv) a0 = 0 v) 0A = 0 vi) A+ (−A) = 0 vii) (−1)A = −A viii) (λA)∗ = λA∗ Definic¸a˜o: Dadas as matrizes Am×n = [aij] e Bm×n = [bij] chama-se diferenc¸a de A com B, nesta ordem, denotado por A−B, como A−B = A+ (−B). Exemplo: Sejam A = 0 −2 −1 3 1 1 2 −2 4 e B = 2 −1 3 0 5 1 1 −1 4 , enta˜o, A−B = 0− 2 −2 + 1 −1− 3 3− 0 1− 5 1− 1 2− 1 −2 + 1 4− 4 = −2 −1 −4 3 −4 0 1 −1 0 . 1.3.4 Transposic¸a˜o 8 Definic¸a˜o: Dada uma matriz Am×n = [aij] chama-se transposta de A, denotada por AT , a` matriz AT = [bij]n×m tal bij = aji. Propriedades: Sejam as matrizes Am×n e Bm×n e o escalar k, enta˜o: i) (A+B)T = AT +BT ii) (AT )T = A iii) (kA)T = k.AT Definic¸a˜o: Uma matriz complexa Am×n = [aij] e´ chamada de hermitiana ou auto adjunta se A = (A∗)T . 1.3.5 Multiplicac¸a˜o de matrizes Definic¸a˜o: Dadas as matrizes Am×n = [aij] e Bn×p = [bjk] define-se o produto das matrizes A por B nesta ordem, denotado por AB, a` matriz Cm×p = [cik] com cik = n∑ j=1 aijbjk (1.1) Exemplo 1. Efetue o produto AB onde A = 2 −1 1 3 e B = 4 2 0 5 1 3 . A ordem da matriz produto C = A2×2B2×3 e´ C2×3, ou seja, C = c11 c12 c13 c21 c22 c23 . Utilizando a definic¸a˜o de produto matricial dada em 1.1 cik = n∑ j=1 aijbjk, tem-se: c11 = 2∑ j=1 a1jbj1 = a11b11 + a12b21 = 2× 4 + (−1)× 5 = 8− 5 = 3 c12 = 2∑ j=1 a1jbj2 = a11b12 + a12b22 = 2× 2 + (−1)× 1 = 4− 1 = 3 9 c13 = 2∑ j=1 a1jbj3 = a11b13 + a12b23 = 2× 0 + (−1)× 3 = 0− 3 = −3 c21 = 2∑ j=1 a2jbj1 = a21b11 + a22b21 = 1× 4 + 3× 5 = 4 + 15 = 19 c22 = 2∑ j=1 a2jbj2 = a21b12 + a22b22 = 1× 2 + 3× 1 = 2 + 3 = 5 c23 = 2∑ j=1 a2jbj3 = a21b13 + a22b23 = 1× 0 + 3× 3 = 0 + 9 = 9 Assim C = AB = 3 3 −3 19 5 9 . Exemplo 2. O resultado do produto 1 −2 2 3 1 −1 2 2 −3 4 1 2 e´ igual a 6 11 4 , que pode ser escrito como: 6 11 4 = 4 1 3 2 + 1 −2 1 2 + 2 2 −1 −3 . Nesse caso diz-se que a matriz 6 11 4 e´ uma combinac¸a˜o linear das matrizes 1 3 2 , −2 1 2 e 2 −1 −3 , que se pode generalizar: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... am1 am2 · · · amn . x1 x2 ... xn = a11 a21 ... am1 x1 + a12 a22 ... am2 x2 + · · · · · · a1n a2n ... amn xn 10 Exemplo 3. Sejam as matrizesA23×5 = [aij] eB5×12 = [bij], em que aij = 0, se i 6= ji, se i = j e bij = 1, se i 6= ji2, se i = j , determine o elemento c34 da matriz produto AB. Empregando a definic¸a˜o de produto matricial dada em 1.1 cik = n∑ j=1 aijbjk, escreve-se: c34 = 5∑ j=1 a3jbj4 = a31b14 + a32b24 + a33b34 + a34b44 + a35b54 = 0× 1 + 0× 1 + 3× 1 + 0× 42 + 0× 1 = 3 Definic¸a˜o: Se A e´ uma matriz quadrada escreve-se A2 = A × A, A3 = A × A × A e assim por diante. Considera-se A0 = I e A1 = A. Exemplo 4. Dada a func¸a˜o f : R2×2 → R2×2 tal que f(x) = x2 − 3x + 2. Determine f(A) para A = 1 0 4 2 . 3 f(A) = A2 − 3A+ 2I f(A) = A× A− 3A+ 2I f(A) = 1 0 4 2 × 1 0 4 2 − 3 1 0 4 2 + 2 1 0 0 1 f(A) = 1 0 12 4 − 3 0 12 6 + 2 0 0 2 f(A) = 0 0 0 0 Observac¸o˜es sobre o produto matricial a) A associatividade. 3R2×2 e´ o conjunto de todas as matrizes reais de ordem 2× 2 e, f : R2×2 → R2×2 e´ uma func¸a˜o com domı´nio e contra-domı´nio iguais a R2×2. 11 Sejam A, B e C matrizes taisque os seguintes produtos existam, enta˜o A(BC) = (AB)C. b) A na˜o comutatividade. Se as matrizes A e B sa˜o tais que AB = BA dizemos que A e B comutam, por exemplo: • As matrizes A = 2 5 3 4 e B = 1 0 0 1 comutam. • Pore´m A = 2 5 3 4 e B = 1 1 0 1 na˜o comutam. Consequentemente dizemos o produto de matrizes na˜o e´ comutativo, uma vez que na˜o se tem AB = BA para todas as matrizes A e B. c) A distributividade em relac¸a˜o a` adic¸a˜o. Sendo A, B e C matrizes de ordens convenientes, enta˜o: • A(B + C) = AB + AC (distributividade a` direita) • (B + C)A = BA+ CA (distributividade a` esquerda) c) A lei do cancelamento. Uma igualdade X = Y , com X e Y matrizes de ordem m×n, pode ser multiplicada a` esquerda por uma matriz Pp×m, obtendo PX = PY . Analogamente poder´ıamos multiplicar ambos os membros da igualdade X = Y a` direita por uma matriz Qn×q chegando a XQ = Y Q. Ja´ a rec´ıproca na˜o e´ va´lida, isto e´, se XQ = Y Q na˜o implica em X = Y , analoga- mente PX = PY tambe´m na˜o implica em X = Y . Tambe´m AB = 0 na˜o implica em termos A = 0 ou B = 0. Isto e´ a lei do cancelamento para matrizes na˜o e´ va´lida. Teorema : Se Am×n e Bn×p enta˜o (AB)T = BTAT . Demonstrac¸a˜o: Escreva A = [aij]m×n e B = [bjk]n×p. O elemento cik de AB e´ dado por cik = n∑ j=1 aijbjk. 12 Considere c′ik como o elemento gene´rico de (AB) T , assim c′ik = n∑ j=1 akjbji. Mas o elemento b′ij de B T e´ b′ij = bji, logo o elemento c ′ ik de B TAT e´ c′ik = ∑n j=1 b ′ ija ′ jk = ∑n j=1 bjiakj, logo c′ik de (AB) T o mesmo elemento c′ik de B TAT . Definic¸a˜o: Uma matriz Am×m = [aij] e´ chamada de idempotente se A2 = A. Definic¸a˜o: Uma matriz Am×m = [aij] e´ chamada de nilpotente de ı´ndice k se Ak = 0 e Ak−1 6= 0, sendo k um inteiro positivo. 1.3.6 Matrizes em blocos Uma matriz A pode-se particionada em matrizes menores chamadas blocos ou celas. A matriz A assim escrita e´ chamada matriz em blocos. Exemplo: A matriz A = −2 3 −1 0 0 1 −3 1 0 0 −1 2 −1 4 7 pode ser particionada em blocos, por exemplo, como A = −2 3 −1 0 0 1 −3 1 0 0 −1 2 −1 4 7 = X Y Z W , onde X = −2 3 −1 1 −3 1 , Y = 0 0 0 0 , Z = ( −1 2 −1 ) e W = ( 4 7 ). A vantagem da partic¸a˜o de uma matriz em blocos, vem do fato que as operac¸o˜es sobre matrizes em blocos pode se feito operando-se os blocos, como se fossem elementos das matrizes. Sejam as matrizes de blocosA = A11 A12 · · · A1p A21 A22 · · · A2p · · · · · · · · · · · · Am1 Am2 · · · Amp , B = B11 B12 · · · B1n B21 B22 · · · B2n · · · · · · · · · · · · Bp1 Bp2 · · · Bpn 13 e C = C11 C12 · · · C1p C21 C22 · · · C2p · · · · · · · · · · · · Cm1 Cm2 · · · Cmp , enta˜o: a) kA = kA11 kA12 · · · kA1p kA21 kA22 · · · kA2p · · · · · · · · · · · · kAm1 kAm2 · · · kAmp b) A+ C = A11 + C11 A12 + C12 · · · A1p + C1p A21 + C21 A22 + C22 · · · A2p + C2p · · · · · · · · · · · · Am1 + Cm1 Am2 + Cm2 · · · Amp + Cmp c) AB = Q11 Q12 · · · Q1n Q21 Q22 · · · Q2n · · · · · · · · · · · · Qm1 Qm2 · · · Qmn , em que Qij = Ai1B1j + Ai2B2j + · · ·+ AipBpj Exemplo: Empregando matrizes de blocos efetueAB, onde A = −2 3 0 0 0 1 −3 0 0 0 0 0 −1 4 7 0 0 1 1 2 , B = −2 3 0 0 1 −3 0 0 −1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 2 −1 . AB = −2 3 0 0 0 1 −3 0 0 0 0 0 −1 4 7 0 0 1 1 2 . −2 3 0 0 1 −3 0 0 −1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 2 −1 = 14 AB = −2 3 0 0 0 1 −3 0 0 0 0 0 −1 4 7 0 0 1 1 2 . −2 3 0 0 1 −3 0 0 −1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 2 −1 = X Y Z W R T E F G = X.E + Y.F + Z.G W.E +R.F + T.G = X.E + 0+ 0 0+R.F + T.G = X.E R.F + T.G = X.E R.F + 0 T.G = 4 + 3 −6− 9 0 0 −2− 3 3 + 9 0 0 1 −2 4 4 −1 2 1 1 + 0 0 0 0 −0 0 0 0 0 0 14 −7 0 0 4 −2 = 7 −15 0 0 −5 12 0 0 1 −2 18 −3 −1 2 5 −1 1.4 Matriz inversa Definic¸a˜o: Dada uma matriz Am×n, dizemos que uma matriz Gn×m e´ uma inversa a` esquerda da matriz A se e somente se GA = I. Analogamente Hn×m e´ uma inversa a` direita de A se AH = I. Exemplo: Determine, se existirem, as inversas a` esquerda e a` direita da matriz A = 1 0 2 −1 1 1 15 (i) Inversa a` esquerda (G): Como a matriz A possui ordem 2 × 3 a matriz inversa a` esquerda, caso exista, tera´ ordem 3× 2, assim considere: G = a b c d e f , tal que GA = I, ou ainda: a b c d e f 1 0 2 −1 1 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a− b = 1 b = 0 2a+ b = 0 c− d = 0 d = 1 2c+ d = 0 e− f = 0 f = 0 2e+ f = 1 , que e´ um sistema de equac¸o˜es lineares incompat´ıvel, assim, a matriz A na˜o possui inversa a` esquerda. (ii) Inversa a` direita (H): Como a matriz A possui ordem 2×3 a matriz inversa a` direita, caso exista, tera´ ordem 3× 2, assim considere: H = a b c d e f , tal que AH = I, ou ainda: 16 1 0 2 −1 1 1 a b c d e f = 1 0 0 1 a+ 2e = 1 b+ 2f = 0 −a+ c+ e = 0 −b+ d+ f = 1 =⇒ =⇒ a = 1− 2e b = −2f Substituindo as duas u´ltimas igualdades nas equac¸o˜es (3) e (4) iniciais, vem: a = 1− 2e b = −2f −(1− 2e) + c+ e = 0⇒ c = 1− 3e −(−2f) + d+ f = 1⇒ d = 1− 3f e ∈ R f ∈ R Como o sistema apresentou-se indeterminado, existem va´rias matrizes inversas a` di- reita da matriz A e, escreve-se: H = 1− 2e −2f 1− 3e 1− 3f e f , e ∈ R, f ∈ R Veja que a medida que forem atribu´ıdos valores aos paraˆmetros e e f , sera˜o obtidas as diversas matrizes inversas a` direita. Teorema: Se existirem inversas a` esquerda e a` direita de uma matriz quadrada A elas sera˜o iguais e essa inversa sera´ u´nica. demonstrac¸a˜o: Sejam G e H as inversas de A a` esquerda e a` direita, respectivamente, assim GA = I e AH = I. Mas G = G.I = G(AH) = (GA)H = I.H = H. Para provar a unicidade suponha que exista G′ que tambe´m seja uma inversa a` esquerda de A, logo como feito anteriormente chega-se a G′ = H enta˜o G′ = G, ou seja a inversa e´ u´nica. Teorema: Seja Am×n uma matriz retangular, m 6= n. Se m < n A na˜o possui inversa a` esquerda e se m > n A na˜o possuira´ inversa a` direita. Observac¸a˜o. Veja que o teorema acima nada afirma com respeito a existeˆncia de uma matriz inversa, somente afirma que em determinado lado na˜o havera´ inversa. 17 Definic¸a˜o: Se existirem inversas a` esquerda e a` direita de uma matriz A ela sera´ dita invers´ıvel, regular ou na˜o singular e essa inversa (u´nica) sera´ denotada por A−1. Teorema: Uma matriz e´ invers´ıvel se e somente se for quadrada e seu determinante for diferente de zero. Teorema: Se A e B forem matrizes invers´ıveis, enta˜o: i) (A−1)−1 = A ii) (AT )−1 = (A−1)T iii) (AB)−1 = B−1A−1 iv) Para todo k ∈ R∗ a matriz k.A e´ invers´ıvel e (k.A)−1 = 1 k A−1 v) A−n = (A−1)n = A−1.A−1 · · ·A−1 Prova: (i) (A−1)−1 = X ⇒ (A−1)(A−1)−1 = A−1X ⇒ I = A−1X ⇒ A = X. Propriedades : Se A e B forem matrizes invers´ıveis, enta˜o: i) Se A e´ uma matriz invers´ıvel, enta˜o A.AT e AT .A sa˜o tambe´m invers´ıveis. ii) Se A e´ uma matriz sime´trica invers´ıvel, enta˜o A−1 e´ sime´trica. iii) A inversa de uma matriz triangular inferior e´ uma matriz triangular inferior.iv) A inversa de uma matriz triangular superior e´ uma matriz triangular superior. 1.4.1 Equivaleˆncia de matrizes Definic¸a˜o: Chamam-se operac¸o˜es elementares por linhas de uma matriz A = [aij] de ordem m× n: op.1) A permuta de duas linhas de A. 18 op.2) A multiplicac¸a˜o de uma linha por um escalar na˜o nulo. op.3) A substituic¸a˜o de uma linha pela sua soma com outra linha pre´multiplicada por um escalar. Definic¸a˜o: Uma matriz B diz-se equivalente por linhas a uma matriz A se e somente se puder ser obtida, a partir de A, mediante a aplicac¸a˜o de um nu´mero finito de operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A. Exemplo. Dada a matriz A = 1 2 −1 −1 1 3 1 −1 0 determine uma matriz T , triangular superior que seja equivalente por linhas a A. Como foi pedido para se determinar uma matriz equivalente por linhas a` matriz A, basta escalonar, por linhas a matriz A ate´ obter-se uma matriz triangular superior. 1 2 −1 −1 1 3 1 −1 0 L2 → L2 + L1 ⇒ 1 2 −1 0 3 2 1 −1 0 1 2 −1 0 3 2 1 −1 0 L3 → L3 − L1 ⇒ 1 2 −1 0 3 2 0 −3 1 1 2 −1 0 3 2 0 −3 1 L3 → L3 + L2 ⇒ 1 2 −1 0 3 2 0 0 3 Logo B = 1 2 −1 0 3 2 0 0 3 e´ uma matriz triangular superior equivalente por linhas a` matriz A. Exemplo. Idem para A = 2 −1 2 1 −1 0 3 −2 2 19 2 −1 2 1 −1 0 3 −2 2 L1 ↔ L2 ⇒ 1 −1 0 2 −1 2 3 −2 2 1 −1 0 2 −1 2 3 −2 2 L2 → L2 − 2L1 L3 → L3 − 3L1 ⇒ ⇒ 1 −1 0 0 1 2 0 1 2 1 −1 0 0 1 2 0 1 2 L3 → L3 − L2 ⇒ 1 −1 0 0 1 2 0 0 0 e, C = 1 −1 0 0 1 2 0 0 0 e´ uma matriz triangular superior equivalente por linhas a` matriz A. Observac¸a˜o: E´ importante observar que as operac¸o˜es elementares op.1 e op.2 nos fornecem outra operac¸a˜o, na˜o elementar, mas que pode ser de muita utilidade: Li → cLi + dLj Definic¸a˜o: Uma matriz m× n e´ dita escalonada, ou em forma de escada, se: a) As linhas nulas ocorrem depois das linhas na˜o nulas. b) Se o primeiro na˜o nulo de uma linha ocorrer na coluna k enta˜o o primeiro elemento na˜o nulo da linha seguinte devera´ estar depois da coluna k. Definic¸a˜o: Chama-se matriz escalonada reduzida por linhas a uma matriz A tal que: a) A matriz e´ escalonada. b) Cada coluna que conte´m o primeiro elemento na˜o nulo de alguma linha tem todos os outros seus elementos iguais a zero. c) O primeiro elemento na˜o nulo de linha e´ 1. 20 Teorema: Toda matriz Am×n sobre um corpo F e´ equivalente por linhas a uma u´nica matriz B, escalonada reduzida por linhas. Definic¸a˜o: Chama-se matriz elementar a` matriz que e´ obtida a partir da matriz identidade utilizando-se uma u´nica operac¸a˜o elementar sobre as linhas da matriz identi- dade. Exemplos: A = 1 0 0 1 1 0 0 0 1 , B = 1 0 0 2 sa˜o matrizes elementares, enquanto que C = 1 0 1 2 e D = 1 0 0 1 2 0 0 0 1 na˜o sa˜o matrizes elementares. Teorema: Matrizes elementares sa˜o invers´ıveis e suas inversas sa˜o matrizes elementares do mesmo tipo. Teorema: Qualquer operac¸a˜o elementar sobre as linhas de uma matriz Am×n pode se obtida multiplicando-se a matriz A pela matriz elementar E, a` esquerda, onde E e´ obtida aplicando-se a` matriz identidade a operac¸a˜o elementar desejada. Exemplo: 1 0 1 1 3 −5 1 2 = 3 −5 4 −3 e´ o mesmo que aplicar a operac¸a˜o elementar L2 → L2 + L1. Teorema:Uma matriz Am×n e´ equivalente por linhas a uma matriz Bm×n se e somente se existe uma matriz P produto de matrizes elementares, onde A = PB. Teorema: Uma matriz A quadrada sera´ invers´ıvel se e somente se for equivalente por linhas a` matriz identidade. demonstrac¸a˜o: (⇒) Seja A invers´ıvel e B a matriz escalonada reduzida por linhas equivalente a A. Enta˜o existe uma matriz P , que e´ produto de matrizes elementares, tal que B = PA. Pelo fato de A ser invers´ıvel tem-se det(A) 6= 0 e como P e´ o produto de matrizes elementares tem-se tambe´m que det(P ) 6= 0, logo det(B) 6= 0 o que implica que B na˜o possui linhas 21 nulas e assim B = I. Enta˜o A e´ equivalente por linhas a` matriz identidade. ⇐ Sendo A equivalente por linhas a` matriz identidade, existe P , produto de matrizes elementares, tal que I = PA. Enta˜o det(I) = det(PA) ou ainda det(I) = det(P )det(A), mas det(I) = 1 logo det(A) 6= 0 e assim A e´ invers´ıvel. 1.4.2 Ca´lculo da inversa empregando operac¸o˜es elementares Como consequeˆncia do teorema anterior pode-se escrever o seguinte algoritmo para a determinac¸a˜o da inversa de uma matriz quadrada A. Algoritmo: Devera´ ser constru´ıda uma matriz de blocos [A ... I] e em seguida apli- camos operac¸o˜es elementares sobre as linhas desta matriz de blocos com o objetivo de conduzir a matriz A a` matriz identidade. Assim no lugar da matriz A teremos a matriz identidade e no lugar da matriz identidade teremos a inversa de A. Exemplo 1. Determine, utilizando o algoritmo anterior, a inversa da matriz 1 0 0 1 2 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 L2 → L2 − L1 1 0 0 1 0 0 0 2 0 −1 1 0 0 0 1 0 0 1 L2 → L22 1 0 0 1 0 0 0 1 0 −1/2 1/2 0 0 0 1 0 0 1 A−1 = 1 0 0 −1/2 1/2 0 0 0 1 22 Exemplo 2. Determine a matriz inversa de 0 1 2 1 2 1 −1 3 8 . 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 1 0 −1 3 8 0 0 1 L2 ↔ L1 1 2 1 0 1 0 0 1 2 1 0 0 −1 3 8 0 0 1 L3 → L3 + L1 1 2 1 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 5 9 0 1 1 L1 → L1 − 2L2 L3 → L3 − 5L2 1 0 −3 −2 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 −1 −5 1 1 L1 → L1 − 3L3 L2 → L2 + 2L3 1 0 0 13 −2 −3 0 1 0 −9 2 2 0 0 −1 −5 1 1 L3 → −L3 1 0 0 13 −2 −3 0 1 0 −9 2 2 0 0 1 5 −1 −1 A−1 = 13 −2 −3 −9 2 2 5 −1 −1 23 1.4.3 Ca´lculo da inversa empregando matrizes de blocos Seja A uma matriz de ordem n× n da forma A = P Q R S , em que P tem ordem k×k, S e´ de ordem (n−k)× (n−k), Q e´ de ordem k× (n−k) e R tem ordem (n−k)×k. Supondo que P−1 e´ conhecida ou e´ facilmente determinada, pode mostrar que A−1 pode ser obtida atrave´s de um procedimento eficiente utilizando somente A−1. Considere que A−1 = X Y Z W , assim pode-se escrever: P Q R S X Y Z W = Ik 0 0 In−k , em que Ik e In−k sa˜o respectivamente as matrizes identidade de ordem k e n−k, e tem-se PX +QZ = Ik (1) PY +QW = 0 (2) RX + SZ = 0 (3) RY + SW = In−k (4) Isolando Y na equac¸a˜o (2) tem-se Y = −P−1QW que substitu´ıdo em (4) resulta W = (S −RP−1Q)−1. Agora a partir de (1) escreve-se X = P−1 − P−1(QZ) e levado em (3) implica em Z = WRP−1, assim: W = (S −RP−1Q)−1 Y = P−1QW Z = −WRP−1 X = P−1 − P−1(QZ) . Exemplo: Determine, empregando matrizes de blocos, a inversa de A = 1 0 3 −1 0 0.5 4 −2 5 −3 −10 7 6 −4 −14 10.5 . 24 Tome: P = 1 0 0 0.5 , Q = 3 −1 4 −2 ,R = 5 −3 6 −4 e S = −10 7 −14 10.5 . Como P−1 = 1 0 0 2 escreve-se P−1Q = 3 −1 8 −4 Empregando as relac¸o˜es deduzidas anteriormente, vem: W = (S −RP−1Q)−1 = −1 0 0 2 Y = P−1QW = 3 2 8 8 Z = −WRP−1 = 5 −6 −12 16 X = P−1 − P−1(QZ) = −26 34 −88 114 assim, A−1 = X Y Z W = −26 34 3 2 −88 114 8 8 5 −6 −1 0 −12 16 0 2 . 1.5 Exec´ıcios1. Escreva em forma de tabela as seguintes matrizes: (a) A2×3 = [aij] onde aij = i2 − j (b) B3×3 = [bij] onde bij = 1 , i = j0 , i 6= j (c) C3×1 = [cij] onde cij = i+ j (d) D1×4 = [dij] onde dij = i , i = j−j , i 6= j 2. Determine a matriz transposta de: (a) D1×4 = [dij] onde dij = i , i = j−j , i 6= j 25 (b) I3×3 = [iij] onde iij = i , i = j0 , i 6= j (c) E3×2 = [eij] onde eij = i+ j , i = j1− j , i 6= j 3. Resolva a equac¸a˜o matricial x y 8 z = 3 x+ 1 8 x+ y 4. Determine x e y em x 2 1 0 + −1 7 4 3 = −7 y 5 3 5. Dadas as matrizes A = y + 4 2 9 x2 + 4 e B = 12 2 9 53 calcular x e y de modo que A = B. 6. Dadas as matrizesA = 2 3 8 −5 9 −6 7 4 −1 , B = −3 7 1 −4 2 5 0 9 4 e C = 7 −8 3 4 −3 2 9 −5 1 . Calcular: (a) A+B (b) C − A (c) 3A− 2B + 4C 7. Fornec¸a um exemplo de uma matriz de ordem 3 × 3 que seja antisime´trica. (nota: uma matriz e´ dita antisime´trica se AT = −A) 8. Seja A = a b c d e f g h i . Calcule: (a) A− AT (b) A+ AT 9. Dadas as matrizes A = 1 2 4 −2 , B = 2 −2 5 0 e C = 0 1 2 −1 , deter- mine X tal que 3X +B = 2A− C. 26 10. Dadas as matrizes A = 1 0 4 2 e B = 0 2 2 1 resolva o sistema 2X + Y = 3A−BX − 2Y = 5A+ 2B . 11. Verifique se o produto A.AT e´ uma matriz sime´trica, sendo A = −2 3 −1 1 −3 1 −1 2 −1 12. Dadas as matrizes A = 4 −5 3 −7 −2 4 e B = −4 6 −3 −3 5 8 . Calcule (AB)T e BTAT verificando a igualdade (AB)T = BTAT 13. Verdadeiro ou falso? Se a afirmac¸a˜o for verdadeira prove, caso falsa deˆ um con- traexemplo. (a) A matriz nula O3×3 e´ uma matriz diagonal. (b) A matriz identidade I3×3 e´ triangular inferior. (c) Toda matriz escalar e´ triangular superior. (d) O produto de duas matrizes quadradas sempre existe. (e) Existem matrizes quadradas na˜o nulas que elevadas ao quadrado resultam na matriz nula. (f) AX = AY implica em X = Y para qualquer matriz A. (g) (A−B)(A+B) = A2 −B2 (h) Se A e´ uma matriz triangular superior enta˜o AT e´ triangular inferior. (i) Seja An×n enta˜o AAT e´ sime´trica. (j) O produto de matrizes triangulares inferiores (superiores) de mesma ordem e´ outra matriz triangular inferior (superior) de mesma ordem. (k) (A+B)2 = (A+B)(A+B) (l) Uma matriz escalar de ordem m×m comuta com todas as matrizes de ordem m×m. 27 14. Deˆ um exemplo de uma matriz nilpotente de ı´ndice 4. 15. Determine X na equac¸a˜o matricial AXB = C, sabendo que PA = BQ = I. 16. Dada a func¸a˜o f : R2×2 → R tal que f(x) = 2x2 − x + 4. Calcule f(A) sendo −1 2 3 1 17. Uma rede de comunicac¸a˜o tem cinco locais com transmissores de poteˆncias distin- tas. Estabelecemos que aij = 1, na matriz a seguir, significa que a estac¸a˜o i pode transmitir diretamente a` estac¸a˜o j, e aij = 0 significa que a transmissa˜o da estac¸a˜o i na˜o alcanc¸a a estac¸a˜o j. A = 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 (a) Qual o significado da diagonal principal ser nula. (b) Calcule B = A2 (c) Qual o significado do elemento b13 = 2 em A 2 (d) Qual o significado da matriz A2 18. Existem treˆs marcas de automo´veis dispon´ıveis no mercado: o Jacare´, o Piranha e o Urubu. O termo aij da matriz A, a seguir, e´ a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j, quando comprar um carro novo. 0.7 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0.4 0.4 0.2 (a) Calcule A2 (b) Qual o significado da matriz A2 19. Determine An, para: (a) A = 1 0 0 2 28 (b) B = 1 0 0 0 −1 0 0 0 3 (c) R = cos(x) −sen(x) sen(x) cos(x) 20. Determine, se existir, uma matriz A tal que: (a) A2 = −5 −4 6 −5 (b) A2 = 0 1 0 0 21. Determine todas as matrizes A2×2 tais que AB = BA para B = 2 0 −1 1 22. Dada uma matriz An×n = [aij], enta˜o o trac¸o de A, denotado tr(A), e´ definido como a soma de todos os elementos da diagonal principal de A, isto e´, tr(A) = i=n∑ i=1 aii. Mostre que: (a) tr(A+B) = tr(A) + tr(B). (b) tr(AT ) = tr(A) (c) tr(ATA) ≥ 0 23. Calcule o trac¸o de uma matriz escalar de ordem n× n. 24. Se A e´ uma matriz n× n e A4 = 0, verifique que (In − A)−1 = In + A+ A2 + A3. 25. Sendo A = 2 0 0 3 calcule A2, A3, · · · An. 26. Seja A = 1 12 0 1 3 . Usando o Octave, calcule a sequeˆncia A, A2, A3, . . . , An, . . . . Descreva o comportamento dessa sequeˆncia matricial. 29 27. Uma matriz real sime´trica A e´ positiva definida de para todo vetor (coluna) x tem-se xTAx e´ positivo. Verifique se as matrizes A = 1 0 −2 0 2 −2 −2 −2 7 , B = 1 0 1 0 1 2 1 2 3 e C = 4 −2 12 −2 10 −3 12 −3 41 sa˜o positiva definidas. 28. Uma matriz real S e´ ortogonal se STS = SST = I. Mostre que S = 1/9 8/9 −4/9 4/9 −4/9 −7/9 8/9 1/9 4/9 e´ ortogonal. 29. Descreva como determinar´ıamos somente o elemento p7,4 da matriz P = AB, onde A23×12 e B12×9. 30. Considere a matriz S = 2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2 , mostre que Sn+1 = 3nS para todo n inteiro positivo. 31. Encontre todas as matrizes x y z t que comutam com 1 1 0 1 . 32. Verifique se a matriz X = 1 2 1 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o matricial AX = 2X com A = 3 −2 0 −2 3 0 0 5 5 . 33. Determine uma matriz na˜o nula de ordem 2× 2 tal que B2 = 0. 34. Resolva o sistema de equac¸o˜es X + Y = A+BX − Y = −A+ C , em que A = 3 −2 −2 3 0 5 , 30 B = 0 0 3 0 5 5 e C = 1 −2 −2 1 4 2 . 35. Prove que se A e B sa˜o matrizes sime´tricas enta˜o AB sera´ sime´trica se e somente se AB = BA. 36. Calcule BA sendo A = 2 −3 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 1 −4 7 0 0 0 1 1 −2 e B = 2 −3 0 0 1 3 0 0 0 0 −1 4 0 0 1 −1 . 37. Dada a matriz A = 1 2 3 6 . Determine uma matriz na˜o nula B2×3 tal que AB = 0. 38. Confirme as respostas encontradas utilizando o software Octave. 39. Verificar se a matriz A = −1 −1 0 0 −1 −1 1 −1 −3 e´ a inversa de B = −2 3 −1 1 −3 1 −1 2 −1 . 40. Determine m e n para que a matriz B = 5 22 2 9 seja a inversa de A = m −22 −2 n 41. Determine a inversa das seguintes matrizes, se existirem: , 31 (a) A = 1 2 1 0 1 3 1 2 3 (b) B = 1 1 1 0 1 2 2 3 4 (c) C = 3 −1 5 0 0 2 0 1 2 0 −1 3 1 1 −2 0 (d) D = 1 2 1 0 1 1 1 1 1 (e) E = 1 2 1 2 1 1 1 −1 0 (f) F = i 3 2 −i 3 −i 1 i 2 1 −1 0 −i i 0 1 (g) G = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 (h) H = a 0 0 0 0 b 0 0 0 1 c 0 0 0 0 d (i)I = cos(θ) sen(θ) −sen(θ) cos(θ) (j) J = 12(ex + e−x) 12(ex − e−x) 1 2 (ex − e−x) 1 2 (ex + e−x) 42. Uma maneira para codificar uma mensagem e´ atrave´s da multiplicac¸a˜o de matri- zes. Vamos associar as letras do alfabeto aos nu´meros, segundo a correspondeˆncia seguinte: A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Suponhamos que a nossa mensagem seja ”PUXA VIDA”. Podemos formar uma matriz 3× 3 assim: P U X A − V I D A , que usando a correspondeˆncia nume´rica fica: M = 15 20 231 0 21 9 4 1 Agora seja C uma matriz qualquer 3× 3 na˜o singular, por exemplo: C = 1 0 1 −1 3 1 0 1 1 Multiplicamos nossa matriz da mensagem por C, obtendo M.C, 32 15 20 23 1 0 21 9 4 1 . 1 0 1 −1 3 1 0 1 1 = −5 83 58 1 21 22 5 13 14 . Transmitimos esta nova matriz(na pra´tica, envia-se a cadeia de nu´meros−5, 83, 58, 1, 21, 22, 5, 13, 14). Quem recebe a mensagem decodifica-a atrave´s da multiplicac¸a˜o pela inversa(M.C).C−1 = M e posterior transcric¸a˜o dos nu´meros por letras. C e´ chamada matriz chave para o co´digo. (a) Voceˆ recebeu a mensagem: −12, 48, 23,−2, 42, 26, 1, 42, 29. Utilizando a mesma matriz chave traduza a mensagem. (b) Acontece que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda voceˆ substituir a matriz chave por 1 1 −1 1 1 0 0 0 2 . Voceˆ transmite a mensagem ”CRETINO...”a ele. Por que na˜o sera´ poss´ıvel a ele decodificar sua mensagem? (c) Escolha uma matriz chave que de para codificar palavras ate´ 16 letras. Codi- fique e descodifique a` vontade! Se possuir algum software que fac¸a o produto de matrizes, o utilize neste ı´tem. 43. Verdadeiro ou falso? Se a afirmac¸a˜o for verdadeira prove, caso falsa deˆ um con- traexemplo. (a) Se a matriz A possui uma linha nula enta˜o AB tambe´m tem uma linha de elementos nulos. (b) Se a matriz A possui uma coluna nula enta˜o AB tambe´m tem uma coluna de elementos nulos. (c) Se A e B sa˜o matrizes diagonais n× n enta˜o AB = BA. (d) Se AAT = 0 enta˜o A = 0. (e) A inversa de uma matriz triangular superior e´ uma matriz triangular inferior. (f) Se tr(AAT ) = 0 enta˜o A = 0. (g) Sejam duas matrizes A e B de ordem n × n equivalentes por linhas. A e´ invers´ıvel se e somente se B e´ invers´ıvel. (h) Se A, B e C sa˜o matrizes n× n, enta˜o (ABC)−1 = C−1A−1B−1. 33 (i) Se A e´ invers´ıvel enta˜o (A−1)−1 = A. (j) Se A e´ invers´ıvel enta˜o (kA)−1 = kA−1. (k) Na˜o existem matrizes A2×2, diferente da matriz identidade, que seja auto- inversa, isto e´, tal que A = A−1. (l) Se uma matriz A e´ invers´ıvel enta˜o A2 sempre sera´ invers´ıvel. (m) Se as matrizes An×n e Bn×n sa˜o invers´ıveis enta˜o A+B tambe´m e´ invers´ıvel. (n) Seja A invers´ıvel, enta˜o se AB = AC tem-se B = C. (o) Seja A uma matriz quadrada tal que I − A e´ invers´ıvel enta˜o A(I − A)−1 = (I − A)−1A. 44. Suponha que A e B sa˜o matrizes quadradas e que AB = 0. Se B e´ invers´ıvel calcule a matriz A. 45. As operac¸o˜es elementares op1. L2 → L2 − 2L1 op2. L3 → L3 − 4L1 op3. L3 → L3 + L2 op4. L3 → −L3 op5. L2 → L2 + L3 op6. L1 → L1 − 2L3 praticadas na ordem em que esta˜o escritas deixam a matriz A3×3 equivalente por linhas a` matriz identidade. Determine as matrizes A e A−1. 46. Explique, utilizando os teoremas vistos em sala, o procedimento pra´tico para a determinac¸a˜o da matriz inversa, isto e´, [A ... I] escalonado se torna [I ... A−1]. 47. Se A−1 = 1 3 0 0 1 1 1 −1 4 e B−1 = 2 1 1 0 0 −2 1 1 −1 . Calcule (AB)−1. 48. Dada a matriz A = 0 1 2 1 2 1 −1 3 8 , resolva a equac¸a˜o A−1.X.AT = A, sem substi- tuir X por uma matriz gene´rica. 34 49. Resolva as seguintes equac¸o˜es matriciais, sendo A invers´ıvel: (a) AX = B (b) XA = B (c) X−1A = B (d) AX−1 = B (e) AXB = BA (f) (AX)T = B (g) (AX)−1 = B (h) ((AX)−1B)T = A (i) AX = AT + I 50. Mostre que a inversa deA = cos(x) sen(x) −sen(x) cos(x) e´A−1 = cos(x) −sen(x) sen(x) cos(x) . 51. Resolva, novamente, os exerc´ıcios 39, 40, 41, 42, 47 e 48 utilizando o Octave. 35 Cap´ıtulo 2 Determinantes 2.1 Definic¸o˜es Definic¸a˜o: Seja S = {1, 2, 3, . . . , n} o conjunto de todos os nu´meros inteiros de 1 a n, dispostos em ordem crescente. Uma outra ordem j1, j2, . . . , jn dos elementos de S e´ chamada uma permutac¸a˜o de S. Definic¸a˜o: Uma permutac¸a˜o j1, j2, . . . , jn de Sn = {1, 2, 3, . . . , n} tem uma inversa˜o se um inteiro jr precede um inteiro menor js. Uma permutac¸a˜o e´ denominada par se o nu´mero total de inverso˜es e´ par. Uma permutac¸a˜o e´ denominada ı´mpar se o nu´mero total de inverso˜es e´ ı´mpar. Exemplo 1: Seja S4 = {1, 2, 3, 4}. A permutac¸a˜o (4, 1, 3, 2), que representaremos por 4132, tem 4 inverso˜es: o 4 antes do 1, o 4 antes do 3, o 4 antes do 2, o 3 antes do 2. Portanto, a permutac¸a˜o 4132 de S4 e´ uma permutac¸a˜o par, pois tem um nu´mero par de inverso˜es. Exemplo 2: Seja S2 = {1, 2}. A permutac¸a˜o 12 na˜o tem nenhuma inversa˜o. Logo, e´ uma permutac¸a˜o par. Ja´ a permutac¸a˜o 21 e´ uma permutac¸a˜o ı´mpar, pois tem apenas uma inversa˜o, o 2 antes do 1. Definic¸a˜o: Seja Am×m uma matriz quadrada, define-se como determinante de A, de- 36 notado por det(A) ou |A|, como det(A) =∑(±)a1j1 .a2j2 .a3j3 . . . amjm , onde o somato´rio e´ tomado sobre todas as permutac¸o˜es j1, j2, . . . , jm do conjunto Sm = 1, 2, 3, . . . , m. O sinal do termo correspondente a` permutac¸a˜o j1, j2, . . . , jm e´ + se ela for par e sera´ − se for ı´mpar. Pode-se constatar que cada termo do det(Anxn) e´ um produto de n elementos de A, contento exatamente um elemento de cada linha e um elemento de cada coluna. Os ı´ndices relativos a`s linhas esta˜o na sua ordem natural (1, 2, 3, . . . , n), enquanto que os ı´ndices relativos a`s colunas esta˜o na ordem j1, j2, . . . , jn . Como a permutac¸a˜o j1, j2, . . . , jn consiste nos nu´meros de 1 a n em uma ordem diferente da usual, ela na˜o tem repetic¸a˜o. Assim, o det(A) tem n! termos. Calcule, usando a definic¸a˜o, o determinante das seguintes matrizes: 1. A = a11 a12 a21 a22 Na definic¸a˜o de determinante, det(A) = ∑ (±)a1j1 .a2j2 , tem-se S = {1, 2}, cujas permutac¸o˜es sa˜o 1, 2 e 2, 1 que possuem, respectivamente, 0 e 1 inversa˜o, assim: det(A) = ∣∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22 ∣∣∣∣∣∣ = a11.a22 − a12.a21 2. A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Pela definic¸a˜o de determinante temos: det(A) = ∑ (±)a1j1 .a2j2 .a3j3 Como S3 = {1, 2, 3}, enta˜o as permutac¸o˜es sa˜o 123, 132, 213, 231, 312, 321 com, respectivamente, 0, 1, 1, 2, 2, 3 inverso˜es. Assim, det(A) = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 No caso particular de determinantes de matrizes 3 × 3, pode-se empregar a regra de Sarrus. 37 2.2 Propriedades (i) det(AT ) = det(A) (ii) Se B e´ uma matriz obtida permutando-se duas linhas (ou duas colunas) de A, enta˜o det(B) = −det(A), (iii) Se A possui duas linhas ou duas colunas iguais ou, ainda, se A possui uma linha ou uma coluna nula, enta˜o det(A) = 0. (iv) Se Be´ uma matriz obtida multiplicando-se uma linha (ou coluna) de A por um nu´mero real k, enta˜o det(B) = kdet(A). Consequentemente, det(kB) = kndet(A) se An×n. (v) Se substituirmos uma linha r (ou coluna r) pela soma dos elementos de r com os corre- spondentes elementos de uma linha s (ou coluna s) multiplicada por uma constante k na˜o nula, com r 6= s, obtendo-se assim uma matriz B, enta˜o det(B) = det(A). (vi) Se A e´ uma matriz triangular superior ou inferior, enta˜o det(A) = a11.a22. . . . .ann, isto e´, o determinante de A e´ igual ao produto dos elementos da diagonal principal. (vii) det(AB) = det(A).det(B). (viii) det(A−1) = 1 det(A) , se A e´ invers´ıvel. (ix) det(λA) = λndet(A), onde A tem ordem n× n. 2.3 Desenvolvimento por Laplace Seja Am×m uma matriz quadrada enta˜o: det(A) = m∑ j=1 aij(−1)i+jdet(Aij) , onde det(Aij) e´ o determinante da submatriz Aij obtida a partir de A suprimindo-se a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna. 38 Exemplo. Calcule o determinante da matriz A = 3 1 −1 2 1 1 0 1 −1 0 2 −1 3 2 1 2 det(A) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 1 −1 2 1 1 0 1 −1 0 2 −1 3 2 1 2 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ det(A) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 1 −1 2 1 1 0 1 −1 0 2 −1 3 2 1 2 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L3 → L3 + 2L1L4 → L4 + L1 det(A) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 1 −1 2 1 1 0 1 5 2 0 3 6 3 0 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ det(A) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 1 −1 2 1 1 0 1 5 2 0 3 6 3 0 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ det(A) = (−1)(−1)1+3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 5 2 3 6 3 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ + (0)(−1) 2+3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 1 2 5 2 3 6 3 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ + 0(−1) 3+3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 1 2 1 1 1 6 3 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ + 0(−1)4+3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 1 2 1 1 1 5 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ det(A) = (−1)(8 + 15 + 18− 12− 9− 20) det(A) = 0 39 2.4 Exec´ıcios 1. Quantas inverso˜es de 1, 2, 3, 4, 5 existem nos conjuntos: (a) 3, 5, 4, 1, 2 (b) 2, 1, 4, 3, 5 (c) 5, 4, 3, 2, 1 2. Calcule o valor do determinante da matriz A = 1 2 3 −1 1 −1 −1 4 1 pela definic¸a˜o. Depois confirme o resultado utilizando a regra de Sarrus e o Octave. 3. Dadas as matrizes A = 1 2 1 0 e B = 3 −1 0 1 , calcule: (a) det(A) + det(B) (b) det(A+B) 4. Sejam A e B matrizes de ordem n×n. Se a afirmac¸a˜o for verdadeira justifique, caso falsa deˆ um contra-exemplo. (a) det(AB) = det(BA) (b) det(AT ) = det(A) (c) det(2A) = 2det(A) (d) det(A2) = (det(A))2 (e) Se det(A) = 1 enta˜o A−1 = A (f) det(ATBT ) = det(A).det(BT ). (g) Se A = A−1 enta˜o det(A) e´ somente igual a 1. 5. Calcule o determinante das seguintes matrizes: (a) A = 3 −1 5 0 0 2 0 1 2 0 −1 3 1 1 2 0 40 (b) B = i 3 2 −1 3 −i 1 i 2 1 −1 0 −i i 0 1 (c) C = 1 0 0 0 0 3 −2 0 0 0 2 1 −1 0 0 −2 4 0 1 0 −3 5 8 −4 2 6. Qual o valor do determinante de uma matriz ortogonal A? 7. Sendo A = 1 2 −1 1 0 1 4 −4 5 determine os valores λ tais que det(A− λI) = 0. 41 Cap´ıtulo 3 Sistemas de equac¸o˜es lineares 3.1 Conceitos Um sistema de m equac¸o˜es lineares com n inco´gnitas x1, x2, · · · , xn e com coeficientes aij e termos independentes bk, definidos sobre um corpo F e´ escrito de seguinte forma: S : a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · · + a3nxn = b3 · · · am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm Sistemas lineares e matrizes Se no sistema S anterior fizermosAm×n = [aij],XT = [x1 x2 · · · xn] e bT = [b1 b2 · · · bm] teremos a forma matricial: Ax = b Quando a matriz b = 0 o sistema sera´ chamado de sistema linear homogeˆneo. Soluc¸a˜o de um sistema linear Chama-se soluc¸a˜o de um sistema linear S a uma matriz x que verifique simultanea- 42 mente todas as equac¸o˜es de S : Ax = b. Conceitua-se que resolver um sistema linear e´ determinar todas as suas soluc¸o˜es, enquanto que discutir um sistema e´ discutir sob quais condic¸o˜es este sistema tera´ ou na˜o soluc¸o˜es. Com respeito ao nu´meros de soluc¸o˜es um sistema de equac¸o˜es lineares pode ser clas- sificado em: • SPD - Sistema poss´ıvel e determinado, quando o sistema possui soluc¸a˜o u´nica; • SPI - Sistema poss´ıvel e indeterminado, quando o sistema possui va´rias soluc¸o˜es; • SI - Sistema incompat´ıvel quando o sistema na˜o apresenta soluc¸a˜o. Equivaleˆncia de sistemas lineares Dois sistemas lineares S1 e S2 sera˜o chamados de equivalentes se e somente se possu´ırem as mesmas soluc¸o˜es, ou seja, toda soluc¸a˜o de S1 tambe´m e´ soluc¸a˜o de S2 e vise-versa. Assim torna-se claro que para determinarmos a soluc¸a˜o de um sistema linear S deveremos encontrar um sistema S1 equivalente a S mas que possua uma soluc¸a˜o mais vis´ıvel. Como por exemplo: S : 2x + y = 9−2x + 2y = 0 e S1 : 2x + y = 9+ 3y = 9 Veja que no sistema S1 a soluc¸a˜o e´ facilmente encontrada, x = y = 3. Teorema: Se as matrizes [A ...B] e [A1 ...B1] forem equivalentes por linhas enta˜o os siste- mas A1x = B1 e Ax = B sera˜o equivalentes. Posto Chama-se posto de uma matriz Am×n, denotado por p(A), ao nu´mero de linhas na˜o nulas de uma matriz escalonada equivalente por linhas a A. Nulidade Chama-se nulidade de uma matriz Am×n a n− p(A). Teorema: 43 Dado um sistema de equac¸o˜es lineares Ax = b, com Am×n. (i) Se p(Ab) > p(A) o sistema sera´ incompat´ıvel. (ii) Se p(Ab) = p(A) < n o sistema sera´ poss´ıvel e indeterminado, apresentando mais de uma soluc¸a˜o. (iii) Se p(Ab) = p(A) = n o sistema sera´ poss´ıvel e determinado, apresentando uma u´nica soluc¸a˜o. Exemplos 1. Resolver os seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares: a) x + 2y − 3z = −3 2x − y + z = 3 −x − y − z = −4 2x − 3z = −4 1 2 −3 −3 2 −1 1 3 −1 −1 −1 −4 2 0 −3 −4 1 2 −3 −3 2 −1 1 3 −1 −1 −1 −4 2 0 −3 −4 L2 → L2 − 2L1 L3 → L3 + L1 L4 → L4 − 2L1 1 2 −3 −3 0 −5 7 9 0 1 −4 −7 0 −4 3 2 L2 ↔ L3 44 1 2 −3 −3 0 1 −4 −7 0 −5 7 9 0 −4 3 2 L3 → L3 + 5L2 L4 → L4 + 4L2 1 2 −3 −3 0 1 −4 −7 0 0 −13 −26 0 0 −13 −26 L4 → L4 − L3 1 2 −3 −3 0 1 −4 −7 0 0 13 26 0 0 0 0 ⇒ x+ 2× 1− 3× 2 = −3⇒x = 1 ⇒y − 4× 2 = −7⇒ y = 1 ⇒13z = 26⇒z = 2 b) x + 2y − 3z + w = −3 2x − y + z − 2w = 3 x − 8y + 11z − 7w = 9 1 2 −3 1 −3 2 −1 1 −2 3 1 −8 11 −7 9 1 2 −3 1 −3 2 −1 1 −2 3 1 −8 11 −7 9 L2 → L2 − 2L1 L3 → L3 − L1 1 2 −3 1 −3 0 −5 7 −4 9 0 −10 14 −8 12 L3 → L3 − 2L2 1 2 −3 1 −3 0 −5 7 −4 9 0 0 0 0 −6 ⇒ 0w = −6⇒ Sistema incompat´ıvel 45 c) 3x + 2y − z − w = −3 2x − y + z − 2w = 3 −x − 3y + 2z − w = 6 3 2 −1 −1 −3 2 −1 1 −2 3 −1 −3 2 −1 6 3 2 −1 −1 −3 2 −1 1 −2 3 −1 −3 2 −1 6 L2 → L2 − L1 3 2 −1 −1 −3 −1 −3 2 −1 6 −1 −3 2 −1 6 L3 → L3 − L2 3 2 −1 −1 −3 −1 −3 2 −1 6 0 0 0 0 0 L2 → 3L2 + L1 3 2 −1 −1 −3 0 −7 5 −4 15 0 0 0 0 0 ⇒ −7y + 5z − 4w = 15⇒ y = 5z − 4w − 157 3x+ 2y − z − w = −3 ⇒ 3x+ 25z − 4w − 15 7 − z − w = −3 ⇒ x = −z + 5w + 3 7 2. Discutir os seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares: a) x − y − z = 1 2x − y + bz = 3 −x − y − z = a 1 −1 −1 1 2 −1 b 3 −1 −1 −1 a 46 1 −1 −1 1 2 −1 b 3 −1 −1 −1 a L2 → L2 − 2L1 L3 → L3 + L1 1 −1 −1 1 0 1 b+ 2 1 0 −2 −2 a+ 1 L3 → L3 + 2L2 1 −1 −1 1 0 1 b+ 2 1 0 0 2b+ 2 a+ 3 ⇒ (2b+ 2)z = a+ 3 • Sistema poss´ıvel e determinado: 2b+ 2 6= 0 ⇒ b 6= −1 • Sistema poss´ıvel e indeterminado: 2b+ 2 = 0 e a+ 3 = 0 ⇒ b = −1 e a = −3 • Sistema incompat´ıvel: 2b+ 2 = 0 e a+ 3 6= 0 ⇒ b = −1 e a 6= −3 b) x + y + a2z = 1 bx + y + abz = 1 b2x + by − a3z = ab 1 1 a2 1 b 1 ab 1 b2 b −a3 ab 1 1 a2 1 b 1 ab 1 b2 b −a3 ab L2 → L2 − bL1 L3 → L3 − bL2 1 1 a2 1 0 1− b ab− a2b 1− b 0 0 −a3 − ab2 ab− b ⇒ 1 1 a2 1 0 1− b ab(1− a) 1− b 0 0 −a(a2 + b2) b(a− 1) • Sistema poss´ıvel e indeterminado: −a(a2 + b2) = 0 e b(a − 1) = 0 ou 1 − b = 0 e ab(1 − a) = 0 e 1 − b = 0 ⇒ b = 1, isto e´, a = 0 e b = 0 ou a = b = 1 ou a = 0 e b = 1. 47 • Sistema incompat´ıvel: −a(a2 + b2) = 0 e b(a− 1) 6= 0 ou 1− b = 0 e ab(1− a) = 0 e 1− b 6= 0 ⇒ b 6= 1, isto e´, a = 0 e b 6= 0. • Sistema poss´ıvel e determinado: Nos casos contra´rios. 3.2 Exerc´ıcios 1. Determine todas as soluc¸o˜es, se existirem, dos seguintes sistemas de equac¸o˜es linea- res. a) x + 2y + 3z = 9 2x − y + z = 8 3x − z = 3 b) x + y + 2z − 5t = 3 2x + 5y − z − 9t = −3 2x + y − z + 3t = −11x − 3y + 2z + 7t = −5 c) x + 2y + 3z + 4w = 5 x + 3y − 5z + 7w = 11 x − z − 2w = −6 d) x + 2y + 2z = 0 −x + 3y + 2z = 0 2x + y − 2z = 0 e) x + 2y + z + w = 0 x + w = 0 x + y + z = 0 f) x + 2y = 0−x − 2y = 0 g) 1 1 1 2 5 −2 . x y z = 4 3 h) 1 3 2 3 −7 2 6 1 −2 5 1 3 −1 0 2 . x1 x2 x3 x4 x5 = 14 −2 −1 2. Resolva os sistemas anteriores usando o comando \ do Octave. 3. Resolva os sistemas anteriores usando o comando rref do Octave. 48 4. Resolva por escalonamento e tambe´m com o Octave o sistema x + = 1 + 0.001y = 0.001 + 0.0001z = 0.0001 x + 0.001y + 0.0001z = 1.0011 5. No exerc´ıcio 3 anterior substitua a matriz de termos independentes por b = 1.01 0.011 −0.0099 1.0021 e resolva novamente por escalonamento e tambe´m pelo Octave. Compare as soluc¸o˜es. O que sera´ que aconteceu com o software? 6. Sabe-se que uma alimentac¸a˜o dia´ria equilibrada em vitaminas deve constar de 170 unidades de vitamina A, 180 unidades de vitamina B, 140 unidades de vitamina C, 180 unidades de vitamina D e 350unidades de vitamina E. Com o objetivo de descobris como devera´ ser uma refeic¸a˜o equilibrada, foram estudados 5 alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) de cada alimento, determinou-se que: i) O elemento I tem 1 unidade de vitamina A, 10 unidades de vitamina B, 1 unidade de vitamina C, 2 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E. ii) O elemento II tem 9 unidade de vitamina A, 1 unidades de vitamina B, 0 unidade de vitamina C, 1 unidade de vitamina D e 1 unidade de vitamina E. iii) O elemento III tem 2 unidades de vitamina A, 2 unidades de vitamina B, 5 unidades de vitamina C, 1 unidade de vitamina D e 2 unidades de vitamina E. iv) O elemento IV tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 1 unidade de vitamina C, 2 unidades de vitamina D e 13 unidades de vitamina E. v) O elemento V tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 1 unidade de vitamina C, 9 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E. Quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V devemos ingerir para que nossa alimentac¸a˜o seja equilibrada? 49 7. Discutir os seguintes sistemas: a) ax + y − az = 0 ax + y − z = 2− a x + ay − z = −a b) x + y + z = 1 x + ay + z = 1 x + y + az = 1 c) ax + 2y = 6 3x − y = −2 x + y = 0 d) x + ay − z = a x − y + az = −a2 ax + y + z = ab f) x − 4y + a2z = a2 2x + 2y − 2az = ab 4x − y + 4z = b2 g) x + y − z = 1 2x + 3y + az = 3 x + ay + 3z = 2 8. Resolva o sistema na˜o linear 2sen(α) + cos(β) = 1 7sen(α) + 6cos(β) − tg(γ) = 1 4sen(α) + 4cos(β) − tg(γ) = 0 , para os aˆngulos inco´gnitos α, β e γ, em que 0 ≤ α ≤ 2pi, 0 ≤ β ≤ 2pi e 0 ≤ γ ≤ pi. 9. Determine o polinoˆmio p(x) = ax3 + bx2 + cx + d tal que p(0) = −3, p(1) = −5, p(2) = −5 e p(3) = 9 10. Sejam U e V matrizes-colunas soluc¸o˜es do sistema linear homogeˆneo Ax = 0. (a) Mostre que U + V e´ uma soluc¸a˜o (b) Mostre que U − V e´ uma soluc¸a˜o (c) Mostre que rU e´ uma soluc¸a˜o qualquer que seja o escalar r. (d) Mostre que rU + sV e´ uma soluc¸a˜o quaisquer que sejam os escalares r e s. (e) Deˆ exemplos nume´ricos para ilustrar este exerc´ıcio 11. Dada a matriz a b c d . Mostre que A e´ equivalente por linhas a I2 se e somente se ad− bc 6= 0. 12. Dada a matriz A = 1 0 5 1 1 1 0 1 −4 . Determine a soluc¸a˜o dos sistemas (A+4I)X = 0 50 e (A− 2I)X = 0. 13. Considere Am×n e Bm×1 6= 0. Mostre que se X1 e´ uma soluc¸a˜o do sistema AX = B e Y1 e´ uma soluc¸a˜o do sistema associado AX = 0 enta˜o X1+Y1 e´ soluc¸a˜o de AX = B. 14. Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz n ×m, com n < m. Mostre que AB na˜o e´ invers´ıvel. (Dica: Mostre que o sistema (AB)X = 0 tem soluc¸a˜o na˜o trivial, isto e´, e´ indeterminado.) 51 Cap´ıtulo 4 Vetores 4.1 Conceitos 4.1.1 Segmento orientado Dada uma reta r e dois pontos A e B pertencentes a esta reta. Ao se admitir um sentido para o segmento AB tem-se um segmentos orientado AB, em que A e´ chamado de origem e B de extremidade do segmento orientado, ou BA. Todo segmento orientado e´ composto por treˆs ı´tens: • Direc¸a˜o: E´ a mesma de sua reta suporte. • Sentido: E´ definido da origem para a extremidade do segmento. • Mo´dulo: E´ dado pela distaˆncia do ponto A ao ponto B e, sera´ representado por |AB|. 4.1.2 Segmentos equipolentes Dois segmentos orientados AB e CD sa˜o chamados de equipolentes se possuirem a mesma deirec¸a˜o, o mesmo sentido e o mesmo mo´dulo e, sera˜o denotados por AB ∼ CD. 52 Propriedades (i) Reflexiva: AB ∼ AB. (ii) Sime´trica: Se AB ∼ CD enta˜o CD ∼ AB. (iii) Transitiva: AB ∼ CD e CD ∼ EF enta˜o AB ∼ EF (iv) Dados um segmento orientado AB e um ponto C, enta˜o existe um u´nico ponto D tal que AB ∼ CD. (v) Se AB ∼ CD enta˜o BA ∼ DC. (vi) Se AB ∼ CD enta˜o AC ∼ BD. (vii) Todos os segmentos nulos sa˜o equipolentes entre si. 4.1.3 Classe de equivaleˆncia Pela propriedade (iv) anterior, existem infinitos segmentos orientados equipolentes a um segmento −→ AB dado. Este conjunto recebe o nome de classe de equivaleˆncia do segmento orientado −→ AB. 4.2 Vetor O vetor determinado por um segmento orientado AB e´ o conjunto de todos os seg- mentos orientados equipolentes a AB e, sera´ denotado por −→v , isto e´, vetor e´ um elemento gene´rico de uma classe de equivaleˆncia. E´ importante concluir, a partir desta definic¸a˜o, que um vetor −→v na˜o esta´ fixo em um determinado ponto do espac¸o ao qual ele pertence. Assim, pode-se escrever: A+−→v = B, ou ainda, −→v = B − A.1 Exemplos: 1Veja que este conceito e´ consequeˆncia da propriedade (iv) 53 1. Determine o vetor −→v = −→AB em que A(1, 2, 4) e B(0, 3, 1). 2. Determine o mo´dulo do vetor −→ AB em que A(0, 5, 0) e B(2,−1, 3). 4.2.1 Vetor nulo E´ um vetor que possui mo´dulo igual a zero. 4.2.2 Vetor unita´rio Um vetor −→v e´ unita´rio se |−→v | = 1. 4.2.3 Versor Dado um vetor −→v na˜o nulo, seu versor, denotado por vers−→v , e´ o vetor unita´rio de mesma direc¸a˜o e mesmo sentido de −→v . 4.2.4 Vetor oposto Dado um vetor −→ AB seu vetor oposto sera´ dado por −→ BA. 4.3 Operac¸o˜es com vetores 4.3.1 Adic¸a˜o de vetores 1. Definic¸a˜o: Dados dois vetores −→u e −→v chama-se vetor soma de −→u e −→v , denotado por −→u +−→v , ao vetor obtido por meio do seguinte procedimento: Dado um ponto A qualquer determine o ponto B tal que B = A+−→u e o ponto C tal que C = B+−→v . nestas condic¸o˜es, tem-se −→u +−→v = C − A. 2. Propriedades Dados os vetores −→u , −→v e −→w , enta˜o: 54 • Associativa. (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w ) • Comutativa: −→u +−→v = −→v +−→u • Elemento neutro. −→u +−→0 = −→u • Elemento oposto: −→u + (−→−u) = −→0 • Lei do cancelamento: Se −→u +−→v = −→u +−→w enta˜o −→v = −→w Prova da propriedade comutativa. O A P B V2 V1 V2 V1 V1+V2 V2+V1 Figura 4.1: Propriedade comutativa da adic¸a˜o de vetores. Como O + −→v1 = A ⇒ −→v1 = A−O A+−→v2 = P ⇒ −→v2 = P − A Logo −→v1 +−→v2 = P −O. (1) E como O + −→v2 = B ⇒ −→v2 = B −O B +−→v1 = P ⇒ −→v1 = P −B vem −→v2 +−→v1 = P −O. (2) Comparando (1) e (2) resulta −→v1 +−→v2 = −→v2 +−→v1 4.3.2 Multiplicac¸a˜o por escalar 1. Definic¸a˜o: Dados um vetor −→v e um escalar K. Chama-se multiplicac¸a˜o do escalar K pelo vetor −→v , denotado por k−→v , ao vetor k−→v tal que: • −→v e K−→v possuem a mesma direc¸a˜o. • −→v e K−→v tera˜o mesmo sentidose K > 0 e tera˜o sentidos contra´rios se K < 0. 55 • |K−→v | = |K||−→v | 2. Propriedades: Dados os escalares α e β e os vetores −→u e −→v enta˜o: • Propriedade comutativa. α−→v = −→v α • Propriedade associativa em relac¸a˜o ao produto de escalares. α(β−→u ) = (αβ)−→u • Propriedade distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de escalares. (α+ β)−→u = α−→u + β−→u • Propriedade distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de vetores. α(−→u +−→v ) = α−→u +α−→v 4.3.3 Subtrac¸a˜o de vetores 1. Definic¸a˜o: Dados dois vetores −→u e −→v , define-se diferenc¸a entre −→u e −→v , nesta ordem, denotado por −→u −−→v , ao vetor −→u −−→v = −→u + (−−→v ). 4.3.4 Exemplos 1. Determine o mo´dulo da soma e o mo´dulo da diferenc¸a de dois vetores −→v e −→w que formam um aˆngulo de 60o, |−→v | = 4 e |−→w | = 6. O A V1 V1+V2 P V1−V2 V2 −V2 Figura 4.2: Soma e subtrac¸a˜o de vetores. 56 A partir da lei dos cosenos a2 = b2+ c2− 2bccos(θ), e da figura 4.2 pode-se escrever: |−→v +−→w |2 = |−→v |2 + |−→w |2 − 2|−→v ||−→w |cos(180o − θ) Assim |−→v +−→w |2 = 42 + 62 − 2.4.6.cos(120o). Logo |−→v +−→w |2 = 16 + 36 + 24, assim |−→v +−→w | = √76. Analogamente, |−→v −−→w |2 = |−→v |2 + |−→w |2 − 2|−→v ||−→w |cos(θ) Assim |−→v −−→w |2 = 42 + 62 − 2.4.6.cos(60o). Logo |−→v −−→w |2 = 16 + 36− 24, assim |−→v −−→w | = √28. 2. Dados dois vetores perpendiculares de mo´dulo igual a 12 e 5, determine o mo´dulo da soma e o mo´dulo da diferenc¸a desses vetores. 3. Demonstre, vetorialmente, que o segmento determinado pelos pontos me´dios de dois lados de um triaˆngulo e´ paralelo ao terceiro lado e tem comprimento igual a` metade deste terceiro lado. Do triaˆngulo ABC da figura 4.3 vem (B−A) = (C−A)+(B−C). A B C M N Figura 4.3: Exemplo 3. (3) Do triaˆngulo MNC da figura 4.3 vem (N −M) = (C −M) + (N − C). (4) Mas (C − A) = 2(C − M) e (B − C) = 2(N − C), assim (3) fica (B − A) = 2(C −M) + 2(N − C) (B − A) = 2(N −M) ⇒ −→AB = 2−−→MN 57 4.4 Expressa˜o cartesiana de um vetor Considere um sistema cartesiano ortogonal de eixos Ox, Oy e Oz e os respectivos versores destes eixos −→ i , −→ j e −→ k . P O j k C v i A x y B z Figura 4.4: Expressa˜o cartesiana de um vetor Observando a figura 4.4 e considerando P (x, y, z) pode-se escrever: −→v = −→OP = −→OA+−−→OB +−→OC Mas como: −→ OA = x −→ i , −−→ OB = y −→ j e −→ OC = z −→ k vem −→v = −→OP = x−→i + y−→j + z−→k que e´ a expressa˜o de um vetor −→v = (x, y, z). 4.4.1 Expressa˜o cartesiana do versor de um vetor Dado o vetor −→v = x−→i + y−→j + z−→k pode-se escrever: vers(−→v ) = −→v |−→v | = x −→ i + y −→ j + z −→ k√ x2 + y2 + z2 vers(−→v ) = x√ x2 + y2 + z2 −→ i + y√ x2 + y2 + z2 −→ j + z√ x2 + y2 + z2 −→ k 58 4.4.2 Operac¸o˜es com vetores na forma cartesiana 1. Adic¸a˜o: Dados os vetores −→v1 = x1−→i + y1−→j + z1−→k e −→v2 = x2−→i + y2−→j + z2−→k tem-se −→v1 +−→v2 = (x1 + x2)−→i + (y1 + y2)−→j + (z1 + z2)−→k . 2. Produto de um vetor por um escalar: Dado o vetor −→v1 = x1−→i + y1−→j + z1−→k e o escalar α tem-se α−→v1 = αx1−→i + αy1−→j + αz1−→k 4.4.3 Exerc´ıcios 1. Dados os vetores −→v1 = 2−→i − 3−→j +−→k e −→v2 = 2−→i +−→j − 2−→k determine: a) −→v1 +−→v2 b) 2−→v1 + 3−→v2 2. Determine m, n e p tais que m−→v1 + n−→v2 + p−→v3 = O 3. Determine os escalares a e b tais que −→u = a−→v + b−→w , em que −→u = −−→i + −→j , −→v = −→i + 5−→j + 2−→k e −→w = −→i + 2−→j +−→k . 4. Determine o valor de a para que o vetor −→w = 3a−→i + a−→j +3−→k tenha mo´dulo igual a 7. 4.5 Paralelismo de vetores Dois vetores −→u e −→v sera˜o chamados de paralelos se possuirem a mesma direc¸a˜o, logo pelo fato desses vetores possuirem a mesma reta suporte, eles ira˜o diferir ou pelo sentido ou pelo mo´dulo, assim pode-se enunciar: Teorema 4.1 Dois vetores −→u e −→v , na˜o nulos, sera˜o paralelos se e somente se existir um escalar K tal que −→u = K−→v . 59 Corola´rio 4.2 Dois vetores −→v1 = x1−→i + y1−→j + z1−→k e −→v2 = x2−→i + y2−→j + z2−→k sera˜o paralelos se somente se suas coordenadas homoˆnimas forem proporcionais, isto e´, x1 x2 = y1 y2 = z1 z2 2 4.5.1 Exerc´ıcios 1. Determine a e b para que os vetores −→u = −→i + 2−→j − 3−→k e −→v = a−→i + 4−→j + b−→k sejam paralelos. 2. Dados os pontos A(3,−1, 2) e B(−3, 1,−1), determine: a) O vetor −→ AB b) O vetor −→w paralelo a −→AB e tal que |−→w | = 14 3. Verifique se os pontos A(2,−1, 0), B(3, 1,−1) e C(3, 3,−2) sa˜o colineares. 4. Mostre que os pontos A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3) sa˜o ve´rtices de um paralelogramo. 5. Determine o ponto sime´trico de A(3, 1,−2) em relac¸a˜o ao ponto B(−1, 0,−3). 6. Os vetores −→v1 = 2−→i − 3−→j +6−→k e −→v2 = −−→i +2−→j − 2−→k esta˜o aplicados no mesmo ponto A. Determine as coordenadas do vetor −→ AB de mo´dulo 3 √ 42 e cuja direc¸a˜o e´ a direc¸a˜o da bissetriz do aˆngulo formado pelos vetores −→v1 e −→v2 . 7. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se interseptam em seus pontos me´dios. 8. O segmento que une os pontos me´dios dos lados na˜o paralelos de um trape´zio e´ paralelo a`s bases e igual a sua semi-soma. 9. Demonstre vetorialmente que o baricento G de um triaˆngulo ABC e´ dado por G = A+B+C 3 . 2A nulidade de um dos denominadores implica na nulidade do numerador correspondente. 60 4.6 Coplanaridade de vetores Treˆs vetores −→u , −→v e −→w sera˜o coplanares se possuirem imagens geome´tricas paralelas ao mesmo plano. av vu wbw Figura 4.5: Coplanaridade de treˆs vetores Teorema 4.3 Os vetores −→u , −→v e −→w sera˜o coplanares se e somente se existirem escalares a e b tais que −→u = a−→v + b−→w 3 . Corola´rio 4.4 Treˆs vetores −→u = (x1, y1, z1), −→v = (x2, y2, z2) e −→w = (x3, y3, z3) sera˜o coplanares se e somente se ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. 4.6.1 Exerc´ıcios 1. Verificar se os vetores −→u = (3,−1, 2), −→v = (1, 2, 1) e −→w = (−2, 3, 4) sa˜o coplanares. 2. Verifique se os pontos A(1, 1, 1), B(−2,−1,−3), C(0, 2,−2) e D(−1, 0,−2) sa˜o co- planares. 3. Determine o valor de m para que os pontos A(m, 1, 2), B(2,−2,−3), C(5,−1, 1) e D(3,−2,−2) sejam coplanares. 61 Figura 4.6: Cossenos diretores de um vetor 4.7 Cossenos diretores de um vetor Chamam-se aˆngulos diretores de um vetor −→v = x−→i + y−→j + z−→k aos aˆngulos α, β e γ que o vetor −→v forma com os vetores −→i , −→j e −→k , respectivamente. Os cossenos dos aˆngulos diretores sa˜o chamados de cossenos diretores do vetor −→v , ou seja, cos(α), cos(β) e cos(γ) e, sa˜o dados por: cos(α) = x |−→v | , cos(β) = y |−→v | e cos(γ) = z |−→v | , e satisfazem a cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1 . 4.7.1 Exerc´ıcios 1. Determine os cossenos diretores do vetor −→v = (−2, 3, 6). 2. Determinar o aˆngulo diretor α de um vetor −→v , sendo β = 45o e γ = 60o. 3. Prove que cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1. 3Nesta expressa˜o (−→u = a−→v + b−→w ) diremos que −→u e´ uma combinac¸a˜o linear de −→v e −→w . 62 4.8 Produto escalar ou interno 4.8.1 Definic¸a˜o Dados dois vetores −→u e −→v , chama-se produto escalar ou interno de −→u e −→v , denotado por −→u .−→v , ao nu´mero real −→u .−→v = |−→u ||−→v |cos(θ) , (4.1) em que 0 ≤ θ ≤ pi e´ o aˆngulo formado por −→u e −→v . A partir da definic¸a˜o (4.1)) observa-se: 1. Sinal do produto escalar. Tem-se −→u .−→v > 0 quando cos(θ) > 0, ou seja, quando o aˆngulo entre os dois vetores for agudo e, −→u .−→v < 0 quando cos(θ) < 0, isto e´, quando o aˆngulo for obtuso. 2. Nulidade do produto escalar. O produto interno −→u .−→v sera´ nulo se: (i) Um dos dois vetores for o vetor nulo. (ii) O vetores forem ortogonais. 3. Mo´dulo de um vetor. Dado um vetor −→u , tem-se −→u
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