APOSTILA-DE-FÍSICA-QUÂNTICA

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FÍSICA QUÂNTICA 
 
 
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 FACULESTE 
 
 
A história do Instituto FACULESTE, inicia com a realização do sonho de um grupo de 
empresários, em atender a crescente demanda de alunos para cursos de Graduação 
e Pós-Graduação.Com isso foi criado a FACULESTE, como entidade oferecendo 
serviços educacionais em nível superior. 
A FACULESTE tem por objetivo formar diplomados nas diferentes áreas de 
conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a participação 
no desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua formação contínua. 
Além de promover a divulgação de conhecimentos culturais, científicos e técnicos que 
constituem patrimônio da humanidade e comunicar o saber através do ensino, de 
publicação ou outras normas de comunicação. 
A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma confiável e 
eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base profissional e 
ética. Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições modelo no país 
na oferta de cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, excelência no 
atendimento e valor do serviço oferecido. 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................. 5 
SURGIMENTO DA FÍSICA QUÂNTICA ..................................................................... 7 
TEORIA QUÂNTIA: HISTÓRIA E CULTURA ........................................................... 11 
PRINCÍPIOS BÁSICOS ............................................................................................ 14 
ONDAS DE DE BROGLIE ........................................................................................ 15 
MECÂNICA QUÂNTICA ........................................................................................... 17 
O CONCEITO DE ESTADO NA MECÂNICA QUÂNTICA........................................ 19 
A REPRESENTAÇÃO DO ESTADO ........................................................................ 20 
PRIMEIROS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ...................................................... 21 
DENSDIDADES DE PROBABILIDADE QUÂNTICAS ............................................. 25 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 28 
Caruso, F.; Oguro, V. Física Moderna, Rio de Janeiro, Campus/ Elsevier ,2006.
 .................................................................................................................................. 29 
Ferreira, G.F. Leal and Costa, Rogerio C.T. da Perturbação paramétrica em 
mecânica quântica. Rev. Bras. Ensino Fís., 2006, vol.28, no.4, p.417-420 ......... 29 
Feynman, R.P.; Leighton, R.B.; Sands, M. Vol. III. Lições de Física De Feynman, 
Bookman, 2008. ....................................................................................................... 29 
Greca, Ileana Maria; Herscovitz, Victoria Elnecave, Introdução à Mecânica 
Quântica, Textos de Apoio ao Professor de Física, n.13 (2002). ......................... 29 
Griffiths, David J. Mecânica Quântica, Tradução Lara Freitas, 2a . Ed. Pearson/ 
Prentice Hall, 2011. .................................................................................................. 29 
 
 
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MOREIRA, R. N. Instrumentalismo versus realismo - A crise na física do século 
XX. In: POMBO, O.; NEPOMUCENO, A. (Ed.). Lógica e filosofia da ciência. 
Lisboa: Centro de Filosofia das Ciências da Universidade de Lisboa, 2008. p. 
121-170. .................................................................................................................... 29 
Nussenzveig, H.M. Curso De Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, 
Blucher, 2002. .......................................................................................................... 29 
Pessoa Jr., O., Conceitos de Física Quântica, 2 Vols., Livraria Da Física, 2003.
 .................................................................................................................................. 29 
Piza, A.F.R. De Toledo, Mecânica Quântica, Edusp, 2a. Ed., 2009. ..................... 29 
Sakurai, J.J.; Napolitano, Jim. Mecânica Quântica Moderna, Tradução Silvio R. 
Dahmen, Bookman, 2a. Ed., 2013. va Iorque: Wiley, 1991 ................................... 29 
SILVA, A. Rica da et al. Nonlinear Schrödinger equation, Burger’s equation and 
superposition of solutions. In: JEFFERS, S. et al. (Ed.). Causality and locality in 
modern physics andaAstronomy. Dordrecht: Kluwer Academic, 1998. p. 421-430
 .................................................................................................................................. 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
 Nos fins do século XIX a física clássica, quer dizer: a mecânica newtoniana, o 
electromagnetismo de Maxwell e a termodinâmica conseguiam explicar praticamente 
toda a fenomenologia natural. Um dos mais importantes físicos de então, Lorde Kelvin, 
afirmou que segundo ele o edifício da Ciência estava completo. Tudo o que restava 
fazer aos futuros físicos seria apenas relativa aos aperfeiçoamentos e 
desenvolvimentos das suas aplicações técnicas. Neste panorama edílico apenas via 
duas pequenas nuvens negras. 
Uma destas nuvens negras era constituída pelo resultado dito negativo da 
experiência de Michelson e Morley, a segunda, relacionada com o problema do corpo 
negro de que resultou a introdução da constante de Planck. Kelvin acreditava que os 
avanços posteriores da ciência haveriam de varrer do céu completamente estas 
nuvens. Esta previsão revelou-se totalmente errada! Estas nuvens engrossaram de 
tal modo, provocando tal tempestade, que todo o edifício da física clássica foi posto 
em causa. De uma destas nuvens saiu a teoria da relatividade da outra a física 
quântica. No que se segue trataremos apenas da física quântica, da sua estranha 
forma de olhar para o mundo e da possibilidade atual da sua superação. Até ao 
advento da física quântica, que ocorreu no primeiro quartel do século XX, a 
comunidade científica, e as pessoas de um modo geral, acreditavam na causalidade 
e, 1 portanto, na realidade objetiva da Natureza. Por outras palavras, admitia-se que 
o planeta Urano, por exemplo, existia muito antes de ter sido descoberto em 1781 pelo 
grande astrónomo William Herschel. 
Após a aceitação do paradigma borheano para interpretação da física quântica, 
no famoso Congresso Internacional Solvay de 1927, o modo habitual de pensar, 
herdeiro da tradição grega, onde cada acontecimento tem sempre necessariamente 
uma causa, foi drasticamente modificado. A causalidade é considerada obsoleta e a 
realidade objetiva é então negada 
 A física quântica (também chamada de teoria quântica ou mecânica quântica) 
é um ramo da física que permite uma descrição do comportamento e interação da 
 
 
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matéria e da energia à escala das partículas subatômicas, fótons e certos materiais a 
temperaturas muito baixas. O ambiente quântico é onde a "ação" (ou, por vezes, o 
 
momento angular) da partícula acontece, a poucas ordens de magnitude de uma 
constante incrivelmente pequena chamada de constante de Planck. 
 Sendo que a mecânica quântica (ou teoria quântica) é um ramo da física que 
lida com o comportamento da matéria e da energia na escala de átomos e partículas 
subatômicas. A mecânica quântica é fundamental ao nosso entendimento de todas as 
forças fundamentais da natureza, exceto a gravidade. A mecânica quântica é a base 
de diversos ramos da física, incluindo eletromagnetismo, física de partículas, física da 
matéria condensada, e até mesmo partes da cosmologia. A mecânica quântica 
também é essencial para a teoria das ligações químicas (e portanto, de toda química), 
biologia estrutural, e tecnologias como a eletrônica, tecnologia da informação, e 
nanotecnologia. Um século deexperimentos e trabalho na física aplicada provou que 
a mecânica quântica está correta e tem utilidades práticas. A mecânica quântica 
começou no início do século 20, com o trabalho pioneiro de Max Planck e Niels Bohr. 
Max Born criou o termo "mecânica quântica" em 1924. A comunidade de física logo 
aceitou a mecânica quântica devido a sua grande precisão nas previsões empíricas, 
especialmente em sistemas onde a mecânica clássica falha. Um grande sucesso da 
mecânica quântica em seu princípio foi a explicação da dualidade onda-partícula, ou 
seja, como em níveis subatômicos o que os humanos vieram a chamar de partículas 
subatômicas têm propriedades de ondas e o que era considerado onda tem 
propriedade corpuscular. A mecânica quântica também pode ser aplicada a uma gama 
muito maior de situações do que a relatividade geral, como por exemplo sistemas nos 
quais a escala é atômica ou menor, e aqueles que têm energias muito baixas ou muito 
altas ou sujeitos às menores temperaturas. 
 
 
 
 
 
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SURGIMENTO DA FÍSICA QUÂNTICA 
 A história das grandes transformações sofridas pela física e que culminaram na 
formulação da mecânica quântica na segunda metade da década de 1920 começou 
no primeiro ano do século, quando Max Planck logrou explicar, através de uma 
hipótese que a ele próprio repugnava, o espectro de radiação do corpo negro. Um 
pequeno orifício aberto em um corpo oco representa aproximadamente um “corpo 
negro” (não confundir com “buraco negro”, que é algo muito diferente!). Tal orifício 
aparecerá negro para corpos em temperaturas usuais, daí advindo o seu nome. No 
entanto, à medida que a temperatura se eleva, o orifício se torna vermelho, depois 
amarelo e, finalmente, branco (neste ponto, ou mesmo antes, o material se funde; 
fenômeno do mesmo tipo pode ser observado aquecendo-se um pedaço de metal.) A 
cada temperatura corresponde uma coloração da luz emitida, que resulta da mistura 
de radiações luminosas de diferentes frequências; cada frequência contribui na 
mistura em uma determinada proporção, fornecendo uma determinada parcela de 
energia à energia total irradiada pelo orifício. Essas proporções podem ser medidas 
experimentalmente. A figura abaixo mostra o gráfico de uma grandeza proporcional à 
energia irradiada em função do comprimento de onda. 
 
 
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 Cálculos dessa grandeza a partir das teorias clássicas eletromagnetismo, 
mecânicas clássica e estatística fornecem resultados em completo desacordo com os 
dados empíricos, como se vê no gráfico (curva de Rayleigh-Jeans), exceto na região 
de altos comprimentos de onda (ou baixas frequências). Essa discrepância constituiu 
um problema grave para a física do final do século passado. Depois de várias 
tentativas fracassadas de obter os resultados experimentais corretos através de 
manipulações nas teorias clássicas, Planck percebeu que com a simples introdução 
da hipótese de que os osciladores eletrônicos, responsáveis pela emissão da radiação 
eletromagnética (luz), só podem vibrar com determinados valores de energia podia 
obter previsões teóricas em perfeito acordo com a experiência. Ora, tal hipótese, além 
de ad hoc, não parecia ser fisicamente admissível, dada a sua incompatibilidade com 
um ponto básico das teorias da época. A quantização da energia de oscilação dos 
elétrons conflita com o caráter contínuo da energia, conforme sempre se aceitou, e 
com boas razões, inclusive de ordem experimental. 
Malgrado a repugnância que lhes causava, e a desestruturação das bases da 
física que acarretava, essa hipótese acabou sendo provisoriamente tolerada pelos 
físicos, pois era a única de que se dispunha para dar conta dos fatos. Prosseguiu-se, 
porém, imaginando que a quantização ocorreria apenas nos osciladores eletrônicos 
 
 
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atômicos, mas não na energia irradiada, que, segundo o eletromagnetismo, se 
propaga na forma de ondas eletromagnéticas. 
Em 1905, porém, Einstein propôs, no segundo dos três artigos que publicou 
naquele mesmo ano (do primeiro já falamos; o terceiro artigo deu a público a teoria da 
relatividade especial), que a quantização deveria ser estendida à energia 
eletromagnética livre. Essa ideia de Einstein, talvez ainda mais inaceitável que a de 
Planck, surgiu no contexto de suas investigações de um fenômeno descoberto por 
Hertz em 1887, o chamado efeito fotoelétrico. Tal efeito consiste no favorecimento da 
emissão de raios catódicos (elétrons) propiciado pela incidência de luz sobre o cátodo. 
Um esquema simplificado do aparelho para a observação do efeito é o seguinte: 
 
Até o trabalho de Einstein, esse fenômeno não despertou muito a atenção dos 
físicos. Supunha-se que a energia transferida pelas ondas eletromagnéticas de luz 
aos elétrons do cátodo provocava o seu desprendimento, para que se movessem na 
direção do ânodo, formando-se assim uma corrente elétrica através do circuito. Ao 
propor que a energia eletromagnética da luz era quantizada, ou seja, que se 
propagava em “pedaços”, ou “quanta” (posteriormente batizados com o nome de 
fótons), Einstein previu que se fossem realizados experimentos para a medição de 
certos parâmetros do efeito fotoelétrico, os resultados mostrariam que sua hipótese, 
e somente ela, forneceria as previsões corretas. Essas inusitadas previsões eram: 
 
 
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1) que a energia cinética dos elétrons independeria da intensidade da luz; 
2) que existiria uma frequência de corte da luz incidente, abaixo da qual o efeito 
cessa, não importando quão intensa seja a luz; e 
3) que os elétrons seriam ejetados imediatamente, não importando quão baixa 
seja a intensidade da luz 
 Ora, essas três previsões contrariam de modo frontal as previsões clássicas, 
que partem do pressuposto de que a luz é uma onda eletromagnética, e que portanto, 
a energia que transporta se distribui continuamente pelo espaço. Para perplexidade 
geral, medições cuidadosas realizadas em 1914 pelo grande experimentalista 
americano Robert Millikan confirmaram as previsões de Einstein. Foi por este trabalho 
e pela determinação da razão carga/massa do elétron que Millikan ganhou o Prêmio 
Nobel, em 1923; e foi por haver explicado (antecipadamente!) as observações de 
Millikan que Einstein ganhou o seu, em 1921. 
 Uma importante confirmação independente da hipótese do quantum de luz 
surgiu em 1923, com a detecção, pelo físico americano Arthur Compton, de um 
fenômeno que ficou conhecido como efeito Compton. Em seu experimento Compton 
bombardeou um alvo de grafite com raios-X de uma dada frequência. Medindo a 
frequência da radiação espalhada pelo alvo, verificou que surgia, ao lado da esperada 
radiação com a frequência da radiação incidente, outra com frequência menor. Em 
termos da teoria ondulatória da radiaçã -se como certo que 
os raios-X eram uma radiação desse tipo, já que se haviam observado difração e 
interferência de raios-
completamente inexplicável. Se se assume, porém, que os raios-X também são 
quantizados, ou seja, consistem de “partículas”, o efeito pode ser explicado em termos 
simples. Ao colidir com os elétrons do grafite, tais partículas transferem-lhes parte de 
sua energia, sendo pois, refletidas com menos energia do que tinham antes. Essa 
perda de energia pode ser calculada pelas leis da mecânica relativista de Einstein. 
Usando então a relação entre energia e frequência proposta por Planck e Einstein, ou 
seja, E = hf (onde h é a chamada constante de Planck), pode-se calcular o quanto 
essa perda de energia significa em termos de diminuição de frequência. O valor obtido 
concorda perfeitamente com os dados experimentais. Por esse trabalho, que forneceu 
 
 
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esmagadora evidência à natureza corpuscular da radiação eletromagnética, Compton 
recebeu o Prêmio Nobel em 1927. A Figura 3 esquematiza o efeito Compton e sua 
explicação em termos do quantum de radiação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA QUÂNTIA: HISTÓRIA E CULTURA 
 A TeoriaQuântica, desenvolvida no primeiro quartel do século XX, é a mais 
bem sucedida, teoria física hoje disponível. A confiança que os físicos nela depositam 
é de tal ordem que os desenvolvimentos teóricos ulteriores a tomam como um quadro 
referencial básico para pensar a Física. Desde as primeiras aplicações tecnológicas, 
com a invenção do transistor e do laser, até as atuais promessas no campo da 
informação quântica, o seu manancial de aplicações parece inesgotável. Em que pese 
esse sucesso científico e tecnológico, persiste entre os cientistas incertezas sobre a 
interpretação dos próprios fundamentos dessa teoria científica. As incertezas derivam 
do fato de que ela desafia as nossas intuições não só de senso comum mas mesmo 
aquelas enraizadas no desenvolvimento da Física nos últimos séculos. Não é de 
estranhar, portanto, que a segunda metade do século XX tenha presenciado um 
renascimento tanto da controvérsia, quanto das investigações sobre os fundamentos 
dessa teoria. Essa controvérsia não tem sido estéril. Hoje, compreendemos melhor a 
Teoria Quântica como consequência dessa controvérsia e da pesquisa que ela 
engendrou. A propriedade física do emaranhamento entre sistemas quânticos 
 
 
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espacialmente separados, evidenciada no Teorema de Bell, hoje largamente aceita 
como um genuíno efeito quântico e colocada na base das pesquisas sobre informação 
quântica, tem suas raízes associadas a críticos dos fundamentos dessa própria teoria, 
como Albert Einstein, David Bohm, John Bell, John Clauser e Abner Shimony. No início 
deste ano, o prestigiado Prêmio Wolf de Física foi atribuído a John Clauser, Alain 
Aspect e Anton Zeilinger pelos seus experimentos com emaranhamento de fótons. O 
prêmio reconheceu pelo menos um físico que sempre foi um crítico dos fundamentos 
da Teoria Quântica, no caso John Clauser. 
 A controvérsia sobre os fundamentos da Teoria Quântica tem fascinado a 
muitos, bem além do círculo dos próprios físicos. A capa deste livro reflete essa 
fascinação, por estar inspirada em escultura de Albert Einstein e Niels Bohr, os 
principais protagonistas da controvérsia sobre os quanta, em um parque em Moscou. 
Imagens dos dois gigantes da Física tornaram-se ícones da Física do século XX. A 
controvérsia é comparada, muitas vezes, àquela que opôs Newton a Leibniz. 
Enquanto a controvérsia que está na origem da ciência moderna, no século XVII, é 
parte da história, a controvérsia sobre os quanta é contemporânea e estamos todos 
nela imersos, como partícipes. 
 Em 1974, o historiador Max Jammer finalizou seu The philosophy of quantum 
mechanics afirmando que a história dessa controvérsia é uma “história sem fim”; e 
acrescentou, lembrando o ensaísta francês Joseph Joubert, que “é melhor debater 
uma questão sem resolvê-la do que resolver uma questão sem debatê-la.” Mais de 30 
anos depois, as afirmativas de Jammer guardam plena atualidade. 
 A presente obra - Teoria quântica: estudos históricos e implicações culturais - 
é uma coletânea de trabalhos que exploram aspectos da história dessa teoria 
científica, desde sua criação aos desenvolvimentos ulteriores, incluindo a controvérsia 
sobre os seus fundamentos e sobre suas implicações filosóficas e culturais. Discute 
também problemas relacionados à pesquisa sobre o ensino e a difusão cultural dessa 
teoria, bem como os usos, e abusos, que aí podem aparecer. 
 Tanto o aparecimento deste livro, quanto o evento científico que esteve em sua 
origem (workshop com o mesmo nome, realizado em Campina Grande, Paraíba, entre 
14 e 17 de dezembro de 2008), acontecem no Brasil em um momento oportuno. Há 
 
 
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cerca de 15 anos vem crescendo no Brasil o número de pesquisadores dedicados a 
trabalhos históricos e/ou filosóficos sobre a Teoria Quântica, muitos deles autores 
deste trabalho, sem que se houvesse realizado até o momento um evento científico 
de maior envergadura integralmente dedicado ao tema. Além disso, o workshop e o 
livro ocorrem em um momento no qual a pesquisa sobre a história da Teoria Quântica 
ganha novo impulso, seja com o Projeto de História da Física Quântica, promovido 
pelo Instituto Max Planck de História da Ciência (Alemanha), seja com a realização de 
conferências internacionais sobre o assunto, em especial a HQ1 (Berlim, 2007); a 
sessão Interpreting Quantum Mechanics - a Century of Debate, na HSS (Washington, 
2007); a HQ2 (Utrecht, 2008); e a HQ3 (Berlim, 2010), todas com a participação de 
pesquisadores brasileiros. 
 O desenvolvimento da pesquisa sobre história da Teoria Quântica no Brasil 
também se beneficia da sua relação com a história da Física brasileira. Se é verdade 
que a pesquisa em Física moderna no Brasil só recebeu um momentum intelectual e 
institucional a partir da criação da USP, em 1934, já passada a fase áurea da criação 
da Teoria Quântica, também é verdade que aspectos relevantes da pesquisa e da 
controvérsia sobre os fundamentos dessa teoria tiveram como cenário a Física 
brasileira. Quando no início da década de 1950, o físico David Bohm passou três anos 
na Universidade de São Paulo, fugindo da perseguição do macarthismo, muito da 
pesquisa e dos debates sobre a interpretação causal da Teoria Quântica proposta por 
ele ocorreu naquela universidade. O trabalho conjunto com Jayme Tiomno e os 
embates com Mário Schenberg, físicos brasileiros, são parte dessa história. Mario 
Bunge, Jean-Pierre Vigier e Ralph Schiller vieram ao Brasil para trabalhar com Bohm, 
enquanto Léon Rosenfeld veio para estabelecer o contraponto entre a interpretação 
causal e a visão da complementaridade patrocinada pelo físico dinamarquês Niels 
Bohr. Ainda na década de 1960 foi a vez de Klaus Tausk, professor da USP, envolver-
se em acirrada controvérsia com físicos italianos e com Rosenfeld sobre o problema 
da medição na Teoria Quântica. Pouco depois, o físico brasileiro José Leite Lopes, 
exilado em Estrasburgo, na França, junto com o físico francês Michel Paty, promoviam 
evento, que gerou o livro Quantum mechanics – a half century later, que contribuiu 
para criar um espaço favorável à pesquisa sobre os fundamentos da Teoria Quântica. 
Recentemente, os desenvolvimentos teóricos sobre o efeito dê coerência e o 
 
 
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experimento tipo “gato de Schrödinger”, que testou pela primeira vez esse efeito, 
contam entre seus protagonistas com os físicos brasileiros Amir Caldeira e Luiz 
Davidovich. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIOS BÁSICOS 
 A ideia básica da antiga teoria quântica é a de que o movimento em um sistema 
atômico é quantizado, ou discreto. O sistema obedece à mecânica clássica exceto 
que que nem todo movimento é permitido, apenas aqueles que obedecem a antiga 
condição quântica: 
 
onde os são os momentos do sistema e os são as coordenadas correspondentes. 
quânticos são inteiros e a integral é tomada ao longo de um período do movimento. A 
integral é uma área no espaço de fase, que é a quantidade chamada ação, que é 
quantizada em unidades da constante de Planck. Por essa razão, a constante de 
Planck era frequentemente chamada de quantum de ação. 
 Para as antigas condições quânticas fazerem sentido, o movimento clássico 
deve ser separável, indicando que existem coordenadas separadas em termos das 
 
 
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quais o movimento é periódico. Os períodos dos diferentes movimentos não têm que 
ser os mesmos, eles podem ser até mesmo imensuráveis, mas deve haver um 
conjunto de coordenadas onde o movimento se decompõe em uma maneira multi-
periódica. 
 A motivação da antiga condição quântica era o princípio da correspondência, 
complementado pela observação física de que as quantidades que são quantizadas 
devem ser invariantes adiabáticas. Dada a regra da quantização de Planck para o 
oscilador harmônico, qualquer das condições determina a quantidade clássica correta 
para quantizar em um sistema geral até uma constante aditiva. 
 
 
 
 
 
ONDAS DE DEBROGLIE 
 Em 1905, Einstein percebeu que a entropia dos osciladores eletromagnéticos 
quantizados dentro de uma caixa é, para pequenos comprimentos de onda, igual à 
entropia de um gás de partículas pontuais na mesma caixa. O número de partículas 
pontuais é igual ao número de quanta. Einstein concluiu que os quanta eram objetos 
localizáveis, partículas de luz, e os chamou de fótons. Ele então concluiu que a luz 
tem atributos tanto de onda como de partícula, mais precisamente, que uma onda 
eletromagnética estacionária com frequência com energia quantizada: 
 
deve ser pensado como consistindo de n fótons, cada um com energia . Einstein não 
conseguiu descrever como os fótons eram relacionados à onda. Os fótons têm 
momento assim como energia, e o momento tinha que ser onde é o número de onda 
da onda eletromagnética. Tal condição é necessária para a relatividade, pois o 
momento e a energia formam um quadrivetor, assim como fazem a frequência e o 
 
 
16 
número de onda. Em 1924, como um candidato a PhD, Louis de Broglie propôs uma 
nova interpretação à condição quântica. Ele sugeriu que toda matéria, elétrons, assim 
como fótons, são descritos por ondas obedecendo as relações: 
 
Ele então percebeu que a condição quântica: 
 
clássica deve ser um inteiro. Essa é a condição para interferência construtiva, e 
explicou a razão para as órbitas quantizadas - as ondas de matéria geram ondas 
estacionárias apenas a frequências discretas, com energias discretas. Por exemplo, 
para uma partícula confinada em uma caixa, uma onda estacionária deve ter um 
número inteiro de comprimentos de onda entre o dobro da distância entre as paredes. 
A condição torna-se: 
 
de forma que os momentos quantizados são: 
 
 
reproduzindo os antigos níveis quânticos de energia. Einstein deu um tratamento 
mais matemático a esse desenvolvimento, percebendo que a função de fase para as 
ondas: em um sistema mecânico deve ser identificado com a solução para a 
equação de Hamilton-Jacobi, uma equação que até mesmo Hamilton considerava 
 
 
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como um limite pequeno de comprimento de onda da mecânica ondulatória. Essas 
ideias levaram ao desenvolvimento da equação de Schrödinger. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA QUÂNTICA 
 A mecânica quântica é a teoria física que obtém sucesso no estudo dos 
sistemas físicos cujas dimensões são próximas ou abaixo da escala atômica, tais 
como moléculas, átomos, elétrons, prótons e de outras partículas subatômicas, muito 
embora também possa descrever fenômenos macroscópicos em diversos casos. A 
Mecânica Quântica é um ramo fundamental da física com vasta aplicação. A teoria 
quântica fornece descrições precisas para muitos fenômenos previamente 
inexplicados tais como a radiação de corpo negro e as órbitas estáveis do elétron. 
 Apesar de na maioria dos casos a Mecânica Quântica ser relevante para 
descrever sistemas microscópicos, os seus efeitos específicos não são somente 
 
 
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perceptíveis em tal escala. Por exemplo, a explicação de fenômenos macroscópicos 
como a super fluidez e a supercondutividade só é possível se considerarmos que o 
comportamento microscópico da matéria é quântico. A quantidade característica da 
teoria, que determina quando ela é necessária para a descrição de um fenômeno, é a 
chamada constante de Planck, que tem dimensão de momento angular ou, 
equivalentemente, de ação. 
 A mecânica quântica recebe esse nome por prever um fenômeno bastante 
conhecido dos físicos: a quantização. No caso dos estados ligados (por exemplo, um 
elétron orbitando em torno de um núcleo positivo) a Mecânica Quântica prevê que a 
energia (do elétron) deve ser quantizada. Este fenômeno é completamente alheio ao 
que prevê a teoria clássica. 
 
Um panorama 
A palavra “quântica” (do Latim, quantum) quer dizer quantidade. Na mecânica 
quântica, esta palavra refere-se a uma unidade discreta que a teoria quântica atribui 
a certas quantidades físicas, como a energia de um elétron contido num átomo em 
repouso. A descoberta de que as ondas eletromagnéticas podem ser explicadas como 
uma emissão de pacotes de energia (chamados quanta) conduziu ao ramo da ciência 
que lida com sistemas moleculares,atômicos e subatômicos. Este ramo da ciência é 
atualmente conhecido como mecânica quântica. 
 A mecânica quântica é a base teórica e experimental de vários campos da 
Física e da Química, incluindo a física da matéria condensada, física do estado sólido, 
física atômica, física molecular, química computacional, química quântica, física de 
partículas, e física nuclear. Os alicerces da mecânica quântica foram estabelecidos 
durante a primeira metade do século XX por Albert Einstein, Werner Heisenberg, Max 
Planck, Louis de Broglie, Niels Bohr, Erwin Schrödinger, Max Born, John von 
Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli, Richard Feynman e outros. Alguns aspectos 
fundamentais da contribuição desses autores ainda são alvo de investigação. 
Normalmente é necessário utilizar a mecânica quântica para compreender o 
comportamento de sistemas em escala atômica ou molecular. Por exemplo, se a 
 
 
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mecânica clássica governasse o funcionamento de um átomo, o modelo planetário do 
átomo – proposto pela primeira vez por Rutherford – seria um modelo completamente 
instável. Segundo a teoria eletromagnética clássica, toda a carga elétrica acelerada 
emite radiação. Por outro lado, o processo de emissão de radiação consome a energia 
da partícula. Dessa forma, o elétron, enquanto caminha na sua órbita, perderia energia 
continuamente até colapsar contra o núcleo positivo! Com efeito, o modelo planetário 
do átomo é um modelo ineficaz. Para explicar o comportamento de um elétron em 
torno de um átomo de hidrogênio é necessário utilizar as leis da mecânica quântica 
 
 
 
 
 
 
 
O CONCEITO DE ESTADO NA MECÂNICA QUÂNTICA 
 Em física, chama-se "sistema" um fragmento concreto da realidade que foi 
separado para estudo. Dependendo do caso, a palavra sistema refere-se a um elétron 
ou um próton, um pequeno átomo de hidrogênio ou um grande átomo de urânio, uma 
molécula isolada ou um conjunto de moléculas interagentes formando um sólido ou 
um vapor. Em todos os casos, sistema é um fragmento da realidade concreta para o 
qual deseja-se chamar atenção. Dependendo da particula pode-se inverter 
polarizações subsequentes de aspecto neutro. 
 A especificação de um sistema físico não determina unicamente os valores que 
experimentos fornecem para as suas propriedades (ou as probabilidades de se 
medirem tais valores, em se tratando de teorias probabilísticas). Além disso, os 
 
 
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sistemas físicos não são estáticos, eles evoluem com o tempo, de modo que o mesmo 
sistema, preparado da mesma forma, pode dar origem a resultados experimentais 
diferentes dependendo do tempo em que se realiza a medida (ou a histogramas 
diferentes, no caso de teorias probabilísticas). Essa idéia conduz a outro conceito-
chave: o conceito de "estado". Um estado é uma quantidade matemática (que varia 
de acordo com a teoria) que determina completamente os valores das propriedades 
físicas do sistema associadas a ele num dado instante de tempo (ou as probabilidades 
de cada um de seus valores possíveis serem medidos, quando se trata e uma teoria 
probabilística). Em outras palavras, todas as informações possíveis de se conhecer 
em um dado sistema constituem seu estado. 
 Cada sistema ocupa um estado num instante no tempo e as leis da física devem 
ser capazes de descrever como um dado sistema parte de um estado e chega a outro. 
Em outras palavras, as leis da física devem dizer como o sistema evolui (de estado 
em estado). Muitas variáveis que ficam bem determinadas na mecânica clássica são 
substituídas por distribuições de probabilidades na mecânica quântica, que é uma 
teoria intrinsicamente probabilística (isto é, dispõe-se apenas de probabilidades não 
por uma simplificação ou ignorância,mas porque isso é tudo que a teoria é capaz de 
fornecer). 
 
A REPRESENTAÇÃO DO ESTADO 
 No formalismo da mecânica quântica, o estado de um sistema num dado 
instante de tempo pode ser representado de duas formas principais: 
1. O estado é representado por uma função complexa das posições ou dos momenta 
de cada partícula que compõe o sistema. Essa representação é chamada função de 
onda. 
2. Também é possível representar o estado por um vetor num espaço vetorial 
complexo. Esta representação do estado quântico é chamada vetor de estado. Devido 
à notação introduzida por Paul Dirac, tais vetores são usualmente chamados kets. 
 
 
21 
 Em suma, tanto as "funções de onda" quanto os "vetores de estado" (ou kets) 
representam os estados de um dado sistema físico de forma completa e equivalente 
e as leis da mecânica quântica descrevem como vetores de estado e funções de onda 
evoluem no tempo. 
 Estes objetos matemáticos abstratos (kets e funções de onda) permitem o 
cálculo da probabilidade de se obter resultados específicos em um experimento 
concreto. Por exemplo, o formalismo da mecânica quântica permite que se calcule a 
probabilidade de encontrar um elétron em uma região particular em torno do núcleo. 
Para compreender seriamente o cálculo das probabilidades a partir da informação 
representada nos vetores de estado e funções de onda é preciso dominar alguns 
fundamentos de álgebra linear. 
 
 
 
 
 
 
PRIMEIROS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 
 É impossível falar seriamente sobre mecânica quântica sem fazer alguns 
apontamentos matemáticos. Isso porque muitos fenômenos quânticos difíceis de se 
imaginar concretamente podem ser representados sem mais complicações com um 
pouco de abstração matemática. 
 Há três conceitos fundamentais da matemática - mais especificamente da 
álgebra linear - que são empregados constantemente pela mecânica quântica. São 
estes: (1) o conceito de operador; (2) de autovetor; e (3) de autovalor. 
Vetores e espaços vetoriais 
 
 
22 
 Na álgebra linear, um espaço vetorial (ou o espaço linear) é uma coleção dos 
objetos abstratos (chamados vetores) que possuem algumas propriedades que não 
serão completamente detalhadas aqui. 
Por agora, importa saber que tais objetos (vetores) podem ser adicionados uns 
aos outros e multiplicados por um número escalar. O resultado dessas operações é 
sempre um vetor pertencente ao mesmo espaço. Os espaços vetoriais são os objetos 
básicos do estudo na álgebra linear, e têm várias aplicações na matemática, na 
ciência, e na engenharia. 
O espaço vetorial mais simples e familiar é o espaço Euclidiano bidimensinal. 
Os vetores neste espaço são pares ordenados e são representados graficamente 
como "setas" dotadas de módulo, direção e sentido. No caso do espaço euclidiano 
bidimensional, a soma de dois vetores quaisquer pode ser realizada utilizando a regra 
do paralelogramo. 
Todos os vetores também podem ser multiplicados por um escalar - que no 
espaço Euclidiano é sempre um número real. Esta multiplicação por escalar poderá 
alterar o módulo do vetor e seu sentido, mas preservará sua direção. O 
comportamento de vetores geométricos sob estas operações fornece um bom modelo 
intuitivo para o comportamento dos vetores em espaços mais abstratos, que não 
precisam de ter a mesma interpretação geométrica. Como exemplo, é possível citar o 
espaço de Hilbert (onde "habitam" os vetores da mecânica quântica). Sendo ele 
também um espaço vetorial, é certo que possui propriedades análogas àquelas do 
espaço Euclidiano. 
 
Os operadores na mecânica quântica 
 Um operador é um ente matemático que estabelece uma relação funcional 
entre dois espaços vetoriais. A relação funcional que um operador estabelece pode 
ser chamada transformação linear. Os detalhes mais formais não serão apontados 
aqui. Interessa, por enquanto, desenvolver uma idéia mais intuitiva do que são esses 
operadores. Por exemplo, considere o Espaço Euclidiano. Para cada vetor nesse 
espaço é possível executar uma rotação (de um certo ângulo) e encontrar outro vetor 
 
 
23 
no mesmo espaço. Como essa rotação é uma relação funcional entre os vetores de 
um espaço, podemos definir um operador que realize essa transformação. Assim, dois 
exemplos bastante concretos de operadores são os de rotação e translação. 
 Do ponto de vista teórico, a semente da ruptura entre as físicas quântica e 
clássica está no emprego dos operadores. Na mecânica clássica, é usual descrever o 
movimento de uma partícula com uma função escalar do tempo. Por exemplo, imagine 
que vemos um vaso de flor caindo de uma janela. Em cada instante de tempo 
podemos calcular a que altura se encontra o vaso. Em outras palavras, descrevemos 
a grandeza posição com um número (escalar) que varia em função do tempo. 
 Uma característica distintiva na mecânica quântica é o uso de operadores para 
representar grandezas físicas. Ou seja, não são somente as rotações e translações 
que podem ser representadas por operadores. Na mecânica quântica grandezas 
como posição, momento linear, momento angular e energia também são 
representados por operadores. 
 Até este ponto já é possível perceber que a mecânica quântica descreve a 
natureza de forma bastante abstrata. Em suma, os estados que um sistema físico 
pode ocupar são representados por vetores de estado (kets) ou funções de onda (que 
também são vetores, só que no espaço das funções). As grandezas físicas não são 
representadas diretamente por escalares (como 10 m, por exemplo), mas por 
operadores. Para compreender como essa forma abstrata de representar a natureza 
fornece informações sobre experimentos reais é preciso discutir um último tópico da 
álgebra linear: o problema de autovalor e autovetor. 
Saiba que há ideias inéditas apresentadas na Teoria Quântica, estando 
dentre elas: 
  O âmbito quântico segue regras bem diferentes daquelas presentes no 
mundo que vemos em nosso cotidiano. 
 A ação (ou momento angular) não é contínua, mas vem em pequenas, mas 
discretas, unidades. 
  As partículas elementares se comportam ambos como partículas e como 
ondas. 
 
 
24 
 O movimento de uma partícula específica é inerentemente aleatória e pode 
ser somente prevista em termos de probabilidades. 
 É fisicamente impossível mensurar simultaneamente a posição e o momento 
de uma partícula para além da precisão permitida pela constante de Planck. Quanto 
mais precisamente uma é percebida, menos precisa a outra será. 
Esteja ciente de que partículas de grande massa passam por uma transição do 
clássico ao quântico. 
 Mesmo que o elétron livre exiba certas propriedades quânticas (como spin), à 
medida que o elétron livre se aproxima do átomo e se desacelera (talvez por emitir 
fótons), passa por uma transição do comportamento clássico ao quântico, já que sua 
energia vai abaixo de sua energia de ionização. O elétron é então unido ao átomo, e 
seu momento angular com respeito ao núcleo atômico é restrito aos valores 
quantizados dos orbitais que ele poderá ocupar. A transição é rápida. Uma pessoa 
poderia compará-la com aquela de um sistema mecânico que se altera a partir da 
exibição de comportamentos instáveis a estáveis da exibição de comportamentos 
caóticos ou até mesmo de um foguete espacial que se desacelera e se reduz até estar 
abaixo da velocidade de escape e entre em órbita com alguma estrela ou outro objeto 
celeste. Em contraste, fótons (que não possuem massa) não passam por essa 
transição: eles apenas viajam pelo espaço sem qualquer alteração até que interajam 
com outras partículas e, então, desaparecem. Enquanto você observar o céu noturno, 
os fótons de alguma estrela terão viajado diversos anos-luz de espaço inalterados e, 
em seguida, interagidos com um elétron em uma molécula de sua retina, transferindo 
sua energia e, por fim, desaparecendo. 
Entenda a Dualidade Partícula-Onda. 
 
 
25Ela postula que toda a matéria exibe propriedades de onda e partícula. Como 
conceito central da mecânica quântica, essa dualidade se direciona à inabilidade de 
conceitos clássicos como "partícula" e "onda" para descrever plenamente o 
comportamento de objetos na escala quântica. Para um conhecimento completo da 
dualidade da matéria, é preciso conhecer conceitos do efeito Compton, do efeito 
fotoelétrico, do comprimento de onda Broglie e da fórmula de Planck para a radiação 
de corpo negro. Todos esses efeitos e teorias provam a natureza dual da matéria. Há 
diferentes experimentos para a luz feitos por cientistas que provam que a luz possui 
uma natureza dual, ou seja, que se comporta como partícula e também como onda 
em sua natureza. Em 1901, Max Planck publicou uma análise exitosa na reprodução 
e observação do espectro de luz emitido por um objeto brilhante. Para fazê-lo, Planck 
precisou desenvolver uma afirmação matemática ad hoc da ação quantizada dos 
osciladores (átomos do corpo escuro) que emitem radiação. Foi Einstein que mais 
tarde propôs que a própria radiação eletromagnética está quantizada em fótons. 
 
 
 
 
DENSDIDADES DE PROBABILIDADE QUÂNTICAS 
São bem conhecidas as experiências mentais sobre o comportamento de 
elétrons e fótons que, após atravessarem um par de fendas, atingem um detector. 
Feymann, no Capítulo 1 do volume 3 de suas Lições de Física, discute com maestria 
os resultados sutis que se espera observar acerca do comportamento desses objetos 
quânticos (elétrons e fótons) em comparação com objetos clássicos (balas). Nos 
 
 
26 
últimos anos, as experiências de dupla-fenda tornaram-se reais, tanto para fótons 
quanto para elétrons. 
Esses experimentos de dupla-fenda demonstraram que elétrons e fótons 
apresentam características tanto de ondas como de partículas e revelam a natureza 
probabilística dos fenômenos quânticos. Existe enorme admiração por grande parte 
dos físicos e interessados em ciência pela chamada dualidade onda-partícula e o 
correspondente princípio da complementaridade de Niels Bohr. 
Contudo, na nossa concepção, ondas e partículas devem ser considerados 
conceitos essencialmente clássicos, que não precisam ser estendidos para o universo 
quântico. Elétrons, fótons, átomos e até mesmo moléculas são objetos quânticos 
descritos pela Mecânica Quântica, que é bastante diferente da Mecânica Clássica que 
descreve os fenômenos macroscópicos. 
Considere o seguinte experimento mental: um feixe de elétrons incide sobre 
uma placa metálica que possui duas fendas paralelas. Elétrons podem passar 
livremente pelas fendas, mas ficam retidos se atingirem a placa. Atrás da placa 
metálica encontra-se um detector, que registra um ponto luminoso sempre que 
atingido por um elétron. Imagine que o feixe é extremamente fraco, com os elétrons 
incidentes bem separados temporalmente, chegando ao detector, depois de passar 
pela placa metálica, um de cada vez. A pergunta é: depois de um longo tempo, o que 
veremos? 
Duas características são marcantes nesse experimento. Primeiro, os elétrons 
não chegam todos ao mesmo lugar. Inicialmente, não parece existir nenhuma 
regularidade no registro dos pontos luminosos. Pelo contrário, eles vão surgindo ao 
acaso. Somente depois de muito tempo é que percebemos um padrão: existem 
regiões nas quais é mais provável que o elétron incida (faixas verticais mais 
brilhantes), e regiões nas quais isso é menos provável (faixas verticais mais escuras). 
Note que esse é um padrão estatístico, ou seja, a incidência de um único elétron não 
nos diz nada, apenas o comportamento de todos eles juntos ao longo do tempo é que 
revela o padrão. 
Somos obrigados a tirar duas conclusões das observações citadas. A primeira 
é que devemos descrever os elétrons usando uma linguagem probabilística. Essa é 
 
 
27 
uma das principais novidades da física quântica em relação à física clássica: objetos 
quânticos devem ser sempre representados por densidades de probabilidade. A 
segunda conclusão a ser tirada é que a função densidade de probabilidade que 
descreve o experimento em questão não é uma simples Gaussiana, concentrada em 
uma única região do espaço. Em vez disso, é uma função que oscila periodicamente 
no espaço, alternando regiões de maior e menor probabilidade. Ou seja, é uma função 
que, de certa maneira, possui um comportamento ondulatório. 
O elétron é certamente um objeto quântico, mas nem todos os objetos 
quânticos precisam ter massa tão pequena quanto um elétron. Um próton, por 
exemplo, tem uma massa quase 2.000 vezes maior que a do elétron, e ainda é um 
objeto quântico. Os átomos, que são milhares de vezes maiores que os prótons, 
também são quânticos. Mesmo moléculas grandes, contendo dezenas ou centenas 
de átomos, podem exibir propriedades quânticas. Por exemplo, o mesmo experimento 
que você acabou de assistir foi realizado com moléculas chamadas de fulerenos 
(C60), que contêm 60 átomos de Carbono. O resultado é o mesmo: as moléculas são 
detectadas de forma aleatória, mas o acúmulo de um grande número de detecções 
revela um padrão que consiste de franjas nas quais a detecção é alternadamente mais 
e menos provável. 
O experimento com fulerenos foi descrito no artigo Wave-particle duality of C60 
moleculares, publicado em 1999 na revista Nature As moléculas foram aquecidas em 
um forno a temperaturas da ordem de 1.000 K, e depois passaram por um conjunto 
de fendas (mais de duas) que tinham 50 nm de largura cada uma. A detecção foi 
realizada a uma distância de 1,25 m atrás das fendas. O resultado experimental 
mostra um corte da função densidade de probabilidade representada pelo número de 
detecções em 50 segundos; infelizmente, apenas uma região brilhante central e duas 
regiões brilhantes laterais podem ser identificadas. 
Entenda a Superposição Quântica 
A superposição quântica se refere à propriedade mecânica quântica de 
soluções à equação de Schrödinger. Uma vez que a equação de Schrödinger é linear, 
qualquer combinação linear de soluções a uma equação em particular também será 
uma solução para ela. Essa propriedade matemática de equações lineares é 
 
 
28 
conhecida como o princípio da superposição. Na mecânica quântica, essas soluções 
são frequentemente desenvolvidas para serem ortogonais, como nos níveis 
energéticos de um elétron. Ao fazê-lo, a energia sobreposta dos estados é anulada e 
o valor esperado de um operador (qualquer estado superposto) se torna o valor 
esperado do operador nos estados individuais, multiplicados pela fração do estado 
superposto que está "dentro" daquele estado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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