Calculo Numérico. Américo Cunha 2015.1 UERJ

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Ca´lculo Nume´rico IV
Lista 1 — 2015.1
Exerc´ıcio 1
1. Converta os seguintes nu´meros bina´rios para sua representac¸a˜o decimal.
a) 11001011
b) 110101
c) 10000011
d) 10001111
e) 11100011
f) 100
g) 10010
h) 111111
i) 10101010
j) 1010101
k) 1101
l) 0,110
m) 0, 0011
n) 111, 01
2. Converta os seguintes nu´meros decimais para sua representac¸a˜o bina´ria.
a) 213
b) 9
c) 67
d) 99
e) 23
f) 143
g) 6
h) 1
i) 197
j) 252
k) 13
l) 0,75
m) 3,8
n) 10, 6
Exerc´ıcio 2
Dado o nu´mero 12,20 que esta´ representado na base 4, represente-o na base 3.
Exerc´ıcio 3 (Operac¸o˜es com ponto flutuante)
Para exemplificar como sa˜o realizadas as operac¸o˜es com ponto flutuante, consideremos um sistema
(β, t, L, U) = (10, 7,−95, 96), usado no formato IEEE 754 decimal 32.
Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o: para adicionar nu´meros representados em ponto flutuante, primeiro devemos
coloca´-los com o mesmo expoente. No exemplo a seguir, o segundo nu´mero e´ deslocado treˆs d´ıgi-
tos para a direita, e enta˜o se segue o me´todo de adic¸a˜o convencional.
123456,7 = 1.234567× 105
101,7654 = 1.017654× 102 = 0.001017654× 105
Donde:
123456,7 + 101,7654 = 1, 234567× 105 + 1, 017654× 102
= 1, 234567× 105 + 0, 001017654× 105
= (1, 234567 + 0, 001017654)× 105
= 1, 235584654× 105
1
O resultado acima e´ exato. No sistema de ponto flutuante considerado, ele sera´ arredondado (ou trun-
cado) e normalizado para sete d´ıgitos. Assim, o resultado final sera´ 1, 235585×105 (ou 1, 235584×105).
Multiplicac¸a˜o e Divisa˜o: para multiplicar nu´meros representados em ponto flutuante, os d´ıgitos signi-
ficativos sa˜o multiplicados pelo me´todo convencial de multiplicac¸a˜o, enquanto que os expoentes sa˜o
adicionados, o resultado final e´ arredondado (ou truncado) e normalizado.
4, 734612× 103 × 5, 417242× 105 = 25, 648538980104× 108
O resultado acima e´ exato. Depois do arredondado (ou truncamento) temos 25, 64854 × 108 (ou
25, 64853× 108), que finalmente sera´ normalizado para 2, 564854× 109 (ou 2, 564853× 109).
1. Utilizando o sistema de ponto flutuante IEEE 754 decimal 32, calcule as operac¸o˜es x+ y, x− y,
x× y e x/y, onde:
a) x = 1, 234567× 105 e y = 9, 876543× 10−3
b) x = 1, 234571× 105 e y = 1, 234567× 10−5
c) x = 0, 7237× 104 e y = 0, 2145× 10−3
d) x = 1234, 567 e y = 45, 67834
Exerc´ıcio 4
Considere um sistema de ponto flutuante (β, t, L, U) = (10, 4,−5, 5).
a) Qual o menor e o maior nu´mero, em valor absoluto, que podem ser representados nesse sistema?
b) Usando-se arredondamento, como sera´ representado nesse sistema o nu´mero 73,758? E se fosse
usado truncamento?
c) Quanto vale x+ y, onde x = 42450 e y = 3 ?
d) Qual o resultado da soma
S = 42450 +
10∑
n=1
3,
nesse sistema ?
e) Qual o resultado da soma
S =
10∑
n=1
3 + 42450
nesse sistema ?
OBS: as operac¸o˜es devem ser realizadas na ordem em que aparecem as parcelas.
Exerc´ıcio 5
O nu´mero 0,1 tem representac¸a˜o bina´ria x = (0, 00011)2. Denote por xˆ = fl(0, 1) a versa˜o de 0,1
representada no sistema de ponto flutuante IEEE de precisa˜o simples (β, t, L, U) = (2, 23,−126, 127).
2
Calcule
ERx =
|x− xˆ|
|x| ,
o erro relativo da representac¸a˜o xˆ.
Exerc´ıcio 6
O nu´mero 8/7 = 1, 142857 na˜o pode ser representado de maneira exata num sistema de ponto
flutuante decimal e precisa˜o finita, i.e., β = 10 e t < +∞.
1. Existe algum sistema de ponto flutuante de precisa˜o finita no qual 8/7 possa ser representado
de forma exata? Se a resposta for afirmativa, indique esse sistema.
2. Responda a mesma pergunta para o nu´mero pi.
Exerc´ıcio 7 (Se´rie de Taylor)
Seja f uma func¸a˜o infinitamente diferencia´vel (todas as derivadas existem e sa˜o cont´ınuas) num
intervalo aberto I e seja x0 um nume´ro real em I. A se´rie de Taylor associada a f no ponto x0 e´
definida pelo seguinte soma´torio
∞∑
n=0
f (n)(x0)
n!
(x− x0)n,
onde f (n)(x0) denota a derivada de ordem n da func¸a˜o f no ponto x0, sendo f
(0)(x0) = f(x0), e
n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · 3 · 2 · 1 o fatorial do inteiro n. Se o ponto x0 = 0, chamamos esse somato´rio
de se´rie de Maclaurin.
Algumas func¸o˜es infinitamente diferencia´veis podem ser representadas, de maneira local, por sua
se´rie de Taylor. Tais func¸o˜es, que sa˜o chamadas de anal´ıticas, sa˜o escritas da seguinte forma
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(x0)
n!
(x− x0)n.
Sa˜o func¸o˜es anal´ıticas, os polinoˆmios, as func¸o˜es trigonome´tricas, exponencial, logaritmo etc.
1. Sendo a exponencial uma func¸a˜o anal´ıtica, mostre que
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
.
2. Calcule e−5,25 com cinco algarismos significativos de precisa˜o. Utilize para isso a aproximac¸a˜o
da func¸a˜o exponencial obtida do truncamento de sua se´rie de Taylor.
Exerc´ıcio 8
Imagine que um dispositivo eletroˆnico que utiliza o sistema de ponto flutuante (β, t, L, U) =
(10, 8,−50, 50) e´ usado para calcular as ra´ızes da equac¸a˜o de segundo grau
a x2 + b x+ c = 0,
onde os coeficientes a 6= 0, b e c sa˜o nu´meros reais conhecidos.
3
1. Calcule as ra´ızes para os seguintes coeficientes:
a) a = 1; b = −105; c = 1.
b) a = 6× 1030; b = 5× 1030; c = −4× 1030.
c) a = 10−30; b = −1030; c = 1030.
Voceˆ observou algum problema durante os ca´lculos? Saberia como resolveˆ-los?
4