Prova resolvida - Cálculo Numérico

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Matemática em Exerćıcios
Prova resolvida - Cálculo Numérico
Professor Guilherme Miguel Rosa
• Nos cálculos, utilize quatro casas após a v́ırgula fazendo o arredondamento do quarto d́ıgito para
cima se o quinto d́ıgito for ≥ 5 ou deixando igual caso contrário.
Questão 1. O sistema de ponto flutuante F (2, 10,−15, 15) pode ser representado em um computador
da seguinte forma, ocupando ao todo 16 bits (posições):
Onde
• Posição 1: sinal da mantissa (0 = + ou 1 = −);
• Posições 2 até 11: mantissa (10 d́ıgitos);
• Posição 12: sinal do expoente (0 = + ou 1 = −);
• Posição 13 até 16: representação do expoente.
Represente o número decimal 23 no sistema.
Solução:
Convertendo 23 para a base binária, temos (10111)2. Representando no sistema de ponto flutuante
normalizado com 10 d́ıgitos na mantissa: 0, 1011100000 · 25. O expoente deve ser escrito também na
base binária para o sistema fazer a representação, então 5 = (101)2. Logo, a sequência de d́ıgitos será:
0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
Questão 2. O valor de π pode ser obtido com a resolução da equação sen (x) = 0. Utilize o método
de Newton com aproximação inicial x0 = 3 e duas iterações para obter uma aproximação de π.
Solução:
xn+1 = xn −
f(xn)
f ′(xn)
Como f ′(x) = (sen x)′ = cos x; temos:
x1 = x0 −
f(x0)
f ′(x0)
= 3− sen(3)
cos(3)
= 3− 0, 1411
−0, 99
= 3, 1425.
x2 = x1 −
f(x1)
f ′(x1)
= 3, 1425− sen(3, 1425)
cos(3, 1425)
= 3, 1425− −0, 0009
−1, 0000
= 3, 1416.
1
Questão 3. A tabela a seguir apresenta a distância percorrida por um automóvel em alguns momentos.
Tempo (min) 0 10 20 30
Distância (km) 0 20.56 30.67 67.78
Utilizando interpolação polinomial, estime qual a distância percorrida no tempo 15.6 min.
Solução:
Como são dados quatro pontos, buscamos um polinômio do terceiro grau. Utilizando o polinômio
interpolador de Lagrange, temos P (x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x), onde
Lk(x) =
n∏
j=0; j ̸=k
x− xj
xk − xj
.
Note que y0 = 0, com isso não é necessário obter L0(x), pois 0 · L0(x) = 0.
L1(x) =
3∏
j=0; j ̸=k
x− xj
x1 − xj
=
x− x0
x1 − x0
· x− x2
x1 − x2
· x− x3
x1 − x3
=
x− 0
10− 0
· x− 20
10− 20
· x− 30
10− 30
=
x(x− 20)(x− 30)
2000
.
L2(x) =
3∏
j=0; j ̸=k
x− xj
x2 − xj
=
x− x0
x2 − x0
· x− x1
x2 − x1
· x− x3
x2 − x3
=
x− 0
20− 0
· x− 10
20− 10
· x− 30
20− 30
=
x(x− 10)(x− 30)
−2000
.
L3(x) =
3∏
j=0; j ̸=k
x− xj
x3 − xj
=
x− x0
x3 − x0
· x− x1
x3 − x1
· x− x2
x3 − x2
=
x− 0
30− 0
· x− 10
30− 10
· x− 20
30− 20
=
x(x− 10)(x− 20)
6000
.
Então:
P (x) = 20, 56 · x(x− 20)(x− 30)
2000
+ 30, 67 · x(x− 10)(x− 30)
−2000
+ 67, 78 · x(x− 10)(x− 20)
6000
.
Como desejamos estimar P (15, 6) :
P (15, 6) =
20, 56 · 15, 6(−4, 4)(−14, 4)
2000
+
30, 67 · 15, 6 · 5, 6(−14, 4)
−2000
+
67, 78 · 15, 6 · 5, 6(−4, 4)
6000
=
20321, 833
2000
− 38582, 3693
−2000
− 26053, 5475
6000
= 10, 1609 + 19, 2912− 4, 3423
= 25, 1098.
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Questão 4. Em um experimento foram coletados os seguintes dados
x 0 1 2 3 4
f(x) 0.01 1.01 1.40 3.81 4.01
.
a) Determine a reta que melhor se ajusta aos dados da tabela.
b) Estime f(5).
Solução:
a) Pelo método dos mı́nimos quadrados, devemos resolver o sistema abaixo:
4∑
k=0
x2k
4∑
k=0
xk
4∑
k=0
xk
4∑
k=0
1

(
a
b
)
=

4∑
k=0
xkyk
4∑
k=0
yk
 .
Calculando os somatórios:
•
4∑
k=0
x2k = 0
2 + 12 + 22 + 32 + 42 = 30;
•
4∑
k=0
xk = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10;
•
4∑
k=0
1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5;
•
4∑
k=0
xkyk = 0 · 0, 01 + 1 · 1, 01 + 2 · 1, 4 + 3 · 3, 81 + 4 · 4, 01 = 31, 28;
•
4∑
k=0
yk = 0, 01 + 1, 01 + 1, 4 + 3, 81 + 4, 01 = 10, 24.
Com isso, o sistema é dado por: (
30 10
10 5
)(
a
b
)
=
(
31, 28
10, 24
)
.
Resolvendo o sistema, obtemos a = 1, 08 e b = −0, 112. Logo, a reta é y = 1, 08x− 0, 112.
b) f(5) = 1, 08 · 5− 0, 112 = 5, 288.
Questão 5. Apresente uma função f(x) onde a regra dos trapézios calcula o valor exato da integral.
Solução (2,5):
Qualquer função polinomial do primeiro grau, pois na regra do trapézio a função é aproximada por
uma reta, então a aproximação será igual a própria função nesse caso.
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Questão 6. Dada a tabela
x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(x) 1 1.2408 1.5735 2.0333 2.6965 3.7183
,
calcule
∫ 1
0
f(x) dx utilizando a regra de Simpson.
Solução:∫ 1
0
f(x) dx =
∫ 0,4
0
f(x) dx+
∫ 1
0,4
f(x) dx
=
0, 2
3
[f(x0) + f(x2) + 4f(x1)] +
3 · 0, 2
8
[f(x2) + f(x5) + 3f(x3) + 3f(x4)]
= 0, 0667(1 + 1, 5735 + 4, 9632) + 0, 075(1, 5735 + 3, 7183 + 6, 0999 + 8, 0895)
= 0, 0667 · 7, 5367 + 0, 075 · 19, 4812
= 0, 5027 + 1, 4611
= 1, 9638.
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