Slide - Unidade 2

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Prof. Dr. Joares Junior
UNIDADE II
Mecânica da Partícula
 Como noção intuitiva, a aceleração é a medida da mudança de velocidade com o tempo. 
Por exemplo, um carro é capaz de “acelerar” de 0 a 108 km/h em 6s. 
 A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo.
A aceleração média em um dado intervalo de tempo é definida como:
 No S.I., m/s2
Cinemática. Aceleração média.
 A aceleração instantânea é o limite da aceleração média quando o Δt tende a zero, ou seja,
 a aceleração instantânea é a inclinação da reta tangente ao gráfico v x t.
Cinemática. Aceleração instantânea.
Os movimentos acelerados podem ser classificados em quatro tipos, dependendo dos sinais da 
aceleração e da velocidade. Temos:
 Movimento progressivo e acelerado: v > 0 e a > 0. Nesse caso, a partícula se move no 
sentido positivo do eixo das posições e a velocidade está aumentando com o tempo.
 Movimento progressivo e retardado: v > 0 e a < 0. A partícula, nesse caso, está se movendo 
no sentido positivo do eixo das posições, mas a velocidade está diminuindo com o tempo.
Cinemática. Classificação de movimentos.
 Movimento retrógrado e retardado: v < 0 e a > 0. A partícula aqui se move no sentido 
negativo do eixo das posições; porém, como a aceleração é positiva e a velocidade é 
negativa, isso fará com que a partícula diminua sua velocidade com o tempo.
 Movimento retrógrado e acelerado: v < 0 e a < 0. Nesse caso, a partícula também se move 
no sentido negativo do eixo das posições; mas, como a aceleração e a velocidade são 
ambas negativas, isso fará com que a partícula aumente sua velocidade com o tempo. 
Cinemática. Classificação de movimentos.
Nesse tipo de movimento, a aceleração instantânea é constante, ou seja:
Se e t0 = 0 e v(t0) = v0, temos que a velocidade fica:
Cinemática. Movimento uniformemente variado – MUV 
Fonte: HALLIDAY, RESNICK, 
WALKER. Fundamentos da 
Física, vol.1. Mecânica. Rio 
de Janeiro: LTC, 2006a.
0
0
V
e
lo
c
id
a
d
e
 Função horária dos espaços S = f(t)
Cinemática. MUV. Função horária dos espaços.
Fonte: Física. Caderno 
Objetivo.2020.
espaço
tempo0 t1
S0
espaço
tempot10
S0
 Nessa equação não aparece, de forma explícita, a variável tempo.
Cinemática. MUV. Equação de Torricelli.
Substituindo na função horária da posição:
Tirando o mínimo:
Finalmente:
V2 = V2 + 2aΔS0
As equações do MUV são:
Cinemática. MUV. Resumo das equações.
 Um corredor olímpico de 100 metros rasos acelera desde a largada, com aceleração escalar 
constante, até atingir a linha de chegada, por onde ele passará com velocidade escalar de 
12 m/s. Determine:
a) a aceleração escalar do corredor;
b) o tempo gasto para percorrer os 100 m.
Cinemática. MUV. Exemplo
Cinemática. MUV. Exemplo. Resolução.
Em uma corrida olímpica de 100 m rasos, o atleta brasileiro Robson Caetano conseguiu a 
marca de 10,0s, que é o recorde sul-americano. O gráfico da velocidade escalar do atleta em 
função do tempo, determinado por um computador, tem o formato aproximado apresentado a 
seguir. A velocidade escalar máxima atingida pelo atleta vale:
a) 36,0 km/h. 
b) 40,0 km/h.
c) 42,0 km/h.
d) 45,0 km/h.
e) 50,0 km/h.
Interatividade
Fonte: Física. Caderno 
Objetivo.2020.
V (m/s)
Vmáx
4,00 10,0 t (s)
d) 45 km/h
Resposta
 Desde a Antiguidade que o estudo da queda livre dos corpos foi objeto de curiosidade dos 
grandes pensadores. Galileu percebeu que a queda livre dos corpos se dá com aceleração 
constante. Essa aceleração é conhecida como aceleração da gravidade. Para quedas 
próximas à superfície da Terra, esse valor é de aproximadamente 9,8 m/s2.
Cinemática. MUV. Queda Livre.
Fonte: Física. Caderno 
Objetivo.2020.
Fonte: Física. Caderno 
Objetivo.2020.
Trajetória Trajetória
 Para o lançamento vertical, vamos adotar o seguinte sistema de referência:
Cinemática. MUV. Lançamento Vertical.
Fonte: Física. Caderno 
Objetivo.2020.
 Lançamento de uma partícula com um dado ângulo de inclinação.
Cinemática. Lançamento Oblíquo.
Altura máxima
Mov. Vertical
Tempo de subida
Mov. Horizontal
Alcance horizontal
y
Voy
Vo
0 Vox
V0x = V0COS(θ)
V0y = V0sen(θ)
Vox
VVy
y
x
D
 Veja a animação
Cinemática. Lançamento Oblíquo.
 Um vetor é uma quantidade completamente especificada por um número e uma unidade 
(magnitude ou módulo do vetor), direção e sentido (seu caráter geométrico). 
Cinemática. Vetores
Fonte: SERWAY, Jewet. Physics for 
Scientists and Engineers with Modern
Physics. Ninth Edition, Boston, USA, 2010.
Igualdade de vetores
y
x
A soma, para dois vetores, é definida por: , que possui as propriedades de:
a) Comutatividade 
b) Associatividade
Cinemática. Vetores. Adição
Fonte: SERWAY, Jewet. Physics for Scientists and Engineers
with Modern Physics. Ninth Edition, Boston, USA, 2010.
 Seja o vetor , o vetor oposto possui a mesma magnitude, mas aponta no 
sentido oposto.
Subtraindo vetores:
Cinemática. Vetores. Vetor oposto e subtração
Fonte: SERWAY, Jewet. Physics for 
Scientists and Engineers with Modern
Physics. Ninth Edition, Boston, USA, 2010.
Um vetor pode ser escrito em termos de suas componentes cartesianas:
Cinemática. Vetores. Componentes.
Fonte: SERWAY, Jewet. Physics for Scientists and
Engineers with Modern Physics. Ninth Edition, Boston, 
USA, 2010.
Ax = A cos θ
Ay = A sin θ
𝐴 = 𝐴𝑥
2 + 𝐴𝑦
2
y
y
x
x
θ
x
x
y
θ
0 0
y
Considere a situação na qual um vaso de plantas mal colocado na sacada da varanda de um 
apartamento cai, atingindo o solo após 3,5s. Desprezando-se o arrasto do ar sobre o vaso, 
podemos afirmar que o módulo da velocidade com que o vaso atingiu o solo e a altura da qual 
ele caiu valem, respectivamente (adote g = 10,0 m/s2):
a) 33 m/s e 61,25 m. 
b) 35 m/s e 61,25 m. 
c) 35 m/s e 70 m.
d) 126 km/h e 70 m.
e) 126 km/h e 80 m.
Interatividade
b) 35 m/s e 61,25 m
Resolução: velocidade final
Altura de queda:
Resposta
O vetor deslocamento é caracterizado pelas seguintes propriedades:
 Direção: a direção do vetor deslocamento é dada pela reta que une os pontos que 
representam as posições inicial e final. Isso quer dizer que o vetor deslocamento não 
depende do caminho percorrido, apenas da posição inicial e da posição final.
 Sentido: o sentido é dirigido da posição inicial até a posição final em cima da reta que 
une os dois pontos.
 Módulo (magnitude): trata-se da distância entre os dois pontos (final e inicial).
Cinemática. Vetor deslocamento.
(t1) ΔS12 (t2) V2
Posição 1 Posição 2
Movimento
ΔS13
Posição 3
(t3)
Trajetória
O vetor velocidade Ԧ𝑣 se caracteriza pelas seguintes propriedades:
 Direção: como a velocidade é a derivada da posição, sua direção será sempre a da reta 
tangente à função horária da posição em função do tempo, ou seja, paralela à trajetória.
 Sentido: o sentido da velocidade é sempre o mesmo do movimento.
 Módulo (magnitude): trata-se da velocidade escalar naquele instante.
Cinemática. Vetor Velocidade média e velocidade.
Fonte: SERWAY, Jewet. Physics for Scientists and
Engineers with Modern Physics. Ninth Edition, 
Boston, USA, 2010.
Movimento
(t1) V1
(t2) V2
Posição 1 Posição 2
Posição 3
Trajetória
Posição 4
(t3)
V3
(t4)
V4
A
B
B
B
ΔS d
Δt Δt
Vm
Δs
Δs = d
y
x0
 O conceito de aceleração está sempre ligado à ideia de variação de velocidade. Qualquer 
alteração na velocidade vetorial , seja em módulo, seja em orientação (direção e sentido), 
implicará a existência de uma aceleração vetorial .
 Para facilidade de estudo, a aceleração vetorial é decomposta em duas parcelas, que 
são denominadas aceleração tangencial e aceleração centrípeta .
Cinemática. Aceleração vetorial.
Fonte: Física. Caderno Objetivo.2020.
P
Trajetória
normal à trajetória
Tangente à
trajetória
at
aa cp
Aceleração tangencial indica a variação do valor algébrico(intensidade) da velocidade; as 
características do vetor aceleração tangencial são:
 direção: tangente à trajetória. 
 sentido: o mesmo do vetor velocidade (acelerado) ou oposto ao do vetor 
velocidade (retardado). 
 módulo: igual ao da aceleração escalar.
Aceleração centrípeta indica a variação de direção da velocidade; as características do 
vetor aceleração centrípeta são:
 direção: perpendicular ao vetor velocidade.
sentido: orientado para o centro da curvatura da trajetória no 
ponto de localização do móvel. Módulo: depende do quadrado 
da velocidade escalar e do raio (R) da curvatura da trajetória:
Cinemática. Aceleração vetorial. Componentes.
 A tabela abaixo apresenta as características dessas componentes nos diversos movimentos:
Cinemática. Aceleração vetorial. Movimentos.
Movimento
MRU
Módulo: constante
Direção: constante
Nula Nula
MRV
Módulo: variável
Direção: constante
Não nula Nula
MCU
Módulo: constante
Direção: variável Nula Não nula
MCV
Módulo: variável
Direção: variável Não nula Não nula
 Esse movimento tem velocidade de módulo constante, porém sua direção 
muda continuamente.
 O movimento circular uniforme está presente em várias situações físicas, ex.:
 um satélite em órbita geoestacionária em relação à Terra;
 ponteiros das horas, minutos e segundos em um relógio analógico;
 entre outros.
Ângulo ou fase: (rad); velocidade angular: 
Cinemática. Movimento Circular Uniforme – MCU.
P
S0
0
 Define-se período (T) como sendo o menor intervalo de tempo para que haja repetição das 
características do movimento. No movimento circular e uniforme, o período é o intervalo de 
tempo para o móvel dar uma volta completa.
 Define-se frequência (f) como sendo o número de vezes que as características do 
movimento se repetem na unidade de tempo. No movimento circular e uniforme, a frequência 
é o número de voltas realizadas na unidade de tempo. 
 Algumas relações fundamentais do MCU 
Cinemática. Movimento Circular Uniforme.
 No movimento circular e uniforme, a velocidade vetorial tem módulo constante, porém 
direção variável e, portanto, é variável.
Cinemática. Movimento Circular Uniforme. Vetores.
Fonte: SERWAY, Jewet. Physics for Scientists and Engineers
with Modern Physics. Ninth Edition, Boston, USA, 2010.
Um satélite se move com velocidade constante em uma órbita circular em torno do centro da 
Terra e próximo à sua superfície. Se o módulo de sua aceleração é de 10 m/s2 e o raio da 
Terra é de aproximadamente 6400 km, o módulo dessa velocidade e o tempo aproximado para 
uma volta completa serão de (adote ). 
a) 8.000 km/h; 80min.
b) 800 km/h; 100min.
c) 8.000 m/s; 80min.
d) 800 m/s; 180min.
e) 8.000 km/h; 100min.
Interatividade
Resposta
c) 8.000 m/s; 80min
Resolução:
 Relação de frequências na bicicleta.
 A coroa está presa à catraca, que é outra polia com dentes, por uma corrente e, portanto, os 
pontos periféricos têm a mesma velocidade linear.
A catraca, por sua vez, está fixa (é solidária) na roda traseira e, 
portanto, catraca e roda da bicicleta giram juntas com 
frequências iguais:
A velocidade escalar da bicicleta:
Cinemática. MCU. Bicicleta.
VA = VB
2πfcatraca Rcatraca = 2πfcoroa . Rcoroa
V = 
ΔS
Δt
2π Rroda 2π froda . Rroda
Troda
 MCUV se caracteriza pelo fato de que a aceleração tangencial – e, portanto, a aceleração 
angular – é diferente de zero. Como se trata de um movimento angular, a aceleração 
centrípeta também será diferente de zero.
 No MCUV, a aceleração tangencial varia apenas sua direção e seu sentido, mantendo o 
módulo constante. Já a aceleração centrípeta, que como vimos tem apenas uma direção, 
dirigida para o centro do círculo que define a trajetória, tem, porém, seu módulo variável, já 
que este depende do módulo da velocidade que está variando devido ao fato de a 
aceleração tangencial ser diferente de zero.
Cinemática. Movimento Circular Uniformemente Variado. MCUV.
Na montagem de determinado mecanismo, foi necessário acoplar duas engrenagens dentadas, 
A e B, de modo que elas girassem em sentidos contrários, como representado na figura.
As engrenagens A e B têm, em suas periferias, 15 e 60 dentes, respectivamente. Sabendo-se 
que o período de rotação da engrenagem A é de 0,5 s, a frequência de rotação da engrenagem 
B é de:
a) 0,2Hz. 
b) 0,5Hz. 
c) 1,0Hz. 
d) 1,5Hz. 
e) 2,0Hz
Interatividade
Fonte: Física. Caderno Objetivo.2020.
Nota: admita que os dentes são 
iguais de tal modo que o raio de 
cada engrenagem é proporcional ao 
número de dentes.
b) 0,5Hz. 
Resposta
Resolução
ATÉ A PRÓXIMA!