projeto4 Mat discreta Prof Moura

Prévia do material em texto

IME/UERJ
Matema´tica Discreta – Turma 1
Os Primos e suas surpresas
Projeto 4 (Entrega: 30-XI-2011)
Considere a func¸a˜o definida como segue. Para cada natural n tomamos o
intervalo de naturais
Dn := { j ∈ IN | 10(n− 1) < j ≤ 10n } .
Contamos enta˜o quantos primos existem em cada um desses intervalos, de-
notando o valor obtido por Υn . Em aula obtivemos:
Υ1 = 5 , Υ2 = 4 , Υ3 = 2 , Υ4 = 2 , Υ5 = 3 , Υ6 = 2 , Υ7 = 2
e assim por diante. Observemos que Υ2 = 4 e so´ temos novamente esse
valor para Υ11 = 4 , pois
D11 = { 101, 103, 107, 109 } . (1)
Nas 7 primeiras verificac¸o˜es, na˜o encontramos nenhum intervalo Dn onde
Υn = 1 ou Υn = 0 . Ocorrera´ uma dessas expresso˜es? Ou ambas, para
valores de n suficientemente grandes? E a expressa˜o ΥJ = 4 continuara´
ocorrendo desde que J seja suficientemente grande?
O objetivo do projeto e´ fornecer uma ideia do comportamento da func¸a˜o
Υ : IN → IN para uma quantidade elevada de valores de n, a partir de
um gra´fico a ser constru´ıdo.
E, se poss´ıvel, responder – com rigor – a`s perguntas acima. . .
O/As autore/as dos 3 melhores projetos, elaborados individualmente,
com livre consulta, ter~ao me´dias 10; 9,5; e 9, respectivamente,
quaisquer que sejam as demais notas.
A ajuda do computador sera´ fundamental!