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APRESENTAÇÃO – ANA FLÁVIA RODRIGUES SALES
- Bacharela em Engenharia Mecânica
- Licenciada em Física
- Mestra em Engenharia de Materiais 
- Pós-Graduada em Docência no Ensino 
Superior
- Pós-Graduada em Engenharia de Segurança 
do Trabalho
- Doutoranda em Engenharia Mecânica
ana.sales@newtonpaiva.br
Ementa da disciplina: 
Propriedades e características físicas da madeira e do aço; Propriedades mecânicas e 
físicas da madeira e do aço; Considerações de ações e seguranças em projetos de 
estruturas (Combinações de esforços); Estados limites; Critérios gerais de 
dimensionamento: tração, compressão, flexão e combinações de esforços. Barras 
Tracionadas; Barras comprimidas com flambagem; Barras Cisalhadas e Fletidas; Barras de 
madeira e de aço sob combinações de esforços solicitantes; Ligações.
ESTRUTURAS DE AÇO E MADEIRA
CRITÉRIOS DE PONTUAÇÃO
Etapa avaliativa Pontuação Observações
1ª avaliação de 
aprendizagem
40 pontos 10 pontos de exercício
30 pontos da avaliação
2ª avaliação de 
aprendizagem
60 pontos 20 pontos de exercício 
40 pontos de avaliação
Avaliação 
substitutiva
Pontuação perdida Para os alunos que tiverem 
justificativa dentro dos 
critérios da instituição e 
requerimento aprovado
Avaliação especial 100 pontos Nota final: (Nota do semestre 
+ AE)/2
PLANEJAMENTO DE AULAS
https://newtonpaiva.br/wp-content/uploads/2021/12/Calendario2022.pdf
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
15/02 Apresentação da disciplina e Conteúdo 
Programático
17/02 Material madeira: exemplos de aplicação, 
constituintes, classificação e propriedades.
22/02 Defeitos em madeiras e sistemas estruturais
24/02 Defeitos em madeiras e sistemas estruturais
03/03 Estado limite último e estado limite de serviço
08/03 Tração em madeira
10/03 Tração em madeira
15/03 Tração em madeira
17/03 Compressão em peças curtas
22/03 Compressão em peças curtas
24/03 Compressão em peças medianamente esbeltas
26/03 Exercícios de fixação
29/03 Compressão em peças medianamente esbeltas
31/03 Compressão em peças esbeltas
05/04 Compressão em peças esbeltas
07/04 Exercícios de fixação
12/04 Flexão 
19/04 Cisalhamento e ligações estruturais
26/04 Exercícios de aprendizagem
28/04 Avaliação de aprendizagem AV1
03/05 Introdução a NBR 8800 e propriedades dos 
aços
05/05 Método dos estados limites
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
10/05 Resistência a tração
12/05 Resistência a tração
17/05 Resistência a compressão: Flambagem global
19/05 Resistência a compressão: Flambagem global
24/05 Resistência a compressão: Flambagem local
26/05 Resistência a compressão: Flambagem local
31/05 Flexão em estruturas metálicas
07/06 Flexão em estruturas metálicas
09/06 Força cortante e enrijecedores transversais
14/06 Força cortante e enrijecedores transversais
21/06 Exercício de fixação
23/06 Avaliação de aprendizagem AV2
28/06 Estudos orientados
30/06 Estudos orientados
05/07 Avaliação especial
07/07 Divulgação dos resultados
12/07 Dúvidas finais
14/07 Dúvidas finais
Utilizações diversas em pontes, residências, igrejas, cimbramentos, edificações expostas a 
agentes corrosivos e outros. 
Praticidade na construção e possibilidade de uso estético.
ESTRUTURAS DE MADEIRA – NBR 7190:1997
ESTRUTURAS DE MADEIRA – NBR 7190:1997
Vantagens: 
excelente relação resistência/peso, facilidade 
de fabricação de diversos produtos e bom 
isolamento térmico.
Desvantagens: 
degradação biológica e ataques biológicos, 
ação do fogo, defeitos (material natural) que 
podem alterar propriedades mecânicas.
- Aspectos desfavoráveis são superados 
com produtos industriais tratados. 
ESTRUTURAS DE MADEIRA – NBR 7190:1997
Material ρ (t/m³) f (MPa) f/ρ
Madeira a 
tração
0,5-1,2 30-110 60-90
Madeira a 
compressão
0,5-1,2 30-60 50-60
Aço a tração 7,85 250 32
Concreto a 
compressão
2,5 40 16
Fonte: Pfeil e Pfeil (2018)
Madeira é um conjunto de polímeros naturais, 
resultante de um processo de fotossíntese, que forma o 
tecido lenhoso das árvores.
A madeira é constituída principalmente por substâncias 
orgânicas que se aproximam da proporção de 50% de 
carbono, 44% de oxigênio e 6% de hidrogênio. 
O principal componente da madeira é a celulose (50% 
aproximadamente), seguido das hemiceluloses (20 a 
25%) e a lignina (20 a 30%). A lignina é que provê rigidez 
e resistência a compressão às paredes das fibras. 
ESTRUTURAS DE MADEIRA
Categorias de 
madeiras que diferem 
por estrutura celular 
do tronco. Não 
necessariamente 
associada com a 
resistência mecânica. 
ESTRUTURAS DE MADEIRA Madeiras
Duras – Dicotiledôneas da 
classe Angiosperma
Macias – Confíferas da 
classe Gimnosperma
Crescimento lento. 
Exemplo: peroba, ipê, aroeira, 
carvalho, etc. 
Crescimento rápido.
Exemplo: pinheiros europeus, 
pinheiro bravo, pinheiro do 
paraná, etc. 
(2) Alburno ou branco –
3 a 5 cm, normalmente. 
Conduzem seiva das 
raízes para as folhas.
(1) Casca – proteção externa
(3) Cerne ou durâmen – células do 
alburno que se tornaram inativas e 
passam a ter função de 
sustentação do tronco, somente. 
Anéis de crescimento anual
Raios medulares –
células do 
parênquima
(4) Medula – tecido macio no qual 
verifica o crescimento da madeira
Camadas da madeira
ESTRUTURAS DE MADEIRA
Madeiras mais duráveis 
Local onde madeiras de 
construção devem ser 
retiradas, 
preferencialmente
ESTRUTURAS DE MADEIRA
Material anisotrópico em três direções: longitudinal, tangencial e radial. Na prática, é 
importante diferenciar as direções das fibras (longitudinal) e perpendiculares as fibras. 
PROPRIEDADES FÍSICAS DA MADEIRA
A umidade da madeira tem influência direta em suas propriedades. O grau de umidade 
U é o peso de água contido na madeira, expresso em termos de porcentagem, em 
relação a madeira seca. 
No qual 𝑃𝑖 é o peso inicial da madeira e 𝑃𝑠 é o peso dela seca em estufa.
A faixa de umidade para madeiras verdes é de aproximadamente 30% para madeiras 
mais resistentes e de 130% para madeiras mais macias.
UMIDADE DA MADEIRA
𝑈 % =
𝑃𝑖 − 𝑃𝑠
𝑃𝑠
∗ 100
A madeira evapora, durante a sua secagem, a água contida nas células ocas, por volta 
de 30% de umidade e é denominada madeira meio seca. 
Continuando-se a secagem, a madeira atinge o ponto de equilíbrio com o ar, quando é 
chamada de madeira seca ao ar. A umidade nesse ponto depende da umidade 
atmosférica e geralmente está entre 10 a 20% para umidade relativa do ar de 60 a 90%. 
A umidade padrão utilizada no Brasil para a definição das propriedades é de 12%. 
UMIDADE DA MADEIRA
ITEM F.6
VANTAGENS DA MADEIRA SECA
• Menor peso no transporte
• Melhoria de acabamentos 
(tintas, vernizes, etc.)
• Redução de probabilidade 
de ataque de 
microorganismos. 
• Aumento das propriedades 
mecânicas do material
• Retração, se madeira for 
implementada sem 
secagem, pode levar a 
possíveis problemas em 
ligações e empenamentos. 
1) Carvalho brasileiro
2) Eucalipto
3) Pinho brasileiro
DETERIORAÇÃO DA MADEIRA
Ataque biológico
A vulnerabilidade depende: 
da camada do tronco em que a madeira foi 
extraída; 
da espécie da madeira; 
das condições ambientais;
da utilização de preservativos químicos. 
Ataque do fogo
Principalmente em peças esbeltas de madeira. 
Pode-se melhorar utilizando retardadores de fogo ou 
recursos que minimizem a exposição direta. 
DEFEITOS EM MADEIRA
a) Nós: distorções nas fibras da madeira 
nos pontos em que existiam galhos. Os 
nós de galhos mortos podem cair 
durante o corte mas os nós de galhos 
vivos permanecem firmes. 
b) Fendas: aberturas nas peças 
produzidas por secagem. Para evitar, 
deve-se fazer secagem lenta e 
uniforme da madeira
c) Gretas/ventas: separação entre anéis 
anuais por tensões internas ou 
externas.
d) Abaulamento: encurvamento da 
direção da largura da peça.
DEFEITOS EM MADEIRA
e) Arqueadura: encurvamento no 
sentido longitudinal da peça.
f) Fibras reversas: fibras não paralelas 
ao eixo da peça. Origem natural 
(proximidade de nós ou 
crescimento espiral) ou por 
serragem incorreta que reduzem a 
resistênciada madeira. 
g) Esmoada ou quina morta: canto 
arredondado pela curvatura natural 
do tronco. 
PRODUTOS DA MADEIRA E SISTEMAS ESTRUTURAIS
Madeira maciça
Madeira bruta/roliça: empregada em forma de 
tronco
Madeira falquejada: laterais aparadas em 
machado
Madeira serrada: produto mais comum
Madeira industrializada
Madeira compensada: colagem de laminas finas 
com direções das fibras alternadamente ortogonais
Madeira laminada (ou microlaminada) e colada: 
lâminas de 15 a 50mm de espessura coladas sob pressão
Madeira recomposta: produtos obtidos por 
resíduos de madeiras.
MADEIRA ROLIÇA
É utilizada com mais frequência em construções provisórias, como escoramento.
Os mais utilizados são eucalipto e pinho do paraná, no Brasil.
Corte realizado durante o período seco (no Brasil, preferencialmente no
inverno) por conta do menor teor de umidade que facilita transporte e secagem
(que deve ser feita sem casca, em lugar arejado e protegido contra o sol.
Para evitar rachadura nas extremidades, recomenda-se revesti-las de alcatrão
ou outro impermeabilizante.
A toragem (corte em toras) deve acontecer com madeiras de 4 a 6 metros, não
novas, para garantir um bom cerne.
MADEIRA ROLIÇA
Peças roliças de diâmetro variável (formato de tronco de cone), para efeito de cálculo, devem ser
comparadas a peças cilíndricas de diâmetro de 1/3 da peça - 𝑑 ≤ 1,5 𝑑𝑚𝑖𝑛.
MADEIRA ROLIÇA
Se uma madeira roliça de comprimento L=6m com formato cilíndrico possui diâmetro máximo de
100cm e mínimo de 40cm, para efeito de cálculo, qual será o diâmetro utilizado?
MADEIRA ROLIÇA
MADEIRA FALQUEJADA
Corte da madeira obtida com machado, apenas, em seções aproximadamente retangular
MADEIRA SERRADA
A obtenção de madeira serrada deve ser feita o mais rápido possível depois da
extração, evitando defeitos decorrentes da secagem da madeira. São cortadas,
normalmente, em espessuras comerciais, com serras de fita contínua.
Um desdobramento radial faz com que o
material seja mais homogêneo mas é mais
caro, por isso, o uso do desdobramento
transversal/paralelo é mais comum.
MADEIRA SERRADA
MADEIRA SERRADA
Desdobro: obtenção de peças de madeira serrada
através da madeira maciça.
Processo de secagem:
Peças colocadas empilhadas com espaçadores
para circulação de ar em todas as faces em galpões
abertos bem ventilados, livre do sol.
Processo pode levar de 1 a 2 anos para
madeiras macias e 2 a 3 anos para madeiras de lei.
Pode-se fazer circular ar quente entre as
madeiras, evitando calor demasiado, que pode
prejudicar a durabilidade da mesma ou colocar
madeira em um túnel com temperatura
aumentando para manter evaporação constante
com finalidade de acelerar o processo
MADEIRA COMPENSADA
Colagem de 3 ou mais lâminas de madeira (lâminas de 1 a 5mm), alternando-se a direção das fibras em
ângulo reto, sempre em número ímpar.
MADEIRA COMPENSADA
Obtenção de um produto mais isotrópico que a
madeira maciça. Apresenta vantagem, em relação a
essas, em estados de tensões biaxiais.
Os compensados para utilização em seco podem ser
colados com cola de caseína, por exemplo, para
utilizações em portas, armários, divisórias.
Compensados estruturais que podem estar expostos
ao tempo e umidade precisam ser feitos com colas
sintéticas.
Chapas de compensado são fabricadas em dimensões
padronizadas de 2,5 x 1,5m e espessuras que variam
de 4 a 30mm.
Preço 
mais 
elevado
• Fabricação em folhas 
grandes
• Reduz retração e 
inchamento
• É mais resistente na direção 
normal às fibras
• Reduz trincas em colocação 
de pregos
• Permite utilização de 
camadas externas mais 
resistentes e internas menos 
resistentes.
MADEIRA LAMINADA E COLADA
A madeira laminada e colada é um produto estrutural, formado por associação de lâminas de
madeira selecionada, coladas com adesivo e sob pressão. As fibras da lâminas têm direções paralelas.
A espessura das lâminas varia em geral de 1,5 a 3,0 cm, podendo, excepcionalmente, atingir 5,0 cm.
As lâminas podem ser emendadas com cola nas extremidades formando peças de grande
comprimento.
MADEIRA LAMINADA E COLADA
Uma das principais vantagens é a possibilidade da
construção de peças em curvo, usado em arcos,
cascas, etc.
O procedimento de fabricação é: secagem das
lâminas, preparo das lâminas, execução das juntas
emendadas, colagem sob pressão e
acabamento/tratamento preservativo.
Quanto mais inclinado o corte da junta, mais
resistente é a emenda
MADEIRA LAMINADA E COLADA
Vantagens da utilização:
Confecção de peças de grandes dimensões;
Melhor controle de umidade das lâminas;
Seleção de lâminas para posições em de maiores tensões;
Permite construção de peças curvas
Desvantagem:
Preço mais elevado que o da madeira serrada.
PRODUTOS DE MADEIRA RECOMPOSTA EM FORMA DE PLACAS
Produzidos por resíduos de madeira serrada e compensada em formato de flocos e partículas. Não
são considerados, em geral, material estrutural porque possuem baixa resistência e durabilidade. São
utilizados na indústria de móveis
SISTEMAS ESTRUTURAIS QUE UTILIZAM MADEIRA
Treliças de cobertura
SISTEMAS ESTRUTURAIS QUE UTILIZAM MADEIRA
Vigamentos para pisos Pórticos
SISTEMAS ESTRUTURAIS QUE UTILIZAM MADEIRA
Pontes de madeira
SISTEMAS ESTRUTURAIS QUE UTILIZAM MADEIRA
Cimbramentos e escoramento
PROPRIEDADES MECÂNICAS – BASE DE CÁLCULO
Determinadas em ensaios padronizados com amostras de madeiras sem defeitos.
Ensaios padronizados pelo Anexo B da NBR 7190/1997.
𝑓𝑐 , 𝑓𝑤𝑐0 − 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 à𝑠 𝑓𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠
𝑓𝑐𝑛, 𝑓𝑤𝑐90 − 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 à𝑠 𝑓𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠
𝑓𝑡, 𝑓𝑤𝑡0 − 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 à𝑠 𝑓𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠
𝑓𝑡𝑛, 𝑓𝑤𝑡90 − 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 à𝑠 𝑓𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠
𝑓𝑣, 𝑓𝑤𝑣0 − 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 à𝑠 𝑓𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠
𝐸𝑐, 𝐸𝑤0 −𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 à𝑠 𝑓𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠
𝐸𝑐𝑛, 𝐸𝑤90 −𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 à𝑠 𝑓𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠
𝜌𝑏𝑎𝑠 − 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎 − 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑎 𝑒 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜
𝜌𝑎𝑝 − 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎 𝑎 12% 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
PROPRIEDADES MECÂNICAS – BASE DE CÁLCULO
Devem ser determinados também: estabilidade dimensional por retração/inchamento; flexão por
método Charpy (𝑓𝑏𝑤); fendilhamento e dureza na direção das fibras.
Ensaios padronizados pelo Anexo B da NBR 7190/1997.
As propriedades mecânicas da madeira variam com o seu teor de umidade e, por isso, a norma prevê
que seja determinado o teor de umidade do lote de madeira para posterior ajuste dos resultados
para a condição padrão de umidade (U = 12%).
Desses ensaios, retira-se portanto as características das peças em umidade padrão, que ainda não
representam as propriedades mecânicas da madeira serrada utilizada, que ainda varia com: teor de
umidade, tempo de duração da carga, ocorrência de defeitos.
Água livre – não provoca variações nas dimensões da peça: interior dos vasos/traqueídes
Água de impregnação – provoca variações nas dimensões da peça: paredes de vasos/fibras
PROPRIEDADES MECÂNICAS – BASE DE CÁLCULO
PROJETO ESTRUTURAL E NORMAS
Objetivos do projeto estrutural:
Garantia de segurança estrutural, evitando-se o colapso da estrutura;
Garantia de bom desempenho da estrutura, evitando-se grandes deslocamentos, vibrações;
NBR 7190 – Método dos estados limites
A estrutura deixa de satisfazer os seus objetivos quando falha por um dos quesitos: Estados
limites últimos ou estados limites de serviço.
Cargas
Permanentes
Variáveis
Excepcionais
PROJETO ESTRUTURAL E NORMAS
Utilização das normas sobre cargas estruturais:
NBR 6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações
NBR 6123 – Forças devidas ao vento em edificações
NBR 7189 – Cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias
NBR 7188 – Cargas móveis em pontes rodoviárias e passarelas de pedestres
NBR 8681 – Ações e Segurançanas Estruturas
Combinações normais e de construção
𝐹𝑑 = ෍𝛾𝑔𝑖𝐺𝑖 + 𝛾𝑞1𝑄1 +෍
𝑗=2
𝑛
𝛾𝑞𝑗ψ𝑜𝑗𝑄𝑗
Combinações excepcionais
𝐹𝑑 = ෍𝛾𝑔𝑖𝐺𝑖 + 𝐸 +෍
𝑗=𝑖
𝑛
𝛾𝑞𝑗ψ𝑜𝑗𝑄𝑗
PROJETO ESTRUTURAL E NORMAS
PROJETO ESTRUTURAL E NORMAS
PROJETO ESTRUTURAL E NORMAS
PROJETO ESTRUTURAL E NORMAS
PROJETO ESTRUTURAL E NORMAS
PROJETO ESTRUTURAL E NORMAS
Exemplo:
Uma treliça de cobertura em madeira está sujeita aos carregamentos abaixo:
Peso próprio + Peso Cobertura – G = 0,8 kN/m
Sobrecarga – Q = 1,5 kN/m
Vento V1 – V1 = 1,3 kN/m
Vento V2 – V2 = -1,8kN/m
PROJETO ESTRUTURAL E NORMAS
Exemplo:
Uma treliça de cobertura em madeira está sujeita aos carregamentos abaixo:
Peso próprio + Peso Cobertura – G = 100 kN
Sobrecarga – 50kN
Vento V1 = 20 kN
RESISTÊNCIA DE PROJETO
𝑓𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑
𝑓𝑘
𝛾𝑚
Correção em relação ao obtida em 
ensaios
Coeficiente de variabilidade de 
resistência do material dentro do mesmo 
lote
Influência de diversos fatores na 
madeira
COEFICIENTE DE MODIFICAÇÃO – ITEM 6.4.4
COEFICIENTE DE MODIFICAÇÃO – ITEM 6.4.4
Vida útil da construção
Mais de 6 meses
1 semana a 6 meses
Menos de 1 semana
Muito curta
Tempo de aplicação da 
carga variável principal 
tomada na combinação 
de ações
COEFICIENTE DE MODIFICAÇÃO – ITEM 6.4.4
COEFICIENTE DE MODIFICAÇÃO – ITEM 6.4.4
dicotiledôneas
COEFICIENTE DE MODIFICAÇÃO – ITEM 6.4.4
Exemplo:
Determinação do kmod de uma conífera com classe de umidade 3 com aplicação de carga de
longa duração, em madeira serrada.
DETERMINAÇÃO DE RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA
A resistência mínima fixada para uma
propriedade é dada pela resistência
característica. Seja, 𝑓𝑚 a resistência média,
obtida em laboratório para uma umidade de
12%, calcula-se a resistência característica por:
DETERMINAÇÃO DE RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA
Se a resistência for conseguida em um corpo de prova diferente de 12% de umidade (entre 10 e
20%), pode-se corrigir a resistência pela equação:
DETERMINAÇÃO DE RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA
DIMENSIONAMENTO DE MADEIRA A TRAÇÃO
Se a espécie da madeira é conhecida (tabela fornecida), pode-se consultar a tabela com valores de
𝑓𝑡0𝑚 e obter o valor de 𝑓𝑡0𝑘
Se conhece somente a classe da madeira, deve-se utilizar tabelas 8 e 9 da norma e calcular então
𝑓𝑡0𝑘 = 1,3 𝑓𝑐0𝑘
EXEMPLO
Uma estrutura será construída com madeira de uma espécie no qual foram determinadas as
resistências mecânicas com 15% de umidade e encontrou-se:
𝑓𝑐 = 61,0𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑡 = 123𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑣 = 11,4𝑀𝑃𝑎
Se for utilizada madeira serrada de 2ª categoria , com carregamento de longa duração, e o local de
construção tiver umidade relativa do ar de 70%, determine as tensões resistentes a tração e a
compressão paralelas às fibras, compressão normal as fibras e cisalhamento paralelo às fibras, para
uma combinação normal de ações.
𝑓12,𝑐0𝑚 = 61(1 + 0,03 15 − 12 )
𝑓12,𝑐0𝑚 = 66,5𝑀𝑃𝑎
𝑓12,𝑡𝑚 = 123(1 + 0,03 15 − 12 )
𝑓12,𝑡𝑚 = 16,7𝑀𝑃𝑎
𝑓12,𝑣0𝑚 = 11,4(1 + 0,03 15 − 12 )
𝑓12,𝑣𝑚 = 12,4𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐90𝑚 = 0,25 ∗ 66,5𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐90𝑚 = 16,6𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐0𝑘 = 46,5𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐90𝑘 = 11,7𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑡0𝑘 = 93,8𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑣0𝑘 = 6,7𝑀𝑃𝑎
𝑘𝑚𝑜𝑑3 = 0,8 − 𝑀𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑑𝑒 2ª 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑔𝑜𝑟𝑖𝑎
𝑓𝑐0 = 0,56 ∗
46,5
1,4
= 18,62𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐90 = 0,56 ∗
11,7
1,4
= 4,68𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑡0 = 0,56 ∗
93,8
1,8
= 29,2𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑣0 = 0,56 ∗
6,7
1,8
= 2,09𝑀𝑃𝑎
DETERMINAÇÃO DA RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA
Uma treliça de Pinho do Paraná será montada em um local com umidade de 80% e está sujeita a
tração. Sabendo que será utilizada madeira serrada para confecção dessa treliça, determine a tensão
de projeto resistente as fibras 𝑓𝑡𝑑.
COMPRESSÃO EM DIREÇÃO INCLINADA ÀS FIBRAS
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
As peças estruturais em madeira possuem comprimento limitado pelo tamanho das árvores e
possibilidade de transporte. Por isso, se necessário estruturas maiores, elas podem ser ligadas entre si
utilizando dispositivos de fixação como colagem, pregos, braçadeiras, pinos metálicos, cavilhas e
outros.
A colagem é amplamente utilizada em madeira laminada e compensada em formato dentado ou
enviesada. As emendas de campo não são coladas, porque deve-se ter um rígido controle da cola, em
função de temperatura, pressão e umidade.
Pode-se utilizar pregos, parafusos de porca e arruela, conectores de anel (encaixados em ranhuras e
com parafuso), encaixes/entalhes ou tarugos e chavetas de madeira. As ligações devem ser capazes
de transmitir força de uma peça para outra.
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
A resistência da madeira a compressão
com pinos localizada é chamada de
embutimento.
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
ITEM 8.3 DA NORMA NBR 7190 – LIGAÇÕES COM PINOS METÁLICOS
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
ITEM 8.3 DA NORMA NBR 7190 – LIGAÇÕES COM PINOS METÁLICOS
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
ITEM 8.3 DA NORMA NBR 7190 – LIGAÇÕES COM PINOS METÁLICOS
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
ITEM 8.3 DA NORMA NBR 7190 – LIGAÇÕES COM PINOS METÁLICOS
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
ITEM 8.3 DA NORMA NBR 7190 – LIGAÇÕES COM PINOS METÁLICOS
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
ITEM 8.3 DA NORMA NBR 7190 – LIGAÇÕES COM PINOS METÁLICOS
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
EXERCÍCIO
Calcule a resistência Rd do prego 20x48 em peças de pinho do paraná para uma carga de
duração média e classe 2 de umidade.
COEFICIENTE DE MODIFICAÇÃO – ITEM 6.4.4
Vida útil da construção
Mais de 6 meses
1 semana a 6 meses
Menos de 1 semana
Muito curta
Tempo de aplicação da 
carga variável principal 
tomada na combinação 
de ações
COEFICIENTE DE MODIFICAÇÃO – ITEM 6.4.4
COEFICIENTE DE MODIFICAÇÃO – ITEM 6.4.4
dicotiledôneas
ESPAÇO PARA RESOLUÇÃO
LIGAÇÕES PARAFUSADAS
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
ITEM 8.3 DA NORMA NBR 7190 – LIGAÇÕES COM PINOS METÁLICOS
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
EXERCÍCIO
Calcular a resistência ao corte do parafuso de 1/2” em aço com 𝑓𝑦𝑘 = 310𝑀𝑃𝑎 para carga de
longa duração e classe de umidade 2.
38 mm
75 mm
ESPAÇO PARA RESOLUÇÃO
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
EXERCÍCIO
O pórtico está sujeito a carregamento permanente 𝑁𝐺 = 6,0𝑘𝑁 e carga vento 𝑁𝑉 =
− 9,0𝑘𝑁. Dimensione a ligação pregada para o esforço de projeto com os dados: madeira
maçaranduba de 2ª categoria com carga de longa duração e umidade classe 2.
ESPAÇO PARA RESOLUÇÃO
ESPAÇO PARA RESOLUÇÃO
ESPAÇO PARA RESOLUÇÃO
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
LIGAÇÕES POR CAVILHA – ITEM 8.4
Cavilha são pinos circulares que podem ser feitos de madeiras duras da classe C60 ou madeiras moles
impregnadas com resina para aumento de capacidade, sendo torneadas em diâmetros de 16, 18 e
20mm, instaladas em furos de mesmo diâmetro da cavilha.
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
LIGAÇÕES POR ANEIS METÁLICOS – ITEM 8.5
LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS EM MADEIRA – ITEM 8 DA NBR 
7190
LIGAÇÕES POR ENTALHES – ITEM 8.5
EXERCÍCIO 01
EXERCÍCIO 02
DIMENSIONAMENTO A TRAÇÃO
A madeira tem boa resistência à tração na direção das fibras, podendo ser utilizada nesse sentido.
DIMENSIONAMENTO A TRAÇÃO
DIMENSIONAMENTO A TRAÇÃO
DIMENSIONAMENTO A TRAÇÃO
Um pendural de pinho do Paraná de segunda
categoria em classe de umidade 3 está ligada a
duas talas por parafusos de 1” e está sujeito a
esforços de tração que são de média duração -
carga de gravidade (𝑁𝐺 = 15𝑘𝑁) e cargas variáveis
(𝑁𝑄 = 10𝑘𝑁). Verificar a segurança do pendural
em tração paralela às fibras.
𝑁𝑑 = 1,4 ∗ 15 + 1,4 ∗ 10 = 35𝑘𝑁𝑘𝑚𝑜𝑑1 = 0,8
𝑘𝑚𝑜𝑑2 = 0,8
𝑘𝑚𝑜𝑑3 = 0,8
𝑘𝑚𝑜𝑑 = 0,8 ∗ 0,8 ∗ 0,8
𝑘𝑚𝑜𝑑 = 0,512
DIMENSIONAMENTO A TRAÇÃO
𝑓𝑡0𝑚 = 93,1𝑀𝑃𝑎 − 𝑃𝑖𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑜 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑛á
𝑓𝑡0𝑘 = 0,7 ∗ 𝑓𝑡0𝑚
𝑓𝑡𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑 ∗
𝑓𝑡0𝑘
γ𝑤
𝑓𝑡0𝑘 = 0,7 ∗ 93,1𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑡0𝑘 = 65,17𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑡𝑑 = 0,512 ∗
65,17
1,8
= 18,5𝑀𝑃𝑎
𝐴 = 3,8𝑐𝑚 20 − 2 ∗ 2,59 𝑐𝑚
𝐴 = 56,32𝑐𝑚²
𝑁𝑡𝑑𝑟𝑒𝑠 = 56,32 ∗ 18,5 = 104,2𝑘𝑁
DIMENSIONAMENTO A TRAÇÃO
Determinar qual é a área mínima para a utilização de uma peça de madeira C60 de segunda
categoria com carregamento de longa duração, classe de umidade 3 e pequena variabilidade.
As cargas de tração que estão aplicadas nela são:
𝐹𝐺 = 20𝑘𝑁; 𝐹𝑆𝐶,𝑄 = 30𝑘𝑁, 𝐹𝑉,𝑄 = 15𝑘𝑁
DIMENSIONAMENTO A COMPRESSÃO
DIMENSIONAMENTO A COMPRESSÃO
DIMENSIONAMENTO A COMPRESSÃO
Exercício elaborado pelo Prof. Eduardo Barbalho
DIMENSIONAMENTO A COMPRESSÃO
Exercício elaborado pelo Prof. Eduardo Barbalho
DIMENSIONAMENTO A COMPRESSÃO
Exercício elaborado pelo Prof. Eduardo Barbalho
DIMENSIONAMENTO A COMPRESSÃO
Exercício elaborado pelo Prof. Eduardo Barbalho
DIMENSIONAMENTO A COMPRESSÃO
DIMENSIONAMENTO A COMPRESSÃO
Excentricidade acidental
Excentricidade inicial – força localizada fora do centroíde
EXERCÍCIO
Uma coluna roliça de eucalipto (E. Citriodora) com diâmetro de 16cm está sujeita a compressão
permanente de 42kN e variável de utilização de 45kN. Verificar segurança dessa coluna para coluna
de comprimento de flambagem 3m com classe 2 de umidade com carregamento de longa duração.
EXERCÍCIO
Uma coluna de madeira laminada e seção I tem comprimento de 3,5m nas duas direções (x e y).
Verifique as condições de segurança da coluna sujeita a uma carga de longa duração de Nd = 260kN
feita em madeira Ipê de 1ª categoria e classe 3 de umidade.
DIMENSIONAMENTO A COMPRESSÃO
DIMENSIONAMENTO A COMPRESSÃO
PROJETO ESTRUTURAL E NORMAS
EXERCÍCIO
Uma peça de Pinho do Paraná, sujeita a compressão, tem carga de longa duração e classe de
umidade 2. Com base nisso, calcule, para uma seção de 7,5cm x 7,5cm a carga máxima de projeto
𝑁𝑑 para comprimentos curtos, medianamente esbeltos e esbeltos.
P149
EXERCÍCIO
Analise a coluna com comprimento de flambagem de 8,50m nas duas direções. Carga 𝑁𝑑 =260kN
de longa duração em madeira Ipê de primeira categoria com classe 3 de umidade.
P162
• Sujeitas a tensões normais de tração e 
de compressão na direção paralela às 
fibras e normal às fibras (nos pontos de 
apoio).
• Limitações ELU e ELS.
• Sempre que possível deve ser 
colocada contraflecha para evitar 
efeitos pouco estéticos
VIGAS
• Determinação da tensão de cisalhamento em um determinado ponto da seção 
transversal de uma viga sujeita a uma força cortante V. 
CISALHAMENTO TRANSVERSAL
Fórmula para cálculo do 
cisalhamento transversal
𝜏 =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
CISALHAMENTO TRANSVERSAL
Fórmula para cálculo do 
cisalhamento transversal
𝜏 =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
V - Força cortante interna da viga
I – Momento de inércia da seção transversal
t – largura de onde está o elemento na seção 
transversal
Q - ഥ𝑦′𝐴, sendo da parte superior ou inferior 
a onde o elemento está localizado. Onde ഥ𝑦′ é 
a distância entre o centróide da seção toda e 
o centroíde dessa área
CISALHAMENTO
CISALHAMENTO
Exercício elaborado pelo Prof. Eduardo Barbalho
CISALHAMENTO
• Uma peça de Ipê de segunda categoria com carregamento de longa duração, classe 
de umidade 2 possui um carregamento transversal V. Se essa peça de Ipê possui 
diâmetro d=15cm, qual é a carga de cisalhamento máxima que ela pode suportar, 
considerando que não está na região dos apoios, ou seja, a>2h. 
CISALHAMENTO
EXERCÍCIO
Uma viga em I com conexões pregadas (2 pregos de 140 x 64) é formada por três peças de 
ipê com dimensões na figura e vão de 8,5m. Para uma seção sujeita a um momento fletor 
de 20kNm, calcule as tenções solicitantes máximas. 
𝐼 =
2 ∗ 30 ∗ 7,5³
12
+ 2 ∗ 7,5 ∗ 30 ∗ 11,252 +
10 ∗ 15³
12
𝐼 = 61875𝑐𝑚4
𝐼𝑟 = 0,85𝐼 = 52594𝑐𝑚
4
CISALHAMENTO
• Determine a tensão de cisalhamento na região de prego e no 
eixo neutro da figura.
CISALHAMENTO
CISALHAMENTO
VIGAS FLEXÃO SIMPLES
EXERCÍCIO
Uma viga em I com conexões pregadas (2 pregos de 140 x 64) é formada por três peças de 
ipê com dimensões na figura e vão de 8,5m. Para uma seção sujeita a um momento fletor 
de 20kNm, calcule as tenções solicitantes máximas. 
Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 − 300𝑐𝑚2
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑓𝑢𝑠𝑜𝑠 − 2𝑥14𝑥0,64 = 18𝑐𝑚2
𝑁ã𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑟 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑢𝑟𝑜𝑠 − < 10% 𝑑𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝐼 =
2 ∗ 30 ∗ 7,5³
12
+ 2 ∗ 7,5 ∗ 30 ∗ 11,252 +
10 ∗ 15³
12
𝐼 = 61875𝑐𝑚4
𝐼𝑟 = 0,85𝐼 = 52594𝑐𝑚
4
𝜎𝑐 = 𝜎𝑡 =
𝑀
𝐼𝑟
∗
ℎ
2
= 20000 ∗
15
52594
=
0,57𝑘𝑁
𝑐𝑚2
CISALHAMENTO
• A viga de madeira ao lado possui uma força cortante de
V=500N. Calcule a força cortante nas junções da
madeira, quando t=20mm.
𝐼 = 1,20 𝑥 10−6 𝑚4
𝐼𝑟 = 0,85𝐼 = 1,02 ∗ 10
−6𝑚4
𝑄 = ഥ𝑦′𝐴 = 60𝑚𝑚 ∗ 100 ∗ 20 𝑚𝑚2
𝑄 = 120 𝑥 10−6𝑚³
𝑡 = 20𝑚𝑚 = 20 𝑥 10−3
𝑉 = 500𝑁
𝜏 =
500 ∗ 120 ∗ 10−6
1,02 ∗ 10−6 ∗ 20 ∗ 10−3
= 2,9𝑀𝑃𝑎
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
Exercício elaborado pelo Prof. Eduardo Barbalho
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
Exercício elaborado pelo Prof. Eduardo Barbalho
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
ESTRUTURAS DE AÇO
REFERÊNCIAS NORMATIVAS
ESTRUTURAS DE AÇO
PROCESSO DE LAMINAÇÃO
LAMINADOS
ESTRUTURAS DE AÇO
ESTRUTURAS DE AÇO
ESTRUTURAS DE AÇO
ESTRUTURAS DE AÇO
ESTRUTURAS DE AÇO
ESTRUTURAS DE AÇO
ANEXO A
ANEXO A
ESTADOS LIMITES – ITEM 4.6.2
AÇÕES
A
çõ
es
Permanentes (G)
Valores praticamente 
constantes
Variáveis (Q)
Variações significativas 
durante a vida útil da 
construção
Excepcionais (J)
Duração muito curta e 
probabilidade baixa de 
acontecimento
AÇÕES
AÇÕES – ELU
Uma viga de um edifício comercial está sujeita a momentos fletores de cargas 
diferenciadas. Sejam elas:
Peso próprio de estruturas metálicas – 10kNm
Peso de outros componentes permanentes adicionados no local – 50kNm
Sobrecarga – 30kNm
Vento – 20kNm
Calcule o momento fletor solicitante do projeto.
EXEMPLO
P1– 10kNm
PP2– 50kNm
SC – 30kNm
V– 20kNm
EXEMPLO
Uma estrutura está sujeita a esforços normais de diferentes cargas. São elas:
Peso próprio de estrutura metálica 1kN
Vento de sobrepressão 1,5kN
Vento de sucção -3kN
Sobrecarga 0,5kN
Calcule o esforço solicitante de projeto.
EXEMPLO
P1– 1kN
V1 – 1,5kN
V2– (-3)kN
SC – 0,5kN
EXEMPLO
ESTUDOS DE SOLICITAÇÕES
𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 − 𝑡 ෍𝑑ℎ + 𝑡෍
𝑠2
4𝑔
Considerar furo 
puncionado 
(item 12.2.1.4)
Determine a área líquida da figura abaixo, considerando a espessura do elemento como 
8mm, furo puncionado e diâmetro dos parafusos de 19mm. 
EXEMPLO
Para a cantoneira L178X102X12,7, determine a área líquida, sendo os furos para 
parafusos de 22mm, puncionados.
EXEMPLO
Calcule o valor máximo de tração que pode ser aplicado no perfil 
abaixo, considerando que ele é feito de perfil com resistência ao 
escoamento 345MPa e à ruptura de 450MPa. Parafusos de 24mm, 
distanciados, entre si, 80mm.
Calcule o valor máximo de tração que pode ser aplicado no perfil 
abaixo, considerando que ele é feito de perfil com resistência ao 
escoamento 345MPa e à ruptura de 450MPa. Parafusos de 24mm, 
distanciados, entre si, 80mm.
Calcule o valor máximo de tração que pode ser aplicado no perfil 
abaixo, considerando que ele é feito de perfil com resistência ao 
escoamento 345MPa e à ruptura de 450MPa. Parafusos de 24mm, 
distanciados, entre si, 80mm.
Calcule o valor máximo de tração que pode ser aplicado no perfil 
abaixo, considerando que ele é feito de perfil com resistência ao 
escoamento 345MPa e à ruptura de 450MPa. Parafusos de 24mm, 
distanciados, entre si, 80mm.
𝐴𝑔 = 36,00𝑐𝑚
2
𝐴𝑛 = 27,33𝑐𝑚
2
Força axial solicitante de cálculo (𝑁𝑡𝑆𝑑) = + 240kNP = 386,4kN
𝛾𝑎1 = 1,1
Flambagem global
Flambagem local
𝑄 = 𝑄𝑎𝑄𝑠
𝐴𝐴 𝐴𝐿
𝑆𝑒 𝜆 ≤ 𝜆𝑙𝑖𝑚 𝑒𝑛𝑡ã𝑜: 𝑄𝑎 = 1,0
𝑆𝑒 𝜆 ≤ 𝜆𝑙𝑖𝑚 𝑒𝑛𝑡ã𝑜: 𝑄𝑠 = 1,0
Verificar somente de 𝐶𝑤 =
0 ou se 𝐾𝑧𝐿𝑧 >
𝐾𝑥𝐿𝑥 𝑒 𝐾𝑦𝐿𝑦
Determinar a resistência de cálculo à compressão do perfil VS 550 X 
64 kg/m de aço ASTM A572 Gr50 (fy=345MPa) comprimento de 
3m. Sabendo-se que suas extremidades são rotuladas e que há 
contenção lateral impedindo a flambagem em torno do eixo y. 
Considere a torção impedida. Comparar como resultado obtido 
para uma peça sem contenção lateral, podendo flambar em torno 
de y. Verifique também o índice de esbeltez.
Q = 0,69 – exercício anterior
x
y
Avaliar como se tivesse possibilidade de flambagem por torção com 
base da viga impedida de rotação e topo não impedido.
Determinar a força axial de compressão resistente de cálculo da 
diagonal da treliça AB abaixo, fabricada em aço com resistência 
ao escoamento de 250MPa, supondo-se: 
a) constituída por cantoneira simples conectadas nas duas 
extremidades pela mesma aba, por meio de solda.
• Indica qual é a força cortante e o 
momento fletor em relação a uma 
posição arbitrária x da viga. 
• Forma de se determinar a maior força 
de cisalhamento e o maior momento 
fletor no elemento e a posição em que 
ocorrem.
DIAGRAMA DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR
5.4 BARRAS SUBMETIDAS A MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE
EXEMPLO
MODOS DE FALHA POR FLEXÃO/FORÇA CORTANTE
PLASTIFICAÇÃO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
Momento fletor no início do escoamento
FLAMBAGEM LATERAL COM TORÇÃO (FLT)
SEÇÃO CONTIDA LATERALMENTE
SEÇÃO CONTIDA LATERALMENTE
FLAMBAGEM LATERAL COM TORÇÃO (FLT) – REGIME ELÁSTICO
FLAMBAGEM LATERAL COM TORÇÃO (FLT) – REGIME INELÁSTICO
FLAMBAGEM LOCAL (FLM E FLA)
ANÁLISE EM VIGAS I (FLM)
ANÁLISE EM VIGAS I (FLA)
DIMENSIONAMENTO – ESTADO LIMITE ÚLTIMO
DIMENSIONAMENTO – ESTADO LIMITE ÚLTIMO
DIMENSIONAMENTO – ESTADO LIMITE ÚLTIMO
Ver nota 5
ANÁLISE EM VIGAS I (FLM)
Item 5.4.2.2
COLAPSO SOB AÇÃO DE FORÇA CORTANTE
Análise de flambagem por cisalhamento
AÇÃO DE FORÇA CORTANTE
SITUAÇÃO MAIS COMUM – VIGA EM I
Casos especiais de kv
SITUAÇÃO MAIS COMUM – VIGA EM I
ENRIJECEDORES
ENRIJECEDORES – FORÇAS LOCALIZADAS QUE COMPRIMEM A ALMA
ENRIJECEDORES – FORÇAS LOCALIZADAS QUE COMPRIMEM A ALMA
ENRIJECEDORES – FORÇAS LOCALIZADAS QUE COMPRIMEM A ALMA
Verificação de enrijecedores
como se fossem barras
comprimidas 𝐴𝑔 = 2𝑏𝑠𝑡𝑠
ENRIJECEDORES – FORÇAS LOCALIZADAS QUE TRACIONAM A ALMA
Verificação de enrijecedores como
se fossem barras tracionadas com
área bruta de 2𝑏𝑠𝑡𝑠 e área líquida
de 2𝑡𝑠(𝑏𝑠 − 𝑎𝑠)
ENRIJECEDORES – VIGAS DE ALMA SOLTA
EXEMPLO ANTERIOR
EXEMPLO 2 – ANÁLISE DO MOMENTO FLETOR
Segundo o diagrama de força
cortante e momento fletor da
viga ao lado, escolha uma viga
soldada (série VS) de aço USI
CIVIL 350 para a utilização.
Pré dimensionamento – escolha de um perfil que (inicialmente) atende a condição mais extrema de 𝑀𝑅𝑑
𝑀𝑆𝑑 ≤ 𝑀𝑅𝑑 =
𝑀𝑅𝑘
γ𝑎1
=
𝑀𝑝𝑙
1,1
=
𝑍𝑥𝑓𝑦
1,1
194580 ≤
𝑍𝑥 ∗ 35
1,1
6115,37 𝑐𝑚³ ≤ 𝑍𝑥
Pré dimensionamento – escolha de um perfil que (inicialmente) atende a condição mais extrema de 𝑀𝑅𝑑
𝑀𝑆𝑑 ≤ 𝑀𝑅𝑑 =
𝑀𝑅𝑘
γ𝑎1
=
𝑀𝑝𝑙
1,1
=
𝑍𝑥𝑓𝑦
1,1
194580 ≤
𝑍𝑥 ∗ 35
1,1
6115,37 𝑐𝑚³ ≤ 𝑍𝑥
𝐸𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑉𝑆 850 𝑥 155
λ𝐹𝐿𝑀 =
𝑏
𝑡
=
350/2
19
= 9,21
λ𝑝 = 0,38
𝐸
𝑓𝑦
= 0,38
20000
35
= 9,08 λ𝑟 = 0,95
𝐸𝑘𝑐
(𝑓𝑦 − σ𝑟)
= 0,95
20000 ∗ 𝑘𝑐
0,7𝑓𝑦
= 17,17
𝑘𝑐 =
4
ℎ/𝑡𝑤
=
4
812/8
= 0,40
𝑀𝑅𝑘 = 𝑀𝑝𝑙 − 𝑀𝑝𝑙 −𝑀𝑟 ∗
λ − λ𝑝
λ𝑟 − λ𝑝
λ𝑝 < λ < λ𝑟
𝑀𝑝𝑙 = 𝑍𝑥𝑓𝑦 = 6845 ∗ 35 = 239575 𝑘𝑁𝑐𝑚
𝑀𝑟 = 𝑓𝑦 − σ𝑟 𝑊𝑥 = 0,7 ∗ 35 ∗ 6243 = 152954𝑘𝑁𝑐𝑚
𝑀𝑅𝑘 = 239575 − 239575 − 152954 ∗
9,21 − 9,08
17,17 − 9,08
= 238189 𝑘𝑁𝑐𝑚
λ𝐹𝐿𝑀 =
𝑏
𝑡
=
350/2
19
= 9,21
λ𝑝 = 9,08
λ𝑟 = 17,17
≤ 𝑀𝑝𝑙 ?
≤ 1,5𝑊𝑥𝑓𝑦?
λ𝐹𝐿𝐴 =
ℎ
𝑡𝑤
=
850 − 2 ∗ 19
8
= 101,5
λ𝑝 = 3,76
𝐸
𝑓𝑦
= 3,76
20000
35
= 89,88
λ𝑟 = 5,70
𝐸
𝑓𝑦
= 136,25
𝑀𝑅𝑘 = 𝑀𝑝𝑙 − 𝑀𝑝𝑙 −𝑀𝑟 ∗
λ − λ𝑝
λ𝑟 − λ𝑝
λ𝑝 < λ < λ𝑟
𝑀𝑝𝑙 = 𝑍𝑥𝑓𝑦 = 6845 ∗ 35 = 239575 𝑘𝑁𝑐𝑚
𝑀𝑟 = 𝑓𝑦𝑊𝑥 = 35 ∗ 6243 = 218505 𝑘𝑁𝑐𝑚
𝑀𝑅𝑘 = 239575 − 239575 − 218505 ∗
101,5 − 89,88
136,25 − 89,88
= 234352 𝑘𝑁𝑐𝑚
λ𝐹𝐿𝐴 = 101,5
λ𝑝 = 89,88
λ𝑟 = 136,25
≤ 𝑀𝑝𝑙 ?
≤ 1,5𝑊𝑥𝑓𝑦?
𝑀𝑅𝑑 =
234352
1,1
= 213047 ≥ 𝑀𝑆𝑑 = 194580
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐿𝑏 = 3𝑚 − 𝑛ã𝑜 é 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑜 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟.
𝑂 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 4𝑚
λ =
𝐿𝑏
𝑟𝑦
=
400
8,28
= 48,31
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐿𝑏 = 4𝑚
λ𝑝 = 1,76
𝐸
𝑓𝑦
= 42,07
λ𝑟 =
1,38 𝐼𝑦𝐽
𝑟𝑦𝐽𝛽1
1 + 1 +
27𝐶𝑤𝛽1
2
𝐼𝑦
𝛽1 =
𝑓𝑦 − 𝜎𝑟 𝑊𝑥
𝐸𝐽
=
0,7𝑓𝑦𝑊𝑥
𝐸𝐽
=
0,7 ∗ 35 ∗ 6243
20000 ∗ 174,2
= 0,044/𝑐𝑚
λ𝑟 =
1,38 13581 ∗ 174,2
8,28 ∗ 174,2 ∗ 0,044
1 + 1 +
27 ∗ 23439511 ∗ 0,0442
13581
= 108,78
𝑀𝑅𝑘 = 𝐶𝑏 ∗ [𝑀𝑝𝑙 − 𝑀𝑝𝑙 −𝑀𝑟 ∗
λ − λ𝑝
λ𝑟 − λ𝑝
]λ𝑝 < λ < λ𝑟
𝑀𝑝𝑙 = 𝑍𝑥𝑓𝑦 = 6845 ∗ 35 = 239575 𝑘𝑁𝑐𝑚
𝑀𝑟 = 𝑓𝑦𝑊𝑥 = 35 ∗ 6243 = 218505 𝑘𝑁𝑐𝑚
λ𝐹𝐿𝑇 = 48,31
λ𝑝 = 42,07
λ𝑟 = 108,78
𝑀𝑟 = 𝑓𝑦 − σ𝑟 𝑊𝑥 = 0,7 ∗ 35 ∗ 6243 = 152954𝑘𝑁𝑐𝑚
≤ 𝑀𝑝𝑙 ?
≤ 1,5𝑊𝑥𝑓𝑦?
𝐶𝑏 =
12,5 ∗ 1945,8
2,5 ∗ 1945,8 + 3 ∗ 1877,1 + 4 ∗ 1808,4 + 3 ∗ 1739,7
= 1,06
𝑀𝑅𝑘 = 1,06 ∗ 239575 − 239575 − 152954 ∗
48,31 − 42,07
108,78 − 42,07
= 245364
≤ 𝑀𝑝𝑙? X
≤ 1,5𝑊𝑥𝑓𝑦?
𝑀𝑅𝑘 = 𝑀𝑝𝑙 = 239575 ≤ 1,5𝑊𝑥𝑓𝑦?𝑂𝐾 𝑀𝑅𝑑 =
239575
1,1
= 217795 ≥ 𝑀𝑆𝑑 = 1945,80
λ =
𝐿𝑏
𝑟𝑦
=
500
8,28
= 60,9
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐿𝑏 = 5𝑚
λ𝑝 = 42,07
λ𝑟 = 108,78
𝑀𝑅𝑘 = 𝐶𝑏 ∗ [𝑀𝑝𝑙 − 𝑀𝑝𝑙 −𝑀𝑟 ∗
λ − λ𝑝
λ𝑟 − λ𝑝
]
λ𝑝 < λ < λ𝑟
𝑀𝑝𝑙 = 𝑍𝑥𝑓𝑦 = 6845 ∗ 35 = 239575 𝑘𝑁𝑐𝑚
𝑀𝑟 = 𝑓𝑦𝑊𝑥 = 35 ∗ 6243 = 218505 𝑘𝑁𝑐𝑚𝑀𝑟 = 𝑓𝑦 − σ𝑟 𝑊𝑥 = 0,7 ∗ 35 ∗ 6243 = 152954𝑘𝑁𝑐𝑚
𝑀𝑅𝑘 = 1,67 ∗ 239575 − 239575 − 152954 ∗
48,31 − 42,07
108,78 − 42,07
= 360367
≤ 𝑀𝑝𝑙? X
≤ 1,5𝑊𝑥𝑓𝑦?𝑀𝑅𝑘 = 𝑀𝑝𝑙 = 239575 ≤ 1,5𝑊𝑥𝑓𝑦?𝑂𝐾
𝑀𝑅𝑑 =
239575
1,1
= 217795 ≥ 𝑀𝑆𝑑 = 167100 (𝑘𝑁. 𝑐𝑚)
EXEMPLO 2 – ANÁLISE DA FORÇA CORTANTE
λ = λ𝐹𝐿𝐴 =
ℎ
𝑡𝑤
= 101,5
𝑘𝑣 = 5,0 − 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑒𝑛𝑟𝑖𝑗𝑒𝑐𝑒𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠
λ𝑝 = 1,10
𝑘𝑣𝐸
𝑓𝑦
= 1,10
5,0 ∗ 20000
35
= 58,80
λ𝑟 = 1,37
𝑘𝑣𝐸
𝑓𝑦
= 1,37
5,0 ∗ 20000
35
= 73,23
SITUAÇÃO MAIS COMUM – VIGA EM I
EXEMPLO 2 – ANÁLISE DA FORÇA CORTANTE
λ = λ𝐹𝐿𝐴 =
ℎ
𝑡𝑤
= 101,5
𝑘𝑣 = 5,0 − 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑒𝑛𝑟𝑖𝑗𝑒𝑐𝑒𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠
λ𝑝 = 1,10
𝑘𝑣𝐸
𝑓𝑦
= 1,10
5,0 ∗ 20000
35
= 58,80
λ𝑟 = 1,37
𝑘𝑣𝐸
𝑓𝑦
= 1,37
5,0 ∗ 20000
35
= 73,23
𝑉𝑅𝑘 = 1,24
λ𝑝
λ
2
𝑉𝑝𝑙
𝑉𝑅𝑘 = 1,24
58,8
101,5
2
0,6 ∗ 85 ∗ 0,8 ∗ 35 = 594𝑘𝑁
𝑉𝑝𝑙 = 0,60 𝐴𝑤𝑓𝑦
𝐴𝑤 = 𝑑𝑡𝑤
𝑉𝑅𝑑 =
𝑉𝑅𝑘
1,1
=
594
1,1
= 540,23𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑑 ≤ 𝑉𝑆𝑑 𝑋
Colocação de enrijecedores em AC
Enrijecedores onde há força localizada
648,6kN
19mm
170mm
170mm
𝐴𝑔 = 2 𝑥 17 + 0,8 𝑥 1,9 = 66,12 cm2
𝐼𝑖 =
1
12
1,9 2 ∗ 17 + 0,8 3 = 6672,8 𝑐𝑚4
𝐾𝐿 = 81,2 𝑐𝑚
𝑁𝑒𝑖 =
𝜋2𝐸𝐼
𝐾𝐿 2
=
𝜋220000 ∗ 6672,8
81,2 2
= 199767𝑘𝑁
λ𝑜 =
66,12 ∗ 35
199767
= 0,11
𝑁𝑐,𝑆𝑑 = 648,6 ≤ 𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
0,995 ∗ 66,12 ∗ 32
1,1
= 1913,9𝑘𝑁
χ = 0,995
Enrijecedores entre A e C
35
POSSIBILIDADE 02
Calcule a maior carga qd possível na viga biapoiada mostrada, com 3m 
de vão, para o perfil U 152,4 x 12,2, fletido em relação ao maior 
momento de inércia.