Exemplo de Lajes 17set_R2

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EXEMPLOS DE LAJES 
Túlio Nogueira Bittencourt1; Januário Pellegrino Neto2; João Carlos Della Bella3 
1 Professor Titular do Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica da Escola Politécnica da USP. 
2 Professor Associado da Escola de Engenharia Mauá – CEUN-IMT; 
 Professor Assistente do Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica da Escola Politécnica da USP. 
3 Professor Doutor do Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica da Escola Politécnica da USP; 
 Engenheiro Civil, Diretor Técnico da Intentu Engenharia Ltda. 
Revisor: Sander David Cardoso4 
4 Professor Assistente da Escola de Engenharia Mauá – CEUN-IMT; 
 Engenheiro Civil, Sócio da EGT Engenharia Ltda. 
 
1. Introdução 
O objetivo destes dois exemplos é a aplicação dos conceitos da seção 19 e 20 NBR 6118:2014, 
apresenta-se um roteiro prático para o dimensionamento (ELU – Estado-limite último) e o 
detalhamento de lajes de concreto armado, exemplos simples de lajes armadas em uma direção e em 
duas direções: 
I. Laje armada em uma direção; 
II. Laje armada em duas direções. 
 
2. Exemplo I – Laje armada em uma direção 
Na figura 2.1 indica-se a planta de formas para as lajes L1 e L2 simétricas, e o diagrama de momentos 
fletores característicos (mk – kN.m/m), considera-se classe de agressividade I, concreto C20 
(fck=20MPa) e aço CA50 (fyk=500MPa). 
 
Figura 2.1 – Planta de formas e diagrama de momentos fletores. 
O concreto C20 atende a seção 7 da NBR 6118:2014 com relação à durabilidade (tabela 7.1), e adota-
se um cobrimento c = 2,0 cm, especificado na tabela 7.2. Os momentos fletores da figura 2.1 decorrem 
de uma carga total p = 5,5 kN/m2, sendo a carga permanente g = 3,5 kN/m2 (peso próprio e 
revestimento) e a carga acidental q = 2,0 kN/m2. 
As lajes L1 e L2 são lajes armadas em uma direção, pois não há vigas nas bordas horizontais, portanto 
têm o funcionamento de uma viga contínua, que pela simetria, é equivalente a uma viga simples 
hiperestática, apoiada-engastada, cujo momento hiperestático negativo sobre a viga V2 (apoio L1-L2) 
vale 
2 2
12 / 8 5,5 4 / 8 11,0 /x xm p kN m m       , e os momentos positivos nos vãos das lajes L1 e 
L2 resultam 
2 2
1 2 /14,2 5,5 4 /14,2 6,2 /x x xm m p kN m m       . 
2.1. Dimensionamento da armadura positiva 
− Armadura principal 
1,4 6,2 8,68 . /xd f xkm m kNm m     ; 
100 ,b cm considera-se uma faixa de largura de 1m; 
/ 2xd h c    , adotando 10mm  , tem-se 
10
10,0 2,0 1,0 / 2 7,5x
mm
d cm

    . 
Linha neutra: 21,25 1 1 0,425
dmx d
b d fcd
 
     
   
2
868
1,25 7,5 1 1 1,3
0,425 100 7,5 2,0 / 1,4
x cm
 
      
   
, 0,17 0,259 2
x
D
d
   . 
Armadura: 
2868 2,9 / ( 8 /17)
50( 0,4 ) (7,5 0,4 1,3)
1,15
d
sx
yd
M
A cm m c
f d x
  
     
 
A escolha da bitola e espaçamento ( x s) deve respeitar as prescrições da seção 20 da NBR 
6118:2014, e para as bitolas comerciais tem-se as seguintes recomendações: 
 Bitola 
100
4 12,5
8 8
h
mm mm    , 
 Espaçamento: 
− armadura principal: 
2 20cm
8cm s
20cm
x
h 
  

 
− armadura secundária: 33cmys  
Para as bitolas, adota-se um mínimo de 4 mm e um máximo correspondente a um oitavo da 
espessura da laje. O espaçamento mínimo de 8 cm tem por finalidade facilitar a concretagem 
da laje e, o espaçamento máximo, visa garantir a uniformidade de comportamento admitida 
nos cálculos. A tabela 2.1 indica o cálculo do espaçamento para as bitolas comerciais da 
armadura positiva principal. 
 
 
 Tabela 2.1: Bitolas e espaçamentos. 
 (mm) 5 6,3 8 10 12,5 
As1 (cm2) 0,20 0,315 0,50 0,80 1,25 
scalculado (cm) 6,9 < 8 10,8 17,2 27,5 > 20 41,7 > 20 
Sadotado (cm) ---- 10 17 ---- ---- 
 
− Armadura secundária 
0,2 6,2 1,24 /yk xkm m kN m m      ; 
1,4 1,24 1,74yd f ykm m kN m      
100 ,b cm considera-se uma faixa de largura de 1m; 
/ 2y x yd h c      , utilizou-se 8x mm  , e para 5y mm  , tem-se 
5
10,0 2,0 0,8 0,5 / 2 6,95
x y
y
mm
d cm
  
     
Linha neutra: 
2
174
1,25 6,95 1 1 0,26
0,425 100 6,95 2,0 / 1,4
x cm
 
      
   
, 0,04 0,259 2
x
D
d
   . 
Armadura: 
2
, 2
0,20 0,2 2,9 0,58 /174
0,6
50 0,9 /(6,95 0,4 0,26)
1,15
sx
sy s mín
A cm m
A A
cm m
    
    
  
 
20,9 / ( 5 / 22)syA cm m c , observando o espaçamento máximo 33ys cm . 
2.2. Dimensionamento da armadura negativa 
− Armadura principal 
1,4 11,0 15,4 . /xd f xkm m kNm m      ; 
100 ,b cm considera-se uma faixa de largura de 1m; 
/ 2xd h c    , adotando 10mm  , tem-se 
10
10,0 2,0 1,0 / 2 7,5x
mm
d cm

    . 
Linha neutra: 
2
1540
1,25 7,5 1 1 2,4
0,425 100 7,5 2,0 / 1,4
x cm
 
      
   
, 0,32 0,259 2
x
D
d
   . 
Armadura: 
21540 5,2 / ( 10 /15)
50
(7,5 0,4 1,7)
1,15
sxA cm m c 
  
 
A tabela 2.2 explicita a escolha da bitola e espaçamento em consonância com as prescrições 
da seção 20 da NBR 6118:2014. 
 Tabela 2.2: Bitolas e espaçamentos. 
 (mm) 5 6,3 8 10 12,5 
As1 (cm2) 0,20 0,315 0,50 0,80 1,25 
scalculado (cm) 3,8 < 8 6,0 < 8 9,6 15,4 24,0 > 20 
Sadotado (cm) ---- ---- 9 15 ---- 
 
− Armadura secundária 
0,2 11,0 2,2 /yk xkm m kN m m       ; 
1,4 2,2 3,08yd f ykm m kN m       
100 ,b cm considera-se uma faixa de largura de 1m; 
/ 2y x yd h c      , utilizou-se 10x mm  , e para 5y mm  , tem-se 
5
10,0 2,0 1,0 0,5 / 2 6,75
x y
y
mm
d cm
  
     
Linha neutra: 
2
308
1,25 6,75 1 1 0,48
0,425 100 6,75 2,0 / 1,4
x cm
 
      
   
, 0,07 0,259 2
x
D
d
   . 
Armadura: 
2
, 2
0,20 0,2 5,2 1,04 /308
1,10
50 0,9 /(6,75 0,4 0,48)
1,15
sx
sy s mín
A cm m
A A
cm m
    
    
  
 
21,1 / ( 5 / 18)syA cm m c , observando o espaçamento máximo 33ys cm . 
2.3. Detalhamento das armaduras 
As armaduras obtidas para os momentos de vão (também chamadas de armaduras de 
momentos positivos) são, usualmente, estendidas, a favor da segurança, de apoio a apoio da 
laje; sendo também uma recomendação, 20.1 da NBR 6118:2014, para as lajes maciças em 
uma ou em duas direções, em que seja dispensada armadura transversal de acordo com 19.4.1 
da NBR 6118:2014, e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das armaduras 
decorrentes da presença de momentos volventes nas lajes, toda armadura positiva deve ser 
levada até os apoios, não se permitindo escalonamento desta armadura. A armadura deve ser 
prolongada no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio. 
As armaduras resistentes calculadas junto aos apoios internos da laje (também chamadas de 
armaduras “negativas”) são estendidas de modo a “cobrir” o diagrama de momento fletor 
negativo; uma extensão de x/4 para cada lado do apoio é, normalmente, suficiente para essa 
finalidade (quando as lajes adjacentes têm vãos não muito diferentes entre si, pode-se adotar 
o maior destes vãos para a definição do comprimento da barra). 
Nas bordas da laje, junto às vigas de apoio, costuma-se posicionar uma armadura (As,borda) com 
extensão x/5, visando atenuar uma eventual fissuração proveniente do engastamento parcial 
da laje nestas vigas. Pode-se considerar suficiente, a As,borda correspondente à 0,67.mín 
conforme tabela 19.1 da NBR 6118:2014, usualmente não menor do que 1,5 cm2/m e 
restringindo o espaçamento entre as barras a 2h. Assim, 
 2 2, ,
5 / 13
0,67 ( .19.1) 0,10% 1,5 / 1,5 /
6,3 / 20s borda mín s borda
c
A Tab cm m A cm m
c




      

 
O detalhamento destas armaduras está indicado na fig. 2.2. 
 
Figura 2.2 – Detalhamento das armaduras. 
2.4. Verificação ao cisalhamento (ELU) 
De acordo com a NBR 6118:2014, 19.4.1 – Lajes sem armadura para força cortante, as lajes 
maciças ou nervuradas, podem prescindir de armadura transversal para resistir as forças de 
tração oriundas da força cortante, quando a força cortantede cálculo, a uma distância d da 
face do apoio, obedecer à expressão: 
1Sd RdV V , SdV é a força cortante solicitante de cálculo dada por: 
1,4 (5,5 4 / 2 11,0 / 4,0) 19,25Sd f SkV V kN       , 
cortante no apoio interno junto à viga V2, e 
1RdV é a força cortante resistente de cálculo dada por: 
 1 11,2 40 0,15           Rd Rd cp wV k b d , onde 
 0,25 0,25 1,105 0,276Rd ctdf MPa      , fctd de acordo com 8.2.5: 
2/3 2/3
,inf ,0,7 0,7 0,3 0,21 20 1,105
1,4
ctk ct m ck
ctd
c c c
f f f
f MPa
  
   
     ; 
1,6 [ ] 1,6 0,075 1,525 1,0k d m m      ; 
 
10 /15
1
1
5,33
0,71% 0,0071 0,02
100 7,5
c
s
w
A
b d

     
 
; 
As1 para armadura negativa 10c/15, pois VSd é cortante no apoio interno; 
0Sdcp
c
N
A
   , pois NSd = 0; 
Assim: 
 1 0,0276 1,525 1,2 40 0,0071 0 100 7,5 46,8RdV kN          . 
Portanto, 119,25 46,8Sd RdV kN V kN   , não há a necessidade de 
estribos. 
 
 
 
3. Exemplo I – Laje armada em duas direções 
Na figura 3.1 indica-se a planta de formas para as lajes L1 a L8, considera-se classe de agressividade I, 
concreto C20 (fck = 20 MPa) e aço CA50 (fyk = 500 MPa). 
 
Figura 3.1 – Planta de formas. 
O concreto C20 atende a seção 7 da NBR 6118:2014 com relação à durabilidade (tabela 7.1), e adota-
se um cobrimento c = 2,0 cm, especificado na tabela 7.2. A carga total p = 5,5 kN/m2, sendo a carga 
permanente g = 3,5 kN/m2 (peso próprio e revestimento) e a carga acidental q = 2,0 kN/m2. 
A planta de formas da figura 3.1 tem dois eixos de simetria, eixos sobre as vigas V3 e V7, portanto 
somente duas lajes serão dimensionadas – L1 e L3 – pois, L1=L2=L7=L8 e L3=L4=L5=L6. As lajes L1 e L3 
são lajes armadas em duas direções com condições de contorno diferentes devido à continuidade com 
as lajes adjacentes. 
As lajes são consideradas como painéis isolados, determinando-se os momentos fletores máximos nos 
vãos e sobre os apoios (quando engastados) para a carga p = 5,5 kN/m2. 
3.1. Determinação dos Esforços Solicitantes 
Nas lajes interessam, particularmente, os momentos fletores máximos (em valor absoluto) 
nos vãos e sobre os apoios (quando engastados). Existem tabelas que nos fornecem estes 
momentos máximos para alguns casos usuais de lajes maciças (tabelas de Kalmanock, Barès, 
Czèrny, Timoshenko, etc.). Nos edifícios, onde o carregamento usual é constituído de carga 
distribuída uniforme, são muito úteis as tabelas de Czèrny preparadas com coeficiente de 
Poisson 0,2 (admitido para o concreto). Os momentos fletores extremos são dados por: 
m
p
m
p
m
p
m
p
x
x
x
y
x
y
x
x
x
y
x
y
       
   2 2 2 2
   
; ; ; 
onde, as variáveis  e  estão tabeladas em função dos seguintes parâmetros: 
 tipo de carga (por exemplo, distribuida uniforme) 
 condições de apoio da laje (tipos de apoio) 
 relação (ly / lx). 
Para os pisos usuais de edifícios residenciais e comerciais (sobrecargas de valores moderados) 
pode ser aplicado o método simplificado. Considera-se o piso esquematizado na figura 3.2, 
onde: 
 
Figura 3.2 – Planta de formas. 
 
 lajes isoladas: inicialmente, isolam-se as lajes, admitindo-se, para cada uma delas, as 
seguintes condições de apoio: 
− apoio livre, quando não existir laje vizinha junto a este apoio; 
− apoio engastado, quando existir laje vizinha no mesmo nível permitindo, assim, a 
continuidade da armadura negativa de flexão de uma laje para a outra; 
− vigas rígidas de apoio da laje; 
 
e, calculam-se os momentos fletores máximos (em valor absoluto) nestas lajes isoladas 
(mx, my, mx’ e my’). 
 correção dos momentos fletores devido à continuidade entre as lajes vizinhas: 
− momentos sobre os apoios comuns às lajes adjacentes: adota-se para momento 
fletor de compatibilização, o maior valor entre 0,8 m>‘ e (m1’ + m2’) / 2, onde m1’ e 
m2’ são os valores absolutos dos momentos negativos nas lajes adjacentes junto ao 
apoio considerado e, m>‘, o maior momento entre m1’ e m2’. 
− momentos nos vãos: para sobrecargas usuais de edifícios podem ser adotados os 
momentos fletores obtidos nas lajes isoladas; portanto, sem nenhuma correção 
devido à continuidade. Para sobrecargas maiores convém efetuar essas correções, 
principalmente, quando acarretar aumento no valor do momento fletor. Para isso, 
existem tabelas apropriadas. 
 
− Lajes isoladas 
Na tabela 3.1 calculam-se os momentos fletores nas lajes isoladas. 
Tabela 3.1: Momentos fletores – Tabelas de Czerny. 
Laje x
 
(m) 
y 
(m) 
y
x
 
x y x y x
m 
(kN.m/m) 
ym 
(kN.m/m) 
xm 
(kN.m/m) 
ym 
(kN.m/m) 
L1 4,0 6,0 1,5 22,2 52,6 9,6 12,4 3,96 1,67 9,17 7,10 
L3 4,0 6,0 1,5 27,8 76,9 12,5 17,5 3,17 1,14 7,04 5,03 
 
− Momentos fletores sobre os apoios 
Na tabela 3.2 indicam-se as correções dos momentos fletores sobre os apoios comuns às lajes 
adjacentes. 
Tabela 3.2: Momentos fletores sobre os apoios. 
Apoio im
 
(kN.m/m) 
jm 
(kN.m/m) 
2
i jm m  
(kN.m/m) 
0,8 m 
(kN.m/m) 
ijm 
(kN.m/m) 
L1–L2 7,10 7,10 7,10 5,68 7,10 
L1–L3 9,17 7,04 8,11 7,34 8,11 
L3–L4 5,03 5,03 5,03 4,02 5,03 
L3–L5 7,04 7,04 7,04 5,63 7,04 
3.2. Dimensionamento das armaduras positivas e negativas 
Na tabela 3.3 indica-se o dimensionamento e a escolha da bitola ( – mm) e o espaçamento 
(s – cm). O momento poisitivo mx da laje L1 foi corrigido devido a compatibilização dos 
momentos negativos das lajes L1 e L3: 
1 3
1 3,96 (9,17 8,11) / 2 4,49 .
x x
x
m m
m kNm
 
    . 
Tabela 3.3: Dimensionamento das armaduras. 
Laje 
d 
(cm) 
m 
(kN.m) 
md 
(kN.m) 
x 
(cm) 
As 
(cm2/m) 
mín 
(%) 
As,mín 
(cm2/m) 
As,adot. 
(cm2/m) (mm) e s(cm) 
L1 
xm 7,5 4,49
(*) 6,29 0,90 2,00 0,10 1,00 2,00 5c/10 
ym 6,5 1,67 2,34 0,38 0,85 0,10 1,00 1,00 5c/20 
1,2m 7,5 7,10 9,94 1,48 3,31 0,15 1,50 3,31 8c/15 
1,3m 7,5 8,11 11,35 1,72 3,83 0,15 1,50 3,83 8c/13 
L3 
xm 7,5 3,17 4,44 0,63 1,41 0,10 1,00 1,41 5c/14 
ym 6,5 1,14 1,60 0,26 0,58 0,10 1,00 1,00 5c/20 
3,4m 7,5 5,03 7,04 1,02 2,28 0,15 1,50 2,28 6,3c/13 
3,5m 7,5 27,8 76,9 12,5 17,5 3,17 1,14 7,04 8c/15 
 
3.3. Detalhamento das armaduras 
Nas figuras 3.3 e 3.4 detalham-se apenas as lajes L1 e L3, considerando a simetria do painel 
de lajes, separadamente as armaduras negativas (superiores) e positivas (inferiores). 
 
Figura 3.3 – Detalhamento das armaduras superiores (negativas). 
 
Figura 3.4 – Detalhamento das armaduras inferiores (positivas).