APS -LAJE MAÇICA PORFESSORA LISIANE

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UNIVERSIDADE PAULISTA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
CINTHIA SIQUEIRA DE PAIVA 
RAFAEL FERNANDO FRIGO 
ROBERTA ROSA SIQUEIRA 
THAMIRIS CAROLINE CAMARGO 
 
 
 
 
MEMÓRIA DE CÁLCULO ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
LAJE MACIÇA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARARAQUARA-SP 
2018 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE PAULISTA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
CINTHIA SIQUEIRA DE PAIVA T738342 
RAFAEL FERNANDO FRIGO C690CE5 
ROBERTA ROSA SIQUEIRA T584450 
THAMIRIS CAROLINE CAMARGO B792GG4 
 
 
MEMÓRIA DE CÁLCULO ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO: 
LAJE MACIÇA. 
 
 
 
 
Dissertação apresentada há Universidade 
Paulista de Araraquara, como parte dos requisitos 
para obtenção de aprovação ao projeto de 
Atividade Prática Supervisionada. Orientador (a): 
Profª. Lisiane Pereira Prado. 
 
 
 
 
 
ARARAQUARA-SP 
2018 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO. 
 
No presente trabalho será abordado o sistema estrutural de uma laje maciça 
convencional de concreto armado para um edifício sustentado em vigas bi – apoiadas, e 
trabalhando dentro do estado de limite último. Lajes convencionais em seu plano são 
dimensionadas através do vão que apresenta menor dimensão em sua espessura da área 
de seção transversal menor, a armadura do aço é armada em duas direções em seu plano 
de carregamento do concreto, em função disso determinaremos tipo de vinculação, pré-
dimensionamento da altura da laje, cálculo das cargas de atuação, momento positivo e 
negativo e armadura longitudinal e faremos o comparativo entre as direções das 
armaduras que apresentar mais resistência aos esforços atuantes. 
 
Palavras-chave: lajes maciças, vigas- bi apoiada, armadura de aço, sistema estrutural, 
vinculação. 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO. ....................................................................................................... 1 
2. OBJETIVO. ............................................................................................................. 1 
2.1. OBJETIVO GERAL. ............................................................................................. 1 
2.1.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS. ............................................................................... 2 
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA. ............................................................................... 2 
3.1 CONCRETO ARMADO. ..................................................................................... 2 
3.1.1 ENSAIOS DE CONCRETO. ............................................................................. 3 
3.1.2 RESISTÊNCIA Á COMPRESSÃO. ................................................................... 4 
3.2 LAJE DEFINIÇÃO. ............................................................................................ 5 
3.2.1 LAJES MACIÇAS. ............................................................................................ 6 
3.3 PILAR. ................................................................................................................. 6 
3.4. VIGA. ................................................................................................................... 7 
4. FORMULAÇÕES. ................................................................................................... 7 
5. METODOLOGIA E CÁLCULOS. ........................................................................ 10 
5.1 VISITA NA OBRA. .............................................................................................. 10 
5.1.1 DADOS PARA O CÁCULO DA LAJE. .......................................................... 11 
5.1.2 CÁLCULO DA LAJE MACIÇA. ..................................................................... 12 
6. CONCLUSÃO. ....................................................................................................... 19 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. ................................................................ 20 
 
1 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO. 
 
A demanda esta aumentando por busca de qualidade, segurança e menor preço são 
inevitáveis para o engenheiro calculista estrutural, é importante dispor-se ao conforto do 
empreendimento bem executado e ao usuário para que haja confiança e credibilidade do 
dimensionamento estrutural aceitado no projeto, segundo (PINHEIRO,2014). “Os sistemas e 
elementos estruturais são adotados através de peças que compõem uma estrutura (viga, laje e 
pilar) e define como são arranjados para resistir aos esforços submetidos”. 
O tipo de elemento estrutural mais usual para edifício e obras residenciais é a laje 
maciça de concreto armado, a principal função das lajes é receber os carregamentos atuantes 
no andar, provenientes do uso da construção (pessoas, móveis e equipamentos), e transferi-
los para os apoios, entretanto apresenta facilidade em passar tubulações elétricas e outros 
tipos de instalações antes da aplicação do concreto na armadura e seu detalhamento de 
cálculo é relativamente simples, do mesmo modo deve satisfazer criteriosamente à 
normativa que prescreve espessuras mínimas de lajes maciças de edifícios em concreto 
armado. (ABNT 6118:2014). 
Esse trabalho visa a melhor condição para o dimensionamento da laje maciça 
retangular de concreto armado e convencional armada em duas direções sustentada por 
vigas, com carga acidental para corredores com acesso ao publico e cargas permanentes do 
peso próprio do concreto, contra piso e piso de granito, momento positivo das armaduras na 
direção do maior e menor vão l(x) e l(y), sendo apresentada dentro do limite ultimo. Os 
resultados em relação ao quantitativo de aço, detalhamento da armadura, bitola adotada, 
resistência do concreto será adotado na metodologia de cálculo. 
 
2. OBJETIVO. 
 
2.1. OBJETIVO GERAL. 
 
 Dimensionar uma laje maciça provido á espessura de concreto armado estabelecido 
pelo professor em sala de aula e uma visita programada em uma obra de edifício comercial. 
2 
 
 
 
 
2.1.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS. 
 
 Determinar o tipo de vinculação que constitui a laje; 
 
 Definir o comprimento que apresenta menor vão através das espessuras fornecidas 
pelo orientador; 
 
 Calcular o momento positivo em duas direções da armadura e comparar aquele que 
sofre mais flexão de acordo com o carregamento; 
 
 Avaliar a eficiência da armadura longitudinal do aço, comparar aquela que sofre mais 
tração, definir os espaçamentos entre elas e o plano dimensional da laje maciça; 
 
 Analisar o quantitativo dos materiais para os AS calculado e carregamento do 
concreto. 
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA. 
 
3.1 CONCRETO ARMADO. 
 
O concreto é um material composto, constituído por cimento, água, agregado miúdo 
e graúdo, e pode também conter aditivos químicos com a finalidade de melhorar as 
propriedades no estado fresco e estado endurecido, consiste na aderência entre concreto e a 
armadura de aço, um conjunto de barras de aço forma a armadura, que envolvida pelo 
concreto origina-se o concreto armado muito utilizado de modo geral na construção de 
elemento estrutural, a armadura é posicionada na fôrma (ou molde), em seguida o concreto 
fresco é lançado para preencher a fôrma, e simultaneamente vai-se realizando o 
adensamento do concreto, que deve envolver e aderir às armaduras. (BASTOS, 2011). 
As principais propriedades mecânicas do concreto são a resistência á compressão, a 
resistência tração e o módulo de elasticidade, segundo (LIBANIO et al. 2010) “Essas 
propriedades são determinadas a partir de ensaios, executados em condições específicas. 
3 
 
 
 
Geralmente os ensaios são usados para o controle da qualidade e atendimento as 
especificações’’ 
 
3.1.1 ENSAIOS DE CONCRETO. 
 
A qualidade do concreto depende de um controle rígido e requer vários tipos de 
ensaios para comprovar que o material na obra deve estar dentro dos parâmetros de 
qualidade como explica á normativa. 
 
 “Os corpos de provas a serem ensaiados apartir de um dia de idade, com 
finalidade de verificar a qualidade e a uniformidade do concreto utilizado em obra 
ou para decidir sua aceitação devem ser moldados 24 horas após o momento da 
moldagem no caso de corpos de provas cilíndricos ou após 48 horas no caso de 
corpo- de provas- prismático. (NBR 5738, item 8.2. 2008)”. 
 
 Os ensaios de concreto são realizados em laboratório especializado para definir a 
propriedade do concreto diretamente ligado à segurança e à resistência à compressão, sendo 
capaz de indicar as alterações da sua qualidade e estabilidade, segundo (NBR 6118, item. 
8.2.4,2014) “Usualmente o corpo de prova padrão brasileiro é o cilíndrico com 15 cm de 
diâmetro e 30 cm de altura e idade de referência de 28 dias”. 
 Desde o momento em que o concreto é preparado na concreteira até a aplicação na 
obra, há uma série de fatores que podem colocar em risco sua resistência e desempenho, 
entre eles, é possível destacar o atraso no caminhão-betoneira que ultrapassa os limites 
previstos em norma, as mudanças climáticas ou mesmo a adição excessiva de água na 
mistura em uma tentativa de assegurar maior trabalhabilidade. 
A contratação dos ensaios de concreto passa por um rigoroso sistema de avaliação e 
capacitação no laboratório que prestará os serviços dos ensaios analisando a composição do 
corpo técnico, o atendimento dos equipamentos e os materiais a serem analisados para 
determinar a resistência á compressão ideal para cada corpo de prova retirado dos elementos 
estruturais da obra, segundo o autor. 
 
 “O correto recebimento dos materiais determina a precisão dos ensaios e, por isso, 
deve fazer parte do planejamento logístico da obra. A finalidade é proporcionar o 
tempo adequado para execução dos ensaios. No caso do concreto dosado em 
central é preciso ficar atento ao momento de saída da central, com o ensaio de 
abatimento, além de verificar o lacre da betoneira, cujo número deve estar de 
acordo com o número da nota fiscal. (DAHER et al.2017)”. 
4 
 
 
 
 
3.1.2 RESISTÊNCIA Á COMPRESSÃO. 
 
No cálculo estrutural de concreto com base no projeto da obra, a variável da 
resistência característica (fck) é a mais importante em varias etapas, para cotar o preço no 
mercado, o valor do concreto varia de acordo coma sua resistência, para elevar ao estado de 
ruptura do corpo de prova e ver a resistência máxima, entre outros fatores. 
Para estimar a resistência a compressão é moldada e ensaiados vários corpos de 
prova de acordo com a norma, e feito a compressão em prensas hidráulicas de acordo coma 
a intensidade do carregamento proposto no projeto (MUZZARDO et. al, 2010). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após os ensaios e um número muito grande de corpos de prova, pode ser feito um 
gráfico de valores obtidos, que relaciona diretamente a quantidade de corpos de prova 
relativos ao valor densidade de frequência do corpo de prova. A curva encontrada no gráfico 
denomina- se curva estatística de Gauss ou curva de distribuição normal para resistência á 
compressão do concreto, na curva de Gauss encontra-se dois valores fundamentais a 
resistência média do concreto (fcm) e á compressão (fck). 
O valor fcm é a média aritmética dos valores para o conjunto de corpo de provas, 
ensaiados e utilizado para determinar a característica do concreto (MUZZARDO, 2010). 
 
 
 
 
 
 
Figura 1; Fonte: Civilização da Engenharia, 2007. 
 
 
 
 
Civilização da Engenharia, 2007. 
Figura 2; Fonte: USP – EESC – Departamento de 
Engenharia de Estruturas, 2010 
5 
 
 
 
Com auxilio dos ensaios, e os teste de compressão a engenharia conseguiu elaborar 
concretos que podem chegar até 100Mpa, dessa maneira os cálculos de estrutura ganharam 
mais alternativas para o dimensionamento dos elementos estruturais, podemos aumentar o 
carregamento da seção transversal de uma laje ou altura útil de um pilar/viga. 
 
3.2 LAJE DEFINIÇÃO. 
 
Lajes são elementos estruturais bidimensionais planos com cargas 
preponderantemente normais ao seu plano médio, considerando uma estrutura convencional, 
as lajes transmitem as cargas do piso às vigas e aos pilares. 
O comportamento estrutural da laje é o de placa que por definição é caracterizada por 
uma superfície média (S), e uma espessura (h), com esforços aplicados perpendicularmente 
á o seu plano, as lajes possuem um papel importante no esquema resistente para as ações 
horizontais, comportando-se como diafragmas rígidos ou chapas, compatibilizando o 
deslocamento dos pilares em cada piso, os apoios das lajes são em geral constituídos pelas 
vigas do piso nestes casos, o cálculo das lajes pode ser feito de maneira simplificada como 
se elas fossem isoladas das vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e não deslocáveis 
à translação, considerando-se, contudo, a continuidade de lajes contíguas. 
Em geral, podem ser desprezados os efeitos da interação com as vigas normalmente 
as flechas apresentadas pelas vigas de apoio são desprezíveis quando comparadas às das 
lajes, justificando a consideração dos apoios como irrecalcáveis, além disso, também a 
rigidez à torção das vigas é relativamente pequena face à rigidez à flexão da laje, 
permitindo-se, em geral, desprezar-se a solicitação resultante desta interação. É obrigatória, 
entretanto, a consideração de esforços de torção inseridos nas vigas por lajes em balanço, 
aonde a compatibilidade entre a flexão na laje e a torção na viga é responsável pelo 
equilíbrio da laje às cargas das lajes são constituídas pelo seu peso próprio, pela carga das 
alvenarias e dos revestimentos que nela se encontrarem e pelas ações acidentais. 
Existem diferentes tipos de laje como: maciças, nervuradas, lisas (ou cogumelo), pré-
moldadas, entre outros, praticadas de maneiras diferentes, classificadas conforme 
composição sua e forma, tipo de apoio, esquema de cálculo, armadas em uma ou duas 
direções, de acordo com autor (PARSEKIAN et al. 1998) . 
 
 
6 
 
 
 
 “Em seu trabalho relata que o cálculo das lajes de concreto armado se dá através 
de todos os esforços resistentes, considerando-se o momento volvente. Torna-se 
importante o conhecimento de procedimentos para determinar momentos normais 
a duas direções escolhidas, o qual será disposto as armaduras, que cubram o terno 
de esforços Mx, My e Mxy (PARSEKIAN et al. 1998).” 
 
3.2.1 LAJES MACIÇAS. 
 
Laje maciça é aquela onde toda a espessura é composta por concreto, contendo 
armaduras longitudinais de flexão e eventualmente armaduras transversais e apoiadas em 
vigas ou paredes ao longo das bordas, laje com borda ou bordas livres é um caso particular 
de laje apoiada nas bordas. A laje lisa e a laje cogumelo são também lajes maciças de 
concreto, porém, nessas lajes as cargas e outras ações são transferidas diretamente aos 
pilares, sem intermédio de apoios nas bordas. 
Por uma questão de tradição no Brasil é costume chamar a laje apoiada nas bordas 
como “laje maciça”. As lajes maciças podem ser de Concreto Armado ou de Concreto 
Protendido; nesta apostila são apresentadas apenas as lajes maciças retangulares ou 
quadradas de Concreto Armado. Nas pontes e edifícios de múltiplos pavimentos e em 
construções de grande porte, as lajes maciças são as mais comuns entre os diferentes tipos 
de laje existentes. As lajes maciças de concreto, com espessuras que normalmente variam de 
7 cm a 15 cm, são projetadas para os mais variados tipos de construção, como edifícios de 
múltiplos pavimentos (residenciais, comerciais, etc.), muros de arrimo, escadas, 
reservatórios, construções de grande porte, como escolas, indústrias, hospitais, pontes de 
grandes vãos, etc. 
De modo geral, não são aplicadas em construções residenciais e outras construções 
de pequeno porte, pois nesses tipos de construção as lajes nervuradas pré- fabricadas 
apresentam vantagens nos aspectos custo e facilidade de construção. 
 
3.3 PILAR. 
 
PINHEIRO, M E SCADELAI A (2003) definempilares, “Como sendo elementos 
estruturais lineares de eixo reto, usualmente disposto na vertical, em que as forças normais 
de compressão são preponderantes e cuja função principal é receber as ações atuantes nos 
diversos níveis e conduzi-las até as fundações”. 
7 
 
 
 
Junto com as vigas, os pilares formam os pórticos, que na maior parte dos edifícios 
são os responsáveis por resistir às ações verticais e horizontais e garantir à estabilidade 
global da estrutura as ações verticais são transferidas aos pórticos pelas estruturas dos 
andares, e as ações horizontais decorrentes do vento são levadas aos pórticos pelas paredes 
externas. 
Alterado o valor da dimensão mínima dos pilares, de 12 cm para 14 cm, seguindo as 
prescrições (NBR 6118:2014). As seções planas permanecem planas depois da aplicação das 
tensões normais até o estado limite último, esta hipótese possui a restrição de que a relação 
entre os pontos onde o momento fletor se anula e a altura considerada útil da seção 
transversal não pode ser maior que dois. Sendo o caso, de uma viga bi- apoiado com 
carregamento constante, em que a distância entre os apoios (distância entre momentos nulos) 
deve ser maior que duas vezes sua altura útil. 
 
3.4. VIGA. 
 
As vigas fazem parte da estrutura de concreto armado que dá sustentação a sua casa, 
elas ficam apoiadas nas colunas e acima das paredes, para S.P. BASTOS (2017), “Vigas são 
elementos lineares em que a flexão é preponderante elemento linear é aquele em que o 
comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a maior dimensão da seção 
transversal, sendo também denominado barra”. 
Uma viga é um elemento estrutural das edificações podendo ser de madeira, ferro ou 
concreto armado e é responsável pela sustentação das lajes. A viga transfere o peso das lajes 
e dos demais elementos (paredes, portas, etc.) 
As seções transversais das vigas não devem ser inferiores a 15 cm em vigas parede e 
12 cm nas demais vigas. Em casos excepcionais, esses valores podem ser reduzidos até 10 
cm, valor mínimo aceito pelo eberick, conforme descrito no item 13.2.2 da NBR 6118. 
 
4. FORMULAÇÕES. 
 
Espaçamento da Laje. 
S =
 Ast∅
As 
 
8 
 
 
 
Ast∅ = Area da Seção transversal da bitola = (
π × ∅2
4
) 
As = Armadura longitudinal do aço calculada; 
 
Numero de Barras Armadura. 
N° Barras =
As
Ast
 
Ast∅ = Area da Seção transversal da bitola = (
π × ∅2
4
) 
As = Armadura longitudinal do aço calculada; 
 
Espessura da Laje. 
λ =
ly
lx
 
λ = relação entre as dimensões da laje na direção x e y; 
 
Altura Final. 
h =
LX
40
 
Lx = Menor vão da dimensão da laje 
Ou 
h = d + c + ϕ +
ϕ
2
 
ϕ = diâmetro depende do tipo do aço e sua bitola 
d = altura util 
c = cobrimento dados pelos espassadores entre a armadura eo plano 
 
Altura Útil. 
d = h − 4,00cm 
h = altura final da laje 
d′ = 4,00cm relaciona o cobrimento e distância até a parte tracionada 
 
Ou; 
d ≥
Lx
Ψ2 × Ψ3
 
9 
 
 
 
Ψ2=coeficiente dependente do tipo de vinculação e dimensão da laje 
Ψ3 = coeficiente depende do tipo de aço.; 
Lx = Menor Vão da Laje; 
 
Valor adimensional para seção retangular. 
KMD =
Md
bw × d2 × Fcd
 
KMD = Valor admensional tabelado para seção retangular 
Md = momento solicitante de cálculo 
bw = largura da seção transversal da seção retangular 
d = altura util da laje; 
Fcd =
fck
1,4
= Resistência a compressão do concreto 
 
Valor adimensional para limite. 
Kx =
x
d
 
Manipulando a fórmula temos que: 
x = Kx × d 
Kx = Valor admensional tabelado para seção retangular 
x = Limite que estrutura deve estar 
d = altura util da laje 
 
Armadura longitudinal da Laje. 
As =
Md
Kz × d × fyd
 
As = Cálculo da seção da armadura longitudinal do aço 
Md = momento solicitante de cálculo 
d = altura util 
Kz = Valor admensional tabelado relacionado através do KMD 
Fyd =
fyk
1,15
= Resistência a tração do aço 
 
Combinação no estado de limite. 
10 
 
 
 
Fd = (γg × Fgk) + γq × (Fq1k + ∑Ψ0j × Fqjk) 
Fgk = carga permanente 
Fq1k = carga acidental primária 
γg = 1,4 coeficiente desfavoravél para limite ultimo 
Ψ0 = fator de redução para estado limite ultimo ultimo. 
 
Momento máximo positivo. 
Momento na direção(x) x = mx = μx ×
P×Lx
2
100
 
Momento na direção(y) y = my = μy ×
P×Ly
2
100
 
5. METODOLOGIA E CÁLCULOS. 
 
5.1 VISITA NA OBRA. 
 
O engenheiro precisa entender o critério real que envolve um projeto estrutural, não é 
simples como parece, o importante dimensionamento em um edifício exige conhecimento 
prévio de todo elemento estrutural, os alunos do quarto ano da Universidade Paulista 
organizaram uma visita em um edifício comercial para entender como o sistema de laje 
maciça se comporta fora do ambiente acadêmico, na prática observamos que os padrões 
normativos acabam sendo improvisados pelo engenheiro devido á execução do projeto não 
oferecer os recursos devidos. 
Na obra á armadura em treliça ao longo da seção transversal e o aço para a bitola 
CA-60, observa-se que umas das lajes estavam com as armaduras invertidas devidas á 
amarração dos estribos estarem incorreta, então, a inversão da armadura fez com que 
provisoriamente o carregamento distribuído não influenciasse no aumento excessivo da 
tração como explicou á estagiária no local. 
Os dados do dimensionamento da laje maciça são fornecidos pela professora que 
orienta a disciplina, para que através de um entendimento na visita atenta-se em todos os 
carregamentos, montagem da armadura, os espaçadores ser colocado entra e o plano da laje 
e a armadura corretamente nesse principio vamos calcular e concluir o presente trabalho. 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1.1 DADOS PARA O CÁCULO DA LAJE. 
 
Contra piso. 
 
espessura: 2,0cm e γargamassa =
18KN
m3
; 
 
Piso granito. 
 
espessura: 1,0cm e γgranito =
28KN
m3
; 
 
Concreto armado. 
 
γconcreto =
25KN
m3
; 
 
Cobrimento nominal. 
 
c = 25mm admitindo classe de agressividade ambiental II; 
 
Resistência característica do concreto. 
Figura 3, Fonte: Artigo do próprio autor, visita obra- laje 
concretada, 2018. 
Figura 4 Fonte: Artigo do próprio autor, visita obra- laje 
armada, 2018. 
 
 
 
 
12 
 
 
 
fck = 25 Mpa. 
Resistência á tração de escoamento do aço. 
fyk = CA − 50; 
Espessura da laje maciça. 
(lx) = 6,00m e (ly) = 6,5m 
bw= 1,00m 
 
Diâmetro adotado através da tabela especificada para bitola do aço CA0-50. 
 
Aço CA-50 
∅ = 6,30mm adotado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1.2 CÁLCULO DA LAJE MACIÇA. 
 
Tipo de Vinculação. 
 
 
 
 
 
Figura 5 Fonte: Unicon Representações, Aço para Construção Civil, 2017 
Figura 6 Fonte: Unesp Bauru -Campus de 
Engenharia., 2015 
Figura 7 Fonte: Unesp Bauru- Campus 
Engenharia., 2015 
13 
 
 
 
A laje esta sendo dimensionada em viga – bi apoiada então consideramos somente o 
tipo de vinculação (1), a laje não se encontra engastada ou encorada em outros elementos 
estrutural estamos trabalhando com as espessuras fornecidas em aula. 
Laje = 6,00 × 6,5m (dimensão fornecida pelo orientador); 
(Lx) = 6,00m e (Ly) = 6,5m; 
 
Definição menor vão. 
(lx) sempre vai ser a menor dimensão fornecida; 
λ =
ly
lx
=
6,5m
6,00m
= 1,08m ≅ 1,10 
 
Pré-dimensionamento da altura útil e a altura final. 
Considera-se aço CA-50 para nosso dimensionamento, embora se obtenha mais de um tipo 
de formulação para altura útil e final, considera-se h =
LX
40
 para a altura final, e d = h −
4,00cm para altura útil. 
Altura Final; 
h =
Lx
40
=
6,00m
40
= 0,15m ou 15cm 
Altura Útil; 
d = 15cm − 4,00cm = 11cm 
 
Calculo do peso próprio para determinar o carregamento atuante. 
 
Peso próprio da laje 
h = 0,15m 
γconcreto =
25KN
 m3
 
peso próprio laje = 0,15m ×
25KN
m3
=
3,75KN
m3
 
Peso próprio contra piso 
espessura = 2,0cm ou 0,02m 
γcontra piso argamassa =
18KN
m3
 
14 
 
 
 
peso próprio contra piso= 0,02m ×
18KN
m3
=
0,36KN
m2
 
Peso próprio piso granito 
espessura = 1,0cm ou 0,01m 
γgranito =
28KN
m3
 
peso próprio piso granito = 0,01m ×
28KN
m3
=
0,28KN
m2
 
 
Cálculo das cargas através do limite último. 
 
No presente trabalho adotamos carga acidental para corredores com acesso ao 
publico (p =
3KN
m2
) de acordo com normativa NBR-6120/1987 que estabelece os critérios de 
cargas para cálculo de estruturas e edificações. 
 
 
 
Figura 8 Fonte: Puc Rio de Janeiro, tabela da normativa para cargas., 2014 
15 
 
 
 
No caso só temos uma carga acidental consideramos só a parcela de carga principal 
sem coeficiente de fator de redução Ψ0 e a parcela de carga permanente. 
 
peso próprio piso granito = 0,01m ×
28kn
m3
=
0,28kn
m2
 
peso próprio laje = 0,15m ×
25kn
m3
=
3,75kn
m2
 
peso próprio contra piso = 0,02m ×
18kn
m3
=
0,36kn
m2
 
Corredores de acesso ao publico p = (
3kn
m2
) 
Substituindo temos a combinação para carga permanente e carga acidental: 
Fd = γg × Fgk + γq × (Fq1k) 
Fd = 1,4 × (
0,28KN
m2
+
3,75KN
m2
+
0,36KN
m2
) + 1,4 × (
3KN
m2
) =
10,346KN
m2
 
Fd =
10,346KN
m2
(carga de cálculo para estado de limite ultimo) 
 
Momento máximo positivo. 
 
(ly) = 6,5m 
lx = 6,00m (menor vão para o dimensionamento) 
Fd = P =
10,346KN
m2
 (carga de cálculo para estado de limite ultimo) 
Coeficientes de μx; e μy é dado na tabela abaixo que relaciona o caso da laje (1) com 
λ ≅ 1,10. 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 Fonte: Puc Rio de Janeiro., 2014. 
16 
 
 
 
Para Caso de Vinculação (1) 
para λ =
ly
lx
=
6,5m
6,00m
= 1,08 ≅ 1,10 
Temos: 
μx = 5,18 
μy = 4,49 
Momento na direção(x) x = mx = μx ×
P×Lx
2
100
 
mx = 5,18 ×
10,346 × 62
100
= 19,293KN×m 
Momento na direção(y) y = my = μy ×
P×Ly
2
100
 
my = 4,49 ×
10,346 × 6,52
100
= 19,626KN×m 
 
Determinar KMD formula adimensional. 
KMD =
Md
bw × d2 × Fcd
 
Md(x) = 19,293KN×m 
Md(y) = 19,626KN×m 
d = 11cm ou 0,11m 
bw = 1m 
(Resistência á compressão do concreto fck = 25MPa) 
Fcd =
fck
1,4
=
25 × 103
1,4
=
17857,14KN
m2
 
Substituindo Temos: 
KMD(x) =
19,293KN×m
1m × (0,11m)² ×
17857,14KN
m2
= 0,090 
KMD(y) =
19,626KN×m
1m × (0,11m)² ×
17857,14KN
m2
= 0,091 
 
Para KMD(x)= 0,090 e KMD(y)= 0,091 encontramos o valor de kx e kz na tabela 
dos valores adimensionais para cálculos dos elementos estruturais. 
17 
 
 
 
 
Figura 10 Fonte: UFSCAR – Tabela adimensional., 2002 
Kx = 0,1403 e Kz = 0,9439 
 
Cálculo armadura de aço da laje. 
As =
Md
Kz × d × fyd
 
Md(x) = 19,293KN×m 
Md(y) = 19,626KN×m 
d = 11cm ou 0,11m 
bw = 1m 
(Resistência de escoamento á tração aço fyk = CA − 50Mpa) 
fyd =
fyk
1,15
=
500 × 103
1,15
=
434782,61KN
m2
 
Kx = 0,1403 e Kz = 0,9439 
Substituindo temos: 
As(x) =
19,293KN×m
0,9439 × 0,11m ×
434782,61KN
m2
= 4,27 × 10−4m² 
As(x) = 4,27 × 10−4m2ou 4,27 cm² 
As(y) =
19,626KN×m
0,9439 × 0,11m ×
434782,61KN
m2
= 4,34 × 10−4m² 
As(y) = 4,34 × 10−4m2ou 4,34 cm² 
18 
 
 
 
Detalhamento do quantitativo de armadura. 
 
Numero de Barras =
As
Ast∅
 
Ast = Area da Seção transversal para o diâmetro adotado = (
π × ∅2
4
) 
As = Armadura longitudinal do aço calculada 
Bitola pra CA-50 
∅ = 6,30mm adotado ou 0,63cm 
Ast∅ = (
π × ∅2
4
) =
π × 0,63²cm
4
= 0,3117cm² 
As(x) = 4,27 × 10−4m²ou 4,27 cm² 
As(y) = 4,34 × 10−4m2ou 4,34 cm² 
 Substituindo temos: 
N°(x) =
As(x)
Ast
=
4,27 cm²
0,3117cm2
= 13,7 ≅ 14 barras 
N°(y) =
As(y)
Ast∅
=
4,34 cm2
0,3117cm2
= 13,92 ≅ 14barras 
Quantitativo de Armadura. 
As 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 × Ast∅ 
As 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 14 × (
π × 0,632
4
) = 4,36 cm² 
Determinar em qual limite esta trabalhando a laje maciça. 
Kx =
x
d
 
Manipulando a fórmula temos que x; 
 
x = Kx × d 
Kx = 0,1403 
d = 11cm 
Substituindo temos: 
x = 0,1403 × 11cm = 1,54cm ou 0,015m 
x23=0,259 × d 
19 
 
 
 
x23=0,259 × 11cm = 2,85cm 
x = 1,54 cm está dentro dos limites x23= 2,85 cm 
 
6. CONCLUSÃO. 
 
No presente trabalho, concluímos que foi possível corresponder de maneira 
satisfatória ao objetivo proposto, sendo este, o de dimensionar uma laje maciça com 
espessuras (6x6,5m) considerando edifício residencial. 
Para conseguirmos efetuar este dimensionamento, utilizamos os cálculos de lajes de 
concreto armado maciça, métodos da altura útil e final, tipo de vinculação, cálculo das 
cargas atuantes, entre outros, e durante o desenvolvimento apresentado foram expostas 
imagens da laje e informações técnicas obtidas através da visita acadêmica, assim como 
dados fornecidos pela própria docente responsável por lecionar a disciplina, para o 
desempenho dos cálculos. Analisando os detalhamentos feitos no dimensionamento da laje, 
pela definição da metodologia, podemos determinar que a área longitudinal do aço da laje, 
apresenta uma diferença de momento positivo reduzido, devida as dimensões de espessuras 
serem bem próximas umas das outras, entretanto tendo espessuras de 6,5m na direção de (y) 
e 6,0m (x), os cálculos dos momentos resultaram em carregamento mínimo entre as duas 
armaduras. 
Md(x) = 19,293KN×m 
Md(y) = 19,626KN×m 
𝑀𝑑(𝑦) − 𝑀𝑑(𝑥) = 0,333 
Para estes resultados, dispomos de dados extras, realizando o dimensionamento da 
laje dentro do estado de limite ultimo, cogitando dos limites dois e três da linha neutra para 
x e kx adimensional referente á tabela, e acrescentando uma carga acidental para outro tipo 
de situação, no caso para corredores com acesso ao público. 
Os momentos tenderam a ficar bem próximos, ressaltando estar trabalhando com 
uma laje bi apoiada em duas vigas, com momentos positivos ao longo do seu eixo 
longitudinal. 
Altura final foi 0,15m, espaçamento de (Sx;0,073m) e (Sy;0,072m) a distância entre 
á armadura e o plano de carregamento dados pelos espaçadores que separam as armaduras 
de aço que resiste á tração, as armadura As(y) = 4,35 × 10−4m2ou 4,35 cm2 e As(x) =
20 
 
 
 
4,27 × 10−4m2ou 4,27 cm2, quantidades de 14 barras para x e y, considerando o diâmetro 
de 0,63cm para bitola do aço CA-50, entretanto o As𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 14 × (
π×0,632
4
) = 4,36 cm². 
 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 
 
BASTOS, P.S.S. Notas de aula: Fundamentos de concreto armado. pg 92. Universidade 
Paulista, Bauru, 2011. 
 
CARVALHO, R.C; PINHEIRO, L.M. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de 
concreto armado; 4° Edição. São Carlos: Ed. ufscar, 2014. 
 
SILVA, L.P. Estudo comparativo entre lajes nervuradas e maciças em funções dos vãos 
entre os apoios; Universidade Federal RS, 2010. 
 
MUZARDO, C. D; SANTOS, P.S., CATOIA, B. Estruturas de Concreto, Capítulo-2, USP 
– EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas, 2010. 
 
PEREIRA, C.O., Escola de engenharia, oque é concreto armado, 2015. 
 
TECNICAS, N.B.A. Abnt NBR 5738. Concreto- Procedimento para moldagem, cura e 
corpos de prova, Emenda 1, 2008. 
 
Sites Acessados: 
http://www.politecnica.pucrs.br/professores/giugliani/ARQUITETURA_Sistemas_Estrutura
is_II/02_Cargas_Atuantes_sobre_Estruturas_-_2a_parte.pdf, acesso em: 27/05/2018 ás 
16:00 hs. 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto1/Lajes.pdf, acesso em: 27/05/2018 ás 21:45 hs. 
 
https://civilizacaoengenheira.wordpress.com/2017/06/03/ensaios-laboratoriais-como-
funcionam-e-qual-sua-importancia-na-construcao-civil/, acesso em 30/05/2018 ás 22:30 hs. 
 
http://www.politecnica.pucrs.br/professores/giugliani/ARQUITETURA_Sistemas_Estruturais_II/02_Cargas_Atuantes_sobre_Estruturas_-_2a_parte.pdf
http://www.politecnica.pucrs.br/professores/giugliani/ARQUITETURA_Sistemas_Estruturais_II/02_Cargas_Atuantes_sobre_Estruturas_-_2a_parte.pdf
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto1/Lajes.pdf
https://civilizacaoengenheira.wordpress.com/2017/06/03/ensaios-laboratoriais-como-funcionam-e-qual-sua-importancia-na-construcao-civil/
https://civilizacaoengenheira.wordpress.com/2017/06/03/ensaios-laboratoriais-como-funcionam-e-qual-sua-importancia-na-construcao-civil/21 
 
 
 
http://incopre.com.br/index.php/como-e-feito-o-teste-de-resistencia-do-concreto/, acesso 
31/05/2018 ás 19:10 hs. 
 
http://unicom.com.br/produtos/vergalhoes-e-trelicas, acesso em 02/06/2018 ás 15:21 hs. 
http://incopre.com.br/index.php/como-e-feito-o-teste-de-resistencia-do-concreto/
http://unicom.com.br/produtos/vergalhoes-e-trelicas
	1. INTRODUÇÃO.
	2. OBJETIVO.
	2.1. OBJETIVO GERAL.
	2.1.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
	3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.
	3.1 CONCRETO ARMADO.
	3.1.1 ENSAIOS DE CONCRETO.
	3.1.2 RESISTÊNCIA Á COMPRESSÃO.
	3.2 LAJE DEFINIÇÃO.
	3.2.1 LAJES MACIÇAS.
	3.3 PILAR.
	3.4. VIGA.
	4. FORMULAÇÕES.
	5. METODOLOGIA E CÁLCULOS.
	5.1 VISITA NA OBRA.
	5.1.1 DADOS PARA O CÁCULO DA LAJE.
	5.1.2 CÁLCULO DA LAJE MACIÇA.
	6. CONCLUSÃO.
	7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.