MATEMÁTICA FINANCEIRA

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Matemática Financeira 
 
 
 
 
SUSANA APARECIDA DA VEIGA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taubaté 
Universidade de Taubaté 
2014 
 
 
 
 
Copyright©2014.Universidade de Taubaté. 
Todos os direitos dessa edição reservados à Universidade de Taubaté. Nenhuma parte desta publicação pode ser 
reproduzida por qualquer meio, sem a prévia autorização desta Universidade. 
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Projeto Gráfico e Diagramação 
Autor 
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Susana Aparecida da Veiga 
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Ficha catalográfica elaborada pelo SIBi 
Sistema Integrado de Bibliotecas/UNITAU 
 
 
V426m Veiga, Susana Aparecida da 
Matemática Financeira/ Susana Aparecida da Veiga. Taubaté: 
UNITAU, 2010. 
123p. : il. 
ISBN 978-85-62326-07-3 
 
Bibliografia 
1. Matemática Financeira. I. Universidade de Taubaté. II. Título. 
1. Matemática Financeira. I. Universidade de Taubaté. II. Título. 
 
 
 v 
 
PALAVRA DO REITOR 
Palavra do Reitor 
 
 
Toda forma de estudo, para que possa dar 
certo, carece de relações saudáveis, tanto de 
ordem afetiva quanto produtiva. Também, de 
estímulos e valorização. Por essa razão, 
devemos tirar o máximo proveito das práticas 
educativas, visto se apresentarem como 
máxima referência frente às mais 
diversificadas atividades humanas. Afinal, a 
obtenção de conhecimentos é o nosso 
diferencial de conquista frente a universo tão 
competitivo. 
 
Pensando nisso, idealizamos o presente livro-
texto, que aborda conteúdo significativo e 
coerente à sua formação acadêmica e ao seu 
desenvolvimento social. Cuidadosamente 
redigido e ilustrado, sob a supervisão de 
doutores e mestres, o resultado aqui 
apresentado visa, essencialmente, a 
orientações de ordem prático-formativa. 
 
Cientes de que pretendemos construir 
conhecimentos que se intercalem na tríade 
Graduação, Pesquisa e Extensão, sempre de 
forma responsável, porque planejados com 
seriedade e pautados no respeito, temos a 
certeza de que o presente estudo lhe será de 
grande valia. 
 
Portanto, desejamos a você, aluno, proveitosa 
leitura. 
 
 
Bons estudos! 
 
 
 
Prof. Dr. José Rui Camargo 
Reitor 
 
 
 
vi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 vii 
Apresentação 
 
 
De uma maneira simples, podemos dizer que a 
Matemática Financeira é o ramo da Matemática que 
tem como objeto de estudo o dinheiro ao longo do 
tempo. Atualmente, possuir ferramentas que possam 
auxiliar nas tomadas de decisões, tanto na gestão 
financeira das empresas, quanto nas tomadas de 
decisões no dia a dia das pessoas, é essencial. 
Um exemplo comum do uso da Matemática Financeira 
é quando compramos algo em uma loja no crediário ou no cartão de crédito. Quais os 
custos envolvidos nessa decisão? Como avaliar monetariamente a decisão? É melhor 
comprar a vista ou a prazo? Qual o valor do desconto que receberemos, se optarmos por 
comprar à vista? 
E se o que estamos querendo comprar for muito importante e com um valor alto, por 
exemplo, a casa própria? Financiar ou fazer um empréstimo? Como escolher o lugar que 
oferece a melhor taxa de juros? Assim, a Matemática Financeira torna-se uma 
ferramenta útil para a análise das alternativas, e sua aplicação, quando bem 
desenvolvida, trará maior rentabilidade, possibilitando a maximização dos resultados. 
Ter habilidade para lidar com cálculos e investimentos é hoje muito importante, e a 
Matemática Financeira ocupa-se do estudo e do fornecimento de ferramentas adequadas 
para que as tomadas de decisões tenham a maior precisão possível. 
 
 
Fonte:<http://office.microsoft.co
m/pt-br/clipart/download.aspx>. 
Acesso em: 01 dez de 2009. 
 
viii 
 
 ix 
Sobre a autora 
 
 
SUSANA APARECIDA DA VEIGA − Licenciada em Matemática (Universidade 
Federal de Santa Catarina - UFSC – SC). Mestre em Engenharia de Produção, na área 
de Transporte e Logística (UFSC – SC). Atua como professora assistente no 
Departamento de Economia, Ciências Contábeis e Administração. É membro da equipe 
de produção de materiais do Núcleo de Educação a Distância da Universidade de 
Taubaté. Atua como professora assistente no Instituto Nacional de Pós-graduação – 
INPG – em São José dos Campos – SP. Leciona a disciplina Matemática Financeira, na 
graduação da Universidade de Taubaté, e Engenharia Econômica, na graduação do 
Instituto Nacional de Pós-graduação. 
E-mail: susana.veiga.ead@gmail.com 
 
 
 
x 
 
 xi 
Caros(as) alunos(as), 
Caros( as) alunos( as) 
O Programa de Educação a Distância (EAD) da Universidade de Taubaté apresenta-se 
como espaço acadêmico de encontros virtuais e presenciais direcionados aos mais 
diversos saberes. Além de avançada tecnologia de informação e comunicação, conta 
com profissionais capacitados e se apoia em base sólida, que advém da grande 
experiência adquirida no campo acadêmico, tanto na graduação como na pós-graduação, 
ao longo de mais de 35 anos de História e Tradição. 
Nossa proposta se pauta na fusão do ensino a distância e do contato humano-presencial. 
Para tanto, apresenta-se em três momentos de formação: presenciais, livros-texto e Web 
interativa. Conduzem esta proposta professores/orientadores qualificados em educação a 
distância, apoiados por livros-texto produzidos por uma equipe de profissionais 
preparada especificamente para este fim, e por conteúdo presente em salas virtuais. 
A estrutura interna dos livros-texto é formada por unidades que desenvolvem os temas e 
subtemas definidos nas ementas disciplinares aprovadas para os diversos cursos. Como 
subsídio ao aluno, durante todo o processo ensino-aprendizagem, além de textos e 
atividades aplicadas, cada livro-texto apresenta sínteses das unidades, dicas deleituras e 
indicação de filmes, programas televisivos e sites, todos complementares ao conteúdo 
estudado. 
Os momentos virtuais ocorrem sob a orientação de professores específicos da Web. Para 
a resolução dos exercícios, como para as comunicações diversas, os alunos dispõem de 
blog, fórum, diários e outras ferramentas tecnológicas. Em curso, poderão ser criados 
ainda outros recursos que facilitem a comunicação e a aprendizagem. 
Esperamos, caros alunos, que o presente material e outros recursos colocados à sua 
disposição possam conduzi-los a novos conhecimentos, porque vocês são os principais 
atores desta formação. 
Para todos, os nossos desejos de sucesso! 
Equipe EAD-UNITAU 
 
xii 
 
 
 xiii 
Sumário 
 
Palavra do Reitor .............................................................................................................. v 
Apresentação .................................................................................................................. vii 
Sobre a autora .................................................................................................................. ix 
Caros(as) alunos(as) ........................................................................................................ xi 
Ementa .............................................................................................................................. 1 
Objetivos ........................................................................................................................... 2 
Introdução ......................................................................................................................... 3 
Unidade 1. Revisão de Matemática Elementar ........................................................... 5 
1.1 Razão .......................................................................................................................... 5 
1.2 Proporção .................................................................................................................... 6 
1.2.1 Propriedades das proporções: .................................................................................. 6 
1.2.2 Aplicações das proporções ...................................................................................... 7 
1.3 Grandezas diretamente e inversamente proporcionais ............................................... 9 
1.4 Regra de três simples ................................................................................................ 10 
1.5 Porcentagem ............................................................................................................. 12 
1.6 Potenciação ............................................................................................................... 13 
1.6.1 Propriedades das potências .................................................................................... 13 
1.7 Radiciação ................................................................................................................ 14 
1.8 Logaritmos ................................................................................................................ 15 
1.8.1 Propriedades dos logaritmos .................................................................................. 15 
1.9 Síntese da unidade .................................................................................................... 16 
1.10 Para saber mais ....................................................................................................... 16 
1.11 Atividades ............................................................................................................... 17 
Unidade 2. Juros Simples ............................................................................................ 19 
2.1 Juro ........................................................................................................................... 20 
2.2 Taxa de juro .............................................................................................................. 20 
2.3 Simbologia utilizada e Conceitos fundamentais ....................................................... 22 
2.4 Diagramas de capital no tempo (Fluxos de Caixa) ................................................... 23 
2.5 Cálculo dos juros (J) ................................................................................................. 24 
2.6 Cálculo do montante (M) .......................................................................................... 25 
 
xiv 
2.7 Taxa equivalente ( ) e Taxa proporcional .............................................................. 27 
2.8 Períodos não-inteiros ................................................................................................ 29 
2.9 Juro exato, Juro comercial e Juro bancário............................................................... 30 
2.9.1 Juro exato ( ) ...................................................................................................... 30 
2.9.2 Juro comercial ( ) .............................................................................................. 31 
2.9.3 Juro bancário ( ) ................................................................................................ 31 
2.10 Equivalência financeira .......................................................................................... 32 
2.11 Síntese da Unidade ................................................................................................. 33 
2.12 Para saber mais ....................................................................................................... 33 
2.13 Atividades ............................................................................................................... 34 
Unidade 3. Juros Compostos ....................................................................................... 35 
3.1 Diferença entre os regimes de capitalização............................................................. 36 
3.2 Cálculo do montante (M) .......................................................................................... 36 
3.3 Cálculo do juro (J) .................................................................................................... 38 
3.4 Taxas equivalentes ( ) ............................................................................................ 39 
3.5 Períodos não-inteiros ................................................................................................ 42 
3.5.1 Convenção linear ................................................................................................... 42 
3.5.2 Convenção exponencial ......................................................................................... 43 
3.6 Taxa efetiva e Taxa nominal – Quando o período de capitalização não coincide 
com o período da taxa ..................................................................................................... 44 
3.7 Equivalência de capitais no regime composto .......................................................... 46 
3.7.1 A importância da data focal ................................................................................... 46 
3.7.2 Capitais equivalentes ............................................................................................. 47 
3.8 Síntese da Unidade ................................................................................................... 48 
3.9 Para saber mais ......................................................................................................... 49 
3.10 Atividades ............................................................................................................... 49 
Unidade 4. Descontos .................................................................................................... 51 
4.1 Desconto ...................................................................................................................51 
4.2 Título de crédito ....................................................................................................... 52 
4.2.1 Nota promissória ................................................................................................... 52 
4.2.2 Letra de câmbio ..................................................................................................... 53 
4.2.3 Duplicata ................................................................................................................ 53 
 
 xv 
4.3 Desconto simples (d) ................................................................................................ 54 
4.3.1 Desconto racional simples ( ) ............................................................................. 54 
4.3.2 Desconto comercial simples ( ) .......................................................................... 55 
4.3.3 Desconto bancário simples ( ) ........................................................................... 57 
4.3.4 - Taxa de juros efetiva ( ) .................................................................................... 57 
4.3.5 Relação existente entre Desconto comercial e Desconto racional ........................ 58 
4.4 Descontos compostos (D) ......................................................................................... 59 
4.4.1 Desconto racional composto ( ) ......................................................................... 60 
4.4.2 Desconto comercial composto ( ) ...................................................................... 61 
4.4.3 Taxa efetiva cobrada ( ) ...................................................................................... 62 
4.5 Síntese da Unidade ................................................................................................... 63 
4.6 Para saber mais ......................................................................................................... 63 
4.7 Atividades ................................................................................................................. 64 
Unidade 5. Série de Pagamentos ou Anuidades ......................................................... 65 
5.1 Definições ................................................................................................................. 65 
5.2 Classificação ............................................................................................................. 66 
5.2.1 A periodicidade: .................................................................................................... 66 
5.2.2 Ao prazo: ............................................................................................................... 67 
5.2.3 Ao valor dos termos: ............................................................................................. 68 
5.2.4 A forma de pagamento ou recebimento:................................................................ 68 
5.3 Dados que compõem uma anuidade ......................................................................... 70 
5.4 Série de pagamentos - Modelo Básico ..................................................................... 71 
5.4.1 Valor atual do modelo básico ................................................................................ 72 
5.4.2 Montante do modelo básico ................................................................................... 74 
5.5 Anuidades antecipadas ............................................................................................. 76 
5.5.1 Valor atual de uma anuidade antecipada ............................................................... 77 
5.5.2 Valor futuro de uma anuidade antecipada ............................................................. 78 
5.6 Modelos genéricos de anuidades .............................................................................. 80 
5.6.1 Anuidades diferidas ............................................................................................... 80 
5.6.2 Anuidade em que o período dos termos não coincide com aquele a que se refere 
a taxa ............................................................................................................................... 82 
 
xvi 
5.6.3 Anuidade com termos constantes, segundo o modelo básico, mais parcelas 
Intermediárias iguais....................................................................................................... 83 
5.6.4 Anuidades perpétuas .............................................................................................. 85 
5.6.5 Anuidades variáveis ............................................................................................... 85 
5.7 Síntese da Unidade ................................................................................................... 86 
5.8 Para saber mais ......................................................................................................... 86 
5.8 Atividades ................................................................................................................. 87 
Unidade 6. Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos .............. 89 
6.1 Definições básicas .................................................................................................... 90 
6.2 Sistema de amortização constante (SAC) ................................................................. 92 
6.2.1 SAC, sem prazo de carência .................................................................................. 92 
6.2.2 SAC, com prazo de carência.................................................................................. 93 
6.3 Sistema de amortização francês (SF)........................................................................ 96 
6.4 Sistema Price ............................................................................................................ 98 
6.5 Planilha de despesas adicionais ................................................................................ 99 
6.6 Síntese da Unidade ................................................................................................. 100 
6.7 Para saber mais ....................................................................................................... 100 
6.8 Atividades ............................................................................................................... 101 
Unidade 7. Introdução à Análise de Investimentos ................................................. 103 
7.1 Fluxos de caixa ....................................................................................................... 103 
7.2 Taxa mínima de atratividade (TMA) ...................................................................... 105 
7.3 Método do valor presente líquido (VPL) ................................................................ 105 
7.4 Método da taxa interna de retorno (TIR) ................................................................ 109 
7.5 O Método do Custo Anual Uniforme (CAU) ......................................................... 111 
7.6 Síntese da Unidade ................................................................................................. 114 
7.7 Para saber mais ....................................................................................................... 114 
7.8 Atividades ............................................................................................................... 114 
Referências ................................................................................................................... 117 
Referências Complementares ....................................................................................... 119 
 
 
 
 
 
1 
 
 
ORGANIZE-SE!!! 
Você deverá usar de 3 
a 4 horas para realizar 
cada Unidade. 
 
Matemática 
Financeira 
 
 
 
Ementa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EMENTA 
 
 
 
Revisãode Matemática Elementar. Regime de juros simples e regime 
de juros compostos. Descontos simples e compostos. Taxas 
equivalentes e taxas proporcionais. Séries de pagamentos uniformes e 
não-uniformes. Sistemas de amortização de empréstimos e 
financiamentos. Noções sobre análise de alternativas de investimentos: 
Valor presente líquido (VPL) e Taxa interna de retorno (TIR) e Custo 
anual uniforme (CAU). 
 
 
 
 
2 
 
Objetivo Geral 
Apresentar os conhecimentos básicos do cálculo financeiro para que o 
aluno domine o ferramental básico e necessário para a tomada de decisões 
envolvendo fluxos financeiros. 
 
Obj eti vos 
Objetivos Específicos 
 Adquirir conhecimentos teóricos e práticos da Matemática 
Financeira através de problemas relacionados com a realidade do dia 
a dia; 
 Receber os subsídios indispensáveis ao desenvolvimento das 
disciplinas que dependem do conhecimento prévio desta disciplina; 
 Entender a importância da disciplina para a formação e 
desenvolvimento do futuro profissional de negócios. 
 Conhecer os regimes de capitalização a definição de capital, 
montante, rendimento, taxa de juros, taxas equivalentes, nominal e 
efetiva; 
 Identificar e diferenciar no regime de capitalização simples, taxas 
proporcionais e equivalentes; 
 Calcular montante, juros, valor nominal, desconto simples e 
composto, taxa de desconto, taxa equivalente e taxa efetiva; 
 Classificar rendas certas e resolver problemas relacionados às 
anuidades antecipadas e ao modelo básico; 
 Diferenciar e calcular os diversos sistemas de amortização de 
Empréstimos e Financiamentos; 
 Analisar a viabilidade econômica de diferentes investimentos, ou 
projetos de investimentos, por meio dos métodos NPV, da IRR e do 
CAU e decidir qual é o melhor, financeiramente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Introdução 
 
 
Quando o homem criou o conceito de capital, o 
conceito de juros surgiu naturalmente, pois ele 
percebeu existir uma estreita 
relação entre o dinheiro e o 
tempo, entre o acúmulo de 
capital e sua desvalorização. A 
partir daí, as questões 
financeiras começaram a fazer parte da nossa vida. 
A Matemática Financeira utiliza conceitos matemáticos e variáveis, como a taxa de 
juros, o capital e o tempo para analisar dados financeiros em geral, sendo, dessa forma, 
uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimento ou no 
financiamento de bens de consumo, e ela é importante na vida das pessoas tanto na 
esfera pessoal quanto na profissional. O total desconhecimento dessa ferramenta pode 
resultar em perdas financeiras. 
A primeira unidade deste livro-texto apresenta uma revisão de Matemática Elementar. 
Você irá rever conceitos tais como razão, proporção, regra de três simples, algumas 
propriedades dos logaritmos e das potências. O objetivo é facilitar a compreensão dos 
conteúdos que serão abordados nas próximas unidades, independentemente do grau de 
conhecimento matemático prévio do aluno. 
Na segunda unidade abordaremos o regime de juros simples. Nesse regime, o juro de 
qualquer período, ou de qualquer intervalo de tempo, é sempre constante e calculado 
sobre o capital inicial. Então, por exemplo, se você aplicar R$1.000,00 a uma taxa de 
10% ao mês, pelo prazo de 3 meses, receberá R$1.300,00 (10% de R$1.000,00 são 
R$100,00. Como são 3 meses, temos R$100,00 x 3 = R$300,00) Nessa unidade 
 
Fonte:<http://office.microsoft.co
m/pt-br/clipart/download. aspx>. 
Acesso em: 01 dez 2009. 
Capital: do ponto 
de vista da 
matemática 
financeira, qualquer 
valor expresso em 
moeda e disponível 
em determinada 
época. 
 
 
 
4 
 
conceituaremos capital, montante e taxas de juros, sempre tendo como base a definição 
de juros simples. 
Na terceira unidade estudaremos o regime de juros compostos. Nesse regime, o juro de 
qualquer período é calculado sobre o capital inicial mais os juros recebidos no período 
anterior. Conceituaremos juro e montante para o regime de juros compostos, para 
períodos de tempo inteiros e não-inteiros. Trabalharemos as diferenças entre taxa 
proporcional, taxa equivalente e taxa nominal, e estudaremos os conceitos de 
equivalência financeira e de data focal. 
Na quarta unidade, abordaremos o conceito de descontos. O desconto é uma 
compensação recebida pelo tomador do empréstimo, pelo pagamento adiantado da 
dívida. Estudaremos os dois modelos de descontos: o desconto racional, e o desconto 
comercial; para o regime de juros simples e para o regime composto. 
Na quinta unidade, estudaremos os conceitos envolvidos nas séries de pagamentos ou 
recebimentos. Trabalharemos com as séries do modelo básico e do modelo antecipado, 
com carência e sem carência, relacionadas com o valor presente e o valor futuro. 
Trabalharemos, também, com as séries do modelo genérico, que são as perpétuas, as 
variáveis e as séries com parcelas complementares. 
Na sexta unidade, estudaremos os principais sistemas de amortização de empréstimos e 
financiamentos: o Sistema de Amortizações Constantes (SAC), o Sistema de 
Amortização Francês (SF) e o Sistema Price e, na sétima unidade, trataremos da análise 
de investimentos, utilizando o método do Valor Presente Líquido (VPL), da Taxa 
Interna de Retorno (TIR) e do Custo Anual Uniforme (CAU). 
 
 
 
5 
 
Unidade 1 
Unidade 1 . Revisão de Matemática Elementar 
 
 
Nesta unidade, faremos uma revisão de alguns conceitos de Matemática Elementar. É 
importante que você relembre alguns conceitos vistos ha muito tempo e que são 
relevantes para a compreensão dos conteúdos que serão abordados nas próximas 
unidades. 
 
 
1.1 Razão 
A palavra razão, que vem do latim ratio e significa o quociente entre um 
numerador A por um denominador B, é denotada por: 
B
A
. Segundo o 
dicionário “Razão: noção relacionada com a comparação de duas unidades por meio de 
uma divisão” (IMENES; LELLIS, 1998, p. 267). 
Exemplo 1: 
A razão de 9 para 12 = 
12
9
ou 09: 12; 
A razão de 5 para 10 = 
10
5
ou 05:10; 
Obs. Importante: 1) Lê-se: nove está para doze, sendo que o 1º número é chamado de 
antecedente, e o 2º, de consequente. 
Podemos, também, utilizar o conceito de razão para resolver problemas. 
 
Exemplo 2: 
Considere que em uma empresa qualquer trabalhem 100 homens e 25 mulheres. 
Quociente: 
divisão entre 
dois 
números. 
 
 
 
6 
 
 Qual a razão entre o número de homens e de mulheres? 
Razão entre homens e mulheres = 4
25
100
 
Isso quer dizer que existem quatro vezes mais homens do que mulheres. 
 
1.2 Proporção 
Segundo Gimenes (2006), o conceito de proporção está 
diretamente ligado ao conceito de razão. É um pouco mais 
abrangente. Proporção é a relação multiplicativa entre duas 
grandezas. É a sentença matemática que exprime a igualdade entre 
duas razões, 
D
C
B
A
 . 
 
Exemplo 3: 
No exemplo anterior, tínhamos que a razão entre homens e mulheres era de 
25
100
. Isso 
quer dizer que o número de homens é quatro vezes maior que o número de mulheres, 
ou, de maneira diferente, que há uma proporção de 1 mulher para cada 4 homens. 
1.2.1 Propriedades das proporções: 
As proporções possuem várias propriedades A seguir citamos algumas delas apenas 
para exemplificar. 
 Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) 
termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º); 
 Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, 
assim como cada antecedente está para o seu consequente. 
No contexto de matemática financeira, apenas a chamada “propriedade fundamental” 
será utilizada. A Propriedade Fundamental das proporções diz que em toda proporção 
o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos. 
Sentença: conjunto 
de termos que se 
reúnem por sinais 
de operação. 
Expressão. 
Grandeza é tudo 
aquilo que envolve 
medidas. 
 
 
 
7Exemplo 4: Um determinado capital rendeu R$150,00 de juros em 3 meses. Quanto 
este capital renderia em 8 meses? 
Solução: 
R$ Tempo 
150 3 meses 
x 8 meses 
 
Transformando esta tabela em uma proporção, teremos: 
 
150 : 3 = x : 8 
 
 Meios 
 
 Extremos 
 
 
Ou, de outra 
forma 
 
83
150 x
 
 
Logo: 40038150   xx
çãomultiplicaçãomultiplica
 
 
1.2.2 Aplicações das proporções 
Existem algumas razões especiais que são muito utilizadas em nosso cotidiano, dentre 
as quais podemos destacar, por exemplo, a velocidade média e a escala. 
Velocidade Média 
A velocidade média é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida 
(expressa em quilômetros ou metros) e um tempo gasto (expresso em horas, minutos ou 
segundos). De maneira mais simplificada, é a variação de espaço, em média, por 
unidade de tempo. 
 
 
 
8 
 
Exemplo 5: Suponha que um carro leve 2 horas para percorrer a distância entre Taubaté 
e São Paulo, que é de 125 km. Qual é a velocidade média deste carro? 
hkm
h
km
/5,62
2
125
tempo
percorrida Distância
média velocidade  
Escala 
Escala é a razão constante entre qualquer medida de um projeto (pode ser um desenho 
ou uma maquete: mapas, por exemplo, ou miniaturas de carros, maquetes de casas e 
prédios) e a medida correspondente no objeto real, ambas tomadas na mesma unidade 
de medida. Ou seja, a Escala é uma aplicação da razão entre duas grandezas de mesma 
espécie. 
Vamos ver no exemplo abaixo: 
cm em real tamanho
cm em desenho do Tamanho
escala  
As empresas que fabricam miniaturas – carrinhos, por exemplo – utilizam a Escala para 
que as réplicas sejam perfeitas. 
 
Curiosidade: A Figura 1.1 mostra uma parte do Mini Mundo, parque temático 
brasileiro, localizado em Gramado, no Rio Grande do Sul. No parque existem cidades, 
carros, castelos e ferrovias em miniatura, com uma escala de 1:24, ou seja, as 
miniaturas são 24 vezes menor do que o tamanho real. 
No Mini Mundo, o sistema de transporte ferroviário dispõe de 11 locomotivas e 20 
vagões, que passam por oito pontes, circulando pelos 456 metros lineares de trilhos. 
Lembrando que a escala em que a miniatura foi construída é 1:24 (1 para 24), qual 
seria, então, o comprimento real da estrada de ferro? 
 
 
 
9 
 
Chamando de x, o 
comprimento real da estrada 
de ferro e aplicando a 
“fórmula” de Escala 
(lembrando que 1 metro = 
100 centímetros), temos: 
 
realtamanho
miniaturadaTamanho
Escala 
 
x
45600
24:1  ou 
x
45600
24
1
 
 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos), temos: 
45600241  x 
x = 1.094.400 
Logo, o comprimento real da estrada de ferro é de 10.944 metros, ou de quase 11 km. 
 
1.3 Grandezas diretamente e inversamente proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra 
aumenta na mesma proporção. Por exemplo, se uma grandeza dobra de valor a outra 
também dobra. 
Exemplo 5: 
Suponha que 1 Kg de carne custa R$12,00. Se uma pessoa comprar 2 Kg de carne 
pagará R$24,00, ou seja, duas vezes mais (o dobro do valor). 
 
Figura 1.1: Mini Mundo 
Fonte: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:MiniMundo.jpg>. 
Acesso em 10 dez. 2009. 
Autor Fernanda Steffen 
 
http://www.flickr.com/people/68368965@N00
 
 
 
10 
 
Duas ou mais grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma 
delas, a outra diminui na mesma proporção. Por exemplo, se uma grandeza dobra de 
valor a outra diminui pela metade. 
Exemplo 6: 
Velocidade e tempo. Um carro, para percorrer um total de 100 km, se estiver a uma 
velocidade de 100 Km/h, levará 1 hora. Se esse mesmo carro, para percorrer os mesmos 
100 km, aumentar a velocidade para 200 km/h, gastará apenas meia hora, ou seja, se ele 
dobrar a velocidade, necessitará da metade do tempo. 
 
1.4 Regra de três simples 
A maioria das pessoas não sabe, mas a regra de três simples é 
muito utilizada em várias situações de nosso dia a dia. Em 
Matemática Financeira, utilizaremos seu conceito no regime 
de juros simples. 
Definição: “Tipo de equação usada em problemas de proporcionalidade. Envolve três 
números conhecidos e uma incógnita” (IMENES; LELLIS, 1998, p. 272). 
A resolução desse tipo de problema é muito simples, e são necessários três passos: 
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas, e 
mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
3º) Montar a proporção e, utilizando a definição da propriedade fundamental das 
proporções, resolver a equação que surgirá. 
Exemplo 7: 
Uma pessoa percorre 12 km em 2h. Mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ela 
Equação: sentença 
matemática na qual 
aparece um sinal de 
igualdade e uma ou mais 
letras que representam 
números desconhecidos 
chamados de incógnitas 
ou variáveis. 
 
 
 
11 
 
percorrerá 36 km? 
Solução: 
Montemos uma tabela: 
Percurso (km) Tempo (h) 
12 2 
36 x 
 
Note que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, se aumentarmos o 
percurso, o tempo gasto pelo atleta também aumenta, se diminuirmos o percurso o 
tempo gasto pelo atleta também diminuirá. Logo, devemos conservar a proporção: 
x
2
36
12
 
 
Multiplicando em cruz: 
12 x = 72 
 
x
12
72
  x = 6 
 
Portanto, esta pessoa percorrerá 36 km em 6h. 
Exemplo 8: 
Quatro trabalhadores levam 8 dias para construir uma casa. Quanto tempo dois 
trabalhadores levariam para construir a mesma casa? 
Solução: 
Montando uma tabela, teremos: 
 
nº de trabalhadores Tempo (dias) 
4 8 
2 x 
 
Note que as grandezas são inversamente proporcionais. Se 4 trabalhadores constroem 
uma casa em 8 dias, 2 trabalhadores demorarão mais tempo para construir a mesma 
casa, ou seja, quanto menor o número de trabalhadores, maior será o tempo gasto na a 
construção. Logo, para resolver o problema, devemos inverter a proporção. 
 
 
 
12 
 
82
4 x
 
Multiplicando em cruzes: 
2 x = 32 
x = 16 
Portanto, 2 trabalhadores precisarão de 16 dias para construir a mesma casa. 
 
 
1.5 Porcentagem 
A porcentagem também é um conteúdo de Matemática Elementar que é muito utilizado 
no nosso dia a dia, você já reparou nisso? Ela aparece na televisão quando falamos da 
alta ou da baixa da bolsa de valores, aparece nas vitrines das lojas para apresentar o 
valor dos descontos das promoções ou a quantidade de juros que elas estão cobrando, 
aparece, também, sempre que atrasamos uma conta e necessitamos pagar juros. Viu só 
quantos exemplos? 
Definição: Porcentagem (ou percentagem) é uma fração de denominador centesimal, ou 
seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo %, e 
lê-se: “por cento” (GIMENES, 2006). 
Assim, a fração 
100
20
é uma porcentagem que pode ser representada como 20%. 
Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente, no nosso dia a dia. 
Exemplo 9: 
Uma loja lança uma promoção de 10% de desconto no preço dos seus produtos para 
pagamento à vista. Se uma calça jeans custa R$150,00, qual seria seu preço, se 
optássemos por comprá-la à vista? 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Solução: 
O desconto seria de 10% do valor de R$150,00. Logo: 
151500,10 maneira, outra de ou, 150
100
10
R$150,00 de %10  
Portanto, os 10% de desconto representam R$15,00. Se optarmos por pagar à vista esse 
valor será descontado do original, ou seja, 
R$135,00 R$15,00 - R$150,00 vistaàvalor  
Passaremos a pagar, com o pagamento à vista, R$135,00. 
 
 
1.6 Potenciação 
As potências surgiram com o objetivo de simplificar os cálculos com números muito 
grandes. Em nossa disciplina será utilizada para simplificar os cálculos de juros 
compostos. 
“Definição: Potenciaçãoé a operação em que, dados uma base e 
um expoente, se calcula uma potência” (GIMENES, 2006, p. 8). 
 
Onde a é chamado de base, e n, de expoente. 
1.6.1 Propriedades das potências 
A disciplina de Matemática Financeira utiliza, principalmente, a potenciação no 
desenvolvimento de seus cálculos, e esta, por sua vez, utiliza diversas propriedades para 
simplificar seus cálculos. A seguir são apresentadas algumas delas: 
 0 x e real númeroqualquer para 
1

n
n
x
x 
Potência: é o 
produto de fatores 
iguais. É o 
resultado da 
potenciação. 
 
 
 
14 
 
 baba xxx  
 baba xxx  
 baba xx )( 
   nnn baba  
   nnn baba  
No regime de juros compostos uma determinada taxa de juros incide sobre ela mesma 
diversas vezes, e é o calculo com potenciação que faz com este cálculo se torne mais 
simples. 
Exemplo 10: Imagine uma dívida que cresce 2% ao mês, no regime de juros 
compostos, depois de doze meses, ela terá crescido 26,82% e não apenas 24%. 
Solução:
      26,82%cresceu taxaa que significa isso 2682,102,0102,0102,01 12
 vezes12
    
 
1.7 Radiciação 
“Radiciação é a operação em que, dados o radicando e o índice, se calcula a raiz” 
(IMENES; LELLIS, 1998, p. 265). Uma raiz pode ser quadrada, cúbica, quarta, dentre 
outras. O tipo de raiz está sempre indicado no índice. Uma raiz é simbolizada pelo 
radical, e o número do qual se deve extrair a raiz é denominado radicando (GIMENES, 
2006). 
radical
radicando
aíndice x



 
 
É válido lembrar, também, que: 
a
b
a b xx  
 
 
 
 
 
15 
 
Exemplo 11: 
1) 82ou 28 33  
2) 164ou 416 2  
OBS: Normalmente, quando estamos trabalhando com raiz quadrada, o índice é omitido 
da representação. Nos outros casos ele é expresso normalmente. 
 
1.8 Logaritmos 
Os logaritmos também são uma ferramenta útil para a matemática financeira. Assim 
como a potência surgiram com o objetivo de simplificar alguns cálculos. Apresentam 
algumas propriedades, que são válidas para qualquer modelo de logaritmos e em 
qualquer base, e que ajudarão a simplificar alguns cálculos financeiros. 
A notação algébrica do logaritmo é: bx
a
log . Onde a é a base, x é o logaritmando e b 
é o logaritmo. Para qualquer número real, x > 0; a > 0. 
1.8.1 Propriedades dos logaritmos 
Apenas algumas propriedades dos logaritmos serão utilizadas durante o 
desenvolvimento do conteúdo de matemática financeira. Nós não trabalharemos aqui 
com seu conceito ou com seus cálculos. A seguir apresentamos algumas propriedades: 
 baba logloglog )(  
 baba logloglog )(  
 abab loglog  
 
Exemplo 12: Suponha que você fez um depósito no valor de R$8.500,00 a juros de 
1,5% ao mês. Essa aplicação gerou um montante de R$9.864,60. Quanto tempo esse 
capital ficou aplicado considerando a equação de resolução abaixo? 
 
 
 
16 
 
 t015,01500.860,9864  
Solução: 
 t01501
5008
609864
,
.
,

 
 t01501160541 ,, 
 
 t01501160541 ,log,log  
 01501064660 ,log,  t 
Continuando: 
0064660064660 ,,  t 
t
0064660
064660
,
,
 
t = 10 meses 
 
 
1.9 Síntese da unidade 
Nesta Unidade realizamos uma revisão de alguns conceitos da matemática elementar. O 
objetivo desta revisão foi o de facilitar a compreensão de determinados conteúdos que 
serão trabalhados nas próximas Unidades, independentemente de qual seja o grau de 
conhecimento matemático prévio do aluno. 
 
1.10 Para saber mais 
http://www.somatematica.com.br: É um portal educativo com material para o ensino 
fundamental e médio, provas de vestibular e história da matemática, além de biografias 
de matemáticos, trabalhos de alunos, provas online, um grande acervo de softwares 
matemáticos, artigos, jogos, curiosidades, histórias, fóruns de discussão e muito mais. 
http://www.brasilescola.com/matematica: É um portal educativo com material de 
matemática do Ensino Fundamental e Médio, com questões de vestibular, artigos e 
cursos online. 
http://www.educacao.uol.com.br/matematica: Site em que é possível realizar uma 
pesquisa escolar sobre diversos assuntos de matemática do Ensino Fundamental e do 
Médio. Conta com várias fontes bibliográficas e artigos. 
 
 
 
 
17 
 
1.11 Atividades 
 
 
 
1. Se 15 operários levam 10 dias para completar certo 
trabalho, quantos operários serão necessários para 
realizar esse mesmo trabalho em 6 dias? 
Resposta: 25 operários 
2. Com 100 kg de trigo podemos fabricar 65 kg de farinha. Quantos quilogramas de 
trigo serão necessários para fabricar 162,5 kg de farinha? 
Resposta: 250 kg 
3. Pedro comprou 2 metros de tecido para fazer uma calça. Quantos metros de tecido 
seriam necessários para que ele pudesse fazer 7 calças iguais a essa primeira? 
Resposta: 14m 
4. Paulo trabalhou 30 dias e recebeu 15 000 reais. Quantos dias deverá trabalhar, para 
receber 20 000 reais? 
Resposta: 40 dias 
5. O comprimento da miniatura de um carro de Fórmula 1 é 14 cm. A escala em que a 
miniatura foi construída é 1:32. Qual seria, então, o comprimento real do carro? 
Resposta: 448 cm ou 4,48 metros 
6. Qual seria a escala, sabendo-se que a distância entre dois pontos em um mapa é de 5 
cm, o que representa uma distância real de 15 km? 
Resposta: escala de 1 : 300.000 
 
 
 
 
Fonte:<http://office.microsoft.com/pt
-br/clipart/download.aspx>. 
Acesso em 1 dez. 2009. 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Unidade 2 
Unidade 2 . Juros Simples 
 
Segundo Mathias e Gomes (2004), o problema econômico decorre da 
escassez, da falta de bens, ou seja, do fato de que as necessidades das 
pessoas são satisfeitas por bens e serviços cuja oferta é limitada. 
Mathias e Gomes (2004) observam, ainda, que, ao longo do processo 
de desenvolvimento das sociedades, o problema de satisfazer essas 
necessidades das pessoas foi solucionado por meio da especialização e do processo de 
troca de um bem por outro. Com o passar do tempo, surgiu a moeda e, assim, o preço 
passou a ser o denominador comum de medida para o valor dos bens, e a moeda, um 
meio para acumular valor e constituir riqueza ou capital. 
Constatou-se que os bens poderiam ser consumidos ou guardados para 
consumo futuro. A noção de juro decorre do fato de que a maioria das 
pessoas prefere consumir seus bens no presente e não no futuro. Em 
outras palavras, havendo uma preferência temporal para consumir, as 
pessoas querem uma recompensa pela abstinência. Este prêmio para 
que não haja consumo é o juro (MATHIAS; GOMES, 2004, p. 19). 
Nesta Unidade estudaremos o regime de Juros Simples. Nesse regime, o juro de 
qualquer período, de qualquer intervalo de tempo, é constante e sempre é calculado 
sobre o capital inicial. 
Não existe capitalização de juros nesse regime, pois os juros de um 
determinado período não são incorporados ao principal para que essa 
soma sirva de base de cálculo dos juros do período seguinte. 
Consequentemente, o capital crescerá a uma taxa linear e a taxa de 
juros terá um comportamento linear em relação ao tempo 
(SAMANEZ, 2007, p. 2). 
Segundo Assaf Neto (2003), o regime de Juros Simples tem aplicações práticas bastante 
limitadas. São poucas as operações financeiras que o utilizam. O seu uso restringe-se 
principalmente às operações de curto prazo. Quando entramos no cheque especial só por 
alguns dias, por exemplo. É importante ressaltar, porém, que muitas taxas praticadas no 
Escassez: 
representa a 
insuficiência de 
bens para 
satisfazer os 
desejos ilimitados 
das pessoas. 
Abstinência: abster-
se, privar-se de 
alguma coisa. 
 
 
 
20 
 
mercado financeiro, nacional e internacional, estão referenciadas em juros simples (é o 
caso da Caderneta de Poupança), mas a formação dos montantes processa-se de maneira 
exponencial, ou seja, os juros geram juros também. 
 
2.1 Juro 
Segundo Castelo Branco (2005), o juro: 
[...]é a remuneração obtida a partir do Capital de terceiros. Esta 
remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista: 
 De quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa 
financeira, custo ou prejuízo; 
 De quem recebe: podemos entender como sendo o rendimento, 
receita financeira ou ganho (CASTELO BRANCO, 2005, p. 11). 
Segundo Assaf Neto (2003, p. 15), as taxas de juros devem ser eficientes, de maneira a 
remunerar: 
a) O risco envolvido na operação. O risco nada mais é do que a probabilidade de o 
tomador do empréstimo não resgatar o dinheiro. É a incerteza com relação ao 
futuro. 
b) A perda do poder de compra do capital motivada pela 
inflação. 
c) O capital emprestado/aplicado. Os juros devem gerar um lucro ao proprietário 
do capital, como forma de compensar a sua privação por determinado período de 
tempo. Custo de oportunidade. 
 
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro e ele existe porque a maioria das pessoas 
prefere o consumo imediato. Em outras palavras, havendo uma preferência pelo consumo, as 
pessoas querem uma recompensa pela abstinência (MATHIAS; GOMES, 2004). 
 
2.2 Taxa de juro 
O juro é determinado por um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo. “A taxa 
de juro é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator 
Inflação: índice de 
desvalorização do poder 
aquisitivo da moeda 
previsto para o prazo do 
empréstimo. 
 
 
 
21 
 
capital utilizado durante certo período de tempo” (ASSAF NETO, 2003, p. 16). A taxa 
de juros pode ser entendida, também, como a razão entre os juros recebidos ao final de 
certo período de tempo e o capital inicialmente investido. 
 “A taxa de juros é a remuneração recebida pelo capital investido, ou paga pelo empréstimo 
contraído” (PILÃO, 2002, p. 14). 
 
Exemplo 1: 
Se a taxa for de 12% ao ano, isso significa que, se empregarmos um certo capital 
àquela taxa, por um ano, obteremos 12% do capital. 
Solução: 
Se aplicarmos R$100,00 a 12% ao ano por um ano, receberemos, ao final do período, 
12% a mais do que o valor que foi investido, ou seja, R$112,00. 
As taxas de juros referem-se sempre a uma unidade de tempo (mês, ano, semestre, etc.) 
e podem ser representadas equivalentemente de duas formas: taxa percentual e taxa 
unitária. 
 Taxa Percentual: Neste caso, a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou 
seja, ao que se obtém após dividir-se o capital por 100. 
 Taxa Unitária: Neste caso, a taxa diz-se aplicada à unidade do capital, ou 
seja, calculamos o que rende a aplicação de uma unidade de capital no 
intervalo de tempo referido pela taxa. 
O mercado financeiro trabalha com as taxas de juros na forma percentual; porém, para 
efetuarmos os cálculos, é necessário colocar a taxa na forma unitária (SAMANEZ, 
2007). A transformação da taxa percentual em unitária é feita simplesmente pela divisão 
da notação em percentual por 100. Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa 
unitária por 100. O quadro 1, abaixo, mostra alguns exemplos de taxas de juros na 
forma percentual e seu equivalente na forma unitária. 
 
 
 
22 
 
Quadro1: Exemplos de transformação de taxas 
Taxa Percentual Taxa Unitária 
1,5% 0,015 
8% 0,08 
17% 0,17 
86% 0,86 
120% 1,20 
1.500% 15,0 
 
Importante: Nas equações de matemática financeira, todos os cálculos são efetuados 
utilizando-se a taxa unitária de juros (ASSAF NETO, 2003). 
 
2.3 Simbologia utilizada e Conceitos fundamentais 
Para a montagem e resolução dos exemplos e para maior facilidade de comunicação, a 
matemática financeira se vale de diversos símbolos. Os símbolos que serão utilizados 
aqui não são os únicos existentes na literatura, mas sua escolha se deve ao fato de serem 
mais próximos, mais similares aos termos que utilizaremos, ou os mais comuns. 
( i ) – Representará uma taxa de juros para determinado período de tempo. 
( n ) – Representará o número de períodos, tempo ou prazo, em que determinada 
importância monetária estará sujeita a determinada taxa de juros. Um período 
representará qualquer unidade de tempo preestabelecida – dia, mês, ano, bimestre. 
Nas equações de matemática financeira, tanto o prazo da operação como a taxa de juros deverão 
necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo (ASSAF NETO, 2003). 
 
( C ) – Representará o principal, o capital, o valor presente. “É o 
recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma 
determinada operação financeira” (CASTELO BRANCO, 2005, p 11). 
( M ) – Representará o valor do capital mais os juros, ou o montante, ou o valor futuro, 
correspondentes a uma importância de dinheiro capitalizada após n períodos de tempo. 
Data focal 
zero: data de 
início de 
operação 
financeira. 
 
 
 
23 
 
( J ) – Representará o valor do juro, do custo ou do rendimento recebido por um 
determinado capital após n períodos de tempo. 
 
2.4 Diagramas de capital no tempo (Fluxos de Caixa) 
 “Definimos fluxo de caixa como sendo a movimentação de recursos financeiros 
(entradas e saídas de caixa) ao longo de um período de tempo” (CASTELO BRANCO, 
2005, p 13). 
A matemática financeira se preocupa com o estudo das várias relações 
dos movimentos monetários que se estabelecem em distintos 
momentos de tempo. Estes movimentos monetários são identificados 
temporalmente através de um conjunto de entradas e saídas de caixa 
definido como fluxo de caixa. O fluxo de caixa é de grande utilidade 
para as operações de matemática financeira, permitindo que se 
visualize no tempo o que ocorre com o capital (ASSAF NETO, 2003, 
p 17). 
Existem várias maneiras diferentes de se representar um fluxo de caixa e, em todas elas, 
a reta horizontal representa uma escala de tempo (dias, meses, bimestres, anos). O ponto 
zero indica o momento inicial, e os demais pontos representam os períodos de tempo. 
As flechas indicam as entradas e/ou as saídas de dinheiro. As flechas positivas (para 
cima) representam entradas de dinheiro, e as flechas negativas (para baixo) representam 
saídas de dinheiro (ASSAF NETO, 2003). A Figura 2.1 representa uma das várias 
formas de fluxo de caixa. 
 
 
 
 + + 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 
 
 - - - 
 
Figura 2.1: Representação de um fluxo de caixa 
 
 
 
 
24 
 
É importante enfatizar que, apesar de ajudar a visualizar o que está acontecendo dentro 
de um problema específico, a representação do diagrama de capital no tempo depende 
do ponto de vista. 
Exemplo 2: 
Uma pessoa toma emprestada a quantia de R$500,00 pelo prazo de 1 ano e à taxa de 
10% ao ano. Qual será o valor a ser pago como montante? 
A Figura 2.2 representa as duas possibilidades que existem para visualização do fluxo 
de caixa. Na primeira, o fluxo representa o ponto de vista da pessoa que recebeu o 
empréstimo e, na segunda, o ponto de vista de quem forneceu o empréstimo. 
 
 
 500 
 
 550 
 
 
0 1 0 1 
 
 550 500 
Figura 2.2: Visualização do fluxo de caixa 
 
2.5 Cálculo dos juros (J) 
No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados sobre o 
valor do capital inicial, “[...] sendo diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de 
aplicação” (GUERRA, 2001, p 42). Nesse regime, a remuneração, ou o rendimento, 
pelo capital inicial aplicado é diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de 
aplicação. E esse fator de proporcionalidade é a taxa (MATHIAS; GOMES, 2004). 
A equação para o cálculo dos juros no regime de juros simples é: 
J = C  i  n 
Nunca se deve esquecer que, nas equações de matemática financeira, tanto o prazo da 
operação como a taxa de juros devem necessariamente estar expressos na mesma 
 
 
 
25 
 
unidade de tempo. Não se pode esquecer, também, que a taxa de juros deve estar na 
forma unitária, na hora do cálculo. 
Exemplo 3: 
Um capital de R$80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durantetrês meses. 
Calcule o valor dos juros acumulados durante esse período. 
Solução: 
C = 80.000 
i = 2,5% ao mês = 0,025 
n = 3 meses 
J = ?? 
J = C  i  n 
J= 80.000  0,025  3 
J = R$6.000 
 
Exemplo 4: 
Uma aplicação de R$250.000,00, rendendo a uma taxa de juros de 1,8% ao mês, 
produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$27.000,00. Calcular o 
prazo da aplicação. 
Solução: 
C = 250.000 
i = 1,8%ao mês = 0,018 
J = 27.000 
n = ?? 
J = C  i  n 
27.000= 250.000  0,018  n 
27.000 = 4.500  n 
500.4
000.27
n  
n = 6 meses 
 
 
 
2.6 Cálculo do montante (M) 
 “Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por 
determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante. Em outras 
palavras, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros” 
(ASSAF NETO, 2003, p. 25). 
 
 
 
26 
 
M = C + J 
No entanto, sabemos que: J = C  i  n 
Substituindo uma equação pela outra, temos: 
M = C + C  i  n 
Colocando o C em evidência: 
M = C(1 + i  n) 
Exemplo 5: 
Uma pessoa aplica R$18.000,00 à taxa de 1,5 % ao mês durante 8 meses. Determine o 
valor acumulado ao final desse período. 
Solução: 
C = 18.000 
i = 1,5%ao mês = 0,015 
n = 8 meses 
M = ?? 
M = C(1 + i  n) 
M = 18.000 (1 + 0,015  8) 
M = 18.000 (1 + 0,12) 
M = 18.000 (1,12) 
M = R$20.160 
Exemplo 6: 
Uma dívida de R$900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um 
desconto de 7% ao mês, caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. 
Calcular o valor que o devedor pagará, caso antecipe a liquidação da dívida. 
Solução: 
M = 900.000 
i = 7%ao mês = 0,07 
n = 4 meses 
C = ?? 
M = C(1 + i  n) 
900.000 = C (1 + 0,07  4) 
900.000 = C  1,28 
125.703$
28,1
000.900
RCC 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
2.7 Taxa equivalente ( ) e Taxa proporcional 
Para entendermos melhor o significado dessas duas taxas, é preciso ficar claro que toda 
operação envolve dois prazos: o prazo a que se refere a taxa de juros e o prazo de 
ocorrência dos juros (ASSAF NETO, 2003). 
Admita-se, por exemplo, que um empréstimo foi realizado a uma taxa nominal de 6% 
ao ano (que é o caso da Caderneta de Poupança). O prazo a que se refere a taxa de juros 
é anual. A seguir, é preciso que se identifique qual é a 
periodicidade da ocorrência dos juros. Se estabelecermos que os 
encargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos 
considerados serão coincidentes. Entretanto, se estabelecermos que os encargos 
incidirão sobre o principal ao final de cada mês (que é o que ocorre na Caderneta de 
Poupança), teremos dois prazos diferentes. 
Em inúmeras operações estes prazos não são coincidentes. O juro 
pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa, devendo-se nesta 
situação ser definido como o prazo da taxa será rateado ao período da 
capitalização. Faz-se necessário o uso de fórmulas de matemática 
financeira para expressar estes prazos diferentes na mesma base de 
tempo. Ou transforma-se o prazo específico da taxa para o de 
capitalização ou, de maneira inversa, o período de capitalização passa 
a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros (ASSAF NETO, 
2003, p. 27). 
No regime de juros simples, devido a sua definição, a transformação da unidade da taxa 
para a mesma unidade do prazo é feita pela chamada taxa proporcional de juros. Ou 
seja, para obter a taxa proporcional de juros, devemos realizar a divisão entre a taxa de 
juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros (ASSAF 
NETO, 2003). 
Por exemplo, considere-se a taxa de juros de 6% ao ano. Se a ocorrência de juros for 
definida como mensal, significa que ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano. 
Para sabermos o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês, será preciso 
encontrar a taxa proporcional de juros mensal, ou seja, realizar o seguinte cálculo: 
Taxa Proporcional = %5,0
12
%6
 ao mês 
Incidir: cair sobre, 
recair. 
 
 
 
28 
 
A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, principalmente 
em operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros 
de mora, descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração 
de encargos sobre saldo devedor de conta corrente bancária, etc 
(ASSAF NETO, 2003, p. 27-28). 
Duas, ou mais taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um 
mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo valor linear de 
juros (MATHIAS; GOMES, 2004). 
 
Exemplo 7: 
Um capital de R$100.000,00, aplicado a 3% ao mês, ou a 18% ao semestre, pelo 
prazo de um ano, produzirá o mesmo montante linear de juros. Isto é: 
 Juro1 (3% ao mês) = 100.000,00  0,03  12 = 36.000,00 
 Juro2 (18% ao semestre) = 100.000,00  0,18  2 = 36.000,00 
Os juros produzidos pelas duas taxas de juros, 3% ao mês e 18% ao semestre, são 
iguais, portanto, são definidas como taxas equivalentes. 
Para o regime de juros simples, taxas proporcionais e taxas equivalentes são 
consideradas a mesma coisa, sendo indiferente classificar duas taxas de juros como 
equivalentes ou proporcionais (MATHIAS; GOMES, 2004). 
 
Para entender melhor como é feito o cálculo para encontrar taxas equivalentes e saber 
quando haverá a necessidade de sua utilização, seguem alguns exemplos. 
Exemplo 8: 
Determinada pessoa tem uma dívida no valor de R$ 25.000,00, a vencer dentro de um 
ano, mas resolve saldá-la 3 meses antes da data de vencimento. Para a sua quitação 
antecipada, o credor concedeu um desconto de 12% ao ano. 
Qual o valor da dívida a ser pago antecipadamente? 
Solução: 
M = 25.000 
 
Como a unidade da taxa e a unidade do prazo são 
diferentes, é preciso, primeiro, encontrar a taxa equivalente 
à unidade do prazo, antes de iniciar a resolução do 
Quitar: pagar 
integralmente o que se 
deve; saldar uma dívida. 
 
 
 
29 
 
i = 12%ao ano = 0,12 
n = 3 meses 
C = ?? 
problema. Portanto: 
12
%12
i 
i = 1% ao mês 
i = 0,01 ou 1% ao mês 
 
Só depois de encontrarmos a taxa equivalente poderemos resolver o problema. 
M = C(1 + i  n) 
25.000 = C (1 + 0,01  3) 
25.000 = C  1,03 
84,271.24$
03,1
000.25
RCC  
 
 
2.8 Períodos não-inteiros 
Quando resolvemos um problema, é normal supor que o juro e o principal são devidos 
apenas no final do prazo da aplicação. Porém, podem ocorrer situações em que o prazo 
de aplicação (n) não é um número inteiro de períodos, se comparado ao período da taxa 
dada, sendo necessário, assim, considerar frações de períodos, para que não se cometa 
erro no valor final (MATHIAS; GOMES, 2004). Por exemplo, se compararmos 6 meses 
com um período de 1 ano, teremos que ele equivale a 0,5 ano (metade de um ano), ou 
seja, não é um período inteiro. Em casos como esse, é necessário fazer a transformação 
do período de tempo para o mesmo da taxa dada. Ou vice-versa. 
Exemplo 9: 
Determinar o principal que produz um montante de R$32.000,00, quando sujeito a uma 
taxa de juros simples de 1,5% ao mês após 45 dias de aplicação. 
Solução: 
M = 32.000 
i = 1,5% ao mês = 0,015 
n = 45 dias = 1,5 meses 
M = C(1 + i  n) 
32.000 = C (1 + 0,015  1,5) 
32.000 = C  1,0225 
 
 
 
30 
 
C = ?? 
845,295.31$
0225,1
000.32
RCC  
 
 
 
2.9 Juro exato, Juro comercial e Juro bancário 
“É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as aplicações com taxas 
referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias” (ASSAF 
NETO, 2003, p 30), embora as taxas sejam expressas em termos anuais. Nesses 
problemas é indiferente transformar o prazo ou transformar as taxas. É preciso ficar 
atento apenas para o fato de que o número de dias pode ser calculado de duas formas 
diferentes. 
 Ano exato: utiliza-se efetivamente o calendário do ano civil. “Devemos 
considerar a quantidade de dias existentes em cada mês” (CASTELO 
BRANCO, 2005, p. 23). Dessa forma, podemos terum ano com 365 ou 366 
dias. 
 Ano comercial: admite que todos os meses possuem 30 dias e que o ano possui 
360 dias. 
“No cálculo dos dias entre datas, o primeiro dia da aplicação é incluído na contagem e o 
último, que corresponde à data de resgate, é excluído” (ZENTGRAF, 2007. p. 47). 
 
Lembre-se: A taxa normalmente está expressa ao ano, e o prazo, em dias; por isso, há necessidade de se 
fazer a transformação das unidades. 
 
2.9.1 Juro exato ( ) 
Chama-se juro exato aquele que é obtido quando o período (n) é calculado adotando-se 
como base o ano civil. 
365
.. niC
J e  
 
 
 
 
 
31 
 
Exemplo 10: 
Determinar o juro exato gerado pelo capital de R$ 10.000,00, aplicado à taxa simples de 
12 % a.a. e pelo prazo de 3 meses e 15 dias. 
Solução: 
C = 10.000 
i = 12% ao ano = 0,12 
n = 3 meses e 15 dias 
eJ = ? 
365
.. niC
J e  
365
10512,0000.10 
eJ 
eJ = R$345,20 
 
2.9.2 Juro comercial ( ) 
Denomina-se juro comercial (ou ordinário) o juro que é calculado quando adotamos 
como base o ano comercial. 
360
.. niC
J c  
Exemplo 11: 
Determinar o juro comercial ou ordinário gerado pelo capital de R$ 10.000,00, 
aplicado à taxa simples de 12 % a.a. e pelo prazo de 3 meses e 15 dias. 
Solução 
C = 10.000 
i = 12% ao ano = 0,12 
n = 3 meses e 15 dias 
cJ = ? 
360
.. niC
J c  
360
10512,0000.10 
cJ 
cJ = R$350 
 
2.9.3 Juro bancário ( ) 
Nesse modelo, a contagem do prazo (número de dias), ou tempo (n), faze feita pelo 
calendário do ano civil (juro exato), mas o valor do juro diário é calculado utilizando-se 
o conceito do ano comercial (juro comercial). 
 
 
 
32 
 
Exemplo 12: 
Uma dívida de R$2.500,00 deveria ter sido paga no dia 10/02/2008, mas, devido a alguns 
problemas, só foi quitada no dia 17/08/2008. Considerando uma taxa de juros simples de 
15% ao ano, calcule o juro bancário. 
Solução 
C = 2.500 
i = 15% ao ano = 0,15 
n = 189 dias 
bJ = ? 
360
.. niC
J b  
360
18915,0500.2 
bJ 
bJ = R$196,87 
 
 
 
2.10 Equivalência financeira 
Dizemos que dois ou mais capitais representativos de uma certa data são equivalentes 
quando têm o mesmo valor em uma determinada data (chamada data focal), a uma certa 
taxa de juros. Ou seja, é indiferente, em termos financeiros, receber um ou outro valor 
(MATHIAS; GOMES, 2004). 
Exemplo 13: 
Determinar se a quantia de R$438.080,00, vencível daqui a 8 meses, é equivalente a se 
receber, hoje, R$296.000,00, admitindo uma taxa de juros simples de 6% ao mês. 
Solução: Existem duas possibilidades para a solução. 
M = C(1 + i  n) 
438.080 = C (1 + 0,06  8) 
438.080 = C  1,48 
000.296
48,1
080.438
 CC 
M = C(1 + i  n) 
M = 296.000 (1 + 0,06  8) 
M = R$438.080 
Com os números encontrados, podemos concluir que os valores dados são equivalentes 
 
 
 
33 
 
É importante destacar que, no regime de juros simples, se mudarmos a data focal, a 
equivalência desses capitais não será mantida. 
 
2.11 Síntese da Unidade 
Nesta Unidade, estudamos o regime de juros simples. Vimos que, na capitalização 
simples, o juro de qualquer período, ou de qualquer intervalo de tempo, é constante e 
sempre é calculado sobre o capital inicial. Nesse regime, os juros de um determinado 
período não são incorporados ao principal, para que essa soma sirva de base de cálculo 
dos juros do período seguinte. O capital cresce de forma linear em relação ao tempo. 
 
2.12 Para saber mais 
Livro 
Robinson Crusoé: Clássico de aventura do XVIII. A edição original é de 1719. 
Robinson Crusoé era filho de um comerciante. Contra a vontade paterna, partiu em 
busca de fortuna em viagens marítimas. Durante uma expedição à África, para adquirir 
escravos, ocorreu o naufrágio. Todos os tripulantes do navio morreram, exceto Crusoé, 
que viveu 28 anos numa ilha deserta. Na luta pela sobrevivência, o personagem fabrica 
instrumentos de caça, aprende a domesticar animais e a plantar, tornando-se evidente, 
no texto, os degraus da atividade econômica e a ascensão do individualismo na 
sociedade moderna. 
Sites 
http://www.somatematica.com.br/financeira.php: É um portal educativo com material 
para o Ensino Fundamental e Médio, provas de vestibular e história da matemática e 
história da matemática financeira, além de biografias de matemáticos, trabalhos de 
alunos, provas online, um grande acervo de softwares matemáticos, artigos, jogos, 
curiosidades, histórias, fóruns de discussão e muito mais. 
http://www.dma.uem.br/kit/matfin/mat_fin.htm: site que contém diversas apostilas para 
download com os assuntos que serão trabalhados em Matemática Financeira. 
 
 
 
34 
 
2.13 Atividades 
 
 
1. Determine qual será o rendimento de um capital de 
R$5.000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, durante 13 
meses. 
Resposta: R$1.300,00 
2. Um capital de R$15.000,00 foi aplicado durante 19 
meses. Se essa aplicação rendeu R$ 3.750,00, qual foi a 
taxa anual de juros recebida? 
Resposta: 15,79% ao ano 
3. Determinado capital ficou aplicado em uma instituição financeira durante 795 
dias. Se nesse período, a uma taxa de juros de 3,5 % ao mês, gerou-se um montante de 
R$84.520,00, qual o valor desse capital? 
Resposta: R$43.849,55 
4. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 76.500,00, resultante da 
aplicação de certo capital à taxa de 30% ao ano durante 15 meses? 
Resposta: R$20.863,64 
5. Qual o valor total que deverá ser pago, ao final de 5 meses e 18 dias, 
correspondente a um empréstimo de R$12.500,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 
15% ao semestre? 
Resposta: R$14.250,00 
6. Em quanto tempo um capital de R$14.000,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, 
gera um montante de R$24.990,00? 
Resposta: 785 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte:<http://office.microsoft.co
m/pt-br/clipart/download.aspx?>. 
Acesso em 01 dez. 2009. 
 
 
 
35 
 
 
Unidade 3 
Unidade 3 . Juros Compostos 
 
 
Na Unidade anterior vimos que o regime de juros simples é caracterizado pelo fato de 
apenas o capital inicial render juros e, devido a isso, o valor dos juros é diretamente 
proporcional ao tempo e à taxa. Nesta Unidade estudaremos o regime de juros 
compostos. Como, na prática, as empresas, os órgãos governamentais, as lojas e os 
investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações 
financeiras (ou seja, os juros gerados em um período irão gerar juros nos períodos 
seguintes, característica que define o regime de Juros Compostos); estudar o conceito de 
juros compostos torna-se muito importante. 
No regime de juros compostos, os juros gerados pela aplicação serão incorporados à mesma 
passando a participar da geração de juros no período seguinte (MATHIAS; GOMES, 2004). 
Ou seja, o rendimento que foi 
gerado pela aplicação será 
incorporado a ela e passará a 
participar da geração dos juros 
no período seguinte; dizemos, então, que os juros são 
capitalizados. É devido isso, também, que algumas 
pessoas o chamam de regime de “juros sobre juros”. 
Nesse regime, o capital cresce mais rapidamente. 
Aqui o capital cresce exponencialmente ao longo do tempo, enquanto no regime de 
juros simples o capital cresce linearmente (ASSAF NETO, 2003). 
 
 
Incorporado: 
somado, adicionado. 
Capitalizar: 
Incorporar os juros ao 
capital empregado 
para que produzam 
renda. 
 
Fonte:<http://office.microsoft.co
m/pt-br/clipart/download.aspx?>. 
Acesso em: 1 dez. 2009. 
 
 
 
36 
 
3.1 Diferença entre os regimes de capitalização 
A diferença que existe entre um regime e outro é mais facilmente visualizada por meio 
de um exemplo. 
 Exemplo 1: 
Seja um capital de R$1.000,00 aplicado à taxa de 10% ao ano, por um período de 3 
anos a juros simples e compostos. Calcule o valor do Montante recebido. 
 
 
n 
Juros Simples Juros Compostos 
Cálculo do juro Montante Cálculo do juro Montante 
1 1.000  0,10 = 100 1.100 1.000  0,10 = 100 1.100 
2 1.000 0,10 = 100 1.200 1.100  0,10 = 110 1.210 
3 1.000  0,10 = 100 1.300 1. 210  0,10 = 121 1.331 
 
 
O exemplo oferece uma comparação visual entre os montantes dos dois regimes e, com 
ele, é possível perceber mais facilmente que o dinheiro cresce de forma mais rápida no 
regime de juros compostos do que no regime de juros simples. 
 
3.2 Cálculo do montante (M) 
 “No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre 
juros periodicamente” (ASSAF NETO, 2003, p. 43). Para desenvolver melhor o 
conceito de juros compostos e desenvolver a equação para o cálculo do montante, 
vamos refazer o exemplo anterior de forma mais detalhada. Então, seja um capital de 
R$1.000,00 aplicado à taxa de 10% ao ano, por um período de 3 anos a juros 
compostos. Calcule o valor do montante recebido. 
Os dados do problema são: 







??. = (M) Montante
anos 3 = (n) Prazo
 ano ao 10% = (i) aconsiderad juros de Taxa
R$1.000,00 = (C) aplicado inicial Capital
 
Com esses dados temos os seguintes resultados, ao final de cada período: 
 
 
 
37 
 
 Para o final do primeiro ano: 
Juros = 1.000  0,10  1 = 100 
Montante (M) = 1.000 + 100 = 1.100 (lembre-se de que o montante é o capital 
mais os juros) 
M = C + C  i ou M = C  (1 + i) 
 Para o final do segundo ano: 
Juros = 1.100  0,10 = 110 (o montante do período anterior passa a ser o 
capital, servindo, assim, de base para o cálculo dos juros deste período) 
Montante (M) = 1.100 + 110 = 1.210 
M = C(1 + i) + C (1 + i)  i ou  21 iCM  
 Para o final do terceiro ano: 
Juros = 1.210 0,10 = 121 (utilizamos o mesmo raciocínio do período anterior) 
Montante (M) = 1.210 + 121 = 1.331 
 31 iCM  
Portanto, o valor do montante, ao final do terceiro ano, é de R$1.331,00. Observe-se que 
o montante no final de cada ano é o capital inicial utilizado no ano seguinte. 
Generalizando uma equação para o cálculo do montante ao final de n períodos de tempo 
e à taxa de juros i, teremos: 
 niCM  1 
 Nessa equação, da mesma forma que ocorria no sistema de juros simples, a taxa de 
juros (i) deve estar na forma unitária e na mesma unidade de tempo que será utilizada para 
o período de tempo (n). 
Exemplo 2: 
Você fez um empréstimo de R$5.700,00 a juros de 3,5% ao mês pelo prazo de 10 meses 
com capitalização composta. Qual o montante que você deverá devolver? 
Solução: 
C = 5.700 
i = 3,5% ao mês = 0,035 
n = 10 meses 
M = ? 
 niCM  1 
 10035,01700.5 M 
M = 5.700  1,41059876 
M = R$8.040,41 
 
 
 
38 
 
Exemplo 3: 
Determinar o montante, ao final de 15 meses, resultante de uma aplicação de um capital 
de R$17.000,00 à taxa de juros compostos de 3,75% ao mês. 
Solução: 
C = 17.000 
i = 3,75% ao mês 
n = 15 meses 
M = ? 
 niCM  1 
 150375,01000.17 M 
M = 17.000  1,737087 
M = R$29.530,48 
 
 
3.3 Cálculo do juro (J) 
Vimos, na Unidade anterior, que o montante é 
constituído do capital mais o valor acumulado dos 
juros. Essa informação pode ser interpretada, 
também, de uma maneira um pouco diferente: o juro 
é a diferença entre o montante recebido e o capital 
aplicado. 
 
 
JCM  ou CMJ  
 
Como sabemos que  niCM  1 
Temos que: 
 
]1)1[(  niCJ 
 
Fonte:<http://office.microsoft.com/pt-
br/clipart/download.aspx?>. 
Acesso em: 1 de dez 2009. 
 
 
 
39 
 
Como o valor dos juros também pode ser visto como a diferença entre montante e o 
valor aplicado, podemos calcular o valor dos juros utilizando a mesma equação que 
utilizamos para o cálculo do montante. Para o exemplo acima teríamos: 
Exemplo 5: 
Qual o valor dos juros pagos no caso de um empréstimo de R$14.800,00 à taxa de juros 
compostos de 5,5% ao mês e pelo prazo de 2 anos e 5 meses? 
Solução: 
C = 14.800 
i = 5,5% ao mês = 0,055 
n = 2 anos e 5 meses = 29 meses 
J = ? 
 niCM  1 
29)055,01(800.14 M 
M = 14.800 ∙ 4,724124 
M = 69.917,04 
Como CMJ  , temos: 
J = 69.917,04 – 14.800 
J = R$55.117,04 
 
3.4 Taxas equivalentes ( ) 
A definição de taxas equivalentes diz que duas taxas de juros se dizem 
equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo 
capital, for indiferente aplicar em uma ou em outra. Ou, de outra forma, considerando-
se um mesmo capital aplicado por um intervalo de tempo comum a cada uma das taxas, 
ambas produzirão um mesmo montante, se forem equivalentes (MATHIAS; GOMES, 
2004). 
Exemplo 4: 
Qual o valor dos juros pagos no caso de um empréstimo de R$14.800,00 à taxa de juros 
compostos de 5,5% ao mês e pelo prazo de 2 anos e 5 meses? 
Solução: 
C = 14.800 
i = 5,5% ao mês = 0,055 
n = 2 anos e 5 meses = 29 meses 
J = ? 
]1)1[(  niCJ 
]1)055,01[(800.14 29 J 
J = 14.800 ∙ 3,724124 
J = 55.117,04 
Ambas: Uma e 
outra, as duas. 
 
 
 
40 
 
Exemplo 6: 
Considere um capital de R$2.500,00 aplicado pelo prazo de um ano. Se o capital for 
aplicado à taxa de 42,5761% ao ano, ou à taxa de 3% ao mês, qual será o montante 
recebido? 
Solução: 
C = 2.500 
1i = 42,5761% ao ano 
2i = 3% ao mês 
n = 1 ano ou 12 meses 
M = ? 
 niCM  1 
 1425761,01500.2 M 
M= 2.500  1,425761 
M = R$2.814,40 
 niCM  1 
 1203,01500.2 M 
M = 2.500  1,425761 
M = R$2.814,40 
Como montante recebido será o mesmo para as duas taxas, dizemos que elas são 
equivalentes. 
Toda taxa de juros com que trabalhamos possui uma determinada unidade de tempo ou 
um determinado prazo. Entretanto, essa unidade, ou esse prazo, “[...] pode ser 
convertida pra outra unidade de tempo qualquer sem alterar seu valor intrínseco, o que 
viabiliza o cálculo dos juros em operações e facilita comparações entre taxas de juros” 
(SAMANEZ, 2007, p.45). 
Segundo Assaf Neto (2003), no regime de juros simples a taxa equivalente era a própria 
taxa proporcional da operação, porém isso não acontece no regime de juros compostos. 
Por se tratar de uma capitalização exponencial, a expressão da taxa de juros equivalente 
composta é a média geométrica da taxa de juros do período inteiro. De uma maneira 
mais simples: ao passarmos de uma unidade de tempo menor para uma maior, como de 
mês para ano, devemos elevar (calcular uma potência) a taxa de juros pelo número de 
capitalizações que ocorrerão no período correspondente. Se for o contrário, de uma 
unidade de tempo maior para uma menor, por exemplo, de ano para mês, devemos 
elevar ao inverso do número de capitalizações que ocorrerão no período, ou seja, extrair 
uma raiz. 
  11  qq ii ou 11 
q
q ii 
 
 
 
 
41 
 
Exemplo 7: 
Calcular a taxa equivalente anual à taxa de 1% ao mês. 
Solução: 
i = 1% ao mês 
qi = ? ao ano 
q = 12 (um ano tem 12 meses) 
Devemos passar a taxa de uma unidade de tempo 
menor para uma maior, logo: 
  11  qq ii 
  101,01 12 qi 
qi = 0,1268 ou qi = 12,68% ao ano 
Exemplo 8: 
Calcular a taxa equivalente mensal à taxa de 12% ao ano. 
Solução: 
i = 12% ao ano 
qi = ? ao quadrimestre 
q = 3 (um ano tem 3 
quadrimestres) 
Devemos passar a taxa de uma unidade de tempo 
maior para uma menor; logo: 
11 
q
q ii 
112,013 qi 
qi = 0,0385 ou qi = 3,85% a.q. 
Mas como a taxa equivalente se apresentará em um problema? Essa questão é 
respondida com exemplo que segue: 
 
Exemplo 9: 
Calcular o montante produzido por um capital igual a R$10.000,00, aplicado a uma taxa 
de 24% ao ano, durante 4 anos e 2 meses. 
Solução: 
C = 10.000 
i = 24% ao ano 
n = 4 anos e 2 meses = 50 meses 
M = ? 
Como a taxa de juros é anual e o prazo é 
mensal, é preciso encontrar, primeiro, a taxa 
equivalente: 
11 
q
q ii 
124,0112 qi 
qi = 0,0181 ou 1,81% ao mês 
 niCM  1 
 
 
 
42 
 
 500181,01000.10 M 
M= 10.000  2,452008 
M = R$24.520,08 
 
 
3.5 Períodos não-inteiros 
Do mesmo modo que já foi visto em juros simples, poderemos encontrar em 
determinados problemas