05_Matematica_Financeira

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Banco do Brasil 
Escriturário - Agente Comercial 
 
 
1 - Conceitos gerais - O conceito do valor do dinheiro no tempo; Capital, juros, taxas de juros; 
Capitalização, regimes de capitalização; Fluxos de caixa e diagramas de fluxo de caixa; 
Equivalência financeira. ........................................................................................................... 1 
2 - Juros simples - Cálculo do montante, dos juros, da taxa de juros, do principal e do prazo 
da operação financeira. 3 - Juros compostos - Cálculo do montante, dos juros, da taxa de juros, 
do principal e do prazo da operação financeira. .................................................................... 21 
4 - Sistemas de amortização - Sistema price; Sistema SAC. ............................................ 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
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01. Apostila (concurso e cargo); 
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1679071 E-book gerado especialmente para ANTONIO ALVES DA COSTA NETO
 
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VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 
 
O velho ditado diz “mais vale um pássaro na mão do que dois voando” adquire uma grande importância 
quando aplicado às finanças. Em termos monetários, ele significa que o dinheiro muda ao longo do tempo. 
Os investidores têm uma preferência natural por dinheiro agora em vez de depois, pois assim, eles podem 
aumentar o seu valor. Essa naturalmente é a principal meta do administrador financeiro. Além dessa razão 
básica de o dinheiro valer mais agora do que no futuro, deve-se estar atento aos fatores que diminuem o 
valor do dinheiro ao longo do tempo. As três razões mais importantes pelas quais o valor do dinheiro 
decresce progressivamente ao longo do tempo são as seguintes: 
1. inflação; 
2. risco; 
3. preferência pela liquidez. 
 
Inflação refere-se ao aumento geral de preços na economia. Quando os preços aumentam, o valor do 
real diminui, e já que se espera que os preços subam no futuro, o valor do real hoje é maior do que será 
amanhã, por causa do aumento do preço que diminuirá o valor desse real. Por isso, é possível comprar 
maior quantidade de bens com um real daqui a um ano do que daqui a dois anos e assim por diante. 
 
Risco, ou incerteza acerca do futuro, também causa um declínio no valor do dinheiro. Como o futuro 
é incerto, o risco aumenta com o passar do tempo. A maioria das pessoas deseja evitar o risco, assim, 
valorizam mais o dinheiro agora do que a promessa de recebe-lo no futuro apenas se foram 
adequadamente recompensadas pelo risco a ser assumido. 
 
Liquidez é importante tanto para um investidor quanto para uma empresa. Liquidez refere-se ao grau 
de facilidade com que os ativos podem ser convertidos em caixa. Caixa, obrigações do governo e outros 
títulos negociáveis (ativos da empresa dados como garantia aos credores para assegurar o pagamento 
de um empréstimo) aumentam a liquidez de uma empresa.de igual forma, os ativos imobilizados, tais 
como a fábrica e o equipamento, não são considerados muito líquidos. Os investidores têm preferência 
pela liquidez, isto é, preferem manter dinheiro em caixa para emergência inesperadas e exigências 
financeiras a comprometer fundos em ativo de rendimento futuro. Se desistirem da liquidez atual, 
adquirindo ativos que prometem retornos futuros, estarão trocando um ativo de caixa seguro por um ativo 
futuro arriscado. A troca será feita apensa se as recompensas prometidas para os futuros ativos forem 
suficientemente altas para justificar o risco assumido. 
 
CAPITAL, JUROS E TAXAS DE JUROS 
 
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos 
ou financiamentos de bens de consumo. A idéia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de 
Caixa e usar alguns procedimentos matemáticos. 
 
Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido 
como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, 
indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV. 
 
Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os 
juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas 
condições mistas. 
 
Taxa de juros: é a taxa de lucratividade recebida num investimento. De uma forma geral, é 
apresentada em bases anuais, podendo também ser utilizada em bases semestrais, trimestrais, mensais 
ou diárias, e representa o percentual de ganho realizado na aplicação do capital em algum 
empreendimento. 
 
1 - Conceitos gerais - O conceito do valor do dinheiro no tempo; Capital, juros, 
taxas de juros; Capitalização, regimes de capitalização; Fluxos de caixa e 
diagramas de fluxo de caixa; Equivalência financeira. 
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Por exemplo, uma taxa de juros de 20% ao ano indica que para cada unidade monetária aplicada, um 
adicional de R$ 0,20 deve ser retornado após um ano, como remuneração pelo uso daquele capital. 
 
A taxa de juros, simbolicamente representada pela letra i, pode ser também apresentada sob a forma 
unitária, ou seja, 0,20, que significa que para cada unidade de capital são pagos doze centésimos de 
unidades de juros. Esta é a forma utilizada em todas as expressões de cálculo. 
A taxa de juros também pode ser definida como a razão entre os juros, cobrável ou pagável, no fim de 
um período de tempo e o dinheiro devido no início do período. Usualmente, utiliza-se o conceito de taxa 
de juros quando se paga por um empréstimo, e taxa de retorno quando se recebe pelo capital emprestado. 
Portanto, pode-se definir o juro como o preço pago pela utilização temporária do capital alheio, ou seja, 
é o aluguel pago pela obtenção de um dinheiro emprestado ou, mais amplamente, é o retorno obtido pelo 
investimento produtivo do capital. 
Genericamente, todas as formas de remuneração do capital, sejam elas lucros, dividendos ou 
quaisquer outras, podem ser considerados como um juro. 
 
Quando uma Instituição Financeira decide emprestar dinheiro, existe, obviamente, uma expectativa de 
retorno do capital emprestado acrescido de uma parcela de juro. Além disso, deve-se considerar embutido 
na taxa de juros os seguintes fatores: 
 
Risco: grau de incerteza de pagamento da dívida, de acordo, por exemplo, com os antecedentes do 
cliente e sua saúde financeira; 
Custos Administrativos: custos correspondentes aos levantamentos cadastrais, pessoal, 
administração e outros; 
Lucro: parte compensatória pela não aplicação do capital em outras oportunidades do mercado, 
podendo, ainda, ser definido como o ganho líquido efetivo; 
Expectativas Inflacionárias: em economiasestáveis, com inflação anual baixa, é a parte que atua 
como proteção para as possíveis perdas do poder aquisitivo da moeda. 
 
CAPITALIZAÇÃO1 
 
Neste tipo de capitalização os juros são acrescidos instantaneamente, continuamente, ou seja, a cada 
“micro segundo” o capital está sendo corrigido. É uma ferramenta muito usada em finanças, projetos de 
investimento entre outros. 
Lembrando que capitalização vem do verbo capitalizar que significa acrescentar juros. 
 
Exemplo 
Um capital de R$ 100,00, aplicado por um ano à taxa nominal de 24% a.a., resulta nos seguintes 
montantes considerando-se diversas hipóteses de frequências das capitalizações da taxa nominal (aqui 
k representa o tempo): 
 
O montante vai aumentando a medida que a frequência das capitalizações aumenta. Se admitimos 
uma capitalização horária, temos o seguinte montante ao fim do ano: 
 
𝑀 = 𝐶. (1 +
𝑗
𝑘
)
𝑘.𝑚
= 100 . (1 +
0,24
24.265
)
(365.24).1
= 127,12 
 
Observe que quando aplicamos esse montante a uma capitalização horária ele quase não cresce, 
tendendo a um valor limite. 
Aplicando métodos matemáticos que envolvem limite, chegamos a uma fórmula que os permite 
calcular problemas que envolvam capitalização contínua. 
 
1 SAMANEZ, C.P., Matemática Financeira, 3ª edição. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2002. 
http://professoraluiziocosta.blogspot.com.br/2011/09/as-capitalizacoes-em-matematica.html 
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M = C.eit 
 
Onde: 
M = montante calculado a juros contínuos 
C = capital inicial aplicado 
i = taxa de juros ou instantânea ou contínua (alguns autores adotam a letra grega delta (ᵟ)) 
t = tempo da aplicação (alguns adotam a letra m) 
e = número de Euler = 2,718281828459... 
 
Obs.: esse número de Euler é uma dízima aperiódica. Para efeitos de prova basta saber que o valor 
dele, consideramos até 3 casas decimais para melhor aproximação dos cálculos (2,718), mas quantas 
mais casas utilizar mais próxima do valor preciso você estará chegando. 
 
Exemplos 
 
1) Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros contínuos por 50 meses a uma taxa de juros de 4% 
ao mês. Determine o montante. Considere que e2 é aproximadamente igual a 7,34. 
 M = 1.000 x e0,04 x 50 = 1.000 x e2 = 1.000 x 7,34 = R$ 7.340,00 
 
2) Calcular o montante de um capital de $ 1.000 aplicado por um ano à taxa instantânea de 50% a.a. 
capitalizada contínua ou instantaneamente. 
Temos que: 
C = R$ 1.000 
i = 50% a.a. 
t = 1 ano 
M = ? 
 
Vamos considerar aqui como e = 2,71828 
 
M = C.eit → M = 1 000. e0,50 .1 → M = 1 648,72 
 
Capitalização Descontínua 
 
Na descontínua, por convenção, considera-se que os juros são formados no final de cada período de 
tempo ao qual se refere à taxa de juros. Se a taxa de juros é 10% ao mês, por exemplo, admite-se que o 
juro é formado não a cada dia, ou semana, mas no final de cada período mensal. Na capitalização 
descontínua, há dois regimes de capitalização: regime de juros simples e regime de juros compostos. 
 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
Regime de capitalização é a forma em que se verifica o crescimento do capital, este pode ser pelo 
regime de capitalização simples ou composta. 
No regime de capitalização simples os juros são calculados utilizando como base o capital inicial (VP), 
já no regime de capitalização composta as taxas de juros são aplicadas sobre o capital acumulado dos 
juros. 
 
Exemplos: 
a) Empréstimo de R$ 10.000,00 por seis meses, a taxa de 3% a.m. 
 
 
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Questão 
 
01. Uma plantação de eucaliptos para fabricação de celulose tem 80.000 m³ de madeira. O preço atual 
da madeira é de $20/m³ e a taxa contínua de crescimento das árvores é de 20% a.a. Calcule o valor da 
plantação após quatro anos. 
(A) $ 5.500.800,00 
(B) $ 3.285.800,00 
(C) $ 2.058.800,00 
(D) $ 1.600.000,00 
(E) $ 4.348.800,00 
 
Comentário 
 
01. Resposta: E. 
C = 80.000 m³ x $20/m³ 
i = 20%a.a 
t = 4ª 
M = ? 
 
M = (80.000m³ x$20/m³)x e0,20x4 = 1.600.000 x 2,718¹ = $4.348.800,00 
FLUXO DE CAIXA 
 
Um fluxo de caixa2 representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se estima ocorrer 
em determinado intervalo de tempo. É bastante comum, na prática, defrontar-se com operações 
financeiras que se representam por um fluxo de caixa. Por exemplo, empréstimos e financiamentos de 
diferentes tipos costumam envolver uma sequência de desembolsos periódicos de caixa. De maneira 
idêntica, têm-se os fluxos de pagamentos/recebimentos de aluguéis, de prestações oriundas de compras 
a prazo, de investimentos empresariais, de dividendos etc. 
Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e tipos em termos de períodos de 
ocorrência (postecipados, antecipados ou diferidos), de periodicidade (períodos iguais entre si ou 
diferentes), de duração (limitados ou indeferidos) e de valores (constantes ou variáveis). Os termos dos 
fluxos de caixa são genericamente simbolizados por PMT, sendo para as demais variáveis empregada a 
mesma simbologia adotada em capítulos anteriores (PV, FV n, i). 
 
Modelo Padrão 
 
Os fluxos de caixa podem ser representados sob diferentes formas e tipos, exigindo cada um deles 
um tratamento específico em termos de formulações. Esquematicamente, os fluxos de caixa são 
identificados com base na seguinte classificação: 
 
1. Período de Ocorrência {
𝑃𝑜𝑠𝑡𝑒𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠
𝐴𝑛𝑡𝑒𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠
𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠
 
 
2. Periodicidade {
𝑃𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑜𝑠
𝑁ã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑜𝑠
 
 
3. Duração {
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 (𝐹𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜𝑠)
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠
(𝐼𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠)
 
 
4. Valores {
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠
 
 
 
2
FARIA, Rogério Gomes de. Matemática Comercial e Financeira. 5 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2000. 
FRANCISCO, Walter De. Matemática Financeira. 7 ed. São Paulo: Atlas, 1991. 
NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas Aplicações.12 ed. São Paulo: Atlas, 2012. 
NETTO, Scipione Di Pierro; TEIXEIRA, James. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1998. 
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O modelo-padrão de um fluxo de caixa, conforme grifado no esquema acima, é verificado quando os 
termos de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos apresentam, ao mesmo tempo, as seguintes 
classificações: 
 
Postecipados - indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer ao final do 
primeiro intervalo de tempo. Por exemplo, não havendo carência, a prestação inicial de um financiamento 
é paga ao final do primeiro período do prazo contratado, vencendo as demais em intervalos sequenciais. 
 
Limitados - o prazo total do fluxo de caixa é conhecido a priori, sendo finito o número de termos 
(pagamentos e recebimentos). Por exemplo, um financiamento por 2 anos envolve desembolsos neste 
intervalo fixo de tempo sendo, consequentemente, limitado o número de termos do fluxo (prestações do 
financiamento). 
 
Constantes - indica que os valores dos termos que compõem o fluxo de caixa são iguais entre si. 
 
Periódicos - é quando os intervalos entre os termos do fluxo são idênticos entre si. Ou seja, o tempo 
entre um fluxo e outro é constante. 
 
Graficamente, o fluxo de caixa uniforme (padrão) é representado da forma seguinte: 
 
 
Observe que a estrutura desse fluxo obedece à classificação-padrão apresentada anteriormente: 
- o PMT inicial ocorre em n = 1: postecipado; 
- a diferença entre a data de um termo e outro é constante: periódico; 
- o prazo do fluxo é preestabelecido (fixo), apresentando n períodos: limitado ou finito; 
- os valores PMT são uniformes (iguais): constantes. 
 
Valor presente e fator de valor presente 
 
O valor presente de um fluxo de caixa uniforme, conforme discutido no item precedente, para uma taxa 
periódica de juros,é determinado pelo somatório dos valores presentes de cada um de seus valores. 
Reportando-se à representação gráfica do fluxo-padrão apresentado, tem-se: 
 
Logo: 
 
𝑃𝑉 = 
𝑃𝑀𝑇
(1 + 𝑖)
+ 
𝑃𝑀𝑇
(1 + 1)²
+ 
𝑃𝑀𝑇
(1 + 𝑖)³
+ ⋯ +
𝑃𝑀𝑇
(1 + 𝑖)𝑛−1
+ 
𝑃𝑀𝑇
(1 + 𝑖)𝑛
 
 
Colocando-se em evidência: 
 
𝑃𝑉 = PMT [
1
(1 + 𝑖)
+ 
1
(1 + 𝑖)²
+ 
1
(1 + 𝑖)3
+ ⋯ + 
1
(1 + 𝑖)𝑛−1
+ 
1
(1 + 𝑖)𝑛
] 
 
𝑃𝑉 = PMT [(1 + 𝑖)−1 + (1 + 𝑖)−2 + (1 + 𝑖)−3 + ⋯ + (1 + 𝑖)−𝑛+1 + (1 + 𝑖)−𝑛] 
FPV 
A expressão entre colchetes é denominada de Fator de Valor Presente, sendo representada pela 
Matemática Financeira da forma seguinte: 
 
FPV (i, n) 
 
Com isso, a formulação genérica do valor presente assume a expressão: 
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PV = PMT x FPV (i,n) 
 
Observe que FPV, conforme é apresentado na formulação anterior entre colchetes, equipara-se à 
soma de uma progressão geométrica (PG) DE n termos, sendo o primeiro termo ( 1) e a razão (q) igual a 
(1 + i)-1, e o n-ésimo termo ( n) igual a (1 + i)-n. 
 
A fórmula de cálculo da soma de uma PG é dada por: 
 
𝑆𝑛 = 𝐹𝑃𝑉 (𝑖, 𝑛) = 
𝑎1 − 𝑎𝑛 × 𝑞 
1 − 𝑞
 
 
Substituindo-se os valores da expressão na soma dos termos de uma PG, tem-se: 
 
𝐹𝑃𝑉(𝑖, 𝑛) = 
(1 + 𝑖)−1 − (1 + 𝑖)−𝑛 × (1 + 𝑖)−1
1 − (1 − 𝑖)−1
 
 
Seguindo-se a sequência de dedução adotada por Mathias e Gomes3 multiplica-se o numerador e o 
denominador por (1 + i), obtendo-se: 
𝐹𝑃𝑉 (𝑖, 𝑛) = 
[(1 + 𝑖)−1 − (1 + 𝑖)−𝑛 × (1 + 𝑖)−1] × (1 + 𝑖)
[1 − (1 + 𝑖)−1] × (1 + 𝑖)
 
 
𝐹𝑃𝑉 (𝑖, 𝑛) = 
(1 + 𝑖)−1 × (1 + 𝑖) − (1 + 𝑖)−𝑛 × (1 + 𝑖)−1 × (1 + 𝑖)
(1 + 𝑖) − (1 + 𝑖)−1 × (1 + 𝑖)
 
 
𝐹𝑃𝑉 (𝑖, 𝑛) = 
(1 + 𝑖)−1+1 − (1 + 𝑖)−𝑛 × (1 + 𝑖)−1+1
(1 + 𝑖) − (1 + 𝑖)−1+1
 
 
𝐹𝑃𝑉 (𝑖, 𝑛) = 
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
1 + 𝑖 − 1
 
 
𝐹𝑃𝑉 (𝑖, 𝑛) = 
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
 
 
Essa expressão é muitas vezes representada da maneira seguinte: 
𝐹𝑃𝑉 (𝑖, 𝑛) = 
1 − 
1
(1 + 𝑖)𝑛
𝑖
 
 
𝐹𝑃𝑉 (𝑖, 𝑛) = 
 
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛
𝑖
 
 
𝐹𝑃𝑉 (𝑖, 𝑛) = 
 (1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛 𝑥 𝑖
 
 
Mediante o FPV, a fórmula do valor presente de um fluxo de caixa uniforme é apresentada da maneira 
seguinte: 
 
PV = PMT x 
1 − (1+𝑖)−𝑛
𝑖
 
 
ou 
 
PV = PMT x FPV (i,n) 
 
 
 
3 MATHIAS, N. Franco; GOMES, J. Maria. Matemática financeira. 2ed.. São Paulo: Atlas, 1998. p. 242. 
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Exemplo 
 
Determinar o valor presente de um fluxo de 12 pagamentos trimestrais, iguais e sucessivos de $ 700,00 
sendo a taxa de juros igual a 1,7% a.m. 
 
Resposta 
 
PMT = $ 700,00 
n = 12 pagamentos trimestrais 
i = 1,7% a.m. ou: (1,017)3 - 1 = 5,19% a.t. 
PV = PMT x FPV (i, n) 
PV = $ 700,00 x FPV (5,19%, 12) 
PV = $ 700,00 x 8,769034 
PV = $ 6.138,30 
 
Valor futuro e fator de valor futuro 
 
O valor futuro, para determinada taxa de juros por período, é a soma dos momentos de cada um dos 
termos da série de pagamentos/recebimentos. Graficamente, tem-se a seguinte representação: 
 
 
 
O valor futuro pelo padrão ocorre junto com o último termo do fluxo de caixa. Capitalizando-se cada 
um dos valores da série, apura-se a seguinte expressão: 
 
FV = PMT + PMT x (1 + i) + PMT x (1 + 𝑖)2 + 
 PMT x (1 + 𝑖)3 + ... + PMT x (1 + 𝑖)𝑛 - 1 
 
Colocando-se PMT em evidência: 
 
Identicamente, a expressão entre colchetes é definida por Fator de Valor Futuro e representada por: 
 
FFV (i,n) 
 
A formulação genérica do valor futuro de um fluxo de caixa uniforme é expressa da forma seguinte: 
 
FV = PMT x FFV (i, n) 
 
Da mesma maneira em relação ao desenvolvimento da fórmula do valor presente, observe que a 
expressão do FFV representa a soma dos termos de uma progressão geométrica, onde 𝑎1 = 1; q = (1 + 
i) e 𝑎𝑛 = (1 + 𝑖)
𝑛−1. Pela mesma equação de cálculo da soma dos valores de uma PG, tem-se: 
 
𝑆𝑛 = FFV x (i,n) = 
𝑎1− 𝑎𝑛 𝑥 𝑞
1−𝑞
 
 
Promovendo os mesmos ajustes e simplificações desenvolvidos na identidade do valor presente, 
chega-se a: 
 
FFV (i, n) = 
(1+𝑖)𝑛
𝑖
 
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Assim, a partir do FFV pode-se elaborar a expressão de cálculo do valor futuro (montante) de um fluxo 
de caixa uniforme, ou seja: 
FV = PMT x 
(1+𝑖)𝑛−1
𝑖
 
 
Ou 
 
FV = PMT x FFV (i,n) 
 
Exemplo 
 
Calcular o montante acumulado ao final do 7º mês de uma sequência de 7 depósitos mensais e 
sucessivos, no valor de $ 800,00 cada, numa conta de poupança que remunera a uma taxa de juros de 
2,1% a.m. 
 
Resposta 
 
O valor futuro pode ser calculado pela soma do montante de cada depósito, isto é: 
 
FV = 800,00 + 800,00 (1,021) + 800,00 (1,021)2 
 + 800,00 (1,021)3 + ... + 800,00 (1,021)6 
FV = $ 5.965,41 
 
Aplicando-se a fórmula-padrão de apuração do valor futuro, tem-se, de forma abreviada, o mesmo 
resultado: 
 
FV = PMT x FFV (i,n) 
 
FV = PMT x 
(1+𝑖)𝑛−1
𝑖
 
 
FV = 800,00 x 
(1,021)7−1
0,021
 
 
FV = 800,00 x 7,456763 = $ 5.965,41 
 
Equivalência financeira e fluxos de caixa 
 
Deve ser ressaltado também no estudo do fluxo de caixa o conceito de equivalência financeira. Esse 
raciocínio é de fundamental importância para a Matemática Financeira, permitindo o correto entendimento 
e uso de seus resultados. A equivalência financeira encontra extensas aplicações práticas, estando 
presente na tomada de decisões financeiras, na seleção de planos de empréstimos e financiamentos 
mais atraentes, em propostas de refinanciamento e reescalonamento de dívidas etc. 
De acordo com o que foi desenvolvido anteriormente, diz-se que dois ou mais fluxos de caixa (capitais) 
são equivalentes quando produzem idênticos valores presentes num mesmo momento, convencionando-
se determinada taxa de juros. 
Por exemplo, os 4 fluxos de caixa ilustrados a seguir são equivalentes para uma taxa de juros de 5% 
ao mês, pois geram, para uma mesma taxa e juros, valores iguais em qualquer data focal escolhida. 
 
 
 
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Definindo-se 𝑡0 (momento presente como data focal): 
190,00
(1,05)2
 = 
220,00
(1,05)5
 = 
267,00
(1,05)9
 = 
414,00
(1,05)18
 
Registre-se, uma vez mais, que a equivalência financeira no regime de juros compostos, para dada 
taxa de juros, pode ser verificada em qualquer momento tomado como referência (data focal). Por 
exemplo, se a data for definida em 𝑡18, tem-se: 
 
414,00 = 267,00 (1,05)9 = 220,00 (1,05)13 
 = 190,00 (1,05)16 
 
e assim por diante. 
 
A equivalência de dois ou mais capitais, para determinada taxa de juros, ocorre em qualquer data 
tomada como referência. Alterando-se a taxa, a equivalência evidentemente deixa de existir, dado que o 
conceito depende da taxa de juros. Algumas ilustrações práticas evidenciando o uso do conceito de 
equivalência financeira são desenvolvidas a seguir. 
 
Exemplo 
 
Admita que uma empresa esteja avaliando quatro planos de pagamentos de um financiamento de $ 
300.000,00 conforme apresentados a seguir. A taxa de juros considerada nas propostas é de 7% a.m. 
Qual a opção de pagamento economicamente mais atraente? 
 
 
Resposta 
 
Os planos de pagamento formulados apresentam o mesmo valor presente (data zero) quando 
descontados à taxa de juros de 7% a.m. O resultado atualizado continua igual, mesmo se definida outra 
data focal. Logo, conclui-se que os fluxos de pagamento do financiamento são equivalentes, 
apresentando o mesmo custo. 
Assim, em termos estritamente econômicos de atratividade, torna-se indiferente (equivalente) a 
escolha de uma ou outra forma de pagamento. Mesmo que a soma das prestações seja diferente em 
cada proposta, o fundamental na avaliação econômica é a comparação entre valores expressos em uma 
mesma unidade de tempo. 
A decisão, dessa forma, deve ser tomadalevando em conta o aspecto financeiro do desembolso, pois 
os fluxos de caixa são diferentes em cada plano em termos de valores e data de ocorrência. A forma de 
pagamento escolhida deve, evidentemente, adequar-se à capacidade financeira do tomador de recursos 
e ao comportamento das taxas de juros de mercado. 
 
Fluxos de caixa não convencionais 
 
Os fluxos definidos no denominado modelo-padrão foram amplamente estudados no início do capítulo. 
Esta parte dedica-se, mais especificamente, aos demais tipos de caixa, não considerados no modelo-
padrão. A seguir são desenvolvidos as várias classificações não convencionais dos fluxos de caixa. 
 
 
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10 
 
Período de ocorrência 
 
Com relação ao período em que a ocorrer, o fluxo de caixa pode ser identificado como postecipado, 
antecipado e diferido. 
 
- Postecipado 
 
No tipo postecipado, a série de pagamentos/recebimentos começa a acorrer exatamente ao final do 
primeiro período, de acordo com a ilustração gráfica acima. Esse fluxo enquadra-se no modelo-padrão 
detalhado inicialmente, não havendo nada mais a acrescentar. 
 
- Antecipado 
 
O fluxo de caixa antecipado indica que a série de valores começa a ocorrer antes do final do primeiro 
período, conforme é representado graficamente acima. Por exemplo, um aluguel pago no início do período 
de competência (geralmente no início do mês) enquadra-se como um fluxo de caixa antecipado por um 
período (mês). Se dois aluguéis forem adiantados ao locador, a antecipação é de dois períodos, e assim 
por diante. 
A determinação do valor presente e montante de um fluxo de caixa antecipado não apresenta maiores 
novidades. Além de ter-se sempre a opção de atualizar ou corrigir os seus termos individualmente, pode-
se também utilizar a fórmula do modelo-padrão para a parte convencional do fluxo, e adicionar os termos 
antecipados (corrigidos) a esse resultado. 
Por exemplo, admita o seguinte fluxo de caixa com antecipação de dois períodos: 
 
Para uma taxa de juros de 4% por período, tem-se: 
PV = [70,00 × FPV (4%, 8)] + 70,00 + 70,00 × (1,04) 
PV = (70,00 × 6,732745) + 70,00 + 72,80 
PV = 471,29 + 70,00 + 72,80 = $614,09 
FV = [70,00 × FPV (4%, 8) + 70,00(1,04)8] + 70,00 (1,04)9 
FV = (70,00 × 9,214226) + 95,80 + 99,63 
FV = 645,00 + 95,80 + 99,63 = $ 840,43 
 
- Diferido (Carência) 
 
O diferimento indica que os termos da série começam a ocorrer após o final do primeiro período, 
conforme ilustrado no gráfico anterior. 
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11 
 
Nessa ilustração, a série inicia-se no período imediatamente após o final do primeiro intervalo de 
tempo, indicando consequentemente uma carência de um período. Se a série começar a ocorrer no 
momento 3 do gráfico, a carência atinge dois períodos: no momento 4 tem-se uma carência de 3 períodos; 
e assim por diante. 
Em suma, a base de comparação para se definir uma carência é o final do primeiro período. Para a 
matemática financeira, a carência existe quando o primeiro fluxo de caixa se verificar após o final do 
primeiro período, ou seja, após ter decorrido c períodos de tempo. 
A determinação do montante de um fluxo de caixa com carência segue a formulação desenvolvida do 
modelo-padrão. Deve ser ressaltado, uma vez mais, que nesse caso n representa o número de termos 
da série, e não o seu prazo total. 
A formulação do valor presente, no entanto, requer um pequeno ajuste, de forma a ser expresso na 
data zero, ou seja: 
 
PV = PMT x FPV (i, n) x FAC (i, c) 
 
Onde: 
c = número de períodos de carência. 
FAC = Fator de Atualização de Capital (valor presente). 
FAC = 1/ (1 + i)n 
 
Por exemplo, admita o seguinte fluxo de caixa diferido por 2 períodos: 
 
- Diferido (Carência) 
 
Observe que o fluxo de caixa apresenta um prazo total de 9 períodos, sendo o número determos igual 
a 7 (n = 7), e a carência de 2 períodos (c = 2). 
Para uma taxa de juros de 2,2% por período, têm-se os seguintes resultados: 
PV = 100,00 x FPV (2,2%, 7) x FAC (2,2%, 2) 
PV = 100,00 x 6,422524 x 0,957410 = $ 614,90 
FV = 100,00 x FFV (2,2%, 7) 
FV = 100,00 x 7,479318 = $747,93 
 
Periodicidade 
 
A periodicidade reflete os intervalos de tempo em que os fluxos de caixa ocorrem. Se esses intervalos 
forem sempre iguais, diz-se que os fluxos são periódicos, enquadrando-se no modelo-padrão 
apresentado. Se, por outro lado, os termos se verificarem em intervalos irregulares (diferentes entre si), 
tem-se o que se denomina de fluxos de caixa não periódicos. O gráfico a seguir ilustra um fluxo de caixa 
não periódico, onde os valores não se verificam uniformemente em termos de sua periodicidade. 
 
 
 
Tanto o cálculo do valor presente, como o do valor futuro, devem ser processados, respectivamente, 
pelo somatório da atualização e capitalização de cada um dos termos. 
Genericamente, têm-se as seguintes expressões: 
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12 
 
 𝑃𝑉 = ∑ 𝑃𝑀𝑇𝑗 / (1 + 𝑖)
𝑗𝑛
𝑗=0 
 
 𝑃𝑉 = ∑ 𝑃𝑀𝑇𝑗
𝑛
𝑗=0 / (1 + 𝑖)
𝑛−𝑗 
 
Ilustrativamente, admita o seguinte fluxo de caixa não periódico: 
 
 
Para uma taxa de juros de 1,9% a.m., tem-se: 
 
PV = 100,00 + 
𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟎
(𝟏,𝟎𝟏𝟗)𝟑
 + 
𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟎
(𝟏,𝟎𝟏𝟗)𝟒
 + 
𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟎
(𝟏,𝟎𝟏𝟗)𝟖
 + 
𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟎
(𝟏,𝟎𝟏𝟗)𝟏𝟓
 
PV= 100,00 + 94,51 + 92,75 + 86,02 + 75,40 
 
PV = $ 448,68 
 
FV = 100,00 + 100,00 (1,019)7 + 100,00 (1,019)11 + 100,00 (1,019)12 + 100,00 (1,019)15 
 
FV = 100,00 + 114,08 + 123,00 + 125,34 + 132,62 
 
FV = $ 595,04 ou FV = 448,68 x (1,019)15 = $ 595,04. 
 
Duração 
 
A duração de um fluxo de caixa pode ser finita, característica do modelo-padrão, ou indeterminada 
(indefinida), quando o prazo não é conhecido previamente. No caso de uma série infinita, determina-se 
unicamente o seu valor presente. Para algumas situações específicas podem ser atribuídas 
probabilidades para se definir a duração de um fluxo, como é o caso da atividade de seguros. No entanto, 
este tipo de situação não será tratada aqui, ficando mais restrito estudo da Matemática Atuarial. 
A representação gráfica de uma série indefinida pode ser ilustrada da forma seguinte: 
 
 
O cálculo do valor presente é efetuado pelo somatório do valor atualizado de cada um de seus termos, 
isto é: 
 
 𝑃𝑉 = 
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)
+ 
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)2
+ 
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)3
+ ⋯ + 
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)∞
 
 
Genericamente: 
 
𝑃𝑉 = ∑
𝑃𝑀𝑇𝑗
(1 + 𝑖)𝑗
∞
𝑗=1
 
 
Detalhando a formulação: 
 
 𝑃𝑉 = 
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)
+ 
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)2
+ 
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)3
+ 
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)4
+ ⋯ + 
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)∞
 
 
 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 [
1
(1+𝑖)
+ 
1
(1+𝑖)2
+ 
1
(1+𝑖)3
+ 
1
(1+𝑖)4
+ ⋯ + 
1
(1+𝑖)∞
] 
 
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13 
 
Os valores entre colchetes representam a soma dos termos de uma progressão geométrica indefinida, 
cuja razão é menor que 1. Aplicando-se o teorema de limite na fórmula da soma dos termos, tem-se: 
 
𝐹𝑃𝑉 = lim
𝑛→∞
𝑎1+ 𝑎𝑛×𝑞
1−𝑞
 
 
Processando-se as deduções e simplificações pertinentes a partir dessa expressão, chega-se ao valor 
presente de um fluxo de caixa igual, constante, periódico e indeterminado, ou seja: 
 
PV = 
𝑃𝑀𝑇
𝑖
 
 
Em outras palavras, o valor presente desse fluxo é determinado pela relação entre o 
pagamento/recebimento periódico, igual e sucessivo, e a taxa de juros considerada. As séries 
indeterminadas encontram aplicações práticas principalmente em avaliações de imóveis efetuadas com 
base nos rendimentos de aluguéis, na apuração do preço de mercado de uma ação a partir do fluxo 
previsto de dividendos etc. Com o intuito de proceder a uma aplicação prática do cálculo do valor presente 
de um fluxo indeterminado, admita que um imóvel esteja rendendo $ 2.000,00 de aluguel mensalmente. 
Sendo de 2% a.m.o custo de oportunidade de mercado (ganho da melhor alternativa de aplicação 
disponível), pode-seavaliar preliminarmente que o valor deste imóvel atinge $ 100.000,00, isto é: 
 
𝑃𝑉 = 
2.000,00
0,02
= $ 100.000,00 
 
O valor de referência do imóvel, válido para uma avaliação inicial, é o valor presente do fluxo de 
rendimentos mensais (aluguéis) previsto por um prazo indeterminado, descontado a um custo de 
oportunidade. 
 
Valores 
 
No que se refere aos valores, os termos de caixa podem ser constantes, se os fluxos de caixa 
apresentarem-se sempre iguais, ou variáveis, se os fluxos não forem sempre iguais entre si. Se os valores 
de caixa forem constantes, o fluxo identifica-se com o modelo-padrão estudado. No entanto, se os valores 
de caixa apresentarem-se desiguais (variáveis), o valor presente é calculado pela soma dos valores 
atualizados de cada um de seus termos. O valor futuro, por seu lado, é determinado pelo somatório dos 
montantes de cada um dois termos ou, ainda, capitalizando-se o valor presente para a data futura. 
Identicamente aos fluxos de caixa não periódicos, têm-se as seguintes generalizações: 
 𝑃𝑉 = ∑ 𝑃𝑀𝑇𝑗
𝑛
𝑗=0 / (1 + 𝑖)
𝑗 
 
 𝐹𝑉 = ∑ 𝑃𝑀𝑇𝑗 × (1 + 𝑖)
𝑗𝑛
𝑗=0 
Ou 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)𝑛 
 
Por exemplo, admita um fluxo de caixa com os seguintes valores, ocorrendo respectivamente ao final 
de cada um dos próximos 5 anos: $ 80,00, $ 126,00, $ 194,00, $ 340,00 e $ 570,00. Para uma taxa de 
juros de 4% a.a., têm-se os seguintes resultados: 
 
 
 
 𝑷𝑽 = 
𝟖𝟎,𝟎𝟎
(𝟏,𝟎𝟒)
+ 
𝟏𝟐𝟔,𝟎𝟎
(𝟏,𝟎𝟒)𝟐
+ 
𝟏𝟗𝟒,𝟎𝟎
(𝟏,𝟎𝟒)𝟑
+ 
𝟑𝟒𝟎,𝟎𝟎
(𝟏,𝟎𝟒)𝟒
+ 
𝟓𝟕𝟎,𝟎𝟎
(𝟏,𝟎𝟒)𝟓
 
 
 𝑃𝑉 = 76,92 + 116,49 + 172,46 + 290,63 + 468,50 
 
 𝑃𝑉 = $1.125,00 
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14 
 
FV = 570,00 + 340,00 (1,04) + 194 (1,04)2126,00 (1,04)3 + 80,00 (1,04)4 
 
 𝑭𝑽 = 𝟓𝟕𝟎, 𝟎𝟎 + 𝟑𝟓𝟑, 𝟔𝟎 + 𝟐𝟎𝟗, 𝟖𝟑 + 𝟏𝟒𝟏, 𝟕𝟑 + 𝟗𝟑, 𝟓𝟗 
 
 𝐹𝑉 = $ 1.368,80 
 
Ou 
 
𝐹𝑉 = 1.125,00 × (1,04)5 = $ 1.368,80 
 
Questões 
 
01. Uma mercadoria é vendida a prazo em 5 pagamentos mensais de $ 700,00. Sendo de 3,5% a.m. 
a taxa de juros, determinar o seu preço à vista admitindo que o primeiro pagamento é efetuado no ato da 
compra: 
(A) R$ 3.500,00 
(B) R$ 3.377,50 
(C) R$ 3.271,16 
(D) R$ 3.200,85 
(E) R$ 3.429,29 
 
02. Uma pessoa irá necessitar de $ 7.000,00 daqui a 10 meses. Quanto deverá ela depositar 
mensalmente num fundo de poupança que rende 1,7% a.m. de juros? 
(A) 𝑅$ 625,15 
(B) 𝑅$ 586,10 
(C) 𝑅$ 648,10 
(D) 𝑅$ 500,18 
(E) 𝑅$ 700,00 
 
03. Um veículo, cujo preço à vista é de $ 30.000,00, está sendo vendido nas seguintes condições: 
a) entrada = 30% 
b) saldo em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira daqui a dois meses. 
Determinar o valor de cada prestação, admitindo uma taxa de juros de 2% a.m. 
(A) $ 4.541,50 
(B) $ 4.000,00 
(C) $ 3.010,02 
(D) $ 2.100,02 
(E) $ 3.824,02 
 
04. Determinado produto está sendo vendido por $ 1.800,00 a vista, ou em 3 pagamento mensais e 
iguais de $ 650,00. Estando atualmente em 3,3% a.m. as taxas de juros de mercado, a melhor alternativa 
de compra é a compra à vista. 
( )Certo ( )Errado 
 
05. Determinada mercadoria é vendida por $ 2.500,00 a vista ou por 20% de entrada mais prestações 
mensais de $ 309,00. Sendo de 2% a.m. a taxa corrente de juros, determinar o número de prestações 
mensais. 
(Dado: log 1,2 = 0,008600 e log 0,870550 = − 0,060206) 
(A) 6 prestações 
(B) 7 prestações 
(C) 8 prestações 
(D) 9 prestações 
(E) 10 prestações 
 
06. Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 4.000,00. Para 
uma taxa de juros de 2,6% a.m., até que preço compensa adquirir o aparelho à vista? 
(A) $ 25.000,00 
(B) $ 26.001,18 
(C) $ 23.300,18 
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15 
 
(D) $ 25.301,18 
(E) $ 21.201,00 
 
07. Um veículo novo está sendo vendido por $ 4.000,00 de entrada mais 6 pagamentos mensais, iguais 
e consecutivos de $ 3.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5,5% a.m., determinar 
até que preço interessa comprar o veículo a vista. 
(A) 18.986,59 
(B) 20.586,59 
(C) 17.746,50 
(D) 16.500,50 
(E) 19.999,59 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
 
 
PV = 700,00 + [700,00 x FPV (3,5%, 4)] 
PV = 700,00 + (700,00 x 3,673079) 
PV = R$ 3.271,16 
 
02. Resposta: C. 
 
 
FV = PMT x FFV (i, n) 
7.000,00 = PMT x FFV (1,7%, 10) 
7.000,00 = PMT x 10,800733 
 
PMT = 
7.000,00
10,800733
= 𝑅$ 648,10 
 
03. Resposta: E. 
 
 
 Valor a financiar = 30.000,00 - 9.000,00 = $ 21.000,00 
PV = PMT x FPV (2%, 6) x FAC (2%, 1) 
 
21.000,00 = PMT x 
1− (1,02)−6
0,02
 x (1,02)-1 
 
21.000,00 = PMT x 5,601431 x 0,980392 
21.000,00 = pmt X 5.491598 
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16 
 
PMT = 
21.000,00
5,491598
 = $ 3.824,02 
 
04. Resposta: Certo. 
A indicação da alternativa de compra mais interessante pode ser obtida pelo valor presente das duas 
propostas (escolhe-se evidentemente aquela de menor PV), ou pela determinação do custo mensal da 
venda a prazo (o percentual apurado é comparado com a taxa de mercado). 
PV (a vista) = $ 1.800,00 
PV = (a prazo) = 650,00 x FPV (3,3%, 3) 
 650,000 x 2,812375 
 = $ 1.828,04 
 
A venda a prazo, por apresentar um PV maior que o valor a vista, indica um custo maior que a taxa de 
mercado (3,3% a.m.). Interessa a compra à vista. 
O custo mensal da compra a prazo é calculado: 
 
PV = PMT x FPV (i, n) 
 
1.800,00 = 650,00 x 
1− (1+𝑖)−3
𝑖
 
i = 4,11% a.m. 
Confirma-se um custo embutido na venda a prazo de 4,11% a.m. maior que os juros de mercado (3,3% 
a.m.). 
 
05. Resposta: B. 
Valor a financiar: 2.500,00 - 20% = $ 2.000,00 
PV = PMT + FPV (i, n) 
2.000,00 = 309,00 x FPV (2,0%, n) 
2.000,00
309,00
 x 0,02 = 1 - (1,02)-n 
 
0,129450 = 1 - (1,02)-n 
(1,02)-n = 0,870550 
 
Aplicando-se a propriedade de logaritmo: 
- n x log 1,02 = log 0,870550 
 
n = - 
log 0,870550
log 1,02
 
 
n = - 
− 0,060206
0,008600
 = 7 meses (prestações mensais) 
 
06. Resposta: D. 
PMT = $ 4.000,00 PV= ? 
𝑖 = 2,6 % 𝑎. 𝑚. 
𝑛 = 7 
 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 
1− (1+𝑖)−𝑛
𝑖
 
 
Ou 
 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝑃𝑉 (𝑖, 𝑛) 
 
𝑃𝑉 = 4.000,00 × 
1− (1,026)−7
0,026
 
 
𝑃𝑉 = 4.000,0 × 6,325294 = $ 25.301,18. 
 
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17 
 
O valor presente pode também ser calculado pela atualização de cada uma dos termos do fluxo, ou 
seja: 
 
𝑃𝑉 = 
4.000,00
(1,026)
+ 
4.000,00
(1,026)2
 + 
4.000,00
(1,026)3
 + ... + 
4.000,00
(1,026)7
 
 
Resolvendo-se a expressão chega-se, evidentemente, ao mesmo resultado: PV = $ 25.301,18. 
 
07. Resposta: A. 
 
O preço à vista é formado pela entrada de $ 4.000,00 mais a soma dos valores atuais das prestações 
de $ 3.000,00 cada, ou seja: 
PV = Entrada + [PMT x FPV (i,n)] 
PV = 4.000,00 + 3.000,00 x FPV (5,5%, 6) 
PV = 4.000,00 + 3.000,00 x 4,995530 
PV = 18.986,59 
 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 
A equivalência de capitais4 é uma das ferramentas mais poderosas da matemática financeira e tem 
sido constantemente pedida nas provas de concursos públicos. 
Aprendemos a calcular o Montante, em uma Data Fatura, de um capital que se encontrava na data 
presente. Relativo a descontos, aprendemos a calcular o Valor Atual, em uma Data Presente, de um valor 
nominal que se encontrava em uma data futura. 
 
Conceito de Equivalência 
 
Dois ou mais capitais que se encontram em datas diferentes, são chamados de equivalentes quando, 
levados para uma mesma data, nas mesmas condições, apresentam o mesmo VALOR nessa data. 
Para você entender melhor esse conceito, vamos lhe propor um problema. Vamos fazer de conta que 
você ganhou um prêmio em dinheiro no valor de R$ 100,00, que se encontra aplicado, em um banco, à 
taxa de juros simples de 10% a.m. O banco lhe oferece três opções para retirar o dinheiro: 
 
1a) você retira R$ 100,00 hoje; 
2a) você deixa o dinheiro aplicadoe retira R$ 140,00 dentro de 4 meses; 
3a) você deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 190,00 em 9 meses. 
 
Qual delas é a mais vantajosa para você? 
Para sabermos a resposta, precisamos encontrar um jeito de comparar os capitais R$ 100,00, R$ 
140,00, e R$ 190,00, que se encontram em datas diferentes. Vamos determinar, então, o valor dos três 
capitais numa mesma data ou seja, vamos atualizar os seus valores. Escolheremos a data de hoje. A 
Data Comum, também chamada de Data de Comparação ou Data Focal, portanto, vai ser hoje (= data 
zero). 
O capital da primeira opção (R$ 100,00) já se encontra na data de hoje; portanto, já se encontra 
atualizado. 
Calculemos, pois, os valores atuais Va1 e Va2 dos capitais futuros R$ 140,00 e R$ 190,00 na data de 
hoje (data zero). Esquematizando, a situação seria esta: 
Podemos fazer este cálculo usando desconto comercial simples ou desconto racional simples. Vamos, 
arbitrariamente, escolher a fórmula do valor atual racional simples: 
Vars = 
N
1 + in
 
 
 
4
SAMANEZ, C.P., Matemática Financeira, 3ª edição. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2002. 
NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas Aplicações.12 ed. São Paulo: Atlas, 2012. 
NETTO, Scipione Di Pierro; TEIXEIRA, James. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1998. 
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18 
 
Vars1 = 
140,00
1 + 0,10 .4
 = 100,00 
 
Vars2 = 
190,00
1 + 0,10 .9
 = 100,00 
Verificamos que os três capitais têm valores atuais idênticos na data focal considerada (data zero). 
Podemos, portanto, dizer que eles são Equivalentes: tanto faz receber R$ 100,00 hoje, ou R$ 140,00 
daqui a 4 meses ou R$ 190,00 daqui a nove meses, se a taxa de juros for de 10% ao mês e o desconto 
racional simples. 
Vejamos o que acontece se utilizarmos o critério do desconto comercial, em vez do desconto racional, 
para calcular os valores atuais dos capitais R$ 140,00 e R$ 190,00: 
Vacs = N (1 – in) 
Vacs1 = 140 ( 1 – 0,10 . 4) = 140 (0,6) = 84 
Vacd2 = 190 (1 – 0,10 . 9) = 190 (0,1) = 19 
Mudando-se a modalidade de desconto, portanto, os três capitais deixam de ser equivalentes. 
E se mudarmos a data de comparação, ou data focal, para o mês 2, por exemplo, continuando a utilizar 
o desconto racional simples? 
Acontecerá o seguinte: 
 
O capital R$ 140,00, resgatável na data 4, será antecipado de 2 meses, ficando com o seguinte valor 
atual racional simples: 
Vars1 = 
140,00
1 + 0,10 .2
 = 116,67 
 
O capital R$ 190,00, resgatável na data 9, será antecipado de 7 meses, ficando com o seguinte valor 
atual racional simples: 
Vars2 = 
190,00
1 + 0,10 .7
 = 111,76 
 
Ao capital R$ 100,00 (resgatável na data zero) acrescentar-se-ão dois meses de juros, conforme 
segue: 
Vars3 = C (1 + in) = 100 (1 + 0,10 . 2) = 120 
 
No mês dois, portanto, temos que os capitais nominais R$ 140,00; R$ 190,00 e R$ 100,00 estarão 
valendo, respectivamente, R$ 116,67; R$ 111,76 e R$ 120,00. Na data focal 2, portanto, eles não serão 
mais equivalentes. 
No regime de capitalização Simples a equivalência ocorre em apenas uma única data, para uma 
determinada taxa e modalidade de desconto. Ao mudarmos a Data Focal, capitais que antes eram 
equivalentes podem deixar sê-lo. É bom você saber desde já que, no regime de capitalização Composta, 
isto não acontece: na capitalização composta, para a mesma taxa, capitais equivalentes para uma 
determinada data o são para qualquer outra data. 
Podemos então concluir que: 
Para juros simples, a equivalência entre dois ou mais capitais somente se verifica para uma 
determinada taxa, para uma determinada data focal e para uma determinada modalidade de desconto. 
Podemos, agora, definir equivalência de dois capitais de uma mesma maneira mais rigorosa da 
seguinte forma: 
Dois capitais C1 e C2, localizados nas datas n1 e n2, medidas a partir da mesma origem, são ditos 
equivalentes com relação a uma data focal F, quando os seus respectivos valores atuais, Va1 e Va2 , 
calculados para uma determinada taxa de juros e modalidade de desconto nessa data focal F, forem 
iguais. 
A equivalência de capitais é bastante utilizada na renegociação de dívidas, quando há necessidade de 
substituir um conjunto de títulos por um outro conjunto, equivalente ao original (isto porque o conceito de 
equivalência é aplicado não só para dois capitais, mas também para grupos de capitais). 
Às vezes um cliente faz um empréstimo num banco e se compromete e quitá-lo segundo um 
determinado plano de pagamento. Todavia, devido a contingências nos seus negócios, ele percebe que 
não terá dinheiro em caixa para pagar as parcelas do financiamento nas datas convencionadas. Então, 
propõe ao gerente do banco um outro esquema de pagamento, alterando as datas de pagamento e os 
respectivos valores nominais de forma que consiga honrá-los, mas de tal sorte que o novo esquema seja 
EQUIVALENTE ao plano original. 
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19 
 
No cálculo do novo esquema de pagamento, a visualização do problema fica bastante facilitada com 
a construção de um diagrama de fluxo de caixa no qual representa-se a dívida original na parte superior, 
e a proposta alternativa de pagamento na parte de baixo, conforme se vê nos problemas a seguir. 
 
 
 
 
Equação de Valor 
 
Em síntese, para que um conjunto de títulos de valores nominais N1, N2, N3 …, exigíveis nas datas n1, 
n2, n3 …, seja equivalente a um outro conjunto de títulos Na , Nb , Nc …, exigíveis nas datas na , nb , nc …, 
basta impormos que a soma dos respectivos valores atuais Va1 , Va2 , Va3 … dos títulos do primeiro 
conjunto, calculados na data focal considerada, seja igual à soma dos valores atuais Vaa , Vab , Vac … dos 
títulos do segundo conjunto, calculados para essa mesma data, isto é: 
Va1 + Va2 + Va3 + … = Vaa + Vab + Vac + … 
A equação acima é chamada de Equação de Valor. 
 
Roteiro para Resolução de Problemas de Equivalência 
 
Ao começar a resolução de problemas que envolvem equivalência de capitais utilize o seguinte roteiro: 
1. leia o problema todo; 
2. construa, a partir do enunciado do problema, um diagrama de fluxo de caixa esquemático, colocando 
na parte de cima o plano original de pagamento e na parte de baixo o plano alternativo proposto, indicando 
todos os valores envolvidos, as datas respectivas e as incógnitas a serem descobertas – esse diagrama 
é importante porque permite visualizar os grupos de capitais equivalentes e estabelecer facilmente a 
equação de valor para resolução do problema; 
3. observe se os prazos de vencimento dos títulos e compromissos estão na mesma unidade de 
medida de tempo periodicidade da taxa; se não estiverem, faça as transformações necessárias (ou você 
expressa a taxa na unidade de tempo do prazo ou expressa o prazo na unidade de tempo da taxa – 
escolha a transformação que torne os cálculos mais simples); 
4. leve todos os valores para a data escolhida para a negociação (data focal), lembrando sempre que 
capitais exigíveis antes da data focal deverão ser capitalizados através da fórmula do montante M = C (1 
+ in), dependendo da modalidade de desconto utilizada; 
5. tendo transportado todos os capitais para a data focal e com base no diagrama de fluxo de caixa 
que você esquematizou, monte a EQUAÇÃO DE VALOR, impondo que a soma dos valores dos títulos 
(transportados para a data focal) da parte de cima do diagrama de fluxo de caixa seja igual à soma dos 
valores dos títulos (transportados para a data focal) da parte de baixo do diagrama de fluxo de caixa; 
6. resolva a equação de valor; 
7. releia a PERGUNTA do problema e verifique se o valor que você encontrou corresponde ao que o 
problema está pedindo (às vezes, devido à pressa, o candidato se perde nos cálculos, encontra um 
resultado intermediário e assinala a alternativa que o contém, colocada ali para induzi-lo em erro, quando 
seria necessário ainda um passo amais para chegar ao resultado final correto). 
 
Desconto e Equivalência 
 
Por fim, gostaríamos de dar uma dica para ajudá-lo a perceber quando um problema é de desconto e 
quando é de equivalência. Em linhas gerais, nos problemas de Desconto, alguém quer vender papéis 
(duplicatas, promissórias, letras de câmbio, etc.), enquanto que nos problemas de Equivalência, alguém 
quer financiar ou refinanciar uma dívida. 
 
Questões 
 
1. No refinamento de uma dívida, dois títulos, um para 6 meses e outro 12 meses, de R$ 2.000,00 e 
de R$ 3.000,00, respectivamente, foram substituídos por dois outros, sendo o primeiro de R$ 1.000,00, 
para 9 meses, e o segundo para 18 meses. A taxa de desconto comercial simples é de 18% a.a. O valor 
do título de 18 meses, em R$, é igual a: 
(A) 4.678,08 
(B) 4.000,00 
(C) 6.000,88 
1679071 E-book gerado especialmente para ANTONIO ALVES DA COSTA NETO
 
20 
 
(D) 4.500,48 
(E) 4.288,00 
 
2. O pagamento do seguro de um carro, conforme contrato, deve ser feito em 3 parcelas quadrimestrais 
de R$ 500,00. O segurador, para facilitar ao seu cliente, propõe-lhe o pagamento em 4 parcelas trimestrais 
iguais. Utilizando-se a data focal zero, a taxa de juros de 24% a.a. e o critério de desconto racional 
simples, o valor das parcelas trimestrais será, em R$: 
(A) 258,68 
(B) 453,68 
(C) 285,89 
(D) 300,00 
(E) 371,68 
 
3. A aplicação de R$ 2.000,00 foi feita pelo prazo de 9 meses, contratando-se a taxa de juros de 28% 
a.a. Além dessa aplicação, existe outra de valor nominal R$ 7.000,00 com vencimento a 18 meses. 
Considerando-se a taxa de juros de 18% a.a., o critério de desconto racional e a data focal 12 meses, a 
soma das aplicações é, em R$: 
(A) 8.000,92 
(B) 9.950,92 
(C) 8.000,00 
(D) 8.950,92 
(E) 9.000,00 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A. 
A taxa de juros é anual. Entretanto, como os prazos de pagamento estão expressos em meses, vamos 
transformá-la em mensal: 
i = 18% a.a. = 1,5% a.m. = 0,015 a.m. 
A modalidade de desconto é o comercial simples, mas o problema não mencionou qual a data focal a 
ser considerada. Em casos como este, presumimos que a data focal seja a data zero. 
Vamos, então, calcular o total da dívida na data zero para cada um dos planos de pagamento, e igualar 
os resultados, pois os dois esquemas devem ser equivalentes para que se possa substituir um pelo outro. 
Além disso, para transportarmos os capitais para a data zero, utilizaremos a fórmula do valor atual do 
desconto comercial simples: 
Vacs = N (1 – in). Obteremos a seguinte equação: 
2.000 (1 – 0,015 . 6) + 3.000 (1 – 0,015 .12) = 1.000 (1 – 0,015 . 9) + x (1 – 0,015 . 18) (total da dívida 
conforme o plano Alternativo Original de pagamento, proposto, atualizado para a data zero). 
Calculando o conteúdo dos parênteses, temos: 
2.000 (0,91) + 3.000 (0,82) = 1.000 (0,865) + x (0,73) 
1.820 + 2.460 = 865 + 0,73x 
0,73x = 1.820 + 2.460 – 865 
x = 3.415/0,73 = 4.678,08 
 
02. Resposta: E. 
Fazendo o diagrama dos pagamentos, temos: 
i = 24% a.a. = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
Uma vez que o critério é de desconto racional simples, ao transportarmos os valores para a data zero, 
teremos que utilizar a fórmula do valor atual racional simples 
Vars = N/1 + in . Podemos escrever, então, que: 
Total da dívida conforme o plano original de pagamento, atualizado racionalmente para a data zero 
500/1 + 0,02 . 4 + 500/1 + 0,02 . 8 + 500/1 + 0,02 . 12 = x/1 + 0,02 . 3 + x/1 + 0,02 . 6 + x/1 + 0,02 . 9 + 
x/1 + 0,02 . 12 
Total da dívida conforme o plano alternativo proposto, atualizado racionalmente para a data zero 
500/1,08 + 500/1,16 + 500/1,24 = x/1,06 + x/1,12 + x/1,18 + x/1,24 
1.297,22 = 3,49 . x 
x = 1.297,22/3,49 
x = 371,68 
 
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21 
 
03. Resposta: D. 
Inicialmente, precisamos calcular o valor nominal da primeira aplicação. Considerando n = 9 meses = 
0,75 anos, temos que: 
N = C (1 + in) 
N = 2.000 (1 + 0,28 . 0,75) = 2.000 (1,21) = 2.420 
Observando o diagrama de fluxo de caixa, vemos que, para serem transportados à data doze, o título 
de 2.420 terá que ser capitalizado de três meses, ao passo que o título de 7.000 terá que ser 
descapitalizado de 6 meses. Além disso, a taxa de 18% a.a., considerando-se capitalização simples, é 
equivalente a 1,5% a.m. = 0,015 a.m. Desta forma, podemos escrever que: 
2.420 (1 + 0,015 . 3) + 7.000/1 + 0,015 . 6 = x 
2.420 (1,045) + 7.000/1,09 = x 
2.528,9 + 6.422,02 = x 
x = 8.950,92 
 
 
 
JUROS SIMPLES5 
 
Em regime de juros simples (ou capitalização simples), o juro é determinado tomando como base 
de cálculo o capital da operação, e o total do juro é devido ao credor (aquele que empresta) no final da 
operação. As operações aqui são de curtíssimo prazo, exemplo: desconto simples de duplicata, entre 
outros. 
No juros simples o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. 
 
- Os juros são representados pela letra J. 
- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C 
(capital) ou P(principal) ou VP ou PV (valor presente) *. 
- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t ou n.* 
- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representado 
pela letra i e utilizada para calcular juros. 
 
*Varia de acordo com a literatura estudada. 
 
Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação. 
 
Exemplo 
1) Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 4. 000,00, pelo prazo de 5 meses, 
à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros? 
 
Resposta 
- Capital aplicado (C): R$ 4.000,00 
- Tempo de aplicação (t): 5 meses 
 
5 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
2 - Juros simples - Cálculo do montante, dos juros, da taxa de juros, do principal 
e do prazo da operação financeira. 3 - Juros compostos - Cálculo do montante, 
dos juros, da taxa de juros, do principal e do prazo da operação financeira. 
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22 
 
- Taxa (i): 3% ou 0,03 a.m. (= ao mês) 
 
Fazendo o cálculo, mês a mês: 
- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,03 x R$ 4.000,00 = R$ 120,00 
- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 120,00 = R$ 240,00 
- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 240,00 + R$ 120,00 = R$ 360,00 
- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 360,00 + R$ 120,00 = R$ 480,00 
- No final do 5º período (5 meses), os juros serão: R$ 480,00 + R$ 120,00 = R$ 600,00 
 
Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 600,00 de juros. 
 
Fazendo o cálculo, período a período: 
- No final do 1º período, os juros serão: i.C 
- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C 
- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C 
-------------------------------------------------------------------------- 
- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C 
 
Portanto, temos: 
J = C . i . t 
 
1) O capital cresce linearmente com o tempo; 
2) O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J=C.i 
3) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
4) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal. 
5) Chamamos de montante (M) ou FV (valor futuro) a soma do capital com os juros, ou seja: 
Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos 
calcular o 4º valor. 
 
M = C + J → M = C.(1+i.t) 
 
Exemplo 
A que taxa esteve empregado o capital de R$ 25.000,00 para render, em 3 anos, R$ 45.000,00 de 
juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.) 
 
C = R$ 25.000,00 
t = 3 anos 
j = R$ 45.000,00 
i = ? (ao ano) 
 j = 
100
.. tiC
 
45 000 = 
100
3..25000i
 
45 000 = 750 . i 
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23 
 
i = 
750
000.45
 
i = 60 
Resposta: 60% ao ano. 
 
Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo for 
em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente. 
 
Questões 
 
01. (AL/RR – Economista – FUNRIO/2018) Paulo contraiu uma dívida do Banco X, no valor de R$ 
400,00 que foi quitada em dois trimestres, depois de contraída. 
A taxa linear mensal praticada pelo Banco X, que teve como resultado a cobrança de juros de R$ 
150,00, foi de 
(A) 8,70%. 
(B) 7,50%. 
(C) 6,25%. 
(D) 5,10%. 
 
02. (EBSERH – Técnico em Contabilidade – CESPE/2018) No que se refere a matemática financeira 
e finanças, julgue o item seguinte. 
Se R$ 10.000 forem aplicados pelo prazo de 45 dias à taxa de juros simples de 12% ao ano, o montante 
ao final do período será inferior a R$ 10.140. 
( )Certo ( )Errado 
 
03. (BANESTES – Assistente Securitário – FGV/2018) Caso certa dívida não seja paga na data do 
seu vencimento, sobre ela haverá a incidência de juros de 12% a.m.. Se essa dívida for quitada com 
menos de um mês de atraso, o regime utilizado será o de juros simples. 
Considerando-se o mês comercial (30 dias), se o valor dessa dívida era R$ 3.000,00 no vencimento, 
para quitá-la com 8 dias de atraso, será preciso desembolsar: 
(A) R$ 3.096,00; 
(B) R$ 3.144,00; 
(C) R$ 3.192,00; 
(D) R$ 3.200,00; 
(E) R$ 3.252,00. 
 
04. (BANPARÁ – Técnico Bancário – INAZ do Pará) Na capitalização de juros simples: 
(A) A capitalização de juros ocorre sobre o capital inicial 
(B) Os juros são pagos no vencimento, que é fixo. 
(C) Os juros são pagos durante o período de capitalização 
(D) Os juros são incorporados ao capital durante a capitalização 
(E) Todas as alternativas acima estão erradas 
 
05. (IESES) Uma aplicação de R$ 1.000.000,00 resultou em um montante de R$ 1.240.000,00 após 
12 meses. Dentro do regime de Juros Simples, a que taxa o capital foi aplicado? 
(A) 1,5% ao mês. 
(B) 4% ao trimestre. 
(C) 20% ao ano. 
(D) 2,5% ao bimestre. 
(E) 12% ao semestre. 
 
06. (EXATUS-PR) Mirtes aplicou um capital de R$ 670,00 à taxa de juros simples, por um período de 
16 meses. Após esse período, o montante retirado foi de R$ 766,48. A taxa de juros praticada nessa 
transação foi de: 
(A) 9% a.a. 
(B) 10,8% a.a. 
(C) 12,5% a.a. 
(D) 15% a.a. 
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24 
 
07. (UMA Concursos) Qual o valor do capital que aplicado por um ano e meio, a uma taxa de 1,3% 
ao mês, em regime de juros simples resulta em um montante de R$ 68.610,40 no final do período? 
(A) R$ 45.600,00 
(B) R$ 36.600,00 
(C) R$ 55.600,00 
(D) R$ 60.600,00 
08. (TRF- 3ª REGIÃO – Analista Judiciário – FCC) Em um contrato é estabelecido que uma pessoa 
deverá pagar o valor de R$ 5.000,00 daqui a 3 meses e o valor de R$ 10.665,50 daqui a 6 meses. Esta 
pessoa decide então aplicar em um banco, na data de hoje, um capital no valor de R$ 15.000,00, durante 
3 meses, sob o regime de capitalização simples a uma taxa de 10% ao ano. No final de 3 meses, ela 
resgatará todo o montante correspondente, pagará o primeiro valor de R$ 5.000,00 e aplicará o restante 
sob o regime de capitalização simples, também durante 3 meses, em outro banco. Se o valor do montante 
desta última aplicação no final do período é exatamente igual ao segundo valor de R$ 10.665,50, então 
a taxa anual fornecida por este outro banco é, em %, de 
(A) 10,8%. 
(B) 9,6%. 
(C) 11,2%. 
(D) 12,0%. 
(E) 11,7%. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
O capital será de: 400,00 
2 trimestres: 2.3 = 6 meses 
J = 150 reais. 
Utilizando a fórmula básica para juros compostos teremos: 
 
j = 
100
.. tiC
 
150 . 100 = 400 . i . 6 
 i = 
15000
2400
 = 6,25% ao mês 
 
02. Resposta: Errado 
Pela fórmula de juros simples teremos j = 
100
.. tiC
 
Mas antes devemos converter os dados para a mesma unidade de tempo. 
i = 12% ao ano = 1% ao mês 
t = 45 dias = 1,5 meses 
C = 10000 
Montante foi de 10140, logo o juros foi de 10140 – 10000 = 140 reais. 
Vamos lá! 
j = 
100
.. tiC
 
j = 
10000 . 1 . 1,5
100
 = 
15000
100
 = 150 reais, que é superior à 140 reais conforme dito no enunciado. 
 
03. Resposta: A 
Antes de resolvermos devemos fazer as devidas conversões, vamos lá! 
i = 12% ao mês = 12 : 30 = 0,4% ao dia 
 
j = 
100
.. tiC
 
j = 
3000 . 0,4 . 8
100
 = 
9600
100
 = 96 reais 
 
Assim deverá pagar 3000 + 96 = 3096 reais 
 
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25 
 
04. Resposta: A 
Na capitalização simples o juros sempre incide sobre o capital inicial, por isto a alternativa A está 
correta. 
 
05. Resposta: E 
C = 1.000.000,00 
M = 1.240.000,00 
t = 12 meses 
i = ? 
M = C.(1+it) → 1240000 = 1000000(1 + 12i) → 1 + 12i = 1240000 / 1000000 → 1 + 12i = 1,24 → 12i = 
1,24 – 1 → 12i = 0,24 → i = 0,24 / 12 → i = 0,02 → i = 0,02x100 → i = 2% a.m 
Como não encontramos esta resposta nas alternativas, vamos transformar, uma vez que sabemos a 
taxa mensal: 
Um bimestre tem 2 meses → 2 x 2 = 4% a.b. 
Um trimestre tem 3 meses → 2 x 3 = 6% a.t. 
Um semestre tem 6 meses → 2 x 6 = 12% a.s. 
Um ano tem 1 ano 12 meses → 2 x 12 = 24% a.a. 
 
06. Resposta: B 
Pelo enunciado temos: 
C = 670 
i = ? 
n = 16 meses 
M = 766,48 
Aplicando a fórmula temos: M = C.(1+in) → 766,48 = 670 (1+16i) → 1 + 16i = 766,48 / 670 →1 + 16i = 
1,144 → 16i = 1,144 – 1 → 16i = 0,144 → i = 0,144 / 16 → i = 0,009 x 100 → i = 0,9% a.m. 
Observe que as taxas das alternativas são dadas em ano, logo como 1 ano tem 12 meses: 0,9 x 12 = 
10,8% a.a. 
 
07. Resposta: C 
C = ? 
n = 1 ano e meio = 12 + 6 = 18 meses 
i = 1,3% a.m = 0,013 
M = 68610,40 
Aplicando a fórmula: M = C (1+in) → 68610,40 = C (1+0,013.18) → 68610,40 = C (1+0,234) → C = 
68610,40 = C.1,234 → C = 68610,40 / 1,234 → C = 55600,00. 
 
08. Resposta: C 
j= 15.000*0,10*0,25 (0,25 é 3 meses/12) 
j=15.000*0,025 
j=375,00 
Montante 15.000+375,00= 15.375,00 
Foi retirado 5.000,00, então fica o saldo para nova aplicação de 10.375,00 o valor a pagar da segunda 
parcela (10.665,50) é o mesmo valor do saldo da aplicação dos 10.375,00 em 03 meses. 
10.665,50-10.375,00= 290,50, esse foi o juros, então é só aplicar a fórmula dos juros simples. 
j=c.i.t 
290,5=10.375,00*i*0,025 
290,5=2.593,75*i 
i= 290,5/2.593,75 
i= 0,112 
i=0,112*100=11,2% 
JUROS COMPOSTOS 
 
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas 
modalidades, a saber: 
 
Juros simples (capitalização simples) – a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial. 
Juros compostos (capitalização composta) – a taxa de juros incide sobre o capital de cada 
período. Também conhecido como "juros sobre juros". 
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26 
 
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as 
quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros 
compostos6 na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. 
 
Exemplo 
Considere o capital inicial (C) $1500,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i 
= 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (capital + juros), mês a mês: 
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1500 x 1,1 = 1650 = 1500(1 + 0,1) 
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1650 x 1,1 = 1815 = 1500(1 + 0,1)2 
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1815 x 1,1 = 1996,5 = 1500(1 + 0,1)3 
..................................................................................................... 
Após o nº (enésimo) mês, sendo M o montante, teremos evidentemente: M = 1500(1 + 0,1)t 
De uma forma genérica, teremos para um capital C, aplicado a uma taxa de juros compostos (i) durante 
o período (t): 
M = C (1 + i)t 
 
Onde: 
M = montante, 
C = capital, 
i = taxa de juros e 
t = númerode períodos que o capital C (capital inicial) foi aplicado. 
(1+i)t ou (1+i)n = fator de acumulação de capital 
 
Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (t), tem de 
ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! 
Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês 
durante 3x12=36 meses. 
 
Graficamente temos, que o crescimento do principal(capital) segundo juros simples é LINEAR, 
CONSTANTE enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, GEOMÉTRICO 
e, portanto tem um crescimento muito mais "rápido". 
 
 
- O montante no 1º tempo é igual tanto para o regime de juros simples como para juros 
compostos; 
- Antes do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros simples; 
- Depois do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros compostos. 
 
Juros Compostos e Logaritmos 
Para resolução de algumas questões que envolvam juros compostos, precisamos ter conhecimento de 
conceitos de logaritmos, principalmente aquelas as quais precisamos achar o tempo/prazo. É muito 
comum ver em provas o valor dado do logaritmo para que possamos achar a resolução da questão. 
 
Exemplo 
Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de 
quanto tempo este capital estará duplicado? 
Resolução 
Sabemos que M = C (1 + i)t. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos M = 2C. 
Substituindo, vem: 2C = C(1+0,02)t [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%] 
 
6 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
1679071 E-book gerado especialmente para ANTONIO ALVES DA COSTA NETO
 
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Simplificando, fica: 
2 = 1,02t , que é uma equação exponencial simples. 
Teremos então: t = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35 
 
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas 
calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular ou concurso, o examinador teria de 
informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que 
não é comum no Brasil. 
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é 
mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses. 
Resposta: 2 anos e 11 meses. 
 
- Em juros simples quando a taxa de juros(i) estiver em unidade diferente do tempo(t), pode-se 
colocar na mesma unidade de (i) ou (t). 
- Em juros compostos é preferível colocar o (t) na mesma unidade da taxa (i). 
 
Questões 
 
01. (UFLA – Administrador – UFLA/2018) A alternativa que apresenta o valor futuro correto de uma 
aplicação de R$ 100,00 à taxa de juros compostos de 10% ao ano pelo período de dois anos é: 
(A) R$ 121,00 
(B) R$ 112,00 
(C) R$ 120,00 
(D) R$ 110,00 
 
02. (BANPARÁ – Técnico Bancário – FADESP/2018) Na realização de um empréstimo de R$ 
8.000,00 por três meses, havia duas possibilidades de sistema a considerar: juros simples a 5%a.m ou 
juros compostos a 4%a.m. Comparando os montantes obtidos nesses dois sistemas, é correto afirmar 
que o de juros simples é, aproximadamente, 
(A) inferior ao de juros compostos em R$ 300,00. 
(B) inferior ao de juros compostos em R$ 200,00. 
(C) igual ao de juros compostos. 
(D) superior ao de juros compostos em R$ 200,00. 
(E) superior ao de juros compostos em R$ 300,00. 
 
03. (STM – Analista Judiciário – CESPE/2018) Uma pessoa atrasou em 15 dias o pagamento de uma 
dívida de R$ 20.000, cuja taxa de juros de mora é de 21% ao mês no regime de juros simples. 
Acerca dessa situação hipotética, e considerando o mês comercial de 30 dias, julgue o item 
subsequente. 
No regime de juros compostos, o valor dos juros de mora na situação apresentada será R$ 100 menor 
que no regime de juros simples. 
( )Certo ( )Errado 
 
04. (TRANSPETRO – Engenheiro Junior – CESGRANRIO/2018) Uma empresa captou R$ 100.000 
reais a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. 
Ao cabo de seis meses no futuro, essa dívida terá um valor em reais, no presente, de 
(A) R$ 103.030 
(B) R$ 104.060 
(C) R$ 105.101 
(D) R$ 106.000 
(E) R$ 106.152 
 
05. (EXÉRCITO BRASILEIRO) Determine o tempo necessário para que um capital aplicado a 20 % a. 
m. no regime de juros compostos dobre de valor. Considerando que log 2 = 0,3 e log 1,2 = 0,08. 
(A) 3,75 meses. 
(B) 3,5 meses. 
(C) 2,7 meses. 
(D) 3 meses. 
(E) 4 meses. 
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28 
 
06. (FCC) Saulo aplicou R$ 45 000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu 
objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava 
R$ 135 000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos 
anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa? 
Dado: (Use a aproximação: log 3 = 0,48) 
(A) 15 
(B) 12 
(C) 10 
(D) 9 
(E) 6 
 
07. (CESGRANRIO) Um investimento de R$1.000,00 foi feito sob taxa de juros compostos de 3% ao 
mês. Após um período t, em meses, o montante foi de R$1.159,27. Qual o valor de t? (Dados: ln(1.000) 
= 6,91; ln(1.159,27) = 7,06; ln(1,03) = 0,03). 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
08. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE-GO/2017) Fábio aplicou R$ 1.000,00 em uma aplicação 
que rende juros compostos de 2% ao mês. Ao final de 3 meses qual será o montante da aplicação de 
Fábio, desprezando-se as casas decimais? 
(A) R$ 1.060 
(B) R$ 1.061 
(C) R$ 1.071 
(D) R$ 1.029 
(E) R$ 1.063 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
C = 100 
i = 10%a.a = 0,1 
t = 2 anos (taxa e tempo na mesma unidade, ok!) 
M = ? 
 
M = 100.(1 + 0,1)² 
M = 100.1,21 = 121 reais 
 
02. Resposta: D 
Nesta questão precisamos calcular o valor obtido no regime de juros simples e o valor obtido em juros 
compostos, para depois calcularmos. 
- Juros Simples 
M = ? 
J = ? 
C = 8000 
i = 5%a.m. = 0,05 
t = 3 meses 
J = 8000.0,05.3 = 1200 
M = 8000 + 1200 = 9200 
 
- Juros compostos 
 
M = ? 
C = 8000 
i = 4% a.m. = 0,04 
t = 3 meses 
M = 8000.(1 + 0,04)³ = 8000.1,04³ = 8998,12 
1679071 E-book gerado especialmente para ANTONIO ALVES DA COSTA NETO
 
29 
 
Fazendo a variação entre os valores teremos 9200 – 8998,12 = 201,09, que aproximadamente será 
200 reais, assim o sistema de juros simples será superior em 200 reais se compararmos com o regime 
de juros compostos. 
 
03. Resposta: Certo 
Neste exercício devemos saber no regime de juros simples e no regime de juros compostos para então 
podermos compará-los. 
 
- Juros Simples 
C = 20000 
i = 21%a.m. = 0,21 
t = 15 dias (observe que a taxa e o tempo estão em unidades diferentes, assim iremos converter o 
tempo na unidade da taxa) 
t = 15/30 = ½ mês 
 
J = 20000.0,21 . 
1
2
 = 2100 
 
- Juros Compostos 
C = 20000 
i = 21%a.m. = 0,21 
t = 15 dias (observe que a taxa e o tempo estão em unidades diferentes, assim iremos converter o 
tempo na unidade da taxa) 
t = 15/30 = ½ mês 
 
M = 20000.( 1 + 0,21)
1
2 
M = 20000.1,21
1
2 
Muita atenção neste momento, pois o expoente é uma fração e para isto você deve lembrar de algumas 
propriedades de potência, 𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛
, portanto no nosso exercício temos 1,21
1
2 = √1,211
2
= √1,21
2
 = 1,1. 
 
Prosseguindo, 
M = 20000.1,21
1
2 
M = 20000.√1,21
2
 
M = 20000.1,1 = 22000 
 
Sendo de Juros = 22000 – 20000 = 2000 
Portanto em juros simples = 2100 
Juros compostos = 2000 
Em juros simples é 100 reais maior que em juros compostos 
 
04. Resposta: E 
Vamos captar as informações: 
M = ? 
C = 100000 
i = 1%a.m. = 0,01 
t = 6meses 
 
M = 100000.(1 + 0,01)6 
M = 100000.1,016 
M = 100000. 1,06152 = 106152 reais 
 
05. Resposta: A 
M=C(1+i)t 
2C=C(1+0,2)t 
2=1,2t 
Log2=log1,2t 
Log2=t.log1,2 → 0,3=0,08t → T=3,75 meses 
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30 
 
06. Resposta: B 
M = C. (1 + i)t 
C =45.000 
i = 0,2 
-------------------- 
C = 135.000 
i= 0,08 
45.000 (1+ i)t = 135.000 (1 + i)t 
45.000 (1 + 0,2)t = 135.000 (1 + 0,08)t 
45.000 (1,2)t = 135.000 (1,08)t 
135.000/45.000 = (1,2/1,08)t 
3 = (10/9)t 
log3 = t.log (10/9) → 0,48 = (log10 - log9).t → 0,48 = (1 - 2log3).t 
0,48 = (1 - 2.0,48).t → 0,48 = (1 - 0,96).t → 0,48 = 0,04.t 
t = 0,48/0,04 → t = 12 
 
07. Resposta: E 
M = C (1 + i) t 
1159,27 = 1000 ( 1 + 0,03)t 
1159,27 = 1000.1,03t 
ln 1159,27 = ln (1000 . 1,03t) 
7,06 = ln1000 + ln 1,03t 
7,06 = 6,91 + t . ln 1,03 → 0,15 = t . 0,03 → t = 5 
 
08. Resposta: B 
Juros Compostos 
M = 1000 .(1,02)^3 
M = 1000 . 1,061208 
M = 1061,20 
 
TAXAS DE JUROS: EFETIVA, NOMINAL, PROPORCIONAIS, EQUIVALENTES, REAL E 
APARENTE7 
 
As taxas de juros são índices fundamentais no estudo da matemática financeira. Os rendimentos 
financeiros são responsáveis pela correção de capitais investidos perante uma determinada taxa de juros. 
As taxas serão incorporadas sempre ao capital. 
 
Taxa Efetiva 
São aquelas onde a taxa da unidade de tempo coincide com a unidade de tempo do período de 
capitalização(valorização). Utilizado muito em caderneta de poupança. 
 
Exemplos 
 
 
 
- Uma taxa de 75% ao ano com capitalização anual. 
- Uma taxa de 11% ao trimestre com capitalização trimestral. 
 
Quando no enunciado não estiver citando o período de capitalização, a mesma vai coincidir com 
unidade da taxa. Em outras palavras iremos trabalhar com taxa efetiva!!! 
 
Taxa Nominal 
São aquelas cujas unidade de tempo NÃO coincide com as unidades de tempo do período de 
capitalização. 
 
7 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
mundoeducacao.com/matematica/taxa-efetiva-taxa-real.htm 
 
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31 
 
Exemplos 
 
- 5% ao trimestre com capitalização semestral. 
- 15% ao semestre com capitalização bimestral. 
 
Para resolução de questões com taxas nominais devemos primeiramente descobrir a taxa 
efetiva (multiplicando ou dividindo a taxa) 
 
Exemplo 
 
 
Como são 12 meses que existem no ano, então dividimos a taxa por 12, trazendo a taxa para o mesmo 
período da capitalização, tendo assim a taxa efetiva da operação. 
 
Toda taxa nominal traz implícita uma taxa efetiva que deve ser calculada proporcionalmente. 
 
Taxas Proporcionais ou Lineares (regime de juros simples) 
São taxas em unidade de tempo diferente que aplicadas sobre o mesmo capital ao mesmo período de 
tempo irão gerar o mesmo montante. 
 
Exemplos 
- 2% a.s é proporcional quantos % a.a? 
Como 1 ano tem 2 semestre 2%. 2(semestres) = 4% a.a 
- Uma taxa de 60% a.a geraria as seguintes taxas: 5% a.m (60%/12 meses);10% a.b (60%/6 
bimestres); 20% a.q(60%/3quadrimestres) .... 
 
Taxas Equivalentes (regime de juros compostos) 
As taxas de juros se expressam também em função do tempo da operação, porém não de forma 
proporcional, mas de forma exponencial, ou seja, as taxas são ditas equivalentes. 
 
Exemplos 
 
- 24% a.a é equivalente a %a.m? 
Vamos aplicar o conceito acima, para resolução deste exemplo: 
(1+ia)=(1+im)12 (expoente na menor unidade de tempo) (1+0,24) = (1+im)12  1,24 = (1+im)12  Para 
retirar o expoente, basta fazermos a operação inversa da potenciação  √1,24 
12 = √(1 + 𝑖𝑚)
1212 
√1,24 
12
= 1 + 𝑖𝑚 → 𝑖𝑚 = 1,24
1
12 − 1 
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32 
 
Algumas bancas informam o valor da raiz, outras deixam como está. 
√𝒂𝒎
𝒏
= 𝒂
𝒎
𝒏 
 
Taxa Real, Aparente e Inflação 
Taxa Real (ir) = taxa que considera os efeitos da inflação e seus ganhos. 
Taxa Aparente (ia) = taxa que não considera os efeitos da inflação (são as taxas efetivas/nominais). 
Taxa de Inflação (ii) = a inflação representa a perda do poder de compra. 
 
Podemos escrever todas essas taxas em função uma das outras: 
 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii) 
 
Onde: (1 + 𝑖𝑎) =
𝑀
𝐶
 , independe da quantidade de períodos e do regime de juros. 
 
Exemplos 
 
01. Uma aplicação no mercado financeiro forneceu as seguintes informações: 
− Valor aplicado no início do período: R$ 50.000,00. 
− Período de aplicação: um ano. 
− Taxa de inflação no período de aplicação: 5%. 
− Taxa real de juros da aplicação referente ao período: 2%. 
Se o correspondente montante foi resgatado no final do período da aplicação, então o seu valor é 
(A) R$ 53.550,00. 
(B) R$ 53.500,00. 
(C) R$ 53.000,00. 
(D) R$ 52.500,00. 
(E) R$ 51.500,00. 
 
Observe que o período de aplicação é de 1 ano, então tanto faz utilizar o regime de juros simples ou 
compostos. 
C = R$ 50.000,00 
t= 1 ano 
ii = 5% = 0,05 
ir = 2% = 0,02 
M=? 
 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii)  (1+ia) = (1+0,02).(1+0,05i)  (1+ia) = 1,02 . 1,05  (1+ia) = 1,071  
 ia = 1,071-1  ia = 0,071(taxa efetiva da operação) 
Aplicando a fórmula do montante: M = C.(1+i)t  M= 50 000.(1+0,071)1  50 000. 1,071  
M= 53.550,00 
Resposta: A. 
 
02. Uma pessoa investiu R$ 1.000,00 por 2 meses, recebendo ao final desse prazo o montante de R$ 
1.060,00. Se, nesse período, a taxa real de juros foi de 4%, então a taxa de inflação desse bimestre foi 
de aproximadamente 
(A) 1,92. 
(B) 1,90. 
(C) 1,88. 
(D) 1,86. 
(E) 1,84. 
 
Neste exemplo, está nos faltando saber o valor da taxa de juros aparente, mas com as outras 
informações do enunciado podemos chegar ao seu valor: 
C = 1.000,00 
M = 1.060,00 
t = 2 meses 
ir = 4% = 0,04 
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33 
 
ii= ? 
(1 + 𝑖𝑎) =
𝑀
𝐶
⇒ (1 + 𝑖𝑎) =
1060
1000
 ⇒ (1 + 𝑖𝑎) = 1,06 
 
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑟). (1 + 𝑖𝑖) ⇒ 1,06 = (1 + 0,04). (1 + 𝑖𝑖) ⇒ (1 + 𝑖𝑖) =
1,06
1,04
⇒ (1 + 𝑖𝑖) = 1,0192 ⇒ 
 
𝑖𝑖 = 1,0192 − 1 ⇒ 𝑖𝑖 = 0,0192 ⇒ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 100(𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙) ⇒ 1,92 
 
Questões 
 
01. (Pref. Guarujá/SP – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere as seguintes situações: 
I- Carlos comprou um produto que à vista custava R$ 1.000,00. Como ele não tinha todo esse valor, 
ele fez um plano de pagamento com 12 prestações iguais, de R$ 100,00 cada uma, sem entrada. 
II- Ana comprou o mesmo produto que Carlos, na mesma loja e com o mesmo preço à vista, mas fez 
o seguinte plano de pagamento: uma entrada de R$ 100,00 e mais 11 prestações de R$ 100,00 cada 
uma. 
 
Com base nessas situações, é possível afirmar corretamente que: 
(A) a taxa de juros do plano de Ana foi menor que a taxa de juros do plano de Carlos. 
(B) a taxa de juros do plano de Ana foi igual à taxa de juros do plano de Carlos. 
(C) a taxa de juros do plano de Ana foi maior que a taxa de juros do plano de Carlos. 
(D) não há como comparar as taxas de juros dos planos de Ana e de Carlos. 
 
02. (TJ/PE - Analista Judiciário-Contador - FCC) Uma taxa de juros nominal de 21% ao trimestre, 
com juros capitalizados mensalmente, apresenta uma taxa de juros efetiva, trimestral de, 
aproximadamente, 
(A) 21,7%. 
(B) 22,5%. 
(C) 24,8%. 
(D) 32,4%. 
(E) 33,7%. 
 
03. (Pref. Florianópolis/SC – Auditor Fiscal – FEPESE) A taxa de juros simples mensais de 4,25% 
equivalente à taxa de: 
(A) 12,5% trimestral. 
(B) 16% quadrimestral. 
(C) 25,5% semestral. 
(D) 36,0% anual. 
(E) 52% anual. 
 
04. (BAHIAGÁS – Técnico de Processos Tecnológicos – IESES) Uma pessoa faz um investimento 
em uma aplicação que rende 14% de juros (taxa aparente) anuais. Porém a inflação em seu país é de 
10% anuais. Portanto a taxa de juros real que remunera a aplicação é: 
(A) Maior que 3,8% e menor que 3,9% ao ano. 
(B) Maior que 3,6% e menor que 3,7% ao ano. 
(C) Menor que 3,6% ao ano. 
(D) Maior que 3,9% ao ano. 
(E) Maior que 3,7% e menor que 3,8% ao ano. 
 
05. (LIQUIGÁS – Assistente Administrativo – CESGRANRIO) Um financiamento está sendo 
negociado a uma taxa nominal de 20% ao ano. 
A taxa de juros efetiva anual desse financiamento, se os juros são capitalizados semestralmente, é: 
(A) 10,00% 
(B) 20,21% 
(C) 21,00% 
(D)