Estatistica-parametrica-e-nao-parametrica-para-principiantes-com-apoio-do-SPSS

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Estatistica parametrica e não parametrica para principiantes com apoio do
SPSS
Technical Report · May 2016
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Margarida Pocinho
Escola Superior de Tecnologia da Saúde de Coimbra / Instituto Politécnico de Coimbra
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1
ESTATÍSTICA 
§ É a ciência que se utiliza das teorias probabilísticas para explicar a 
frequência da ocorrência de eventos, de forma a estimar ou possibilitar 
a previsão de fenômenos futuros, conforme o caso.
§ Pode ser aplicada em praticamente todas as áreas do conhecimento 
humano e em algumas áreas recebe um nome especial. Este é o caso da 
Bioestatística, que trata de aplicações da Estatística em Ciências 
Biológicas e da Saúde.
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2
Estatística 
Paramétrica 
Não Paramétrica
Calcula diferenças numéricas 
exatas entre os resultados 
Considera que se certos resultados 
são superiores ou inferiores a 
outros resultados 
Paramétricos 
Ø Teste T-student para dados 
independentes
Ø Teste T-Student para dados emparelhados 
Ø Teste R de Pearson
Ø Testes Anova 
Não Paramétrico
Testes para amostras emparelhadas
Ø Teste do sinal
Ø Teste de McNemar
Ø Teste Q de Cochran
Ø Teste de Wilcoxon
Ø Teste de Friedman
Testes para amostras independentes 
Ø Teste de Mann-Whitney
Ø Teste de Kruskal-Wallis
Ø Teste de Wald-Wolfowitz ou teste de 
aleatoriedade da amostra
Ø Rho Spearman
Ø Teste de Moses para reações extremas 
Outras temas 
Ø Teste binominal 
Ø Teste de ajustamento do Qui-Quadrado
Ø Teste de indepêndencia do Qui-Quadrado
Ø Teste de Fisher 
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3
POPULAÇÃO E AMOSTRA.
MÉTODOS DE AMOSTRAGEM
População
DEFINIÇÃO:
qSão os elementos que têm determinadas características em comum e
que estão sujeitos a uma análise estatística.
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4
População
Quanto à sua origem:
• Conjunto de situações;
• Conjunto de pessoas;
• Conjunto de objetos;
Pode ainda ser:
• Real;
• Hipotética;
Amostra
DEFINIÇÃO:
qÉ um subconjunto retirado da população.
qÉ representativo de todas as suas características e é sobre esta
amostra que o estudo é realizado.
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5
Amostragem
DEFINIÇÃO:
q Procedimento através do qual um grupo de elementos é
escolhido com o objetivo de obter informações relacionadas
com o fenómeno em estudo.
Métodos de amostragem
Amostragens probabilísticas
Amostragem Aleatória Simples
• Cada um dos elementos da população-alvo tem igual
probabilidade de ser escolhido para fazer parte de uma amostra.
Amostragem Aleatória Estratificada
• A população-alvo é dividida em sub-grupos homogéneos –
estratos - e tirar de forma aleatória uma amostra de cada um.
Amostragem Sistemática
• Quando existe uma lista ordenada de elementos da população.
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6
Métodos de amostragem
Amostragens não probabilísticas
Amostragem Acidental
• Formada por sujeitos presentes num determinado local e
momento.
Amostragem por Tipicidade
• O investigador faz os seus próprios julgamentos dos elementos,
de modo a formar uma amostra de sujeitos em função do seu
caráter.
Amostragem por Redes
• Escolha de sujeitos, para a amostra, que não seriam tão
acessíveis de encontrar, utilizando por exemplo redes sociais.
Baseada em medidas de tendência central e de dispersão 
(moda, média, mediana, desvio padrão, etc)
Margarida Pocinho
Patrícia Gonçalo
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7
Ø Os indicadores de tendência central são capazes de nos mostrar como uma certa variável ou característica do 
grupo estudado se distribui utilizando apenas um número.
Ø Considerar dois fatores são importantes nas análises deste tipo:
- A avaliação da tendência central da distribuição; 
- A avaliação da dispersão dos valores em torno desta tendência central.
Atenção: Apenas em variáveis quantitativas!!
ØNa barra de ferramentas seleccionamos ANALYSE , depois 
DESCRIPTIVES STATISTICS e depois FREQUENCIES .
- Selecionar a variável (ex : 
EVA1)
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8
ØSelecionar aqueles indicadores que 
pretendemos analisar.
Ø Selecionar a opção 
STATISTICS para 
conseguirmos indicadores de 
tendência central e de 
dispersão.
ØComo se tratam de variáveis 
quantitativas podemos excluir 
as tabelas de frequências.
ØDesativamos a DISPLAY 
FREQUENCY TABLE.
Ø Resultados da análise da 
variável Eva1.
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9
Ø A opção CHART relaciona uma série de recursos para a visualização gráfica da distribuição 
de dados de variáveis categóricas; sendo única excepção o histograma. 
Ø Como pretendemos medidas de tendência central, nossa análise está restringinda a variáveis 
quantitativas .
Ø Selecionamos a opção histograms . 
Ø Podemos também selecionar a opção 
With normal curve para analisar a 
curva normal do gráfico.
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10
Ø A curva tem uma 
distribuição ligeiramente 
assimétrica para a direita, 
uma simetria positiva, onde 
média > mediana > moda. 
Ø Obtemos os resultados da 
análise da variável Eva1.
Ø Existe ainda um segundo modo para representar graficamente as medidas de tendência central. Os 
seus resultados são baseados na distribuição dos quartis e mediana e a definição do parâmetro de 
repartição da amostra é dada em função das categoriasde uma segunda variável.
Ø Na barra de ferramentas escolheremos GRAPHS, depois BOX PLOT .
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Ø No menu para definição deste gráfico, poderemos escolher:
- Entre trabalhar com apenas uma variável no eixo X (simple) 
ou trabalhar com duas variáveis agregadas no eixo X (Clustered).
- Poderemos trabalhar com a separação por grupos de casos 
(groups of cases) ou por variáveis (separate variables).
Ø Se selecionarmos a opção SIMPLE e Summaries for Groups of Cases
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Ø A opção VARIABLE deve ser 
preenchido com a variável 
para a análise de tendência 
central; 
Ø A opção CATEGORY AXIS 
deve ser preenchido com a 
variável em função da qual 
serão estabelecidos os grupos 
de casos a serem comparados, 
por exemplo entre homem ou 
mulher. 
Ø O preenchimento da opção 
Label Cases By não é 
obrigatório e a variável 
presente será usada para 
caracterização dos outliers.
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13
Ø A linha preta no interior 
do rectângulo castanho 
corresponde a mediana da 
distribuição em cada categoria 
sexual.
Ø Os retângulos castanhos 
compreendem a distribuição 
de 50% dos casos e os traços 
pretos acima a abaixo deste 
retângulo compreendem os 
50% restantes dos casos. 
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14
Ø No gráfico verificamos que 
não existem outliers que são 
os valores dos casos estudados 
quando se diferenciaram 
muito da distribuição central 
dos dados (estão fora da 
distribuição principal)
Ø Neste exemplo temos 
um outlier no sexo 
masculino no caso 15.
Ø Devemos verificar a 
base de dados para 
verificar se não 
ocorreu erro na 
inserção dos dados.
Ø Se forem verdadeiros 
outliers devemos 
retiramos da amostra 
e analisá-los 
individualmente.
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15
TESTES DE NORMALIDADE
O que são Testes de Normalidade? 
São testes não paramétricos, que se também designam por testes de ajustamento.
São utilizados para verificar se a distribuição de probabilidade associada a um conjunto de 
dados pode ser aproximada pela distribuição normal.
Mais precisamente, os testes são uma forma de seleção de modelos, e podem ser 
interpretados de várias maneiras, dependendo de como cada um interpreta as 
probabilidades. 
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16
Exemplos de testes de normalidade:
• Shapiro-Wilk test
• Kolmogorov-Smirnov
• Anderson-Darling test
• D’Agostino’s K – squared test
• Jarque-Bera test
• Cramér-von-Mises criterion
• Pearson’s chi-square test
• Shapiro-Francia test for normality
• Ryan-Joiner test
• Lillliefors
A curva de distribuição normal é simétrica em forma de sino.
Esta distribuição possui um conjunto de propriedades matemáticas
importantes:
• É Simétrica;
• A média, a mediana e a moda apresentam todas o mesmo valor;
• A curva desce rapidamente de início, a partir o ponto central, mas
esta descida abranda à medida que as caudas da curva são
atingidas;
• Independentemente da extensão das caudas da curva, elas
nunca atingem o eixo horizontal.
Distribuição Normal:
Como afirma Gonzaga (1994), uma das formas de distribuição de frequências é a designada
Distribuição Normal, cuja curva apresenta a seguinte forma.
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Curva de Distribuição Normal e o Desvio Padrão (σ ou DP):
Outro valor importante relacionado com as curvas de distribuição normal é o desvio-
padrão (que representa a raiz quadrada da variância): Ora entre as propriedades mais
importantes da distribuição normal está o facto de que cerca de 68%, 95% e 99,5% dos
valores da amostra estão compreendidos no intervalo entre a média (µ) mais (+) ou
menos (-) 1, 2 e 3 desvios-padrão (σ) (GONZAGA, 1994).
Quando um conjunto de dados apresenta uma distribuição normal, uma percentagem
fixa de resultados cairá numa determinada área debaixo da curva.
Quanto maior a área, maior será a percentagem da população!
Se tomar o ponto central da curva (valor médio-
µ), apresentado na figura, há factos
constantes:
• Se movermos 1 desvio padrão para cima e
abaixo do valor médio, 68% dos resultados
acabam sempre por cair neste intervalo, 34%
das observações caem num desvio padrão
acima da média e os outros 34% num desvio
padrão abaixo da mesma.
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• Prosseguindo,13,5% das observações caem
entre 1 e 2 desvios padrão acima da média, e
13,5% entre 1 e 2 desvios padrão abaixo da
média. Assim, no intervalo [µ-2σ; µ+2σ] tem
95% das observações
(13,5%+34%+34%+13,5%).
• Considerando agora 2 e 3 desvios padrão
(acima e abaixo da média),verifica que 2,36%
das observações estão entre os 2 e os 3
desvios padrão. Assim sendo, no intervalo [µ-
3σ; µ+3σ] tem 99,73% das observações
(2,36%+13,5%+34%+34%+13,5%+2,36%).
Testes de Hipóteses:
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Testes de Hipóteses Paramétricas:
Testes de Hipóteses Paramétricas:
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21
Testes de Normalidade:
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TESTES de NORMALIDADE (SPSS):
O SPSS realiza dois testes de normalidade:
•Shapiro-Wilk
•Kolmogorov-Smirnov
teste de normalidade 
no SPSS:
Analisar
Estatística Descritiva
Explorar
Após abrir o Explorar 
escolher a variável e 
escolhemos a opção 
Gráficos
Dentro do gráficos, 
marcar a opção com 
testes de normalidade
EXERCICIO-SPSS:
Dado um conjunto de dados, vamos verificar se a 
distribuição é normal.
Neste exemplo, a hipótese nula (H0) é que os dados 
são normalmente distribuídos e a hipótese 
alternativa (H1) é que os dados não estão 
normalmente distribuídos. O conjunto de dados 
pode ser obtido aqui.
Os dados a ser testados estão na primeira coluna:
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23
1º Passo: Selecionar “Analize” à “Descriptive Statistics” à “Explore”
Uma nova janela aparece.
2º Passo: Na linha à esquerda, selecione as variável “Data” para a “Dependent List”.
Clique em “Plots” no lado direito. 
Uma nova janela abrirá. 
Verifique se em “Boxplots” está 
marcado “None”, e desmarque 
tudo em “Descriptive” e 
certifique-se que a “Normality
plots with tests” está marcada.
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3º Passo: Os resultados saem em janelas “Output”. 
4º Passo: Agora podemos interpretar os resultados.
As estatísticas do teste são apresentadas na
terceira tabela. Aqui dois testes para a
normalidade são executados. Para conjunto
de dados com menos de 2000 elementos,
usamos o teste Shapiro-Wilk, caso contrário,
usamos o teste Kolmogorov-smirnov. No
nosso caso, uma vez que temos apenas 20
elemento, usamos o teste de Shapiro-wilk.
A partir do valor de p-value (0,316), nós
podemos rejeitar a hipótese alternativa, e
concluir que os dados seguem uma
distribuição normal.
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Teste de Anderson-Darling (FERRAMENTA ACTION):
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Resultados e Interpretação:
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§ The Tests of Normality table in SPSS produces the 
Kolmogorov–Smirnov test and the Shapiro–Wilk test. But 
there are many alternative tests of univariate normality: the 
Lilliefors test, the Pearson's chi-squared test, and the 
Shapiro–Francia test, D'Agostino's K-squared test, the 
Anderson–Darling test, the Cramér–von Mises criterion, and 
the Jarque–Bera test. The Shapiro-Wilk test and Anderson-
Darling test have better power for a given significance 
compared to Kolmogorov-Smirnov or Lilliefors test - an 
adaptation of the Kolmogorov–Smirnov test (Razali, 
Nornadiah, Wah, Yap Bee 2011).
• É uma das mais importantes distribuições da estatística,
conhecida também como Distribuição de Gauss ou
Gaussiana. Foi primeiramente introduzida pelo
matemático Abraham de Moivre.
• Além de descrever uma série de fenômenos físicos e
financeiros, possui grande uso na estatística
inferencial.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
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Se a variável aleatória segue esta distribuição escreve-se: ~ .
Se e , a distribuição é chamada de distribuição normal
padrão e a função de densidade de probabilidade reduz-se a:
A função densidade de probabilidade da distribuição
normal com média e variância (de forma equivalente, desvio padrão )
é assim definida:
FUNÇÃO DA DENSIDADE DE 
PROBABILIDADE
CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
1. É simétrica em relação a média
Se os elementos que constituemuma
distribuição estão muito próximos ou
muito dispersos, encontraremos:
X
50% 50%
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CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
2. A curva normal tem a forma de
sino
3. Prolonga-se de -∞ a +∞
(apenas em teoria) (assintótica)
4. A media, a mediana e a moda
encontram-se no mesmo ponto da
curva;
Media /moda/mediana
CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
5. Fica completamente especificada por sua média e seu 
desvio padrão; 
6. A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 
1
100
%
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A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma
variável normalmente distribuída a tomar um valor entre esses
pontos
5 media e desvio padrão
conhecendo-se estes valores consegue-se 
determinar qualquer probabilidade em uma 
distribuição Normal
68,2%
95,4%
99,8%
2,2
%
2,2
%
200 ----- 100%
X--------- 15,9%
X=31,8
32 pessoas tem 
resultados < 52 pontos 
e 32 pessoas tem 
resultados > 68 pontos
EXERCÍCIO
Um professor obtém os resultados de um teste de leitura a 200 alunos. Os
resultados são normalmente distribuídos com uma média de 60 pontos e um
desvio padrão de 8.
Quantos alunos se afastam mais de 8 pontos da média?
2,2
%
2,2
%
6
0
6
8
5
2
7
6
4
4
3
6
8
4
13,6 + 2,2 + 0,1 = 
15,9 % 
< 52 e > 68 
pontos
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A distância entre a média e um ponto
qualquer é dado em número de desvios
padrões (z)
Normal 
padronizada
Normal não 
padronizada
z = x - µσ
µ x 0 z
PP
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A distribuição normal padronizada tem média e
desvio padrão iguais a: μ = 0 σ =1
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA
Facilita os cálculos de probabilidade, evitando o uso da fórmula e
projetando qualquer análise mediante utilização de ESCORES (Z)
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Outras Distribuições Normais Se µ ≠ 0 ou σ
≠ 1 (ou ambos), os valores são convertidos 
para os valores padronizados através da 
expressão abaixo 
Podendo utilizar então os mesmos procedimentos
tomados com a distribuição normal padrão, x - µ σ
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Probabilidade de uma 
variável aleatória normal 
tomar um valor z entre a 
média e o ponto situado a 
z desvios padrões
área entre a média e z
área tabelada = área desejada
0 z
CONSULTANDO A TABELA
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A probabilidade de escolher um termômetro que acuse leitura entre 1,20 
e 2,30 °C corresponde à área ombreada da figura | É fácil perceber que 
podemos calcular esta área, subtraindo- se a área de 0 até o maior valor 
(2,30), da área de 0 até o menor valor (1,20), que são lidas na Tabela A-
2 !
EXERCÍCIO
Após 28 dias de curagem, o cimento de uma certa marca tem uma resistência
compressiva média de 4000psi. Suponha que a resistência tem uma distribuição normal
com desvio-padrão de 120psi. Qual a probabilidade de se comprar um pacote de
cimento com resistência compressiva de 28 dias menor que 3850psi?
N(µ;σ) = N(4000,120) psi
X = 3850psi
%56,101056,0)25,1( ==−≤ZP
3850 4000
-1,25
Área em verde = z = -1,25 = 0,3944
Área desejada = 0,50 – 0,3944 = 0,1056 = 10,56%
25,1
120
40003850
−=
−
=
−
=
σ
µXz
P(z ≤ -1,25)
EXERCÍCIO
16-05-2016
37
Um máquina produz peças com o diâmetro médio de 2,00” e o desvio-padrão
de 0,01”. As peças que se afastam da média por mais de 0,03” são
consideradas defeituosas. Qual é a percentagem de peças defeituosa?
)3()3()97,1()03,2( −<+>=<> ZPZPxouPxP
3
01,0
203,2
1 +=
−
=
−
=
σ
µXz
f(x) 2=µ
X2
0 3
Z
2,031,97
-3
N(µ,σ) = N(2,00;0,01)
X1 = 2,03 e X2=1,97
3
01,0
297,1
2 −=
−
=
−
=
σ
µXz
Consultando 
a tabela: %26,00013,00013,0)3()3( =+=−<+> ZPZP
0,5- 0,4987= 0,0013
EXERCÍCIO
50
%
TESTES T DE STUDENT
16-05-2016
38
§ Calcula as diferenças numéricas exatas entre os resultados.
§ Estes testes exigem que a(s) amostra(s) tenha(m) uma distribuição
normal, especialmente se tiverem uma dimensão inferior a 30.
Testes paramétricos
Quando se pretende aplicar um teste t de Student para fazer
comparações entre amostras, existe uma série de requisitos que não
devem ser esquecidos:
• Variável mensurada num nível mínimo intervalar;
• Distribuição simétrica;
• Variável com distribuição normal numa dada população;
Requisitos para utilização de testes paramétricos
16-05-2016
39
Teste paramétrico t de Student para dados independentes
§ Características e requisitos:
§ Teste de comparação de médias;
§ Distribuição com forma leptocúrtica;
§ Escala de medida intervalar e contínua;
§ Simétrica;
§ Varia de mais infinito a menos infinito;
§ Desvio padrão de variável com n;
§ Distribuição normal;
§ n>=30).
Teste T de Student independente
§ O objetivo deste teste é comparar a quantidade da variabilidade total nos 
resultados dos sujeitos.
§ As diferenças previstas são calculadas como uma diferença entre os 
resultados médios entre dois grupos.
§
§ A estatística t representa o tamanho da diferença entre as médias para os 
dois grupos, tomando em consideração a variância total.
§ Para que o valor observado de t seja significativo terá de ser igual ou superior 
aos valores críticos de t apresentados na tabela.
16-05-2016
40
§ A comparação das médias é feita entre os casos de uma variável
numa das amostras com os casos dessa variável na outra amostra
(testes t).
Ex. Testar se o rendimento médio dos homens é semelhante ao das mulheres.
§ A comparação das médias é feita entre os casos de um grupo de
variáveis numa das amostras com os casos dessa variável na outra
amostra (testes simultâneos).
Ex. Testar se o rendimento médio e os gastos médios são semelhantes entre homens e
mulheres.
Testes t
1. Elevar ao quadrado cada resultado individual para ambos os grupos em
separado;
2. Adicionar os totais dos resultados ao quadrado para cada grupo;
3. Elevar ao quadrado todos os resultados individuais para cada grupo;
4. Calcular a média para cada grupo;
5. Calcular t.
Instruções passo-a-passo:
16-05-2016
41
Instruções passo-a-passo:
Se t observado t crítico rejeita-se H0 se t observado t crítico aceita-se H0
§ Este é um teste de hipóteses, que conduz a uma decisão acerca das 
hipóteses nula (H0) e alternativa (H1), tirando partido da informação contida na 
amostra recolhida.
§ Assim sendo, de um modo geral, tomamos uma de duas decisões.
§ Rejeitar H0: a qualquer n.s. α0 ≤ p-value
§ Não rejeitar H0: n.s α0 > p-value
NOTA: 
p-value é o maior nível de significância que leva à não rejeição de H0.
16-05-2016
42
Exercício usando o SPSS:
§ Com o objetivo de testar a influência do olfato no sono dos recém 
nascidos, foi registado o tempo (em min.) que um bebé com uma semana demora a 
adormecer, tendo sido considerados dois grupos de bebés:
§ grupo I: em que se colocou no berço uma peça de roupa utilizada pela mãe;
§ grupo II: em que se colocou no berço uma peça de roupa utilizada por outra 
pessoa.
§ Os resultados obtidos encontram-se no quadro seguinte:
16-05-2016
43
Sabendo que a variável em estudo segue uma distribuição
normal, teste se existem diferenças significativas entre o tempo que
os dois grupos de bebés levaram a adormecer (α=0.05).
Resolução usando o SPSS:
H0: µ1 − µ2 = 0 ou H0 : µ1 = µ2
H1: µ1 − µ2 ≠ 0 ou H1 : µ1 ≠ µ2 (Teste bilateral à pois possui um
sinal diferente)
H0: hipótese nula;
H1: hipótese alternativa;
µ: média.
16-05-2016
44
A tabela Group statistics
apresenta as medidas descritivas
dos dados (dimensão n de cada
amostra), média, desvio-padrão e
erro-padrão amostrais).
Esta tabela (Independet Samples Test) apresenta o teste de Levene para a
homogeneidade (igualdade) das variâncias e ao teste t para a comparação de
duas médias no caso de duas amostras independentes.
O quadro apresenta o valor da estatística do teste t para a igualdade das
médias, o número de graus de liberdade e a probabilidade de significância do
teste (nível de significância descritivo do teste/p-value - sig.).
16-05-2016
45
Neste exemplo, como se tratar de um teste bilateral, compara-se
diretamente pvalue=0.016 com α=0.05 (nível de significância).
Como 0.05 > 0.016 à rejeita-seH0.
Assim sendo, pode-se afirmar com 95% de confiança que existem
diferenças significativas entre o tempo que os dois grupos de bebés
levam a adormecer.
Interpretação dos resultados
Rejeitar H0 a qualquer n.s α0 > p-value
EXERCÍCIO
16-05-2016
46
Inquérito sobre a dor
§ Verificar se a dor sentida pelos alunos é influenciada pelo sexo.
§ H0 – A dor sentida pelos alunos não é influenciada pelo sexo
§ H1 – A dor sentida pelos alunos depende do sexo
Verificar se as variáveis seguem distribuição 
normal
H0 – As variáveis seguem uma distribuição 
normal.
H1 – As variáveis não seguem uma distribuição 
normal.
16-05-2016
47
Verificar se as variáveis seguem distribuição normal
Simétrica: Para a variável ser
simétrica, é necessário que o resultado
da divisão do coeficiente de assimetria
pelo erro padrão esteja compreendido
entre -2 e 2.
EVA(Feminino): 0,888/0,752=1,570
EVA(Masculino): -0,552/0,616= -0,896
Logo, a distribuição é simétrica.
Mesocúrtica: Uma vez que vai ser
utilizado o Teste T de Student para
amostras independentes, não é
necessário verificar se a variável é
mesocúrtica.
Verificar se as variáveis seguem uma distribuição normal
Distribuição normal
Sig(EVAFeminino)=0,525 
Sig(EVAMasculino)=0,057
Como ambos os valores de 
Sig são superiores a (0,05), 
aceita-se H0, que nos diz que 
a variável segue uma 
distribuição normal. 
A normalidade visualiza-se
através do teste Shapiro-Wilk,
pois a amostra tem menos de
50 casos e só se recorre ao
teste de Kolmogorov-Smimov
se a amostra tiver mais de 50
casos.
Assim sendo, as 
variáveis são 
paramétricas.
16-05-2016
48
Escolher o teste estatístico adequado
Descrição das variáveis:
A variável independente (sexo) é qualitativa nominal;
A variável dependente (EVA da dor cervical) é quantitativa;
Tratam-se de variáveis independentes;
Seguem uma distribuição normal.
Este teste é utilizado para comparar a quantidade da variabilidade total
nos resultados dos sujeitos, ou seja,
VERIFICAR SE EXISTEM DIFERENÇAS NO TIPO DE EVA
UTILIZADA PARA AVALIAR A DOR CERVICAL ENTRE OS SEXOS
FEMININO E MASCULINO!
Assim sendo, temos de recorrer ao 
teste paramétrico T de Student
para amostras independentes.
H0: a média do sexo feminino é igual à média do sexo 
masculino
H1: a média do sexo feminino não é igual à média do sexo 
masculino
Teste T de Student para amostras independentes 
16-05-2016
49
Teste T de Student para amostras independentes 
Teste T de Student para amostras independentes 
Pelo teste de Levene, verificamos que as variáveis são homogéneas,
pois o valor de Sig é igual a 0,396, ou seja, superior a 0,05. Assim
sendo, utilizamos os resultados da linha Equal variances assumed.
Pela tabela, verificamos
que os valores das
médias são semelhantes
em ambos os sexos.
16-05-2016
50
Teste T de Student para amostras independentes 
Conclusão:
Concluímos assim, pelos testes efetuados, que não
existem diferenças entre a dor cervical em função dos sexos, ou
seja, a dor cervical sentida pelos alunos desta turma não é
influenciada pelo sexo.
Uma vez que verificámos na tabela que o valor de Sig (0,383) é 
superior a 0,05, aceitamos H0, que nos diz que as médias são 
iguais para ambos os sexos. 
TESTE T PARA DADOS 
EMPARELHADOS
16-05-2016
51
Teste T Emparelhado
Teste paramétrico
Calcula as diferenças 
numéricas exatas 
entre os resultados
Teste T Emparelhado
Pré-requisitos para utilizar um 
teste paramétrico:
• Que a variável tenha sido mensurada num 
nível mínimo intervalar;
• Que a distribuição seja simétrica;
• Que a variável tenha distribuição normal 
numa dada população; 
• Pressupostos.
16-05-2016
52
Teste T Emparelhado
Quando se utiliza o Teste T Emparelhado?
• Utiliza-se para designs experimentais com duas 
situações testando uma variável independente, 
quando os mesmos sujeitos (ou emparelhados) se 
encontram em ambas as situações - design 
relacionado.
• O objetivo é comparar as diferenças entre as duas 
situações experimentais com a variabilidade total nos 
resultados.
NOTA: Este teste é equivalente ao teste não paramétrico de Wilcoxon
Teste T Emparelhado
Calcular as diferenças 
entre os resultados dos 
sujeitos subtraindo os 
resultados da situação B 
para a situação A
Elevar essas diferenças 
ao quadrado
Calcular o somatório das 
diferenças obtidas
Calcular o somatório do 
quadrado das diferenças
Elevar ao quadrado as 
diferenças totais
Calcular t
Consultar a tabela dos 
valores críticos e, se t 
observado ≥ t crítico rejeita-
se H0, se t observado < t 
crítico aceita-se H0
Como se utiliza?
16-05-2016
53
Teste T Emparelhado
Como calcular t?
Teste T Emparelhado
Tabela de valores de t critico
16-05-2016
54
Teste T Emparelhado
Bilaterais ou unilaterais
• Teste bilateral: utilizado
quando interessam os
resultados de ambos os lados
da curva
• Teste unilateral: utilizado
quando são importantes os
dados de apenas um lado da
curva
Teste T Emparelhado
Exemplo
• Suponha que deseja comparar a eficácia de uma
determinada. Para o efeito compara a terapia A com a B
em pares de sujeitos com as mesmas categoria. Antes das
terapias serrem ministradas semanalmente durante 3 meses
os doentes foram avaliados, tornando a sê-lo no fim do
tempo estipulado.
16-05-2016
55
Teste T Emparelhado
Exemplo - tabela de resultados
Teste T Emparelhado
Exemplo - formulação de hipóteses
• H0: A média da concentração das Aspirinas A e B
não é diferente
• H1: A média da concentração das Aspirinas A e B é
diferente
16-05-2016
56
Teste T Emparelhado
Exemplo - resolução no SPSS
Analyse Compare Means
Paired
Samples T 
Test
Teste T Emparelhado
Exemplo - resolução no SPSS
Passar para o 
quadro as variáveis 
que se quer estudar
Ok
16-05-2016
57
Teste T Emparelhado
Exemplo - resolução no SPSS
Coeficiente de 
correlação de Pearson 
entre as duas variáveis
≠
Teste T Emparelhado
Exemplo - interpretação dos resultados
• Neste caso, como o teste é bilateral, e tcritico (1,833) <
tobs (3,674) rejeita-se a hipótese nula ao nível de
significância de 0,05. Há evidências estatísticas de
que a média de concentração das Aspirinas A e B é
diferente.
16-05-2016
58
EXERCÍCIO
§ Objetivo: Verificar se existe progresso, relativamente à dor no
joelho, em pessoas com osteoartrite, com a utilização da joalheira
elástica.
§
§ Para tal, foram realizados inquéritos a 40 pessoas que sofriam de
osteoartrite. Nestes inquéritos a dor foi avaliada através da escala
análoga da dor relativamente à sua intensidade durante a
realização de uma atividade (subir umas escadas com 8 degraus)
com e sem joalheira elástica.
Efeito da utilização da joalheira elástica em 
indivíduos com osteoartrite
16-05-2016
59
Requisitos dos testes paramétricos
• Variáveis quantitativas – as escalas análogas da dor são variáveis 
quantitativas;
• Distribuição simétrica;
• Distribuição mesocúrtica;
• Distribuição normal.
16-05-2016
60
16-05-2016
61
EVA (sem joelheira)
-0,206/0,374=-0,55
EVA (com joalheira)
-0,124/0,374=-0,332
Estes dois valores
encontram-se entre
-2 e 2 logo estas
duas distribuições
são simétricas.
Coeficiente 
de simetria
Através dos gráficos, nomeadamente das curvas de Gauss, podemos verificar 
que as distribuições são simétricas.
16-05-2016
62
Podemos verificar que não existem outliers, logo as distribuições são 
simétricas.
Ø Boxplot
EVA (sem joelheira)
-0,777/0,733=-1,06
EVA (com joelheira)
-0,505/0,733=-0,689
Estes dois valores
encontram-se entre
-2 e 2 logo estas
duas distribuições
são mesocúrticas.
Coeficiente de 
achatamento
16-05-2016
63
Sig>0,05, logo esta variável apresenta uma distribuição normal.
Teste Shapiro-wilk pois amostras pequenas e Kolmogorov-smirnov para grandes.
Dado que as variáveis cumprem todos os requisitos posso utilizar testes
paramétricos. Neste caso vou usar o teste T de Student para amostras
emparelhadas.
Definição das hipóteses:
o H0 – a média da dor sentida pelos doentes, ao realizar a atividade, com
e sem joelheira é a mesma;
o H1 – a média da dorsentida pelos doentes difere quando realizam a
atividade com e sem joelheira.
α=0,05.
A população é a mesma nas duas situações
16-05-2016
64
16-05-2016
65
Teste T de Student para amostras emparelhadas
§ Sendo que o Sig é ≤ 0,05, rejeita-se H0, podendo afirmar-se, com 95% de 
confiança, que houve diferença na dor sentida pelos doentes na realização da 
atividade com e sem joelheira elástica. 
§ µs.j.=7,208
§ µc.j= 6,457
§ µs.j.>µc.j
16-05-2016
66
R DE PEARSON
16 de maio de 2016
Algoritmo e exercícios
Karl Pearson
ü Matemático britânico, nasceu a 27 de 
Março de 1857, em Londres;
ü Formou-se na Universidade de Cambridge 
em Matemática, 1879;
ü Fundou o departamento de estatística 
aplicada na Universidade de Londres 
(University College) em 1911; 
ü Pearson foi fundamental no 
desenvolvimento do coeficiente de 
correlação. 
ü Morreu a 27 de Abril de 1936 em Londres e 
ficou conhecido como o "Criador da 
Estatística Aplicada".
16-05-2016
67
ü Fundador e editor da revista 
"Biometrika" deu um grande 
contributo à estatística, 
desenvolvendo um grande número 
de métodos estatísticos padrões. 
Correlação 
üQuando estudamos um grupo relativamente a 2 caracteres vemos que pode 
existir uma relação entre eles. 
ü Se variarem sempre no mesmo sentido ou sempre em sentidos contrários, 
podemos dizer que existe uma correlação entre eles. 
ü A correlação pode ser definida como o grau de semelhança no sentido das 
variações entre os valores correspondentes dos dois caracteres, isto é, a 
correlação preocupa-se quer com a descrição da relação entre variáveis quer 
com a sua direcção.
ü Devemos salientar que, para o cálculo das correlações, é necessário termos 
sempre duas medidas para cada sujeito. 
16-05-2016
68
R de Pearson
Ø Teste paramétrico, como tal é importante testar os “pré-requisitos” antes de o proceder
Ø O teste Rho de Spearman é o teste equivalente não paramétrico
ØUtilizamos quando estudamos um grupo relativamente a dois caracteres, em que pode 
existir uma relação entre estes.
Ø Desde que os dois caracteres sejam tais que as suas variações sejam sempre no mesmo 
sentido, ou em sentidos contrários dizemos, que existe uma correlação entre eles.
Ø A correlação preocupa-se quer com a descrição da relação entre variáveis quer com a 
sua direcção (directa ou inversamente proporcional, positiva ou negativa).
Ø Coeficiente de correlação é representado por "r", 
§ Distribuição 
normal
§ Simétrica
§ Ser mesocúrtica 
§ N ≥ 30
CARACTERISTICAS E REQUISITOS DE UTILIZAÇÃO DO 
TESTE R
§ Este tipo de coeficiente de correlação utiliza-se quando:
§ 2. As duas variáveis são contínuas;
§ 3. A distribuição aproxima-se da distribuição normal;
§ 4. É preferível para distribuições unimodais;
§ 5. Escala intervalar de medida.
16-05-2016
69
Interpretação
§ Para Cardoso:
§ r ≤ 0,2 Correlação muito
baixa (valores desprezíveis)
§ 0,2 < r ≤ 0,5 Correlação baixa
§ 0,5 < r ≤ 0,7 Valores
significativos
§ 0,7 < r ≤ 0,9 Alta correlação
§ 0,9 < r ≤ 1 Muito alta
correlação
Varia de -1 ≤ r ≤ 1, quanto mais perto dos extremos maior a correlação. Ausência de 
correlação é 0.
O coeficiente de correlação (r) obtido pode se interpretado de diferentes formas:
Para Borg:
0,20 < r ≤ 0,35 Ligeira relação entre as variáveis,
embora já possam ser estatisticamente
significativas
0,35 < r ≤ 0,65 Correlação estatisticamente
significativa para além do nível de 1%
0,65 < r ≤ 0,85 Correlacoes que tornam possiveis
predicoes do grupo de que sao dignas
r > 0,85 Intima relacao entre as variaveis
correlacionadas
Para Bryman e Cramer:
≤ 0,2 Correlação muito fraca e
sem significância
0,2 < r ≤ 0,39 Correlação fraca
0,4 < r ≤ 0,69 Correlação
moderada
0,7 < r ≤ 0,89 Correlação forte
0,9 < r ≤ 1 Correlação muito
elevada
A direcção: indicada pelo sinal + ou –
138
Correlação Linear de Pearson (r)
& Dadas duas variáveis X e Y, quantitativas, r entre X e Y
é calculado do seguinte modo:
[ ][ ]∑ ∑∑ ∑
∑ ∑ ∑
−−
−
=
2222 )()( YiYinXiXin
YiXiXiYin
r
�= �
��
� − ��
��	�� 	
16-05-2016
70
139
Apenas se aplica quando:
FAs duas variáveis são contínuas;
FA distribuição se aproxima da 
distribuição normal;
F É preferível para distribuições unimodais;
F Escala intervalar de medida.
140
Concluindo
O coeficiente de correlação dá-nos:
üA direcção, que é indicada pelo sinal + /-;
üA intensidade ou força.
16-05-2016
71
141
Exemplo
Cálculo do coeficiente de correlação de Pearson entre X e Y: 
Sabendo que: Xi= numero de visitas por semana
Yi=satisfação com os cuidados
130801201006010070608050Yi
25232120151815131410Xi
142
Exemplo
Cálculo do coeficiente de correlação de Pearson entre X e Y: 
Sabendo que:
130801201006010070608050Yi
25232120151815131410Xi
∑ Xi2= 3234 ∑ Yi2=78700 ∑ XiYi=15760Temos:
Número de 
visitas 
semanais (X)
Satisfação (Y)
XY X2 Y2
10 50 500 100 2500
14 80 1120 196 6400
13 60 780 169 3600
15 70 1050 225 4900
18 100 1800 324 10000
15 60 900 225 3600
20 100 2000 400 10000
21 120 2520 441 14400
23 80 1840 529 6400
25 130 3250 625 16900
174 850 15760 3234 78700
[ ][ ]∑ ∑∑ ∑
∑ ∑ ∑
−−
−
=
2222 )()( YiYinXiXin
YiXiXiYin
r
�� �
��
� � ��
��	�� 	
� 	
16-05-2016
72
143
Exemplo
Cálculo do coeficiente de correlação de Pearson entre X e Y: 
Sabendo que:
130801201006010070608050Yi
25232120151815131410Xi
∑ Xi2= 3234 ∑ Yi2=78700 ∑ XiYi=15760
Substituindo na fórmula
[ ][ ]∑ ∑∑ ∑
∑ ∑ ∑
−−
−
=
2222 )()( YiYinXiXin
YiXiXiYin
r
Temos:
[ ][ ] 8407.08507870010174323410
8501741576010
22
=
−×−×
×−×
=r
Correlação linear positiva muito elevada
ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
16-05-2016
73
§ Porquê ANOVA?
§ Enquadramento estatístico
§ Definição
§ Exemplo e explicação
§ Aplicação ao IBMSPSS 21
§
§ RONALD AYLMER FISHER
§ É considerado um dos pais e o fundador da 
estatística moderna. Utilizou os resultados que 
obteve na Estatística como ferramentas para 
aplicação nos seus estudos de genética.
§ um dos maiores nomes na Teoria da Estatística e 
na Estatística aplicada à Biologia.
§ Entre as suas descobertas mais importantes, está a 
análise de variância ANOVA, que demonstra como 
um número restrito de experimentações pode ser 
suficiente para determinar leis genéricas 
considerando várias variáveis ao mesmo tempo.
§ Este tipo de teste, serve como uma rigorosa medida 
numérica de confiabilidade de uma amostra de 
dados como fonte de previsão científica.
Porquê ANOVA?
16-05-2016
74
• Testes Paramétricos: calcula as diferenças numéricas exatas entre os resultados.
• Pressupostos iniciais:
se a variável dependente segue uma distribuição normal
se os dados entre diferentes sujeitos são independentes ou emparelhados/relacionados.
• Mas se os resultados de um teste paramétrico, não cumpriram com os requisitos (no mínimo dados intervalares;
distribuição simétrica, mesocurtica e normal), então não têm interpretação significativa.
Sempre que não se pode admitir a simetria e a normalidade de distribuição, ou os dados foram recolhidos num
nível de mensuração inferior ao intervalar, devemos recorrer a testes que não incluem a normalidade da
distribuição ou nível intervalar de mensuração.
O PODER DE UM TESTE 
O poder de um teste é a probabilidade de rejeitarmos a H0 quando ela é realmente nula. Os testes mais
poderosos (os que têm maior probabilidade) de rejeição de H0, são testes que possuem pré-requisitos mais difíceis de
satisfazer (testes paramétricos como t e F).
As alternativas não paramétricas exigem muito menos pré-requisitos mas produzem testes de significância com menos
poder que os correspondentes paramétricos.
. 
Enquadramento estatístico
ANOVA
§ A ANOVA é um método estatístico com o objetivo de comparar médias de dois ou mais 
grupos. Podem ser usados para testar diferenças em diversas situações e para duas ou 
mais variáveis.
§ Em relação à ANOVA I ou One-way ANOVA, tem 1 fator com o mínimo de 3 categorias 
independentes. 
§ Ex: Fator-curso Na análise da variância, a variabilidade observada na amostra divide-se 
em duascomponentes:
§ -Variabilidade das observações dentro do grupo (residual ou within) 
§ - Variabilidade entre médias dos Grupos (entre ou between)
§ Se a variabilidade entre grupos for suficientemente grande face à variabilidade dentro 
dos grupos, rejeita-se a H0, que afirma que todas as médias da população são iguais.
Definição
16-05-2016
75
ANOVA
§ Trata-se um teste bastante difundido, inúmeros softwares estatísticos como o IBM 
SPSStatistics.
§ Suposições da ANOVA: 
§ Normalidade (teste paramétrico) 
§ Homogeneidade das Variâncias
§ Ausência de Outliers
§ Independência dos dados dentro e entre tratamentos
Definição
QUESTÃO 
HIPÓTESE
Diferenças entre 
médias
1 amostra 2 amostras +2 amostras
emparelhadasindependentesANOVA I
H-Kruskal-
Wallis
16-05-2016
76
Numa clínica foi realizado um estudo acerca do efeito
analgésico de 3 terapias, TENS, Ultrassom e Terapia Manual
em situação de osteoartrose no joelho. Foram selecionados
aqueles que numa primeira fase tinha dor 9, de 1 a 10. Os
pacientes foram distribuídos pelos diferentes tipos de
tratamento e posteriormente foi lhes pedido para avaliarem a
sua dor novamente através da mesma escala, Escala numérica
da dor. Haverá alguma diferença entre os 3 tratamentos
tendo em conta α=0.05?
Exemplo
TENS Ultrassom Terapia Manual 
(mobilização)
9 7 4
8 6 3
7 6 2
8 7 3
8 8 4
9 7 3
8 6 2
∑= 57 47 21
Numa clínica foi realizado um estudo acerca do efeito analgésico de 3 terapias, TENS, Ultrassom e Terapia
Manual em situação de osteoartrose no joelho. Foram selecionados aqueles que numa primeira fase tinha dor 9,
de 1 a 10. Os pacientes foram distribuídos pelos diferentes tipos de tratamento e posteriormente foi lhes pedido
para avaliarem a sua dor novamente através da mesma escala, Escala numérica da dor. Haverá alguma
diferença entre os 3 tratamentos tendo em conta α=0.05?
H0: μ1 � μ2 � μ3 (a média dos 3 grupos é igual entre si)
H1: existe pelo menos 1 diferença.
Exemplo
16-05-2016
77
α=0.05 
Estatística- Quadro da ANOVA 
SQ GL QM F
Regressão (E) 2
Resíduo (R) 18
Total 20
SQ- soma dos quadrados
GL-Graus de Liberdade
QM-Quadrado da média 
Graus de Liberdade:
(GLE) K-1= 3-1=2
(GLR) N-K=21-3=18
Total= 20
Valor crítico de F= 3,555
n:7
N:21 Se F é maior que 3,555 (valor crítico) rejeita-se a 
hipótese nula.
α=0.05 
Estatística- Quadro da ANOVA 
SQ GL QM F
Entre grupos/Regressão 
(E)
98,67 2
Dentro/Resíduo (R) 10,29 18
Total 108,25 20
SQ- soma dos quadrados
GL-Graus de Liberdade
QM-Quadrado da média 
SQE ou 
SQE= 
�����������
�
-
���²
��
� 98,67
SQR ou 
SQR= 853 -
���²
��
� 10,29 SQT= SQE+SQR
SQT= 98,67+ 10,29
SQT= 108,95
16-05-2016
78
α=0.05 
Estatística- Quadro da ANOVA 
SQ- soma dos quadrados
GL-Graus de Liberdade
QM-Quadrado da média 
SQ GL QM F
Entre grupos/Regressão 
(E)
98,67 2 49,34 86,57
Dentro/Resíduo (R) 10,29 18 0,57
Total 108,25 20
F� �� �
�� �
�� � �
���
���
�� � �
���
���
�� � �
98,67
2 � 49,34 �� � �
10,29
18 � 0,57
F�86,57 86,57 � 3,555
Para saber onde são as diferenças 
realizaríamos um POST HOC.
CURVA DE FREQUÊNCIA
3,555
α=0.05
86,57
16-05-2016
79
Rejeitou-se a H0, ou seja as médias dos 3 grupos
relativamente à dor diferem significativamente entre si.
F(2,18)=86,56 α=0.05 (significância de 5%) e o valor
crítico de F, encontrado na tabela tem o valor de 3,555.
Com estes dados e sabendo que F é maior que 3,555
rejeita-se a H0.
Concluiu-se que os três tipos de tratamento têm
diferentes ações analgésicas pelo que diferem
significativamente relativamente ao seu efeito na
diminuição da dor testada através da Escala numérica
da Dor.
IBM SPSS Statistics
16-05-2016
80
16-05-2016
81
16-05-2016
82
16-05-2016
83
Análise de dados estatísticos no SPSS
MANOVA
16-05-2016
84
§ O que é?
§ A análise de variância multivariada (MANOVA) é uma forma generalizada da análise
de variância (ANOVA). É utilizada em casos onde existem duas ou mais variáveis
dependentes.
§ Para que é usado?
§ É usado para determinar se há diferenças ou relações entre grupos independentes
mas com mais de uma dependente variável entre si. Ajuda-nos a reduzir o erro do tipo
I que seria maior no caso de utilizarmos múltiplos testes ANOVA para obter o mesmo
resultado.
§ Teste MANOVA não nos diz quais os grupos específicos são significativamente 
diferentes dos outros; diz-nos apenas que pelo menos dois grupos são diferentes 
sendo que podemos ter 3,4 ou 5 grupos diferentes no nosso estudo e só com 
testes post-hoc se pode saber as diferenças significativas entre os grupos. 
16-05-2016
85
PASSOS PARA A REALIZAÇÃO E 
INTERPRETAÇÃO NO SPSS DO TESTE 
ONE-WAY MANOVA
Neste teste vamos utilizar 3 grupos de estudantes de três escolas
de diferentes, cada grupo com 20 alunos cada. O objetivo era
comparar a sua prestação escolar nos exames.
Sendo as as variáveis independentes as escolas (escola A, escola
B e escola C), e as variáveis dependentes as notas de Matemática
e Inglês.
Para ajudar neste exemplo criámos o grupo “school” onde juntámos
as variáveis das escolas para facilitar o processo no SPSS.
16-05-2016
86
Aplicação no SPSS
16-05-2016
87
16-05-2016
88
Análise do Output
Nesta primeira tabela podemos já observar as médias das três escolas sendo
já uma forma de análise.
Nesta tabela podemos observar que Sig. (p-value) < 0.05 , logo podemos concluir que o percurso
escolar destes alunos influenciou as notas nos exames destas duas disciplinas. E por isso
continuamos a nossa análise, se p-value fosse > 0.05 então não faríamos mais testes visto que os
resultados não eram significativos.
16-05-2016
89
Nesta tabela podemos observar que a média de resultados em Inglês foram estatisticamente significantes
entre a escola A e a Escola B pois p-value< 0.05 assim como entre a escola A e C no entanto entre a escola
B e C já não se verifica isso pois p-value > 0.05 que é .897 .
A Matemática as médias foram estatisticamente significativas entre a escola A e C e a escola B e C no
entanto isso já não se verifica entre a escola A e B.
Os gráficos ilustram quais as médias que se diferenciam umas das outras nas diferentes escolas.
16-05-2016
90
TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
Teste Não Paramétrico
§ São procedimentos mais simples para testar hipóteses pré-estabelecidas;
§ Utilizam-se quando não estão reunidas as condições de aplicabilidade para os 
testes paramétricos;
§ As variáveis envolvidas são tipicamente qualitativas (nominais ou ordinais), ou no 
caso de variáveis quantitativas, tratam-se de distribuições afastadas da 
normalidade e/ou amostras pequenas.
16-05-2016
91
CARACTERIZAÇÃO DO TESTE DO 
QUI-QUADRADO
Caracterização do Teste do Qui-quadrado
§ É utilizado para variáveis nominais ou ordinais;
§ Para pelo menos 20 casos
§ Neste tipo de dados por categorias, trabalha-se com as frequências;
§ Verifica se existe relação ou não entre duas variáveis;
§ Existem vários tipos de teste do Qui-quadrado;
§ Todos comparam o valor observado na amostra com o chamado valor esperado.
16-05-2016
92
Qui-quadrado aderência/ajustamento
Ou Qui-quadrado da independência 
Qui-quadrado da aderência 
§ Teste consiste em comparar os dados obtidos experimentalmente com os dados 
esperados de acordo com a teoria.
• Diferenças podem ser grandes ou pequenas.
A hipótese nula (H0) que 
pressupõe um bom 
ajustamento deverá ser 
rejeitada em favor da 
hipótese alternativa (H1).
A hipótese nula (H0) 
não será rejeitada e as 
diferenças são 
atribuíveis ao acaso.
16-05-2016
93
Objetivo . . . 
. . . Comparar frequências observadas 
com frequências teóricas ou esperadas, ou seja, 
verificar o seu grau de aproximação, que pode ser 
grande (=0) ou pequeno (>0)
. . .
§ Utiliza-se quando os dados são nominais – em vez de se medirem resultados dos 
sujeitos apenas se podem distribuir os sujeitos por uma ou mais categorias;
§ Testa a hipótese experimental que prevê quantos sujeitos de cada grupo são 
distribuídos por uma determinada categoria.
16-05-2016
94
1. Calcular as frequênciasesperadas (E) para cada célula, somando as frequências 
observadas e dividindo pelo número total de categorias.
� =
∑(�)
�
Em que: O = Frequências observadas para cada categoria
C = número de categorias 
2. Calcular ��:
�� =
∑(� − �)�
�
3. Calcular os graus de liberdade:
�. �. = � − 1
Se �� observado ≥ �� crítico rejeita-se H0 
Se �� observado < �� crítico aceita-se H0 
Exemplo …
§ A depressão acontece mais em homens ou em mulheres. 
§ Amostra aleatória de indivíduos diagnosticados com depressão nos últimos 5 anos, que 
foram ou estão a ser acompanhados em determinado hospital.
FO FE RESÍDUOS
Feminino 45 50 -5
Masculino 55 50 +5
100/2 = 50
16-05-2016
95
�� =
− � �
�� +
� �
��
�� = 1
O ��	observado é igual a 1
O ��	 crítico é igual a 3,84
O valor observado é inferior ao valor critico, logo aceita-se a hipótese nula : a 
distribuição de deprimidos por sexo é homogénea.
Qui-quadrado da independência 
§ Ajuda a decidir se as duas variáveis são dependentes uma da outra (relação de 
dependência).
§ Utiliza-se quando os dados são qualitativos e se pretende saber como se comportam os 
dados quando as variáveis se cruzam – qual a contingência entre as variáveis.
16-05-2016
96
Objetivo . . . 
§ . . . Comparar as frequências observadas em cada uma das células de uma tabela 
de contingência com as diferenças esperadas.
§ Teste compara o número de sujeitos que se distribuem por uma determinada 
categoria com o número de sujeitos que se esperaria se distribuíssem por essa 
mesma categoria, caso não existissem diferenças.
§ Reflete o tamanho das diferenças entre as frequências observadas e esperadas.
§ Para ser significativo, o valor de �� deverá ser igual ou superior aos valores críticos 
da tabela.
1. Numerar as ‘células’ que representam cada uma das categorias e calcular as frequências 
esperadas (E) para uma, multiplicando os dois totais parciais relevantes para cada uma e dividindo 
pelo número total de sujeitos.
� =
�����	�� 	�����	��	�é����	�� 	������ × �����	�� 	������	��	�é����	�� 	������
�����	������
2. Calcular ��:
�� =
∑(� − �)�
�
Em que: O = frequências observadas para cada célula
E = frequências esperadas para cada célula
3. Calcular graus de liberdade:
�. �. = (�− 1)(�− 1)
Em que: r = número de linhas da tabela de contingência
c = número de colunas da tabela de contingência 
16-05-2016
97
g.l.= ��� ���	��	�������− 1 ��� ���	��	������− 1 = 1 × 1 = 1
Consulta-se a tabela dos valores críticos e:
se �� observado≥ �� critico rejeita-se H0
se �� observado < �� critico aceita-se H0
Exemplo … para tabela de dupla entrada 2*2
Saber se os estudantes de Ciências sociais utilizam um método de estudo diferente 
daquele que é utilizado pelos estudantes de Tecnologias.
Amostra: dois grupos com 50 alunos de cada área referida, que posteriormente 
responderam a um questionário acerca da frequência do seu estudo.
Foram recebidas 44 respostas dos estudantes de Ciências sociais e 42 dos estudantes de 
Tecnologias.
Hipótese experimental H1 :
H1: O tipo de estudo varia em função do curso frequentado
Exemplo …
16-05-2016
98
Resultados … (tabela de contingência 2*3)
Regular Irregular Misto
Grupo 1 – Estudantes 
de Ciências Sociais
6 15 23
Grupo 2 – Estudantes 
de Tecnologia
10 8 24
Tipo de Estudo
1) Enumerar as células, obter os totais e calcular as frequências esperadas (E)
Regular Irregular Misto Totais
Grupo 1 E1=16*44/86=8,19
6
E2=23*44/86=11,77
15
E3=47*44/86=24,0
5
23
44
Grupo 2 E3=16*42/86=7,81
10
E5=23*42/86=11,23
8
E6=47*42/86=22,9
5
24
42
Totais 16 23 47 N=86
16-05-2016
99
2) Aplicar a fórmula do ��	e proceder ao calculo do teste
�� = (���,��)
�
�,��
+ (�����,��)
�
��,��
+(�����,��)
�
��,��
+(����,��)
�
�,��
+ (����,��)
�
��,��
+ (�����,��)
�
��,��
�� = 0,59+0,89+0,05+0,61+0,93+0,05 = 3,12
�� =
∑(� − �)�
�
3) Calcular os graus de liberdade (gl)
g.l.= (r-1)(c-1)= (2-1)(3-1)=2
4) Consultar a tabela dos valores críticos
Para p=0,05 e g.l.=2 ��	������� = 5,99
16-05-2016
100
Dado que o valor observado de ��é apenas de 3,12, ou seja, inferior ao valor critico de 5,99 
para p< 	0,05, o resultado da experiencia não é significativo. 
Aceita-se hipótese nula de que os padrões de estudo dos estudantes de Ciências sociais e de 
Tecnologia não diferem, rejeitando-se desta forma a nossa hipótese experimental H1. 
Conclusões …
Teste utilizado:
• teste do Qui-quadrado de independência (para duas
amostras independentes)
• duas variáveis com duas categorias cada (tabela 2x2)
Este teste também pode ser aplicado em variáveis com mais do que
duas categorias (tabelas 2x3, 3x2, 3x3, …).
16-05-2016
101
Amostra:
§ O Sporting quer estudar a relação dos adeptos do Sporting e do Benfica para com 
o respetivo estádio, e especificamente, a assiduidade desses adeptos aos jogos.
Exercicios
u 78 sócios e simpatizantes do Sporting
u 122 sócios e simpatizantes do Benfica
Método:
§ Orientou-se um grupo de entrevistadores de rua para perguntar a esses 
adeptos se vão ou não ao estádio com frequência.
Objetivo:
u Estudar se o facto de pertencer a um clube ou a outro reflete, do ponto de vista 
estatístico, uma maior ou menor tendência para ir ao estádio assistir aos jogos.
16-05-2016
102
Comandos SPSS:
u 1: Inserir variáveis na base de dados
Comandos SPSS:
u 1: Inserir variáveis na base de dados
16-05-2016
103
Comandos SPSS:
u 2: Data Weight Cases
Weight Cases by Frequency Variable: Frequência Ok
Comandos SPSS:
u 3: Analyze Descriptive Statistics Crosstabs
16-05-2016
104
Comandos SPSS:
u 4: Row(s): Clube
Columns(s): Estádio
Comandos SPSS:
u 5: Na caixa ‘Statistics’ selecionar Chi-square Continue
16-05-2016
105
u 6: Na caixa ‘Cells’ selecionar em ‘Counts’: Observed e Expected Continue Ok
Comandos SPSS:
Output obtido:
16-05-2016
106
Hipótese nula: Existe independência entre filiação clubística
(Sporting, Benfica) e ida habitual
ao estádio para assistir a
jogos (não vai, vai)
Hipótese alternativa: Existe relação entre filiação clubística (Sporting,
Benfica) e a ida habitual ao estádio
para assistir a jogos (não vai,
vai)
p-value
16-05-2016
107
Conclusão:
Não existe relação entre a filiação clubística e o hábito de ir ao estádio ver os
jogos.
Temos que α=0,05
Se p-value < α Rejeita-se a hipótese nula
Se p-value > α Aceita-se a hipótese nula
Neste caso,
p-value > α Aceita-se a hipótese nula
Introdução
Segundo MAUSNER & BAHN “um teste de diagnóstico é um instrumento básico dum 
programa de rastreio”.
As suas características mais importantes são:
o Validade
o Confiança
o Produtividade
16-05-2016
108
Introdução
Doença
Presente Ausente Total
Teste
Positivo A
Verdadeiro positivo
B
Falso positivo
A+B
Negativo C
Falso negativo
D
Verdadeiro negativo
C+D
Total A+C B+D A+B+C+D
Testes de Diagnóstico
Sensibilidade (S)
Especificidade (E)
Valor Preditivo Positivo (VPP)
Valor Preditivo Negativo (VPN)
Acuracy (Precisão)
Razão de Probabilidade Positiva (LR+)
Razão de Probabilidade Negativa (LR-)
Probabilidade pré/pós-teste da doença
Odds pré/pós-teste
Teorema de Bayes
16-05-2016
109
Sensibilidade
� =
�
� + �
Proporção de verdadeiros positivos entre todos os doentes.
Avalia a capacidade de um teste de diagnóstico 
identificar a doença nos indivíduos verdadeiramente 
doentes.
Escolhemosum teste sensível quando a doença é 
potencialmente grave. Os testes sensíveis também são 
utilizados para realizar rastreios de doenças
Especificidade
� =
�
� + �
Proporção de verdadeiros negativos entre todos os sadios.
Avalia a capacidade do teste de diagnóstico afastar a doença 
quando ela está ausente.
Os testes específicos são utilizados para confirmar um 
diagnóstico, uma vez que dão poucos falsos positivos.
São particularmente necessários quando os resultados errados 
(falsos positivos) podem provocar traumas psicológicos, 
económicos ou sociais, como por exemplo o teste anti-HIV. 
(MEDRONHO & PEREZ, 2002).
16-05-2016
110Valor Preditivo Positivo
Proporção de verdadeiros positivos entre todos os 
indivíduos com teste positivo.
Expressa a probabilidade de um paciente com o teste 
positivo ter a doença.
Valor Preditivo Negativo
Proporção de verdadeiros negativos entre todos os 
indivíduos com teste negativo.
Expressa a probabilidade de um paciente com o teste 
negativo não ter a doença.
16-05-2016
111
Valor Preditivo
v Quanto mais sensível for o teste melhor o seu valor preditivo negativo, isto 
é, maior a segurança de que um doente com resultado negativo não tenha a 
doença.
v Quanto mais específico for o teste melhor o seu valor preditivo positivo, 
isto é, maior a segurança de que um doente com resultado positivo tenha a 
doença.
v Se a prevalência da doença for baixa, mesmo um teste extremamente 
válido terá um fraco valor preditivo.
Acuracy (precisão)
Proporção de acertos de um teste diagnóstico.
Proporção entre os verdadeiros positivos e negativos em 
relação a todos os resultados possíveis.
16-05-2016
112
Razão de Probabilidade
Permite avaliar a acuidade de um teste através do cálculo da Razão de 
Verosimilhança, definida como:
Razão entre a probabilidade de um determinado 
resultado de um teste diagnóstico em indivíduos 
portadores da doença e a probabilidade do mesmo 
resultado em indivíduos sem a doença.
Razão de Probabilidade Positivo
Expressa quantas vezes é mais provável encontrar um 
resultado positivo em pessoas doentes quando comparado 
com pessoas não doentes.
Quanto maior o valor do LR+ melhor o valor de diagnóstico 
do teste (LR+ ≥ 10 representa um teste de elevado valor de 
diagnóstico).
16-05-2016
113
Razão de Probabilidade Negativo
Expressa quantas vezes é mais provável encontrar um 
resultado negativo em pessoas doentes quando comparado 
com pessoas não doentes.
Quanto menor o valor do LR- melhor o valor de diagnóstico 
do teste (LR- ≤ 0,1 representa um teste de elevado valor de 
diagnóstico).
Probabilidade Pré-Teste
Probabilidade do indivíduo ter a doença antes da 
realização do teste de diagnóstico.
16-05-2016
114
Odds Pós-teste
Estimativa que resulta do produto do Odds Pré-teste da 
doença e da Razão de Versomilhança Positiva (LR+).
Probabilidade Pós-Teste
Teorema de Bayes
Se os resultados dos testes forem positivos, qual a 
probabilidade de que o paciente tenha a doença?
Se os resultados dos testes forem negativos, qual a 
probabilidade de que esse paciente não tenha a doença?
16-05-2016
115
229
Correlação Rho de Spearman
@Medida de associação das ordenações dos valores
das variáveis e não dos valores em si;
@ Pode ser calculado para variáveis definidas numa
escala ordinal;
@Calcula-se a partir de ordenações das variáveis.
230
Passos para o cálculo
1. Listagem das observações das duas variáveis;
2. Ordenação, atribuindo o número 1 ao menor valor;
3. Cálculo das diferenças (D / d) entre as ordenações;
4. Elevação ao quadrado dessas diferenças;
16-05-2016
116
231
Continuando...
5. Por último, cálculo do Coeficiente de Correlação de
Spearman, ρ, através da seguinte fórmula:
)1(
6
1 2
2
−
−= ∑
nn
D
ρ
Sendo D= Xi-Yi
NOTA
ü Se as duas classificações forem iguais, D é sempre 0 ρ=1
ü Se as ordens mais altas de uma classe estão associadas às mais 
baixas das outras ρ torna-se (-)
üSe as duas classificações são inversas ρ = -1
232
Interpretação de Resultados
• É feita do mesmo modo que para a correlação de
Pearson.
16-05-2016
117
233
Exemplo:
3.0
)125(5
1461
)1(
6
1 2
2
=
−
×
−=
−
−= ∑
nn
D
ρ
As diferenças D seriam -4, -2, 0, 2 e 4, logo ∑ = 142D
Como o resultado é próximo de 0 a correlação é positiva mas fraca.
X Ord. Y Ord. D D2 
7 1 12 2 -1 1 
13 3 5 1 2 4 
14 4 23 5 -1 1 
10 2 20 4 -2 4 
17 5 16 3 2 4 
 ∑ =142D 
 
H1: Existe correlação entre o perímetro abdominal e a 
obesidade
Foram efetuadas medições do perímetro 
abdominal e cálculos do IMC a 28 
indivíduos do sexo masculino obesos, 
aleatoriamente selecionados, de forma a 
entender se é possível determinar se um 
indivíduo é obeso apenas medindo o seu 
perímetro abdominal. 
Nível de 
Risco
Masculino Feminino
Risco 
Aumentado
≥ 94 ≥ 80
Risco Muito 
Aumentado
≥ 102 ≥ 88
Classificação IMC
Obesidade ≥ 30
16-05-2016
118
Obtiveram-se os seguintes resultados
Perímetro
Abdominal
(cm)
IMC
1 101,23 34,45
2 98,04 31,65
3 102,37 37,25
4 97,47 31,24
5 101,45 34,85
6 100,54 33,87
7 97,72 31,65
8 101,20 32,85
9 107,42 42,86
10 95,76 30,86
11 103,40 37,65
12 100,17 35,00
13 97,41 31,07
14 97,46 30,07
Perímetro
Abdominal
(cm)
IMC
15 95,42 30,11
16 104,22 37,64
17 101,28 33,50
18 102,43 35,38
19 106,32 40,06
20 104,96 38,05
21 95,65 30,86
22 98,40 32,44
23 97,58 31,62
24 103,38 37,64
25 97,50 31,11
26 101,28 34,22
27 103,12 37,33
28 102,15 35,11
H1 : Existe correlação entre o perímetro abdominal e a obesidade?
Variable View
16-05-2016
119
H1: Existe correlação entre o perímetro abdominal e a obesidade?
Data View
H1: Existe correlação entre o perímetro abdominal e a obesidade
Aplicação do Teste
Analyse
Correlate
Bivariate
16-05-2016
120
H1: Existe correlação entre o perímetro abdominal e a obesidade
Aplicação do Teste
H1: Existe correlação entre o perímetro abdominal e a obesidade
Aplicação do Teste
Syntax
16-05-2016
121
H1: Existe correlação entre o perímetro abdominal e a obesidade
Aplicação do Teste
Output
Coeficiente de correlação entre o perímetro abdominal e o IMC 
( de obesos) = 0,962
Significância= 0,000 muito significativo logo, rejeita-se 
a H0
De acordo com, Bryman e Cramer, podemos afirmar que a 
correlação é muito elevada pois 0,9 < 0,962 ≤ 1 
Representação Gráfica da Correlação
§ Diagrama de dispersão de pontos ou Scatterplot
Variáveis 
negativamente 
correlacionad
as
(inclinação 
negativa)
Variáveis 
positivamente 
correlacionadas
(inclinação positiva)
Não existe Correlação
16-05-2016
122
Scatter Plot
Graphs
Legacy Dialogs
Scatter/Dot
Scatter Plot
16-05-2016
123
Scatter Plot
Syntax
Scatter Plot
Output
16-05-2016
124
Scatter Plot
Output
Variáveis positivamente correlacionadas
À medida que o IMC (de obesos) aumenta, o 
perímetro abdominal (cm) também aumenta 
(diretamente proporcionais).
H1: Existe correlação entre o perímetro abdominal e a 
obesidade
§Sim, existe correlação entre o perímetro 
abdominal e a obesidade.
16-05-2016
125
TESTE U DE MANN-WHITNEY
TESTE U DE MANN WHITNEY
250
§ QUANDO UTILIZAR:
§ Dadas duas amostras, de tamanhos n1 e n2, é possível saber se ambas as amostras podem ser consideradas provenientes da mesma 
população. 
§
§ O teste de Mann-Whitney deve ser utilizado em designs com 
duas situações, não-relacionados, quando são utilizados sujeitos 
diferentes em cada uma das situações experimentais.
§ EXEMPLO:
§ Suponha que quer investigar o efeito de material significante 
numa tarefa de memorização. 
§ A memorização é medida pelo número de palavras relembradas e 
a nossa previsão é que os resultados serão superiores na Situação 2. 
16-05-2016
126
RACIONAL:
§ O teste de Mann-Whitney ordena os resultados de todos os sujeitos em ambas as 
situações como se fossem apenas um conjunto simples de resultados.
251
Tabela: Resultados na memorização de material mais ou menos concreto
Resultados na
Situação 1
(Material abstracto)
Ordem (1) Resultados na
Situação 2
(Material
concreto)
Ordem (2)
3 3 9 11
4 4 7 9
2 1,5 5 5,5
6 7,5 10 12
2 1,5 6 7,5
5 5,5 8 10
TOTAL 22 T1=23 45 T2=55
MÉDIA 3,67 7,5
RACIONAL:
§ Se as diferenças entre as situações forem aleatórias, como é postulado por 
Ho, então os resultados devem ser aproximadamente os mesmos e, 
consequentemente, as ordens devem ser também aproximadamente as mesmas 
para as duas situações. 
252
16-05-2016
127
Racional (cont)
§ Se houver uma preponderância de ordens altas ou baixas numa situação ou na 
outra, então é porque a diferença no total dos resultados ordenados para cada 
situação é devida aos efeitos previstos da variávelindependente e não ao acaso. 
253
Racional (cont)
§ Se a soma total das ordens for muito baixa para uma das situações, então terá de 
haver uma preponderância de ordens elevadas na outra situação. Quanto menor 
for U mais significativas serão as diferenças entre as ordens das duas situações.
254
16-05-2016
128
INSTRUÇÕES PASSO-A-PASSO:
255
§1.Ordene todos os resultados para ambos os 
grupos como se se tratasse de um conjunto único 
de resultados, atribuindo a ordem 1 ao resultado 
inferior e assim sucessivamente.
§ O ordenamento global de todos os resultados 
é apresentado em Ordens(1) e Ordens (2)
§2. Adicione as ordens totais para o grupo 1 e 
grupo 2 em separado.
§ T1=23 e T2=55
256
3. Seleccione o maior total das ordens.
T2=55 
4. Calcule o valor de U através da fórmula
Nx (nx + 1)
U = n1 x n2 + ----------------- - Tx, 
2
em que
n1=número de sujeitos no grupo 1 n1=6
n2=número de sujeitos no grupo 2 n2=6
Tx=maior total de ordens Tx=T2=55
Nx=número de sujeitos do grupo com o maior total de ordens Nx=6
6 x 7
U = 6 x 6 + ------------- - 55 = 36+21-55=2
2
Normalmente, é preferível ter um número idêntico de sujeitos em cada grupo; no entanto, se tiver 
de utilizar um número desigual de sujeitos, poderá fazê-lo. Em caso de dúvida, calcule U para ambas as 
ordens totais, seleccionando o n apropriado a cada caso e, depois, considere o U mais pequeno.
16-05-2016
129
CONSULTA DE SIGNIFICÂNCIA NA TABELA
257
§As Tabelas dos valores criticos apresentam os valores 
críticos de U nos diferentes níveis de significância de 
testes unicaudais e bicaudais, para as diferentes 
combinações de n1 e n2 dos dois grupos. 
§ O procedimento mais usual é começar com as 
Tabelas dos valores criticos para verificar se o valor 
de U é significativo ao nível de significância de p < 
0,05 para testes unicaudais ou para testes bicaudais.
CONSULTA DE SIGNIFICÂNCIA NA TABELA
258
§ Uma vez que previmos que os sujeitos da 
Situação 2, aqueles que aprendiam com material 
concreto, obteriam resultados superiores, 
poderemos consultar a Tabela dos valores críticos 
unicaudal para 0,05. Localizando n1=6 na linha 
superior e n2=6 na coluna do lado esquerdo, 
encontraremos o valor crítico de U na intercepção 
dos dois. 
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130
CONSULTA DE SIGNIFICÂNCIA NA TABELA
259
§ Uma vez que se convencionou utilizar o nível 
inferior de U, o nosso valor de U=2 deve ser igual ou 
inferior ao valor crítico 7, o que acontece. Passando 
para a Tabela bicaudal a 0,05, o nosso valor de U=2 é 
inferior ao valor crítico 5 para n1=6 e n2=6. 
260
• 3. O valor observado U=2 é inferior ao valor crítico 
para n1=6 e n2=6. Podemos, desta forma, rejeitar a 
hipótese nula e aceitar que existem diferenças 
significativas a favor da memorização de material 
concreto (p < 0,05).
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131
Em SPSS
§ Este estudo baseou-se numa amostra de 30 pessoas, 15 do sexo 
feminino e 15 do sexo masculino. Todas elas sofreram entorses 
da tibiotársica em inversão num espaço temporal de há mais de 
dois anos e há menos de dez. O objetivo foi saber se a 
população em estudo teve recidivas destes entorses, num 
espaço de dois anos após o mesmo ter ocorrido, e se sim, que 
fatores influenciaram estas recidivas.
Inquérito sobre entorses da tibiotársica
1ªHipótese: O IMC influencia a existência de recidivas de um entorse até 2 anos 
após a sua ocorrência
H0: O IMC não influencia a existência de recidivas de um entorse até 2 anos após a 
sua ocorrência
H1: O IMC influencia a existência de recidivas de um entorse até 2 anos após a sua 
ocorrência
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132
Inquérito sobre entorses da tibiotársica
2ªHipótese: A idade influencia a existência de recidivas de um entorse até 2 anos 
após a sua ocorrência
H0: A idade não influencia a existência de recidivas de um entorse até 2 anos após 
a sua ocorrência
H1: A idade influencia a existência de recidivas de um entorse até 2 anos após a 
sua ocorrência
Verificação de variáveis
Mesocúrtica:
Para a variável ser mesocúrtica é necessário fazer-se
a divisão de Kurtosis pelo erro padrão e o seu
resultado deve estar compreendido entre -2 e 2.
Idade:
-0,318/0,833=-0,381, logo é mesocúrtica
IMC:
0,894/0,833=1,073, logo é mesocúrtica
Simétrica:
Para haver simetria da distribuição, é necessário a divisão de
Skewness pelo erro padrão e o resultado estar compreendido
entre 2 e -2.
Idade:
0,775/0,427=1,814, logo é simétrica
IMC:
1,057/0,427=2,475, logo não é simétrica e é não paramétrica.
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133
Verificação de variáveis
Como sig é inferior a 0,05, conclui-se que as variáveis não têm
distribuição normal. Logo, não são paramétricas e temos de usar o
teste U de Mann-Whitney. (Se fossem usar-se-ia o T de student para
dados independentes)
No SPSS
O Valor do sig é inferior a 0,05, logo
rejeita-se a H0. Como se rejeita a H0,
admite-se que o IMC influencia as
recidivas de um entorse até 2 anos
após a sua ocorrência.
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No SPSS
O Valor do sig é inferior a 0,05, logo
rejeita-se a H0. Como se rejeita a H0,
admite-se que a idade influencia as
recidivas de um entorse até 2 anos
após a sua ocorrência.
Conclusão
Com o teste U de Mann-Whitney, provou-se que o
IMC e a idade influenciam a existência de recidivas de
entorses da tibiotársica, até 2 anos após a sua
ocorrência.
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135
EXERCÍCIOS
Inquérito sobre entorses numa equipa de futebol das Caldas da Rainha
Hipótese – A prática de desporto influencia a EVA numérica.
Ho: A prática de desporto influencia a EVA numérica.
H1: A prática de desporto não influencia a EVA numérica.
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Pré-requisitos Mesocúrtica:
Para a variável ser mesocúrtica, é
necessário fazer-se a divisão de
Kurtosis pelo erro padrão e o seu
resultado deve estar compreendido
entre -2 e 2.
EVA: -0,878/1,279=-0,686 
Entorse:-0,213/0,661=-0,322
Logo, a variável é mesocúrtica.
Simétrica:
Para haver simetria da distribuição, é
necessário a divisão de Skewness
pelo erro padrão e o resultado estar
compreendido entre 2 e -2.
EVA:-0,329/0,661=-0,498 
Entorse:-2,444/1,279=-1,912
Logo, a distribuição é simétrica.
Distribuição normal
Sig=0,000 e Sig=0,018
Como o Sig é inferior a 0.05, rejeita-se a H0 e diz-
nos que a variável não tem distribuição normal. 
Logo, as variáveis são não paramétricas!
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137
Teste de Mann-Whitney
§ Se tratavam de variáveis não emparelhadas;
§ A variável dependente é quantitativa (EVA numérica);
§ A variável independente é qualitativa nominal (Entorses).
Além disso o teste em questão é utilizado para testar a hipótese nula que
afirma que as médias populacionais são as mesmas para os dois grupos,
não exigindo que as populações tenham a mesma variância.
Em que as variáveis não obedeciam a todos os requisitos da estatística
paramétrica (distribuição normal, mesocúrtica, simetria).
Chegamos assim á conclusão que teríamos de usar um teste não
paramétrico e tendo em conta que:
O teste de Mann-Whitney cria um ranking (ordenação) de todos os
casos (independente do grupo) e depois compara estes ranking
entre cada grupo.
Observamos o rank médio e a soma dos rankings de cada grupo, havendo
diferença entre os grupos e consequentemente diferença significativa nos
rankings médios, sendo maior o ranking do grupo que pratica mais do que
um desporto.
Resultados
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138
Em Test Statistics, podemos observar que não há diferença entre a EVA
numérica dos que praticam um desporto e da EVA numérica dos que
praticam mais do que um desporto, isto porque o Sig>0,05, ou seja,
0,431>0,05, aceitando-se portanto a hipótese nula, aceitando-se
homogeneidade, concluindo assim que as variáveis em questão não
dependem uma da outra.
Conclusões
• A prática de um ou mais desportos pelos jogadores de uma equipa de
futebol das Caldas da Rainha influencia a EVA numérica, ou seja, os
jogadores que praticam mais do que um deporto tem uma maior
intensidade de dor no que diz respeito a entorses do pé.
• É relativamente fácil de compreender estes resultados, pois osjogadores que mais esforço fazem nos mais diversos desportos estão
mais propensos a fazer entorses, a ter entorses reincidentes e claro,
mais esforço pode levar a mais dor.
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139
WILCOXON
Wilcoxon
§ Este teste é a versão não paramétrica do teste t para amostras emparelhadas. Em particular, 
nós usamos este teste quando temos medições repetidas de uma amostra.
§ O teste de Wilcoxon pode ser usado com dados ordinais, intervalares ou proporcionais. Os 
dados para esse teste consistem dos diferentes registos das medições repetidas. Essas 
diferenças são então classificadas da menor para a maior em valores absolutos (sem 
considerar o sinal). 
§ Se existir uma diferença real entre as duas medições, ou tratamentos, então os diferentes 
registos serão positivos ou negativos. Por outro lado, se não houver diferença entre os 
tratamentos, então os diferentes registos serão misturados regularmente. 
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140
Consideremos o seguinte exemplo
§ O diretor d recursos humanos de uma empresa crê que os operadores de um call-center
com treino de competências sociais, deixam uma impressão mais favorável nos clientes 
do que os operadores sem este tipo de treino. Portanto medem o grau de simpatia de 
20 operadores antes e depois do treino de competências sociais. O grau de simpatia é 
medido numa escala de 0 a 10, sendo que 10 indica um elevado grau de simpatia.
Princípios para aplicação
§ Estudos com grupos de: Controlo e Experimental;
§ Estudos em momento: “Antes” e “Após”;
§ Estudos com duas situações experimentais: submetendo um grupo de sujeitos a duas
situações ou dois grupos de sujeitos emparelhados a duas situações distintas;
§ Os dados, quanto ao Nível de Mensuração: Ordinais ou Quantitativas;
§ Não existe uma fórmula, mas sim um par de procedimentos para calcular as diferenças
entre grupos;
§ A estatística do teste: T de Wilcoxon
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Procedimentos para aplicação do teste 
Procedimentos com um n amostral ≤ 100:
§ Σxi – situação A: Σxi – situação B;
§ Estimar a diferença (dA-B) de cada par de resultados e identificar os respetivos 
sinais + e -;
§ Determinar a ordem das diferenças (dA-B);
§ A diferença entre um par de resultados = 0 (excluir o par de análise);
§ Números ordenados com sinal (+) na coluna “ordem(+)”. Números Ordenados com 
sinal (-) na coluna “Ordem(-)”
§ Σxi da “Ordem +”; Σxi da “Ordem –”;
§ Considere os dois totais “T Ord(-)” e “T Ord(+). O valor de Tobservado (estatística do 
teste) será o Menor deles. 
§ Para que o valor Tobservado seja significativo, num determinado nível de
probabilidade (1-α), deve ser inferior ou igual aos valores críticos
associados a N do estudo.
Tobservado ≤ Tcrítico
Procedimentos para aplicação do teste 
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Exemplo para aplicação de teste
§ Um médico (Diretor de Serviço) decidiu avaliar a variação de confiança percecionado por um
grupo de doentes internados, em relação aos enfermeiros que vestiam bata branca ou não
quanto à realização, por parte dos doentes, de determinadas prescrições clínicas. A avaliação
do grau de confiança foi medido numa escala de 5 pontos (dados ordinais), em que o doente
exprimia a forma como “se sente quando tratado por um enfermeiro com bata branca e por
um enfermeiro sem bata branca”. Nesta escala, o resultado de 1 significa “nada confiante”,
enquanto o 5 significa “totalmente confiante”. O questionário foi entregue a 15 doentes que
se encontravam em regime de internamento.
h0 = os doentes internados, independentemente, de serem tratados por enfermeiros com ousem uniforme, a sua relação de confiança no cumprimento de determinadas prescrições pelos
mesmos não é afetada
h1 = os doentes internados revelam um nível de confiança mais elevado, quando tratados porenfermeiros de bata branca, aderindo mais facilmente às prescrições clínicas.
Exemplo para aplicação de teste
 
Doentes 
Resultados 
Situação A com 
uniforme 
Situação B sem 
uniforme 
1 5 3 
2 4 3 
3 5 2 
4 2 5 
5 4 4 
6 3 3 
7 5 4 
8 5 3 
9 4 2 
10 4 2 
11 2 2 
12 3 1 
13 5 1 
14 4 2 
15 5 1 
Σ 60 38 
x 4 2,533 
 
► Como “se sente quando tratado por um
enfermeiro com bata branca e por um
enfermeiro sem bata branca”.
► Nesta escala, o resultado de 1 significa
“nada confiante”, enquanto o 5 significa
“totalmente confiante”.
► O questionário foi entregue a 15 doentes
que se encontravam em regime de
internamento.
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143
Exemplo para aplicação de teste
u Determinar a ordem das diferenças (dA-B).
 
Doentes 
Resultados Cálculos 
Situação A com 
uniforme 
Situação B sem 
uniforme 
d = A – B 
1 5 3 +2 
2 4 3 +1 
3 5 2 +3 
4 2 5 -3 
5 4 4 0 
6 3 3 0 
7 5 4 +1 
8 5 3 +2 
9 4 2 +2 
10 4 2 +2 
11 2 2 0 
12 3 1 +2 
13 5 1 +4 
14 4 2 +2 
15 5 1 +4 
Σ 60 38 
x 4 2,533 
 
Exemplo para aplicação de teste
§ No sentido de verificar se estas situações diferem significativamente entre cada situação, tem de
se seguir os passos conforme se indicam:
§ Atribuir a ordem 1 à menor diferença, a ordem 2 à diferença imediatamente a seguir, e assim
sucessivamente. Ao realizar este passo é necessário não esquecer que os zeros foram
omitidos e que se ignora os valores + e –
§ Contudo, sempre que a diferença entre um par de resultados é 0, omite-se esse par de toda a
análise
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144
Exemplo para aplicação de teste
 
Doentes 
Resultados Cálculos 
Situação A com 
uniforme 
Situação B sem 
uniforme 
d = A – B 
1 5 3 +2 (3) 
2 4 3 +1 (1) 
3 5 2 +3 (9) 
4 2 5 -3 (10) 
5 4 4 0 
6 3 3 0 
7 5 4 +1 (2) 
8 5 3 +2 (4) 
9 4 2 +2 (5) 
10 4 2 +2 (6) 
11 2 2 0 
12 3 1 +2 (7) 
13 5 1 +4 (11) 
14 4 2 +2 (8) 
15 5 1 +4 (12) 
Σ 60 38 
x 4 2,533 
 
► Ordenação Restrita: se os valores das diferenças (d) forem idênticos (como é o caso).
Aqui, por exemplo, os sujeitos 2 e 7 apresentam ambos os valores =1. Estes dois
resultados são os mais baixos e, por isso, devem corresponder aos dois lugares mais baixos,
isto é, números 1 e 2, respetivamente.
Exemplo para aplicação de teste
 
Doentes 
Resultados Cálculos 
Situação A com 
uniforme 
Situação B sem 
uniforme 
d = A – B Ordem de d Ordem das 
diferenças (+) 
Ordem das 
diferenças (-) 
1 5 3 +2 (3) (+) 5,5 (+) 5,5 
2 4 3 +1 (1) (+) 1,5 (+) 1,5 
3 5 2 +3 (9) (+) 9,5 (+) 9,5 
4 2 5 -3 (10) (-) 9,5 (-) 9,5 
5 4 4 0 Excluído 
6 3 3 0 Excluído 
7 5 4 +1 (2) (+) 1,5 (+) 1,5 
8 5 3 +2 (4) (+) 5,5 (+) 5,5 
9 4 2 +2 (5) (+) 5,5 (+) 5,5 
10 4 2 +2 (6) (+) 5,5 (+) 5,5 
11 2 2 0 Excluído 
12 3 1 +2 (7) (+) 5,5 (+) 1,5 
13 5 1 +4 (11) (+) 11,5 (+) 5,5 
 (14 4 2 +2 (8) (+) 5,5 (+) 5,5 
15 5 1 +4 (12) (+) 11,5 (+) 5,5 
Σ 60 38 (+) 68,5 (-) 9,5 
x 4 2,533 
 
����� 	��	� = �����������
�
= 5,5
����� 	��	� = ���
�
= 1,5
����� 	��	� = ����
�
= 9,5
����� 	��	� = �����
�
= 11,5
Adiciona-se os números e divide-se pelo número de valores d com o mesmo resultado.
16-05-2016
145
Exemplo para aplicação de teste
Considere os dois totais “T Ord(+)” e “T Ord(-)”. O
valor de Tobservado (estatística do teste) será o menor
deles. Logo, T: -9,5
Cálculos 
d = A – B Ordem de d Ordem das 
diferenças (+) 
Ordem das 
diferenças (-) 
+2 (+) 5,5 (+) 5,5 
+1 (+) 1,5 (+) 1,5 
+3 (+) 9,5 (+) 9,5 
-3 (-) 9,5 (-) 9,5 
0 Excluído 
0 Excluído 
+1 (+) 1,5 (+) 1,5 
+2 (+) 5,5 (+) 5,5 
+2 (+) 5,5 (+) 5,5 
+2 (+) 5,5 (+) 5,5 
0 Excluído 
+2 (+) 5,5 (+) 1,5 
+4 (+) 11,5 (+) 5,5 
+2 (+) 5,5 (+) 5,5 
+4 (+) 5,5 (+) 5,5 
 (+) 68,5 (-) 9,5 
 
 
O número de pares em análise é
representado por N, o que é dado
pela diferença entre o total dos pares
e o número de pares cuja diferença
de d é nula. Deste modo, temos:
N = 15 – 3; N = 12
Princípios para interpretação
u Valores críticos de T (teste de Wilcoxon) em vários níveis de probabilidades: para que o valor
Tobservado seja significativo, num determinado nível de probabilidade, deve ser ≤ aos valores
Tcríticos associados ao N do estudo da tabela
u Submetendo os dados a um teste de Wilcoxon (Tobservado = 9,5 < Tcrítico = 13 para n=12), os
resultados “nível de confiança” foram considerados