2010-2 AP1-HM-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 (GABARITO) – História da Matemática – 2/2010
Questão 1 [2,5 pts]: Na tabela Plimpton 322 só aparecem duas colunas correspondentes a dois
dos três números de uma tripla pitagórica: u2 − v2 e u2 + v2.
Sabendo que 4601 e 6649 são números de uma tripla da tableta, descubra os correspondentes
geradores u e v, bem como o terceiro número da tripla.
(Unidade 2 - Texto 4)
Solução:
6649 = u2 + v2
4601 = u2 − v2
11250 = 2u2 ⇐⇒ u2 =
11250
2
= 5625
=⇒ u =
√
5625 = 75 (= 3 × 52)
Dáı, v2 = 6649 − 5625 = 1024 =⇒ v =
√
1024 = 32 (= 25).
Logo, o terceiro número da tripla pitagórica será 2uv = 2 × 75 × 32 = 4800.
Questão 2 [2,5 pts]: Demonstre a proposição conhecida como Teorema de Tales: “Todo ângulo
inscrito em um semićırculo é reto.”
(Unidade 2 - Texto 5)
Solução: Demonstração no Texto 5.1.
Questão 3 [1,5 pt]: Dê duas contribuições da escola pitagórica.
(Unidade 2 - Texto 5)
Solução: Ver Texto 5.4.
Questão 4 [2,0 pts]: Use a igualdade
1 +
√
5
2
= 1 +
1
1 +
√
5
2
para gerar uma fração cont́ınua.
(Unidade 3 - Texto 7)
Solução:
1 +
√
5
2
= 1 +
1
1 +
1
1 +
√
5
2
. Prosseguindo assim, obtem-se:
1 +
√
5
2
= 1 +
1
1 +
1
1 +
1
1 +
1
1 + . . .
.
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História da Matemática AP1 (GABARITO) 2/2010
Questão 5 [1,5 pt]: Considere o triângulo de números a seguir:
1
3 5
7 9 11
i) Escreva as duas próximas linhas;
ii) Some os números de cada uma das linhas do novo triângulo. O que você pode observar?
(Unidade 4)
Solução:
i) 1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
}
ii) 1 = 13
8 = 23
27 = 33
64 = 43
125 = 53
A soma das linhas do triângulo de
números são cubos perfeitos.
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