Matemática - 9º Ano

Prévia do material em texto

PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
 
Rua Francisco Coutinho, 457, Bairro Augusta Mota/CEP: 39.403.219. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
 
Rua Francisco Coutinho, 457, Bairro Augusta Mota/CEP: 39.403.219. 
Humberto Guimarães Souto 
Prefeito 
 
Guilherme Augusto Guimarães Oliveira 
Vice-Prefeito 
 
Rejane Veloso Rodrigues 
 Secretária Municipal de Educação 
 
 
 Elisângela Mesquita Silva 
Diretora Técnico-Pedagógica 
 
Sidnéia Sales 
Gerente Pedagógica 
 
Rômulo Ferreira da Silva 
Coordenador de Ensino Fundamental – Anos Finais 
 
Equipe Técnica: 
Claudia Soares da Silva Braga – Analista Curricular de Língua Portuguesa 
Cleiton Soares Oliveira – PEB II/Matemática 
Helen Patrícia Vieira Maia – Analista Curricular de Geografia 
Marcos Filipe Soares Oliveira – Analista Curricular de Educação Física 
Patrícia Lopes da Silva – PEB II/Matemática 
Rômulo Ferreira da Silva – Analista Curricular de História 
Sérgio Renato Oliveira – Analista Curricular de Ciências 
Tânia Cléia de Oliveira – PEB II/Matemática 
Valdiva Coimbra Oliveira – Analista Curricular de Ensino Religioso 
 Vivian Orneles de Freitas – Analista Curricular de Arte 
Viviane Ramos Ribeiro – Analista Curricular de Língua Inglesa 
 
 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
 
Rua Francisco Coutinho, 457, Bairro Augusta Mota/CEP: 39.403.219. 
 
 
Prezado responsável, 
Devido à permanência da COVID-19, as aulas presenciais na rede municipal 
continuam suspensas, por isso, o ensino remoto que foi realizado em 2020 terá 
continuidade em 2021. 
Diante desse cenário, a Secretaria Municipal de Educação elaborou o “Plano de 
Estudo Remoto” para que as práticas de estudo dos alunos sejam feitas de maneira 
gradual e o aprendizado seja efetivado. Esse plano contempla o componente curricular 
de Matemática que contém atividade a ser realizada pelo(a) aluno(a). 
Sendo assim, é necessário que você auxilie e incentive o(a) seu(sua) filho(a) no 
cumprimento de todas as atividades propostas. 
Contamos com a sua colaboração! 
 
 
Caro(a) estudante, 
Para auxiliar os seus estudos neste ano, preparamos o “Plano de Estudo Remoto” 
com atividades que deverão ser realizadas por você, na sua casa. Esse plano contempla 
todas as disciplinas referentes ao seu ano de escolaridade e está dividido em blocos com 
o conteúdo e a atividade a ser realizada por você. 
Além desse plano, você contará com as orientações do seu professor que 
poderão ser com vídeos, uso de sala classroom, whatsapp, livro didático, orientações 
em áudio etc. 
 Contamos com a sua dedicação com os estudos! 
 
Equipe Anos Finais 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- CONJUNTOS NUMÉRICOS - 
Conjunto dos Números Naturais: Os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... surgiram da necessidade que o ser humano 
teve de quantificar objetos, membros da comunidade, animais do rebanho etc. Junto com o zero, esses 
números formam o conjunto dos números naturais ( ). 
 { } 
Conjunto dos Números Inteiros: Juntando ao conjunto dos números naturais os números inteiros 
negativos, obtemos o conjunto de todos os números inteiros. 
 ={..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
Conjunto dos números racionais: Pertencem a esse conjunto os números que podem ser escritos na forma 
de fração, cujo numerador e denominador são inteiros e denominador diferente de zero. Simbolicamente, 
indicamos assim: {
 
 
 
 
 
 } 
Recordemos alguns exemplos de números racionais: 
a) 2 é um número racional, pois pode ser escrito como 
1
2
5
10
3
6



 , etc. 
b) 3,42 é um número racional, pois pode ser escrito como 
50
171
100
342
 . 
c) -51,70 é um número racional, pois ele pode ser escrito como
10
7
51
10
517
100
5170




, etc. 
d) 
4
3
 é um número racional, pois está representado por uma fração com numerador e denominador inteiros 
e denominador diferente de zero. 
PLANO DE ESTUDO REMOTO – MATEMÁTICA / 9º ANO 
NOME DA ESCOLA: _________________________________________________________________ 
ALUNO (A): _________________________________________________________________________ 
TURMA: _____________________ PROFESSOR (A): ____________________________________ 
1º BIMESTRE – MARÇO 
 
 BLOCO 01 
Objetos de Conhecimento 
- Números reais; 
- Operações envolvendo o conjunto dos números reais; 
- Potenciação e Radiciação. 
 
 
 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
2 
 
 
 Transformação de um número racional na forma fracionária para a forma decimal 
Observe como Carlos fez para escrever os números
4
1
e 
6
1
 na forma decimal. 
 
a) 
 
b) 
 
Na primeira divisão, obteve-se um decimal exato. Na segunda, uma dízima periódica. 
Fonte: Projeto Araribá (2013, p.18) 
Transformação da forma decimal para a forma fracionária 
Decimal finito 
 a) 0,2 = dois décimos =
10
2
 
 leitura um zero 
 uma casa decimal 
b) 5,325= cinco inteiros, trezentos e vinte e cinco milésimos =
000.1
325
5 
 leitura 
 três casas decimais três zeros 
Decimal infinito periódico ou dízima periódica 
a) 0,7777...=? Dízima periódica simples 
x=0,7777... 
10x = 7,7777... 
10x=7 + 0,7777... 
 x 
10x=7 + x 
10x –x=7 
9x=7 x=
9
7
 período 
Processo prático: 0,7777...= 
9
7
 
 um algarismo 9 
 período com 1 algarismo 
 b) 0,35353535...=? Dízima periódica simples 
x=0,353535... 
100x=35,353535... 
100x=35 + 0,353535... 
 x 
100x =35+x 
100x –x =35 
99x=35  x=
99
35
 período 
Processo prático: 0,353535...= 
99
35
 
 dois algarismos 9 
 período com 2 algarismos 
c) 0,25444...? Dízima periódica composta 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
3 
 
 
Conjunto dos números irracionais: Constituído por números que não podem ser escritos na forma de 
fração, ou seja, são representados na forma decimal infinita e não periódica. 
Exemplos: a) √ = 1,4142135623... b) √ = 1,7320508075... c) √ = 2,2360679774... 
Um dos mais famosos números irracionais conhecidos é o número π (pi). Esse número é obtido 
pela divisão do comprimento de uma circunferência pela medida de seu diâmetro. Independentemente da 
circunferência, essa divisão sempre resulta no mesmo valor, o π: 
π = 3,1415926535897932384626433832795... 
Conjunto dos números reais: Juntando os números racionais e os números irracionais num único conjunto, 
obtemos o conjunto dos números reais, que é denotado por ( = ). 
 e 
Números reais na reta numérica 
 
Caso fosse possível representar por pontos na reta numérica todos os números reais, a reta ficaria completa. 
Assim, cada ponto da reta numérica corresponde a um número racional ou irracional. 
 
- ATIVIDADE 1 - 
1) Leia as afirmações abaixo e corrija no caderno as que forem falsas: 
a) – 1 é um número inteiro, mas não é um número natural. d) Nem todo número inteiro não é racional. 
b) 8, 100 e -9 são exemplos de números inteiros. e) Todo númerointeiro é um número natural. 
c) Todo número inteiro é racional. f) 100 é um número natural, mas não é inteiro. 
 
2) Observe os números a seguir: 
 13 13 13,13 -13 0,1313... 0,131301300...  
 
Identifique quais deles são: 
a) reais e naturais: b) reais e inteiros: c) reais e racionais: d) reais e irracionais: 
 
https://escolakids.uol.com.br/o-comprimento-do-circulo.htm
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
4 
 
 
3) Efetue as operações envolvendo números racionais: 
a) 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 e) 
 
 
 x 0,22... g) 
 
 
 i)(
 
 
)
 
 
 
b) 0,2 x 0,3 d) 36,4 : 5 f) 0,34 + 0,8 h) (2,5)² 
4) A representação decimal de um número pode ser: finita, infinita e periódica ou ainda, infinita e não 
periódica. Escreva qual é o caso de cada um dos números a seguir. 
a) 27 : 6 b) 23,0 c) 2 d) 0,12122232425... 
5) (CEFET-SP) Leia as afirmações abaixo: 
I) A soma de dois números naturais é sempre um número natural. 
II) A diferença de dois números naturais é sempre um número natural. 
III) A diferença de dois números inteiros é sempre um número inteiro. 
V) O quociente de dois números inteiros não nulos é sempre um número inteiro. 
Das afirmações acima, são verdadeiras: 
a) I e II b) I e III c) I e IV d) II e III 
6) Todo número cuja representação decimal é infinita e não periódica é um número: 
a) natural b) inteiro positivo c) racional d) fracionário e) irracional 
7) O número  é classificado como: 
a) um número natural c) uma dízima periódica 
b) uma dízima não periódica d) um número inteiro. 
8) Leia a tirinha 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando que os quatro bombons serão repartidos igualmente entre os três meninos, resolva as questões. 
a) Cada menino vai receber mais ou menos que do uma unidade? Justifique. 
b) Escreva uma fração e um número decimal correspondente à quantidade de bombons que cada menino vai 
receber. 
c) Os números que você escreveu no item anterior pertencem a quais conjuntos numéricos: ? 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
5 
 
 
- OPERAÇÕES E PROPRIEDADES COM NÚMEROS REAIS - 
Em relação a , podemos destacar as seguintes propriedades. 
 A soma de dois números reais quaisquer resulta em um número real. Isso também se aplica ao produto e a 
diferença de dois números reais. Excetuando a divisão por zero, cujo resultado não existe em , o 
quociente de dois números reais também é um número real. 
 A raiz quadrada de qualquer número real positivo pode ser extraído em . No entanto, a raiz quadrada de 
um número real negativo não é um número real, pois todo número elevado ao quadrado resulta em um 
número positivo. 
Fonte: Andrini e Vasconcelos (2013, p.26) 
Há propriedades das operações que são utilizadas com frequência em Matemática. Acompanhe 
estas propriedades abaixo, considerando que a, b e c são números reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Andrini e Vasconcelos (2013, p.26) 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
6 
 
 
- ATIVIDADE 2 - 
1) Entre as expressões abaixo, a que apresenta resultado igual a 40 é: 
a) b) c) – d) 
2) O número 8.200.000.000 é igual a: 
 a) 820 mil b) 82 bilhões c) 8,2 milhões d) 8,2 bilhões 
3) (OBM) A razão 
 
 28
84
4
2
é igual a: a) 
4
1
 b)
2
1
 c) 1 d) 2 e) 8 
4) Ao calcular 
10
33 810 
obtemos como resposta: 
a) um número irracional maior que 50. c) o número natural 81. e) um número racional. 
b) um número irracional menor que 100. d) a potenciação
73 . 
5) Utilizando a propriedade distributiva, calcule: 
a) 






3
1
5
1
5
2
 
b) c) 8.
4
5
8
1
2
3






 
6) Os números x e y representam, respectivamente, as raízes de e . Descubra quanto vale ? 
a) 0,08 b) 8 c) 1,8 d) 0,8 e) 2,8 
 
- POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO - 
Potenciação com expoente natural 
 expoente 
 base a n =a.a.a.a...a 
 n fatores 
Exemplos: a) b) c) 
125
8
5
2
5
2
3
33






 d) 
 Todo número real , elevado a zero é igual a 1. 
Exemplos: a) 05 =1 b) 
0)7( =1 c) 091 =1 d) (0,
0)5 =1 
 Todo número real a, elevado a 1 é igual a ele mesmo. 
Exemplos: a) b) c) d) 
Potenciação com expoente negativo 
Exemplos: a) 38 =
3
8
1






=
512
1
 b) 
16
256
2
4
4
2
44













 c) 625
1
5
1
5
5
1
4
444













 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
7 
 
 
Propriedades da potenciação 
1ª propriedade: Produto de potências de mesma base 
Exemplo: 
4ª propriedade: Potência de quociente 
Exemplo: 
2ª propriedade: Quociente de potência de mesma base 
Exemplo: 
5ª propriedade: Potência de uma potência 
Exemplo: 
 
 
3ª propriedade: Potência de produto 
Exemplo: 
 
Potência de base 10 
Exemplos: 
a) b) c) 
d) 01,0
100
1
10
1
10
2
2 
 
e) 001,0
1000
1
10
1
10
3
3 
 
f) 0001,0
10000
1
10
1
10
4
4  
Notação científica: Para registrar ou fazer cálculos com números muito pequenos ou números muito 
grandes, usa-se um representação científica. 
Exemplos: 
 Números maiores que 1: a) 5.910.000.000= 910.9,5 b) 38.000.000=3,8.10 7 c) 100.000.000=1. 10
8 
 9 algarismos 7 algarismos 8 algarismos 
 
 Números menores que 1: a) 0,0000018=1,8.10 6 b) 0,0006=6.10 4 c) 0,0045=4,5.10 3 
 6 algarismos 4 algarismos 3 algarismos 
Radiciação 
 radical 
índice  ban raiz quadrada 
 radicando 
Raiz quadrada 
Exemplos: a) 225 =15 b) 6,036,02  c) 
4
3
16
9
16
9
 d) 121 = 
Raiz cúbica 
Exemplos: 
a) 3 64 4, pois 4³= 64 b) 3 343 -7, pois (-7)³=-343 c) 
7
4
343
64
3  , pois 
343
64
7
4
3






 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
8 
 
 
Raiz exata de um número 
Raiz exata de um número: Podemos calcular a raiz de um número por meio da decomposição em fatores 
primos ou tentativas. 
Exemplos: 
Decomposição: 
2 5184 
5184 2 
 25922 
 1296 2 
 648 2 ou 
 324 2 
 162 2 
 81 3 
 27 3 
 9 3 
 3 3 
 1 62 .
43 = 2³.3²= 72 
 
Tentativas: 
2 5184 
1ºPasso: Elevar algumas dezenas ao quadrado: 
a 30 40 50 60 70 80 
a² 900 1600 2500 3600 4900 6400 
2°Passo: Identificar entre quais dezenas esse úmero está compreendido: 
 4900 <5184 <6400 
 70² < a² < 80² 
Assim, a raiz quadrada de 5184 está entre 70 e 80. Desta forma, 
calculamos o quadrado dos inteiros entre 70 e 80. 
 71²=5041 72²=5184 73²=5329 
Portanto, 2 5184 72, pois 72²=5184 
 
Raiz quadrada aproximada de um número: Há alguns números que não apresentam raiz exata. Desta 
forma, podemos calcular o valor aproximado por meio de tentativas. 
Exemplos: a) 30 =? 
O número 30 não é um quadrado perfeito, mas podemos localizá-lo entre dois números quadrados 
perfeitos. 
 25 < 30 < 36 25 < 30 < 36 5< 30 <6 
Fazendo tentativas podemos encontra algumas casas decimais. 
 
Logo, 5,47 é uma boa aproximação de 30 . 
- ATIVIDADE 3 - 
1) são, respectivamente, iguais a: 
a) 4 e 4 b) 16 e 4 c) 4 e 16 d) 16 e 16 
2) Quantos metros há em 1.000.000 km? 
a) b) c) d) 
3) O número 0,00000784 é escrito na forma7,84. . O valor de n é: 
a) 6 b) – 6 c) 8 d) – 8 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
9 
 
 
4) Marque V (verdadeiro) ou F (Falso): 
 a)  36 - 6 b) 4 81 - 3 c) 100 não existe d) 
11
1
121
1
 
5) Escrevendo-se 0,0000072, em notação científica, obtém-se: 
a) 0,72 x 10
-6 
b) 0,72 x 10
-5 
c) 7,2 x 10
-5 
d) 7,2 x 10
-6
 
 
6) Considere as igualdades: 
I) II) 510 III IV) 
9 11 6 
Qual é a verdadeira? 
a) I b) II c) III d) IV 
7) Veja como podemos calcular 96,1 , escrevendo o radicando na forma de fração. 
Agora, de maneira parecida calcule. 
a) 24,3
 
c) 41,4 
b) 16,0 d) 25,6 
8) Efetuando a decomposição em fatores primos, verifique entre os números quais são quadrados perfeitos. 
a) 225 b) 360 c) 441 d) 480 
 
 
 
 
 
 
- EXPRESSÕES ALGÉBRICAS - 
 Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações. 
Podemos utilizar a linguagem algébrica para representar sentenças ou fazer generalizações. 
Observe as situações a seguir. 
a) Carla presta serviço como técnica de informática em uma empresa e recebe R$ 40,00 por hora trabalhada. 
Observe no quadro a seguir o valor recebido por Carla, de acordo com o número de 
horas trabalhadas. 
Número de horas 
trabalhadas 
 
1 
 
5 
 
10 
 
20 
 
Cálculo 40 .1 40. 5 40.10 40. 20 40. 
Valor recebido R$ 40,00 R$ 200,00 R$ 400,00 R$ 800,00 R$ 40,0 
BLOCO 02 
Objetos de Conhecimento 
-Expressões algébricas; 
-Equações do 1º Grau com uma incógnita; 
-Equação do 2º grau da forma ax² + b = 0 
 
 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
10 
 
 
b) Qual é a expressão que representa o perímetro da piscina retangular demonstrada a seguir? 
O comprimento da piscina é expresso pelo número real x. 
A largura da piscina é expressa pelo número real y. 
O perímetro da piscina é igual a duas vezes o comprimento 
mais duas vezes a largura. 
Então, a expressão que representa o perímetro da piscina 
retangular é: 
 
Valor numérico de uma expressão algébrica 
 Dada uma expressão algébrica, substituindo cada variável por um número, obtemos uma expressão 
numérica e, ao calcular seu valor, calculamos o valor numérico da expressão algébrica. 
Para evitar confusão entre operações, recomendamos que a substituição de cada variável pelo valor numérico 
seja feita entre parênteses. 
- ATIVIDADE 1 - 
1) Escreva uma expressão algébrica que represente: 
a) a soma do triplo de um número x com seu quadrado; d) a raiz quadrada de um número k; 
b) a terça parte de um número y; e) a soma dos quadrados dos números x e y; 
c) o produto de dois números x e y; f) o quádruplo do número y. 
2) Atualmente Paulo tem x anos. Diga o que significam as seguintes expressões: 
a) 2x 
c) x + 5 
b) x – 2 
d) 2(x + 5) 
 
3) Para fazer um carreto, Geraldo cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 e mais R$ 1,50 por quilômetro rodado. 
Qual é a expressão que representa o valor que ele cobra para fazer um carreto num percurso (ida e volta) de 
x quilômetros? 
 
a) x
2
 – 3x, para x = – 4 
= (– 4)
2
 – 3. (– 4) 
= 16 + 12 
= 28 
b) 2m
2
 – 5m + 3, para m = 2 
= 2. (2)
2
 – 5. (2) + 3 
= 2.4 – 5.2 + 3 
= 8 – 10 + 3 
= 1 
c) a
2
b – a
3
 + b
2
, para a = – 1 e b = 2 
= (–1)
2
. (2) – (–1)
3
 + (2)
2
 
= 1.2 – (–1) + 4 
= 2 + 1 + 4 
= 7 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
11 
 
 
4) Um restaurante tem x mesas com 4 pernas e y mesas com 3 pernas. Escreva uma expressão algébrica que 
represente: 
a) o número de mesas; 
b) o número de pés das mesas. 
5) Caio tinha x reais. Foi a uma loja de esportes e comprou 2 pares de tênis. Cada par custou y reais. Qual 
expressão algébrica pode representar a quantia que sobrou para Caio, depois de comprar os pares de tênis? 
6) A variável c representa o preço de uma camiseta e b, o preço de um boné. 
 
O preço pago por Mauro é representado pela expressão 5c + 2b. 
a) O que Mauro comprou? 
b) Quanto Mauro gastou, se cada camiseta tiver custado R$ 18,00 e cada boné, 
R$ 7,00? 
7) Calcule o valor numérico das expressões: 
a) x – y, para x = –3 e y = 7 d) 2x + 3y, para x = 0,5 e y = 0,7 
b) x – y, para x = –3 e y = –7 e) 4p² – pq², para p = 4 e q = 1 
c) 5xy – x, para x = 2 e y = –1 
8) Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas. O primeiro com preço de R$ 45,00 por unidade e o 
segundo com preço de R$ 67,00 por unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo e de 
y a quantidade vendida do segundo tipo, qual será a expressão algébrica da venda desses dois artigos? Qual 
será o valor se forem vendidas 200 e 300 unidades, respectivamente? 
 
- EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA - 
As balanças ilustradas estão equilibradas. 
 
 
 
 
Podemos utilizar igualdades para representar esse equilíbrio: 
3 + 2 = 4 + 1 x + 3 = 5 + 2 
 Esta igualdade apresenta uma 
letra que representa um valor 
desconhecido. 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
12 
 
 
Equação é uma igualdade em que há pelo menos uma letra para representar um valor desconhecido. 
A letra ou as letras que representam valores desconhecidos são as incógnitas da equação. 
Na equação x + 3 = 5 + 2, a incógnita é x. 
 
 
 
 
Observe que o valor de x que torna a igualdade verdadeira é 4, pois, trocando x por 4 na equação, a 
igualdade fica verdadeira: 4 + 3 = 5 + 2. 
 
Vamos as equações para recordar? 
a) 
 Subtraímos 3x de ambos os membros da equação 
 
 
 
- 3 xSomamos 8 a ambos os membros da equação 
+ 8 + 8 
 
 
 Dividimos ambos os membros da equação por 2. 
 2 2 
 
 
 Encontramos a solução da equação. 
b) 
 Eliminamos os parênteses usando a propriedade distributiva 
 
 
 
 
 
 
 Adicionamos 9x e – 10 a ambos os membros da equação 
 
 
 Dividimos ambos os membros da equação por 11. 
 
Encontramos a solução da equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x = 4 é a única solução dessa equação. Resolver uma equação é encontrar sua solução. 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
13 
 
 
- ATIVIDADE 2 - 
1) (OBMEP) Um grupo de amigos acabou de comer uma pizza. Se cada um der R$ 8,00 faltarão R$ 2,50 
para pagar a pizza e se cada um der R$ 9,00 sobrarão R$ 3,50. Qual é o preço da pizza? 
 
2) Descubra os números ―escondidos‖ pelas mãos. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
3) Resolva as equações. 
a) c) e) 
b) d) 
 
 
 
 
 
 f) 
 
 
 
 
 
 
4) (Vunesp) As figuras representam uma balança em duas situações de equilíbrio: 
 
 
◆ Figura I – oito esferas equilibram dois cones e um cubo ◆ Figura II – um cubo e uma esfera equilibram um cone. 
 
Qual o número de esferas que equilibram um cone? 
 
5) O triplo de um número, menos 10 é igual ao próprio número mais 70. Qual é esse número? 
 
6) Um número é adicionado a 10. Multiplica-se essa soma por 3, e o resultado é 72. Que número é esse? 
 
- EQUAÇÃO DO 2º GRAU DA FORMA ax² + b = 0 - 
As equações que podem ser escritas na forma , em que a e b são números reais, com a ≠ 0, 
são chamadas equações do 2º grau incompletas. 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
14 
 
 
Exemplos: 
1. Considere um terreno com formato retangular que será dividido em dois terrenos iguais 
com formato de quadrado. Se a medida da área do terreno retangular é 288 m², qual será a 
medida do comprimento do lado dos terrenos com formato de quadrado? 
 
Para resolver esse problema, chamamos de x a medida do comprimento 
do lado dos terrenos com formato de quadrado. 
Assim, temos que a medida da área de cada terreno com formato de quadrado é x² e a 
medida da área de cada terreno retangular é 2x² = 288. 
Dizemos que é uma equação do 2º grau, pois a incógnita tem expoente 2. Para resolvê-la, 
inicialmente isolamos x² em um dos membros. 
 
 
 
 = 
 
 
 dividimos os dois membros por 2 
x² = 144 
Temos que há dois números cujo quadrado é 144, isto é: 
x = 12 ou x = – 12 
2. Resolva a equação: 
– – 
– – 
 
 
 = 
 
 
 dividimos os dois membros por 3 
 – – multiplicamos os dois membros por (– 1) 
 
Temos que há dois números cujo quadrado é 9, isto é: 
x = 3 ou x = – 3 
 
- ATIVIDADE 3 – 
 
1) Identifique quais dos itens a seguir apresentam equação do 2º grau do tipo . 
a) c) 2 
 
 
 10 e) 3 
b) d) + 
 
 
 = 25 f) 7 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
15 
 
 
2) Em cada item, ―A‖ indica a medida da área do quadrado. Escreva uma equação do 2° grau e obtenha o 
valor de x. 
Qual a medida do comprimento do lado de cada um desses quadrados? 
3) Uma piscina em fase de construção precisou ser coberta por uma lona com formato de quadrado cuja área 
mede 81 m². Qual é a medida do comprimento do lado dessa lona? 
4) Escreva uma equação do 2º grau do tipo ax² = b para cada uma das situações abaixo e determine o valor 
de x: 
a) x multiplicado por x é igual a 144. c) O triplo do quadrado de x é igual a 3.888. 
b) O quadrado de x dividido por 2 é igual a 32. 
5) Resolva as equações. 
a) c) e) 
b) d) f) 
6) Paulo fará uma horta em um terreno de formato quadrado cuja área é 169 m². Qual é a medida do 
comprimento e da largura desse terreno? 
7) A imagem ao lado representa um terreno retangular cuja medida da área é 243 m². De acordo com essas 
informações, elabore um problema. 
 
 
 
 
 
 
 
- EQUAÇÕES DO 1° GRAU COM DUAS INCÓGNITAS - 
Em uma partida de vôlei disputada em duplas, Raul e Felipe marcaram juntos 20 pontos. Essa 
informação não permite saber quantos pontos cada um deles marcou, pois são várias as possibilidades. 
a) b) 
 
c) 
 
 
 
 
BLOCO 03 
Objetos de Conhecimento 
- Associação de uma equação linear de 1º grau a uma reta no plano cartesiano. 
- Sistema de equações polinomiais de 1º grau: 
 resolução algébrica 
 representação no plano cartesiano. 
- Porcentagens. 
 
 
 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
16 
 
 
Veja nesta tabela possíveis pontuações de cada um deles. 
Se representarmos por o número de pontos feitos por Raul e 
por o número de pontos feitos por Felipe, podemos indicar 
essa situação por uma equação com 2 incógnitas. 
 , sendo e as incógnitas, com e números 
naturais ( é e é ). 
Observe que os pares ordenados formados pelos números naturais desta tabela são 
algumas das soluções dessa equação: 
As equações que podem ser escritas na forma , em que e são as incógnitas, 
e são números reais e e são ambos não nulos chamam-se equações do 1º grau com duas incógnitas. 
Vamos verificar as situações seguintes. 
1. O par ordenado é solução da equação ? 
 
 
 
O par ordenado é solução da equação . 
2. O par ordenado é solução da equação ? 
 
 
 
O par ordenado não é solução da equação . 
 
- ATIVIDADE 1 – 
1) Represente cada situação por meio de uma equação do 1° grau com duas incógnitas. 
a) A quantidade de pães franceses menos a de pães doces é igual a 3. 
b) Estela pagou R$ 83,00 por três CDs e um DVD. 
c) A soma do quíntuplo da idade de Márcio com a metade da idade de sua mãe é igual a 78 anos. 
2) Apresente uma solução para a equação quando: 
a) vale b) vale 
3) Verifique se o par ordenado é uma das soluções das seguintes equações: 
a) c) 
b) d) 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
17 
 
 
4) Dada a equação , encontre a solução dessa equação quando: 
a) b) 
5) Carolina e Natália participaram de uma partida de futebol na escola e fizeram, ao todo, 7 gols. 
a) Escreva no caderno uma equação para representar essa situação, considerando o número de gols que 
Carolina fez e o número de gols que Natália fez. 
b) As incógnitas e dessa equação devem pertencer a qual conjunto numérico? 
c) Carolina pode ter marcado 3 gols? 
d) Natália pode ter marcado 8 gols? 
 
 
6) Maurício representou 2 números naturais algebricamente: o 1° número por e o 2° número por . 
Depois, ele escreveu sentenças matemáticas com esses números. Observe a descrição delas e escreva cada 
uma usando equações com as incógnitas e . 
a) A diferença entre o 2° número e o 1° número é igual a 7. 
b) O quociente do 1° número pelo 2° número é igual a 3. 
c) O 1° número é igual a 4.d) O 2° número é igual à soma do 1° número com 5. 
7) Marque apenas os pares ordenados que são soluções da equação . 
a) c) e) 
b) d) f) 
 
 
 
 
- SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1°GRAU COM DUAS INCÓGNITAS - 
Consideremos a seguinte situação problema: 
 
Para resolver esse problema, vamos usar os conhecimentos de cálculo algébrico. Inicialmente, 
indicamos: 
• a quantidade de carros que há no estacionamento com 
• a quantidade de motos que há no estacionamento com . 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
18 
 
 
Em seguida, com base nos dados do problema, montamos duas equações: 
 
Quando duas equações de 1° grau com duas incógnitas são escritas ligadas pelo conectivo e, 
dizemos que há um sistema de duas equações do 1° grau com duas incógnitas (no caso, e . 
Esse sistema pode ser representado assim:{
 
 
 
 
Solução de um Sistema de Equações Do 1°Grau com duas Incógnitas 
Quando duas equações formam um sistema, embora cada equação tenha infinitas soluções, 
devemos procurar a solução que verifica as duas equações simultaneamente. A solução de um sistema de 
duas equações do 1° grau com duas incógnitas, e , por exemplo, é um par ordenado que é solução 
tanto da primeira equação como da segunda. 
Voltemos ao sistema de equações que representa o problema dos veículos. 
{
 
 
 
O par ordenado é solução desse sistema, pois os valores verificam as duas equações ao mesmo 
tempo: 
 
 
 
Existem métodos algébricos que permitem calcular o par ordenado , que é a solução de um 
sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas. Estudaremos dois desses métodos: o da 
substituição e o da adição. 
Método da Substituição 
Para resolver esse sistema pelo método da substituição, seguimos os passos: 
1º passo: Na 1ª equação, isolamos a incógnita x. 
 
 
 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
19 
 
 
2º passo: Na 2ª equação, vamos substituir por , e resolver a equação do 1° grau resultante na 
incógnita . 
 
 
 
 
 
 
 
 A quantidade de motos é 4. 
 
3º passo: Substituímos por 4 na equação 
 
 
 
A quantidade de carros é 10. 
Então, a solução do sistema {
 
 
 é o par ordenado 
Há 10 carros e 4 motos no estacionamento. 
Método da Adição 
1° passo: Devemos manipular as equações de modo a obter termos opostos na 1ª e na 2ª equação. 
{
 
 
 {
 
 
 
 
2° passo: Adicionamos as duas equações membro a membro. Isso permite obter uma única equação, 
equivalente às equações dadas, sem a incógnita y. 
{
 
 
 
 
 
 
 
3° passo: Substituindo por em uma das equações do sistema, temos: 
 
 
 
 
Encontramos assim, com um método diferente, a mesma solução do sistema {
 
 
, que é o par 
ordenado Há 10 carros e 4 motos no estacionamento. 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
20 
 
 
- ATIVIDADE 2 – 
1) Lucas comprou 3 canetas e 2 lápis pagando R$ 7,20. Danilo comprou 2 canetas e 1 lápis pagando R$ 
4,40. O sistema de equações do 1º grau que melhor representa a situação é: 
a) 





40,42
20,723
yx
yx
 b) 





40,4yx
20,7yx3
 c) 





20,2yx
60,3yx
 d) 





40,4yx2
20,7y2x3
 
2) A solução do sistema 





3yx
3yx2
 é: 
a)   1,1S  b)   1,2S  c)   2,1S  d)   0,1S  
3) Em um sítio há bois e patos, totalizando 23 animais e 82 pernas. Usando as letras x e y, escreva um 
sistema de duas equações associado a esse fato. 
 
 
4) Leia o problema e, em seguida, responda às perguntas. 
Célia sacou R$ 110,00 em um caixa eletrônico. Essa quantia era composta apenas de 
cédulas de 10 e de 20 reais, em um total de 8 cédulas. Quantas cédulas de cada valor Célia 
sacou? 
a ) Qual dos sistemas permite resolver esse problema? 
I) {
 
 
 II) {
 
 
 III) {
 
 
 
b) No sistema que você escolheu, qual o significado da letra ? E da letra ? 
5) Destes pares ordenados, qual é a solução do sistema de equações {
 
 
, sendo x e y números 
inteiros? 
a) b) c) d) 
6) Carlinhos organizou uma festa junina e vendeu 200 ingressos. Ele arrecadou R$ 900,00 sendo, R$ 5,00 
o preço do ingresso para adulto e, R$ 3,00, para criança. Quantos ingressos ele vendeu para adultos? 
7) Numa turma de 9º ano do Ensino Fundamental, de uma determinada escola do município de Montes 
Claros, há 34 alunos entre meninos e meninas. A diferença entre o número de meninos e o de meninas é 2. 
Quantas meninas e quantos meninos tem esse 9º Ano? 
8) Observe os preços dos ingressos em um cinema. 
Para determinada sessão, foram vendidos 216 ingressos, arrecadando um 
total de R$ 3.780,00. Determine quantos ingressos de cada tipo foram 
vendidos. 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
21 
 
 
- PORCENTAGENS – 
Porcentagem 
A porcentagem, indicada pelo símbolo %, corresponde a uma fração com denominador 100 e é 
outra maneira de representar esse tipo de fração. Quando indicamos 30%, por exemplo, significa que 
estamos considerando a fração 
 
 
. 
Exemplos: 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 
Já vimos que toda fração com denominador 100 representa uma porcentagem. Por esse motivo, 
toda porcentagem tem uma representação na forma decimal. 
 Como 
 
 
 e 
 
 
 , então . 
 Como 
 
 
 e 
 
 
 , então . 
Porcentagem de um Número 
Em determinado mês, a família de Gustavo pagou R$ 180,00 pelo consumo de energia elétrica. 
No mês seguinte, houve uma redução de 20% no valor a ser pago. Quantos reais foram pagos a menos 
nesse mês? 
Para responder a essa questão, devemos calcular 20% de R$ 180,00. Temos que 100% correspondem ao 
todo, ou seja, R$ 180,00. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, foram pagos R$ 36,00 a menos que no mês anterior. 
Outra maneira de fazer esse cálculo é escrever a porcentagem na forma decimal e multiplicá-la 
pelo valor. 
 
 
 
 
 
- ATIVIDADE 3 – 
1) Escreva a representação decimal de cada porcentagem a seguir. 
a) 3% b) 21% c) 42% d) 150% e) 55% 
2) Numa empresa com 1400 empregados, 35% são mulheres. 
a) Qual a porcentagem de homens? 
b) Quantas mulheres trabalham na empresa? E quantos homens? 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
22 
 
 
3) Escreva para cada item uma fração equivalente cujo denominador seja 100. Em seguida, escreva a 
porcentagem correspondente. 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 
4) No início do ano, um aparelho de som custava R$ 980,00. Este mês, ele sofreu um aumento de 15%. 
Quanto passou a custar esse aparelho de som? 
5) Segundo a Organização das Nações Unidas (ONU), pode-se considerar como um direito humano o 
acesso à internet. No Brasil, em 2016, eram cerca de 69 usuários da internet a cada 100 brasileiros. 
 
a ) Que porcentagemdos brasileiros eram usuários da internet em 2016? 
 
b) Em sua opinião, qual a importância de se ter acesso à internet? 
 
 
 
6) Bruna tem 350 selos em sua coleção, sendo que 40% deles são internacionais e, desses, 70% são 
inéditos. Nessa coleção, há quantos selos internacionais inéditos? 
 
 
 
 
- POLÍGONOS E SEUS ELEMENTOS, PERÍMETRO E DIAGONAIS DE UM POLÍGONO - 
Os polígonos e seus elementos 
Polígono é uma figura plana formada por uma linha fechada simples, composta apenas de 
segmentos de reta, reunida com a sua região interna. 
Observe o polígono abaixo. 
Podemos destacar alguns de seus elementos. 
• Vértices: A, B, C, D e E 
• Lados: ̅̅ ̅̅ , ̅̅ ̅̅ , ̅̅ ̅̅ , ̅̅ ̅̅ , ̅̅ ̅̅ 
• Diagonais: ̅̅ ̅̅ , ̅̅ ̅̅ , ̅̅ ̅̅ , ̅̅ ̅̅ , ̅̅ ̅̅ 
• Ângulos internos: EÂB, A ̂C, B ̂D, C ̂E e D ̂A (esses ângulos 
também podem ser indicados por: ̂, ̂ , ̂, ̂ ̂ respectivamente) 
• Ângulos externos: ̂, ̂ , ̂, ̂ ̂ 
BLOCO 04 
Objetos de Conhecimento 
- Polígonos e seus elementos, perímetro e diagonais de um polígono; 
- Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros. 
 
 
 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
23 
 
 
Nomenclatura 
Apesar de a origem da palavra polígono ser relacionada a ―vários ângulos‖, também podemos 
nomear polígonos considerando o número de lados que possuem. 
Por serem utilizados com mais frequência, alguns polígonos recebem nomes especiais. Veja o quadro: 
 
Existem, ainda, outros polígonos com nomes especiais:
- 11 lados – undecágono - 12 lados – dodecágono 
- 15 lados – pentadecágono - 20 lados – icoságono
Perímetro de um polígono 
 O perímetro é o comprimento da linha ou do contorno de uma determinada figura (polígono). Ou ainda, é 
a soma das medidas dos lados de um polígono. 
Exemplo: 
Determine o perímetro do quadrilátero a seguir com lados medindo 2 cm, 3 cm, 5 
cm e 6 cm. 
O perímetro do quadrilátero é igual a 2 + 3 + 5 + 6 = 16 cm 
Diagonais de um polígono 
A representação do polígono a seguir é um octógono (8 lados), no qual estão traçadas todas as suas 
diagonais. 
Você seria capaz de contar quantas diagonais têm esse octógono? 
 
Traçar uma a uma ou contar as diagonais de um polígono é um processo trabalhoso, 
principalmente se ele tiver um número grande de lados. 
Polígono Número de lados Nome 
 3 triângulo (tri = três) 
 4 quadrilátero (quadri = quatro) 
 
 
 
5 pentágono (penta = cinco) 
 
 
6 hexágono (hexa = seis) 
 
 
7 heptágono (hepta = sete) 
 
 
8 octógono (octo = oito) 
 9 eneágono (enea = nove) 
 10 decágono (deca = dez) 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
 
24 
 
Vamos, então, aprender a determinar o número de diagonais de um polígono sem traçá-las. 
Número de diagonais de um octógono 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
Portanto, o octógono tem 20 diagonais. 
- ATIVIDADE 1 - 
 
1) Observe as figuras a seguir. 
 
Quais figuras são polígonos? 
 
 
 
 
 
 
 
2) Identifique os vértices, lados e ângulos internos de cada polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Classifique os polígonos em relação à quantidade de lados, vértice e ângulos internos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Observe a representação de uma figura geométrica espacial. 
 
 
a) Qual é o nome desta figura? 
b) Quais polígonos podemos identificar nas faces dessa figura? 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) c) 
d) 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
f) 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
 
25 
 
5) Responda às questões a seguir. 
 
a) Há um polígono que não possui diagonais. Qual é esse polígono? 
b) Qual é o polígono que possui 2 diagonais? 
 
6) Quantas diagonais tem um polígono de: 
 
a) 5 lados? b) 10 lados? c) 11 lados? d) 16 lados? e) 18 lados? 
 
7) Determine a expressão algébrica que representa o perímetro de cada figura abaixo. 
 
a) b) c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
- TRIÂNGULOS - 
É um polígono de três lados. 
 
Elementos, perímetro e classificação 
Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo ABC. 
Os segmentos ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅ ̅̅ são os lados desse triângulo. 
O triângulo tem 3 ângulos internos: ̂ ̂ ̂ 
O triângulo tem 3 ângulos externos: ̂ ̂ ̂ 
O perímetro de um triângulo é a soma das medidas de seus 3 lados. 
Classificação dos triângulos 
 
Quanto aos lados Quanto aos ângulos 
Triângulo 
equilátero 
Triângulo 
isósceles 
Triângulo 
escaleno 
Triângulo 
acutângulo 
Triângulo 
retângulo 
Triângulo 
obtusângulo 
3 lados 
congruentes 
2 lados 
congruentes 
3 lados com 
medidas 
diferentes 
3 ângulos 
agudos 
1 ângulo reto 1 ângulo obtuso 
 
 
 
 
 
 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
 
26 
 
Relações envolvendo as medidas dos ângulos e dos lados de um triângulo 
 Em todo triângulo a soma das medidas dos três ângulos internos é 
180°, ou seja: 
 med(â) + med ( ̂ ) +med( ̂)=180°. 
 Em todo triângulo a soma das medidas dos três ângulos externos é 
360°, ou seja: 
med(ê) + med ( ̂ ) +med( ̂)=360º 
 
Pontos notáveis de um triângulo 
 Mediana e o baricentro 
Mediana é o segmento que une um vértice do 
triângulo ao ponto médio do lado oposto a esse 
vértice. As medianas se cruzam em um único 
ponto, denominado de baricentro. 
 
 Bissetrizes e o incentro 
Bissetriz é o segmento que divide o ângulo ao 
meio. As 3 bissetrizes se cruzam em um único 
ponto, denominado de incentro. 
 
 Mediatriz e o circuncentro 
Mediatriz é o segmento de reta perpendicular a 
um dos lados do triângulo que passa pelo ponto 
médio deste lado. As 3 mediatrizes que se 
cruzam em um único ponto, denominado de 
circuncentro. 
 
 Altura e o ortocentro 
Altura é o segmento de reta que une um vértice 
ao lado oposto ou a seu prolongamento, de tal 
maneira que estes sejam perpendiculares. O 
ponto de encontro das 3 alturas do triângulo é 
denominado ortocentro. 
 
 
- ATIVIDADE 2 - 
 
1) Dois ângulos de um triângulo medem, respectivamente, 27° e 41°. Quanto mede o terceiro ângulo? 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
 
27 
 
2) Determine x em cada um dos triângulos: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
3) Observe a figura abaixo e responda: 
a) Quanto medem os ângulos externos? 
b) Qual é a soma dos ângulos externos? 
 
 
4) Determine a medida de cada ângulo em destaque no triângulo. 
 
 
 
 
5) (UFRJ) Observe as figuras I e II abaixo: 
 
A figura I contém 3 triângulos. O número de triângulos na figura 
II é: 
a) 6 b) 10 c) 8 d) 12 
6) Responda. 
a) Como é chamado o triângulo que tem os três ângulos agudos? 
b) Como é chamado o triângulo que tem dois lados de medidas iguais? 
c) Como é chamado o triângulo que tem os três lados de medidas diferentes? 
7) Classifique os triângulos abaixo quanto às medidas dos lados e dos ângulos. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
8) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A e ̅̅ ̅̅ é uma das alturas. Calcule x, y e z sabendo que o 
ângulo A ̂H mede 50°. 
 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
 
28 
 
9) Em cada um dos triângulos abaixo, o segmento ̅̅ ̅̅ é mediana, bissetriz ou altura? 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
- QUADRILÁTEROS – 
Os quadriláteros são polígonos que possuem 4 vértices, 4 lados,4 ângulos internos, 4 ângulos 
externos e 2 diagonais. No quadrilátero ABCD a seguir, podemos destacar os seguintes elementos: 
• vértices: . 
• lados: ̅̅̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅̅ 
• ângulos internos: ̂ ̂ ̂ 
• ângulos externos: ̂ ̂ ̂ ̂ 
• diagonais: ̅̅̅̅ ̅̅ ̅̅̅ 
No quadrilátero, a soma das medidas dos ângulos internos ou dos externos é 360°. 
Podemos classificar alguns quadriláteros em: 
 
Há quadriláteros que não são paralelogramos nem trapézios. 
 
 
 
Paralelogramos 
Estudamos que o paralelogramo possui dois pares de lados paralelos. Agora, verificaremos três 
propriedades dos paralelogramos. 
Paralelogramo 
Quadrilátero que possui dois pares de 
lados opostos paralelos. Neste caso, 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅̅̅ 
 
 
 
 
Trapézio 
Quadrilátero que possui apenas 
um par de lados opostos paralelos 
 Neste caso, ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
 
29 
 
• 1ª propriedade: Em todo paralelogramo, dois lados opostos são congruentes. 
• 2ª propriedade: Em todo paralelogramo, dois ângulos opostos são congruentes. 
• 3ª propriedade: Em todo paralelogramo, as diagonais cruzam-se no ponto médio. 
Classificação dos paralelogramos 
Os paralelogramos podem ser classificados de acordo com a medida do comprimento dos lados e 
dos ângulos internos. 
Retângulo 
O retângulo é um paralelogramo que possui os quatro ângulos internos retos. 
 
Nele, temos a propriedade de que as diagonais são congruentes. 
 
 
Losango 
O losango é um paralelogramo que possui os quatro lados com a mesma medida de comprimento. 
 
Nele, podemos destacar as seguintes propriedades: 
• as diagonais são perpendiculares entre si. 
• as diagonais estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos. 
 
Quadrado 
O quadrado é um paralelogramo que possui os quatro ângulos internos retos e os quatro lados 
com a mesma medida de comprimento. Por possuir essas características, ele é um caso particular de 
retângulo e de losango e, por consequência, tem as seguintes propriedades: 
• as diagonais são congruentes. 
• as diagonais são perpendiculares entre si. 
• as diagonais estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos. 
Trapézio 
Como vimos anteriormente, o trapézio é um quadrilátero que possui apenas um par de lados 
paralelos, chamados bases. No trapézio ABCD: 
• os lados ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ são paralelos, isto é, ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ . 
• ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ são as bases, sendo ̅̅ ̅̅ a base maior e ̅̅ ̅̅ a base menor. 
 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
 
30 
 
De acordo com algumas características, um trapézio pode ser classificado em: 
Trapézio retângulo: Apresenta um dos lados opostos não paralelos perpendicular às bases. 
 
 
 
 
Trapézio escaleno: Apresenta lados opostos não paralelos com diferentes medidas de comprimento. 
 
 
 
 
Trapézio isósceles: Apresenta os lados opostos não paralelos com a mesma medida de comprimento. 
 
Em relação ao trapézio isósceles, podemos destacar as seguintes 
propriedades: 
- os ângulos internos da mesma base são congruentes. 
- as diagonais são congruentes. 
 
- ATIVIDADE 3 – 
1) Marque V para verdadeiro e F para falso. 
a) Em apenas alguns retângulos, as diagonais são congruentes. 
b) As diagonais de um losango são perpendiculares entre si. 
c) As diagonais de um retângulo são perpendiculares entre si. 
d) As diagonais de um quadrado não formam, entre si, ângulo de 90°. 
e) As diagonais de um quadrado formam com os lados ângulos de 45°. 
2) Considerando o paralelogramo PQRS, determine a medida de abertura de cada ângulo dado. 
a) ̂ 
b) ̂ 
c) ̂ 
 
3) Sabendo que a figura a seguir é um quadrado, dê as medidas x e y indicadas. 
 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
 
31 
 
4) Considere o paralelogramo da figura a seguir. Nela, estão expressas as medidas de dois ângulos opostos. 
Quais são as medidas dos quatro ângulos desse paralelogramo? 
 
 
 
5) Em um trapézio, três de seus ângulos medem 78°, 102° e 98°. Determine a medida do quarto ângulo. 
 
6) Observando o losango ABCD, determine: 
a) as medidas x e y indicadas. 
b) os perímetros dos seguintes triângulos: 
 AMB, ABC e ABD. 
 
7) No trapézio abaixo, temos (trapézio isósceles). 
a) Como podemos classificar esse trapézio? 
b) Como podemos classificar os triângulos 
ABM e CDM? 
c) Calcule a medida de cada diagonal. 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
- GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy; CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da matemática: 8° ano: ensino 
fundamental: anos finais. — 4. ed. — São Paulo : FTD, 2018. 
 
- BIANCHINI, Edwaldo. Matemática - Bianchini: manual do professor. – 9. ed. – São Paulo : Moderna, 
2018. 
 
- PATARO, Patricia Moreno. Matemática essencial 8° ano: ensino fundamental, anos finais /. -- 1. ed. -- 
São Paulo : Scipione, 2018. 
 
- SOUZA, Joamir Roberto de; PATARRO, Patrícia Moreno. Vontade de saber matemática 8°ano 1º ed. 
São Paulo: FTD, 2009. 
 
- DANTE, Luiz Roberto. Teláris matemática, 8º ano: ensino fundamental, anos finais. -- 3. ed. -- São Paulo 
: Ática, 2018. 
PREFEITURA DE MONTES CLAROS 
 SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
DIRETORIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA 
 COORDENADORIA DE ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 
 
32 
 
 
- DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática 8°ano. 3. ed. São Paulo: Editora Ática, 2009. 
 
- ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando matemática 8. – 3. ed. renovada. – São 
Paulo: Editora do Brasil, 2015. – (Coleção praticando matemática; v. 9) 
 
- SERPA, Almir de Lima. Matemática em questão: 8º ano: ensino fundamental. – 2. ed. – Recife : Prazer 
de Ler, 2019. 
 
- ARARIBÁ MAIS: Matemática 8° ano /organizadora Editora Moderna; obra coletiva concebida, 
desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editores responsáveis: Mara Regina Garcia Gay, 
Willian Raphael Silva. -1.ed.- São Paulo: Moderna, 2018. 
- PROJETO ARARIBÁ. Matemática 8ºano / organizadora Editora Moderna; obra coletiva 
concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editor responsável: Fábio Martins de 
Leonardo. 3. Ed. São Paulo: Moderna, 2010.