POS_GRADUACAO_EM_ESTRUTURAS_DE_CONCRETO

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PÓS‐GRADUAÇÃO EM 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E 
FUNDAÇÕES
Prof. Roberto Chust Carvalho
Goiania – outubro 2016
1– Concreto Armado – 80 hs
Flexão Simples Normal – Cálculo de armadura e verificação. 
Detalhamento
Pavimentos: Lajes nervuradas pré-moldadas e moldadas no local; 
Pavimentos com Lajes Maciças,
Pavimentos com Lajes sem vigas
Vigas cálculo e detalhamento armadura longitudinal e transversal.
Verificações em serviço (deformação considerando a fissuração e 
fluência). Ação de vento e efeito do diafragma rígido
Instabilidade Global - Processos , P-, z
Flexão composta normal e oblíqua
Pilares – Processos simplificados e gerais de cálculo
2– Fundações - Estruturas – 40hs
Cálculo e dimensionamento de sapatas
Blocos de estacas
Estacas e Tubulões com esforços transversais e flexão
Cálculo e detalhamento de Radier
Obras de contenção: Muro de arrimo e cortinas
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES
3 - Projeto, cálculo e verificação de estrutura de edificação em concreto armado 
usando programa computacional - 40hs
Projeto
Uso do programa
Lançamento da Estrutura
Definições dos parâmetros de entrada
Definição de parâmetros de saída e modelo
Projeto, Cálculo e verificação de uma estrutura de edificação de pequeno porte
Projeto, Cálculo e verificação de uma estrutura de edificação de porte médio
Cálculo de instabilidade e fissuração do concreto 
4 – Introdução A Patologia – 20hs
Investigações do solo 
Inferências não detectadas;
Escolha do tipo de fundações; 
Interferências; Condições de exposição;
Manifestações patológicas mais freqüentes; 
Diagnóstico, prognóstico e terapia; 
Profilaxia; 
5 - Tópicos Especiais I e II : Estruturas de Concreto em Situação de Incêndio. 
Escadas, Torção Marquise e Reforço de Estruturas 40hs
Ementa: 
Escadas: tipologia
Cálculo e detalhamento de escadas retas em plantas Escadas Curvas
Segurança contra incêndio. Incêndio-padrão
Comportamento dos materiais estruturais
Segurança das estruturas em situação de incêndio
Tempo requerido de resistência ao fogo: Método tabular e Redutor de TRRF (método do
tempo equivalente)
Dimensionamento de vigas de concreto, lajes e pilares
Métodos alternativos de dimensionamento
Marquises
Torção
Reforço de estruturas de concreto
Reforço com mantas
Reforço com chapas de aço
Reforço com adesivos e barras de ação
Aumento da seção
Protensão externa
6 – Metodologia Científica – TCC 20hs
Procedimentos e metodologia cientifica.
Pesquisa
Redação
7 – Estruturas de Concreto Protendido – 60hs 
Pré e pós tração, cordoalha engraxada
Protensão não aderente
Cálculo de perdas
Cálculo da armadura no ELU
Verificação no ELS
Pré-dimensionamento
Detalhamento
Operação de protensão
Cisalhamento de flexão
8 – Pontes de Concreto – 40hs 
Trem Tipos
Ações a considerar
Tipos de seção Transversal
Determinação de Trem tipo Longitudinal
Linhas de influência e envoltório\a de esforços
Cálculo de lajes
Fadiga
Meso e Infraestrutura
Aparelhos de apoio
9 – Estruturas Pré-Fabricadas de Concreto – 60hs 
Pré-Fabricação
Linha de montagem
Processos Fabricação
Tipologia Estrutural
Barracões
Ligações
Processo construtivo e situações de montagem
Cálculo de lajes, vigas e pilares.
Fundações (colarinhos)
CURSO:  Estruturas de Concreto e Fundações
PROFESSOR: Roberto Chust Carvalho
MÓDULO: Concreto Armado I 
Objetivo:
Geral- Estudar as características do concreto, ações nas estruturas, elementos de
concreto armado, lajes treliçadas, seções submetidas a flexão simples, cálculo deflecha
de vigas em considerando a fissuração e fluência do concreto.
Objetivos Específicos: Apresentar as principais mudanças da NBR6118:2014,
determinação da armadura longitudinal no ELU e cálculo de lajes treliçadas
Ementa:
•Introdução Normas, processos de cálculo e cargas
•Flexão Simples Normal – Cálculo de armadura longitudinal e verificação.
•Pavimentos: Lajes nervuradas pré-moldadas treliçadas;
Metodologia:
Apresentação dos conteúdos teóricos, com exemplificação numérica. Desenvolvimento
de “estudos dirigidos”, com auxílio de softwares (planilhas de cálculo, programas
educacionais distribuídos no CD do INBEC) e livro entregue na aula 1
Procedimentos:
SEXTA-FEIRA: 
Noturno
1. Introdução ao estudo das estruturas de concreto armado: Normas, características mecânicas, 
ações e procedimentos de cálculo
2. Previsão de retirada de escoramento 
3. Exemplos numéricos
SÁBADO: 
- Matutino: 
4. Condições para garantir a durabilidade
5. Determinação de armadura longitudinal em flexão simples vigas retangulares 
6. Cálculo de armadura dupla e vigas tê
7. Verificações
8. Exemplos Numéricos
- Vespertino: 
9. Pavimentos de edificações com lajes nervuradas unidirecionais de vigotas pré-moldadas
10. Procedimentos de cálculo e verificação de lajes pré-fabricadas
DOMINGO:
Matutino
11. Verificação de flechas de lajes treliçadas: fissuração e fluência
11. Exemplos numéricos
12- Finalização da prova do módulo
Recursos didáticos:
Notebook / Pendrive / Data-Show / Quadro Branco / Material didático impresso.
É necessário, por parte do aluno, o uso de computador com planilhas do tipo EXCEL em
todos os dias do curso
Avaliação:
A avaliação é composta por questões teóricas e/ou práticas, executadas preferencialmente
em sala de aula. Haverá avaliação em grupo e também individual, por participação. Caso
não haja tempo de se completar as atividades avaliativas, estas poderão ser entregues
(enviadas via e-mail), em comum acordo com os alunos, até às 15:00 da terça-feira
seguinte ao módulo, para que o professor possa atribuir as notas e calcular as médias finais
para registro no Diário de Classe e envio dentro do prazo estipulado pela Coordenação do
Curso e a Administração do INBEC.
Bibliografia:
CARVALHO, R. C. FIGUEIREDO FILHO J.,R. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de
concreto armado Editora EDUFSCar São Carlos 2007
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. Projeto de Estruturas de Concreto – NBR
6118:2014
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. Cargas para cálculo de estruturas de
edificações –NBR 6120:1980, 1980
Bibliografia Complementar
ARAÚJO, J. M. - Curso de Concreto Armado. Vol. 3. Editora Dunas, Rio Grande - RS, 2003
PFEIL, W. - Concreto Armado. Vol. 2. LTC, Rio de Janeiro-RJ, 1983
SÜSSEKIND, J. C. - Curso de Concreto. Vol. II. Editora Globo, Rio de Janeiro-RJ, 1985
CAPÍTULO 1 
 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS ESTRUTURAS DE 
CONCRETO ARMADO 
 
E strutura da edificação com 
V2
1V
3P
P2
1P
L aje
V iga
Pilar
B loco
E staca
V2
1V
3P
P2
1P
E dificação com estrutura 
em concreto arm ado 
E strutura da edificação 
com elem entos nom eados 
	Tabela	
1.4	Valores	do	coeficiente	 3f1ff  .	
	 Ações 
ombinações	
de	ações	
Permanentes (g) Variáveis (q) Protensão (p) Recalques de apoio e 
retração 
 Desfavor. Favor Geral Temperat. Desfav. Favor. Desfavor. Favorável
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 
Especiais ou 
e construção 
1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 
xcepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 
 
1.12 Resumo das expressões usadas no capítulo. 
Significado Expressão número 
Resistência à 
compressão do 
concreto A
N
f rupcj  
(1.1) 
Resistência à 
compressão 
característica do 
concreto 
s645,1ffou )645,11(ff cmckcmck  
(1.2) 
 
Coeficiente de 
variação 







 

n
1i
2
cm
cmci
f
ff
n
1
 
 
(1.3) 
(1 4)
C A P Í T U L O 2 
P A V I M E N T O S D E E D I F I C A Ç Õ E S C O M L A J E S 
N E R V U R A D A S U N I D I R E C I O N A I S D E V I G O T A S P R É -
M O L D A D A S 
 
2 .1 0 R e s u m o d a s e x p r e s s õ e s u s a d a s 
N e s te i t e m s ã o a p r e s e n ta d a s e m f o r m a d e t a b e l a a s e x p r e s s õ e s u s a d a s n e s t e c a p í t u lo . 
E x p r e s s õ e s c a p í tu lo 2 
S ig n if i c a d o E x p r e s s ã o N ú m e r o
a ç ã o n a s v i g a s 
p e r p e n d i c u l a r e s à s 
n e r v u r a s 
p r o c e s s o s i m p l i f i c a d o 
2
p
2
p
p x
y
yx
v y


 



 
( 2 .1 )
a ç ã o n a sv i g a s p a r a le l a s 
à s n e r v u r a s 
p r o c e s s o s i m p l i f i c a d o : 
2
2 5,0
2
2 5,0 y
x
yx
v x
pp
p


 



 
( 2 .2 )
a ç ã o n a s v ig a s 
p e rp e n d ic u la re s à s 
n e rv u ra s : 
 P r o c e s s o r a c io n a l , 
2 0 0
p)1 75 8(
p xv y

 
( 2 .3 )
a ç ã o n a s v i g a s p a r a le l a s 
à s n e r v u r a s : 
P r o c e s s o r a c io n a l , 2 0 0
p)1 74 2(
p yv x

 
( 2 .4 )
F le c h a s n a s l a j e s p r é -
m o ld a d a s 
( s im p le s m e n te 
a p o ia d a s ) 
mc
4
IE3 8 4
p5a



 
( 2 .5 )
CAPÍTULO 3 
CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO 
 
As=? 
Md
VISTA
LATERAL FRONTAL
VISTA
sA
h d
bw
s s
c
y= x x
c
fcd
DEFORMAÇÕES
cF
Fs
zy= xAs
s
c
c
c-
TENSÃO
 
Braço de alavanca na flexão 
simples (seção retangular) fck 
50 MPa; 
x4,0dz  (3.19) 
Momento fletor em função 
da linha neutra (seção 
retangular) fck 50 MPa; 
 xdxfbM cdwd  4,068,0 (3.20) 
Momento fletor em função 
da linha neutra, expressão 
reduzida fck 50 MPa; 
  cdw2d fbx272,0dx68,0M  (3.21) 
Posição da linha neutra 
fck 50 MPa;  
544,0
272,0468,068,0 2 







 cdw
d
fb
Mdd
x
(3.22) 
Valor da área de aço 
s
d
s fz
M
A

 
(3.23) 
CAPÍTULO 4 
DETALHAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL 
(FLEXÃO) NA SEÇÃO TRANSVERSAL E ESTADOS 
LIMITES DE UTILIZAÇÃO 
N17Ø6,3-204
N17Ø6,3
N16Ø6,3-217
84
19
a)seção do apoio b)seção do tramo
4,28 4,28
4,3
4,3
7,84
3,0
4,28
3,5
4,3
3,0
4,28
7,84
4,3
3,5
4,28
3,5
3,5
4,28
3
3,03,0
3.0
3,0
armadura
de pele
L N
90 cm
25 cm
90 cm
25 cm
L N
5,5
5,5
5,5
5,5
5,5
5,5
5,5
 
Detalhe 1
Detalhe 14,3 4,3
3,5
a b
c
d
4,28
face da viga
7,84
 
Quadro4.12 Inércia média e flechas para as diversas combinações. 
 
Ação 
p 
(kN/m) 
Mat = Mmáx
(kN.m) 
max
r
M
M Im 
(m4) 
p/Im a 
(cm) 
Permanente 1,55 4,84 0,324 4,5710-5 33917 1,30 
Quase-permanente 2,15 6,72 0,234 4,5310-5 47461 1,81 
Rara 3,55 11,09 0,142 4,5110-5 78714 3,01 
Detalhe 1
 
Quadro4.12 Inércia média e flechas para as diversas combinações. 
 
Ação 
p 
(kN/m) 
Mat = Mmáx
(kN.m) 
max
r
M
M Im 
(m4) 
p/Im a 
(cm) 
Permanente 1,55 4,84 0,324 4,5710-5 33917 1,30 
Quase-permanente 2,15 6,72 0,234 4,5310-5 47461 1,81 
Rara 3,55 11,09 0,142 4,5110-5 78714 3,01 
.9 Resumo das expressões usadas no capítulo IV 
Significado Expressão número 
Momento 
fletor 
mínimo 
sup,ctk0min,d fW8,0M  (4.1) 
Armadura de 
pele alma,c100
10,0
alma,cpele,s AAde%10,0A  
(4.2) 
Combinação 
quase 
permanente 
para ELSW 
  qkgkserviço,d F4,0FF 
Válido para obras residenciais 
 
(4.3) 
Abertura de 
fissura 
máxima 


 

 f
3 
E
 
 12,5
t
mct,si


 sisi
i
i
(4.4) 
CAPÍTULO 5 
DETALHAMENTO DA ARMADURA LONGITUDIN
AO LONGO DA VIGA 
 












 





 

 
Significado Expressão número
 
yd
d
s fz
M
A

 (5.1)
 
dx
dA
d
dA ss
x
ss
b






 
(5.2) 
 
bd
yd
b f
f
4


 
(5.4) 
 
CAPÍTULO 6 
CISALHAMENTO: CÁLCULO DA 
ARMADURA TRANSVERSAL 
Ast=? 
 
 
Quadro de expressões para a análise de cortante com a treliça clássica de Morsche 
Significado Expressão número 
Força na biela tracionada Sat VsenF  (6.10) 
Força na biela em função 
da armadura transversal 
ydswat fnAF  (6.11) 
Força na biela tracionada 
no ELU 

sen
V
F Sdat 
(6.12) 
Relação entre a área da 
armadura transversal e 
cortante 


sen
V
fnA Sdydsw 
(6.13) 
Número de barras que 
compõem a biela 
tracionada 
s
)cot1(z
s
cotzz
n



 
 
(6.14) 
Relação entre o 
espaçamento da armadura 
transversal e cortante 
 




sen
V
f
s
cot1zA Sdydsw 
 
(6.15) 
 
CAPÍTULO 7 
PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS COM LAJES MACIÇAS 
 
D
p
y
w
yx
w2
x
w
4
4
22
4
4
4








 
 
Quadro 7.2 Coeficientes  para cálculo de flechas elásticas em lajes retangulares
 caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 caso 5 caso 6 caso 7 caso 8 caso 9 
1,00 4,67 3,20 3,20 2,42 2,21 2,21 1,81 1,81 1,46 
1,05 5,17 3,61 3,42 2,67 2,55 2,31 2,04 1,92 1,60 
1,10 5,64 4,04 3,63 2,91 2,92 2,41 2,27 2,04 1,74 
1,15 6,09 4,47 3,82 3,12 3,29 2,48 2,49 2,14 1,87 
1,20 6,52 4,91 4,02 3,34 3,67 2,56 2,72 2,24 1,98 
1,25 6,95 5,34 4,18 3,55 4,07 2,63 2,95 2,33 2,10 
1,85 10,96 9,82 5,43 5,16 8,77 2,89 4,87 2,85 2,83 
1,90 11,21 10,11 5,50 5,23 9,08 2,90 4,98 2,87 2,85 
1,95 11,44 10,39 5,58 5,31 9,41 2,90 5,08 2,89 2,88 
2,00 11,68 10,68 5,66 5,39 9,72 2,91 5,19 2,91 2,91 
 15,35 15,35 6,38 6,38 15,35 3,07 6,38 3,07 3,07 
7.3.7.2.2 Determinação dos momentos máximos nas direções x e y 
Momento fletor no meio do 
vão em y para laje 
retangular com para carga 
uniforme 
100
p
m
2
x
yy

 
(7.19) 
Momento fletor negativo 
em x para laje retangular 
com para carga uniforme 100
2
' x
xx
pX   
(7.20) 
 
perguntas
Por quê?
Para que?
Como?
 
a) Argamassa armada ou microconcreto armado: obtidos pela associação da 
argamassa simples (cimento e areia) com armadura de pequeno diâmetro e pouco 
espaçada, distribuída uniformemente em toda a superfície e composta,
principalmente, de fios e telas de aço. 
 
a) Concreto armado: obtido através da associação do concreto simples com armadura
convenientemente colocada (armadura passiva), de tal modo que ambos resistam
solidariamente aos esforços solicitantes. 
p p ç
 
b) Concreto com fibras: obtido pela adição de fibras metálicas ou poliméricas durante
o preparo do concreto, fazendo com que depois de seco o concreto (matriz) esteja 
ligado pelas fibras (pontes) que o atravessam em todas a direções; é empregado em 
 
b) Concreto protendido: obtido através da associação entre o concreto simples e armadura
ativa (é aplicada uma força na armadura antes da atuação do carregamento na estrutura). 
 
Região M>Mr
Armadura de aço
É interessante ressaltar ainda, que o concreto e o aço têm coeficientes de dilatação 
térmica próximos (conc = 110-5 oC-1, e aço = 1,210-5 oC-1) e também que o concreto, ao 
envolver o aço, o protege satisfatoriamente, em condições normais, contra a oxidação e altas 
temperaturas. 
Armadura passiva Onde houver tração que eu leve armadura 
Exercício
Página 190
Ensaio
Região funcionado
p
M
Diagrama de Momento
Viga de Concreto armado
no estádio I
sem fissuras 
de flexão
no estádio II (M>M )
Região funcionado
tensão no tensão no concreto
com fissuras de flexão 
c,1
*
c
** < f ct
concreto
sem fissuras 
de flexão
no estádio I
Região funcionado
< fc** ct
tensão no 
concreto
*
c
*
c,2>
 x I x II I
 x
 x
Viga sob carga de serviço
PROVA DIA 1 
1) Calcular  se uma viga de vão de 4 m com bw=20 cm, h=40 cm e  fck  submetida a uma 
ação de seu peso próprio e de uma parede de 3 m de altura com 20 cm de espessura e 
peso específico de 18 kN/m3 fissura no meio do vão? 
Le
R
g1+g2 kN/m
a Rb
A B
t
cm,ct
r y
If
M


 PAGINA 199 
 =1,5 para seções retangulares;  
Ic momento de inércia da seção bruta de 
concreto; bh3/12 
f 3/2ckm,ct f03f   
Pergunta-se ainda para a seção do 
centro não fissurar qual seria o limite 
de vão ; b)de altura da seção ; c) altura 
de parede; resistência do concreto
Respostas
Fissura ; a) L<3,32m; b) h> 0,49 m; c) hp< 1,90 m; d) fck> 34,8371 Mpa
Fórmulas para a demonstração na página274
6.2 TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS EM UMA VIGA 
y
I
M
      6.1
9.3.2 Concretagem em temperatura muito fria A temperatura da massa de concreto, 
no momento do lançamento, não deve ser inferior a 5°C.
Salvo disposições em contrário, estabelecidas no projeto ou definidas pelo 
responsável técnico pela obra, a concretagem deve ser suspensa sempre que 
estiver prevista queda na temperatura ambiente para abaixo de 0°C nas 48 h 
seguintes. O emprego de aditivos requer prévia comprovação de seu desempenho. 
Em nenhum caso devem ser usados produtos quepossam atacar quimicamente as 
armaduras, em especial aditivos à base de cloreto de cálcio.
Execução de estruturas de concreto ‐ Procedimento
ABNT NBR  14931
9.3.3 Concretagem em temperatura muito quente
Quando a concretagem for efetuada em temperatura ambiente muito quente (≥ 
35°C) e, em especial, quando a umidade relativa do ar for baixa (≤ 50%) e a 
velocidade do vento alta (≥ 30 m/s), devem ser adotadas as medidas necessárias 
para evitar a perda de consistência e reduzir a temperatura da massa de concreto.
Temperatura (máxima e mínima), umidade, retração etc
Salvo condições específicas definidas em projeto, ou influência de condições 
climáticas ou de composição do concreto, recomenda-se que o intervalo de 
tempo transcorrido entre o instante em que a água de amassamento entra em 
contato com o cimento e o final da concretagem não ultrapasse a 2 h 30 min. 
Quando a temperatura ambiente for elevada, ou sob condições que contribuam 
para acelerar a pega do concreto, esse intervalo de tempo deve ser reduzido, a 
menos que sejam adotadas medidas especiais, como o uso de aditivos 
retardadores, que aumentem o tempo de pega sem prejudicar a qualidade do 
concreto. 
Salvo disposições em contrário, estabelecidas no projeto ou definidas pelo 
responsável técnico pela obra, a concretagem deve ser suspensa se as 
condições ambientais forem adversas, com temperatura ambiente superior a 
40°C ou vento acima de 60 m/s.
1.6.2 CONCRETO ENDURECIDO RESISTÊNCIA DO CONCRETO SIMPLES
• Resistência à compressão
• Resistência à tração
• Resistência ao cisalhamentoA partir da resistência característica a NBR 6118:2014 define classes para 
os concretos, no item 8.2.1, da seguinte maneira: “Esta Norma se aplica a 
concretos compreendidos nas classes de resistência dos grupos I e II, da 
ABNT NBR 8953 até a classe C90. A classe C20, ou superior, se aplica a 
concreto com armadura passiva e a classe C25, ou superior, a concreto 
com armadura ativa. 
Define-se então como resistência característica (fck) do 
concreto à compressão, o valor que apresenta um grau de 
confiança de 95%, ou seja, fck é o valor da resistência de 
modo que 95% dos resultados dos ensaios estejam acima 
dele, ou 5% abaixoA
N
f rupcj 
s645,1ff ou )645,11(ff cmckcmck 







 

n
1i
2
cm
cmci
f
ff
n
1
No Brasil são utilizados corpos de prova 
cilíndricos, com diâmetro da base de 15 cm e 
altura de 30 cm e também corpos com base de 
10 cm e altura de 20 cm. A resistência à 
compressão do concreto deve ser relacionada 
à idade de 28 dias 
A partir da resistência característica a ABNT NBR 6118:2014
define classes para os concretos, no item 8.2.1, de acordo 
com a ABNT NBR 8953:2009 (Versão Corrigida 2011), da 
seguinte maneira:
"Esta Norma se aplica aos concretos 
compreendidos nas classes de 
resistência dos grupos I e II, da 
ABNT NBR 8953, até a classe C90
O grupo I corresponde aos concretos até a classe C50, e o grupo II aos concretos 
das classes superiores, até C90. Os números indicadores das classes representam 
a resistência característica à compressão especificada em MPa para a idade de 28 
dias
2) Imaginando uma laje maciça de 10 cm deseja-se tirar o escoramento com três dias. 
Considerando que no projeto o calculista usou como dados o valor de g
2
=1 kN/m
2
 q=1,5 
kN/m2 e indicou um f
ck
 de 20 MPa. 
PROVA – exercícios
Bônus
Considerar g1=0,5x(g1+g2+q)
ck
3) Imaginando que no esquema de escoramento (duas lajes escoradas em uma terceira) em 
que cada pavimento é  executado a cada 7 dias a ação no pavimento mais inferior é de  1,712 
g1. Pergunta‐se haverá segurança. 
 
 
fck= 20 Mpa h= 0.1 m
t= 14 dias g1= 2.5 kN/m
2
r= 0.5 g2= 1 kN/m
2
s= 0.25 q= 1.5 kN/m2
β1= 0.901628 suporta p= 5 kN/m
2
Resposta 
Se para 2g1  era preciso fck para resistir com segurança
Para 1,718 g1 seria preciso  1,718/2=0,859 fck
Quando se chega na segunda laje é preciso 14 dias da data da concretagem da prime
β1 deste concreto é dado por 0,90
Assim como 0,90>0,859 é possível fazer o esquema 
BÔNUS E COMPLEMENTO 
CAPÍTULO 3
NBR 6118:2003 estabelece, no item 14.6.4.3, que para melhorar a dutilidade das estruturas nas
regiões de apoio das vigas (regiões de momentos negativos) ou de ligações com outros 
elementos estruturais, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: 
 
a) 50,0d/x  para concretos com 35fck  MPa 
b) 40,0d/x  35fck  MPa 
 
a) x/d 0,45 - para concretos com fck 50 MPa; (3.13) 
b) x/d 0,35 - para concretos com 50 MPa < fck 90 MPa. (3.14) 
Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como 
por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões”. 
 Porque ?
 
“A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no
ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior será essa capacidade. Para proporcionar o adequado
comportamento dútil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos
seguintes limites: 
a) 45,0d/x  para concretos com MPa50fck  (3.13) 
b) 35,0d/x  para concretos com MPa90fMPa50 ck  (3.14) 
 
Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como
por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões”. 
 
Prova viga contínua
Exercício 2: conhecida a seção transversal e armadura (Figura 3.27) de uma nervura (trilho) de
laje pré-moldada, determinar o maior vão que ela pode ter, considerando apenas o estado limite
último, para uma carga total atuante (acidental, revestimentos e peso próprio) de 6,5 kN/m2 e 
armadura composta de 2  6,3 mm (As = 20,315 cm2 = 0,63 cm2) de aço CA-60. 
 
Dados: fck = 20 MPa = 20000 kN/m2; cobrimento = 2,0 cm; altura útil d = h - 2,3 cm. 
 
•COMPLEMENTO E BÔNUS 
CAPÍTULO 2
1) um sistema de laje pré-moldada (treliçada), com altura total de 12 cm (12) e altura da
capa de 4,0 cm, foi usado para compor uma laje de vão livre igual a 4 m, simplesmente
apoiada nas extremidades em vigas de 15 cm de largura. A carga permanente (peso próprio)
g1 é igual a 1,5 kN/m2, a carga de revestimento e contrapiso g2 é igual a 0,5 kN/m2 e a
acidental q é igual a 2 kN/m2. Qual a armadura necessária As em cada elemento (nervura)
para a seção transversal da laje indicada na Figura 3.29? 
 
Dados: fck = 20 MPa = 20000 kN/m2,aço CA-60 e cobrimento igual a 1,5 cm (laje em
ambiente de agressividade ambiental I e controle rigoroso); admitir armadura longitudinal de
 = 10 mm. 
 
40 cm
4
1,5
12
Lajota
Capa
13
 
Figura 3.29 Seção transversal da laje (cotas em cm). 
 
a) Carga atuante em uma nervura (a distância entre as nervuras é igual a 40 cm): 
 
mkN6,1)0,25,05,1(4,0p  
 
b) Momento máximo em cada nervura (vigota simplesmente apoiada no eixo das vigas
extremas): 
 
mkN44,3
8
15,46,1
8
pM
22
max 




 
 
c) Seção transversal: as nervuras têm seção transversal como a indicada na Figura 3.30a,
porém, para efeito de cálculo, será empregada a seção da Figura 3.30b (cotas em cm). 
 
b f
h f1 2 1 ,5
sA
4 0
As
wb = 9
a ) seção tran sv e rsa l d a n e rv u ra a ) seção tran sv e rsa l ad o tad a 
Figura 3.30 Seção transversal real da nervura (a) e da adotada para o cálculo (b). 
 
d) Largura colaborante (bf): para o cálculo é preciso verificar quanto da capa de
concreto, que tem 4 cm de espessura e trabalha comprimida, colaborará com a nervura: 
 
cm405,1529b2bb 1wf  , em que: 
 
bw = 9 cm é a largura da alma da seção; 
 
b) Verificação da seção: verificação se a seção é retangular ou "T", adm
inicialmente que a linha neutra passe pela mesa: 
 
Altura útil cm0,100,2120,2hd  (1,5 cm de cobrimento e 0,5 cm correspo
a metade do diâmetro da barra longitudinal). 
 
084,0
4,1
2000010,04,0
44,34,1
fdb
M
KMD
2cd
2
d 




 
 
Pelo Quadro 3.1 (tomandoKMD = 0,085)  KX = 0,132 
 
mc1,32=0,10,1320d)KX(x  < hf = 4,0 cm 
 
A hipótese inicial é válida, pois a linha neutra passa na mesa e a seção é retangular. 
 
c) Cálculo da armadura 
 
Do Quadro 3.1, com KMD = 0,085  KZ = 0,9472; c = 1,5203‰; s = 10,00‰ 
 
Como c=1,5203‰ e s=10,00‰, a peça está trabalhando no domínio 2 (deformação no aço
de 10,000‰ e no concreto menor que 3,5‰), e fs = fyd = 60 kN/cm2. 
 
15,1
)cm/kN(60yd
d
s 2
10,09472,0
)kNm(44,34,1
fdKZ
M
A




  As = 0,98 cm2 
Pré-moldados
Roberto Chust Carvalho
Pavimentos com laje parcialmente pré-fabricadas
vigota 
Vigota
protendida[
Treliçada
AULA INAUGURAL
Casas populares
Roberto Chust Carvalho
Velocidade
Custo
Sem escoramento
Treliçada reforçada
protendida
Casas usuais (sob medida) 
Roberto Chust Carvalho
condomínios
Grandes vãos
Bidirecional]
Continuidade
protendida
Casas usuais (sob medida) Grandes vãos Continuidade
ANEXO 1
Dimensionamento à Flexão de Lajes Nervuradas Unidirecionais Contínuas com 
Vigotas Pré-Moldadas
 Esquema Estrutural de laje unidirecional continua
P
A
B
B
A
 Esquema Estrutural de laje unidirecional continua
h
b
x
d
Seção AA momento fletor positivo
M
As
A
hfL N
Concreto comprimido
f
wb
h
b
x d
Seção BB momento fletor negativo
X
As
Concreto comprimido
L N
hf f
wb
Casas usuais (sob medida) Grandes vãos Continuidade
ANEXO 1
Dimensionamento à Flexão de Lajes Nervuradas Unidirecionais Contínuas com 
Vigotas Pré-Moldadas
 Esquema Estrutural de laje unidirecional continua
P
Diagrama de
Diagrama de momento com 
X
momento elástico
plasticação no apoio central
elástico
plásticoX
M elásticoplásticoM
Plastificação
Casas usuais (sob medida) Grandes vãos Continuidade
ANEXO 1
Dimensionamento à Flexão de Lajes Nervuradas Unidirecionais Contínuas com 
Vigotas Pré-Moldadas
Elemento de Enchimento
Treliça
de concreto
Apoio intermediário
Região maciça 
Barras de Aço
LAJES CONTÍNUAS
Bloco cerâmico
Apoio Intermediário
Vigota treliçada
Armadura (As)Região maciça de concreto
Região maciça da laje sobre o apoio interno.
Casas usuais (sob medida) Grandes vãos Continuidade
Roberto Chust Carvalho
8
2pl
8
2plX elástico 
l l

máxM
2
l
p
Mmáximox
 
Tabela A1.1 Momentos fletores e armaduras positiva e negativa para as diversas situações. 
Situação Momento (kNm) Largura da seção Armadura 
Mpos = 15,50 kNm b = bf = 50,0 cm 2,95 cm2 Laje com dois tramos isostáticos. 
Momento negativo = 0 Mneg = 0 - - 
Mpos = Mpos/elast = 8,72 kNm b = bf = 50,0 cm 1,61 cm2 Laje contínua. 
Momento negativo com região 
maciça. Mneg = Mneg/elast = 15,50 kNm b = 50 cm 2,95 cm
2 
Mpos = 10,66 kNm b = bf = 50,0 cm 1,99 cm2 Laje contínua. 
Momento negativo igual ao 
resistente sem região maciça. Mneg = Mres = 10,58 cm
2 b= bw = 10 cm 2,53 cm2 
 
Casas usuais (sob medida) Grandes vãos Continuidade
Roberto Chust Carvalho
Vista Lateral Laje com dois tramos isostáticos
sA =2,95cm
2
A =2,95cms
2apoio apoio apoio
Vista Lateral Laje contínua seção do apoio plastificada
A =2,53cm2
A =1,99cm2s A =1,99cms
2
apoio apoio apoio
s
A =1,61cms
A =1,61cms
2
A =2,95cms
Vista Lateral Laje contínua com seção proxima ao apoio maciça
2
apoio apoio apoio
Roberto Chust Carvalho
.Dispositivo que pode ser acoplado as lajotas cerâmicas para 
formar a nervura transversal.
Casas usuais (sob medida) Laje bidirecional
Roberto Chust Carvalho
Laje de forro de 6x6m simplesmente apoiada
Casas usuais (sob medida) Laje bidirecional
Quadro 7 – Comparação das flechas obtidas 
 1 2 3 4 
Caso Flecha imediata 
Grelha não 
linear 
Flecha no tempo 
infinito 
Grelha não-linear 
Flecha no tempo 
infinito 
Cálculo manual 
Flecha no tempo 
infinito 
Grelha linear 
1 1,88 cm 4,56 cm 5,48 - 
2 2,26 cm 5,48 cm - - 
3 2,33 cm 5,65 cm - - 
4 2,33 cm 4,65 cm - - 
5 1,29 cm 3,13 cm 2,60 3,93 
 
42
12
10
125
21
3
13
42
10
5
21
3
13
flecha limite para esta laje é de 2,4 cm a contra‐flecha máxima possível de 1,71 
as situações que atenderiam a flecha máximo a= 2,4+1,71= 4,11 cm.
Roberto Chust Carvalho
Laje de forro de 6x6m simplesmente apoiada
Casas usuais (sob medida) Laje bidirecional
10) Conclusões
A utilização de nervuras transversais somente é interessante no Caso 5,
do concreto.
O aumento do peso próprio das nervuras transversais elimina o ganho na flecha
O uso da viga independente e a grelha linear podem ser usados para 
avaliar o valor da flecha na falta de um programa incremental.
1,71 
Cálculo da laje nervurada como maciça, ( permitido pela NBR6118:2003), apesar de 
todas as tentativas de correção (fator fc, ) a flecha apresentou-se bem pequeno e 
provavelmente contra a segurança. Desta forma não se recomenda este procedimento 
para avaliar a flecha.
Roberto Chust Carvalho
Sem uso de treliça
Paea pequenas casas comércios
Autor: Carlos Roberto Santine
Título(s): [pt] Projeto e construção de lajes pré-moldades de concreto armado. 
Roberto Chust Carvalho
Sem uso de treliça
Paea pequenas casas comércios
Autor: Carlos Roberto Santine
Título(s): [pt] Projeto e construção de lajes pré-moldades de 
concreto armado. 
Sem uso de treliça
Paea pequenas casas comércios
Autor: Carlos Roberto Santine 
Título(s): [pt] Projeto e construção de lajes pré‐moldades de concreto armado. 
•COMPLEMENTO CAP. 4
VISUAL 
Considerando a fluência 
250
)( lim221

 iteg aqga 
VIBRAÇÕES SENTIDAS NO PISO
 iteq aa lim

350lim2121

  teggqggq aaaa
 flecha de carga acidental = flecha da combinação – flecha da 
combinação permanente.
 f1 
Combinação Quase Permanente