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Unidade 2 Viga principal em concreto armado Gabriela Martins Souza Brisola © 2019 por Editora e Distribuidora Educacional S.A. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Editora e Distribuidora Educacional S.A. 2019 Editora e Distribuidora Educacional S.A. Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza CEP: 86041-100 — Londrina — PR e-mail: editora.educacional@kroton.com.br Homepage: http://www.kroton.com.br/ Sumário Unidade 2 Viga principal em concreto armado ........................................................... 5 Seção 1 Análise estrutural do momento fletor na viga principal ............... 7 Seção 2 Análise estrutural da força cortante na viga principal .................23 Seção 3 Dimensionamento da viga principal ..............................................39 Unidade 2 Viga principal em concreto armado Convite ao estudo Caro aluno, seja bem-vindo a esta unidade da disciplina de Pontes e Grandes Estruturas. Nesta etapa, muitos conceitos que você já viu em outras disciplinas na área de Estruturas serão aplicados para desenvolver o projeto de uma ponte em concreto armado. Ao longo deste livro, você perceberá que o conceito do dimensionamento das estruturas é feito de forma similar para diferentes tipos de materiais. Nesta unidade, você aprenderá a aplicar os conhecimentos de linha de influência de momento fletor e força cortante em uma viga principal de uma ponte, chegando a valores máximos e mínimos de momento e cortante e a valores finais de área de aço da viga de concreto armado. Após estudar todos os conteúdos apresentados, você saberá determinar a armadura de flexão e cisalhamento de uma viga principal de concreto armado de uma ponte. As estruturas devem estar dimensionadas de forma a garantir a estabili- dade do elemento estrutural, conforme previsto pelas normas técnicas brasi- leiras. No caso de pontes e viadutos, a existência de cargas móveis atuantes sobre a estrutura exigirá uma atenção maior para determinar os esforços máximos e mínimos para as seções importantes de uma peça, como por exemplo uma viga longitudinal principal. Com isso, você deverá estar capaci- tado a conhecer as técnicas de cálculos necessárias e, ao aplicar os conhe- cimentos de linha de influência de momentos fletores e forças cortantes em uma viga principal de uma ponte, você determinará valores máximos e mínimos dos esforços. Essa etapa é fundamental para que você saiba determinar as armaduras necessárias, armaduras longitudinais de flexão e armaduras transversais de cisalhamento, para a construção da ponte do projeto no qual você está envol- vido. Sendo assim, neste livro, buscaremos desenvolver as noções básicas de dimensionamento em concreto armado. Lembre-se de que o dimensiona- mento deve assegurar que os valores de cargas permanentes e móveis, previa- mente analisados, serão suportados pela estrutura. Para isso, os esforços de momentos fletores serão importantes e devem ser determinados para os cálculos, bem como os esforços de forças cortantes. Visando determinar esses valores de esforços máximos e mínimos, vamos nos debruçar sobre uma técnica que pode ser utilizada no caso de cargas móveis, como é o caso da linha de influência. Nesta disciplina, além da capacidade de dimensionar estruturas de concreto, o incentivo é também para a aplicação da técnica de linha de influ- ência – que pode ser aplicada a todos os tipos de carregamentos, estáticos ou móveis – a fim de determinar o diagrama de esforços em todos os tipos de estruturas. Aproveite a oportunidade de aprender um pouco mais, seja proativo e procure informações adicionais, além dos tópicos citados aqui. A aplicação desse conceito pode ser utilizada em muitos casos na engenharia de estruturas e, o seu conhecimento poderá ser um diferencial que o tornará capacitado para o mercado de trabalho. Bons estudos! 7 Seção 1 Análise estrutural do momento fletor na viga principal Diálogo aberto Nesta primeira seção da Unidade 2, veremos sobre a linha de influência de momentos fletores para a viga principal longitudinal do projeto de pontes em concreto armado. Utilizando essa técnica de cálculo, determinaremos o momento fletor máximo e mínimo atuante na viga principal, de acordo com o trem-tipo longitudinal máximo determinado anteriormente e devidos coeficientes de impacto aplicados aos carregamentos móveis. Também abordaremos o conceito de envoltória do esforço de momento fletor. Com esses valores em mãos, será possível dimensionar a estrutura em concreto armado, que será estudada na Unidade 3. Vamos relembrar sua situação profissional. Você ingressou como trainee de engenharia civil em uma grande empresa de projetos estruturais. Devido ao seu bom desempenho na empresa, o seu superior convidou-o para participar do projeto de uma ponte que será construída na cidade de São Paulo. Em uma primeira etapa, foi definido o sistema estrutural da ponte, que será construída em duas vigas de concreto. Na sequência, você e sua equipe determinaram os carregamentos atuantes devido às cargas permanentes (Figura 1.20, Seção 1.2) e cargas móveis (Figura 1.31, Seção 1.3), para a viga principal longarina. Agora, você deve colocar em prática os seus conhecimentos para determinar os máximos esforços atuantes, de momento fletor, para dimensionamento dessa viga. Você já sabe como determinar os valores de momentos fletores devido a uma carga permanente estática. Mas, como determinar os valores de momentos fletores devido a uma carga móvel, que percorre o tabuleiro da ponte? Figura 1.20 | Esquema estático de cargas permanentes Fonte: elaborada pela autora. 8 Figura 1.31 | Trem-tipo longitudinal máximo Fonte: elaborada pela autora. Para concluir mais essa etapa do projeto, você estudará sobre a linha de influência de momento fletor, sobre a influência dos coeficientes de impacto no momento fletor e sobre o conceito de envoltória de momento fletor na viga principal. Não pode faltar Na área de Estruturas, sabe-se que, para o dimensionamento de uma estrutura, é necessário conhecer os esforços máximos e mínimos que ela suportará ao ser submetida a um carregamento. Diversas estruturas são dimensionadas para suportar cargas móveis, como o caso de pontes rodovi- árias ou ferroviárias, pórticos industriais que englobam pontes rolantes para o transporte de cargas, entre outros. Para estruturas submetidas a cargas móveis, existe um diagrama conhe- cido como envoltória de esforços, que determina os valores limites, ou seja, os valores máximos ou mínimos para as seções transversais da estrutura analisada. Por exemplo, o máximo valor de momento fletor em uma viga contínua com vários vãos não é determinado ao posicionar a carga acidental de ocupação sobre todos os vãos. Posições selecionadas determinarão os valores limites de momento fletor que ocorre em uma seção durante todas as posições da carga móvel sobre a estrutura. Com isso, cabe ao projetista determinar, para cada seção dimensionada, as posições de atuação das cargas acidentais que provocam os valores extremos (mínimos ou máximos de um determinado esforço). A solução para esse problema seria analisar a estru- tura para várias posições diferentes das cargas móveis ou acidentais e, dentre os valores encontrados, selecionar os valores extremos. Contudo, esse proce- dimento não é prático para estruturas com carregamentos complexos. O procedimento geral e eficiente para determinar as posições das cargas móveis e acidentais que provocam os valores mais extremos em uma seção deuma estrutura é feito mediante o auxílio das linhas de influência. 9 Linha de influência de momento fletor na viga principal O conceito de Linha de Influência (LI) já foi visto em uma seção anterior desta disciplina, porém, foi utilizado para determinar esforços de reações de apoio de um conjunto de cargas estáticas. Nesta etapa, compreenderemos o uso de LI de momento fletor em uma seção de uma carga vertical unitária que passeia sobre a estrutura e, com isso, geraremos uma representação gráfica do momento fletor. Para melhor compreensão, vemos na Figura 2.1 o diagrama de LI para uma viga contínua de 3 vãos. Na mesma figura, também vemos a carga unitária 1P = , em uma posição x. A ordenada ( )sM x da LI representa o valor de momento fletor na seção S quando a carga unitária 1P = está posicionada em x . Logo, vemos que a LI é uma representação gráfica dos esforços de momento fletor que ocorrem apenas em uma seção S quando a carga percorre a estrutura. Figura 2.1 | Linha de Influência de momento fletor em uma seção de uma viga contínua Fonte: Holtz (2005, p. 24). A linha de influência é um método demonstrado através do Princípio dos Deslocamentos Virtuais (PDV) (MARTHA, 2005) e pode ser aplicado para qualquer tipo de estrutura, sendo essa isostática ou hiperestática. Momento fletor máximo e mínimo na viga principal Para a mesma viga contínua, sob o mesmo diagrama de LI, considere uma carga móvel acidental atuando sobre essa estrutura. Essa carga é comporta de uma carga concentrada P e de um carregamento uniformemente distribuído, representado por q. Por ser uma carga acidental, q pode atuar parcialmente sobre a estrutura. O objetivo principal nesse momento é determinar quais são as posições de atuação das cargas P e q que maximizam ou minimizam o momento fletor em S. Por convenção, adota-se que o valor máximo de momento fletor M é obtido quando a carga q está posicionada sobre as ordenadas positivas na LI de momentos fletores e a carga concentrada P está sobre a maior ordenada positiva. Da mesma forma, o valor mínimo é determinando quando a carga q está locada sobre ordenadas negativas da LI 10 de momentos fletores e a carga P está sobre a maior ordenada negativa do diagrama. Esse conceito é exemplificado nas Figuras 2.2 e 2.3 a seguir: Figura 2.2 | Posicionamento da carga móvel para provocar máximo momento fletor em uma seção Fonte: Holtz (2005, p. 27). Figura 2.3 | Posicionamento da carga móvel para provocar mínimo momento fletor em uma seção Fonte: Holtz (2005, p. 27). Reflita Se a LI de momentos fletores representa um diagrama com ordenadas que representam valores de momentos fletores apenas de uma seção S, quando uma carga solicitante está passeando pela estrutura, em várias posições, então é verdadeiro dizer que, para cada tipo de estrutura (seja uma viga bi apoiada ou viga contínua de diversos vãos) e para cada seção analisada, teremos um diagrama de LI específico? Influência dos coeficientes de impacto no momento fletor da viga principal O diagrama de LI representa um resumo de todos os esforços que acontecem em uma única seção quando a carga percorre a estrutura. Visualizamos um exemplo genérico para o caso de uma viga contínua, contudo, diante desse conceito, é necessário determinar dois itens impor- tantes para elaborar um diagrama de LI para os demais casos: • O tipo de viga a ser analisado. • A seção de análise, que ocasionará os máximos esforços de momentos fletores. Para o caso de uma viga de ponte, do tipo bi apoiada, com balanços nas extremidades, sabemos que os máximos valores de momento fletor ocorrerão 11 no meio do vão da viga. Em caso de dúvidas, vemos os diagramas de momentos fletores para as diferentes posições de carga concentrada P, na Figura 2.4. Figura 2.4 | Diagramas de momentos fletores para carga P em diferentes posições Fonte: elaborada pela autora. Com isso, é possível admitir uma seção de análise, S, como a posição no meio do vão, para elaborar o desenho do diagrama de LI de momento fletor, conforme Figura 2.5. Figura 2.5 | Analisando a seção S dos diagramas de momentos fletores Fonte: elaborada pela autora. Sendo assim, construímos, para o caso de uma ponte bi apoiada, a LI de momentos fletores: Figura 2.6 | LI de momentos fletores para a seção no meio do vão Fonte: elaborada pela autora. Uma vez que a LI de momento fletor para uma viga em análise é deter- minada, basta incluirmos os carregamentos e, diante disso, determinaremos o máximo momento fletor de uma viga bi apoiada, ocorrendo na seção S, localizada no meio do vão, para os carregamentos atuantes na estrutura. Para as cargas permanentes, previamente determinadas para a viga principal, conforme visto na Seção 1.2, para o projeto de uma ponte, o momento máximo, g máxM , no meio do vão se dá por: 12 Figura 2.7 | LI de momentos fletores para seção no meio do vão Fonte: elaborada pela autora. Sendo a ordenada máxima positiva do diagrama de LI de momento fletor dada por: ( 1) 4P P LMF = ´= Note que, como a viga é simétrica, para simplificar o cálculo, alguns valores são multiplicados por 2, devido à existência de dois casos do mesmo carregamento atuando na viga. Sendo assim, o momento máximo devido às cargas permanentes é dado por: 1 1 1 ( ) 4,50 ( ) 4,50(53,66 44,84)2 (111,75 ( )) 2 [(44,84 ) ( )] 2 2 2máx M h hh ´ ´-= ´ ´ + ´ ´ + ´ + 2 2( ) 4,50 ( ) 4,50(53,66 44,84)2 [(44,84 ) ( )] 2 2 2 h h´ ´-´ ´ + ´ + 2 ( 1) ( 1) ( ) 2 [(44,84 ) 8] (32,20 MF ) 2 p p MFh = = ´ ´ ´ ´ + ´ Onde as ordenadas 1( )h e 2( )h podem ser determinadas por relação de triângulos. Para determinar o máximo momento fletor devido às cargas móveis acidentais, ,q máxM , tem-se a aplicação dos seguinte carregamentos, definidos na Seção 1.3, posicionados de forma a garantir o cálculo do máximo esforço. 13 Figura 2.8 | LI de momentos fletores para seção no meio do vão Fonte: elaborada pela autora. E seguindo os carregamentos móveis e LI da Figura 2.8, tem-se: 1 ( 1)1 ( ) ( )9,50 ( )M 2 [25,54 ] 2 [(8,37 3,0)] 2 2 p q máx MFhh =+´= ´ ´ + ´ ´ ´ + 2 ( 1)2 [182,4 ( )] 182,4 pMFh =´ ´ + ´ Assimile Observe que, conforme aprendido anteriormente nas seções anteriores, a carga móvel é uma carga acidental que pode existir ou não na estru- tura. Então, é importante ter em mente que, nem sempre carregando toda a estrutura com um carregamento acidental você conseguirá obter o máximo esforço de momento fletor no meio do vão. Note que a mesma teoria não é válida para cargas permanentes, visto que a carga permanente nunca pode ser retirada de uma estrutura, pois é perma- nente. Sendo assim, a carga permanente sempre existirá. O valor de momento fletor máximo na viga principal do projeto de ponte será dado por: máx g máx q máxM M M= = O coeficiente de impacto vertical foi definido na Seção 1.3 e acrescentado aos valores do trem-tipo longitudinal máximo calculado para a ponte em estudo. Alguns autores abordam que esse valor de coeficiente j também poderia ser aplicado aos valores de momentos fletores encontrados, em vez de acrescidos aos carregamentos (MARCHETTI, 2008). De qualquer forma, 14 seja acrescentado aos carregamentos ou aos esforços, o coeficiente de impacto sempre deve ser considerado no caso de cargas móveis rodoviárias, conforme NBR 7188 (ABNT, 2013). Conceito de envoltória de momento fletor na viga principal Com base em vários traçados de LIs, é possível obter o que se conhece como envoltórias limites dos esforços, necessárias para o dimensionamento completo das estruturas submetidas a cargas móveis acidentais. As envol- tórias de momentos fletores descrevem os valores máximos ou mínimos para um conjunto de cargas móveis acidentais, em cada uma das seções de uma estrutura,de forma que se obtenha conhecimento do comportamento completo da estrutura submetida a uma carga móvel. As seções são definidas pelo engenheiro calculista responsável, de forma que se adote o maior número de seções relevantes para o cálculo. Considerando que, para a viga principal em estudo, os carregamentos são simétricos devido à simetria da própria estrutura, pode-se determinar, de uma forma simplificada, algumas seções relevantes para demonstrar a técnica de LI em diferentes seções. Para uma seção localizada no balanço, tem-se, na Figura 2.9, a aplicação do carregamento móvel acidental de forma a causar momento fletor (no caso, negativo), de acordo com o diagrama de LI de momento fletor para a seção S. Figura 2.9 | LI de momentos fletores para seção S no balanço Fonte: elaborada pela autora. De forma análoga, é possível visualizar na Figura 2.10 como seriam os cálculos para determinar o máximo momento fletor devido às cargas móveis, para uma seção S localizada a 5 metros à direita do apoio 1, sendo: 15 Figura 2.10 | LI de momentos fletores para seção S no vão Fonte: elaborada pela autora. Exemplificando Para o cálculo completo de uma viga de 25 m de vão e 4,5 m nos balanços, no cotidiano profissional de um escritório de estruturas, as seções podem ser definidas a cada 1 m. Assim, os valores limites de esforços de momentos fletores são definidos para todos os trechos da estrutura. Nota-se que, a cada diagrama de LI, deve-se posicionar os carregamentos móveis visando obter os esforços limites (máximos ou mínimos). Conforme visto, para determinar os valores limites dos esforços de momentos fletores em uma determinada seção transversal, é necessário conhecer as posições de aplicação do trem-tipo que causam tais esforços limites. Para casos simples, de vigas simétricas, com carregamentos simples, como o trem-tipo, e linhas de influências, como no exemplo desse estudo, é intuitiva a indicação das posições limitantes, como o caso do meio do vão para o máximo momento fletor positivo. Contudo, em casos complexos, não é possível essa confiança na determinação das seções e, por isso, a maior quantidade de seções possíveis assegura o correto dimensionamento da estrutura, mediante o conhecimento do comportamento de toda a viga principal longitudinal. O nosso objetivo geral é minimizar e maximizar os valores dos esforços nas seções transversais no dimensionamento de um elemento estrutural em função da atuação da carga móvel acidental. Pesquise mais Alguns softwares foram desenvolvidos para auxiliar o dimensionamento das estruturas na engenharia e alguns desses são disponibilizados gratuitamente pelos produtores do programa. Para Azevedo (2000, p. 16 1), o uso de softwares no ensino universitário visa preparar o aluno para “começar imediatamente a ser produtivo no seu primeiro emprego”. Em seu artigo, o autor cita o programa FEMIX, que serve de apoio pedagógico ao ensino de linhas de influência na análise das estruturas. AZEVEDO, A. F. M. A utilização de software comercial no ensino universi- tário. In: VI CONGRESSO NACIONAL DE MECÂNICA APLICADA E COMPU- TACIONAL, 6., 2000, Aveiro, Portugal. Anais [...].Aveiro, Portugal: Universidade de Aveiro, 2000. Agora que você conhece como determinar os esforços de momento fletor devido a cargas permanentes e cargas móveis, você está preparado para determinar o máximo esforço devido a essas cargas em uma viga principal do projeto de uma ponte. Temos um problema e você já conhece a solução. Vamos superar esse desafio? Sem medo de errar Para determinar o valor máximo de momento fletor devido a um carre- gamento permanente, pode-se utilizar a técnica de LI de momentos fletores. Figura 2.7 | LI de momentos fletores para seção no meio do vão Fonte: elaborada pela autora. Conforme exemplificado na Figura 2.7, tem-se que, para os cálculos das ordenadas h , os valores são determinados conforme indicado a seguir: ( 1) 1 25 6,25 . 4 4P P LMF kN m = ´ ´= = = 17 E, com isso: 1 26,25 12,50 4,5 4,5 h h= = Sendo: 1 2,25h = e 2 2,25h = Portanto, o valor de momento máximo na seção S (meio do vão) é de: ( 2,25) 4,50 8,82 ( 2,25) 4,502 (111,75 ( 2,25)) 2 [(44,84 ) ( )] 2 2 2gmáx M - ´ - ´= ´ ´ - + ´ ´ + ´ + (2,25) 4,50 8,82 (2,25) 4,502 [(44,84 ) ( )] 2 2 2 ´ ´´ ´ + ´ + (2,25) 6,252 [(44,84 ) 8] (32,20 6,25) 2747,50 . 2 kN m+´ ´ ´ + ´ = Considere a figura a seguir, a respeito do momento fletor máximo devido às cargas móveis acidentais: Figura 2.8 | LI de momentos fletores para seção no meio do vão Fonte: elaborada pela autora. De acordo com a Figura 2.8, o momento fletor máximo devido às cargas móveis acidentais deve ser calculado da seguinte forma: ( 1) 1 25 6,25 . 4 4P P LMF kN m = ´ ´= = = E, com isso: 1 26,25 12,50 9,5 11 h h= = 18 Sendo: 1 4,75h = e 2 5,50h = max 9,50 4,75 4,75 6,252 [25,54 ] 2 [(8,37 3,0)] 2 [182,4 5,50] 182,4 6,25 2 2q M ´ += ´ ´ + ´ ´ ´ + ´ ´ + ´ max 4575,10kNmqM = As cargas permanentes e as cargas móveis atuam gerando um valor de momento fletor, que já foi encontrado por você neste estudo. Compreender o comportamento das estruturas e os esforços limites permite o dimensiona- mento correto da estrutura para suas respectivas armaduras. O uso da LI de momento fletor permite agilidade no cálculo dos esforços e pode ser usado em todos os casos de carregamento, sejam permanentes ou acidentais, na determinação dos valores de esforços em uma seção. Avançando na prática Análise estrutural de momento fletor mínimo na viga principal O engenheiro calculista, ao dimensionar uma estrutura como uma viga de ponte, deve determinar os valores limites de momento fletor para cada seção a ser dimensionada, de acordo com o posicionamento das cargas acidentais, de forma a provocar os valores extremos (máximos e mínimos) de um esforço. Já discutimos que uma alternativa para esse problema seria analisar a estrutura para diversas posições das cargas móveis e selecionar os valores extremos. Contudo, esse proce- dimento não é prático e por isso será utilizado o diagrama de LI de momentos fletores para o cálculo do mínimo momento fletor atuante na estrutura devido a carregamentos móveis. Considerando a ponte que estamos estudando, determine, para uma seção S no meio do vão, qual o valor de mínimo momento fletor devido aos carregamentos móveis acidentais, na viga de ponte em estudo. Resolução da situação-problema Para determinar o mínimo momento fletor devido às cargas móveis acidentais, mínqM , tem-se a aplicação dos seguinte carregamentos, conforme a figura a seguir: 19 Figura 2.11 | LI de momentos fletores para seção no meio do vão Fonte: elaborada pela autora. É válido relembrar que a carga móvel acidental pode ocorrer ou não na estrutura, de acordo com a necessidade de, nos cálculos, alcançar valores limites. Com isso, para a seção S no meio do vão, o valor de momento fletor mínimo ocorre quando as cargas móveis estão posicionadas no trecho em balanço, com as maiores cargas (como a carga concentrada devido ao veículo padrão) extremas ao máximo. Dessa forma, tem-se: ( 1) 1 25 6,25 . 4 4P P LMF kN m = ´ ´= = = E, com isso: 31 26,25 12,50 4,5 3,0 1,50 hh h= = = Logo: 1 4 2,25h h= = 2 1,50h = 3 0,75h = min ( 2,25) 4,50 ( 2,25) 4,508,37 25,54 182,4 [( 2,25) ( 1,50) ( 0,75)] 2 2q M - ´ - ´= ´ + ´ + ´ - + - + - min 992,50qM kNm=- 20 Faça valer a pena 1. Em uma ponte de concreto armado, a viga principal deve ser dimensio- nada para resistir aos esforços limites (máximo e mínimo) de carregamentos permanentes e carregamentos móveis. Os carregamentos permanentes se referem ao peso próprio dos elementos que compõem a estrutura, enquanto os carregamentos móveis são admitidos por normabrasileira e conhecidos como trem-tipo. Para as estruturas submetidas a cargas móveis, existe o diagrama de envoltória dos esforços, que determina os valores máximos e mínimos para cada uma das seções transversais possíveis. Diante do conhecimento dos esforços mediante cargas móveis, tem-se as afirmações a seguir: I. Para o dimensionamento de qualquer estrutura, é necessário conhecer apenas os esforços máximos na seção mais crítica da estru- tura. II. Em uma ponte extensa, em vigas contínuas em mais de dois vãos, para obter o máximo momento fletor devido ao carregamento móvel, deve-se carregar o trem-tipo sobre todos os tabuleiros. III. A envoltória limite de um determinado esforço descreve os valores máximos e mínimos desse esforço em cada uma das seções da estru- tura. Com esse diagrama, é possível saber os valores máximos e mínimos a que uma seção está sujeita durante a passagem de uma carga móvel. IV. A envoltória limite de um esforço é um diagrama que aborda valores dos esforços, que são as ordenadas do gráfico, de uma única seção para várias posições da carga percorrendo a estrutura. Assinale a alternativa correspondente às afirmativas verdadeiras. a. I, III e IV, apenas. b. II e III, apenas. c. III, apenas. d. III e IV, apenas. e. IV, apenas. 2. No contexto da análise estrutural, vários carregamentos devem ser consi- derados para cálculo. Eles podem ser classificados em dois tipos principais: cargas permanentes e cargas acidentais. 21 As cargas permanentes são fixas e atuam com a mesma intensidade durante a maior parte da vida útil da estrutura. Como exemplos de cargas permanentes em obras de arte, como pontes, viadutos e passarelas, podemos citar o peso próprio da estrutura, o pavimento, o guarda-corpo do passeio e as barreiras rígidas, entre outros. Mediante esses carregamentos, é possível determinar os esforços solicitantes. Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta exemplos de cargas móveis. a. Pessoas sobre arquibancadas e passarelas; barreiras rígidas e pontes rolantes. b. Carregamentos rodoviários, como caminhões; placas de sinalização e pontes rolantes. c. Carregamentos rodoviários, como carros e caminhões; pessoas sobre arquibancadas e pontes rolantes. d. Carregamentos rodoviários; carregamentos ferroviários e tubulações para passagem de fios. e. Nenhuma das alternativas. 3. A linha de influência (LI) demonstra a variação de um determinado efeito (ou esforço) em função da posição de uma carga vertical unitária que passeia sobre a estrutura. Dessa forma, o método da LI pode ser entendido a partir do Princípio dos Deslocamentos Virtuais (PDV), pois é traçado inicialmente um diagrama em função de uma carga unitária e, posteriormente, pode ser calculado em função de cargas com diferentes valores. A LI é utilizada para o cálculo dos esforços em estruturas com cargas móveis, como é o caso de uma viga de ponte, pois garante que, para uma determinada seção de análise, a LI seja traçada e os carregamentos aplicados causem os esforços limites (máximos ou mínimos) para a seção analisada. O carrega- mento móvel utilizado em pontes rodoviárias é conhecido como trem-tipo e pode ser calculado conforme previsto na NBR 7188:2013 – Carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos, passarelas e outras estruturas (ABNT, 2013). A partir de um carregamento móvel definido por um veículo de três eixos e, portanto, três cargas concentradas, conforme Figura | Carregamento móvel, e um diagrama de linha de influência de momento fletor traçado para uma seção S, localizada a 2,50 metros à direita de um apoio, identifique qual posição do carregamento móvel (veículo) está correta para o cálculo do máximo momento fletor para a seção S em análise. 22 Figura | Carregamento móvel Fonte: elaborada pela autora. Figura | Viga com definição da seção S e Linha de Influência de momento fletor para a seção Fonte: elaborado pela autora. a. Para o maior momento fletor em S, o veículo deve ter a roda central posicionada em cima da ordenada máxima no diagrama da LI, no valor de 1,25, uma roda à esquerda e uma roda à direita. b. Para o maior momento fletor em S, o veículo deve ter a primeira roda à esquerda posicionada em cima da ordenada de valor 1,0, uma roda em cima da ordenada de 1,25 e uma posicionada sobre a ordenada 1,20. c. Para o maior momento fletor em S, o veículo deve ter a roda da esquerda posicionada em cima da ordenada de valor 1,25 e as demais rodas à direita, sobre ordenadas 1,2 e 1,1, respectivamente. d. Para o maior momento fletor em S, o veículo deve estar no meio do vão. e. Para o maior momento fletor em S, o veículo deve ter a roda sobre o apoio e as demais rodas posicionadas sob a estrutura. 23 Seção 2 Análise estrutural da força cortante na viga principal Diálogo aberto Linha de influência da força cortante na viga principal Nesta seção, continuaremos o estudo sobre linha de influência para a viga principal longitudinal da ponte que você está projetando, contudo, agora estaremos direcionados para o comportamento do esforço de força cortante. Dessa forma, é possível determinar os valores de forças cortantes limites atuantes na viga principal, mediante o carregamento permanente e o carre- gamento móvel calculado anteriormente. Conforme visto na seção anterior, além dos esforços de flexão, uma viga de concreto armado estará sujeita à ação das forças cortantes. A utilização da linha de influência visa simplificar o cálculo desse esforço para determinar a envoltória de força cortante ou, em outras palavras, compreender quais os máximos valores e forças cortantes que atuam por toda a viga longitudinal, quando o carregamento móvel, ou trem-tipo, está passando pela estrutura. Baseado no modelo de cálculo em que a viga trabalha de forma semelhante a uma treliça, quando submetida aos carregamentos próximos à ruptura, as bielas diagonais, delimitadas pelas fissuras existentes, formam diagonais comprimidas e as armaduras transversais representam os tirantes que ligam os banzos de uma treliça. Sendo assim, com os valores limites das forças cortantes em mãos, o próximo passo será dimensionar a estrutura para conter uma armadura transversal correta, capaz de resistir aos esforços solicitados, garantindo a estabilidade da viga. Vamos relembrar a sua situação profissional? Atualmente você está envol- vido no desenvolvimento de um projeto de uma ponte na empresa em que trabalha. Você e a equipe definiram o sistema estrutural da ponte, que será construída em vigas de concreto armado. Em seguida, vocês determinaram os carregamentos atuantes devido às cargas permanentes (Figura 1.20, Seção 1.2) e os carregamentos móveis (Figura 1.31, Seção 1.3) para uma das vigas longitudinais principais da ponte. Na sequência, calcularam os momentos fletores atuantes da viga, que serão necessários para o dimensionamento da armadura longitudinal de flexão. Agora, você deve determinar os máximos 24 esforços cortantes, que serão fundamentais para o dimensionamento das armaduras transversais. Figura 1.20 | Esquema estático de cargas permanentes Fonte: elaborada pela autora. Figura 1.31 | Trem-tipo longitudinal máximo Fonte: elaborada pela autora. Para que você consiga vencer mais esta etapa do seu projeto estrutural de ponte, vamos estudar nesta seção a linha dos esforços, a influência de força cortante e o conceito de envoltória na viga principal. Bons estudos! Não pode faltar Na área de Estruturas da Engenharia Civil, iniciamos os estudos anali- sando estruturas comumente submetidas aos carregamentos imóveis, ou estáticos. Esses carregamentos não se movem ao longo da estrutura durante a vida útil da obra. De fato, muitos deles são realmente fixos em uma estru- tura e, como exemplo, podemos mencionaro próprio peso dos elementos (como vigas, lajes ou pilares). Também são considerados como permanente o peso do revestimento de uma laje e o peso de uma parede que está apoiada 25 em uma viga, entre outros. Essas cargas, além de estáticas (ou fixas), são constantes, ou seja, são cargas permanentes, pois sempre estarão atuando na estrutura. Além delas, aprendemos que as estruturas também estão subme- tidas a cargas variáveis ou acidentais, as quais em determinados momentos da vida útil de uma estrutura podem não atuar, o que é o caso dos veículos que passam sobre as pontes e viadutos, das pessoas que utilizam uma passa- rela para acessar o outro lado da via, das pessoas e móveis que ocupam uma sala de aula ou biblioteca, dos automóveis em um estacionamento ou de materiais que são estocados provisoriamente em um depósito. Dessas cargas, algumas são intrinsecamente móveis, como o trem que trafega por uma ponte, e outras cargas que podem se mover eventualmente, como os livros armazenados em uma biblioteca. Como vimos anteriormente, o procedimento para determinar os pontos de colocação das cargas móveis e acidentais, que acarretam valores limites dos esforços para uma determinada seção da estrutura, é feito com o auxílio dos diagramas de linhas de influência. Nesta etapa, vamos retomar essa aprendi- zagem e compreender um pouco mais esse conceito, sob outras perspectivas. Uma situação frequente e relevante ocorre em estradas que são proje- tadas para certo tipo de carregamento, porém, em determinas situações, são utilizadas para o transporte de cargas excepcionais e maiores do que as previstas em projeto. Nesse contexto, pode-se citar o que ocorreu durante a construção da barragem de Itaipu, no Rio Paraná, em que a barragem servia para represar a água e para obter o desnível necessário para operação das turbinas. Na parte superior da barragem, estavam situadas as tomadas de água, comportas que permitem que a água passe por elas e alcance a caixa espiral, fazendo a turbina girar. Os caminhões que transportaram as turbinas e os geradores da usina tinham um peso muito maior do que o caminhão-tipo utilizado no projeto das pontes e viadutos das estradas de acesso à usina. Para resolver esse problema, foram projetados veículos especiais com vários eixos e rodas para garantir a distribuição da carga total do veículo sobre o tabuleiro das pontes e viadutos, e foi feita uma verificação das obras de arte para deter- minar se resistiriam com segurança à passagem desses caminhões. Além disso, as obras que não apresentaram segurança adequada foram reforçadas. Nesse contexto, vamos supor que devemos dimensionar uma viga de ponte rodoviária, conforme exemplificada na Figura 2.12 (a), a qual, por simplicidade, está sujeita a um caminhão usado para cálculo, conforme a Figura 2.12 (b), com dois eixos no sentido longitudinal: o dianteiro com peso de 30 kN e eixo traseiro de 60 kN. 26 Figura 2.12 | Modelo de cálculo de viga de ponte bil bapoiada (a) e veículo para cálculo (b) Fonte: elaborada pela autora. Surge então o seguinte questionamento, fundamental para o projeto que se deseja fazer: quais esforços solicitantes devem ser considerados para dimensionar a viga? A resposta para essa questão é bastante intuitiva, pois à medida que o veículo se desloca de uma extremidade para outra da viga, os esforços solicitantes nas diferentes seções transversais estarão variando de valores. Sendo assim, é necessário determinar, para cada seção transversal da viga, os valores máximos dos esforços, os esforços de forças cortantes, e utilizá-los no dimensionamento da viga. Agora, considere uma seção S, indicada na Figura 2.13 e, diante disso, surge uma outra pergunta: que posição do veículo de cálculo produzirá a maior força cortante em S? Figura 2.13 | Seção S da viga longitudinal de uma ponte rodoviária Fonte: elaborada pela autora. Embora a resposta para essa questão não seja tão intuitiva, uma resposta que pode surgir naturalmente é: quando o veículo de cálculo estiver próximo a S. Ainda não é muito claro afirmar se o eixo mais pesado deve estar sobre S ou o centro de gravidade do veículo de cálculo, contudo, percebe-se que será quando o veículo de cálculo estiver perto da seção S. Para responder a questões como essa, ou seja, para determinar os esforços limites produzidos por carregamento móveis é que as linhas de influência foram concebidas. Elas são diagramas que possibilitam determinar os esforços produzidos por cargas móveis, para uma seção S determinada. Para responder a perguntas desse tipo, as linhas de influência foram concebidas. Assimile Os diagramas de linha de influência dos esforços, como das forças cortantes, é um método para facilitar o cálculo de máximos esforços 27 quando existem cargas móveis, contudo, não é o único método possível para determinar esses esforços. Observe que o cálculo pode ser feito conforme aprendido anteriormente em Estruturas Isostáticas para cargas estáticas, determinando valores de forças cortantes para várias posições. Força cortante máxima e mínima na viga principal Por definição, linha de influência de um esforço, na seção fixa S, é o diagrama que fornece um valor de esforço produzido por uma carga unitária móvel, adimensional, a qual percorre por toda a extensão de uma viga. Ou seja, com isso, entende-se que, utilizando a definição de linha de influência, basta supor uma força unitária esteja percorrendo a viga e determinar o valor do esforço de força cortante que essa força produzirá em S, quando estiver em uma posição qualquer da viga. Graficamente, indicaremos o valor de força cortante sob a posição da carga que ocorre em S. Para o exemplo supracitado, tem-se o diagrama de linha de influência de força cortante abaixo, conforme Figura 2.14. Figura 2.14 | Diagrama de forças cortantes na seção S Fonte: elaborada pela autora. Para o caso da viga de ponte, do tipo biapoiada com balanços nas extremi- dades, que é o caso do projeto no qual você está trabalhando, devemos visua- lizar onde ocorrem os máximos esforços cortantes para determinar o esforço limite, devido ao carregamento permanente e carregamentos móveis. Para comprovar essa informação, vemos os possíveis diagramas de forças cortantes (Q) para diferentes posições de carga concentrada P, conforme Figura 2.15. Figura 2.15 | Diagramas de forças cortantes para carga P em diferentes posições Fonte: elaborada pela autora. 28 Diante disso, é possível admitir uma seção de análise S, como uma posição próxima ao apoio, interna ao vão, ou seja, analisar a força cortante a direita do apoio móvel para elaborar o desenho do diagrama de LI de forças cortantes, conforme Figura 2.16. Figura 2.16 | Analisando a seção S dos diagramas de forças cortantes Fonte: elaborada pela autora. Sendo assim, é possível construir a LI de forças cortantes para a seção S analisada, que apresentara maiores valores do esforço analisado. Figura 2.17 | LI de forças cortantes para a seção a direita do apoio esquerdo Fonte: elaborada pela autora. Influência dos coeficientes de impacto na força cortante na viga principal Agora, com a LI de forças cortantes em mãos, para uma seção S, que causa maior esforço de forças cortantes no caso da viga analisada, é possível acrescentar os carregamentos sobre esse diagrama e, diante disso, determinar a máxima força cortante da viga. Reflita Para uma viga biapoiada, a máxima força cortante ocorre nas seções próximas ao apoio na parte interna do vão. Por isso admitimos a seção de análise S próxima a um dos apoios. O que ocorre quando anali- sando uma seção S no meio do vão? Podemos obter o esforço máximo devido à força cortante (máximo positivo ou máximo negativo) no vão e comparar com o esforço cortante no apoio. Se transferirmos essa proporção para o dimensionamentode armaduras, qual a região mais crítica para a força cortante: próximo aos apoios ou no meio do vão? E quanto às armaduras, qual região deve conter maior área de aço por seção transversal? 29 Para as cargas permanentes, determinadas em uma seção anterior deste estudo, atuantes na viga principal longitudinal da ponte, a força cortante máxima, ,g máxQ , é dada por: Figura 2.18 | LI de forças cortantes para seção a direita do apoio AP1 Fonte: elaborada pela autora. Sendo que, para o caso do diagrama de LI de forças cortantes, a ordenada máxima do diagrama é conhecida, pois, quando uma carga unitária, P = 1, está localizada imediatamente a direita do apoio AP1, a força cortante é aproximadamente igual a 1. Portanto, no diagrama de linha de influência de forças cortantes, baseado em uma carga unitária, apresenta uma ordenada conhecida. Com isso, as demais podem ser obtidas através da geometria, por meio da relação de triângulos. 3 51 2 41 25 4,50 20,50 12,50 4,50 4,50 h hh h h= = = = = E a força cortante máxima, devido aos carregamentos permanentes, é dada por: 1 1 1 2 3 4 5 , 5 ( 4,50) ( 4,50)(53,66 44,84)) (44,84 ) ( ) 2 2 2 (1 )(1 25) (53,66 4 (1 4,84)(45,47 1) (44,84 ) ( 4,50) (32,20 ) 2 2 2 ( 4,50)( 4,50)(53,66 44,84) (53,66( ) (111,75 ) (44 11, ,84 ) ( 2 2 75 2 g máxQ h hh h h hh h ´ ´-+ ´ + ´ + +´ -´ + ´ + ´ ´ + ´ + ´´- -´ - ´ - ´ - = ´ 5( 4,50)44,84) ) 2 2 h ´´ Para a máxima força cortante devido a cargas móveis acidentais, ,q máxQ , o carregamento móvel deve ser locado sobre as ordenadas positivas no diagrama de LI de forças cortantes. Portanto, ao locar o carregamento móvel, deve-se colocar sobre as maiores ordenadas, os maiores carregamentos. Com isso, tem-se: 30 Figura 2.19 | LI de forças cortantes para seção a direita do apoio AP1 Fonte: elaborada pela autora. Seguindo os carregamentos móveis e LI da Figura 2.8, tem-se: 3 51 2 41 25 4,50 1,50 23,50 22,0 20,50 h hh h h= = = = = 1 2 2 3 4 5 5 , ( ) ( 1,50)3,0) (8,37 ) 182,4 (1 ) 2 2 (1 ) ( 20,50)(8,37 ( ) 4,50) (25,54 ) 25,54 2 2 q máxQ h h h h h h h + ´´ + ´ + ´ + + + + ´´ ´ + ´ = ´ Com isso, o valor de força cortante máxima na viga principal longitudinal da viga é: , ,máx g máx q máxQ Q Q= + O coeficiente de impacto vertical foi definido na Seção 1.3 e acrescentado aos valores do trem-tipo longitudinal máximo calculado para a ponte em estudo. Alguns autores abordam que esse valor de coeficiente j também poderia ser aplicado aos valores de momentos fletores encontrados, em vez de acrescidos aos carregamentos (MARCHETTI, 2008). De qualquer forma, seja acrescentado nos carregamentos ou nos esforços, o coeficiente de impacto sempre deve ser considerado no caso de cargas rodoviárias móveis, conforme NBR 7188 (ABNT, 2013). Ao adotar diversas seções S ao longo da estrutura, é possível calcular diversos valores de forças cortantes, obtendo a envoltória de forças cortantes. As seções relevantes podem ser definidas pelo engenheiro calculista respon- sável do projeto. 31 Exemplificando Para representar graficamente uma envoltória de esforços, é neces- sário determinar os valores de forças cortantes para diversas seções S, ao longo da viga. Veja um exemplo na Figura 2.20. Ao desenhar a LI para cada seção, deve-se obter o máximo e mínimo esforço. Com todos esses valores de máximos e mínimos, desenha-se uma envoltória como exemplo abaixo, de uma viga biapoiada, para um determinado carre- gamento. É possível identificar que, para uma mesma seção calculada, encontrou-se um valor de força cortante máximo de 70 kN (positivo) e mínimo de 35 kN (negativo). Figura 2.20 | Envoltória de forças cortantes para uma viga biapoiada Fonte: elaborada pela autora. Note que a linha de influência é calculada para uma seção S. Ao juntar os valores de todas as seções, tem-se a envoltória de forças cortantes para a viga completa. Ao adotar uma seção no meio do vão, teríamos a seguinte condição: Figura 2.21 | LI de forças cortantes para seção no meio do vão Fonte: elaborada pela autora. 32 Seguindo os carregamentos móveis e LI da Figura 2.8, tem-se: 1 4 4 2 3, ( 4,50) (0,50 ) ( 8)) 182,4 (0,5 ) (8,37 4,50) (25,54(25,54 ) 2 2 2q máx Q h h hh h´ + ´+ ´ + + + ´ ´ + ´= ´ Conceito de envoltória de força cortante Para a envoltória dos esforços de forças cortantes, já temos dois valores de forças cortantes máximas. Um valor de força cortante para uma seção a direita do apoio AP1 e um valor de força cortante para uma seção no meio do vão. As demais seções podem ser obtidas seguindo o mesmo desenvolvimento. Pesquise mais Para compreender mais sobre técnicas fundamentais de análise dos elementos estruturais, sugiro pesquisar o capítulo 8 do o livro Funda- mentos da análise estrutural, de Leet, Uang e Gilbert (2010), com foco nas páginas 266-271. Você encontra essa obra na Biblioteca Virtual. LEET, K. M.; UANG, C.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estru- tural. 3. ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2008. Você já está preparado para determinar os esforços limites de forças cortantes na viga principal do projeto da ponte que você está envolvido. Que tal encarar esse problema? Sem medo de errar Para determinar a máxima força cortante devido a um carregamento permanente, pode-se utilizar a técnica de LI de forças cortantes. Conforme exemplificado na Figura 2.18, tem-se que para os cálculos das ordenadas, os valores são determinados de acordo com o seguinte: 3 51 2 41 25 4,50 20,50 12,50 4,50 4,50 h hh h h= = = = = 1 0,18h = 2 0,82h = 3 0,50h = 4 0,18h = 5 0,18h = E a força cortante máxima, devido aos carregamentos permanentes, é dada por: 33 , (0,18 4,50) (53,66 44,84) (0,18 4,50)) (44,84 ) ( ) 2 2 2 (1 25) (53,66 44,84) (1 0,82)(45,47 1) (44,84 ) ( 4,50) (32,20 0,50) 2 2 2 (53,66 44,84) (0,18 4,50) (0,18( ) (111,75 0,18) (44,84 2 (111,75 1 2 0, 8g máxQ ´ - ´+ ´ + ´ + ´ - +´ + ´ + ´ ´ + ´ + - ´ ´´ - ´ - ´ ´ = 4,50)) 2 (53,66 44,84) (0,18 4,50)( ) 641,91 2 2 kN - - ´´ = De acordo com a Figura 2.19, a força cortante máxima devido às cargas móveis, para a seção S adotada (a direita do apoio AP1), é de: 3 51 2 41 25 4,50 1,50 23,50 22,0 20,50 h hh h h= = = = = 1 0,18h = 2 0,06h = 3 0,94h = 4 0,88h = 5 0,82h = , (0,18 0,06) (0,06 1,50)3,0) (8,37 ) 182,4 (1 0,94 0,88) 2 2 (1 0,82) (0,82 20,50)(8,37 ) 4,50) (25,54 ) 7 (25, 72,88 2 2 54q máxQ kN + ´´ + ´ + ´ + + + + ´´ ´ + ´ = = ´ Com esses cálculos, você acabou de determinar os esforços máximos de força cortante atuantes da viga longitudinal da ponte. No presente estudo, você percebeu que o uso de LI de forças cortantes permite agilidade no cálculo dos esforços limites em uma viga principal de uma ponte de concreto armado, pois ao aplicar o diagrama de LI de forças cortantes, torna-se mais claro identificar qual a posição do carregamento móvel que causa o valor limite de força cortante para uma determinada seção. Na próxima etapa de estudos, já será possível aprendermos a dimensionar a armadura de aço (estribos) para resistir a esses esforços que você encontrou. Avançando na prática Análise estrutural de força cortante mínima na viga principal Para o dimensionamento de uma estrutura, como o caso de uma viga de ponte, você deve determinar os valores limites de forças cortantes para cada seção ao longo da viga. Com as diversas posições das cargas acidentais ao longo da viga, é possível calcular os valores extremos (máximos e mínimos 34 de um esforço). Já discutimos que uma alternativa para esse problema seria analisar a estrutura para diversas posições das cargas móveis e selecionar os valores extremos (máximose mínimos). Contudo, esse procedimento pode ser demorado e por isso será utilizado o diagrama de LI de forças cortantes para o cálculo. Determine, para uma seção S a direita do apoio AP1, qual o valor mínimo de forças cortantes devido aos carregamentos móveis acidentais na viga de ponte em estudo. Resolução da situação-problema Para determinar o valor mínimo de forças cortantes devido a cargas móveis acidentais, mínq Q , tem-se a aplicação dos seguinte carregamentos, conforme a Figura 2.22: Figura 2.22 | LI de forças cortantes para seção a direita do apoio AP1. Fonte: elaborada pela autora. É importante relembrar que a carga móvel acidental pode ocorrer ou não na estrutura, de acordo com a necessidade de, nos cálculos, alcançarem-se valores limites. Por isso, as cargas maiores (devido às rodas do veículo-tipo) foram posicionadas sobre as maiores ordenadas e a multidão (que repre- sentam os veículos menores) foi locada de acordo com a possibilidade de espaço sobre a estrutura. Com isso, para a seção S, o valor de força cortante mínimo ocorre quando as cargas móveis estão posicionadas no trecho de diagrama de LI de forças cortantes negativo. Dessa forma, tem-se: 31 21 25 1,50 3,0 4,50 hh h= = = 1 0,06h = 2 0,12h = 3 0,18h = 35 ,min ( 0,18 4,50)) 182,4 ( 0,06 0,12 0,18) 69,(8,37 05 2q kNQ = - ´ + ´ - - -´ =- Faça valer a pena 1. Em um projeto de estruturas submetidas a cargas fixas, os esforços internos podem ser determinados facilmente, conforme a teoria de Estru- turas Isostáticas. Já em estruturas solicitadas por cargas móveis, os esforços internos variam de acordo com a posição de atuação das cargas. Sendo assim, a análise minuciosa para esse caso deve ser feita analisando diversas seções ao longo da estrutura, pois, para cada posição de carga móvel, é possível determinar um valor máximo e mínimo de esforço resistente. Para resolução desse problema, podemos utilizar o método de linha de influência (LI). Diante do exposto, assinale a alternativa que contém as afirmações verdadeiras. a. Para análise de uma viga de ponte, submetida a carregamentos móveis, o principal é determinar os esforços de forças cortantes atuantes sempre no meio do vão, que é a seção na qual sempre encon- traremos os valores limites de máximos e mínimos. Com esses valores em mãos, o Engenheiro de Estruturas está capacitado para o correto dimensionamento da estrutura. b. Para cada seção analisada, ao longo de uma viga de ponte, é possível determinar um valor máximo de força cortante, bem como um valor mínimo de força cortante. Com o diagrama de LI, é possível identi- ficar onde se deve posicionar o carregamento móvel para encontrar esses valores limites da seção em estudo. Ao analisar muitas seções ao longo da estrutura, encontramos vários valores limites. Com esses valores calculados, obtemos a envoltória dos esforços. c. Diferentemente do que ocorre com carregamentos estáticos, os valores de forças cortantes limites em uma estrutura dependem da seção analisada, para uma carga móvel. Contudo, cargas móveis são carregamentos específicos que ocorrem apenas em estradas de acesso a grandes construções, como barragens e usinas hidrelétricas, por exemplo, que recebem caminhões de grandes pesos carregando equipamentos como turbinas e geradores de energia. d. A determinação de valores máximo e mínimo de forças cortantes em uma seção de estudo, ao longo de uma viga de ponte, pode ser calcu- lada com base em LI. Porém, para determinar o máximo valor de força cortante, devemos aplicar os carregamentos permanentes e carrega- mentos móveis apenas nas posições de diagramas positivos de LI. 36 e. Para obter a força cortante máxima em uma seção de uma viga de ponte, é necessário analisar carga permanente e variável (móvel). Deve-se analisar três casos: a aplicação da carga permanente; a soma da carga permanente com carregamento móvel; e apenas a ação do carregamento móvel. 2. O esforço cortante representa o efeito de uma força cisalhante em uma seção transversal de uma estrutura em barra, como é o caso de uma viga de ponte submetida a passagem de um caminhão. Para determinar esse esforço, devido ao carregamento móvel atuante, usamos a linha de influência (LI). A LI é utilizada para o cálculo dos esforços em estruturas com cargas móveis, como é o caso de uma viga de ponte, pois garante que, para uma determinada seção de análise, a LI é traçada e os carregamentos aplicados vão causar os esforços limites (máximos ou mínimos) para a seção analisada. Um carregamento móvel é composto por dois eixos, de 10 kN e 12 kN, e uma ponte de viga de comprimento L conforme a figura a seguir: Figura | Carregamento móvel e viga Fonte: elaborada pela autora. Com base nesses dados, determine a LI de forças cortantes e, na sequência, determine qual deve ser a posição do carregamento móvel capaz de provocar os maiores valores de forças cortantes em módulo (maior valor, seja positivo ou negativo) em uma seção S, definida por: Figura | Viga Fonte: elaborada pela autora. Diante disso, assinale a afirmação correta. 37 a. A posição que provoca o maior valor de força cortante em módulo corresponde à máxima força cortante negativa e, portanto, a roda de 12 kN deve ficar sobre a seção S e a roda de 10 kN à sua esquerda. b. A posição que provoca o maior valor de força cortante em módulo corresponde à máxima força cortante negativa e, portanto, a roda de 10 kN deve ficar sobre a seção S e a roda de 12 kN à sua esquerda. c. A posição que provoca o maior valor de força cortante em módulo corresponde à máxima força cortante positiva e, portanto, a roda de 10 kN deve ficar sobre a seção S e a roda de 12 kN à sua direita. d. A posição que provoca o maior valor de força cortante em módulo corresponde à máxima força cortante positiva e, portanto, a roda de 12 kN deve ficar sobre a seção S e a roda de 10 kN à sua direita. e. A posição que provoca o maior valor de força cortante em módulo corresponde à máxima força cortante negativa e, portanto, a roda de 12 kN deve ficar sobre a seção S e a roda de 10 kN à sua direita. 3. No contexto da análise estrutural, vários carregamentos devem ser consi- derados para cálculo, podendo classificá-los em dois tipos principais: cargas permanentes e cargas acidentais. As cargas permanentes são fixas e atuam com a mesma intensidade durante maior parte da vida útil da estrutura. Mediante esses carregamentos, é possível determinar os esforços solicitantes. As cargas acidentais são cargas que variam no tempo e no espaço. Ainda, as cargas que apresentam variação espacial são denominadas cargas móveis. Para essas cargas, deve-se verificar as posições mais desfavoráveis que podem ocupar sobre a estrutura a fim de determinar os esforços solicitantes. A LI é utilizada para o cálculo dos esforços em estruturas com cargas móveis, como é o caso de uma viga de ponte, pois garante que, para uma determinada seção de análise, a LI é traçada e os carre- gamentos aplicados vão causar os esforços limites (máximos ou mínimos) para a seção analisada. Com um carregamento móvel definido, com dois eixos, conforme abaixo, Figura | Carregamento móvel Fonte: elaborada pela autora. 38 Atuando ao longo de uma viga de ponte biapoiada, definidas por, Figura | Viga de ponte Fonte: elaborada pela autora. Determine a LI de forças cortantes e, com base nesse diagrama, determine qual deve ser a posição do carregamento móvel capaz de provocar os maiores valores de forças cortantes em módulo (maior valor, seja positivo ou negativo) em uma seção S e assinale a afirmação com a resposta correta. a. 20,10 kN b. 38,95 kN c. 52 kN d. 73,55 kN e. 109,0 kN 39 Seção 3 Dimensionamento da viga principal Diálogo aberto Caro aluno, esta terceira seção daUnidade 2 aborda o dimensionamento da viga longitudinal da ponte que você está projetando. Com isso, é possível definir as áreas de armadura necessárias para a seção de esforço máximo da ponte, seja devido ao momento fletor ou ao esforço cortante. De acordo com o que foi visto nas seções anteriores, para a viga longitudinal principal da ponte em análise, determinou-se os valores limites, máximos e mínimos, para uma seção crítica. Com esses valores em mãos, é possível partir para um dimensionamento adequado da estrutura, com o objetivo de se alcançar uma capacidade resistente segura para o adequado funcionamento da estru- tura, conforme orientado por normas brasileiras. Em projetos de estruturas de concreto armado, são utilizados barras ou fios de aço, padronizados por uma norma específica, de acordo com o valor característico de resistência ao escoa- mento. Dessa forma, o dimensionamento é necessário para determinar a quanti- dade necessária de aço a fim de garantir a segurança da estrutura de concreto, verificada quanto aos estados limites últimos. Grande parte dos elementos estru- turais, na Engenharia de Estruturas, pode ser dimensionada por meio de um método simplificado, e esse conceito será abordado neste material. Esse método é prático e suficiente para atender a sua necessidade com esse projeto. Agora, vamos relembrar o projeto em que você está inserido. Você foi convi- dado pelo seu chefe, da empresa em que trabalha, para compor a equipe respon- sável pelo cálculo estrutural de uma ponte a ser construída na cidade de São Paulo. O projeto estrutural já está em andamento e, até o momento, vocês determinaram o tipo estrutural da ponte e todos os detalhes geométricos, conforme a Figura 2.23. Figura 2.23 | Seção transversal com mesa colaborante destacada (medidas em cm) Fonte: elaborada pela autora. 40 Na sequência, calcularam os carregamentos solicitantes, devido às cargas permanentes (G) e aos carregamentos móveis (Q), e, com base nessas cargas, determinaram os máximos esforços de momentos fletores: 2747,50 g máxM kN m= × 2747,50 g mínM kN m= × 4575,10 q máxM kN m= × 992,50 q mínM kN m= × E forças cortantes: 641,91 g máxQ kN= 641,91 g mínQ kN= 772,88 q máxQ kN= 69,05 q mínQ kN= Agora, sua missão nesta etapa é prosseguir com o dimensionamento e determinar as armaduras necessárias para compor essa estrutura. A armadura utilizada é do tipo aço CA-50 e você foi informado que o cobrimento das armaduras exigido pela sua empresa é de 10 cm, para garantir a durabilidade das estruturas ao longo dos anos. O seu projeto estrutural de uma ponte está cada vez mais próximo de se tornar completo e você é o grande responsável por concluir essa nova missão. Bons estudos! Não pode faltar Dimensionamento das armaduras Para projetar um elemento estrutural, garantindo o grau de segurança adequado, é indispensável a verificação para que não ocorra uma série de estados considerados como limites da estrutura. Portanto, as estruturas de concreto são dimensionadas e verificadas para atender às condições dos Estados Limites Últimos (ELU), que correspondem à ruína ou ao colapso das estruturas, e às condições dos Estados Limites de Serviço, ou de utili- zação (ELS), que estão relacionados à aparência, à durabilidade, ao conforto do usuário e à funcionalidade da estrutura durante o seu período de uso. A norma brasileira NBR 6118 (ABNT, 2014) define as verificações a serem realizadas, para garantir a segurança das estruturas de concreto, calculadas para os estados limites supracitados. Para realizar as verificações das estruturas, seja no ELU ou no ELS, as cargas utilizadas podem sofrer variações de majoração ou minoração de sua intensidade, de acordo com a sua natureza e probabilidade de ocorrência. A 41 fim de determinar as solicitações referentes a esses estados limites, são utili- zadas as combinações de ações, no caso de estruturas de concreto. A NBR 8681 (ABNT, 2003) tem como objetivo fixar os requisitos exigíveis para a verificação da segurança de estruturas, definindo critérios de quantificação das ações e de resistências a serem consideradas nos projetos estruturais. Dessa forma, a norma apresenta coeficientes para combinações últimas de carregamento e combinações de serviço. Para o dimensionamento das armaduras (longitudinais e transversais) das estruturas de concreto armado, no caso de pontes e viadutos, verificadas para o estado limite último (ELU), é necessário considerar a combinação última normal. Segundo a norma, deve-se considerar os seguintes critérios: a. As ações permanentes devem ser consideradas em todas as combina- ções de ações. b. Para a ação variável: em cada combinação, uma das ações variáveis é considerada principal, atuando integralmente com os valores caracte- rísticos e, caso ocorram mais ações variáveis, essas devem ser conside- radas secundárias e, portanto, com seus valores reduzidos de combi- nação ( )j . Sendo assim, tem-se a seguinte equação: ( ), 1, 0 ,. . .d g g k q q k j qj kF F F Fg g j=å + +å Onde: gg = qg = coeficiente de ponderação. ,g kF = ação permanente com valor característico. 1,q kF = ação variável principal com valor característico. 0 jj = coeficiente de minoração. ,qj kF = ação variável secundária com valor característico. De acordo com a NBR 8681 (ABNT, 2003), para o caso de ações perma- nentes diretas e ações variáveis agrupadas, os coeficientes são dados pela Tabela 2.1 e Tabela 2.2. 42 Tabela 2.1 | Ações permanentes diretas e agrupadas na combinação normal COMBINAÇÃO TIPOS DE ESTRUTURA EFEITO DESFAVORÁVEL FAVORÁVEL Normal Grandes pontes 1 1,30 1,0 Edificações tipo 1 e pontes em geral 2 1,35 1,0 Edificação tipo 2 3 1,40 1,0 1 Grandes pontes são aquelas em que o peso próprio da estrutura supera 75% da totalidade das ações. 2 Edificações tipo 1 são aquelas em que as cargas acidentais superam 5 kN/m². 3 Edificações tipo 2 são aquelas em que as cargas acidentais não superam 5 kN/m². Fonte: adaptada de NBR 8681 (ABNT, 2003, p. 11). Tabela 2.2 | Ações variáveis consideradas conjuntamente na combinação normal COMBINAÇÃO TIPOS DE ESTRUTURA COEFICIENTE DEPONDERAÇÃO Normal Pontes e edificações tipo 1 1,5 Edificação tipo 2 1,4 Fonte: adaptada de NBR 8681 (ABNT, 2003, p. 16). Dimensionamento das armaduras longitudinais de flexão Além do conhecimento sobre as combinações que utilizaremos para os esforços encontrados, é importante relembrar a definição da seção trans- versal T, segundo as recomendações na norma NBR 6118 (ABNT, 2014). Para o caso de uma viga de concreto armado ligada às lajes maciças, é necessário considerar a ação conjunta desses dois elementos. Esse efeito é considerado por meio da adoção de uma largura colaborante da laje associada à viga. Para definir as dimensões desta seção T, é necessário adotar os critérios orien- tados pela norma. Para determinação da geometria, tem-se como referência as dimensões apresentadas na Figura 2.24. 43 Figura 2.24 | Largura de mesa colaborante Fonte: adaptada de NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 88). Para o caso de uma viga longitudinal contínua, como ocorre no projeto de ponte em análise, a norma permite calcular uma largura de mesa colabo- rante, como demonstrada anteriormente, que pode ser utilizada nas seções com tensões de compressão na região da mesa, como nos trechos em que ocorre o momento fletor positivo no vão. A maior área de concreto auxilia nos valores de tensões de compressão para o equilíbrio das tensões no dimen- sionamento das peças. A distância a é a distância estimada em função do comprimento do tramo considerado. No caso de uma viga com balanços nas duas extremidades, como a da viga longitudinal da ponte em análise, tem-se: 0,60a l= × (NBR 6118, ABNT,2014). Assimile A utilização de uma viga retangular com uma largura de mesa colabo- rante foi uma medida definida pela norma a fim de se estabelecer a forma mais realista de como ocorrem as distribuições dos esforços internos, das deformações, tensões e dos deslocamentos para a viga quando associada a uma laje maciça. Não considerar uma largura de mesa colaborante no dimensionamento à flexão na seção do meio do vão representa um dimensionamento desfa- vorável e distante do que ocorre realmente no conjunto estrutural. 44 Com essas informações, é possível realizar o cálculo da armadura longi- tudinal de flexão, devido ao momento fletor máximo, segundo a rotina de cálculo proposta por Pinheiro, Muzardo e Santos (2010), que nos fornece uma tabela para resolução do método simplificado de cálculo. Para utilizar esse método de tabelas, tem-se inicialmente o cálculo do coeficiente ck , dado por: 2.w c d b dk M = Sendo: wb = largura da seção transversal, em cm. Para vigas seção T, largura da alma. Para momentos fletores positivos, com laje colaborante, usar fb . d = altura útil da seção transversal, em cm. dM = momento fletor de cálculo (mediante as combinações dos valores de gM e qM ), em .kN cm . Em seguida, com o auxílio da tabela de flexão simples em seção retangular (cujo trecho é demonstrado na Tabela 2.3), que pode ser utilizada para resolução de métodos simplificados, identifica-se o valor de sk , correspon- dente ao valor de ck calculado anteriormente. Nessa etapa, é importante a definição da resistência característica à compressão do concreto ( )ckf e resis- tência à tração do aço ( )ykf . Com o auxílio da expressão, tem-se: .s s d A dk M = E com essa expressão, temos como incógnita o valor de área de aço sA . Tabela 2.3 | Trecho da tabela para cálculo de flexão simples FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR – ARMADURA SIMPLES c X d b = 2 2( / )c d bdk cm kN M = 2( / )ss d A dk cm kN M = D O M Í N I OC10 C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-25 CA-50 CA-60 0,02 103,8 69,2 51,9 41,5 34,6 29,7 25,9 23,1 20,8 0,046 0,023 0,019 2 0,04 52,3 34,9 26,2 20,9 17,4 15,0 13,1 11,6 10,5 0,047 0,023 0,020 0,06 35,2 23,4 17,6 14,1 11,7 10,1 8,8 7,8 7,0 0,047 0,024 0,020 0,08 26,6 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,7 5,9 5,3 0,048 0,024 0,020 Fonte: adaptada de http://www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto/Textos/20%20Tabelas%20gerais.pdf. Acesso em: 2 ago. 2019. 45 Sendo assim, de acordo com as expressões mencionadas, é possível calcular as áreas de aço necessárias para a viga longitudinal. É importante lembrar que as áreas calculadas devem ter valores maiores do que a área mínima normativa da armadura de tração, que é dada por uma taxa mínima absoluta de 0,15%r= da área de concreto da seção transversal, ou seja, 0,15% cAr= . Ou seja, a área de armadura deve ser sempre maior do que a armadura mínima necessária, conforme orientação da norma técnica brasileira. Reflita Se um esforço de momento fletor varia ao longo de uma viga, como uma viga de ponte, como devemos garantir que todas as seções estejam com área de aço devidamente necessárias, devido à flexão? Em um projeto real, o dimensionamento deve ser calculado para várias seções ao longo da viga, como na região de máximo momento fletor positivo (vão) e negativo (apoios), bem como nas regiões próximas dos apoios. A armadura necessária para um valor de máximo momento fletor positivo é necessária ao longo de toda a viga? Ou é possível racionalizar materiais e garantir que cada trecho da viga seja executado de acordo com a quantidade de aço necessária? Além da armadura de flexão, devido ao momento fletor, outras armaduras devem ser previstas na construção de uma viga, mediante a ocorrência de outros esforços, como o caso das forças cortantes. Como a armadura longitudinal não é projetada para resistir aos esforços de forças cortantes, nesse momento, é neces- sário determinar o dimensionamento da armadura transversal. Para isso, o modelo utilizado será feito conforme o Modelo de Cálculo I, segundo orientação da Seção 17.4.2.2., da norma NBR 6118 (ABNT, 2014). Esse método constata diagonais de compressão com inclinação de 45° , em relação ao eixo horizontal longitudinal da viga, fazendo uma analogia com o comportamento de estruturas treliçadas, conforme exemplificado na Figura 2.25. Figura 2.25 | Analogia de treliça Fonte: Pinheiro, Muzardo e Santos (2010, p. 3). 46 Exemplificando O modelo clássico de treliça é uma teoria idealizada por Ritter (1899) e Mörsch (1908), em que se idealizou uma analogia entre uma treliça e uma viga fissura. Após a fissuração de uma viga biapoiada de seção transversal retangular, o seu comportamento é semelhante ao de uma treliça, quando analisamos o encaminhamento dos esforços. Na parte superior da viga, ou banzo superior da treliça, existe uma região de concreto comprimido. No trecho inferior, ou banco inferior, uma região tracionada é contida por uma armadura longitudinal de tração. Além disso, as diagonais comprimidas estão inclinadas e representam as fissuras. Por fim, os estribos representam as diagonais tracionadas em uma treliça, dispostos usualmente na vertical. Essa analogia de elementos estruturais permite a correlação dos métodos de cálculo, de forma que é possível adotar esse modelo para os cálculos de área de armadura transversal (estribos) no dia a dia da Engenharia Estrutural, para o método simplificado. Os passos para o desenvolvimento do método são apresentados a seguir: c. Verificação da diagonal de compressão do concreto ( 2RdV ): 2 20,27. . . . Rd v cd wV f b da= Onde: 2 1 250 ck v fa æ ö÷ç= - ÷ç ÷ç ÷è ø Com ckf em MPa . d. Cálculo da armadura transversal ( 3RdV ), considerando a parcela de cV e swV . 3Rd c swV V V= + ou 3sw Rd cV V V= - Onde: ( ).0,9. . cosswsw ywd AV d f sen s a a æ ö÷ç= +÷ç ÷ç ÷è ø 0,60. . .c ctd wV f b d= ,0,7 . ct m ctd c f f g = 47 Sendo: 3RdV = no cálculo da armadura transversal, adota-se ( )3 Rd Sd SdV V ouQ= . wb = menor largura da seção, ao longo da altura útil d . d = altura útil, ou seja, distância entre a borda comprimida de concreto até o centro de gravidade da armadura de tração. s = espaçamento entre estribos. ywdf = tensão na armadura transversal passiva não superior a 435 Mpa. a = inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal da viga, sendo 45 90a°£ £ ° . Os valores de área de aço encontrados devem sempre ser superiores aos valores mínimos da norma, portanto: ,0,20. . . ct msw sw w ywk fA b s sen f r a = ³ Sendo: swr = taxa de valores, retirado da Tabela 2.4. swA = área da seção transversal da barra do estribo. 2/3 , 0,30.ct m ckf f= . Tabela 2.4 | Valores mínimos de swr AÇO CONCRETO C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-25 0,1768 0,2052 0,2317 0,2568 0,2807 0,3036 0,3257 CA-50 0,0884 0,1026 0,1159 0,1284 0,1404 0,1580 0,1629 CA-60 0,0737 0,0855 0,0965 0,1070 0,1170 0,1265 0,1357 Fonte: Pinheiro, Muzardo e Santos (2010, p. 10). Verificações de estado limite e fadiga nas armaduras da viga principal Após o dimensionamento das armaduras, a norma NBR 6118 (ABNT, 2014) sugere que seja verificado o estado limite último devido à fadiga, utili- zando uma combinação frequente de ações, esforços permanentes (G) e acidentais (Q), de acordo com a expressão a seguir: 48 1 1 2 . .d gk q k qjkF F F Fy y=å + +å Segundo a norma NBR 8681 (ABNT, 2003), para verificação de vigas de pontes rodoviárias, tem-se 1 0,50y = . Com isso, a norma orienta o cálculo no estádio II, definindo a posição da linha neutra e da inércia. A expressão utilizada é do conceito de resistência dos materiais e para o cálculo das tensões máximas ,máx sse mínimas ,mín ss na armadura longitudinal, tem-se, de forma resumida, as seguintes expressões: ( ), , . .e d máx II máx s II M d x I a s - = ( ), , . .e d mín II mín s II M d x I a s - = Onde a posição da linha neutra é dada por: 2 2 2 1 3 1 4. . 2.II a a a a x a - ± - = E o valor do momento de inércia, de seção T, é dada por: ( ) ( ) ( ) 323 2 ' .. . . . . . ² 12 2 3 w II ff f f II f f II e s II s II b x hb h h I b h x A d x A d xa æ ö -÷ é ùç ÷ç= + - + + - + -÷ ê úç ÷ ë û÷çè ø ¢ Onde: wb = largura da alma (seção T). fb = largura da mesa colaborante. Em momentos negativos, considerar f wb b= . fh = espessura da mesa colaborante. Em momentos negativos, considerar 0fh = . sA = área de aço da armadura longitudinal tracionada. 'sA = área de aço da armadura longitudinal comprimida. ea = razão entre módulo de elasticidade do aço e do concreto. Na falta de valores precisos, adotar 15 para carregamentos frequentes. 1a = wb . ( ) ( )2 2 f f w e s sa h b b A Aa ¢= é ù× - + × +ê úë û . 49 ( ) ( )3 ² 2 . 'f f w e s sa h b b A d A daé ù- × - + × ×¢+êë= úû . d = altura útil, em relação à armadura tracionada. 'd = altura útil, em relação à armadura comprimida. A verificação devido à fadiga é concluída se a máxima variação de tensão calculada, ssD , para a combinação frequente de ações, obedecer à seguinte condição: , f s sd fadfg sD £D× Pela norma NBR 6118 (ABNT, 2014), deve-se adotar 1fg = . Os valores de ,sd fadfD são extraídos a partir das Tabelas 23.2 e 23.3 (resumidas pela Tabela 2.5) da norma NBR 6118 (ABNT, 2014): Tabela 2.5 | Analogia de treliça Armadura passiva, aço CA-50 Valores de , ,sd fad mínfD , para 62 10 ( )ciclos MPa´ Caso ( )mmf Tipo 10 12,5 16 20 22 25 32 40 Barras retas ou dobradas com 25D f³ 190 190 190 185 180 175 165 150 1T Barras retas ou dobradas com: 25D f< 5 20D mmf= < 8 20D mmf= ³ 105 105 105 105 100 95 90 85 1T Estribos 3 10D mmf= £ 85 85 85 - - - - - 1T Ambiente marinho Classe IV 65 65 65 65 65 65 65 65 4T Barras soldadas (incluindo sol- da por ponto ou das extremida- des) e conectores mecânicos 85 85 85 85 85 85 85 85 4T Fonte: adaptada de NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 197). O efeito de fadiga nas armaduras de aço em casos de pontes de concreto armado é um fenômeno relacionado à ocorrência de ações dinâmicas repeti- tivas, o que pode causar uma perda progressiva da resistência do material. Durante o projeto de pontes e viadutos, os elementos de concreto se apresentam suscetíveis à fadiga devido à concretagem em diferentes etapas, 50 a concretos de idades diferentes, associada à ocorrência dos carregamentos cíclicos ou móveis. Vigas estruturais pré-fabricadas e moldadas in loco As vigas longitudinais, que podem ser moldadas previamente (pré-mol- dadas ou pré-fabricadas), estão em contato com pré-lajes moldadas anterior- mente e com a capa de laje final, moldada in loco. Em casos de elementos estruturais pré-moldados (ou pré-fabricados), associados a elementos de concreto moldado in loco, pode ocorrer o aumento de seção resistente dos elementos, desde que seja garantida a transferência dos esforços por meio da interface entre esses dois sistemas construtivos. Pesquise mais Para saber mais sobre os elementos pré-fabricados, sobre seu compor- tamento e evolução tecnológica, sugerimos a leitura do artigo a seguir, sobre a evolução dos pré-fabricados de concreto, que foi publicado em um evento sobre projetos em concreto pré-moldado. SERRA, S. M. B.; FERREIRA, M. de A.; PIGOZZO, B. N. Evolução dos Pré-fa- bricados de Concreto. In: ENCONTRO NACIONAL DE PESQUISA-PROJE- TO-PRODUÇÃO EM CONCRETO PRÉ-MOLDADO, 1., 2005, São Carlos. Anais [...]. São Carlos: USP, 2005. Sem medo de errar O projeto estrutural da ponte a ser construída na cidade de São Paulo, do qual você está participando, está na etapa de dimensionamento e determinação das armaduras. Para o cálculo da área de aço de armadura longitudinal, devido ao momento fletor positivo máximo (meio do vão), deve-se: 1,30 1 ,50d g qM M M=å × + × , 1,30 2747,50 1 ,50 4575,10 10434,40 d máxM kN m=å × + × = × Para a definição da seção transversal da viga, segundo algumas dimensões previamente conhecidas (Figura 2.23) e considerando a mesa colaborante, tem-se já conhecidos os valores para a seção transversal da ponte em estudo: 0,10c m= e 2 4,85b m= Portanto, tem-se que segundo a Figura 2.23, os valores mínimos: 1 20,50 2,42b b m£ × = 51 ( )3 0,1 0,1 0,60 25 1,50 b a m£ × = × × = Sendo 0,25 wb m= , então, 3 1 1,50 0,25 2,42 4,17 f wb b b b m= + + = + + = . Para o cálculo de área de aço para o máximo momento fletor positivo, deve-se adotar um cobrimento ( oc ) para o cálculo de d (altura útil). Sendo 10 oc cm= previamente definido, tem-se: 200 1 0 190 d m= - = 2417 190 14,43 1043440c k ×= = Com auxílio da Tabela 2.3 sobre flexão simples em seção retangular, é neces- sário adotar resistência do concreto e das barras de aço. Para 14,43ck = , adotamos ckf de 40 MPa , e, para aço CA-50, tem-se 0,023sk = . Sendo assim: 1900,023 1043440 s s s d A d Ak M × ×= ® = E, com isso, 126,31 ²sA cm= (adotando-se: 26 f 25). Para a armadura mínima, admite-se uma cA simplificada de: ( )( ) 2417 25 200 20 10 25 14675 cA cm= × + - - × @ 20,15% 0,15% 14675 22 cA cmr= = × = . Para a armadura transversal: 1,30 1 ,50Sd g qQ Q Q=å × + × , 1,30 641,91 1 ,50 772,88 1993,80 Sd máxQ kN=å × + × = 2 401 1 0,84 250 250 ck v fa æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - = - =÷ ÷ç ç÷ ÷÷ç ÷ çè øè ø Ajustando as unidades, tem-se: 2 2 40,27 0,27 0,84 25 190 3078 1,40Rd v cd w V f b d kNa= × × × = × × × × =× Em seguida: ( )2/3, 0,7 0,3 0,7 1,75 1,40 ckct m ctd c ff f MPa g × ×× = = = 0,60 0,60 0,175 25 190 498,75 c ctd wV f b d kN= × × × = × × × = 52 Sendo 3 , 1993,80 Rd Sd máxV Q kN= = . 3 1993,80 498,75 1495,05 sw Rd cV V V kN= - = - = Com a expressão: ( )0,9 cosswsw ywd AV d f sen s a a æ ö÷ç= × × × +÷ç ÷ç ÷è ø ( ) ( ) 21495,05 0,20 / 0,9 cos 0,9 1 90 43,5 90 cos90 sw sw ywd A V cm m s d f sen sena a æ ö÷ç = = =÷ç ÷ç ÷è ø × × + × × × °+ ° Então: ,0,20 ct msw sw w ywk fA b s sen f r a = ³ × × × 20,1404 3,51 / 25 90 sw swA A cm m s sen s = ® = × × ° E, ( )2/3, 0,3 0,20 0,20 0,016 43,5 ckct m ywk ff f × × = × = Portanto, ( ) 2/ 3,51 /swA s cm m= . Para a verificação da fadiga, adota-se: , 1 1 2747,50 0,5 4575,10 5035,05 d máx gk q kM M M kN my=å + × = + × = × , 1 1 2747,50 0,5 992,50 3243,75 d mín gk q kM M M kN my=å + × = + × = × 1 25 a cm= ( ) ( )2 2 20 417 25 15 126,31 0 19469 a cmé ù= × - + × + =ê úë û ( ) ( )23 20 417 25 2 15 126,31 190 0 876767 a cmé ù=- × - + × × × + =-ê úë û ( )219469 19469 4 25 876767 42,69 2 25II x cm - ± - × × - = = × ( ) ( ) 32 225 42,69 20417 20³ 20417 20 42,69 15 126,31 190 42,69 0 12 2 3II I æ ö × -× é ù÷ç= + × × - + + × × - +÷ç ê ú÷÷ç ë ûè ø 6 4 450,23 10 0,5023 III cm ou m= × 53 Com isso: ( ) , 15 5035,05 1,90 0,43 221028,97 / ² 0,5023máx s kN ms × × - = = ( ) , 15 3243,75 1,90 0,43 142394,36 / ² 0,5023mín s kN ms × × - = = ( ) ,221028,97 142394,36 f sd fadfg × - £D Da Tabela 2.5, com barras dobradas, para 26 f 25, tem-se: , 175 sd fadf MPaD = ( )1,0 78634,61 1 75000 / ²kN m× £ \ Verificação da armadura longitudinal à fadiga: ok. Avançando na prática Resistência característica do concreto em estruturas de concreto armado A resistência à compressão do concreto é a característica mecânica mais importante desse material. A norma NBR 8953 (ABNT, 2015) estabelece as classes do concreto
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