Unidade_2

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Unidade 2
Viga principal em 
concreto armado
Gabriela Martins Souza Brisola
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Sumário
Unidade 2
Viga principal em concreto armado ........................................................... 5
Seção 1
Análise estrutural do momento fletor na viga principal ............... 7
Seção 2
Análise estrutural da força cortante na viga principal .................23
Seção 3
Dimensionamento da viga principal ..............................................39
Unidade 2
Viga principal em concreto armado
Convite ao estudo
Caro aluno, seja bem-vindo a esta unidade da disciplina de Pontes e 
Grandes Estruturas. Nesta etapa, muitos conceitos que você já viu em outras 
disciplinas na área de Estruturas serão aplicados para desenvolver o projeto 
de uma ponte em concreto armado. Ao longo deste livro, você perceberá que 
o conceito do dimensionamento das estruturas é feito de forma similar para 
diferentes tipos de materiais.
Nesta unidade, você aprenderá a aplicar os conhecimentos de linha de 
influência de momento fletor e força cortante em uma viga principal de uma 
ponte, chegando a valores máximos e mínimos de momento e cortante e a 
valores finais de área de aço da viga de concreto armado. Após estudar todos 
os conteúdos apresentados, você saberá determinar a armadura de flexão e 
cisalhamento de uma viga principal de concreto armado de uma ponte.
As estruturas devem estar dimensionadas de forma a garantir a estabili-
dade do elemento estrutural, conforme previsto pelas normas técnicas brasi-
leiras. No caso de pontes e viadutos, a existência de cargas móveis atuantes 
sobre a estrutura exigirá uma atenção maior para determinar os esforços 
máximos e mínimos para as seções importantes de uma peça, como por 
exemplo uma viga longitudinal principal. Com isso, você deverá estar capaci-
tado a conhecer as técnicas de cálculos necessárias e, ao aplicar os conhe-
cimentos de linha de influência de momentos fletores e forças cortantes 
em uma viga principal de uma ponte, você determinará valores máximos e 
mínimos dos esforços.
Essa etapa é fundamental para que você saiba determinar as armaduras 
necessárias, armaduras longitudinais de flexão e armaduras transversais de 
cisalhamento, para a construção da ponte do projeto no qual você está envol-
vido. Sendo assim, neste livro, buscaremos desenvolver as noções básicas de 
dimensionamento em concreto armado. Lembre-se de que o dimensiona-
mento deve assegurar que os valores de cargas permanentes e móveis, previa-
mente analisados, serão suportados pela estrutura. Para isso, os esforços de 
momentos fletores serão importantes e devem ser determinados para os 
cálculos, bem como os esforços de forças cortantes. Visando determinar 
esses valores de esforços máximos e mínimos, vamos nos debruçar sobre 
uma técnica que pode ser utilizada no caso de cargas móveis, como é o caso 
da linha de influência.
Nesta disciplina, além da capacidade de dimensionar estruturas de 
concreto, o incentivo é também para a aplicação da técnica de linha de influ-
ência – que pode ser aplicada a todos os tipos de carregamentos, estáticos 
ou móveis – a fim de determinar o diagrama de esforços em todos os tipos 
de estruturas. Aproveite a oportunidade de aprender um pouco mais, seja 
proativo e procure informações adicionais, além dos tópicos citados aqui. A 
aplicação desse conceito pode ser utilizada em muitos casos na engenharia 
de estruturas e, o seu conhecimento poderá ser um diferencial que o tornará 
capacitado para o mercado de trabalho.
Bons estudos!
7
Seção 1
Análise estrutural do momento fletor na viga 
principal
Diálogo aberto
Nesta primeira seção da Unidade 2, veremos sobre a linha de influência 
de momentos fletores para a viga principal longitudinal do projeto de pontes 
em concreto armado. Utilizando essa técnica de cálculo, determinaremos 
o momento fletor máximo e mínimo atuante na viga principal, de acordo 
com o trem-tipo longitudinal máximo determinado anteriormente e devidos 
coeficientes de impacto aplicados aos carregamentos móveis.
Também abordaremos o conceito de envoltória do esforço de momento 
fletor. Com esses valores em mãos, será possível dimensionar a estrutura em 
concreto armado, que será estudada na Unidade 3.
Vamos relembrar sua situação profissional. Você ingressou como trainee 
de engenharia civil em uma grande empresa de projetos estruturais. Devido ao 
seu bom desempenho na empresa, o seu superior convidou-o para participar 
do projeto de uma ponte que será construída na cidade de São Paulo. Em uma 
primeira etapa, foi definido o sistema estrutural da ponte, que será construída 
em duas vigas de concreto. Na sequência, você e sua equipe determinaram 
os carregamentos atuantes devido às cargas permanentes (Figura 1.20, Seção 
1.2) e cargas móveis (Figura 1.31, Seção 1.3), para a viga principal longarina. 
Agora, você deve colocar em prática os seus conhecimentos para determinar os 
máximos esforços atuantes, de momento fletor, para dimensionamento dessa 
viga. Você já sabe como determinar os valores de momentos fletores devido a 
uma carga permanente estática. Mas, como determinar os valores de momentos 
fletores devido a uma carga móvel, que percorre o tabuleiro da ponte?
Figura 1.20 | Esquema estático de cargas permanentes
Fonte: elaborada pela autora.
8
Figura 1.31 | Trem-tipo longitudinal máximo
Fonte: elaborada pela autora.
Para concluir mais essa etapa do projeto, você estudará sobre a linha de 
influência de momento fletor, sobre a influência dos coeficientes de impacto 
no momento fletor e sobre o conceito de envoltória de momento fletor na 
viga principal.
Não pode faltar
Na área de Estruturas, sabe-se que, para o dimensionamento de uma 
estrutura, é necessário conhecer os esforços máximos e mínimos que ela 
suportará ao ser submetida a um carregamento. Diversas estruturas são 
dimensionadas para suportar cargas móveis, como o caso de pontes rodovi-
árias ou ferroviárias, pórticos industriais que englobam pontes rolantes para 
o transporte de cargas, entre outros. 
Para estruturas submetidas a cargas móveis, existe um diagrama conhe-
cido como envoltória de esforços, que determina os valores limites, ou seja, 
os valores máximos ou mínimos para as seções transversais da estrutura 
analisada. Por exemplo, o máximo valor de momento fletor em uma viga 
contínua com vários vãos não é determinado ao posicionar a carga acidental 
de ocupação sobre todos os vãos. Posições selecionadas determinarão os 
valores limites de momento fletor que ocorre em uma seção durante todas 
as posições da carga móvel sobre a estrutura. Com isso, cabe ao projetista 
determinar, para cada seção dimensionada, as posições de atuação das cargas 
acidentais que provocam os valores extremos (mínimos ou máximos de um 
determinado esforço). A solução para esse problema seria analisar a estru-
tura para várias posições diferentes das cargas móveis ou acidentais e, dentre 
os valores encontrados, selecionar os valores extremos. Contudo, esse proce-
dimento não é prático para estruturas com carregamentos complexos. O 
procedimento geral e eficiente para determinar as posições das cargas móveis 
e acidentais que provocam os valores mais extremos em uma seção deuma 
estrutura é feito mediante o auxílio das linhas de influência.
9
Linha de influência de momento fletor na viga principal
O conceito de Linha de Influência (LI) já foi visto em uma seção anterior 
desta disciplina, porém, foi utilizado para determinar esforços de reações de 
apoio de um conjunto de cargas estáticas. Nesta etapa, compreenderemos o 
uso de LI de momento fletor em uma seção de uma carga vertical unitária 
que passeia sobre a estrutura e, com isso, geraremos uma representação 
gráfica do momento fletor. Para melhor compreensão, vemos na Figura 2.1 o 
diagrama de LI para uma viga contínua de 3 vãos. Na mesma figura, também 
vemos a carga unitária 1P = , em uma posição x. A ordenada ( )sM x da LI 
representa o valor de momento fletor na seção S quando a carga unitária 
1P = está posicionada em x . Logo, vemos que a LI é uma representação 
gráfica dos esforços de momento fletor que ocorrem apenas em uma seção S 
quando a carga percorre a estrutura.
Figura 2.1 | Linha de Influência de momento fletor em uma seção de uma viga contínua
Fonte: Holtz (2005, p. 24).
A linha de influência é um método demonstrado através do Princípio dos 
Deslocamentos Virtuais (PDV) (MARTHA, 2005) e pode ser aplicado para 
qualquer tipo de estrutura, sendo essa isostática ou hiperestática.
Momento fletor máximo e mínimo na viga principal
Para a mesma viga contínua, sob o mesmo diagrama de LI, considere uma 
carga móvel acidental atuando sobre essa estrutura. Essa carga é comporta de 
uma carga concentrada P e de um carregamento uniformemente distribuído, 
representado por q. Por ser uma carga acidental, q pode atuar parcialmente 
sobre a estrutura. O objetivo principal nesse momento é determinar quais 
são as posições de atuação das cargas P e q que maximizam ou minimizam 
o momento fletor em S. Por convenção, adota-se que o valor máximo de 
momento fletor M é obtido quando a carga q está posicionada sobre as 
ordenadas positivas na LI de momentos fletores e a carga concentrada P 
está sobre a maior ordenada positiva. Da mesma forma, o valor mínimo é 
determinando quando a carga q está locada sobre ordenadas negativas da LI 
10
de momentos fletores e a carga P está sobre a maior ordenada negativa do 
diagrama. Esse conceito é exemplificado nas Figuras 2.2 e 2.3 a seguir:
Figura 2.2 | Posicionamento da carga móvel para provocar máximo momento fletor em uma seção
Fonte: Holtz (2005, p. 27).
Figura 2.3 | Posicionamento da carga móvel para provocar mínimo momento fletor em uma seção
Fonte: Holtz (2005, p. 27).
Reflita
Se a LI de momentos fletores representa um diagrama com ordenadas 
que representam valores de momentos fletores apenas de uma seção S, 
quando uma carga solicitante está passeando pela estrutura, em várias 
posições, então é verdadeiro dizer que, para cada tipo de estrutura 
(seja uma viga bi apoiada ou viga contínua de diversos vãos) e para cada 
seção analisada, teremos um diagrama de LI específico?
Influência dos coeficientes de impacto no momento fletor da 
viga principal
O diagrama de LI representa um resumo de todos os esforços que 
acontecem em uma única seção quando a carga percorre a estrutura. 
Visualizamos um exemplo genérico para o caso de uma viga contínua, 
contudo, diante desse conceito, é necessário determinar dois itens impor-
tantes para elaborar um diagrama de LI para os demais casos:
• O tipo de viga a ser analisado.
• A seção de análise, que ocasionará os máximos esforços de 
momentos fletores.
Para o caso de uma viga de ponte, do tipo bi apoiada, com balanços nas 
extremidades, sabemos que os máximos valores de momento fletor ocorrerão 
11
no meio do vão da viga. Em caso de dúvidas, vemos os diagramas de momentos 
fletores para as diferentes posições de carga concentrada P, na Figura 2.4.
Figura 2.4 | Diagramas de momentos fletores para carga P em diferentes posições
Fonte: elaborada pela autora.
Com isso, é possível admitir uma seção de análise, S, como a posição no 
meio do vão, para elaborar o desenho do diagrama de LI de momento fletor, 
conforme Figura 2.5.
Figura 2.5 | Analisando a seção S dos diagramas de momentos fletores
Fonte: elaborada pela autora.
Sendo assim, construímos, para o caso de uma ponte bi apoiada, a LI de 
momentos fletores:
Figura 2.6 | LI de momentos fletores para a seção no meio do vão
Fonte: elaborada pela autora.
Uma vez que a LI de momento fletor para uma viga em análise é deter-
minada, basta incluirmos os carregamentos e, diante disso, determinaremos 
o máximo momento fletor de uma viga bi apoiada, ocorrendo na seção S, 
localizada no meio do vão, para os carregamentos atuantes na estrutura.
Para as cargas permanentes, previamente determinadas para a viga 
principal, conforme visto na Seção 1.2, para o projeto de uma ponte, o 
momento máximo, g máxM , no meio do vão se dá por:
12
Figura 2.7 | LI de momentos fletores para seção no meio do vão
Fonte: elaborada pela autora.
Sendo a ordenada máxima positiva do diagrama de LI de momento fletor 
dada por:
( 1) 4P
P LMF =
´=
Note que, como a viga é simétrica, para simplificar o cálculo, alguns 
valores são multiplicados por 2, devido à existência de dois casos do mesmo 
carregamento atuando na viga. Sendo assim, o momento máximo devido às 
cargas permanentes é dado por:
1 1
1
( ) 4,50 ( ) 4,50(53,66 44,84)2 (111,75 ( )) 2 [(44,84 ) ( )]
2 2 2máx
M h hh ´ ´-= ´ ´ + ´ ´ + ´ +
2 2( ) 4,50 ( ) 4,50(53,66 44,84)2 [(44,84 ) ( )]
2 2 2
h h´ ´-´ ´ + ´ +
2 ( 1)
( 1)
( )
2 [(44,84 ) 8] (32,20 MF )
2
p
p
MFh =
=
´
´ ´ ´ + ´
Onde as ordenadas 1( )h e 2( )h podem ser determinadas por relação 
de triângulos.
Para determinar o máximo momento fletor devido às cargas móveis 
acidentais, ,q máxM , tem-se a aplicação dos seguinte carregamentos, definidos 
na Seção 1.3, posicionados de forma a garantir o cálculo do máximo esforço.
13
Figura 2.8 | LI de momentos fletores para seção no meio do vão
Fonte: elaborada pela autora.
E seguindo os carregamentos móveis e LI da Figura 2.8, tem-se:
1 ( 1)1
( ) ( )9,50 ( )M 2 [25,54 ] 2 [(8,37 3,0)]
2 2
p
q máx
MFhh =+´= ´ ´ + ´ ´ ´ +
2 ( 1)2 [182,4 ( )] 182,4 pMFh =´ ´ + ´
Assimile
Observe que, conforme aprendido anteriormente nas seções anteriores, 
a carga móvel é uma carga acidental que pode existir ou não na estru-
tura. Então, é importante ter em mente que, nem sempre carregando 
toda a estrutura com um carregamento acidental você conseguirá 
obter o máximo esforço de momento fletor no meio do vão. Note que a 
mesma teoria não é válida para cargas permanentes, visto que a carga 
permanente nunca pode ser retirada de uma estrutura, pois é perma-
nente. Sendo assim, a carga permanente sempre existirá.
O valor de momento fletor máximo na viga principal do projeto de ponte 
será dado por:
máx g máx q máxM M M= =
O coeficiente de impacto vertical foi definido na Seção 1.3 e acrescentado 
aos valores do trem-tipo longitudinal máximo calculado para a ponte em 
estudo. Alguns autores abordam que esse valor de coeficiente j também 
poderia ser aplicado aos valores de momentos fletores encontrados, em vez 
de acrescidos aos carregamentos (MARCHETTI, 2008). De qualquer forma, 
14
seja acrescentado aos carregamentos ou aos esforços, o coeficiente de impacto 
sempre deve ser considerado no caso de cargas móveis rodoviárias, conforme 
NBR 7188 (ABNT, 2013).
Conceito de envoltória de momento fletor na viga principal
Com base em vários traçados de LIs, é possível obter o que se conhece 
como envoltórias limites dos esforços, necessárias para o dimensionamento 
completo das estruturas submetidas a cargas móveis acidentais. As envol-
tórias de momentos fletores descrevem os valores máximos ou mínimos 
para um conjunto de cargas móveis acidentais, em cada uma das seções de 
uma estrutura,de forma que se obtenha conhecimento do comportamento 
completo da estrutura submetida a uma carga móvel. As seções são definidas 
pelo engenheiro calculista responsável, de forma que se adote o maior 
número de seções relevantes para o cálculo.
Considerando que, para a viga principal em estudo, os carregamentos 
são simétricos devido à simetria da própria estrutura, pode-se determinar, 
de uma forma simplificada, algumas seções relevantes para demonstrar a 
técnica de LI em diferentes seções. Para uma seção localizada no balanço, 
tem-se, na Figura 2.9, a aplicação do carregamento móvel acidental de forma 
a causar momento fletor (no caso, negativo), de acordo com o diagrama de 
LI de momento fletor para a seção S.
Figura 2.9 | LI de momentos fletores para seção S no balanço
Fonte: elaborada pela autora.
De forma análoga, é possível visualizar na Figura 2.10 como seriam os 
cálculos para determinar o máximo momento fletor devido às cargas móveis, 
para uma seção S localizada a 5 metros à direita do apoio 1, sendo:
15
Figura 2.10 | LI de momentos fletores para seção S no vão
Fonte: elaborada pela autora.
Exemplificando
Para o cálculo completo de uma viga de 25 m de vão e 4,5 m nos balanços, 
no cotidiano profissional de um escritório de estruturas, as seções 
podem ser definidas a cada 1 m. Assim, os valores limites de esforços 
de momentos fletores são definidos para todos os trechos da estrutura. 
Nota-se que, a cada diagrama de LI, deve-se posicionar os carregamentos 
móveis visando obter os esforços limites (máximos ou mínimos).
Conforme visto, para determinar os valores limites dos esforços de 
momentos fletores em uma determinada seção transversal, é necessário 
conhecer as posições de aplicação do trem-tipo que causam tais esforços 
limites. Para casos simples, de vigas simétricas, com carregamentos simples, 
como o trem-tipo, e linhas de influências, como no exemplo desse estudo, é 
intuitiva a indicação das posições limitantes, como o caso do meio do vão 
para o máximo momento fletor positivo. Contudo, em casos complexos, 
não é possível essa confiança na determinação das seções e, por isso, a 
maior quantidade de seções possíveis assegura o correto dimensionamento 
da estrutura, mediante o conhecimento do comportamento de toda a viga 
principal longitudinal. O nosso objetivo geral é minimizar e maximizar os 
valores dos esforços nas seções transversais no dimensionamento de um 
elemento estrutural em função da atuação da carga móvel acidental.
Pesquise mais
Alguns softwares foram desenvolvidos para auxiliar o dimensionamento 
das estruturas na engenharia e alguns desses são disponibilizados 
gratuitamente pelos produtores do programa. Para Azevedo (2000, p. 
16
1), o uso de softwares no ensino universitário visa preparar o aluno para 
“começar imediatamente a ser produtivo no seu primeiro emprego”. 
Em seu artigo, o autor cita o programa FEMIX, que serve de apoio 
pedagógico ao ensino de linhas de influência na análise das estruturas. 
AZEVEDO, A. F. M. A utilização de software comercial no ensino universi-
tário. In: VI CONGRESSO NACIONAL DE MECÂNICA APLICADA E COMPU-
TACIONAL, 6., 2000, Aveiro, Portugal. Anais [...].Aveiro, Portugal: 
Universidade de Aveiro, 2000.
Agora que você conhece como determinar os esforços de momento fletor 
devido a cargas permanentes e cargas móveis, você está preparado para 
determinar o máximo esforço devido a essas cargas em uma viga principal 
do projeto de uma ponte. Temos um problema e você já conhece a solução. 
Vamos superar esse desafio?
Sem medo de errar
Para determinar o valor máximo de momento fletor devido a um carre-
gamento permanente, pode-se utilizar a técnica de LI de momentos fletores.
Figura 2.7 | LI de momentos fletores para seção no meio do vão
Fonte: elaborada pela autora.
Conforme exemplificado na Figura 2.7, tem-se que, para os cálculos das 
ordenadas h , os valores são determinados conforme indicado a seguir:
( 1)
1 25 6,25 .
4 4P
P LMF kN m
=
´ ´= = =
17
E, com isso:
1 26,25
12,50 4,5 4,5
h h= =
Sendo:
1 2,25h = e 2 2,25h =
Portanto, o valor de momento máximo na seção S (meio do vão) é de: 
( 2,25) 4,50 8,82 ( 2,25) 4,502 (111,75 ( 2,25)) 2 [(44,84 ) ( )]
2 2 2gmáx
M - ´ - ´= ´ ´ - + ´ ´ + ´ +
(2,25) 4,50 8,82 (2,25) 4,502 [(44,84 ) ( )]
2 2 2
´ ´´ ´ + ´ +
(2,25) 6,252 [(44,84 ) 8] (32,20 6,25) 2747,50 .
2
kN m+´ ´ ´ + ´ =
Considere a figura a seguir, a respeito do momento fletor máximo devido 
às cargas móveis acidentais:
Figura 2.8 | LI de momentos fletores para seção no meio do vão
Fonte: elaborada pela autora.
De acordo com a Figura 2.8, o momento fletor máximo devido às cargas 
móveis acidentais deve ser calculado da seguinte forma:
( 1)
1 25 6,25 .
4 4P
P LMF kN m
=
´ ´= = =
E, com isso:
1 26,25
12,50 9,5 11
h h= =
18
Sendo:
1 4,75h = e 2 5,50h =
max
9,50 4,75 4,75 6,252 [25,54 ] 2 [(8,37 3,0)] 2 [182,4 5,50] 182,4 6,25
2 2q
M ´ += ´ ´ + ´ ´ ´ + ´ ´ + ´
max 4575,10kNmqM =
As cargas permanentes e as cargas móveis atuam gerando um valor de 
momento fletor, que já foi encontrado por você neste estudo. Compreender 
o comportamento das estruturas e os esforços limites permite o dimensiona-
mento correto da estrutura para suas respectivas armaduras. O uso da LI de 
momento fletor permite agilidade no cálculo dos esforços e pode ser usado 
em todos os casos de carregamento, sejam permanentes ou acidentais, na 
determinação dos valores de esforços em uma seção.
Avançando na prática
Análise estrutural de momento fletor mínimo 
na viga principal
O engenheiro calculista, ao dimensionar uma estrutura como uma viga de 
ponte, deve determinar os valores limites de momento fletor para cada seção a ser 
dimensionada, de acordo com o posicionamento das cargas acidentais, de forma a 
provocar os valores extremos (máximos e mínimos) de um esforço. Já discutimos 
que uma alternativa para esse problema seria analisar a estrutura para diversas 
posições das cargas móveis e selecionar os valores extremos. Contudo, esse proce-
dimento não é prático e por isso será utilizado o diagrama de LI de momentos 
fletores para o cálculo do mínimo momento fletor atuante na estrutura devido a 
carregamentos móveis. Considerando a ponte que estamos estudando, determine, 
para uma seção S no meio do vão, qual o valor de mínimo momento fletor devido 
aos carregamentos móveis acidentais, na viga de ponte em estudo. 
Resolução da situação-problema
Para determinar o mínimo momento fletor devido às cargas móveis 
acidentais, mínqM , tem-se a aplicação dos seguinte carregamentos, conforme 
a figura a seguir:
19
Figura 2.11 | LI de momentos fletores para seção no meio do vão
Fonte: elaborada pela autora.
É válido relembrar que a carga móvel acidental pode ocorrer ou não na 
estrutura, de acordo com a necessidade de, nos cálculos, alcançar valores 
limites. Com isso, para a seção S no meio do vão, o valor de momento fletor 
mínimo ocorre quando as cargas móveis estão posicionadas no trecho em 
balanço, com as maiores cargas (como a carga concentrada devido ao veículo 
padrão) extremas ao máximo. Dessa forma, tem-se: 
( 1)
1 25 6,25 .
4 4P
P LMF kN m
=
´ ´= = =
E, com isso:
31 26,25
12,50 4,5 3,0 1,50
hh h= = =
Logo:
1 4 2,25h h= =
2 1,50h =
3 0,75h =
min
( 2,25) 4,50 ( 2,25) 4,508,37 25,54 182,4 [( 2,25) ( 1,50) ( 0,75)]
2 2q
M - ´ - ´= ´ + ´ + ´ - + - + -
min 992,50qM kNm=-
20
Faça valer a pena
1. Em uma ponte de concreto armado, a viga principal deve ser dimensio-
nada para resistir aos esforços limites (máximo e mínimo) de carregamentos 
permanentes e carregamentos móveis. Os carregamentos permanentes se 
referem ao peso próprio dos elementos que compõem a estrutura, enquanto 
os carregamentos móveis são admitidos por normabrasileira e conhecidos 
como trem-tipo. Para as estruturas submetidas a cargas móveis, existe o 
diagrama de envoltória dos esforços, que determina os valores máximos e 
mínimos para cada uma das seções transversais possíveis.
Diante do conhecimento dos esforços mediante cargas móveis, tem-se as 
afirmações a seguir:
I. Para o dimensionamento de qualquer estrutura, é necessário 
conhecer apenas os esforços máximos na seção mais crítica da estru-
tura.
II. Em uma ponte extensa, em vigas contínuas em mais de dois vãos, 
para obter o máximo momento fletor devido ao carregamento móvel, 
deve-se carregar o trem-tipo sobre todos os tabuleiros.
III. A envoltória limite de um determinado esforço descreve os valores 
máximos e mínimos desse esforço em cada uma das seções da estru-
tura. Com esse diagrama, é possível saber os valores máximos e 
mínimos a que uma seção está sujeita durante a passagem de uma 
carga móvel.
IV. A envoltória limite de um esforço é um diagrama que aborda valores 
dos esforços, que são as ordenadas do gráfico, de uma única seção 
para várias posições da carga percorrendo a estrutura.
Assinale a alternativa correspondente às afirmativas verdadeiras.
a. I, III e IV, apenas.
b. II e III, apenas.
c. III, apenas.
d. III e IV, apenas.
e. IV, apenas.
2. No contexto da análise estrutural, vários carregamentos devem ser consi-
derados para cálculo. Eles podem ser classificados em dois tipos principais: 
cargas permanentes e cargas acidentais.
21
As cargas permanentes são fixas e atuam com a mesma intensidade durante a 
maior parte da vida útil da estrutura. Como exemplos de cargas permanentes 
em obras de arte, como pontes, viadutos e passarelas, podemos citar o peso 
próprio da estrutura, o pavimento, o guarda-corpo do passeio e as barreiras 
rígidas, entre outros. Mediante esses carregamentos, é possível determinar os 
esforços solicitantes.
Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta exemplos de cargas móveis.
a. Pessoas sobre arquibancadas e passarelas; barreiras rígidas e pontes 
rolantes.
b. Carregamentos rodoviários, como caminhões; placas de sinalização e 
pontes rolantes.
c. Carregamentos rodoviários, como carros e caminhões; pessoas sobre 
arquibancadas e pontes rolantes.
d. Carregamentos rodoviários; carregamentos ferroviários e tubulações 
para passagem de fios.
e. Nenhuma das alternativas.
3. A linha de influência (LI) demonstra a variação de um determinado efeito 
(ou esforço) em função da posição de uma carga vertical unitária que passeia 
sobre a estrutura. Dessa forma, o método da LI pode ser entendido a partir 
do Princípio dos Deslocamentos Virtuais (PDV), pois é traçado inicialmente 
um diagrama em função de uma carga unitária e, posteriormente, pode ser 
calculado em função de cargas com diferentes valores. 
A LI é utilizada para o cálculo dos esforços em estruturas com cargas móveis, 
como é o caso de uma viga de ponte, pois garante que, para uma determinada 
seção de análise, a LI seja traçada e os carregamentos aplicados causem os 
esforços limites (máximos ou mínimos) para a seção analisada. O carrega-
mento móvel utilizado em pontes rodoviárias é conhecido como trem-tipo 
e pode ser calculado conforme previsto na NBR 7188:2013 – Carga móvel 
rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos, passarelas e outras estruturas 
(ABNT, 2013).
A partir de um carregamento móvel definido por um veículo de três eixos e, 
portanto, três cargas concentradas, conforme Figura | Carregamento móvel, 
e um diagrama de linha de influência de momento fletor traçado para uma 
seção S, localizada a 2,50 metros à direita de um apoio, identifique qual 
posição do carregamento móvel (veículo) está correta para o cálculo do 
máximo momento fletor para a seção S em análise.
22
Figura | Carregamento móvel
Fonte: elaborada pela autora.
Figura | Viga com definição da seção S e Linha de Influência de momento fletor para a seção
Fonte: elaborado pela autora.
a. Para o maior momento fletor em S, o veículo deve ter a roda central 
posicionada em cima da ordenada máxima no diagrama da LI, no 
valor de 1,25, uma roda à esquerda e uma roda à direita.
b. Para o maior momento fletor em S, o veículo deve ter a primeira roda 
à esquerda posicionada em cima da ordenada de valor 1,0, uma roda 
em cima da ordenada de 1,25 e uma posicionada sobre a ordenada 
1,20.
c. Para o maior momento fletor em S, o veículo deve ter a roda da 
esquerda posicionada em cima da ordenada de valor 1,25 e as demais 
rodas à direita, sobre ordenadas 1,2 e 1,1, respectivamente.
d. Para o maior momento fletor em S, o veículo deve estar no meio do 
vão.
e. Para o maior momento fletor em S, o veículo deve ter a roda sobre o 
apoio e as demais rodas posicionadas sob a estrutura.
23
Seção 2
Análise estrutural da força cortante na viga 
principal
Diálogo aberto
Linha de influência da força cortante na viga principal
Nesta seção, continuaremos o estudo sobre linha de influência para a viga 
principal longitudinal da ponte que você está projetando, contudo, agora 
estaremos direcionados para o comportamento do esforço de força cortante. 
Dessa forma, é possível determinar os valores de forças cortantes limites 
atuantes na viga principal, mediante o carregamento permanente e o carre-
gamento móvel calculado anteriormente.
Conforme visto na seção anterior, além dos esforços de flexão, uma viga 
de concreto armado estará sujeita à ação das forças cortantes. A utilização da 
linha de influência visa simplificar o cálculo desse esforço para determinar 
a envoltória de força cortante ou, em outras palavras, compreender quais os 
máximos valores e forças cortantes que atuam por toda a viga longitudinal, 
quando o carregamento móvel, ou trem-tipo, está passando pela estrutura.
Baseado no modelo de cálculo em que a viga trabalha de forma 
semelhante a uma treliça, quando submetida aos carregamentos próximos 
à ruptura, as bielas diagonais, delimitadas pelas fissuras existentes, formam 
diagonais comprimidas e as armaduras transversais representam os tirantes 
que ligam os banzos de uma treliça. Sendo assim, com os valores limites das 
forças cortantes em mãos, o próximo passo será dimensionar a estrutura 
para conter uma armadura transversal correta, capaz de resistir aos esforços 
solicitados, garantindo a estabilidade da viga.
Vamos relembrar a sua situação profissional? Atualmente você está envol-
vido no desenvolvimento de um projeto de uma ponte na empresa em que 
trabalha. Você e a equipe definiram o sistema estrutural da ponte, que será 
construída em vigas de concreto armado. Em seguida, vocês determinaram 
os carregamentos atuantes devido às cargas permanentes (Figura 1.20, Seção 
1.2) e os carregamentos móveis (Figura 1.31, Seção 1.3) para uma das vigas 
longitudinais principais da ponte. Na sequência, calcularam os momentos 
fletores atuantes da viga, que serão necessários para o dimensionamento da 
armadura longitudinal de flexão. Agora, você deve determinar os máximos 
24
esforços cortantes, que serão fundamentais para o dimensionamento das 
armaduras transversais.
Figura 1.20 | Esquema estático de cargas permanentes
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.31 | Trem-tipo longitudinal máximo
Fonte: elaborada pela autora.
Para que você consiga vencer mais esta etapa do seu projeto estrutural de 
ponte, vamos estudar nesta seção a linha dos esforços, a influência de força 
cortante e o conceito de envoltória na viga principal.
Bons estudos!
Não pode faltar
Na área de Estruturas da Engenharia Civil, iniciamos os estudos anali-
sando estruturas comumente submetidas aos carregamentos imóveis, ou 
estáticos. Esses carregamentos não se movem ao longo da estrutura durante 
a vida útil da obra. De fato, muitos deles são realmente fixos em uma estru-
tura e, como exemplo, podemos mencionaro próprio peso dos elementos 
(como vigas, lajes ou pilares). Também são considerados como permanente 
o peso do revestimento de uma laje e o peso de uma parede que está apoiada 
25
em uma viga, entre outros. Essas cargas, além de estáticas (ou fixas), são 
constantes, ou seja, são cargas permanentes, pois sempre estarão atuando na 
estrutura. Além delas, aprendemos que as estruturas também estão subme-
tidas a cargas variáveis ou acidentais, as quais em determinados momentos 
da vida útil de uma estrutura podem não atuar, o que é o caso dos veículos 
que passam sobre as pontes e viadutos, das pessoas que utilizam uma passa-
rela para acessar o outro lado da via, das pessoas e móveis que ocupam uma 
sala de aula ou biblioteca, dos automóveis em um estacionamento ou de 
materiais que são estocados provisoriamente em um depósito. Dessas cargas, 
algumas são intrinsecamente móveis, como o trem que trafega por uma 
ponte, e outras cargas que podem se mover eventualmente, como os livros 
armazenados em uma biblioteca. 
Como vimos anteriormente, o procedimento para determinar os pontos 
de colocação das cargas móveis e acidentais, que acarretam valores limites dos 
esforços para uma determinada seção da estrutura, é feito com o auxílio dos 
diagramas de linhas de influência. Nesta etapa, vamos retomar essa aprendi-
zagem e compreender um pouco mais esse conceito, sob outras perspectivas.
Uma situação frequente e relevante ocorre em estradas que são proje-
tadas para certo tipo de carregamento, porém, em determinas situações, 
são utilizadas para o transporte de cargas excepcionais e maiores do que as 
previstas em projeto. Nesse contexto, pode-se citar o que ocorreu durante a 
construção da barragem de Itaipu, no Rio Paraná, em que a barragem servia 
para represar a água e para obter o desnível necessário para operação das 
turbinas. Na parte superior da barragem, estavam situadas as tomadas de 
água, comportas que permitem que a água passe por elas e alcance a caixa 
espiral, fazendo a turbina girar. Os caminhões que transportaram as turbinas 
e os geradores da usina tinham um peso muito maior do que o caminhão-tipo 
utilizado no projeto das pontes e viadutos das estradas de acesso à usina. Para 
resolver esse problema, foram projetados veículos especiais com vários eixos 
e rodas para garantir a distribuição da carga total do veículo sobre o tabuleiro 
das pontes e viadutos, e foi feita uma verificação das obras de arte para deter-
minar se resistiriam com segurança à passagem desses caminhões. Além 
disso, as obras que não apresentaram segurança adequada foram reforçadas.
Nesse contexto, vamos supor que devemos dimensionar uma viga de 
ponte rodoviária, conforme exemplificada na Figura 2.12 (a), a qual, por 
simplicidade, está sujeita a um caminhão usado para cálculo, conforme a 
Figura 2.12 (b), com dois eixos no sentido longitudinal: o dianteiro com peso 
de 30 kN e eixo traseiro de 60 kN.
26
Figura 2.12 | Modelo de cálculo de viga de ponte bil bapoiada (a) e veículo para cálculo (b)
Fonte: elaborada pela autora.
Surge então o seguinte questionamento, fundamental para o projeto 
que se deseja fazer: quais esforços solicitantes devem ser considerados para 
dimensionar a viga? A resposta para essa questão é bastante intuitiva, pois à 
medida que o veículo se desloca de uma extremidade para outra da viga, os 
esforços solicitantes nas diferentes seções transversais estarão variando de 
valores. Sendo assim, é necessário determinar, para cada seção transversal 
da viga, os valores máximos dos esforços, os esforços de forças cortantes, e 
utilizá-los no dimensionamento da viga.
Agora, considere uma seção S, indicada na Figura 2.13 e, diante disso, 
surge uma outra pergunta: que posição do veículo de cálculo produzirá a 
maior força cortante em S?
Figura 2.13 | Seção S da viga longitudinal de uma ponte rodoviária
Fonte: elaborada pela autora.
Embora a resposta para essa questão não seja tão intuitiva, uma resposta 
que pode surgir naturalmente é: quando o veículo de cálculo estiver próximo 
a S. Ainda não é muito claro afirmar se o eixo mais pesado deve estar sobre 
S ou o centro de gravidade do veículo de cálculo, contudo, percebe-se que 
será quando o veículo de cálculo estiver perto da seção S. Para responder a 
questões como essa, ou seja, para determinar os esforços limites produzidos 
por carregamento móveis é que as linhas de influência foram concebidas. 
Elas são diagramas que possibilitam determinar os esforços produzidos por 
cargas móveis, para uma seção S determinada. Para responder a perguntas 
desse tipo, as linhas de influência foram concebidas.
Assimile
Os diagramas de linha de influência dos esforços, como das forças 
cortantes, é um método para facilitar o cálculo de máximos esforços 
27
quando existem cargas móveis, contudo, não é o único método possível 
para determinar esses esforços. Observe que o cálculo pode ser feito 
conforme aprendido anteriormente em Estruturas Isostáticas para cargas 
estáticas, determinando valores de forças cortantes para várias posições.
Força cortante máxima e mínima na viga principal
Por definição, linha de influência de um esforço, na seção fixa S, é o diagrama 
que fornece um valor de esforço produzido por uma carga unitária móvel, 
adimensional, a qual percorre por toda a extensão de uma viga. Ou seja, com isso, 
entende-se que, utilizando a definição de linha de influência, basta supor uma 
força unitária esteja percorrendo a viga e determinar o valor do esforço de força 
cortante que essa força produzirá em S, quando estiver em uma posição qualquer 
da viga. Graficamente, indicaremos o valor de força cortante sob a posição da 
carga que ocorre em S. Para o exemplo supracitado, tem-se o diagrama de linha 
de influência de força cortante abaixo, conforme Figura 2.14.
Figura 2.14 | Diagrama de forças cortantes na seção S
Fonte: elaborada pela autora.
Para o caso da viga de ponte, do tipo biapoiada com balanços nas extremi-
dades, que é o caso do projeto no qual você está trabalhando, devemos visua-
lizar onde ocorrem os máximos esforços cortantes para determinar o esforço 
limite, devido ao carregamento permanente e carregamentos móveis. Para 
comprovar essa informação, vemos os possíveis diagramas de forças cortantes 
(Q) para diferentes posições de carga concentrada P, conforme Figura 2.15.
Figura 2.15 | Diagramas de forças cortantes para carga P em diferentes posições
Fonte: elaborada pela autora.
28
Diante disso, é possível admitir uma seção de análise S, como uma 
posição próxima ao apoio, interna ao vão, ou seja, analisar a força cortante a 
direita do apoio móvel para elaborar o desenho do diagrama de LI de forças 
cortantes, conforme Figura 2.16.
Figura 2.16 | Analisando a seção S dos diagramas de forças cortantes
Fonte: elaborada pela autora.
Sendo assim, é possível construir a LI de forças cortantes para a seção S 
analisada, que apresentara maiores valores do esforço analisado.
Figura 2.17 | LI de forças cortantes para a seção a direita do apoio esquerdo
 
Fonte: elaborada pela autora.
Influência dos coeficientes de impacto na força cortante na 
viga principal
Agora, com a LI de forças cortantes em mãos, para uma seção S, que 
causa maior esforço de forças cortantes no caso da viga analisada, é possível 
acrescentar os carregamentos sobre esse diagrama e, diante disso, determinar 
a máxima força cortante da viga.
Reflita
Para uma viga biapoiada, a máxima força cortante ocorre nas seções 
próximas ao apoio na parte interna do vão. Por isso admitimos a seção 
de análise S próxima a um dos apoios. O que ocorre quando anali-
sando uma seção S no meio do vão? Podemos obter o esforço máximo 
devido à força cortante (máximo positivo ou máximo negativo) no vão 
e comparar com o esforço cortante no apoio. Se transferirmos essa 
proporção para o dimensionamentode armaduras, qual a região mais 
crítica para a força cortante: próximo aos apoios ou no meio do vão? E 
quanto às armaduras, qual região deve conter maior área de aço por 
seção transversal?
29
Para as cargas permanentes, determinadas em uma seção anterior deste 
estudo, atuantes na viga principal longitudinal da ponte, a força cortante 
máxima, ,g máxQ , é dada por:
Figura 2.18 | LI de forças cortantes para seção a direita do apoio AP1
Fonte: elaborada pela autora.
Sendo que, para o caso do diagrama de LI de forças cortantes, a ordenada 
máxima do diagrama é conhecida, pois, quando uma carga unitária, P = 
1, está localizada imediatamente a direita do apoio AP1, a força cortante é 
aproximadamente igual a 1. Portanto, no diagrama de linha de influência de 
forças cortantes, baseado em uma carga unitária, apresenta uma ordenada 
conhecida. Com isso, as demais podem ser obtidas através da geometria, por 
meio da relação de triângulos.
3 51 2 41
25 4,50 20,50 12,50 4,50 4,50
h hh h h= = = = =
E a força cortante máxima, devido aos carregamentos permanentes, é 
dada por:
1 1
1
2
3
4
5
,
5
( 4,50) ( 4,50)(53,66 44,84)) (44,84 ) ( )
2 2 2
(1 )(1 25) (53,66 4
(1
4,84)(45,47 1) (44,84 ) ( 4,50) (32,20 )
2 2 2
( 4,50)( 4,50)(53,66 44,84) (53,66( ) (111,75 ) (44
11,
,84 ) (
2 2
75
2
g máxQ
h hh
h h
hh h
´ ´-+ ´ + ´ +
+´ -´ + ´ + ´ ´ + ´ +
´´- -´ - ´ - ´ -
= ´
5( 4,50)44,84) )
2 2
h ´´
Para a máxima força cortante devido a cargas móveis acidentais, ,q máxQ , o 
carregamento móvel deve ser locado sobre as ordenadas positivas no 
diagrama de LI de forças cortantes. Portanto, ao locar o carregamento móvel, 
deve-se colocar sobre as maiores ordenadas, os maiores carregamentos. Com 
isso, tem-se:
30
Figura 2.19 | LI de forças cortantes para seção a direita do apoio AP1
Fonte: elaborada pela autora.
Seguindo os carregamentos móveis e LI da Figura 2.8, tem-se:
3 51 2 41
25 4,50 1,50 23,50 22,0 20,50
h hh h h= = = = =
1 2 2
3 4
5 5
,
( ) ( 1,50)3,0) (8,37 ) 182,4 (1 )
2 2
(1 ) ( 20,50)(8,37
(
) 4,50) (25,54 )
25,54
2 2
q máxQ
h h h h h
h h
+ ´´ + ´ + ´ + + +
+ ´´ ´ + ´
= ´
Com isso, o valor de força cortante máxima na viga principal longitudinal 
da viga é:
, ,máx g máx q máxQ Q Q= +
O coeficiente de impacto vertical foi definido na Seção 1.3 e acrescentado 
aos valores do trem-tipo longitudinal máximo calculado para a ponte em 
estudo. Alguns autores abordam que esse valor de coeficiente j também 
poderia ser aplicado aos valores de momentos fletores encontrados, em vez 
de acrescidos aos carregamentos (MARCHETTI, 2008). De qualquer forma, 
seja acrescentado nos carregamentos ou nos esforços, o coeficiente de 
impacto sempre deve ser considerado no caso de cargas rodoviárias móveis, 
conforme NBR 7188 (ABNT, 2013).
Ao adotar diversas seções S ao longo da estrutura, é possível calcular 
diversos valores de forças cortantes, obtendo a envoltória de forças cortantes. 
As seções relevantes podem ser definidas pelo engenheiro calculista respon-
sável do projeto.
31
Exemplificando
Para representar graficamente uma envoltória de esforços, é neces-
sário determinar os valores de forças cortantes para diversas seções 
S, ao longo da viga. Veja um exemplo na Figura 2.20. Ao desenhar a LI 
para cada seção, deve-se obter o máximo e mínimo esforço. Com todos 
esses valores de máximos e mínimos, desenha-se uma envoltória como 
exemplo abaixo, de uma viga biapoiada, para um determinado carre-
gamento. É possível identificar que, para uma mesma seção calculada, 
encontrou-se um valor de força cortante máximo de 70 kN (positivo) e 
mínimo de 35 kN (negativo).
Figura 2.20 | Envoltória de forças cortantes para uma viga biapoiada
Fonte: elaborada pela autora.
Note que a linha de influência é calculada para uma seção S. Ao juntar 
os valores de todas as seções, tem-se a envoltória de forças cortantes 
para a viga completa.
Ao adotar uma seção no meio do vão, teríamos a seguinte condição:
Figura 2.21 | LI de forças cortantes para seção no meio do vão
Fonte: elaborada pela autora.
32
Seguindo os carregamentos móveis e LI da Figura 2.8, tem-se:
1 4 4
2 3,
( 4,50) (0,50 ) ( 8)) 182,4 (0,5 ) (8,37 4,50) (25,54(25,54 )
2 2 2q máx
Q h h hh h´ + ´+ ´ + + + ´ ´ + ´= ´
Conceito de envoltória de força cortante
Para a envoltória dos esforços de forças cortantes, já temos dois valores de 
forças cortantes máximas. Um valor de força cortante para uma seção a direita 
do apoio AP1 e um valor de força cortante para uma seção no meio do vão. 
As demais seções podem ser obtidas seguindo o mesmo desenvolvimento.
Pesquise mais
Para compreender mais sobre técnicas fundamentais de análise dos 
elementos estruturais, sugiro pesquisar o capítulo 8 do o livro Funda-
mentos da análise estrutural, de Leet, Uang e Gilbert (2010), com foco 
nas páginas 266-271. Você encontra essa obra na Biblioteca Virtual. 
LEET, K. M.; UANG, C.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estru-
tural. 3. ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2008.
Você já está preparado para determinar os esforços limites de forças 
cortantes na viga principal do projeto da ponte que você está envolvido. Que 
tal encarar esse problema?
Sem medo de errar
Para determinar a máxima força cortante devido a um carregamento 
permanente, pode-se utilizar a técnica de LI de forças cortantes. Conforme 
exemplificado na Figura 2.18, tem-se que para os cálculos das ordenadas, os 
valores são determinados de acordo com o seguinte:
3 51 2 41
25 4,50 20,50 12,50 4,50 4,50
h hh h h= = = = =
1 0,18h = 2 0,82h = 3 0,50h = 4 0,18h = 5 0,18h =
E a força cortante máxima, devido aos carregamentos permanentes, é 
dada por:
33
,
(0,18 4,50) (53,66 44,84) (0,18 4,50)) (44,84 ) ( )
2 2 2
(1 25) (53,66 44,84) (1 0,82)(45,47 1) (44,84 ) ( 4,50) (32,20 0,50)
2 2 2
(53,66 44,84) (0,18 4,50) (0,18( ) (111,75 0,18) (44,84
2
(111,75 1
2
0, 8g máxQ
´ - ´+ ´ + ´ +
´ - +´ + ´ + ´ ´ + ´ +
- ´ ´´ - ´ -
´
´
=
4,50))
2
(53,66 44,84) (0,18 4,50)( ) 641,91
2 2
kN
-
- ´´ =
De acordo com a Figura 2.19, a força cortante máxima devido às cargas 
móveis, para a seção S adotada (a direita do apoio AP1), é de:
3 51 2 41
25 4,50 1,50 23,50 22,0 20,50
h hh h h= = = = =
1 0,18h = 2 0,06h = 3 0,94h = 4 0,88h = 5 0,82h =
,
(0,18 0,06) (0,06 1,50)3,0) (8,37 ) 182,4 (1 0,94 0,88)
2 2
(1 0,82) (0,82 20,50)(8,37 ) 4,50) (25,54 ) 7
(25,
72,88
2 2
54q máxQ
kN
+ ´´ + ´ + ´ + + +
+ ´´ ´ + ´ =
= ´
Com esses cálculos, você acabou de determinar os esforços máximos de 
força cortante atuantes da viga longitudinal da ponte. No presente estudo, 
você percebeu que o uso de LI de forças cortantes permite agilidade no 
cálculo dos esforços limites em uma viga principal de uma ponte de concreto 
armado, pois ao aplicar o diagrama de LI de forças cortantes, torna-se mais 
claro identificar qual a posição do carregamento móvel que causa o valor 
limite de força cortante para uma determinada seção. Na próxima etapa 
de estudos, já será possível aprendermos a dimensionar a armadura de aço 
(estribos) para resistir a esses esforços que você encontrou.
Avançando na prática
Análise estrutural de força cortante mínima na 
viga principal
Para o dimensionamento de uma estrutura, como o caso de uma viga de 
ponte, você deve determinar os valores limites de forças cortantes para cada 
seção ao longo da viga. Com as diversas posições das cargas acidentais ao 
longo da viga, é possível calcular os valores extremos (máximos e mínimos 
34
de um esforço). Já discutimos que uma alternativa para esse problema seria 
analisar a estrutura para diversas posições das cargas móveis e selecionar os 
valores extremos (máximose mínimos). Contudo, esse procedimento pode 
ser demorado e por isso será utilizado o diagrama de LI de forças cortantes 
para o cálculo. Determine, para uma seção S a direita do apoio AP1, qual 
o valor mínimo de forças cortantes devido aos carregamentos móveis 
acidentais na viga de ponte em estudo.
Resolução da situação-problema
Para determinar o valor mínimo de forças cortantes devido a cargas 
móveis acidentais, 
mínq
Q , tem-se a aplicação dos seguinte carregamentos, 
conforme a Figura 2.22:
Figura 2.22 | LI de forças cortantes para seção a direita do apoio AP1.
Fonte: elaborada pela autora.
É importante relembrar que a carga móvel acidental pode ocorrer ou não 
na estrutura, de acordo com a necessidade de, nos cálculos, alcançarem-se 
valores limites. Por isso, as cargas maiores (devido às rodas do veículo-tipo) 
foram posicionadas sobre as maiores ordenadas e a multidão (que repre-
sentam os veículos menores) foi locada de acordo com a possibilidade de 
espaço sobre a estrutura. Com isso, para a seção S, o valor de força cortante 
mínimo ocorre quando as cargas móveis estão posicionadas no trecho de 
diagrama de LI de forças cortantes negativo. Dessa forma, tem-se:
31 21
25 1,50 3,0 4,50
hh h= = =
1 0,06h = 2 0,12h = 3 0,18h =
35
,min
( 0,18 4,50)) 182,4 ( 0,06 0,12 0,18) 69,(8,37 05
2q
kNQ = - ´ + ´ - - -´ =-
Faça valer a pena
1. Em um projeto de estruturas submetidas a cargas fixas, os esforços 
internos podem ser determinados facilmente, conforme a teoria de Estru-
turas Isostáticas. Já em estruturas solicitadas por cargas móveis, os esforços 
internos variam de acordo com a posição de atuação das cargas. Sendo assim, 
a análise minuciosa para esse caso deve ser feita analisando diversas seções 
ao longo da estrutura, pois, para cada posição de carga móvel, é possível 
determinar um valor máximo e mínimo de esforço resistente. Para resolução 
desse problema, podemos utilizar o método de linha de influência (LI).
Diante do exposto, assinale a alternativa que contém as afirmações verdadeiras.
a. Para análise de uma viga de ponte, submetida a carregamentos 
móveis, o principal é determinar os esforços de forças cortantes 
atuantes sempre no meio do vão, que é a seção na qual sempre encon-
traremos os valores limites de máximos e mínimos. Com esses valores 
em mãos, o Engenheiro de Estruturas está capacitado para o correto 
dimensionamento da estrutura.
b. Para cada seção analisada, ao longo de uma viga de ponte, é possível 
determinar um valor máximo de força cortante, bem como um valor 
mínimo de força cortante. Com o diagrama de LI, é possível identi-
ficar onde se deve posicionar o carregamento móvel para encontrar 
esses valores limites da seção em estudo. Ao analisar muitas seções 
ao longo da estrutura, encontramos vários valores limites. Com esses 
valores calculados, obtemos a envoltória dos esforços.
c. Diferentemente do que ocorre com carregamentos estáticos, os 
valores de forças cortantes limites em uma estrutura dependem da 
seção analisada, para uma carga móvel. Contudo, cargas móveis 
são carregamentos específicos que ocorrem apenas em estradas de 
acesso a grandes construções, como barragens e usinas hidrelétricas, 
por exemplo, que recebem caminhões de grandes pesos carregando 
equipamentos como turbinas e geradores de energia.
d. A determinação de valores máximo e mínimo de forças cortantes em 
uma seção de estudo, ao longo de uma viga de ponte, pode ser calcu-
lada com base em LI. Porém, para determinar o máximo valor de força 
cortante, devemos aplicar os carregamentos permanentes e carrega-
mentos móveis apenas nas posições de diagramas positivos de LI.
36
e. Para obter a força cortante máxima em uma seção de uma viga de 
ponte, é necessário analisar carga permanente e variável (móvel). 
Deve-se analisar três casos: a aplicação da carga permanente; a soma 
da carga permanente com carregamento móvel; e apenas a ação do 
carregamento móvel.
2. O esforço cortante representa o efeito de uma força cisalhante em uma 
seção transversal de uma estrutura em barra, como é o caso de uma viga de 
ponte submetida a passagem de um caminhão. Para determinar esse esforço, 
devido ao carregamento móvel atuante, usamos a linha de influência (LI). A 
LI é utilizada para o cálculo dos esforços em estruturas com cargas móveis, 
como é o caso de uma viga de ponte, pois garante que, para uma determinada 
seção de análise, a LI é traçada e os carregamentos aplicados vão causar os 
esforços limites (máximos ou mínimos) para a seção analisada.
Um carregamento móvel é composto por dois eixos, de 10 kN e 12 kN, e uma 
ponte de viga de comprimento L conforme a figura a seguir:
Figura | Carregamento móvel e viga
Fonte: elaborada pela autora.
Com base nesses dados, determine a LI de forças cortantes e, na sequência, 
determine qual deve ser a posição do carregamento móvel capaz de provocar 
os maiores valores de forças cortantes em módulo (maior valor, seja positivo 
ou negativo) em uma seção S, definida por:
Figura | Viga
Fonte: elaborada pela autora.
Diante disso, assinale a afirmação correta.
37
a. A posição que provoca o maior valor de força cortante em módulo 
corresponde à máxima força cortante negativa e, portanto, a roda de 
12 kN deve ficar sobre a seção S e a roda de 10 kN à sua esquerda.
b. A posição que provoca o maior valor de força cortante em módulo 
corresponde à máxima força cortante negativa e, portanto, a roda de 
10 kN deve ficar sobre a seção S e a roda de 12 kN à sua esquerda.
c. A posição que provoca o maior valor de força cortante em módulo 
corresponde à máxima força cortante positiva e, portanto, a roda de 
10 kN deve ficar sobre a seção S e a roda de 12 kN à sua direita.
d. A posição que provoca o maior valor de força cortante em módulo 
corresponde à máxima força cortante positiva e, portanto, a roda de 
12 kN deve ficar sobre a seção S e a roda de 10 kN à sua direita.
e. A posição que provoca o maior valor de força cortante em módulo 
corresponde à máxima força cortante negativa e, portanto, a roda de 
12 kN deve ficar sobre a seção S e a roda de 10 kN à sua direita.
3. No contexto da análise estrutural, vários carregamentos devem ser consi-
derados para cálculo, podendo classificá-los em dois tipos principais: cargas 
permanentes e cargas acidentais.
As cargas permanentes são fixas e atuam com a mesma intensidade durante 
maior parte da vida útil da estrutura. Mediante esses carregamentos, é 
possível determinar os esforços solicitantes. As cargas acidentais são cargas 
que variam no tempo e no espaço. Ainda, as cargas que apresentam variação 
espacial são denominadas cargas móveis. Para essas cargas, deve-se verificar 
as posições mais desfavoráveis que podem ocupar sobre a estrutura a fim de 
determinar os esforços solicitantes. A LI é utilizada para o cálculo dos esforços 
em estruturas com cargas móveis, como é o caso de uma viga de ponte, pois 
garante que, para uma determinada seção de análise, a LI é traçada e os carre-
gamentos aplicados vão causar os esforços limites (máximos ou mínimos) 
para a seção analisada.
Com um carregamento móvel definido, com dois eixos, conforme abaixo,
Figura | Carregamento móvel
Fonte: elaborada pela autora.
38
Atuando ao longo de uma viga de ponte biapoiada, definidas por,
Figura | Viga de ponte
Fonte: elaborada pela autora.
Determine a LI de forças cortantes e, com base nesse diagrama, determine 
qual deve ser a posição do carregamento móvel capaz de provocar os maiores 
valores de forças cortantes em módulo (maior valor, seja positivo ou negativo) 
em uma seção S e assinale a afirmação com a resposta correta.
a. 20,10 kN
b. 38,95 kN
c. 52 kN
d. 73,55 kN
e. 109,0 kN
39
Seção 3
Dimensionamento da viga principal
Diálogo aberto
Caro aluno, esta terceira seção daUnidade 2 aborda o dimensionamento 
da viga longitudinal da ponte que você está projetando. Com isso, é possível 
definir as áreas de armadura necessárias para a seção de esforço máximo da 
ponte, seja devido ao momento fletor ou ao esforço cortante.
De acordo com o que foi visto nas seções anteriores, para a viga longitudinal 
principal da ponte em análise, determinou-se os valores limites, máximos e 
mínimos, para uma seção crítica. Com esses valores em mãos, é possível partir 
para um dimensionamento adequado da estrutura, com o objetivo de se alcançar 
uma capacidade resistente segura para o adequado funcionamento da estru-
tura, conforme orientado por normas brasileiras. Em projetos de estruturas de 
concreto armado, são utilizados barras ou fios de aço, padronizados por uma 
norma específica, de acordo com o valor característico de resistência ao escoa-
mento. Dessa forma, o dimensionamento é necessário para determinar a quanti-
dade necessária de aço a fim de garantir a segurança da estrutura de concreto, 
verificada quanto aos estados limites últimos. Grande parte dos elementos estru-
turais, na Engenharia de Estruturas, pode ser dimensionada por meio de um 
método simplificado, e esse conceito será abordado neste material. Esse método 
é prático e suficiente para atender a sua necessidade com esse projeto.
Agora, vamos relembrar o projeto em que você está inserido. Você foi convi-
dado pelo seu chefe, da empresa em que trabalha, para compor a equipe respon-
sável pelo cálculo estrutural de uma ponte a ser construída na cidade de São Paulo. 
O projeto estrutural já está em andamento e, até o momento, vocês determinaram 
o tipo estrutural da ponte e todos os detalhes geométricos, conforme a Figura 2.23.
Figura 2.23 | Seção transversal com mesa colaborante destacada (medidas em cm)
Fonte: elaborada pela autora.
40
Na sequência, calcularam os carregamentos solicitantes, devido às cargas 
permanentes (G) e aos carregamentos móveis (Q), e, com base nessas cargas, 
determinaram os máximos esforços de momentos fletores:
 2747,50 g máxM kN m= × 2747,50 g mínM kN m= ×
 4575,10 q máxM kN m= × 992,50 q mínM kN m= ×
E forças cortantes:
 641,91 g máxQ kN= 641,91 g mínQ kN=
 772,88 q máxQ kN= 69,05 q mínQ kN=
Agora, sua missão nesta etapa é prosseguir com o dimensionamento e 
determinar as armaduras necessárias para compor essa estrutura. A armadura 
utilizada é do tipo aço CA-50 e você foi informado que o cobrimento das 
armaduras exigido pela sua empresa é de 10 cm, para garantir a durabilidade 
das estruturas ao longo dos anos. O seu projeto estrutural de uma ponte está 
cada vez mais próximo de se tornar completo e você é o grande responsável 
por concluir essa nova missão.
Bons estudos!
Não pode faltar
Dimensionamento das armaduras 
Para projetar um elemento estrutural, garantindo o grau de segurança 
adequado, é indispensável a verificação para que não ocorra uma série de 
estados considerados como limites da estrutura. Portanto, as estruturas de 
concreto são dimensionadas e verificadas para atender às condições dos 
Estados Limites Últimos (ELU), que correspondem à ruína ou ao colapso 
das estruturas, e às condições dos Estados Limites de Serviço, ou de utili-
zação (ELS), que estão relacionados à aparência, à durabilidade, ao conforto 
do usuário e à funcionalidade da estrutura durante o seu período de uso. 
A norma brasileira NBR 6118 (ABNT, 2014) define as verificações a serem 
realizadas, para garantir a segurança das estruturas de concreto, calculadas 
para os estados limites supracitados.
Para realizar as verificações das estruturas, seja no ELU ou no ELS, as 
cargas utilizadas podem sofrer variações de majoração ou minoração de sua 
intensidade, de acordo com a sua natureza e probabilidade de ocorrência. A 
41
fim de determinar as solicitações referentes a esses estados limites, são utili-
zadas as combinações de ações, no caso de estruturas de concreto. A NBR 
8681 (ABNT, 2003) tem como objetivo fixar os requisitos exigíveis para a 
verificação da segurança de estruturas, definindo critérios de quantificação 
das ações e de resistências a serem consideradas nos projetos estruturais. 
Dessa forma, a norma apresenta coeficientes para combinações últimas de 
carregamento e combinações de serviço.
Para o dimensionamento das armaduras (longitudinais e transversais) 
das estruturas de concreto armado, no caso de pontes e viadutos, verificadas 
para o estado limite último (ELU), é necessário considerar a combinação 
última normal.
Segundo a norma, deve-se considerar os seguintes critérios:
a. As ações permanentes devem ser consideradas em todas as combina-
ções de ações.
b. Para a ação variável: em cada combinação, uma das ações variáveis é 
considerada principal, atuando integralmente com os valores caracte-
rísticos e, caso ocorram mais ações variáveis, essas devem ser conside-
radas secundárias e, portanto, com seus valores reduzidos de combi-
nação ( )j .
Sendo assim, tem-se a seguinte equação:
( ), 1, 0 ,. . .d g g k q q k j qj kF F F Fg g j=å + +å
Onde:
gg = qg = coeficiente de ponderação.
,g kF = ação permanente com valor característico.
1,q kF = ação variável principal com valor característico.
0 jj = coeficiente de minoração.
 ,qj kF = ação variável secundária com valor característico.
De acordo com a NBR 8681 (ABNT, 2003), para o caso de ações perma-
nentes diretas e ações variáveis agrupadas, os coeficientes são dados pela 
Tabela 2.1 e Tabela 2.2.
42
Tabela 2.1 | Ações permanentes diretas e agrupadas na combinação normal
COMBINAÇÃO TIPOS DE ESTRUTURA
EFEITO
DESFAVORÁVEL FAVORÁVEL
Normal
Grandes pontes 1 1,30 1,0
Edificações tipo 1 e pontes em 
geral 2
1,35 1,0
Edificação tipo 2 3 1,40 1,0
1 Grandes pontes são aquelas em que o peso próprio da estrutura supera 75% da totalidade 
das ações.
2 Edificações tipo 1 são aquelas em que as cargas acidentais superam 5 kN/m².
3 Edificações tipo 2 são aquelas em que as cargas acidentais não superam 5 kN/m².
Fonte: adaptada de NBR 8681 (ABNT, 2003, p. 11).
Tabela 2.2 | Ações variáveis consideradas conjuntamente na combinação normal
COMBINAÇÃO TIPOS DE ESTRUTURA COEFICIENTE DEPONDERAÇÃO
Normal
Pontes e edificações tipo 1 1,5
Edificação tipo 2 1,4
Fonte: adaptada de NBR 8681 (ABNT, 2003, p. 16).
Dimensionamento das armaduras longitudinais de flexão
Além do conhecimento sobre as combinações que utilizaremos para os 
esforços encontrados, é importante relembrar a definição da seção trans-
versal T, segundo as recomendações na norma NBR 6118 (ABNT, 2014). Para 
o caso de uma viga de concreto armado ligada às lajes maciças, é necessário 
considerar a ação conjunta desses dois elementos. Esse efeito é considerado 
por meio da adoção de uma largura colaborante da laje associada à viga. Para 
definir as dimensões desta seção T, é necessário adotar os critérios orien-
tados pela norma. Para determinação da geometria, tem-se como referência 
as dimensões apresentadas na Figura 2.24.
43
Figura 2.24 | Largura de mesa colaborante
Fonte: adaptada de NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 88).
Para o caso de uma viga longitudinal contínua, como ocorre no projeto 
de ponte em análise, a norma permite calcular uma largura de mesa colabo-
rante, como demonstrada anteriormente, que pode ser utilizada nas seções 
com tensões de compressão na região da mesa, como nos trechos em que 
ocorre o momento fletor positivo no vão. A maior área de concreto auxilia 
nos valores de tensões de compressão para o equilíbrio das tensões no dimen-
sionamento das peças. A distância a é a distância estimada em função do 
comprimento do tramo considerado. No caso de uma viga com balanços nas 
duas extremidades, como a da viga longitudinal da ponte em análise, tem-se: 
0,60a l= × (NBR 6118, ABNT,2014).
Assimile
A utilização de uma viga retangular com uma largura de mesa colabo-
rante foi uma medida definida pela norma a fim de se estabelecer a 
forma mais realista de como ocorrem as distribuições dos esforços 
internos, das deformações, tensões e dos deslocamentos para a viga 
quando associada a uma laje maciça. 
Não considerar uma largura de mesa colaborante no dimensionamento à 
flexão na seção do meio do vão representa um dimensionamento desfa-
vorável e distante do que ocorre realmente no conjunto estrutural.
44
Com essas informações, é possível realizar o cálculo da armadura longi-
tudinal de flexão, devido ao momento fletor máximo, segundo a rotina de 
cálculo proposta por Pinheiro, Muzardo e Santos (2010), que nos fornece 
uma tabela para resolução do método simplificado de cálculo. Para utilizar 
esse método de tabelas, tem-se inicialmente o cálculo do coeficiente ck , 
dado por:
2.w
c
d
b dk
M
=
Sendo:
wb = largura da seção transversal, em cm. Para vigas seção T, largura da 
alma. Para momentos fletores positivos, com laje colaborante, usar fb .
d = altura útil da seção transversal, em cm.
dM = momento fletor de cálculo (mediante as combinações dos valores 
de gM e qM ), em .kN cm .
Em seguida, com o auxílio da tabela de flexão simples em seção retangular 
(cujo trecho é demonstrado na Tabela 2.3), que pode ser utilizada para 
resolução de métodos simplificados, identifica-se o valor de sk , correspon-
dente ao valor de ck calculado anteriormente. Nessa etapa, é importante a 
definição da resistência característica à compressão do concreto ( )ckf e resis-
tência à tração do aço ( )ykf . Com o auxílio da expressão, tem-se:
.s
s
d
A dk
M
=
E com essa expressão, temos como incógnita o valor de área de aço sA .
Tabela 2.3 | Trecho da tabela para cálculo de flexão simples
FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR – ARMADURA SIMPLES
c
X
d
b = 
2
2( / )c
d
bdk cm kN
M
= 2( / )ss
d
A dk cm kN
M
= 
D
O
M
Í
N
I
OC10 C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-25 CA-50 CA-60
0,02 103,8 69,2 51,9 41,5 34,6 29,7 25,9 23,1 20,8 0,046 0,023 0,019
2
0,04 52,3 34,9 26,2 20,9 17,4 15,0 13,1 11,6 10,5 0,047 0,023 0,020
0,06 35,2 23,4 17,6 14,1 11,7 10,1 8,8 7,8 7,0 0,047 0,024 0,020
0,08 26,6 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,7 5,9 5,3 0,048 0,024 0,020
Fonte: adaptada de http://www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto/Textos/20%20Tabelas%20gerais.pdf. 
Acesso em: 2 ago. 2019.
45
Sendo assim, de acordo com as expressões mencionadas, é possível calcular 
as áreas de aço necessárias para a viga longitudinal. É importante lembrar que 
as áreas calculadas devem ter valores maiores do que a área mínima normativa 
da armadura de tração, que é dada por uma taxa mínima absoluta de 0,15%r= 
da área de concreto da seção transversal, ou seja, 0,15% cAr= . Ou seja, a área 
de armadura deve ser sempre maior do que a armadura mínima necessária, 
conforme orientação da norma técnica brasileira.
Reflita
Se um esforço de momento fletor varia ao longo de uma viga, como 
uma viga de ponte, como devemos garantir que todas as seções estejam 
com área de aço devidamente necessárias, devido à flexão? Em um 
projeto real, o dimensionamento deve ser calculado para várias seções 
ao longo da viga, como na região de máximo momento fletor positivo 
(vão) e negativo (apoios), bem como nas regiões próximas dos apoios. 
A armadura necessária para um valor de máximo momento fletor 
positivo é necessária ao longo de toda a viga? Ou é possível racionalizar 
materiais e garantir que cada trecho da viga seja executado de acordo 
com a quantidade de aço necessária?
Além da armadura de flexão, devido ao momento fletor, outras armaduras 
devem ser previstas na construção de uma viga, mediante a ocorrência de outros 
esforços, como o caso das forças cortantes. Como a armadura longitudinal não é 
projetada para resistir aos esforços de forças cortantes, nesse momento, é neces-
sário determinar o dimensionamento da armadura transversal. Para isso, o 
modelo utilizado será feito conforme o Modelo de Cálculo I, segundo orientação 
da Seção 17.4.2.2., da norma NBR 6118 (ABNT, 2014). Esse método constata 
diagonais de compressão com inclinação de 45° , em relação ao eixo horizontal 
longitudinal da viga, fazendo uma analogia com o comportamento de estruturas 
treliçadas, conforme exemplificado na Figura 2.25.
Figura 2.25 | Analogia de treliça
Fonte: Pinheiro, Muzardo e Santos (2010, p. 3).
46
Exemplificando
O modelo clássico de treliça é uma teoria idealizada por Ritter (1899) 
e Mörsch (1908), em que se idealizou uma analogia entre uma treliça 
e uma viga fissura. Após a fissuração de uma viga biapoiada de seção 
transversal retangular, o seu comportamento é semelhante ao de uma 
treliça, quando analisamos o encaminhamento dos esforços. Na parte 
superior da viga, ou banzo superior da treliça, existe uma região de 
concreto comprimido. No trecho inferior, ou banco inferior, uma região 
tracionada é contida por uma armadura longitudinal de tração. Além 
disso, as diagonais comprimidas estão inclinadas e representam as 
fissuras. Por fim, os estribos representam as diagonais tracionadas em 
uma treliça, dispostos usualmente na vertical.
Essa analogia de elementos estruturais permite a correlação dos 
métodos de cálculo, de forma que é possível adotar esse modelo para 
os cálculos de área de armadura transversal (estribos) no dia a dia da 
Engenharia Estrutural, para o método simplificado.
Os passos para o desenvolvimento do método são apresentados a seguir:
c. Verificação da diagonal de compressão do concreto ( 2RdV ):
2 20,27. . . . Rd v cd wV f b da=
Onde:
2 1 250
ck
v
fa
æ ö÷ç= - ÷ç ÷ç ÷è ø
Com ckf em MPa .
d. Cálculo da armadura transversal ( 3RdV ), considerando a parcela de 
cV e swV .
3Rd c swV V V= + ou 3sw Rd cV V V= -
Onde:
( ).0,9. . cosswsw ywd
AV d f sen
s
a a
æ ö÷ç= +÷ç ÷ç ÷è ø
0,60. . .c ctd wV f b d=
,0,7 . ct m
ctd
c
f
f
g
=
47
Sendo:
3RdV = no cálculo da armadura transversal, adota-se ( )3 Rd Sd SdV V ouQ= .
wb = menor largura da seção, ao longo da altura útil d .
d = altura útil, ou seja, distância entre a borda comprimida de 
concreto até o centro de gravidade da armadura de tração.
s = espaçamento entre estribos.
ywdf = tensão na armadura transversal passiva não superior a 435 
Mpa.
a = inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal da viga, 
sendo 45 90a°£ £ ° .
Os valores de área de aço encontrados devem sempre ser superiores aos 
valores mínimos da norma, portanto:
,0,20.
. . 
ct msw
sw
w ywk
fA
b s sen f
r
a
= ³
Sendo:
swr = taxa de valores, retirado da Tabela 2.4.
swA = área da seção transversal da barra do estribo.
2/3
, 0,30.ct m ckf f= .
Tabela 2.4 | Valores mínimos de swr
AÇO
CONCRETO
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50
CA-25 0,1768 0,2052 0,2317 0,2568 0,2807 0,3036 0,3257
CA-50 0,0884 0,1026 0,1159 0,1284 0,1404 0,1580 0,1629
CA-60 0,0737 0,0855 0,0965 0,1070 0,1170 0,1265 0,1357
Fonte: Pinheiro, Muzardo e Santos (2010, p. 10).
Verificações de estado limite e fadiga nas armaduras da viga 
principal
Após o dimensionamento das armaduras, a norma NBR 6118 (ABNT, 
2014) sugere que seja verificado o estado limite último devido à fadiga, utili-
zando uma combinação frequente de ações, esforços permanentes (G) e 
acidentais (Q), de acordo com a expressão a seguir: 
48
1 1 2 . .d gk q k qjkF F F Fy y=å + +å
Segundo a norma NBR 8681 (ABNT, 2003), para verificação de vigas de 
pontes rodoviárias, tem-se 1 0,50y = .
Com isso, a norma orienta o cálculo no estádio II, definindo a posição da 
linha neutra e da inércia. A expressão utilizada é do conceito de resistência 
dos materiais e para o cálculo das tensões máximas ,máx sse mínimas ,mín ss na 
armadura longitudinal, tem-se, de forma resumida, as seguintes expressões:
( ),
,
. .e d máx II
máx s
II
M d x
I
a
s
-
=
( ),
,
. .e d mín II
mín s
II
M d x
I
a
s
-
=
Onde a posição da linha neutra é dada por:
2
2 2 1 3
1
4. .
2.II
a a a a
x
a
- ± -
=
E o valor do momento de inércia, de seção T, é dada por:
( ) ( ) ( )
323
2 '
..
. . . . . ²
12 2 3
w II ff f f
II f f II e s II s II
b x hb h h
I b h x A d x A d xa
æ ö -÷ é ùç ÷ç= + - + + - + -÷ ê úç ÷ ë û÷çè ø
¢
Onde:
wb = largura da alma (seção T).
fb = largura da mesa colaborante. Em momentos negativos, considerar 
f wb b= .
fh = espessura da mesa colaborante. Em momentos negativos, considerar 
0fh = .
sA = área de aço da armadura longitudinal tracionada.
'sA = área de aço da armadura longitudinal comprimida.
ea = razão entre módulo de elasticidade do aço e do concreto. Na falta de 
valores precisos, adotar 15 para carregamentos frequentes.
1a = wb .
( ) ( )2 2 f f w e s sa h b b A Aa ¢= é ù× - + × +ê úë û .
49
( ) ( )3 ² 2 . 'f f w e s sa h b b A d A daé ù- × - + × ×¢+êë= úû .
d = altura útil, em relação à armadura tracionada.
'd = altura útil, em relação à armadura comprimida.
A verificação devido à fadiga é concluída se a máxima variação de tensão 
calculada, ssD , para a combinação frequente de ações, obedecer à 
seguinte condição:
, f s sd fadfg sD £D×
Pela norma NBR 6118 (ABNT, 2014), deve-se adotar 1fg = . Os valores 
de ,sd fadfD são extraídos a partir das Tabelas 23.2 e 23.3 (resumidas pela 
Tabela 2.5) da norma NBR 6118 (ABNT, 2014):
Tabela 2.5 | Analogia de treliça
Armadura passiva, aço CA-50
Valores de , ,sd fad mínfD , para 62 10 ( )ciclos MPa´ 
Caso
( )mmf Tipo
10 12,5 16 20 22 25 32 40
Barras retas ou dobradas com 
25D f³ 190 190 190 185 180 175 165 150 1T
Barras retas ou dobradas com:
25D f<
5 20D mmf= <
8 20D mmf= ³
105 105 105 105 100 95 90 85
1T
Estribos
3 10D mmf= £ 85 85 85 - - - - - 1T
Ambiente marinho
Classe IV 65 65 65 65 65 65 65 65 4T
Barras soldadas (incluindo sol-
da por ponto ou das extremida-
des) e conectores mecânicos
85 85 85 85 85 85 85 85 4T
Fonte: adaptada de NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 197).
O efeito de fadiga nas armaduras de aço em casos de pontes de concreto 
armado é um fenômeno relacionado à ocorrência de ações dinâmicas repeti-
tivas, o que pode causar uma perda progressiva da resistência do material. 
Durante o projeto de pontes e viadutos, os elementos de concreto se 
apresentam suscetíveis à fadiga devido à concretagem em diferentes etapas, 
50
a concretos de idades diferentes, associada à ocorrência dos carregamentos 
cíclicos ou móveis.
Vigas estruturais pré-fabricadas e moldadas in loco 
As vigas longitudinais, que podem ser moldadas previamente (pré-mol-
dadas ou pré-fabricadas), estão em contato com pré-lajes moldadas anterior-
mente e com a capa de laje final, moldada in loco. Em casos de elementos 
estruturais pré-moldados (ou pré-fabricados), associados a elementos de 
concreto moldado in loco, pode ocorrer o aumento de seção resistente dos 
elementos, desde que seja garantida a transferência dos esforços por meio da 
interface entre esses dois sistemas construtivos.
Pesquise mais
Para saber mais sobre os elementos pré-fabricados, sobre seu compor-
tamento e evolução tecnológica, sugerimos a leitura do artigo a seguir, 
sobre a evolução dos pré-fabricados de concreto, que foi publicado em 
um evento sobre projetos em concreto pré-moldado.
SERRA, S. M. B.; FERREIRA, M. de A.; PIGOZZO, B. N. Evolução dos Pré-fa-
bricados de Concreto. In: ENCONTRO NACIONAL DE PESQUISA-PROJE-
TO-PRODUÇÃO EM CONCRETO PRÉ-MOLDADO, 1., 2005, São Carlos. 
Anais [...]. São Carlos: USP, 2005.
Sem medo de errar
O projeto estrutural da ponte a ser construída na cidade de São Paulo, do 
qual você está participando, está na etapa de dimensionamento e determinação 
das armaduras. Para o cálculo da área de aço de armadura longitudinal, devido 
ao momento fletor positivo máximo (meio do vão), deve-se:
1,30 1 ,50d g qM M M=å × + ×
, 1,30 2747,50 1 ,50 4575,10 10434,40 d máxM kN m=å × + × = ×
Para a definição da seção transversal da viga, segundo algumas dimensões 
previamente conhecidas (Figura 2.23) e considerando a mesa colaborante, 
tem-se já conhecidos os valores para a seção transversal da ponte em estudo:
0,10c m= e 2 4,85b m= 
Portanto, tem-se que segundo a Figura 2.23, os valores mínimos:
 1 20,50 2,42b b m£ × = 
51
( )3 0,1 0,1 0,60 25 1,50 b a m£ × = × × =
Sendo 0,25 wb m= , então, 3 1 1,50 0,25 2,42 4,17 f wb b b b m= + + = + + = .
Para o cálculo de área de aço para o máximo momento fletor positivo, 
deve-se adotar um cobrimento ( oc ) para o cálculo de d (altura útil). Sendo 
10 oc cm= previamente definido, tem-se:
200 1 0 190 d m= - =
2417 190 14,43
1043440c
k ×= =
Com auxílio da Tabela 2.3 sobre flexão simples em seção retangular, é neces-
sário adotar resistência do concreto e das barras de aço. Para 14,43ck = , 
adotamos ckf de 40 MPa , e, para aço CA-50, tem-se 0,023sk = . Sendo assim:
1900,023
1043440
s s
s
d
A d Ak
M
× ×= ® =
E, com isso, 126,31 ²sA cm= (adotando-se: 26 f 25).
Para a armadura mínima, admite-se uma cA simplificada de:
( )( ) 2417 25 200 20 10 25 14675 cA cm= × + - - × @
20,15% 0,15% 14675 22 cA cmr= = × = .
Para a armadura transversal:
1,30 1 ,50Sd g qQ Q Q=å × + ×
, 1,30 641,91 1 ,50 772,88 1993,80 Sd máxQ kN=å × + × =
2
401 1 0,84
250 250
ck
v
fa
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - = - =÷ ÷ç ç÷ ÷÷ç ÷ çè øè ø
Ajustando as unidades, tem-se:
2 2
40,27 0,27 0,84 25 190 3078 
1,40Rd v cd w
V f b d kNa= × × × = × × × × =×
Em seguida:
( )2/3, 0,7 0,3 0,7 1,75 
1,40
ckct m
ctd
c
ff
f MPa
g
× ××
= = =
0,60 0,60 0,175 25 190 498,75 c ctd wV f b d kN= × × × = × × × =
52
Sendo 3 , 1993,80 Rd Sd máxV Q kN= = .
3 1993,80 498,75 1495,05 sw Rd cV V V kN= - = - =
Com a expressão:
( )0,9 cosswsw ywd
AV d f sen
s
a a
æ ö÷ç= × × × +÷ç ÷ç ÷è ø
( ) ( )
21495,05 0,20 /
0,9 cos 0,9 1 90 43,5 90 cos90
sw sw
ywd
A V cm m
s d f sen sena a
æ ö÷ç = = =÷ç ÷ç ÷è ø × × + × × × °+ °
Então:
,0,20
 
ct msw
sw
w ywk
fA
b s sen f
r
a
= ³ ×
× ×
20,1404 3,51 /
25 90
sw swA A cm m
s sen s
= ® =
× × °
E,
( )2/3, 0,3 0,20 0,20 0,016
43,5
ckct m
ywk
ff
f
×
× = × =
Portanto, ( ) 2/ 3,51 /swA s cm m= .
Para a verificação da fadiga, adota-se:
, 1 1 2747,50 0,5 4575,10 5035,05 d máx gk q kM M M kN my=å + × = + × = ×
, 1 1 2747,50 0,5 992,50 3243,75 d mín gk q kM M M kN my=å + × = + × = ×
1 25 a cm=
( ) ( )2 2 20 417 25 15 126,31 0 19469 a cmé ù= × - + × + =ê úë û
( ) ( )23 20 417 25 2 15 126,31 190 0 876767 a cmé ù=- × - + × × × + =-ê úë û
( )219469 19469 4 25 876767
42,69 
2 25II
x cm
- ± - × × -
= =
×
( ) ( )
32
225 42,69 20417 20³ 20417 20 42,69 15 126,31 190 42,69 0
12 2 3II
I
æ ö × -× é ù÷ç= + × × - + + × × - +÷ç ê ú÷÷ç ë ûè ø
6 4 450,23 10 0,5023 III cm ou m= ×
53
Com isso:
( )
,
15 5035,05 1,90 0,43
221028,97 / ²
0,5023máx s
kN ms
× × -
= =
( )
,
15 3243,75 1,90 0,43
142394,36 / ²
0,5023mín s
kN ms
× × -
= =
( ) ,221028,97 142394,36 f sd fadfg × - £D
Da Tabela 2.5, com barras dobradas, para 26 f 25, tem-se:
, 175 sd fadf MPaD =
( )1,0 78634,61 1 75000 / ²kN m× £ \ Verificação da armadura longitudinal à 
fadiga: ok.
Avançando na prática
Resistência característica do concreto em 
estruturas de concreto armado
A resistência à compressão do concreto é a característica mecânica mais 
importante desse material. A norma NBR 8953 (ABNT, 2015) estabelece as 
classes do concreto