ProvaSub2-Calc30-06-2011

Prévia do material em texto

Prova SUB de Ca´lculo III SMA-0333.
Professor Marcelo Jose´ Saia
QUESTO˜ES NOTAS
.a
.a
NOME: .a
.a
.a
N.o USP: Total
Parte um: Se´ries de Poteˆncia
1. Determine o intervalo de convergeˆncia das se´ries de poteˆncia. Verifique se elas convergem
nos extremos deste intervalo.
∑ xn
(2n)n
∑ 1 + (−1)n
2
x
2. Determine a se´rie de poteˆncias em torno do 0 da func¸a˜o f(x) = excos.
3. Use se´rie de poteˆncias para calcular limx→0
cos (x+ pi
2
)
x
.
4. Determine a se´rie de potencias da soluc¸a˜o y(x) do PVI: {y′ − y = 0, com y(0) = 1}.
Parte dois: Se´ries de Fourier
1. Sabendo que
x2
2
=
L2
6
+
2L2
pi2
∞∑
n=1
(−1)n
n2
cos
npix
L
, calcule a se´rie de Fourier de x
3
6
− L2x
6
.
2. Calcule a soma da se´rie
∑∞
n=1
(−1)n
n2
.
3. Escreva a func¸a˜o f(x) = 1− x2, definida no intervalo [0, pi], como uma se´rie de cossenos.
Determine os pontos em que ocorre a igualdade entre a se´rie obtida e a func¸a˜o dada.
4. Determine a se´rie de Fourier de uma soluc¸a˜o y(x) da equac¸a˜o diferencial {y′−y = 1−x2}.
Use a se´rie de cossenos obtida no exerc´ıcio acima.
1