Prova2ACalc16-06-11

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Prova 2 de Ca´lculo III SMA-0333 - 16-06-2011
Professor Marcelo Jose´ Saia
QUESTO˜ES NOTAS
1.a
2.a
NOME: 3.a
4.a
N.o USP: Total
1. a) Dada a func¸a˜o f(x) = x, para −L < x ≤ L e perio´dica de per´ıodo 2L, mostre que a
sua se´rie de Fourier e´ dada por
2L
pi
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
sen
npix
L
.
b) Determine os valores de x para os quais esta se´rie converge para a func¸a˜o f(x). De-
termine os limites de convergeˆncia para os outros valores de x.
2. a) Determine a forma complexa da se´rie de Fourier da func¸a˜o: f(x) = x, para −L < x ≤ L
e perio´dica de per´ıodo 2L.
b) Calcule a se´rie de Fourier de
x2
2
para −L < x ≤ L e perio´dica de per´ıodo 2L.
3. a) Escreva a func¸a˜o f(x) = x, definida no intervalo [0, pi], como uma se´rie de cossenos.
b) Determine a se´rie de Fourier da soluc¸a˜o y(x) da equac¸a˜o diferencial
{y′ − y = x, com y(0) = 1.
4. a) Mostre que pi
2
12
=
∑∞
n=1
(−1)n+1
n2
.
b) Use a identidade de Parseval na se´rie de Fourier do exerc´ıcio 1. para descrever uma
se´rie nume´rica que converge para pi4.
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