Campo Elétrico

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O Campo ElétricoO Campo Elétrico
 Imaginemos uma carga q no espaço 
 produzindo um campo elétrico
carga de
prova
q
0F

0q
 Qualitativamente:
 Até uma determinada distância, contada a partir da 
carga q , qualquer outra carga aí colocada sofrerá a ação 
de forças eletrostáticas ( atração ou repulsão )
Nessa região que envolve a carga q 
dizemos que existe um campo elétrico
carga de
prova
q
0F

0q
0
0
FE
q
=


MóduloMódulo
DireçãoDireção mesma demesma de
SentidoSentido
0
0
FE
q
=
0F

mesma mesma 
dede
se qse qoo>0>0
0F

carga de
prova
q
0F

0q
 Campo Elétrico
++
1
q
++
++
++
2
q
4
q
3
q
12
r
13
r
14
r
12
F
21
F
31
F
41
F
14
F
13
F
�
� Campo elétrico no ponto A devido as outras cargasCampo elétrico no ponto A devido as outras cargas
1 12 13 14
F F F F= + +
   
1 1 j
4
2
j 2
1 j
1jo
q q1 ˆF e
4 r
=
=
pi ε
∑
A
1
1 j
4
2
j 2
j
1 1jo
qF 1 eˆ
q 4 r
=
=
pi ε
∑

força total sobre a carga qforça total sobre a carga q11 
divindindo os lados por qdivindindo os lados por q11 
1
12 13 142 2 2
32 4
1 12 13 14o
F qq q1 ˆ ˆ ˆE e e e
q 4 r r r
  = = + + pi ε  


�
� no pontono ponto
 A , temos : A , temos : 
++
1
q
++
++
++
2
q
4
q
3
q
12
r
13
r
14
r
12
F
21
F
31
F
41
F
14
F
13
F
1 12 13 14
F F F F= + + +
   
⋯
1 1 j
n
2
j 2
1 j
1jo
q q1 ˆF e
4 r
=
=
pi ε
∑
A
1
1 j
n
2
j 2
j
1 1jo
qF 1 ˆE e
q 4 r
=
= =
pi ε
∑


força total sobre a carga qforça total sobre a carga q11 
para n cargaspara n cargas
divindindo os lados por qdivindindo os lados por q11 
�
� para um grande número de cargas o sistema para um grande número de cargas o sistema 
 se torna contínuose torna contínuo
�
� Campo elétrico no ponto A devido a n cargasCampo elétrico no ponto A devido a n cargas
�
� Para uma distribuição contínua de cargasPara uma distribuição contínua de cargas
2 r
o
1 dq ˆdE e
4 r
=
pi ε

campo devido ao elemento dqcampo devido ao elemento dq
�
� campo elétrico em A , devido acampo elétrico em A , devido a
 distribuição contínua de carga Q distribuição contínua de carga Q 
r
q
dE

dq
Q
2
Q
r
o
1 dq ˆE e
4 r
=
pi ε ∫
A
 (carga de prova) deve ser muito pequena, 
para que seu campo não influencie no 
campo que queremos calcular 
q
�
� Campo elétrico num ponto devido a duas cargasCampo elétrico num ponto devido a duas cargas
 puntiformespuntiformes
P
b
a0
1
q+ 1
eˆ
2
q+
2
eˆ
1
E

2
E

E

θ
no ponto Pno ponto P
1 2
E E E= +
  
2 2
1 1
1 2
o
q q1 ˆ ˆE e e
4 a b
 
= +  pi ε  

MóduloMódulo DireçãoDireção SentidoSentido
mostrado namostrado na
 figurafigura
2 2
2 2
1 2
o
q q1E
4 a b
   
= +      pi ε    
2
2
2
1
q a
tg
q b
θ =
+
Linhas de ForçaLinhas de Força Faraday ( 1791 - 1867 )
Procedimento muito conveniente para a 
visualização e análise de campos elétricos.
� As linhas de força originam-se
 nas cargas positivas e terminam
 nas cargas negativas.
� As linhas de força são linhas
 contínuas, exceto fontes (+) e
 sorvedouros (-).
+
+
� O número de linhas de força é
 proporcional ao valor absoluto
 das cargas.
� O sentido das linhas de força é
 em todos os pontos o mesmo
 do campo elétrico.
� A densidade de linhas de força
 é proporcional ao campo
 elétrico.
Procedimento muito conveniente para a 
visualização e análise de campos elétricos.
�
� Da figura podemos dizer :Da figura podemos dizer :
� duas cargas positivas
� duas cargas negativas
� uma carga negativa
 no lado esquerdo e
 uma carga positiva
 do lado direito
� uma carga positiva
 no lado esquerdo e
 uma carga negativa
 do lado direito
� positiva e maior do que
 a do lado direito
A carga no lado esquerdo é ?
� positiva e menor do que
 a do lado direito
� negativa e maior do que
 a do lado direito
� negativa e menor do que
 a do lado direito
�
� Campo elétrico no ponto P devido a uma linha infinita Campo elétrico no ponto P devido a uma linha infinita 
r
x dx
Q
dx
θ rr
dQ
dE

y
dE

x
dE

P
Qual o valor de no ponto Qual o valor de no ponto 
P ?P ?
E

Da figura temos :Da figura temos :
y
dE dE cos= θ
2
o
1 dQdE
4 r
=
pi ε
 mas :mas :
2y
o
1 dxdE cos
4 r
µ
= θ
pi ε
q
dQ
dQ dx= µ
 então :então :
a
 continuando :continuando :
 da figura, temos :da figura, temos :
acos
r
θ =
xtg
a
θ = ( ) 2dx a sec d= θ θ
( ) ( )
2
2
2 2y
o o
cosdxdE cos cos a sec d
4 r 4 a
θµ µ
= θ = θ θ θ
pi ε pi ε
r
x dx
Q
dx
θ rr
dQ
dE

y
dE

x
dE

Pq
dQ
2y
o
1 dxdE cos
4 r
µ
= θ
pi εa
( ) 2
2 2
cos1
r a
θ
=
 da figura, temos :da figura, temos :
 substituindo na equação acima, ficamos com :substituindo na equação acima, ficamos com :
 continuando :continuando :
y
o
dE cos d
4 a
µ
= θ θ
pi ε
2
2
y
o
E cos d
4 a
pi
pi
−
µ
= θ θ
pi ε ∫
y
o
2E
4 a
µ
=
pi ε
r
x dx
Q
dx
θ rr
dQ
dE

y
dE

x
dE

Pq
dQ
a
 aplicando os limites de integração :aplicando os limites de integração :
 Obs : só teremos componente do campo elétrico na direção y , poisObs : só teremos componente do campo elétrico na direção y , pois
 na direção x as componentes se cancelam devido a simetria na direção x as componentes se cancelam devido a simetria 
hipérbole
Variação do campo com a distância para uma
linha infinita de cargas
te
y
o
E a C
2
µ
= =
pi ε
1 2y1 y2
E a E a=
y
E
r
1
a2a
y1
E
y2
E
Campo Elétrico devido a um DipoloCampo Elétrico devido a um Dipolo
Dipolo é o conjunto de duas cargas iguais e de sinais contrários.
O
H
H +
+
_
H2O
Molécula polar
O OC
_ _+
p1 p2
p1
p2
CO2
p
p = 0
Exemplo:
�
� Campo elétrico devido a um dipolo - 1Campo elétrico devido a um dipolo - 1oo caso caso
q−
r
P
Podemos escrever que :Podemos escrever que :
q+
a
E+

x x x
E E E+ −= +
  
E
−

x
E E cos+ += α
x
E E cos
− −
= α
( )xE E E cos+ −= + α
x
E 2E cos+= α
s
Da figura temos :Da figura temos :
α
como :como : E E+ −=
s
Ex
continuando :continuando :
2
o
1 qE
4 s+
=
pi ε
sabemos que :sabemos que :
2x
o
1 qE 2 cos
4 s
= α
pi ε
da figura temos :da figura temos : ( ) 22
a / 2cos
r a / 2
α =
+
( ) 22 2s r a / 2= +
( )( ) 3 / 222x o
1 aqE
4 r a / 2
=
pi ε +
q−
r
P
q+
a
E+

E
−

s
α
x
E 2E cos+= α
s
então :então :
dando :dando :
da figura temos que o campo elétrico no ponto P :da figura temos que o campo elétrico no ponto P :
�
� Campo elétrico devido a um dipolo - 2Campo elétrico devido a um dipolo - 2oo caso caso
q−
r
Pq+
a
E+

E E E+ −= +
E
−

E
o
( )( ) 2o
1 qE
4 r a / 2+
=
pi ε
− ( )( ) 2o
1 qE
4 r a / 2−
=
pi ε +
( )( ) ( )( )2 2o
q 1 1E
4 r a / 2 r a / 2
  = − pi ε
− + 
campo devido acampo devido a q+ campo devido acampo devido a q−
então:então:
( ) 22 2o
1 2aqrE
4 r a / 4
=
pi ε  
− 
para r >> a e fazendo p = a qpara r >> a e fazendo p = a q
3
o
1 2pE
4 r
=
pi ε
22oo caso caso
3
o
1 pE
4 r
=
pi ε
11oo caso caso
q−
r
Pq+
a
E+

E
−

E
o
( ) ( )2 2o
q 1 1E
4 r a / 2 r a / 2
  = − pi ε    − +    
continuando:continuando:
simplificando, temos:simplificando, temos:
�
� Momento elétrico de dipoloMomento elétrico de dipoloAssociando-se um versor para a distância a com
 sentido de - q para + q e direção a mesma do dipolo.
eˆ
q− q+
a
eˆ
tomando p um vetor
p q a= 
Dipolo dentro de um campo elétrico
E

a
θ
q−
q+ F

F

BINÁRIO torque da força :torque da força :
M a F= ×
 
M a F sen= θ
M a q E q a E p E= × = × = ×
     
M p E= ×
 
Quando um dipolo é submetido à ação 
de um campo elétrico, aparece um 
torque que tende a alinhar o dipolo 
na direção do campo elétrico.
Pa
r
dq
R
x
�
� Campo elétrico num ponto P devido a uma espira circularCampo elétrico num ponto P devido a uma espira circular
α
dE
y
2x
o
1 dqdE cos
4 r
= α
pi ε
para o elemento dq , temos :para o elemento dq , temos :
para todo dq , e r são ctepara todo dq , e r são cteα
2
Q
x
o
cosE dq
4 r
α
=
pi ε ∫
2x
o
Q cosE
4 r
α
=
pi ε
ìntegrandoìntegrando
continuandocontinuando
da figura temos :da figura temos :
2x
o
Q cosE
4 r
α
=
pi ε
acos
r
α =
2 2r R a= +
Q 2 R= pi µcarga total da espira :carga total da espira :
( ) 3/ 22 2x o
a RE
2 R a
µ
=
ε +
Pa
r
dq
R
x
α
dE
y
dando , então :dando , então :
( ) 3/ 22 2x o
a RE
2 R a
µ
=
ε +
para a >> Rpara a >> R
3x
o o
a R RE
2 a 2 a
µ µ
= =
ε ε
para a = 0para a = 0
x
E 0=
Pa
r
dq
R
x
α
dE
y
continuandocontinuando
α
x
sr
dr
dE

xdE

ydE

P
dq
R
a
�
� Campo elétrico num ponto P devido a um anel circularCampo elétrico num ponto P devido a um anel circular
2x
o
1 dqdE cos
4 s
= α
pi ε
para o elemento dq , temos :para o elemento dq , temos :
mas : mas : dq 2 r dr= σ pi
então : então : 
( ) 3/ 22 2x o
x r drdE
2 r x
σ
=
ε +
xcos
s
α =
2 2s r x= +
α
x
sr
dr
dE

xdE

ydE

P
dq
R
a
então : então : ( ) 3/ 22 2x o
x r drdE
2 r x
σ
=
ε +
integrando : integrando : 
( )
R a
3/ 22 2
R
x
o
x r drdE
2 r x
+
σ
=
ε +∫
fazendo : fazendo : 
dyr dr
2
=
2 2y r x= +
( ) 2 2
2 2
3/ 2
x
R a x
R x
o
xdE y dy
4
−
+ +
+
σ
=
ε ∫ ( ) 2 2
2 2
R a x
R x
x
o
x 1dE
4 y
+ +
+
σ
=
ε
α
x
sr
dr
dE

xdE

ydE

P
dq
R
a
continuando : continuando : 
( ) 2 2
2 2
R a x
R x
x
o
x 1dE
4 y
+ +
+
σ
=
ε
( ) 2 2 2 2x o
x 1 1E
4 R a x R x
 
σ  
= − ε  + + + 
dando : dando : 
E x = σ x4 ε 0 (y)
–3 23 2
0
R
dy
= σ x2ε o
1
(r 2 + x2)
1 21 2
R
0
= σ2ε o
1 – x
(R 2 + x2)
1 21 2
Para um disco de raio R 
Px
pR
x
α
dE
y
dq
r
dr
R
E x =
σ x
4 ε 0
(y)–3 23 2
0
∞
dy
= σ x2ε o
1
(r2 + x2)1 21 2
∞
0
= σ2ε 0
Para um plano infinito
Px
pR
x
α
dE
y
dq
r
dr
O campo independe 
da distância
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