Funções Avançadas

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DESCRIÇÃO
Noção de limite de uma função e seu uso para compreensão e, consequentemente, desenvolvimento de grande quantidade de tópicos no campo
das ciências da Matemática. Cálculo Diferencial e Integral (CDI) como parte (ramo) da Matemática fundamentada no conceito de limite, derivadas
e integrais.
PROPÓSITO
O estudo das ideias e técnicas que compõem a área do cálculo diferencial é utilizado para modelar fenômenos naturais que variam no tempo ou
em função de outra variável. Essa área dá sustentação teórica ao estudo de funções do ponto de vista da Matemática, além de possibilitar um
aprofundamento do nosso entendimento sobre os fenômenos da realidade ligados à área da saúde e a sistemas biológicos reais.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, certifique-se de ter acesso à calculadora científica, e tenha em mãos papel e caneta para a resolução dos
exercícios algébricos.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Compreender os conceitos e o cálculo de limite e derivadas
MÓDULO 2
Compreender os conceitos e o cálculo de integrais
INTRODUÇÃO
O entendimento do Cálculo Diferencial e Integral aplicado à área da saúde explora a relação natural que existe entre os fenômenos dessa área e
a Matemática. Esses fenômenos geram problemas complexos e a Matemática cria caminhos para interpretá-los. Em contrapartida, modelos
matemáticos propiciam novas questões que podem ser somente testadas em sistemas biológicos reais.
Para uma verdadeira compreensão de Matemática aplicada à saúde é necessário, inicialmente, interpretar os fenômenos na área da saúde do
tipo: por que o HIV aumenta muito rapidamente em certas populações? Como substâncias tóxicas agem em nosso organismo? Profissionais da
área da saúde, tradicionalmente, tem tentado responder a esses tipos de questões, mas especialistas com outras formações podem contribuir na
busca de respostas para essas questões.
MÓDULO 1
 Compreender os conceitos e o cálculo de limite e derivadas
PARA QUE SERVE O CÁLCULO DO LIMITE?
 
Imagem: Shutterstock.com
No nosso dia a dia, usamos a palavra limite para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido, mas que jamais pode
ser ultrapassado. Veja os exemplos a seguir.
Na área de toxicologia ocupacional, existe o Limite de Tolerância (LT), que é a concentração máxima que dada substância pode alcançar
no ambiente de trabalho sem que isso represente um dano à saúde do trabalhador.
Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estourará. Isso porque existe o limite de
elasticidade da borracha.
Um engenheiro, ao construir um elevador, estabelece o limite de carga suportada.
No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de combustível necessário para que a aeronave entre em
órbita.
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos analisar intuitivamente a aplicação do limite de uma função:
RESOLUÇÃO
Como os avanços na tecnologia resultam na produção de microscópios cada vez mais potentes e compactos, seu preço, atualmente, diminui.
Suponha que daqui há x meses, a partir de agora, o preço de certo modelo seja de 
Vamos analisar os seguintes questionamentos:
a) Qual será o preço daqui a 5 meses? 
b)De quanto cairá o preço durante o quinto mês? 
c) Quando o preço será de $43u.m.? 
d) O que acontecerá com o preço a longo prazo ?
Vamos analisar:
e) Para responder a essa pergunta, substituiremos a variável x por 5 meses em:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b) Já sabemos o preço no quinto mês. Para responder a essa pergunta, substituiremos a variável x por 4 meses em: para
calcularmos a diferença de preço do 4º mês para o 5º mês.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, a redução de preço no quinto mês (45u.m.) para o quarto mês (46u.m.) foi de 1u.m.
c) O preço foi dado e vale 43u.m. Substituindo em: 
Teremos: 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3x + 3 = 30 → 3x = 27 → x = 9 meses
Ou seja, em 9 meses o preço cairá para 43u.m.
d) No longo prazo, teremos um número grande de meses, dizemos que o número de meses tende a infinito e representamos por (lê-
se x tende a infinito). Na calculadora, coloque o maior número possível, como, por exemplo: 99999999999999999999999999999999.
Substituindo x por esse número, você perceberá que o termo será muito pequeno , ou seja, tende a zero.
Logo, podemos escrever assim:
, pois a soma de 40 com “aproximadamente zero” é 40u.m.
Agora, vamos analisar esta situação:
Supõe-se que a população de certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de: milhares.
a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade? 
b) De quanto a população crescerá durante o 9º ano? 
c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população?
a) t = 9 anos, logo: = 20 – 0,6 = 19,4 milhares. 
b) Sabemos que P(9) = 19,4 milhares. 
Vamos calcular P(8) = 20 – 0,67 = 19,33 milhares. 
Subtraindo-se P(9) – P(8) = 19,4 – 19,33=+ 70 habitantes 
c) Quando o tempo aumentar muito, ou seja, , teremos que P(t) →20 milhares de habitantes.
P(x)= 40 +   30
x+1
(x → ∞)
P(x)= 40 +   30
x+1
P(x)= 40 +     =  40  +  5  =  45u. m.30
5+1
P(x)= 40 +   30
x+1
P(x)= 40 +   =  40  +  6  =  46u. m.30
4+1
P(x)= 40 +   30
x+1
43 = 40 +   → 3 =   → 3.(x + 1)  =  3030
x+1
30
x+1
x → ∞
30
x+1
(~10−32)
lim
x→∞
(40 +   )=  40u. m.30
x+1
P(t)= 20 −   6
t+1
P(9)= 20 −   6
9+1
t → ∞
 ATENÇÃO
É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido, mas do qual pode-se aproximar tanto quanto se desejar.
CONCEITO DE LIMITE
Vamos analisar um exemplo para compreender o conceito de limite com mais facilidade.
Inicialmente, vamos tomar a função (x pertence ao conjunto de números Reais) definida por e determinar o valor de ,
quando os valores de x encontram-se muito próximos de 2.
Atribuindo a x uma sequência de valores que se aproximam cada vez mais de 2, sendo todos valores menores que 2, é possível determinar os
valores de , conforme ilustra a tabela a seguir:
x
1 -1
1,5 -0,5
1,8 -0,2
1,9 -0,1
1,99 -0,01
1,999 -0,001
1,9999 -0,0001
1,99999 -0,00001
1,999999 -0,000001
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Percebe-se que, conforme os valores de x aproximam-se de 2 (dois), os valores de aproximam-se de 0 (zero), ou seja:
Por outro lado, atribuindo-se a x uma sequência de valores que se aproxima cada vez mais de 2, sendo todos maiores que 2, é possível
determinar os valores de , conforme observa-se no seguinte quadro:
x
y = f(x)= x − 2 f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
lim
x→2−
f(x)→ 0
f(x)→ 0
f(x)
3 1
2,5 0,5
2,3 0,3
2,1 0,1
2,01 0,01
2,001 0,001
2,0001 0,0001
2,00001 0,00001
2,000001 0,000001
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Novamente, os valores de aproximam-se de 0 (zero) à medida que os valores de x aproximam-se de 2 (dois), ou seja:
Neste caso, escrevemos em linguagem matemática:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lê-se: Limites laterais de são iguais ao limite de , quando x tende para 2 e é igual a 0.
Esses limites são chamados limites laterais.
 ATENÇÃO
O limite de uma função existe se e somente se os limites laterais existirem e forem iguais.
Simbolicamente: 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os limites anteriores são iguais, podemos dizer que:
f(x)
lim
x→2+
f(x)→ 0
lim
x→2−
f(x)=   lim
x→2+
f(x)=   lim
x→2
f(x)= 0
f(x) f(x)
lim
x→a
f(x)= L  ↔   lim
x→a−
f(x)= lim
x→a+
f(x)= L  
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No exemplo acima, os limites laterais são obtidos quando se considera os valores menores que x (limite de , quando x tende a 2 pela
esquerda) e quando se considera os valores maiores que x (limite de , quando x tende a 2 pela direita).
De forma genérica, escrevemos:
De acordocom o exemplo apresentado anteriormente, nota-se que a ideia de limite de uma função , quando x tende para , depende
somente dos valores de em valores próximos de a, o valor de é irrelevante.
Nota:
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LIMITES
O especialista fala sobre definir limites, utilizando exemplos como os textuais aqui no tema.
LIMITE DE UMA FUNÇÃO
A ideia precisa do limite foi formalizada pelo matemático francês Cauchy (1789-1857).
lim
x→2
f(x)= 0        pois,         lim
x→2−
f(x)= 0       e        lim
x→2+
f(x)= 0
f(x)
f(x)
lim
x→a
f(x)= L
f a
f f(a)
lim f(x)= L ↔
x−→a
  
⎧⎪
⎨
⎪⎩
lim
x−→a−
f(x)= L
lim
x−→a+
f(x)= L
,  L  ∈ R
 
Imagem: Shutterstock.com
 Matemático francês Augustin-Louis Cauchy
Dizemos que a função f(x) tem por limite o número L quando x tende para o número p, e escrevemos:
Veja um exemplo a seguir:
1) Seja a função f(x) = 2x+1, calcule, utilizando a ideia intuitiva de limite: .
Solução:
Queremos determinar o valor da função f(x) quando o valor de x se aproxima de 2, seja pela direita (valores superiores a 2) ou pela esquerda
(valores inferiores a 2).
Esquerda (2-)
x 2x+1
1 2.1+1 = 3
1,5 2.1,5+1 = 4
1,7 2.1,7+1 = 4,4
1,8 2.1,8+1 = 4,6
1,9 2.1,9+1 = 4,8
1,95 2.1,95+1 = 4,9
1,99 2.1,99+1 = 4,98
2 5
lim
x→p
f(x)= L
lim
x→2
(2x + 1)
Direita (2+)
x 2x+1
3 2.3+1 = 7
2,5 2.2,5+1 = 6
2,1 2.2,1+1 = 5,2
2,01 2.2,01+1 = 5,02
2,001 2.2,001+1 = 5,002
2,0001 2.2,0001+1 = 5,0002
2,00001 2.2,00001+1 = 5,00002
2 5
Assim, substituindo esses valores, observamos que, quando x se aproxima de 2, a função f(x) se aproxima de 5.
COMO O DOMÍNIO DE F(X) = 2X+1 SÃO TODOS OS REAIS, TEMOS 
.
LIMITES DE UMA FUNÇÃO
O especialista fala sobre definir limites de uma função, utilizando exemplos como os textuais apresentados neste material.
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES
A seguir, introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites, sem utilizar a pesquisa do número L que aparece na
definição de limite.
lim
x→2
(2x + 1 )= 2.2 + 1 = 5
1) Se e , então, L1 = L2 (Teorema da Unicidade do limite).
2) Sejam a e c números reais quaisquer, então, Isto é, o limite de uma constante é a própria constante.
3) Se a, b, m são números reais, então: 
 EXEMPLO
4) Se e , então:
a) 
b) 
c) , desde que M ≠0
d) , para todo n inteiro positivo
e) , desde que L>0 para n par
f) , desde que L >0
g) 
Veja um exemplo a seguir:
Determine o seguinte limite:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vemos neste exemplo que o valor de 
ISTO NA VERDADE OCORRE PARA TODOS OS POLINÔMIOS.
Enunciando, então, formalmente, temos:
Teorema I
Se f é uma função polinomial, então: 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
O especialista fala sobre as propriedades operatórias utilizando exemplos.
lim
x→a
f(x)=  L1 lim
x→a
f(x)=  L2
lim
x→a
c =  c.
lim
x→a
(mx + b)=  ma + b
lim
x→4
(3x − 5 )=  3.4 − 5 = 7 
lim
x→a
f(x)=  L lim
x→a
g(x)=  M
lim
x→a
[f(x)  ±  g(x)]=  L + M
lim
x→a
[f(x).  g(x)]=  L.  M
lim
x→a
=  
f(x)
g(x)
L
M
lim
x→a
[f(x)]n =  Ln
lim
x→a
n√f(x) =   n√L
lim
x→a
  ln[f(x)] =  lnL
lim
x→a
ef(x)  =  eL
lim
x→2
(x2 − 3x + 1 )= lim
x→2
x2  − lim
x→2
3x + lim
x→2
1 = 22 − 3. 2  +  1  =   − 1 
lim
x→a
f(x)=  f(a)
lim
x→a
f(x)=  f(a)
Veja a seguir um exemplo do Teorema I:
1) Calcule 22 - 5.2 + 1 = -5
Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de limites.
Teorema II
Se é uma função racional, e a pertence ao domínio, então:
Veja a seguir alguns exemplos do Teorema II:
1) Calcule 
SOLUÇÃO
2) Calcule 
SOLUÇÃO
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DERIVADAS
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, presente no cotidiano das pessoas, por
meio, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução
da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar
inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida dessa variação é necessária em determinado momento (BORNATTO;
SANZOVO, 2017).
lim
x→2
(x2 − 5x + 1 )=  
f
lim
x→a
q(x)= q(a)
lim
x→3
5x2−2x+1 
6x−7 
lim
x→3
=   =  
5x2−2x+1 
6x−7 
5.32−2.3+1 
6.3−7 
40
11
lim
x→5
√3x2 − 4x + 9
lim
x→5
√3x2 − 4x + 9 =  √lim
x→5
 (3x2 − 4x + 9) =  √3. 52 − 4.5 + 9  =  √75 − 20 + 9  =  √64 = 8
 
imagem: Shutterstock.com
Para entendermos, inicialmente, vejamos a definição matemática da derivada de uma função em um ponto:
DEFINIÇÃO
Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então, a derivada de f em x0, denotada por f’(x0), é dada por:
Se esse limite existir. Δx representa uma pequena variação em x, próximo de x0, ou seja, tomando x = x0 + ∆x (∆x = x – x0), a derivada de f em x0
pode também se expressa por:
Notações para a derivada de uma função f(x): 
INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA DERIVAÇÃO
A derivada de uma função f em um ponto x0 fornece taxa de variação instantânea de f em x0 (FRIEDLI, 2013). Vejamos, na figura 1, como isso
ocorre:
Suponha que y seja uma função de x, ou seja, y = f(x). Se x variar de um valor x0 até um valor x1, representaremos essa variação de x, que
também é chamada de incremento de x, por:
Δx = x1 - x0, e a variação de y é dada por:
Δy = f(x1) - f (x0), o que é ilustrado na figura a seguir:
f '(x0)=   lim
x→x0
f (x ) −f(x0)
Δx
f '(x0)=   lim
x→x0
f (x ) −f(x0)
x− x0
f’(x0),  
∣
∣x=x0
,
df
dx
df
dx
 
Imagem: Friedli, 2013, p. 93
 Figura 1 - Interpretação Física da Derivada
O quociente das diferenças, dado por , é dito taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo [x0, x1]. O limite dessas
taxas médias de variação, quando Δx →0, é chamado de taxa de variação instantânea de y em relação a x, em x = x0. Assim, temos:
Taxa de variação instantânea= 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Porém, 
Portanto, a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto é dada pela sua derivada nesse ponto.
INTERPRETAÇÃO FÍSICA DE UMA FUNÇÃO
O especialista fala sobre como interpretar gráficos de funções.
Veja, a seguir, dois exemplos:
1) Suponha que a posição de uma partícula em movimento sobre uma reta r seja dada por p(t) = t2- 6t, onde p(t) é medida em metros e t em
segundos.
a) Determine a velocidade em um instante qualquer. 
Determine a velocidade da partícula em e . 
c) Em que instante a velocidade é nula?
Solução:
a) A velocidade instantânea é o limite da velocidade média, quando consideramos um intervalo de tempo tendendo a zero, o que é fornecido pela
derivada da função posição, no instante desejado. Portanto, temos:
Velocidade média da partícula no intervalo de tempo Δt.
=  
Δy
Δx
f(x1) − f(x0)
x1− x0
lim
x→x0
= lim
Δx→0
 
f (x1 ) −f(x0)
x1− x0
f (x0+ Δx ) −f(x0)
Δx
lim
Δx→0
= f'(x0)
f (x0+ Δx ) −f(x0)
Δx
t  =  a 
t  =  0  t  =  4 
Temos que p(t) = t2 – 6t
Logo: p(a + Δt) = (a + Δt)2 – 6.(a + Δt) = a2 + 2a. Δt + (Δt)2 – 6a - 6Δt
E, p(a) = a2 – 6a
Substituindo na equação da Vm, teremos o seguinte:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Velocidade Instantânea
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b) t = 0 → V(0) = 2.(0) – 6 = -6 m/s 
t = 4 → V(4) = 2.(4) – 6 = +2 m/s
c) V(a) = 0 quando 2a – 6 = 0, o que ocorre quando a = 3, ou seja, após 3 segundos, a velocidade é nula (o objeto está parado).
2) Cálculo da derivada de 
Para calcular a derivada de , escrevemos primeiro a taxa média de variação de em um ponto x:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, devemos calcularo “limite” dessa expressão, quando Δx fica bem pequeno. Esse é um “ponto delicado” do cálculo: já sabemos que
não podemos fazer Δx = 0 na expressão. Vamos fazer a mesma metodologia do exemplo 1:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo na expressão acima, obtemos a derivada f`(x):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vm =  
p  (a+ Δt ) −p(a)
Δt
Vm =   = = = 2a +  Δt − 6
p  (a+ Δt ) −p(a)
Δt
a2+2aΔt+(Δt)2−6a−6Δt− a2+6a
Δt
Δt( 2a+ Δt −6)
Δt
V (a)=   lim
Δt→0
=   lim
Δt→0
(2a  +  Δt − 6)= 2a − 6
p  (a+ Δt ) −p(a)
Δt
y  =  f (x)  =  x2
y  =  f (x)  =  x2 f
= =   =  
Δy
Δx
f (x+Δx  ) −f(x)
Δx
(x+Δx)2− x2
Δx
x2+2xΔx+ (Δx)2− x2
Δx
= = 2x +  Δx
Δy
Δx
Δx(2x+ Δx)
Δx
Δx → 0
f ‵(x)= = lim
Δx→0
=   lim
Δx→0
(2x +  Δx)= 2x
df
dx
f (x+Δx  ) −f(x)
Δx
A DERIVADA DE , PARA QUALQUER VALOR DE N
Vamos calcular a derivada da função para qualquer valor de n inteiro e positivo.
Como no exemplo anterior, escrevemos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução, que não cabe ser deduzida aqui, será f’(x) =xn-1.
Logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Uma função é dita diferenciável em , se existir. É válido dizer que é diferenciável no intervalo aberto (a, b), se for diferenciável em cada
valor desse intervalo. Para estudarmos as regras de derivação, vamos considerar que a derivada de uma função , em x, é representada por 
ou . Veja, a seguir, os tipos de derivada.
A) DERIVADA DE UMA CONSTANTE:
A função constante possui o gráfico como sendo uma reta paralela ao eixo x, com y = c. Sendo assim, a taxa de variação é zero. De
onde concluímos que,
Se 
B) DERIVADA DE UMA POTÊNCIA:
Sendo 𝑛 um número inteiro positivo e , temos que:
De onde podemos concluir que a derivada da função é igual a 1, pois:
 (lembra? x0 = 1)
Observação: Se f(x) for igual ao produto de uma função por uma constante, do tipo:
f(x) = c.xn  f’(x) = c.nxn-1
f(x) = c.g(x)  f’(x) = c.g’(x)
C) DERIVADA DE UM PRODUTO ENTRE DUAS FUNÇÕES:
Sejam e g duas funções diferenciáveis, a derivada do produto .g será expressa por:
D) DERIVADA DE UM QUOCIENTE ENTRE DUAS FUNÇÕES:
y  =  f (x)  =  xn
y  =  f (x)  =  xn
= =  
Δy
Δx
f (x+Δx  ) −f(x)
Δx
(x+Δx)n− xn
Δx
se f(x)=  xn  → f´(x)= xn−1 
a f'(a)  f
f f'
df
dx
f(x)  =  c 
f(x)  =  c,  f'(x)  =  0
f(x)  = xn
f'(x)  =  n.  xn−1
x
f'(x)  =  1.  x1−1
f'(x)  =  1
f f
 [ f(x).  g(x)]= f'(x). g(x)+f(x). g'(x)d
dx
Sejam e g duas funções diferenciáveis, e g(x) ≠0, a derivada do quociente será expressa por:
REGRAS DA DERIVAÇÃO
O especialista fala sobre as regras de derivação através de exemplos.
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA
A derivada de uma função em um ponto a fornece o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Vejamos:
DADA UMA CURVA PLANA QUE REPRESENTA O GRÁFICO DE , SE CONHECERMOS UM
PONTO , ENTÃO, A EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE R (FIGURA 2) À CURVA EM P É
DADA POR , ONDE M É O COEFICIENTE ANGULAR DA RETA. PORTANTO,
BASTA QUE CONHEÇAMOS O COEFICIENTE ANGULAR M DA RETA E UM DE SEUS PONTOS,
PARA CONHECERMOS A SUA EQUAÇÃO (FRIEDLI, 2013).
A equação da reta tangente ao ponto P, que tem um par de coordenadas (x0, y0) é:
y – y0 = f’(x0).(x – x0)
 
Imagem: Friedli, 2013, p. 114
 Figura 2 - Interpretação geométrica da derivada
Veja, a seguir, um exemplo:
f
f(x)
g(x)
[ ]=  d
dx
f(x)
g (x )
f' (x ) .g (x ) −f (x ) .g'(x)
[g (x ) ]
2
f f (a,  f(a))
f 
P(a,  f(a))
y − f(a) = m(x − a)
Se f(x) = x2, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto P(2,4).
SOLUÇÃO
Na equação da reta tangente y – y0 = f’(x0).(x – x0), temos que x0 = 2 e y0 = 4, substituindo, temos:
y – 4 = f’(x0).(x – 2)
Mas f(x) = x2
f’(x) = 2x e f’(x0 = 2) = 2.2 = 4
Finalmente:
y – 4 = 4.(x – 2)
Transformando a equação acima no formato y = ax + b, teremos:
y – 4 = 4x – 8
y = 4x - 4 é a equação da reta tangente à curva f(x) = x2, no ponto P(2,4).
CÁLCULO DAS DERIVADAS
O especialista fala sobre como resolver derivadas.
MÃO NA MASSA
1. DADA A FUNÇÃO SUPONHA QUE ESTEJAMOS INTERESSADOS EM SABER DE QUE VALOR SE
APROXIMA QUANDO X SE APROXIMA DE 3. MARQUE A OPÇÃO CORRETA.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. ANALISAR A FUNÇÃO Y, DEFINIDA POR , QUANDO X TENDE (APROXIMA-SE DE) A 1 E
MARQUE A OPÇÃO CORRETA:
f(x)=   x
2−9
x−3
f(x)
lim
x→3
= 0
x2−9
x−3
lim
x→3
= 6
x2−9
x−3
lim
x→3
= 3
x2−9
x−3
lim
x→3
= 9
x2−9
x−3
lim
x→3
= 1
x2−9
x−3
y = f(x)=   x
2−1
x−1
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3. RESOLVA O LIMITE DA FUNÇÃO E MARQUE A OPÇÃO CORRETA:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
4. RESOLVA A DERIVADA DE E MARQUE A OPÇÃO CORRETA:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
5. RESOLVA A DERIVADA DE 
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. DERIVA A FUNÇÃO . UTILIZANDO A REGRA DE DERIVAÇÃO DO PRODUTO
ENTRE FUNÇÕES E MARQUE A RESPOSTA CORRETA:
lim
x→1 
= 0
x2−1
x−1
lim
x→1 
= 1
x2−1
x−1
lim
x→1 
= 2
x2−1
x−1
lim
x→1 
= −1
x2−1
x−1
lim
x→1 
= −2
x2−1
x−1
lim
x→1
(x2 − 4)=  
lim
x→1
(x2 − 4)=   − 3
lim
x→1
(x2 − 4)=  3
lim
x→1
(x2 − 4)=   − 1
lim
x→1
(x2 − 4)=  1
lim
x→1
(x2 − 4)=   − 2
f(x)= 4x2  − 2x
f'(x)= 8x3 − 2x2
f'(x)= 4x − 2
f'(x)= 8x2 − 2
f'(x)= 8x − 2
f'(x)= 4x3 − 2x2
f(x)= 7x8  − 5x3 + 3
f'(x)= 56x9 − 15x4 + 3x
f'(x)= 56x7 − 15x2 + 3
f'(x)= 56x7 − 15x2
f'(x)= 56x9 − 15x4 + 3
f'(x)= −  56x7 + 15x2
w(x)=(9x5 − 4x3) (−7x2 − 3x)
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
1. Dada a função suponha que estejamos interessados em saber de que valor se aproxima quando x se aproxima de
3. Marque a opção correta.
A alternativa "B " está correta.
Faça uma tabela e atribua a x valores menores que 3.
x
2,5 5,5
2,8 5,8
2,9 5,9
2,99 5,99
2,999 5,999
2,9999 5,9999
... ...
Vemos que quanto mais x se aproxima de 3, mais o valor de se aproxima de 6. Note que nos aproximamos de x por valores menores do
que 3.
Matematicamente, representamos essa situação por: 
Lê-se: limite de quando x tende a três pela esquerda é igual a 6 (seis).
Tomemos agora valores próximos de três, mas maiores que 3.
x
3,4 6,4
w'(x)=(45x4 − 12x2). (−14x − 3)
w'(x)=(9x5 − 4x3).(45x4 − 12x2)+ (−14x − 3)(−7x2 − 3x)
w'(x)=(45x6 − 12x4). (−14x3 − 3x2)
w'(x)=(9x5 − 4x3).(45x4 − 15x2)+ (−14x − 3)(−7x2 − 3x)
w'(x)=(45x4 − 12x2).  (−7x2 − 3x)+( 9x5 − 4x3). (−14x − 3)
f(x)=  
x2−9
x−3
f(x)
f(x)
f(x)
lim
x→3−
f(x)= 6
f(x)
f(x)
3,2 6,2
3,1 6,1
3,01 6,01
3,001 6,001
3,0001 6,0001
... ...
Note que quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais se aproxima de 6.
Matematicamente, representamos essa situação por 
Lê-se: limite de quando x tende a três pela direita é igual a 6 (seis).
Como os limites anteriores são iguais, podemos dizer que:
 pois, e 
Limites laterais: No exemplo acima, são obtidos quando se considera os valores menores que x (limite de , quando x tende a 3 pela
esquerda) e quando se considera os valores maiores que x (limite de , quando x tende a 3 pela direita).
2. Analisar a função y, definida por , quando x tende (aproxima-se de) a 1 e marque a opção correta:
A alternativa "C " está correta.
Atribuindovalores para x, pode-se construir um quadro:
x
-1 0
0 1
0,9999 1,9999
1 Não existe
1,0001 2,0001
2 3
3 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba que o limite dessa função para x tendendo a 1 existe, embora a função não esteja definida no ponto x = 1.
f(x)
lim
x→3+
f(x)= 6
f(x)
lim
x→3
f(x)= 6 lim
x→3−
f(x)= 6 lim
x→3+
f(x)= 6
f(x)
f(x)
y = f(x)=  
x2−1
x−1
y =  
x2−1
x−1
lim
x→1−
f(x)=   lim
x→1+
f(x)=   lim
x→1
f(x)= 2
3. Resolva o limite da função e marque a opção correta:
A alternativa "A " está correta.
4. Resolva a derivada de e marque a opção correta:
A alternativa "D " está correta.
Utilizando a regra de derivação de 
Se 
5. Resolva a derivada de 
A alternativa "C " está correta.
Utilizando a regra de derivação de 
Se 
6. Deriva a função . utilizando a regra de derivação do produto entre funções e marque a resposta
correta:
A alternativa "E " está correta.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Faremos 
 
Logo: 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo: 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. RESOLVA O LIMITE DA FUNÇÃO E MARQUE A OPÇÃO CORRETA:
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
lim
x→1
(x2 − 4)=  
lim
x→1
(x2 − 4)=  12 –  4  =   − 3
f(x)= 4x2  − 2x
f(x)= cxn → f '(x)= cn xn−1
f(x)= 4x2  − 2x → f '(x)= 8x − 2
f(x)= 7x8  − 5x3 + 3
f(x)= cxn → f '(x)= cn xn−1
f(x)= 7x8  − 5x3 + 3 → f '(x)= 56x7 − 15x2
w(x)=(9x5 − 4x3) (−7x2 − 3x)
 [ f(x).  g(x)]= f '(x). g(x)+f(x). g'(x)d
dx
f(x)= 9x5 − 4x3 → f '(x)= 45x4 − 12x2
g(x)=   − 7x2 − 3x → g'(x)=   − 14x − 3
w'(x)= f '(x).  g(x)+f(x). g'(x)
w'(x)=(45x4 − 12x2).  (−7x2 − 3x)+( 9x5 − 4x3). (−14x − 3)
lim
x→0
( −   ) 3
x
1
5+x 
1
5−x
lim
x→0
( −   )  =  3x
1
5+x 
1
5−x
−1
25
lim
x→0
( −   )  =  3
x
1
5+x 
1
5−x
−5
25
lim
x→0
( −   )  =  3x
1
5+x 
1
5−x
−6
25
lim
x→0
( −   )  =  3x
1
5+x 
1
5−x
3
25
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. SE , DETERMINE A EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE F, NO PONTO P(1,1) E
MARQUE A OPÇÃO CORRETA.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Resolva o limite da função e marque a opção correta:
A alternativa "C " está correta.
 
Fazendo o MMC da subtração entre as frações, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cortando o “x ‘do numerador com o “x “do denominador:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Se , determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto P(1,1) e marque a opção correta.
A alternativa "C " está correta.
 
Na equação da reta tangente y – y0 = f’(x0).(x – x0), temos que x0 = 1 e y0 = 1, substituindo, temos:
y – 1 = f’(x0).(x – 1)
Mas, f(x) = x2
f’(x) = 2x e f’(x0 = 1) = 2.1 = 2
Finalmente:
y – 1 = 2.(x – 1)
Transformando a equação acima no formato: y = ax + b, teremos:
y – 1 = 2x – 2
y = 2x - 1 é a equação da reta tangente à curva f(x) = x2, no ponto P(1,1)
MÓDULO 2
lim
x→0
( −   )  =  3
x
1
5+x 
1
5−x
2
25
f(x)=  x2
y = − 2x + 1
y = 2x − 2
 y = 2x − 1
y = −2x − 1 
y = x − 1
lim
x→0
( −   ) 3x
1
5+x 
1
5−x
lim
x→0
( −   )  =   lim
x→0
( )  =   lim
x→0
( )  3x
1
5+x 
1
5−x
3
x
( 5−x ) −(5+x)
( 5+x ) . (5−x) 
3
x
−2x
25− x2 
lim
x→0
( −   )  =    lim
x→0
3( )  =  3
x
1
5+x 
1
5−x
−2
25− x2 
−6
25
f(x)=  x2
 Compreender os conceitos e o cálculo de integrais
CONCEITO DE INTEGRAIS
 
Imagem: Shutterstock.com
Na Matemática, tudo possui o seu inverso, por exemplo, a subtração como inverso da adição, a divisão como inverso da multiplicação, entre
outros. No cálculo diferencial, temos também o inverso da derivada que é a antiderivada ou primitiva, ou como chamaremos, integral.
LOGO, F SERÁ A ANTIDERIVADA DE , EM DADO INTERVALO I, SE F′(X) = F(X)
PARA TODO X PERTENCENTE AO INTERVALO I.
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS
Definição 1
Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I se F´(x) = f(x).
 EXEMPLO
A função é uma primitiva da função , pois 
Observe que as funções ou ou também são primitivas de f(x) = x4, pois T’(x) = H’(x) = G’(x)=
x4.
Definição 2
Se a função F(x) é uma primitiva da função f(x), a expressão F(x) + C é chamada integral indefinida de f(x) e é expressa por:
f
F(x)=   x
5
5
f(x)  =  x4 F '(x)=   5x
4
5
= x4 = f(x)
T (x)= + 9 x
5
5
 H(x)= − 2x
5
5
G(x)=   + Cx
5
5
∫ f(x)dx = F(x)+C   
Lê-se: Integral indefinida de f(x) ou simplesmente integral de f(x) em relação a x. Chamamos de integração o processo que permite encontrar a
integral indefinida de uma função.
Da definição de integral indefinida, temos as seguintes propriedades:
 É O SINAL DE INTEGRAÇÃO.
 F’(x) = f(x).
 É A FUNÇÃO INTEGRANDO.
 representa uma família de funções, isto é, a família ou o conjunto de todas as primitivas da função integrando.
 É A DIFERENCIAL QUE IDENTIFICA A VARIÁVEL DE INTEGRAÇÃO.
 
A partir delas, observamos que:
 
Isso permite que obtenhamos fórmulas de integração diretamente das fórmulas de derivação.
INTEGRAL
O especialista fala sobre o que é uma integral.
Veja, a seguir, as propriedades da integral.
Propriedades da integral indefinida:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Regra generalizada para integração de uma função:
∫  
∫ f(x)dx = F(x)+C ↔
f(x)
∫ f(x)dx
dx
(∫ f(x)dx)=   (F(x)+C)d
dx
d
dx
= F '(x)= f(x).
∫ f(x)dx = F(x)+C →  F(x)= F '(x)= f(x)d
dx
∫  k f(x)dx  =   k  ∫  f(x)dx
∫  (f(x)  ±  g(x)) dx  =   ∫  f(x)dx  ±   ∫  g(x)dx
Se x é uma função derivável, então:
, com n+1 ≠0
Veja, a seguir, alguns exemplos. Vamos calcular!
a) 
SOLUÇÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, de modo que C1 + C2 = C, ou seja, basta colocar o termo “+C” no final da solução das integrais,
independentemente do número de parcelas da função do integrando.
Logo:
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b) 
SOLUÇÃO
Logo,
c) 
SOLUÇÃO
d) 
SOLUÇÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∫ xndx =   + Cx
n+1
n+1
∫(7x4 +  x2)dx
∫(7x4 +  x2)dx =   ∫ 7x4dx +   ∫ x2dx = 7 + C1 +   +  C2x
4+1
4+1
x2+1
2+1
∫(7x4 +  x2)dx =   ∫ 7x4dx +   ∫ x2dx = 7 + C1 +   +  C2 =x
4+1
4+1
x2+1
2+1
+   + C7x
5
5
x3
3
∫ x2dx
=  x
2+1
2+1 
x3
3
∫ x2dx = x
3
3 + C
∫ dx
∫ 1.dx =  x  +  c
∫(3x2 + 5)dx
∫(3x2 + 5)dx =   ∫ 3x2dx +   ∫ 5dx
= 3 ∫ x2dx  + 5 ∫ dx
= 3. +  5x  +  Cx
2+1
2+1
=  3 + 5x + C =  x3 + 5x + C
x3
3
CALCULANDO A INTEGRAL
O especialista fala sobre como calcular a integral.
 RELEMBRANDO
Vamos relembrar que: e que Logo, podemos utilizar a regra para resolver as integrais do tipo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos, agora, resolver integrais utilizando as propriedades de radiciação e potenciação.
Vamos relembrar que e que para resolver as integrais a seguir:
RESOLUÇÃO
1) 
Solução:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2) 
Solução:
n√xp =  x
p
n =  x− n1xn ∫ x
ndx =   + Cx
n+1
n+1
∫ √xdx =   ∫ x 1/2dx =   + C =   + C =   √x3 + Cx
+1
1
2
+112
x
3
2
3
2
2
3
n√xp =  x
p
n =  x− n1xn
∫  dx2
3√x
∫  dx = 2 ∫ x−1/3dx = 2 +  C2
x
1
3
x
+1
−1
3
+1
−1
3
= 2. + C = 2. 3√x2 + C =3. 3√x2 + Cx
2/3
2/3
3
2
∫( +   + 5)dx2
x3
3
x2
= ∫ dx +   ∫ dx + 5 ∫ dx2
x3
3
x2
= 2 ∫ x−3dx + 3 ∫ x−2dx + 5 ∫ dx
= 2. + 3. + 5x + Cx
−3+1
−3+1
x−2+1
−2+1
= 2 + 3 + 5x + Cx
−2
−2
x−1
−1
=   − x−2 − 3x−1 + 5x + C
 DICA
Para verificar se uma primitiva foi calculada corretamente, determine a derivada da solução F(x) + C. Se essa derivada for igual a , então, a
primitiva está correta; se for diferente, existe algum erro nos cálculos!
RADICIAÇÃO E POTENCIAÇÃO NO CÁLCULO DE INTEGRAIS
O especialista fala sobre como utilizar as regras de potenciação e de radiciação no cálculo de integrais.
INTEGRAL DEFINIDA
O QUE É ÁREA?
Consideremos o seguinte problema: encontrar a área de uma região S que está sob a curva y = f(x) de a até b. Isso quer dizer que S (ver figura
3) está limitada pelo gráfico de uma função contínua f (onde f(x) > 0), pelas retas verticais x = a e x = b, e o eixo x.
 
Imagem: Thomas, 2002, p. 345
 Figura 3 – Área S sob a curva contínua f(x), limitada pelas retas x = a e x = b
=   −   −   + 5x + C1
x2
3
x
f(x)
UM CONCEITO PRIMITIVO DE ÁREA É O DA ÁREA DO RETÂNGULO. CALCULAR A
ÁREA DO RETÂNGULO É RELATIVAMENTE FÁCIL, ASSIM COMO A DE OUTRAS
FIGURAS GEOMÉTRICAS ELEMENTARES COMO TRIÂNGULO E PARALELOGRAMO.
ASSIM, A ÁREA DE UMA REGIÃO S QUALQUER PODE SER CALCULADA
APROXIMANDO A REGIÃO POR POLÍGONOS, CUJAS ÁREAS PODEM SER
CALCULADAS PELOS MÉTODOS DA GEOMETRIA ELEMENTAR.
Para isso, vamos fazer uma partição P do intervalo [a, b], isto é, vamos dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos, por meio dos pontos:
X0, X1, X2,...., XI-1, XI,...., XN,
Escolhidos arbitrariamente, da seguinte maneira:
A = X0 < X1 < X2 <...< XI-1 < XI < . . . < XN = B.
Determinamos o comprimento do i-ésimo subintervalo, [xi-1, xi] como sendo:
ΔXI = XI - XI-1.
Vamos construir retângulos de base xi - xi-1 e altura f(ci), onde ci é um ponto do intervalo [xi-1, xi]. Assim, a soma das áreas dos n retângulos, que
denotaremos por Sn, será:
SN = F(C1)*ΔX1 + F(C2)* ΔX2 + ...+ F(CN)* ΔXN
 (lê -se somatório do produto f(ci)* Δxi, variando-se i=1 até i=n).
Essa soma é chamada de Soma de Riemann da função f relativa à partição P. 
Quando n cresce, é “natural” esperar que a soma das áreas dos retângulos aproxime-se da área S sob a curva.
Chamamos norma da partição P o comprimento do seu subintervalo mais longo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Definição: A medida da área A da região S que está sob um gráfico de uma função contínua é:
, se esse limite existir.
Já podemos, então, formular a definição de integral definida:
Definição: Seja f(x) uma função limitada definida no intervalo fechado [a, b] e seja P uma partição qualquer de [a, b]. A integral de f(x) no
intervalo [a, b], denotada por , é dada por:
∑ni=1 f(ci) *  Δxi
||P ||= max {Δxi; i = 1,  2, …  3,  … ,n}
f
A = lim
||P || →0
 ∑ni=1 f(ci)*Δxi
∫ b
a
f(x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desde que exista o limite. Lê-se integral definida de f(x) dx de [a] até [b].
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
 
imagem: Shutterstock.com
As propriedades de integrais definidas são muito parecidas com as integrais indefinidas (discutidas no tópico anterior), porém, acrescentam-se
algumas novas dentro do contexto geral. As propriedades são usadas para facilitar o cálculo das integrais, fazendo integrais difíceis tornarem-se
mais acessíveis. Veja a seguir.
Uma constante pode ser movida por meio do sinal de integração.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma integral de uma soma ou subtração é a soma ou a subtração das integrais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos separar o limite de integral em quantas partes quisermos (gráfico abaixo), criando novas integrais dentro do limite, somando-as. Se a
c b, então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∫ b
a
f(x)dx = lim
||P || →0
∑ni=1 f(ci)*Δxi 
∫ b
a
k f(x)dx  =   k  ∫ b
a
f(x)dx 
∫ b
a
(f(x)  ±  g(x)) dx   =   ∫ b
a
f(x)dx   ±   ∫ b
a
g(x)dx
<
<
∫ b
a
f(x)dx  =   ∫ c
a
f(x)dx +   ∫ b
c
f(x)dx
Podemos inverter a ordem dos limites de integração, acrescentando um sinal negativo à função a ser integrada.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
O especialista fala sobre a integral definida e suas propriedades.
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO (TFC)
 
Imagem: Shutterstock.com
O Teorema Fundamental do Cálculo permite expressar de maneira precisa a relação inversa existente entre a derivada e a integral. Foram
Newton e Leibniz que exploraram essa relação e usaram-na para desenvolver o cálculo como um método matemático.
EM PARTICULAR, ELES PERCEBERAM QUE O TEOREMA FUNDAMENTAL PERMITIA
CALCULAR ÁREAS POR MEIO DAS INTEGRAIS, TENDO EM VISTA MAIOR
PRATICIDADE DOS CÁLCULOS, SEM QUE FOSSE NECESSÁRIO CALCULÁ-LAS
COMO LIMITES DE SOMAS.
Se F é tal que F’(x) = f(x) para x entre [a, b], então:
= F(b) - F(a), que é um valor numérico sem o termo “+ C”.
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
∫ b
a
f(x)dx =   − ∫ a
b
f(x)dx
∫ b
a
f(x)dx
O especialista fala sobre o Teorema Fundamental do Cálculo.
Veja, a seguir, alguns exemplos.
EXEMPLO 1
Calcule a integral de f(x) = x2 no intervalo [1, 2].
Solução:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Você solucionará a integral e fará o seguinte: onde tem x você substituirá pelo limite superior de integração, nesse caso, 2 menos (subtrair) onde
tem x você substituirá pelo limite inferior, nesse caso, 1.
Vamos lá:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Calcule a integral de f(x) no intervalo [1, 2].
Solução:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∫ 21 f(x)dx =   ∫
2
1 x
2dx =   ∣∣
x3
3
2
1
∫ 21 f(x)dx =   ∫
2
1 x
2dx =   ∣∣ =   −   = −   =  
x3
3
2
1
23
3
13
3
8
3
1 
3
7
3
∫ 01 (x
3 + 3x − 1)dx = ∫ 01 x
3dx + 3 ∫ 01 xdx −   ∫
0
1 dx = ( + 3 − x)
∣
∣
x4
4
x2
2
0
1
=( + 3 − 0)−( + 3 − 1)= 0 −( +   − 1)= =   =  0x44
02
2
14
4
12
2
1
4
3
2
2+12−8 
8
4
8
1
2
1
x3
∫ 21 f(x)dx =   ∫
2
1 dx =   ∫
2
1 x
−3dx =   ∣∣
1
x3
x−3+1
−3+1
2
1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe a seguir algumas técnicas de integração para diferentes funções:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS
CÁLCULO DE ÁREAS
Veja, a seguir, as possibilidades de cálculo.
Área sob a curva f(x) no intervalo [a,b]
Queremos determinar a área de diferentes regiões. Começaremos pelo problema de achar a área de uma região A, que está sob a curva de uma
função f(x), como a da figura 4, por exemplo. A área S = 
Veja os exemplos!
Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x = 1 e pelo gráfico de f(x) = x2.
= ∣∣ =   −   =   − + =  
x−2
−2
2  
1
2−2
−2
1−2
−2
1
8
1
2
3
8
∫ du = u + c
∫ undu = + c,  n ≠ −1u
n+1
n+1
∫ = ln|u|+cduu
∫ eudu = eu + c
∫ sen u du = −cos u + c
∫ cos u du = sen u + c
∫ tg u du = ln|sec u|+c
∫ cotg u du = ln|sen u|+c
∫ se c u du = ln|sec u + tg u|+c
∫ cosec u du = ln|cosec u − cotg u|+c
∫ sec u tg u du = sec u + c
∫ cosec u cotg u du = −cosec u + c
∫ sec2u du = tg u + c
∫ cosec2u du = −cotg u + c
∫ b
a
f(x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Significa unidades de área.
Calcule a área de f(x) = x + 1 entre x = 0 e x = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS
O especialista fala sobre como calcular as integrais.
ÁREA ENTRE AS CURVAS F(X) E G(X) NO INTERVALO[A, B]
Vamos considerar a região entre os gráficos de duas funções. Suponhamos, então, que f(x) e g(x) sejam funções contínuas no intervalo [a, b] e
que f(x) > g(x) para todo x em [a, b]. Então, a área da região limitada acima por y = f(x), abaixo por y = g(x), à esquerda pela reta x=a e à direita
pela reta x=b, conforme a figura a seguir é: A = 
área =   ∫ 10 f(x)dx =   ∫
1
0 x
2dx =   ∣∣ =   −   =    u. a.
x3
3
1
0
13
3
03
3
1 
3
u. a. →
área =   ∫ 40 f(x)dx = área =   ∫
4
0 (x + 1)dx  =   ( +  x)
∣
∣ =( + 4)−0
x2
2
4
0
42 
2
=  8 u. a
∫ b
a
[f(x)−g(x)]dx
 
Imagem: Thomas, 2002, p. 347
 Figura 4 – Área da região limitada acima por y = f(x), abaixo por y = g(x), à esquerda 
pela reta x=a, e à direita pela reta x=b
Veja o exemplo!
Calcule a área da região delimitada por y = f(x) = x +6 e y = g(x) = x2 em [-2,3].
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a área delimitada por y = f(x) = x +6 e y = g(x) = x2 em [-2,3] é (unidades de área).
MUDANÇA DE VARIÁVEL OU REGRA DA SUBSTITUIÇÃO
Agora, aprenderemos como substituir uma integral relativamente complicada por uma mais simples.
Sejam f e g funções diferenciáveis. Suponhamos que F seja uma primitiva de f: Então,
F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x))g’(x)
[F(g(x))]’ = F’(g(x))g’(x) = f(g(x))g’(x)
Portanto,
Onde k é uma constante arbitrária. Assim, se fizermos a mudança de variávelou substituição u = g(x), temos:
A =   ∫ b
a
(f(x)−g(x))dx
A =   ∫ 3
−2
[(x + 6)− x2]dx =   ∫ 3
−2
(x + 6 −  x2)dx 
A =   ∫ 3
−2
xdx  + ∫ 3
−2
6dx − ∫ 3
−2
x2dx
A =   ( + 6x −   )∣∣
x2
2
x3
3
3
−2
A =  ( + 6.3 −   )  −   ( + 6.(−2) −   )3
2
2
33
3
(−2)2
2
(−2)3
3
A =(   + 18  −   )  −( − 12 + )9
2
27
3
4
2
8
3
A =  ( )− ( )27
2
−22
3
A =   + =   =    u. a.27
2
22
3
81+44
6
125
6
  u. a.125
6
∫ f(g(x))g'dx = F(g(x))+C  
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou, escrevendo F’=f, obtemos a regra da substituição:
Veja o exemplo!
Encontre 
Parece difícil né? Mas escolha a função de maior potência para chamar de u, nesse caso,
u = 1 + x2
Queremos explicitar 
Vamos fazer a substituição?
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Viu como ficou fácil? Cortar 2x do numerador com 2x do denominador, logo:
Esta integral já sabemos resolver:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo de volta u = 1 + x2, teremos que a solução final da integral é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS
∫ F '(g(x))g'(x)dx =   ∫ [F(g(x))]'dx =  F(g(x)) +  C =   ∫ F '(u)du  
∫ f(g(x))g'(x)dx =   ∫ f(u)du
∫ 2x√1 +  x2 dx
=  2x,du
dx
dx =   du
2x
∫ 2x√1 +  x2 dx =   ∫ 2x√u  du2x
∫ 2x√u  =   ∫ √u dudu2x
∫ √u du =   ∫ u du =   + C
1
2
2√u3
3
∫ 2x√1 +  x2 dx =     + C
2√(1+ x2)3
3
O especialista resolve mais exemplos de cálculos com integrais.
Vamos ver mais um exemplo?
Resolva a integral 
O primeiro fato a ser observado é se no integrando você consegue visualizar uma função e sua derivada. Perfeito! A derivada de (x5 + 3x2) é (5x4
+ 6x).
PASSO 1: QUAL O TERMO DE MAIOR POTÊNCIA?
PASSO 2: DERIVAR E EXPLICITAR DX.
PASSO 3: FAZER A SUBSTITUIÇÃO:
u = x5 + 3x2
Agora ficou fácil! Cortar (5x4 + 6x) do numerador com o mesmo termo no denominador.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo de volta u = x5 + 3x2, teremos que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∫ (x5 + 3x2)2.  (5x4 + 6x)dx
=  5x4 + 6xdu
dx
dx =   du
(5x4+6x)
∫ (x5 + 3x2)
2
.  (5x4 + 6x)dx =   ∫ (u)2.  (5x4 + 6x) du
(5x4+6x)
∫ (u)2.  (5x4 + 6x) =   ∫ u2 du =   + Cdu(5x4+6x)
u3
3
∫ (x5 + 3x2)
2
.  (5x4 + 6x)dx = ∫ u2 du =   + Cu
3
3
∫ (x5 + 3x2)
2
.  (5x4 + 6x)dx =     + C
(x5+3x2)3
3
REGRA DA SUBSTITUIÇÃO PARA INTEGRAIS DEFINIDAS
Se g’ for contínua em [a,b] e f for contínua na variação u = g(x), então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Parece complicado? Basta você resolver a interação por substituição e depois aplicar os limites de integração.
Veja o exemplo!
Vamos resolver o exemplo anterior .
Já sabemos que os passos para a solução dessa integral nos leva a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Antes de efetuar a regra da integração definida, temos que ir até o final da solução da integral por substituição, ou seja, você não deve resolver a
integral definida em u! Resolva a integral, faça a substituição de u e depois aplique os limites de integração em x.
Logo, a aplicação dos limites de integração deverá ser em x,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS
O especialista continua a explicar os cálculos com integrais através de mais exemplos.
∫ b
a
f(g(x))g'(x)dx =   ∫ g(b)
g(a) f(u)du  
∫ 1
1/2
√2x − 1  dx
∫ 11/2 √2x − 1  dx =   ∫
1
1/2
√u   =   ∫
1
1/2
u du = .   √u3 ∣∣
du
2
1
2
1
2
1
2
2
3
1
1/2
∫ 11/2 √2x − 1  dx =   ∫
1
1/2
√u   =   ∫
1
1/2
u du = .   √u3 ∣∣ = .  √(2x − 1)
3
 
∣
∣
∣
du
2
1
2
1
2
1
2
2
3
1
1/2
1
3
1
1/2
= .  √(2.1 − 1)3 − .  √(2. − 1)3 = √1 −   √0 =  13
1
3
1
2
1
3
1
3
1
3
INTEGRAIS MAIS UTILIZADAS NA ÁREA DA SAÚDE
Atualmente, o cálculo integral é amplamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só
de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química etc.
Na área da saúde, a integral é utilizada em problemas de acumulação (ou variação líquida), que são aqueles nos quais temos a taxa de
variação de uma grandeza e precisamos calcular o valor da grandeza acumulada ao longo do tempo. Esses problemas são resolvidos usando
integrais definidas. Veja a seguir.
INTEGRAÇÃO DE 
Vimos que existem regras para integração e que a integral: 
Aplicando a regra de substituição de variável, podemos, por exemplo, resolver as integrais a seguir:
a) 
Faremos u = 5x
Logo: 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo de volta u = 5x, teremos que:
B) INTEGRAÇÃO DE 
A integral do tipo 
Também podemos resolver integrais do tipo ou 
Basta utilizar a técnica de solução da integral por substituição de variável:
u = 3x
Logo: 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo de volta: u=3x
Teremos que: 
Analogamente:
∫ (u)= eu
∫ eudu =  eu + C
∫ e5xdx
= 5du
dx
dx =   du
5
∫ e5xdx =   ∫ eu =   ∫ eudu =   + Cdu
5
1
5
eu
5
∫ e5xdx =    + Ce
5x
5
∫ (u)= 1
u
∫ = ln|x|+Cdx
x
∫ dx
3x 
∫ .dx
x+3
∫ dx
3x
= 3du
dx
dx =   du
3
∫ =   ∫   =   ∫ =   ln|u|+Cdx
3x
du/3
u
1
3
du
u
1
3 
∫ =    ln|3x|+Cdx
3x
1
3 
∫ dx
x+3
u = x + 3
Logo: 
Substituindo de volta: u=x + 3
Teremos que: 
MÃO NA MASSA
1. RESOLVA A INTEGRAL INDEFINIDA E MARQUE A OPÇÃO CORRETA:
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. RESOLVA A INTEGRAL INDEFINIDA E MARQUE A OPÇÃO CORRETA.
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalC) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. RESOLVA A INTEGRAL INDEFINIDA E MARQUE A OPÇÃO CORRETA:
= 1du
dx
dx = du
∫ =   ∫   =   ln|u|+Cdx
x+3
du
u
∫ =    ln|x + 3|+Cdx
x+3
∫(x5 + 1)dx 
∫(x5 + 1)dx  =   + x + Cx
6
6
∫(x5 + 1)dx  =   + Cx
6
6
∫(x5 + 1)dx  =   + x2 + Cx
4
4
∫(x5 + 1)dx  =   + 1 + Cx
6
6
∫(x5 + 1)dx  =   + 1 + Cx
4
4
∫(8x4  + 4x3 − 6x  + 5)dx
∫(8x4  + 4x3 − 6x  + 5)dx =  8   +   x4  − 6x  + 5x + C x
5
5
∫(8x4  + 4x3 − 6x  + 5)dx =  8   +   x4  − 3x2  + 5 + C x
5
5
∫(8x4  + 4x3 − 6x  + 5)dx =  8   +   x4  − 3x2  + 5x + Cx
5
5
∫(8x4  + 4x3 − 6x  + 5)dx =  8   +   x3  − 3x2  + 5x + C x
5
5
∫(8x4  + 4x3 − 6x  + 5)dx =  8   +   x4  − 3x3  + 5x + C x
5
5
∫(x   − x)dx
2
3
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. SEJA F(X) = 5. TOMEMOS A REGIÃO DELIMITADA POR F(X), O EIXO X E AS RETAS X = 1 E X = 3. FAÇA O
GRÁFICO E CALCULE A ÁREA A DESSA REGIÃO.
A) A = 2 u.a
B) A = 10 u.a
C) A = 12 u.a
D) A = 15 u.a
E) A = 20 u.a
5. SEJA F(X) = X. TOMAREMOS A REGIÃO DELIMITADA PELO EIXO X, A FUNÇÃO F(X) = X E AS RETAS X = 0 E X
= 7. CALCULE A ÁREA A DESSA REGIÃO.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
6. RESOLVA A INTEGRAL INDEFINIDA E MARQUE A OPÇÃO CORRETA:
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
∫(x   − x)dx =   √x5 −   + C 
2
3 4
3
x2
2
∫(x   − x)dx =   √x5 −  1 + C
2
3
3
5
∫(x   − x)dx =   √x3 −   + C
2
3
3
5
x2
2
∫(x   − x)dx =   √x5 −   + C
2
3
3
5
x2
2
∫(x   − x)dx =   √x5 −   + C
2
3
5
3
x2
2
A =    u. a13
2
A =    u. a14
2
A =    u. a35
2
A =    u. a40
2
A =    u. a.49
2
∫ √2x − 1  dx
∫ √2x − 1  dx =   √(2x − 1)3 + C1
2
∫ √2x − 1  dx =   √(2x − 1)3 + C3
2
∫ √2x − 1  dx =   √(2x − 1)3 + C2
3
∫ √2x − 1  dx =   √(2x − 1)3 + C5
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
1. Resolva a integral indefinida e marque a opção correta:
A alternativa "A " está correta.
2. Resolva a integral indefinida e marque a opção correta.
A alternativa "C " está correta.
3. Resolva a integral indefinida e marque a opção correta:
A alternativa "D " está correta.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Seja f(x) = 5. Tomemos a região delimitada por f(x), o eixo x e as retas x = 1 e x = 3. Faça o gráfico e calcule a área A dessa região.
A alternativa "B " está correta.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∫ √2x − 1  dx =   √(2x − 1)3 + C1
3
∫(x5 + 1)dx 
∫(x5 + 1) dx
= ∫ x5dx +   ∫ dx =   + x + Cx
6
6
∫(8x4  + 4x3 − 6x  + 5)dx
∫(8x4  + 4x3 − 6x  + 5)dx
= ∫ 8x4dx +   ∫ 4x3dx −   ∫ 6xdx +   ∫ 5dx
= 8 ∫ x4dx + 4 ∫ x3dx − 6 ∫ xdx + 5 ∫ dx
= 8   +   4   − 6   + 5x + Cx
5
5
x4
4
x2
2
= 8   +   x4  − 3x2  + 5x + Cx
5
5
∫(x   − x)dx
2
3
∫(x   − x)dx
2
3
= ∫ x dx  −   ∫ xdx
2
3
= − + Cx
+1
2
3
+1
2
3
x1+1
1+1
=     −   + Cx
5
3
5
3
x2
2
= √x5 −   + C3
5
x2
2
∫(x   − x)dx =   √x5 −   + C
2
3
3
5
x2
2
A =   ∫ 3
1
5dx =  5 ∫ 3
1
dx =  5x|   = 5 (3 − 1)= 10 u. a.3
1
5. Seja f(x) = x. Tomaremos a região delimitada pelo eixo x, a função f(x) = x e as retas x = 0 e x = 7. Calcule a área A dessa região.
A alternativa "E " está correta.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Resolva a integral indefinida e marque a opção correta:
A alternativa "E " está correta.
u = 2x -1
Substituindo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo de volta u = 2x -1, teremos que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DE MODO SIMPLIFICADO, PODEMOS DIZER QUE A CURVA EPIDÊMICA DA COVID-19 NO ESTADO X, PARA O
NÚMERO ACUMULADO DE CASOS (OU DE ÓBITOS), EM FUNÇÃO DO TEMPO, APRESENTA TRÊS REGIÕES
DISTINTAS, A SABER: 
 
I UMA FASE INICIAL DE CRESCIMENTO RÁPIDO. 
 
II UMA REGIÃO INTERMEDIÁRIA, ONDE A CURVA CRESCE APROXIMADAMENTE DE MODO LINEAR; E 
 
III UMA PARTE FINAL, QUANDO A TAXA DE CRESCIMENTO DIMINUI E A CURVA TENDE A UM PLATÔ DE
SATURAÇÃO. 
 
NA FASE INICIAL, TIPICAMENTE, VERIFICA-SE UM CRESCIMENTO EXPONENCIAL DA CURVA EPIDÊMICA. PARA
CALCULAR A ÁREA SOB A CURVA, UTILIZA-SE O CÁLCULO INTEGRAL , ONDE U REPRESENTA A
FUNÇÃO DE CRESCIMENTO DA CURVA NA FASE I. RESOLVA A INTEGRAL INDEFINIDA E MARQUE A
OPÇÃO CORRETA.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
A =   ∫ 7
0
xdx =   ∣∣   =( − 0)=  u. a
x2
2
7
0
72
2
49
2
∫ √2x − 1  dx
= 2du
dx
dx =   du
2
∫ √2x − 1  dx =   ∫ √u   =   ∫ u du = .   √u3 + Cdu2
1
2
1
2
1
2
2
3
∫ √2x − 1  dx =   √(2x − 1)3 + C1
3
∫ eudu
∫ e7tdt
∫ e7tdt =   e7t + C
∫ e7tdt =   7e7t + C
∫ e7tdt =  7t e7t + C
∫ e7tdt =    + Ce
7t
7
∫ e7tdt =    + Ce
t
7
2. A INTEGRAL INDEFINIDA DO TIPO É UTILIZADA NA ÁREA DA SAÚDE PARA CALCULAR
AJUSTES EM MODELOS MATEMÁTICOS BASEADOS NO ALGORITMO DE LEVENBERG-MARQUARDT, PARA
RESOLVER O PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO NÃO LINEAR PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS. TRATA-
SE DE UM RECURSO ANALÍTICO DA MODELAGEM MATEMÁTICA DE FENÔMENOS DA ÁREA DA SAÚDE PARA
ENTENDER A MUDANÇA DE COMPORTAMENTO DESSE FENÔMENO. 
BASEADO NO TEXTO, RESOLVA A INTEGRAL INDEFINIDA E MARQUE A OPÇÃO CORRETA.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. De modo simplificado, podemos dizer que a curva epidêmica da COVID-19 no estado X, para o número acumulado de casos (ou de
óbitos), em função do tempo, apresenta três regiões distintas, a saber: 
 
I uma fase inicial de crescimento rápido. 
 
II uma região intermediária, onde a curva cresce aproximadamente de modo linear; e 
 
III uma parte final, quando a taxa de crescimento diminui e a curva tende a um platô de saturação. 
 
Na fase inicial, tipicamente, verifica-se um crescimento exponencial da curva epidêmica. Para calcular a área sob a curva, utiliza-se o
cálculo integral , onde u representa a função de crescimento da curva na fase i. Resolva a integral indefinida e marque a
opção correta.
A alternativa "D " está correta.
 
Faremos u = 7t
Logo: 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo de volta u = 7t, teremos que:
2. A integral indefinida do tipo é utilizada na área da saúde para calcular ajustes em modelos matemáticos baseados
no algoritmo de Levenberg-Marquardt, para resolver o problema de otimização não linear pelo método dos mínimos quadrados. Trata-se
de um recurso analítico da modelagem matemática de fenômenos da área da saúde para entender a mudança de comportamento desse
fenômeno. 
Baseado no texto, resolva a integral indefinida e marque a opção correta.
A alternativa "A " está correta.
 
Basta utilizar a técnica de solução da integral por substituição de variável:
∫ = ln|x|+Cdx
x
∫ − dx
x−1 
∫ =   − ln|x − 1|+C−dx
x−1
∫ =   ln|x − 1|+C−dx
x−1
∫ =   − ln|x + 1|+C−dx
x−1
∫ =   − ln|x|+C−dx
x−1
∫ =   ln|x|+C−dx
x−1
∫ eudu ∫ e7tdt
∫ e7tdt
= 7du
dt
dt =   du
7
∫ e7tdt =   ∫ eu =   ∫ eudu =   + Cdu
7
1
7
eu
7
∫ e7tdt =    + Ce
7t
7
∫ = ln|x|+Cdxx
∫ − dx
x−1 
Logo:
Substituindo de volta: u = x-1
Teremos que: 
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Você finalizou seus estudos de Matemática,estando mais preparado com os recursos necessários para avanço na sua profissão.
Foram compreendidos aqui os conceitos e os cálculos de limites e derivadas, assim como os conceitos e os cálculos de integrais. Ainda, foram
trabalhados ao longo do conteúdo exemplos práticos na área da saúde.
A todo momento, nos serviços de saúde, precisamos modelar matematicamente o comportamento de sistemas que nos auxiliam em tomadas de
decisões. Portanto, todos os conceitos aqui apresentados são de grande utilização em sua formação profissional.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BORNATTO, G.; SANZOVO, N. (Orgs). Tecnologias educativas: Cálculo Diferencial e Integral 1. Curitiba: PUCPR, 2017. Pato Branco: UTFPR,
2017. Consultado na internet em: 31 ago. 2021.
FRIEDLI, S. Cálculo 1. Belo Horizonte: Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Matemática, Instituto de Ciências Exatas, 2013.
THOMAS, G. B. Cálculo. vol. 1. 10. ed. (s.i.): Addison Wesley, 2002.
EXPLORE+
∫ −dx
x−1
u = x − 1
= 1du
dx
dx =  du
∫ =   ∫   =   − ln|u|+C−dx
x−1
−du
u
∫ =   − ln|x − 1|+C−dx
x−1
Para saber mais sobre os assuntos estudados aqui, pesquise vídeos sobre os seguintes temas:
Introdução às derivadas e às integrais.
Introdução aos limites.
Solução de limites.
CONTEUDISTA
Aneuri souza de amorim