MÉTODO DA CARGA IMAGEM E EXPANSÃO MULTIPOLAR

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Fichamento do fascículo 4 
Pa ra i n t r odu z i rmos sobre o mé todo d a ca rga 
imagem , v ou e xp l i c a r um exemp l o ‘ f i x o ’ q ue 
e xemp l i f i c a sob re e ssa i d e i a . 
De a cordo com a imagem most rada aba i x o , 
p odemos obse rvar q ue e x i s t e uma p l a ca 
i n f i n i t a a uma d i s t ân c i a d a t e r ra da com 𝑽 = 𝟎 
que i n t e r rompa e l e t r os t a t i c amen te a 
pa ssagem t o t a l p a ra o ou t r o l a d o , e n t ão 
podemos d i ze r q ue e ss a p l a ca se c ompor t a 
c omo uma equ i p o t enc i a l . Em uma mane i r a ma i s 
s imp l e s , p odemos ev i d enc i a r q ue e ssa p l a ca se 
c ompor t a c omo um espe l h o . 
 
Mas por q uê ? 
En t ão , n a imagem t ambém é most rada uma 
carga 𝒒 q ue e s t á a uma d i s t ân c i a 𝒅 d a p l a c a 
i n f i n i t a . P odemos af i rmar q ue have rá um 
espe l h amen t o de ca rga s n o ou t r o l a d o com a 
mesma d i s t ânc i a , n o en t an t o com carga −𝒒. 
P or t an t o , d i zemos q ue e l a s vão se compo r t a r 
c omo d i p o l o s , mesmo a ca rga −𝒒 sendo 
imag i n á r i a . E sse e xemp l o p ode se r en unc i a d o 
c omo o Método Da Carga Imagem . 
A par t i r d e s sa d i s cu ssã o , em me i o a e q uaç ões 
o p o tenc i a l se compor t a de s sa f o rma : 
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
1
4𝜖0𝜋
{
𝑞
[𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 𝑑)²]
1
2
−
𝑞
[𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 + 𝑑)²]
1
2
} 
Sabendo que 𝑽(𝒙, 𝒚, 𝟎) = 𝟎 e 𝑽 → 𝟎 com 𝒙𝟐 +
𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 ≫ 𝒅𝟐 . 
Já em coordenadas cilíndricas, usamos 𝝆𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
para calcular o potencial elétrico, 
𝑉(𝜌, 𝑧) =
1
4𝜖0𝜋
{
𝑞
[𝜌² + (𝑧 − 𝑑)²]
1
2
−
𝑞
[𝜌² + (𝑧 + 𝑑)²]
1
2
} 
Desenvolvendo a fórmula do campo eletrico por meio das 
derivadas, obtemos a equação geral do campo eletrico 
expresso abaixo: 
𝐸ሬԦ(𝜌, 𝑧) = −
𝜕𝑉
𝜕𝜌
𝜌ො −
𝜕𝑉
𝜕𝑧
�̂� 
7 
𝐸ሬԦ(𝜌, 𝑧) =
𝑞
4𝜖0𝜋
{−
𝜌
[𝜌2 + (𝑧 − 𝑑)2]
3
2
+
𝜌
[𝜌2 + (𝑧 + 𝑑)2]
3
2
−
(𝑧 − 𝑑)
[𝜌² + (𝑧 − 𝑑)²]
3
2
+
(𝑧 + 𝑑)
[𝜌² + (𝑧 + 𝑑)²]
3
2
} 
 
- MULTIPOLOS ELETROSTÁTICOS 
A expansão multipolar tem como objetivo estudar o 
comportamento do potencial eletrico de uma maneira mais 
aproximativa em um ponto 𝒓 > 𝒓′. 
𝑉(𝑟Ԧ) =
1
4𝜋𝜖0
∭
𝜌(𝑟Ԧ′)𝑑𝜏′
𝓇
 
𝑣
 
Onde, 
𝓇2 = 𝑟2 + 𝑟′2 − 2𝑟′𝑟𝑐𝑜𝑠 𝛾 
Seguindo uma linha de raciocínio usando polinômios de 
Legendre, series de potências (
𝒓′
𝒓
), o potencial resulta e 
expande, respectivamente em: 
𝑉(𝑟Ԧ)
= 
1
4𝜋𝜖0
෍
1
𝑟𝑙+1
∞
𝑖=0
∭ (𝑟′)𝑙𝑃𝑙 cos 𝛾 𝜌(𝑟Ԧ
′)𝑑𝜏′
 
𝑣
 
 
𝑉(𝑟Ԧ) = 
1
4𝜋𝜖0
[
1
𝑟
∭ 𝜌(𝑟Ԧ′)𝑑𝜏′
 
𝑣
+
1
𝑟²
∭ 𝑟′ cos 𝛾 𝜌(𝑟Ԧ′)𝑑𝜏′
 
𝑣
+
1
𝑟³
∭ (𝑟′)² ൬
3
2
𝑐𝑜𝑠2𝛾
 
𝑣
−
1
2
൰ 𝜌(𝑟Ԧ′)𝑑𝜏′ + ⋯ ] 
 
- MONOPOLO 
𝑉(𝑟Ԧ) = 
1
4𝜋𝜖0
𝑄
𝑟
 
 
𝑉(𝑟Ԧ) = 
1
4𝜋𝜖0
[
𝑞
𝑟
+
𝑞𝑑 cos 𝜃
𝑟²
+
𝑞𝑑²(3 cos2 𝜃 − 1)
2𝑟³
+ ⋯ ] 
 
- DIPOLO 
 
𝑉(𝑟Ԧ) =
1
4𝜋𝜖0
𝓇ො ∙ 𝑝Ԧ
𝓇²
 
 
 
𝐸ሬԦ(𝑟Ԧ) =
1
4𝜋𝜖0
[
3(𝑝Ԧ ∙ �̂�)�̂�
𝑟³
−
𝑝Ԧ
𝑟³
] −
𝛿(𝑟Ԧ)
3𝜖0
𝑝Ԧ 
 
- QUADRUPOLO ELÉTRICO 
 
𝑉(𝑟Ԧ) = 
1
4𝜋𝜖0
1
2𝑟³
෍ �̂�𝑖𝑄𝑖𝑗
𝑖,𝑗
�̂�𝑗 
 
𝑉(𝑟Ԧ) = 
1
4𝜋𝜖0
𝑄
𝑟
+
1
4𝜋𝜖0
�̂� ∙ 𝑝Ԧ
𝑟²
+
1
4𝜋𝜖0
1
2𝑟³
෍ �̂�𝑖𝑄𝑖𝑗
𝑖,𝑗
�̂�𝑗
+ ⋯