Questão resolvida - Use integral dupla para calcular o volume do sólido abaixo - Cálculo II - PUC-RS

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• Use integral dupla para calcular o volume do sólido abaixo.
 
Resolução:
 
Usando integrais duplas, o volume da região da figura é dada por;
 
V = f x, y dA∫
R
∫ ( )
 
 é o que representa a superfície superior;f x, y( ) z
 
f x, y = z = 2x+ 3y+ 3( )
 
 
Os limites de integração são definidos pelo retângulo que é a base do sólido e está no eixo 
;xy
 
Veja que a em x o retângulo vai de 0 a 1, em y o retângulo vai de 0 a 2, com isso, podemos 
escrever a integral dupla do volume desejado como;
 
V = 2x+ 3y+ 3 dxdy
2
0
∫
1
0
∫ ( )
Resolvendo;
 
V = 2x + 3y + 3 dxdy = 2 + 3yx + 3x dxdy = x + 3yx + 3x dxdy
2
0
∫
1
0
∫ ( )
2
0
∫ x
2
2 1
0
2
0
∫ 2
1
0
 
V = 1 + 3y ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 - 0 + 3y ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 dy = 1 + 3y + 3 - 0 dy
2
0
∫ ( )2 ( )2
2
0
∫ ( )
 
V = 3y + 4 dy = 3 + 4y = 3 + 4 ⋅ 2 - 3 + 4 ⋅ 0 = 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 - 0 = 6 + 8
2
0
∫ ( ) y
2
2 2
0
2
2
( )2 0
2
( )2
( )
 
V = 14 u. v.
 
 
x
y
1
2
(Resposta )