Questão resolvida - Determinar, usando coordenadas polares, o volume do sólido dentro da esfera xyz16 e fora do cilindro xy4 - volume usando integral dupla - Cálculo II

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
• Determinar, usando coordenadas polares, o volume do sólido dentro da esfera 
 e fora do cilindro .x² + y² + z² = 16 x² + y² = 4
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos construir os sólidos para identificar a região que desejamos encontrar o 
volume. A esfera tem seu centro nos eixos coordenados, fazendo;
 
z = 0 x² + y² + 0 ² = 16 x² + y² = 16 x² + y² = 4→ ( ) → → ( )2
 
Essa é a projeção da curva no eixo xy, uma esfera de raio 5;
 
 
x = 0 0 ² + y² + z² = 16 y² + z² = 16 y² + z² = 4→ ( ) → → ( )2
 
Essa é a projeção da curva no eixo zy, uma esfera de raio 4;
 
 
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 80
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
y = 0 x² + 0 ² + z² = 16 x² + z² = 16 x² + z² = 4→ ( ) → → ( )2
 
Essa é a projeção da curva no eixo zx, uma esfera de raio 4;
 
 
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 80
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
z
y
O cilíndro é dado por , ou seja, suas seções paralelas ao eixo x² + y² = 4 x² + y² = 2→ ( )2
xy são círculos de raio 3;
 
 
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 80
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
z
y
Com essas informações é possível traçar a gráfico da região que desejamos encontrar o 
volume, como visto na sequência; 
 
 
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 90
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
O volume dessa região é encontrado usando coordenadas polares, o volume dessa esfera 
em coordenadas cartesianas é dado por;
 
V = f x, y - f x, y dA
R
∫ ∫( 2( ) 1( ))
 
Perceba que o volume que queremos calcular é limitado superiormente pela curva da esfera
 e inferiormente também pela curva da esfera , porém, as expressões da f x, y( 2( )) f x, y( 1( ))
parte superior e inferior da esfera são diferentes, vejamos;
 
x² + y² + z² = 16 z² = 16 - x² - y² z = ± f x, y = ±→ → 16 - x² - y² → ( ) 16 - x² - y²
 
Com isso, a parte superior da esfera é dada pela curva;
 
f x, y =2( ) 16 - x² - y²
 
 
 
 Já a parte inferior da esfera é dada pela curva;
 
f x, y = -1( ) 16 - x² - y²
 
 Dessa forma, a integral do volume fica;
 
V = - - dA
R
∫ ∫ 116 - x² - y² 16 - x² - y²
 
V = + dA V = 2 dA
R
∫ ∫ 16 - x² - y² 16 →
R
∫ ∫ 16 - x² - y²
 
V = 2 dA V = 2 dA
R
∫ ∫ 16 - x² - y² →
R
∫ ∫ 16 - x² + y²( )
Devemos passar as variáveis da integral para coordenadas polares, isso é feito com as 
substituições;
x = rcos 𝜃 , y = rsen 𝜃 e dA = rdrd𝜃( ) ( )
 
V = 2 rdrd𝜃
R
∫ ∫ 16 - rcos 𝜃 ² + rsen 𝜃 ²( ( )) ( ( ))
V = 2 rdrd𝜃 = 2 rdrd𝜃
R
∫ ∫ 16 - r cos 𝜃 + r sen 𝜃2 2( ) 2 2( )
R
∫ ∫ 16 - r sen 𝜃 + cos 𝜃2 2( ) 2( )
 
Utilizando a identidade trigonométrica pitagórica : sen 𝜃 + 𝜃 = 12( ) cos2( )
 
V = 2 rdrd𝜃 = 2 rdrd𝜃
R
∫ ∫ 16 - r 12( )
R
∫ ∫ 16 - r2
Um seção paralela do gráfico da região limitada pelos volumes das superfícies pode é visto 
na sequência;
 
 
 
Veja que o volume que desejamos calcular vai do cilíndro até a esfera, esse é o limite de 
integração para o raio, ou seja, vai de 2 a 4. Já o ângulo deve varrer toda a extenssão das 
superfícies, indo de 0 a 2 ; com isso, a integral do volume fica:𝜋
 
V = 2 rdrd𝜃
0
∫
2𝜋 4
2
∫ 16 - r2
 
Como não varia em função de r, podemos fazer;𝜃
 
V = 2 rdrd𝜃 V = 2 1d𝜃 rdr
0
∫
2𝜋 4
2
∫ 16 - r2 →
0
∫
2𝜋 4
2
∫ 16 - r2
 
Vamos resolver a integral em r sepadamente;
 
rdr, u = 16 - r du = -2rdr - = rdr∫ 16 - r2 2 → → du
2
 
assim rdr = - = - du = - u du = - + c→∫ 16 - r2 ∫ u du
2
1
2
∫ u 1
2
∫
1
2
1
2
u
+ 1
+1
1
2
1
2
 
 
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
Esfera
Cilíndro
 
- + c = - + c = - u + c = - u + c = - u u + c
1
2
u
1 + 2
2
1+2
2
1
2
u
3
2
3
2
1
2
2
3
3
2
1
3
1
2
3
1
3
1
2
2 1
2
1
 
rdr = - u + c = - u + c = - u + c∫ 16 - r2 1
3
2
2 u
1
3
1 u
1
3
u
 
rdr = - 16 - r + c∫ 16 - r2 1
3
2 16 - r2
 
Voltando para a integral definida, o volume fica;
 
V = 2 1d𝜃 rdr = 2𝜃 - 16 - r
0
∫
2𝜋 5
3
∫ 16 - r2
2𝜋
0
1
3
2 16 - r2
4
2
 
V = 2 2𝜋 - 0 - 16 - 4 - - 16 - 2( )
1
3
2 16 - 4( )2
1
3
( )2 16 - 2( )2
 
V = 2 ⋅ 2𝜋 - 16 - 16 - - 16 - 4 = 4𝜋 - 0 + 12
1
3
( ) 16 - 16
1
3
( ) 16 - 4
1
3
( ) 0
1
3
( ) 12
 
V = 4𝜋 0 + 4 ⋅ V = 4𝜋 ⋅ 4 = 16𝜋 ⋅ ⋅ 23 ⋅ 4 → 3 4 3
 
 
V = 32 𝜋 u. v.3
 
 
(Resposta )