ATIVIDADE DE ESTUDO 3 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Atividade de Estudo 3 - GAAL 
 
Acadêmico: Humberto Jorge da Silva Raia R.A.: 21056472-5 
 
Atividade: 
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre 
as principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando o conceito: dados dois 
conjuntos, não vazios, U e V, uma aplicação (transformação) de U em V é uma "lei" 
que associa a cada elemento de U um único elemento de V. Se denotamos por F 
esta aplicação, então, o elemento associado é denotado por F(u), que está em V, 
denominado a imagem de u pela aplicação F. 
Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede: 
T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + y + z, x - y + z, x + y - z) 
a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta por meio da aplicação da 
conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação. 
Resposta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]? 
Resposta 
 
 
 
 
 
 
c) Qual a dimensão do Núcleo [ dim(Ker) ]? A Transformação é injetora? 
Resposta 
A dimensão do núcleo é dada pelo número de vetores do núcleo. Como só há um 
vetor que pertence a este, a sua dimensão é 1 
Dim(N(T)) = 1 
A transformação também é injetora, pois o único vetor do núcleo de T é o vetor nulo. 
 
d) Qual a Imagem de T [ Im(T) ]? 
Resposta 
 T(x,y,z)=(x+y+z, x-y+z, x+y-z) = x(1,1,1)+y(1,-1,1)+z(1,1,-1) 
Dizemos que os vetores (1,1,1), (1,-1,1) e (1,1,-1) formam a imagem da 
transformação linear. 
Portanto, Im(T) = {(1,1,1); (1,-1,1); (1,1,-1)}. 
 
e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora? 
Resposta 
dim R³ = dim N(T) + dim Im(T) 
3 = 1 + dim Im(T) 
dim Im(T) = 2 
A transformação não é sobrejetora pois as dimensões da imagem (2) e do conjunto 
de chegada R³ (3) são diferentes. 
f) Qual a matriz da Transformação? 
Resposta 
 
 
g) Quais seus autovalores? 
Resposta 
 
 
 
 
 
h) Quais seus autovetores? 
Resposta