ATIVIDADE DE ESTUDO 3 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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ATIVIDADE DE ESTUDO 3 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
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As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando o conceito: dados dois conjuntos, não vazios, U e V, uma aplicação (transformação) de U em V é uma "lei" que associa a cada elemento de U um único elemento de V. Se denotamos por F esta aplicação, então, o elemento associado é denotado por F(u), que está em V, denominado a imagem de u pela aplicação F.
​Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede:
T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + y + z, x - y + z, x + y - z)
a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta por meio da aplicação da conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação.
I. 
II. 
Demonstração:
Sejam u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2)
I. T(u+v) = T[(x1+x2),(y1+y2),(z1+z2)] = [(x1+x2+y1+y2+z1+z2),(x1+x2-y1-y2+z1+z2),(x1+x2+y1+y2-z1-z2)] = [(x1+y1+z1)+(x2+y2+z2), (x1-y1+z1)+(x2-y2+z2), (x1+y1-z1)+(x2+y2-z2) = T(u)+T(v)
II. T(au) = T(ax,ay,az) = (ax+ay+az, ax-ay+az, ax+ay-az) = [a(x+y+z),a(x-y+z),a(x+y-z)] = a(x+y+z, x-y+z, x+y-z) = a.T(u)
Por I e II temos que a transformação é linear.
b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]?
 O núcleo de uma transformação linear é dados pelos vetores de T tais que T(0)=0. Isto é, devemos encontrar as soluções do seguinte sistema linear:
Somando as linhas 2 e 3 obtemos x = 0 e por consequência y = 0 e z = 0. Portanto a única solução do sistema é a solução trivial, a terna ordenada (0,0,0).
N(T) = {(0,0,0)}
c) Qual a dimensão do Núcleo [ dim(Ker) ]? A Transformação é injetora?
A dimensão do núcleo é dada pelo número de vetores do núcleo. Como só há um vetor que pertence a este, a sua dimensão é 1
Dim(N(T)) = 1
A transformação também é injetora, pois o único vetor do núcleo de T é o vetor nulo.
d) Qual a Imagem de T [ Im(T) ]?
Como T(x,y,z)=(x+y+z, x-y+z, x+y-z) = x(1,1,1)+y(1,-1,1)+z(1,1,-1)
Dizemos que os vetores (1,1,1), (1,-1,1) e (1,1,-1) formam a imagem da transformação linear. Portanto, Im(T) = {(1,1,1); (1,-1,1); (1,1,-1)}.
e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora?
dim R³ = dim N(T) + dim Im(T)
3 = 1 + dim Im(T)
dim Im(T) = 2
A transformação não é sobrejetora pois as dimensões da imagem (2) e do conjunto de chegada R³ (3) são diferentes.
f) Qual a matriz da Transformação?
g) Quais seus autovalores?
h) Quais seus autovetores?
(0,1,-1); (1,-1,-1); (2,1,1).