ATV3 - GEOMETRIA ANALITICA - 2021

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ATIVIDADE 3- GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - 53/2021 
Atividade: 
 
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as 
principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando o conceito: dados dois conjuntos, não 
vazios, U e V, uma aplicação (transformação) de U em V é uma "lei" que associa a cada 
elemento de U um único elemento de V. Se denotamos por F esta aplicação, então, o 
elemento associado é denotado por F(u), que está em V, denominado a imagem de u 
pela aplicação F. 
 
Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede: 
 
T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + y + z, x - y + z, x + y – z) 
a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta por meio da aplicação da 
conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação. 
R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + y + z, x - y + z, x + y – z) 
𝑈 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑉 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) 
𝑇(𝑈 + 𝑉) = 𝑇(𝑈) + 𝑇(𝑉) → 𝑅𝐸𝐺𝑅𝐴 𝐷𝐴 𝑆𝑂𝑀𝐴 
𝑈 + 𝑉 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, + 𝑧1 + 𝑧2) 
𝑇(𝑈 + 𝑉) = 𝑇(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, + 𝑧1 + 𝑧2) 
APLICANDO O TL 
𝑇(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, + 𝑧1 + 𝑧2) 
= (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2 , + 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑧1 + 𝑧2, +𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, − 𝑧1
− 𝑧2) 
𝑇(𝑈) = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1, 𝑥1 − 𝑦1, 𝑧1, 𝑥1, 𝑦1 − 𝑧1) 
𝑇(𝑉) = (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, 𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2, 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2) 
VERIFICAR SE 𝑇(𝑈) + 𝑇(𝑉) = 𝑇(𝑈 + 𝑉) = 𝑆𝐼𝑀 
 
2. 𝑇(𝑈) = (2(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), 2(𝑥1, −𝑦1, 𝑧1), 2(𝑥1, 𝑦1, −𝑧1) 
𝑈. 2 = (2𝑥1, 2𝑦1, 2𝑧1) 
𝑇(𝑈. 2) = (2𝑥1 +2𝑦1 +2𝑧1, 2𝑥1 −2𝑦1 +2𝑧1, 2𝑥1 +2𝑦1 −2𝑧1) 
VERIFICAR SE 𝑇(𝑈. 2) = 2. 𝑇(𝑈) = 𝑆𝐼𝑀 
 
b) Qual o Núcleo de T [Ker(T) ]? 
(𝑋 + 𝑌 + 𝑍, 𝑋 − 𝑌 + 𝑍, 𝑋 + 𝑌 − 𝑍) = 0 
{
𝑋 + 𝑌 + 𝑍 = 0
𝑋 − 𝑌 + 𝑍 = 0
𝑋 + 𝑌 − 𝑍 = 0
 ⟶ 𝑆𝐼𝑆𝑇𝐸𝑀𝐴 𝑃𝑂𝑆𝑆Í𝑉𝐸𝐿 𝐸 𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝐷𝑂 
𝑋 = 0 
𝑌 = 0 
𝑍 = 0 
𝐾𝑒𝑟(𝑇) = [0⃗ ] 
 
c) Qual a dimensão do Núcleo [dim(Ker)]? A Transformação é injetora? 
A dimensão do núcleo ⟶ dim(Ker)=0, pois o vetor nulo é o nucelo. Sendo assim, a 
transformação é INJETORA. 
 
d) Qual a Imagem de T [Im(T)]? 
Imagem T(x,y,z)=(x + y + z, x - y + z, x + y – z) 
𝑥(1,1,1) + 𝑦(1,−1,1) + 𝑧(1,1,−1) 
Provar se os três vetores são LI 
= [
1 1 1
1
1
−1 1
1 −1
] ⟶ [
1 1 1
0
0
−2 0
0 −2
] ⟶ [
1 1 1
0
0
1 0
0 −2
] ⟶ [
1 1 1
0
0
1 0
0 1
] = 𝐹𝑜𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑟 
𝐼𝑚 = 𝑅3 = 𝐶𝑂𝑀 3 𝐷𝐼𝑀𝐸𝑁𝑆Õ𝐸𝑆 É 𝑆𝑂𝐵𝑅𝐸𝐽𝐸𝑇𝑂𝑅𝐴 
e) Qual a dimensão da Imagem [dim (Im)]? A Transformação é sobrejetora? 
Imagem com 3 dimensões = sobrejetora 
 
f) Qual a matriz da Transformação? 
(1𝑥 + 1𝑦 − 1𝑧, 1𝑥 − 1𝑦 + 1𝑧, 1𝑥 + 1𝑦 − 1𝑧) 
[
1 1 1
1
1
−1 1
1 −1
] ∗ [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
𝑥 +𝑦 +𝑧
𝑥
𝑥
−𝑦 +𝑧
+𝑦 −𝑧
] = MATRIZ A 
 
g) Quais seus autovalores? 
𝐷𝐸𝑇 [
1 − 𝜆 1 1
1
1
−1 − 𝜆 1
1 −1 − 𝜆
] = −𝜆3 − 𝜆2 + 4𝜆 + 4 → 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 − 1, 2 𝑒 − 2 
𝜆1 = −1 𝜆2 = 3 𝜆3 = −2 
h) Quais seus autovetores? 
𝜆1 = −1 → (
2 1 1
1
1
0
1
1
0
) → (
1 0,5 0,5
1
1
0
1
1
0
) → (
1 0,5 0,5
0
0
−
0,5
0,5
0,5
0,5
) 
(
1 0,5 0,5
0
0
1
0,5
−1
−0,5
) → (
1 0 1
0
0
1
0
−1
0
) 
{
𝑥 + 𝑧 = 0
𝑦 − 𝑧 = 0
 
 
𝑧 = −𝑧 
𝑦 = 𝑧 
𝑣1⃗⃗⃗⃗ = 𝑧 (
−2
2
2
) 
𝑣2⃗⃗⃗⃗ = 𝑧 (
−1
1
1
) 
𝜆2 = 2 → (
−1 1 1
1
1
−3
1
1
−3
) → (
1 −1 −1
0
0
−2
2
2
−2
) → (
1 −1 −1
0
0
1
2
−1
−2
) → (
1 0 −2
0
0
1
2
−1
−2
) 
𝑥 − 2𝑧 = 0 𝑥 = 2𝑧 
𝑦 − 𝑧 = 0 𝑦 = 𝑧 
𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (
2𝑧
𝑧
𝑧
) = 𝑧𝑣2⃗⃗⃗⃗ = 𝑧 (
2
1
1
) 
𝜆3 = −2 → (
3 1 1
1
1
1
1
1
1
) →
(
 
 
 
1
1
3
1
3
0
0
2
3
2
3
2
3
2
3)
 
 
 
→
(
 
 
1
1
3
1
3
0
0
1
2
3
1
2
3)
 
 
→
(
 
 
1
1
3
1
3
0
0
1
2
3
1
2
3)
 
 
 
 
→ (
1 0 0
0
0
1
0
1
0
) 
𝑥 = 0
𝑦 + 𝑧 = 0
𝑦 = −2
 𝑣3⃗⃗⃗⃗ = (
0
−𝑧
𝑧
) = 𝑧 (
0
−1
1
)