FUNÇÃO - RELAÇÕES BINÁRIAS DEFINIDAS POR CERTAS CONDIÇÕES E POR FÓRMULAS

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FUNÇÃO - RELAÇÕES BINÁRIAS DEFINIDAS POR CERTAS CONDIÇÕES
E POR FÓRMULAS
As relações binárias geram pares ordenados que podem ser representados
em um plano cartesiano. Para construir essas relações, precisamos estabelecer
condições ou regras que relacionam os elementos dos conjuntos. O conjunto de
pares ordenados (x,y) gerados por um produto cartesiano entre dois conjuntos A e
B são chamados de relação binária, sendo representada essa relação da seguinte
forma:
➔ R = {(x,y) ∊ A x B; regra geradora} (lemos a relação R é dada pelos pares
ordenados (x,y) pertencentes ao produto cartesiano A x B, tal que são
gerados por uma determinada regra).
Exemplo 1:
Considere o conjunto A = {-1, 0, 1, 2} e o conjunto B = {6, 7, 8, 9}. Observe a
construção da seguinte relação binária: R = {(x,y) ∈ A x B; y é par} (lemos a
relação R é dada pelos pares ordenados (x,y) pertencentes ao produto cartesiano A
x B, tal que y é par). Primeiro, devemos escrever o produto cartesiano entre os
conjuntos A e B. Para isso, escrevemos todos os pares ordenados possíveis com a
primeira coordenada do conjunto A e a segunda do conjunto B:
A x B = {(-1,6); (-1, 7); (-1, 8); (-1, 9); (0, 6); (0, 7); (0, 8); (0, 9); (1, 6); (1, 7); (1, 8);
(1, 9); (2, 6); (2, 7); (2, 8); (2, 9)}
Os pares ordenados que estarão contidos na relação R pertencem ao
conjunto A x B descrito acima, seguindo a regra de que a segunda coordenada y
pertencente ao conjunto B deve ser par. Dessa forma, escrevemos R selecionando
os pares ordenados cuja segunda coordenada é par.
R = {(-1, 6); (-1, 8); (0, 6); (0, 8); (1, 6); (1, 8); (2, 6); (2, 8)}
É possível que a relação binária tenha uma regra geradora algébrica, nesse
caso é necessário fazer os cálculos adequados para construir a relação.
Exemplo 2:
Considere o conjunto A = {3, 4, 5, 6} e o conjunto B = {7, 8, 9, 10,11, 13, 14,
15, 16}. O próximo passo é construir a relação definida por P = {(x,y) ∈ AxB; y =
2x + 4}. Nesse caso, a coordenada y é determinada pelo dobro de x acrescido de
quatro unidades; os pares de A x B que satisfazem essa condição são P = {(3, 10);
(5, 14); (6, 16)} . Observe que o elemento 4 pertencente ao conjunto A não pode ser
usado para construir um par ordenado, pois aplicando a regra ao número 4 obtemos
o número 12, elemento que não pertence ao conjunto B, então não podemos
escrever esse par ordenado.
Nem toda relação binária construída é uma função,uma vez que para ser
função é existe a condição que todo elemento de A tenha um único correspondente
em B. No exemplo 2,não percebemos isso, pois o elemento 4 do conjunto A não
tem correspondente em B, o que não atende a definição de função.