Lista 6

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FFI 112: Física Matemática I
Lista #6...............01 - 04 - 13
1.- Demonstrar as seguintes propriedades da integral ∫
z0C
z f fzdz = Ifz; C; z0, zf:
(1) Iαfz + βgz; C; z0, zf = αIfz; C; z0, zf + βIgz; C; z0, zf
(2) Ifz; C1 ∪ C2; z0,zf = Ifz; C1; z0, zi + Ifz; C2; zi, zf
(3) Ifz; C+; z0, zf = −Ifz; C−; z0, zf
(4) |Ifz; C; z0, zf| ≤ M. L, onde M = Maxz∈C|fz|, e L = ∫
zoC
z f |dz|
2.- Entre os pontos z0 = 0 e zf = 1 + i considere os seguintes caminhos:
C1 : ao longo da reta y = x
C2 : ao longo da poligonal OA + AB, com A1, 0 e B1, 1
C3 : ao longo da parábola y = x2
Calcule a integral ICk = ∫
z0Ck
z f fzdz (k = 1, 2, 3) para as seguintes funções:
(1) z2 (2) z∗ (3) ez (4) cosz (5) |z| (6) z. z∗
3.- Mostre como se calcula a integral
IC = ∫
x0,y0C
xf,yf
Ax, ydx + Bx, ydy
nos casos em que o caminho C é definido por:
(1) C : y = fx (2) C : x = xt; y = yt
4.- Calcule a integral
∫
z0=−iC
z f=+i dz
z
onde o caminho C é dado por um semicírculo de raio 1 centrado na origem e
(1) contido no semiplano Rez > 0
(2) contido no semiplano Rez < 0.
5.- Considere o campo vectorial
Fx, y = −yi + xj
x2 + y2
Verifique se Fx, y é um campo de forças conservativas. Calcule o trabalho realizado
por F ao longo de um círculo de raio R, centrado na origem. Explique o resultado
usando funções complexas.
1
6.- Prove o Teorema de Green no plano. Use o teorema para deduzir que a condição
necessária e suficiente para que a 1-forma diferencial ω = Ax, ydx + Bx, ydy seja exata
seja dada por:
∂A
∂y =
∂B
∂x
7.- Calcule a integral Ifz; C|z0, zf = ∫
z0
z f
fzdz usando para o caminho C uma
parametrização do tipo C : z = zt, t0 ≤ t ≤ tf . Mostre que a integral se transforma em
Ifz; C|z0, zf = ∫
z0
z f
fzdz = ∫
t0
t f
φt
⋅
z tdt
onde φt = fzt e ⋅z t = ddt zt. Aplique o resultado para as funções do Probl # 2
acima , introduzindo C com a seguinte parametrização:
C : zt = t + it2
z0 = 0; zf = 1 + i
8.- Calcule a integral:
1
2πi ∮
Ca
dz
z − an
=
1 n = 1
0 n ≠ 1
onde Ca : |z − a| = 1. (Este exercício é importante e será usado frequentemente nas
aulas seguintes)
9.- Verifique o Teorema de Cauchy V.2 nos seguintes casos, sempre com C : |z| = 1,
em que fz é escolhida da lista abaixo:
(1) cosz (2) ez (3) ez2 (4) coshz
10.- Sejam C0 : |z| = 1 e C1 : |z − 2| = 1 dois círculos pertencentes ao plano C. Calcule
as integrais
∮
Ck
dz
z , ∮
Ck
dz
z2
, k = 0, 1
Explique os resultados obtidos.
2