Física Matemática I - Funções Analíticas

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F́ısica Matemática I - FIS01207 - Unidade I
Funções de Variável Complexa: Lista 2 - FUNÇÕES ANALÍTICAS
1. Prove, diretamente da definição de derivada, que f ′(z0) = − 1z20 quando f(z) =
1
z
e z0 6= 0.
2. Aplicando diretamente a definição de derivada, determine se existe f ′(z) em algum ponto
para f(z) = Re(z).
3. Determine se existe e qual é a derivada das seguintes funções.
a) f(z) = 3x+ y + i(3y − x)
b) f(z) = iz + 2
c) f(z) = x− iy
d) f(z) = 3z2 − 2z + 4
e) f(z) = e−x(cos y − i sin y)
f) f(z) = z − z̄
g) f(z) =
z − 1
2z + 1
h) f(z) = ex(cos y − i sin y)
i) f(z) = 2x+ ixy2
j) f(z) = x3 − 3xy2 + i(3x2y − y3)
k) f(z) = z Im(z)
l) f(z) =
z3 + i
z2 − 3z + 2
m) f(z) = cos x cosh y − i sinx sinh y
n) f(z) = x2 + iy2
4. Verifique se u é harmônica e ache, então, uma conjugada harmônica v para:
a) u = 2x(1− y); b) u = 2x− x3 + 3xy2
c) u = sinhx sin y; d) u = x2y − y3
5. Seja f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ) uma função anaĺıtica num certo domı́nio D. Utilizando as
condições de Cauchy-Riemann em coordenadas polares, mostre que u e v satisfazem a
equação de Laplace
r2
∂2u
∂r2
+ r
∂u
∂r
+
∂2u
∂θ2
= 0
Respostas
Questão 3:
(a)f ′(z) = 3− i
(b)f ′(z) = i
(c) Não existe
(d)f ′(z) = 6z − 2
(e)f ′(z) = −e−x cos y + i(e−xsen y)
(f) Não existe
(g)f ′(z) = 3
(2z+1)2
(h) Não existe
(i) Não existe
(j)f ′(z) = 3x2 − 3y2 + 6ixy
(k) Não existe
(l)f ′(z) = z
4−6z3+6z2−2iz+3i
(z2−3z+2)2
(m)f ′(z) = −senx cosh y − i cosx senh y
(n) Não existe
Questão 4:
(a)v = x2 − y2 + 2y + C
(b)v = 2y − 3x2y + y3 + C
(c)v = − coshx cos y + C
(d) Não é harmônica