Matematicas Financieras - 4ta Ed - Licoyan Poruts G - Mariana Mendieta

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No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su
tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por
cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro
u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del
copyright.
DERECHOS RESERVADOS, Copyright @ 1997,
por Lincoyán Portus Govinden
DERECHOS RESERVADOS, Copyright @ 1997,
porMcGRAW-HILL INTERAMERICANA, S. A.
Avenida de las Américas,46-41.. Santafé de Bogotá D.C., Colombia
Editora: Emma Ariza Herrera
4723567890
ISBN: 958-600-596-8
9012345687
S: ,:rlprimieron 3000 ejemplares en el nres de febrero de 2005
,1'::3so por Quebecor World Bogotá S.A.
--r-:Sra en Colombia- Printed in Colombia
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ffrsfumm m ffm #s'd$xrfm r#ard#ev
Como cualquier actividad científica, las matemáticas financieras evolucionan, utilizan
nuevas formas y, a medida que se amplía el campo de sus aplicaciones, se profundizan
los conceptor, ui.ur,.., y resiriccion", du t.tt definiciones y teoremas' Por otra parte, 
las
d.iversas áisciplinas qué utilizan las matemáticas financieras imponen variaciones 
en el
iu"g""¡" y, dé u.rr"ráo con el principio de universalidad, es necesario que un texto 
de
estJnaiuialeza utilice el léxico actualizado y apropiado'
E4 esta cuarta edición se han introdutidb importantes variaciones en cuanto a las
definicitnes, formulación de teoremas y léxico utilizado en ediciones anteriores' 
La mo-
derna notación estándar (X/Y, i%,n) t" Ltiliru como herramienta necesaria desde el 
capí-
tulo tercero, no como alternativa. Respecto a la extensión, se ha ampliado y actualizado, 
el
contenido de los diferentes capítulosl por otra parte, se suprimieron los de probabilid-a-
des y tablas de mortalidad, anualidadls y pagós contingentes, y seguros; éstos se 
refe-
rían, en forma resumida, a conocimientos que en la actualidad se estudian en 
forma
exhaustiva en carreras profesionales específicas y en cursos de posgrado.
Los actuales estudiantes se forman en el mundo de los juegos electrónicos, calcu-
Iadoras, microcomputadores y computadores y, es natural-dentro de su realidad- 
que
Ia tendencia sea utilizarlo, ".t 
,rr, ámbitos de tiabajo. En este curso se estudian los fun-
damentos teóricos de las matemáticas financierat, lu lógicu de sus diferentes métodos
de trabajo y los recursos para calcular y obtener las soluciones para los problemas' 
En este
orden de id,eas, uno de l,os objetivos propue$tos es que el estudiante adquiera destreza
en la interpretación y mane¡o de las áefiniclones, teóremas y fórmulas; obtenga 
la sufi-
ciente pericia en el uso de sus instrumentos de apoyo para qu.e en sus actividades 
pro-
fesionáles pueda, con bases sólidas, afrontar con éxito situaciones nuevas/ programar
con fundamentos y seguridad sus trabajos, y crear nuevos sistemas y modelos matemá-
ticos que transformen y modernicen constantemente los temas de esta materia.
Én lo que se refieie a tablas de factores de interés compuesto y anualidades, no es
necesario incluirlas. Los estudiantes, mediante calculadora o microcomputado¡, pueden
obtener directamente estos factores o calcularlos con las fórmulas adecuadas y manejan-
do con destreza su equipo. La meta es que el estudiante adquiera una formación global lo
más completa posible y tenga dominio en el manejo de las fórmulas y medios de cálculo;
con este propósito en mente, se han gradualizado los ejemplos, ejercicios y problemas
del texto. No obstante lo anteriot y con un claro objetivo didáctico, se incluyen en forma
parcial las tablas de factores, para que los estudiantes conozcan su estructura, las apli-
qnen y desarrollen habilidad para su manejo. Siempre se utilizarán tablas en diferentes
ictividades, como un medio seguro y rápido para obtener resultados; a los futuros profe-
sionales les corresponderá crearlas y para ello deben asimilar Ios conocimientos necesa-
rios.
Agradecimientos muy especiales para los profesores que hicieron llegar sus obser-
vaciones y críticas constructivas, las cuales sirvieron para mejorar el contenido de esta
edición. Es importante que en el futuro se mantenga esta amable y estrecha relación.
El autor agradece su colaboración y aportes a Ia economista colombiana doctora
Inés Cabrera Bedoya, a Ia economista chilena doctora MónicaPazTorres Cariola y al inge-
niero Rolando Portus Valdivia.
Lincoyán Portus Goainden
Contenido
v
Prefacio a Ia cuarta ediciÓn
0 ALGUNos FUNDAMENTos uernuÁrtcos
0.lAproximaciones.0.2operacionescondecimales,utilizandopotenciasdel'0.
0.3 Tabras .on ru"ror"r-urrtáror. o.¿ 
pt"ó."iánaüdad. 0.5 Proporciones' 0'6 Tanto
por ciento. o.z^iár"*" det binomilS.;;;;;il"t. 
0.9'Propiedades de los
logaritmos 
"" ";;" 
ió. ó.10 progresión uiii*¿ti.u. 011 Progresión 
geométrica'
1 INTEnÉs stuprn
objetivo.l.l lntroducción'l.ZDefiniciones.1'3Cálculodelinterés.1.4Interpre-
tación del factor k en la fórmula 1.;;n;i".i¿" 
entre el interés comercial y el
interés r"uf. f .ip"i"r*ir,u.iO., del tiempo. 
1.7 Tablas para el cálculo del tiempo 
y
para las "q.,i";;;; 
áecimales. 1fiá;;;i"; mo¿iti.a¿as 
para el cáIculo del
interés ,i*pr"li.l'ü"nio. 1.10 Valoiactual 
o valor presente á" ''tttu deuda' L'11
Cálculo de intereses por medio ¿" 
iu¡fur. 1.12 Gráiicas o diasramas del 
interés
simple. r.rg g;acio,ies d",,uro,", "|"i"Ju.'t",. 
t'tlt) inoirinal 
anticipada y
vencida y ,urur?.iivás. r.rs 
prouiá*ur resueltos. l'.16 Problemas proPuestos'
1.17 Acti;idades de consulta'
2 COMISIONES, DESCUENTOS 
EN CADENA Y TASAS ESCALONADAS
objetivo.2'lDescuentobancario.2.2F6rmliaparaelcálculodeldescuentoban-
cario. Z.3Fórmula para el 
.,rufo. fiqíiaá 
"" "ii"t."ento 
bancarto' 2'4 Relación
"t6
46
MATEMATICAS FINANCIERAS
entre el descuento bancario y el descuento racional o matemático. 2.5 Pagos des-
pués de la fecha de vencimiento. 2.6 Comisiones .2.7 Yaiaciones del valor líqui-
do y de la tasa de interés en el descuento bancario. 2.8 Descuentos comerciales.
2.9 Yalor neto de una factura. 2.10 Descuentos por pronto pago. 2.1.1. Descuentos
en cadena o en serie. 2.12Tasas escalonadas. 2.13 Modificación de las tasas esca-
lonadas para evitar la inversión de las categorías de valores. 2.14 Problemas re-
sueltos. 2.15 Problemas propuestos.2.1.6 Actividades de consulta.
PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CRÉDITO A CORTO PLAZO 69
Objetivo. 3.1 Introducci6n.3.2 Pago de los intereses de un pagaré en fracciones
del plazo de la deuda. 3.3 Descuento bancario con pagos anticipados de los inte-
reses en fracciones del plazo. 3.4 Pagos parciales. 3.5 Ventas a plazos. 3.6 Tasa de
interés en ventas a plazos. 3.7 Problemas resueltos. 3.8 Problemas propuestos.
3.9 Actividades de consulta.
INTERÉS COMPUESTO 93
Objetivo. 4.1 Introducciín.4.2 Monto o valor futuro a interés compuesto. 4.3
Comparación entre interés simple e intetés compuesto. 4.4Tasa nominal, tasa
efectiva y tasas equivalentes. 4.5 Cálculo del valor futuro para n mayor que 50.
4.6 Valor futuro compuesto con periodos de capitalizaciín fraccionados.4.T CáI-
culo de la tasa de interés compuesto. 4.8 Un caso paradójico.4.9 Cálculo del tiem-
po. 4.10 Crecimiento natural e interés compuesto.4.11 Problemas resueltos.4.12
Problemas propuestos. 4.13 Actividades de consulta.
VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERÉS COUT'UESTO 123
Objetivo. 5.L lntroducción.5.2 Cálculo del valor actual. 5.3 Valor actual para va-
lores de n mayores que el máximo de la tabla.5.4 Valor actual al interés compues-
to con periodos de capitalización fraccionarios.5.5 Descuento a interés compuesto.
5.6 Valor presente de una deuda que devenga intereses.5.7 Ecuaciones de valo-
res equivalentes. 5.8 Problemas resueltos.5.9 Problemas propuestos. 5.10 Attivi-
dades de consulta.ANUALIDADES
Objetivo. 6.1 Introducci6n.6.2 Clasificación de las anualidades. 6.3 Anualidades
ciertas. 6.4 Anualidades eventuales o contingentes. 6.5 Valor de las anualidades.
6.6 Valor futuro y valor presente de las anualidades simples ciertas ordinarias
inmediatas. 6.7 Problemas resueltos (primer grupo). 6.8 Problemas propuestos.
6.9 Cálculo de la renta en una anualidad simple cierta ordinaria. 6.10 Cálculo del
tiempo o plazo de una anualidad. 6.11 Cálculo de la tasa de interés de una anua-
lidad simple cierta ordinaria.6.l2Problemas resueltos (segundo grupo).6.L3 Pro-
blemas propuestos. 6.L4 Actividades de consulta.
t41
CONTENIDO
ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS 773
Objetivos. 7.1 Anualidades anticipadas.T.ZSímbolos utilizados en las anualida-
des anticipa das.7.3Valor futuro y valor presente de las anualidades simples cier-
tas anticipadas. 7.4 Problemas resueltos. 7.5 Problemas propuestos. 7,6 Actividades
de consulta. 7.7 Anualidades diferidas.7.8 Valores de las anualidades diferidas
simples ciertas.7.9 Problemas resueltos. 7.10 Problemas ProPuestos' 7.11 Activi-
dades de consulta.
206RENTAS PERPETUAS .\
Objetivo. 8.1 Introducción. 8.2 Símbolos utilizados en las \tas perpetuas- 8.3
Val'ores de las rentas perpetuas simples.8.4 Capitalización. 8.\postos capitaliza-
dos. 8.6 Costos equivalentes. 8.7 Problemas resueltos. 8.8 Problemas propuestos'
8.9 Actividades de consulta.
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL 224
Obietivo. 9.1 Introducci6n.9.2 Símbolos utilizados en las anualidades genera-
tes. q.g Conversión de una anualidad general ordinaria en una anualidad sim-
ple.9.4 Valor futuro y valor presente de las anualidades generales ciertas
órdinarias. 9.5 Cálcutode la renta de una anualidad generalcierta ordinaria.9.6
Problemas resueltos. 9.7 Problemas propuestos. 9.8 Cálculo del tiempo o plazo
de una anualidad general. 9.9 Cálculo de la tasa de interés de una anualidad
general. 9.10 Problemas propuestos. 9.11. Anualidades generales-anticipadas. 9.12
Éroblemas resueltos. 9.1á Problemas propuestos. 9.14 Anualidades variables. 9.15
Gradientes. 9.16 Gradiente aritmético. 9.17 Gradiente geométrico. 9.18 Anuali-
dades continuas. 9.L9 Anualidades a intereses continuos. 9.20 Anualidades a in-
terés continuo con Pagos en flujo continuo. 9.21 Problemas resueltos.9'22
Probleinas propuestos. 9.23 Actividades de consulta.
279
Objetivo. 10.1 Introducción. 10.2 Sistemas de amortización. 10.3 Cálculo de los
val-ores de las amortizaciones. 10.4 Cálculo del saldo insoluto. 1.0.5 ReservaF Para
atender rentas cuyos pagos son variables. 10.6 Ventas a plazos. 10.7 Derechos
sobre un bien pagado por cuotas. 10.8 Captación de ahorro y_ préstamos para
adquisición de bienes raíces. 10.9 Problemas resueltos. 10.10 Problemas propues-
tos. 10.11 Actividades de consulta'
11 FONDO DE AMORTIZACIÓN
Objetivo.11.l. Introdu cci6n.11..2Cálculo de los valores de un fondo de amortiza-
ciOn. f t.g Cálculo de Io acumulado en el fondo y del saldo insoluto en cualquier
fecha. 11.4 Cálculo del plazo de una deuda. 11.5 Fondos de amortización con
aportes variables. 11.6 Pioblemas resueltos. 11.7 Problemas proPuestos. 11.8 Ac-
tividades de consulta.
314
10
12
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
DEPRECIACIÓNY AGOTAMIENTO 
330
objetivo. 12.1 Introdu cc\6n.LZ.ZCálculo de los cargos 
periódicos por deprecia-
ción. 12.3 Depreciación por fondo de amo,rtiza ciAi 
n'+Método de la suma de
dígitos o enteros qrr" -J."rponde1.1 los años de duración 
del activo. L2.5 Méto-
do de depreciación p"t pttt'""ta¡e fijo o de variación 
geométrica' 12'6 Método de
depreciación con intere^ses sobré la inversión. 12.7 Recuperación 
de la inversión
enbienesagotables. l2.8Problemasresueltos. l2.gProblemasPropuestos. l2. l0
Act iv idades de consulta '
13 BONOS 
344
ob ¡e t i vo . l 3 . l l n t roducc ión ' l 3 .2De f i n i c i ones . l 3 .3Prec iode losbonosenuna
fecha de pago de interés o cupón. 13.4 Valor de 
un bono en l ibros. 13.5 Precio de
Iosbonoscompradosen t re fechas< lecupón .13 .6Co t i zac iónde losbonosen los
mercados de valores. 13.7 Rendimiento áe las inversiones 
en bonos' 13'8 EI inte-
r é s o r c l i n a r r o y e l i n t e r é s r e a l e n l a T I R d e u n b o n o . l 3 . g B o n o s s e r i a d o s . l 3 . l 0
Bonosdeanua l i dad . l 3 . l lBonoscon fechaopc iona l< le redenc ión ,73 .72Bonos
amort izadosporsor teo. l3 ' l3Bonosdevalorconstante. l3 . l4Problemasresuel-
tos. 13.15 Problemas propuestos' 13'16 Actividades 
de consulta'
14 DESVALORIZACIÓN MONETARTA 
37'] '
ob je t i vo . l 4 . l l n t roducc ión .14 .2 Índ i cesdep rec ios . l a .3 . }n5 idenc iade ladesva -
l o r i zac ión " , . 1 * i , - ' t " , " sessob rep rés tamos .1¿ .aRen tab i l i dadde losaho r rosen
s i t uac ióndec iesva lo r i zac iónmone ta r i a ' l 4 .5Prob lemas resue l t os .14 .6Prob le -
maSpropuestos. l4 .TCorrecciónmonetar iayunidade.s.devalorconstante. l4 . t }
Relac iónentre laamort izac ióndelospréstamosgnu{dl jesdevalorconstante
y los ing resosde losdeudo res " . . . ' ^us i t uac iónde in f l ac ión .14 .9Prob lemas re .
sue'ltos. 14.10 I 'rclblemas proPuestos' 14'11 actividades 
de consulta'
Respuestas a los problemas de número impar 
398
Tablas 
401
lndice 
431'
'',.'\
) t g
1:: -q. : :
.
o. l
ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMATICOS
APROXIMACIONES
para las operaciones conociclas con el nombre de "redondeo" se aplica 
la "regla del
computador" que dice:
Cualquier decimal que desee aproximarse hasta cierto número 
de cifras convencional-
mente fi jado:
(a) El ult lmo dígito fi jado clebe incrementarse en una unidad, si los 
que siguen exce-
den e l va lo r 500 . . .
(¿r) No debe cambiarse el último dígito, si los que siguen son menores 
que el valor 500"'
(c) Si los clígitos que siguen al últ i lo f i jado ion exactamente el 
valor 5 y el últ imo es
impaq, debe incrementarse en una unidad'
ffiTTEtr
Redondear a 4 decimales
l. 3,5674326
Respuesta: 3,56 l4
2. 7.6766501
Respuesta: 7,6167
3. 0,751450
Respuesta: 0,7514
4. 0,7937500
Respuesta: 0,1938
o.2
MATEMATICAS FINANCIERAS
OPERACIONES CON DECIMATE' UTIL¡ZANDO POTENCIA5 DE IO
De acuerdo con los conocimientos adquiridos en el estudio de las operaciones con po-tencias, se sabe que:
1
1 0
-l
100
= 1 0 r = 0 , 1
= 10 'z = 0,01
1
_ = 1(ri
1000
1
--- _ ln tr
1000 . . . 0 
' "
= 0001
= 0,000.. .01
Así:
0,43772 = 43.772.70 s
432,6725 = 4.326.725. t}-a
Productos de decimales, mediante potencias de 10:
0,326 . 6,37 = 326 .70-3 . 637 . 70_2
= 326 . 637 . l0-3+ (-2)
= 207.662.70-s
= 2,07662
División entre decimales, mediante potencias de 10:
30,3267 :- 2,67 : (303.262. 10r) + (267 .l0-2)
: (303.267 -+ 267). (10{- czi¡
: (303.267 - 267). 10-4 + 2
: 7.767,94. 10-2 : 17,6794
Cada persona al efectuar oPeraciones condecimales, por lo general, utiliza reglasa las cuales se ha acostumbrado áesde sus estudios de aritmética eiemental, y 
"r 
norilJque no desee cambiarlas. Esta forma de operar, mediante potencias de 10, és muy útil,incluso cuando se oPera con máquinas de calcular sin punto decimal. El lector debecomparar este sistema con el que acostumbra utilizar y ru.u, sus propias conclusiones.
TABIAS CON FACTORES ENTEROS
Es común encontrar tablas financieras que expresan los factores con números enteros yseñalan la potencia de 10 que afecta los valor-es. Asi por ejemplo:
0.3
ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMATICOS
10r Esto significa 342678. 10-s : 3,42678
83'24:23. 10-s : 8.32423
Para este cálculo conviene separar las diferentes potencias de 10 que intervengan y
operar con ellas por separado.
Por ejemplo:
Si el factor 342678 de la tabla anterior se debe multiplicar por 25.000, lo práctico es escribir:
2s 000(34267 8) ( 1 0') := 
1Z Í:Dztílfi II i 3 :l
: u566950 (103 s)
8s669s0 (10 )
- nruor,ru
0.4 PROPORCIONALIDAD
El cociente entre dos cantidades es la
X + y : q ( q
Expresado en otra forma: NY : q
rnzút o ¡sro¡torcionalidnd entre ellas
es la razón entre X y Y)
Al aumentar el valorX, q se incrementa en lamisma proporción, es deci[ "/,* : Zl;"x/t. : n4)
en matemáticas, esto se expresa así'. elaalor dc q es directnnrcntc ¡trLt¡tttrciottnl nl onlor de X.
Al aumentar el valor de Y, el valor de 4 disminuye en Ia misma proporción, así:
X = q . X = q
2 Y 2 ' ¡ t Y t t
Esto significa que el i-tnlL¡r tle q es irtzrcrsnnrcrrta pro¡torciotnl nl t¡nlor dc Y.
Cuando se amplía a varios factores, por ejemplo:
nbc
L t - ;' f i c
el valor de q es directamente proporcional a los valores a, b y c, y es inversamente
proporcional a los valores de dy e .
MATEMATICAS FINANCIERAS
Constante de proPorcionalidad
Si se t iene Ia igualdad:
t r=+k
0
el valor de q es directamente proporcional al valor de n, inversamente proporcional al
valor de b y depende del valoide la constante de proporcionalidad k. Conocido el valor
de 4, para ciertos valores de n y b, queda determinado el 
valor de k'
[ffililÉ Si 20 obreros construyen 50 metros de 
una carretera en 10 días, Zcuántos obre-
rc,.s-se requieren Para construir 1.200 metros en 60 días?
El númer6 de gbreros es directamente proporcional a los metros que deban construirse, e
inversamente proporcional al t iempo en que deban construirse' Si se desi¡¡na por O el número
de obreros, por M la cantidad de metros y por t el t iempo, se tiene:
^ M ,
( ) = - K
t
Cálculo de k: 2O= p a r a O = 2 0 , M - 5 0 , t = 1 0
entonces/
p a r a M : 1 . 2 0 0 , t : 6
5o ,-.
10 " '
, 200
^ - - - a
50
o=l14)a
\ f /
o= l , 12m)¿=so
\ 6 0 /
Respuesta: 80 obreros.
[ffififtIfl Si 8 obreros tejen 12 metros de tela de 0,5 m de 
ancho en cada semana, Zcuántos
-"t."r d" l" -isma tela de 0,7 m de ancho producen en una semana 35 obreros? Designando
por M los metros, por A el ancho y por n el número de obreros, se tiene:
u=L*
A
(el número de metros es proporcional a la cantidad de obreros, e inversamente proporcional al
ancho de la tela).
8
, , = 
* k ; 
p a r a M = 1 2 , n = 8 , A = 0 , 5
ALGUNOSFUNDAMENTOSMATEMÁTICOS T
Cálculo de k: o =tz(9r's) =o'zs
?5
entonces, M =; ; (0,7s)
M : 3 7 , 5
Respuesta: 37,5 m.
0.5 PROPORCIONES
Definición
Una proporción es la igualdad de dos razones.
A C A C
t t = t = t l Y A = r / e n t o n c e s ¡ 
= a
cuya lec tu ra es as í :¿ l es abcomoces ad ; puede esc r i b i r se t amb ién : a=b : c *d .
Lascan t i dadesdycseconocencomo losn r ¡ f cccdc t r t es , ybydcomo losco r r cecue t t t cs
de la proporción.
Desde hace mucho tiempo, se acostumbra l lamar extremtts al antecedente de la
primera razón y al consecuente de la segunda raz6n. Y ¡nedios al consecuente de Ia
primera razóny al antecedente de la segunda taz6n.
o = , E x t r e m o s : n y d , r , J 
' /
b d M e d i o s : b y c
Al multiplicar ambos miembros por bd, se tiene:
a d : b c
Teorema En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los
extremos.
O.ó TANTO POR CIENTO
El tanto por ciento es una proporcionalidad que se establece con relación a cada 100
unidades. Se expresa con el símbolo %.
[ftffi!fl Si con una inversión de $5.000 se obtiene un rendimiento de $300, iqué rendi-
miento corresponde a cada $100 de inversión?
r
MATEMATICAS FINANCIERAS
Se establece la proporción:
5.000 _ 100
300 x
5.000¡ = 30.000 (producto de medios = producto de extremos)
¡ = 6 por cada 100, y se escribe x : 6%.
TEOREAAA DEL B¡NO'i 'IIO
El desarrollo de la potencia n de un binomio se expresa así:
( a+b ) ' = an + l t an l b * " ( l ^1 ) on -262 *n (n -7 ) (n -2 ) o , -3 ,
7 . 2 7 . 2 . 3
4n es el primer término, an-tb es el segundo término y así sucesivamente; el término de
orden r * 1 se expresa de la siguiente manera:
n ( n - 1 ) ( n - 2 ) . . . ( n - r + 7 )
an-rbr
Ia expresión rl : | .2 .3 . 4 ... n, se lee r factorial.
EEEE Encontrar el valor de (1 + 0,02)4, aproximado con 4 cifras decimales.
30.000
5.000
o.7
(7 + 0,02)a
0,0D4
0,02)4
= 1{ + ( -4) 1-s )e,02) +4M ¡-o ) (0 ,02)
= 1 - 0,08 + 0,004 - 0,00016 + 0,0000056 +...
=0.9238456
= 0.9238 (aprox. )
0.8 LOGAR|TI OS
Desde que John Napier y Henry Briggs, en761.6, publicaron las primeras tablas de
logaritmos, éstas han venido utilizándose para cálculos científicos. A pesar de que en
ios últimos años los computadores han sustituido el uso de las tablas dólogaritmos y su
expresión mecánica (la regla de cálculo),el conocimiento de las operacion"s .ón logaritmos
sigue siendo básico para quienes trabajan en el campo del cáiculo.
I
Las tablas de logari tmos permiten. efectuar mult ipl icaciones, div is iones,poten_ciaciones y radicacio.,"r, .o., gran rapidez.
En la actualidad, estamos en li era de las calcuradoras y, con su advenimiento, hacaído en desuso la regla d,e cálculo., después de un reinado í" ar", siglos. Los modelosde calculadoras son muy diversor, i".tu'ro lu, hay con rl-,.,.ro.,", 
"rpecíficas 
para aplica-ciones financieras; los diseños de las calculadoras evorucionan.orrar.,,ru*"nte, por estoresultaría inútil explicar la forma de utilizar alguna a" 
"rus- 
iáb 
"s 
p.".iro decir que setrata de una herramienta indispensable para quien pretenda trabajar en er área de lasmatemáticas financieras. El primer paso será ieleccionar.r.ru .ul.rrludora adecuada ytener pleno conocimiento to-b." s.u manejo y posibilidades. Al final de este capítulo, éllector encontrará algunof 
"l".-ptot 
ri*ft"i áe cómo utilizar una calculadora comúnque tiene memoria y la función y,.
Definición El exponenteyal que debe elevarse el número a paraobtener un número_t,se llama logaritmo de x en bas n.
ALGUNoS FUNDAMENToS ¡¡RTe¡¡ÁT¡cos
)/
Las dos expresiones:
y : l o g , x t 2 0 , a # I , a > 0
y : l o g " x y x : a y
son equivalentes. Las propiedades de la función
dades de la función exponencial.
Propiedades generales de los logaritmos
1. La función logarítmica es 0 para r : 1, o sea,
log,1 : 0
2. El logaritmo de una cantidad igual a la base es
logarítmica se infieren de las propie_
l ogoa:7
3. El logaritmo de un producto es igual a
sea,
la suma de los logaritmos de los factores. o
log"ABC = log,Á + log,B + log,C
4' El logaritmo del cociente de dos cantidades es igual al logaritmo del dividendo,menos el logaritmo del divisor, así:
l, es deciq,
r
0.9
MATEMATICAS FINANCI ERAS
A
l o g " ; = l o B , A - l o g " B
b
5. El logaritmo de la potencia de una cantidad es igual al exponente multiplicado por
el logaritmo de Ia cantidad, o sea,
logoA": rtlog,,A
Como casos particulares de esta propiedad, se tienen:
6. El logaritmo de una potencia de la base es igual al exponente, es deci¡,
logoa" = tl
S i en la propiedad 5, n = L, entonces se t iene:
logoAl = 1log"A
r
7. El logaritmo de un radical es igual al cociente entre el logaritmo de la cantidad
subradical y el índice, o sea,
tog,UÁ=! log, ,q
t,
PROPIEDADES DE tOS LOGARITMOS EN BASE I O
Las propiedades de los logaritmos en base 10 son un caso particular de las leyes genera-
les y conviene repetirlas para la base 10 en razón de sus aplicaciones. Así, log,nr se
escribe logX, sin indicar la base.
l. EI logaritmo de 10 es igual a la unidad, o sea,
log10 : 1
2. El logaritmo de una potencia de 10 tiene tantas unidades como ceros posea la po-
tencia, es decic
l o g 1 0 0 : 2 1 o 9 1 0 . 0 0 0 : 4
Mantisa es la parte decimal del logaritrno de un número. El valor de las mantisas se en-
cuentra en las tablas de logarihnos. En los cálculos se utilizan únicamente mantisas positivas.
Característica es la parte entera del logaritmo de un número.
ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Reglas para calcular la característica
La característica del logaritmo de un número tiene tantas unidades como cifras ente-ras posea el número' menos 1' si el número sólo ofrece cifras decimales, la ca¡acterís-tica de su logaritmo tiene tantas ,r., iaua", negativas como ceros posea el número¿rntes de la pr imera c i f ra s igni f icat iva (contancló e l . : .op; ; ;en ra par te entera) .Nota: Al operar con calcul;ora con rü.ió" log, se .rbtie,-," el valor del logaritmo. Lattl#H:l 
en mantisa y característica sóro es necesaria si se trabaja con tablas cre
Los números que tienen las mismas cifras significativas tienen la misma mantisav difieren sólo en la característica.
log 234.000 = 5,3692
log 23.400 : 4,3692
log2,34 : 0,3692
log 0,234 : -t+0,3692 = 136g2
log 0,0234 : -2+0,3692 : 2,3692
Iog 0,00234 : -3+0,3692 : Z,ZO9Z
ff iEtrE¡ C¡lcular el valor cle X datlo por Ia expresirin
, , 4 ( l +0 , t ) , 1 ) r { )^ = 
(1+ oo4/ ! i
N, ¡ ' t¡scl¡¡¡1 ;rpl icarse I.111itmls directamente p.r la presencia de la cl i ferenci¿ que ap¿rece enel de norl inador; se calcula primero la potenciJ de 1,04:
. 
r : ( 1 - + 0 , 9 4 ; . r , : ( 1 , 0 4 ) 3 ( ,
,,,rll,ij = ijl;frÍ;r-,
30(0,0170333) = 0,510999
lo¡;l = (t,510999
t : 3,24339
Se remplaza en el valor cle X:
4(3,24339 )
32133s I
4(3,24339 )
2Z4ns
Y _
I
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
lo gX = log4 + 1o93,24339 - lo 92,24339
log4 = 0,602060
+ 1og3,24339 :0,570999
1,1 13059
-1o92,24339: 0,350905
o?l'154
logX - 0,762154
X = 5,783016
ffilEIq Calcular el valor de
x-/l,es?sd
krq{ = ] l.c0'9tt75t'' 7
lo¡;0,09t1750 - 0,e0456 - 2 =1,99456
multiplicado ptrr 3 = 2,9t136¿r - 6 = ¡,98368
div id ido porT =(3,98368 -7) :7 = t ,SOStO
X = 0,37077
@lEE Usar calculadora funciírn t puru X=r$,}gwsd
'Jfn B?se =o,osl7s6)
Si la calculadora no tiene mando de fracción, efectuar
3+7 =0,42857"143
X = 0,09L756tt 
tu571t3
X = 0,37077
[ftffi&E Calcular el valor de la expresión para l: 0,02
( 7 + i ) 1 0 - l
i
Paso
1
2
3
4
5
o
Entrada
1,02
v'
t:
1
Pantalla
7,02
7,02
1 0
1,21899M
1,2789944
1
(1+ i )10 -1
t
Respuesta: 70,94972
rffitilE
Para i : 0 ,03 , ha l la r e l vakr r de la expres i r in con ca lcu ladora : (1+ i ) ' !
ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Ent rada Pantalla
0,2189944
0,2189944
0,02
10,91972
Ent rada
i
1 2
M
1,03
l t '
N,llt
Paso
n n ?
7
8
o
l 0
I 'aso
I
z
3
4
5
6
7
tt
9
Respuesta: 1,0024663
Pantal la
I
1
1 2
0,083333
0,0¡r3333
1 ,03
1,03
0,0u3333
1,0024663
O.I O PROGRESIóN ARITMÉTICA
Es una sucesión finita de números l lamados términos, en la que cualquier¡r cle ellos
difiere del anterior en una cantidad fi ja r/, denominada incremento o diferencia, bor
ejemplo: 6, 77, 76, 21, 26, 37.
Serie es una suma de infinitos términos ligados por determinada ley de form.¡ción. Una
sene aritmética es aquella en la que cada término difiere del anterio4 en una cantidad fija.
Si se designa por n el primer término, por d la diferencia constante y por rr el
número de términos, la progresión generada es así:
a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , . . . , n + ( n - d ) d
El últ imo o r¡-ésimo término acostumbra a designarse por u,y su expresión en fun-
ción del primer término -el número de términos y la diferencia común- es dada por
u = a + ( r t - I ) d
MATEMATICAS FINANCIERAS
suma de los términos de una progresión aritmética sea la progresión:
n , a + d , n + 2 d , a * 3 d , . . . , a * ( n - 3 ) d , a * Q t - Z ) d , a + ( n _ 7 ) d
Su suma S es:
s = rz * (n + d) + (a + Ll) + (n + 3d) + ...+ Ín + (ru-3) dl + [n + Qr-2) dl + fn + Qt_ 7) d]
AI escribir la misma progresión, invertir el orden de los términos v sumar las dos
igualdades se demuestra que:
, _n l \ a+ (n -Dd ]
z
Esta fórmula da el valor de S en función del primer término, el número de térmi-
nos y la diferencia constante.
si en la expresión 2n + (n - 1)d : a + a + (rr - 1) r/, se remplaza n + Qr - 1)tl por u
(ú l t imo término) , se t iene:
. r r ( n + u ) ( n + u )
" = - 2 
= r i 
2
La suma de los términos de una progresión aritmética es igual a ,l veces la me-
dia aritmética de los términos primero y últ imo, sienclo r el número de términos.
Interpolación l ineal Si entre dos números se desea interpolar rr términos, de modo
que los dos números dados formen una progresión aritmética, se tendrá, al clesignar
con N, y N, los dos números dados:
Primer término : Nr
Último término : N,
Número de términos : tt * 2
N, : N, * (rr + 2 - 1)r, donde x es la diferencia constante; se clespeja r
t = N ' - N '
n + 7
@eIE Interpolar entre 3 y 5,4 términos, de modo que formen una progresrtin aritmética.
N r = 3 , N 2 = 9 , n = ! '
5 - 3
5
¿
t
,/-La progres ión es ' .3 , 32 / , ,3a / r ,4 43/s,5
ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
0.1 r - . - ^ ú ' - ' ! .PROGRESION GEOMETRICA
Es una sucesión finita de números llamados términos, en la que el cociente o razón entre
dos términos sucesivos es constante. Si se design a por a el primer término, por r la razón
entre un término y el que le antecede y por n el número de términos, la progresión gene_
rada es así:
11, a l , atz, er3, . . . , aT"-3, arn 2, gyn-t
El últ imo o r¡-ésimo término acostumbra a designarse por u:
l l : artt-l
En una progresión geométrica, Ia razón se cletermina mediante la reración:
, = f l r * '
fiL
(k e's un número natural que indica er orden de cualquier término).
Suma de los términos de una progresión geométrica
Sea la progresión a, nr, ar2, nri,..., arn 3, ar,-2, ar,t-r
Su suma es:
5 : a * nr * nrz + ar3 + . . . * ar , ' 3 + ar , , z ¡ orn- t a lmul t ip l icarpor
sr : nr + ar2 + nr3 + af+ . . . + orn_2 ¡ ar ,_t + ar ,
AI restar se obtiene:
^ a ( r ' - 7 )
" - r - 7
que expresa la suma de los términos de una progresión geométrica, en función del
primer término a,la razón r y el número de términbs.
Progresiones geométricas crecientes y decrecientes Si la raz6n r es positiva menor
que 1, la progresión generada es decreciente. Se llama así porque cada término se da en
valor absoluto, menor que el que la antecede. si r es ̂ uyo, que t, los términos de la
progresión crecen indefinidamente, generando una progresión c¡eciente.
MATEMATICAS FINANCIERAS
ffiIE
ffiIEE
1 1 A 4 4
3 9
^ _ 1 " >
1
n = 4
a = 3
n = 4
3 ,6 ,72 ,24
Serie geométrica La suma de los términos de una sucesión geométrica de términos
decrecientes tiende a un límite.
Fórmula del límite:
a( r ' -1 )
t r m ) P a r a 0 < r < 7
n + 6 f - 7
a ( 0 - l ) a
I t m J = - = -
n + ú r - 1 l - r
[ftffilEg Sea la serie
S = 5 0 + 2 5 + 5 + r * ] + . . .
J
l ím S = 
o = 50 "=62 ,5
n - @ 7 - r t _ i l
Interpolación parabólica El problema de i.,t"rpolur n términos entre dos números da-
dos de modo que con ellos se forme una progresión geométrica, se resuelve utilizando
la expresión dél frltlmo término. Sea interpolar entre N, Y N' n términos. Incluidos N,
y N., se tienen n + 2 términos.
Al aplicar u= ar'-l; para n a 2 términos, tt= ar"*\
Al sustituir N, = a, N" = 7, se tiene:
N, = Nrr"*'
r =
ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMATICOS
@¡EI[| Interpolar dos términos entre 3 y 24 de modo que formen una progresión
geométrica.
N r = 3 ; N 2 = 2 { ; n = )
t;, =rrlt =,
Respuesta: 3, 6,72,24
-s
l .r gi , . . " ,u:t . ' i ' ¡ i
INTERES SIMPLE
OBJETIVO
El objetivo de este capítulo es enseñar al estudiante los factores que entran en juego en
el cálculo del interés simple y suministrarle herramientas para que maneje estos facto-
res y los aplique en la solución de problemas frecuentes en el campo financiero. En este
capítulo aprenderá definiciones y manejará conceptos y factores básicos que uti l izará
en los demás capítulos del texto. Al terminar el capítulo podrá calcular intereses por
medio de tablas de factores, y mediante la aplicación de fórmulas estará en capacidad
de calcular valores futuros, valores presentes, tasas de interés y tiempos. Igualmente,
podrá manejar diagramas de tiempo-valor y de flujo de caja, y resolver ecuaciones de
valores equivalentes.
INTRODUCC¡óN
En todas las actividades financieras se acostumbra pagar un rédito por el uso del di-
nero prestado. La mayor parte de los ingresos de bancos y compañías inversionistas
se deriva de los intereses sobre préstamos o del retorno de uti l idades por inversiones.
En general, todas las operaciones comerciales están relacionadas con los réditos sobre
los capi ta les en juego.
Toda persona que obtiene un préstamo quedaobligada a pagar un rédito (renta
de capital) o interés, por el uso del dinero tomado en préstamo. En general, el dinero
Senera dinero, acumulando valores que varían con el tiempo; el análisis de las causas
t . l
INTERÉS SIMPLE
1 .2
de la acumulación del dinero con el paso del tiempo es el problema fundamental de las
finanzas.
DEFINICIONES
Thsa de interés y tasa de retorno
Interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado en préstamo.
Las leyes de cada país rigen los contratos y.elaclones entre prestatarios y preitamistas.
Los ejemplos y problemas que figuran en este l ibro deben inalizarse, de-acuerdo con
las leyes y costumbres locales.
Por un dinero tomado en préstamo es necesario pagar un precio. Este precio se
expresa mediante una suma que se debe pagar por cadá trñidud de clinero pr"rtu,lu, 
"nuna unidad de tiempo convencionalmente estipulada.
La expresión del precio es la tasa de la opéración comercial. La uniclad cie tiempo
que acostumbra a uti l izarse es el año. La tasa se expresa en tanto por ciento y éste es el
tipo de mterés de la operación. Así, un préstamo convenido a una tasa o tipo cle interés
del r% significa que se acuerda que, por cada 100 unidades de dinero prestado. se
pagará como interés r unidades al f inal de cada año de duración del préstámo.
Cuando se trata de dineros invertidos en un negocio, el inversio.,irtu espera recu-
Perar una suma mayor que la invertida; de esta operación, surge el concepto de tasa cle
retorno. En nuestros desarrollos, nos referimos a la tasa de interós, q,r" p,r"b" cambiarse
por tasa de retorno, cuando se trata de inversiones.
En los países afectados por una desvalorización continua, la tasa de interés sucle
ser alta, puesto que combina el interés por el precio del dinero con la corrección cle su
valo¡, lo que constituye un seudo interés.
Se considera que el rendimiento de los capitales debe separarse de las tasas cle
protección generadas por el poder adquisit ivo del dinero; po. esla razón,en la mayoría
de los problemas presentados en el texto, se da la tasa de interés y el capital ," .u.,rid"-
ra sin devaluación. Si se incluye la devaluación, aparecen tasaé altas que mezclan la
devaluación con el rédito de los capitales. Los bancós y las entidades financieras sepa-
ran las tasas para indica4 por ejemplo , g% de interés y 27% de corrección monetaria. La
corrección tiene una finalidad diferente de la del interés. En el capítulo 14 se analizará
el tratamiento de la devaluación
En cada capítulo se recomiendan temas de investigación que permiten a profeso-
res y estudiantes obtener una perspectiva real y general de loipróblemas de acuerdo
con los sistemas y costumbres financieras de cadá región.
cÁrcuro DEr TNTERÉs
El interés o rédito que se paga por una suma de d.inero tomada en préstamo, depende
de las condiciones contractuales y varía en razón directa con la cantihad de dinerá pres-
tada y con el tiempo de duración del préstamo.
t . 3
MATEMATICAS FINANCIERAS
Al designar con
C el capital o suma prestada
t e l t iempo
/ el interés o rédito
se tiene, de acuerdo con las Ieyes de variación proporcional,
I : C t k
donde k es una constante, cuyo valor depende únicamente de las condiciones contrac-
tuales del préstamo. Si las condiciones son del r% anual (año comercial de 360 días),
para un préstamo de 100 unidades de dinero, se tiene entonces:
C : 100 unidades
f : 360 días (año comercial)
I : r unidad es (r% : r unidades por cada 100 en 360 días)
Mediante la aplicación de la fórmula 1, se tiene:
Se despeja
r = 100 (360) k
k = 
r
100 (360)
Al remplazar en la fórmula 1, se obtiene:
( 1 )
, Ctr
. l = . -
100 (360)
Para el año de 365 días, nno real, el mismo desarrollo conduce a:
( - t "
r e ¡ '
I = - ' -
100 (365)
Para años bisiestos, el año real es de 366 días.
(2a)
(2b)
El interés simple orditnrio o comercinl es el que se calcula considerando el año de
360 días. El interés simple renl o exncto es el que se calcula con año calendario de 365 días
o de 366 -si se trata de año bisiesto.
Los bancos acostumbran calcular los intereses, tomando como base el año de 360
días; pero para la duración del tiempo de préstamos a corto plazo (plazos menores que
un año), cuentan los días efectivos calendario.
1 . 4
1 . 5
INTERES SIMPLE
INTERPRETACIóN DET FACTOR K EN tA FóRMULA ,
k = 
' 
= ' . 1
100 (360) 100 360
r
100 
: i (tanto por uno)
al remplazar
k = I
360
El factor k es el tanto por uno en un día, si el t iempo se expresa en días.
RELACIóN ENTRE Et INTERÉS COMERCIAT Y Et INTERÉS REAI
Interésorc l inar io =I = Ct '
" 100 (360)
Interés real = I, = 
Ct'
100 t365)
Ctr
I u 1oo ¿6¡) 36s 73
I = 
- - 
^ ; - = _ - _
I r L r r 360 72
100 (36s)
I , =? : t , , = ( t - l ) ,73 ' \ 73 ) "
r r 1I ' = t u - i 3 t "
El itúcrés rcnl o crnctct t:s igunr nr intcrés orcritnno Lt conrercinr, ntett.s r/73 crer tnisntt,t.
Iff i IIEIII Calcular el interés ordinario y el interés real cle $10.000 prestados al 14,1rante 65 días.
c = $10.000
I = 65 días
r - 74"/n
, Ctr
100 (360.)
. 10.000(65)r14)
| = - ( A C a - g' 
100 (360J
Al dividir
(3)
du-
MATEMATICAS F INANCIERAS
Interés ordinario = $ZSZ,78
Pa¡a calcular el interés real se aplica la fórmula 3:
I, = 252,78 - 252,78 = $249,32
l . = 1 . - 7 I
73
1
; '/ . )
El interés real puede calcularse directamente, al aplicar la fórmula 2b
- Ctr
' 700(36s)
. t 0.000 ( 65)( t4)r " - = s ) 4 9 a ?' 
100(365)
I .ó DETERMINACIóN DEL TIEMPO
Desde hace mucho tiempo, con el objeto de facilitar los cálculos, se acostumbra supo-ner el año de 360 días dividido en 12 meses cle 30 días cada uno. Obsérvese que 360t iene los siguientes divisores: 2,3,4,5,6, g, g,10,12,15, 1g, 20,24,30,36, 40, 45,60,,72,90,
120 y 180' Estos divisores permiten un gran número cle simplificaciones, mry ,iti les,
cuando se traba ja sin calculadora.
Existen var ias maneras de mecl i r el t iempo grre interviene en el cálculo cie losintereses' Es importante que el lector aplique sus sistemas financieros loc¿rlcs en lasolución de problemas.
Días inicial y terminal Para llevar la cuenta de los días, se acostumbra excluir e I primerr díae incluir el último. Así, para un préstamo contraído el 10 de enero y pagaclo el 25 del mism.
mes, el tiempo comercial trascurriclo es de 15 clías. En algunos paísei, i acostumbra conrarel primero y el último día; en tal caso, el tiempo.o^".Jd sería cle 16 días.
Fecha de vencimiento La fijación de la fecha de vencimiento se establece contractualmente.
Por ejemplo, un préstamo que se recibe el 10 cle marzo a 3 meses deberá pagarse cl 10 cle
iunio; pero cuando el mismo préstamo se recibe a 90 días, deberá paga.'se"el t3 c1e junio,
si se acostumbra contabilizar sólo el clía terminal. Si la fecha terminui.or."rpo.de u undía festivo, el sistema local indicará si el pago debe recibirse el primer aia n¿tlt ,igrrr".,-
te, sin contar días adicionales para el cobro de intereses.
Para calcular el tiempo trascurrido entre la fecha inicial y la fecha terminal deperiodos superiores a un año, comercialmente se acostumbra cálcular el tientpo aproxí-
mado, computando los años de 360 días y los meses de 30 días. Así, para citc.rla, ettiempo trascurrido entre el 3 de abril ai:f7zy el74 de septiembre de797s,en las
operaciones aritméticas con números complejos se utiliza el slzuiente método:
INTERES SIMPLE
1975 años
1973 años
9 meses
4 meses
14 días
3 días:nenos
igual
2 años 5 meses 11 días
720 dias + 150 días + 11 días : 881 días
1 . 7
Para periodos menores de un año, comercialmente se acostumbra contabilizar los
días calendario que hay entre dos fechas.
TABTAS PARA Et CÁICULO DEt TIEMPO
Y PARA tAS EQUIVALENCIAS DECIMATES
A corto plazo, para el cálculo del número exacto de días entre dos fechas se pueden utili-
zar dos tablas. En una se presentan los días transcurridos desde el primero de enero hasta
los días de cada mes. Esta tabla es una matriz que en columnas presenta los meses, y en
líneas -del 1 al 31-los días; en las intersecciones línea-columna se anotan los días trans-
curridos desde el primero de enero hasta la fecha seleccionada. Los días se calculan entre
dos fechas de acuerdo con la diferencia entre los días trascurridos desde el primero de
enero. La otra tabla es Ia que se presenta a continuación; es más ágil y permite cálculos
más rápidos.
En la actualidad, las calculadoras financieras tienen programas para el cálculo de
tiempos y fechas, tanto a corto plazo (año de 365 días), como a mediano y largo plazo
cuando se opera con año de 360 días.
Tabla I Número exacto de días entre dos fechas (año no bisiesto)
Desde el
día del mes
inicial
Al mismo día del mes terminal
Ene. Feb. Mar, Abr. Muy. Iun. Iul. Ago. s"P. Oct. Nov Dic.
Ene.
Feb.
Mar.
Abr,
May.
Iun.
Iul.
Ago.
s"P.
Oct.
Nov.
Dic.
365
334
306
275
245
21,4
1.84
753
722
92
67
31
J t
365
337
306
276
245
21,5
184
153
723
92
62
59
28
365
334
304
¿ / J
u3
21,2
181
151
120
90
90
59
31
365
33s
304
274
243
272
1,82
151
121,
120
89
67
30
365
334
304
273
?42
272
181
151
151
120
92
67
31,
36s
335
304
273
243
2I2
1,82
181
150
122
91,
61,
30
365
334
303
273
?AZ
212
212
181
153
1,22
92
6t
31
365
334
304
273
'243
L+J
2'1,2
184
153
723
92
62
31
365
335
304
274
273
)4)
21,4
183
753
r22
92
61
30
365
334
304
304
L / . )
245
1 1 l l
L L 1
784
153
I L 3
92
67
31
365
33s
a a Á
.lJ4t
303
275
2M
214
183
153
1,22
97
67
30
365
Nota: No se incluye el día inicial.
I
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Los números de las líneas horizontales indican los días trascurridos, entre cierto día
del mes inicial y el mismo día del mes terminal; por ejemplo, desde el 3 de mayo de un
año al3 de octubre del mismo año hay 153 días. Esto es igual al número anotado en la
intersección de la horizontal correspondiente al mes inicial, mayo, con la vertical del mes
terminal, octubre. Si el día del mes inicial es diferente del día del mes terminal, para el
cálculo se presentan dos casos:
(c) El día del mes terminal es mayor que el día del mes inicial: en este caso, se suma la
diferencia de los días al número definido por el inicial y el mes terminal.
ffiIEE Calcular los días trascurridos entre el 3 de septiembre de un año y el 15 de
abril del año siguiente.
Diferencia entre los números de días : 15 - 3 : 12
Número correspondiente a la intersección septiembre-abril : 272
272 + 72 :224
Entre las dos fechas propuestas hay 224 días calendario.
(b) El día del mes terminal es menor que el día del mes inicial, en este caso, la diferen-
cia entre el día terminal y el inicial es negativa; entonces, se procede a restar la
diferencia al número de intersección de los meses.
fu:IEIE (a) Calcular los días que hay entre el 18 de marzo y el 10 de noviembre del
mismo año.
Diferencia entre los números de días = 10 - 18 : - 8
Número correspondiente a la intersección marzo-noviembre : 245
2 4 5 - 8 : 2 3 7
Entre las dos fechas propuestas hay 237 días calendario.
b) Calcular los días que hay entre el 20 de junio de 1996 y el 14 de marzo de 1998.
Diferencia entre los números de días : 74 - 20 : - 6
Número correspondiente a la intersección junio-marzo = 273
273 -6 = 267 días
más 1 año 74-03-97 a 14-03-98: 365 días
Total 632 días
Entre las dos fechas propuestas hay 632 días calendario.
La tabla 1 es de gran utilidad para determinar lat'echa terminnl conocida,la t'echn inicial y eI
número de días. El cálculo se hace con gran rapidez, sin necesidad de contar los días en
un calendario.
INTERÉS SIMPLE
ffiI!flq El día 13 de marzo se firmó un pagaré a1,20 días, calcular la fecha terminal. En
la línea horizontal del mes inicial, marzo, se busca el número más próximo a 120; en el problema
analizado se trata del número 1,22 que corresponde al mes terminal, julio. La diferencia 122 -
120 = 2 se resta a los días del mes inicial y se obtiene el número de días del mes terminal. En este
problema, entonces, 73 -Z : 11,
Fecha de vencimiento: 11 de iulio del mismo año.
Equivalencia de decimales de año a días y meses Con frecuencia, en los problemas el
tiempo se expresa en decimales de año; para convertirlos a días, se tienen las siguientes
equivalencias:
ffi:IEIE La respuesta de un problema es 3,578 años (de 360 días). Expresar el resultado
en años, meses y días. Sin efectuar el producto por 360, puede procederse así:
0,5 : s(36) : 180 días
0,07 7(3,6) 25,2 dias
0,008 : 8(0,36) 2,9 días
Total: 208 días : 6 meses, 2tl días
3,578 años equivalen a 3 años, 6 meses, 2U días.
Equivalencia de días o decimales de año En las librerías y/o bibliotecas se consiguen tablas
que expresan cualquier número de días en decimales de año, tanto de 360 días como de 365
días; en ellas, se encuentran las equivalencias, desde uno hasta 365 días.
El uso de las calculadoras ha disminuido la importancia de tales tablas, por esta
razón es poco frecuente su uti l ización.
Las tablas 2 y 3 que se dan a continuación, son resumidas y expresan los decima-
les equivalentes a las fracciones /tn y %us, desde uno hasta nueve días.
Tabla 2 Thbla 3
Año comercial de 360 días
0,1 = 36 días
0,01 3,6 días
0,001 0,36 días
t
360
Días Decimales de año
1
2
J
+
5
6
7
8
9
0,00277778
0,00555556
0,00833333
0,01 1111 11
0,01388889
0,07666667
0,01,944444
0,02222222
0,02500000
Año calendario de 365 díns
0,1 = 36,5 días
0,01 3,65 días
0,001 0,365 días
t
365
Días Decimales de año
7
2
J
4
5
6
7
8
9
0,00273973
0,00547945
0,00821918
0,01095890
0,01369863
0,07643836
0,01,977808
0,021.91781,
0,02465735
@ MATEMATICAS FINANCIERAS
Con ellas, puede calcularse con rapidez los decimales de año equivalentes a cualquier
número de días. En muchos casos, los cálculos pueden simplificarse y efectuarse con
gran rapidez, si los divisores de 360 permiten expresar el tiempo en fracciones de año.
Así, por ejemplo: 30 días : 7/72;60 días : 7/6; 90 días : 7/4, etc. El éxito de esta forma
de operar depende exclusivamente del buen conocimiento que el lector tenga de las
operaciones aritméticas.
fulIEIE (Sin utilizar máquina de calcular para el cociente 
¡sl*,,).
Calcular los decimales que equivalen a235 días en un año de 360 días. Se uti l iza la tabla 2 y se
obtiene:
200 días
30 días
5 días
suman 235 días
0,555556 (100 veces el decimal correspondiente a 2)
0,083333 (10 veces el decimal correspondiente a 3)
0,013889
0.652778 años de 360 días.
Las calculadoras y las tablas de factores El uso de las calculadoras permite prescindir
de las tablas de diversos factores de uso frecuente, ya que los valores pueden obtenerse,
directamente, con una calculadora; no obstante, es de gran importancia que el estu-
diante domine el uso de las diversas tablas estudiadas en este texto. En el campo finan-
ciero, industrial o comercial, el uso de las tablas para problemas esp"ecíficos seguirá
siendo un medio ágil y seguro de cálculo. Uno de los objetivos de este texto es capacitar
al estudiante para que pueda organizar los métodos de solución de los problemas que
se le presentarán en sus actividades profesionales y producir las tablas que necesite
para los cálculos cotidianos.
I.8 FóRMuIAS MODIFICADAS PARA EL CÁLCULO DEt ¡NTERÉS SI'I,TPLE
Con la finalidad práctica de hacer más fácil y rápido el cálculo de los intereses/ se acos-
tumbra trasformar la fórmula 2 en otras equivalentes, las cuales se presentarán a conti-
nuación.
! = 
c t '
100 (360,)
Agrupando en otra forma los factores, se tiene:
r t, = ( . - . -
100 360
t
360 - "
100 - '
(tanto por uno)
(tiempo expresado en años)
INTERES SIMPLE
Remplazando I : C n i
Para aplicar la fórmula 4, el tiempo se expresa en años y la tasa, en tanto por uno.
fulIEI[| Calcular el interés que debe pagarse por un préstamo de 9250.000 al1,0%
en 240 días (si no se indica lo contrario, se entiende el interés como el comercial u ordina-
r lo ) .
Para aplicar la fórmula 4, primero se convierten los días
tabla 2 o se divide 240 oor 360.
a decimales de año v oara ello utiliza la
2ü) días: 0,555556
40 d ías :0 ,111111
240 días = 0.666667
c _ $s0.000
tt: 0,666667 afios
i - 0 , 1I : C n i
I = 250.000 (0,66666n(0,7)
I -- 576.666.67
Al introducir los concep tos de lnctor de itttcrés simple y de ttunt,:rnl,en la fórmula 2,
se obtienen dos importantes fórmulas desarrolladas a continuación -las cuales ofrecen
las mayores ventajas prácticas, para el cálculo de intereses.
(4)
años
años
, Ctr
100 (360)
l = L ¡ .
36.000
r' _ t- - 
I
36.000 (factor de interés simple)
Remplazando, se tiene
I : Ctf (5)
Elfactor f de interés simple es el tanto por uno en un día. Para el uso de este facto¡, el
tiempo debe expresarse en días.
El producto Cf, que corresponde al capital por el tiempo, se remplazapor Ia letra
N y recibe el nombre de numeral.
r
MATEMATICAS FINANCIERAS
Remplazando en la fórmula 5 Cf : N
Se obtiene I = N/ (6)
En todos los países circulan tablas financieras que contienen diferentes factores para
el cálculo de intereses simples y compuestos. En ellas, se encuentran las tablas para los
factores de interés simple correspondientes a los tipos de interés más utilizados.
Las tablas que áparecen a continuación tienen los valores de f para los tipos de
interés que, con frecuencia, se utilizan en este libro. El lector comprenderá la importan-
cia que tiene emplear tablas de factores, debido a la rapidez y confiabilidad en los cálcu-
los. Las empresas financieras preparan sus propias tablas para los tipos de interés con
que normalmente trabajan.
f
t/4
t/2
5
6
.7
8
9
10
1 1
72
13
74
0,0000069444
0,0000138889
0,0001388889
0,0001,666667
0,0007944444
0,0002222222
0,0002500000
0,0002777778
0,0003055556
0,0003333333
0,0003611111
0,0003888889
Thbla 5
Interés real
r f
r/4
t / )
5
6
n
8
9
10
1 1
1,2
13
74
0,0000068493
0,0000L36986
0,0001369863
0,0001,644444
0,0001917808
0,00021,91787
0,000u65753
0,0002739726
0,0003013699
0,0003287677
0,0003561644
0,0003835616
Tabla 4
Interés comercial
t _r - 36o00
{ -
36.500
Con las tablas anteriores, puede calcularse el valor de/para otros tipos de interés.
Por ejemplo, para 6/n% se tiene:
o !% = 6% + !%= 0,00016666 6T + 0,0000069444
4 4
1
Para6 .%; f =0,0001736711' 4
ffi¡!|E Calcular el interés que debe pagarse por un préstamo de $60.000, durante 120
dias alTk%.
INTERES SIMPLE
Este problema se resuelve aplicando la fórmula 5 y mediante la tabla 4:
I =Ctf
C = $60.000
t = 120 dias
f = 0,0007944444 + 0,00001388889 = 0,0002083333
1 = 60.000 (720)(0,000208333) = 7.499.9998
1= $1.500
,::i?:::;:;:: í,'f+:.x:iil:"'J.,::T#,IiTl?l:3;i::':.1"",Í*?::i{;::::;,
se cargan o abonan intereses. sobre saldos, por el tiempo d" p".rnu.rencia del saldo; lafórmula 6 permite gran rapidez en el cálcuio de los inüreses.
. , 
S"ul' St, Sz, 53,..,., S^, los distintos saldos, y t ' t2, t3,...,f", los tiempos de permanen_cia de cada uno de ellor Los productos srt 'srt) irtr i...,s^T^son los numerales corres-pondientes a cada saldo; aplicando tu iormlÍu á puru" ül cálcuto de los interesescorrespondientes a cada saldo, se tiene:
1l = Nl,f
I z=Nz f
Is = Nsf
I r = N n f
Sumando I r+ l ,+ I , * . . . * l , : I : (N , + N, + N, + . . .N ,y
Utilizando el signo de sumatoria :
r = /IN,
r = 1 ( 7 )
Nota Al saldo débito se le coloca signo positivo y al saldo crédito, signo negativo. Losinte¡eses serán de cargo o abono, ,"g,i.,^rt', signo positivo o negativo
ffiEEIE Cerrar el 30 de junio la cuenta corriente con intereses d,el 1.4%,que tuvo elsiguiente movimiento: saldo el 1o. de enero $20.000, débito; el 3 de febrero, abono de $12.0{])0; el
r
MATEMATICAS FINANCIERAS
7 de marzo, cargo de $3.000; el 16 de abril, abono de 915.000; el 28 de mayo, cargo de 93.000; el
10 de junio, cargo de $30.000.
Presentamos el movimiento, en un papel de contabil idad:
Los días trascurridos entre dos fechas sucesivas se calculan en la tabla 1. El valor defparael74"/o
se tiene en la tabla 4 o se calcula:
f 
-- 0ñ003888889
Aplicando la fórmula 7, I : 0,0003888889 (1.755.000) : 682,50
I : $682,s0
1.9 MONTO
El planteamiento de los problemas económico-financieros se desarrolla en torno a dos
conceptos básicos: CAPITALIZACION y ACTUALIZACION. EI concepto de capitaliza-
ción se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o en que se
convertirán los capitales colocados en fechas anteriores. El concepto de actualización se
refiere al estudio del valor en la fecha actual o presente de capitales que se recibirán en
fecha futura.
En otras palabras, capitalizar es trasladar y valorizar capitales del presente al fu-
turo. Actualizar es traer y valorizar capitales del futuro al presente.
En los últimos años, el uso de calculadoras financieras y computadores ha intro-
ducido cambios en la notación; así, se ha generalizado el empleo de la letra P para el
valor presente del capital en juego y F para el monto o valor futuro. En esta cuarta
edición se ha cambiado la notación utilizada en las ediciones anteriores. Sin embargo,
para evitar confusiones frecuentes al usar calculado¡as programadas para VP -Vr
lor presente- y VF -Valor t'uturo-, en interés simple se seguirá utilizando la letra C
para elcapital y S para expresar el monto. Puesto que se siguen los parámetros del rigu-
Fecha Detalle DEBE HABER SALDO ds. NUMERAL
1-I
3-II
7-III
16-IV
28-V
1O_VI
30-VI
saldo
abono
car8o
abono
cargo
cargo
do nit
3.000,00
3.000,00
30.000,00
682,50
i2.000,00
15.000,00
20.000,00
8.000,00
11.000,00
4.000,00
1.000,00
29.000,00
29.682,50
D
D
D
Cr
Cr
D
J J
JZ
40
^ 1
, L
1 3
20
660.000,00
+ 256.000,00
+ 440.000,00
- 168.000,00
- 13.000,00
+ 580.000,00
1.755.000,00
INTERES SIMPLE
roso análisis matemático, es necesario tener cuidado cuando se introduzcan los símbo-
los del lenguaje bancario y los uti l izados en el campo financiero. La tendencia actual es
denominar los valores en juego por sus siglas y en las diferentes disciplinas uti l izadas
en matemáticas financieras se encontrarán novedades y cambios en los símbolos, a los
cuales deberá acostumbrarse el lector para su manejo.
El monto es el valor acumulado del capital agregados los intereses devengados.
En otras palabras, el monto es igual al capital, más los intereses. Sean:
C : capital
I : intereses
S : monto
Por definición :
De la fórmula 4
Remplazando
Al factorizar se obtiene:
S : C + 1
l : A t i
S : C + C n ¡
S : C ( 1 + r r i ) (8)
ff iIEIIII Calcular el monto que debe pagarse por una deuda de g20.0tn el 22 de junio,
si el pagaré se fi¡mó el 30 de enero del mismo año no bisiesto, al tt% de interés.
Nota Conviene que el lector resuelva este problema por diferentes métodos; el ejempkr se desa-
rrol lará ut i l izando las tablas ya estudiadas.
Cálculo del t iempo (Tabla 1)¡ - 151 - (30-22) : 151 t l - 143 días.
Equivalencia a decimales de año (tabla 2)
100 días: 0,277778
4 0 d í a s : 0 , 1 1 1 1 1 1
3 días: 0,00¡t333
143 días: 0,3967222 años
r - 008
S = C ( 1 + n i )
S = 20.000(1 +0,397222.0,08)
S = 20.000(1 +0,03177776)
S = 20.000(1,03777776)
S = $20.635,56
r
MATEMATICAS FINANCIERAS
I . IO VALOR ACTUAL O VATOR PRESENTE DE UNA DEUDA
El valor actual o presente de una suma, que vence en fecha futura, es aquel capital que,
a una tasa dada y en el periodo comprendido hasta la fecha de vencimiento, alcanzará
un monto igual a la suma debida. La definición anterior es para el valor actual a interés
simple, concepto diferente del valor actual que se determinará al estudiar el descuento
bancario.
A partir de la definición se deduce que para hallar el valor actual hay que despejar
en la fórmula 8 el capital, conocidos el monto y los intereses, así:
S = C ( 7 + n i )
C= s
7 + r i ( 9 )
Respecto a Ios símbolos que se uti l izan en matemáticas financieras, hay cierta anar-
quía, debida a la influencia de los diversos campos de aplicación; así, el valor actual o
presente se expresa con alguna de las siguientes letras, C, P VP, y para el monto se
util izan S, M, E VF; esto sin contar con la notación estándar introducida al f inal de 4.2.
Par¿r este texto, en interés simple, se uti l izará 5 para expresar el monto, y C para el valor
actualo presente. Más adelante, estos símbolos se modificarán para el lenguaje banca-
rio y para las aplicaciones de pagos parciales y ventas a crédito.
La diferencia entre la cantidad por pagar en fecha futura y su valor actual es el
dcscucttto.
C : capital
S : monto
D: descuento
D : S - C ( 1 0 \
EI descuento dado por la fórmula anterior recibe el nombre de descuento racional o
matentiticLt. Si se remplaza el monto por su valor dado en la fórmula 8, se tiene:
D : S - C
S : C ( 1 + n i )
D : C ( 1 + n i ) - C : C + C n i - C
D : C t t i
Es decir; el descuento racional o matemático es igual a los intereses simples del capital
que, en t'echa t'utura, darán el monto de Ia deuda.
El descuento bancario corresponde a otra definición y, por tanto, sus métodos de
cálculo son diferentes.
INTERES SIMPLE
Diagramas de tiempo-valor y diagramas de flujo de caja Si en una línea de tiempos se
colocan los valores en juego, se tiene un diagrama de tiempo-aalor. Estos diagramas son
de gran utilidad para el análisis de los problemas y permiten apreciaciones intuitivas;
el láctor debe familiarizarse con ellos ya que se utilizarán con frecuencia en este libro.
En un diagrama, el t iempo puede medirse de dos maneras diferentes: en sentido posi-
tivo (de izquierda a derechá¡, si se tiene una fecha inicial y se cuenta con un valor futu-
ro; en sentido negativo (de derecha a izquierda), si se tiene una fecha de vencimiento, o
final, v un valor antes del vencimiento.
Diagramas de tiempo-valor
nemPO
valor
0--------+
C
presente
<- ilt iempo
valor C
Presente
s
futuro
En evaluación de proyectos se utilizan, para guiar el análisis, los diagrnnms de flujo
de caja que son similareJ a los diagramas de tiempo-valor. Al colocar en un diagrama de
tiempo-valor f lechas hacia arriba para los ingresos en el instante en que se producen y
flechas hacia abajo para los egresos, se tiene un diagrama de flujo de caja.
Diagrama de flujo de caja
A,ByC ing resos (+ )
D ,EyFegresos ( - )
C
i
I
MATEMATICAS FINANCIERAS
T a longitud y el grosor de las flechas indican la magnitud de los valores en juego.
Ai utilizar calculadoras financieras para fijar los signos más (+) y menos (-), se deben
seguir las indicaciones del fabricante.
E@ilEIItr Elaborar el diagrama de tiempo-valor para un monto de $20.400 al6%.Para
el t iempo, se uti l izan 30, 60,90 y 120 días antes del vencimiento con descuento racional. Compa-
rar este diagrama con el que corresponde a una deuda de $20.000 al 6% , calculando su valor ion
tiempo de 30, 60, 90 y 120 días después de la fecha inicial.
Diagrama pnra el monto de $20.400
Aplicando la fórmula 9:
^s
t = ir.*
i - 0,06
tt - 30,60,90 y 120 días antes del vencimiento.
Efectuando los cálculos, se t iene:
' f iempo 
120 30 <_.- 0
$20.400
(mon to)
V¿lor $20.(XX) $20.09f.i,52 $20. tq8.02 $20.298,51
Diagrama parn el ca¡tital itticial dc $20.000
Aplicando la fórmula 8:
S : C ( l + r i )
c : $20.0ü)
I : 0,06
n : 30,60,90 y 120 días contados desde la fecha inicial.
Efectuando los cálculos, se t iene el diagrama:
Tiempo 0 120 días
Valor $20.000 $20.100 $20 200 $20.300 $20.400
Al comparar ambos diagramas, se observa que el valor sólo es igual en las fechas inicial y final.
Obsérvese que la diferencia en una misma fecha, por ejemplo, entre las cantidades 20.198,02 y
20.200 es igual a los intereses simples de 198,02 a la tasa dada y en el tiempo calculado para 20 .198,02.
6030
INTERES SIMPLE
20.200 - 20.198,02 = 1,98, cantidad igual a los intereses simples de 198,02 al 6% en 60 días.
1e8,o2f1l e,o6)=1,e8
\ 6 J
El lector debe hacer el cálculo para las otras fechas.
I . I I CÁtCUtO DE INTERESES POR MEDIO DE TABLAS
Un libro de tablas financieras contiene un conjunto de tablas para el cálculo de diferen-
tes temas financieros. Así, se encuentran tablas para el cálculo de intereses simple y
comPuesto y sus diferentes aplicaciones; tablas para el cálculo de seguros de vida; ta-
blas para el cálculo y rendimiento de bonos y obligaciones, etc. En lo que se refiere al
cálculo de interés simple, en cada país se encuentran diversas tablas en circulación. Se
vive la época de las calculadoras programadas y, por esta raz6n,las tablas financieras
han perdido su importancia.
Las diferentes empresas suelen preparar tablas para sus cálculos comerciales más
frecuentes. Al establecer un sistema para sus cálculos financieros, una empresa debe
tener en cuenta tres aspectos básicos: confiabil idad en los resultados, rapidez y costo
operacional del sistema adoptado.
En d i ferentes capí tu los del l ibro se inc luyen por e jemplo, las tablas 7,7A,2,3,4,s
y 5,\, algunas parcialmente estudiadas hasta este momento. Este tipo de tablas son cle
importancia relativa y su uso no es muy necesario: su objeto es lograr una mayor rapi-
dez en el cálculo y mostrar al lector la posibil idad de preparar tablas similares, para
aplicaciones específicas de cada empresa.
Al f inal del l ibro, se presentan un conjunto de tablas que son necesarias para re-
solver los ejercicios y problemas propuestos en el texto; éstas se estudiarán en los si-
guientes capítulos.
1,12 GRÁFICAS O DIAGRAMAS DEL INTERÉS SI ' IAPIE
En un sistema de coordenadas rectangulares, la geometría analít ica muestra que la
ecuación Y = aX tiene por gráfica una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es
rz. Y que la ecuación Y : aX + b tiene por gráfica una recta de pendiente a que intercepta
sobre el eje Y el segmento b.
Si en el sistema de coordenadas, sobre el eie Y se mide el valor de los intereses
simples y sobre el eje X, el t iempo, se tiene para un capital de una unidad, de acuerdo
con la fórmula 4:
I = C n i
p a r a C : 1
I : n i : i n
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
La gráfica de los valores de I en función del tiempo son rectas que pasan por el
origen y tienen por pendiente los valores de i.
z0%
rc%
s%
años
0 1
La fórmula 8 para el monto S : C (1 + rri), donde C : $1 se convierte en S 
: 1 + rri. Si
sobre el eje Y se -id"., los valores de S y sobre el eje X, el tiempo, se tiene la siguiente
sráfica.
Gráfica cle los ualores del ntonto para un cnpital de $1 (nl 5%, 10% V 20%)
b
Gráfica de los unlores de I : ni (para el5%, 1'0% y 20%)
INTERES SIMPLE
I .T3 ECUACIONES DE VATORES EQU¡VALENTES
Un problema básico en las operaciones financieras es el de las inversiones equivalen-
tes; es decir que, en valor y tiempo, produzcan el mismo resultado económico. Esto se
expresa en ecuaciones de valores equivalentes.
Un mismo valor situado en fechas dife¡entes es, desde el punto de vista financie-
ro, un valor distinto. No se debe olvidar que sólo se pueden sumat restar o igualar
dineros ubicados en una misma fecha.
Para decidir entre diversas posibil idades financieras, es fundamental plantear las
ecuaciones de valores equivalentes, para determinar por medio de ellas, cuál es la op-
ción más conveniente. En los diferentes capítulos de este l ibro, el lector encontrará
abundantes aplicaciones y ejemplos de este importante concepto; en los ejemplos y
problemas tratados aquí las tasas de interés son fasas internns, tasa a la que permanecen
invertidos los dineros en juego; en la evaluación económica de proyectos de inversión
surgen los conceptos de fnsa interna de rctorno (TIR) y tnsn de oportwúdad, que es una tasa
externa básica para estudios de factibil idad. Otra tasa externa importante e.n proyectos
de gobierno es la fasa de ínterés social.En este nivel de matemáticas financieras se uti l iza-
rá, en general, la tasa interna.
tr@ilE![| En cierta fecha, una persona firma un pagaré por g12.000 a 90 días, al8'/n;30
días después, f irma otro pagaré por $10.000 a 90 días sin interés. 60 días después de la primera
fecha, conviene pagar a su acreedor $4.000 y recoger los dos pagarés firmados remplazándolos
POr uno solo a 120 días, contados desde la últ ima fecha, con un rendimiento delg%. Determinar
el pago único convenido.
Para plantear la ecuación, se dibuja primero el diagrama de tiempo-valor.
12.000 10.000 4.000La fecha que se escoge para la equivalencia se denomina t'echn t'ocal. La fijación de la fecha focal
debe ser cuidadosamente analizada, ya que debe corresponder estrictamente a lo pactado en
los pagarés. Los cambios de fecha focal producen variaciones en la determinación de las canti-
dades. En la sección 1.10 se destacaron las diferencias de valores intermedios, donde los valores
inicial y final son iguales en tiempos iguales y a una misma tasa.
Se escoge como fecha focal 180 días, se calculan los distintos valores en esa fecha y se plantea la
ecuación de valores equivalentes entre los nuevos valores y los antiguos.
Nuevos valores: X + 4.000[1+ +(0,09)]
Antiguos: 12'000[1+ + (0,0s¡[1 + i Q,0e))t 10.000 [t * +fo,os)]
X + 4.720 = 72.515,40 + 10.150
X = 72.5'1.5,40 + 10.150 - 4.720
X = $78.545,40
El lector debe analizar este problema,y resolverlo para otra fecha focal; por ejem-
plo, 60 días que corresponde al instante deicambio de las condiciones. No deúe olvidar
que en un pagaré sin intereses hubo condiciones de origen que no se expresan en el
propio documento.
1.14 TASA NOMINAL ANTICIPADA Y VENCIDA Y TASAS EFECTIVAS
En este nivel de estudio, el lector ha comprendido que en los problemas financieros
figura una tasa convenida de intereses, lá cual ,ro ,i"^pr" coiresponde a la tasa de
interés que realmente produce el dinero en juego.
Thsa norninal Es la convenida en una operación financiera, puede ser tasa antícipaLla o
tasa aencidn, según se convenga aplicar la tasa de inte¡és ui i.ricio o al término de la
operación financiera.
Thsa efectiva Es la tasa- con la que realmente actúa el capital en juego. En Ia sección 4.4
se amplía el estudio sobre tasas.
ffiEEIIEl Por un préstamo de 9100 a un año de plazo se conviene pagar el 8% de interés:
(a) Con pago de intereses anticipados
(b) Con pago de intereses por semestre vencido
(c) Un solo pago de capital e intereses al vencimiento
Calcular para cada caso la tasa efectiva
(a) Se aplica la regla: En una operación financiera todos los dineros permanecen en juego hasta
el vencimiento de la operación. Así, los gg pagados al inicio del iréstamo ganan intereses al
8% hasta el vencimiento, o sea:
r , , i - F ¡ , , a i 0 A S F I N A N C I E R A S
1-- ¿le¡ruar los cálculos y establecer la igualdad, se tiene:
S : C ( 1 + n i )
C = g ; n = 7 ; i = g %
S = 8 ( 1 + 0 , 0 8 ) = 8 ( 1 , 0 8 )
5 = $8,6a
!l 
vfor f inal del préstamo = $100 + 9,64: $10g,64, o sea, al vencimiento la tasa es del
8,64%.
INTERES S IMPLE
(b) Al pagar los intereses por semestre vencido, al final del primer semestre se debe pagar el
8(1/2)% : 4% del valor del préstamo, o sea, 100(0,04) : $¿. Estos intereses a la fecha de
vencimiento tienen un monto de:
5 = C ( 1 + r u i )
C : 4 ; n : % ; i : 8 %
s : 4 ( 1 + 0 , 0 4 ) : 4 , 1 6 %
Monto de los intereses al vencimiento de la deuda : $4,16.
El valor f inal del préstamo es: $100 + $4,16 + 4,00 ( intereses del últ imo semestre) : $10ft,16, o
sea, en este caso la tasa efectiva al vencimiento es del 11,76'/ , , .
(c) Se pa¡;a, al vencimiento, el préstamo más los intereses delt l%,; en este caso, el valor f inal =
$100 + $t l : $108. O sea, la tasa efectiva al vencimiento' es el t t% e igual a l¿r t¿rsa nomi¡r.r l
pactada. En los ejemplos anteriores se calcularon las tasa al vencimiento de la obl igacir in;
por esta razón, se denominan tasas vencidas.
Si para el cálculo se f i ja la fecha inicial como fecha de pago de los intereses, se t iene que cuando
el prestatario f irma el documento recibe $92 y trascurrido un año tendrá que pa¡jar $1(X), o sea
. S - C ( 1 + r r i )
S : 100; C - 92; n : 7; i : tasa anticipada que se debe calcular
7 0 0 : 9 2 ( 1 + i )
1 0 0 - 9 2 + 9 2 t
9 2 i - u
i : t l * 9 2 : t 1 , 7 % ,
En este caso, la tasa es anticipada. Obsérvese que si los $92 se colocan a| 8,7"1,, en un ¡ñrr se
obtiene el valor f inal de $100.
I , I 5 PROBLEMAS RESUETTOS
1 Demostrar que el interés simple producido por un capital C, colocado durante n
años a la tasa i es igual al interés simple que produciría a la tnst ¡tro¡tlty¡itttr l l ¡,¡¡
colocado durante nr . rr periodos.
Interés simple en n periodos anuales a la tasa i:
I t : Cni
L
nl
Interés simple en ttm periodos a la tasa
MATEMATICAS FINANCIERAS
o sea,
i
l 2 = L m t t -
m
Iz = Cni
f f
r l - r 2
2' Calcular la tasa de interés simple proporcional mensual equivalente a la tasa delg%,anual.
0.09
,= 
72 
=0,0 i175
3' calcular el intcrés simple que produce un capital cre $10.000 en 4 años ¿rr 6%,.
I : C n i
C : 9 j 0 . 0 0 0 ; n : 4 ; i : 0 , 0 6
1 : 10.000 (4) (0,06)
1 : $2.400
4' Calcular cl i . te ' rés simpre que procruce un capitar.e $10.000 cn 3 años .r l 0,8% 'rc.-sual.
Otra interpretación
I : C t t i
C : $10.000; n : 3; i : (0,008)12 : 0,096
1 : 10.000(3x0,0e6)
I : $2.880
C : $10.000, n = 3 (72) : 36perioclos, i : 0,00g
1 : 10.000(36X0,008)
I : $2.880
5. zA qué tasa de interés el monto de $20.000 será g2i.200, a interés simple, en 9 meses?
Se aplica la fórmula g:
INTERES SIMPLE
S =C(7+ n i )
S =2L200
C = 20.000
n=gmeses =2=0,75 años
t ¿
27.200 = 20.000 (7+0,75i)
1+0,75i :?!?
200
o,zsi = ]?.
200
I = 0,08
Tasa = 8,/,,
E l 10 de enero se f i rmó un pagaré de $6.000 aun9% de interés. ZEn qué fech.r los
intereses serán de $359?
I = C t i
I = $359;C =$6.000; i = 0,09
359 = 6.000r¡ (0,09.)
tt=359 +-540 = 0,6648 años
(0,6648)360 = 239 dias
o, de otra forma, al aplicar la fórmula 2n,
- Ctr
36.000
6.000(t)(e)
36.000
(359)36.000
+ -¿ - -
6.000(9)
t = 239 días
Para determinar la fecha se uti l iza la tabla 1. En la horizontal del mes de enero, se
encuentra el número 243; diferencia con 239 : 4,luego se resta 4 al día de la fecha
inicial y se tiene la fecha final: 6 de septiembre.
7. Un artículo vale $1.800 de contado. Un comprador conviene pagar $800 de cuota
inicial y el resto a 60 días, con un recargo delS% sobre el precio de contado. ZQué
tasa de interés simple anual pagó?
Recargo por venta a plazos : 1.800(0,05) : 90
MATE[/4ÁTICAS FI NANCIERAS
, Ctr
l = -
36.000
| =90;C = 1.800 - 800 = 1.000; f = 60días
,,, _ r.000(60xr)
36.000
e0(36)
r = - = J + / t
60
La tasa anual de in terós es 54 ' / ' .
ZQué suma derbe inver t i rse a l 9% para tener $2.000 dentro de 8 meses?
S = C ( l + r r i )
.S = Z.()00; l = -8, año -
1 2
f ) l
2 .00() : Cl I + : (0.0,1) |
L 3 ' I
2 .000=C(1+{ ) ,06 )
C= 
2 'ooo =r .886,79
1,06
?; i = t t ,os
3
Se debe inver t i r $ i . i186,79.
g. Puesto que e l rendimientc l normal del d inero es e l 9%,, Zqué ofer ta es más conve-
niente por un terreno?
(n) $60.000 de contaclo
(¿r) $20.000 de cuota in ic ia l y e l sa ldo en dos pagarés, uno de $10.000 a 90 días y
otro de $32.000 a 180 días.
Primero se calcula el valor actual de los dos pagarés de la oferta (b):
s
7 + t t t
1
Sr = 10.000; i l t=90 días: I año; i :0,094
L 1 -
10.000
r + I to,orr
^ 40.000
L r = - = 9 . / / 9 , 9 5' 4,09
INTERES SIMPLE
1
S, = 32.000; n¿ = 180 días:: año; i : 0,09
2
^ 32.000
1+;Q,oe)
^ 64.000
L - - -' 
2,09
C. =30.622,07
Valor de la oferta (b) = 20.000 + 9.779,95 + 30.622,07
= 60.407,96
La oferta (b) es mejor puesto que su valor actual es superior en $401,96 a la oferta
& t .
10. Una persona deposita $100.000 en una cuenta de una corporación financiera que
paga30% de interés anual. Tianscurrido un mes retira $20.000, y dos meses des-
pués retira $30.000. (a) Elaborar el diagrama del f lujo de caja, (b) Hallar el saldo
disponible a los 6 meses contados a partir de la fecha del clepósito y colocar en el
diagrama los valores obtenidos.
s100.000
94.72s
t
I
I
I
$4.246,88
t
I
I
5 6
N¡ATEMATICAS FI NANCI ERAS
(b) mes I
mes 3
mes 6
5
11. Elabc¡rar el diagrama del f lujo de caja y calcular los valores para una deuda de
$50.000 a un año de p lazo a una tasa de in terés deI30% que se cancela así : un pago
de $30.000 a 6 meses y cl saldo a un año. Al efectuar el pago de $30.000, calcularlos
intcreses de la deuda y obtener el nuevo saldo.
$30.000
t
I
I
5 6 7
$50.000
s, = $looooo (t. ?) 
- zo.ooo = 82.500
$7.s00
s6 = so ooolr. .(?)] - ,o ooo = 27 500
= $sz soo[r. r(T)] - 30ooo = s662s
= sso ozsfr. r( T )] 
= uoor,,r,
$31.625
t
I
I
9 1 0 1 1 1 2
I t o ? o \ - ls ¿ = 27 s0011 + 6[; ))= 
ur un
12. ¿Qué conviene más a un inversionista?
(n) Aceptar la oportunidad de invertir a la tasa deI 70i%.
(b) Invertir $100.000 durante 9 meses con un descuento inmediato del 8% neto
sobre el valor del préstamo.
(b) Descuento neto 8%
$100.000 (1- 0,08) = $92.000
9
72
C = $92.000;S = $100,000; rr = = 0,75 años
INTERES SIMPLE
S : C ( 1 + n i )
100.000 : 92.000 (I+ 0,75i)
i = 8 0 0 0 = 0 . 1 1 5 9
69.000
i = 17,59%
La oferta (b) es mas convenrente.
13. Si en el problema 12la oferta (b) es cancelar el capital con una ¡;anancia neta cjel g%
al vencimiento. ZQué oferta es más conveniente?
Capital final recuperado = $100.000(1 + 0,08)
Capital final recuperado = $108.000
S = C ( 7 + n i )
S = $108.000; C =100.000;n =0,75 af ios
10t1 00 = 100.000 (1 + 0,75i)
i= i '0Q0 =0.1066b6
75.000
i = 101%,
En el horizonte de 9 meses es igual a la oferta (c) del pr.blema 12.
1 . I ó PROBLEMAS PROPUESTOS
14' Determinar la fecha de vencimiento y el monto al vencimiento de cada uno cle los
siguientes pagarés (Utilícese la tabla 1 para fechas).
Valor nominal Fechn iniciat
(a) $3.000 20 de mayo
(b) $5.000 5 de abril
(c) $2.000 3 de mayo
(b) $4.000 28 de noviembre
Plnzo
2 meses
60 días
3 meses
120 días
Tasn
no/
/ / o
8%
6%
8%
15. Calcular el interés simple comercial de:
(o) $2.500 durante 8 meses al 8%.
(b) $60.000 durante 63 días at 9%.
(c) $12.000 durante 3 meses aI8/z%.
(d) $15.000 al10% en el tiempo transcurrido ent¡e el 4 de abril i el 1g de sep_
tiembre del mismo año.
MATEMATICAS FINANCIERAS
16. Calcular el interés simple comercial de:
(n) $2.000 durante 3 años a|0,75% mensual.
(b) $4.000 durante 2 años 3 meses aL0,5% mensual.
(.) $10.000 durante 4 años al 5% semestral.
(,/) $25.000 durante 1 año 3 meses al 6% semestral.
17. Calcular el interés simple comercial de:
(n) $5.000 durante ¡ aRos 2 meses 20 días al0,75% mensual.
(b) $8.000 durante 7 meses 15 días a|7,5% mensual.
18. Calcular el interés exacto de:
(n) Del problema 15(a) uti l izando la relación entre el exacto y el comercial.
(b) $7.000 durante 105 días a l8%.
(t) $4.000, el 16 de noviembre si el pagaré se firmó el 16 de julio del mismo año.
(d) $6.000 durante 4 meses a l9%.
19. Unseñorpagó$2.500,20porunpagaréde$2.400, f i rmadoel10deabr i lde1996aun
con 4%% de interés. ZEn qué fecha lo pagó?
20. El propietario de una casa recibe el 15 de mayo de 1996las tres ofertas que se deta,
l lan a continuación. ZCuál es la mejo4 si el rendimiento es delg%?
(n) $60-000 al contado y un pagaré al 10 de septiembre de 7996 por $32.600.
(b) $30.000 a 120 días y $63.500 a 180 días.
(c) $20.000 al contado y un pagaré con interese s del 8% por $71.000 a 120 días.
Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15
de julio con vencimiento a 150 días. El 20 de octubre del mismo año lo ofrece a otro
inversionista que desea ganar el 70%. ZCuánto recibe por el pagaré el primer
inversionista?
Cerrar el 30 de junio una cuenta corriente con interese s delg% sobre saldo, que ha
tenido el siguiente movimiento:
2^1..
1 de enero saldo débito
10 de febrero abono
20 de febrero cargo
18 de marzo abono
30 de abril cargo
20 de mayo cargo
6 de junio abono
$1s.000
$12.000
$ 8.000
$20.000
$10.000
$ 8.000
$ 3.000
Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagaré
tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el70% por el tiempo que
exceda al plazo fijado, Zqué cantidad paga el deudof, 70 dias después del venci-
miento?
INTERES S IMPLE
24. En el problema anterio4 calcular el total de intereses pagados y la tasa de interés
cancelada por el deudor en toda la operación.
25. Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $20.000 con vencimiento para
el 13 de agosto y recibe sólo $19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o mate-
mático se Ie descontó el pagaré?
26. Una persona firma los siguientes pagarés con el 8% de rendimiento: $10.000 a 120
días, $12.000 a 90 días y $8.000 a 180 días. Tiascurridos 30 días, propone efectuar un
pago de $10.000 al contado y un pago único a 180 días con el 9% de rendimiento;
determinar el valor de este pago único.
27. Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a E
meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimicnto ¿ 6
meses y un año, respectivamente. Determinar el valor de los nuevos ¡.rag.rrés .rl E'i
de rendimiento. (Tómese como fecha focal la fecha dentro de un airo).
28. Una persona debe los siguientes pagarés con el 8%: $6.000 exigible dentro de 3 meses,
firmado a 6 meses plazo; $8.000, exigible dentro de 6 meses ), f irmado a un año
plazo; y otro de $5.000 sin intereses, exigible dentro de 9 meses. Su acreedor acepta
recibir tres pagos iguales con el9% de rendimiento, a cambio de las anteriores obli-
gaciones, así: el primer pago de contado, el segundo a 6 meses y el tercero a un añ<:r
p\azo. Determinar el valor de estos pagos iguales. (Determínese la fecha focal).
29. Tabular un flujo de caja y elaborar un diagrama para la siguiente situación: una
persona obtiene un préstamo de $24.000 el cual debe pagar más los intereses, en 6
pagos mensuales iguales a partir del tercer mes, a una tasa del 79.5%.
30. Tabular un flujo de caja y elaborar su diagrama para el comprador de bonos por
valor de $30.000, emitidos por una empresa, los cuales son redimibles dentro de 9
meses, si paga el 5.6% trimestral de intereses por trimestre vencido y el bono tiene
un valor de $29.000.
I . I7 ACTIVIDADES DE CONSUTTA
(a) Tása de interés penal por mora en el pago de obligaciones y facturas comerciales en
su localidad.
(b) Tasas de intereses que ganan los depósitos en cuentas de ahorro.
(c) Tasa de interés sobre préstamos hipotecarios.
(d) Utilizando un computador, imprimir tablas de interés simple.
jffi&
s
! : ¡ . ;
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i . - , i ¡ t
DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOS
Y COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENA
Y TASAS ESCALONADAS
OBJETIVO
El objetivo de este capítulo es enseñar los conceptos básicos en las operaciones banca-
rias y comerciales como intereses, descuentos y comisiones. Al terminar el capítulo se
podrá reconocer en un problema el t ipo de descuento y aplicar los métodos matemáti-
cos para calcular; trabajar con descuentos bancarios, descuento racional, montos, comi-
siones, descuentos sobre facturas comerciales con o sin tasas escalonadas; uti l izar el
Ienguaje bancario y manejar las expresiones: monto, capital, valor nominal, valor líqui-
do, valor actual y sus símbolos S, C, VN, VL, VA.
2.1 DESCUENTO BANCARIO
Desde tiempos remotos, los prestamistas han acostumbrado cobrar los intcreses ¡tor nde-
lantado sobre el valor de los pagarés, calculándolos sobre el valor anotado en dichos
documentos. Esto, además de permitir al prestamista disponer de inmediato del dinero
correspondiente a los intereses, le da un mayor rendimiento que la tasa señalada en Ia
operación.
El descuento bancario es el que se utiliza en todas las operaciones comerciales y, por
ello, al hablar de descuento, se entiende que es el descuento bancario, salvo que se expre-
se como descuento racional o de otra forma convencional.
Para estas operaciones, se usan ciertas expresiones léxicas que es necesario conocer
DESCUENTO BANCARIO. DESCUENTOS Y COMISIONES. DESCUEN TOS EN CADENA Y TASAS ESCATONADAS
2 . 2
Valor nominal de un pagaré El valor nominal de un pagaré es ei que está inscrito en la
obligación; para el comeicio se trata clel capital. Si el pagaré no gana intereses, cl valor
nominal indica la cantidad que debe pa€íarse en la fecha de vencimicnto señal¿rd¿r.
Descontar un pagaré Es la acción de recibir o pagar hoy un dirrero, a cambio dc una
suma may()r comprometida para fecha futura,bafo las concliciones convcnidas en el
pagaré. Al referirse i 'r la operación, el término descontar kr usan t.rnto el prcstat¿rricr
r 'orTlo € l prestamista.
Un pagaré como un b ien mobi l iar io puede scr vendido, es deci r c lcscont¿rc l9, uni i
o más veces antes de la fecha de su vencimiento y cada compraclor descuenta el pagaró
por el t iempo que falta para su vencimiento. Cuandcl la opnraciírn se efectúa entig ba¡-
cos, toma el nombre de rt:dcscuattto.
Descuento Es la d i ferencia establec ida entre e l va lor norn inal y e l va lor r lL lc se r t ,c ibt , , ¡ l
momcnto de dcscontar e l pagtr ré.
Valor efect ivo o l íqu ido de un pagaré Es e l va lor nominal nrerros t , l c i t , : r .u t ' r r t r r . [ : ' r , l
v¿l lor en d inero que se rec ibe en e l momento de c lcscont¿rr l ; r obl igar ' ion o, t , t r ( ) t r i ts p¿la-
bras, el vaior actual o presente con dcscuento bancarict.
Tipo o tasa de descuento Es el tanto pclr ciento de descuento, o se¿I, un porcenta je de I
valor nominal que deduce cl prestamista, al descorrtar cl pagtrré.
Plazo Es el término que se uti l iza para expresar el periodo dr-: cluración clel préstirrno.
Los pagarés son obligaciones a corto plazo y el descuento banc.rrio simple nunc¿l se
efectúa para pe.riodos mayores de un año.
FóRMutA PARA Et cÁtcuto DEL DEscuENTo BANCAR¡o
sean: s : valor del pagaré; l : t iempo expresado en afros; d : tanto por ciento (tasa clc
descuento)
Aplicando la fórmula 4:
I = Ct t í
Luego, al remplazar se tiene, D = Snd ( 1 1 )
ffiIEEII Un pagaré por valor de $68.000 vence el 18 de septiembre; se descuenta el 20
de junio a\10%. Calcular e l va lor descontado y e l va lor l íqu ido del pagare.
El t iempo que falta para el vencimiento es de 90 días, n = ,A año; S : 68.000; t l:0,1
@ N ¡ A I E I ú A T I C A S F I N A N C I E B A S
St sus t i t t r y t
y/ , - yN r )
1 ) : ( V N ) r r r i
V1 - YN (V 'N ) r r r l
V ! - (V i ' ! ¡ ( t t t t t )
D 5 , r ¡ l - { , f i ( } { r ( ) i ' 1 , , , r ,
' \ ' i l
I ) - $ 1 . 7 ( x )
v rk r r l í r1u id , - 5 D : 68 . (xx ) - l . z (x ) v rk r r l iqu ic l . : 966 .3(x )
2.3 FóRMULA PARA EL VALOR t iQUIDO EN Et DESCUENTO BANCAR¡O
I: l valor l íc¡uido C'r ,s t l vakrr actu¿rl dcl ¡rag¿¡[ y, ¡ror tanto, igual al valor nonrinal -S,
l l l t l l ( )s t ' l d t ' s t ' t l t ' n t t l . [ ) t ' s ignar rdo por V / . r ' l v ¡ lo r l í r ¡ t r i c lo , y por VN c l v¿ lo r nomina l , s t ,
t l c r i r ' :
( r l )
( r 2 )
El f f IEEf l Ur . r p . rs . r r i ¡ ro r va lo r c l t ,$22 0{ )0 s t , r l cscucnt ¡ l2 ( l r l í¿s ¿nt t ,s c l r su v r r rc i rn ien to
( ' , ¡ i c t r l¿ r s t ¡ r ,¿ lo r I í r ¡ t r i r lo , s i t , l r l t , s r . r r t , l - r to s t ,h . ¡ r . t , , t l ( . ) , . r .1 .
YN
VI
VI,
VI,
VL
- $22. (X) ( ) ; l
- ( V N ) ( l t t i )
$22 ( ) (x ) | 1
I
- 22 000(0,97)
- 521.3,10
l 2 ( l I
' - Jno ; r i - 0 .09
l()0 3
l l
(0 ,0 ( ) ) - 22 . (XXld _ 0 .03r
1 )
2.4 RETACION ENTRE Et DESCUENTO BANCARIO
Y Et DESCUENTO RACIONAT O MATEMÁTICO
Sea un Pagaré de valor nominal (y¡/) y su tasa cle interés i. Designando por VL- el valor
actual con descuento rac ional en e l t iempo r¡ antes del vencimiento y po ' , vL, , 
" lva lor l íqu ido con descuento bancar io en e l mismo t iempo y con la mismá tasa pará e l
t i t - 'scuento, se t iene:
t t r l / N
V l ' r = -
t + t l t
VL,, = ¡Y7¡ ¡¡1 - ni) fórmula 12, enla cual d : i
(e)
DESCUENTO BANCARIO. DESCUENTOS Y COI\4ISIONES. DESCUENTOS EN CADENAYTASAS ESCALONADAS
VL,
I4V
1 + r 1 i
W(7- n i )
1
(7+ n i ) (7 - n i )
1
7 - ( tti)z
vLt,
VL, -
VL,,
2 . 5
V L ' ' = Y 2 ' [ f - r ' r i t ' / ]
Esta últ ima expresión indica que crr t ient¡tos igunles V a utm mismn tnsn, el anlor líqui-
do ct¡tt descuettto raciottsl es sientpre nmyor que eI unlor líquiLlo ccnt dcscucttto battcnrio.
IffiEffl Calcular los valores líquidos con descuento racional y con descuento b¿rnc.rrio cle
un pagaré por valor de $14.t[0, descontado 1tt0 días antes de su vencimient(), a una tas¿ dcl f{ ' i
t80 I
V N = $ 1 4 . 0 0 0 : t r = - a n o j l : t l : 6 ' / o
360 2
yN 14.000 14.0t)()\ / r _
v L - -' 
l+n i 1+(112)({ ' |08) 1+0,04
VL, - $73.467,54 (descuenkr racional)
yrJ, = s(1 -nd)=14.1¡6 [r - ryztro'ost]
yli = 14.0m(1 - 0,04) = 14.000 (),96)
V I-+ = $13.440 (descuento bancario)
PAGOS DESPUÉS DE tA FECHA DE VENCIMIENTO
Cuando un pagaré no se cancela en la fecha señalada para su vencimiento, comienza a
generar intereses llamadoshúereses de mora,los cuales se calculan con base en el valor nomi-
nal por el tiempo que se retrasa el pago, a una tasa de interés fijada al firmar el pagaré. Los
intereses de mora se calculan mediante la aplicación de las fórmulas ya estudiadas, y para
el monto se utiliza la fórmula 8, que es la que corresponde a un pagaré con intereses.
IffiIEflN Calcular el valor líquido de un pagaré de 914.000 cancelado 3tl días después de
su vencimiento, si los intereses de mora se fi jaron en el72% .
Se aplica la fórmula 8, 5 : C(1 + rl) que da el monto para un pagaré que gana intereses. En
lenguaje bancario S = VLy C : fN.
Obsérvese que el valor líquido es el valor que recibe el banco y en este caso se trata del monto S;
C es el valor nominal.
C = t ,N = 14.0r)0; , ,= + = 0.1055555 años; i :0,72
-JbU
v1. = t ¡Nt | + r t i ) = 14.000[1 + (0,1055s5s) (0, t2] ]
I'1. = 1.l.(XX)( | + 0,01266666) = 14.0(X)( 1,01 266666)
vt. - s11.177 ,33
2.6 COMtstoNES
L¿rs comisiones son c¿¡nticlades de clirservicio L¿r cc,rnisión se expres¿, "" ,l;i:;::;llyi::::tJl,:i::l},'J.T[:::1,fi,x']po' De erst¿t Inancra, si p.rrt i la vcnt.r. l., aigúrr bien'se c,r.,,r i"r. l" con cl venclecl.r u^¿comisión de| 5'/ ' , cstcl sig.if ica que se le piigarír l¿r suma de 5 uniclacles cle dirre. p.rcada l00 unidacles c le l vakrr c ler l i ven¡¿r .
sean c cl va*rr sobrc cl cuar se r'ra cre pargirr u.a comisión
r t:I ',í, d,e comisión fijadct
. r
, = 
f tt, 
tanto¡-r¡t¡ ¡11e
C-omisión : C¡
[ /ATEIúÁTICAS FINANCI ERAS
( t . j )
2 . 7 VARIACIONES DEt VATOR I íQUIOO Y DE LA TASA
DE INTERÉS EN Et DESCUENTO BANCARIO
Las entidades bancarias para sus préstamos, aclemás de la tasa de clescuento, c.branvalores como comisiones, gastos bancaric-rs, seguros e impuestos; estos varores agrega_dos al descuento, dismrnuyen el valor líquido del pagaiéy, 
". ' .o.r".uencia, 
result¿rmás alta la tasa de interé.s de la operac ión'. véatnc el'ejiciciá resuelto Nn g y los ejerci-cios propuestos 16 y 27 de este capítulo.
DESCUENTOS COMERCIATES
En el comercio, se acostumbra ofrecer una rebaja sobre el precio de lista por alguna razón;por ejemplo, promociones especiales de venta, compra ul po. ^uyo4 pronto pago, etc.Los descuentos como las comisiones seno,i n tervie n e er tiemp o. s e a r % "r a ",., ". i 
jTj: 
TIT;XH.tJ:fi:t:J"::j:,"$::factura de valor $S. Siendo i el tanto por uno, se tiene:
2.8
D e s c u e n t o : D : S i (13a)
DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOS Y COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENA Y TASAS ESCALONADAS
VALOR NETO DE UNA FACTURA
EI valor neto de la factura es igual al valor facturado, menos el descuento
Sean S : monto facturado o valor de Ia factura
7l'/ : valor neto de la factura
d : tanto por ciento de descuento
¡ : ' t l rc. tanto por uno de descuento
Y ¡ J : S - D : S - S i
v¡J :s (1- r )
E
2.9
[fll[il¡Effl Calcular el vakrr neto pur pagar para cubrir urr¿r factura
sobre la que se concede un descuento del 4%.
( 1 4 )
por valor de $7 ( ) ( ) ( r
S : $ 7 . 0 0 0 ; i : 0 , 0 4
y¡J : S(1 - r ) : 7 .000(1 -0,04) : 7 .000(0,96)
VI I :56.720
2.1O DESCUENTOS POR PRONTO PAGO
El comercio mayorista acostumbra ofrecer descucntos por pronto pago, clue permiten
al comprador escoger entre varias altc.rnativas su forma de paga¡, según el t iempo en
que anticipen el pago sobre el plazo expresado en la l ista de precios del mayorista. Si un
mayorista indicasus precios con plazos de pago a 60 días, esto significa que cl compra-
dor queda obligado a pagar a los 60 días contados a partir de la fecha de la factura; sobre
el precio facturado se ofrecen los descuentos por pronto pa5;o. Se acostumbra indicar
los descuentos por medio de fracciones, cuyo numerador señala el tanto por ciento de
descuento y cuyo denominador se refiere al t iempo dentro del cual el comprador tiene
la opción de pagar para tener derecho al descuento señalado por el denominador. Por
ejemplo, un comerciante factura una mercancía por valor de $100.000 el primero de
marzo con las siguientes condiciones: neto a 60 días; n/.,r; "/ ,.;8% de contado. Esto
s igni f ica que:
' Por pago de contado contra factura, se paga con el 8% de descuento, o sea $92.000.
' Por pago a 15 días de plazo, o sea el 15 de marzo, se paga la factura con el 6% de
descuento, es decir, $94.000.
. Por pago a 30 días de plazo, o sea el 1a de abril, se paga con el 4% de descuento, es
decir. $96.000.
MATEMATICAS FINANCIERAS
2. I I DESCUENTOS EN CADENA O EN SERIE
Ctln frecuencia ocurre que sobre una misma factura se hacen varios descuentos por dife-
rentes razones independientes entre sí. Estos descuentos sucesivos reciben el nombre
de descuentos en cadena o en serie. Por tratarse de descuentos independientes, cada
uno se efectúa con base en el valor neto de la factura, después de deducir el descuento
arrterior. Por ejemplo, sobre una factura de $50.000 se conceden ios siguientes descuen-
tos:
(n) Por compra al por mayor 8%
(lt) Por promociirn especial de ventas S%,
(c) Por despachos sin empaques 6%,
Estos descuc.ntos en cadena operan así :
Valor neto de l¿r
factur.r
o/,,
Descuento
Valor neto de la
factura
$s0.000
$46.000
$43.700
$46.000
$43.700
s41.078
8%,
6%,
\¿ lor net t r Lror p¿tgar : $41.078
Descuento comerc ia l único equivalente a var ios descuentos en cadena Sean los des-
cuerttcrs d,, d., t l .,...,t1,,, concedidos en cadena, sobre una rnisma factura.
El valor neto es dado por la fórmul.r 14, vN : s(1 , i), en l; i clue i es el tanto por
uno correspondiente a l descLrento ¿/%,. Design¿rndo por VN* e l va lor neto despuós de
;rplicado el descuc'nto r/, sc. t iene :
V¿rkrr ncto
cle la f¿rctura
,/,
Descuentcr
V¿rlor neto
de la factura
Sustituyendo los dife-rentes valores
Y N r : S ( 1 - r r )
V ' r V . : Y N r ( l - i . )
l z N . : y N . ( l - i r )
: :
LrN,, = VN, ,(r 
- i,,) =
netos en la cadena, se t iene:
s ( 1 - i 1 ) ( 1 - i : )
s ( l - , , ) (1 - r . ) (1 _ i , )
s( i - i1) . . . (1 - i , , )
s
I / N /
VN,
:
l , / ^ . ¡
,1,
d.
,1 .
t l
V N , , : S ( 1 - i 1 ) ( 1 - i . ) ( i - i , , ) ( 1 5 )
D€SCUENTO BANCARIO, DESCUENTOS Y COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENA Y TASAS ESCALONADAS
Después de analizar esta últ ima expresión se deduce que, puesto que el producto
es una operación conmutativa , el orden en tllte se et'ectúen los áescientos ett cndeni nt¡ nltern
el c,nlor neto t'inal.
Para calcular el descuento único equivalente a una cadena de descuentos, se es-
tablece la ecuación de equivalencia entre los valores netos de una factura de g1, con
descuentos en cadena. sea i el tanto por uno equivalente a la cadena i,, i .,..., i .,,se tiene:
Para S : $1,00; 1,00 - t = valor neto con descuento único
VN, : 1,00(1 - irxl - tr)...(1 - l, ) : valor neto con descuento en cadena
O sea 1,00 - i : (1 - t ,Xl - i r ) . . . (1 _ t , , )
¿ : 1 - ( 1 - i r ) ( 1 _ i 2 ) . . . ( 1 _ t , , ) ( 1 ó , )
@ r C a | c u l a r e | v a | o r n e t o d e u n a f a c t u r a d e $ 1 0 . 0 0 0 c t l n I < l s d e s c u e n t < l s e n . ¡ d c n . ]
del 6%,,8% y a% y calcular el descuento equivalente único.
Se apl ica la f írrmula 15, yN,, : S(1 _ i ,Xl _ !). . .( l _ t , ,)
r, : 0,06
i' - 0'08
¡. : 0'04
VN, - 1g.gg0(1 - 0,06X1 0,0uXt - 0,04)
YN. : 10 .000 (0 ,94) (0 ,e2) (o ,e6)
YN. : 10 .000(0 , t i3020¡ i )
valor neto : VN : $t1.302,0¡J
El descuento equivalente único es según la fr irmula 1ó,
i = r _ (1 _0,06x1 _ 0,08)(1 _0,04) : 1 _ (0,s4)(0,s2)(0,s6)
i - 1 ,0,83020¡l
descuento único = i : 0,169792; d : 16,9792,/"
2.12 TASAS ESCATONADAS
Tásas escalonadas son aquellas en que los tipos de interés aplicados varían de acuerdo
con determinado criterio preestablecido. Por ejemplo, una empresa concede aumen-
tos de salario, según la siguiente escala:
Salarios de $500 a $1.000
Salarios de $i.001 a $2.000
Salarios de $2.OOt en adelante
25% de aumento
75% de aumento
70% de aumento
MATEMATICAS FINANCIERAS
Con las tasas escalonadas de aumento sucede que, en la vecindad de los valores
donde se produce la variación de la tasa, se origina una situación de inversión en la
categoría de los empleados. suele ocurrir que, después del aumento, los empleados de
cierta categoría quedan. con un sueldo superior al de otros empleados que eran, antes
del aumento, sus superiores en categoría áe sueldos.
La mejor manera de analizar estos problemas es por medio de una gráfica. En el eje de
Ias abscisas se colocan los sueldos antes del aumento, y en el eje de las ordenadas, el monío de
los sueldos después del aumento. Así, para dicho ejemplo, sé tiene la gráfica que aparece a
continuación. Se han trazado en ella las ordenadur io.."rpor,dientes a los extremos de
las escalas de sueldos: MA en la escala de 500 a 1.000 y ruD en el extremo superior de la
escala 1.001 a 2.000.
Tiazando por el punto,4 la paralela al eje X, se encuentra el punto B sobre la recta
CD, cuyas ordenadas corresponden al nuevo sueldo en la escala 1.001 a 2.000, valor
igual al nuevo sueldo del que ganaba $1.000. Tiazando por el punto B la paralela al eje
Y, se encuentra, en el ejeX, el sueldo correspondiente antes de^l aumento; para calculár-
lo, se plantea la ecuación de equivalencia entre los montos:
2.300
2.200
2.000
7.250
1.150
1.000
625
1.000
7.095,96
Z-----------+
500
rs% 2.000
DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOS Y COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENAYTASAS ESCALONADAS
50 1.000
1.000(1 + 0,ZS): (1.001 + x)(1 + 0,15)
7.250:7.157,75 + 7,75x
98,95 = 1.,1.5x
x : 9 5 , 9 6
Sumando $1.001 a r que es el límite inferio¡, se obtiene el sueldo de $1.086,96.
Un empleado que ganaba$7.086,96, al incrementar su sueldo en un 15%, queda con
$1.250, que es también el nuevo salario de los que devengaban $1.000. La gráfica mues-
tra que todos.los trabajadores que ganaban sueldos comprendidot 
"ñtr" 
$1.001 y
$1.086,96 quedan, después del aumento, con un salario inferior al nuevo sueldo de
los que devengaban $1.000. El mismo análisis se puede realizar para otros puntos en
la escala de tasas variables.
2.13 MODIFICACIóN DE tAS TASAS ESCATONADAS PARA
EVITAR LA INVERSIóN DE tAS CATEGORíAS DE VATORES
La inversión se evita modificando la pendiente de las rectas que en cacla tramo permi-
ten determinar el monto del nuevo sueldo. En la gráfica del ejemplo dado, los montos
de los nuevos sueldos quedan definidos por las ordenaclas de ia recta C D, parala escala
1.001 a 2.000. Trasladando el extremo C hasta que coincida conA, se evita li inversión de
las categorías de sueldos, con un mínimo de variación en los mismos. Estos nuevos
sueldos quedan determinados por las ordenadas de la recta AD.
En la gráfica, se trazó la función idéntica L. Sobre esta recta que pasa por el ori-
8en, se encuentran los puntos cuyas ordenadas son iguales a las abscisas, y se traz6la
recta EF paralela a AD,Para un sueldo que exceda los $1.000 en la cantidadz, su nuevo
monto en escala modificada corresponde a la ordenada KG que puede expresarse por:
K G : K I + I H + H G
K I : 7 . 0 0 0 + z
H G = E A : 2 5 0
lHse deduce de la p roporc ión #=# en dondeLF : LD - LD:300-250: 50 ;MN:
1.000; MK : z; remplazando se tiene:
IH
50
IH = z .- = 0,05 z; sust i tuyendo, se t iene:1.000
¡6: (1.000 + z) + 250 + 0,052
MATEMATICAS FINANCIERAS
Generalizando el desarrollo anterior para un intervalo de cualquier tasa escalona-
da, puede enunciarse:
EI nuevo valor es igual al antiguo más una suma fi ja y más un porcentajefi jo del
exceso, con relación al extremo inferior del intervalo. La suma fija es igual al aumento
del sueldo en el extremo inferior del intervalo, y el porcentaje fijo es igual a la razón
entre la diferencia de los aumentos en los extremos del intervalo y el intervalo.
Para el caso expuesto y para los dos primeros intervalos, se enunciaría así: los suel-
dos comprendidos entre $500 y $1.000 se aumentan en 25% . Los sueldos comprendidos
entre $1.001 y $2.000 se aumentan en $250 más el 5% del exceso del sueldo sobre 1.000.
Una aplicación importante de las tasas escalonadas se encuentra en las escalas de
tributación para impuestos de renta, catastrales y otros.
[ftffitrffl Una empresa concede aumentos a sus trabajadores, de acuerdo con la siguien-
te escala:
. Sueldos hasta $1.000 ,22% de aumento
. Sueldos desde $1.001 hasta 3.000,10%
. Sueldos desde $3.001 en adelante, 5%
Calcular la escala modificada, para evitar la inversión de las cate¡;orías de sueldos.
Para el intervalo 1.000 a 3.000 se tiene. entonces.
. Aumento en el extremo inferior 220
. Aumento en el extremo superior 300
. Diferencia en los extremos 80
. Valor del intervalo : 2.000
. 8 0
i= _ = 0,04
. Suma fiia = aumento en el extremo inferior : 220
Para el intervalo de $i.000 a $3.000, el aumento sería de 9220 más el 4% del exceso del sueldo
sobre $1.000.
Para el intervalo de $3.000 en adelante, la modificación se hace con relación al sueldo más alto
del intervalo; por ejemplo, si éste es de $8.000, se toma su valor como extremo superior del
intervalo, y así, se tiene:
. Aumento en el extremo inferior 300
. Aumento en el extremo superior 400
. Diferencia en los extremos 100
. Valor del intervalo : 5.000
. 100
5.000
DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOS Y COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENA Y TASAS ESCALONADAS
Para este intervalo, el aumento será de 9300, más el2% del exceso del sueldo sobre 93.000. En
consecuencia, la escala modificada quedará:
. Sueldos hasta 91.000 aumentan en e1,22%
' Sueldos desde $1.001 hasta $3.000 aumentan en 9220, más el4% del exceso del sueldo sobre
$1.000
' Sueldos desde $3.001 aumentan en $300, más el2% del exceso del sueldo sobre $3.000
De acuerdo con lo comentado en la sección 7.2, en la mayoría de los problemas se
indica Ia tasa de rendimiento sin incluir la tasa de corrección monetaria. Esto con el
objeto de evitar confusiones. véase, por ejemplo, lo que sucede con un préstamo cle
$100.000 a un año de p lazo con la tasa dei 30% (ZZ%ie correccióny gT" de in terés) .
Aplicando el30% el prestamista recibiría $130.000, es deci4 recuperaría el capital inicial
con corrección de $122.000 más $s.000 de intereses, suma infeiior al 8% páctaclo. Lr¡
correcto es aplicar primero la corrección al capital y luego calcular la tasa cle rendir-¡rie ¡-
to, así se tiene:
Capital con correcci ón del 22%
Más 8% de interés : 722.000 x 0,08 :
Valor que debe cancelar el deudor
VN, : 915.900; n , : 0,09
Segundo pagnré:
Y¡r/, : 910.000; r. : # ; tt : 0,0e
VLr: VN,(1 - nrd) + VNr(7 - n¡t)
$122.000
+ 9.760
sr37.760
Para comparar renclimiento de opciones diferentes en un mismo momento se pue-
de, bajo las mismas condiciones de desvalorización, manejar en un solo % la corrección
y la tasa de interés, pero en general no es aconsejable hacerlo. En el capítulo 14 se pre-
senta el estudio de la devaluación monetaria y los métodos de corrección cle su valor.
2,14 PROBLEMAS RESUETTOS
1' Un inversionista descuenta dos pagarés en un banco que cobra el 9%, d.e interós
simple por adelantado: uno de valor nominal $15.000 u-g0 .líur y otro de $10.000 a
60 días; hallar el valor efectivo que recibe.
C : S (1 - nd); en lenguaje bancario, VL : VN(1 - ncl)
Printer pngaré:
90
3 6 0 ' " 
-
MATEMATICAS FINANCIERAS
Un inversionista presta una suma de dinero a un cliente mediante un pagaré cuyo
valor nominal es de $60.000 con vencimiento a 150 días, quien descuenta al 72% de
interés por adelantado; 40 días después negocia el pagaré en un banco que des-
cuenta el9% de intereses por adelantado; hallar:
(a) La suma que recibe el cliente.
(b) La suma que en la operación comercial gana el inversionista.
(c) La suma que descuenta el banco.
(a) VL : (VN)(7 - nd)
VN = 60.000; , , = 9, d = 0,12
360
[ ¡ rso \ 
' l
vL, = 6sesel r - | = lto,tztl
L \ J o u / )
VL, = 557.000
VLz
VLz
vLz - vL1
Respuesta: $1.350
(c) D : (Vtrt)nd
VN:60.000; ¡ i :
D : 60 .000
D : $1.6s0
vL = 1s 000[r - lll)ro.oe)l+ 10.000 [t - f iq) r0,oe)l
L \360/ I L \ :eo) )
VL= $24.572,50
VL
YN
(b) : (YN) (1 - nd)
= 60.000, , =!! , r1 = 0,09360
= 6o ooo It - I t !9 ] ,o,on,l
L \ 3 6 0 ) )
= $58.350
= $58.350 - $57.000 = $1.350
( 110
t *
\ JOU
1 1 0
* ; d : 0 , 0 9
JbU
,J(0,0e)
DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOS Y COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENAYTASAS ESCALONADAS
3. Un pagaré a 120 días por $30.000 a intereses del70% se negocia en un banco que
descuenta intereses deI8% por adelantado; hallar el valor líquido que se recibe del
banco.
Primero se calcula el monto del pagaré a su vencimiento y, luego, se calcula el des-
cuento sobre ese monto. Aplicando fórmula 8:
, :ar r* r ¡
720
C : 930.000; n : 360 ; 
i : 0,70
I t t t . o \ I
s:3o.ooo l l+ l = l to , to l
L \ J o u / )
S : $31.000
Con base en el monto de $31.000 del pagaré, a su vencimiento, se calcul¿r cl r'.rlor
líquido en la operación de descuento.
V L : V N ( 7 - t l d \
12(\
VN : $31.000; n : *O; 
d: 0,08
t - / l 2o \ I
vr_ : 31 ooo | 1-l = lto,oal I
L \ J O t ' / )
VL:530.773.33
4. Hallar el descuento racional de un pagaré de $20.000 , al 8% , con vencimiento a 60
días. Comparar el descuento racional con el descuento bancario a la misma tasa de
interés simple.
t r r YN
7 + n i
VN = 920.000; r¡
Í l r _
v L -
T l I _
60
360'
i : 0,08
1
$
MATEMATICAS FINANCIERAS
El descuento racional es VN -VL = 20.000 -79.736,84: $263,16
Descuentobancario D : Snd
60
l/N = $20.00Q; n = ] ; d = 0,08360
r 6 0 \
D = 20 .000 l - l (0 ,08)
\ 3 6 0 /
D :9266,67
Descuento racional : 9,263,76
Descuento bancario : 9,266,67
S. Determinar la fecha en que se descuenta un pagaré de $6.000 con vencimiento el 21
de mayo, si se recibieron $5.940 con descuento bancario deI9%
VL: (VI r l (7 -nd)
VL : 5.940; VN : 6.000; d : 0,09
5.940:6.000 [1 - t t (0,09)]
si1g - I - o,oe,¡
6.000
0,09r¡ : 0,01
1 -
¡¡ - - dÍlO
9
, : L rzoo,= 4o días
9
El pagaré fue descontado el 11 de abril.
6. Calcular la tasa de interés simple i equivalente al t ipo de descuento bancario d.
El valor VL recibido con descuento bancario es dado por:
VL : (V I r l ( 7 -nd )
El capital VL,más sus intereses a la tasa l, debe dar el monto t/N en el mismo tiempo,
o sea:
V L ( \ + r r i ) : Y ¡ ¡
Sustituyendo, se tiene:
DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOS Y COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENA Y TASAS ESCALONADAS
: YN(1 + ni)(7 - nd)
: (1 + n i ) (1-nd)
7 - n d
7 " n d
- 1 = - . -
1 - n d 7 - n d
d= 
1 _,1 , tasa de interés simple equivalente al t ipo de des_| - ttu cuento bancario ¿/.
7. Uti l izando el resultado del problema anterio¡, calcular Ia tasa de interés simplc l,
equivalente al t ipo de clescuento bancario del70%: (a) 360 días, (ü) 120 días, ic) 9tl
días, (d) 60 días, antes del vencimiento.
. d
7 - n d
(a) n : 360 días : 1 año, d : 0,1
. 0 , t 0 , 1 I
t = = = : = 0 . 1 1 1 1
1 - 0 , 1 0 , 9 9
Tasa de interés simple: 71,7J.%
(b) n :120 días : Y= ] uno,
JOU J
YN
1
l + n i
t l t
¡ = - - - i ' 1 - = 3 = o r o 3 4
r - l r ) ro. l r 2e
\ 3 i
Tasa de interés simple: 70,34%
9 0 7
(c) t t = 90 días =:;= - años
360 4
¡ = --- iL-
/ 1 \
r - l : l ro . r r
\ 4 )
4
39
= 4,7026
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tasa de interés simple: 10,26%
(d ) n=60d ías =#=1uno
. 0 , 1 6 - - _
r - l1 l ro. r se
\ ( r ) 
'
Tasa de interés simple: 70,77%
8. (rz) Calcular el valor efectivo que se recibe al descontar un pagaré de $5.000, 120 días
antes del vencimiento, si el banco cobra además $5 por gastos bancarios y el 2 por
mil por concepto deimpuesto de timbre sobre el pagaré. Tasa de descuento del9%.
(b) Calcular la tasa de interés simple equivalente al descuento efectuado.
(n) VL : VN(1 - rrd)
t / I -
T / I _
120 días: 
J ano; 
Vlu
I r t \ Is oooLl - 
[3 ,l 
(0,0"]
$4.850
=5.000; d=0,09
= 5.000 (0,97)
gastos bancarios
2 por mil sobre 5.000
valor efectivo recibido
$ to 1 5
(b) 4 83s[1. (+)' ] = 5ooo
r * 11)¡
\ 3 /
(+),
* 5.000
4835
_ 5.000
4835
495= -
4835
$4.835
, 165- l = -
4835
= 0,7024
Tasa de interés simple: 10,24%
DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOSYCOMISIONES, DESCUENTOS EN CADENAYTASAS ESCALONADAS EEl
9. Sesenta días antes de su vencimiento, un inversionista descuenta en un banco un
pagaré de $20.000 a intereses del70%, el cual se firmó a 90 días. Calcular el valor que
recibe el inversionista, si la tasa de descuent o es del 9% .
Primero se calcula el monto del pagaré en la fecha de su vencimiento.
S : C ( 1 + n i )
C : $20.000; n :90 días: 
9 o = 1 a ñ o ; i : 0 , 1 0
360 4
f t t r I
s : 20.000 | r * | ; I (0,10)l = 20.000 (7,02s)
L \ + t )
M o n t o : S : $ 2 0 . 5 0 0
El descuento lo hace el banco con base en la suma de $20.500 que corresponde al
valor nominal , por 60 días a la tasa de descuent o del9%.
V L : V N ( 7 - n d \
VN : 20.500 ; n : 60c1ías : ] u¡.,; d: 0,09
l . rr) .^, ,^;
vL : 20.s00 | 1 - | ; | (0,0e)l = 20s00 (1 - 0,015)
L \ 6 ) )
VL : 20.500(0,985)
vL: $20.192,s0
10. Una empresa debe a su banco los siguientes pagarés descontados, a una tasa del9%
de descuento y al72% de interés en caso de mora:
(o) $20.000 con vencimiento el 31 de agosto.
(b) $60.000 con vencimiento el 30 de septiembre.
(c) $40.000 con vencimiento el31 de octubre.
El 10 de septiembre, en mora de pago para el primer pagaré,la empresa conviene
con el banco sustituir los tres pagarés por uno solo, con vencimiento el 31 de diciem-
bre del mismo año. Calcular el valor de este nuevo documento.
. Primero se calcula el valor actual de los pagarés para el 10 de septiembre.
(n) Pagaré vencido el 31 de agosto. Se calcula su monto S, con los intereses de mora
deI72% para 10 días.
MATEMATICAS FINANCIERAS
líquido para el 10 de septiembre.
VL : VN(7-nd)
VN = $60.000; n : 20 días :
S : C ( 1 + t ¿ i )
C : $20.000 ; n : \Ldías : # 
= 
f uno; 
i = 0,72
f t " t \ I
s : 20.000 | 1 * | ; l to,tz¡l = 20.ooo (1+ 0,0033333)
L \ r o l _ l
S : VLt: 20.000(1,0033333)
VL, = 929.g6',r,
(b) Pagaré de 960.000 con vencimiento para el30 de septiembre. Se calcula su valor
z0- =
360
t
- año; d:0,09
l 6
Designado el valor líquido Por VLr:
f r t \ I
vL, : 6s.soo Lt 
- 
t; ,l 
(0'0e)l = 60'000 (1 - 0'00s)
VL' : 69'6OO(0'99s)
VL,: $59.700
(c) Pagaré de $40.00 con vencimiento el 31 de octubre. Se calcula su valor líquido
VLpara el 10 de septiembre.
V L : V N ( 7 - n d )
VN: $40.000; n :51días : años; d: 0,09
Designado el valor líquido por VLr:
vL, = 4s.ss¡[t - l*],0,0e).1 = 40.000 (t- o,tzzs)' 
L \360i . l
VL, = 4g'ggg (0'98725)
VL. = $39.490
51
360
DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOS Y COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENA Y TASAS ESCALONADAS
La suma del valor líquido de los pagarés para el 10 de septiembre es:
VL = VLt + VLz+ VL"
w : 20.066,67 + 59.700 + 39.490
VL =6119.256,67
Conocido el valor líquido para el 10 de septiembre, se calcula el valor nominal del
pagaré con vencimiento para el 31 de diciembre.
V L : V N ( 7 - n d )
VL : $779.256,67; n: 112 días :
t . ( t1z \ I
119.256,67 = yN I I 
- 
I tn I (u,ue)l : v¡t ( l _0,028) : VN \o,e72)L \ J o U r l
779.256,67ur: ,rn,
VN : $122.692,05
2.15 PROBTEIAAS PROPUESTOS
11. Determinar el valor líquido de los siguientes pagarés, clescontaclos en un banco a
las tasas y fechas indicadas a continuación
(a) $20.000 descontados al 70%,45 días antes de su vencimiento.
(¿,) $18.000 descontados a l9%,2 meses antes de su vencimiento.
(c) $14.000 descontados al8% el15 de junio, si su fecha de vencimiento es para el
18 de septiembre del mismo año.
(d) $10.000 descontados al 70% el 20 de noviembre, si su fecha de vencimiento es
para el 14 de febrero del año siguiente.
12. Una persona necesita $10.500 y, para obtenerlos, f irma un pagaré a 90 días con la
tasa de descuento bancario del 74% . Calcular el valor del pagaré firmado.
13. Alguien vende una propiedad por la que recibe los siguientes valores el 9 de julio
de c ier to año:
(a) $20.000 de contado.
(b) Un pagaré por $20.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo año.
(c) Un pagaré Por $30.000, con vencimiento el9 de diciembre del mismo año.
172
. - a ñ o s ; ¡ : 0 , 0 9
.)o(,
MATEMATICAS FINANCIERAS
Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del 9%, calcular el valor real de la
venta.
14. Unpagaréde$10.000sedescuentaal I0% yserecibendelbanco 99.789. Calcular la
fecha de vencimiento del pagaré.
15. El Banco Ganadero descuenta un pagaré por$80.000 a l70%,90 días antes de su
vencimiento. 15 días después lo redescuenta en otro banco a la tasa delg%. Calcu-
lar la uti l idad del Banco Ganadero.
16. Una Persona descuenta un pagaré por $8.500 en un banco 80 días antes de su ven-
cimiento, a la tasa de\70%. Si paga además $5 por concepto de gastos bancarios y el
2 por mil Por concePto de impuesto de timbre sobre el pagaré, calcular la tasa de
interés simple equivalente al descuento efectuado.
17. Una con'rpañía comercial debe a su banco tres pagarés con las siguientes caracterís-
ticas: $30.000 con vencimiento el 30 de abril; $25.000 con vencimiento el 30 de mayo
y $50.000 con vencimiento el 30 de junio. El 20 de abril propone a su banco remplazar
los tres pagarés Por uno solo, con vencimiento para el 15 de junio del mismo año. Si
la tasa de descuento es del 9/o, calcular el valor del nuevo pagaré.
18. un invcrsionista posee un pagaré por valor de $60.000, f irmado el 21 de mayo de
un año, con intereses del12% y vencimiento el 18 de septiembre del mismo año; lo
ciescuenta en un banco, a la tasa delg% el 30 de iunio del mismo año. Calcular el
valor efectivo recibido en el descuento.
19. Un empresario debe a su banco dos pagarés; uno por $40.000 con vencimiento el 20
de agosto y otro por 960.000 con vencimiento el 20 de octubre. El 25 de agosto, venci-
do el primer pagaré, conviene con su banco recoger los dos pagarés y remplazarlos
Por otro, con vencimiento para el 30 de noviembre. Si Ia tasa de descuento es del 9%
y los intereses de mora deI72%, Zcuál es el valor del nuevo pagaré?
20. Un inversionista desea ganar el 72% de interés simple efectivo sobre su capital.
ZQué tasa de descuento bancario debe uti l iza¡, si el periodo de descuento es: (a) 30
días, (b) 2 meses, (c) 90 días, (d) 720 días?
21. Calcular el descuento único equivalente a la cadena 70%, 6% y B%.
22. un comerciante compra 25.000 metros de tela a$77,30 el metro. Si en su compra
aprovecha la serie de descuentos del 8%,6%,75%, calcular el valor al cual debe
ofrecer el metro de tela, si desea obtener una uti l idad bruta delZS%.
23. Un comerciante ofrece mercaderías por valor de $160.000 y establece los descuen-
tos en cadena del 8% , 6% , 5% . Por experiencia sabe que el 25% de los compradores
]ESCUENTO BANCARIO. DESCUENTOS Y COI\4ISIONES. DESCUENTOS EN CADENAYTASAS ESCALONADAS
24.
25.
hará uso de los tres descuentos; el35% hará uso del primero y segundo de los des-
cuentos; el22% hará uso del primero de los descuentos y el resto de los clientes no
util izará ninguno. Calcular:
(o) El descuento equivalente a la cadena.
(b) El descuento único equivalente a la cadena de los dos primeros descuentos.
(c) El descuento efectivo con que vendió toda su mercancía.
(d) La cantidad por la que vendió su mercancía.
La tarifa para impuestos de renta en Colombia es una tasa escalonada modificada.
Entre $100.000 y $150.000 la tarifa es de $24.165 más el 37% del exceso sobre $100.00t)
de la renta líquida gravable. Calcular:
(n) La tasa real de impuesto que se paga, con base en $100.000 de renta.
(b) La tasa real de impur:sto que se paga, con basc en $150.000 de renta.
(c) La tasareal de impuesto que se paga, con base en $115.000 de re'nta.
(d) La tasa real de impuesto que se paga, con base en $130.000 de renta.
En un acuerdo sindical se concede a los trabajadores la siguiente escala de aumen-
tos salariales:
Sueldos inferiores a $1.500, 25% de aumento.
Sueldos desde $1.501 a $2.500, 18% de aumento.
Sueldos desde $2.501 a $3.500, el14%.
Desde $3.501 en adelante, el8%.
Elaborar la gráfica correspondiente a los aumentos concedidos, y determinar en
cada intervalo el valor del antiguo sueldo que, en el momento del incremento que-
de de igual valor con el nuevo salario correspondiente al extremo superior de la
escala inmediatamente anterior.
Una empresa que concede los aumentos señalados en el problema 25 decide modifi-
car la escala, para evitar Ias inversiones en las categorías de sueldos. Calcular las nue-
vas escalas, de acuerdo con el criterio explicado en la sección 2.70.Para el cálculo, se
pueden aprovechar los siguientes datos: La planilla de salarios de la empresa mues-
tra antes del aumento: sueldo menor $900, sueldo mayor $7.000. Calcular además el
% realde incremento, según la nueva escala, que recibe un empleado cuyo salario es:
(a) $1.600, (b) $2.000, (c) $2.400, (4 $2.800, (e) $3.a00, (/) M.ooo, G) $5.000, (h) $6.000.
Una persona obtiene un préstamo bancario por $50.000 a 6 meses de plazo, descon-
tado con el10%; con el compromiso de mantener en su cuenta de ahorros la suma
de $5.000 por el t iempo de duración del préstamo. Si, además, debe pagar el 2 por
mil por impuesto de registro del pagaré y $150 de gastos bancarios, hallar la tasa de
interés cancelada por el dinero que utiliza.
26.
i n
MATEMATICAS FI NANCIERAS
2.16 ACTIVIDADES DE CONSULTA
(n) Tasas de descuento bancario vigentes.
(b) Comisiones y gastos bancariosiobrados en los descuentos.
(c) Tarifas para impuesto de renta (tasas escalonadas).
(d) Criterios aplicados en los últ imos aumentos salariales y reajuste de pensiones
(c) Tasas de corrección monetaria.
a Lenguaje bancario para el valor de los documentos y su valor descontacro.
(q') Efectos de la inflación en su país durante los últ imos tiempos.
il¿rsv*K-# ffi
PAGOS PARCIALES Y VENTAS
A CREDITO A CORTO PLAZO
OBJETIVO
El objetivo de este capítulo es enseñar los fundamentos matemáticos de pagarés con
intereses, ventas a plazo y cancelación de deudas mediante pagos parciales. Al termi-
nar el capítulo se podrán calcular intereses efectivos en deudas con abonos parciales,
intereses en las diferentes modalidades de ventas aplazo y diseñar planes de ventas a
pIazo.
3.T INTRODUCCIóN
En las actividades comerciales se acostumbra suscribir obligaciones en las que se acep-
tan pagos parciales o abonos a buena cuenta, dentro del plazo convenido para cancelar
la obligación, en lugar de un solo pago a la fecha de su vencimiento.
Para la solución de los problemas en los que intervienen obligaciones y sus intere-
ses, se supone que todo dinero recibido o pagado, por cualquier concepto, forma parte
del proceso financiero dentro del mismo juego de intereses, hasta la extinción de la
obligación.
En este tipo de obligaciones se presentan varias alternativas y el análisis y cálculo
de los valores en juego deberán hacerse de acuerdo con las costumbres locales.
A fin de comprender los aspectos teóricos de los pagos parciales de una obliga-
ción, se estudiará primero el pago de intereses en fracciones del plazo de la deuda.
r
3.2
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
PAGO DE tOS INTERESES DE UN PAGARÉ EN FRACCIONES
DEL PTAZO DE [A DEUDA
Analícese lo que ocurre con un pagaré de $100 con intereses delS% y vencimiento a un
año de plazo, en el cual se obliga al deudor a pagar los intereses por trimestres venci-
dos.
El diagrama de tiempo-valor muestra, pafa el ejemplo dado, la fecha de pago de
los intereses y el valor de éstos.
Tiempo
0 3 6 9 l2meses
Intereses
Fijando la fecha focal para la fecha de vencimiento del pagaré, se tiene que los
intereses pagados al final de cada trimestre ganan intereses, a la misma tasa del pagaré,
hasta la fecha de vencimiento. Calculando los montos en la fecha focal y designándolos
sucesivamente por F 1, F2,...F,, valores futuros o montos, y por P el valor presente C.
S : C (1, + ni) se transforma en F : P (1. + ni)
fórmula general del valor futuro, en la cual P = $2; I : 0,08
q,g2fiz$2
paran: 9 meses r3)Iz]
3
4
(o,os)] :1.
2
(i) .,*,]14
año F, : z 
[ r 
* (0,08)] : 2 (I + 0,06) : g2,12
aflo F,= , 
[t 
. (,paran: 6 meses 2 (1, + 0,04) : $2,08
paran: 3 meses =2 (1+0 ,02 ) : $2 ,04
En la fecha del vencimiento, el deudor deberá pagar el valor del pagaré más los
intereses del último trimestre o sea $L02; agregando a este valor los valores futuros F,,
F ry F ,, se tiene el valor futuro en la fecha focal:
F =102+2,12+2,08+2,04
p :9108,?A
año F,= zlr *
PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CRÉDITO A CORTO PLAZO
3.3
Este valor futuro muestra que los intereses corresponden a un pagaréde $100 a latasa efectiva delS,vl%, cifra mayor que ra tasa nominai der pagaré.
DESCUENTO BANCARIO CON PAGOS ANTICIPADOS
DE tOS INTERESES EN FRACCIONES DET PtAiZO
En cuanto al descuento bancario, son frecuentes las obligaciones en las que se conviene
con el deudor el pago anticipado de los intereses, 
"n 
p"rlodos qrle 
"orr"iponden 
a frac-
ciones del plazo de la deuda.
for ejemplo, un pagaré de 9100 a r"2 meses de plazo con pago de intereses d.erg%
anual por trimestre anticipado. En la fecha inicial, el deudoi récibe el valor efectivo
descontados los intereses correspondientes al primer trimestre.
VL = VN (1, - nd)
1 ¡ ¡ ¡ = 9 1 0 0 ; n = 3 m e s e s :
vr=zlt-
1
¿ a i o ; d = 0 , 0 8
vL : 1.001t - l i) (0,08).i :100(1 -0,02)= 100(0,e8)
L \ 4 i I
VL : $98
los intereses y sus valores.
t
0 L2 meses
Los intereses que debe Pagar el deudor en fechas posteriores, al inicio de cada
trimestre, son obligaciones a las que -dentro del mismo jüego de d.escuento bancario a
la tasa fijada- se les puede calculár su valor líquido en tá reJna inicial.
VL : VN (1- nd)
VN: $2; n = 3meses = 1 año; d = 0.0g
4
(f)ro,*r]=2 (1, -0,02) = 2 (0,98)
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Designando porVL,
VL, : $L,96
Paran = 6 meses ano
1,
2
v¡:¡ : zlt -
L
Designando porVL,
(1) , t , * , ] :2(1-0,04)=
(f)ro,*r]:, o
z (0,96)
$1,92
añoParan: 9 meses :
w,: z [ r - -0 ,06 ) :2 (0 ,94 )
Designando porVL,
VL, : $1,88
El valor de los intereses calculados por descuento bancario en la fecha inicial tie-
nen un valor
D : f iZ + VLt+ VL2+ VLI
D : $2 + 91,96 + $1,92 + 91,88
p : $7,76
Este resultado nos muestra que la tasa real de descuento es de7,76,cantidad me-
nor que la tasa nominal delS% señalada en el pagaré.
_ Para comparar las tasas efectivas de interés de deudas con pagos anticipados y
deudas con pagos vencidos de intereses, atfonse los problemas reiueltos 1,2,3 y 4 de
este capítulo
Las fórmulas estudiadas en los capítulos anteriores son suficientes para resolver
estos problemas, no es necesario desarrollar fórmulas de aplicación general. Por otra
parte, en los capítulos dedicados al estudio del interés compuesto, se encontrarán mé-
todos para resolver este tipo de problemas desde otros puntos de vista. Es importante
que el lector se familiarice con el léxico bancario y los cambios de símbolos introduci-
J
4
PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CRÉDITO A CORTO PLAZO
3.4
dos en las fórmulas C : S (1 -ni) yVL: I4ü (1 -ni), jtntocon las siglas utilizadas en los
programas dg computación para valor presente (vp) y valor futuró (vF).
PAGOS PARCIAIES
Para el t¡atamiento de las obligaciones que permiten pagos parciales o abonos dentro
del periodo o plazo de la obligación, en lugar de realizar un *lo pugo en la fecha de su
vencimiento, hay diferentes criterios; a continuación se hará referencia a los d.os más
importantes_y de mayor aplicación. En todo caso, al estudiar el interés compuesto, se
verán métodos más generales para este tipo de problemas.
Regla comercial Esta regla indica que, para los pagarés que ganan intereses, los valo-res futuros_ de la obligación y de los diferentes abonós debén cálcularse, independiente-
mente, en la fecha de vencimiento. La cantidad por liquidar en esa fecha es li diferencia
entre el valor futuro de la obligación y la sumá de lós valores futuros de los distintos
abonos.
Designando como F el monto de la deuda en la fecha de vencimiento, F,, F ̂ , ..., F
los valores futuros de los distintos abonos en la misma fecha yX la cantidadioí Uq"i1
da¡, aplicando la regla comercial, la ecuación de equivalencia es:
X = F- (F , + F2+ . . . + F , )
$4.000
t
I
I
8
$160
t
$450
t
I
12
IftE U Para una obligación de $10.000 a un año de plazo con intereses del l2%, el
deudor hace_ los siguientes abonos: $5.000 a los tres meses y $¿.ÓOO a los 8 meses. Calcular, apli-
cando la regla comercial, el saldo por pagar en la fecha de vencimiento.
$s.000
t
I
I
I
J
$10.000
Designando por F el valor futuro de la deuda, por F, y F, los respecüvos valores futuros de los
abonos, en la fecha de vencimiento, se tiene:
MATEMÁTEAS FINANCIERAS
F = P(l + ¿l)
F : 10.000; n = 1año; i: 0,12
F = 10.000 (1 + O,LZ): 10.000 (1,12)
F : $11.200
p : 5.000;n = gmeses = I anos
4
[ / : \ l
F , =5 .000 l t * l ;1Q,12) | : s .ooo(1 +0 ,0e) :5 .000(1 ,0e)' 
L \ : t ' l I
F, = 95.450
p : 4.ooo; n : 4meses = 1 ano; i : o,'r,Z
f r t \ I
r" : 40001t + l: l(0,12) | = 4.OoO (1 + 0,04) :4.000 (1,04)' L \3 / ' ' )
F, :94.160
x : F -(F, + F2) = 11.200- (5.450 + 4.16'0)
¡ = 91.590
Regla de los saldos insolutos o regla americana Esta regla para los pagarés que ganan
intereses indica: cadavez que se hace un abono debe calcularse el monto de la deuda
hasta la fecha del mismo y restar a ese monto el valor del abono; así se obtiene el saldo
insoluto en esa fecha. Los pagos parciales deben ser mayores que los intereses de la
deuda, hasta la fecha de pago.
t@Apl icando lareg lade lossa ldos inso lu tos ,ca lcu la re lsa ldoporpagaren la
fecha de vencimiento para la obligación del ejemplo 3.1
$4.000 $1..627,60
t
t l
8 1,2
$5.000
+
I
I
3
$10.000
PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CRÉDITO A CORTO PLAZO
Valor futuro de la deuda a los 3 meses:
= ro.ooo 
[r 
+
F : x =r.sos 
[ r 
+
(i).,'r]
= 10.000 (1 + 0,03) = 10.000 (1,03)
= $10.300
Menos primer abono - 5.000
Saldo insoluto a los 3 meses $5.300
Valor futu¡o del saldo a los 8 meses:
P =5 .300 ;n=Smeses = L ano ; i=0 ,12
| / - \ IF=5.3ool t * [ ] l1o, rz¡ l
L \ 1 2 l ' 
' l
= 5.300 (1 + 0,05) = 5.300 (1,05)
= 5.565
Menos segundo abono - 4,000
Saldo insoluto a los 8 meses $1.565
Sobre el saldo insoluto en la fecha del úlümo abono, se calcula el valor futuro en la fecha delvencimiento.
P = $1.565; n = 4meses:
1
;
J
(!\rc,,,
\ 3 / '
año; i = 0,12
)] =.,.uuu o + 0,04) = 1.565 (1,04)
X = $1.627,60
- - Comparando los resultados obtenidos en los ejemplos 3.'1. y 3.2, se observa que el
s.aldg fo¡ Pagar en la fecha de vencimiento resulta Áuir+al apíicar la regla de ló sal-
dos insolutos' Esto se debe a qu9 a_l aplicar esta regla, él prestarnista comienza a ganar
intereses sobre los intereses,capitahzádos, en cadifecha de los pagos parciales.
Si el deudor de una ob-ligación con interese s dellZ%, a ln anó de plazo, hace
abonos mensuales, aplicando la regla de los saldos insoluios, se le cobra sobre sal-
l''
MAÍEMÁTICAS FINANCIERAS
dos el L% mensual con capitalización mensual, es deci¡, intereses compuestos y no
simples.
Sea la obligación de valor C por pagar en ?? meses con intereses simples del i%
mensual, a la cual se hace un abonoA transcurridos rx1 meses. En un diagrama de flujo
se marcan los tiempos, r?r que corresponde al abono y n al vencimiento de la obligación.
Valor futuro aplicando regla comercial : VFRC
Valor futuro aplicando regla americana : VFRA
VFRC = C (1 + ni) - A[1 + (n -nr) il
VFRA : [C (1 + nri) - A]11. + (n - nr) il
VFRA = C (1 + , rü- ¡11. + (n*nr) i l + C(1 + nr i ) (n-nr) i
VFM: C(1 . +n , í ) -A [1+ (n -n , ) i ]+C (n i - n r i + n rn iz - n l i2 )
WM = C(1 + n i ) -A [1 + (n -n r ) i l * Cnr i (n -nr ) i
Restando: VFRA - VFRC : Cnri (n - nr) i
O sea, la diferencia entre VFRA y VFRC son los intereses simples a la tasa i en el
tiempo (n - nr) de los intereses Cni del préstamo C.
VENTAS A PTAZOS
A pesar de que el análisis acerca de los problemas derivados de las compraventas a
plazos se aborda en los capítulos correspondientes al estudio del interés compuesto, se
estima que, por su gran aplicación en las actividades comerciales, conviene examinar
3.5
PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CRÉDITO A CORTO PLAZO
en esta sección algunos aspectos de los sistemas que se acostumbra aplicar en este tipo
de ventas.
Sobre el precio de contado, el comerciante carga una suma adicional por venta a
plazos; parte de esta suma es por concepto de intereses sobre la deuda que contrae el
comprador y otra parte es para cubrir el mayor costo que significa la venta a plazos.
Entre estos costos están los gastos de contabilidad, cobranzas, investigación de crédi-
tos, gastos legales, deudas incobrables y otros.
Para el compradoD^el sobreprecio que paga son los intereses de la deuda que contrae
por la compraaplazos. Comercialmente se considera el sobreprecio como inteieses.
Ventas a plazos con cargo de intereses sobre saldos Esta modalidad es de aplicación
poco frecuente y consiste en pagar la deuda por medio de cuotas iguales, a lás que se
suman los intereses sobre el saldo de Ia deuda a una tasa convenida.
[ftfififtf,ff Una persona compra artículos electrodomésticos por valor de $8.000 y convie-
ne pagar $2.000 al contado y el saldo en 4 cuotas de $1.500 mensuales, c/u con el 2% mensual de
intereses sobre saldos.
Valor de la compra
menos pago de contado
Saldo
Primera cuota
más 2% sobre 6.000
Valor del primer pago
Saldo
Segunda cuota
más2% sobre 4.500
Valor del segundo pago
Saldo
Tercera cuota
más2% sobre 3.000
Valor tercer pago,
Saldo
Cuarta cuota
más 2% sobre 1.500
Valor cuarto pago
Saldo
$8.000
- $2.000
$1.500
+ $ 1 2 0
$1.620
$1.500
+ $ 9 0
$1.se0
$1.500
+ $ 6 0
$1.560
$1.500
+ $ 3 0
$1.s30
$6.000
$4.500
$1.500
$3.000
000
Ventas a plazos con pagos periódicos iguales En el comercio, la costumbre más gene-
ralizada para las ventas a plazos es la modalidad de pagos periódicos iguales. Para de-
terminar el valor de estos pagos periódicos o cuotas, se procede así: al precio de contado
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
se le hace un carSo adicional por venta a plazos. De este valor se resta la cuota inicial y
el saldo se divide por el número de pagos convenidos'
(precio de contado + adición) - cuota inicial
aalor cuota =
Ordenando en otra forma el numerado¡, se tiene:
aalor cuota =
(precio de contado - cuota inicial) + adición
número de pagos
3.ó
(precio de contado - cuota inicial) : saldo insoluto
o sea que, en realid.ad,la adición se hace al saldo insoluto y el valor de Ia cuota es:
aalorütota= 
W
TASA DE INTERÉS EN VENTAS A PTAZOS
Para calcular la tasa de interés anual cargada en la transacción, es necesario determinar
algunos conceptos y dar algunas definiciones.
B : saldo insoluto = valor de contado - PaEo inicial
I : cargo adicional o intereses
n : número de pagos excluyendo el pago rnicial
R : valor del pago periódico
la = número de periodos o plazos contenidos en un año
I = tasa anual de interés expresada en tanto por ciento
h 
: tiemPo exPresado en años
Pordefinición, I: Rn-B
Thsa de interés según la regla comercial De acuerdo con la regla comercial para pagos
parciales estudiadá en la seición 3.4, se escoge como fecha focal la fecha de vencimiento
para la obligación. Para el caso de ventas a plazos, se trata de la fecha de pago para la
última cuota de la comPra a Plazos.
PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CREDITO A CORTO PLMO
0
periodos
D
Cada periodo de pago es igual a 1/ ,,,aíto; el tanto por uno de interés en cada perio-
do es igual a1/,,, i.81 monto del saldo insoluto inicial y la suma de los montos de los
pagos parciales, en la fecha focal, deben ser iguales.R 
fecha focal mes o
+1¿l +n
m )
- z ) * . . . +2+1 f
( n \ / r - 7 \ | n - ) \
B l 1 + - : i l : R l 1 + " 
- i l + R l l + " - i l +
\ m / \ m / \ m )
( ) \ /
+Rl t+a i l +n l t
\ m / \
B + B n i : n R + R L [ ( r _ 1 ) + ( r
m m '
La expresión encerrada en el paréntesis es la progresión aritmética formada por
los (n - 1) primeros números naturales y su suma es igual u nln-- 1). AI sustitui¡, se
tiene:
B + B n i : n o * R ( n - 7 ) n i
m 2 m
B L i _ R ( n - l ) n i
m 2m 
:nR-B: I Car9oad ic iona lo in te reses
lznn-x(n-t)nli :2mI
fll MATEMÁncAs FINANoTERAS
Z n B - R n 2 + R n
Zml
L -
ZnB- ( I+B )n+ l+B nB+B-n l+ I
2ml
B(n+ r ) - t ( n -1 )
(17)
@Unequipodesonidot ieneunpreciodecontadode$65.000;sevendeaplazos
mediante un pago inicial de $12.000 y el saldo en seis cuotas mensuales de $10.000 c/u. Calcular
la tasa de interés cargada.
Saldoinsoluto B = 65.000-12.000 = $53.000
Cargo porintereses I : Rn-B = 6 (10.000) -53.000:60.000-53.000
I = 7.000
Número de pagos n : 6; periodo de pago = L mes, de donde m = 12
Al sustituir. se tiene:
z (12) (z.wo)
2mI
sustituvendo Rn = I * B, se tiene
Zml
' 
53.ooo (6
I :0 ,50
Tasa =50%
111.300 - 1,51
25,51
I
I
+ 7) - z.ooo (6 - 1)
_ 168.000
37Ln0 - 35.000
[ftffi&ffl En la venta a,plazos del ejemplo anterior, el comerciante desea cargar intereses
a la tasa del30%. Calcular: (a)'El cargo que debe adicionar al precio de contado, para obtener su
precio de venta a plazos. (b) La cuota mensual.
z (12) (r)
(a) i = 0,30 %,1
37Lffi0 - 5I
= ?Al
= 111.300
, 111.300
25,5
= $4.364,70
: $9.560,80(b) valor cuotas :
53.000 + 4364,70
PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CRÉDITO A CORTO PLAZO
Thsa de descuento bancario en ventas a plazos Considerando el saldo insoluto B como
el valor efectivo o actual de los pagos futuros o cuotas de las ventas a plazos, se tienen
n pagos de valor R, en periodos iguales a|/;,de año, a la tasa de descuento d.
B
0
R
n , )- a l
m . )
, Zmla : 
R n ( l x + 1 )
u
fecha focal mes 0
B:R(r-L¿) +n(t-?¿l* *nlr -n- ' t '¿) *nlr-
\ rn / \ m / \ m / \
B= nR - ! ¿ l + z+ . . . + (n - t ) + n f
m L
La suma de los términos encerrados en el paréntesis es igual u n (n + 1) '
2
s :nR-Rd[ ' ( '= *0 ]- m l z I
R . l n (n +1 \1
* ' l , _ l 
: , O - B = I c a r g o a d i c i o n a l p o r v e n t a s a p l a z o s
despejando d
1
I@Calcular latasadedescuentobancario,enlaventaaplazosdelejemplo3.4
m : 12; n : 6; R : 10.000; I : 6 (10.000) - 53.000 = 7.000
Sustituyendo en la fórmula 18, se tiene:
(18)
2 Q2)Q.ooo)
d : loooo (6) (6 + 1)
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
_ 168.000
420.000
d = 0,40
Tasa de descuento = 40%.
Effif,fl En el ejemplo 3.6, el comerciante desea cárgar la tasa de descuento del 2 4% . Calcu-
lar el cargo que debe adicionar al precio de contado, para obtener su precio de ventas a plazos.
) - 2 m l
" 
- 
R " ( " * L )
d = 0,24; m : 12; n : 6; R : 10.000
z (rz) (r)
0,24 :
0,24 =
+r )1o.ooo (6) (6
24 (t)
420.000
24I = 100.800
¡ : 100.800
24
¡ = 94.200
Thsa de interés según la regla de los saldos insolutos El cálculo de los intereses con
aplicación de esta regla se estudiará en los capítulos sobre interés compuesto/ junto con
otros métodos generales
En algunos textos se dan otras fórmulas para cálculos aproximados de la tasa car-
gada en operaciones de ventas aplazos; ninguna tiene validez. Una de las más utiliza-
das es lallamadarazón constante que no corresponde a ninguno de los criterios aplicados
en matemáticas financieras. Para su deducción, se supone arbitrariamente que los pa-
gos R se descomponen en dos sumandos aplicados, independientemente, al pago del
saldo insoluto, y el otro, al pago de los intereses globales.
de I : Rn- B se despeja R, y se tiene
El nombre de razón constante se refiere a que la razón entre B/, e t/n es la misma
que hay entre B e 1; lo que no constituye una novedad ni tiene relación alguna con el
problema mismo. Para la deducción de la fórmula, se supone que los saldos insolutos
ganan i% anual, y después de cada pago son los términos de la sucesión.
BI
t ? - - - F -
n n
PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CRÉDITO A CORTO PLAZO
', (' - :),(' - +),{r - r' -tltl
:).(, +)+ +{, ry}]t=Llr*(t-ml \
; f 1
l : ! -B l n - ^ ( r+2+ . . .
m I n '
* ( r - t ) ]
r=a r l r - t .n(n- t ) ]
ml n 2 l
2m
ZmI
EC + l) 
Fórmula de razón constante
El lector debe analizar cuidadosamente esta fórmula, cuya aplicación está bastan-
te difundida -no obstante estar mal concebida-, y sacar sus piopiás conclusiones sobre
ésta y otras fórmulas que se utilizan en el comercio (oéase piobÉma 21,, página9l).
PRO BIE'i,IAS RESU ETTOS
1. un inversionista presta $20.000 a un cliente, a un año deplazo,mediante un pagaré
que Sana el1'0% de intereses simples, con el cual el deudbr se compromete a cance-
lar los intereses por trimestre vencido. Hallar la tasa cobrada de interés real.
Los pagos trimestrales de intereses se incorporan al juego financiero bajo sus mis-
mas reglas, es deci¡, devengan intereses del1,0%.
Cálculo de los intereses trimestrales
I = Cni, C = Pvalorpresente, I = Pni
p : 20.000; , = j, i = 0,10
r : 2o.ooo 11)fo,rol
\ 4 /
I _
I -
L -
3.7
1 : $500
l'-
f,ll MATEMÁTrcAs FTNANcTERAS
Cada pago de intereses gana, a su vez, intereses hasta la fecha de vencimiento del
pagaré.
Primer pago:
Segundo pago:
Tercer pago:
F :P (1+n i )
p=500 ; r= | , i =0 ,10
F, = 5oo 
[t 
. (;) (o,r)] = $537,s0
p :500 ;n=* , f =0 ,10
F, : 5oo 
[t 
. (;) (o,t)] = $525,00
p:500; r= i , l=0 ,10
F, = 5oo 
[t 
. (f (o,t)] = $slz,so
Cuartoyúltimopago: P = 500; n = 0; i = 0,10
F¿ : 500 [t * (o) (0,1)] = $500,00
F=F , +F2+ F3+F4 =537 ,50+525+ 512 ,50+500
Monto de los intereses al vencimiento del pagaré: $2.075,00
l : 2 .075 ;P :20 .000 ;n :1
' -2 '075 :o .o1o3z5- 20.000
Tasa efectiva de interés = 10,375%
, l
1 = -' P n
PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CREDITO A CORTO PLAZO
2. En el problema anterio¡, Zcuál es la tasa de interés, si los intereses se cobran por
anticipado?
En este caso, lo único que varía es el tiempo dúrante el cual los intereses ganan, a su
vez, intereses.
Primer pago:
Segundo pago:
Tercer pago:
Cuarto pago:
F = P ( 1 . + n i )
P : 5 0 0 ; n : 1 ; i : 0 , 1 . 0
Fr :500 [1 + (1) (0,1)]
F, : Frdel problema Ne 1
F, : Frdel problema Ne 1
F. = F, del problema Ne 1
$ 550,00
$ 537,50
$ 525,00
$ sl2,50
92.125,00Monto de los intereses al vencimiento del pagaré
. I
' P n
I :2 .125; P :20 .000; n :1 .
. 2.125
t=- - : - : - : - =0 ,70625
20.000
Thsa efectiva de interés : 10.625%
3. Un banco descuenta un pagaré de $100.000 a 18 meses de plazo con intereses del
L2/o anlual, pagaderos por semestres anticipados. Hallar Ia tasa efectiva de descuen-
to bancario cobrado por el banco.
Es necesario calcular el valor efectivo en la fecha inicial de cada pago de intereses,
en el mismo juego financiero de descuento al1,2%. Primero se calcula el valor de los
pagos semestrales, por concepto de intereses.
I : P n i
p : 1 0 0 . 0 0 0 ; n : 0,12
/ 1 \
¡ : 100.0001 i1(o , tz ¡
\ ¿ )
¡ : 96.000
Luego, se cálcula el valor efectivo de los intereses en la fecha inicial, en el juego
financiero de descuento bancario aI1,2%.
1
- . 4 -
2 '
P : F ( 1 , - n d )
r
MATEMATICAS FI NANCI ERAS
Primer pago de interés, en la fecha inicial:
P , :
Segundopago: P : 6.000; n
I
P, : 6'000 
L1
lbrcer pago: F : 6.000; n
P¡ : 6'000 [t
Suman
: L ;d = 0 ,1
(}) (o'12)]
= 1 ; d = 0 , 1 2
- 0) (0,12)]
$ 6.000,00
z
: $ 5.640,00
= $ 5.280.00
$16.920,00
El descuento efectivo en la fecha inicial es de $16.920,00
D = P n d
D = 76.920; P = 100.000i n :
D
d=p ,
, : - f t 4n =0 ,1128" - roo.ooo (f)
Tasa de descuento efectivo :'1,1,28%
4; Una persona firma un pagaré de $50.000 a 6 meses de plazo, con intereses delg%.
Antes del vencimiento, efectúa los siguientes abonos: $10.000 al mes y $20.000 a los
cuatro meses de firmado el documento. Hallar el saldo que debe pagar al venci-
miento, aplicando: (a) la regla comercial,(b) la regla de los saldos insolutos.
(a) Regla comercial En la fecha de vencimiento deben calcularse los montos de la
obligación y de los abonos.
Monto de la obligación.
= P ( 1 + n i )
:50.000; n
3
2
F
P
F :5o.ooo 
[1
F = $52.250
= 
*, , 
: o,oe
. (f (o,oe)]
PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CREDITO A CORTO PLMO E
Monto de los abonos. P, : 10'000; n = *,, 
i = 0,09
Fr : 1o.ooo 
[t 
. (*) (o,on)]
F, : $10.375
Pr=20 .000 ,n= I , i : 0 ,09
Fz = 2o.ooo 
[t 
. (f (o,oe)]
F, : $20.300
Saldo insoluto = F - F r - F z
= 52.250 - 1,0.375 - 20.300
Saldo de vencimiento = gZ1-575
(b) Regla de los saldos insolutos (regla americana) Cada vez que se hace un abono,
se calcula el monto de la deuda en la fecha correspondiente y se le resta dicho
abono.
F : P ( 1 , + n i )
p =50,000; n: 
i , , 
i = 0,09
F : bo.ooo 
[t 
. 
[,|)(o,oe)] 
: $50.375,00
Menos primer abono
Saldo
P = 40'375; n: !; i
F :4o.37sf t . l1 ' )
L \4 /
Menos segundo abono
Saldo
$10.000.00
$40.37s,00
: 0,09
I
(0,09) I :941.28j,44
J
$20.000.00
fi21*283,44
a
MATEMATICAS FINANCIERAS
I : 6.000 (0,10) : 699.
I) : precio de contado menos cuota
2 (600) (12)
P : 2 L 2 9 3 , 4 4 ; n =
F : 21,.283,4q1t *
L
Saldo al vencimiento
i : 0,09
I
(0,09) I : fi21.602,69
I
= 921.602,69
b
l1 )
t - l
\ .6 /
Un comerciante acostumbra aumentar el precio de venta de contado enunl}/o para
ventas a plazos hasta de seis meses y en un 1,5% para plazos entre 6 meses y un año.
Cobra una cuota inicial igual a las cuotas por pagar en los plazos. Dos clientes, Ay B,
compran cada uno artículos por el mismo valor de $6.000.4 compra a 5 meses plazo y B,
a 10 meses de plazo con pagos mensuales. Para ambas compras, calcular Ia cuota men-
sual y Ia tasa de interés cargada en la transacción, ap'licando la regla comercial.
2ml
Clietttc A: i :
B ( n + 1 ) - I ( u - t )
; -
Tása : 53,33%
4.eoo (6) - 600 (4)
0,5333
6.600
t t : 5 ; r n : 7 2 ; R : 
o 
: 1 . 1 0 0
inicial : 6.000- 1.100 : 4.900
14.400
27.000
10; trt = 1.2; valot cuotasClietúe B: I : 6.000 (0,15) : 900; tt
R = u?90 : 627,27
1 1
B : 6.000 - 627,27 : 5.372,73
- _ 2 ( 1 2 ) ( e 0 0 ) _ 2 7 . 6 0 0
s.372,73 (11) - eoo (e) 51.000
i : 0,4235
Tasa: 42,35%
Una tienda ofrece cortinas por valor de $7.800 con una cuota inicial de $1.000 y el
saldo en 18 cuotas quincenales de $396 du. Calcular la tasa de interés cargada a la
venta, según la regla comercial.
B : 7.800 - 1.000 : 6.800; I
_ 2(24)(328)- 
6.800 (1e) - 328 (17)
i : 0 ,727
Tasa : 12,7o/o
PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CREDITO A CORTO PLAZO
: 396 (18) - 6 .800 :328; n :18) m :24
_ 75.744
723.624
7. Un comerciante vende electrodomésticos por valor de $90.000; para promover
sus ventas, ofrece crédito para pagar en^12 cuotas mensuales de $8.000 c/u y
recibe la primera como cuota inicial. Calcular la tasa de descuento bancario de
Ia transacción.
. ZmI
, 7 : - - - - - - - - - - - - - -" R r ( n + 1 )
R : 8.000; B : 90.000-8.000 : 82.000; m = 12;tt : 11;I : 8.000 (11)-82.000 : 6.000
d: ?!l)(6!00) : l4lqqt
8.000 (11) (12) 1.0s6.000
d :0,] .36
lhsa de descuento : 13,6%
8. Un comerciante ofrece herramientas por valor de $12.800. Si la compra es al conta-
do, rebaja 1.0% de este precio. A plazos las ofrece para pagarlas en 18 mensualida-
des, pero aumenta el valor en $2.183 y exige una cuota inicial de92.532. Calcular Ia
tasa cargada en la venta, de aeuerdo con la regla comercial.
En este problema, el precio de venta de $12.800 es un valor ficticio señalado por el
comerciante, para cumplir con una ley que no le permite cargar más del 2% men-
sual en ventas a plazos, sobre saldos insolutos.
El saldo insoluto B es igual al precio de contado, menos la cuota inicial.
Valor de contado : 12.800 (0,9) : $11.520
B :1.1.520-2.532 : 8.988
El comerciante calcula el valor de las cuotas mensuales con base en el precio ficticio
de $12.800, más un cargo de ventas aplazos, menos la cuota inicial.
i 2 ,800 +2 .1 .83 -2 .532 72.451.: - -
18
R -
18
MATEMÁTICAS FINANCIEBAS
: fi691,72
: 18; m : 12; I : 697,72 (18) - 8.988 :
Zml
B (n+1 ) - I ( " - 1 )
2 (12) (3.463) 83.772: -
11L901' 
: 
8.988 (1e) - 2.46i (12)
0,743
74,3%
El comerciante sostiene que sú precio de venta es $12.800 y que el saldo insoluto
debe calcularse sobre ese valor; entonces, calcula la tasa así:
n : 18; m : 12) B : 12.800 -2.532 : 10.268; I : 69'J.,72(18) - 10.268 : 2.'1.83
2 (12) (2.183) s3.392= -
1,57,981
: 
10.268 (1e) - 2.183 (17)
: 01338
= 33,8%
En este mismo problema, el comerciante agrega al precio de venta a plazos, más la
financiación,el4% de impuestos/ o sea (12.800 + 2.1.83) (0,04) : $599. De esta mane-
ra, obtiene cuotas mensuales de$725. Calcular la tasa de interés en este caso.
PROBTEMAS PROPUESTOS
Un pagaré con intereses del'1.0% obliga al deudor a pagar los intereses mensual-
mente. El documento vence a los seis meses; calcular la tasa efectiva de interés pa-
gado.
Un banco descuenta un pagaré de $50.000 a un año plazo con pago de intereses del
10% por trimestre anticipado. Calcular la tasa efectiva de descuento.
Una deuda de $7.000 con intereses del9% vence en 8 meses. Se paga $2.000 a los 3
meses y 2 meses más tarde, $3.000. Calcular el saldo insoluto en la fecha de venci-
miento: (a) mediante la regla comercial; (b) aplicando la regla de los saldos insolutos.
El 9 de julio de determinado año se firma un pagaré de $6.000 con e11,0% de intereses y
vencimiento el9 de diciernbre. El 18 de sepüembre se hace un abono de $2.500; el9 de
R
n
; -
Tasa :
3.463
1
lhsa
3.8
9.
10.
tt.
12.
PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CRÉDITO A CORTO PLAZO
noviembre se hace otro de $2.000. Calcular el saldo por pagar en la fecha de vencimien-
to, mediante: (a) la regla comercia! (b) aplicando liregia áe los saldos insolutos.
13. una obligación de $20.000, c'yo vencimiento es a 6 meses allz%, se reduce por
medio de dos PaSos iguales de $6.OOO efectuados 3 meses y 2 meses, antes del ven-
cimiento. Calcular el saldo insoluto, aplicando: (a) Ia regla comercial; (b) la regla de
los saldos insolutos.
14. Una persona compra una casa en 918.000.000. paga de contado 910.000.000 y por el
saldo firma un pagaré con72% de intereses, a un plazo máximo de 9 meses. Ai final
de cada trimestre, abona $2.500.000. Calcular el saido que debe pagar en la fecha de
vencimiento.
15. Un 91"¡P9 cuyo precio de contado es de $50.000 se vende a plazos, con una cuota
inicial de $5'000 y 20 pagos semanales de $2.500 c/u. Calculai: (a) la tasa de interés
aplicando la regla comercial; (b) la tasa de descuento bancario.
16. Un comerciante en artículos electrodomésticos recarga al precio de contad.o eI1,4%
para sus ventas a plazos hasta 8 meses. Como cuota inicial cobra el 20% delvalor de
venta a plazos, y el saldo, en pagos iguales mensuales. Calcular el valor de las cuo-
tas que debe pagar una Persona que compra artículos por valor de 95.000 -precio
de contado-, Para Pagar en 8 cuotas mensuales iguales. -alcular, también, la tása de
interés cargada en la venta según la regla comercial.
17. Una Persona recibe dos ofertas por un mismo artículo, cuyo valor de contado es de
$3'800' l,.In comerciante le ofrece la venta a plazos con el siguiente plan: recargo del
12% pot venta a plazos; cuota inicial $500; el saldo en Stuotas mensualeslOtro
comerciante ofrece otro plan así: recargo del 1,0% por venta a plazos; cuota inicial
de $750 y el saldo en 8 cuotas mensuales. Hacer los iálculos que correspondan, para
determinar cuál oferta es la más conveniente
18. Un comerciante cobra por sus ventas aplazosel 2/o mensual sobre saldos insolutos.
Elaborar un cuadro que corresponda al desarrollo de una deuda de $8.000 pagade-
ra en 4 mensualidades iguales y calcular la tasa efectiva pagada.
19. Si en el problema anterior el comerciante recarga el|% alprecio de venta al conta-
do -por concepto de gastos por ventas a plazos , calcular lá tasa efectiva cargada en
la venta.
20. Un comerciante desea vender equipos electrónicos que tienen un preciode venta
de $380.000 al contado, con el siguiente plan: $60.000 como cuota inicial y el saldo
en 10 pagos mensuales iguales. Calcular el cargo que debe adicionar al precio de
venta y el valor de las cuotas, para que la tasa de interés cargada sea del i6%, apli-
cando la regla comercial.
2t.
22.
MATEMÁNCAS FINANCIERAS
Una máquina vale de contado $34.000. Se vende a plaz,os, con el siguiente plan:
cuota inicial de $9.000 y 4 mensualidades de $7.000 c/u. Calcular la tasa de interés
cargada, aplicando: a) la regla comercial y b) la fórmula para el cálculo del interés
según el sistema llamado derazlnconstante. Elaborar un cuadro del desarrollo de
la deuda para cada caso. Obsérvese que en el caso b) la deuda no se extingue; esto
ocurre como consecuencia de que el sistema llamado razón constante es erróneo.
En el problema2'!,laventa se hace con la misma cuota inicial y el saldo se paga en 4
mensualidades, por el sistema delT% sobre saldos insolutos. Elaborar el cuadro del
desarrollo de la venta y compararlo con los obtenidos en el problema2l'.
23. Un comerciante financia sus ventas aplazos, con un préstamo bancario con el12%
de descuento. Para cubrir los gastos de ventas aplazos, decide aumentar en 5 pun-
tos el descuento de sus ventas aplazos sobre el descuentobancario. En la venta de
herramientas de $7.400 de contado concede -a plazos- el pago de seis cuotas men-
suales de 91.100 du. Calcular: el cargo adicional que debe hacer al precio de venta y
el valor de la cuota inicial.
24. tJn comerciante vende máquinas a un precio de $60.400 de contado y las ofrece a
plazos con el siguiente plan: cuota inicial $25.000 y el saldo en 4 pagos de $10,050,
pagaderos cada 60 días. Calcular la tasa de interés de la transacción'
ACTIVIDADES DE CONSULTA
(a) Consultarenelcomerciolocalelpreciodeartículosalcontadoyaplazos,elrecargo
a plazos y la cuota inicial. Algunos comerciantes ponen un precio al artículo; si la
venta es al contado, ofrecen un descuento sobre el precio establecido; si es a plazos,
lo recargan. Calcular la tasa de interés que recargan en sus ventas a plazos.
(b) Consultar en los grandes almacenes que tienen departamento de crédito, los recar-
gos sobre ventas a plazos y calcular la tasa de interés que en realidad recargan en
las mismas.
(c) Estudiar los gastos que cobran en el comercio para las ventas a plazos (impuestos,
comisiones/ investigación de créditos, etc.), incorporar estos gastos como mayor va-
lor en la venta a plazos y calcular la tasa real de recargo en las ventas a plazos.
3.9
C¿píxur* 4
INTERES COMPUESTO
CJETIVO
El objetivo de este capítulo es enseñar el manejo de los factores que intervienen en los
cálculos de interés compuesto junto con los análisis matemáticos que conducen al desa-
rrollo de las fórmulas para el cálculo de montos, tasas y tiempos. Al terminar el capítu-
lo, será posible reconocet definir y calcular los factores que intervienen en el interés
compuesto, calcular montos, tasas nominales, tasas efectivas y tasas equivalentes.
¡NTRODUCC¡óN
En los problemas de interés simple, el capital que genera los intereses permanece cons-
tante todo el tiempo de duración del préstamo. Si en cada intervalo de tiempo conveni-
do en una obligación se agregan los intereses al capital, formando un monto sobre el
cual se calcularán los intereses en el siguiente intervalo o periodb de tiempo, y así suce-
sivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operación financiera es a
interés compuesto.
En una operación financiera a interés compuesto, el capital aumenta en cada final
de periodo, por adición a los intereses vencidos a la tasa convenida.
Función del üempo Elcrecimiento natural es unavariación proporcional a la cantidad
presente en todo instante; tal es el caso del crecimiento de los vegetales, las colonias de
bacterias, los grupos de animales, etc. Estos crecimientos son t'unciones continuas del
MATEMÁNCAS FINANCIERAS
tiempo. En Ia capitalización a interés compuesto, también se produce el crecimiento
continuo; más adelante, en la sección 4.9 se estudiará el monto a interés compuesto
como función conünua del tiempo.
En la sección 1.12 se incluyó la gráfica de los valores del monto a interés simple y
la función Y : 1 + Xl, donde los valores de Y corresponden al monto de un capitál gí,
como función continua del tiempoX. Sin embargo, para las aplicaciones comeriiales, el
tiempo en el eje X se mide en periodos o fracciones de periodos que no son inferiores a
un día; esto implica que el monto a interés simple comercial esinat'unción discreta del
tiempo. En estas condiciones,la gráfica de los valores del monto a interés simple, para
un capital inicial de $1, no es la gráfica de la función continua Y :'J, * Xique formiuna
recta, sino la escalonada que se muestra en la gráfica (obsérvese que, para fracciones de
periodo, la tasa de interés simple es tasa proparcional; aéase elproblema 1 del capítulo 1).
periodos
En el crecimiento de un capital a interés compuesto, los intereses ganados se agre-
gan al capital en intervalos de tiempo que se estipulan contractualmente; bajo estas
condiciones, el monto es función discreta del tiempo.
Gráfica del monto de un capital de $1.000 al interés del1,0% con capitalización
anual. (Véase ejemplo 4.1).
Periodo de capitalización Es el intervalo convenido en la obligación, para capitalizar
los intereses.
Thsa de interés compuesto Es el interés fijado por periodo de capitalización.
Valor futuro de un capital a interés compuesto o monto compuesto Es el valor del
capital final, o capital acumulado, después de sucesivas adiciones de los intereses.
INTERES COMPUESTO
ffiE[ Se conviene una deuda de $1.000 a 5 años de plazo al interés del 10% con
capitalización anual. Esto significa que al final de cada año los intereses deben capitalizarse. A
continuación se muestra en el cuadro de desarrollo de la deuda, el capital acumulado al final
de cada periodo, que en este caso es anual.
J
Intereses
en el
periodo
X periodos
1
)
3
+
i
n
Número de
periodos
Capital a
principio de
Lreriodo
Capital más
intereses a final
de periodo
1.000,00
1.100,00
1.210,00
1.331,00
7.161,70
100,00
110,00
121,00
133,10
746,47
1 . 100,00
1.210,00
1.331,00
1.464,L0
1,.61,0,51,
Si el préstamo fuese a interés simple, su monto al final de los 5 años sería:
S = C(1 * rr i) = 1.000 [1 + 5(0,10)] = 1.000(1 + 0,50) : 1.000(1,50)
S : $1.500 (monto a interés simple)
F : 1.610,51 (valor final a interés compuesto).
MONTO O VALOR FUTURO A INTERES COMPUESTO
Sea el capital P puesto al interés i por periodo de capitali zacíón(i es el tanto por ciento
en el periodo). Calcular el r,alor futuro F al final de rr periodos de capitalizaciín.
{J
!fl MArEMÁncASFrNANcrERAs
Capital
a principio
Periodos de periodo
Intereses
en el
periodo
Capital más intereses
a final de periodo
1 , P
2 P(l
3 P(l
:. :.n
+0
+ i)'
+ i)u
n P(1, + i)*1
F : p ( l
Pi
P(1, + i)i
P( l+ i )z i
P(1 + i)3t
a
P(1. + i)*1i
+ i)'
P + P i = P ( l + i )
P(l + t) + P(1 + i)i = P(l+ i)z
P(1, + i)2 + P(1 + i)2i : P(l + i)3
P(1 + t)3 + P(1 + i)3i = P(l+ i)a
:
P(1 +0*1 + P(1+i)*1i : P(1 + l ) ,
o sea (lea)
F : monto compuesto
P : capital
i : tanto por uno en el periodo
(1 + t), : factor de valor futuro (VF), o factor de interés compuesto y
corresponde al VF de 1 a interés compuesto en n periodos.
Los valores del'factor de acumulación (1 * i)'pueden hallarse utilizando calcula-
dora, logaritmos o mediante el desarrollo del teorema del binomio. En la práctica se
utilizan calculadoras o tablas financieras en las que los valores de (1 + i)" están calcula-
dos hasta con diez decimales, para las tasas más utilizadas y para valores de n desde 1
hasta 150 periodos. Al final del libro se han incluido, parcialmente,las tablas financie-
ras Por estudiar a lo largo de éste; ellas permitirán comprender y practicar su manejo.
La tabla I tiene los valores de (1 + i)" para valores de r, desde 1/4% al8/o; para
valores de n desde t hasta 50 periodos. Aproximados hasta 8 decimales.EIIEEI Un banco ofrece la tasa del 10% paralos depósitos en cuenta de ahorros. Calcular
el monto de un depósito de $1.000 al cabo de 10 años utilizando: (a) calculadora; (b) logaritmos;
(c) tablas.
(a) Para este cálculo se emplea una calculadora científica de bolsillo:
Si la calculadora no tiene función XY, podría calcularse por productos sucesivos, así:
l,'l'(l'1) = 1,21;'1,,21(1,21) = 1,4641;
1,4647 (7,464'l) = 2'1435888; 2,1.435888(1,21) =
2,593744: (1,1),0
El mundo actual no se puede dar el lujo de desperdiciar el tiempo , y para que haya eficiencia
exige disponer de instrumentos adecuados para cada actividad.
r -
E -
Utilizando logaritmos:
P(1 + 4,
1 . 0 0 0 ; l : 0 , 1 0 ; n : 1 , 0
1.000(1 + 0,10)10: 1.000(1,1)10:
92593,74
rNrERÉscoMPUESro Ea
t.000(2,5937424)
(b)
r. s; : l;?Tll'..',T'"r;,1 
ooo.''""
log 1.000 :
10 log1,1 : 0,041393(10)
logF
F = 92.593,76
(c) Utilizando tablas:
: 3,000000
: 0,413930
= 3,413930
En la tabla I se busca la intersección de la columna del1,0% con la fila n = 10, v se encuentra el
valor 2,59374246
F = 1.000(1 + 0,10)10 = 1..000(2,59374246)
F = $2.593,74
Notación estándar Las matemáticas financieras, como todas las ciencias, evolucionan
con el tiempo. Los avances tecnológicos y los nuevos sistemas operacionales exigen
una revisión de sus conceptos, definiciones, estructura matemática de teoremas y mo-
dos de operar En matemáticas financieras se ha diseñado un modelo para representar
Ia relación funcional entre los factores que intervienen en un problema financiero, este
modelo es la notación estándar.
X : Y ( X / Y , i % o , n )
es el valor que se debe calcular
es el valor conocido
es la tasa de interés
es el número de periodos (los economistas lo definen como horizonte)
Con esta notación estánda4 X : Y(X/Y,i%,n), se logran dos importantes ventajas:
1. En el desarrollo de un problema financiero, evita escribir continuamente las estruc-
turas algebraicas, y sólo en las conclusiones, si es necesario, se indica la expresión
algebraica.
2. La forma (ñY, i% , n) es la notación estándar de los factores utilizados en matemáti-
cas financieras. Esta forma de expresar los factores conduce a definiciones y expre-
siones más generales y simples que las tradicionales.
Una propiedad destacable de la notación estándar es que admite inversa:
X
i
n
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
X : Y ( ñ Y , i % , n )
Y = X
Despejando Y (XlY,i/",n)
Por definición Y : X(y/X, i%, n)
Los análisis matemáticos concluyen en un teorema que se enuncia por medio de
una relación funcionaf estas relaciones se expresarán de doi formas: notación algebraica
y notación estándar. En el estudio de matemáticas financieras, para tener una compren-
sión clara de los factores que entran en juego en un problema, Ls necesario familiirizar-
se con los desarrollos algebraicos y adquirir destreza en su manejo; lo cual permitirá
comprender con facilidad los temas tratados en los siguientes capítulos. Es indudable
que en las actividades profesionales, la notación estándar y una calculadora financiera
serán sus óptimos recursos pero, por lo pronto, esta es la etapa de aprendizaje y es
imprescindible adquirir conocimientos en forma gradual y completa. para faciiitar su
estudio, este material presenta cuidadosamente los análiéis, deJarrollos teóricos v se-
cuencias de los temas expuestos.
En notación estánda¡, la fórmula L9a tiene la forma:
4.3
F = P (F lP , i%,n ) (1sb)
El factor de acumulaci6n (Ff p,i%,n)es el valor futuro que corresponde al valor
presente de una unidad a la tasa i% por periodo en n periodoi. Arí, poi ejemplo, en:
F = 1.000 (VP , 6%,'1,5)
se pide el valor futuro-F, conocido el valor presente P : 1.000, la tasa de interés 6% por
periodo y el número de periodos n : 'J.5. El factor (F/p, 6%,15) es el valor futuro F que
corresponde al valor presente de una unidad acumulado al 6% de interés por periodo
en 15 periodos.
CONAPARACIóN ENTRE INTERÉS SI'I/IPLE E INTERÉs COMPUE5TO
Por su objetividad, la mejor forma de comparar los valores futuros es mediante la elabora-
ción de las gráficas correspondientes a una misma tasa, para el interés simple y el compues-
to., sea, por ejemplo,la tasa del20% y un capital de gt.ooo. Los montos -. F : r.oob¡t +
n(0,20)l para el interés simple y F : 1.000(1 + 0,20), para el interés compuesto.
Función discretn a: valor futuro de $1.000 al interés simple delZ0%
rNrERÉscoMPUEsro EE
b : Valor futuro de $1.000 al interés compuesto del20%
A línea recta F : 1.000[1 + n(0,2)]
B función exponencial F : 1.000(1,2)'
El valor futuro a interés compuesto crece en razón geométrica, y su gráfica corres-
ponde a la de una función exponencial. Por su parte, el monto a interés simple crece en
progresión aritmética, y su gráfica es una línea recta.
.I.4 TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVATENTES
La tasa convenida para una operación financiera es su fasa nominal.Tasa efectiaade inte-
rés es la que realmente actúa sobre el capital de la operación financiera. La tasa nominal
puede ser igual o distinta de la tasa efectiva y esto sólo depende de las condiciones
convenidas para la operación. Por ejemplo, si se presta un capital al8% con capitaliza-
ción trimestral, el8% es la tasa nominal anual, la tasa efectiva queda expresada por los
intereses que corresponden a $100 en un año, en las condiciones del préstamo. Para el
monto, se tiene entonces:
Función continua
MATEMATICAS FINANCI ERAS
F = P(1.+ i l"
n = 4; P = tO}; * = //6 detasa efectiva en el periodo ; i 
= 0,02
F = 100(1+ 0,02;= 100(1,02f =fi0(1.,0824321)
F = $108.?A321
$100 ganan $8,24321, en un año o sea tasa efectiva : 8,24321.%
Thsas equivalentes Son aquellas que, en condiciones diferentes/ producen la misma
tasa efectiva anual.
En el texto se utilizarán los siguientes símbolos para las diferentes tasas, expresa-
das en tanto por ciento:
i : efectiva anual
j : nominal anual
n¿ = número de capitalizaciones en el año
En Ia tabla I, las columnas se refieren a las tasas en el periodo de capitalización.
Así, para 12% con capital ización tr imestral se t iene m:4; j :12; j / , , : t ' / , :3%.El
símbolo I en las tablas se refiere al tanto por uno, en el periodo.
Relación entre'la tasa nominal y efecüva El monto de 1 al I efectivo anual es 1 + i. El
monto de L a la tasa j por uno con m capitalizaciones en el año es (1 + i/ ,,,)"';la ecuación
de equivalencia entre estos dos montos es:
t+ ¡ = ( t * 1 ] "
I m l
¡=(t*a) ' - ,
\ m.)
Notación estándar ¡ =( eP ,*n, r)- r\ . ' m )
(20b)
La fórmula 20a permite calcular la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal j
capitalizable mveces en el año.
Despejando j en la fórmula 20a se tiene:
¡+ t= (1 * 1 ) ' '
\ m )
INTERÉS COMPUESTO
(1'+i)* =lt* J-l
\ m )
J_=(r+ i ) *_r
, m
¡=^l{t+;)*-r]
Notación estándar i = *l(rf , ,o, +)- tl
(21a)
(21b)
Introduciendo los nuevos símbolos, la fórmula del valor futuro compuesto en n
aiios para la tasa i capitalizable ,?? veces en el año, queda así:
Número de periodos de capitalización en el año : mi número de años : n; nú-
mero total de periodos : nm; tasa en el periodo - , - i/,,.
r = n(t* +]" eZa)
\ m )
_ ( _ / _ i . )Notación estándar F = P[F/ P, L%, mn 
) 
(22b)
Para expresar la tasa nominal y el número de periodos de capitalización, se utili-
za el símboloJ,,,, gu€ indica la tasa nominal j con m capitalizaciones en el año.
E @ C a l c u l a r e l v a l o r f u t u r o d e u n c a p i t a l d e $ 6 . 0 0 0 a i n t e r é s c o m p u e s t o e n 8
años, a la tasa del 70% capitalizable semestralmente.
Estándar
Algebraica
P : $6.000; j = 10%; nt = 2; n = 8
F : 6.000(F/P,s%,"t6)
/ n r n \ 2 r 8 '
F=6.0001 t+ : l : | =6 .000 (1 ,+0 ,05¡16
\ 2 )
En la tabla I, para el 5% en 16 periodos se encuentra el valor 2,18287459
F : 6.000(2,1,82874s9)
F = $L3.097,25
4.5
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Solución con calculadora con función ¡v
F = 6.000(1,05)16
(1'05)'6 : 2'1'838746
F : 6.000(2,1.828746)
F = 913.097,25
CÁtCULo DEt vAtoR FUTURo uTIt¡zANDo TABtAs
PARA n MAYORQUE 50
En los problemas suele ocurrir que el número de periodos resulta mayor que s0, el
máximo de la tabla utilizada en este texto. Afortunadamente en estos casos se pueden
aprovechar las propiedades de los productos de potencias; de esta forma el exponente
del factor de acumulación se descompone en sumandos, utilizando tantos sumandos
de 50 unidades como sea necesario y, así, se calcula el factor de acumulación por pro-
ducto de factores cuyos valores figuran en la tabla.
(1 + 0 .+v : (L + i ) {1 + ¡v
@lE!p Calcular el valor futuro al cabo de 20 años para una deuda de 94.000, al9% de
interés, con capitalización bimensual.
P = 4.000; j = 0,09; m = 6; n = 20
F = 4.000( 1+ 0;09 )n''" = 4.000(1 + 0,015.)',,,
\ 6 . /
1 2 0 = 5 0 + 5 0 + 2 0
F = a.000(1 * 0,015)et*et'zt
F = 4.000(1 + 0,015fl (1 + 0,015)il (1+ 0,01,5)t)
En la tabla I se encuentran los valores de la column a de 1,/z% parc:
( 1 + 2,10524242; (1 + iro : 1,34685501
4.000 (2,1 0524242) (2,10 s24242) (1,3 4685501)
s23.877,29
Con una calculadora que tenga la función r.v, se halla:
(l + 0,015)1'?0 = 5,9693229
4.000(5,9693229) : 23.37r,r'
; \50 -
E _
E -
INTERÉS COMPUESiO
4,6 VATOR FUTURO CO'I,IPUESTO CON PERIODOS
DE CAPITALIZACIóN FRACCIONARIOS
Las condiciones convenidas, en una operación financiera a interés compuesto, fijan elperiodo de caPitalización con el supuesto de que sean periodos enteros. cuando sepresentan fracciones de periodos, comercialme^t'" ," u.orümbra calcular el monto com-puesto para los periodos enteros de capitalización, y el interés simple r".rtitiru furu tu,fracciones de periodos.
Teóricamente, el interés simple -en las fracciones de periodo es mayor que el com-puesto a la misma tasa, ya que significa capitalizar los in'tereses en un periodo menorque el convenido y, como consecuencia, la iasa efectiva resulta mayo[
La tabla III contiene los valores de (1+i.¡i =(, t o, in, j) wees el valor futuro de La interés compuesto para fracciones de periodo. \ P,
IEEEEEEI una deuda de $100.000 convenida al6% concapitalización anual se paga a los2 años 4 meses.
La costumbre o regla comerc¡nl indica cobrar los intereses compuestos para los 2 periodos com-pletos y simples, para los 4 meses. 
- -----r -
P = 100.000; i = 0,06; periodos completos = 2; fracción de periodos __ 
#=+
valor futuro en 2 periodos = Fr = 100.000(1 + 0,06)2 : 100.000(1,1236)
F, = $112'300
El monto F, gana intereses simples en los 4 meses y su valor futuro es:
r:r rrz.aoofr. 
] ro*i]= n2.360 (1,,02)
F =$11,4.607,20
Desde el punto de vista teórico, el monto debe calcularse a interés compuesto para el total deperiodos, incluida la fracción.
P = 100.000; i = 0,06; 
" 
= Z%
F= 100.000(1 +0,0q2N = 100.000(1+ 0,0q2.1+0,0q%
Tablas I y III (1+ 0,06)2 = l,t216; (t + O,OO¡% = 1,,0t9612282
F = 100.000 (1 ,'1.236)(1,07961282)
F = $114.563,69
solución con calculadora que te¡ga tecla de fracciones v función ¡v:
(1+0,0q2% =1,,145637
F : 100.000(1,14563n : fi4.563,69
MATEMATICAS FINANCIERAS
Si no t iene tecla de fracciones, la fracción se convierte en una expresión decimal.
En el monto calculado para la fraccir in de periodo, los intereses simples siempre son mayores
que el monto a interés compuesto; en el efemplo anterior, la diferencia es de $43,51.
Las calculadoras f inancieras t ienen función para calcular, a voluntad del operador; la fraccit in a
interés simple o a interés compuesto, así:
L = P ( F l P , i % , n )
P l ( l (1 . (X) { ) ; i = ¡ ' l ; r 2 ,3 .13 .1 ¡ñ t ts
Baio el mandt) compuesto F - 100.000(F/P ,6' / , . ,2,3333) = 11'1.563,69
Ba jo e l mando s imp le
compuesto los 2,3333 anos
¡r = l0().0(X)(I/P, 6i,:1, 2,3333) - 1116()7,20
conlpuesto cn 2 ¡ños y simple en la fraccitin 0,3333 años
Err lo que respect¿l al c.rlcukr del intcrós compuesto, comerci¿rlmente e'xisten di-
\ ¡ersos mctneios para e l t rat . rmierr to de los in terescs en las f racc iones de Per iodo. El l
;r lgunas operaciones fin.rncieras, se señalan expresamL'llte l.rs fech¿rs dc capitarl izaci(trr
elt el ¿rño, y todo dincrlr colocacilr entrc fechas devengar interés simple, hast¿r Ia fech¿r
inici.t l clel 1-re¡io¿r.) siguiente; todo clirrero retir¿rcl() t:ntre icchas g.tl l¿1 i l l terés sirn¡rls,
conlprendido desde' Ia fecha terminal dt ' l per ioc lo ¿ut t ' r ior . Así :
IEEE¡EEE! Alguien de¡r1r5i¡.¡ gl.(xx) el 2() de enerr¡ en un¡ cuenta dc ahornrs que ofrece
el 6 ' l l de in tcrés c. ip i ta l izable t r inrestr ¡ lmente p. i r . r e l . l l de Dlc l rZr) ,3[ ) de junio,3() de sept ienl -
bre v 31 de dicienrbre. C.rlcular el nronto clue Lrodrá retir¿r el l5 de dicienlbre del .rt1o siguiente.
F-ne
2()
Dic
1 5
1
I
I
I
I
v Sinrpl. Conrpuesto en 6 periodos
l l 
- 
l
El capital gana intereses simples, drrr¡nte los 70 días que transcurren en el periodo comprendi-
c1o desde el 20 de enero hasta el 31 de marzo, conr, i¡ t iéndose en un valor futuro F, que deveng.l
intereses compuestos, durante los 6 periodos completos transcurridos entre el 1Q de abri l y el
30 de septiembre del año si¡¡uiente, convirt iéndose así en un valor futurtt F. que gana interese:
s imp les has ta e l 15 de d ic iembre .
r , = 1000[1* i i l ro,oot. ]= 1.000 (1,01166667)^ 1 3 6 t ) l
, ^ ^ , . É '
F, = F,f 1+ 
(l,L'o 
I = n r1,09314326)= 1.000 (7,01166667)(7,09344326)- ' \ 1 )
S imp le
Ilne
i "
Ivf ar.
3 t
Ir-rn
30
S"P
3t)
IN IERES COMPUESTO
Valor f inal F :
Valor f ina l F:
f -r -
El lector debe
| / a I
f r i I r ; ;n l { } ,06, I = f z( t ,o l25)
t - " " 1
1.000 (1,01 166667)(1,09344326) (1,012s)
$1.120,03
consult¿rr las c:ostumbre s ltlc.rlcs ¡lara estos cascts
4 . 7 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERES COMPUESTO
En la fórmula det l monto ¿r in terés ct lmpucst t l , s i sc cc lnoce e l va lor 
pr t :s t 'n tc 1) ' e l va lor
futuro I ry e l t iempo r t , queda dcterrminado c l v¿r lor de i '
En la práct ica, c l cá lculo aproximado de i sc hace ut i l iza l rdo l¿r 
t¿rb l ' l I ' [ : ] l cá lculcr
matemát ico se ctectua c, ' ,n logni i tmos. [ in c l c iempl . quc s i ¡ ¡uc, 
sc i lust r¿rn ¿lnbos Pro-
cedimientos.
nEmEEEl Al nrori¡ alguirn 
cleia a su hija -de 7 arlos rlc ecl¿cl un le gado tte $1(x) 
(xx)
para quc coll s,s rnte*srs compuestos lt st '¡n ".ir"g.,-1,,, 
cu¿tlclo cunrpla los l l i si ell 'r al cumplir
io , ,¿o¿ f i jac la rec ibe $- l .10.071¡0, Zc¡uú inter i 's c .n capi t . l izac i t in anu¡ l 
ga. í r la herenci¿?
(r¡ ) cá lculo ut i l iz ¡nt . lo l ¡ tab l¿ l . s t busc¿ e l r est¿t t . rb la, en la f i la quc corresponde 
¡ r l - l l ' los
val0res, por exceso y por defccto, más pr t ix imos a l que resul te dc dcspei¿r 
¡ l t 'n l ' r f i r rmul¿
del va lor fu turo:
' t - t ' j ( l + i ) " ; F - P( l ' l I ' , i " l ' , t t )
f -- D0 071,20; 1' = 1(X) (XX); rr = l 1
l e { ) . ( } 71 ,2 ( } . l { } { } . { ) ( t ( ) r I r i r r l
I l , i r ' | r ' l ' . " l i t ' l ; 1 t ' = t , s t t t tT t2
Este valor se encuentra entre l , l i9u29tt56 que corresponde al 6'4 v 
- l ,99915140 que corresponde
a l 6 1 / 2 " / , , . E l i n t e r é s b u s c a d o e s m a y o r < 1 u e e l 6 ' / , , y Á " , , , , r q u e e l 6 h i { ' 
s u v a l t l r a p r o x i m a d o s e
encuentra por interpolacií ln l ineal '
a 0,065 corresPonde
a 0,06 corresPonde
0,005
1,99975740
1,tt9¡r29856
a 0,06 + .r
a 0,()6
cor responde
cor responde
1,90071 200
1,89829856
0"10085284 como
0,005
0.10085284 0,00241344
0,00s10,00241314)
e s a 0,00247344
,I
0,10085284
I'
MATEMATICAS FINANCIERAS
x = 0,00012
i = 0,06 + 0,00012 = 0,6012
tasa de interés = 6,012%
(ü) Cálculo con logaritmos:
790.077,20 = 100.000 (1 + t)"
1o9190.071,20 = 1og100.000 + 11log (1+ i)
log(1+ l ) =
log1'90.07 1,20 - logl 00. 000
1 1
lo 9]90.07t,20 = 5,278976
1og100.000 = 1000000
log(1 + i) = 0,278976 +17 = 0,025356
l+ i =7 ,06012
i = 0,06072
tasa de interés : 6,072%
(c) Cálculo mediante radicales:
190.077,20= 100.000(1 + t),,
Despejando (1 + ¡)"
190.077.20
100.000
7,900712=¡7+i)"
,$,rm?n = úr. ,1
1,go07Vh=f l+¡¡ tXt
1,9ffi772xl = 1+ i
1,060-1.22443 = 1+ i
7,060722443-1=i
0,060'122M3 = i
tasa de interés = 6,012%
INTERES COMPUESTO
(d) Con calculadora financiera:
F - P(F/P, t"l ' , n)
P - 100.000; rt -- 71; F :790.071,20
190.071 - 100.000 (F/P, { l ,11)
Respuest;t i - 6,012'1,
UN CASO PARADóJICO
En este nivel del estudio propuesto, es necesario aclarar el significado de la tasa de inte'-
rés interno o tas¿l interna de retorno (TIR). En la página 35 se explicó que ésta cs lzl
alternativa escogida de tasa interna a ia cual se invierten dincros en cicrto juego finan-
ciero. El siguiente eje.mplo, que conduce a una situación paradójica, aclara aún más el
concepto. Generalmente, el cálculo de i conduce a soluciones de e-cuaciones de gradct
superior y estas ecuaciones pueden tener variadas soluciones reales; esto significa que
para un mismo problema financie.ro se. tendrían diferentes tasas intcrnas dc interés; pttr
ejemplo:
Una persona compra por $109.000 una mercancí¿r que le será entregad.r dentro
de un año, para e l lo paga hoy $40.000 compromet iéndose ¿r p¿rgar e l sa ldo, a l rec ib i r la
mercancía, por medio der un pagaré a un año de plazo. Ocurre que en el instante de
recibir la merc¡rncía Ia vende. de inmediato en $106.000. ZQué porcentaje de uti l idad
obtuvo en este neg,ocio?
Pr imero se ordenan las cant idades en un d iagrama de f lu jo de caja y se p lantea
una ecuación de ecluivalencia l levando todos los valores al t iempo 0.
2 años
$40.000 $69.000
40.000 + 69.000(1 + i)-2 = 106.000(1 + t)-'
o sea
40(1 + i ) 'z-106(1 + i ) + 69 = 0
Resolviendo esta ecuación de segundo grado se tiene:
$106.000
t
I
I
1
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
106 r
/ 1 | : \ -
\ | f L ) 
-
z(40)
106 t 14
4.9
( l + i \ -
80
7+ i . = 7 ,5
i, = O,S, tasa interna = 50%
1+ i . = 1,15; tasa in terna = 75Y"
paracióiicamente, para el mismo negocio se tienen clos tasas internas 
muy dife-
r e n t e s : 1 5 % Y 5 0 % .
En este problema, la tasa interna carece de senticlo y se 
trata de una solución ma-
temática ajena a fo, prir ' ,.rpios financieros.. La interpretaiión 
de este problema parado-
;k";" ;;.;"ntra en el á.eu 
de Ia evaluación económica de proyectos financieros; 
sin la
pretensión de incursronar en el área propia de la evaluación de 
proyectos financieros
aqui se presentara ta propuesta¡le tratamiento para dicho 
problema'
si los $106.000 obtenicios al f inal del primei año se 
p,réden invertir all0% (tasa de
oportunidad), en estas condiciones al f inál clel segundo 
año se tendrá:
106.00(1,1) - 69'000 : 947 '600
Formando la ecuación de equivalencia:
40.000 (1 + i)'z : $47'600
( 1 + t ' : L ' 1 9
1 + i : 1 ,0909
i : 9,09%
En estas conciiciones se tiene clue el negocio cla una rentabilidad 
del9'09%'
El objetivo d.e este material es enseñui"l maneio de capitales 
en el tiempo utilizando
tasas internas. Las técnicas para la evaluación económica 
de proyectos financieros co-
rresponden a otro nlvel de ástudio, que exige el conocimiento 
previo de matemáticas
financieras. Resultaría erróneo a su vez en-señar las técnicas 
para evaluación de pro-
yectosaquienestenganConocimientossuperf ic ialesdematemáticasf inancieras.
cÁtCULO DEL TIEMPO
Enformaaná loga,e lcá lcu lode l ,e l t iempo,oseae lva lo rder l ,puedeca lcu la rseut i l i -
zando la tabla I o mediante la aplicación de logaritmos'
INTERES COMPUESTO
¡ffififtfffit iEn qué tiempo un clepósito de $1.000 se convertirá en $1.500 ai 6i
con capital ización semestral?
, i r " ( i )
f = 1 , 1 l + , 1 ; F = P l F l P , L % , n u r l
I l r ] l m )
F = 1.50(); P - 1.(X)0; i = 0,06; nt - 2
1.500 = l.(XX) l1 + 0.03)r"
i, {0'1, l l l l l l=' '
l rn l¡ tabla I se busc¿rr cn la celumn¡ del 37,, krs v¿lores -Lror exceso y por defecto- más prt ixi-
n r ¡ s a l , 5 . E s t e v a l 6 r s e e n c u e n t r a e n t r e l , 4 6 f l 5 3 3 7 l q u e c o r r e s p o n d e a l 3 p c r i o d o s y 1 , 5 1 2 5 8 9 7 2
que correspor-rde a l4 periodos. Interpolando conlo en el caso ¿rnterior, se t lene:
14 corrcspontle 1,51258972 cor responde
l3 corresponde 1,46853371
0,0'1405601 como (),03 146629
l _ . .
445601 3146629
3146629
440560 I
x - 0,7742337
2tt = 73 + 0,7142337 = 13,7742337
r l 6,t l57l ¡ño:
Medi¡rrte calculadora con funcit in logaritnlo:
(1,03)r" = 1,5
2rr log(1,03) - log(1,5)
^ log(1,5)
¿ r 1 = - =
1,50(xx)ux)
1,46853371
log(1,03)
2tt = 73,7172
r¡ = 6.85U6 años
0,776rJ91
0,072837
En estos problemas, la respuesta es aproximada, por tanto, es correcto decir que .l
t iempo aproximado es d,e 7 años y que el valor futuro será l iSeramente superior . l l e:f t 
-
rado. Si ia capitalización es por Periodos completos y la fracción se calcula ' l rf l tt:::
simple, el proietl imiento consiste en calcular el monto en el número de perio.io< lr r-:-
MATEMATICAS FI NANCIERAS
diatamente inferior y,para la diferencia, se calcula el tiempo a interés simple. En el
ejemplo citado, se calcula así:
F en 13 periodos = 1.000(1 + 0,03)'3 : 1.000(1,46853371)
F en 13 periodos = 7.468,53
Diferencia con el monto propuesto : 1.500 - 7.468,53 : 37,47
Para$.37,47 se calcula el tiempo a interés simple sobre $1.468,53
(1
I = C n i
I = 37,47 ; C = 7.468,53 ; i = 0,06
37,47 = 7.468,53(n ) (0,06 ) = 89,1119r,t,
37,47
,, = 
ffi= 
0,35716 años - 4 meses 9 días
En este caso, la respuesta sería 6 años 10 meses 9 días.
4.10 CRECIMIENTO NATURAT E INTERÉS COMPUESTO
En este capítulo es conveniente incluir algunas palabras sobre el crecimiento natural o
exponencial y la deducción de la fórmula del monto a interés compuesto a partir de las
leyes del crecimiento natural o exponencial.
Esto será importante para comprender muchos aspectos teóricos de interés com-
puesto; en particula¡, será útil para quienes deseen profundizar sus estudios en esta área.
Si la razón de cambio de una cantidad con respecto al t iempo es proporcional a la
cantidad presente en el t iempo f, se dice que el crecimiento es natural. Esto es, si Y es la
cantidad presente en el t iempo f, entonces:
dY
dt
=kY;lY = F(t) ; funcion de f ]
d"A, 
., la raz6n de variación instantánea de Y con respecto a t; k es un número constan-
te que depende de las condiciones de cada problema. Su valor se determina en condi-
ciones experimentales o simplemente impuestas, como en el caso del crecimiento del
dinero o los planes de desarrollo industrial.
dY
- = K A t
Integrando, se tiene InY = kt + a (a : constante de integración):
Y =ek t *o =ek teo
INTERES COMPUESTO
remplazando d = A:
Y = Aekt
[ftffi&!fl En un cultivo, el número de bacterias crece proporcionalmente al número pre-
sente de ellas. Si en determinado instante hay 1.000 bacterias y una hora después 2.000, calcula¡
la cantidad 3 horas después.
Para f : 0 ; Y: 1.000:
Y = Ae*'
1.000 = Aeok = Aeo -- A
A = 1.000
Para I : 1 ; Y: 2.000:
2.000 = 1.000ek
k = l n 2
Es deci{, que el número presente de bacterias en un tiempo f es:
Y = 1.0001"'r = 1.000e"'"
Sea ln2t : b; entonces, por definición e' : 2';
Remplazando b, se tiene etnzt - 2t, de donde:
Para
Y : 1.000 (2')
f : 3 horas, la cantidad presente de bacterias será:
Y : 1.000 (23)
Y : 8.000 bacterias al cabo de 3 horas.
Deducción de la fórmula del valor futuro a interés compuesto Si la cantidad presente
es dinero, es posible imponer la condición de que en un periodo de tiempo f tenga un
crecimiento natural, por adición de sus intereses i en cada Periodo.
En el instante t : 0;
Sustituyendo en
se tiene (1)
o sea (2)
Y :P ( cap i t a l i n i c i a l )
Y = Aekt
D - A . N _ A
Y : Prrr
" , 
J-E¡. ¡ATICAS FINANCIERAS
.\l final del primer intervalo t = 7; Y = P(7 + i); i :
o sea P(1 + i; : Ps"
c r : ( 1 + l )
k : h ¡ ( 1 + ¡ )
Sust i tuyenclo en (2), Y - Pct i ' . \ \ * ' ) : Pcr¡ l r * '1 '
Como, ,1 ' r r r+ r t ¡ : ( 1 + i ) r, en tonces Y : P (1 + l ) '
Sust i tuyendo la cant idacl prcsente Y por F, e l
de per iodos, o sea, es igual a r l , entonces se t i t :ne:
tanto por uno en el periodo f.
valor de f corresponde al número
I r : P ( 1 + i ) '
Tasa instantánea Si en j,,,,, se supolle que nl crece sin límite (nr --> -), entonces, el
periodo de capitalizacicin ós un intervalo de tiempo más pequeño que cualquier canti-
clad arbitrariame.nte escogida. [n estc c¿rso, se dice que la capitalización es c<lntlnua v
la tasa es instant¿inea.
La tasa instantánea acostumbra a designarse con Ia le ' t ra gr iega del ta (6) . Por
de f i n i c i ón :
u = i,,,,,,,--. . simplemente 6 = lt-,, '
De acuerdo con lo estudiado en tasas equivalentes:
como
(aéanse pá9s.75 y K. Stein, edición McGraw-Hill, 197 4).
I i \ " ' ( t
l + i = l l + , I = l l + -
\ ,n / [ " , '
I t r :¿ l I
t im l l , * l l ' l =1 ,r r + - l l ^ r 4 l I
L \ t ) I
78 del cálculo Sherman
=iÍ*l[,.+)']se tiene 1+ i
INTERES COMPUESTO
de donde 5 -
e ' , d o n d e i = i . = 6
J ( - )
In(\ + i )
1 + i :
1 ! ; -
El valor de 6 se conoce con el nombre de t'uerzn del interés, y es la tasa continua de
crecimiento de una unidad de capital en una operación financiera; en tanto que la tasa
efectiva es el interés por unidad de capital en un periodo.
fiftffi&!fln Hallar el valor de la fuerza de interés que corresponda al interés compuesto
d e l 8 % .
6 : l n ( l + i ) : ¡ r 1 1 + 0 , 0 8 ) : / n 1 , 0 u
6 : 0,07695; 7,695%'
[ f t f f i [E l l f l Hal lare lvalor futurode95.000enl0años: (a)a latasaefect ivadel 6%,(b) a la
tasa del 6% con capitalización mensual, (c) a la tasa continua del 6%.
\a)
(b)
F : 5.000(1 + 0,06)"'] = 5.000(1,7908477) - $8.9s4,24
/ 0.06 \ ' ' '
F : 5 .000 [ 
t * , 
J 
=s.000(1,81e3e673)=$e.0e6,e8
( c ) D e : 1 + i - c 6 , i : e 6 - 1
Susti tuyendo en F : 5.000(1 + i)", se t iene:
¡ = 5.000(e6)" : 5.000e'ó
Remplazando los valores de n y 6, se t iene:
f : 5.69¡.tr¡0,{h) - 5.000et),6
Calculando etr6 por medio de logaritmos, se tiene:
F = $9 .110,60
4.I I PROBTEMAS RESUELTOS
1. ZQué banco es aconsejable para depositar dineros en cuenta corriente: A que ofrece el
7% con capitalización trimestral, o B que ofrece el 7/n% con capitalización semestral?
La mejor oferta es la que corresponda a la mayor tasa efectiva anual.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Banco A:
Util izando calculadora:
i : ( 1 + 0 , 0 7 7 s ) 1 _ 7
t : 7,07185903 - 1 : 0,07185903
Tasa efectiva - 7,785903%
Banco B:
i
j : 0 ,0725; m:2, L : 0 ,03625 que corresponde a l 3f %
Valor que no figura en la tabla I de este l ibro.
Mediante calculadora:
1 + l : (1 + 0,03625)r
1 + i : 1 , 0 7 3 8 7 4
i : 0,073874
Tasa efectiva : 7,38%
Respuesta: es mejor la oferta del banco Il.
Calcular e l va lor fu turo de $6.000 deposi tados a l 9,X, de in terrés compuesto,
capitalizable semestralmente durante 14 años 6 meses.
i = ( r+ * ) ' ' 
- ,
i
j : 0,07; m = 4; 
i 
:0,0175 que corresponde al 1j%
/ i 
) " " 'Alg,ebraica F = Plr* i,, 1
Es tándar r =p( r i p , 
j 
%, , , , r , )
\ , n )
P: $6.000; i: 0,09 perioclos cle capitalizaciiin : ttt : 2; L: O,O+5,(+ jn);
t ¡ |t t : I4 j años ; t tu t : 29
F : 6.000 (1 + 0,045)2,
INTERES COMPUESTO
Utilizando tabla I o calculadora:
F : 6.000(3,58403649)
F :921.s04,22
una persona obtiene un préstamo de $30.000 a 5 años, con un interés del g%
capitalizable semestralmente. Calcular el valor futuro que debe pagar en la fecha
de vencimiento.
4. Calcular el valor futuro de $5.000 al 6%, con capitalización mensual en 6 años 3
meses.
p = $5 .000; J =0 ,06 ; t t t= t \ ; 
, = O-?U =0,005=:%,
i l r l l
3 I r l \r t = 6¡= 64 año;rtut = 12164)= 75 periodos
Estándar
Algebraica
Estándar
Algebraica
Estándar
Algebraica
p=$3o .ooo ; /=o ,og ; m=2 ; L = o ,o4 ; t t=S
ftt
F : 30.000(r/P,4%,10)
F : 3 0 . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 4 ) ' 0
F : 30.000(7,48024428)
F : $44.407,34
F : s.000(F/P, 0,s%,, 7s)
F : 5.000 ( l + 0,005)?'
F : s.000(1,45363252)
F : $7.268,76
F : 5.000(F/P, 0,5%, 360)
F : s . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 0 5 ) % 0
F : 5.000(6,022575272)
F : $30.112.88
5. Calcular el valor futuro en el problema anterio4 para 30 año¡. Sólo varía el número
de periodos; m : 12; tt = 30: mn = 360.
Si se desea calcular utilizando tablas, la I sólo tiene valores hasta n = 50, para í : \%, 
"lfactor es 1,28322587. El exponente 360 se puede descomponer en 7 sumanclos 50
MATEMÁTICAS FI NANCIERAS
más 10; esto conduce a que es necesario multiplicar el valor 7,28322587 como fac-
tor 7 r'eces v el resultado multiplicarlo por 1,05114013 que constituye el factor para
rr : 10, i : ]%, obteniendo así el factor para i l 
- 360j Esta fue una forma de
calcular antes"de la era de las calculadoras electrónicas; hoy resulta absurdo em-
plear este método (aénsc el ejemplo 4.2).
6. En un juicio civil por cobro de una deuda de $12.000, el juez falla ordenando el
pago de la cantidád acleudada con acumulación anual de intereses a\ 8,3% por 4
anós, contaclos <lesde la fecha de su vencimiento. Calcular el monto acumulado de
la deuda.
La tabla I no tiene valores para 8,3%,, una t¿ls.l l1o cr)nlú11 etl las operaclones comL'r-
ciales. I,ara determinar el ¡nonto acumulado, se procetde directamente uti l iz¿rndt-
calcul¿rdctra.
i r : 12.000(1,083)1 : 12.000(1,3756686)
F : $16.508,02
7. En el problemer anterio¡, calcular el v¿rlor futuro parar 24 años
Estándar
Est¿indar
Algebraic.r
Estándar
Tablas I y III
P : 12.00(); j : 0,083; rr : 4
F : 1 2 . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 8 3 ) '
t : 12.0t10(FlP, 8,3%, 4)
I = l ] . ( r 00 ( f P , ¡ { , 3o ; , 24 )
F : 12.000(1,083)r '
Uti l izando calculaclora ccln función,t"
(1,083)11 : 6,7777096
F : 12.000(6,7777096)
F : $81.332,52
Calcular el valor futuro teórico de $6.000 para 4 años 8 meses al7% con capitaliza-
c ión anual .
8 2
F = $6.000; t t = 4- = 4- ; t = U, l) /
t ¿ J
F : 6.000(F/ P7%,4,6667) mando cohpuesto ( i ' lc 'sc ejemplo 4'5)
F = 6.000 1r + 0,0f i = 6.000 (1 + 0,07)' (1 + 0,07):
F = 6.000 (1,31079601) (7,02280912)'
F = $8.227,65
INTERES COMPUESTO
g. En el problema anterior, calcular el valor futuro seg,ún la rcgla comercial de dete¡-
minar la fracción cle periodo a interés simple.
F : 6 .000( l /P,7 ' / , , ,4 ,6667) mando s imple ( r 'crnsc e jemplo 4.5)
f t - l
I - h .000 ( l t 0 , ( ) 7 ) r l t r 
- r t l ' t l z t l
L J I
I ' : 6.000(r,3 1079601)( 1,04666667)
Ir : $u.231,80
10. Calcular la tasa de in tcr i 's s i rnplc ec¡u iv i i lentc a l in tcrós com¡ruesto dd 6 ' : / , durarr te
I 2 ¿r frtts.
Fí r rmula gcneral : Scan: l , : i r r t t ' rós s implc; i , - in t t ' rós ct l tn¡ ruest t r
l + ¡ ¡ , _ ( l + i . ) , ,
, , ¡ , = ( l + i , ) , ' I
( l + i , ) " - l
i l
I 'ar:r i, : 0,06; tt : 12
( l+0 ,06 )12 - I 2 ,01219647 I
t -
Es tánda r
Algebraica
t 2
¡. : 0,08435
I¿rsa de in terés s imple : 8 ,435%
11. Un prestamista desea ganar e l 8%, efect ivo ¿l - t t ia l sobr t 'un prestamo, c()n ln ter( 'scs
capi ta l izables t r imestra lmentc. H. t l lar la tasa nominal que debe cobrar : (Fónnulas
2 1 n y 2 1 b ) .
( 21a ) 7= r , [ { l - , ) ' r ' - 1 ]
[ , . , ^ l r 1
(2tb) 
- 
" 'L[ I lP ' ¡7 ' ' , i , , , - ' )
i =0 ,08 ; r ¡=4
7=+ [ { r+0 ,08 ) ] - 1 ]
Tabla III (1+ 0,08)j =1,07942655 o calculadora
t 2
MATEIúÁTICAS FINANCIERAS
I = 4(0,07942655)
j = 0,0777062
i =7,77% (Tasa nominal)
12. iEn qué tiempo se duplica un capital depositado al7%, con capitalización semes_
tral?
Tabla III
En la tabla I, columna del3h%, se halla que el valor 2 está comprenclido entre 20 y
21 periodos. Interpolando, se tiene:
( i \
F = P l P lF , ;%' , mt I\ "' ./
F = 2 P ; j = 0 , 0 7 ; m = 2
2P=P(1 .+0,035) ' "
Z = ( 1 + 0 , 0 3 5 ) ' '
a 27 corresponde 2,05943147
a 20 corresponde 1,98978886
a20 + x
a20
cclrresponde 2,00000000
1,98978886
0,06964261 como ¡ 0,01021114
0,06964267 0.01027114
-r - 
0 '01021114 = o.t466LIo
0,06q64261
2tt :20 + x :20 + 0,7466220 :20,1466220
N.'a E' .i"_p: "":::::::: ffi :J:: ;:_:: ::::j:,,ue puede c.rresponder hasta 3 días en el cálculo del t iempo.
13' En el problema anterio¡, proceder calculando el monto compuesto en perioclos en-
teros y los intereses simples para la fracción de tiempo.
El valor más próxim o es 1,98978886 que corresponde a 20 periodos
2 = 7,98978886 [1 + n(0,07 )]
1 + n ( 0 , 0 7 ) = 
2 = 1 . 0 0 5 1 3 1 8
r,98978886
INTERES COMPUESTO
tl - 
0'0051318 =0.0733174
0,07
Tiempo : 10,0733774 años, aproximadamente 10,073 años
: 10 años 26 días (año de 360 días)
L4. Resolver el problema Ne 12, ut i l izando calculadora que tenga memoria y la fun-
c ión h¡ .
( 1 + 0 , 0 3 5 ) " : 2
2t i l t4 l ,035): In2
hr(1,035) : 0,034401427 entra a memoria
Irr(2) + MR:20,7487975
n :20,7487975 + 2
tt -- 10,0744 aios
Se obtiene un tiempo ligeramente superior debido a que se trabajó con la fracción
de pc.riodo a interés compuesto.
15. Una persona deposita $7.500 en una cuenta de ahorros que paga el9o/o, con capita-
lización bimensual. ZEn qué tiempo tendrá un valor futuro de $10.500? Se pide so-
lucionar utilizando tablas.
F : 10.500; P : 7.s00; j : 0,09; ttt : 6
10.500 : 7.500(1 + 0,015)6,
( l + t ) , 0 1 5 ) n " = ! g - t , 4
7.500
a a
L.->
22
7,40837715
1,387s6370
a l r . ,
L L T A
22
1,40000000
1,3875637t'l
1 c's a 0,02081345 como ES 0,07243630
2081345 7243630
1243630- , t q q T q
2087345
6n =22,5975
n :3,766 años : 3 años 9aeses 6 dí. is
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
16. Resolver el problema Ne 15, uti l izando calculadora con memoria y función 
lrr '
(1 + 0,015)6'
6n In 1.,0L5
In 1,01'5
¡rr1,4 + MR
= 7,4
: In 1.,4
: 0,0148886 entra a memoria
= 22,599302
:22,599302 + 6:3,767
: 3 a ñ o s g m e s e s 6 d í a s
4.12 PROBLEMAS PROPUESTOS
17. Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:
(¡t) al5% efectivo anual
(b) al 5% capitalizable mensualmente
(c) al 5% capitalizable trimestralmente
(d) al 5% capitalizable semestralmente
18. Hallar el valor futuro a interés compuesto de:
(n) $5.000 al6% caPitalizable semestralmente en 20 años
i¿rj S¿.OOo al7% capitalizable semestralmente 
en 70 años
(c) $9.000 alTt/z% capitalizable trimestralmente en 12 años
i¿l $S.OOO al6/z% capitalizable mensualmente en 30 años
1g. Hallar el vF de $20.000 depositados al 8%, capitalizables anualmente 
durante 10
años 4 meses en forma: (ru) teórica, (b) comercial '
20 .Ha l l a re lVFde$10 .000depos i t adosa ] .8%,cap i t a l i zab les t r imes t ra lmen tedu ran te
32 años 7 meses 22 días.
Nota En los problemas, se suPone que se trata del vF comercial, cuando 
no se
especifique algo distinto.
21. Una persona deposita $3.000 el22 deabril de 1995, enuna caja de ahorros 
que paga
el6/o, capitalizatle semestralmente el 30 de junio y el 31 de diciembre de 
cada año'
ZCuánto podrá retirar el 14 de noviembre del2002?
22. lJnbanco pagaba el 5% de interés comPuesto, capitahzable trimestralmente' 
El 1a
de enero d,e 7996modificó la tasa, elevándola aI7/" capitalizable semestralmente'
Calcular el monto compuesto que tendrá el 1q de enero del 2016, un 
depósito de
S10.000, efectuado el 1q de abril de 1993'
INTERES COMPUESTO
23. Un padre muere el 20 de marzo de 7996 y deja a su hija $100.000 para que les sean
entregados al cumplir 18 años. La herencia se deposita en una cuenta que gana el
6%, capltaluable anualmente. El 22 de septiembre del año en que murió el padre, Ia
hija cumplió 10 años; calcular la cantidad que recibirá en la edad fijada. (Int. real).
24. HaIlar el VF de un capital de $100 depositados durante 10 años 5 meses, a la tasa
efectiva anual del 6,32%.
25. ZQué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8% , capitalizable trimes-
tralmente?
26. Calcular la tasa de interés simple equivalente al7%, capitalizable semestralmente
durante 12 años.
27. Hallar Ia tasa nominal convertible semestralmente. a la cual $10.000 se convierten
en $12.500, en 5 años.
28. Se estima que un bosque maderable avaluado en $750.000 aumentará su valor cada
año en el 8,5%, durante los próximos 6 años. ZCuál será su valor al f inal del plazo
calculado?
29. ZCuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que
acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?
30. Calcular el monto de $4.000 depositados durante 12 años 5 meses al 6,4% con acu-
mulación semestral.
31. ¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza dupli-
car el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que
ofrece el 6/o capitalizable trimestralmente?
32. Una población aumentó de 475.000 habitantes a 1.235.000 en 25 años. ZCuál fue el
tipo anual aproximado de crecimiento?
33. Un inversionista ofreció compr¿r un pagaré de $120.000 sin intereses que vence dentro
de 3 años, a un precio que le produz ca eI 8% efectivo anual; calcular el precio ofrecrdo.
34. Un pagaré de $18.000 a intereses simples deI6% con vencimiento a 5 años, es com-
prado por un inversionista 3 años antes de su vencimiento por la cifra de $20.300.
Hallar la tasa efectiva de rendimiento que produce la inversión.
35. Hallar el VF a interés.compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa continua del 5-,
de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al5%, convertible men-
sualmente.
MATEIVATICAS FINANCI ERAS
Hallar el valor de la fuerza de interés que corresponde al interés compuesto del5% '
Eiaborar la gráfica del vF de $1.000 a interés compuesto para i 
: 0,25, tr : 3 años f
en la misma , trazar la escalonada corresPondiente al VF a la tasa equivalente
capitalizable cada cuatro meses'
Elaborar la gráfica correspondiente al VF con capitalización continua de|78,2322%
y hallar la tása equivalenle anual y el VF en los años 7, 2, 3 y 4. En la misma, ttazar
íu .o.r"rpondienie al VF a interás simple continuo para |a tasa del 20%; para eI
primer aho, hallar los vF a interés compuesto y a interés simple, al f inal de cada
mes.
4.I3 ACTIVIDADES DE CONSULTA
36.
5 / ,
38.
(c)
(¡')
(c)
Consultar en la banca local las tasas )'periodos de capitalización para cuentas 
de
ahorros, y analizar ventajas y desventajas de los sistemas aplicados.
Consultar las tasas de capitalización para depósitos a mediano y largo plazo.
Estudiar las tasas y periodos de capitaiización para las reservas de seguros de vida'
r*
rr,*qe,
e*'éi ' , , iil, . ! l : r :! ¡ i i
VALOR ACTUAL O PRESENTE
AL INTERES COMPUESTO
OBJETIVO
En este capítulo se aprenderá a reconocer, definir y calcular valores actuales o presen-
tes, valores futuros o montos de sumas a interés compuesto; además r" .r ' lar,"1u.un
ecuaciones de valores equivalentes y diagramas de flujos de caja. Al terminar este capi-
tulo se podrán plantear y resolver problemas financieros en los que inten'ienen cálcu-
Ios de valores futuros y de valores presentes o actuales a partir de obligacionc: que
devengan o no intereses; igualmente se podrán plantear ecuaciones de valores equir a-
lentes y elaborar diagramas de flujos de caja.
INTRODUCCION
Una cuestión fundamental en el mundo de los negocios es la determinación del r-aior
de aquellos bienes expresables en dinero que, por alguna condición, se recit 'rrán en
fecha futu¡a. Así, por ejemplo: iQué vale hoy un legado de $1.000.000 que se recibirá
dentro de 10 años? ZEn cuánto puede venderse hoy un terreno que está en concesión
por 6 años?
Definición El valor actual o presente a interés compuesto de un dinero que se reciba
en fecha futura es aquel capital que, a interés compuesto, tendrá en el mismo tiempo
un monto equivalente a la suma de dinero que se reciba en la fecha convenida.
5 . 1
5.2
MATEMATICAS FI NANCIERAS
cÁtculo DEt VAtoR AcTuAt
P
Valor presente
Util izando la fórmula 19: F : P(7
se obtiene,
Notación estándar: P : F(p/F, i% , n)
Para su aplicación, la fórmula 23a se modifica así:
T
(7 + i )"
P - F 11 ) - ; \ - t I.. \ ^ , . , /
Algebraica
\otación estándar
n periodos
F
Valor futuro
+ r)i'
El factor (1 + if 'es el valor presente de un valor futuro de una unidad por recibir
dentro de n periodos de capitalización, a la tasa efectiva i por periodo. En notación
estándar (P/E i%, n).
La tabla II contiene los valores del factor de valor presente para diferentes tasas y
periodos. Para el uso de la tabla, i es la tasa efectiva expresada én tanto por,r.,o 
"., 
él
periodo de capitalización. Para valores que no figuren en las tablas, debe utilizarse cal-
culadora.
La fórmula para el valor actual a la tasa j capitalizable rrr veces en el año se obtiene
remplazando i, así:
I
i = L, n = número de periodos de capitalización en el año, para n añosm
el número de periodos : rzn
(23n)
(23b)
(23c)
(24a)
(24b)
P=P(t* i l ' '
\ m )
n = r ( e¡r ,Ln,r^ \
\ m )
(7 + i ) "
VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERES COMPUESTO
[ft!fflEf,fl Hallar el valor presente de $5.000 pagaderos en 5 años, a la tasa efectiva anual
d e l 6 % .
F : 5 . 0 0 0 ; i : 0 , 0 6 ; , 7 = 5
Notación estándar P = 5.000 (PlF,6%,5\
Algebraica P : s.000(1 + 0,06) s
En tabla II (1 + 0,06) 5 - 0,74725817
P : 5.000 (0,7472s817)
P :53.736.29
En la notac ión estándar P : 5 .000(P/F,6%,5) , se p ide calcular e l va lor presente P
conocido el valor futuro F : 5.000 al 6% eÍectivo en 5 periodos; por solicitarse el valor
presente, se uti l iza el factor de valor presente cuyo valor se busca en la tabla II o se calcula.
El lector debe comprende¡, con claridad, que ia notación estándar es estrictamen-
te necesaria cuando se dispone de calculadoras financieras. Al introducir los valores dc
F, i%, n,la calculadora interpreta el valor presente, determina el factor del valor presen-
te para los datos informados y continúa su programa hasta entregar el resultado. Pero
si el computador es programable, se recomienda crcar programas usando los conoci-'
mientos asimilados en computación, y aplicar correctamente los conceptos financieros
manejando con propiedad las fórmulas y métodos matemáticos que correspondan al
problema que se trabaje. En este texto de matemáticas financieras, el objetivo es ense-
ñar a manejar los conceptos y métodos matemáticos para obtener el resultado correcto.
ff i lEf,p Hallar el valor presente de $5.000 pagaderos en 5 años, a la tasa del 6"1,
capitalizable trimestralmente.
A l g e b r a i c a r = r [ r , l r )
Notac iónes tándar n= dn¡ r , ln ,^ , , )\ " ' )
F = 5 000; m = 4 ; n = s ; i = 0 ,06 ; i = *=ry= 0 ,015
P = s. ]w(PlF , " t ,s%,20)
p=5.000(1 +0,015f4,
P = 5.000(0,74247042)
P = $3.772.35
Tabla II
5.3
5.4
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
VATOR ACTUAI PARA VALORES DE n MAYORES
QUE EL ñAÁXIMO DE LA TABLA
Se procede como en el ejemPlo 4.4.
freEEEEEl Hallar el valor presente de $100.000 
pagaderos dentro de 20 años, al 6%
capitalizable trimestralmente.
F = 1 0 0 . 0 0 0 ; m = 4 ; j = 0 , 0 6 ; n = 2 0
P = 100.000(1 + 0,015)-80
p - 100.000(1 + 0,015)-50 (1 + 0,015) 
30
p = 100.000(0,47500468 ) (0,6397 6243 )
P = $30.389
Tabla II
VALOR ACTUAL A INTERÉS COMPUESTO CON PERIODOS
DE CAPITALIZACIóN FRACCIONARIOS
En la sección 4.5 se explicaron las dos formas de calcular el valor futuro a interés 
com-
puesto, cuando se prÁentan fracciones de periodo. El mismo método se aplica para 
el
iálculo del valor actual o presente en fracciones de periodo'
Regla comercial El valor actual se calcula a interés compuesto, para los periodos 
ente-
rot, y u interés simple para las fracciones de periodo'
cálculo teórico se calcula a interés compuesto para todo el t iempo, incluida la 
fracción
de periodo.
El valor actual o presente resulta menor cuando se calcula a interés simple para 
Ia
fracción de periodo.
IEtrEIEEg iCuál es el valor presente de un 
pagaré de $60.000 pagaderos dentro de 2 años
8 meses, si la tasa es del 8% capitalizable semestralmente?
(a) Aplicando la regla comercial, se calcula primero el valor presente para 2 años 6 meses 
que
equivalen u S p"iiodor y, luego, con base en el valor encontrado, se busca su valor 
presente
a interés simPle en 2 meses.
Fórmula 24:
Estándar
D _ E
D _ E
l'. ¿') 
''
\ t n )
(v' ' j '*")
VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERES COMPUESTO
F - r , ( 1 . 0 ( ) ( l ; t t t = 2 : i = 0 . ( ) 8 ; i r y = ( ) , ( ) 4 ; i l = 2 , 52
P - 60.000(1 + 0,04) 5 = Orl.OtlO(il,t¡2192711 )
P = $,19.315,63
Así , e l va lo r Presente de $60. ( )00 pag¿deros en 2 ,5 anos es de 949.315,63 y sobre es te vakr r debe
hall¡rse cl v¿krr presente, .r interés simple del f3i4 , en 2 rneses.
Apl icanclo l . r f r i rmula 9: , = 
* ;
F = ,19 3 15,63; i
, , 49 3 15,63' = 
la!o,-ori)
= 0 , ( ) 8 ; r ' - I a ñ t r
t )
- $18 666,74
l .¿s c¿ lcu l¿dor¿s f in ¡nc ic r . ts t ienen nr . rndo pr ra ea lc r r l . r ¡
de per iodo par . t in tc rés s in t ¡ r l c o in te rús compucs to .
( l ' ) ( á lcu lo te r i r i co :
. t vo l un t ¡d t l t , l oPc r¿c lo r , l ¡ f r . t c c i t i n
) . )
i \ 
i l | ¡ t
1 ' - l l l + ' - ]
\ , / i /
f - 6 0 . ( X X ) ; l - ( ) , 0 u ; t t t - 2 ; n . . 2 + - Z ? - ! ,
1 2 3 3
, , , , , - z l { ) - i í - s l
\ 3 i 3 3
P = 6 0 . ( X X ) ( I + ( ) , ( ) 4 ) 
5 l , - t 0 . ( x l 0 ( l , ( u ) ¡ ( 1 . ( ) 4 ) I ' , l
T¿rbla I l (1,04) 5 =(\,8219271;' f¡bl¿ IV (1,0.t) r ' : r - 0,. lu0l152
C = 60.(XX) (0,¡ l2l ! '2711X0,9¡1701 152) - $'1¡1.675.()9
E l va lo r Presentc ca lcu lado a in te rés compuest ( ) , inc lu i t l ¡ l ¡ f r¿cc i t in dc pcr iodo, d . r un resu l t ¡
do mayor en $6,35, c¡ue el obtcnido calcul¿nclo.r intt ' rós sinrple ¡rar.r la fraccit i l r cle pt 'r ioclo.
- l
(c ) E fec tuar e l c . i l cu lo c le ( l + 0 ,04 ; 
' : 
c9n ca lcu l¿ t l t ) r . i v c ( )mp. l r . l r l ¡ c6n e I v¿ l ¡ r eb te¡ i t l ¡ t ' ¡
( l ¡) apl icanclo tablas. I lepetir el ejem¡rlo ¿ l . t t¿s¡ cfect i 'u,¿ del 2,/{, ¿nu..r l .
DESCUENTO A INTERÉS CONNPU¡SrO
El descuento compuesto verdadero es la d i f t rcr - rc ia entrc c l . " 'a l9r fu tur , , l ¡ i ) r f . t -
valor presc.nte.
MATEMATICAS FINANCIERAs
Por def in ic ión:
Sust i tuvendo:
Factorizando:
D = F -P (D es el descuento verdadero)
P: F(1 + i ) - "
D : F - F ( 1 + t ) - ' ,
D : F [ 1 - ( 1 + ¡ ) ' ]
o=r[ r
(25n)
El valor t l - (1 + i)" '] recibe el nombre de factor de descuento, a interés compucsto-
Si la tasa de in terés es7 capi ta l izable n l veces Por año, se obt iene:
-fr*al ""'l
\ ' t r / l (2sb)
Descuento bancario compuesto Es el que se calcul¿r sobre el monto de la deluda, a una
tasa de clescuento ¡1. Esta forma de descuento es poco frecuente y no tiene aplicaciones
prácticas. Iror meclio de un ciesarrollo análogo al uti l izado para deducir la fórmula 19,
para el clescuento bancario compuesto se obtienel la fórmula:
VL : VN (1 - rl)"
Donde:
VL: Valor líquido del Pagaré
VN: Valor nominal del Pagaré
d: 
'f ipo 
o tasa de descuento exPresada en tanto por ciento
5.ó VATOR PRESENTE DE UNA DEUDA QUE DEVENGA TNTERESES
para calcular el valor presente de una deuda que devenga intereses, es necesario esta-
blecer primero su monto nominal, es decir, el valor que liquidará la deuda a-su venci-
miento. Una vez calculado el monto nominal, se procede a determinar su valor actual.
[ff iH!f,f l Calcular, 3 años antes de su vencimiento, el valor 
presente, alf l% capitalizable
sem"st .a lment ! , de un pagaré de 9100.000 f i rmado a 5 años p lazo, con e l 6%, de in teré:
capitalizable anualmente
Irrimero, se calcula el monto nominal a 5 años de plazo:
Notación estándar F = P(FIP, i%,t t )
\o tac i í rnalgebraica F= P(1 +,)"
P : 1 0 0 . 0 0 0 ; i = 0 , 0 6 ; n : 5
F r :100 .000 (1 +0 ,06 )s
(2o)
VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERES COMPUESTO
Luego, para este monto F, , se calcula e l valor presente, n sea, e l valor l íquido:
Notacir in estándar
¡ - 0 , 0 1 1 ; m = 2 ; n = 3
0,04) '
( i \P = F l P l F , - , t n t t l
\ D t )
/ i \ ' "
P = F l 1 + - l
\ t t t )
F - F, - 100.0(X) (l + 0,06)5
yL = 100.000 (1 + 0,06)5(1 +
Con las tablas I y I I o mediante calculadora, se t iene
t,L : 1 00.000(1,33822s58 ) (0,790314s3\
Vt, : $705.76r,90
5.7 ECUACIONES DE VALORES EQUIVATENTES
Estas ecuaciones son las que se forman igualanclo -en una fecha de comparación cr
fecha focal- las sumas de los valores en la fócha escogicla cle los diferentes .n'n;,,,,-,tn¡; .1,,
obligaciones.
Los problemas básicos que deben analizarse son cios:
1' Establecer el valor que debe pagarse, en determinacia fecha, equivalente al valor de
un conjunto de obligaci.nes, que vencen en diferentes fechas.
2' Determinar la fecha cle vencimiento promeclio en que se puede cancela¡, mediante
un pago único igual a la suma de los valores de uñ conjlnto cle obligaciones que
tienen distintas fechas de vencimiento. El t iempo por transcurrir hasta la fecha cie
vencimiento promedio se define como ticm¡to cquiiarente.
fff i l l lEEE Una persona debe $10.000 pagaderos dentro de 2 años y $20.000 a 5 años
plazo. con su acreed.or pacta efectuar un pa¡lo único al f inal de 3 años a la tasa del u%, capitalizable
semestralmente. Calcular el valor único del pago.
ru.uuu x 20.000
En el diagrama anterio¡, las f lechas muestran el movimiento del dinero. El gráf ico del t lujr, J.
caja susti tuyendo los dos pagos por uno solo es (para economizar espacio, las f lecha: rt i - , . , :-
colocado a un solo lado de la l ínea de t iempo):
10.000
MAT EM AT\C AS F\N ANC\EBAS
Est . indar
Algcbraica
X: 10 . (100 (F lP ,4%,2) + 20 .000 (p /F ,4"1 , ,4 )
x : 10.000(1 + 0,04)r + 20.000(1 + 0,04) l
X : 10.000(1,0816) + 20.000(0,85480419)
X : $27.912,08
5 años
Si se rlrult iplic.rn ¿lmbos miembros de la ecuaciírn cle ecluivalencia, por cl factc:
de c.nvers i i r . (1 + 0,04)" , se.bt ierre la i rnpor t . rnte re. l¿rc i ( rn:
x (1 + 0 ,04 ) , , _ 10 .000 (1 + 0 ,04 ) : * , , + 20 .000 (1 + 0 ,04 ) r , ,
La cual I-nucstr¿t qu(., ¿-l interés compuesto, los valores ecluivalentc.s en una fecha
t¿nrbiórr lo son en cualc lu ier ot ra fecha. por e jcmplo: para , i : 4 ,1¿r ecu¿rc i i rn queda
establecicla p.rra la fech¿r dc vencimiento más le¡ana:
X( l + 0,04) ' : 10.000(1 + 0,04)" + 20.000
P¿¡r¿r r¡ : -2, \a ecuación queda establecida para la fecha más temprana:
X(1 + 0,04) 2 = 10.000 + 20.000(1 + 0,04) 6
Como se desea calcular X, o sea, el va-lor der pago único, entonces se prefiere la
ecuación de equivalencia más simple que fue la piimera con X = fi27.9r2,óa. Tenien_
do en cuenta que para cualquier rr a pártir cle la fecha focal establecicla, el valor del
pago único se obtiene multiplicando a X por el factor de conversión; esto se puede
util izar cuando deudor y acreeclor cambian la fecha y aprovechan el valor conocido
de X.
fff iEEElUf Calcular la fecha de vencimiento promedio clel siguiente conlunto de obliga-
crones. :95.000 a 2 años p lazo, $6.000a 4 añosplazo y$10.000 a 5añós prazo,ar t ipo del 6% con
capi ta l izac i t in anual .
VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERES COMPUESTO
años
r0.000
En el diagrama anterioq, las flechas muestran el movimiento del dinero'
El gráfico del flujo de caja, al sustituú los pagos por uno solo en una fecha que se debe calcular es:
0 1 2 3 4 X S a ñ o s
Designando por X el t iempo equivalente -expresado en años contados a part ir de hoy hasta el
vencimiento del pago único igual a la suma de los valores de las diferentes obl igaciones-, se
tiene:
Notación estándar la primera línea, algebraica la segunda
(s .000 + 6 .000 + 10 .000xP/F,6%,n : s .000(P/F ,6%,2) + 6 .000(P/F ,6%,4) + 10 .000(P/F ,6%, ,s )
( 5 . 0 0 0 + 6 . 0 0 0 + 1 0 . 0 0 0 ) ( 1 + 0 , 0 6 ) - r : 5 . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 6 ) - 2 + 6 . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 6 ) r + 1 0 . 0 0 0 ( l + 0 , 0 6 ¡ s
21.000(1 +0,06)-r:5-000(0,88999644)+6.000(0,79209366)+10-000(0,74725817)
4,449,98 + 4.752,56 + 7.472,58
(1 + 0,06) ̂
(1+ 0,06) ̂
21.000
= 0,79405343
Interpolando en la tabla II, se tiene:
corresponde 0,79209366
nde 0.83961928
e s a -0,04752562
corresponde 0,79405343
corresponde 0,83961928
-0,04556585
a x
a 3
a 4
a 3
1 x - 3
+o{rsrw 
= -0p4556585
^ 0,0455658qa - ¡ = -----------Z = 0.9587 6-t93
0,04752562
6.000
MATET/4ÁTICAS FINANCIERAS
r =' 3,95flfl años
r - 3 ¡ t t1os l1 n leses 15 d ías
I raba jando con c¿ lcu ladora , se t tene '
(1 + 0,06) ' - ' 0 ,79405343
.thr ( I + (),06) - In 0'79405:343
hr ( 1'06) - () '05tt26tt9
tn(\,79405343 - - 0'23()6045
-0,2306045
-\ '= - - - -.' 
0.()Sft26ile
x . ' 3 ,9576
- r - 3 años l l mcscs 15d í¿s
t ) espu ( ' s de co t t oce r t l t i t 'mpo t t l t l i v ' r l en t c 
y l a f ech r d t ' hoy ' se
p rome c l i o de venc im i t ' t ¡ l o '
o sea
luego
procede ¡ de termin¿r r la fcch¡
5.8 PROBLEMAS RESUELTOS
1. Dcmost ra r quer : (171r ' i ' l "n ) (P l l ' i ' / ' ' k ) : 
(P l l : ' t ' l " t t + k )
(P l t ' , i " / , , r r ) : (1 + t ) "
(.Plr:, fl,, k) : (1 + ') ̂
o sca el l : ' i ' ' l "n)(Plt : ' i ' / ' "k): 
(1 + i ) "(1 + t) I
( P l l , i " l , t ) ( P l l , i ' / ' ' , k ) : ( 1 + ' ) " ' : ( 1 * i ) 
{ " + r t
luego e lF ' i%"n) (P lL ' i ' / " ' k ¡ : (P lF ' i ' / ' "n 
+ k )
Z. Demostrar que: (F/P' r" / ' " t t ) + (PlF' i ' / ' "k): 
(FlP' i%'n + k)
( t : l P , i % , r r ) : ( 1 + t ) "
(PIF, i%,k) : (1 + i ) A
G l P , i % , , n ) - ( P l F , i % ' , k ) : ( 1 + i ) ' + - ( 1 
+ i ) - ^
G l P , i % , , r ) - ( P l F , i % ' , k ) : ( 1 + i ) ' t + ) 
= ( 1 * l ; u + t
(FlP, f/,,, n) * (PlF, i%,k) : (FlP, i%' n + k)
3. icuánto debe invertirse hoy al9% concapitalización 
semestral' para obtener $60'000
dentro de 10 años?
P : 24.878,57
aA qué valor de contado equivale la oferta de $120.000 pagaderos dentro de 2 años
Por un bienraí2, si las inversiones locales producen el10% capitalizable trimestral-
mente?
Estándar
Algebraica
Estándar
Algebraica
VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERES COMPUESTO
F : 6 0 . 0 0 0 ; j : 9 % ; m : 2 ; n : 1 0
P : 60.000 (PlF, 4,s%, 20)
P : 60.000 (1 + 0,045)-10 : 60.000 (0,47464286)
F : 1 2 0 . 0 0 0 ; j : 1 0 % ; m : 4 ; t t : 2
P : 1 2 0 . 0 0 0 ( P l E 2 , s % , 8 )
P : 120.000 (1 + 0,02s) 8: 120.000 (0,820746s7)
P : $98.489,60
5. ZQué oferta es más conveniente para la venta de una propiedad?
(,r) $90.000 de contado
(ü) $40.000 de contado y el saldo en tres pa¡iarés iguales de $20.000 cada uno a 1,
2 y 3 años de p lazo, s i e l rencl imiento del d inero es del U%, capi ta l izablc se-
mestralmente.
Las dos clfertas se expresan en diagramas de fiujos de caja a ambos l¿rdos de
una misma línea de tiempo.
40.000
X : 40.000 + 20.000(p/F, 4%,2) + 20.000(p/F, 4%, 4) + 20.000(p/F, 4%, 6)
X:40.000 + 20.000(1 + 0,04)r+ 20.000(t + 0,04)r + 20.000(1 + 0,04)*
X : 40.000 + 20.000(0,92455627 + 0,85480419 + 0,79037453)
X : 20.000(2,56967493) + 40.000
X = $91.393,50
La oferta b és superior en 91.393,50.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
6. Un deudor tiene a su cargo los siguientes pagarés: $20.00 a 4 años de plazo,.$50.000
a 3 años de plazo, $40.000 a L año de plazo y $50.00 exigibles de inmediato. EI ofrece
cancelar de contado $30.000 y el saldo a 2 años de plazo. Hallar este valor, si el t ipo
de interés es el7% capitalizable semestralmente.
Los diagramas de los dos flujos de caja equivalentes se presentan a ambos lados de una
misma línea de tiempo,las flechas indican el sentido positivo o negativo del flujo.
30.000
x
+ 8 semestres
40.000
50.000 50.000
30.000 + X(P/F,3,5%,,4) : 50.000 + 40.000(P/F, 3,s%,2) + 50.000(P/F, 3,5%,6)+ 20.000(P/F,3,5%,8)
30 .000+x (1 +0 ,035 ) r : 50 .000+40 .000 (1 +0 ,035 ) ' z+50 .000 (1 +0 ,035 )++20 .000 (1 +0 ,035 ) ¡
X (1 +0 ,03s )a :50 .000 -30 .000+40 .00 (X1 +0 ,035 ) ' ?+50 .000 (1 +0 ,035 )6+20 .000 (1 +0 ,035 ) ¡
x : 20.000(1 + 0,03s)r + 40.000(1,035), +s0.000(1 + 0,035) r + 20.000(1 + 0,035) I
X: 20.000(1,47523)+ 40.000(7,077225) + s0.000(0,93351070)+ 20.000(6,87144223)
X : 29.504,60 + 42.849 + 46.675,54 + 77.428,85
x - $729.903,83
7. iCon qué pagos iguales a7,2y 3 años de plazo puede remplazarse una obligación
de $120.000 que vence dentro de 4 años, si la tasa de interés es del 8%, con capitali-
zaciín anual?
120.000
I
I+
4 años
9 .
VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERES COMPUESTO
Usando la últ ima fecha como fecha focal, se tiene:
X(FIP, 8%, 3) + X(FIP, 8%, 2) + X(FIP, 8%, t¡ = 120.000
X(1+ 0,08)3 + X(l+ 0,08)' + X(1+ 0,08) = 120.000
X(1,259772 + 7,766400 + 1,080000) = 120.000
120.000 ñ- a ̂ ^ ,x = 3565¡71= $34'225'94
Para una apreciación aproximada del t iempo equivalente, se acostumbra aplicar
una regla práctica que se enuncia así: súmense los productos obtenidos al multipli-
car el valor de las obligaciones por sus respectivos plazos, y divídanse por la suma
de los valores de las obligaciones.
Sean S,, 5r,5 r,..., S* los valore s, y tt ( n2, tt1,..., rru los plazos, e i la tasa de capitalización
por periodo, capitalizando n¡ veces en el año:
(S , + S , + . . . + Su ) 0+ i ) ' " ' = S , (1+ i ) ' " ' ' + S , (7+ i ) " " ' z * . . . 5 r0+ i ) ' " ' r
Sustituyendo los desarrollos binomiales por sus valores aproximados a los dos pri-
meros términos, se tiene:
(Sr + 52 + ... + S*X1 - mni) : Sr( 1 - mn,i) + Sr(1 -nmri) + ... + Sr(7 - mnri)
(Sl + S, + . . . + So)mni : Srmrt r i * S¡nt t r i + . . . + Srnutr i
de donde,
S , r r , + S r r r , + . . . + S ^ r r u
. (va lor aproxlmaoo ae , l )S , + S r + . . . + S ^
Resolver el ejemplo 5.7 aplicando la regla práctica para el cálculo aproximado del
tiempo equivalente. Comparar y analizar el resultado.
Un inversionista negocia un pagaré de $20.000 a intereses simples del 72%, con
vencimiento a dos años; hallar el valor que debe pagar a la tasa nominal comercial
del 70% , con capitalización semestral.
Primero se calcula el monto del pagaré a su vencimiento y, luego, el valor actual de
ese monto:
F : P ( \ + n i )
P : 2 0 . 0 0 0 ; n = 2 ; i : 0 , 7 2
[¡ATE MATICAS FI N ANC I E RAS
F=2o.ooo[1 +2(0,1,2)l
F = $24.800
Notación estándar P =r(PE ,Ln,^n\
Um)
Notación argebraica I = rfr. (*)] '
F = 24.800; j = 0,70; m = 2; n - 2
P = 24.800 (1 + 0,05)'
P = $20.403,02
NOTA: El interés simple se usa en el corto plazo (hasta 1 año). A mediano plazo
(1 a 4 años) y a largo plazo (más de 4 años) se uti l iza el interés compuesto.
10. El 1s de marzo de 1995 se firmó un pagaré por $40.000, con vencimiento a 4 años, a
un interés simple del72%. El 1a de septiembre de 7996 se negocia con un inversio-
nista que cobra el 14% nominal, con capitalización semestral; hallar el valor paga-
do por el inversionista.
F = P\+ n i )
P = 4 0 . 0 0 0 ; n = 4 ; i = 0 , 7 2
F=40.000[1 +aQ,lz) l
F = $59.200
P=F( P tF , ln , * r )
Im)
F z r 
- l -nn
P=Fl 1* f¿ l l
L \ ' / l
F = 59.2ff,; j = 0,1L m= 2; n= 2,5 años
P = 59.200(1+ 0,0n-s
P = $42.208,78
11 . Una deuda de $200.000 se cobra judicialmente y se paga 5 años después. Si la tasa
bancaria para cuentas es del 1,6% nominal con capitalización trimestral, hallar (a) Ia
VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERÉS COMPUESTO
suma que basta consignar en una cuenta de ahorros al iniciarse el juicio para cance-
lar la deuda en la fecha del fallo; (b) la pérdida que sufre er a..""áo..
p = F( p t r ,Ln . ̂ r )
I m )
p=rlr * ! ] "
L tn l
F = 200.000; j = 0,76; m - 4; n = S
P = 200.000(7+ 0,04)",
P = $97.277,39
r=pfr*¿-l" ' '
L m )
P= 200.000; j = 0,76; tn= 4; n = S
F= 200.000(7+0,04)t ,
F = $438.224,62
Pé¡dida : 438.224,62- 200.000
Pérdida -$238.224,62
12' un deudor debe un pagaré por $300.000; 1g meses después de su vencimiento, con-
viene con su acreedor cancelar con un pago <1e $450.0ó0. Hallar la tasa nominal con
capitalización semestral que corresponde u esta operación comercial.
P=Fl1"f¿l l
L \ r t l l l
P= 300.000, F= 450.000; m=2;ru = 1,5 años
i 3oo.ooo = 45o.ooo L * ¿) 
'
\ 2 )
/n(300.000) = /n(450.000 ) + (-3)nl tn l l
\ 2 )
( ¡ t
tnll+ i l=ltn1+s0000) - in(300.000)]+ 3\ ¿ )
(a)
(b)
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
7,7M7142
28,94%
PROBTEMAS PROPUESTOS
13. Hallar el valor actual de:
(n) $10.000 pagaderos dentro dc 10 años al 5%, con acumulación anual'
(b) 95.000 pagaderos dentro de 6 años al 6% capitalizable trimestralmente.
(c) $8.000 pagaderos de.ntro <le 7% años al 8%,, capitalizable semestralmente.
(d) $4.000 pa¡;aderos dentro de 5 ¿rños al7,4ol,, con capitalizaci<in anual.
14. Hallar el valor actual de $6.000, pagnderos dcntro de 5 años 4 meses, al 6% capitalizable
trimestralmente:
(n) Según la re¡¡la comercial .
(b) Efectuando el cálculo teórico.
15. Hall¿rr erl valor actuai de $96.000 pagaderos dentro de 20 años al 8%, , con capitaliza-
c ión mensua l .
16. Hallar Ia cantidad que es necesaric'r clepclsitar en una cuenta que Paga el 8% con
capitalizacicin trimestral, para disponer de $2t).000 al c¿rbo de 10 años.
17. ZQué oferta es más convcniente para la venta de una propiedad, si la tas¿r de interés
es del 10%, con capi ta l izac ión semestra l?
(n) $60.000 al contado.
(¿,) $30.000 al contado y $35.000 a 3 años de plazo.
18. Una persona vende una propiedad avaluada en $120.000 y por ella lc ofrecen $70.00C
al contado. i l 'or cuánto debc aceptar un pagaré por el saldo a 2 años de plazo, si el
tipo de interés es del 9%, con caprta\ización trimestra\?
i 1g. Una persona posee un pagaré de $6D.DDD a5 ahos de p)azo c1 ul-r 
' . i i : l
acumulación semestral. 
' [res 
años antes de su vencimie¡fo ]¡r trl:c -<
prestamista que inviertc al 10%,, con capitalización trimestr.rl 'Q..=
el orestamista?
20. Un cc¡merciante compra $100.000 en mercancías y Paga $20 00i '
/ i \
tn l l + i l=\ - . /
- l
I t : -' ' 2 -
t -
J _
n 1 ? q 1 q 5
s.9
en un pagaré a 3 meses y $40.000 a 6 meses. Hallar el valor de ct'n::: --
cía, s i la tasa de interés local es de\g%, con capital ización men'u'-
VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERES COMPUESTO
21. Una persona debe pagar $50.000 dentro de 2 años; el acreedor acepta un pago al
contado de $20"000 y un nuevo pagaré a 3 años. Hallar el valor del nuevo pagaré a
la tasa delS%, con acumulación semestral.
22. Un acreedor de una sociedad en l iquidación acepta que se le pague al contado el
75% del valor de dos pagarés a cargo de la sociedad; uno de $50.000 está vencido
desde hace 18 meses y el otro por $60.000 vence dentro de 15 meses; si el rendi-
miento convenido es del 10% con acumulación trimestral, hallar la suma que recibe
el acreedor.
23. Un pagaré de $8.000 pa¡;aderos dentro de 2 años y otro de $10.000 pagaderos den-
tro de 5 años van a l iquidarse en un pago único dentro de 3k años. Hallar el valor
del pago único a Ia tasa del 9%' , convertible semestralmente.
24.Una persona debe $20.000 pagaderos dentro de 3 años y $40.000 pagaderos dentro
de 5 años. Hallar el valor de dos pagos iguales, a 2 y 4 años, que sustituyan las
deudas con el t ipo de interrés del 6% con capitalización semestral.
25. Una persona vende un terrerno y rec ibe dos pagarés de $60.000 a 2 y 4 años de
plazo. Hal lar e l va lor de contado, s i e l rendimiento es del 8% con capi ta l iz¿rc ión
semestra l .
26. Una persona debe $100.000 y propone efectuar tre's pa¡;os anuales iguales y sucesi-
vos. Si el t ipo de. interés es delT% capitalizable anual, hallar el valor de estos paga-
rés.
27.Hallar el t iempo equivalente para el pago de las sig,uientcs deu<las: $10.000 a 4 años,
$8.000 a 3 años y $6.000 a 2 años. Tasa efectiva del 8%.
28. Una deuda de $5.000 a 2 años, y otra de $8.000 a 4 años, se l iquidan con un P¿rgc)
único de $12.800 ¿r 3 años. Analizar el problema.
29. ¿A qué tasa efectiva, un pago único de $20.000 hoy sustituye dos pagarés de $11.000
cada uno, con ve'ncimiento a 1 y 2 años respectivamente?
30. Una persona debe $20.000 a 3 años de plazo al 70%, acumulable semestralmente v
-$30.000 sin intereses, a 2 años de plazo. Propone la siguiente operación comercial ¿t
/ la tasaefectiva delg%: pagar $10.000 al contado, $25.000 a 2 años de plazo y el salcltr' 
a 3 años. Hallar el monto del últ imo pago.
31. Demostrar que: para tt > 1 el descuento a interés compuesto es mayor que r' l .1".-
cuento racional; para t¡ : l ambos descuentos son iguales, y Para 0 < i l ' í I .-
descuento a interés compuesto es menor que el descuento racional.
t-
t
I 
@ vnrE¡¡Átcns FTNAN.TERAS
Comparar en una gráfica los valores actuales con: descuento comercial, racional y
compuesto. Util izar la tasa del 20% anual y elaborar las gráficas para 4 periodos
anuales; el primer periodo subdivídase en meses y calcular valores para cada mes.
Demos t ra rque (F /P , i% ,n ) (P /F , í%,k ) , s i n >kes igua la (F /P , i% ,n -k ) , s i t t : kes igua l
a 1, y si n < k es igual a (P/F, i%,k-n)
5. IO ACTIVIDADES DE CONSULTA
(a) Estudiar las tasas de interés local aplicadas, para calcular el pago inmediato de deu-
das a largo y mediano plazo.
(b) Programar en computador el cálculo de tasas efectivas dados la tasa nominal y el
número de capitalizaciones, cl el periodo de capitalización.
(c) Programar en computador el cálculo del valor presente de una deuda que Sana
intereses; este programa presenta variantes que se deben investigar.
t--,& **? l'1,1.{} ffi
ANUALIDADES
OBJETIVO
El objetivo de este capítulo es reconocet definir y clasificar los cliferentes tipos de anua-
lidades; además identif icar y manejar los distintos factores que intervienen en las anua-
lidades. Al terminar el estudio de este capítulo se podrán calcular: montos o valores
futuros, valores actuales o presentes, rentas de anualidades, tasas de interés y tiempos
o plazos de anualidacies ciertas ordinarias. El estudiante estará en capacidad de elato-
rar diagramas de flujo de caja en los que intervengan anualidades ciertas, además cle
plantear y resolver ecuaciones de equivalencia entre anualidades.
INTRODUCCION
En matemáticas financieras, la expre sión atunlidnd se emplea para indicar el sistema de
pago de sumas fi jas a intervalos iguales. La palabra anualidad se uti l iza por costumbre
desde sus orígenes. Así es que se usa en las anualidades contingentes, en las que inter-
viene la probabil idad anual de vida de las personas. En finanzas, anualidad no significa
pagos anuales sino pagos a intervalos iguales. Por consiguiente, se consideran anuali-
dades los dividendos sobre acciones, los fondos de amortización, los pagos a plazos, los
paSos periódicos de Ias compañías de seguro, y en forma más general, los sueldos v
todo tipo de rentas. La expresión anualidad puede cambiarse por la de rentas, series
uniformes, PaSos periódicos, amortizaciones u otros, según el caso y ias costumbre.
locales. En este texto se conserva el nombre de anualidad para el estudio seneral i.
ó . 1
MATEMATICAS FI NANCIERAS
todo tipo de pagos periódicos; así, el interesado no tendrá modificaciones de lenguaje
al estudiar las anualidades contingentes y, con ellas, los seguros de vida.
Definición Una anualidad es una sucesión de pagos periódicos iguales. Si los pagos
son diferentes o alguno de ellos es diferente de los demás, la anualidad toma, según el
caso, los nombres de anualidades variable s (oéase 9.74) o anualidades impropias (uén-w
6 .10 ) .
CLASIFICACIóN DE tAS ANUATIDADES
Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus formas de pago deter-
minan diferentes tipos de anualidades. A fin de l levar a cabo un estudio organizado, es
necesario elaborar una clasificación y dar su correspondiente definición.
Renta El valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta.
Periodo de pago o periodo de la renta El t iempo fi jado entre dos pagos sucesivos es el
periodo de pago o periodo de la renta.
Tiempo o p lazo de una anual idad El in tervalo que t ranscurre entre e l comienz. .
del pr imer per iodo de pago y e l f ina l del ú l t imo es e l t iempo o p lazo de una anual i -
dad .
Renta anual La suma de los pagos hechos en un año corresponde a la renta anual.
Tasa de una anualidad El t ipo de interés fi jado es la tasa de anualidad y puede ser
nominal o efectiva.
Según el t iempo, las anualidades se agrupan en dos clases: anualidades ciertas v
anualidndcs caentuales o cottt ingentes. Anualidades ciertas son aquellas cuyas fechas ini-
cial y terminal se conocen por estar estipuladas en forma concreta. Anualidades contin-
gentes so4 aquellas en las que el primer pago o el último, es deci¡, la fecha inicial y/o la
fecha final dependen de algún suceso previsible, pero cuya fecha de realización no pue-
de fijarse.
Anual idades perpetuas o perpetu idades Éstas son una var iac ión de las anual idades
ciertas, en las que la duración del pago es, en teoría, ilimitada.
Según la forma como se estipule el pago de la renta o anualidad, se originan las
anualidndes ordinarias o uencidas y las anualidades antícipadas.lJna anualidad es ordinaria
o vencida si el pago de la renta se hace al f inal del periodo de pago. Es anticipada, si el
pago se efectúa al principio del periodo de pago.
Anualidades inmediatas Éstas son aquellas cuyo primer pago se efectúa al ini-
ciar o terminar el primer periodo.
ANUALIDADES
ó .3
Anualidades diferidas Éstas son aquellas en las que se estipula que el primer
pago debe efectuarse después de transcurrido cierto número de periodos.
De acuerdo con las def inic iones anter iores, es posible, entonces, clasi f icar las
anual idades formando grupos y subgrupos. Para esta obra, se pref iere, por su sim-
pl ic idad, la clasi f icación tradicional formando dos grupos según el t iempo de anua-
l idad y los subgrupos de vencidas y ant ic ipadas, como se muestra en ól s iguiente
esquema.
ANUATIDADES CIERTAS
5 . 4 ANUATIDADES EVENTUATES O CONTINGENTES
Ordinar ias o vencidas
Inmediatas
Diferidas
Perpetuas inmediatas
Perpetuas diferidas
Ordinar ias o vencidas
Inr-ncdiatas
Difcridas
Pe.rpetuns inrncdi¿rtas
[)crpetuars diferid¿rs
Anticipadas
lnmediatas
Diferidas
Perpetuas inmediatas
I'erpetuas difericlas
Ant ic ipadas
Inmediat¿rs
Di fer idas
l)erp6' [u¿1s i lrrncd ia t¿rs
Perpetuas d i fer idas
C¿ld¿ una de las distir lt¿rs forrnas cle arrualid¿rdcs ¡rresent.r v.rri¿rl ltcs en l.r forma
dc calcular sus valores, segúrn el nunrero de p-tag1l5 crr el .rfro y rrúmt,ro de perioclos clc
capittrl iznciorres anu¿rle.s cluc esti¡rult el t ipo dc interós.
Anual idades s imples st ' c le f ine r r cor lo at l r rc l l¿s cuy() ¡ rcr i .c lo dt ' P¡g1¡ c . i l rc ic lc con e l
[ ] t ' r ioc lo dt ' t ' . rP i t . ¡ l i7 . ¡ , i , i r ' r .
VATOR DE tAS ANUATIDADES
El valor de la ¿rrrualid¿rd c¿rlcul¿rdo ¿r su terminacitin cs r' l valor futuro de óst¿r. El v¿rlor ck'
la anualid¿rd calculado .rl cotnienzr) es su vakrr pre.scnte. Estos valores puedt'rr, tarn-
bién, calcularse en fechas intermedias; err tal caso, se refieren a v¿rlor futuro cle l¿r p¿.rrte
vcncida o valor presente dc l.rs anu¿rlid¿rdes por vencer. Así, ¡ror t ' j t 'm¡'rlo, una renta tjt,
$2.000 pagaderos cada final dc ¿rño dtrrante 6 anos, te nclrá v¿rlor futuro F al f in¿rlizar l¡.
6 trños, y tendrá un valor presente P, e n su fe'cha inicial.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
P
2.000
Parte vencida
2.000 2.000
t
I
I
Fecha intermedia Parte por vencer
Transcurridos 2 años se tiene una fecha intermedia que separa la parte vencida
de la anualidad, de la parte por vencet tal como se muestra en la gráfica.
El cálculo de los valores de anualidades puede hacerse a partir de un caso general,
en el que se incluyan las diferentes formas de anualidades. Pero, desde el punto de
vista didáctico, es conveniente guiar el aprendizaje, comenzando por los casos de más
frecuente aplicación para finalizar con un tratamiento general de ellas; de acuerdo con
este método se han desarrollado los siguientes tópicos.
VATOR FUTURO Y VATOR PRESENTE DE LAs ANUATIDADES
SIMPLES CI ERTAS ORDI NARIAS INMEDIATAS
Este tipo de anualidades es el más frecuente y, por esto, cuando se dice simplemente
anualidad, se supone que se trata de una anualidad simplecierta ordinaria inmediata.
La tasa de interés es, por lo general, una tasa de interés nominal anual. En caso de que
la tasa no sea nominal, se indicará como tasa efectiva anual. Si la tasa dada es nominal,
sin especificación de periodo de capitalización, la tasa efectiva en el periodo de pago es
el cociente entre la tasa nominal y el número anual de pagos.
Símbolos uti l izados para las anualidades
A: pago periódicole una anualidad o renta
I : tasa efectiva for periodo de capitalización
7 : tasa nominal anual
m: número de capitalizaciones en el año
/i-; = tasa nominal con m periodos de capitalizaciones en el año
r¡ : número de periodos de pago
F : monto de una anualidad o su valor futuro
P : valor actual o presente de una anualidad
ANUALIDADES
Cálculo del valor futuro Los pagosA efectuados al f inal de cada periodo ganan interés
compuesto, hasta la fecha final. Estableciendo la ecuación de equivalencia para la fecha
final como fecha focal, se tiene, entonces:
periodos
Cada pago efectuado al f inal del periodo capitaliza los intereses en cada uno de los
siguientes periodos. El pnmer pago acumula durante (rr - 1) periodos, el se¡¡.rndo @ _2)
periodos y, así, sucesivamente hasta el último pago que no obtiene intereses, ya que coin-
cide con la fecha de término.
Los valores futuros respectivos de los pagos A comenzando por el últ imo serán:
A, A (1, + i ) , A(7 + í ) ' , . . . . A(7 + i ) , -2 + A(1+ i ) , -1.
El valor futuro total F de la anualidad es igual a la suma de los valores futuros
producidos por las distintas rentas A, o sea:
F : A + A ( 1 + i ) + A ( 1 + i ) ' + . . . + A ( 1 + i ) * z + A ( 1 + ¡ , ' r
Los términos del segundo miembro forman una progresión geométrica de ru tér-
minos, razón (1 + l) y primer término A. Al aplicar la fórmula de la suma dada en la
sección 0.11, se t iene:
F _
alo+ i)" - 1l
( 7 + i ) - 7
- n ( 7 + i ) " - 1
I
En notación estándar F : A(FIA, i%, n)
(Se pide F dados: el pago periódico A,
periodos).
Si el valor de cada pago A es de una unidad monetaria, el valor futuro F corres-
ponde al valor futuro de una anualidad de uno por periodo, el cual se denomina factor
de valor futuro de una anualidad.
Notación algebraica 
0 + i)" - I : factor de valor futuro
I
Notación estándar (FlA, i%, rr) : ¡u.,o. de valor futuro
- a(r" - 1)
r - 7
(zTa)
(27b)
la tasa i% por periodo y el número rr de
A A A A A A A A
MATEMATICAS FINANCIERAS
Los valores del factor (Ff A,i%, n)pueden establecerse con una calculadora común
que tenga una memoria y las funciones logarítmica y exponencial. Con ella el estudian-
te podrá trabajar directamente las operaciones exigidas en los problemas. En Ia prácti-
ca, son numerosos los cálculos financieros que se efectúan uti l izando tablasi por esta
raz6rr, es necesario ejercitarse en su uso; la tabla V -incluida al final de este libro- tiene
los valores del factor de valor futuro de una anualidad, calculados para las tasas y nú-
mero de periodos que se uti l izan en los problemas Presentados en esta obra.
Cálculo del valor presente
El valor presente de una anualidad es aquella cantidad P de dinero con sus intereses
compuestos que, en el t iempo de Ia anualidad, proporcionará un valor futuro equiva-
lente al de la anualidad.
Al formar la ecuación de equivalencia y uti l izar como fecha focal la fecha final, se
tiene:
periodos
A
P ( 1 + i ) , : F
t 1 + i \ ' ¡ - l
P ( l + i ) n - - A ' ' 
'
I
1 1 + i \ t t - ' l
P = A " " ' . 
^ 
( l + i ) n
I
, ' - o 1 ! ! ) - !
i
Notación estándar P : A(P/A, i lo, tr)
(28n)
(28b)
(Se pide P, dados el pago periódicoÁ, la tasai% por periodo y el número n de periodos)
Si el valor de cada pagoA es de una unidad monetaria, el valor presente P corres-
ponderá al valor presente de una anualidad de uno por periodo y se expresa por el
factor de valor Dresente de una anualidad de $1.
ANUALIDADES
Notación algebraica 
7 - (7 + i)-" 
= factor de valor presente
I
Notación estándar (PIA, i%, n) : ¡u.,o. de valor presente
Los valores del factor de valor presente de las anualidades pueden determinarse
mediante calculadora o mediante tablas que tienen tabulados estos valores. La tabla VI
-incluida al final de este libro- tiene los valores del factor de valor presente de anualida-
des para valores de i, de uso frecuente en los problemas planteadoi en esta obra.
[ftffiEfffi, Una persona que viaja fuera de su localidad deja una propiedacl en alquiler
por 5 años, con la condición de que paguen $9.000 por trimestre vencido. Esta cantidad r" .nr-,-
signará en una cuenta de ahorros que paga tl% nominal anual. Hallar el valor futuro en los 5
años y el valor presente del contrato de alquiler.
, _ O ( 1 + i l ' - 1
i
F = A(F / A , i , l , , tü
A - e.000; I = 00u; m = 4; i= !! l = 0,02; ¡ = 4(5) - 2()
4
F - 9.000 lFlA,2"1,,20| en la tabta v, lr¡a, zr",20l= 24,2s736sÍt0
F = 9.00{'t (24,297 36980 ) = $2tti. 67 6,33
P = A(PlA, i%, n) = 9.0N (PlA,2%,20);en la tabla VI , (PlA,2%,20)
= 16,35143334
A = 9.000 (7 6,357 43334) = $1 47. 1 62,9e
[ftffillff| Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de $5.000, pa¡¡adera
semenestralmente durante 7 anos 6 meses al 8,6/,' , capitaltzable semestralmente. Utilizarcalcu-
ladora.
0.086 1
A = 5 . 0 0 0 ; l : 0 , 0 8 6 ; m : 2 ; t = 
2 
= 0 , 0 4 3 ; n = 7 - ( 2 ) = 1 5
(l + 0.043)¡i - I
t = ).U(,t, 
0l)43
Se calcula primero (1,043)'s :7,8804623 (función rr)
1,8804623 - I
t = 5.( l (Xf
0,043
F = $102.379,34
MATE[/ÁTIC¡S FINANCIERAS
Valor presente
l - r l - i ) l - ( l + 0 , 0 4 3 ) ' :
P - A - 
' ' = 5 . 0 0 0
I 0,043
Se c¡rlcula (1,()439) r' : (),5317u41 (funcitin .r ')
^ s('()o L_U#11
A - 5s4.443,71
ffiHfft Número de periodos 
mayores clue el máximo de las tablas'
ff i;ff ier. de peri.cl,r, ", 
*uyu. que cl máxim. disponible en las tablas' l.s val.res se
calculan aplicanclo los mét.d..,s indicadoi en los problemas 13 y 1fl de 
este capítulo' En este
ej t ,mplo, se. les¿rro l lar¿i una soluc iórr de uso f recuente antes de la era 
de las calculadoras
electrírnicas. Fiste e¡enrplo se incluye por su contenido te(lrico, y este método 
de cálculo puede
ser rlt ' uti l iclad para abordar situaciones similarcs'
Hal lar e l v¿rkrr fu tur0 y e l va lor presente c le t tn¿ anu¿r l ic lad c le $100 nrensuales 
pagaderos du-
r.rntc l5 atfus, al 9l nomin.rl convertible mensu'rlmt'trtc'
A - 100; I-0,0e; t t t=\2; l -s¿ -f , ' t t -0,0075; i l - 15(12)= l t t0
r = 1oo( rla,f't,,rn')Est¿inc'lar
Algebraica | - 10t1.
(1+0 ,0075 ) ' n " - l
0,0075
Mec ' l i ¡ r r te l¿ tab l¿ l :
(1 , (X)75) r i l ' : ( l , (X)75)5" ( l , (X)75)1 ' (1 ,0075) í ' ( l ' (X)75) r '
( l,(X)75) | ¡{' -- (1,152s569) (1,452s569) (1,'t52956e) (1,2572777 6) 
- 3'83tJ0'l2ll
Valor presente
/ . \
P = 1rX) [ p t ¡ , ! '1 , . wol
\ ' I t
1 - (l + 0,0075) 
'""
P = 1 0 0
0,0075
Mediante la tab la l l :
(1,0075) rH' :\,0075) 5(', (1,0075) 5') (1,0075) 
-H', (1,0075) r"
( 1 , 0 0 7 s ) r e ' = ( 0 , 6 8 u 2 5 1 6 5 ) ( 0 , 6 8 ¡ l 2 s 1 6 s ) ( 0 , 6 8 1 1 2 5 1 6 5 ) ( 0 ' 7 9 9 1 8 6 9 ) = 0 ' 2 6 0 5 4 9 3
ANUAL IDADES
6 . 7
I - (),26()54e3 , , ,,, U, 73e4505t{
0,(x)75 {}.{}075
P : $9.tt59.34
L)eterminar lr . lnterior nrediante la funcitin x" de la calcul.rdora.
PROBLEMAS RESUELTOS
(Pr imer grupo)
1. Una pcrsona dc¡'rosita $2.000 al f inal de cada año, dur¿rnte 15 años, en una cue-nta
de ahorros que paga el 8% de intcreses. Hallar el valor futuro incluyenclo el últ imo
P48c).
Z. Una persona desea comprar una renta de $20.000 pagadera semestralmente, du-
rante los próximos 10 años. Hallar el costo de la ar-rualidad a la tasa del 6%.
Algebraicer
Estándar
a :20.000; j :
Estándar
Algebraica
A : 2 .000; i :8%, ; ¡ r : 15
/ l + i ) ' r - l
T
F : A(L/A, i%', tI) - 2.001) (FlA,8% , 15)
I : 2.000 \27,t52t l3e3) : $54.3()4,23
. 6 %
6%,; m : 2; i = ; 
= 3%; n = 2(70) = 211
P : A(PIA, i%,, n) : 20.000 (PlA,3%, 20)p = AI- ( t * i ) =2oooo. t 1#)
P : 20.000 (14,87747486): $297.549,50
Tabla V
Tabla VI
3. Una compañía vende neveras con una cuota inicial de $100.000 y 76 cuotas men-
suales de 950.000. Si se carga el 75%, con capitalización mensual, hallar el valor de
contado.
Valor de contado : cuota inicial * valor presente de las mensualidades
Valor de contado : cuota inicial + A(P/4, i%, t)
Cuota in ic ia l = 100.000;A : 50.000; t t = 76; i : 75%; m : 72;
MATEMATICAS FINANCI ERAS
r = o '15 =oprzs=r !%
r24
Valor de contado : 100.000 + 50.000 (P/A,1,25%,16)
Valor de contado : 100.000 + 50.000 (74,42029227) : $821.015
Tabla VI
Una persona debe pagar una anualidad de $6.000 trimestrales durante 10 años. Si no
efectúa los 4 primeros pagos, Zcuánto debe pagar al vencer la quinta cuota, para poner
al día su deuda, si la tasa de la operación es del 70/., con capitalización trimestral?
Se calcula el VF parcial hasta el quinto pago
O I
r l
I
Y
6.000 6.(XX) 6.0(X) 6.000 6.000 6.000
F' : Valor futuro parcial;
70,/,,
A : 6 . 0 0 0 ; j : 1 0 % ; m - - 4 ; i : 
; 
: 2 , 5 % , : 0 , 0 2 5 ; t t = 5
F' : A(FIA, i%,,r) : o.ooo (r¡a, z,sn, s)
F', : 6.000 (s,256328s2) :937.s37,97
5. Resolver el problema 1, mediante la función y'en la calculadora.
- ^ ( 7 + i ) " - 7, = o 
i
A : 2 . 0 0 0 ; l : 0 , 0 8 ; t t : 7 5
(1 + 0,08)ts :3,1727697
3,7727697 - 7 : 2,7721,691,
2,7721691- 0,08 : 27,75277375
27,75271.375 (2.000) : $54.304,23
6. Resolver el problema 2, mediante la función y' en la calculadora.
1 - ( 1 + i \ "
l ¿ = l f -
í
ANUALIDADES
A= 20.000; i =0,06; m=z; i =ry : 0,03; n= 2(10) : 20
(1 +0,03)10 : O,SSZOZSZ5 entra en memoria
1- MR : 0,44632425
0,44632425 -:- 0,03 = 74,877475
1,4,87747s (20.000) : 9297.s49,s0
7. Una persona debe pagar durante 10.años una ¿rnual idad de $5.000 semestrales
pactados al 8% nominal. Al efectuar el noveno pago, dese;r Iiquidar el s¿rlcio cotr
un pago único. iCuánto debe pagar en la fecha del nove-uo pago, para litluid;rr
la deuda?
Al efectu¿rr e'l novenct pago quc-d;rn 20 - 9 - 11 p¿rgos
Pago único : A + P- (A es el valor de cad¿r .rrru¿rlid¿rcl y P' cl r ' ' .r lor actu¿rl dt. los
11 ¡ r¿g115 pendientcs)
. 1 : 5 . 0 ( ) ( ) ; ¡ - - 0 , 0 8 ; t t t : 2 ; ¡ : 
( I ) 8 
= 1 ¡ . P a
L
Pirgo úniccr :5 .000 + 5.000 (PlA,4%, l1) : 5 . ¡ t l ¡ + 5.000 (8,76t)17671)
Pago único : $48.802,38
Al cumpl i r 10 años su h i jo , e l padre decide consignar semc'st ra lmente $2.000, en
una cuenta de ahorros, que paga e l 9% nominal . S i hace estas consign. lc lones
durante 5 ¿rños consecutivc'ls, calcular la cantidad que tendrá en su cuenta el
h i jo , a l cumpl i r 21 años.
F
+
I
I
I
I
2 l año : de ed . r J
23 scnre*tre '
I
I
15
I l
MATEMATICAS FINANCI ERAS
Primero se calcula el valor futuro F' de las consignaciones, durante 5 años.
Estándar F : A(F/A, i%, n)
A l g e b r a i c a P = o . ( 1 
+ t ) " - 7
A : z.ooo;', = no,, nt : 2; i =ry = 4,s%,; n = "rl
2
F', : 2.000 (FIA, 4,5%,11) : 2.000 (13,84777879)
F' : 27.682,36
Cuando el hijo cumpla 15 años, hecho el últ imo pago, el
suma que ¡;ana interés compuesto durante 12 periodos,
valor es de$.27.682,36,
hasta que cumpla 21
¿rños cle cd¿rd.
Algebratica ¡: : P(1 + i) ,,
Est¿indar F : P(F/P, i%, n)
P : $27.682,36; i :0 ,045; t r : 2( :6) :
F : 927.682,36(7 + 0,04s)' '
F : $27.682,36 (1,69s88143) : 946.946
t 2
9 . Demostrar que:
(1 + r) (l:/4, i, tr)
( 1 + i ) (F IA , i , t t )
(1 + i) (t:/A, i, tt)
(1 + i) (FlA, i, tt)
Demostrar que:
(PlA, i,/,,, l t +
( 1 + i ) " * 1 - ¡ t + t , ¡
I
, a , - . ¡ r r + l 1 ,
\ r f r ) - 1 I
i 
- ¡
t
( F I A , i , n + 1 ) - 1
10.
k) : (P /A, i ,h ) + (1
: 1 1 t * t ) l ' 
*
I
+ i) h (P/A, i%, k)
(P/A, i '/",lt + k)
ANUALIDADES
( P / A , i % , t r + k ) :
(P/A, i%, h + k) :
(P/A, i%, h + k) =
7 - ( 7 + i ) - h
1
7 - (1 + i ) -h + (7 + i ) -h - ( t + i ) -h-k
i
f t+ ¡ fh f t -O+¡ fk l
I
+ i)r (P/A, k, i)
ó . 8
(P/4, i, h) + (1
PROBTEMAS PROPUESTOS
11. Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas
ordinarias.
(n) $2.000 semestra les durante 8 j años a l8%, capi ta l izable semestra lmente. .
(b) $4.000 anuales durante 6 años a\7,3%, capitalizable anualmente
(c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual.
12. Una persona deposita $5.000 cada final de año en una cuenta de ahorros que abona
el 8% de intereses. Hallar la suma que tendrá en su cuenta al cabo de 10 años, al
efectuar el últ imo depósito.
13. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condicio-
nes: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6
meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la últ ima mensuali-
dad. Para el cálculo, uti l izar el9% con capitalización mensual.
14. Calcular el valor de contado de un equipo industrial comprado así: 96.000 de con-
tado y 12 pagos trimestrales de $2.000 con 72%de interés, capitalizable trimestral-
mente.
15. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000
de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de
$2.500, si se carga el 72% con capitalización mensual?
16. Una mina en explotación tiene una producción anual de $8.000.000 y se estima que
se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento
del d inero es del8%.
17. En el problema 16 se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por
valor de $1.500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las uti l idades, si éstas
representan el25% de la producción.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
18. Una Persona recibe 
tres ofertas para la compra de su 
propiedad'
(a) $+oo.ooo de contado' - - . r - - r^- A, , , " - re 2 l ar-
(b) $1e0.000 d" ';;;i;á' v $?9 999 
semestrales durante 2] años'
k) $210.000 d" t;;i;át í Szo'ooo 
trimestrales duranter 3 años'
iQué oferta es más conveniente' 
si el interés es rlel 72%' nominal 
anual?
l g . E n e l m o m e n t o d e n a c c r s u h i ¡ a , u n S ( ' n o r c l e p c l s i t ó $ 1 . 5 ( ) { . ) c n u n d t . u e n t a q u t ' a b o n a
el8%;<licha canti-iuJiu tt""igttu 
tua.u-l*pleaños' Al cumplir 12 
años' aumentó
sus consigna.,"""l "l iontt. 
Cálcular l";;: ;;; tenclrá a clisp.sición 
de ella a los
18 años.
2 0 . D e m o s t r a r q u e ( L I A , i ' h + t ; : 
( F I A ' i ' h ) + ( 1 + i ) t ' ( F I A ' ¡ ' k )
2 l . U n a p e r s o n a d e p o s i t a $ 1 t ] 0 a l f i n a l c l e c a d a m e s e n u n a c u e n t a q u e a b t l n a e | 6 % , d e
interés, .upituriráui.:^J.,r,rol,tr"^t". 
coi.,rru. ru salcio en la cuenta' al 
cab. de 20 años'
2 2 . L C u á | e s e l v a l < l r p r c s e n t e d e u ¡ ¿ r ' ¡ e n t a d e $ 5 0 0 m e n s u a - l e s , c i f r t r q u t l s c r e , c i b i r á
<lurante 15 anos? éoi.utu, ct¡n 
el 6of ,."pr,"rtmur" mc'nsualmente' 
Hace r t ' l c¿ilculo:
(n) con la tabla ti, ó m.,.l iantc la fórmJla 
clcs¿rrrollacla cn el problcma 20'
23. Demostrar que (PIA, i , l r+k; 
: (PIA, i , t I ) + (PIA, ' , k) (1 + i ) 
,
24. Demostrar que:
/ D / ^ . . , \ -
( n ) ( I + ' ) \ t ' / h ' I ' t t t 
-
/ i | . \ t l l A ; " \ -
( h ) ( I + ' ) \ t / / t ' t ' t t t 
-
25. Demostrar que Para lr
26. Demostrar que Para h
27. Demostrar que Paralr
28. Demostrar que:
(PIA, i , r r - 1) + 1
( F l A , i , r r + 1 ) - 1
> k ; ( F l A , i , h - k )
> k; (FlA, i, h -k)
> k; (PlA, i ,h -k)
: (FlA, i, h) - (1 + i)h (PlA' i, k)
= (1 + i ) k ( t : lA, i , l t ) - (PIA' i ' l t )
= (PlA, i, lr) - (1 + i) 
h (I:lA' i' k)
1
F¡a¡,*,4
ANUALIDADES
6.9 CALCUTO DE tA RENTA EN UNA ANUATIDAD SIIAPTE CIERTA ORDINARIA
Es frecuente Ia necesidad de conocer el importe de pagos periódicos, para lograr deter-
minado resultado; así, por ejemplo: ZCuál es el pago mensual que debe hacerse para
cancelarel valor de una propiedad, en cierto número de años? ZQué cantidad de dine-
ro habrá que colocar periódicamente, en un fondo de amortización, para canceiar una
obligación a largo plazo? ZCon qué cuotas periódicas puede cancelarse una mercancía,
conocido su valor de contado y la tasa de interés?
En esta parte se pueden plantear dos problemas, según se conozca el valor futu-
ro por cancelar en fecha futura o el valor presente por cancelar, mediante pagos pe-
r iódicos.
(n) Cálculo de la renta cuando se conoce el valor futuro:
De la fórmula 26n
se obtiene
/ ' l t i \ n - 1
r r \ 
t ' t t
F = ^ -
i
^ r i/ 1 = r .
( 1 + i ) " - 1 (29a)
(2eb)En notaciór-r estándar A : F (A/F , i%, tr)
El factor A-i- 
-6lr ' i%' '1) recibe el nombre d'e t 'actor clel t 'ondo cle amortización,
que corresponde al valor de la renta de una anualidad cuyo valor futuro ascenderá a
una unidad monetaria, después de rr pagos, a la tasa I por periodo de pago. El valor de
este factot para las tasas que con frecuencia se utilizan en esta obra, se encuentra en la
tabla VII para valores de n desde t hasta 50.
(b) Cálculo de la renta, cuando se conoce el valor presente:
De la fórmula 284
se obtiene
En notación estándar ¡ = p (/lP, i/o, n)
(30a)
(30b)
EI factor =(A/P,i%,n)¡¿¡76¿ el nombre de t'actor de amortización, que
corresponde al valoi de la renta de una anualidad que amortiza una deuda de una
MATEI\¡ATICAS FINANCIERAS
unidad monetaria, en rl pagos, a la tasa i por periodo de pago. En esta obra, no se ha
inc lu ido la tabla para los valores del factor de amort izac ión; e l lector debe calcular los
valores de (AlP, i% , n) uttl\zando la tabla VII que presenta los valores de (A/F, i/r,, rt) y
mediante la sigr"riente relación:
A partir de la fórmula,
t F l A . i " l , , , - ( l + i ) 
- 1
I
se obt iene (AlF , i , / , , r r) = ; ,1,- ,
\ r Í ¡ / 
- r
De l¿r f(rrmuia,
t P f , \ . i ' / , , t t t - 
I - r l + i ' )
I
se t rbt iene (AlP , i " l , n) = ¡ - | , : ¡ -
I - ( r T ¡ /
AI sum¿rr i al v¿rlor de' (A/Ir , i% , n), se obt iene:
¡ A l I : , r " / , , r r ) + i = ; ] ; . + i =' ( 1 + ¡ ) " - I
( A l 1 , { ; , , r ) + i = - - I . . , , , d * d o l r c l e
l - ( l + 1 . )
(Al P, i%, t t ) = (al r , í / ' , n) + i
Los valores del factor de amortiza c\ón (AlP, io/o, rt), se obtienen al sumar i al valor
correspondiente del factor de fondo de amortización (A F, i ' /,,, tt) '
i i el lector desea tener una tabla con valores del factor de amortización para facr-
l itar su trabajo, puede obtenerla uti l izando la fórmula 31 en su computador.
[ftf iEEEE Calcular krs deptisitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros 
quc
paga el U% con capitalizaciírn semestral, para obtener en 5 años un capital de $20.1)00'
A = F(AlF , i%, n)
F = 20.000; l = 8%;nt = Z; i =Y = 4%,; t t= 2(5) = 10
A= 20.0a0(AlF ,4%,10) = 20.000(0,08329094)
A = 57.665,82
i + i ( 1 + i ) " - i
(1+ i ) " - 1
( . 3 1 ,
Tabla VII
EEüEIEEE Calcular los pagos por semestre 
vencido, necesarios para caucelar el valor de
SJó6Í'O'--O ¿" ,r^. propiedad .o*ptuiu a 8 años de plazo con un interés 
del 9% capitalizable
semestralmente.
ANUAL IDADES
A : P ( N P , i % , n )
qq^
P = 100.000; i = 9%; m 
-- 2; i = 
; 
= 4,5'l ; tt = 8(Z) = 16
A - 100.000( NP,4,s%,16) : 100 0001{.1^/F, 4's%" 16) + 0'0451
(A/F, 4,5%,, 16) : 0,04401537
(,4/P, 4,5"1,,16) : g,¡449t537 + 0,045 : 0,08901537
,'1 : 100.000(0,08901537)
I'agos semestrales : $8.901,54
Tabla VII
ó. IO CÁtCUtO DEt TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD
Si en las fórmulas 27 o 28 se conoce el valor futuro F o el valor Presente 
P, la tasa y la
anualiclacl A, puccle calcularse el valor de r¿, o sea, el número de pagos'
M e < l i a n t e l o q ¿ r r i t m o s , l a s f ó r m u l a s 2 T n y Z S n p u e d e n r e s o l v e r s e p a r a ' ¡ ; a s i , P o r
t ' i e m P l . : 
r l + i ) , , - l
Fórmul¿'r 27r¡: Í = A: ---
t
i f : : A ( 1 + i ) ' - A
A ( 1 + t ) ' , : i F + A
loy' + rr lo¡;(1 + i ) : log (F + A)
rr log(1 + i ) : log ( iF + A)- logA
, , _ 
log ( iF + A) - logÁ
- 
k r g ( 1 + i )
En la práctica, el cálculo cle r¡ se efectúa uti l izando ecuaciones de equivalencia,
interpolanio entre dos valores cle las tablas, o mediante un Programa de computación'
ff itrf[| iCu¿int.s pa¡¡.s semest¡ales de $6()0 
deberán hacerse para cancelar una deuda
¿" S4 5m, al7'/,, de interés capitaliznble semestralmente?
$,1.5(X) es e l vaktr actual de la ieuda; para e l cá lcul t r del número de pagos, se apl ica:
P = A ( P l A . i t 4 , n )
P = 4.5001 A = 600: j = 1c/r : nt = 2" i =
J L/c
2
MATEMÁTICAS FINANCIEBAS
4.500 = 6o0el A '3t /2vo ' n)
, Pt A. r%.,, = tloJ = t t
En la tabla Vl, columna del 31/z%,no existe para 
tt entero el valor 7'5' ya que éste se encuentra
comprendido entre:
(PIA,3Yz/" '8) :6 '8739555ayQ|A'3 ' / 'z ' / " '9) :7 '60768657
si se necesita calcular un valor decimal aproximado 
del número de periodos, puede procederse'
por interPolaciírn, así:
a 9
a ¡ l
cnrresponde 7,6076t1651
corresponde 6,87395554
'0,73373097 como
a r¡ corresPonde 7,50000000
a il corresPonde 6,87395554
0,62604446
1 r l - ó
0.73373097 0,62604446
,, - ,q , 
{} '62n()4446 {t,t5.l
o 733730q7
rl -- l l ,f l53 periodtts seme:tr¡lt ' :
En las activiclades financieras se acostumbran 
soiuciones practicas' optando ptrr
.,rulqr't i".u cle las dos alternativas expresadas 
a continuaciÓn:
(n) Aumentu, 
"f 
pugo tott" 'f""ai""te al últ imo periodo entero' 
(Para este caso' el 8)
(b) Util izar el entero ,"ptrloi "f"ctuanclo "' ' t 
pugt) menor en el últ imo periodo' (En 
el
eje.mplo clado, se irJu"i". i" con 
g periodos, e"fectuantlo un pago menor al 
f inal del
noveno Periodo)'
Estas soluciones no enteras clan origen alasmunlitTnrlcs 
irrytropins ottnrinblas, aque'
l las cuyos pagos o anualidades no son lguales'
S i e n e l e j e m p l o t r a b a j a c l o , s e t o m a . l a a l t e r n a t i v a b , s e t e n d r á q u e e f e c t u a r u r '
últ imo pago menor q"" r., J",". ior", y 
suficiente para cancelar exactamente el saldo 
c
remanente clespués a" "i"ttuu' 
los 8 primero'pugt"' fl11:1t:.9"r 
el valor del últim¡
pago, se plante'a ,ttu "*utiOn 
d" 
"qüivalencia' 
Ai e'coger la fecha inicial como fecha
focal, se tiene entonces Para 
7 o/^
f : 4 . 5 0 0 ; A : 6 0 0 ; j : 0 ' 0 7 ; n t : 2 ; i - - 2 ' 
- - 3 ' 5 ; t t : v '
4.500 : 600(p/A,3%%, B) + X(1 + 0,035fe
4.500 : 600(6,82395554) + X(0,2j373097)
4.500 : 4.124,27 + 0]ii7i097x
4.500 - 4.1U.37x= 
or*ffi=$51'7,94
La anualidad, en este- caso impropia, está formada por g pagos semestrales de
$600 du y un último pago de $51.1.,94a1linal del noveno se*estre.
Para el cálculo del último Pago, es posible aprovechar la interpolación anterior y
se tendría:
WGoo) 's ' t1 ,940.73373097',
Para demostrar que las dos formas de cálculo son iguales, basta observar que
0,62604446 = 25000000 - 6,B7Z9SSS4y que:
¿^n0,62604446 7,5000000 _ 6,97395554 ..^n, 4500_ 4724,37ouu 
o,7v373ow=@(6oo) = ffi=$517,94
ANUALIDADES
600
(P/A, 3Yz%, 9) - (P/A, 3%%, 8) = (1 + ife
1, - (1+ i ) -e _1 , - (1 ,+ i ) -8 _ ( I + i ) - 8 - ( 7 + i ) - e
I
- ¿ f , : r - 9- \ r T a . /
9 semestres
Obsérvese también que
Demostración
4.500
( p l A . 3 y 2 . s ) - ( p / A . 3 % . 8 ) - 
( l + 1 ) - e [ l + t ) - l ]
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Para una demostración general en la cual la interpolación obtenida multiplicada
por l_a renta es igual al valor encontrado por medio de ecuaciones de equiválencia,
estúdiese el problema 58.
A De acuerdo con lo anterio¡, es posible enunciar: cuando el valor (plA, ivo, n) =
p , se resuelve por interpolación, la parte decimal de z es la parte de la renta á que
debe pagarse al final del periodo, que corresponde al entero superior, para cubrir
totalmente la deuda.
Otra forma de cálculo, más dispendiosa en tiempo que las anteriores, es la si-
guiente: dado que n está entre8 y 9 periodos y se opta por efectuar un pago menor al
final del periodo 9, se tiene:
l r
Valor futuro de la deuda =
Luego, se calcula
Exceso pagado
Menos exceso
Valor por pagar
en el periodo 9
F :4.500 (1,035)e Para última cuota
F :4.500 (1.,36289735) : 6.'1.33,04
F : A(F/A,3.5%,9) para,4 : 600
É' :600 (1.0,3684958) : 6.221.,1.0
= 6.221,10 - 6.733,04: 88,06
: 600,00
: 88,06
:9517,94
I
I
I
ó.1T CÁtCUtO DE LA TASA DE INTERÉS DE UNA
ANUALIDAD SIMPIE CIERTA ORDINARIA
La tasa I de una anualidad puede ser incógnita, cuando se conocen los demás elemen-
tos de una anualidad; por lo general, los valores de i, correctos desde un punto de vista
matemático, resultan ficticios en la práctica. Así, por ejemplo, si e,l cálculo da para i el
valor de 7 ,32563% , desde el punto de vista matemático, eJ correcto, pero no sé utiliza
en la práctica y se tomará como tasa aproximada elvalor de T ft%.
Se acostumbra calcular la tasa aproximada de interés mediante interpolación, con
esto se obtienen valores suficientemente aproximados para cualquier propósito. Este
méúodo puede ilustrarse con el siguiente ejemplo:
ffiIEEEEf una compañía de seguros ofrece, por un pago inmediato de 990.000, una
renta anual de $5.000 pagadera durante 30 años, al compradoi oa sus herederos. iQué.tasa de
interés abona esta compañía?
A partir de la fórmula 28b: A(PlA,i%o,n)= p
(P lA , iVo , " )= :
P = 90.000; A : 5.000; n = B0
( P l A , i L o , 3 g ¡ = A ! Q = 1 g
5.000
Para encontrar los valores de (P/A, i%,30) entre los cuales se halle comprendido el valor
18,000000, se busca en la tabla VI, en la línea correspondiente a n : 3l0. Estoi valores son:
Para (P/A, 4%, 30) = 17,29203330; i : 0,04
Para (P/A, 3%%, 30) : 18,39204541; i = 0,035
obsérvese que al aumentar l, disminuyen los valores del factor (p/A, i%, n).
Para el valor dado (P/A, i%,30) = 16 se calcula i por interpolación.
a 0,035 corresponde L8,39204541
a 0,040 corresponde 17,29203J30
ANUALIDADES
a i corresponde 18,00000000
a 0,040 corresponde 17,29203330
se üene:
AG/A ' i%,n) = F
1r¡a,in,n¡=f,
- 0,005 es a 1,10001211 como t -0,040 es a
-0,005 _ t-0,040
1,100012t1. 0,70796670
0,70796670
i - 0,040 =
(-0,005) (0,70796670)
1,10Wt211
i :0 ,036782
= -0,003218
Tasa = 3,6782 (tasa calculada)
Tasa = 3%% (tasa práctica o real)
Se puede utilizar un Programa de computación de tal manera que conocido s p, A y ,4, se com-
pute el valor de i.
IEdllEEl una persona ha depositado, al final de cada mes, 91.000 en una cuenta de
ahorros; al cabo de 5 años, tiene en su cuenta la suma de$70.542. ZQué tasa nominal promedio
ha ganado?
A partir de la fórmula 27b,
se tiene:
F : 70.542;4 = 1.000; m = 12; n = 5(12) : ó0 periodos
MATEMATICAS FINANCIERAS
Para encontrar los valores de (F/A, i% , 60), entre los cuales se halle comprendido el valor:
(F I A. iE".6o) = alg = 7 0,542
se busca en la tabla V en la línea correspondiente a n = 60.
Estos valores son:
Para i = o,oos ; (/2%\ ; (r I a, /r%, 60) = 0e,77 srrrrt
para I = 0,00583; (%r%), (rl e,z/rr%,60) =z1,5e2noruu
Para el valor (F/A, i%,60) = 70,542, se calcula i mediante interpolación.
0,00583 corresponde 71,59290t65
0,00500 corresponde 69,77003051.
I corresponde 70,54200000
0,005 corresponde 69,77003051.
0,00083 es a 1.,82287114 como t - 0,005 es a 0,77196949
0,00083 _ i-0,005
1.,822871L4 0,77196949
0,00083 (0,771.96949)
' 
1,82287114
i-0,005=0,00035
i = 0,00535 (mensual)
Thsa = 0,00535(12) = 6,42% (calculada)
Tasa : 6tn% nominal anual (práctica)
6.12 PROBLEMAS RESUETTOS
(Segundo grupo)
29. IJn comerciante vende herramientas en $65.000, precio de contado. Para promo-
ver sus ventas, idea el siguiente plan a plazos, con cargo delt% mensual de intere-
ses. Cuota inicial de $12.000 y el saldo en 18 abonos mensuales. ZCuál es el valor de
las mensualidades?
A = P(4P, iIo, n)
P : 65.000- 12.000 = 53.000; n : 18; i : t%
(A/ P, lVo, 18) = (4 F, lVo, 18) + lVo
(NP, 1%,18) = 9,959t8205 + 0,01 = 0,06098205
ANUALTDADE9 @
Tabla VII
53.000 (0,06098205) = 3.232
Valor cuota mensual = üZ.Z3Z
30. Para mantener en buen estado cierto puente, es necesario repararlo cada 6 años
con un costo de $850.000. El concejo del m,unicipio decide estáblecer una resetva
anual a fin de Proveer los fondos necesarios ccjn miras a sus reparaciones futuras.
Si esta reserva se deposita en una cuenta que abona el 8% de intereses, hallar el
valor de la reserva anual.
A = F(A/F, i%,n)
F = 8 5 0 . 0 0 0 i i = 8 % , n : 6
F = 850.000 (A/F,8%,6)
A = 850.000(0,13631539) lhbla VII
A : $115.868,10
31. una obligación debe cancelarse en 4 años, con pagos semestrales de 910.000. El
deudor conviene con su acreedor cancelar la deudien 6 años, con abonos semes-
trales. Hallar el valor de los nuevos pagos, si la tasa pactada es del 10% convertible
semestralmente.
Se designa con X los nuevos pagós y se establece la ecuación de eqqivalencia, utili-
zando como fecha focal la fecha inicial.
semestres
1,0.000(P/A, 5%, 8) : X(P/A, 5%, 12)
10.000(6,46321,27 6) : X (8,86325L64)
X:7.292|1.5
10.000 10.000
¡![ MArEMÁlcAsFTNANoERAS
32. Un empleado puede ahorrar $800 mensuales e invertirlos en una compañía finan-
ciera que abona el 9%, convertible mensualmente. iEn cuánto tiempo juntará
$55.000? Calcular el tiempo y el depósito final.
: A(F/A,i,n)
F : 55.000; A: 800; j :9%; m :
55.000 :800(F/A,%%,n)
(FlA,%%,r)=+P =68,7s
800
En la tabla V en la columna de i : 0,0075; (%%)
Se halla que:
a 56 corresponde 69,2771.0035
a 55 corresponde 67,76883409
q ?
12 ; i = ;%= ;%
(F / A, 3A%' 55) = 57,7 5983409 y (F / A, %%, 56) : 69,2rrrOOtU
O sea, el empleado debe hacer 55 depósitos de $800 y un último depósito X al final
del mes 56. Para determinar el valor de & se plantea una ecuación de equivalencia
escogiendo como fecha focal el final del mes 56.
55.000 : 800(F/A,%%,55)(1+ 0,0075) + X
En el problema 9 se demostró que (FIA, i%, n)(1, + l) : (FIA, i, n + 1) - 1
X : 55.000 - 800Í(F/A,%%, 56) - 1l
X: 55.000 -800(68,27710035) = 55.000 -54.62'l',68
X = $379,32
Si este mismo problema se resuelve por interpolación, se tiene:
an corresponde 68,75000000
a 55 corresponde 67,76883409
e s a 1,,50826626 como n-55 es a 0,9811,6591
ANUALIDADES
7 _ n - 5 5
1,50826626 0,98176597
0_98116591
n _ 55 = -:_- =tJ.650526
1.,s0826626
n : 55,65053
En 56 periodos, se tiene F = 800(69,2771.0035) : 55.427,68
' ,- , . .Ultimo depósito = 800,00
Menos exceso = 427,48
último pago $378,32 al final del periodo 56
La interpretación de la parte decimal 0,65053, o fracción de periodo, es distinta de
la interpretación dada en el ejemplo 6.6 para (P/A, i%, n) : p¡¡' en efecto, si en la
proporción:
1 n - 5 5
se remplaza
v
Pero/
de donde,
como
luego
o sea/
1,50826626
7,50826626 =
0,981,76591 :
n - 55 = 0,65053 =
0,98776597
(F/A, i%, s6) - $/A, i%, ss)
(F/A, i%, n) - (F/A, i%,55)
(FlA, ivo, n) - (FlA, iEo,55)
(FlA, i%,s6) - (FlA, i%,ss)
(FlA, i%,r \=I
' .1L
(F I A, i%, %) = (F I A, i%, 5s)(1,+ i) + 1
(F I A, i%, s6) - (F I A, i%, ss) = (F I A, i%, SS)(t + i) + 1, - (F I A, i%, ss)
* (F la, i%, ss)
(Véase problema 9)
* - ( F l A , i % , s s )
( F l A , i % , 5 5 ) ( 1 + i ) + 1 - ( F l A , i % , 5 s ) i ( F / A , i % , 5 s ) + I
i (F lA , i%,5s)a1= ¡Q '+ 
i )ss - t 
+ 1 = (1+ i )s5
o,6sosg - + 
- (F I A, i7', 55)
(1 + i)5s
0,6s053(AX1+ i)ss= F - AIF¡1, i%,ss)
0,65053 =
F - A ( F l A , i % , 5 5 ) .
Aí;t'¡--
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Para A=800; ¡ =zfvo=0,0075:0,65053(800) =520,42
520,42(r+ 0,0075)55 = r - l(Fl A, /0u", ss)
F - A(F/A, i%,55)es el saldo al final de 55 periodos y es igual a 0,65053(A)(1 + i)[s,
valor al final de 55 periodos de 0,65053(A) que debieron pagarse en la fecha inicial
de la anualidad; para el caso en estudio, el pago inicial sería de $520,42. Como lo
usual no es pagar al principio sino al final de la anualidad, tendría que pagarse al
final del periodo 55, $800 + 520,42(1.,0075)ss = $800 + fi784,93 : $1.584,93. Si se
prefiere pagar en 56 periodos, se tiene: el total de $55.000se traslada del periodo 55
al periodo 56 obteniéndose al final del periodo 56, $55.000(1,0075) : fi55.412,50,1o
que da un excedente de $412,50 que debe reintegrarse. Los 520,42 que debieron
pagarse en el primer periodo se trasladan al final del periodo 56, obteniéndose
520,42('l',007 5)s6 : $790,82.
$790,82
Menos reintegro - 412,50
Ultimo pago 9378,32 al final del periodo 56
Para una demostración general, estúdiese el problema 59. De lo anterioq es posible
enunciar:
Si el valor (EIA,i%,n\ = Fl¡ se resuelve por interpolación lineal,la parte decimal
de r¡ es la parte de la renta A que debe pagarse en la fecha inicial, para cubrir el
valor total de la anualidad en un número de periodos igual al entero que resulta
al despreciar la parte decimal de z.
33. Cierta máquina se puede comprar $4.590 al contado o $450 de cuota inicial y 18
cuotas mensuales de $280 du; calcular: (a) la tasa nominal de interés cargado, (b) la
tasa efectiva de interés cargado.
(a) (Pf A, iVo, n) =
P = 4.590 - 450 = 4.'1.40; n --18; m : 12; A: 280
(PfA, ivo,lg = +# 
= 14,785714
En la tabla VI, se halla que para t? : 18, (P/A,z% ,1'8) : 1'4,99203125 y (P/A,2,5% ,'l'8)
: 'J.4,35336363, o sea que i está comprendido entre 2% y 2/z%, y la tasa nominal se
encuentra entre 24% y 30%. Para afinar el resultado, se procede mediante
interpolación.
P
A
a 0,020 corresponde
a 0,025 corresponde
- 0,005 e s a
't4,99203125
1,4,35336363
a i
a0,025
ANUALIDADES
corresponde 4,7857'1.400
corresponde 4,35336363
0,432350370,63866762 como I =0,025 e s a
-0,005 i -0,025
0,63866762
i - 0,425
0,43235037
- 0,005 (0,43235037 )
0,6386676
i = 0,021.6'J.53
= -0.0033847
Tasa anual, convertible mensualmente : 0,0216153(12X100) : 25,93836%
Thsa práctica = 26% convertible mensualmente
(b) Al designar por i la tasa efectiva, se tiene para j = 0,26; m = 12; entonces se aplica la
fórmula 20:
. ( - 0,26\12l = 1 1 + - - - l - 1
\ 1 2 )
i : 2 9 , 3 3 %
Comprobación para n : 18; A = 280; i = 0,021.6153
p = 280(plA, ivo,18) = 280 L 
(l 
l] 'z16153l)-r8
"v/ 0.02161531
p : $4.138,76 (error defi1.,Vl por defecto)
34. Resolver el problem a 32, utilizando calculadora.
F = A(F I A, i% , n) = Ag:\-J
(1+ l ) ' = * * t
F =55.000; A = 800; j = 9%; m = 12; i = 0,75%
(1,,007 5)" = !5'900CI494) * 1
('1.,0075)n =1,5156?5
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
n ln(7,0075) = ln(1.,575625)
In(L575625)tt=ioooTi=55'6514
O sea, que debe hacer 55 depósitos de $800, para calcular el último pago; alfinal del
mes 56, se tiene:
s5.ooo = 8oo ( elt,lq",ss) (r,oozs) + ,
\ ' 4 . )
55.000 : 54.627,68504 + x
x: $378,31último pago
35. Resolver el problema 33, utilizando calculadora.
En este caso, se procede mediante aproximaciones sucesivas; se han anotado las
distintas aproximaciones, a pesar de que usualmente no se acostumbra.
P = A(PIA, i%,n)= o7- 
(1+ i )
(plA,i%, ")= +
p =t.sso- 450 = 4.t40; n ='J.8; m = 72; A = zg0
(Pl A ' i%' n)=r 
- (1+ i ) " - P^
/ iA
r - ( 7+ i ) ' 8 _ 4 .740 _ 1 A no t r1
¡ ' = 2g0 
=14 ,785714
Los primeros valores son, por tanteo:
Para: 1 - /1 ñ ) \ -18
i =0,02; +=14,9920310,02
1 - 11,03f'8t = 0,03; ---* =1,3,753713
0,03
j _ n ̂ .,tr. 1.- (7,0251"t -v,u.Lr, =74,353363
0,025
.. _^ ^1r . 1.- (7,02'l, l ,rt = u,uzL; ='J,4,861050
0,021
ANUALIOADES
i =0,0215;
i = 0,021.6;
1, - (1,,021il-18
0,021.5
1, - (1,0216)-18
=74,796179
=\4,783254
(b)
36.
i: 0,021,6 es una aproxiinación aceptable para este problema.
Thsa nominal anual convertible mensualmente = 0,0216(100X12) :2s,92%
'Tasa práctica = 26% convertible mensualmente.
La misma respuesta del problema 33.
A quien interese, la formación profesional Ie exige estudiar y practicar la teoría y mé-
todos de las matemáticas financieras; sólo así podrá resolversituaciones nuevas, crear
sistemas financieros y programarlos. En el problema anterior p = A(p/A, i/o, n), con
los datos P : 4.'1,40; A:280; n = 18 una calculadora financiera computa la variable
i% y proporciona el resultado Z,LSB1.%.
una persona compra una póliza que le asegura una renta de 920.000 cada final de
año, durante los próximos 15 años. Desea cambiar su póliza por otra que le asegure
una renta de $30.000. iDurante cuánto tiempo recibirá la nueva rentá, si la tasá de
interés es delS%?
Se plantea una una ecuación de equivalencia con los valores actuales en la fecha
inicial.
20.000(P/A, 8% , L5¡ :
(PlA,8%, n) =
0,02'1.6
30.000(P/A,8%, n)
20.000 (PlA,8Eo,15)
30.000
(PlA,8Vo,' = @ffi@ = 5,706319
En la tabla VI, columna del 8 /o , sehalla (P/A,8% ,n : 5,N637Wy (p/A,8% ,7) : 5,7466894)
entre estos valores, se interpola:
a 8 corresponde 5,74663894
a 7 corresponde 5,20637006
a n corresponde 5,70631900
a 7 corresponde 5,20637006
0,54026888 como n- 7 0,49994894
MATEMATICAS FINANCIERAS
: 1 . n -7
0,s4026888 0,49994894
0.49994894
n - 7 = = 0.9?53704
0.54026888
n : 7,9253704
Recibiría la renta de $30.000 durante 7 años y un pago final al terminar el octavo
año de 0,9253704(30.000) : 927.761.,1.1. (aéase ejemplo 6.6).
ó.T3 PROBLEMAS PROPUESTOS
37. ZCuánto debe depositarse al final de cada trimestre, en un fondo de inversiones
que abona el10%, convertible trimestralmente, para acumular $50.000 al cabo de 5
años?
38. Una compañía debe redimir una emisión de obligaciones por $3.000.000 dentro de
10 años y, para ello, establece reservas anuales que se depositarán en un fondo que
abona el7%. Hallar el valor de la reserva anual.
39. iQué suma debe depositarse anualmente en un fondo que abona el6%, para pro-
veer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $8.000.000 y el
periodo de vida útil de 6 años, si el valor de salvamento se estima en un 1.5% del
costo?
40. Enrique Pérez compró una casa cuyo valor es de $180.000 al contado. Pagó $50.000
al contado y el saldo en 8 pagos iguales pdr trimestre vencido. Si en la operación se
le carga el10% de interés nominal, hallar el valor de los pagos trimestrales.
41. Una máquina que vale $18.000 de contado se vende a plazos, con una cuota inicial
de $3.000 y el saldo en 1.8 cuotas mensuales, cargando el1,6% de interés converti-
ble mensualmente. Calcular el valor de las cuotas mensuales.
42. Sustituir una serie de pagos de $10.000 al final de cada año, por el equivalente en
pagos mensuales vencidos, con un interés delS% convertible mensualmente.
43. Sustituir una serie de pagos de $10.000 al principio de cada año, por el equivalente
en pagos mensuales vencidos, con un interés del8% convertibles mensualmente.
44. Una persona sustituye un seguro total de $300.000 por una rqnta anual, con la
condición de que se le pague a él o a sus herederos durante 20 años. $i la compañía
de seguros opera con el7% de interés, hallar el valor de la renta anual.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
ANUALIDADES @
El valor presente de una renta de $10.000 por año vencido es $100.000; si la tasa de
interés es del6/o, calcular el tiempo indicando la solución matemática y la solución
práctica.
El valor presente de urra renta de $4.000 por trirhestre vencido es de $60.000. Si la
tasa de interés es del S% convertible trimestraknente, hallar el tiempo indicando la
solución matemática y la solución práctica.
El valor futr¡ro de una renta de $10.000 por año vencido es de $100.000. Si la tasa
de interés es del6%, calcular el tiempo indicando la solución matemática y la solu-
ción práctica.
El valor futuro de una renta de $4.000 por trimestre vencido es de $60.000. Si la
tasa de interés es del S% convertible trimestralmente, calcular el tiempo indican-
do, la solución matemática y la solución práctica.
Para una deuda de $20.000, con intereses del1,0% capitalizables semestralmente,
se conviene cancelarla con pagos semestrales de $4.000; encontrar el número de
pagos y el valor del pago final.
Una persona compra maquinaria iror valor de $60.000 y acuerda pagar $1F.000
'como cuota inicial y el saldo en cóntados de $12.000 trimestrales, con el 
'j.2% 
con-
vertible trimestralmente. Hallar el número de pagos y el valor del pago final.
Unempleado puede ahorrar $350 mensuales. Si los consigna en una cuenta de
ahorros que paga el8% , convertiblg mensualmente, ien cuánto tiempo y con qué
pago final logrará ahorrar $30.000?
iQué intereses deben producir unas imposiciones de $300 mensuales, para que se
conviertan en $4.500 en un año?
Un televisor cuyo valor de contadó es de $480.000 puede adquirirse con un pago
inicial de $80.000ry 12 pagas contados mensuales de $40.000 cada uno. Hallar la
tasa convertible mensualmente que se carga.
ZQUé tasa nominal convertible trimestrdlmente debe establecerqe para que Vl dep6-
sitos de $500 trimestrales den un valoi futuro de $16.000, al efectuar el último pago?
Una persoha necesita reunir $100.000 en 8 años y con este propósito realiza depó-
sitos iguales cada fin de año en un banco que abona eL6% de intereses. Tianscurri-
dos 4 años, el banco eleva la tasa al 8%. Hallar el valor de los depósitos anuales,
antes y después de que el banco elevara la tasa de interés.
Una persona deposita hoy $10.000 en una cuenta de ahorros que abona e!8% de inte-
rés. fianscurridos 3 años decide hacer nuevos depósitos cada final de año, de modo
37,
52.
53.
sa.
J J .
56.
MATEMATICAS FINANCIERAS
que transcurridos 5 años, tenga $60.000 al efectuar el último depósito. Hallar el
valor de los depósitos anuales.
Los dueños de una mina de carbón desean vender acciones, pagando el 1,z% de
dividendos anuales. Se estima que la mina producirá $400.00b de utilidad anual
durante los próximos 10 años, después de los cuales estará agotada. Para cubrir el
valor de las acciones deben acumular reservas anuales de un fondo de amortiza-
ción que abona el 8% de interés. Hallar el valor máximo de las acciones que pue_
den emitir.
Demostrar que cuando el valor de (P/A, i%, n) : { se resuelve por interpolación
parl 9l valor de n,la parte decimal de n es la parte de la renta A que se debe pagar
en el final del periodo que corresponde al entero superior an parácubrir totalmén-
te el valor de la anualidad.
Sugerencia: Demostrar primero que (P/A, i%, n * 7) - (p/A, i/o, tt) : (1 + ¡¡<, * r¡
J / .
58.
59. Demostrar que cuando el valor (F/A, i%, D = i se resuelve por interpolación
para el valor de ir, la parte decimal de n es la parte de la renta A que se debe pagar
en la fecha inicial, para cubrir el valor total de la anualidad en u.r número de perio-
dos igual al entero que resulta de despreciar la parte decimal de n.
Sugerencia: Demostrar primero que (F/A, i/o, n * I) - (F/A, i%, n) : (1 + i),
60. El beneficiario de una póliza de seguros por $200.000 recibirá 920.000 de inmediato
y posteriormente $10.000 cada 3 meses. Si la compañía paga el 8% convertible
trimestralmente, hallar el número de pagos de $10.000 y el pago final tres meses
después del último pago completo.
61' En el problema anterio¡, Zqué suma adicional se debería agregar al último pago de
$10.000 para cancelar totalmente el beneficio?
62. LQ:ué oferta es más conveniente por una propiedad que vale $100.000: (a) g35.000
al contado y 12 pagos mensuales de $6.000, (b) $3s.000 ar contad.o y un pago de
$75.000 a un año plazo? i : tasa bancaria local.
6.14 ACTIVIDADES DE CONSUTTA
(n) Averiguar la tasa de interés local para préstamos bancarios pagaderos por cuotas.
(b) Consultar la tasa de interés que cobra el comercio en sus ventas a mediano plazo.
(c) Consultar la tasa de interés de los títulos emitidos por los bancos y corporaciones
financieras para captación de ahorros.
(d) Consultar la tasa de interés aplicado a los préstamos hipotecarios.
(e) Programar en computador el cálculo de,4, dados f; n, i%.
Cnr{rurü V
ANUALIDADES ANTICIPADAS
Y ANUALIDADES DIFERIDAS
OBJETIVOS
En este capítulo se aprenderá a reconocer y definir los factores que intervienen en el
cálculo de los valores de anualidades anticipadas y diferidas; se examinará el desarrollo
de fórmulas y métodos de análisis para el cálculo del valor futuro, valor presente, ren-
tas, tasas y plazos. Se podrá aprender métodos para plantear ecuaciones de equivalen-
cia entre anualidades vencidas y anualidades anticipadas y diferidas, y el estudiante
practicará diagramas de flujo de caja.
Al terminar el estudio del capítulo, el lector estará en capacidad de elaborar
diagramas de flujo de caja de anualidades anticipadas y diferidas, plantear ecuaciones
de equivalencia y calcular por diferentes métodos valores futuros y presentes, rentas,
tasas y plazos de anualidades anticipadas y diferidas.
ANUATIDADES ANTIC¡PADAS
En los negocios, es frecuente que los pagos periódicos se efectúen al comienzo de cada
periodo; tal es el caso de la renta de terrenos, edificios y oficinas, cuyo alquiler se paga al
principio del periodo. En las ventas a plazos se suele estipular una serie de pagos al
comienzo de los periodos convenidos en el contrato de venta. En los seguros, ya sean
seguros de bienes en general, de vida o de protección contra riesgos, las pólizas, por lo
general, esüpulan que el asegurado debe pagar sus cuotas o primas al comienzo de cada
periodo. En estos casos se usa la expresión "El pago vence a principio del periodo".
7"1
MATEMATICAS FINANC,IERAS
Definición Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efec-
túan o vencen al principio del periodo de pago.
En este capítulo se estudiarán las anualidades simples ciertas anticipadas. Las dis-
tintas variantes que se presentan, según el número de periodos de capitalización y el
número de pagos en el año, se estudiarán en el capítulo correspondiente al tratamiento
general de las anualidades.
Para comparar las anualidades anticipadas, con las anualidades vencidas es muy
útil el siguiente diagrama.
Anualidades vencidas
12
t l
t l
0++
+" '
n
I
J
+
I
n - 1
I
I
Y
I
3
V
21, n
7.2
Anualidades anticipadas
S|MSOLOS UTILIZADOS EN tAS ANUAIIDADEs ANTICIPADAS
Todos los símbolos tienen el mismo significado definido en las anualidades ordinarias
o vencidas.
: pago periódico o renta
: tasa efectiva por periodo de capitalización
= tasa nominal anual
= número de capitalizaciones en el año
= tasa nominal con rn capitalizaciones en el año
: número de periodos de pago
= valor futuro o monto de una anualidad
: valor presente o actual de una anualidad
Con el objeto de diferenciar las anualidades anticipadas de las anualidades vencidas
se acostumbra usar los símbolos F y P con diéresis para las anualidades anticipadas, esto en
particular es útil cuando se trabaja simultáneamente con ambos tipos de anualidades.
F : valor futuro de una anualidad anticipada
P : valor presente de una anualidad anticipada
A
i
i
m
;
J fut\
n
F
P
7.3
ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS
Para el cálculo de los valores de anualidades anticipadas y diferidas se utilizan las
mismas fórmulas desarrolladas en el capítulo 6 para las anualidades ordinarias o venci-
das; la diferencia se encuentra en la interpretación del factor. En efecto, en el modelo
matemático y(Xly , i% , n) se pide X conocido Y, que es modificado por efectos del tiem-
po y la tasa. Para Y : l,lacantidad (X/Y,tasa, tiempo) recibe el nombre de "factor de ...",
que para cada tipo de anualidad tiene una expresión algebraica en la que el tiempo
incide en forma diferente.
Antes de iniciar el estudio de las anualidades anticipadas y diferidas, se presenta
un resumen de las fórmulas desarrolladas en el capítulo 6, correspondiente a anualida-
des vencidas.
VATOR FUTURO Y VATOR PRESENTE DE tAS ANUATIDADES
SI'I,IPIES CI ERTAS ANTICI PADAS
Existen diferentes formas para calcular tanto el valor futuro como el valor presente de
las anualidades anticipadas; de éstas, se proporcionarán dos formas consideradas las
más simples y de mayor utilidad en el planteamiento de los problemas.
Datos Variable
FÓRMULA
algebraica estándar
FACTOR
algebraico estándar
P, i ,n
E i , n
A , i , n
.\, i, n
í , i ,n
? i , n
P
F
P
A
A
D _
A -
n -
r=P (1+ t ) "
P: F(1 + t ) - "
P (FlP, i%, n)
F (PlF, i%, n)
A(FlA, i%, n)
A(PlA, i%, n)
F (AlF, i%, n)
P (AlP, i%, n)
c#
t - ( t + i )- "
E *
A _
I
I L A _
A =
( t + i ) " - t
p . i^ 
1- (1+ r-"
(1 + t)'
(1 + r)-'
( t+ ¡) ' - t
i
t - ( t+¿)- ' i
I
i-;-----
( 1 + i ) - 1
t - ( t *¿) - '
(r¡n, in, n)
(r¡r , i%, n)
(r¡e, i%, n)
(n¡a, ffi, n)
(a¡r, i%, n)
(alr, in, n)
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Sea el diagrama de una anualidad anticipada deA por periodo.
Obsérvese que al agregar un último pago Ase obtiene el valor futuro de una anuali-
dadvencidadeA,porperiodo;pagaderaduranten*lperiodos,F:(F/A,i%,n+ 1); res-
tando a este valor el último pago A, el cual se había agregado, se obüene el valor futuro de
una anualidad anücipada deÁ, por periodo, pagadero durante n periodos.
F = A(r¡a,, i%, n+1,) - A
F = Al(rlo, i%, n+t) - tfEstándar
Algebraica ¡ = o[
L
I-l( 1 + l ) ' . t - 1
(sza)
(32b\
_ El factor [(f ¡'+, 
in, n + 1) - 1] es el factor de valor futuro de anualidades antici-
padas.
Nota Las calculadoras financieras, al operar anualidades anticipadas, modifican interna-
mente en su programa el tactor (rfe, i%, n) de vencidas .i l1r¡a, i%, n + r) 
- r] ae
anticipadas; de modo que al operarbajo el mando de anticipadas, reciben como dato el
valor de r tal como en las anualidades vencidas. En la forma (f f A, l%, r), Á indita
que se trata de una anualidad anticipada.
El mismo resultado puede obtenerse planteando la siguiente ecuación de equiva-
lencia y utilizando como fecha focal el final del periodo n - 1, (aéase el diagramá). En
éste se advierte que el pago A en el period o n - l puede considerarse el último pago de
una anualidad vencida gpe se inicia en el periodo - 1:
F 1r + i)-1 = A (r¡a, in, n)
de donde, F : A (FIA, i%, n) (t + i)
Al remplazar por sus expresiones algebraicas:
ANUALIDADES ANTICIPADAS YANUALIDADES DIFERIDAS
t _ n ( 1 + i ) - 1 , . . \ ¡ ( 1 + i ) ' * t - 1 . - i
\- 
"/ 
'^ -------- . -
L 1
É:At*#_;l :^[s.+=_,1
i : A[(r lo, i%, n+1) - t )
f t - ,
r, r l(FlA, 
t%, n + 1).-.1] es el valor futuro de una anualidad anticipada de una uni-
clad monetaia, pagada, durante n periodos, a la tasa I por periodo. sé puede expresar
en la forma (rlÁ, in, n¡.
Los valóres del faótor de valor futuro de una anualidad anticipada en rz period.os
se obtienen restando 1 al valor del factor de valor futuro de anualhades vencidas co-
rrespóndientes a (r + 1) periodos.
En la notación estándar no hay diferencia entre anualidadeíániicipadas y vencidas;
la diferencia surgiría al interpretar eifactor que se debe aplicar Los valores de las anualida-
des anticipadas se calculan utilizando e.,ta.ion"s de equivalencia que permitan aplicar los
factores de las anualidádes vencidas. Es importante cornprender li necesidad de elabora¡,
para cada problema, el correspondiente diagrama de flujó de caja, mediante la ubicación de
los valores actuales, valores futuros y pugoi periódicos, además de ¿"t¿i*i"ui r;;;;;_
rando el diagrama de flujo de caja. pára situiciones equivalentes se deben trazar ambos
diagramas y con base en ellos establecer las ecuaciones áe equivalencia.
Cálculo del valor presente. Si en el diagrama d.e una anualidad anticipada pagadera
durante n periodos se suprime el primeipago A, se tiene una anualidaá 1r"r,óidá d" A,
por periodo, pagadera durante n - 1 periodos.
como
se tiene
MATEMATICAS FINANCIERAS
su valor presente es P = a (pla, i%, n - 1). Agregando a este valor el primer pago
que se había suprimido, se obtiene el valor presente de una anualidad anticipada áe.4,
por periodo, pagadera durante n periodos.
P : A(t '¡ '+, in, n-1,) + A
P : A1rlo, i%, n-t) +1l
Este mismo resultado puede obtenerse planteando la siguiente ecuación de equi-
valencia y utilizando la fecha inicial como fecha focal.
P : A (F IA , i% , n -1 ) ( r + i ) - r ¡ - ' ) + A
P : A le lo , i%, n-7) (1 + i ¡ - r ' - r r * t1
( 1 + i ) ' - ' - 1
(33a)
(3ib)
como
Iuego
(FlA, i%, r _1) :
p : a[erU--] (1 + ¡¡-r.- ', * ,]
o [t Q--'
L t
t ) l " * , ]
Ennotaciónestándar p : Al(otO, i%, n_t) + tl
l{n ¡ a , i%, n 
- 1) + 1] es el factor de valor presente de una anualidad anticipada de
glporperiodopagadaduranten periodos.sepuedeexpresarenlaforma (nlÁ, in, 
" \ .El t ratamiento de los problemas que involucran anual idades ant ic ipadas, pór
lo general, no es diferente de lo tratado en los problemas de anualidades vencidas.
En todo caso, es recomendable plantear las ecuaciones de equivalencia y no depender
de la simple aplicación de las fórmulas, ya que éstas resultan muy limitadas ante la
gran variedad de problemas por abordar en matemáticas financieras.
Cualquier procedimiento de cálculo para procesar un problema financiero encon-
trará sus limitaciones. Si se utilizan tablas, no se encontrará en ellas factores para todas las
situaciones posibles; si se emplean calculadoras con funciones financieras, éstas tienen
programas para resolver situaciones básicas de interés simple, interés compuesto y anuali-
dades vencidas y anticipadas; si el estudiante tiene acceso a un computado¡, podrá
Programar situaciones básicas y no Ie será útil crear un programa especial para
ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS
cada problema. Para aprovechar bien su equipo de trabajo se verá obligado a plantear
ecuaciones de equivalencia que Ie permitan resolver situaciones nuevas, utilizando las
tablas o los programas disponibles; en este sentido, este material presenta una cuida-
dosa selección de ejemplos y ejercicios resueltos, que lo ilustrarán suficientemente so-
bre los métodos para desarrollar problemas,
@Unacompañ íadepos i t aa lp r i nc ip iodecadaaño$20 .000enunacuen tade
ahorros que abona el7% de intereses. iA cuánto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años?
20.000 20.000 20.000
p = ¿,[(r¡a, ir",n +r) - r]
A = 2 0 . 0 0 0 ; i : / / s ; n = 5
F = Al(r¡ a, zn, s+ r) - r] = 20.000 (61.5s2s074)
F : $123.065,81
Las calculadoras financieras, bajo el mando de anticipada, reciben como dato el valor de z en la
misma forma que sucede con las anualidades vencidas (aéase nota en la sección 7'3).
Mediante calculadora con función XY:
l / . t n : u - - , t \ " l - ( r * i ) " " - 1 
-
l\ElA' í%, n+1) 
- 1l : :-------!- - 1
l"'paso 1,076 = 
'J.,5007304
2opaso 1,5007304-1 = 0,5007304
3"' paso 0,5007304 + 0,07 : 7,1532914
4apaso 7,1,53291,4-l : 6,"1.532914
5a paso 6,153291,4 (20.000) : $123.065,82
r@Unacompañíaalquilaunterrenoen$4.000mensualesyProPonealpropieta-
rio pagar el alquiler anual, a principio de cada año, con la tasa del 12% conveúlble mensualmen-
te. Hallar el valor del alquiler anual.
Tabla V
I\¡ATEMATICAS FINANCI ERAS
P = Af(n¡a, in, n-r) + r] : Á(n¡a, in, n)
a = 4.000; j = l2%; m : 12; i = 1%; n : t2
p = 4000l(n¡a, tn, il) + r] = 4.000 (11,36762825) Tabla VI
A = fi45.470,51
[ffiEtr!fl Pancho Mesa desea ahorrar dinero y debe escoger entre dos pólizas de capita-
lización que le ofrecen bajo las siguientes condiciones:
(a) Cancelar $5.000 semestrales pagaderos a principio de semestre durante 10 años para formar
un capital de $208.000.
(b) Cancelar $2.500 trimestrales pagaderos a principio de trimestre durante 10 años para formar
un capital de $215.000.
Entre las dos alternativas es mejor la que ofrezca mayor tasa de retorno.
En este ejemplo, para enseñar métodos de trabajo, se calcularán las tasas de retorno, así: para la
opción n se utilizarán tablas y para la opción b, calculadora.
208.000
semestres
5.000 5.000
Opcióna:
5.000 5.000
F = A I ( F I A , i % , n + 1 ) - r f ; n = 2 0 , F : 2 0 8 . 0 0 0 , A = 5 . 0 0 0
2o8.o0o = s.oo0 l(r¡e, in, ,4 - 1]
(Fl A, i%, 2r) - 1 : 208.000 + 5.000 : 41,6
{r lA, i%, 21):42,6
Se busca en la tabla V para n : 21 los valores más próximos a 42,6:
(r¡n, o,sn, 2r) : a2iasrtt t
(r¡, , zn, 21) = 44,s65rrurt
ANUALIDADES ANTICIPADAS YANUALIDADES DIFERIDAS
a 0,07
a 0,065
corresPonde
cor
44,86517678
42,34895373
2,51622305
0,005
a i
a 0,065
como i - 0,065
t - 0,06s
cor
cofresPonde 42,600000
42,34895373
e s a 0,25104627e s a0,005
2,51622305 0,25104627
0,00s (0,25104627)i_0,06s =__í f f i :
t :0 ,00049886+0,065i = 0,06549886
i1z¡ = 13''l'5 '
TIR = 1,3,53% efectivo
Opción b: Mediante calculadora con función XY
trimfes
2.500 2.500
(h* i \ " . ' - t )F=A l# - t l
\ ' )
F = 215.000; A = 2.500,n = 40
21s.ooo:Z.so,t(l:F 'l
t t4l
( l + t ) - 1 _ 8 2
i
A buen criterio, se ensaya con7,n, = 12/o' i = g,g3
1"" paso (1,03f1 :3,3598989
2q paso 3,3598989 - 1, : 2,3598989
3* paso 2,3598989 + 0,03 : 78,6632966 < 87
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Se ensaya con i
3" 'paso
Ahora se ensaya con I
3" 'paso
Ahora con i
3" 'paso
Finalmente, se ensaya con i
3" 'paso
I
TIR
= 0,035, se repiten los pasos y se obtiene:
: 88,50953714 > 87
: 0,034 y se obtiene:
= 86,4294676 < 87
= 0,0345
:87,4622696 > 87
= 0,0343
:87,0474256 > 87 valor que es suficientemente
aproximado
= 0,0343 )r, = t3,zZV
= 14,44%
7.4
Respuesta: la oferta b es mejorpuesto que proporciona mayor tasa de retorno. Con calculadora
electrónica financiera F = A \FlA, i%, n); se ingresan los datos F = 21.5.000, A: 2.500, tt 
= 40
y se computa i = 3,4277% j,o, : 1.3,71.08%.
PROBTEMAS RESUELTOS
1. Demostrar que se obtiene el mismo valor futuro/ en n periodos, a la tasa i con una
renta,4 vencida, que con una rentaA pagada a principio de periodo con descuento
racional, a la misma tasa i.
l(rlo, i%, n+r) - tlF : -::-" l + i
Af(r+; ) ' ' * ' -L: 
l * i L t
'l
F : í ú '
^ A 1r+,¡ [1r* i ¡ 
- r ]
r : 7 + i i
I t+¡)" - l
F :A
F : A (r¡e, t%, n)
o ( t + i ) 
. ' - ! - i
ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS
El dueño de-una propiedad cobra por su alquiler 95.000, por mes anticipado. Ha_
llalla pérdida que le significa en dos años, si el arrendataiio le pagó poi*"r.,rurr-
cido (tasa nominal'12% con capitalización mensual).
F vencido
F anficipaclo
Siendo
Fr = 5.000 (r¡,1, t%, z+)
Fr - 5.000 (26,97346485)
F, : $ 134.867,32
Fz: 5.ooo [(rlo, in, zs) - t]
Fz : 5.000 (27,V131995)
. Fr.: $136.216,00
Pérdida = F^-F.
¿ l
: $1.349,49
Demostrar que,€n el problema anterio¡, la pérdida sufrida por el arrendatario es el
(VF) correspondiente al descuento racional del alquiler.
d=+¡
D=Alt- t l
[1+ iJ
A = 5.000; r' : 0,01
D : 5,ooo lr - f)
\ 1,01/
D = 49,505
F = 4e,505[(rlo, 1%, 25)
F : 49,505 (27,21:31995)
F = 1..348,68
- 1] = 4s,5os (rlÁ, tn, z+)
4. El dueño de una propiedad avaluada en $400.000 recibe las siguientes ofertas:
(a) $100.000 al contado y el saldo en 6 pagos trimestrales de $SS.ÓOO cada uno; (b)
20 pagos mensuales de $22.000 cada uno, efectuando el primer pago de inmediato
lhsa de interés delL2% nominal. ZQué oferta le conviene mási
¡fll MArEMÁrcAS FTNANoTERAS
Oferta a:
100.000
Oferta b:
22.000 22.000 22.000 22.000
Se calcula el valor presente de cada oferta:
(o) ,P, : 10O.OO0 + 55.000 (n¡e, z%, o)
P, : 100.000 + 55.000 (5,41719144)
p" : $j97.945,50
(b) Pa : 22,000 l(olo, 1%, 20-1,) + 1] :
Po :9400.972,20
Es más conveniente la oferta b.
Mediante calculadora con función XY:
Oferta a:
j : 12%,m : 4; i : 0,1.2+ 4 = 0,03
22.000 (18,2260085)
trimestres
20 meses
22.000 22.000
P, =1oo.ooo+55.ooo t 
-( t+o'oe)*
0,03
ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS
1"' paso (1,03)-ó : 0,83748426
2e paso 0,83738426 - 1 - -0,76251,574 (cambio signo)
3"' paso 0,16251.574 + 0,03 : 5,417791.33
4e paso 5,41719133(55.000) : 297.945,52
5s paso 297.945,52 + 100.000 :397.945,50
Po : 397.945,50
Oferta b:
j : 12%, nt : 12, i = 0,12 + 12: 0,01.
l r - l t+o.or)- 'n )
P t , = 2 2 . 0 0 0 l - - - - # - + 1 l
[ 
0,01 
)
1"' paso 1,01-tt 0,82773992
2e paso 0,82773992- I : -0,1722601. (cambio signo)
3"' paSo 0,1722601 + 0,01 : 77,22601.
4e paso 17,22607+7 :1.8,22607
5s paso 78,22607(22.000) = 400.972,20
P,, = 400'972'20
5. Un comerciante vende equipos de sonido por un precio de $175.000 al contado.
Promueve su venta aplazos, en 1.8 meses, sin cuota inicial, con un recargo deI24%
convertible mensualmente. Hallar la cuota periódica o renta. Se entrega el equipo
contra pago de la primera cuota.
P : Al(rto, i%, n-1.) + 1.f
A : p. Ár; . ;L-----:r-, : n,(e¡n, in, n)
\P lA, i%, r r -1) + 1
El factor =(Af n, i%,n) es el factor de amort ización con
,anualidades 
anticipadas.(P lA , i% , r r - 1 )+1
P : 175.00t j,,u : 0,24; m : 72; i : 0,02; n : 18
A - 
175'ooo = s11 444
75,29787788
Al opera¡ c9n calculadora financiera, bajo el modo de anticipadas recibe la infor-
mación lAlP, i%, nl parai :2%, t t :18, P = 175.000 da la respuesta77.444.
l&¡!t MArEMÁncAS F|NANC|ERAS
corresponde
un comerciante estima que puede aumentar sus ventas ofreciendo equipos de so-
nido que valen $126.000 de contado, en cuotas mensuales de $9.000 cada una, sin
cuota inicial. Hallar el número de cuotas, si se carga unlg% de interés, convertible
mensualmente. Al retirar el producto se paga la piimera cuota.
' p : af(r¡a, i%, n_1) + 1]
P : 126.000, A : $9.000; j : 18%; m : 12) i = 1,5%
126.000: 9.000 [(olo, 1,,5%, n-1,) + 1,f
En la tabla vI columna del 1/z%, elvalor 13 está comprendido entre (pf A, 1.,s%, 14) y
(PlA, 1',5%,15) cuyosrespectivosvaloresson: rz,s4iigls0vl3,34zzlz0l.Comoenel
ejemplo 6.6, se procede por interpolación.
a 1 5
a 7 4
126.000(P¡A, t,s%, n-t) : - 1 = 1 3
9.000
corresponde 13,34323301.
12,543381,50
a n - 1
a14
corresponde
cor
13,00000000
1,2,543381.50
0,456618500,799851.51. como n -'1.5
7 n-1 .5
0,799851.51, 0,45661850
n-'l.s: 
0'45667850
0,799851.51. 
= 0,57087909
n,: 1,5,57087909 Respuesta matemática.
Respuesta práctica: 15 pagos de $9.000 y un último pago al principio del periodo 16
de 0,57087909 (9.000) : $5.1.37,90 (aéase ejemplo 6.6J. 
-
Comprobación: se plantea una ecuación de équivalencia con fecha focal en el últi-
mo Pago.
15t41,3
126.000
ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS
1,26.000 = 9,000 [(rlo, t,s%, ts-t) + r] + x (r,Ors)'u
126,000 = 9.000 (13,5433815) + X (0,799851,505)
\z _ 126.000 - 121,.890,4335
0,799851505
y : $5.137,91 aIcomienzo del periodo 16.
7. Resolver el problema 6, mediante calculadora
1"" paso
2q paso
3"" paso
. [r - (1+¡¡r"- 'r I:"1---f-*tl
=9 .000 ; í=0 ,015
:e.ooolr=fffi!.t]
= 0,805
= ln(0,805)
P
P : 126.000; A
126.000
1,015- tn - t¡
- (n - 1) ln(1,,01,5\
ln (0,805)_ n + L : - i - - +
ln (1,,01,5)
n = 1.5,56905
se efectúan L5 pagos anticipados de $9.000 y un último pago al principio del perio-
do 16 de:
F: e.oooltot=ul:; t - t)
\ 0,015 )
F : fiL52.391,,33
126.000 (1,015)15 = $157,529,Vt
Último pago ='1.57.52g, ?A - 152,391.,32
: fi5.137,90
Una deuda de $400.000 secancela con 10 pagos trimestrales, por trimestre anücipa-
do, de $44.500 iQué tasa de interés se ha caigad o? (véase el ejemplo 6.2¡.
,¡ffl MArEMÁncASFTNANoTERAS
P : Al(olo, i%, n-1) + rl : AQ'¡a, i%, n)
P : 400.000; A : 44.500; m : 4) n : L0
400.000 : 44.500 l(olo, i%, e) + lf
(pl'+'
(pla,
En la tabla VI se buscan en la línea correspondiente a rz.= 9 los valores más próxin
7,9887(A00;éstosson (e¡A, z,s%, 9) :i,gzososfiy (PlA, 2%, 9) :8,162n9671.;
nuestro caso, se calcula I por interpolación.
a 0,020 corresponde 8,1,6223671,
a 0,025 corresponde 7,97086553
-0,005 es a 0,191371.18
_ 400.000 1
44500
: 8,98876400 - l. : 7,98876400
ai corresponde
a0,025 cor
t"h,
i%,
e)
e)
-o oq
q1913n18
i -0,025
a
j
tasa
i - 0,025
0,01789847
(- 0,005) 0,01789847
7,98876400
7,97086553
0,01789847
: -0,0004671
" 0,19't371!8
:0,0745329
:4(0,0245329)
:9,813%
Mediante calculadora con función XY:
(PlA, i%, 9) = 7,98876+oo
, . _ o
r - (r+¡/ :7.9g876400
I
La solución se obtiene mediante ensayos sucesivos; se prueba a buen criterio
tasa efectiva l, por ejemplo i : 3%, y se calcula para ese valor.
r - (t,og)'
0,03
ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS
L"" paso (1,03f' :
2e paso 0,76641.673 - 1, :
3'" paso 0,23358327 + 0,03 :
Se ensaya con i :
1.'" paso (1.,025)4 :
2e paso 0,80072836 - 1. :
3"" paso 0,19927164 + 0,025 =
Luego se ensaya con I
3"" paso 0,19220643 +
Ahora con i
3"" paso
Ahora se ensaya con i
3"' paso
Después se ensaya con i
3" 'paso
Se acepta para
0,76641673
4,23358327 (cambio de signo)
7,786109valor menor que el buscado 7,9ffi7&
0,025
0,80072836
-0,199271,64 (cambio de signo)
7,9708656 < 7,989764
= 0,024, se repiten los pasos y se obtiene:
0,024 = 8,0086 > 7,988764
:0,0245, se repiten los pasos y se obtiene:
= 7,9897004 > 7,988764
: 0,02455, se repiten los pasos y se obtiene:
: 7,98781,38 < 7,988764
: 0,02453, se repiten los pasos y se obtiene:
: 7,9885682 valor suficientemente aproximado
al buscado
i : 0,02453
I,r, : 4(0,02453)
I,r, = 9,872/o
,5
Con calculadora electrónica financiera en la forma (P/4, i%, n) se entregan como
datos P : 400.000, A = 44.500, n : '10. Se computa l, que proporciona el resultado
i : 2,45'248'J.%.
2,452481. (4) = 9,8%
PROBLE'I'IAS PROPUESTOS
9. Resolver el problema 1, planteando una ecuación de equivalenciaparacada oferta.
10. Resolver el problema 3, planteando una ecuación de equivalencia.
11. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con
Pagos de $3.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del72%
convertible mensualmente.
12.
13.
14.
15.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Calcular el valor de contado de un equipo médico vendido a2 ai.os de plazo, con el
9% de intereses, convertibles trimestralmente y pagos trimestrales anticipados de
$4.000 y una última cuota de $3.200, a 2 años 3 meses.
una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad: (c) 9400.000 de
contado; (b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales, durante 2/z aircs; (c) 920.000
por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250.000, al finalizar el cuarto
año. iQué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual?
Para establecer un fondo de $1.000.000, a principios de cada año se consignan 9120.000
en una cuenta de ahorros que abona el 8% anual. Calcular el tiempo, mediante
logaritmos.
iCuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada mes,
durante L5 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, convertible mensual-
r¡lente? (Véase el problema 22 del capítulo 6).
1.6. Un comerciante vende máquinas de tejer a $125.000, precio de contado. Para pro-
mover sus ventas, decide ofrecerlas en 18 plazos rnensuales, cargando el2% men-
sual de interés. iCuál es el valor de las mensualidades? (a) Sin pago inicial, (b) Con
una cupta como pago inicial.
17 . iQué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6/o ,
para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de
$2.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el
1,0% delcosto?
Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada año, por el equivalente en
pagos mensuales anticipados, con un interés delg% convertible mensualmente.
Sustituir una serie de pagos al principio de cada año, por el equivalente en pagos
mensuales anticipados, con un interés del9% convertible mensualmente.
Una deuda de $30.000 con interés del12% capitalizable semestralmente, se acuerda
cancelar de inmediato, con pagos semestrales de $5.000. Hallar el número de cuotas
y el valor del pago final.
Un empleado consigna $300 a principios de cada mes en una cuenta de ahorros que
paga el 8/o, conveftible mensualmente. ZEn cuánto tiempo y con qué pago final
Iogrará ahorrar $30.000?
Un equipo de sonido cuyo valor de contado es de $400.000 puede adquirirse con12
pagos mensuales anticipados de $40.000 cada uno. Hallar la tasa de interés cargada.
18.
19.
20.
21.
,n
7.6
ANUALI DADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERI DAS
23. ¿A qué tasa nominal, 25 depósitos trimestrales de $500 por trimestre anticipado,
darán un valor futuro de $16.000, tres meses después de efectuado el último pago?
24. (a) Deducir la fórrnula del valor futuro para anualidades anticipadas, utilizando las
propiedades de las progresiones geométricas.
(b) Deducir la fórmula del valor presente para anualidades anticipadas, utilizando
las propiedades de las progresiones geométricas.
ACTIV¡DADES DE CONSULTA
(a) Estudiar las costumbres locales para ventas a mediano plazo y las tasas de interés
cobradas.
(b) Crear sistemas de ventas aplazo y analizarlas.
(c) Consultar el porcentaje de recargo por gastos, en las ventas a mediano plazo.
ANUALIDADES DIFER¡DAS
En los negocios, es frecuente que algunas circunstancias obliguen a que el primer pe-
riodo de pago comience en una fecha futura, hasta después de transcuirido Cierto tiem-
po desde el momento inicial o de convenio. Es deci¡,la fecha inicial de la anualidad no
coincide con la fecha del primer pago. En estos casos, se dice quelaanualidad es diferidn.
Definiciones Una anualidad diferida es aquella..ryo pluro comienza d.espués de trans-
currido un intervalo.
Intervalo de aplazamiento Es el tiempo transcurrido entre la fecha inicial, o fecha de
valoración de la anualid ad, y la del primer pago.
Para medir el intervalo de aplazamiento, se utiliza como unidad el tiempo que
corresponde a un periodo de pago. Así por ejemplo, si dentro de 2 año.q se efectuará el
primer pago de una anualidad vencida de $A por semestre y cuyo plazo es de 3 años, se
tendría:
J 10 semestres
AAAAA
k:fecha inicial de la anualidad vencida
7.7
7.8
MATEMÁNCAS FINANCIERAS
Tiempo diferido = 3 Periodos semestrales
Tiempo plazo de la anualidad : 7 periodos
Tiempo total = tiempo diferido más tiempo de la anualidad
Por lo general, las anualidades diferidas se analizan como ordinarias o vencidas;
de manera que, en los problemas, al hablar de una anualidad diferida, se suPone que es
vencida.
VATORES DE tAS ANUATIDADES DIFERIDAS SIMPTES C¡ERTAS
para el cálculo de los valores de las anualidades diferidas no se requieren nuevas fór-
mulas ni tablas distintas de las descritas en capítulos anteriores.
El lector debe comprender la importanóia de analizar los problemas, utilizando
diagramas que le permitin determinar, cuidadosamente, el tiempo diferido y el tiempo
de iago, para luego plantear las ecuaciones de equivalen.il 
qy" conducen u,t .ot1"_Y
solución. No es conveniente memorizarfórmulai o procedimientos, ya que éstos re-sul-
tan inútiles ante la gtan variedad de problemas que suelen presentarse' El lector del
desarrollar su p.opiu imaginación y creatividad, en el tratamiento de los problemas'
Cálculo del valor presente Sea una anualidad vencida, diferida kperiodos,-de $A
periodo pagaderoi durante n periodos, a la tasa I por periodo. Mediante la elabora'
de un diagrama/ se tiene:
k + n - l T'
periodoo
k+
<- tiempo diferido---->
AA
tiempo de anualidad --------------->
Al formar una ecuación de equivalencia y utilizar como fecha focal el final
periodo k, siendo P el valor presente en la fecha inicial, se tiene:
Notación estándar P (FlP , i%, k) : A (PlA, i%, n)
P = A (PlA, i%, n) (n¡r , i%, t<)
Notaciónálgebraica (r¡a, l%,r¡ : 
1 - (1+l)-' 
; (plF, i%,k) 
: (r+i)-*
,,: L{d.(r+;)--
ANUALIDADES ANTICI PADAS Y ANUALIOADES DIFERIDAS
Otro método Para calcular el valor de las anualidades diferidas consiste en tratar-
Ias como diferencia, entre dos anualidades no diferidas, así:
periodos
k -7 periodos
Ps
+
o l ' t 2
m#"'
k -1 periodos
El valor presente de I es
El valor presente de II es
El valor presente de III es
k+n - l
P, = A(e¡e, i%, tc+n)
P, : A(PlA, i%, k)
P, = Pr- P,
P, = A-(Pla, i%, k+n) - A(PIA, i%, k)
De donde, el valor presente de la anualidad diferida k periodos es:
P : Al(olo, i%, k+n) - (ple, i%, k)) (35)
¡![ MArEMÁrcAS FTNANcTERAS
o sea
34a
En el problema 10 del capítulo 6, se demostró que:
(plA, i%, n+k): (r¡a, i%, k) + (r+r)-- (nya, ff i, n)
Al sustituir en la fórmula 35, se tiene:
p : Altrto, i%, k) + (r +i)-* (plA, i%, n) - (r'1a, i%, k))
P : A (r+i)-* (r¡a, in, n)
P : A (n¡r, in, k) (PIA, i%, n)
La fórmula 35 ofrece algunas ventajas para el cálculo y, por esto, se utiliza con
mayor frecuencia que la fórmula 34.
IftEIErc Calcular el valor actual de una renta de $5.000 semestrales, si el primer pago
debe recibirse dentro de 2 años, y el último dentro de 6 años, si la tasa de interés es del 8%
convertible semestralmente.Se traza el diagrama que corresponde a las condiciones del problema.
El intervalo diferido es de 3 periodos y el t iempo de pago t iene 9 periodos
P = Al(plA, i%, k + 
") 
- (n¡a, i:/", k))
A : 5.000; j = 8%; m : 2; i : 4%; k : 3; n : 9
P :5.ooo [(n¡a, +"t, 12) 
- (PIA, 4'/", 3)]
P : s.000 (t,zasozzzo-2,77s0e18) = 5.000 (o,oossszzz)
P = $33.049,91
Si se aplica la fórmula 34a, el cálculo se desarrolla así:
p : A ( p l F , i % , k ) , ( p l A , i % , r r ) = s . o o o ( r , / F , 4 % , 3 ) ( p l A , 4 % , e )
5.000 5.00r) 5.000
ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS
P = 5.000 (o,assw6:o) (2,+zsnrcl
P = $33.049,91.
Solución con calculadora: mediante el diagrama de flujo de caja, se calcula primero el valor
actual P' de la anualidad vencida de $5.000 durante 9 semestres con la tasa i : 0,04. Luego se
aplica la fórmula 34b.
^ , I - u + 1 ,t J = A \ / ( t + , ) - '
i
t - l t + ¡ ) - "
D ' = ¡ \ /
t n
i
A = 5.000, n = 9,i = 0,04
p,= s .ooo 
1- (1 '04) - '
0,04
1"' paso (r,o+)-' :0,70258674
2a paso 0,70258678 - | : -0,29741326 (cambio de signo)
3"" paso 0,2974'1,326 :0,04 = 7,435331.5
4e paso 7,4353315 (5.000) = 37176,66
P' = 37176,66 se lleva a'memoria
P : P ( t + i ) - - ; k : :
5e paso (r,o+)-t :0,88899636
6e paso 0,88899636 (37176,66) : 33.049,gt
P = 33.049,9'1,
En el proble ma 26 se errqontrará otra solución con calculadora aplicando la fór-
mula35.
Cálculo del valor futuro El valor futuro de la anualidad diferida es el propio valor
futuro o monto de la anualidad, correspondiente al tiempo de pago. su cálculo fue
tratado en las anualidades vencidas y anticipadas.
Cálculo de la renta Para el cálculo de la renta se despeja, según el caso, el valorÁ en las
fórmulas 34 ó 35.
Mediante la fórmula34,p : A (PlF , i%, k) (plA, i%, n)y aldespejará, se tiene:
A : (e¡e, ffi n)
: p (rlP, i%, k) (AIP, i%, n)
I
MATEMATICAS FINANCIERAS
Nota Recuérd.ese que (V¡X i%, n):
(xlY,i%,n)
Conlafórmula3l,P: af(r¡a, i%, k + n) - (e¡a, i%, k)lyaldespejarÁ,setiene:
P
A _
(PlA, i%, k+n) - (PlA, i%, k)
ffill![fl Al cumplir un joven 12 años, siu padre deposita $2.000.000 en un fondo uni-
versitario que abona el8%, a fin de que al cumplir 18 años comience a recibif una renta anual
suficiente para costear sus estudios universitarios durante 4 años. Hallar el costo anual de los
estudios.
2.000.000
P : $2.000.000; i : 8%;k : 5; n :
2.000.000 2.000.000
6,24688791 - 3,99271.M4
Solución por medio de ecuaciones de equivalencia y con calculadora; en el ejercicio 26 se da
solución mediante calculadora y aplicando la fórmula 35.
P : P'(r+')-^
= (p le ,8%, s+a) - (p la ,8%, s)
- 2'ooo'ooo = $887.24r,60
2,2il17787
r - (t+¡)- '= A
i
= 2.000.000; I : 0,09; n = 4; k = 5
t - l r . o a ) { . . - q
= A __--__:____, (1,08) -
0,08
P'
P
2.000.000
1"'
n o
J ' -
4a
50
6a
AN UALI DADES ANTICI PADAS Y ANUALIDADES DI FERIDAS
paso (t,os)-' : 0,73502985
paso 0,73502985 - 1 : -0,2&97015 (cambio de signo)
paso 0,26497015 : 0,0t1 = 3,3121.2687 (entra a memoria)
paso (t,os)-t = 0,6805832
paso 0,6tt05832 (331212687) = 2,25nt779 (entra a memoria)
paso A :2 .000 .000+2 ,2541779
A : 887.241..60
Cálculo del tiempo Estos problemas de cálculo del tiempo son poco frecuentes. Se pueden
establecer dos tiempos distintos: el tiempo diferido y el tiempo de la anualidad.
Para el t iempo diferido, se tiene:
Estándar
Algebraica
(n¡r, i%, t<¡ =
n(r¡a, i%, n)
P : A (n¡r , ir", t) (n¡a, in, n)
P:A ( r+ r ) - * . . i\ / t - ( t + i ) "
Luego, se procede como en los capítulos anteriores, por interpolación, mediante
logaritmos o con calculadora financiera.
Para el tiempo de la anualidad se tiene:
osea (FIP, i%, o) = N\#A; (1 + tf = + .1 r*ry
p : A(plF, i%, k)(plA, i%, n)
(P lA, i%,4 - P(F lPLi%,k) ,a i l : f ; { t * i \ r
Se continúa como en el ejemplo anterior.
@!lE[@ Alguien deposita la suma de $1.000.000 en un banco que abona el7%,para
que, dentro de 5 años, le pague una renta de $200.000 anuales; hallar el número de pagos.
P = AQ'¡r, in, k) (PIA, i%, n)
P = A( t+ i ) - (n¡a, in , 
" )
MATEMATICAS FINANCI ERAS
1.000.000
P = 1.000.000; A = 200.000; i = 7%; k : 4
1.000.000 : 200.000 (r+o,oz)* ()¡a, zn, 
")
. 1.00r).000 h*o.oz)n
\PIA, 7%, ,r) : ------------- 
r-- : s (181,079601)
(n ¡ a, 2r",,,¡ = u,rrrr#Juooo
Este valc¡r está comprendido entre (P,' A, Z%, 9) = 6,51523225 y
luego, por interpolación:
10 corresponde
9 corresponde
7,02358154
6,57523225
corresponde
corresponde
\rla, zn, n)
6,55398005
6,57523225
a t l
a 9
0,50834929 como n-9 0,03874780
i t t - 9
0,50834929 0,03874780
tt -e : 
o'03t174780 
= 0.0762227
0,50t134929
Respuestamatemát ica n:9,0762227
Respuesta práctica: 9 pa¡;os anuales de 9200.000 y un último pago al f inal de décimo año
dif erido de $200.000(0,07 62227) : 975.244,50.
Vénsc en el problema 27 una solucií¡n con calculadora.
cálculo de la tasa Rara vez,.en la práctica, se presentan problemas en los que sea
necesario calcular la tasa de una anualidad diferida. Para el cálculo de la tasa. las fórmu-
las estudiadas conducen a ecuaciones de grado superior que se necesita resolver por
tanteo.
EEE:[EüE| Una persona entre¡la $1.560.000 a un banco con el objeto de que, dentro de 5
años, le inicie el pa¡;o de 12 anualidades de $240.000. Hallar la tasa de interés que abona el
banco.
ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS
P -- AL{:.to, i%, k+n)- @lo, in, r)l
1.560.000
P : 1.560.000; A = 240.000; k : 4; n : 1.2
1.s60.000 : 240.000 [(n¡a, in, a+n) 
- (n¡,+, in, +)]
(r¡a, in, rc) - (n¡a, i%, 4) = 1110^o^T = u,t' 240.000
Se busca por tanteo en la tabla VI, restando mentalmente los valores para n : 16y rt = 4, el valor que
más se aproxime a 6,5. Así, se encuenha que está comprendido entre las siguientes diferencias:
Para la tasa del 6%
fln¡ ,e , ar", rc) 
- (plA, 6%, 4)l : 70,1058es27 - 3,46s70867 = 6,64078e66
Para la tasa del6/z%
[(r¡a, o,sn, rc) 
- (plA, 6,5%, +)f : o,zezzo4tl -3,42s7e860 : 6,347e6ss8
Respuesta práctica: la tasa está comprendida entre 6% y 6%%. En caso que se desee o sea nece-
saria una mayor aproximación, se procede por interpolación lineal. Véase en el problema 2{J una
solución con calculadora.
PROBLEMAS RESUEITOS
25. Resolver el problema del ejemplo 7.4,ut1lízando calculadora.
.4 : sooo l (oto, 4%,72) - (p l ,q, 4%,3)]
A :5ooo [ l - ( l , o+ ) 
' ' 
- i - (1 ,04) - r - l
L 0,04 0,04 l
r
MATEMATICAS FINANCIERAS
o = # [1t,0+¡* 
- 1t,o+¡'']
(1.,04)t' : 0,621159705 (entra en memoria)
(t'o+)-' : o'88899636
0,2643993 : 0,88899636 - MR
33.049,91, :0,2643993 (5.000) + 0,04
A:933.049,91.
26. Resolver el problema del ejemplo 7.5, rstllizando calculadora.
2.000.000
¿ : 1 - ( 1 , 0 8 ) - ' _ 1 - ( 1 , 0 8 ) '
0,08 0,08
, 2.ooo.ooo (0,08)o: 
1r,oa;-' - (1,08)"
(f,OS)-' : 0,50024897 (entra en memoria)
(1'08)-5 : o'6805832
0,6805832 - MR : 0,7803342 (entra a memoria)
2.000.000 (0,08) : MR : 887.24L,60
A: fi887.241,60
27. Resolver el problema del ejemplo 7.6, utilizando calculadora.
(n¡e, t%, n)
P : 1.000.000; A :200.000; I
1 - (1,07)-"
0,07
(1,07)-"
p / r * ; \ t' 1 ^ " '- ^
n
: 0 , 0 7 ; k : 4
1.000.000 (1,07)1
: -
200.000
o,07 (1.000.000) (1,07)"
_ 1- l -
200.000
ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS
(1"07)-" : o'54'l'22'l'4
(-n) ln (1'-07) : ln (0,5412214)
,:\ffiP
tt = 9,0738857
Nueve pagos de $200.000; para hallar el último pago x, se plantea una ecuación de
equivalencia:
1.000.000 : x(1,07)-'n + (t,oz)u (200.000) 
4{
r = 1,000.000 (t,02)'n - 11,02¡'o (200.000) 
1 - U?-:*
0,07
x : $1.5.244,50
Resolver el problema del ejemplo 7.7, utilizando calculadora.
P: Al(olo, i%, k+n) - (pla, i%, k)l
P = 1.560.000; A = 240.000; k = 4i n = 72
I = jYo,
i = 6 % ,
7,297879
6,640790
= 6,341966
= 6,5L197A
¡: 6,s/o, 044_u#4qf
(t,oa)' - (1,062)"u
0,062
f r - ( r+, ) - " t * ( r+ i ) ' l1.s60.000 = 240.000 
L---r- 
= -l
1.s60.000
240.000
Para
Para
(t+,)' - (r*;)- 'u
= 615
(r,os)* - (1,0s)''
0,05
(r,oo)' - 1r,06)-'u
0,06
i= 6,2%,
@ MATEMÁTTcASFTNANcTERAS
(1,0625)* _ lt.o625)rut : o '¿DYa l f f =6 ' 489274
i : 6,23%, 
(t,oezz)'-(l',ooz3)'u
0,0623
A%% es una aproximación aceptable.
29' Alguien desea establecer un fondo, de tal manera que un hospital que estará termi-
nado dentro de 5 años reciba para su funcionamientb una renti anuál de $25.000.000,
durante 20 años. Hallar el valor der fondo, si gana el g% d.e intereses.
P : Al(olo, i%, k+n) - (ple, i%, k))
A : 25.000.000; I = 0,08; k : 4; tt : 2L
p = 25000.000 [(r7n, 8%,2s) 
- (pla,8%, 4)]
P : 25.000.000 (70,67477619 - 3,2121,2684) Tabla VI
P : $1.84.066,234
30. una persona deposita hoy $600.000 en un banco que abona el7/o paraq,ru, dur1t\ro
de 5 años, se le comience a pagar una renta qn" ru le cancelará iemestralmente,
durante 10 años. Hallar la renta semestral que iecibirá.
: 6,507238
semestres
600.000
AN UALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DTFERIDAS
P = 600.000) j : 0,07; m : 2;i : 0,035; k = 9; n : 21.
p : 600.000 : af(e ¡ a, 3,s%, 9 + 21) - (r ¡ e, z,s%, o))
= 600.000 = A (18,39204541, - 7,607 68651\
. 600.000A=_=$55 .636 ,73
1.0.78435890
Tabla Vi
De donde,
31. Una Persona deposita $5.000 cada final de mes, durante 4 años consecutivos. Hallar
la suma que tendrá en su cuenta 7 años después del último depósito, si el banco
abona el 6%, convertible mensualmente.
A = 5.000; n:48; i:0,5%. No hay intervalo diferido; ésta es una anualidad
vencida cuyo valor futuro F queda diferido k periodos para su cobro; k : 84.
Para el cálculo, se establece una ecuación de equivalencia, utilizando la fecha final
como fecha focal.
X : 5.ooo (r¡a, o,s%, 48) (FlP, 0,5%, 84)
Luego, con calculadora financiera, tablas o pasando a notación algebraica, se tiene:
X : 5.000 (54,09783222) (1,52036964)
X = fi411..2A3,50
X
.J
MATEMÁNCAS FINANCIERAS
7.1O PROBIE'IIAS PROPUESTOS
32. Uira compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería
muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demorarán 6 años. Se
estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de
$2.400.000. Suponiendo que la tasa comercial de interés es del 8% y que los yaci-
mientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación, hállese el valor
futuro de la renta que espera obtenerse.
33. En el problema 32, hállese el valor de utilidad que espera obteneg en el momento
de la adquisición de los yacimientos.
34. Una ley de incentivos para la agricultura permite a un campesino adquirir equi-
pos por valor de $80.000, para pagarlos dentro de 2 años, con 8 cuotas semes-
trales. Si la ley fija el6% de interés para estos préstamos, hallar el valor de las
cuotas semestrales.
35. Una compañía frutera sembró cítricos que empezarán a producir dentro de 5 años.
La producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá por
espacio de 20 años. Hallar con la tasa del 6% elvalor presente de la producción.
36. ZCon cuánto se puede comprar una renta de $10.000 trimestrales, pagadera du-
rante 1.5 años, debiendo comenzar el primer pago dentro de 12 años, si la tasa de
interés es del 8% capitalízable trimestralmente?
37. Alguien deposita $100.000 en un banco, con la intención de que dentro de 10 años
se pague, a él o a sus herederos, una renta de $2.500, a principio de cada mes.
ZDurante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6% convertible
mensualmente?
38. Hallar el precio de contado de una propiedad comprada con el siguiente plan: una
cuota inicial de $30.000; 6 pagos trimestrales de $10.000, debiendo efectug el pri-
mer pago dentro de un año y uno final de $25.000, 6 meses después de can&lada la
última cuota trimestral. Calcular con el 12/o, interés convertible trimestralmente.
39. Una deuda contraída al 8% nominal, debe cancelarse con 8 cuotas semestrales de
$20.000 du, con la primera obligación por pagar dentro de 2 años. Sustituirla por
una obligación equivalente pagadera con24 cuotas trimestrales, pagándose la pri-
mera de inmediato.
40. Una compañía es concesionaria de la explotación de un'hotel, por 15 años conta-
dos desde su inauguración; éste estará en servicio dentro de 2 años. Se estima que
los ingresos brutos mensuales serán de $250.000. Hallar con la tasa del 12% de
interés convertible mensualmente, el valor presente de los ingresos brutos.
ANUALI DADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS
En el problema 40, hallar el valor futuro*de los ingresos brutos que esperan
obtenerse.
Por un pago ini'nediato de $180.000, una compañía de seguros ofrece cancelar,
-transcurridos 10 años- una renta de $5.500 al comienzo de cada mes, durante 5
años. Hallar la tasa aproximada que paga la compañía.
7.11 ACTIV¡DADES DE CONSULTA
Estudiar la costumbre local para las tasas de interés de los diferidos.
Consultary analizarlos cálculos financieros de determinado proyecto de factibilidad
concerniente a la instalación de alguna industria.
4't.
42.
(a)
(b)
C"qpixr:t* ffi
RENTAS PERPETUAS
OBJETIVO
El propósito de este capítulo es aprender a reconocer y definir las rentas perpetuas
anticipadas, vencidas y-diferidas, jünto con sus factores y métodos de cálculo. En esta
parte, se estudiará el cálculo de loi costos capitaiizados y sus aplicaciones en economía;
ál estudiante podrá ampliar sus conocimientos sobre diagramas de flujo de caia y
ecuaciones equivalentes.
Al terminar el estudio del capítulo estará en capacidad de determinar -mediante
calculadoras o tablas-, valores presentes, tasas y pagos periódicos de rentas perpetuas.
podrá calcular costos capitalizados y -mediante la utilización de diagramas de flujo de
caja- plantear y resolvei situaciones económicas en las que intervengan las rentas per-
petuas y costos caPitalizados. ¡
8.r TNTRODUCCIóN
En los negocios, es frecuente que ciertas rentas, salvo sucesos imprevistos/ se pa8uen
indefinidamente. Entre muchás otras, las rentas que se Pagan a perpetuidad son la
renta de un terreno, los legados para instituciones de beneficencia, los dividendos so-
bre acciones preferentes, lás sumás que es necesario reservar cada año para proveer la
reposición pétiOai.u de puentes, acueducto y, en general, todos los elementos de servi-
cios de una comunidad.
8.2
RENTAS PERPETUAS
Definición Una renta perpetua es una anualidad cuyo plazo no tiene fin.
En este capítulo se estudiarán las rentas perpetuas simples ordinarias. Todas las
expresiones que cualifican las anualidades se aplican a las rentas perpetuas, lo que ori-
gina diversos tipos de rentas perpetuas. Así, pueden presentarse rentas perpetuas anti-
cipadas, vencidas, diferidas, etc.
SíMBOLOS UTILIZADOS EN tAS RENTAS PERPETUAS
En el estudio de las rentas perpetuas se utilizan los mismos símbolos, con el mismo signi-
ficado de los capítulos anteriores.
VALORES DE tAS RENTAS PERPETUAS SIMPTES
Valor futuro de una renta perpetua Puesto que nunca cesarán los pagos de una renta
perpetua, resulta imposible calcular su valor futuro.
Valor presente o actual de una renta perpetua simple ordinaria Sea la renta perpetua
de $,4, pagadera al final de cada periodo, a la tasa I por periodo.
periodos
Se deduce que el valor presente de la renta perpetua es aquella cantidad P que,cl un
periodo, produce como intereses la sumaÁ/ o sea:
A : P i
De donde, (36)
El factor ! = gle, i%, *)es el valor presente de una renta perpetuavencida de una
unidad monetária porperiodo, ala tasai porperiodo.
8.3
P=A. I
1
MATEMATICAS FINANCI ERAS
La fórmula36 puede obtenerse también, como el límltede(PlA,i/o,n) cuandon crece
indefinidamente.
r - I
( l + i ) '
i
. 1 - ( 1 + i ) '
i
l ím A(PlA, iTo,n)=1ft¡
Dedonde
o sea
lím 
1
" + * ( 1 + i ) "
l ím A (P lA , iVo , * )=
= lím
P = A . \
- n
I
A . '
i
Valor presente de las rentas perpetuas simples anticipadas Cuando el pago de Ia renta
p"rp"tru es de inmediato, al trazar el diagrama se observa que el valor actual es equivalente
ut ¿" ,rr,u renta perpetua vencida, aumentada en el primer PaSo que debe efectuarse de
inmediato.
periodos
Se deduce que el valorpresente de la renta perpetua anticipada es aquella cantidad
P que, disminuida en Ia primera cuotaA, produce como intereses la sumaA/ o sea:
I D - A \ i : A
de donde
A
D - A L -
1
Si el pago que debe efectuarse de inmediato es W distinto deA, se tiene, para el valor
actual:
pn
A
n
W*;
1
D _
RENTAS PERPETUAS
f{E!|fef 
- En el testamento de una persona se establece que parte de sus bienes se
invertirán de modo que el hospital de ancianos reciba, a perpetuidád, una renta de $1.000.000
cada fin de año. Si en la localidad la tasa de interés es del gf,, háIar el valor actual de la donación.
P = A
A = 1 . 0 0 0 . 0 0 0 ; i : 0 , 0 8
P = 1.000.000. -l- = 12.s00.000
0.08
r@Alfa l lece¡ ,unaPerSonadejaunlegadoaunsanator io,eshpuladoasí :$600.000
para la adquisición de ciertos equipos y $800.000 anuales para su mantenimiento. Hallar el valor
actual del legado, si la tasa es del8To'.
P=w++
a
W = 600.000; A = 800.000; I = 0,08
p =6oo.ooo..,. # 
= $1o.6oo.ooo
Valor presente de las rentas perpetuas por pagar al final de cada cierto número de perio-
dos de capitalización En la práctica comercial, es frecuente que los pagos de las ientas
perpetuas deban efectuarse trascurrido cierto número de periodos de caiitatiza ci6ny, así,
sucesivamente por siempre. Tal es el caso de los gastos quó deben efectuárse para la iepo-
sición de activos. Por ejemplo, los puentes, las traviesis de los ferrocarriles, los equipos
industriales, etc. Puesto que estos activos deben ser remplazados periódica e indefinida-
mente por otros nuevos, el costo de las sustituciones constituye uni renta perpetua.
Para analizar estetipo de rentas perpetuas se elabora un diagram ay, en éi,se designa
por Wel costo de remplazo.
El valor W de cada pago puede considerarse como el valor futuro de k pagos de valor
A, efectuados al final de cada periodo de capitalización.
8.4
MATEMATICAS FINANCIERAS
En la fórmula 27b, F = A (F/A, i%, n), se sustituyen los valores F : W (costo de
r e m p l a z o ) ; n : k :
W = A(FIA, i%,k)
de donde, A = w Gd p/,, k\ 
= w (Al F, i%, k). Elvalor presente de la renta perpetua se
obtiene al remplazar eñ la fórmula 36, P = A . f , el valor de A:
p =W (A IF , i%,k ) es )
EI factor 1(at r , i%,k)es e l va lor presente de una renta perpetua ord inar ia de una
cantidad monetaria, pagadera cada k periodos, a la tasa efectiva de i por periodo.
ff iEIE[p La junta municipal de un pueblo toma la decisión de crear un fondo para
proveer a perpetuidad las reposiciones de un puente de madera cuyo costo es de $9.000.000.
Los ingenieros estiman que será necesario remplazarlo cada12 años, a un costo de $5.460.000.
Hallar el valor requerido para el fondo a fin de proveer los remplazos futuros, si la tasa de
interés es del 7%.
p-Wqr ¡a , t " , t< )
W = 5.460.(XX) ; i = 7"1,; k = 12
p _ s.410.Q00 ( N F, i,/,,,k) = 7¡i.000.000 (0,0s5901 99)0,07
P = 4.360.355
Al operar con la función X" de calculadora, se usa la notaciírn algebraica
P=+(F lA , i% ,k \= 'Y . t¡ \ , | , ( t * , ¡ o_ t
p_ w^ 
( t + ¡ ) * - t
- 5.460.000'= 
(Lo7 )n ' 1 
-
0'07)72 =2'252791'6
P = 5.460.000 + ( 7,2521976 ) = 4360.355
CAPITATIZACIóN
Esta expresión que tiene un significado muy amplio, acostúmbrase utilizar como sinóni-
mo de valor presente, en las rentas perpetuas. Así, a la tasa del 12% convertible mensual-
mente, el valor capitalizado de un terreno alquilado en $3.000 mensuales por mes
anticipado es:
RENTAS PERPETUAS
P = A A1 1 + -
i
5 . )
A = 3.000; j : 0,12;m = lL;i : 0,01
P = 3.ooo. uio99 = $3o3.ooo
0,01
Es decirque, desde el Punto de vista de los resultados financieros, seía equivalente
poseer un capital de $303.000 o ser propietario de un terreno que puede ur."r,áurr", po,
siempre, en 93.000, por mes anticipado.
_ Estudiar un negocio desde el punto de vista de su capitalización es de suma importan-
cia, ya que permite analizar el rendimiento de los activosiinculados al negocio.
@Enunalocal idad, lasinversionesrindeneI1'4%,concapital izaciónsemestral .
Un comerciante que muestra en sus libros una utilidad semestral de $252.000, en promedio de
los últimos balances, ofrece en venta su negocio por $3.800.000. Determinar si es o no una oferta
atractiva, e indicar el precio máximo que puede pagarse por el negocio.
o= ^'+
A = 252.000; j = 0,14; m= 2; i = 0,07
n = zsz.ooo(!)= $3.600.000
\0,07 )
No es buena oferta, el máximo que se podría pagar es de 93.600.000.
COSTOS CAPITALIZADOS
En los estudios financieros, los activos que es necesario rempkZar cada cierto número de
periodosk determinados por su vida útil, se analizan consilderando la suma de su costo
inicial más el valor presente de las renovaciones futuras a perpetuidad; esta suma corres-
ponde al costo capitalizado del activo. En análisis financiéros, suele remplazarse la renta
perpetua por una renta cuyo horizonte sea determinado número de periódos.
Definición 
-Costo capitalizado de un activo es la suma de su costo original más el valor
presente de la renta necesaria para las renovaciones futuras. La vida útiláel activo se mid.e
en periodos de capitalización de las inversiones. A continuación se definen los símbolos
utilizados en este texto;
K = costo capitalizado
C : costo original o inicial
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
W : costo de cada reposición
k : número de periodos de vida útil
i : tasa de interés por periodo
Por definición de costo capitalizado, se tiene:
K : C + P
Donde P es el valor presente de la renta perpetua, necesaria para las re
futuras. Al sustituir el valor de P, dado por la fórmula (39), se tiene:
K=c* {a l r , i vo ,k )
Si el costo inicial y el de reposición son iguales, es deci¡, W : C, se tiene:
K = C + 9 6¡ r , i%, k) = . ( t ++@f, i%, q)
¡ = g 
( 1 + i ) k
( 1 + i ) " - 1
Al dividir por (1 * i)k numerador y denominado4 se tiene:
K = c. = 9.----r-
l - ( l + i ) - ( i l - ( l + i ) - (
pero --:--=. = (Af P,iE"1),^ 1 - ( 1 + t )
entonces, K =+.(Alp, iva, k)
I@Hal lare lcostocapi ta l izadodeunamáquinaquesecomPrapor$4
su vida útil es de 12 aios, al final de los cuales debe remplazarse al mismo costo inicial. El
del dinero tiene una tasa efectiva del8%.
x=9@tp,¡n,r \
I
C =W =4.000.000; ft = 72; i = g%
, ,4.000.000 / . ,¡ aa .^K -"i:'i"" ' lAtP,s%, tz)= 59.¡tt.tt0(0,05269502+ Q08)
0 0 8 \ ' '
K = C[r*1 i , - 
' l 
= a ( t* ¡ )* - t * r
L , (1+ i ) " -1 I ( 1+ l ) ^ _1
Á = üb.bJ4./bt lhblaVll
RENTAS PERPETUAS
ffiEEIlEf Halar el costo capitalZado de la máquina del ejemplo 8.5, si al final de su vida
útil tiene un valor de salvamento igual al lS% de su costo inicial. En este caso, el costo de repo_
sición es igual al costo inicial menos el valor de salvamento. Fórmula 40:
ttl
K=C++(A lF , iE" ,k \
I
C = 4.000.000; W = 4.000.000 (0,85) = 3.400.000; k = t2i i = 8Vo
K = 40.000.000 + 1499'Wo . (AlF.BEo,t2) = a.6¡e.s0r + 3.4qq.900 (0,0s26es02)
0,08 0.08
K =$6.239.538
Solución con calculadora:
K = c* Y.----J-
i ( l + i ) r 2 _ I
1er. paso (1,08)'r = 2,51.8170"1.
2o. paso 2,5181701,-1=1,5181'701
3er. paso 3.400.000 + 1,51,81701 = 2.2i9.538
4o. paso 4.000.000 + 2.239.538 = 6.239.538
Las ecuaciones del costo capitalizado son de gran utilidad para tomar decisiones
en la elección de-equipos que tienen el mismo rendimiento, peró qr.te son de diferente
precio y tienen distintas vidas útiles.
Para alternativas con cliferente vida útil, en evaluación de proyectos de inver-
sión, algunos economistas efectúan comparaciones sobre el mismonúmero d.e años de
vida útil, lo que es erréneo. Véas¿ demostración en 8.6. En estos problemas se d.eben
considerar las reposiciones a perpetuidad.
IE&IT La-junta municipal de un pueblo deblfomar una decisión para la construcciónde un puente. Las ofertas más convenientes son: (a) construir un puente de.madera con un costo
de $6'000'000 cuya vida útil es de 10 años, al cabo de los cuales deúé remplazarse, al mismo costo;
(ü) construir uno de madera y hierro, con un costo de $10.000.000 y.ryu vida útil es de 25 años,
al cabo de los cualesdebe remplAzarse, con un costo de $8.000.00ó. El rendimiento de las inver-
siones tiene una tasa efectiva del9%.
(a) El costo capitalizado del puente de madera es:
a
K = : . \A /P , ,%,k )
c = o.ooo.ooo; i = g%; k = 10
K = 6 Hry . (q p, 8%,r0) = 7s.000.000 (0,06e02e49 + 0,08)0.09 '
K=$1L177.212
Tabla VII
8.ó
MATEMATICAS FINANCIERAS
(b) El costo capitalizado del puente de madera y hierro es:
Í 4 7
K = C r i l . ( A / F , i % , k )
,
C = 10.000.000; W = 8.0ffi.000; i = 8% ; k = 25
K = 10.000.000 + 8'000'000 . ( N F. s%. zs\
0 , 0 8 \ ' '
K = 10.000.000 + 100.000.000 (0,01367878\ = $11.367.878
El puente de madera es la oferta más económica.
COSTOS EQUIVALENTES
Por medio de ecuaciones de costos capitalizados equivalentes se puede dar respuesta a las
preguntas: iCuánto puede pagarse por un activo que prestará el mismo servicio que otro,
si son diferentes sus vidas útiles y sus costos, tanto iniciales como de reposición? ZSe
justifica o no cierto gasto adicional, para prolongar la vida de un activo?
[fttlfillfs Un equipo tiene un costo inicial de 92.400.000 y una vida útil de 10 años, al cabo
de los cuales debe sustituirse, con el mismo costo. iCuánto puede pagarse por un equipo similar
que tiene una vida útil de 8 años y un costo de reposición igual al costo inicial, si la tasa efectiva
es de l6%?
Costo capitalizado del primer equipo
2.400.000 / . ,^ .d - .=ff .(a¡e,on,rc)
Costos capitalizado del segundo equipo = #' 
(A¡n,on,A)
Los dos costos capitalizados deben ser iguales.
ff 
. @t p, 6%, to) = ft 
. {at n,sn,s)
De donde, c = 2.400 00 
(:!l:6::\:l = 2.400,000 . 2':.?22i?9.(AlP,6%,8) 0,1,6103se4 Tabla VII
C = $2.024.909, valor que puede pagarse por el equipo que tiene 8 años, como vida útil.
Otro método de comparación de activos con diferente vida útil consiste en calcula¡
los costos de las altemativas, actuando sobre el mismo número de años de vida útil o sea el
mismo horizonte; para esto, se utiliza el mínimo común múltiplo de los años de vida útil.
RENTAS PERPETUAS
Este método de uso muy difundido en la evaluación económica de proyectos de inversión,
sólo se cumple para casos triviales que, infortunadamente, son los menos frecuentes; por
esta razón, se recomienda hacer las comparaciones por medio del cálculo de los costos capi-
talizados. Con el siguiente ejemplo se puede aclarar este punto:
Con la tasa de cálculo de1.0%, debe escogerse entre dos máquinas de igual servicio,
que poseen las siguientes caracteísticas:
Máquina A
Costo instalación inicial 100.000
Precio máquina ............... 1.000.000
Valordesalvamento(20%)............... 200.000
Vidaút i l ,años.. . . . . . . . . . . . . 4
Máquina B
180.000
f.il0.000
308.000
8
tiene:
El mínimo común múltiplo de los años es 8; utilizando diagramas de flujo de caja, se
MáquiruA
0
1.000.000
100.000
PA : 1.000.000 + 100.000 + 1.000.000 (1,1f4-200.000 (1,1)-4-200.000 (1,1)-8
PA: $1.553.110
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
PB : 1.540.000 + 180.000 - 308.000(1,1)r
PB =91,.576.31,6
En este momento, aparece como mejor alternativa la máquinaA, por ser pA < pB.
Si se establece el horizonte a L6 años, se halla que:
1.540.000
180.000
1.000.000
100.000
IvIóquina B
Máquina A
200.000
4 l /
200.000
t2
200.000
16 | años
1.000.000 1.000.000 1.000.000
PA : 1.000.000 + 100.000 + 1.000.000 (-t ,1)4 + 1.000.000 (1,1)-s +
1.000.000 ('1,1)-12 -200.000 (1.,1)4 _200.000 (1,1)* _
200.000 (1.,1).12 _ 200.000 (1,ryr6
PA: $2.231.000
RFNTAS PERPETUAS
Máquina B
308.000 308.000
t .7
PB : 1.540.000 + 180.000 + 1.540.000 (1,1)*- 308.000 (1,1)* - 308:000 (1,1f"
PB:52.227.710
Resulta que la mejor alternativa es la máquina B,lo contrario de lo hallado con el
horizonte de 8 años.
Si se calcula por costos capitalizados:
tt/
K=C+i .<e le , i va , k )
MáquinaA: C = 1.L00.000;W = 800.000; k :4; i=10%
KA=$2.823.766
Máquina B: C = 1,,720.000;W : 1.232100; k = 8; i = 10%
KB = $2.797.370
La alternativa B es más favorable, porque KB < KA.
PROBLEIT'IAS RESUELTOS
L. Un hospital recibió como legado una renta perpetua mensual de $200.000. Si la
tasa de interés para las inversiones es del 6%,hallar el valor por el cual puede
ceder sus derechos a la renta perpetua.
1
P - A . '
i
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
)
A : 200.000; i : 6%; m : 72; i : 0,5%
A = 200.000 
7 -$40.000.000
0,005
Hallar el valor actual de una renta perpetua de $40.000 semestral con un primer
pago inmediato, si la tasa de interés nominal es del74%.
D = A + A' - " 
i
R : 4 0 . 0 0 0 ; i : 1 4 % ; m : 2
, _ r4 _ r *
z
p = 40.000+ 4Iry
0,07
P : $671'.428'57
Hallar el valor actual de una renta perpetua de $500.000 por año vencido, si la tasa
de interés es del 8% capitalizable semestralmente.
p = Y . @ l F . i E c , k )
I
W : 500.000; j : S%; m : 2; i : 4%; k = 2
p = !9Q.099 . (Al F, 4vc , z)= I 2.500.000 (0,490 l 9608) Tabta Vtr
0,04 \ '
P : $6.127.457
Solución con calculadora:
P =T !- 
i ( 1 , + i ) k - 1
W = 500.000; (7 + 0,04)2 - 1 : 0,0816
P = 5oo'oo-o- = 50ry!o = $6.127.451
o+0,0q¿ -7 0,0816
una institución dfbeneficencia recibió un legado de $90.000 anuales a pe
dad. Cede los derechos por $3.000.000; hallar la tasa de interés de la operación'
P=.a.1
I
P : 3.000.000; A:90.000
RENTAS PERPETUAS
3.000.000 = 90.0001
I
90.000
L _ = 0,03
3.000.000
Tasa efectiva : 3%
Hallar el pago a perpetuidad por mes vencido que puede comprarse con $1.500.000, si
la tasa de interés es del9% nominal.
A = P i
P = 1 . 5 0 0 . 0 0 ; i = 9 % ; m = 1 2
t = o ' 0 9 = 0 . . 0 0 7 5
12
A= 1.500.000(0,0075)
A= $71.250 mensual
Hallar el pago a perpetuidad por semestre, con un primer pago inmediato, que puede
comprarse con $2.000.000, si la tasa de interés es del'J.0% efectivaanual.
P=A+ !
i
o - P i'1.+i
P = $2.000.000;i = JTj _ 1= 0,04881
A _ 
2.000.000 (0,04881)
1,04881
A= $93.076,90
Las alfombras de un hotel tienen un costo de $2.400 por metro cuadrado y se renuevan
cada 2 años. Un fabricante ofrece alfombras a $3.000 el metro cuadrado, con una garan-
tía de 3 años. Determinar si a una tasa efectiva delS% la nueva oferta es conveniente.
Costocapital izado = K = { .ro,r , ,u",0,,
Para el pr imer caso, C : 2.400; i : 8%;k:2
" 
= 
# 
.(Alp, 8vo, 2) = 30.000 (0,480i6g23+0,08)
K = 30.000 (0,56076923) = $16.823,10
lhbla VII
MATEMATICAS FINANCIERAS
Para la nueva oferta, C = 3.000; i : g/6;k:3
r / 3 .000 , , , -
" 
= 
ffi.(AlP, 
8%, 3) = 37.500(0,30803351 + 0,08)
(- r,
i . t ,+tP, i%, k) 
= +. (A/P, i%, k+b)
1,
Porser @F:w:lT6 
= (Pf A, i%, k + b)
C' =C(AIP, i%, k)(PlA, i%, k +b)
El gasto adicionalX es la diferencia entre C'y C
- c ' - c=x=c (A lP , i%,k ) (P lA , i%,k+b) -c
?
x = cf(al P, i%, k) (P I A, i%, k +b) - 1]
x = cf---i-------'1' 
- (1 +'i)-k -b -'f
11.-(1.+i)-" t J
X = C. 
- 0' + i)-k 
-b 
+ (1'-+ i)-k
1 - ( 1 + i ) - "
TablaVtr
K = 37.500 (0,38803351) = $14.551,30
La nueva oferta es más conveniente.
Demostrar que el gasto adicionalX que puede hacerse para prolongar en b años la vida
útil de un activo cuyo costo inicial es $C y debe remplazarse cadak años, con el mismo
costo, a la tasa efectiva l, se determina con la ecuación:
X = C (Al F, i%, k) (P I A, i%, b)
Demostración: designando por K y K'los costos capitalizados, se tiene:
x=9.@/p,¡%,t )
x,=1.(e¡n,i%*+ a)
1
Los costos capitalizados deben ser iguales, o sea:
RENTAS PERPETUAS
Al muJtiplicar numerador y denominador por (1 * i)t, se tiene:
como 1'- (1'! i)-0 =(pf A,i%,b); - *--:- = 1n¡ r,;n,tc)i ( r + t ) - L
r = 3.000 . (alp,8%,s)(Pl A,8%, 2)
x = 3.ooo . 0'0-8 .1- 
(7'08f2
(1,08)" - 1 0,08
x = 3 .ooo . l - ( l ' 98 ) '
(1,08)' - I
(1,08/?
7,469328 -1,
./¿22"
7 - 0,857339 :
0,142661+ MR :
x
se tiene x = c (Al F, i%, k)(P I A, i%, b)
9. Los postes de madera utilizados por una compañía de teléfonos tienen un costo de
$3.000 c/u y deben remplazarse cada 5 años; un proveedor ofrece un tratamiento
químico que permite prolongar en dos años la vida útil de los postes. ZQué valor
máximo puedepagarse por el tratamiento de cada poste? Tasa de interés comercial
delS%.
x = C(Al F, i%o, k)(PlA, i%o, b)
C = 3.0001 k = 5; b = 2; i = 8Vo
x = 3.000(A/ F, 8Vo, s)(Pl A, 8Vo, 2)
¡ = 3.000 (0,17 045645) (1,7 83264'7 5);
¡ = $91 1,90
10. Resolver el problema 9 con calculadora.
(Véase problema 8)
Tablas VII y VI
fer paso
2o. paso
f,469328
: 0,469328 entra en memoria
0,1.42661,
0,303969
3.000(0,303969)
$91.1,,90
8.8
MATEMÁNCAS FINANCIERAS
PRO BLE'I'IAS PROPU ESTOS
1L. Hallar el valor actual de una perpetuidad mensual de $5.000, cuyo primer pago se hará
dentro de 6 meses, con tasa nominal de 12% converlble mensualmente. (Elaborar una
gráficapara estudiar los periodos diferidos y de primer pago).
12 Hallar el valor actual de una renta perpetua de $84.000 pagaderos: (a) al final de cada
año, (b) por año anticipado. Si la tasa efectiva de interés es del 8%.
73. Hallarelvaloractualdeunarentaperpetuade$156.000porañovencidqsuponiendo
un interés de (a) 6% efectivo, (b) 6% convertible semestralmente, (c) 6% convertible
mensualmente.
14. Hallar el valor de cesión de una renta perpetua anual de $30.000, suponiendo un
interésde (a)10% convertiblesemestralmente,(b)10% convertibletrimestralmente,(c)
8% efectivo.
15. Los exalumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para su
mantenimiento futuro. Si el costo inicial es de $200.000 y el mantenimiento se estima en
$35.000 anuales, hallar el valor de la donación, si la tasa efectiva de interés es del 7%.
16. En una localidad donde las inversiones üenen un rendimiento del10% con capitalización
semestral, un empresario ofrece en venta una sala de cine que üene una utilidad anual,
promedio de los últimos años, de $632.000. Si el edificio debe reconstruirse cada 20 años,
con un gasto de $6.500.000 y recientemente se le hicieron mejoras, y las butacas deben
remplazarse cada 8 años, con un costo de $750.000, determinar, de acuerdo con elrendi-
miento de las inversiones en la localidad, cuánto puede ofrecerse por dicha sala, supo-
niendo que las condiciones económicas perlnanecerán constantes.
1.7. Para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide estable-
cer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en $300.000 cada
5 años. Hallar el valor del fondo, con la tasa efectivadelí%.
18. Calcular el costo capitalizado de un equipo industrial que cuesta $800.000 y tiene una
vida útil de 12 años, al final de los cuales debe remplazarse, con el mismo costo. Calcu-
lar con laJasa del6%.
I
19. En el problema 18, calcular el costo capitalizado, suponiendo un valor de salvamento
igual al 15% delcosto original.
20. En los antiguos libros de una empresa ferroviaria se encuentra que el costo capitaliza-
do de unpuente que debe remplazarse cada 50 años está determinado en $2.152.947.g
el costo inicial fue de $1.850.000, calcular la tasa utilizada en aquella época.
?:1,.
22-
23.
RENTAS PERPETUAS
Una industria recibe dos ofertas de cierto tipo de máquinas, ambas de igual rendi-
miento. La primera oferta es por$380.000 y las máquinas tienen una vida útil de 7 años;
la segunda oferta es de $5L0.000 por máquinas que üenen una vida útil de 10 años. Si el
precio del dinero es el6% efectivo, Zqué oferta es más conveniente?
Una compañía minera va a construir depósitos de madera para almacenar agua, con
un costo inicial de $140.000; éstos deben reacondicionarse cada 10 años con un gasto de
$80.000. iQué precio podría pagar la compañía por depósitos de acero que duran 25
años, al término de los cuales deben remplazarse con el mismo costo? Calcular con la
tasaefectiva del6%.
Las traviesas que usa una compañía ferroviaria en una zona tropical le cuestan $120
por unidad y debe remplazarlas cada 5 años. Por medio de un tratamiento químico,
puede prolongarse la vida de las traviesas en 4 años. ZCUánto puede pagarse por el
tratamiento? Calcular con (a) la tasa efectiva del6%, (b) la tasa efectiva delS%.
ACTIVIDADES DE CONSULTA
Consultar el tratamiento financiero dado a la cesión de rentas perpetuas y las tasas de
interés en la localidad.
Estudiar ofertas de equipos similares en la localidad y comparar sus costos capitaliza-
dos; deben tenerse en cuenta los gastos de mantenimiento.
8.9
(a)
(b)
{_
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
OBJETIVO
El propósito de este capítulo es culminar el estudio sobre anualidades ciertas, a fin de
complementar Ios conocimientos con el análisis de sus casos generales. El estudiante
aprenderá a identif icar y definir, además de reconocer los factores que intervienen en el
cálculo de sus valores, junto con sus métodos matemáticos para determinarlos. Aquí,
podrá elaborar nuevos diagramas de flujos de caja y ecuaciones de equivalencia. Com-
plementará sus conocimientos sobre las anualidades con el estudio de anualidades va-
riables, gradientes y anualidades a interés continuo con pagos en flujo continuo.
Al terminar el capítulo estará en capacidad de identif icar y definir los diferentes
tipos de anualidades y calcular sus valores con ayuda de tablas o calculadoras; podrá
calcular los valores de las anualidades variables y resolver cuestiones económicas en las
que intervengan las anualidades, mediante la elaboración de diagramas de flujos de
caja y el planteamiento de ecuaciones de equivalencia.
TNTRODUCCTóN 
I
En los capítulos anteriores, el lector se familiarizó con los casos más frecuentes de los
diferentes tipos de anualidades simples y, seguramente, obtuvo suficiente práctica para
trabajar los problemas. Ciertamente, en la realidad, la mayoría de las operaciones co-
merciales y financieras que implican anualidades tienen un periodo de capitalización
igual al periodo de pago, es decir, se trata de anualidades simples. En los casos que no
9 . 1
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
9 .2
hay coincidencia entre el periodo de pago y el de capitalización, se dice que existe una
anualidad general
Definición Una anualidad general es aquella cuyos periodos de pago y de capitaliza-
ción no son iguales.
Todas Ias definiciones dadas para las distintas clases de anualidades y sus diferen-
tes tipos son válidas para las anualidades generales. De igual manera, lo son las defini-
ciones de los valores de anualidades simples, en lugar de plantear fórmulas generales y
otras correspondientes a los casos particulares, para la solución cle problenias que lm-
pliquen anualidades generales. Se considera mai ¡t it, instructivo y sencil lo, desárrollar
el tratamiento de las anualidades generales, trasformándolas en anualidades simples
equivalentes.
SíMBotos UTILIzADos EN LAs ANUALIDADEs GENERALEs
Se emplean los mismos símbolos y con el mismo significado daclo en los capítulos ante-
rlores. A continuación se presenta una lista de algunos símbolos y su signi?icado en las
e.cuaclones que implican anualidades generales.
¡r = número de pagos por año
W : renta o pago periódico de una anualidad general
./1,,; : tasa nominal con rn periodos de capitalización
rl = número de capitalizaciones por año
;
í : L : tasa efectiva por periodo de capitalización
A : renta o pago periódico de una anualidad simple ordinaria
9,3 CONVERSIó¡¡ O¡ UNA ANUALIDAD GENERAT ORDINARIA EN
UNA ANUATIDAD SIMPTE
Al efectuar la sustitución de una anualidad por otra, deben tenerse en cuenta dos prrn-
cipios básicos (uéansc sección 4.4 y eI ejemplo 5.6):
-
7. Las tnsns de interés deben ser equionlentes.
2. Los unlores de las nnuaridndes err cuarquier t'ecrn deben ser igunres.
Elabórese el diagrama de una anualidad general ordinaria con pagos l\., ¡, 1'.."-por año a la tasa efectiva i 'por periodo. Y el dJuna anualidad simplé c.,idinaria con r¡¡
pagos por año.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
General
Simple
Para la anualidad general, se tiene: Pagos : W; número de pagos 
: p; tasa efec-
tiva por periodo : i '(se emplea i ' , para distinguirla de la tasa i de Ia anualidad simple).^ 
Para la anualidad simple, se fiene: PaSos : A; número de pagos 
: r¡; tasa efecti-
va por periodo = i.
Valor futurode Ia anualidad general, ai f inal del año: F : W \FlA' 7V' P)
Valor futuro de la anualiclad simple, al f inal del año: f : A(FtA' i%' nt)
Los valores futuros deben ser iguales o sea:
A(FlA, i%, tn) : w(FlA, ft , p)
ffi t l++
ww
0123
ffi tl
Itj
i ) ' - 1= (1+
A . I =W '
I
ser equivalentes, o sea:
i),
,
i'), - t
1
i'
Las tasas de interés deben
( 1 + i ) ' : ( 1 +
Si restamos 1:
( i +
o sea/
ANUAL IDADES C IERTAS. CASO GENERAL
I 'ara exprcsar e l va lor de i 'en iurrc i r in de i se ut i l iz¿t la ccu. . ¡c i r in :
a l sus t i t u i r
s t ' t r t ' n t ' ,
( l + r ) "
I
^ . !
I
A
- ( t + r ' ; r
' = 
1 l + r ; ; r - - l
= w . I
( t + i ) ' '
(tt;n.st' sección 4.4)
t J ) , 7 |
( J ) h \
(42c)
= W . t
( t + ; ) ,
r t ' c u t i r d t ' ' t , t l u t ' t , 1 , 
( A I . ¡ ' : , t r l
( l l ) - I
( ' n t ( )nces,
( r+ i i i i , : (n ' ' i ' t ' ' ; :
al remplazar sc t icne
A =W (Alr, i ' / , , , k)
A -w (A l r : , f i , u
\ I l
s i n t _ k ,
P
El desarro l lo anter ior demuestra que las f ( r rmulas en las que interv ienen los va-
lores (F/A, i ' /n, n) y (PlA, i ' /", rr) son válidas para r¡ cntero o no.
Si fr no es entero, por lo general se trata de una fracción cuyo denominador es 12
ó 52 , deb ido a que l os pe r i odos se m iden en meses o semanas . Los va lo res de
\FlA, i%, k) para las tasas más frecuentes, se encuentran en la tabla VIII para valores
de p desde 2 hasta 12. En tablas más completas se encuentran los valores hasta p : 52.
La fracción f, se acostumbra a reducirse a la forma j . nsi, parap : 12y nr : 4, f sería
$ o s imp lemen te , { .
En la tabla X se encuentran los valores ae ( , l ln , i%, k) , sumando la l va lor de
(4F, i%, kl.
I
f f i fü Remplazar una anualidad de 918.000 cada f inal de año por una anualidad de
igual p lazo con pagos mensuales, s i la tasa es j , . , . , : 6%.
MATEMATICAS F INANCIERAS
nl t '5e5
l 8 r ) ( ) ( )
r \ - l ! (A f F , i ' t i , k )
lV - 18 . (X) t ) ; | - l ; tn - l l ; t -
¡1 - l8 ( ) (x ) ( ,y t , 0 ,5 , ; . l r )
Solr¡cir irr corr c.t lct¡ l . tclor.r :
N ' led i ¡n te l . r o [ ¡s t ' r r ' . l c i t i r t r l t ' l c l i . rg r r rn . r r l c f lu jo t l t , c , r ja : ie p l ¡ l i t ( , . r l¿ ccu¡c i t in r le t , t l r r i va lc ¡c i . r
. 
( t + ( l ( ) ( ) 5 ) - . I
t . t ) ( ) { ) . \ ( l ( 1 0 ;
l " p ¿ s ( ) ( 1 , ( X ) 5 ) r ' r - l , ( ) 6 I 6 7 7 t t
2" p ¡so l , ( \61677E I - ( ) , ( )6 16778
3" pas. (),()6 1677u :- (),(X)5 - l2,JJ5IÍ¡ ( t ,rr tra a nre'r.r i¡)
-1" p.rso l l l . (XX) - 12,33556 - $1 .159,2()
Obsórvese qut ' el i .rctor (,Vt. ¡ ' ; , Á ) ¡. .r¡,¡ l . e¡telr distr ibuve ,n [r¡¡ j() cr l v¿ros, es decrr, se
tr¿t. l t le utr f . lctor de distr ibuclolr. Mit ' tr l r .rs Llr. l r , p.rr( l I fr . lccior-r¡r i t , , 'a,r, . ,r , , ()cL¡rre err r l siguicrr-
te cjcnrplo, cl f¡ctor la t . , ' f , . Á) .r¡;ru¡r.r v. lr i . ,s p.rggs cl1 un() s¡[r, es cleci¡, elr t¡¡ f¿ct¡r dc
agrup. tn r ren to .
ÍEEEIEEA Con l . ' r t . .rs¡ dcl l l7, corrvert iblc semestr.r lnrente, susti t tr i r p.rgos de $1.{xx) al
f inal de cacla mes, por p.r l los semestrales vencidos
T - t : . | - 6, i , t - ! - - o,- , . , .1
[ , i l t
I f t .0 (X) ( ( ) , ( )8 l ( )661 j ) - $ I +5e,1( ) h b l ¿ \ ' l l
1 1 12 meses
w
2 semestres
K = u L ; A =
P
rN(,yF,
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
i%, trL\
p )
W = 1 . 0 0 0 ; p = ^ t n 
1
t ¿ ; t n = ¿ ; - = - ;
p 6
/ , \
1 0 0 0 ( 4 F , 4 % , , ¿ )
j =U"/,, ; i = 4'/n
uti l izando la tabla X
A = 1.000 (6,0992374) - $6.099,24
Solución con calculadora y fluios de caja:
Se plantea la ecuaciítn de equivalencia:
( t + i ) ' ' | ( r r i ' ) ' r
y v . - = ^ . - - ,
W : 1.000; p : 12; jt, : 8; nt : 2; i' : 0,04
Cálculo de i :
1"' paso 1,042
2Q paso 1,0816 - 1
3"' paso 0,0tt16 + 0,04
4a paso 1,00655t12r,
5s paso 1,0ti16 - 1
(1 + i ¡ ' : 1 ,1¡4
1 + i = 1,04* = lp4o'166667
1 + i : 1 , 0 0 6 5 5 8 2
¡ - 0,0065582
1.oooo. 1,00655g2rr 
- I _ A. 1,04¿ 
- 7
0,00655112 0,04
: 1,0816
= 0,0816
: 2,04 (entra a memoria)
: 1,0816
: 0,0816
6a paso 0,0816 + 0,0065582 = 12,M24385 t
7a paso 12,44243847 + 2,04 = 6,09923
8s paso $1.000(6,09923) = $6.099,23
En el problema 1 se da otra solución utilizando calculadora y aplicando la fórmula 42b
9.4
MATEMATICAS FINANCIERAS
VATOR FUTURO Y VATOR PRESENTE DE tAS ANUATIDADES
GENERALES CIERTAS ORDINARIAS
El lector habrá advertido que al convertir una anualidad general en otra simple equi-
valente, todo lo estudiado sobre las anualidades simples se aplicará -sin restricciones-
a la anualidad general equivalente. Por tanto, los problemas de cálculo del valor futuro
y de cálculo del valor presente se pueden solucionar sin necesidad de recurrir a fórmu-
las distintas de las ya tratadas en capítulos anteriores.
[ftf i f i lE[g Hallar el vakrr futuro y el valor presente tle una anualidad de g10.000 por
año vencido durante 5 .rños, a una tasa del 8')1,, convertible trimestralmente.
I 'r imero, se convierte la anualidad ger-reral de un pago por año, en otra simple pagadera tn-
mestra lmente.
A : F \Af F, ¡'/,,, il) Obsérvese que al aplicar la fórmula 42c:
A : w(AlF, i%, k);
para es te caso W : F , m : 4 , P : 1 , j : 8 % , k
- 8 - '>,u..
_ 4
1
t
F = 10.000; rn 2%= 4 ; j = 8 % ; i = L =
A
A
= 10 000 (AIF, 2%,
10.000. 0'92
1 n ? ' - I
10.000 (0,2426237 ) = $2.426,25
ii
4)
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
En el capítulo 6. la fórmula 27b se utllizó para el valor futuro, F : A(fle, i%, n);
valor presente, la fórmula 28b, P : A\flA, i%, n).
Af sustituirA y los valores n : 5, m : 4, nm : 20, se tiene:
0.02
9 . 5
F = 2.426,236 (r¡a,zn,zo) = 2.426,236. 
(r + q,q4"' - I
F : 2.426,246 (24,2973698) : $s8.951,20
Para el valor presente:
P = 2.426,236(n¡a, zn, 20) = 2.426,236.
P : 2.426,236 (16,35143334) - $39.672,46
r - ( r + 0 , 0 2 ) ' "
Se han calculado el valor futuro y el valor presente como dos problemas independientes. Pero,
conocido el valor futuro, el valor presente puede calcularse mult ipl icando por (P/F,2, '1,,20):
P = 5tt.951,20 (1 + 0,02) ztt - 5t1.957,20 (0,67297133)
P : $39.672,46
CÁLcUto DE tA RENTA DE UNA ANuAIIDAD GENERAT cIERTA
ORDINARIA
Tabla l l
Se aplica el mismo método de convertir la anualidad a que dé origen la forma de pago
y la tasa, en otra equivalente.
[ftff i IEEE Un inversionista compra una propieclad en 9650.000 a 15 ¿ños cle plazo, con
un pago inicial de 9150.000 y el saldo en cuotas trimestrales al 4,/,, de interés efecti,,,o anu.rl
Hallar los pagos realizados al f inal de cada trimestre.
s00 000
Apar t i r de la fó rmu la 42c ,A : W\4 f , i% , k ) y de la fó rmu la t8 l , , p = . \ ( p lA , t . , , n ) , segúne l
diagrama propuesto se tiene:
y para el
V" q ,
P : A(PIA, i%,n)(,alr, i ,r , r)
MATEMATICAS FINANCIERAS
P = 650.000- 150.000: 500.000; i=4%;n=75;m=t ;p=4;k= t r=+
soo ooo = A(PIA, 4%, É)(AF , n%, +)
soo.ooo : o. t- 9lo,n)'' . o,^o*o,o4 1r,o+.¡,'" _ r
500.000 : A (1 1,1 1838743) (4,0s9s0976)
500.000 = A (45,13520029)
A : 500.000 : (45,13520029)
A : $77.077,83
Otra forma de solución para este problema:
P : 650.000 - 150.000 : 500.000;
n : 15(4) : 60, i' : 4ol, efectivo anual, p : 4
P - 650 .000 - 150 .000 - 500 .000 ; n - 60 , i ' - 0 ,04 ,p : !
500.000 : A(P/4, {1,,, 60)
A - soo.ooo . (¡lp, i%,60)=5oo.ooo' 7 - ( 1 + i )
Primero se calcula la tasa equivalente trimestral al 4% efectivo:
r , 0 4 - ( 1 + t ) '
1 + i : ( 1 , 0 4 ) i ) . , 5
I : 1,0098534 - 1 : 0,0098534
[-uego, se' remplaza y calcula A:
Tablas VI y X
A : 500.000't--q-!!@,-- = 500.000 (aln,o,oasz+r"'eo)
I ( 1,00e8s34) "
(r,oooas:+) "' = 0,ss526472 t\
A: 5oo.ooo. . 0:09?9134| 0,55526472
A:5ooooo.ff i#
A : $77.077,83
9.6
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
PROBTEMAS RESUETTOS
1. Resolver el problema del ejemplo 9.2,con calculadora y la fórmura 42b.
/ n \
A: w l4F , i%, t ,, l )
W:1 .000 ; p :72 ; m = Z ;T = * , j = B%; i = 4%
A : 1.000. O'9Í
(1,04)- _ 1
(1,04r :7,0065582
7,0065582- 1 : 0,0065582 (entra a memoria)
1,000 (0,04) + MR : 6.099,23
A :96.099,23
2. Resolver el problema del ejemplo 9.4, con calculadora con función Xt . Aldespejar
A, se tiene:
(t,oEY - t
0,04
A : 500.000.
(7'041s :0,5552645
7 - 0,5552645 : 0,4447355 (entra a memoria)
(7'04)t/1 : 1'0098534
7,0098534- 1 : 0,0098534
0,0098534 + MR : 0,0221556, 
*
A : 500.000 (0,02215564)
A : $1.7.077,82
Sustituir Por Pagos trimestrales, a un interé s del 1.2% convertible trimestralmente,
una renta de $10.000 por semestre vencido.
A : 500.000. 0,04
1- (1,04r"
(1,04Y - 1
1- (1,04r' '
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
trimestres
semestres
10.000
(a2c) A : W(4F, i%,k )
W: 10.000; ,=#n =3%; p=2;m=4;k=f f= t= ,
A : 10.000 (4F,3%,2): 10.ooo (0,4e267084) rábla \
A : $4.926,t1
solución mecriante planteamiento de ecuaciones de equivalencia y con calculador:
L _ ^ ( 1 , 0 3 ) , _ 1' - /1'--o¡3-
r = 1o.ooo ( l + r) ' - t .'vv ---Jr-;
( 1 + i ) : ( 1 , 0 : ¡ z : 7 , 0 6 0 9
i, = 0,0609
Á._ ( l , o3 ) ' - I ( 1 ,o6oe) ._ r^'--T;6t- = 10.000
A (4,1836267) = 10.000(2,060s)
A = $4.926,t7
í-"r,!? 
,uri efectiva semestral equivaler.:.¡7o tnmestral
\
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
4. Sustituir con un solo pago por año vencido, al interés efectivo del8%, , una rent.r de
$1.000 mensuales, por mes vencido.
r.u(,u l.(xx)
A : w\AIF, i%, k)
W : 1.000; i = 8'/,,;tn = 7; lt = 12; k
A - 1.00t) (nf . t ,1,. J\^ " " ' ' \ " t ' ' " ' " ' 1 2 )
A : i .000 (12,43388648)
A -- 912.433,89
1.(XX)
- n t - 7- 
p - 1 2
hbla X
Otra forma: El pago único anual es e l va lor iu turo de 12 pagos dr . - $1.000 por mes
ve'ncido.
11+ 1 ' l ' ' - 1p : 1 .000
Cálculo de i 
' , (1 + i ' ) r2 : 1 , ¡3
7 + i , : ( r , o a ¡ i !
7 + i ' : 7 , 0 0 6 4 3 4
i' : 0,006434
r : rooo.=P,gq=,
0,006434
F :972.433,94
i ' es la tasa mensual eouivalcnte
a l 8% e fec t i vo anua l
5. Sustituir pagos de $1.000 por trimestre vencido, por pagos mensuales, con la tasa
efect iva del6% anual .
N¡ATEMATICAS FINANCIERAS
1.000 1.000
Por ecuaciones de equivalencia:
Para
A : w (4F, i%, k) (aéase 42c)
W: 1 .000, i = 6%, m= 7 , p = 4 ,k = +
F : 1.ooo (ur,en,tr)
W: A , i =6%; m=7 , p= tZ , k=# ,
F : A(AIF,u%,+)
Para
( t + r " ) ' - t
-----------:ii--
I
trimestres
asruDa en un Daso f
agruPa en un PaSo ¡
Tablas X y VIII
a(Ur, 6%,#) : l ooo (Ur, on,\)
de donde ¿ : 1.ooo (ntr,un,i)Fto,u%,#)
A : 1.000(4,08890752)(0108112584)
A: $331,T2
Otra solución calculando primero las tasas equivalentes:
p : 1.ooo (r¡a, r, ,) : A(r¡a, i", ry)
1,ooo.o+r- f - t -o
I
UALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
Cálculo de i ': (1 + t)r = 1,06
7+i ' : 1,06+ =7,0146238
i' = 0,0746738
Cálculo de i" : ( t + i , , ) ' ' : 1,06
7 + i" : (r ,oo¡n = 7,0048676
i" : 0,0048676
r A^^ (1 ,0146739t - It .uuu. ---g¡14¡7¡,g- - A.
(1,004s67861' - r---TffimAW-
l . ooo . ^ -0 ,06 A . 0 ,06o,of,i673E : ^' 0n0486736
A : t nnn .0 ,0048676
0.0146738
A -- 5337,72 mensuales
6. Un club de ventas ofrece un artículo, para pagarlo en 20 cuotas quincenales de
$300 cada una, por quincenas vencidas. Si la tasa efectiva es deI2% mensual, hallar
el valor de contado.
300 300
W : pago quincenal; A :
D -
lA / -
D _
D _
30t) 300 300
pago mensual; I : W (4f, i%, k)
w (4r, i%, k)(PIA, i%, t)
300 , i = 2%;m=t ;p=2 ; l<=$ ; , r=4 = 10 meses
3oo (.4/F, z%, +)(pl A, z%, 10)
(2,0099 s0 49) (8,9825850 1 )
95.476,37
clu lncenas
Tablas X y VI
MATEMATICAS FINANCIERAS
Otra forma de calcular:
Primero se determina la tasa efectiva i equivalent e al Z% mensual en 2 perioclos
quincenales.
7 + 0,02
(t,oz¡i : 1,ooee5o5
0,0099505 : 0,99505% quincenal
A(PlA, ¡%, n)
300; rr : 20; i :0,0099505
1 ^ ^ l - ( 1 , 0 0 9 9 5 0 5 ) ' '' t " ' ' - loo995of
P : ? o n 0 , 1 7 9 6 5 1 9
0,00ee505
P: 300 (18,05455)
P : fi5.416,37
7 ' Un equipo de soldadura cuyo valor de contailo es de 9730.000 se vencle con g100.00it
de cuota inicial y 18 cuotas mensuales, a un tasa efectiva del B%,. Hallar el valor de
las cuotas mensuales.
730.000
1 1 + i t : :
D -
D -
mese:
100 .000AAAAA
Primero se calcula la tasa efectiva mensual cotrespon<liente al g% efecti ' t, ::
\\ + i)) -- 1ñB
/ E 0,00á¿z+
P : A\PIA, i%, n)
A : P \A lP , i% , n )
P : 730.000 - 100.000 : 630.000;
A : 630.000. 0,006434
1 - ( 1 + 0 , 0 0 6 4 3 4 )
A - 630ooo &ffi
630.000(0,05907297)
937.178,20
El Banco Ganadcro, como incentivo para el desarrollo de la industria lecher¿r, h¿rct'
un ¡rróst;rmo para ser p¿rgado en las siguientes condiciones: $800.000 semcstrales
durante 4 años, debiendo pagar la pr imera cuota dentro de 3 a i ros. Hal lar e l va lor
del préstamo, si la t¿rsa es de| 8% con capitalización trimestral.
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
n : 1 8 ; i : 0 , 0 0 6 4 3 4
/1 -
A -
0 1 2
t---+--F-
stm tst rt 's
n(x).(xx) t i(x).(xx) ¡t(I).()()() f{)()()(x) ¡{)().()()()
I'or su importancia teírric.r y aplicaciones, se presentan difcrentes fonn;rs de solucitin:
Primr:ro se convierte el pago semestral en trimestral lryt, i ' '1,, k);lur-:go, sc c¿ilcul¿
F, (FtA, iol,, rt\:
f i : w (AF, i%, k) (F iA, i%, n)
W = 80 ( ) { ) ( } 0 ; ¡ = 18 - m= 4 , i = t= r ' , , , , =
r- : f too.ooo (AIF,2%,z)(FlA, 2%, 18)
V o calcul¿rdora financrera:
= ( (),4q50-le 50 ) (21,41231238)
: 58.480.124
v
L
[:
n(x).(xx) ti(x).(xx)
Mediante tablas VI I
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
o calculando:
F : 8oo.ooo**ffi _ 1 
. (r*o'q4" - t
Luego se calcula P : F (PIF, i%, n) Fórmula 23
F : 8.480.124; i : 2%; n : ZStrimestres
P : 8.480.724 (PIF, 2%, 28)
P : 8.480.724 (0,57437455)
P :54.870.767
Otra forma de resolver este problema: se convierte a pagos trimestrales y se calcula
el valor presente P como diferencia entre dos anualidades vencidas, una de 28 pe-
riodos trimestrales y otra de 10 periodos trimestrales:
: 8oo.ooo. (1'02[ 
- 1 -
(1,021 _ 1
: $8.480.124
p : w (AIF, i%, *)l(n¡n, i%, n,) - @1,q, i%, n.)f
W = 800.000; nr: 28; nr: 70; m : 4; i : 2%; p : 2;k : 2
p : 800.000 (AIF,2%, z)[(r¡a, i%,28) - (pla, 2%, 10)]
p : 800.000 (0,4e504es0)[(zt,zatzzzs6) - (8,e1zs8s01)]
p : s00.000 ., 0,9? ( 
t-(t- ] ,oz)" - 1-(1:0=2)"' l
0,tú-1 [-----oF2- 
- ---aI'- 
)
P :54.870.767
Con tablas:
o calculando
Otra forma: primero se calcula la tasa efectiva semestral equivalente al8% concapi-
talización trimestral.
1 + i : ( 7 , 0 2 ) , : 1 , 0 4 0 4
i :0 ,0404
Luego, se calcula el valor futuro F de la anualidad vencida:
= A\FIA, i%, n) = ¡F
A = 2 0 . 0 0 0 ; n : g ; i : 0 , 0 4 0 4
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
F = 8oo ooo. (1,00134aJa- 1
F = 8oo.ooo .o'tffi942
F : 8.480.724
Luego, se calcula P en función de F para n = 74, i :0,0404
P: F(1 + i ) -
P = 8.480.124 (1 + 0,0404)14
P : 8.480.724 (0,57 437 455)
P :54.870.767
9. Hallar el valor futuro y el valor presente de 28 cuotas de $5.000 que se recibirán
cada final de mes, a la tasa efectiva del 6% anual.
D 5.000 5.000
Primero se calcula la tasa efectiva mensual:
5.000
(1 + i ) r ' z : 1 ,06
1+ i : ( 1 ,06 )+
i : 0,0048676
F : A(r¡a, i%, n)
P : A(r1A, i%, n)
¿ : 95.000; i : 0,0048676;n : 2 8
F = 5000.CI,rffii?[u-,
MATEMATICAS FINANCIERAS
E _
E _
D -
p -
s.ooo.ffi
$1.49.s99,90
. ^.,., 1 - (t + o,oo+a 676)'r.uuu. ---trñga6-
sooo.W
$130.s8¿10
9.7 PROBLEMAS PROPUESTOS
10. Hallar la renta Por mes vencido, equivalente a $2.000 trimestral por trimestre venci-
do, a la tasa del 12% con capitalización mensual.
11. Sustituir una renta de $4.000 por semestre vencido, por pagos mensuales vencidos
a la tasa del 16% capitalizable mensualmente.
12' Remplazar pagos de $2.000 por trimestre vencido, por pagos anuales: (n) si la tasa
efectiva de interés es de\8%; (b) si la tasa de interés eé aefg% capitalizable trimestral-
mente.
13. Remplazaruna anualidad vencida de $20.000, por pagos mensuales vencidos a la
tasa del 10%, convertible semestralmente.
Mediante logaritmos, remplazar pagos anuales vencidos, por pagos mensuales ven-
cidos, a la tasa efectiva del70,4%.
Hallar el valor futuro v el valor presente de una anualidad de $5.000 por semestre
vencido durante 10 años, a Ia tasa del72% convertible trimestralmente.
Hallar el valor futuro y el valor presente de una renta de $6.000 por trimestre ven-
cido durante 10 años, a la tasa efectiva delS%.
Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad vencida de $20.000 anuales
durante 7 años, a la tasa del 6% convertible mensualmente.
Alguien compra una propiedad, pagando $100.000 al contado y el resto en cuotas
semestrales de $10.000 durante 12 años. Hallar el precio de contado, si la operación
se hizo a la tasa del72% convertible trimestralménte.
una deuda de 950.000 debe cancelarse en 6 años mediante pagos por trimestres
vencidos a la tasa del 5% convertible semestralmente. Hallar ét 
"aloi 
de los pagos.
14.
15 .
t6.
17.
18.
19.
23.
24.
ANUALIDADES CIERTAS, CASO GENERAL
20. Una persona deposita $500 cada f in de mes en una cuenta que abona el . r i
convert ible semestralmente. Calcular el valor futuro de los depósitos, al cab.r
de 10 años .
21. Una máquina puede comprarse, pagando $20.000 al ret i rar la y S20.00t1 cada
tr imestre durante 3%. años. Hal lar el valor presente de la máquina a la tasa
efect iva del 6%.
22. Una compañía debe cancelar 95.000.000 al cabo de 10 años. La gerencia decide depo-
sitar cada fin de semestre una suma tal que, a la tasa efectiva de intereses del 8-.,
pueda cancelar la deuda al f inal de los 10 años. Hallar el monto de los depósitos
semestra les.
Hallar el valor presente de un conjunto de pagos de $5.000 semestrales, que deben
Pagarse durante 6 años consecutivos, si el primer pago debe efectuarse dentro de 3
años y la tasa efect iva es del 8%.
Hallar el valor presente de una deuda que debe cancelarse con 30 pagos mensua-
les de $1.000 cada uno, si el primer pago debe efectuarse dentro de 2 años y Ia tasa
convenida es del 12% , con capitalización semestral.
CALCULO DEt TIEMPO O PTAZO DE UNA ANUALIDAD
OGENERAT
Se convierte la anualidad general en otra anualidad simple equivalente y se trabaja
con esta últ ima, siguiendo los métodos explicados en el capítulo 6 (sección 6.6).
[ f t f i I lE[ f , l Un empleado deposi ta cada f in de mes $2.000 en una cuenta de aho-
rros que abona e l t l% ct ¡n capi ta l izac i t in semestra l . ¿Cuántos depósi tos debe hacer par . r
reun i r $50 .000?
2.000 2.000
9.8
W : pagosmensuales; A : pa[Jos semestrales, m = 2; p = 12, i = t]%
A: w\AIF, i%, k)
t = g= 4 ,k ;k=3==+;w=2.oon' 
2 1 2 6 " '
A = z.om( Ar . sy", I l
\ ' 6 t
A = 2.0m 6,0992374)
A - 12.19t1,475
50.000 = 12.1s8,47s (rl,t, +,r., n)
\FIA,4%, n) = 50.0(D: r2.1e8,47s=4,oeBB7
rr - 4 semestres
I)ara calcular el últ imo pago, se t iene:
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
f -
r -
I =
exceso p.rgaclo -
ú l t imo pago
L
Tabla X
(lbr exceso Tabla \
199.615
l {espuesta : 23 pagos de $2 . (XX) y un ú l t imo pago dr $ l t )9 ,60 a l l ina l dc l mes 24 .
( ) t ro mét t tdo c lc c i l cu lo :
I ' r imero se de termina la t¿s¿ mtnsua l ec lu iva len t t ¿ l 8 ' )4 , con cap i ta l i zac i t in scmest ra l :
/ l * , { ' - r t u\ ' /
I
r + i - (1,04)" - 1 , ( ) ( )65sfr2
i = 0.(X)655tt2
L u e g o :
a(rl,t, rt,,, n)
$50.(xx);,4 - $2.(XX); i = 0,(X)655t12
!9tss82Il(),(x)655r.r2
12.7st1,47s (r ¡ n, +"t,, +)
12.198,475 (+,2+r.+U)
5l tt(x),3ti5
5l.t ' t(X),3t15 ' 50.(XX) = 1.tittO.3u5
2 (XX),(XX)
l.lJu0,3¡t5
F - 2 . ( X X ) . {
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
(r,ooossaz)"
(r,ooessaz)"
n log (1,0065582)
n (00028388e)
s0.000 (0006ss82) + 1
2.000
7,163955
log (t,te:oss)
0,06593679
(o,oosvsote) * (Ooozaaaar)
23,22 meses
La respuesta práctica es 24 meses con un último depósito menor que $2.000 o 23 depósitos con
un último depósito mayor que $2.000.
Si se opta por 24 meses, para el cálculo del últ imo pa¡;o se tiene:
F
Últ i-u depósito
Menos excescl
Diferencia
z.oN (FlA , o,6ss82%,24)
2.0N \2s,90019296)
$51.800,40
$2.000,00
1.¡rü),40
199,60
E -
E -
9.9
Respuesta: 23 depósitos de $2.000 y un depósito de $199,60 en el mes 24. Al operar con tablas,
una forma práctica para calcular el número de periodos es operar con una tasa aproximada
que se hal le en éstas, asi 4%: 6 : 0,666666%, aproximado 0,5"1 .
5o.ooo : 2.000 (FIA,0,s%, n)
(r¡a, o,sr,,, r) : s.ooo + 2.ooo : 25
Se busca en la tabla V columna del %%, el valor más próximo a 25 y se halia el valor 25,43195524
que corresponda a 24 periodos. Luego, se procede a calcular F : 2.000 (FlA, 0,655582%, 24) y
se obtiene un depósito de $199,40 para el mes 24. Al trabajar con calcudora f inanciera se ut i l iza
el primer método.
cÁLcULO DE LA TASA DE INTERÉs DE UNA ANUALIDAD GENERAT
Para el cálculo de la tasa se procede tratando la anualidad general como si fuese una
anualidad simple y se determina su tasa, en la forma estudiada en el capítulo 6; luesc..
se responde a la pregunta del problema, uti l izando las ecuaciones de tasas equir-aler.-
tes. estudiadas en la sección 4.4.
MATEMATICAS FINANCIERAS
[ftffilEffil Un equipo de sonido se vende en $430.000 al contado. A plazos, se oÉrec¿ eo
18 cuotas mensuales de $30.000 du. Hallar la tasa efectiva cargada.
Si se considera el primer pago como cuota inicial, se tiene una anualidad vencida de Sl.
mensuales pagadera durante 17 meses.
P : A(rla, i%, n)a
P = 430.000-30.000 : 400.000;,4 = 30.000; n : 17
400.000 : 30.000 (n¡a, in, v)
Para resolver con tablas:
(n¡n, ir",17) : 40ao(p = 8,33333
Para resolver utilizando calculadora con función Xv, uéase el problema 35 del capítulo 6
(n¡a, in, v) : 8,3i333 =
Al calcular I por interpolación, se tiene (Tabla VI):
\P IA ,3%,17) :3 ,16612
(PIA, z,s%,17) : B,772zo
a 0,03 corresponde 13,76672 a i corresponde 13,33333
a 0,025 corresponde 73,77220a 0,025 corresponde 73,71220
0,005 esa -0,54608 como i-0,025 es a -0,37887
0,005 _ i -0,025
0,54608 
- 
4,37887
.. ^ ̂ .tr 0,005 (-{,37gg7)t-u,u¿D = ---:0-84ó08- = u,uuJ4/
i = 0,0?A47 (efectiva mensual)
Para la tasa efectiva anual, se cuenta con la fórmula 20:
t - ( t + ¡ ) ' '
I
/ \ r r
t l l
t = 1 1 + - r l - 1
\ m )
-l; = o,ozs+z; m=rz
¡ = (r +0,028+z)" -7=(r,ozl47)1'z- 1
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENEFAL
Mec i ian te l ¡ funcro l r r / 'p ¡ rc l ha l la r e l r . ¡ l t l r de (1 ,02 t { .17) r i , f ina ln ren te se t iene :
i = (),- l(X)553
'Lrs.t 
efect ir , .r ¡ l lu.t l t lel +().()6, i
9. IO PROBLEMAS PROPUESTOS
25. El va lor actual dc t t t r . r . tnual ic ' l . rd de $500 p() r n les vencic lo cs c le Sl5. ( ) ( )0. F{¿l l¿r c l
núntero clc ¡ragos, si la t¿s,-r efcctiv¿r cs cicl g1,i .
26. Urr baltct'r ¿lbolt.t cl 8' l l con c.i¡rit.r l izaciolr st 'nrt 'str.rl. ¿Ctr¿irrt1ls cle¡rqi5,¡¡...,, cie $1()().
cad¿r f i r r¿ l t ie l t rcs, pe n l l i t i r : l l t rcuni r $5.0001
27. Un.r nr . r r lu in. r r i . r . igr íco la Cuvo 1 ' . ' ¡ l ¡ ¡ ¡ dc co. t . rc lo es dc $ l ( )0. t ) [ ) (J se r . t ,nde con.11
p;rgo inicial dc $'l(1.()00 y el saldo elt cttot.rs nrensu.iles dc $1().lXX), coll un cdrg,() por
iutereses ciel S9l efectivo.rnu.r1. Hall¿rr el rrurnero cle ¡rag¡.¡5 ncccs.tri()s 1r.,..,..,,..,..,_
l.r r l.i nr.rciu inari.t.
28' Un nttltor se velrdt't le cont¿rdo err $650.0()0. FI¿ll.rr cl nirnrercr Lle cuotcls mcnsua-
les ueces.rri. ' ts de $18.000 p.rr.t cirrrcelarlo, si la ctrot¿ inici¿rl cs cie $50.000 y st'c.rrra
el 16'/,, c1e intert-ses, corr capitaliz¿rción sr.mestr.t l.
29. Un pr( 's tamo dc $35.000 se ¡ ragará en 3. rños, cor l cu() tc ls rncnsu¿r les de $1.200 cacla
un.r. Hallar la t.rs¿r eiectiv¿r de interés cargad;r.
30. Un¿r herramienta rluc vale dc cont¿rdo $11.5i)0, se vcnde a plazos con un.¡ cuot¿r
in ic ia l de $1.500 y 12 pagos rnensuales de $1.( ) t )0. Hal l . rr la t . r .sa efe 'c t iva de in tcrés
cargada.
3 1 .
32.
Un banco hace un préstamo cte $175.000 que clebe ser cancelado en 40 cuotas rne n-
suales de $5.000 cada una. Hallar la tasa efectiva cle interés cargada.
Hallar la tasa nominal con capitalización trirnestral clue permita reunit en 5 añ9s,
un monto de $66.000 en una cuenta de ahorros, depositando $900 cada final dc
mes.
AN UAIIDADES GEN ERAIES ANTICIPADAS
Son aquel lasque, por ser generales, t ienen un per iodo de capi ta l izac ión d i ierent .
del per iodo de pago y que, por ser ant ic ipadas, los pagos se hacen a pr inc ipr . , ; .
cada periodo.
: l l
i l/4ATET,4ATICAS FINANCIERAS
Los valores de las anualidades anticipadas se calculan con el mismo método de
trabajo explicado en los párrafos anteriores, es decit transformándolas en una anuali-
dad simple equivalente. Para mostrar la importancia y alcances de este método, se
deducirá una fórmula general para el cálculo del monto, la cual puede ser de uti l idad
en los programas computacionales.
0 t2 P 1 ttll
-# P Paflos Por añtr
w@
La anual idad general ant ic ipada se convier te en una equivalente s imple vencida.
El proble'ma de la ecluivalencia se simplif ica si se suprime el primer pago W y sc
agrega un p¿rgo W, al f inal; ¿rsí, se tienc. una anualidad general vencid¿r y, de ucuerdo
con lo demostrado en las secciones 9.3 y 9.4, se t iene:
i : tasa efectiva por pc'riodo de la anualidad simple vencida
A : w (a¡r, i"t", 7)
Al quitar el primer pago W y agregar un último pa¿;o W al f inal, se tie.ne un:
anualidad vencida cuyo valor futuro F, es -teniendo en cucnta que ,r/) : l lr, núme :--
de per iodos en r r ¿ños:
F , : w 
\ A l 
F , i % , ' í ) ( r t , q , i % , m n )
Al valor F, se le debe quitar el últ imo pago W y agregar el primer pago acumu,--
do en los nrl periodos de capitalización a la tasa i,para obtener el valor F de la anur-:
dad general anticipada.
\ ¡ , r / " . \ t l l , lm r r ) + W ( 1 + i l - W
mtr) + ( t+i) ' " ' - t ]
0 1 2
#
A A
como
entonces,
m---l-
A
, t t t , t t capi ta l i¿aciont ' :
| | t r l
p( ) r an ( )
, ^ A
F : w ln¡r, i%, ;) (rl a, in,
7)(r la, in,: wf('+tr' m'
= lFlA, i%, mn)
F
( l + i ) , , , -1 : i ( r ¡a , in , nn)
r r : w [ (a t r , i , i t
ANUAL IDADES C IERTAS. CASO GENERAL
+ i (t I A, i7,,, trtn)i) F l a, i"/,,, trttt
luegcl,
luego,
Al rempl:rzar
En otra forma:
( t + i ¡ i r - ,
l : ' _
i
¡ : : LV (, t¡ t , i , l , i )Ato, i , ) í , , t t t t t ) f t . 
¡r ;an]
t 
t 
\ 
- i ( t ¡ , 1 . i , ; ,
\A I " i ' , / , , 
" " ) 
\
( n , . ' , ' r , ' , ' ¡ 
- ( l + i )
,,.\ -
t ' J -
t : w ( i \ l L , i ' ) ( , ,l ( t l , q , i { / o , t , r r ) ( r+ r ) l
I
t t
l l ' '
r ' _
E -
(43n)
( l . l¿ ' )L - -
Para el cálculo del valor presente, se tiene:
P : F ( I * i ) ' ' ,
:\rmo: (r¡a, i, mm) = (t + ¡)""'- t
I
i l multiplicar por (1 + i)",,
@ MATEMATICAS FINANCIERAS
se tiene: (f¡A, i,
(FlA' i'
luego,
En otr¿r forma:
En t ' fccto,
v ( t ' lA
w (AlL, i,,1,
(Alr,, ¡,i1,,
' t ( '
, r r r ) (1+i)" : f r l l l¿-
rnrr)(1 + i)" : Pla, i%, mn)
I ) -
f l -
t -
¡ r - W .
t - ( t + l ) "
( t + , ) ; r - t
Scgún la relaciírn clue i:xista cntre lcts valores m y p,
rnodific¿rciorles que h¡ccrr rn¿is fírcil su .r¡rl ic.tcion.
tlffi:lEffi| Moclific¡r l.r ftlrnrul.r.1.3a p¡¡¡ cl c.rso rr
I - r \ ( r \ l l . i " / , , k ) ( l l A , i ( / o , n t t t ) ( [ ' fP , i ' / o , k )
s i l r = P , cn tonces k - I
w (¿lr, i%, k)(PlA, i%, mn)(r¡n, ir",
w. ; - -5 . l - ( t , . ' ) ( r+ i ; ,
( t + i ¡ ; - 1 I
. ( 1 + i ; ; r
k ) (aa)
(111'¡
¡rrestan al¿rs f(rrnrul¿rs 4.7 y 41 se
i , ,4,, ntt)(t + t) -
i ' f t , nur ) ( l + i ) -
w (A r,, ¡,it , t)
i ¡
( ' - l i 
' ; = '
I t + ¡ ) |
, . _ ( l * , )
( r + i ) " " 
' ' 
t i
r \ -
( r lo ,
\F lA , i 'X ' , n , r ) ( l + i )
_ ( r * ¡ ) " " " ' - I I
osea, (FIA, i 'x , l l r ) (1 + ¡ ) = ( r , A, i , '1 , , t tn t + t ) - r
r : AI (FIA, i ' f , , t tu t + r ) - r ] fornra equivalente a la f í r rmul¿
.12, estudiad..r en el capítulo 7
lucgo,
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
9.12 PROBIEI,IASRESUELTOS
33. Calcular el valor futuro al final de 5 años de una renta de $500 pagaderos a princi-
pio de cada mes, a una tasa deI 6% convertible semestralmente.
Nota: En este nivel de análisis, el estudiante tendrá claro que existen diversas ma-
neras de plantear un problema de matemáticas financieras; por esto se ha conside-
rado úti l resolver éste de diferentes formas, a modo de revisión de los aspectos
teóricos estudiados. También se espera que el interesado pueda crear diferentes
soluciones para determinado problema financiero.
Primera solución:
Mediante la fórmula 43a que se puede desarrollar con calculadora financiera o con
tablas:
F = w (4F, i%, k)(Fl A, i%, mn)(FlP, i%\ k)
W = 500 ; m=Z ;p=72 ; i =$%=3%; , , = t ,U=h ,=¿
F = 5oo (4F, 3%, +) (r¡ a, 3%, 10)(r¡n, zn, [)
F = 500 (6,07456894) (77,46387937) ('1,00493860)
F = $34.991
Segunda solución:
Se calcula la tasa efectiva mensual equivalente al 3% semestral:
( t+ i f=1 ,s3
¡ = ( t , 0 3 ) - 1 = 0 , 0 0 4 9 3 8 6
i =0,49386% efectivo mensual
Luego, se calcula F para la anualidad anticipada de $500 mensuales para:
n = 72(5) = 60 periodos mensuales
F = 5oo l(rle, o,+szt6%, 61) - Ll
500
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
F : 500 (70,98799253 -7)
F : $34.997
Utilizando calculadora financiera, con operador anticipadas
r : soo (r¡a, o,+szs6, 60%)
p = 934.997
Tercera solución:
Mediante calculadora con función Y':
F : 5oo l(r¡a, o,+oza6%, 61) 
- 1]
F : 5 0 0 [
( r+o ,oo¿q:se) " - t
0,0049386
- ' ]
1,00493866' - 7 : 0,35055767
0,35055167 : 0,0049386 -7 : 69,98799287
F : 500 (69,98199287)
F :934.997
Cuarta solución
Al repetir el análisis que condujo a la deducción de la fórmula 43n, se convierte '¡
anualidad general anticipada mensual en una anualidad simple semestral vencid¿"
quitando el primer pago de $5OO y agregando otro al final del sexto mes.
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
A, = W(NF,i /o,k)
A este valorAr se le suprime el último pago agregado y se Ie suma el valor futuro, al
final del semestre 1, del primer pago que se suprimió; así, se tiene:
w(¿/ r , i%,k )+ w( r + i ) ' - w
500; i=3% semest ra ! , m=7; p=6;k = ¿
soo (4F ,3%,+)+ 5oo (1 + 3%) - soo
soo (4F, 3%, +) +5oo (0,03)
s00 (6,074s6979)+ 7s
3.052,28
Luego, se calcula la anualidad vencida de53.052,28 semestrales durante 10 perio-
dos semestrales
A(FlA,3%,10)
3.0s2,28(r¡n,zn,rc)
A
A _
A _
r -
F _
F = 3.[sz,zr. (r+o'q4"'-t = 3.0s2,28(11,46287931)
F = $34.997
Quinta solución:
La anualidad anticipada de $500 mensuales pagados al comienzo de periodo, du-
rante 60 periodos, equivale a una anualidad vencida iniciada en el period o -7(aénse
diagrama) con un último pago al final del periodo 60.
F : 500 (FIA, i%, n + 1)- último pago de $500
i = tasa efectiva mensual :0,49386% (aéase segunda solución) ; n:60, +1 mes
agregado en el periodo -1 : 61
F = 500 (r¡e, o,+szs6%,61) - s00
F = 5oo f(r¡a,0,+sza6%,61)-1,]
F = 5oo (zo,oanszsz - t)
F = $34.991
MATEMATICAS FINANCIEFAS
9. I3 PROBLEI 'TASPROPUESTOS
34. Una firma arrienda un terreno por 6 años en $2.500 mensuales, pagaderos a princi-
pio de cada mes. Hallar el valor presente del contrato de arriendo, a la tasa delS%
capitalizable semestralmente.
35. Una máquina industr ia l se vende a p lazos en 6 cuotas t r imestra les de $10.000
cada una. Hal lar e l va lor de contado, s i se carga e l 72% con capi ta l izac ión se-
mestra l .
36. Una persona deposita $500 cada principio de mes en un banco que abona el 8%,
convertible semestralmente. Calcular el valor futuro de los depósitos, al cabo de 10
años.
37. Se acuerda pagar una deuda con abonos de $4.000, a comienzos de cada trimestre,
durante 8 años. Hallar el valor de la deuda a la tasa del 4% capitalizable mensual-
mente.38. Una compañía de inversiones abona el72%,, capitalizable semestralmente. Un indr-
viduo entrega a la compañía $100.000 para que pague, durante 5 años, a una unr-
versidad cierta suma por trimestre anticipado, debiendo efectuarse el primer pag.-
de inmediato. Hallar el valor del pago trimestral.
39. Una máquina cuyo precio de contado es de $8.000 se ofrece en un plan de venta:
por mensualidades, sin cuota inicial. Hallar el número de cuotas necesarias de SErt-
para cancelar la máquina, si se carga eI8% de interés efectivo.
40. Un hospital recibe un legado de $60.000 anuales pagaderos cada primero de en€:-$,
durante 20 años. Hallar el valor por el cual el hospital puede transferir el legadr ri
la tasa para esas inversiones es del 6%, con capitalización semestral.
41. ZEn qué forma se reúnen más rápidamente $100.000: (a) depositando $65.000 er
banco que abona el 8%, con capitalizaciín semestral, o (b) depositando $3.ü,t-
principios de cada trimestre, en el mismo banco?
42. Un inst rumento de $25.000 a l contado se vende en un p lan por mensual ida:
s in cuota in ic ia l , mediante 14 cuotas de $2.000 cada una. Hal lar la tasa efe. :
cargada
9.14 ANUATIDADES VARIABTES
Si ocurre que los pagos per iódicos A no son iguales, se d ice que la anual i ; . : l
r .ar iable.
Definición una anualidad variable es aquella cuyos pagos difieren entre sí.
una anual idad var iable s imple c ier ta vencida és i rec iente, s i Ar . A, . A, , . .
< ,4 ' ; es decreciente en e l caso contrar io .
t t - 7
El valor futuro F a la tasa I por periodo es:
A' , )A
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
+4 , , 0+ i l +A , ,F :4 ( t+ r ) " ' +40+ t ) " ' +
t : 
,:, 
At, (t + i),, t'
El valor presente P a la tasa i por periodo es:
P : A , ( t + i ) + 4 ( 1 + i ) ' + . . . + A , ( r + i ) "
A t , ( 7 + i ) "l r - i
h = 1
(4s)
(46)
Apl icando esta sumator ia se puede calcular e l va lor presente de cualquie-r anua-
l idad var iable; pr imero se hal la la ley de formación de los términos ,4, , y lu"g, , se
trabaja la sumator ia término a término o se crea un programu 
"r - r 
. . r *püia¿or. para
muchos casos dc anual idades var iables se pueden desai ro l lar fórmulas que e-v i tarr
e l pro longado y d i f icu l toso t rabajo de la sumator ia. Éstos se estudiarán en los s i -
guientes capí tu los.
9 . I 5 GRADIENTES
Cuando los pagos varían de acuerdo con una ley que permita determinar cada unr-,, en
función de los números naturales, es posible ieducii los términos de la sumatrrria r.
obtener expresiones más simples para el cálculo, tanto del valor futuro como del r ¡l¡:
presente. Así sucede cuando los pagos varían en progresión aritmética o geomet¡.r.
fftEllEEf Un agricultor toma en arriendo durante 15 años un terreno para un cuitrr,,
que tarda 5 años en entrar en p lena producción, recogiéndose las pr imera: c t r .ech, : : en e l
tercer año; por estas razones, las condiciones del contrato de arriendose estipulan ail <:5 lrt\r
al f inal de cada año durante los primeros tres años, $30.000 al f inal del cuario rñ.. <-+1.r [\)(i..] l
f inal del quinto año y luego, $60.000 al f inal de cada uno de los 10 año,s sisuierrte: Hall¿r. a l¡
tasa del 8%, el monto pagado al f inalizar el contrato.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Se aplica la fórmula 45: , = i, At,(1 + i),-h
Para
h = 1; n = 1.5; A, = A, = A, : 25.000; A ¿ = 30.000; A. : 40.000; A6 = A7 =
F = 25.000(1 + 0,08)11 + 25.000(1 + 0,08)13 + 25.000(1
30.000(1 + 0,08)11 + 40.000(1 + 0,08)'0 + 60.000(1
60.000(1 + 0,08)8 + ... + 60.000
: Ar, -- 60.000; i : 0,08
+ 0,09)'2 +
+ 0,08), +
La suma de los pagos de 60.000 se considera anualidad simple vencida pagada durante 10 perio-
dos a la tasa e fec t iva de lS%.
60.000(F/4, 8%,, 10) : 60.000(14,486s6247\
F : 25.000(2,93779362 + 2,7796232J + Z,s79t701,z) + 30.000(2,233163900) +
40.000(2,1s892500) + 60.000(14,48656247)
F -- $7.229.875
En cuanto a las anualidades variables -en las cuales los incrementos o decremenros
de sus pagos periódicos son cantidades que varían en función de los números natura-
Ies- por lo general, es posible reducir los términos de su sumatoria a expresiones más
simples, facil i tando así su cálculo.
En los pagos per iódicos de las anual idades var iables, Ia pr imera cant idad de:
flujo de caja recibe el nombre debase y la cantidad de variacióñ recibe el nombre de
gradiertte. Esta separación, aunque no necesaria, es conveniente para el análisis
matemát ico del gradiente. Las var iac iones más comunes son los gradientes ar i tme-
ticos o l ineales y los gradientes geométricos. A continuación se examinarán esto:
dos t ipos de var iac iones.
9.16 GRADIENTE ARITMÉTICO
Las anualidades variables, cuyos pagos periódicos aumentan o disminuyen en una can-
tidad constante, se consideran anualidades de variación l ineal o uniforme y reciben"
por antonomasia, el nombre de gradiente aritmético que puede ser creciente o decrecien-
te según el tipo de variación bien sea de incremento o decremento.
El cálculo de los valores de las anualidades de variación uniforme se efectu¡
uti l izando las propiedades de las progresiones aritméticas y los valores de las anua-
lidades estudiadas hasta el momento. A continuación se desarrollará el método pa:¡
el cálculo.
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
'Primero se elabora el diagrama del flujo de caja:
periodos
En la sección 0.10, progresión aritmética,
i¡;ual al primero más r¡ - 1 veces la variación;
término A, se tiene:
término r ¡ -és imo : A + ( r r - 1)L
st:parando la base del gradiente, se ticne ¡¡ p¿rgos A y el gradier-rte ctrvo valclr
presentc se designa por AL.
A I .
' (tt-1)l,
El valor presente de lo-q pagos gradientes en el año 0 es igual a la suma cle los
r, 'alores presentes de los distintos pagos.
A L : L ( 7 + i ) : + 2 L ( 1 + i ) , . r - . . . + ( i l - 2 ) L ( 1 + i ) r , , t r * ( i r - 1 ) L ( 1 + i ) - ,
Al multiplicar AL por (1 + i) y restar AL, se obtiene (i'dn-sr sección 0.11):
ALO : t (1 + t-r + t(1 + 0 r + t(1 + i )-r + . . . + L(I * i ) i , r + L(1 + i )- , ' - r tL( l
A + (n -1)1.
se clemostró que el término r¡-ésimo es
c'ntonccs para la variación L y primer
MATEMATICAS FINANCIERAs
At = +l(oto, i%, n) 
- n(n¡r , i%, n)l en notación estándar (47b)
Para L : 7, AL es el factor del valor presente de un gradiente l ineal de valor 1; se
acostumbra expresar mediante (PlG, i%, rr ). Existen tablas con los valores del factor de
gradiente. Aquí no se hará uso de éstas.
El valor presente de la base, que constituye los pagos,4 por perrodo, es:
D -
r l -
A\PlA, i%, n)en notación estándarD _. , 1
El valor presente P de la anualidad con gradiente aritmético es
P : P r + A L
o sea,
(4r9ii r
En notación estándar:
P : A (pl A, i%, ") 
* ! l(nt n, ¡%,,t) 
- n (n¡r, i%, n)l
Para el valor futuro
F : P (1 + i ) '
A .
( JR i
, L
I [¡r¡a, in, n) 
- 
"]
l t+ i ) - r , [ t t * ¡ l ' - ¡ 
- l
F : A . r_ , , __ - r_ + ! l ' ! _ _ t t lt t 
L 
' 
l
En notación estándar:
F : A(rle,, i%, n)
ff i fg Una persona contrae la obligación de pagar 92.000 cada final de mes, dur,
un año, aumentando sus pagos sucesivos en $100 cada mes, hal lar: (n) a la tasa del24%, , el ' . "
presente de su obl igación; (b) si desea susti tuir su obl igación por otra equivalente con la mr.
tasa, con pa¡los mensuales iguales, icuánto deberá pagar mensualmente?
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
12 meses
I 'ago en el mes 12 : $2.000 + $100(12 - 1) : $e.tOO
Separando la base A del gradiente L, se t iene que el valor P es igual a la suma del valor presente
de la base de $2.000 más el valor de AL:
P : A(t ' ¡n, t r , , , n) + AL
p - A(plA, L/,,, ,) + lf(n¡a, i,/",rt) 
_ rt (nlr ,,,t,, ,)]
,4 - 2 .000; L-1(X), =0,02; n - 72
. 0,24' 1 2
Ir : 2.000 . n l) ')
P - 2.000 (10,57534) + 5.000 (10,57534 _ 9,461915)
P -21 .150 ,68+5 .567 ,71
(n) P : 926.777,80
(b) A : P(AIP, i.t,, i l)
P - 26.717,80; i - 2/,,; rt : 72
A : 26.717,80(¡lp, Z'/,,, 12) = 26,717,80 
-t:#r
A : 26.717,80 (0,0e45s96)
¡ : g).526,40
Tft lñ!trEIU Las ventas promedio de un almacén son de $400.000 mensuales; el dueñ,,
inicia una ampliacií tn V esttmr que sus vent¡s, a part ir del quinto mes, Se incrementarán c()n u:r
gradiente de $50.000 mensuales, estabi l izándose al cabo de un año. Hallar el valor actuai ci t . , .r-
ventas durante primer año. Tasa de interés: 18% anual.
roo [ ( r 
- ( r * o,oz) ' ' )
' ttLz 
I 
ttLz rz (r * o,oz)''l
r - (r + o,o2) 
' '
MATEMATICAS FINANCIERAS
Se elabora el diagrama del flujo de caja:
P A L
72 meses
800 miles
Al apl icar la f t i rmula 47, se obtiene el valor presente de la serie gradiente, dos meses antes del
inicio de la serie gradiente o sea, AL ubicado en el mes 3. El valu presente p es i¡5ual a la suma
del valor presente de la base de 9400.000 más el valor presente t ie AL que está cl i fer ido 3 meses.
Primero se calcula AL apl icando la f ,órmula (47b)
ot = +f¡n¡t , i r" ,")- "(n¡r, i%,,n)l
L = 5 0 . 0 0 0 ; i = # = 1 , 5 ' 1 , ; n = e
Ar = ff# f(rla, usn,s) - s(plF, 1,s%,s)]
/ r - s 0 . 0 0 0 [ r 
- ( l n o ' o r s ) ' , . t , . . . . . - . " lAL = -f i f f i 
L # 
v(t r{).ors)' 
I
AL = ffif$ fa,sr-,ostzsz - e (o,874se22)l 
J
AL = $1.630.624
P = A(PIF , i"1,, n) + (r + i) 
- 
ar
,4 - 400.000; i = 7,5o/o; n =12; k =3(t iempo diferido)
I ( l + o , o l 5 ) ' r= 40() .U00 - -Tdlst - + ( l+0.0t5) ( t .6 : rO.r ,Z+)
= 4ü1.000 (10,90750s3) + 7.630.624 (0,9s63170)
- $5.922.396
P
P
P
I
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
9.17 GRADIENTE GEO'IAETRICO
En esta parte se estudiarán dos tipos básicos de anualidades con variación geométrica.
En primera instancia se abordarán las anualidades variables cuyos pagos periódicos
varían formando una progresión geométrica, o sea, que se caracterizan porque el co-
ciente entre dos términos sucesivos es constante (uénse sección 0.11). Estas anualidades
reciben el nombre de gradiente geométrico. Luego, se analizarán las anualidades varia-
bles cuyos pagos periódicos varían de tal manera que las variaciones forman una
progresión geométrica; en este caso se trata de una anualidad variable con gradiente
geométrico.
En el siguiente diagrama aparece un gradiente geométrico o creciente vencido,
cuyo factor de variación es r.
n - 2
n5 
Ag",
El valor presente P es:
p : A ( 1 + i ) ' + A g ( 7 + i ) - 2 + A g 2 ( 7 + i ) J + . . . A g ( , ' ) ( 1 + i ) , ¡
P : A ( 1 + t ) - ' [ 1 + g ( 1 + i ) ' + . q r ( 1 + i ) 2 + . . . f 
' ( 1 + i ) r , - r r 1
Lascan t i dades l +g (1 + i ) r+ g ' ( 1 + r ) t+ . . . g , - t ( 1 + i ) t , - r ¡ son los té rm inos
de una progresión geométrica de ri términos, que tienen como primer término 1 y como
razón ,q(1 + i) 
' , y su suma es (oeáse sección 0.11):
, : [g ( r * ¡ ) ' ] " 
- r
s ( t+ i ) ' - t
p : A ( 1 + i )
, . [s(r*¡) ' ] " - r
I
g ( t+ r ) ' - t
( t + i ) " - ru - n
/ l * ; \\ - ' ' / s ( t+ i ) ' - t
MATEMATICAS FINANCIERAS
En notación estándar:
Para el valor futuro
De donde,
F : P ( 1 + i ) " :
r ^ r ' - ( i + i ) '
I - : 1 1 . -' 
. c - ( l + i )
s ' ( t+¡ I " - t
s - ( t+r )
s'(PlF, i%, n) - t-rFn,nT
s" - (FlP,i%, n)
g - (r¡n , in, i,)
P = 4 . (50b)
(50a)
(51n)
(s1b)
[EElffE Una deuda debe cancelarse en 5 años con cuotas de $10.000 cada f inal de
añtr a una tasa de interés del 6"/o. Estos pagos se incrementan, después del primero, en un l0%
anua l cada uno. Ha l la r e l va lo r p resente de la deuda.
Se e labora e l d iagrama y se ana l iza :
En notación estándar: F : A.
1 0(1,1) '
1 0 ( 1 , 1 ) " ' m i l e s
El cociente entre cada término y el anterior es constante e igual a 1,1; en consecuencia, se trata
de un gradiente geométrico. Al apl icar la fórmula (50b), se t iene:
.g" l n l r , i% ,n ) - t
g - lrln , i%, t)
: 10 .000; i : g /6 ; ¡7 =
10.000
1,1' (PlF,6%, s) -
5
1
1 , 1 ; A
1 , 1 - ( F l P , i % , 1 )
1 , t ' ( t + i ) 0 6 ) ' - 1
ú:¡-r0,G)-
r0 ( l , r )
P : 10.000 .
ANUALIDADES CIEHTAS. CASO GENERAL
P = 10.000 .
1,610s1 (0,7 472s817 ) - 7
0,04
P : $50.866,68
@EUnadeudaSeamor t i zaen6añoSconPa8ossemeSt ra lesde$9 .000po rSe .
mestre vencido a una tasa efectiva anual del 10%, incrementando cada año los pagos enun20%.
Hallar el valor presente de la deuda.
(r-1) n años
2fu-"1) 2n-7 2n semestres
7 2 3
t t l
0 1 2 3 4 5 6
At A\ Ar.{ Arg
l lv+
A
Ag
^ , t - Z . , r : ^ i l - l
¡{r8 Ár.( ^r,g
Y
. n-2^8
^ n - lnr,t
I
I+
, i l- l
ág
Primero, se calcula el pago anual A que remplaza los pagos semestrales ,4,:
A : 4\4F, i%, k)
Luego, se calcula P apl icando la fórmula (50b):
P : A '
g'(PlF , i%t n) - t
s - \FIP, i',l", 1)
Al sustituir A, se tiene:
At8-
I
I
ü
A.qt
n 1p : e.000
(1+ O1) 'z - 1
(ucn.sr ejemplo 9.1)
t , z ' ( t+o , t ) ' - t
t , z - ( t +o , t )
D -
t -
P:4(AlF, i%,k). tw*;
A, = 9'000; i = 1'0%; m= 7; P = 2; k = i , , 
= 6; g = t ,Z
('t os5es4) (o,su+znt¡ - te.000(2,04880sas).ff i
s726.403
MATEMATICAS FINANCIERAS
Anualidad variable con gradiente geométrico La base permanece constante y la varia-
ción es un gradiente geométrico. En el siguiente diagrama la base se designa por A, el
primer término del gradiente de variación porg, yq es el factor de variación geométrica
del gradiente.
El valor presente de esta anualidad variable con gradiente es la suma de los valo-
res presentes de la anualidad base y del gradiente.
0 1 2 3 4
. ' '
? V V V V
I A A A A
l + r +
lJ l lt;1."r
P, ¡'r gqt
+
AG
n-"1. n----l---]
A A
+ +
t l
t l
t l
. V
9 q n 2
8q
P : P r + A G
AC =.9(1 + i ) '+ gq\ + i )3 + gq2(7 + i )r +. . . * gq,- , (1 + i ¡- t - t r + gq*2(7 + i )--
Véasc secciín 0.11: primer término = g(1 + i)-2, raz6n : q(7 + i)-r, número de
términos (rr - 1):
8 ( 1 + i ) ' : g ( t + ¡ ) '
. l qn+ i ) ' . | " ' - l
d e d o n d e , A c = g ( l + i ) 
' .' q - ( 1 + i )
Pt : A(n¡a, in, r )= a. 
t - ( t -+ ¡ I"
p : A . 
t - ( t + ¡ ) " 
+g ( r+ ; ) , .
I
como
entonces
En notación estándar:
q,, ,(7+i) ,* ' , _ 1
q - ( t+ i )
qa* ' ) (P lF , i%,n-1)- tP : A (P lA , i%,n )+ s (p lF , i% ,1 ) . q - (F lP , i% ,1 )
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
Para el valor futuro, F : P (1 + i),
fffiElEEf,g Una estación de servicios se arrienda durante 4 años, y en el contrato se
establece una base de $500.000 semestral, más una adición de $100.000 pór servicios que se
incrementan cada periodo en 7% semestral. Hallar a la tasa del I0% el valor presente del cóntra_
to de arriendo.
0 1 2 3
I rlo soO s00
l+Jj
I r rn t+r 100(1,( )7)
P, 100(1,07)'
+
AG
8 semestres
miles500 s00
+ +
tlv l
100(1,04' v
100(1,07)'
Aquí, se t iene una anualidad variable con gradiente geométrico. Su valor presente es la suma de
una anualidad de $500.000 por semestre vencido más el valor presente AG de un gradiente de
$100.000 con un factor de crecimiento de 1.08:
P, : AlPlA, i%\ n)
Arr = ,r (ptF, i%,t1.' "ln!'(iT''¡iA,'¡\- '
Obsérvese que con relación al diagrama de la fórmula 52a, este caso está desfasado en un perio-
do; por esta razón Ag debe mult ipl icarse por (1 + i) y aparece un periodo más de gradiante.
P : P t + A C
p - A t ( P l A , i % , n ) + g 0 + i ) '
A' : 5([ .00(t ; i = ! = 5%; g= 100.000; 4 = 7,07; n=8
q" ' (P IF , i% ,n -1 ) - 1
q - \F lP , i%,1)
p : 500.000. t 
- (t :gos)" 
+ 100.000 (r,os),. t,ol-g#. (r,os)
P : 500.000 (6,46321276) + 100.000 (8,1468019)
P =3 .231 .606 +814 .6U0
P = $4.046.286
MATEMATICAS FINANCIERAS
9.I8 ANUALIDADES CONTINUAS
Las anualidades continuas pueden analizarse desde dos puntos de vista, según el pago
sea continuo o el interés sea continuo.
Las anualidades de pago continuo son aquellas cuyo periodo de pago es menor que
cualquier cantidad positiva arbitrariamente escogida. En estos casos, se dice que el di-
nero se recibe enflujo contirtuo, durante el periodo de capitalización. En las fórmulas:
r : w(ar, ,%,T)GtA, i%,,)=wG¡1. 
( t+ü - t
Ahora, se debe analizar el valor A:
/ \
A : wlUr,in,T) = * 
i.,Í _ 
@éaser6rmura42)
Si el pago se efectúa en forma continua, entonces P --l -. Para el análisis, se modifica el
valor de A, expresadoWp : T, pago total en el periodo de capitalización.
W p j
A = # . ; - - -E = Wp . 
* . - - ! J
, ( 1+ i I - l p ( t+ i [ - r
W p : T
T .
A -
. t , . s L . ( t + i ¡ f - 1l ímpl (1+ i ) , _11 : l iT - - Í - ,
r ' ' L 
P
Aplicando la regla de LHópital, se tiene:
t . . 4 
' l
r f ( t+t ) ' -11
(r . i ; t 
[ -
Llr t+¡) Í - r l
d p L ' ' Ilím
a ( t \7i\n)
: lím
_ 1
p '
F l ( t * i ) ? ̂ . t n (1 .+ i ) : m . t n ( t + i )
ANUALIDADES CIERTAS, CASO GENERAL
de donde,
9.19 ANUATIDADES A INTERESES CONTINUOS
En este caso¡ se efectúa un número finito de pagos por año, en tanto que el interés
capitaliza en forma continua.
Sustituyend o i = 
l i; 
tt = tttr, doncle f es el t iempo total en años, se tiene:
I
m . l n \ 7 + i )
I í m F = T r - . ( t + ' ) ' - t
m . l n \ l + i ) t
En la misma forma, se obtiene:
I
l í m P = . _ ; _ ( n ¡ n . i 2 , , , )i l t . u t \ r + t )
I
r r m i . = t - . t 
( t + r L -
m . I n { l + i ) i
m
l ' = Y V .
I ; L
I I \ r '
l 1 + ¿ l - 1
\ m )
/ i \ ' ' '
l 1 + - l - 1
\ m l
f = V V .
l í m Á =
l í m F =
(53)
(san)
(s4b)
(ssn)
(s5b)
FlA, L , tm)' m )
l t*¿)" '- '
\ m )
| ; \ r
F=Wl A lF , -L%,a l l
U m p ) \
j
' \ 4
' \ P
+ ¿ | - 7m )
. ' z t r f ' ' ' " r l l/ l = l ímlfr*¿l Im) . - -L\ *) )
l
t
rm lt + a')' ' ' = r^ l,' - - \ m ) " - - \
MATEMATICAS FINANCIERAS
l o g v =
logx =
l imF =
j ' t(t *+)'=' (aeánse secciones 4.4v 4.70\
de donde:
en forma análoga, se obtiene
de donde:
ptt _ f.
l i m F = W '
i l . '@ 
, i - I
En la misma forma, se obtiene para el valor presente P:
1 - p - t t
l i m P = W - 
-
t t i + @ !
e t ' - 1
(5;
[ffi:!EEI[ Calcular el valor futuro al cabo de un año de una renta mensual de 91.0fti, :
la tasa del 6% con capital ización continua.
Al apl icar la f( lrmula 56:
e , ' _ 7
l ím F vv_
D t ) d '
e r - 1
w = 1 , 0 0 0 ; j = 0 , 0 6 ; t = 7 ; P = 7 2
. ^ ^ ^ a u u " - l - ^ ^ ^ c u " n - l
l ímF = 1.000 oo, = 1.000 ,"r, ,
c l z - l 
. . - l
eo'06
0,067 lctg e = 0,06 (0,4342945) = 0,0260s767
7,06784 (Repítase el cálculo mediante la funcicin
_0,00.5
E
0,005 log e = 0,005 (0,+z+zo+s) = 0,00217147
1,005012
1 , 0 ó 1 8 4 - 1 _ 0 . 0 6 1 8 4 = q l ? . l j R ? q
1,005012 - I 0,005012
f , , '¿i l{'
l í m l ( 1 + * ) j | = r ' i ,, , _ _ L , J
T , , , - l - 
, \ , , , , l ; :r iml ( r * ; ) ; I l im l ( t+r ¡ r = c .
, r t - l ' / | ¡ r i . | \ , 1L I
(56 r
(Véase problem:
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
9.2O ANUALIDADES A INTERÉS CONTINUO CON PAGOS EN FTUJO
coNTINUO
Alsus t i tu i rT=pNPagosto ta lesene laño;n : tmdondeúese l t iempoto ta lenaños 'se
tiene:
E -
(s8)
i l )
L
p l ' - 1
= l í m : . :
Iv
FlA, i%,
it
I
L
l l ln- i -
],r"' i
AlF, i%, r ) (
( r+* ) ' ' - t
f . , 4
f(t 
+ *)" -
w
T
t1r
t . 4 l
l ím p l ( 1+o ) ' - 11=
L I
y aplicando la regla de LHÓpital para
se tlene
Recuérclese q"" llg (7 
+ t)"'' = ," (aéase 9 '79); en tanto
t lene:
que para el denominador se
(5e)
d ' - 1
entonces , l i na=r - -T
En Ia misma forma para el valor actual, se tiene,
l í m P = T 
l - r '
J
9.21 PROBTEMASRESUETTOS
En los problemas resuel tos que se desarro l larán a cont inuación, se presentan a lqu-
nas de las muchas apl icac iones de las anual idades y, especí f icamente, de las 
\ ¡ r r ' l -
b les. En este n ive l e iestudiante ya cuenta con los conocimientos básicos; medtante
su imaginación y creat iv idad póa.a anal izar los problemas del fasc inante mundtr
de las f inanzas.
43. En un plan de ventas lo adeudado se cancela con cuotas semestrales vencidas, de 
la
siguiente manera: primera cuota de $10.000, segunda de $9.000, te¡cera de 56 000 r'
así sucesivamente; la deuda se extingue con un último pago de s1.000. Hallar: 1ri¡ El
IVIATE[,4ATICAS FI NANCI ERAS
número dc cuotas parer cance lar l¿r de 'ud¿r, ( l r ) e l vakl r pr t 's( 'n tc de l . r dr ,uda, a l¿t tas¿
nomin¿l c l t ' l l2 ' i .
t t - l , l st,nlt 'str( 's_-T---t
I I r l i l t 's
I 0
10.000 - l . (XX) : 9 . tXX) ; 9 . (XX) l . (X)0 : f t . (XX) ; 2 .0 (X) l . (XX) , - 1 .0 (X)
Est¿r si tu ac' i r in corresp()ncl e a u n grad ientt ' ¿r i t r lót ico, l u t 'go:
( t t ) r t - n + ( r t - l )L l ( r , r i rsr , sr ,cc i t in 0
r r : l . (XX) (ú l t i n ro t ó r r -n ino ) ; ¡ ¡ - 10 . (XX) ( ¡ r r i n i t , r t ó r r l i r r r r , ¡ ;
t t - l 0 , d : 1 . 0 ( X )
l . ( X X ) : 1 0 . 0 ( X ) + ( r r - 1 ) ( - 1 . ( X X ) )
r ¡ : l0 - núntcr( ) de cuot . rs
9 .000 - 10 .000 - - 1 . (XX) ; l J (XX) - 9 . (XX) : 1 .0 (X ) ; . . . l . (XX) - 2 . (XX) : 1 . (XX)
La anu¿i l idacl v¿rr i¿rb le cs c lccrcc ie ntc con gracl icnte ar i t rnét ico ne g,¿t t iv( )
L - i .000
( lr) vi i lor ¡rrcst 'nte /):
F í r rmu la 48h: ¡ t - A(P l A , i , / , , t t ) +
Baser : A : 10.000; ¡ ; radiente : 1-"'l{rl 
n, i"1,, tt)- t\Pf I: , ¡'/,,,,,)f
: -1 .000 ;n : l0 ; i :+ -6%
^ l - 1 1 . 0 6 ) ' "
P = l ( ) . ( ) U O . ' : ; ; - - +
U,Ut)
P = 10.i100 (7,36008705)-
P = $43.999
q:#[,-f#[-10(1,06)"]
tH (2,:uooszos - s,s83s4777 )
44. íJn empleado decide, el primero de enero de cierto año, ahorrar 92.000 mensuales
lo que corresponde a un porcentaje de su sueldo. Estima que anualmente su suei-
do se incrementará un 10% sobre el del año anteriol, aumentando así su ahorr¡
mensual en la misma proporción. Hallar la suma que habrá ahorrado al f inal de.
quinto año, en un banco que le abona 6% anual sobre cuentas de ahorro.
23 24 25 58 59
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
$ años
6O meses
= 5 ; i = 6 %
0,06
( r *o ,oe)* - r
E _
E _
g12 t t t L73---T---r-
+ + I " l IA A A ) Á s
Los pagos mensuales-se agrupan en uno anual, obteniéndose un gradientegeométrico cuyo valor futuro seialcula así:
Fórmula 42c: A,: W(qF, i%, k)
p a r a W = A = 2 . 0 0 0 ; i = 6 % ; ¡ n = 1 ; p = 1 2 ; k = $
Luego, se calcula el valor futuro del gradiente geométrico:
Para .9 = 1, l ; r ¡
F = 2 .000.
45' En un plan de ventas de inmuebles a 5 años de prazo,se estima que los comprado_res de cierto nivel económico pueden cancelar gi0o.oóo ae cuota inicial y el saldo enpaSos de $20'000 mensuales, más una cuota extraordinaria de $50.000 al f inal delprimer año, 9100.000 al f inar del segundo año, 9150.000 al f inar del tercer año y asísucesivamente. Hallar el valor de los inmuebles a una tasa del 6% nominal.El problema combina tres situaciones: un pago de contado, una anualidad ordina_ria vencida y un gradiente l ineal. El valor presente es la suma de los valores presen-tes de las t res s i tuaciones.
1,1 ' - (7+ 006) '.___+
1 , 1 - ( 1 + 0 0 6 )
2. 000 (72, 326s2836) (6, 807 r10s6)
$167.876
Pr : 200.000
Fórmula 28b: p, = A(plA, i%, n)
para Ar= 20.000; n = 60; i = 
# 
= 0,5%
(pago de contado)
(VP de la anualidad vencida)
MATEMATICAS FI NANCIERAS
Fórmula 48b:
P,: A(PIA, i%, | + l[(n¡a,
Pr : 2oo'ooo
in, n)(nlr, i%, n)) (vp del gradiente lineal)
(pago de contado)
(anualidad mensual)
valor de las casas en venr¿
Az : 2o'ooo;
: 20.000 .
t t =60 ; i =$=o ,s f "
r - ( t+o,oosf ' '
0,005P2
P' 2
D
: 20.000 (57,72ss6075)
:1 .034 .511
.+[+--,(,.,),]
A. : 50 .000; t r :5 ; i : 6%; t : 50 .000
p : q 0 n n n l - ( l + 0 0 6 ) ' * 5 j . 0 0 0 [ l - ( l * o , o o ) '' , 0,06 0,06 
L 
0,06
" t-5( t+0,*I ' l
P. : 50.000 (4,27236379) + 833.333,33 (4,27236379 -3,73629086)
P. : 210.618,79 + 396.727,43 : 607.345,63
P. :607.345,63
P : P r + P 2 + P .
P : 200.000 + 1.034.511 + 607.346
P = $1.841.857
46. Convertit con la tasa efectiva deI4% por periodo, la anualidad variable del diagran'.:
I, en un gradiente l inealcon igual número de periodos.
En la anualidad L se tiene:
- 732,25 _
1 1 5
1 1 q
100
357.78
305,90
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
A+8L
357,79
10
A+9L
Por consiguiente, se trata de un gradiente geométrico, cuyo valor presente P, es:
Fórmura5ob p, = A.x 'V[ : : ! " '9 - 
|
g - \F lP , i%, t )
t l+2L
A = 1,00; n =70; i = 4%; g = 1,15
Dr t
D
Dr l
100(7s,7548s377)
$1..s7s,49
Los valores presentes de las anualidades variables deben ser iguales
P , = P r :7 .575 ,49
Para la anualidad variable II que es un gradiente lineal, se tiene:
Fórmuta48b: p = A(plA, i%,n)+ l l toto, i%,n)- n(n¡r , i%,n))
En esta ecuación del gradiente lineal hay dos factores desconocidos: la base,4 y el
gradiente L, independientes entre sí. Es posible escoget dentro de cierto rango de
valores, arbitrariamente uno de ellos y calcular el otro. Obsérvese que para L : 0, el
gradiente se convierte en una anualidad vencida de pagos iguales. Si se elige para
el primer pago $80, se tiene:
MATEMATICAS FINANCIERAS
P = 7 . 5 7 5 , 4 9 ; n = 7 0 ; i = 4 % ; b a s e A = 8 0
1.s7s,4s_ ro. r- (r+o,o¿f"' + &f-+-L_ ro(r_ 0,04I-l
7.s7s,49 = 80 (8,rrose578) + ffi 1s,rroass7| _ e,zsseuz)
, (t.szs,+o - e+a,sz\o,o+)= -
L,J )J¿D+UJ
L = b ¿ / . ó D
47. Un deudor debe a una financiera dos préstamos, uno pagaclero a dos años median-
te cuotas de $40.000 por mes vencido y otro a 4 añoi con pagos de g100.000 por
semestre vencido, con un gradiente g : $20.000 y un factoi de variación 4 : 7,2.
Consolidar las dos deudas en una sola a tres años de plazo con cuotas semestrales
iguales. Tasa de interés del 72% nominal.
R = 40.000 (n¡a, in ,n)
t t = Z4meses ; i =# ,= t%
4ooooL#r
40.000 (27,24338726)
$849,73s
24 meses
miles
8 semestres
D _
100
+gqD 100
+ gq'
100
* gq' 100 miles
+ gq'
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
Fórmula 52b:
D _r 2 -
A _
D _
D -
; _r 2 -
D
A (Pl A, i%, n) + s (PlF, i%, r). ryffi#F
100 .000 ; n=8 ; i =9=e%; S=20 .000 ; 4=7 ,2
rooooo.l- f_Lq6¿] rr ' l !06) ' :_l
U,06 + 20.000 (1,06) '
1 00. 000 (6,20979381) + 20. 000 (0,9 433e 623 ) (9,87 87 lz4z)
620.979.38 + 786.390.82
$807.370
La deuda consolidada tiene un valor presente P : P, + Pr:
P = 849.735 + 807.370
P : $1.657.105
y se trata de una anualidad vencida con cuotas semestrales a 3 años de plazo. Conocido
P, n, e i, se debe calcularA:
A = P( , t ¡n , i , r , , , t )
P = 7 .657 .105 ; t t =3 (Z )=6so r ¡ c . s l r cs ; i = *=6%
A = P . 0 ' 06
t - ( t+o ,oe) '
A = 7.657.705 (0,20336263)
A = $336.993
48. Hal lar el valor presente de una anual idad cuyos pagos por periodo vencido son
1, (1 + r) , (7 + r) ' , . . . , (1 + r¡ ' , ' t
Si se plantea o : (7 + i)-1, entonces:
P : a * z t 2 ( 7 + r ) + o 3 ( 1 + r ) r + . . . + t ) , ( 7 I r ) * l
P : u [ 1 + u ( 1 + r ) + a 2 ( 7 + r ) 2 + . . . * u r n - r ( 1 + r ) , - 1 ]
MATEMATICAS FINANCIERAS
Vénse la sección 0.11 Progresión geométrica
11+ r ) "u ' - t
D - ¡ t
( I + r ) u - 1
remplazando ¿r por su valoq, i, : (1 + i) r
/ ' . , \ ' ' - r
s e t i e n e : P : ' t ' r ' _ ¡ '
49. Resolver el probiema del ejemplo 9.r4, mediante calculadora.
l ím I= w . ' " - 7
e t " - 7
W = 1 . 0 0 ; i = 0 , 0 6 ; t = I ; l t = 1 . 2
t ímr = ' rnn , l ' l , l - t
t , l r , l r l ' f , _ I
El cálculo ser facilita, r--on l¿r obtención directa de ias potencias cle c.
{ ' " ' ' - = 1 ,0 ( )50 t25
1,0050125 - 1 = 0,005U125 (entra a memoria)
¿'"'" = 1,06183655
1,061i13655- 1 = 0,06183655
0,06183655- MR = 12,33646
lím F = 72.336,46
50. Hallar el valor presente de una renta semestral de $20.000 pagadera durante 3
años, a la tasa delS% con capital ización cont inua.
l í m P = W 1 : '
e i * l
w = 2 0 . 0 0 0 ; j = 0 , 0 9 ; t = 2 ; p = 2
l í m P = 
1 - ' { ' 1 6
20 ooo;ÉT
P = $72.459,35
Hal lar el valor presente de 6. pagos anuales vencidos,
tr ico,q : 7,3, s i la pr imera cuota es de $20.000 y la tasa
con gradiente geome
de i n te rés es de l 8%.
5 1 .
ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL
Fórmula 50b
P = 4 . s" lP lF , i%, 
n) - 1
g - (r¡n , in,t)
A = 2 0 . 0 0 0 , i = 8 % ; S = 1 , 3 ; t t = 6
_ A s ' ( t+ ¡ ) " - t
g - ( t + i )
A
^
[ { r , : ) { r ,os) ' ] ' - r= 2oooo L'1-1,){l,os)
= $185.610
Una empresa de transporte recibe $50.000 diarios en flujo continuo; hallar el valor
presente del ingreso anual a la tasa deltl% con capitalización continua.
/ qq \
1 - p "
l l m / ' = / . . - - ' _
l
T = 50 .000(305) ; j =0 ,08 ; t= l
l í rnP = 50 .000(365) . ' fu
P = $17.539.083
9.22 PROBTEMASPROPUESTOS
Hallar el VF y el VP de una anualidad de $5.000, pagader;'r cada final de periodo
durante 5 años, si la tasa es del 6% con capitalizaci(rn continua. Comparar el rersul-
tado con los del mismo problema, al 6% convertible mensualmente.
Hallar elVF y el V1) de un¿r renta de. $4.0t10 pagadera cada final de semestre, a la tast'r
del 8o/,, con capitalización continua.
Una empresa der buses t iene un ingreso d iar io de $100.000 que se supone en f lu jo
continucl. Hallar el valor prese.nte derl ingreso correspondiente a un añcl, a la tas¿,r
delS% efect ivo.
Hallar el VP y el VF de un flujo continuo de monedas que suman 100.000 diarios,
suponiendo el t iempo de un año de 365 días y la tasa del 3% con capitalización conti-
nua.
57. Demostrar que e l va lor presente, a la tasa i , de una anual idad con los s iguie ntc:
pagos: A, (A + d) , (A + zd) , . . . , [A + ( r r - 1)d] , es:
J J .
54.
55.
56.
MATEMATICAS FINANCIERAS
p = A(p lA , i%,n)+ 
{ [ to to , i%,n)_ n(n¡ r , i%,n) ]
58' una empresa agrícola cultiva cítricos; los estudios económicos indican que en eltercer año la producción será de $600.000 que se incrementarán en 9600.000 duran-te cuatro años, estabilizándose en el séptimo año de producción. Elaborar el diagramadel f lujo de caja ycalcula4 a una tasá dellg%,el valorpresente de la producciónpara los primeros 10 años.
9.23 ACTIVIDADES DE CONSUTTA
(n) Investigar en los bancos de su localiclacl la TIR de los préstamos a mediano plazo yel sistema de recuperación.
(b) Investigar cn el c,imercio de su localidacl, los sistemas de ventas a plazo.
O Investigar los préstamos para el desarrollo cle actividades industriales y agropecuarias,
el sistema de recuperación y la T.lR.
(ri) Invc'stigar los sistemas de préstamos para estuciios unlversitarios.
..""6 ¡ri. it:
9 q 4
-:! ::: :-:
1 u ; 1: ".'* ;.
AMORTIZACION
OBJETIVO
El propósito de este capítulo es aprender los principales sistemas de amortización de
deudas y combinarlos para crear nuevos modelos. Se examinarán los métodos para
calcular el valor de las cuotas de amortización, las tasas de interés, los saldos insolutos y
los plazos, además de elaborar cuadros de amortización. AI f inalizar se estará en capa-
cidad de reconocet definir y manejar los sistemas de amortización y crear nuevos. Se
podrán comprende¡, analizar y manejar los sistemas de amortización que ofrecen las
corporaciones financieras.
ro . r INTRODUCCTóN
En las finanzas, la expresión amortiznr se utiliza para denominar un proceso financiero
mediante el cual se extingue, gradualmente, una deuda pormedio de pagos periódicos,
que pueden ser iguales o diferentes.
En las amortización de una deuda, cada pago o cuota que se entrega sirve para
pagar los intereses y reducir el importe de la deuda.
Definición Amortizar es el proceso de cancelar una deuda con sus intereses por medio
de pagos periódicos.
En cuanto a la amortización de deudas se aplican diversos sistemas y, dentro de
cada uno, hay numerosas variantes que hacen prácticamente inagotable este tema. To-
dos estos modelos son aplicaciones de las anualidades estudiadas en los capítulos ante-
T,4ATEIVATICAS FI NANCI ERAS
riores, para las cuales ya se cuenta con la suficiente capacitación, a fin de manejar los
diferentes tipos, bien sean pagos constantes o variables.
En este capítulo se abordarán los aspectos generales de los distintos sistemas; su
aplicación al