Analisis_y_Evaluacion_de_Proyectos_de_Inversion_by_Raul_Coss_Bu

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inversión
/ ) * ■ /
Análisis y evaluación de 
proyectos de inversión
Raúl Coss Bu
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL 
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS 
SUPERIORES DE MONTERREY
a LIMUSA
NORIEGA EDITORES
MÉXICO • Esparta • Venezuela • Colombia
1 7 o o '
 
 
La presentación y disposición en conjunto de
ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE 
PROYECTOS DE INVERSIÓN
SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NlNGUNA PARTE DE 
ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANS­
MITIDA, MEDÍANTE NINGÚN SISTEMA O MÉTODO, 
ELECTRÓNICO O MECÁNICO (INCLUYENDO EL FOTO- 
COPIADO, LA GRABACIÓN O CUALQUIER SISTEMA DE 
RECUPERACIÓN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMA­
CIÓN), SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL 
EDITOR.
Derechos reservados:
© 1995, EDITORIAL LIMUSA, S.A. de C.V. 
GRUPO NORIEGA EDITORES 
Balderas 95, México, D.F.
C.P. 06040
® 521-21-05
B 512-29-03
CANIEM Núm. 121
Décima reimpresión
Hecho en México
A mi esposa Idalia 
y a mis hijos Kartita y Raulito
Prólogo
Este libro ha sido escrito teniendo como principal objetivo contribuir en mínima 
parte al desarrollo y estudio de esta materia. Además, puesto que la gran mayoría de los 
libros existentes relacionados con esta materia, están escritos en inglés, y los que están 
escritos en español son traducciones, con este libro se pretende dar una idea de la aplica­
ción de las técnicas de análisis y evaluación de proyectos dentro del contexto de nuestro 
país, es decir, a través de los ejemplos presentados a lo largo del texto, se intenta descri­
bir la situación actual de México, y no la de países extranjeros a los cuales pertenecen 
la gran mayoría de los autores relacionados con esta materia.
El contenido del libro es presentado a través de dieciséis capítulos. En los primeros 
doce capítulos se describen las principales técnicas que se utilizan para evaluar proyectos 
bajo certeza. En esta primera parte, además de presentar los métodos tradicionales de eva­
luación de proyectos, se da especial atención y se enfatiza el impacto que la inflación 
tiene en el rendimiento de un proyecto y en el costo de la fuente utilizada para financiar­
lo. En la segunda parte del libro, se describen y explican a través de ejemplos Sencillos, las 
técnicas más utilizadas para manejar el riesgo y la incertidumbre que es inherente a todo 
nuevo proyecto de inversión.
El desarrollo de este libro ha sido influenciado por dos factores. El primero se refie­
re a la gran cantidad de experiencias y opiniones recopiladas en el salón de clase, y en las 
enseñanzas obtenidas de varios maestros y amigos, como: Dr. Alberto Sabino Paria, Dr. 
Fernando González, Robert Oakford, Grant Ireson, etc. El segundo se refiere a las expe­
riencias prácticas obtenidas en el análisis y evaluación de nuevos proyectos de inversión 
reales. En este aspecto agradezco profundamente al Sr. Fernando Díaz Villanueva la gran 
oportunidad que me brindó para adquirir experiencia práctica en esta materia.
Enumerar todas las personas que contribuyeron directa o indirectamente al desarro­
llo de este libro podría ser interminable. Sin embargo, merecen especial mención, Martha 
Graciela Serna Ríos, quien se encargó de mecanografiar el manuscrito de este libro, y Ro­
lando Santos y Celso Ramírez quienes se encargaron de desarrollar las tablas de interés.
7
8 Prólogo
Finalmente, agradezco profundamente a mi esposa Idalia su paciencia durante la 
preparación de este libro. Ella demostró gran interés durante el desarrollo del libro al pre­
guntar constantemente: “Si sabes mucho sobre evaluación de nuevas inversiones, ¿por qué 
no somos ricos?”
Raúl Coss Bu
Contenido
1. INTRODUCCION 15
1.1. Identificación de alternativas. 15
1.2. Consecuencias cuan tifie ables. 16
1.3. Consecuencias no cuantificables 16
1.4. Análisis délas alternativas. 16
1.5. Control déla alternativa seleccionada. 17
2. VALOR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO 19
2.1. Valor del dinero a través del tiempo. 19
2.2. Interés simple e interés compuesto. 19
2.3. Fórmulas de equivalencia asumiendo interés compuesto discreto. 20
2.3.1. Flujos de efectivo únicos. 20
2.3.2. Series uniformes de flujos de efectivo. 22
2.3.2.1. Valor futuro de una serie uniforme de flujos
de efectivo. 22
2.3.2.2. Valor presente de una serie uniforme de flujos
de efectivo. 24
2.3.3. Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y
geométricos. 25
2.3.3.1. Gradientes aritméticos. 25
2.3.3.2. Gradientes geométricos 27
2.4. Interés nominal e interés efectivo. 29
2.5. Interés real. 31
2.6. Fórmulas de equivalencia asumiendo interés compuesto continuo 33
2.6.1. Flujos de efectivo únicos. 33
2.6.2. Series uniformes de flujos de efectivo. 34
9
10 Contenido
2.6.2.1. Valor futuro de una serie uniforme de flujos 
de efectivo.
2.6.2.2 Valor presente de una serie uniforme de 
flujos de efectivo.
2.6.3. Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y 
geométricos. /
2.6.3.1. Gradientes aritméticos.
2.6.3.2. Gradientes geométricos
Fórmulas de equivalencia suponiendo que los flujos de efectivo 
son a través del período.
2.7.1. Valor presente de un flujo de fondos.
2.7.2. Valor futuro de un flujo de fondos.
3. METODO DEL VALOR ANUAL EQUIVALENTE
3.1. Análisis y evaluación de un proyecto individual.
3.2. Selección de alternativas mutuamente exclusivas.
3.2.1. Los ingresos y gastos son conocidos.
3.2.2. Solamente los gastos son conocidos.
3.2.3. Las vidas de las alternativas son diferentes.
3.3. Selección de alternativas mutuamente exclusivas cuando más de dos 
alternativas son consideradas.
3.4. Anualidades de inversiones de larga vida.
4. METODO DEL VALOR PRESENTE
4.1. Análisis y evaluación de un proyecto individual.
4.2. Selección de proyectos mutuamente exlcusivos. 
4.2:1. Valor presente de la inversión total.
4.2.2. Valor presente del incremento en la inversión.
4.3 Inconsistencia del método del valor presente al comparar 
alternativas mutuamente exclusivas.
5. METODO DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
PARTE 1. PROYECTOS CON UNA SOLA TASA INTERNA 
DE RENDIMIENTO
5.1. Tasa interna de rendimiento (TIR)
5.2. Significado de la tasa interna de rendimiento.
5.3. Evaluación de un proyecto individual.
5.4. Evaluación de proyectos mutuamente exclusivos.
PARTE 2. PROYECTOS CON MULTIPLES TASAS INTERNAS DE 
RENDIMIENTO
Contenido 11
5.5. Proyectos sin tasas internas de rendimiento. 81
5.6. Proyectos con una sola tasa interna de rendimiento. 81
5.7. Proyectos con múltiples tasas internas de rendimiento. 81
5.8. Algoritmo de James C. T. Mao. 82
5.8.1. Clasificación de los proyectos. 82
5.8.2. Descripción del algoritmo. 84
6. CONSIDERACION DE IMPUESTOS EN ESTUDIOS ECONOMICOS 91
6.1. Depreciación — qué significa. 91
6.2. Métodos de depreciación. 92
6.3. Ganancias y pérdidas extraordinarias de capital. 94
6.4. Tasa interna de rendimiento y valor presente después de impuestos. 96
6.5. Certificados de promoción fiscal (CEPROFI). 101
6.6. Depreciación acelerada. 105
7. TECNICAS DE ANALISIS EN ESTUDIOS DE REEMPLAZO 113
7.1. Consideraciones de un estudio de reemplazo. 113
7.1.1. Causas que originan un estudio de reemplazo. 113
7.1.2. Factores a considerar en un estudio de reemplazo. 115
7.1.3. Tipos de reemplazo. 116 x
7.2. Determinación de la vida económica de un activo. 116
7.3. Análisis de reemplazo del activo actual. 120
7.3.1. Vida del defensor mayor o igual ala vida económica del
retador. 121
7.3.2. Horizonte de planeación conocido. 122
7.4. Conclusiones. 125
8. SELECCION DE PROYECTOS EN CONDICIONES LIMITADAS
DE PRESUPUESTO 129
8.1 Generación de alternativas mutuamente exclusivas. 130
8.2. Selección entre muchos proyectos con restricciones. 134
8.3. Formulación con programación entera. 134
8.3.1. Construcción del modelo sin considerar pasivo. 135
8.3.2. Construcción del modelo considerando incrementos en el
pasivo e inversiones líquidas. 138
8.3.3. Utilidad y aplicabilidad. 139
8.4. Métodos de selección aproximados. 139
8.4.1. Ordenado por tasa interna de rendimiento. 141
A) Asignación de recursos en una corporación formada
por dos divisiones. 141B) Asignación de recursos en una corporación formada
por muchas divisiones. 143
8.4.2. Ordenado del valor presente por peso invertido. 143
12 Contenido
8.4.3. Ordenados combinados. 144
8.5. Decisiones secuenciales vs. decisiones en grupo. 145
9. EVALUACION DE PROYECTOS DE INVERSION EN SITUACIONES
INFLACIONARIAS 151
9.1. Inflación — qué significa. 151
9.2. Efecto de la inflación sobre el valor presente. 152
9.3. Efecto de la inflación sobre la tasa interna de rendimiento. 153
9.4. Efecto de la inflación en inversiones de activo fijo. 154
9.5. Efecto de la inflación en inversiones de activo circulante. 159
9.6. Efecto de la inflación en nuevas inversiones con diferentes proporciones
de activo circulante. 160
9.7. Efecto de la inflación en activos no depreciables. 162
9.8. Inflación diferencial. 165
9.9. Conclusiones. 167
10. COSTO DE CAPITAL 171
10.1 Costo de capital — cómo se calcula. 172
PARTE 1. COSTO DE CAPITAL DE FUENTES EXTERNAS 173
10.2. Proveedores. 173
10.3. Préstamos bancarios de corto plazo. 174
10.4. Pasivo alargo plazo. 176
Obligaciones. 176
Crédito hipotecario industrial. 179
Crédito hipotecario normal. 179
Crédito hipotecario con inflación. 180
Crédito hipotecario con tasas flotantes e inflación. 181
Crédito hipotecario con cambios de paridad e inflación. 184'
Crédito hipotecario con deslizamiento e inflación 185
Crédito hipotecario con tasas flotantes, inflación y cambios
de paridad. 186
Arrendamiento financiero. 187
PARTE 2. COSTO DE CAPITAL DE FUENTES INTERNAS 192
10.5. Acciones preferentes. 192
10.6. Acciones comunes. 194
10.7. Utilidades retenidas. 196
10.8. Costo ponderado del capital. 197
10.9. Conclusiones. 198
APENDICE “A” al capítulo 10. Amortización creciente,
un nuevo método de amortización 203
Contenido 13
A. 10.1 Introducción 205
A.l 0.2 Análisis comparativo de los métodos tradicionales 
de amortización 205
A. 10.2.1 Flujo de efectivo cuando la amortización es constante 205
A.l 0.2.2 Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes 
iguales y los intereses son sobre saldos insolutos 206
A.l 0.2.3 Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma 
creciente, pero con valor presente constante 208
A.l 0.2.4 Comparación de los flujos de efectivo que resultan con 
cada forma de amortización 210
A. 10.3 Costo después de impuestos que se obtiene con los diferentes métodos 
de amortización 213
A.l 0.3.1 Costo después de impuestos cuando la amortización 
es constante 213
A.1 0.3.2 Costo después de impuestos cuando el capital se amortiza 
en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos. 213 
A.l 0.3.3 Costo después de impuestos cuando la amortización es en 
forma creciente pero con valor presente constante 214
A.l 0.4 Costo después de impuestos que se obtiene en los diferentes métodos 
de amortización, al considerar la inflación 215
A. 10.5 Conclusiones 217
Saldo del crédito cuando la amortización de capitale interés es 
constante 218
11. EFECTO DE LA INFLACION EN EL RENDIMIENTO DE UN PROYECTO
Y EN EL COSTO DE LA FUENTE UTILIZADA PARA FINANCIARLO 221
11.1. Efecto de la inflación sobre el rendimiento de un proyecto. 222
11.2. Efecto de la inflación sobre el costo de un crédito hipotecario. 222
11.3. Efecto de la inflación en la aceptación de un proyecto de inversión. 223
11.4. Conclusiones 227
12. DISTINCION ENTRE DECISIONES DE INVERSION Y DECISIONES
DE FINANCIAMIENTO 229
12.1. Decisión de inversión y decisión de financiamiento. 229
12.2. Combinación de la decisión de inversión y la decisión de
financiamiento. 232
12.3 Conclusión. 237
13. ANALISIS DE SENSIBILIDAD 239
13.1. Sensibilidad de una propuesta individual. 239
13.2. Isocuanta de una propuesta individual. 245
13.3. Sensibilidad de varias propuestas. ’ 248
13.4. Conclusiones. 250
14 Contenido
14. ARBOLES DE DECISION 253
14.1. Arboles de decisión. 253
14.2. Conclusiones. 259
15. ANALISIS DE RIESGO 263
15.1. Distribuciones de probabilidad más utilizadas en análisis de riesgo. 264
15.1.1. Distribución normal. 264
15.1.2. Distribución triangular. 265
15.2. Teorema del límite central. 267
15.3. Distribución de probabilidad del valor presente neto. 267
15.4. Distribución de probabilidad del valor anual equivalente. 272
15.5. Distribución de probabilidad de la tasa interna de rendimiento. 273
15.6. Conclusiones. 275
16. SIMULACION 279
16.1. Ideas básicas en análisis de riesgo. 279
16.2. Lógica de la simulación. 280
16.3. Conclusiones. 288
APENDICE A. INTERES COMPUESTO DISCRETO 291
APENDICE B. INTERES COMPUESTO CONTINUO 317
APENDICE C. FLUJOS DE FONDOS 343
APENDICE D. SOLUCIONES A PROBLEMAS 363
APENDICE E. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 371
1
Introducción
Este libro es en última instancia, una presentación de algunas técnicas utilizadas en 
el proceso de toma de decisiones. Aun cuando el grueso de este libro se limita a cierto 
tipo de decisiones, es de cualquier modo conveniente decir algunas ideas sobre decisiones 
en general.
El hecho de que a lo largo de nuestra vida debemos tomar un sinnúmero de decisio­
nes, podría hacernos pensar que el dirigir esfuerzos a estudiar algo que todo mundo hace, 
es perder el tiempo. Sin embargo, la mayor parte de las decisiones que tomamos son tri­
viales, esto significa que no se requiere de ningún procedimiento formal o estructurado 
para tomarlas. Además, cuando las decisiones son triviales, las consecuencias de no tomar 
la mejor decisión son despreciables. Por el contrario, cuando tenemos que tomar una deci­
sión importante, no debemos proceder de igual manera, es decir, no debemos tomar la 
decisión de una manera intuitiva, sino que debemos establecer un procedimiento gene­
ral que nos ayude a seleccionar la decisión que producirá los mejores resultados para no- 
• sotros.
1.1 IDENTIFICACION DE ALTERNATIVAS
Cuando nos enfrentamos a una decisión, lo primero que tenemos que hacer es deter­
minar los posibles cursos de acción que se pueden seguir. La existencia de diferentes cursos 
de acción es un requisito indispensable en el proceso de toma de decisiones. Cuando sólo 
se tiene una sola alternativa de decisión, no es necesario perder tiempo en analizar cómo 
proceder; se deberá seguir la única alternativa existente.
Este' paso del proceso de toma de decisiones requiere que se generen todas las alter­
nativas disponibles. Lo anterior significa que se debe tener mucho cuidado en tratar de 
incluir ^odas las alternativas. Para esto, debemos estar capacitados para reconocer cuan­
do ya se han agotado los diferentes cursos de acción a través de los cuales una decisión 
puede ser tomada. La recomendación anterior es muy importante, puesto que sería muy 
indeseable descubrir una mejor forma de hacer las cosas, después de habernos comprome­
tido irreversiblemente en otro curso de acción.
Se ha dicho que es recomendable generar todas las alternativas disponibles para una 
determinada decisión. Sin embargo, esto no significa que siempre estaremos generando
15
16 Introducción
nuevas alternativas, y postergando por consiguiente la decisión, sino por el contrario, tam­
bién vale la pena preguntarnos cuándo vamos a dejar de generar alternativas y empezar a 
analizar las disponibles. La respuesta a la pregunta anterior es clave, ya que de otra mane­
ra el proceso de toma de decisiones sería demasiado lento.
1.2 CONSECUENCIAS CUANTIFICABLES
Una vez que se han generado todas las alternativas a analizar, el siguiente paso es de­
terminar las consecuencias cuantificables de cada alternativa, es decir, es necesario evaluar 
todo aquello que sea factible de cuantificar. Si aplicamos estas ideas generales en la eva­
luación de proyectos de inversión, entonces, después de generar las alternativas con las 
cuales se puede realizar el proyecto, se debe tratar de expresar en términos monetarios 
las consecuencias de cada curso de acción.
Es muy importante distinguir claramente cuáles resultados son relevantes. Lo que es 
común a todas las alternativas bajo análisis es irrelevante. Por ejemplo, si en la compra de 
cierto equipolos ingresos son independientes del tipo de equipo, entonces, en el análisis 
del tipo de equipo a adquirir, los ingresos serían irrelevantes y sólo se deben considerar 
los costos que se tendrían con cada tipo diferente de equipo. También es importante seña­
lar que el pasado por ser común a todas las alternativas es irrelevante. El único valor que 
puede tener el pasado es para ayudarnos a predecir el futuro.
1.3 CONSECUENCIAS NO CUANTIFICABLES
Al analizar las diferentes alternativas disponibles, es muy común encontrar factores 
que son importantes pero que no se pueden medir monetariamente. Por ejemplo, todos 
sabemos que un Renault Mirage es más económico que un LeBaron; sin embargo, muchas 
veces la gente se decide por comprar un LeBaron, ya sea porque le gusta más, o porque 
es de más “status” tener este tipo de carro.
Aun cuando no es posible medir cuantitativamente ciertos factores relevantes, éstos 
deben ser considerados en el análisis antes de tomar la decisión. Normalmente lo que se 
hace es seleccionar aquellas alternativas que presenten las mayores ventajas monetarias^ 
a menos de que los factores imponderables pesen más que los que se pueden evaluar obje­
tivamente.
1.4 ANALISIS DE LAS ALTERNATIVAS
Una vez que las alternativas han sido generadas y sus consecuencias cuantificables 
evaluadas, el siguiente paso es utilizar algún procedimiento general que ayude a seleccio­
nar la mejor de ellas. El grueso de este libro precisamente está dedicado a indicar cómo se 
deben comparar estas alternativas.
En la evaluación de las alternativas se tomará el punto de vista de un analista y no el 
de un ejecutivo. Lo anterior significa que el analista es responsable de hacer un análisis 
que soporte mejor la decisión del ejecutivo, el cual antes de tomar la decisión deberá 
considerar los factores imponderables.
Aun cuando el resto del libro está dedicado al análisis de alternativas, es conve-
Control de la alternativa seleccionada 17
niente mencionar algunas consideraciones generales que debemos seguir cuando las anali­
zamos.
La primera establece que es necesario hacer una diferenciación con respecto al ta­
maño de los proyectos a analizar, es decir, no podemos utilizar el mismo método de análi­
sis o asignar la misma cantidad de recursos, cuando se está decidiendo comprar una máquina 
de escribir, que cuando se desea incursionar en nuevos mercados con nuevas líneas de 
productos.
El análisis de las alternativas como cualquier otro estudio, requiere de recursos para 
realizarse. Por consiguiente, debemos de preguntarnos ¿cuánto estamos dispuestos a 
gastar en el análisis? La respuesta es simple: nunca debemos gastar más de los benefi­
cios que esperamos recibir. Lo anterior significa que las decisiones poco importantes, donde 
una mala decisión no tenga consecuencias desastrosas, deberán tomarse después de un 
análisis muy superficial.
Por otra parte, otra consideración que debemos tomar en cuenta son los diferen­
tes métodos de análisis, de los cuales podemos distinguir: los empíricos y los cuantitativos. 
La diferencia entre estos métodos estriba en que en estos últimos se utilizan técnicas nu­
méricas que nos ayudan a visualizar mejor las diferencias entre las alternativas, mientras 
que con los primeros solamente se hace una evaluación subjetiva de dichas diferencias. Lo 
anterior significa que el usar métodos cuantitativos nos lleva a ser más consistentes en nues­
tras decisiones, porque siempre se usaría la misma lógica para arribar a la decisión reco­
mendada. Además, es de esperarse que el usar procedimientos lógicos, basados en cálculos 
matemáticos, nos ayudará consistentemente a tomar mejores decisiones.
Finalmente, es conveniente decir algunas ideas sobre lo que es una buena decisión. 
Debemos distinguir entre una buena decisión y un buen resultado. Para la mayoría de las 
personas esta distinción no es fácil de hacer. Una buena decisión es una basada en la infor­
mación disponible y tomada después de un análisis lógico que considere todas las conse­
cuencias de las diferentes alternativas. Sin embargo, una buena decisión no necesariamente 
producirá buenos resultados, y una mala decisión puede producir buenos resultados, esto 
es, nadie espera que una persona obtenga buenos resultados de todas y cada una de las 
decisiones que tome, sin embargo, si una persona toma consistentemente buenas decisio­
nes, entonces, tendrá un alto porcentaje de buenos resultados.
1.5 CONTROL DE LA ALTERNATIVA SELECCIONADA
Procedimientos para seguir y controlar las propuestas de inversión seleccionadas, 
aseguran el logro de las metas fijadas por la organización y permiten mejorar el proceso de 
planeación al eliminar aquellas estrategias que conducen ala organización hacia un objetivo 
no planeado y no deseado.
Mediante procedimientos de seguimiento y control del proyecto seleccionado, es 
posible comparar la inversión actual, los ingresos netos obtenidos, y el rendimiento real 
obtenido, con las estimaciones de inversión, ingresos netos y rendimiento esperado del 
proyecto. Estos procedimientos de seguimiento y control de las inversiones es muy reco­
mendable que sean implantados en toda organización, pues permiten comparar los 
resultados obtenidos con los planeados. Cuando sistemáticamente los costos incurridos 
en un proyecto de inversión son mayores que los estimados, entonces es obvio que el ren­
dimiento real obtenido en este proyecto será mucho menor que el esperado. Para este tipo 
de situaciones, vale la pena preguntarse si los procedimientos de evaluación que se utilizan
18 Introducción
son los adecuados, o si vale la pena ser más pesimista al estimar las inversiones, ingresos y 
gastos del proyecto de inversión.
Para .implantar procedimientos de seguimiento y control de las inversiones, se re­
comienda emitir reportes periódicos durante la vida de la inversión y al término de ésta. 
Con los reportes que se emitan durante la vida del proyecto, se podrá cambiar de direc­
ción, o establecer medidas correctivas que encaucen o dirijan a la organización hacia los 
objetivos planeados. Con el reporte emitido al final de la vida de la propuesta, se podrá 
evaluar qué tan alejado se está de los objetivos planeados.
Los procedimientos de seguimiento y control no tienen como objetivo señalar al 
responsable de los errores ocurridos, sino evitar que estos mismos errores se vuelvan a co­
meter en el futuro. Además, cuando estos procedimientos son implementados, la alta 
administración de una organización está en una mejor posición de evaluar el riesgo y la 
incertidumbre inherente a todo proyecto de inversión.
2
Valor del dinero a través del tiempo
La palabra interés significa la renta que se paga por utilizar dinero ajeno, o bien 
la renta que se gana al invertir nuestro dinero. Puesto que estas dos situaciones se presen­
tan en innumerables formas, es conveniente desarrollar una serie de fórmulas de equivalencia 
con las cuales se pueda evaluar más exactamente: el rendimiento obtenido en una deter­
minada inversión, o el costo real que representa una determinada fuente de financiamiento. 
Por consiguiente, el objetivo de este capítulo es presentar las fórmulas de equivalencia 
más utilizadas considerando interés compuesto, tanto discreto como continuo, así como 
también flujos de fondos.
2.1 VALOR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO
Puesto que el dinero puede ganar un cierto interés, cuando se invierte por un cierto 
período usualmente un año, es importante reconocer que un peso que se reciba en el 
futuro valdrá menos que un peso que se tenga actualmente. Es precisamente esta relación 
entre el interés y tiempo lo que conduce al concepto del valor del dinero a través del tiem­
po. Por ejemplo, un peso que se tenga actualmente puede acumular intereses durante un 
año, mientras que un peso que se reciba dentro de un año no nos producirá ningún rendi­
miento. Por consiguiente, el valor del dinero a través del tiempo significa que cantidades 
iguales de dinero no tienen el mismovalor, si se encuentran en puntos diferentes en el 
tiempo y si la tasa de interés es mayor que cero.
2.2 INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO
La diferencia fundamental entre interés simple e interés compuesto estriba en el 
hecho de que cuando se utiliza interés compuesto, los intereses a su vez generan intereses, 
mientras que cuando se utiliza interés simple los intereses son función únicamente del prin­
cipal, el número de períodos y la tasa de interés.
Para ilustrar la diferencia entre estos dos conceptos, suponga que se han pedido pres-
19
20 Valor del dinero a través del tiempo
tados $1,000 para pagarlos dentro de dos años a una tasa de interés del 10% . Si se utiliza 
interés simple, entonces, la cantidad a pagar sería:
1000 4- 1000 (2) (.1)= 1200
Por otra parte, si se utiliza interés compuesto, el adeudo al final del segundo año se­
ría como se muestra a continuación:
Año
Adeudo al 
principio
del año In tereses
Adeudo 
al final 
del año
1 1000 100 1100
2 1100 110 1210
Como se puede observar, existe una diferencia entre los adeudos obtenidos median­
te estos dos enfoques. Esta diferencia se debe precisamente a los intereses ($10) que pro­
dujeron los intereses ($100) generados en el primer año.
23 FORMULAS DE EQUIVALENCIA ASUMIENDO INTERES 
COMPUESTO DISCRETO
Puesto que el interés compuesto es más frecuentemente encontrado en la práctica 
que el interés simple, a lo largo de este capítulo se supondrá que el interés es compuesto, 
a menos de que se especifique lo contrario. También en esta sección se va a suponer que 
los períodos de interés son discretos, es decir, las tasas de interés utilizadas serán anuales, 
semestrales, mensuales, etc. Bajo estas suposiciones, en esta sección se van a desarrollar 
fórmulas de equivalencia que relacionan flujos de efectivo únicos, series uniformes de flu­
jos de efectivo y flujos de efectivo con gradientes aritméticos y geométricos.
23.1 Flujos de efectivo únicos
Para desarrollar la fórmula de equivalencia que relaciona una cantidad presente con 
una cantidad futura, veamos primero la figura 2.1. En esta figura, P representa el desem­
bolso inicial, el cual ocurre al principio del primer período, Fia cantidad que se va a recu­
perar al final del período n, y n es el número de períodos durante los cuales se está ganando 
una tasa de interés de z% . Puesto que el interés es compuesto, la cantidad acumulada al 
final del primer período sería P 4- /¥, la cual es equivalente a P (1 4- z), y la cantidad acu­
mulada al final del segundo período, sería la cantidad que se tiene al principio del segundo 
período (final del primer período) P (1 4- z), más los intereses generados por esta cantidad 
P (1 4- i )i, es decir, la cantidad acumulada al final del segundo período sería P (1 4- z)2 . Si­
guiendo esta misma lógica se pueden seguir obteniendo las cantidades que se acumulan al 
final de los siguientes períodos (ver tabla 2-1). De esta tabla se puede observar que la 
fórmula que relaciona una cantidad presente con una cantidad futura es:
Formulas de equivalencia 21
f=p(i+íji (2.1)
esto es, para obtener la cantidad que se acumula después de n períodos a una tasa de inte 
rés de i% , solamente se multiplica la cantidad presente P por el factor (1 + i)n, el cual ge 
neralmente se denota por (F/P, i%, tí).
1 2 3 n — 1 n
P
FIGURA 2.1. Diagrama de flujo que relaciona un valor presente con un valor futuro.
TABLA 2-1. Desarrollo del factor que relaciona una cantidad presente con una 
cantidad futura.
Ano Cantidad 
acumulada 
al principio 
del año
Intereses 
ganados
Cantidad
acumulada
al final 1
del año
1 P Pi P+Pi =P(1 +0
2 p(\+i) p (1 + 0 i p(i +¡) + P(i + 0 i =P(1 + ¡)2
3 P(1 +¿)2 P(1 + í)2¿ P(1 + í)2 +P(1 +Í)2Í =P(1 + »)3
n P (1 + ¿)”_1 p (1 +í)”_1í P(i + ¡)"’1 + P(l +o"-1í =P(1 +(•)"
También la ecuación (2.1) puede ser presentada en la forma siguiente:
P = F—^------
(1+zf
(2.2)
la cual se utilizará para determinar la cantidad presente que se tiene que invertir durante n 
períodos a una tasa de interés de i%, para acumular una cantidad F. Al factor 1/(1 + i)n 
se le denota por (P/F, i %, ri). Este factor al igual que el anterior y los próximos a derivar, se 
pueden encontrar en tablas (ver apéndice), o bien muchas de las calculadoras de bolsillo 
producidas por la Hewlett Packard o por la Texas lnstruments, tienen la facilidad de 
obtenerlos directamente.
Ejemplo 2.1
Una persona pide prestado la cantidad de $1000 para pagarla dentro de 5 años a 
una tasa de interés del 20% anual. ¿Cuánto pagaría esta persona al final del quinto año?
22 Valor del dinero a través del tiempo
Utilizando la ecuación (2.1) tenemos:
F = 1000 (1 + 0.2)s
F= 1000 (2.4883) = 2488.30
esto es, la cantidad a pagar al final del quinto año sería de $2488.30.
2.3.2 Series uniformes de flujos de efectivo
Existen situaciones tales como: depósitos constantes al final de cada período, o 
percepción de ingresos constantes al final de cada período, en las cuales es conveniente 
derivar fórmulas para obtener la equivalencia de estos flujos en el presente, o bien su equi­
valencia en el futuro.
2.3.2.1 Valor futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo
Para determinar la equivalencia en el futuro de una serie uniforme de flujos de efec­
tivo, es necesario introducir una nueva variable, la cual denotaremos por A (ver figura 2.2) 
Esta variable representa el flujo neto al final del período, el cual ocurre durante n perío­
dos. Por consiguiente, la cantidad acumulada F al final del año n, se puede obtener al su­
mar la equivalencia (al final del período tí) de cada una de las A ’s.
FIGURA 2.2. Diagrama de flujo que relaciona una cantidad futura con una 
serie uniforme de flujos de efectivo.
Por ejemplo, la equivalencia de la última A en el tiempo n es A, puesto que este flujo no 
produce ningún interés. Sin embargo, la penúltima A produce intereses durante un perío­
do, por lo cual su equivalencia en el tiempo n es A (1 + z). Siguiendo esta misma lógica, la 
primera A produce intereses durante n — 1 períodos por lo cual su equivalencia en el tiempo 
n es A (1 + z)”"1. Sumando las equivalencias de las n A’s encontramos:
F = A (1 +(1 +z) + (l +i)2 + • • +(1 +0" _1)
la cual se reduce a:
F = A (-0 +F ~ 1 ) 
i
F = A(F/A, i%, n)
(2.3)
Fórmulas de equivalencia 23
La ecuación (2.3) también puede ser expresada en la forma siguiente:
X=F (--------------i--------- 1)
(1 + i/* - 1
(2-4)
Ó
A=F(A¡Ft i%, n)
esto es, con esta última expresión se trata de determinar el flujo neto A al final de cada 
período durante n períodos, que es necesario desembolsar, para acumular al final del pe­
ríodo n una cantidad F.
Ejemplo 2.2
Un estudiante del ITESM que actualmente está cursando su último semestre de la 
carrera, y que paga actualmente una colegiatura de $250,000; desea conocer lo que sus 
futuros hijos pagarán de colegiatura semestral en el ITESM. Para esto se va a asumir que 
la colegiatura aumentará 20% por semestre y que su primer hijo ingresará al ITESM a cur­
sar una carrera profesional dentro de 20 años.
Utilizando la ecuación (2.1) tenemos:
F= 250,000(1 + ,2)40 = 5367,442,900
Ejemplo 2.3
Considere usted que en este momento tiene $250,000 que a la paridad actual equi­
valen a 1,000 Dlls. Si los bancos en México pagan un interés anual de 50% en depósitos 
a un año, y los bancos en U.S.A. pagan un 10% anual en depósitos similares, ¿cuál es el 
deslizamiento diario a partir del cual conviene depositar nuestro dinero en U.S.A.? 
Utilizando la ecuación (2.1) tenemos:
^MEXICO = 250,000 (1 T .5) = 375,000 pesos
lo cual se reduce a:
fu.s.a. 1,000(1 + .1) = 1,100 doláres
si se igualan las dos ecuaciones anteriores y se considera a d como el deslizamiento diario, 
se obtiene lo siguiente:
V r -
1,100(250 + 365d) = 375,000
24 Valor del dinero a través del tiempo
Ejemplo 2.4
Una persona deposita al final de cada mes, durante dos años, la cantidad de $1000. 
Si la cuenta de ahorros paga el 1.5%mensual, ¿cuánto se acumularía al final del segundo 
año?Utilizando la ecuación (2.3) se tienr
F=1000 (-^ + -015) 4 - )
.015
F = 1000 (28.6335) = 28,633.5
esto es, al final del segundo ano se habrá acumulado la cantidad de $28, 633.50
23.2.2 Valor presente de una serie uniforme de flujos de efectivo
La figura 2.3 muestra un diagrama de flujo que relaciona una cantidad en el presen­
te con una serie uniforme de flujos de efectivo. Para determinar la equivalencia en el tiempo 
cero de estos flujos netos al final de cada período durante n períodos, se puede proceder 
en igual forma que en el inciso anterior, es decir, la equivalencia en el tiempo cero de esta 
serie uniforme de flujos de efectivo, se puede obtener al sumar la equivalencia en el tiem­
po cero de cada una de las n A k
FIGURA 2.3. Diagrama de flujo que relaciona una cantidad presente con una serie 
de flujos de efectivo.
Por ejemplo, la equivalencia en el tiempo cero del primer flujo es A/(l + z) y la equivalen­
cia del segundo esj4/(l + í)2. Siguiendo esta misma lógica, la equivalencia del último flujo 
en el tiempo cero es A 1(1 4- z)n. Sumando todas estas equivalencias encontramos:
P = A (----- 1--- +------- í-----+ .. . + _____ 1___
(1+í) (1+02 (1+0"
y simplificando la expresión anterior se obtiene:
P = A (-^ + ~ 1 )
z (1 +0"
(2-5)
Fórmulas de equivalencia 25
o
P=A(P/A, i%, ri)
también la ecuación (2.5) se puede poner en la forma siguiente:
A =P
1 (1 + /)” - 1 ’
/ kjO Al ' 0**^ E G>o\uA¿f^‘1 (2.6)
O
A = P (A/P, i%, n)
la cual se utiliza para determinar la cantidad A que se recibiría (pagaría) al fmal de cada 
período durante n períodos, si en el tiempo cero se invierte (recibe) una cantidad P.
Ejemplo 2.5
Una persona deposita $100,000 en una cuenta que paga el 5% semestral. Si esta 
persona quisiera retirar cantidades iguales al final de cada semestre durante 5 años, ¿de 
qué tamaño sería cada retiro?
Sustituyendo esta información en la ecuación (2.6) se tiene:
A = 100,000 (--05 o + -05)1 °_)
(1 + .05)*0 - 1
A= 100,000 (.12950) = 12,950
esto significa que dicha persona podrá hacer 10 retiros iguales de $12,950 al final de los 
cuales se agotará la cuenta.
2.3.3 Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y geométricos
Ciertos proyectos de inversión generan flujos de efectivo que crecen o disminuyen 
una cierta cantidad constante cada período. Por ejemplo, los gastos de mantenimiento de 
un cierto equipo se pueden incrementar una cierta cantidad constante cada periodo. Tam­
bién, es posible que ciertos proyectos generen flujos que se incrementan un cierto porcen­
taje constante por cada periodo. Este último caso se comprende fácilmente cuando se supo­
ne que los flujos por el efecto de la inflación crecen a un porcentaje constante por período. 
Por consiguiente, en el presente inciso se van a desarrollar fórmulas de equivalencias para 
flujos de efectivo que se comporten en forma de gradiente ya sea aritmético o geométrico.
2.3.3.1 Gradientes aritméticos
Un flujo de efectivo en forma de gradiente aritmético sería aquel que aparece en la 
figura 2.4. Como puede observarse en esta figura, el flujo del primer año es,4 j, y del según-
26 Valor del dinero a través del tiempo
do año en adelante el flujo se incrementa en una cantidad constante g. Por consiguiente, 
si quisiéramos transformar el flujo de efectivo de la figura 2.4 a uno parecido al de la 
figura 2.5, el cual es completamente equivalente, una alternativa es considerar que en el 
período dos empieza una serie uniforme de flujos de efectivo de tamaño g. También otra 
serie uniforme de flujos de efectivo empieza en el período tres y así sucesivamente hasta
g'
g
g‘
g
FIGURA 2.4. Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos.
FIGURA 2.5. Flujo de efectivo equivalente al mostrado en la figura 2.4.
llegar al último período. De acuerdo con esta lógica, la cantidad ^42 se puede obtener al mul­
tiplicar la suma de los valores futuros de estas series por (A/Ft i%, n), esto es, Á2 se puede 
determinar por medio de la siguiente expresión:
A2 =8 ( (F/A, i%, n - 1) + (F/A, z%, n - 2) + ... + (F/A, i%, 2)+ .. .
... +(F/AÍ%,1) ) (A/F,i%,n)
A2=j- ((1 + z)"_1 +(1 +z)n_2 +... + (1 +i)2 +(1 + í)-(n-1))(4/F, i%,n)
(1 +z)"-l
-nX )i (1 + 0" - 1
Fórmulas de equivalencia 27
la cual se reduce a:
a2 =g (—---------------- -------- )
i (1+/)”-!
(2.7)
O
A2=g (A/g, i%, ri)
Es importante señalar que a pesar de que el gradiente empieza en el período dos, en la 
obtención del factor (A/g, i%, n) se utiliza el valor de n y no el de n — 1.
Ejemplo 2.6
Una persona piensa abrir una cuenta de ahorros que paga el 12% anual. Para empe­
zar, esta persona piensa depositar al final del año $ 5,000. Sin embargo, puesto que su sala­
rio está creciendo constantemente, esta persona cree poder incrementar la cantidad a 
ahorrar en $1,000 cada año. Si esta misma persona hiciera depósitos anuales de la misma 
magnitud, ¿de qué tamaño tendrían que ser para que la cantidad acumulada en 10 años 
fuera la misma?
Utilizando la ecuación (2.7)y sustituyéndola información presentada en el ejemplo, 
esta persona tendría que depositar:
A = 5,000 + 1,000 (-1----------------19------ )
.12 (1 + .12)10 — 1
>1 = 5,000 + 1,000(3.585)
>1 =$8,585
es decir, depositar $8,585 al final del año durante diez años, es equivalente a depositar al 
final del primer año $5,000 y después incrementar el depósito en $1,000 por año.
2.3.3.2 Gradientes geométricos
Los flujos de efectivo en forma de gradientes geométricos (ver figura 2.6) ocurren 
como se mencionaba anteriormente, en ambientes crónicos inflacionarios o bien en épo­
cas de recesión. Esto significa que los flujos de efectivo de un período al siguiente pueden 
aumentar o disminuir de acuerdo a un porcentaje fijo, es decir, el flujo de efectivo del Kth 
período se puede representar como:
Ak =Ak-\ (1 + /) para/¿ = 2, 3, . .
ó
=^i (1 +/)Á’~1 para K = 1,2, 3,. . , n
28 Valor del dinero a través del tiempo
FIGURA 2.6. Flujos de efectivo en forma de gradiente geométrico.
donde / representa el porcentaje fijo de cambio (aumento o disminución) del flujo de 
efectivo entre un período y el siguiente. Conociendo este porcentaje de cambio entre un 
período y el siguiente, el valor presente de estos flujos vendría dado por la siguiente 
expresión:
p
n Ak n A^\+jf^
K=l0.+i)K (1+0*
ó
Al £ (1+'> 1 +/ K=1 1 +i 7
la cual se reduce a:
( 1-(1+/)"/(!+01) SiI^
0-7)
(2-8)
o a la siguiente expresión:
(2-9)
Independientemente de que / sea igual o diferente a z, las ecuaciones (2.8) y (2.9) se repre­
sentan en forma general de acuerdo a la expresión siguiente:
Interés nominal e interés efectivo 29
Ejemplo 2.7
Un padre de familia ha destinado un cierto fondo de dinero para que su hijo estudie 
la carrera de US en el ITESM. La carrera en esta institución dura 9 semestres y debido a la 
inflación, la colegiatura aumenta el 8% semestral. Si el padre de familia deposita este 
fondo en una cuenta bancaria que paga el 6% semestral, ¿cuánto tendría que depositar si 
la colegiatura del primer semestre es de $10,000? Suponga que el pago de la colegiatura 
ocurre al final del semestre.
Sustituyendo esta información en la ecuación (2.8), se obtiene:
P = 10,000 ( _l-(l + -08)9/(l + .06)9 }
(.06 - .08)
P = 10,000 (9.1603)= 91,603
lo cual significa que este padre de familia tiene que depositar ahorita $91,603, con los 
cuales se pagaría la colegiatura de los próximos nueve semestres.
2.4 INTERES NOMINAL E INTERES EFECTIVO
Generalmente, en muchos estudios económicos las tasas de interés utilizadas son en 
bases anuales. Sin embargo, en la práctica es posible encontrar situaciones en las cuales los 
intereses se tengan que pagar más frecuentemente, ya sea cada semestre, cada trimestre o 
cada mes. En tales situaciones, conviene analizar, por ejemplo, si existe alguna diferencia 
entre pagar el 1% mensual y el 12% anual. Para analizar si existe realmente diferencia, 
suponga que usted necesita $1,000 y ha recurrido al banco a solicitarlos. El banco ha 
acordado prestárselos a una tasa del12% anual. Por otra parte, usted conoce a otra 
persona, la cual le presta la misma cantidad de dinero cobrándole el 1% mensual. Si el 
plazo que se le da para reponer el dinero es de un año, entonces, usted tendría que pagar a 
cada parte lo siguiente:
Fbanco = 1000 (1 + .12)* = $1,120.00
Apersona: = 1000 (1 + -OI)12 = $1,126.80
como se puede observar, aceptar el dinero al 12% anual resulta más conveniente.- Este 
resultado no es nada sorprendente, puesto que al cobrarse los intereses en base mensual, 
es obvio que se acumularán más intereses, ya que cuando el interés que se cobra es com­
puesto, los intereses generados a su vez producen más intereses.
Del ejemplo anterior se puede concluir que el 1% mensual no equivale al 12% anual. 
Por consiguiente, si quisiéramos determinar el interés efectivo anual al cual equivale el 1^ 
mensual, tendríamos que hacer el siguiente cálculo:
1,126.80- 1,000
- % 
*
1,000
= 12.68%
30 Valor del dinero a través del tiempo
Esto significa que la fórmula general para determinar el interés efectivo anual sería:
, PO.+r/Mf-P
ef~ ’ P
(2.10)
(2.10)
donde:
4/ = interés efectivo anual
r = interés nominal anual
M = número de períodos en los cuales se divide el año
Por ejemplo, el 12% anual sise capitaliza cada semestre, equivale al 12.36% efectivo anual; 
si se capitaliza cada trimestre, equivale al 12.55% efectivo anual; si se capitaliza cada mes, 
equivale al 12.68% y así sucesivamente. Sin embargo, si la capitalización es más frecuente 
aún, el interés efectivo anual no aumenta gran cosa, esto significa que en el caso límite de 
capitalizar un número infinito de períodos en el año, esto es, continuamente, el interés 
efectivo anual converge a:
¡ef= Lím ( (1 + r/M/1lr )' - 1
pero
Lím (1 +r/M?tlr = e
Por consiguiente:
\lef = er(2.11)
es decir, si el interés nominal anual r se capitaliza continuamente, entonces, el interés 
efectivo anual es er - 1.
Para finalizar este inciso, conviene puntualizar que siempre el interés a utilizar en un 
determinado problema, debe corresponder al tamaño del período seleccionado, es decir, si 
el período es de un semestre, el interés debe ser expresado en forma semestral. También 
conviene señalar que cuando la capitalización es más frecuente que un año (mensual, tri­
mestral, etc.) y los flujos de efectivo ocurren sólo al final del año, entonces, existen dos 
alternativas de resolver el problema: 1) seleccionar como período ya sea el mes, trimes­
tre o semestre y la tasa de interés correspondiente, o 2) seleccionar como período un año 
y utilizar el interés efectivo anual. Cuando son flujos únicos es indistinto usar cualquiera 
de las dos alternativas, sin embargo, cuando se están manejando series uniformes de flujos de 
efectivo, conviene utilizar la segunda alternativa.
Interés real 31
2.5 INTERES REAL
Existen en la práctica ciertos problemas en los cuales se nos asegura que nos van a 
cargar una cierta tasa de interés. Los problemas más comunes de este tipo son las compras 
que se hacen a crédito, los préstamos bancarios, etc. Sin embargo, muy probablemente en 
la mayoría de estas transacciones el interés real es mucho mayor al que supuestamente se 
nos está cobrando.
El concepto de interés real es muy similar al de interés efectivo, de hecho, son equi­
valentes. Sin embargo, cuando hablamos de interés efectivo, normalmente nos referimos a 
un año, y cuando hablamos de interés real, el tamaño del período puede ser de un mes, un 
trimestre o un semestre. Lo anterior significa que al interés real también le podemos lla­
mar interés real efectivo. Para comprender mejor este concepto analicemos los siguientes 
ejemplos:
Ejemplo 2.8
Una persona ha solicitado al banco un préstamo por la cantidad de $10,000. El ban­
co para este tipo de préstamos otorga un plazo de seis meses a un interés del 1.5% men­
sual. Si la persona recibe $10,000 menos los intereses generados por el préstamo, ¿cuál es 
el interés real mensual en esta transacción?
Primeramente se va a determinar la cantidad neta de dinero que esta persona recibe:
P= 10,000 - (10,000 (1 + .015)6 - 10,000)
P = 9,066
Pz 10,0^
C * ) . S. V . rs.-J* I
es decir, la persona va a recibir $9,066 a cambio de pagar $10,000 dentro de seis meses. 
Lo anterior significa que el interés real mensual en este préstamo, sería la tasa de interés 
que hace $9,066 igual a $10,000 dentro de seis meses, esto es:
9,066(1 +z^)6 =10,000
y despejando iR encontramos:
Ln
io,oou
9,066 n )-1 = 1.65%
Por consiguiente, el interés real de este préstamo es de 1.65% mensual, el cual equivale a 
21.70% anual efectivo. Además, conviene señalar que 1.65% representa también el inte­
rés efectivo mensual, es decir, en este caso es indistinto usar el término interes real men­
sual o interés efectivo mensual.
La razón por la cual el interés real resultó mayor que 1.5%, estriba en el hecho de 
que los intereses se están calculando sobre una cantidad mayor a la que estamos recibien­
do, y además se están cobrando por adelantado.
Ejemplo 2.9
Un alto ejecutivo desea comprar un automóvil que vaya de acuerdo con el nivel je­
rárquico que ocupa. Para esto ya se ha decidido por un “Century Limited” modelo 1985,
32 Valor del dinero a través del tiempo
el cual cuesta $5.000,000. Las condiciones de pago son dar el 20% de enganche y el resto 
a 36 meses. Si el banco le financia el 80% del valor del automóvil y le cobra un 2.6% glo­
bal mensual y le determina el tamaño de los pagos mensuales de la siguiente manera:
Mensualidad = 4,000,000 + 4,000,000 (.026) (36) 36 = 215,111
¿Cuál sería el interés real mensual que resulta de aceptar esta fuente de financiamiento?
El interés real mensual en esta operación sería la tasa de interés que iguala el valor 
presente de 36 mensualidades de $215,111, con el valor del financiamiento de $4,000,000, 
esto es:
4,000,000 = 215,111 (P/A, iR%,36)
y el valor de iR que satisface la ecuación anterior es de 4.13%. Lo anterior significa que 
si se acepta el financiamiento del banco, el interés real mensual sería de 4.13% y el efec­
tivo anual de 62.52%/
Ejemplo 2.10
Una persona planea casarse dentro de cuatro meses. Su principal preocupación por 
el momento es comprar lo más indispensable para la casa, como lo son: la estufa, el come­
dor, el refrigerador, la sala y la recámara. Específicamente esta persona está interesada en 
comprar una recámara modelo “provenzal delicias”, la cual está marcada a un precio de 
$30,000. Sin embargo, ésta persona tiene dos opciones para comprar dicha recámara: 1) 
comprarla de contado a un precio de $18,000, o 2) comprarla a crédito (12 pagos men­
suales) a una tasa de interés del 1.5% mensual. Si esta persona compra la recámara a cré­
dito, ¿cuál sería el interés real mensual?
Antes de evaluar el interés real mensual, primero es necesario determinar la magni­
tud de cada pago mensual para la alternativa de comprar a crédito. Tal mensualidad la 
mueblería la calcula de la manera siguiente:
30,000 + 30,000 (.015) (12)
12
= 2,950
Por consiguiente, el interés real mensual en esta transacción, sería la tasa de interés que 
iguala el valor presente de doce mensualidades de tamaño $2,950 con el valor de contado 
el cual es de $18,000, esto es:
18,000 = 2,950 (P/A, iR%, 12)
y el valor de iR que satisface la ecuación anterior es de 12.3%. Esto significa que si la re­
cámara se compra a crédito, el interés real mensual sería de 12.3% y el efectivo anual de 
302%.
Existen básicamente dos razones por las cuales el interés real en este ejemplo es 
excesivamente alto: 1) primeramente, los intereses se obtienen a partir del precio a crédi-
Fórmulas de equivalencia 33
to (S 30,000) y 2) los intereses generados en el futuro (próximos 12 meses) se están su­
mando como si estuvieran en el mismo punto del tiempo.
Los dos ejemplos anteriores muestran claramente la importancia de manejar bien
estos conceptos, puesto que de esta manera se podrán tomar mejores decisiones en la 
compra de activos a crédito, es decir, se podrán encogermejorías fuentes de financiamien- 
to (más baratas) con las cuales se adquirirán los activos.
2.6 FORMULAS DE EQUIVALENCIA ASUMIENDO INTERES
COMPUESTO CONTINUO
Puesto que generalmente las transacciones monetarias dentro de una empresa ocu­
rren diariamente, y el dinero normalmente se pone a trabajar inmediatamente después de 
que se recibe, vale la pena desarrollar fórmulas de equivalencia en las cuales se considere que 
el interés compuesto es capitalizado continuamente. Por consiguiente, en esta sección 
se van a desarrollar las mismas fórmulas presentadas anteriormente, pero asumiendo una 
capitalización continua.
2.6.1 Flujos de efectivo únicos
Para determinar la fórmula de equivalencia que relaciona un valor presente P con un 
valor futuro F, cuando el interés nominal anual r se capitaliza continuamente, los intere­
ses generados a cada instante deben ser agregados al principal (P) al final de cada infinitesi­
mal período de interés, esto es, si la capitalización es anual, el valor futuro sería:
F = P(1 +r)n
si la capitalización es semestral, el valor futuro sería:
F=P(1 +r/2')2n
si la capitalización es mensual, el valor futuro sería:
F = P(1 + r/12)12"
y si la capitalización es continua, el valor futuro sería:
F= Lím P(1 + r¡Mfn
pero rearreglando términos tenemos:
34 Valor del dinero a través del tiempo
y como
Lím (1 4- r/M^^r = é
entonces, el valor futuro se obtiene con la siguiente expresión:
F=Pern (2.12)
y al factor resultante Z" comúnmente se le representa por(F/P, r%, rí).
La ecuación (2.12) también se puede representar como:
P = (2-13)
en la cual se trata de obtener el valor presente dado que se conoce el valor futuro. Al fac­
tor resultante e~rn se le denota por (P/F, r%, rí).
Ejemplo 2.11
En países con altas tasas de inflación como Bolivia, donde se han llegado a padecer 
inflaciones del 30,000% anual, se puede considerar para propósitos prácticos, que la capi­
talización es continua, ya que los precios de los bienes y de los servicios suben casi a cada 
momento. Si se asume que la inflación en este país es de .5% cada seis horas, y un automó­
vil mediano cuesta $20,000,000, ¿cuánto costará dicho automóvil dentro de un año?
Puesto que la tasa de inflación cada seis horas es de .5%, entonces, la tasa anual no­
minal es de 730% y usando la ecuación (2.12) el valor del coche sería:
F = 20,000,000 e(7J) = 29,606 millones
2.6.2 Series uniformes de flujos de efectivo
2.6.2.1 Valor futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo
Siguiendo el mismo razonamiento presentado en las secciones anteriores, la suma 
acumulada al final del año n, se puede obtener al sumar las equivalencias de cada una de 
las A ’s en el año n, es decir:
F=A (1 +er 4-e2r + . .. + e(n“1)r)
la cual se reduce a:
(
Z-l
■) (2.14)
ó
F = A (F/A, r%, rí)
Fórmulas de equivalencia 35
también la ecuación (2.14) puede ser expresada en la forma:
A = F (—~ 1 ) (2.15)
ó
A = F (A/F, r%, n)
Ejemplo 2.12
Seis depósitos semestrales iguales de S 10.000 son hechos en t = 0, 1,2, 3, 4 y 5 en 
una cuenta que paga el 40% anual capitalizable continuamente. Posteriormente se van a 
hacer dos retiros iguales de $%ení = 8yr=ll.Si con el segundo retiro se agota la 
cuenta, ¿cuál es el tamaño de estos retiros?
De acuerdo con la figura que se presenta a continuación y aplicando las ecuaciones 
(2.12), (2.13) y (2.14) se obtiene:
0 1 2 3 4 5 6 7
i i $x ♦
i i---------------
8 9 10 11
o v
A- SI 0,0.00
10,000 (F/p. 20%, 5) + 10,000 (F/A. 20%, 5) = X (P/F, 20%, 3) + X (P/F, 20%, 6) y 
sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B se obtiene:
10,000(2.7183)+ 10,000(7.7609) = X (.5488) +X(.3012)
X = 104,792
.8498
X = $123,314^-
2.6.2.2 Valor presente de una serie uniforme de flujos de efectivo
La equivalencia en el tiempo cero de una serie uniforme de flujos de efectivo, se 
puede obtener siguiendo la misma lógica del inciso anterior, es decir, sumando las equi­
valencias en el tiempo cero de cada una de las A ’s, esto es:
P = A (e~r + e"2r + . . . +e“Mr)
la cual se reduce a.
(2-16)
36 Valor del dinero a través del tiempo
ó
P — A (P/A, r%, n)
la ecuación (2.16) también se puede expresar como:
A = P( g'~-l -) 
1 „-rn (2.17)
ó
A =P (A/P, r%, ri)
Ejemplo 2.13
¿Cuánto es necesario depositar en una cuenta de ahorros que paga el 30% anual ca­
pitalizadle continuamente, si se quieren hacer 5 retiros anuales iguales de $100,000, em­
pezando dos años después de hacer el depósito?
El diagrama de flujo de efectivo de este ejemplo se presenta a continuación:
i
A =100,000
b ‘iL i > M i
1
F
2 5 6
P =?
De acuerdo con esta figura y aplicando las»ecuaciones (2.12) y (2.16), se obtiene:
P = 100,000 (P/A, 30%, 5) (P/F, 30%, 1)
y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B, se obtiene:
P = 100,000 (2.2205) (.7408) = $164,490
Ejemplo 2.14
Considere una tasa nominal anual de $300% y que un refrigerador cuesta $500,000. 
¿De qué tamaño serían 3 anualidades iguales que saldaran dicha cantidad?
Utilizando la ecuación (2.17) y la información presentada en el ejemplo, se obtiene:
A = 500,000 M/P, 300%, 3)
A = 500.000 [(e3 - 1)/(1 - e-9)]
A = $9,543,723
Fórmulas de equivalencia 37
2.6.3 Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y geométricos
2.6.3.1 Gradientes aritméticos
De acuerdo a las figuras 2.4 y 2.5 y a la ecuación (2.14), la cantidad A2 se puede 
determinar por medio de la siguiente expresión:
A2=g( (F/A, r%, n - 1)4- (F/A, r%,n-2)+...+ (F/A, r%, 1) ) (A/F, r%,«)
la cual se reduce a:
Ejemplo 2.15
A 2 = g(A/g, r%, n)
(2.18)
¿Cuánto es necesario depositar en una cuenta que paga el 30% anual capitalizable. 
continuamente, si se requiere hacer 5 retiros anuales? Suponga que el primer retiro es de 
$20,000 y a partir del segundo los retiros aumentan a una razón constante de $5,000.
Utilizando las ecuaciones (2.16) y (2.18) y la información presentada en el ejemplo, 
se obtiene:
P = [20,000 + 5,000 (X/g, 30%, 5)] (P/X, 30%, 5)
y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B, se obtiene:
P = [20,000 + 5,000 (1.4222)] (2.2205)
P = $60,200
2.6.3.2 Gradientes geométricos
De acuerdo a la figura 2.6 y a la ecuación (2.13) y suponiendo que el flujo de efecti­
vo período se puede expresar como:
38 Valor del dinero a través del tiempo
AK=Ax(\+¡'f 1 para K= 1,2,3,... n
el valor presente de estos flujos de efectivo vendría dado por la siguiente expresión:
n A
P = s
K = 1
ó
p__ i - 2 ( 1 +¡ )K 
K=i er(1 +/)
la cual se reduce a:
o
(2-19)
P = AX (P/A, r%fj%f n)
Ejemplo 2.16
Una persona ha depositado 5100,000 en una cuenta de ahorros que paga el 30% 
anual capitalizable continuamente. Si esta persona desea sacar de la cuenta 5 retiros que 
crezcan a una razón de 15% anual, ¿cuál sería el tamaño del primer retiro, de tal modo 
que al hacer el quinto se agote la cuenta?
Utilizando la ecuación (2.19) y la información presentada en el ejemplo, se tiene:
A = 100,000
1 (P/^, 30%, 15%, 5)
y sustituyendo el factor que aparece en el apéndice B, se obtiene:
100,000
2.7580 = 536,258
2.7 FORMULAS DE EQUIVALENCIA SUPONIENDO QUE LOS 
FLUJOS DE EFECTIVO SON A TRAVES DEL PERIODO
En las secciones anteriores se suponía que los flujos de efectivo ocurrían al final del 
período. Sin embargo, es muy probable que en algunos casos el dinero fluya a través del pe­
ríodo. Por consiguiente, en algunas ocasiones es conveniente suponer que el dinero fluye 
continuamente a través del período a una razón constante. En tales situaciones, en vez de 
tener una serie uniforme de flujos de efectivo discretos de magnitud A, se va a tener un 
flujo A, el cual fluye uniforme y continuamente a través del período de tiempo dado.
Fórmulas de equivalencia 39
2.7.1 Valor presente de un flujo de fondos
Para determinar la fórmula de equivalencia que determina el valor presente de una 
serie uniforme de flujos de fondos, vamos a analizar el comportamiento del valor presente 
a medida que se desparrama el flujo a través del período, esto es, primero se va a determi­nar, por ejemplo, el valor presente de gastar (recibir) A pesos al final del año durante n años 
si el interés nominal anual es r. Tal valor presente viene dado por:
P = A
r(l+r)"
Ahora, si en lugar de gastar (recibir) A pesos al final del año gastamos (recibimos) X/2 al 
final de cada semestre (durante n años), entonces, el valor presente sería:
P = ( G + r/2)^w— 1 )
2 -y 0 + r/2)2"
y si por otra parte se gasta (se recibe) >1/4 pesos al final de cada trimestre (durante n años), 
entonces, el valor presente sería:
A ( (1 +r/4)4n - 1
4 — (l+r/4)4”
4
Es obvio que la expresión anterior a medida que se desparrama más el flujo durante el año, 
más se aproxima a un valor límite. Este límite se alcanza precisamente cuando el número 
de períodos en el año es infinito, es decir, cuando el flujo de efectivo fluye a través del 
año. El valor presente en tal situación sería:
A^(X+r!Mfn-l
M -L (1 + r/Mfn 
rearreglando la expresión anterior encontramos:
(ji+r/w)M/ry/2 -1
P — A ( >--------------- ------------ )
r ((1
la cual se reduce a:
P=Z( )r ¿n
(2.20)
40 Valor del dinero a través del tiempo 
ó
P = A (P/A, r%, rí)
es importante señalar que la ecuación (2.20) aunque se desarrolló suponiendo que los pe 
ríodos son de un año, también se puede aplicar a casos en los cuales el período sea menor 
que un año. Lo importante en la aplicación de esta fórmula es suponer que el flujo será a 
través del período. Por ejemplo, si A es el flujo que fluye a través de un semestre, enton­
ces, r sería el interés nominal semestral.
Por otra parte, la ecuación (2.20) también puede ser expresada en la forma siguiente:
(2.21)
O
Á=P(A/P, r%, n)
Ejemplo 2.17
¿Cuál es el valor presente de un flujo de efectivo que fluye a través del año durante 
5 años y que crece a una razón de 30% anual? Suponga que el flujo de efectivo del primer 
año es de $25,000 y la tasa de interés nominal anual es de 25%.
Utilizando la ecuación (2.20) para el flujo del primer año, se tiene:
P = 25,OOO(P//4,25%, 1)
y sustituyendo el factor que aparece en el apéndice C, se obtiene:
P = 25,000 (.8848) = $22,120
Lo anterior significa que el flujo de fondos original, se transforma en un flujo de efectivo 
que se comporta de acuerdo con un gradiente geométrico, que crece a una razón anual de 
30%. En forma gráfica, el flujo de efectivo resultante, sería como el que se muestra a con­
tinuación:
Fórmulas de equivalencia 41
Por consiguiente, si se aplica la ecuación (2.19). el valor presente de dicho flujo sería:
P = 22,120 + 28,756(PM. 25%. 30%. 4)
y sustituyendo el factor que aparece en el apéndice B. se obtiene:
P = 22.120 + 28.756 (3.1738)
P = SI 13.386
2.7.2 Valor futuro de un flujo de fondos
Siguiendo el mismo razonamiento que en el inciso anterior, el valor futuro de una 
serie uniforme de flujo de fondos que ocurren durante n períodos, vendría dado por la 
expresión:
F = Lím ( 0 + r¡Mfn - 1 M v r/M
y rearreglando la expresión anterior encontramos:
Lím ~A ( Ld - 1 }
M— r
la cual se reduce a:
ó
(2.22)
F = A (F¡A, r%, rt)
Por otra parte la ecuación (2.22) también puede ser expresada como:
A=F(
ern -1
(2.23)
42 Valor del dinero a través del tiempo
ó
A = F(A/Ff r%, n)
Finalmente, conviene señalar que aunque interés compuesto continuo y flujos de 
fondos representan más de cerca las transacciones que ocurren en una empresa, estos con­
ceptos no han sido ampliamente aceptados por los analistas encargados de evaluar proyec­
tos de inversión.
Ejemplo 2.18
¿Cuál es el valor futuro de gastar $100,000, $120,000, $140,000, $160,000 y 
$180,000 en t - 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente si los desembolsos se hacen a través del 
período, y la tasa de interés nominal anual es de 20%.
Utilizando la ecuación (2.22) para un período de un año. el flujo de efectivo origi­
nal se transforma en un flujo con gradiente aritmético, como el que se muestra a conti­
nuación:
Lo anterior significa que ahora se tiene un flujo de efectivo con gradiente aritmético 
de $22,140, y por consiguiente, el valor futuro será:
F = [110,700 4- (22,140) (Ajg, 20%, 5)] (FM/20%,5)
y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B, se obtiene:
F = [110.700 + (22,140) (1.6068)] (7.7609)
Problemas 43
ZÍ
2.2
2.3
2.4
2^/
2.6
■ 2
2.7
2.8
/
2.9
l/
2.10
2.11
2.12
2.13
\---------- -^4 - - -
PROBLEMAS
Si en una cuenta de ahorros que paga el 15% anual se depositan $1,000 anuales 
durante 5 años, ¿qué cantidad se acumularía al final del año 10, si el primer depó- 
to se hizo al final del año 1 ?
¿Qué cantidad es, necesario depositar ahora en una cuenta de ahorros que paga el 
10% para acumular al final del quinto año $ 10,000?
¿Cuál es el interés que se gana en un proyecto que requiere de una inversión inicial 
de $10,000 y produce $20,114 al término de su vida de 5 años?
¿Cuál es el tamaño de 60 mensualidades y de 5 anualidades que resultan de la 
compra de un terreno con valor de $500,000, si la tasa de interés es de 18% anual, 
y las condiciones.de pago son 10% de enganche y el resto se reparte por igual en 
mensualidades y anualidades?
¿Cuánto tiempo tomaría una cantidad de $P en duplicarse, si la tasa de interés es 
de 10% anual?
Un padre de familia desea que su hijo de 7 años estudie una carrera profesional en 
el ITESM. Las carreras en este Instituto duran normalmente 8 semestres, y la cole­
giatura semestral que actualmente es de $20,000, crece por el efecto de la inflación 
a una razón del 10% semestral. Para lograr este objetivo, el padre de familia pien­
sa ahorrar una cantidad anual durante 10 años, empezando al final del octavo ani­
versario del nacimiento de su hijo. Si la cuenta de ahorros paga un 15% anual, y el 
primer pago semestral se hace al final de la primera mitad del año 18; ¿z) ¿De qué 
tamaño deben ser las anualidades que se depositan en la cuenta de ahorros, de tal 
modo que al hacer el pago de la última cuota semestral se agote la cuenta? b) ¿De 
qué tamaño debe ser,el primer depósito, si las cantidades que se depositan cada 
año pueden crecer a una razón constante de $5,000?
Una persona deposita en una cuenta de ahorros una cantidad anual que va dismi­
nuyendo a una razón constante de $500 por año. La magnitud del primer depósito 
que se hace es de $10,000 y el último de $5,500. Si en la cuenta de ahorros se 
gana un 15% anual, ¿de qué magnitud debe ser un depósito anual constante du­
rante el mismo tiempo, de tal modo que la cantidad acumulada sea la misma? 
¿Qué cantidad debe ser depositada en una cuenta de ahorros que paga el 10% anual, 
de modo que se puedan retirar $700 al final del año 1, $1,500 al final del año 3 y 
$2,000 al final del año 5, y la cuenta quede agotada?
Una persona deposita en una cuenta de ahorros $10,000 anuales durante 5 años, al 
final de los cuales la mitad del saldo acumulado es retirado. Posteriormente, $20,000 
anuales son depositados en la misma cuenta durante 5 años más, siendo el saldo 
acumulado retirado a¡ final del año 15. Si en la cuenta de ahorros se gana un 10% 
anual, ¿qué cantidad sería retirada: a) al final del quinto año;Z?) al final del año 15? 
Una deuda por valor de SX es contraída en t = 0. Si el interés que se cobra es de 
10%, y los pagos que se acordaron hacer son de $5,000, $4,000, $3,000, $2,000 y 
$ 1,000 ení = 6,7,8,9y 10 respectivamente, determine el valor de $^f.
¿Cuál es el interés efectivo de una tasa de interés de 18% anual si se capitaliza: 
a) anualmente, Z?) sem&stralmente, c) mensu^lmente y d) continuamente?
Si se hacen depósitos anuales de $1,000 durante 5 años, en una cuenta de ahorros 
que paga el 5% semestral, ¿cuál es la cantidad que se acumula al final del año 5? 
Una persona desea recibir $1,000 al final de cada uno de los próximos cuatro tri-
condiciones.de
44 Valor del dinero a través del tiempo
mestres. Si la cuenta de ahorros paga un 8% anual capitalizable cada trimestre, 
¿cuál es el depósito inicial requerido?
2/14 Una persona ha solicitado un préstamo de $10,000 a una tasa interés de 10% 
anual capitalizable cada trimestre,el cual piensa pagar en 10 pagos semestrales 
iguales. Si el primer pago se hace un año después de conseguir el préstamo, ¿cuál
1 | 2 2.15
4^fc-^2.16
i o '&'*-* ■2.17
sería la magnitud de estos pagos?
¿Cuánto tiempo tomaría una cantidad de $P en triplicarse, si la tasa de interés es 
de 10% anual capitalizable cada semestre?
Una* persona ha solicitado un préstamo de $10,000 a una institución bancada que 
le cobra un interés de 12% anual capitalizable cada semestre. Esta persona desea 
devolver el préstamo en seis anualidades iguales. Si el primer pago se hace al mo­
mento de recibir el préstamo, ¿cuál sería eltamaño de estas anualidades?
Después de haber analizado los intereses reales que se cobran en diferentes esta­
blecimientos comerciales, una persona ha decidido dedicarse a prestamista. Para 
ello, va a establecer la compañía llamada “El Ultimo Recurso”. En esta compañía,
la forma de operar es la siguiente: Cuando una persona solicite un préstamo de $P, 
esta cantidad será transladada al final del plazo concedido en años, de acuerdo a la 
expresión: F — P (F/P, 10%, ri). Posteriormente, para determinar el tamaño de los 
pagos anuales, la cantidad F es dividida entre el número de años que abarca el 
préstamo. Si una persona solicita a esta compañía un préstamo de $P a un plazo 
de 5 años, ¿cuál sería el interés real anual que resulta de esta transacción?
2.18 Una persona obtuvo un préstamo de $5,000 a un plazo de 3 años, y a una tasa de 
interés de 15% anual. Los intereses que se generan en este plazo se determinaron
como sigue:
(
Intereses = 5,000 (F/P, 15%, 3) - 5,000 = 2*,605
y fueron deducidos del principal. Por consiguiente, esta persona recibió la canti­
dad de $2,395.00 a cambio de pagar $5,000 dentro de 3 años. ¿Cuál es el interés 
real anual que se va a pagar en este préstamo?
Una persona ha solicitado un préstamo de $100,000 para comprar un automóvil. 
Ella desea pagar este préstamo en 36 mensualidades iguales. Si la agencia prestamis­
ta cobra un 2% mensual y determina el tamaño de los pagos mensuales de la si­
guiente manera:
Mensualidad = 10°.°0° + 100.0°° ( °2) 36 _¿„8
36
/ 
/¿Cuál sería el interés real mensual que resulta de aceptar esta fuente de financia- 
/ miento?
2/20 Cuatro depósitos trimestrales iguales de $1,000 son hechos en í = 0, 1,2 y 3 (los 
períodos son trimestres) en una cuenta que paga el 10% anual capitalizable conti­
nuamente. Posteriormente se van a hacer dos retiros iguales de $X en t = 5 y r = 10. 
Si con el segundo retiro se agota la cuenta, ¿cuál es el tamaño de estos retiros?
2.21 Depósitos semestrales de $500 son hechos en una cuenta que paga el 12% anual 
capitalizable continuamente. ¿Cuál sería el valor acumulado en esta cuenta des­
pués de hacer 10 d.epósito£?
{/>r -
(J r
Problemas 45
2.22 ¿Cuánto es necesario depositar en una cuenta de ahorros que paga el 10% anual
capitalizable continuamente, si se quieren hacer 10 retiros anuales? Suponga que 
el primer retiro es de $1,000 y a partir del segundo, los retiros aumentan a una ra­
zón constante de $500.
Una persona ha depositado $10,000 en una cuenta de ahorros que paga elk^5%^2.23
anual capitalizable continuamente. Si esta persona desea sacar de la cuenta 10 re­
tiros que crezcan a una razón de ip%jínual, ¿cuál sería el tamaño del primer reti­
ro, de tal modo que al hacer el décimo se agote la cuenta?
2.24 ¿Cuál es el valor presente de un flujo de efectivo que fluye a través del año duran­
te 5 años y que crece a una razón del 20% anual? Suponga que el flujo de efectivo 
del primer año es de $5.000 y la tasa de interés nominal anual es de 10%.
2.25 ¿Cuál es el valor futuro de gastar $10,000, $15,000 y $20,000 en t = 1,3 y 5 res-rpectivamente, si los desembolsos se hacen a través del período, y la tasa de interés
nominal anual es de 15%?
2.26 Para el siguiente diagrama de flujo de efectivo, determine el factor (P/gf i%, n).
g
s
A
"T3 n
2.21 Para el siguiente diagrama de flujo de efectivo, determínelos factores (/%4, i %, nx) 
y (F/A, i%, nx).
A A A A
X
Nota: X es un número entero mayor que 1.
46 Valor del dinero a través del tiempo
2.28 Resolver el problema 2.26 suponiendo que: a) la capitalización es continua y ¿>) 
los flujos de efectivo son a través del período.
2.29 Resolver el problema 2.27 suponiendo que la capitalización es continua.
2.30 Para el siguiente diagrama de flujo de efectivo, determine los factores (A/g, í%, nx) 
y (A/g, r%, nx).
X 2X 3X «X (n - 1)X nX
8 t
g x
l
g
A
3
Método del valor anual equivalente
El concepto del valor del dinero a través del tiempo introducido en capítulos ante­
riores, revela que los flujos de efectivo pueden ser trasladados a cantidades equivalentes-a 
cualquier punto del tiempo. Existen tres procedimientos que comparan estas cantidades 
equivalentes:
• Método del valor anual equivalente '
• Método del valor presente
• Método de la tasa interna de rendimiento
Los tres métodos anteriores son equivalentes, es decir, si un proyecto de inversión es ana­
lizado correctamente con cada uno de estos métodos, la decisión recomendada será la 
misma. La selección de cuál método usar dependerá del problema que se vaya a analizar, 
de las preferencias del analista y, de cuál arroja los resultados en una forma que sea fácil­
mente comprendida por las personas involucradas en el proceso de toma de decisiones. 
De los tres métodos mencionados, en este capítulo se discutirá y analizará el mé­
todo del valor anual. En el capítulo, primeramente se explica el significado e interpreta- ' 
ción del método del valor anual cuandc éste se aplica al análisis y evaluación de un proyecto 
individual. Posteriormente, en el capítulo se muestra cómo aplicar el método del valor 
anu^l cuando: 1) Los ingresos y gastos de las alternativas son conocidos; 2) Solamente los 
gastos de cada alternativa son conocidos; y 3) Las vidas de las alternativas son diferentes. 
Finalmente, en el capítulo se muestra el proceso de selección de alternativas mutuamente 
exclusivas cuando más de dos alternativas son consideradas y, cómo analizar proyectos de 
inversión de vida infinita.
Por otra parte, cabe hacer la aclaración que los análisis mostrados en este capítulo 
son aqtes de impuestos. El efecto de los impuestos en estudios económicos será tratado 
en capítulos subsiguientes.
3.1 ANALISIS Y EVALUACION DE UN PROYECTO INDIVIDUAL
/
Con el método del valor anual equivalente, todos los ingresos y gastos que ocurren 
durante un período son convertidos a una anualidad equivalente (uniformé). Cuando di-
47
48 Método del valor anual equivalente
cha anualidades positiva, entonces, es recomendable que el proyecto sea aceptado. Este 
método es muy popular porque la mayoría de los ingresos y gastos que origina un proyecto 
son medidos en bases anuales. Esta característica hace al método más fácil de aplicar y de 
entender que los otros métodos mencionados.
Para comprender mejor la mecánica de este método, suponga que usted.está intere­
sado en comprar una computadora /7P-3000 con la cual se podría proporcionar servicios 
de consultoría a la pequeña y mediana industria. Tales servicios podrían ser: nómina, mo­
vimientos de personal, facturación, distribución, inventarios, etc. También, asuma que 
investigaciones preliminares de la inversión requerida y del mercado, arrojan la siguiente 
información: la computadora ya instalada cuesta un millón de pesos y su valor de rescate 
después de 5 años de uso intensivo se considera despreciable, y el mercado para éste nego­
cio es tal que la utilidad proyectada en los próximos 5 años es de $400,000/año. Final­
mente, suponga que usted ha pedido prestado el millón de pesos a una institución bancaria 
la cual le cobrará una tasa de interés anual de 20% y le exige devolver el préstamo en 5 
anualidades iguales.
A = 400,000 - 1,000,000 (A/p, 20%, 5)
A = 400,000 - 1,000,000(33438) 
A = $65,620
Para esta información, el método del valor anual equivalente sugiere transformar 
todos los flujos que origina este proyecto (ver figura3.1) a una base anual. Por consiguiente, 
el valor anual neto sería la diferencia entre los ingresos anuales y la anualidad pagada al 
b““: IM;,;1; ílWKOtoW
1
Puesto que la anualidad equivalente es positiva, entonces, vale la pena emprender este pro-
FIGURA 3.1. Flujo de efectivo que resulta de la adquisición de una computadora 
HP-3000.
El ejemplo anterior sugiere que cada vez que la anualidad sea positiva, se acepte el 
proyecto en cuestión. Sin embargo, este criterio de decisión puede resultar peligroso si en 
la determinación de la anualidad neta se utiliza como tasa de interés/ el costo de capital 
(costo ponderado de las fuentes de financiamiento utilizadas para financiar los proyectos 
de inversión). Para comprender mejor esta deficiencia, suponga que las utilidades proyec­
tadas en lugar de ser de $400,000 anuales sean de $340,000. Con la información modifi­
cada, la anualidad equivalente sería de $5,562. Sin embargo, es obvio que este nivel de
Selección de alternativas 49
utilidad es demasiado pequeño comparado con la inversión total realizada y sería insufi­
ciente para reemplazar en el futuro el equipo actual. Por consiguiente, se recomienda seguir 
utilizando el mismo criterio de decisión (aceptar si la anualidad equivalente es positiva), 
pero utilizando como tasa de interés, una tasa mayor que el costo de capital y a la cual se 
le denotará como TREMA (tasa de recuperación mínima atractiva). De esta manera, no 
existe ningún riesgo en aceptar proyectos con anualidades cercanas a cero, ya que en el 
caso crítico de tener un proyecto con una anualidad de cero, significaría que el rendimiento 
obtenido es exactamente igual al mínimo requerido. Además, el utilizar como valor de z la 
TREMA, tiene la ventaja de ser establecida muy fácilmente, porque en ella se pueden con­
siderar factores tales como: 1) El riesgo que representa un determinado proyecto; 2) La 
disponibilidad de dinero de la empresa; y 3) La tasa de inflación prevaleciente en la eco­
nomía nacional. -—,
Para finalizar esta sección, se muestran a continuación las fórmulas generales que se 
pueden utilizar para determinar la anualidad equivalente de un proyecto de inversión:
A = -p(A/p, i°/o, n) +
(1 + 0f
(A/p, iX.n) + F\A/F, i%, n) (3.1)
donde:
A = Anualidad equivalente.
p = Inversión inicial.
= Flujo de efectivo neto del año £
F = Valor de rescate.
n = Número de años de vida del proyecto.
i = Tasa de recuperación mínima atractiva (TREMA).
También, la fórmula (3.1) puede ser presentada de otra forma, si se hace uso de la identidad
(A/p, i%, n) = (A/F, i%, n) + Z% (3.2)
y si además se supone que los flujos de efectivo netos de todos los años son iguales, la 
ecuación (3.1) se transforma en:
, A = S — {(p-F) (A/p, i°/o, ri) + F(z%)} (3.3)
3.2 SELECCION DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUSIVAS
La selección de alternativas mutuamente exclusivas se puede presentar en diversas 
formas, es decir, puede ser que de las alternativas a comparar se conozcan los ingresos y 
gastos o solamente se conozcan los gastos, o bien pueden ser que las vidas de las alterna­
tivas sean diferentes. A continuación se detallan cada uno de estos casos.
3.2.1 Los ingresos y gastos son conocidos
Cuando los ingresos y gastos que generan las alternativas de inversión son conocidos, 
la alternativa seleccionada será aquella que tenga el mayor valor anual equivalente (siem­
50 Método del valor anual equivalente
pre y cuando esta anualidad sea positiva).
Para ilustrar esta situación, analicemos el mismo ejemplo presentado en la sección 
anterior, pero suponiendo que existen actualmente en el mercado dos tipos de compu­
tadora con las cuales el servicio de consultoría se podría proporcionar adecuadamente. La 
información para cada alternativa se muestra en la tabla 3-1. También, considere que pa­
ra comparar estas dos alternativas se va a utilizar un valor de TREMA de 25%. Para esta
ahp
información, y aplicando la ecuación (3.3), las anualidades que se obtienen para cada alter­
nativa son: \
y
APw
y puesto que la anualidad mayor corresponde a la computadora Honeywell, entonces esta 
alternativa deberá ser seleccionada. V
TABLA 3-1. Flujos de efectivo para las dos computadoras consideradas (miles de 
pesos).
HP - 300*0 Honeywell 4080
Inversión inicial -$1,000 -$1,500
Ingresos anuales 700_ W _700^ 11
Gastos anuales 300 100
Valor de rescate - 300 w
Vida 5 años 5 años
Finalmente, conviene mencionar que es posible que en ciertos casos cuando se ana­
lizan alternativas mutuamente exclusivas, todas tengan valores anuales negativos. En tales 
casos, la decisión a tomar es “no hacer nada”, es decir, se deberán rechazar todas las alter­
nativas disponibles.
3.2.2 jotamente los gastos son conocidos
Frecuentemente ocurre que cada una de las alternativas mutuamente exclusivas que 
se están analizando, generan los mismos ingresos, ahorros, o beneficios. También, es muy 
posible que estos ahorros o beneficios sean intangibles o muy difíciles de estimar, por lo 
que las alternativas deberán ser juzgadas de acuerdo a sus valores anuales negativos o más 
apropiadamente, de acuerdo a sus costos anuales equivalentes. Por ejemplo, los ingresos 
que se derivan de una máquina cortadora de cintas adhesivas son muy difíciles de evaluar 
porque la máquina puede cortar cintas adhesivas de diferentes medidas, con diferentes 
precios y con costos agregados distintos. Para este tipo de situación, las máquinas corta­
doras que satisfagan las necesidades actuales deberán ser evaluadas en base a sus costos 
relativos, porque cada alternativa que sea capaz de satisfacer los requerimientos del sistema 
producirá el mismo ingreso al sistema. Cuando es aparente que en una evaluación sola­
Selección de alternativas 51
mente los costos son conocidos, es conveniente ignorar la convención de signos negativos 
y comparar las alternativas en base al valor absoluto de los costos.
Para ilustrar el caso que surge cuando solamente los gastos son conocidos, analice­
mos el ejemplo de las máquinas cortadoras. Suponga que Industrias Tuck, S. A., para efec­
tos de balancear sus líneas de producción y de satisfacer la demanda creciente de cintas 
adhesivas en sus diferentes tipos y presentaciones (masking, celofán, etc.), esté analizando 
la necesidad de comprar una máquina cortadora. Investigaciones recientes sobre los costos 
de los posibles proveedores (Alemania y Estados Unidos de América) arrojaron los resul­
tados mostrados en la tabla 3-2. También, suponga que la empresa utiliza una TREMA de 
25%para evaluar sus proyectos de inversión. Para esta información y aplicando la ecua­
ción (3.3), los costos anuales equivalentes que se obtienen para cada alternativa son: 
<S x
= 150’°00 + {400,000 (A/p, 25%, 5) + 100,000 (.25) }= $323,640 
' 4 QlflO 000¿o.53if)+ 75000]
y
CA = 80,000 + {640,000 (A/p, 25%, 5) + 160,000 (.25) } = $357,824
De este modo, la máquina cortadora fabricada en los Estados Unidos, teniendo el menor 
costo anual equivalente, se transforma en la mejor alternativa.
TABLA 3-2. Flujos de efectivo para las dos máquinas cortadoras consideradas.
Cortadora 
(Estados Unidos)
Cortadora 
(Alemania)
Inversión inicial $500,000 $800,000
Gastos anuales 150,000 80,000
Valor de rescate 100,000 160,000
Vida 5 años 5 años
Finalmente, cabe señalar que en el caso de conocer solamente los gastos, la alterna­
tiva “no hacer nada” no se puede considerar, es decir, forzosamente se tendrá que selec­
cionar una de las alternativas (la de menor costo anual equivalente). Lo anterior es obvio 
puesto que los ingresos, ahorros o beneficios aunque desconocidos, generalmente justifi­
can las inversiones requeridas. Por el contrario, si estos ingresos fueran insuficientes, se 
estaría hablando de inversiones obligatorias pero injustificables desde el punto de vista 
económico.
3.2.3 Las vidas de las alternativas son diferentes
En los ejemplos hasta ahora presentados, se analizan y se comparan alternativas mu­
tuamente exclusivas de igual vida. Sin embargo, sería interesanteanalizar las implicaciones 
que surgen cuando alternativas mutuamente exclusivas de diferentes vidas son evaluadas. 
Para taTefecto, considere que en el ejemplo presentado en la sección anterior, la máquina 
52 Método del valor anual equivalente
cortadora que surte Alemania tiene una vida de 10 años en lugar de 5, tiene un costo 
inicial de $900,000, gastos anuáles de $60 000 y un valor de rescate de $100,000 (ver 
tabla 3-3). Además suponga que dada la naturaleza del negocio (Industrias Tuck, S. A.), 
el servicio que van a proporcionar estas máquinas cortadoras será requerido por un tiempo 
de al menos 10 años. Para esta nueva información, el costo anual equivalente de cada al­
ternativa sería:
Ct/.SA = l50>000 + {400,000 (A/p, 25%, 5) / 100,000 (.25)} = $323,640 
í *
y
CA T 60,000 + {800,000 (A/p, 25% ,10) + 100,000 (.25) } = $309,080
y puesto que el menor costo anual equivalente corresponde a la máquina cortadora que 
surte Alemania, entonces esta alternativa deberá ser seleccionada.
TABLA 3-3. Flujos de efectivo para las máquinas cortadoras suponiendo que éstas 
tienen vidas diferentes.
Cortadora 
(Estados Unidos)
Cortadora 
(Alemania)
Inversión inicial $500,000 $900,000
Gastos anuales 150,000 60,000
Valor de rescate K 100,000 100,000
Vida 5 años 10 años
La suposición implícita del ejemplo que se acaba de presentar, es que 2 cortadoras 
de las surtidas por Estados Unidos, deben ser adquiridas consecutivamente para propor­
cionar la misma longitud de servicio que la máquina cortadora surtida por Alemania. El 
costo anual equivalente de 10 años de operación de las máquinas cortadoras del primer 
tipo desde luego que no cambia y sigue siendo el mismo que se calculó anteriormente 
($323,740). Sin embargo, el hecho de que el costo anual equivalente sea el mismo, im­
plica que los flujos de-efectivo del segundo ciclo son exactamente iguales a los del primer 
ciclo (ver figura 3.2). A manera de comprobación, a continuación se muestra el costo 
anual equivalente de dos ciclos consecutivos de la primera alternativa:
Ct/.S>4 = 500’000 O4/?, 25%’ 10) + 400,000 (P/F, 25%, 5) (A/p, 25%, 10)
+ 100,000 (A/F, 25%, 10) + 150,000 = $323,640
De acuerdo al análisis anterior, la mejor alternativa es la máquina cortadora que 
surte Alemania. Sin embargo, esta decisión no necesariamente va a producir los mejores 
resultados. La razón de ello se basa en el hecho de que en la primera alternativa se consi­
deró implícitamente que al final del año 5 se va a comprar una máquina cortadora idén­
tica a la anterior. Sin embargo, es obvio que en el año 5 habrá en el mercado nacional e 
internacional, máquinas cortadoras cuyas características tecnológicas y de operación sean
Ct/.SA
Selección de alternativas 53
100 100
500
1 2 3 4 5. 6 7 8 9 10
150 150 150 150 1
t
50 150 150 150 150 15
500
Figura 3.2. Flujos de efectivo para dos ciclos consecutivos de la alternativa de me­
nor vida (miles de pesos).
mucho más atractivas y ventajosas que la máquina cortadora actual, y entonces, puede ser 
que la combinación de esas dos máquinas cortadoras (la que surte ahora Estados Unidos 
y la que estará disponible en el mercado dentro de 5 años) sea mejor que la máquina que 
ahora nos puede surtir Alemania.
La principal deficiencia al considerar como horizonte de pláneación el mínimo co­
mún múltiplo de las vidas de las diferentes alternativas, es suponer que en los ciclos suce­
sivos de cada alternativa se tendrán flujos de efectivo idénticos a los del primer ciclo. Sin 
embargo, lo anterior no es correcto dado el constante avance tecnológico a que están su­
jetos los activos y a las altas tasas de inflación que prevalecen en el país. Lo correcto en 
estos casos sería: 1) Pronosticar con mayor exactitud lo que va a ocurrir en el futuro, es 
decir, considerando la inflación y las innovaciones tecnológicas, tratar de predecir con 
mayor exactitud los flujos de efectivo de las diferentes alternativas que estarán disponi­
bles en el mercado para ese tiempo; ó 2) Utilizar como horizonte de planeación el menor 
de los tiempos de vida de las alternativas consideradas. Es obvio que este curso de acción 
implica recalcular al término del horizonte de planeación seleccionado, los valores de res­
cate de las alternativas de mayor vida. Estos valores de rescate se recomienda que se ob­
tengan a partir de los valores presentes (evaluados al final del horizonte de planeación) de 
los ingresos netos que cada alternativa genera en los períodos subsiguientes al horizonte 
de planeación seleccionado.
De los criterios propuestos para comparar alternativas mutuamente exclusivas de 
diferentes vidas, el más conveniente es sin lugar a dudas el segundo, ya que con el primero 
se requiere pronosticar las nuevas alternativas que estarán disponibles en el futuro. Para 
ilustrar la aplicación del segundo criterio, suponga que una empresa que utiliza una TREMA 
de 25% desea seleccionar alguna délas alternativas mostradas en la tabla 3.4. «.
Puesto que las vidas de las dos alternativas son diferentes, primeramente el horizonte 
de planeación se fija en 5 años. En seguida, el valor de rescate al final del año 5 de la alter­
nativa B es calculado: &
Ó
l-R = 60,000 (P/A, 25%, 5) + 20,000 (P/F, 25%, 5) = 5167,910
Con esta modificación, las alternativas quedarían como aparecen en la tabla 3.5. 
Para esta información, el valor anual equivalente de cada alternativa sería:
= 40,000 - {80,000 (>4/p, 25%, 5) -I- 20,000 (.25)}= S5,272
54 Método del valor anual equivalente
y
Ab = 60.000 - {32,090 (A/p, 25%, 5) + 167,910(.25) } = $6,098
y puesto que la mayor anualidad equivalente corresponde a la alternativa B, entonces esta 
alternativa deberá ser seleccionada.
TABLA 3.4. Flujos de efectivo de dos alternativas mutuamente exclusivas de dife­
rentes vidas.
t
A B
Inversión inicial -$100,000 -$200,000
Ingresos anuales 80,000 80,000
Gastos anuales 40,000 20,000
Valor de rescate 20,000 20,000
Vida 5 años 10 años
TABLA 3.5. Flujos de efectivo corregidos de dos alternativas mutuamente exclu­
sivas de diferentes vidas.
A B
Inversión inicial -$100,000 -$200,000
Ingresos anuales 80,000 80,000
Gastos anuales 40,000 20,000
Valor de rescate 20,000 167,910
Vida 5 años 5 años
3.3 SELECCION DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUSIVAS
CUANDO MAS DE DOS ALTERNATIVAS SON CONSIDERADAS
Si más de dos alternativas son comparadas por este método, el procedimiento para 
calcular el valor anual de cada alternativa y también el criterio para seleccionar la mejor, 
son exactamente idénticos a los aplicados al caso de dos alternativas. Para ilustrar este 
caso, suponga que una empresa que utiliza una TREMA de 20%, desea seleccionar la me­
jor de las alternativas mostradas en la tabla 3-6. Para esta información, el valor anual equi­
valente de cada alternativa sería:
AA = 15,000 - {40,000 (A/p, 20%, 5) + 10,000 (.20)} = -$375
Ab = 32,000 - {80,000 (A/p, 20%, 5) + 20,000 (.20) } = $1,250
Ac = 50,000 - {120,000 (A/p, 20%, 5) + 30,000 (.20)} = $3,874 
Ad = 55,000 - {160,000 (A/p, 20%,5) + 40,00G (.20)} = -$6,500
Anualidades de inversiones 55
Por consiguiente, la alternativa C. teniendo el mayor valor anual, se considera la 
mejor alternativa.
Tabla 3.6. Flujos de efectivo para varias alternativas mutuamente exclusivas.
A B C D
Inversión inicial -$50,000 -$100,000 -$150,000 —$200,000
Ingresos netos anuales 15,000 32,000 50,000 55,000
Valor de rescate 10,000 20,000 30,000 40,000
Vida 5 años 5 años 5 años 5 años
3.4 ANUALIDADES DE INVERSIONES DE LARGA VIDA
Algunas veces se encuentran en la práctica proyectos cuyas vidas se pueden consi­
derar indefinidas, o más específicamente, infinitas. Ejemplos de estos tipos podrían serlas 
presas, los puentes, etc. Si alternativas de este tipo van a ser comparadas, es conveniente 
saber a qué converge el factor (A/p, i°/o, n) cuando z? -> «:
Lím (A/p, z%, rí) = 
n o»
Z(1 + Z)" 
(1 + Z)" -1
Si se divide el numerador y denominador por el mismo factor (1 + z)" el resultado no 
se altera:
Lím (A/p, z%. n) 
n -> oo
X;
1 -1/(1+Z)n
i
Por consiguiente, se puede decir que:
(X/p,Z%,°°) = Z
Para ilustrar un ejemplo de este tipo, suponga que el gobierno desea construir en el 
estado de Chapas una presa con la cual se podrían cultivar grandes extensiones de tierra y 
a su vez emplear en actividades agropecuarias a una gran cantidad de campesinos. Para 
esto, el gobierno ha solicitado las cotizaciones respectivas de dos grandes compañías cons­
tructoras (ver tabla 3-7). Si el gobierno utiliza una TREMA de 20% para evaluar sus pro­
yectos de inversión, ¿qué compañía deberá ser seleccionada? Parala información mostrada 
en la tabla 7, el costo anual equivalente de cada alternativa sería:
Aa = 100,000,000 4- 800,000,000 (.20) = $260,000,000 
y
Ab = 50,000,000 + 1,000,000,000 (.20) = 5250,000,000
56 Método del valor anual equivalente
Por consiguiente, el gobierno debería contratar los servicios de la constructora# por co­
rresponderle a ésta el menor costo anual equivalente.
TABLA 3-7. Flujos de efectivo que resultan en la construcción de la presa (millones 
de pesos).
A
Constructora
B
Inversión inicial $800 $1,000
Gastos anuales 100 50
PROBLEMAS
3.1 Una compañía requiere proporcionar automóviles a sus vendedores. Como un signo 
de prestigio, el presidente de la compañía ha establecido la política de que los ven­
dedores no usen automóviles cuyo modelo sea tres años más viejo que el reciente. 
El tipo de automóvil que usan estos vendedores actualmente tiene un costo de 
$200,000 y tendrá un valor de rescate de $150,000 después de tres años de uso. 
Los costos anuales de mantenimiento, seguros, etc., se estiman en $50,000. Por 
otra parte, se sabe que el mismo tipo de automóvil puede ser rentado en $80,000 
anuales, los cuales incluyen el mantenimiento, seguros, etc., del automóvil. Si la 
TREMA de la compañía es de 25%, ¿cuál alternativa debe ser seleccionada?
3.2 Una empresa ha solicitaHó'un préstamo de $1,000,000 para comprar un torno 
automático. El préstamo ha sido obtenido de una institución bancaria que exige 
una tasa de interés de 20% anual y la devolución del préstamo en cinco anuali­
dades iguales. Si las utilidades netas anuales generadas por este torno se estiman 
en $308,000, y su valor de rescate al final del año cinco se estima en $200,000, 
¿debería esta empresa adquirir el torno? Justifique su respuesta.
3.3. La compañía CANSA (Cintas Adhesivas del Norte, S. A.), desea adquirir una má­
quina cortadora para destinarla al nuevo producto que se va a lanzar al mercado. 
Para este propósito ha iniciado las investigaciones respectivas y ha encontrado que 
las alternativas disponibles son: 1) Adquirir la máquina cortadora en U .S.A. a un cos­
to de $1,000,000. Este tipo de máquina puede cortar a una razón de 1,000 m2/hora 
y requiere para su manejo a una persona cuyo salario por hora es de $50; 2) Ad­
quirir 2 máquinas cortadoras en’Alemania a un costo de $350,000 cada una. Este 
tipo de máquina tiene una razón de corte de 500 m2/hora y demanda para su ma­
nejo una persona cuyo salario es de $30/hora. Ambos tipos de máquina tienen una 
vida estimada de 10 años al final de los cuales el valor de rescate se considera des­
preciable. Otra información relevante sobre las alternativas se muestra a continua­
ción: i
Problemas 57
Cortadora
U.S.A.
Cortadora
Alemania
Seguros/año $80,000 $50,000
Mantenimiento fijo/año 10,000 7,000
Mantenimiento var./hora 3 4
Costo de la energía/hora 8 5
a) Si la producción anual esperada del nuevo producto en los próximos 10 años es 
de 5,000,000 m2, y la TREMA es de 25%, ¿cuál alternativa es la que tiene el 
menor costo anual equivalente?
b) ¿A qué razón de producción anual sería indiferente seleccionar cualquiera de 
las dos alternativas disponibles?
3.4 Una compañía está considerando la posibilidad de arrenda? o comprar una mini­
computadora. Si la computadora es comprada, su costo sería de $1,000,000, sus 
gastos anuales de operación y mantenimiento serían de $300,000 y su valor de res­
cate al final de un horizonte de planeación de 5 años sería de $200,000. Si la compu­
tadora es arrendada, tanto los gastos de operación como de mantenimiento serían 
de SA (X < 300,000 porque parte de los gastos son absorbidos por la compañía 
arrendadora) y la renta anual sería $40,000 mayor que los gastos de mantenimiento. 
Si la TREMA es de 25%, ¿cuál es el valor de la renta anual que hace indiferente la 
selección entre estas dos alternativas?
3.5 Cierta compañía que utiliza en sus evaluaciones económicas una TREMA de 20%, 
desea seleccionar la mejor de las siguientes alternativas:
r
Máquina
Tipo 1
Máquina
Tipo 2
Máquina
Tipo 3
Inversión inicial $100,000 $150,000 $200,000
Horizonte de planeación 5 años 5 años 5 años
— Valor de rescate 10,000 22,000 40,000
• Costos de operación y
rhantenimiento del año K 20,000(1.10)*’1 15,000 (1.08)*-’ 10,000 + 1,000*
3.6 Una compañía hotelera está considerando la posibilidad de construir un nuevo 
hotel en la Isla del Padre. El costo inicial de este hotel de 200 cuarto^se estima en 
$100,000,000 y la amueblada, la cual es conveniente realizar cada cinco años se 
estima en $j0.000,000. Los costos anuales de operación se estima que serían del 
orden de $20,000,000, y la cuota diaria que se piensa cobrar es de $800. Por otra 
parte, esta compañía utiliza un horizonte de planeación de 10 años para evaluar 
sus proyectos de inversión. Por consiguiente, para este problema'en particular la 
compañía estima que el valor de rescate del hotel después de 10 años de uso es de 
SI 0,000,000 y el valor de rescatedeTosliñuebles después de 5 años de uso esprac- 
ticamente nulo. Estimando una razón de ocupación diaria de 50% , 70% , 80%y 
90%, una TREMA DE 20%, y 365 días de operación al año, ¿debería el hotel ser 
construido?»
58 Método del valor anual equivalente
3.7 Un motor utilizado en un sistema de irrigación va a ser reemplazado. Dos diferen­
tes motores de 20 HP están siendo considerados. El motor X cuesta $30,000 y 
opera a una eficiencia de 90%. El motor Y cuesta $20,000 y opera a una eficien­
cia de 80%. El costo de la electricidad es de $5/kilowatt-hora, y la demanda anual 
para este tipo de motores es de 4,000 horas. Además, en este tipo de estudios se 
utiliza generalmente un horizonte de planeación de 5 años. Si los valores de res­
cate de estos motores al término del horizonte de planeación son depreciables, y 
si la TREMA que se recomienda utilizar es de 20%, ¿cuál motor debe ser selec­
cionado? (Nota: Un hp = 0.746 kilowatt.)
3.8 Cierta empresa que utiliza en sus evaluaciones económicas una TREMA de 25%, 
desea seleccionar la mejor de las siguientes alternativas:
Máquina A Máquina B
Inversión inicial $500,000^ $800,000
Vida 5 años 8 años
Valor de rescate 100,000 120,000
Ingresos netos/año 200,000 250,000
3.9 Una cierta compañía requiere de un nuevo Almacén. El Almacén puede ser construi­
do a uñ costo de $20,000,000, o arrendado pagando una renta anual de $2,000,000. 
Si el horizonte de planeación es de 25 años al final de los cuales el almacén costará 
$1,000,000 y la TREMA es de .15%, ¿qué alternativa seleccionaría?
3.10 Una compañía está considerando la posibilidad de reemplazar su equipo actual de 
manejo de materiales, por uno que puede ser comprado o arrendado. Con el sistema
• actual se tienen gastos de operación y mantenimiento anuales de $400,000, una
vida remanente estimada de 10 años y un valor de rescate al término de esta vida 
de S25,000. El valor de rescate actual es de S500,000.
El nuevo sistema cuyo costo inicial es de $2,000,000, tiene una vida de 10 años, 
un valor de rescate de $200,000, y gastos anuales de operación y mantenimiento 
de $200,000. Si este sistema es comprado, el sistema actual puede ser vendido eñ 
$250,000. •
Si el nuevo sistema es arrendado, la renta que se pagaría sería de $250,000 al prin­
cipio de cada año. Además, se incurrirían en gastos adicionales de operación y 
mantenimiento de $100,000/año. Si el nuevo sistema es arrendado, el sistema ac­
tual no tendría ningún valor de rescate.Usando una TREMA de 20% y el método del valor anual equivalente, determine 
cuál de las tres alternativas mencionadas es la mejor.
3.11 Una compañía está considerando la posibilidad de reemplazar la computadora 
que actualmente utiliza y que adquirió hace tres años a un costo de $10,000,000. 
Los costos de operación y mantenimiento para esta computadora han sido y se 
mantendrán en el futuro en $1,000,000/año. Si se compra una nueva computado­
ra. se obtendría a cambio de la actual una bonificación de $5,000,000. Por otra 
parte, el costo de la nueva computadora se estima en $15,000,000, su vida en cin­
co años, su valor de rescate en $3,000,000, y sus gastos anuales de operación y 
mantenimiento se estiman ea $1,500,000.
Problemas 59
Si se continúa con la computadora actual, se requerirá comprar otra computadora 
pequeña que proporcione la capacidad adicional requerida. Si se continúa con la 
computadora actual, ésta tendría una vida remanente estimada de 5 años y un va­
lor de rescate de $500,000. Por otra parte, el costo de la pequeña computadora es 
de $5,000,000, su valor de rescate al término de su vida económica de 5 años se 
estima en S800,000 y los costos anuales de operación y mantenimiento se estiman 
en $600,000.
Usando el método del valor anual, y una TREMA de 30%, determine el curso de 
acción preferido.
3.12 Se desea determinar la altura óptima de un edificio cuya vida esperada es de 40 años 
al término del cual su valor de rescate se considera despreciable. La información 
que se tiene disponible es la siguiente:
Número de pisos
3 4 5
Inversión inicial $20,000,000 $25,000,000 $32,000,000
Ingresos netos/año 3,000,000 4,000,000 5,000,000
Además del costo del edificio, se requiere hacer una inversión de $5,000,000 en 
terreno, el cual se espera que-mantenga ese mismo valor durante la vida del edificio. 
Si la TREMA es de 20%, seleccione mediante el método del valor anual la altura 
óptima del edificio.
-)
4
Método del valor presente
El propósito del siguiente capítulo es mostrar un panorama completo de lo que es el 
método del valor presente, sus principales usos y su significado.
En el capítulo primeramente se describen las principales características del método 
del valor presente y se explica detalladamente cómo aplicar este método al análisis y 
evaluación de un proyecto individual. Enseguida, se explican los dos enfoques más usados 
del valor presente que se utilizan en el análisis y selección de alternativas mutuatmeñte^éx- 
clusivas. Finalmente, en el capítulo se presentan algunas inconsistencias que pueden resul­
tar al aplicar este método en la selección de alternativas mutuamente exclusivas.
También, es importante señalar que en este capítulo no se discute la aplicación del 
método del valor presente a la selección de alternativas independientes, por considerarse 
éste un tema relacionado con la selección de proyectos en condiciones limitadas de presu­
puesto.
4.1 ANALISIS Y EVALUACION DE UN PROYECTO INDIVIDUAL
El método del valor presente es uno de los criterios económicos más ampliamente 
utilizados en la evaluación de proyectos de inversión. Consiste en determinar la equi­
valencia en el tiempo cero de los flujos de efectivo futuros que genera un proyecto 
y comparar esta equivalencia con el desembolsó' inicial. Cuando dicha equivalencia 
es mayor que el desembolso inicial, entonces, es recomendable que el proyecto sea
aceptado.
Para comprender mejor la definición anterior a continuación se muestra la fór­
mula utilizada para evaluar el valor presente de los flujos generados por un proyecto 
de inversión:
(4.1)
61
62 Método del valor presente
donde:
VPN. = Valor presente neto.
So = Inversión inicial.
St = Flujo de efectivo neto del período t. 
n = Número de períodos de vida del proyecto. 
i = Tasa de recuperación mínima atractiva.
La fórmula anterior tiene una serie de características que la hacen apropiada para 
utilizarse como base de comparación capaz de resumir las diferencias más importantes que 
se derivan de las diferentes alternativas de inversión disponibles. Primero, la fórmula ante­
rior considera el valor del dinero a través del tiempo al seleccionar un valor adecuado de i. 
Cabe mencionar que algunos autores utilizan como valor de i el costo de capital (pondera­
do de las diferentes fuentes de financiamiento que utiliza la empresa) en lugar de TREMA 
(tasa de recuperación mínima atractiva). Sin embargo, existen algunas desventajas al usar 
como valor de i el costo de capital. Algunas de estas desventajas son: 1) Difícil de evaluar 
y actualizar y 2) Puede conducir a tomar malas decisiones puesto que al utilizar el costo 
de capital, proyectos con valores presentes positivos cercanos a cero serían aceptados. 
Sin embargo, es obvio que estos proyectos en general no son muy atractivos. Por otra 
parte, el utilizar como valor de i la TREMA, tiene la ventaja de ser establecida muy fácil­
mente, además es muy fácil considerar en ella factores tales como el riesgo que represen­
ta un determinado proyecto, la disponibilidad de dinero de la empresa y la tasa de inflación 
prevaleciente en la economía nacional.
Además de la característica anterior, el método del valor presente tiene la ventaja de 
ser siempre único, independientemente del comportamiento que sigan los flujos de efecti­
vo que genera el proyecto de inversión’. Esta característica del método del valor presente 
lo hace ser preferido para utilizarse en situaciones en que el comportamiento irregular de 
los flujos de efectivo, origina el fenómeno de tasas múltiples de rendimiento.
Finalmente, conviene mencionar que en la mayoría de los casos, el valor presente pa­
ra diferentes valores de í, se comporta como aparece en la figura 4.1. Lo anterior se debe
FIGURA 4.1 Valor presente neto como una función de la tasa de interés. Caso 
más frecuente.
Análisis y evaluación de un proyecto individual 63
al hecho de que generalmente todos los proyectos de inversión demandan desembolsos 
en su etapa inicial y generan ingresos en lo sucesivo. Sin embargo, no se debe de descartar 
la posibilidad de encontrar proyectos de inversión con gráficas completamente diferentes 
ala mostrada en la figura 4.1.
Para ilustrar cómo el método del valor presente se puede aplicar al análisis y evalua­
ción de un proyecto individual^ suponga que cierta empresa desea hacer una inversión en 
equipo relacionado con el manejo de materiales. Se estima que el nuevo equipo tiene un 
valor en el mercado de S 100.000 y representará para la compañía un ahorro en mano de 
obra y desperdicio de materiales del orden de 540,000 anuales. Considere también que la 
vida estimada para el nuevo equipo es de cinco años al final de los cuales se espera una 
recuperació'n monetaria de S20,000. Por último, asuma que esta empresa ha fijado su 
TREMA en 25%.
Para esta información y aplicando la ecuación (4.1) se obtiene:
40,000 40.000 40.000 40.000 60,000
P7W= -100.000 + ---------------- +-------- :------ +------ :—— +---------- :------ +--------------
(1+.25) (1+.25)2 (1+.25)3 (1+.25)4 (1+.25)5
VPN=S 14,125
Puesto que el valor presente neto es positivo, se recomienda adquirir el nuevo equipo.
De acuerdo a este ejemplo es obvio que siempre qué el valor presente de un proyec­
to sea positivoxJa.decisióiL_s£iá_empreiiderlo. Sin embargOjSería. con veniente analizar la 
justificación de esta regla de decisión. Primero, cuando el valor presente es positivo, sig­
nifica que érfeÍKfimiento que se espera obtener del proyecto de inversión es mayor al 
rendimiento mínimo requerido por la empresa (TREMA). También, cuando el valor pre­
sente de un proyecto es positivo, significa que se va a incrementar el valor del capital 
de los accionistas.
En el ejemplo anterior la decisión era aceptar el proyecto. Sin embargo, veamos qué 
pasa si en el mismo ejemplo presentado anteriormente, la empresa en lugar de fijar su TRE­
MA en 25% la hubiera fijado en 40%.
Para esta nueva modificación el valor presentado que se obtiene sería:
40,00040,000 40,000 40,000’ 60,000
VPN= -100,000 +-----------------+-------------- +-------------- +-----------+------- 7-----
(1+.4)1 (1+.4)2 (1+.4)3 (1+.4)4 (1+.4)5
VPN = - $14,875
Y como el valor presente es negativo, entonces, el proyecto debe ser rechazado. Lo anterior 
significa que cuando la TREMA es demasiado grande, existen‘muchas probabilidades de_ 
rechazar lojuiueyos proyectos de inversión. El resultado anterior es bastante obvio, pues­
to que un valor grande de TREM A significa que una cantidad pequeña en el presente se 
puede transformar en una cantidad muy grande en el futuro, o equivalentemente, que una 
cantidad futura representa una cantidad muy pequeña en el presente.
Finalmente, si en el ejemplo analizado se hubiera supuesto un valor pequeño de TRE­
MA, el valor presente hubiera resultado muy grande. Esto significa que cuando TREMA 
es pequeña existen mayores probabilidades de aceptación, puesto que en estas condicio­
64 Método del valor presente
nes el dinero no tendría ningún valor a través del tiempo. Para terminar la discusión de 
este ejemplo, la figura 4.2 muestra cómo sería el valor presente que se obtiene en la com­
pra del nuevo equipo para diferentes valores de TREMA.
FIGURA 4.2 Valor presente como una función de TREMA para el equipo de 
manejo de materiales.
4.2 SELECCION DE PROYECTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
En la sección anterior se describieron las guías generales que se deben seguir para 
evaluar un proyecto individual. Sin embargo, sería conveniente mostrar la metodología 
a seguir cuando se quiere seleccionar una alternativa de entre varias mutuamente exclusi­
vas. Para esta situación existen varios procedimientos equivalentes, es decir, la decisión 
final a la cual se llega con cada uno de ellos es la misma.')Estos procedimientos son: valor 
presente de la inversión total y.valor presente del incremento en la inversión?
4.2.1 Valor presente de la inversión total
Puesto que el objetivo en la selección de estas alternativas es escoger aquella que ma- 
ximice el valor presente, las normas de utilización de este criterio son muy simples. Todo 
jo que_se requiere hacer es determinar el valor presente de los flujos de efectivo que ge­
nera cada alternativa y entonces seleccionar aquella que tenga el valor presente-máximo. 
Sin embargo, conviene señalar que el valor presente de la alternativa seleccionada deberá 
ser mayor que cero, ya que de esta manera el rendimiento que se obtiene es mayor que 
el interés-mínimo atractivo.
Para ilustrar la simplicidad computacional de este criterio^considere que cierta empre­
sa desea seleccionar una de las alternativas mostradas en la tabla 4.1. También, suponga 
que esta empresa utiliza para evaluar sus proyectos de inversión una TREMA de 25%. 
Para esta información, el valor presente que se obtiene con cada alternativa es: *
5 40,000
^=-100,000 + S------------------------ =$7,571
/=l(l+.25)',
Selección de proyectos mutuamente exclusivos 65
5‘ 80,000
VPNfí = -180,000+ S---------------------- =S 35,142/=1 (1+.25)/
5 85,000
VPNC = -210,000 + S----------- .------- = $ 18,600/= 1 (1+.25)'
y puesto, que el mayor valor presente corresponde a la alternativaB, entonces se debe de 
seleccionar esta alternativa.
TABLA 4.1. Flujos de efectivo de alternativas mutuamente exclusivas.
ALTERNATIVA
AÑO A B C
0
1-5
- $100,000 
40,000
- $180,000
80,000
- $210,000
85,000
En este ejemplo que se acaba de analizar, se seleccionó una alternativa. Sin embargo, 
es posible que en ciertos casos cuando se analizan alternativas mutuamente exclusivas, 
todas tengan valores presentes negativos. En tales casos, la decisión a tomares “no hacer 
nada’*; es decir, se deberán rechazar todas las alternativas disponibles. Por otra parte, si 
délas alternativas que se tienen solamente se conocen sus costos, entonces la reglaTdé—de­
cisión será minimizar el valor presenté de los costos. También, es conveniente mencionar 
que bajo esta situación, la alternativa “no hacer nada” no se puede considerar, es decir, 
forzosamente se tendrá que seleccionar unaéélas alternativas(la dé valor presente mínimo 
si se consideran los costos con signo positivo). •
Se ha visto cómo utilizar el método del valor presente en la comparación de alterna­
tivas mutuamente exclusivas de igual vida. Sin embargo, sería interesante analizarlas impli­
caciones que resultan de comparar alternativas mutuamente exclusivas de diferentes vidas. 
Para tal efecto suponga que cierta empresa desea adquirir un montacargas con el cual se agi­
lizaría el transporte interno en el almacén de productos terminados. Investigaciones pre­
liminares sobre los diferentes tipos de montacargas disponibles en el mercado han arrojado
155,000 ,
j 0 + (l+.2)s
los resultados mostrados en la tabla 4.2. Considere también que la empresa utiliza una TRE­
MA de 20%. Por último suponga que el servicio que van a proporcionar estos montacargas 
será requerido por un tiempo de al menos 10 años. Para esta información el valor presente 
de estas alternativas sería: T, .
5 55,000 , 1 * ■ViS'l
VPNa = (-150,000 + S —- ) (1 + 77777 ) “ .5**/= 1 (1+.2)7.
VPNa = S 20,299
y
10 70,000
VPNR = - 250,000 + S ---------------------B 7=1 (1 + .2)7
VPNb =5 43,500
66 Método del valor presente
Y como el valor presente del montacargas B es mayor, entonces se debe de seleccionar di­
cho montacargas.
TABLA 4-2. Flujos de efectivo de los montacargas.
Montacargas
B
Inversión inicial
Vida
Ahorros netos/año
- $ 150,000
5 años 
55,000
-$ 250,000
10 años 
70,000
El análisis anterior muestra que la mejor alternativa es el montacargas B. Sin embar­
go, esta decisión puede ser engañosa, es decir, probablemente esta alternativa no sea la 
mejor. La razón por la que esta decisión no necesariamente es la mejor, se basa en el he­
cho de que en la primera alternativa se consideró implícitamente que en el año 5 se va a 
comprar un montacargas idéntico al anterior. Sin embargo, es obvio que en el año 5 habrá 
en el mercado montacargas cuyas características tecnológicas y de operación sean mucho 
más atractivas y ventajosas que las del montacargas actual y entonces, puede ser posible 
que la combinación de esos dos montacargas (montacargas A y el disponible en el año 5) 
sea mejor que el montacargas B.
La principal deficiencia al considerar como horizonte de planeación el mínimo común 
múltiplo de las vidas de las diferentes alternativas, es suponer que en los ciclos sucesivos de 
cada alternativa se tendrán flujos de efectivos idénticos a los del primer ciclo. Lo razo­
nable en estos casos sería: 1) Pronosticar con mayor exactitud lo que va a ocurrir en 
el futuro, es decir, tratar de predecir las diferentes alternativas que estarán disponibles 
en el mercado para ese tiempo, ó 2) Utilizar como horizonte de planeación el menor 
de los tiempos de vida de las diferentes alternativas.
4.2.2 Valor presente del incremento en la inversión
Cuando se analizan alternativas mutuamente exclusivas, son las diferencias entre ellas 
lo que sería más relevante al tomador de decisiones. El valor presente del incremento en la 
inversión precisamente determina si se justifican esos incrementos de inversión que deman­
dan las alternativas de mayor inversión.
Cuando se comparan dos alternativas mutuamente exclusivas mediante este enfoque, 
lo primero que se debe-hacer es determinar los flujos de efectivo netos~de la diferencia 
entre los flujos de efectivo de lasados alternativas analizadas. Enseguida se determina si 
el incremento en la inversións ^Justifica. El incremento-enl a inversión se considera acep­
table si su rendimiento excede la tasa de recuperación mínima atractiva, es decir, si el 
valor, presente del incremento en lainv ersión es mayor que cero, el incremento se con­
sidera deseable y la alternativa que requiere esta inversión adicional se considera como 
la más atractiva.
Cuando se aplica el criterio del valor presente del incremento en la inversión en la 
selección de alternativas mutuamente exclusivas, los pasos a seguirserían:
Selección de proyectos mutuamente exclusivos 67
1. Poner las alternativas en orden ascendente desacuerdo a_su inversión inicial.
2. Seleccionar como la mejor alternativa aquella^de_jjie_nor costo. Cabe señalar 
que la alternativa de menor costo siempre será “no hacer nada”, es decir, esta 
alternativa sería la base contra la cual se comparará la siguiente alternativa 
de menor costo. La alternativa “no hacer nada” conviene siempre considerar­
la puesto que se pueden presentar casos en los cuales todas las alternativas
• disponibles tengan valores presentes negativos.
3. Comparar la mejor alternativa con la siguiente.-de acuerdo al ordenamiento 
del paso 1. La comparación entre estas dos alternativas se basa en determi­
nar el valor presente jjel incremento eninversión (flujos de efectivos di­
ferenciales). Si este valor presente es mayor que cero, entonces la alternativa 
retadora se transforma en la mejor alternativa. Por el contrario, si el valor 
presente del incremento en la inversión es negativo, entonces la mejor alter­
nativa sigue siendo la defensora y la retadora se elimina de posterior consi­
deración.
4. Repetir el paso 3 hasta que todas.-las-alternativas disponibles hayan sido ana­
lizadas. La alternativa que maximiza ^e£_valor. presente_j¿ proporciona un ren­
dimiento mayor que TREMA, es_la alternativa_de mayor inversión cuyos 
incrementos de inversión se justificaron.
Si se aplican los pasos anteriores a las alternativas mostradas en la tabla 4-1, y si 
además se supone el mismo valor de TREMA de 25%, los cálculos que resultan son los 
siguientes:
VPNA = - 100,000 + S 40;00° = S 7,571
M (1+.25)/
puesto que el valor presente de la alternativa de menor inversión es positivo, entonces, 
la alternativa A es mejor que la alternativa “no hacer nada”. Por consiguiente, la mejor 
alternativa hasta el momento es la A, la cual pasa a ser considerada como la alternati­
va defensora y la alternativa B pasa a ser la alternativa retadora, es decir, la alternativa 
B se va a comparar con la A de acuerdo a una base incremental:
VPNR A = -80,000 + S 40’000----------= $27,571B'A /=! (1+.25)/
y como el valor presente del incremento en la inversión es positivo, entonces la alterna­
tiva B pasa a ser la defensora y la alternativa C la retadora. Si se comparan estas alter­
nativas sobre una base incremental se obtiene:
5 5,000
= -30,000 + (1 + -25y= “ $16,553
y puesto que este valor presente es negativo, la alternativa B se transforma en la mejor al­
ternativa. De acuerdo al paso 4 cuando todas las alternativas han sido consideradas, la 
mejor alternativa es la que maximiza el valor presente y proporciona un rendimiento ma­
yor que TREMA. Por consiguiente, la alternativa B es la selección óptima del conjunto 
de alternativas mostradas en la tabla 4-1. Como se puede observar, la decisión recomen­
cj ve
4 /x-
68 Método del valor presente
dada al aplicar este criterio coincide con la obtenida al utilizar el valor presente de la in­
versión total. Lo anterior significa que ambos criterios son equivalentes.
El_valor_p resen te del incremento en la inversión también se puede_^pljcar en la selec­
ción de alternativas mutuamente exclusivas en las cuales sólo se tiene información de los, 
costos. Sin embargo, bajo esta nueva situación, a diferencia de cuando los ingresos son 
conocidos; la alternativa “no hacer nada” no puede ser considerada en el análisis como una 
alternativa factible. Lo anterior es justificable puesto que es obvio que es preferible no 
gastar nada a tener puros desembolsos. Para ilustrar el procedimiento a seguir cuando sólo 
se tiene la información de los costos de las diferentes alternativas disponibles, considere que 
una empresa que utiliza una TREMA de 20%, desea seleccionar una de las alternativas que 
aparecen en la tabla 4-3.
TABLA 4-3. Flujos de efectivo de alternativas mutuamente exclusivas de las cuales 
solamente sus costos son conocidos.
Ano
Alternativas
A B C
0 -$10,000 -$12,000 -$15,000
1 - 3,000 - 2,500 - 1,500
2 - 3,500 - 3,000 1,500
3 - 4,000 - 3,000 - 1,500
Como la alternativa “no hacer nada” no es considerada, entoncesda alternativa A se 
transforma en la mejor alternativa, es decir, inicialmente la alternativa A es la defensora y 
la alternativa B la retadora. Aplicando el valor presente sobre una base incremental a es^ 
tas alternativas se obtiene:
vpnB-a =-2,000 +
= — $657
(1+.2)
500
(1+.2)2
+ 1,000
(1 + -2)3 
ó <.
y puesto que_eLvaloi presente es negativo, la_alternativa B se elimina de posterior conside­
ración. Por consiguiente, la alternativa A seguirá siendo la defensora y la alternativa Cpasa a 
ser considerada la retadora. Ahora, si se comparan estas alternativas sobre una base incre­
mental se obtiene:
vpnC-A = -5,000 +
1,500 + 2,000 + 2,500
(1+.2) (1+.2)2 (1+.2)3
vpnC-A = -S914
y como el valor presente es negativo, la alternativa C es desechada. Puesto que ya no exis­
ten más alternativas, entonces la alternativa A es la selección óptima.
Inconsistencia del método del valor presente 69
4.3 INCONSISTENCIA DEL METODO DEL VALOR PRESENTE AL
COMPARAR ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUSIVAS
Existe cierto tipo de alternativas en las que la decisión de cuál seleccionar depende 
del valor de TREMA utilizado. Por ejemplo, asuma que cierta empresa que usa un valor de 
TREMA de 10%, desea seleccionar una de las alternativas que aparecen en la tabla 4-4.
TABLA 4-4. Alternativas mutuamente exclusivas.
Ano
Alternativas
A B
0 - $ 195 - $ 188
1 150 40
2 40 40
3 40 50
4 40 180
Si se aplica el criterio del valor presente sobre la inversión total se obtiene: 
40 = $31.79
50 180
(l+.l)3 +(1+-1)4
= $ 41.63
lo cual indica que el proyecto B debe ser seleccionado. Sin embargo, veamos qué pasa si en 
lugar de usar un valor de TREMA de 10% se utiliza un valor de 18%. Con esta nueva modifi* 
cación los valores presentes de cada alternativa serían:
= $5.82
= —$2.10
lo cual indica que el proyecto A debe ser seleccionado. Como se puede observar, esta de­
cisión en contradictoria a la que se hubiera tomado si la TREMA fuera de 10% . Sin embargo, 
la realidad es que ambas decisiones son correctas, es decir, cuando la TREMA sea pequeña 
la alternativa B será preferida, y la aternativa A será preferida cuando la TREMA sea gran­
de. La explicación a estas decisiones aparentemente contradictorias se basa en lo siguiente:
70 Método del valor presente
1. Cuando la TREMA es grande, existe una tendencia a seleccionar aquellas alterna­
tivas que ofrezcan en sus primeros años de vida los mayores-flujos-de-efectivo.
2. Cuando la TREMA es pequeña, se tiende a seleccionar a aquellas alternativas que 
ofrezcan los_mayores beneficios, aunque éstos estén muy retirados del período 
de iniciacióiide la vida de la alternativa.
Finalmente, en la figura 4.3 se muestra cómo varía el valor presente de cada una de 
estas alternativas como una función de TREMA. Como se puede apreciar en esta figura, 
para valores de TREMA menores a 14.1% la alternativa preferida es la B y la alternativa A 
sería preferida para valores de TREMA mayores a 14.1%.
FIGURA 4-3. Valor presente como una función de TREMA.
PROBLEMAS
4.1. Cuál es la cantidad máxima que un inversionista está dispuesto a pagar por un bono, 
si se desea obtener en su compra un rendimiento del^SéX^Suponga que el bono 
tiene un valor nominal de S10,000, una vida de 5 anos y paga umCtasade interés 
de 20% anual.
4.2. Suponga que cierto proyecto de inversión requiere de una inversión inicial de 
S200,000. Sus gastos de operación y matenimiento son de $20,000 para el primer 
año, y se espera que estos costos crezcan en el futuro a una razón del 10%anuaJ. 
La vida estimada del proyecto es de 10 años al final de los cuales su valor de rescate 
se estima en $50.000. Finalmente, suponga que los ingresos.que genera este pro­
yecto son de $50,000 el primer año y se espera en lo sucesivo que éstos aumenten 
a una razón constante de $4,000/año. Si la TREMA es de 25%, ¿debería este pro­
yecto ser aceptado?4.3. Una persona ha solicitado un préstamo de $100,000 a una tasa de interés de 1.5% 
mensual y a un plazo de cinco años. Esta persona desea devolver el préstamo en
60 mensualidades iguales. Si esta persona después de haber hecho 15 pagos men­
suales, decide pagar en un solo pago (al final del mes 16) el saldo de la deuda, ¿cuánto 
tendría que pagar?
Problemas 71
4.4. Una compañía está analizando la posibilidad de comprar un compresor. Para ello 
ya se han iniciado las investigaciones respectivas y los resultados obtenidos son los 
siguientes:
Compresor I Compresor 11
Inversión inicial $ 100,000 $ 200,000
Gastos anuales 40,000 25,000
Valor de rescate 25,000 25,000
Vida 5 años 10 años
Si la TREMA es de 20% , ¿qué alternativa debe ser seleccionada? (Utilice el valor 
presente del incremento en la inversión.)
4.5. Una compañía desea reemplazar la bomba que actualmente está utilizando. Con 
esta bomba la compañía tiene gastos de operación y matenimiento de $50,000 
anuales. Además, se sabe que esta bomba puede ser mantenida en la compañía por 
cinco años más, al final de los cuales tendrá un valor de rescate de cero.
La bomba actual puede ser tomada a cuenta de una nueva. Si la compra de la bom­
ba nueva se realiza, se obtiene una bonificación de $25,000 por la vieja. El costo 
inicial de la nueva bomba es de $120,000, su vida económica es de 5 años, su valor 
de rescate después de 5 años de uso se estima en $40,000 y los gastos de operación 
y mantenimiento se espera que sean del orden de $20,000/año. Si la TREMA es de 
20% , ¿qué alternativa seleccionaría?
4.6. Una compañía manufacturera paga al final de cada año, regalías de $10 por unidad 
producida durante el año. La patente estará vigente por un período adicional de 
cinco años. Además, se sabe que la producción estimada de los próximos cinco 
años será de 20,000, 22,000, 24,000, 26,000 y 28,000. Si esta compañía decide 
pagar en este momento las regalías de los próximos cinco años, ¿cuánto tendría 
que pagar si su TREMA es de 25% ?
4.7. Un ingeniero' que ha terminado sus estudios de sistemas computaciones, está 
contemplando la posibilidad de obtener en el ITESM la Maestría en Sistemas de 
Información. Esta persona estima que con el título"de Ingeniero en SistemasCom- 
putacionales, su sueldo en los próximos 6 años seria de $200,000 el primer año y 
en los subsiguientes el sueldo anual estaría aumentando a una razón de 20% anual. 
Por otra parte, si esta persona decide continuar con la maestría, el tiempo que se 
tardaría en obtenerla sería de un año y los gastos que se incurrirían en este tiempo 
serían de $150,000. Si la TREMA de esta persona es de(20%), y los aumentos de 
sueldo con un título de maestría se estiman en 25% ¿de quetamano tendría que ser 
el sueldo del primer año después de terminar la maestría, de tal modo que a esta 
persona le sea indiferente estudiarla? (Suponga el mismo período de 6 años.)
4.8. Cierta compañía que utiliza en sus evaluaciones económicas una TREMA de 20% , 
desea seleccionar mediante el enfoque incremental del método del valor presente, 
la mejor de las siguientes alternativas:
72 Método del valor presente
A B C D
Inversión inicial 
Gastos netos/año
Vida
-$50,000
30,000
5 años
-$75,000
25,000
5 años
-$120,000
20,000
5 años
-$200,000
10,000
5 años
4.9. Suponga que al grupo industrial “A” se le ha ofrecido la compra de la compañía X. 
Investigaciones preliminares realizadas por el grupo industrial, demuestran que la 
compañía X puede generar flujos de efectivo netos anuales que crecen a una razón 
de 20% . Si el flujo de efectivo neto de la compañía X para el próximo año es de 
$20,000,000, y la TREMA que utiliza el grupo industrial es de 20%, ¿cuál es la 
cantidad máxima que el grupo estaría dispuesto a ofrecer por la compañía X? 
(Considere un horizonte de planeación de 10 años.)
4.10. Una máquina cuyos gastos de operación y mantenimiento se incrementan a una 
razón de $20,000/año, puede ser reparada. Con la reparación cuyo costo es de 
$150,000, se eliminarían los incrementos en los gastos de operación y manteni­
miento. Para una TREMA de 20% , y un horizonte de planeación de 5 años, ¿con­
vendría reparar la máquina? (Suponga que los ingresos y el valor de rescate no se 
modifican si la máquina es reparada.)
El propósito de este capítulo es mostrar un análisis completo del método de la tasa 
interna de rendimiento.
En la primera parte se explica el procedimiento que se debe seguir cuando se analiza 
un proyecto individual, así como también el enfoque incremental con que se debe aplicar 
este método cuando se analizan varios proyectos mutuamente exclusivos. En esta primera 
parte se hace énfasis en el significado de la tasa interna de rendimiento, así como en las 
condiciones que deberán reunirse para que ésta sea única.
En la segunda parte se muestra un algoritmo (ligeramente modificado) que propuso 
James C. T. Mao para resolver el difícil problema de tasas múltiples de rendimiento. En 
esta parte, primeramente se explica cómo distinguir cuándo una inversión no tiene, tiene 
solamente una, o tiene múltiples tasas de rendimiento. En seguida, se propone una forma 
en la cual los proyectos pueden ser clasificados y finalmente se explica el algoritmo general 
que deberá ser utilizado en la evaluación de inversiones no-simples.
PROYECTOS CON UNA SOLA TASA
INTERNA DE RENDIMIENTO
5.1 TASA INTERNA DE RENDIMIENTO (TIR)
En todos los criterios de decisión, se utiliza alguna clase de índice, medida de equi­
valencia, o base de comparación capaz de resumir las diferencias de importancia que exis­
ten entre las alternativas de inversión. Es importante distinguir entre criterio de decisión y 
una base de comparación. Esta última es un índice que contiene cierta clase de informa­
ción sobre la serie de ingresos y gastos a que da lugar una oportunidad de inversión.
La tasa interna de rendimiento, como se le llama frecuentemente, es un índice de 
rentabiTi3ad~arhpliamente aceptado. Está definida como la tasa de interés que reduce a 
cero el valor presente, el valor futuro, o el valor anual equivalente de una serie de ingresos 
y egresos. Es decir, la tasa interna de rendimiento de una propuesta de inversión, es aquella 
tasa de interés/* que satisface cualquiera de las siguientes ecuaciones: 
73
74 Método de la tasa interna de rendimiento
Sts ------------- ----------- = o
í = O (1 +;*)'
n
S 5,(1+/*)"'= O 
í = O
(5.1)
(5.2)
n
Z St(P/F, i*, f)(A/P, i*, rí) = O (5.3)
í=O
donde:’
St = Flujo de efectivo neto del período í.
n = Vida de la propuesta de inversión.
En la mayoría de las situaciones prácticas es suficiente considerar el intervalo -1 < z* <°° 
como ámbito de la tasa interna de rendimiento, ya que es muy poco probable que en un 
proyecto de inversión se pierda más de la cantidad que se invirtió. Por otra parte, la figura
5.1 ilustra la forma más común de las gráficas de valor presente, valor futuro y valor anual 
equivalente, en función de la tasa de interés. En esta figura, se puede apreciar que todas 
estas curvas cortan al eje horizontal en el mismo punto, es decir, todas ellas pasan a través 
del punto que corresponde a la tasa interna de rendimiento del proyecto de inversión.
FIGURA 5.1. Gráficas del valor presente, valor futuro y valor anual equivalente, en 
función de la tasa de interés.
5.2 SIGNIFICADO DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
En términos económicos la tasa interna de rendimiento representa el porcentaje o la 
tasa de interés que se gana sobre el saldo no recuperado de una inversión. El saldo no re­
Evaluación de un proyecto individual 75
cuperado de una inversión en cualquier punto del tiempo de la vida del proyecto, puede 
ser visto como la porción de la inversión original que aún permanece sin recuperar en ese 
tiempo. El saldo no recuperado de una inversión al tiempo t, se evalúa de acuerdo a la si­
guiente expresión:
t
Ft = H SÁX+i*)1''
J = 0
(5.4)
Es decir, el saldo no recuperado de una propuesta de inversión en el tiempo t, es el valor 
futurode la propuesta en ese tiempo. Para comprender mejor el significado de la tasa in­
terna de rendimiento, la tabla 5-1 muestra dos proyectos de inversión cuyas tasas internas 
de rendimiento son de 15%. Cada uno de estos proyectos puede ser interpretado como un 
acuerdo en el que una persona ha pedido prestado _S1_,OOQ. comprometiéndose a pagar 
un 15% sobre el saldo, y reducirlo a cero al final del plazo del crédito.
TABLA 5.1. Dos propuestas de inversión con la misma TIR
Ano Propuesta A Propuesta B
0 -SI,000 -SI,000
1 350 • 150
2 350 150
3 350 150
4 350 1,150
El saldo no recuperado de una inversión en el tiempo í, también se puede encontrar 
de acuerdo a la siguiente expresión:
= Fr-1 t1 + <5*5)
Para aclarar la aplicación de la ecuación (5.4) o la (5.5), la tabla 5-2 muestra los 
saldos no recuperados para cada uno de los años de las propuestas mostradas en la tabla 
5-1. A través de la tabla 5-2 se puede comprender mejor el significado de la tasa interna de 
rendimiento.
Una de las equivocaciones más comunes que se cometen con el significado de la_ 
TIR, es considerarla como la tasa de interés que se gana sobre la inversión inicial requerida 
por la propuesta. Sin embargo, lo anterior es correcto solamente en el caso de propuestas 
cuyáíTvidas sean de un período. Para el caso de la propuesta B mostrada en la tabla 5-2, 
la tasa interna de rendimiento sí indica el rendimiento obtenido sobre la inversión inicial.
En conclusión, de las ideas presentadas en esta sección, surge el significado funda­
mental de la TIR: “Es la tasa de interés que se gana sobre el saldo no recuperado de una 
inversión,de tal modo que el saldo al final de la vida de la propuesta es cero”.
5.3 EVALUACION DE UN PROYECTO INDIVIDUAL
Con el método de la tasa interna de rendimiento, es necesario calcular la tasa de 
interés (PAque satisface cualquiera de las ecuaciones (5.1), (5.2) o (5.3) y compararla con
76 Método de la tasa interna de rendimiento
TABLA 5-2. Dos propuestas de inversión que demuestran el significado básico de 
la TIR.
Flujo de
Propuesta Año
efectivo
al final 
del año t
Saldo al 
comienzo 
del año t
Intereses 
sobre el 
saldo
Saldo al 
final del 
año t
A 0 -$1,000 — — -$1,000.0
1 350 -$1,000.0 -$150.0 - 800.0
2 350 - 800.0 - \120.0 - 570.0
3 350 - 570.0 - 1 85.5 - 305.5
4 350 - 305.5 - '44.5 0.0
B 0 -$1,000 -$1,000
1 150 -$1,000 -$150 - 1,000
2 150 - 1,000 - 150 - 1,000
3 150 - 1,000 - 150 - 1,000
4 1,150 - 1,000 - 150 0
la tasa de recuperación mínima atractiva (TREMA). Cuando í* sea mayor que TREMA, « 
conviene que el proyecto sea emprendido.
El método de la tasa interna de rendimiento y los métodos explicados en capítulos 
anteriores, son equivalentes,, es decir, que para un mismo proyecto” con cada uno de estos 
métodos se llegaría a la misma decisión. Lo anterior puede ser más fácilmente compren­
dido si se observa la figura 5.2. A través de esta figura\ se puede comparar la equivalencia 
del método de la TIR y el método del valor presente. Por ejemplo, en dicha figura se puede 
apreciad que si ?* es mayor que TREMA, entonces ZP/V(TREMAi) es mayor que cero. Por 
el contrario, si es menor'que TREMA, entonces P7W(TREMA2)es menor que cero. 
Por consiguiente, es obvio que con ambos métodos se llegaría a la misma decisión de acep­
tar o rechazar el proyecto.
Para comprender mejor la mecánica de este método, a continuación unos ejemplos 
son evaluados por el método de la TIR.
Evaluación de un proyecto individual 77
Ejemplo 5.1
Suponga que cierto grupo industrial desea incursionar en el negocio de camionetas 
utilizadas en la exploración y análisis de pozos petroleros. Entre los servicios que este tipo 
de camioneta puede proporcionar se pueden mencionar los siguientes: la localización y 
evaluación de zonas petroleras, la determinación de la estructura del terreno en el pozo 
(rocoso, arenoso, etc.), la estimación de la porosidad y permeabilidad adentro del pozo, la 
evaluación de la calidad de la cimentación de la tubería, y finalmente se pueden hacer los 
orificios necesarios a través de los cuales se podrá extraer el fluido. También, considere que 
la inversión inicial requerida por una camioneta, la cual consiste de una micro-computadora, 
de un sistema de aire acondicionado que mantiene a la micro-computadora trabajando a 
una temperatura adecuada, y de un generador que proporciona la energía requerida por la 
camioneta, es del orden de $4,000,000. Por otra parte, suponga que los ingresos netos 
anuales que se pueden obtener en este tipo de negocio son de $1,500,000. Finalmente, 
suponga que la vida de la camioneta es de 5 años, al final de los cuales se podría vender en 
$500,000 y que la TREMA es de 20%.
Para la información anterior, la tasa interna de rendimiento es la tasa de interés/* 
que satisface la ecuación:
-4,000,000 + l,500,000(PM, í*,5) + 500,000(P/F, z*, 5) = 0
y haciendo tanteos se encuentra que z* = 27.3%. Puesto que z* es mayor que TREMA, el 
proyecto deberá ser aceptado.
Ejemplo 5.2
Suponga que una persona adquirió un bono por la cantidad de $ 1,000. Si la vida del 
bono es de 5 años, al final de los cuales se recupera el valor de la inversión, y los intereses 
que se ganan al final de cada año son de $200, ¿cuál es la TIR que se obtiene en esta in­
versión?
La TIR que se ^obtiene en la compra del bono, es la tasa de interés z* que satisface la 
ecuación:
- 1,000 + 200(P/X, z*, 5) + 1,000(P/F; z*, 5) = 0
Sin embargo, para los casos en que el valor del rescate es igual a la inversión, la TIR se 
debe obtener al encontrar la tasa de interés z* que iguale a cero el valor anual equiva­
lente. Para lograr esto, es necesario utilizar la siguiente identidad;
(AjP, z%, n) = Ú/E z%, ri) + z% (5.6)
Por consiguiente, para encontrar la TIR de esta inversión, es necesario encontrar la tasa 
de interés z* que satisface la ecuación:
-1,000Q4/P, z*, 5) + 200 + l,000G4/F, z*, n) = 0
y utilizando la identidad (5.6) se obtiene:
78 Método de la tasa interna de rendimiento
- 1,000( (A/F, i*, 5) + z*) + 200 + 1000(^4/F, z*, 5) - 0
y simplificando se obtiene que i* ~ 20%.
En conclusión, se puede decir que cada vez que el valor de rescate sea igual a la in­
versión, y los flujos de efectivo netos de cada período sean constantes, la tasa interna de 
rendimiento no depende de la vida de la propuesta y se obtiene por medio de la siguiente
expresión:
Flujo de efectivo anual neto
i* = J (5.7)
inversión inicial
5.4 EVALUACION DE PROYECTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
En la evaluación de proyectos mutuamente exclusivos por el método de la T1R, 
existen dos principios que se deben de tomar muy en cuenta. Estos principios son los si­
guientes:
• Cada incremento de inversión debe ser justificado, es decir, la alternativa de mayor 
inversión será la mejor siempre y cuando, la tasa interna de rendimiento del in­
cremento en la inversión sea mayor que TREMA.
• Solamente se puede comparar una alternativa de mayor inversión con una de 
menor inversión, si ésta ya ha sido justificada.
El criterio usual de selección al utilizar este método, es escoger el proyecto de ma­
yor inversión para el cual todos los incrementos de inversión fueron justificados. Debe ser 
notado que cuando el método de la TIR es utilizado, seleccionar el proyecto de mayor 
TIR podría conducir a decisiones subóptimas.
Con el criterio de decisión anterior, se está tratando de maximizar la cantidad de 
dinero en términos absolutos, en lugar de maximizar la eficiencia en la utilización del dine­
ro. Lo anterior significa que si una determinada empresa ha establecido una TREMA 
de 20%, dicha empresa preferirá ganar $250 al hacer una inversión de $1,000 en lugar de 
ganar $10 al hacer una inversión de $T57
La aplicación del criterio de selección que se recomienda utilizar con el método de 
la TIR, implica determinar la tasa interna de rendimiento del incremento de inversión. 
Esta tasa de rendimiento puede ser encontrada por cualquiera de las siguientes alternativas:
• Encontrar la tasa de interés para la cuallos valores anuales equivalentes de las 
dos alternativas son iguales.
• Encontrar la tasa de interés para la cual los valores presentes de las dos alterna­
tivas son iguales. 1
• Encontrar la tasa de interés para la cual el valor presente del flujo de efectivo neto 
de la diferencia entre las dos alternativas es igual a cero.
Para comprender mejor el criterio de decisión utilizado en el método de la TIR 
cuando varios proyectos mutuamente exclusivos son comparados, a continuación una 
serie de ejemplos son presentados.
Evaluación de proyectos mutuamente exclusivos 19 y-
5 ! Q n J u 
Ejemplo 5.3 ^uv/ví -
Se desea seleccionar de entre los siguientes proyectos de inversión, el más adecuado. 
Suponga una TREMA de 15%.
Inversión
Vida
Ingresos netos/año
Propuesta A Propuesta B
$10,000 $15,000
5 años 5 años
3,344 4,500
X.
3,344/año4,500/año
+1 15 551
5,000
2
-10,000 + 3,344(77.4, i*A , 5) = 0
10,000
A
Del diagrama anterior,
como la suma del proyecto A (el cual ya ha sido justificado), más una inversión de $5,000, 
la cual genera $1,156 cada año durante 5 años. Lo anterior significa, que el proyecto B 
debe ser aceptado en lugar del A, si la TIR del incremento en la inversión que requiere, es 
mayór^qüé'TREMA. Esto es obvio, puesto que sería ilógico incrementar la inversión si 
ésta ncTproduce al menos un rendimiento igual a TREMA. Por consiguiente, la TIR del 
incremento en la inversión que requiere el proyecto B, es la tasa de interész*^ A que sa­
tisface la ecuación:
*
<¿>
se puede observar que el proyecto B puede ser interpretado
15,000
B
De acuerdo al procedimiento descrito anteriormente, es necesario primero justificar 
el proyecto de menor inversión. En este caso, la TIR del proyecto A es la tasa de interés 
que satisfacéTífsíguiente ecuación: o
I \ i °C )
y. 
/
la cual resulta ser de 5%. Puesto que este rendimiento es menor que TREMA, entonces el 
incremento en la inversión no se justifica y el mejor proyecto es el A.
„ - ~ _ ,fz ■ O O 3
O S*
—A
1,156/año
la cual resulta ser de 20%. Como la TIR del proyecto A es mayor que TREMA, entonces, 
el proyecto de menor inversión ha sido justificado.. Cabe señalar que en el_caso de que se 
tengan muchos proyectos, el procedimiento anterior es repetido hasta que el primer pro­
yecto se justifique. Si ningún próyecto~es justificado, entonces la mejor decisión, sería “no 
hacer nada”. 3
Una vez que el proyecto 4 ha sido justificado, el siguiente paso es justificar el incre^ 
mentó en la inversión que requiere el proyecto B. Para tal propósito, vamos a expresar al 
proyectoTTén láTórma siguiente:
, t c
2 á_C o
L|
80 Método de la tasa interna de rendimiento
Ejemplo 5.4
< ¿ ¿ en
C ü
5 s ¿W
4
Con el propósito de ilustrar y aclarar la aplicación de esta metodología al caso en el 
cual solamente los costos son conocidos, enseguida se comparan los siguientes proyectos. 
Para este análisis se considera una TREMA de 15%.
Inversión
Vida
Costos netos/año
Propuesta A
$10,000
5 años 
4,000
Propuesta B
$15,000 
5 años
2,600
Como se explicará más adelante, existen flujos de efectivo para los cuales no existe 
tasa interna de rendimiento. Las propuestas^ y B pertenecen a esta categoría, ya que sus 
flujos de efectivo están formados de puros egresos.
Cuando se comparan"proyectos donde solamente los gastos son conocidos, se está 
implícitamente suponiendo cualquiera de las siguientes situaciones: 1) Los proyectos ge­
neran los mismos ingresos, ó 2) con todos los proyectos se ahorra la misma cantidad de 
dinero.
Para comparar proyectos en las circunstancias descritas anteriormente, además de 
las suposiciones previas, es necesario estimar que el proyecto de menor inversión está.jus­
tificado de antemano, es decir, cuando solamente los gastos de los proyectos son cono­
cidos, la alternativa “no hacer nada” HQpuedeser considerada. Por consiguiente, el primer 
paso en la comparación de proyectos mutuamente exclusivos, sería justificado! incre­
mento en la inversión del segundo proyecto de mayor inversión con respecto al de menor 
inversión. Si este incremento no se justifica, entonces se tratará de justificar el incremento 
en la inversión del tercer proyecto con respecto al primero, y así sucesivamente. En caso 
de que ningún incremento de inversión se justifique, el proyectCLseleeeionado soría el de 
menor Tñvérsión.
Para el caso particular que se está analizando, el proyecto B requiere de una inver­
sión adicional de $5,000, a cambio de la cual producirá un ahorro en los costos de $1,400 
por año. Para esta información, la tasa de rendimiento del incremento en la inversión se 
obtiene al resolver la siguiente ecuación:
-5,000 + l,400(P/A /V>1’5) = 0
y puesto que la tasa de interés que satisface la ecuación anterior es 12.37%, en­
tonces el incremento en la inversión no se justifica, y el mejor proyecto es el A.
PROYECTOS CON MULTIPLES TASAS 
INTERNAS DE RENDIMIENTO
La mayoría de las propuestas de inversión que son analizadas en una empresa, con­
sisten de un desembolso inicial, o una serie de desembolsos iniciales, seguidos por una 
serie de ingresos positivos. Para estas situaciones, como más adelante se verá, la existencia 
de una sola tasa interna de rendimiento facilita grandemente el proceso de toma de deci­
Proyectos con múltiples tasas internas de rendimiento 81
siones. Sin embargo, no todas las propuestas de inversión generan flujos de efectivo de 
este tipo. Para algunas propuestas, los desembolsos requeridos no están restringidos a los 
primeros períodos de vida de la inversión. Por consiguiente, es posible que en los flujos de 
efectivo netos existan varios cambios de signo. Para estos casos, es posible que la propuesta 
presente el fenómeno de tasas múltiples de rendimiento.
Es indudable que la discusión de proyectos con tasas múltiples de rendimiento, 
aumentará el entendimiento que se tiene del método de la TIR. Por consiguiente, en esta 
sección del capítulo se describe y explica un método que se recomienda usar cuando la 
propuesta posee múltiples tasas de rendimiento.
5.5 PROYECTOS SIN TASAS DE RENDIMIENTO
Se debe de reconocer que existen algunos proyectos para los cuales no existe tasa 
interna de rendimiento. El ejemplo común de esta situación se presenta en los casos en 
que el flujo de efectivo está formado en su totalidad, ya sea por ingresos o egresos.
Generalmente, los casos más comunes de este tipo son los proyectos para los cuales 
se conocen solamente los egresos. Para este caso, no es posible determinar la tasa interna 
de rendimiento de cada proyecto en forma individual. Sin embargo, como ya se explicó 
anteriormente, sí es posible aplicar el método de la TIR en una forma incremental aLaná- 
lisis y evaluación de proyectos mutuamente exclusivos donde solamente los gastos son 
conocidos.
5.6 PROYECTOS CON UNA SOLA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
Porque es deseable y fácil de analizar las propuestas con una sola tasa interna de 
rendimiento, es necesario conocer las condiciones que se tienen que cumplir para que se 
garantice la existencia de una sola tasa de rendimiento. Se puede decir por norma general, 
que toda propuesta de inversión cuyos desembolsos ocurran en los primeros períodós'de 
su vida, y los ingresos en los períodos posteriores, y además se cumpla que la suma'abso­
luta de los ingresos es mayor que la suma absoluta de los egresos, tendrá una función de 
valor presente similar a la presentada en la figura 5.2, es decir, la propuesta tendría una 
sola tasa interna de rendimiento.
La tabla 5-3 muestra los flujos de efectivos de dos propuestas (A y B) quesí cumplen 
con las condiciones anteriores y dos propuestas (C y D) que no las cumplen. Para la pro­
puesta A la suma de los ingresos ($ 15,000) es mayor que la suma de los egresos($5,000) 
y para la propuesta B también los ingresos ($6,000) exceden a los egresos ($3,500). Para 
estas propuestas sí se garantiza la existencia de una sola tasa interna de rendimiento. Sin 
embargo, para las propuestasCy D es posible que sus funcionesde valor presente sean di­
ferentes a la mostrada en la figura 5.2.
5.7 PROYECTOS CON MULTIPLES TASAS INTERNAS DE RENDIMIENTO
Para la toma de decisiones, los proyectos con una sola tasa interna de rendimiento 
son muchu más fáciles de manejar que los proyectos con tasas múltiples de rendimiento. 
Cuando se tienen varias tasas de rendimiento surgen preguntas tales como: ¿Cuál tasa de
82 Método de la tasa interna de rendimiento
TABLA 5-3. Proyectos con diferentes comportamientos de flujos de efectivo.
Año Propuesta A Propuesta B Propuesta C Propuesta D
0 -$5,000 -$2,000 -$10,000 -$3,000
1 1,000 - 1,000 5,000 0
2 2,000 - 500 6,000 4,000
3 3,000 1,500 - 15,000 0
4 4,000 2,000 8,000 - 5,000
5 5,000 2,500 10,000 8,000
rendimiento es la correcta? O ¿son aplicables las reglas de decisión para la selección de pro­
yectos cuando se presentan tasas múltiples de rendimiento? La respuesta a estas preguntas 
se comprenderá mejor cuando se analice el método de James C. T. Mao.
' Para identificar la posibilidad de tasas múltiples de rendimiento, a continuación se 
muestra la expresión para evaluar el valor presente de la propuesta C mostrada en la tabla 5-3.
VPN = - 10.000 + 5,000 
(I + í)
6,000
(1 +/)2
y sustituyendo X = 1/(1 4- i) en la ecuación anterior, se obtiene:
-10,000 4- 5.000% 4- 6.000%2 15,000%3 4- 8,000%4 4- 10,000%5 = 0
Para este polinomio es posible que existan 5 raíces que satisfagan la ecuación. El número 
de raíces reales positivas (%) es igual al número de tasas múltiples de rendimiento que 
tiene la propuesta de inversión. Sin embargo, la pregunta que surge en este momento es: 
¿Cuál es el efecto del comportamiento del flujo de efectivo de la propuesta en el número 
de tasas internas de rendimiento? Una regla útil para identificar la posibilidad de tasas 
múltiples de rendimiento, es la regla de los signos de Descartes para un polinomio de 
grado Esta regla dice que el número de raíces reales positivas de un polinomio de grado 
n, con coeficientes reales, no es nunca mayor que el número de cambios de signo en la 
sucesión de sus coeficientes, en caso de que el número de tales raíces sea menor, la dife­
rencia será un número par.
Por ejemplo, para las propuestas A y B de la tabla 5-3, la regla de los signos indica 
que no existe más de una tasa de rendimiento. En el caso de las propuestas C y D la regla 
de Descartes nos indica que el número máximo de raíces reales positivas, es tres.
LGORITMO DE JAMES C. T. MAO
La aplicación del algoritmo de James C. T. Mao, requiere que los proyectos sean cla­
sificados en ciertas categorías. Esta clasificación permite visualizar más rápidamente a 
aquellos proyectos que presentan el fenómeno de tasas múltiples de rendimiento.
5.8.1 Clasificación de los proyectos
Las inversiones en general pueden ser clasificadas de acuerdo al diagrama mostrado 
en la figura 5.3. En este diagrama se puede observar que las inversiones pueden ser de dos
Algoritmo de James C. T. Mao 83
tipos: simples y no-simples. En los flujos de efectivo de las inversiones simples, solamente 
puede haber un cambio de signo. Con esto se garantiza la existencia de una sola tasa interna 
de rendimiento. Por el contrario, en los flujos de efectivo de las inversiones no-simples, 
pueden existir varios cambios de signo. Las inversiones no-simples a su vez se subdividen 
en dos tipos: inversiones puras e inversiones mixtas. De estos dos tipos de inversiones, las 
que presentan el problema de tasas múltiples de rendimiento son las inversiones mixtas. 
Debe ser notado que aunque las inversiones puras tienen varios cambios de signo en sus 
flujos de efectivo, éstas solamente tienen una sola tasa interna de rendimiento.
Simples (una sola TIR)
Inversiones (
Puras (una sola TIR)
No-simples <
Mixtas (varias TIR’s)
FIGURA 5.3. Clasificación de las inversiones.
La distinción entre inversiones simples y no-simples es muy sencilla, basta con de­
terminar el número de cambios de signo en el flujo de efectivo de la inversión. Sin em­
bargo, la clasificación de las inversiones no-simples en puras y mixtas es más difícil de 
visualizar. No obstante esta dificultad se han desarrollado dos criterios que resuelven este 
problema.
Con el primer criterio, una inversión pura está definida como una inversión en la 
que los saldos no recuperados (ver ecuaciones 5.4 y 5.5) evaluados con la tasa interna de 
rendimiento de la inversión (/*) son negativos o ceros a través de la vida de la propuesta. 
Por consiguiente, una inversión espura si,y sólo si,Fr (¿*)<0 para t = 0. 1,2 . . . , n -1. Por 
el contrario, una inversión mixta es un proyecto para el cual /*}(/*) > 0 para algunos valo­
res de t y Ff(z*) < 0 para el resto. Para inversiones puras sí podemos hablar de su tasa 
interna de rendimiento, mientras que para las mixtas el rendimiento obtenido tiende a 
variar con la TREMA de la empresa.
Otra forma de clasificar los proyectos es explicada a continuación. Debe ser notado 
que debido a que la inversión inicial es un desembolso, se puede lograr que cualquier in­
versión satisfaga la condición /y(/‘) < 0 para t = 0, 1,2,. . . , h-1 , al incrementar el valor de 
j__a algún valor crítico que llamaremos rtJlín. Con este valor de i, puede ser
positivo, cero, o negativo. Si > 0’ entonces existe alguna tasa de interés r*
(rendimiento sobre el capital invertido) >rtn¡n que hará A^(r*) =0. Puesto quer* 
entonces /y(r*) < 0 para í=0, 1, 2,. .., h-1 y por lo tanto la inversión es pura. Sin 
embargo, si (rmín) < 0,existe algunar* <rmín que hará = 0. Puesto que rmin es
84 Método de la tasa interna de rendimiento
la mínima tasa de interés para la que los saldos del proyecto para Z = 0, 1,2,. . . , ft-1 son 
ceros o negativos, el proyecto no será una inversión pura, ya que los saldos no recupera­
dos del proyecto utilizando r* pueden ser positivos o negativos. Por consiguiente, se 
puede concluir que una inversión es pura si ^(Gnw)^^» y la inversión será mixta si 
Fn(rmín) <
La tabla 5-4 muestra un resumen de los dos criterios utilizados en la clasificación de 
las inversiones no-simples en puras y mixtas. Obviamente, de estos dos criterios el más 
fácil de utilizar es el segundo.
TABLA 5-4. Criterios utilizados en la clasificación de las inversiones no-simples en 
puras y mixtas.
Criterio 1.
Sea i* un valor tal que VPN(i*) = 0.
Si Fr(í*) C 0 para t = 0, 1,2,. . . , n-1 entonces la inversión es pura.
Si Ff(í*) < 0 para algunos valores de t y Fz(z*) > 0 para el resto, entonces la in­
versión es mixta.
Criterio 2.
$ea rmín un valor tal que <0 para t = 0, 1,2,. . . , n-1
Si ^n^rm in) > entonces la inversión es pura
Si Fn (rm ) < 0, entonces la inversión es mixta
I 
5.8.2 Descripción de algoritmo
El algoritmo de James C. T. Mao es un procedimiento que se recomienda utilizaren, la 
evaluación de inversiones no-simples. La descripción de este algoritmo se muestra en la fi­
gura 5.4. En esta figura, se puede observar que el primer paso en la aplicación de este algo­
ritmo es encontrar por tanteos rm^.Con el valor de rmin se evalúa Fn {rmín) y se determina 
si la inversión es pura o mixta. Si la inversión es pura, el problema de tasas múltiples de 
rendimiento no existe y la evaluación sería similar a la de las inversiones simples. Por el 
contrario, si la inversión es mixta es necesario calcular r* (rendimiento sobre el capital 
invertido) de modo que /^(r*, TREMA) = 0. Si el rendimiento sobre el capital invertido 
es mayor que TREMA, el proyecto debe ser aceptado.
La diferencia fundamental entre inversiones puras y mixtas estriba en los saldos del 
proyecto. En las inversiones puras, el saldo no recuperado de la inversión siempre es nega­
tivo, es decir, el proyecto de inversión siempre nos debe y esta deuda se reduce a cero al 
final de su vida. En las inversiones mixtas, el saldo no recuperado de la inversión puede ser 
positivo o negativo. Si el saldo es negativo, entonces después de transcurrir un período el 
proyecto nos deberá una cantidad que depende de r*. Por otra parte, si el saldo espositivo, 
entonces significa que se dispone de cierta cantidad de dinero que puede ser invertida a 
una tasa de interés igual a TREMA.
Para comprender mejor la lógica de este algoritmo, a continuación una serie de ejem­
plos son presentados.
Algoritmo de James C. T. Mao 85
Paso 1. Encontrar por intento y error rmín.
Paso 2. É valuar Fn(rm ín).
Paso 3. '¿Es Fn(rmín) > 0? Si la respuesta es afirmativa,entonces el proyecto es una 
inversión pura y por consiguiente existe una sola tasa interna de rendimiento, 
la cual deberá ser comparada con TREMA. Si la T1R> TREMA la inver­
sión debe ser aceptada. Por el contrario, si la respuesta es negativa continúe 
con el paso 4.
Paso 4. Calcular los saldos no recuperados del proyecto en la forma siguiente:
F¿(r*,TREMA) = Fr.;(l + r*) + siFf.; <0
K(r*, TREMA) = g + trEMA) + s¡} > 0
Paso 5. Determine el valor de r* de modo que:
F„(r*, TREMA) = 0
sir* > TREMA, entonces el proyecto debe ser aceptado.
FIGURA 5.4. Descripción del algoritmo de James C.T. Mao en la evaluación de 
inversiones no-simples.
Ejemplo 5.5
s&sv
Suponga que cierta compañía que usa una TREMA de 25% , se encuentra analizando 
la deseabilidad económica de una inversión que promete generar la siguiente serie de flu­
jos de efectivo:
Ano 0 2 3 4
-200 100 200 —400Flujo de efectivo 1,000
Puesto que la inversión es no-simple, el primer paso del análisis es determinar si el
proyecto es una jnversión pura o una mixta. Para este proyecto, se van a utilizar los cri­
terios que aparecen en la tabla 5-4. De acuerdo al criterio l,se requiere encontrar la tasa 
de interés que iguala a-cero el valor presente del proyecto:
-200 + 100 + 200 
(1+í*) (1+í*)2
400 + 1,000
(1+í*)3 (1+í*)4
= 0
y la tasa de interés z* que satisface la ecuación anterior es 58.7%. Con esta tasa interna de 
rendimiento los saldos no recuperados del proyecto son:
Fo (58.7%) = -200 
F2 (58.7%) =-145 
F4 (58.7%) = 0
F) (58.7%) = -217 4 
F3 (58.7%) = -630.2
86 Método de la tasa interna de rendimiento
y puesto que Ft (58.7%) <0 para t = 0, 1,2,3 este proyecto no-simple es una inversión 
pura.
Por otra parte, de acuerdo al segundo criterio, larm de este proyecto sería la tasa 
de interés que hace igual a cero el saldo del proyecto al 'final del año 2. Lo anterior es 
obvio, puesto que si el saldo en el año 2 es cero, esto significa que el saldo del proyecto 
al final del año 1 es negativo y con esto se cumpliría que Ft(rm ín) < 0 para t = 0, 1,2,3. 
Por consiguiente,rm ,n es la tasa de interés que satisface la siguiente ecuación:
-200(1 +rm.n)2 + 100(1 +rmín) + 200 = 0
y el valor de r > que resulta de resolver esta ecuación es 28.1%. Con este valor de r { , 
el saldo del proyecto al finalizar el año 4 sería:
F4(28.1%) =—400(1 + .281) + 1,000 = 487.6
y puesto que este valor es positivo, el proyecto es una inversión pura.
Puesto que la inversión es pura, existe una sola tasa interna de rendimiento que es 
58.7%. Como la TIR es mayor que TREMA, el proyecto debe ser aceptado.
Finalmente, es importante señalar que de los criterios presentados para distinguir 
cuando una inversión es pura o mixta, el segundo es más fácil y rápido de aplicar. Por 
consiguiente, en los ejemplos subsiguientes se utilizará únicamente este segundo criterio.
Ejemplo 5.6
Suponga que cierta empresa que usa una TREMA de 25%, desea evaluar un proyecto 
de inversión que promete generar los siguientes flujos de efectivo:
Añ- 0 1 2 3 4
Flujo de efectivo —600 . 800 —600 700 100 * 3
Para distinguir si este proyecto es una inversión pura o una mixta, es necesario pri­
mero determinar rm^n y enseguida evaluar F4 Del flujo de efectivo, es obvio que
existe una r . para el año 0 y 1. Estar , de 33.33% hace que el saldo del proyecto 
al final del año 1 sea cero. También, del mismo flujo de efectivo se desprende que para el 
año 2 y 3 existe otrar^ de 16.67% que hace que el saldo del proyecto al final del año
3 sea cero (considerando á año 2 y 3 únicamente). De estas dos tasas de interés, la que 
satisface que Ft(rm ín) < 0 para t= 0, 1,2, 3 es 33.33%. Por consiguiente r^ ín = 33.33%. 
De este análisis se puede concluir que no existe ninguna regla o receta que facilite la de­
terminación del valor de rmín- Lo único que se tiene que cumplir es que 
para t ~ 0, 1,2, 3,. . . , rz-1.
Con el V2?or de rm >n ~ 33.33%, el saldo del proyecto al final del año 4 sería;
F4(33.33%) = -600(1+.333)1 + 700(1 +.333)+ 100 = -33.33
y puesto que este valor es negativo, el proyecto es una inversión mixta.
Problemas 87
Como el proyecto es una inversión mixta, el siguiente paso de acuerdo a la figura 
5.4, es encontrar el rendimiento sobre el capital invertido r*. El valor der* se obtiene al 
resolver la siguiente ecuación:
F4(r*, TREMA) = 0
Normalmente el procedimiento para encontrar el valor de r* requiere de una serie de 
tanteos. Sin embargo, se recomienda que el primer tanteo para r* sea un valor igual a 
TREMA. De esta manera, si F4(r*, TREMA) > 0, entonces significa que r* > TREMA y 
el proyecto debe ser aceptado. Por el contrario, si F4(r*, TREMA) <0, entonces signi­
fica que r* < TREMA y el proyecto debe ser rechazado. Por consiguiente, si r* = 25%, 
el saldo del proyecto al final del año cuatro sería:
F4(25%) = —600(1.25)4 + 800(1.25)3 -600(1.25)2 + 700(1.25) + 100 = 135
puesto que este valor es positivo, r* > 25% y el proyecto debe ser aceptado. Para deter­
minar el valor exacto de r*, es necesario hacer una serie de tanteos hasta que su valor 
exacto es determinado. Por ejemplo, el siguiente tanteo parar* será de 31%. Con este 
valor de r*, los saldos del proyecto para cada uno de sus años serían:
Fo-------- 600
Fj = -600 (1 + .31) + 800 = 14
F2 = 14 (1 + .25)-600 =-582.5
F3 = -582.5(1 +.31)+ 700 = -63.08
F4 = —63.08(1 + .31)+ 100 = 17.32
y como el saldo del proyecto al final del año 4 es positivo, es necesario aumentar el valor 
de r* para satisfacer que F4(r*, TREMA) = 0. Por consiguiente, el siguiente tanteo para 
r* será de 32%. Con este nuevo valor de r *, los saldos del proyecto serían:
Fo = -600
F\ = -600 (1 + .32)+ 800 = 8
F2 = 8(1 + .25) -600 = -590
F3 = -590(1 + .32) + 700 = -78.80
F4 = -78.8(1 + .32)+ 100 = -4.01
y puesto que el saldo del proyecto al final del año 4 es negativo, el valor exacto de r* está 
entre 31% y 32%. Interpolando entre estos valores se encuentra que r* = 31.8%.
PROBLEMAS
5.1 Un cierto componente que es utilizado en la producción de un producto fabricado 
por la compañía X, tiene actualmente un costo de $100/.unidad. La compañía X 
con el propósito de ahorrarse la gran cantidad de dinero que anualmente se gasta 
en la compra de este componente, está analizando la posibilidad de comprar el 
equipo necesario para su producción. Investigaciones preliminares del equipo re-
88 Método de la tasa interna de rendimiento
querido indican que su costo inicial es de $100,000 y su valor de rescate después 
de 5 años de uso es de $20,000. Además, si el equipo es adquirido, los costos fijos 
anuales serían de $5,000 y los gastos variables serían de $25/unidad. Si la demanda 
anual para este componente es de 500 unidades, ¿cuál es la tasa interna de rendi­
miento que resulta de adquirir el equipo necesario para su producción?
5.2 Un estudiante que actualmente ha terminado su carrera de Ingeniero Mecánico 
Administrador en el ITESM, estima que los costos incurridos durante su carrera 
equivalen al momento de su graduación a $250,000. Si en virtud de esta prepara­
ción adicional, dicho Ingeniero espera ganar el primer año de trabajo $30,000 
más que lo que ganaría una persona sin preparación profesional, ¿cuál es la tasa 
interna de rendimiento que obtiene este Ingeniero si los aumentos adicionales en 
sueldo se estima que crecerán a una razón de 15% anual? (Considere un horizonte de
y planeación infinito.)
5.3 Un torno puede ser adquirido a un valor de $1,000,000. Se estima que este torno 
va a producir ahorros en los costos de producción de $150,000 anuales. Si la vida 
de este aparato es de 10 años al final de los cualessu valor de rescate se considera 
despreciable, ¿cuál sería la tasa interna de rendimiento que resulta de la adquisi­
ción de este equipo?
5.4 Dos tipos de compresores están siendo evaluados por la compañía X. El com­
presor A cuesta $100,000 y sus costos de operación y mantenimiento se estiman 
en $30,000 anuales. Por otra parte, el compresor B cuesta $80,000 y sus costos de 
operación y mantenimiento se estiman en $35,000 anuales. Si se utiliza un hori­
zonte de planeación de 8 años, una TREMA de 25%, y los valores de rescate de 
estos compresores se estiman en 15% de su valor original, ¿qué alternativa selec­
cionaría? V
5.5 Considere las siguientes alternativas de inversión:
A B
Inversión inicial -$300,000 -$400,000
Ingresos anuales 200,000 250,000
Gastos anuales 120,000 150,000
Valor de rescate 60,000 50,000
Vida 5 años 5 años
Si la TREMA es de 25%, ¿cuál es la TIR del incremento en la inversión que de­
manda la alternativa B ?
5.6 Usando una TREMA de 20%, determine la TIR del incremento en la inversión re­
querido por la alternativa B\
Inversión inicial
Gastos anuales del año K
Valor de rescate
Vida
A
$500,000
50,000(1.1)*'1 
60,000
10 años
B
$750,000
20,000(1.1 )K1
100,000
10 años
Problemas 89
/
5.7 Una compañía está considerando la posibilidad de arrendar o comprar una copia­
dora. Si la copiadora es arrendada se pagaría al principio de cada año una cantidad 
de S 100,000. Si se compra la copiadora su costo inicial sería de S400.000 y su 
valor de rescate después de 5 años de uso sería de S50,000. Si la TREMA es de 
20%, ¿debería la compañía comprar o arrendarla copiadora?
5.8 Una destilería está considerando la posibilidad de construir una planta para pro­
ducir botellas. La destilería anualmente requiere 500.000 botellas. La inversión 
inicial requerida por la planta se estima en SI ,000,000, su valor de rescate después 
de 10 años de operación se estima en Si50,000 y sus gastos anuales de operación 
y mantenimiento se estiman en 550,000. Si la TREMA es de 25%, ¿para qué pre­
cio de la botella debería la destilería construir la planta?
5.9 Un bono con valor nominal de Si00.000 que paga intereses semestrales del 12% 
del valor nominal, y cuya vida es de 10 años, va a ser vendido después de recibir 
los intereses correspondientes al sexto semestre en Si20,000. ¿Cuál es la TIR que 
se obtendría en esta transacción?
5.10 Una cierta compañía está analizando cinco alternativas con las cuales se puede 
realizar un cierto trabajo. El valor de rescate de cada alternativa se estima después 
de 5 años de vida en 100% de su inversión original. Si la TREMA de esta compañía 
es de 25%, ¿qué alternativa debe ser seleccionada?
A B c D E
Inversión inicial 
Ingresos netos/año
$10,000
2,000
$12,000
3,000
$15,000
3,500
$20,000
5,500
$30,000
7,500
5.11 Determinar si el siguiente proyecto de inversión es una inversión pura o una mixta. 
También determine si con una TREMA de 20% el proyecto debe ser aceptado.
Año 0 1 o 3 4 5
Flujo de efectivo -2,000 0 10,000 0 0- -10,000
La compañía .¥ sé encuentra analizando el siguiente proyecto de inversión:
.4/20 0 1 0 3
Flujo de efectivo -1,000 4,700 -7,200 3,600
Si la TREMA es de 30% ¿debería el proyecto ser aceptado? ¿Cambiaría su decisión si 
la TREMA es de 60%?
5.13 Para el siguiente proyecto de inversión, determine si con una TREMA de 30% el 
proyecto se justifica.
90 Método de la tasa interna de rendimiento
Año 0 1 2 3 4
Flujo de efectivo -200 100 300 -200 500
5.14 La compañía Y que utiliza una TREMA de 30% para evaluar sus proyectos de in­
versión, desea saber si el proyecto que se muestra a continuación es rentable.
Año 0 1 2 3 4
Flujo de efectivo -200 1,000 -200 800 500
5.15 Una cierta compañía desea saber si vale la pena emprender el proyecto de inver­
sión que se muestra a continuación, si se usa una TREMA de 30%.
Año 0 1 2 3 4
Flujo de efectivo —200 600 —200 800 500
6
Consideración de impuestos en 
estudios económicos
En capítulos anteriores se ha explicado la forma de determinar el rendimiento de un 
proyecto. Sin embargo, los procedimientos presentados para este propósito no reflejan el 
impacto que en el rendimiento de un proyecto tienen los impuestos.
La consideración de impuestos en estudios económicos es un factor muy decisivo en 
la selección de proyectos de inversión, pues evita la aceptación de proyectos cuyos rendi­
mientos después de impuestos son mediocres.
Por otra parte, el considerar el efecto de los impuestos en estudios económicos, im­
plica determinar la forma en que los activos bajo consideración van a ser depreciados. 
Aunque la depreciación no es un gasto desembolsable para la empresa, su magnitud y el 
tiempo de ocurrencia influyen considerablemente en la cantidad de impuestos a pagar.
Este capítulo presenta las diferentes formas de depreciar los activos más frecuente­
mente utilizados por una empresa, así como la metodología general que se debe seguir en 
la evaluación de un proyecto cuando los impuestos son considerados.
6.1 DEPRECIACION-QUE SIGNIFICA
Con excepción de los terrenos, la mayoría de los activos fijos tienen una vida limita­
da, es decir, ellos serán de utilidad para la empresa por un número limitado de períodos 
contables futuros. Lo anterior significa que el costo de un activo deberá ser distribuido 
adecuadamente en los períodos contables en los que el activo será utilizado por la empre­
sa. El proceso contable para esta conversión gradual de activo fijo en gasto es llamado 
depreciación.
Es importante enfatizar que la depreciación no es un gasto real sino virtual y es con­
siderada como gasto solamente para propósitos de determinar los impuestos a pagar. C uando 
las deducciones por depreciación son significativas, el ingreso gravable disminuye. Si el in­
greso gravable disminuye, entonces, también se disminuyen los impuestos a pagar y por 
consiguiente la empresa tendrá disponibles mayores fondos para reinversión.
El concepto de depreciación es muy importante, puesto que depreciar activos en pe­
ríodos cortos, tiene el efecto de diferir el pago de los impuestos. Además, puesto que el 
91
92 Consideración de impuestos en estudios económicos
dinero tiene un valor a través del tiempo, es generalmente más deseable depreciar mayores 
cantidades en los primeros años de vida del activo, ya que es obvio que una empresa pre­
fiere pagar un peso de impuestos dentro de un año, a pagarlo ahora.
6.2 METODOS DE DEPRECIACION
Existe gran cantidad de literatura que trata sobre métodos de depreciación. Normal­
mente en esta literatura se explica el método de la línea recta, el método de suma de años 
dígitos y el método de saldos decrecientes; los cuales para su aplicación requieren del co­
nocimiento del costo inicial del activo (el monto original de la inversión comprende ade­
más del precio del bien, los impuestos efectivamente pagados con motivo de la adquisición 
o importación del mismo a excepción del impuesto al valor agregado, así como las eroga­
ciones por concepto de derechos, fletes, transportes, acarreos, seguros contra riesgos en la 
transportación, manejo, comisiones sobre compras y honorarios a agentes aduanales), 
su vida útil, y una estimación del valor de rescate al momento de su venta. Sin embargo, 
el método de suma de años dígitos y el método de saldos decrecientes sólo se permiten 
usar en U.S.A.. Por el contrario, en México sólo es válido depreciar los activos en línea 
recta. Tal depreciación se determina en función del tipo de activo y de la actividad in­
dustrial en la que son utilizados.
Para dar una idea de cómo la depreciación debe ser evaluada, la tabla 6.1 muestra 
cómo se deprecian los diferentes activos fijos tangibles y los intangibles utilizados por una 
empresa.
TABLA 6.1. .Depreciación de activos fijos tangibles y amortización de 
los intangibles.
a) Activos intangibles:
1 Cargos diferidos........................................................................................ 5%
2 Patentes de invención, marcas, diseños comercialeso industriales,
nombres comerciales, asistencia técnica o transferencia de tecnología 
y otros gastos diferidos, así como las erogaciones realizadas en perío­
dos preoperativos...................................................................................... 10%
b) Bienes de activo fijo empleados normalmente por los diversos tipos de em­
presas en el curso de sus actividades:
1 Edificios y construcciones, salvo las viviendas que a continuación se
citan........................................................................................................... 5%
2 Ferrocarriles, carros de ferrocarril, locomotoras y embarcaciones (ex­
cepto los comprendidos en el inciso c) No. 8).......................................... 6%
Mobiliario y equipo de oficina.................................................................. 10%
4 Automóviles, camiones de carga, tractocamiones, remolques y maqui­
naria y equipo para la industria de la construcción...................................20%
5 Autobuses..................................................................................................11 %
6 Equipo periférico del contenido en el subinciso 9); perforadoras de
tarjetas, verificadoras, tabuladoras, intercaladoras y demás que no que­
den comprendidas en dicho inciso............................................................ 12%
7 Aviones (excepto los comprendidos en el inciso c) No. 9).......................17%
8 Equipo de cómputo electrónico consistente en una máquina o grupo
Métodos de depreciación 93
TABLA 6.1 Continuación.
de máquinas, interconectadas conteniendo unidades de entrada, alma­
cenamiento, computación, control y unidades de salida, usando circui­
tos electrónicos en los elementos principales para ejecutar operaciones 
aritméticas o lógicas en forma automática por medio de instrucciones 
programadas, almacenadas internamente o controladas externamente 25%
9 Dados, troqueles, moldes, matrices y herramental......................... 35%
10 Equipo destinado a prevenir y controlar la contaminación ambiental
en cumplimiento de las disposiciones legales respectivas........................ 35%
11 Equipo destinado directamente a la investigación de nuevos productos
o desarrollo de tecnología en el país......................................................... 35%
12 Equipo destinado para la conversión a consumo de combustóleo y gas
natural en las industrias............................................................................. 35%
c) Maquinaria y equipo distintos de los mencionados en el inciso anterior,
utilizados por empresas dedicadas a:
1 Producción de energía eléctrica o su distribución; transportes eléctri­
cos ............................................................................................................ 3%
2 Molienda de granos; producción de azúcar y derivados; de aceites co­
mestibles; transportación marítima, fluvial y lacustre .. ........................... 5%
3 Producción de metal (obtenido en primer proceso); productos de taba­
co y derivados del carbón natural.............................................................. 6%
4 Fabricación de vehículos de motor y sus partes; construcción de ferro­
carriles y navios; fabricación de productos de metal, de maquinaria y de 
instrumentos profesionales y científicos; producción de alimentos y 
bebidas (excepto granos, azúcar, aceites comestibles y derivados) .... 8%
5 Fabricación de pulpa, papel y productos similares, petróleo y gas na­
tural ........................................................................................................... 7%
6 Curtido de piel y fabricación de artículos de piel; de productos quími­
cos, petroquímicos y farmacobiólogos; de productos de caucho y de 
productos plásticos; impresión y publicación................................. .. 9%
7 Fabricación de ropa; fabricación de productos textiles, acabado, teñi­
do y estampado..........................................................................................11%
8 Construcción de aeronaves; compañías de transporte terrestre, de car­
ga y de pasajeros....................................................................-..................12%
9 Compañías de transporte aéreo; transmisión de radio y televisión .... 16%
d) A c tividades agropecuarias:
1 Agricultura (incluyendo maquinaria y equipo).........................................20%
2 Cría de ganado mayor............................................................................... 11%
3 Cría de ganado menor............................................................................... 25%
t’) Otras actividades no especificadas en la enumeración anterior .................. 10%
Nota-. La información contenida en esta tabla fue obtenida de la Ley del Impuesto sobre la 
Renta.
94 Consideración de impuestos en estudios económicos
Como se puede observar en la tabla 6.1,la depreciación a la que está sujeto un acti­
vo depende principalmente de su vida esperada, es decir, entre mayor sea la vida esperada 
de un activo, menor será la depreciación anual permitida.
En la tabla 6.1 se muestra el porcentaje anual del valor inicial del activo que se per­
mite depreciar. Sin embargo, existen casos especiales en que los activos pueden ser depre­
ciados en períodos relativamente cortos. Estos casos de depreciación acelerada de los 
equipos, son mecanismos que el gobierno ha puesto en marcha para fomentar el desarrollo 
industrial de zonas rurales. Además, estos casos se aplicarían más frecuentemente en 
evaluaciones económicas de nuevas plantas que se vayan a instalar en zonas no-industriali­
zadas.
Por otra parte, las reformas fiscales de 1979 a la ley del impuesto sobre la renta, 
permiten una deducción adicional por depreciación, es decir, además de la depreciación 
que se obtiene utilizando la información de la tabla 6.1, es posible deducir una cantidad 
adicional. Esta cantidad adicional se obtiene como un porcentaje de la diferencia entre 
activos financieros (cuentas por cobrar, inversiones líquidas, etc.) y pasivos. Sin embargo, 
esta deducción adicional no será considerada en los ejemplos presentados en este capítulo, 
por desconocer la estructura financiera de la empresa que adquiere el activo. Además, la 
simplificación anterior se puede justificar por el hecho de que la mayoría de las empresas 
tiene una estructura financiera tal, que su pasivo rebasa generalmente a los activos finan­
cieros.
6.3 GANANCIAS Y PERDIDAS EXTRAORDINARIAS DE CAPITAL
Cuando un activo que no forma parte de los productos que distribuye una empresa, 
es vendido, una ganancia o pérdida extraordinaria de capital puede resultar si el valor de 
venta del activo es diferente de su valor en libros. Estas ganancias o pérdidas que resultan 
de la venta de un activo, obviamente afectan los impuestos por pagar. El efecto en los im­
puestos por pagar va a depender de la magnitud de la ganancia o pérdida extraordinaria, así 
como de la tasa de impuestos que grava las utilidades de la empresa.
Anteriormente, las ganancias n pérdidas de capital se obtenían como la diferencia en­
tre el valor de rescate del activo al momento_de_la venta y su valor en libros. Sin embargo, 
a partir de las reformas fiscales de 1979, las ganancias o pérdidas de capital se deben 
obtener como la diferencia entre el valor de rescate del activo al momento de la venta y 
un costo ajustado. Este costo ajustado depende de la edad del activo y se obtiene al multi­
plicar su valor en libros por un factor de ajuste. La tabla 6.2 muestra los diferentes facto­
res de ajuste para diferentes edades del activo. Como se puede apreciar en esta tabla, entre 
mayor sea la edad del activo mayor será su factor de ajuste, es decir, si dos activos del mis­
mo tipo son comprados en dos fechas distintas, el activo comprado más recientemente 
tendrá un factor de ajuste menor.
Es obvio que esta nueva reforma fiscal beneficia no sólo a las empresas, sino también 
a las personas físicas, ya que con esta reforma las gananciasque resultan de la venta de 
acciones, terrenos y construcciones serán menores. También, es conveniente enfatizar que 
los beneficios fiscales que resultan cuando el activo es vendido por una cantidad menor 
que su valor en libros, serán mayores, puesto que la pérdida a deducir en el estado de re­
sultados de la empresa será mayor.
Ganancias y pérdidas extraordinarias de capital 95
TABLA 6.2. Factores de ajuste
Nota: La información contenida en esta tabla fue obtenida del Diario Oficial con fecha 31 de Diciem­
bre de 1984. Estos factores estarán vigentes a partir de enero de 1985.
Edad Factor Edad Factor
Hasta un año 1.00 Más de 25 años hasta 26 años 56.90
Más de 1 año hasta 2 años 1.55 Más de 26 años hasta 27 años 59.85
Más de 2 años hasta 3 años 2.8£L Más de 27 años hasta 28 años 63.42
Más de 3 años hasta. 4 años 5.57 Más de 28 años hasta 29 años 68.35
Más de 4 años hasta 5 años - — 7.17 Más de 29 años hasta 30 años 73.74
Más de 5 años hasta 6 años 9.3L¿ Más de 30 años hasta 3 1 años 82.38
Más de 6 años hasta 7 años 11.17 Más de 31 años hasta 32 años 91.74
Más de 7 años hasta 8 años 12.98 Más de 32 años hasta 33 años 91.41
Más de 8 años hasta 9 años 15.66 Más de 33 años hasta 34 años 100.16
Más de 9 años hasta 10 años 19.92*5 Más de 34 años hasta 35 años 118.17
Más de 10 años hasta 11 años 22.17 Más de 35 años hasta 36 años 122.56
Más de 11 años hasta 12 años 26.74 Más de 36 años hasta 37 años 125.33
Más de 12 años hasta 13 años 32.45 Más de 37 años hasta 38 años 125.82
Más de 13 años hasta 14 años 34.26 Más de 38 años hasta 39 años 135.82
Más de 14 años hasta 15 años 35.96 Más de 39 años hasta 40 años 179.15
Más de 15 años hasta 16 años 37.61 Más de 40 años hasta 41 años 186.49
Más de 16 años hasta 17 años 39.95 Más de 41 años hasta 42 años 256.59
Más de 17 años hasta 18 años 40,96 Más de 42 años hasta 43 años 299.14
Más de 18 años hasta 19 años ^2.T6 Más de 43 años hasta 44 años 326.33
Más de 19 años hasta 20 años 44.29 Más de 44 años hasta 45 años 328.58
Más de 20 años hasta 21 años 45.40 Más de 45 años hasta 46 años 345.44
Más de 21 años hasta 22 años 48.22 Más de 46 años hasta 47 años 353.35
Más de 22 años hasta 23 años 50.21 Más de 47 años hasta 48 años 370.98
Más de 23 años hasta 24 años 51.95 Más de 48 años hasta 49 años 463.39
Más de 24 años hasta 25 años 54.23 Más de 49 años en adelante 510.28
Para ilustrar cómo las ganancias o pérdidas de capital son evaluadas a continuación 
una serie de ejemplos son presentados.
Ejemplo 6.1
Suponga que cierta empresa compró a principios de 1964 una propiedad a un costo 
de $1,300 de los cuales $390 correspondían al terreno y $910 a edificios. También supon­
ga que esta empresa vende la propiedad a finales de 1982 por una cantidad de $20,000. Si 
la tasa de impuestos de esta empresa es del 50%, ¿cuáles serían los impuestos que se tienen 
que pagar por la ganancia de capital que resulta de la venta de la propiedad?
El impuesto por pagar sería el 50% de la diferencia entre el valor de rescate y el cos­
to ajustado de la propiedad. Para determinar el costo ajustado es necesario determinar pri­
mero el valor en libros de la propiedad al momento de la venta. Para tal propósito, de 
acuerdo a la tabla 6.1, es sabido que los edificios se deprecian a una razón del 5% anual. En 
seguida, de acuerdo a la tabla 6.2 se obtiene el factor de ajuste que corresponde a una pro­
piedad que se compró hace más de 18 años, el cual resulta ser de 42.16. Por consiguiente, 
el costo ajustado de esta propiedad sería:
$ 18,360.68
Activo
Costo
original
Depreciación
acumulada
Valor en libros 
al mom ento 
de la venta
Factor de 
ajuste
Costo
ajustado
Terreno S 390 0 $ 390.0 $ 42.16 $ 16,442.40
Edificio 910 $ 864.5 45.5 42.16 1,918.28
y los impuestos a pagar por la ganancia extraordinaria de capital serían de $819.66.
96 Consideración de impuestos en estudios económicos
6.4 TASA INTERNA DE RENDIMIENTO Y VALOR PRESENTE 
DESPUES DE IMPUESTOS
En capítulos anteriores los impuestos no eran considerados, es decir, se considera­
ba que no eran aplicables en estudios económicos. Sin embargo, de hecho sí se conside­
raban en una forma implícita, puesto que los valores fijados para TREMA eran mayores.
La determinación de la tasa interna de rendimiento después de impuestos, no puede 
determinarse de una forma directa y simple. Algunos autores mencionan que exisie una 
relación aproximada entre rendimiento después de impuestos y rendimiento antes de im­
puestos. Tal relación la expresan de la siguiente manera:
T1R después de imp. = TIR antes de imp. (1 - Tasa de impuestos)
Sin embargo, esta expresión sería válida en el caso de que la propiedad analizada sea no- 
depreciable y totalmente financiada con capital contable. La realidad es que la mayoría 
de los activos fijos que posee una empresa son depreciables y un porcentaje de ellos ha 
sido financiado con pasivo. Por consiguiente, en la práctica es más recomendable hacer 
un análisis completo de los flujos de efectivo después de impuestos que genera el proyecto 
de inversión, en lugar de obtener la TIR después de impuestos utilizando la expresión 
anterior.
Análisis después de impuestos son realizados exactamente en la misma forma que 
los análisis antes de impuestos son hechos. La única diferencia estriba en que unos flujos 
de efectivo son antes de impuestos y otros son después de impuestos. Sin embargo, para 
analizar flujos de efectivo después de impuestos es necesario primero saber cómo se deter­
minan. Por consiguiente, a continuación se muestra el procedimiento tabular que se reco­
mienda seguir en la obtención de tales flujos:
/
Año
Flujo de 
efectivo 
antes de 
impuestos Depreciación
Ingreso 
gravable
Impuestos o 
ahorros
Flujos de 
efectivo 
después de 
impuestos
(1) (2) (3) (4) = (2) + (3) (5) = -(4)t* (6) = (2) + (5)
La columna (2) contiene exactamente la misma información que se utilizaba en los análi­
sis antes de impuestos. La columna (3) muestra cómo el activo bajo consideración va a ser 
depreciado en los diferentes años que abarca el horizonte de planeación del estudio por
7= tasa de impuestos
Tasa interna de rendimiento 91
realizar. Debe ser notado que la depreciación se considera como un gasto para propósitos 
de impuestos. Sin embargo, es obvio que la depreciación no representa para la empresa un 
desembolso efectivo de dinero. La columna (4) representa el ingreso neto (costo neto) al 
cual se le aplica la tasa de impuestos para determinar los impuestos (ahorros). La columna 
(5) muestra los impuestos por pagar o los ahorros obtenidos. Es obvio, que en esta colum­
na aparecerían impuestos si el ingreso gravable es positivo, y ahorros si el ingreso gravable 
es negativo. Finalmente, en la columna (6) se muestran los flujos de efectivo después de 
impuestos, los cuales serían utilizados directamente en el análisis económico después 
de impuestos. Además, para facilidad de cómputo, cada columna de esta tabla muestra las 
operaciones aritméticas que son requeridas para su obtención. Es muy importante señalar 
que la columna (6) se obtiene sumando la columna (2) y la (5) y no la (4) y la (5). Esta 
aparente incongruencia se debe a que en estudios económicos lo que interesa son flujos de 
efectivo y no las utilidades que mostraría un estado de resultados.
Para ilustrar cómo los flujos de efectivo después de impuestos son obtenidos y los 
análisis económicos después de impuestos son realizados, a continuación una serie de 
ejemplos son presentados.
Ejemplo 6.2
Suponga que cierta empresa desea desarrollar c implantar un sistema de información 
con el cual se manejarían los movimientos de personal. Para esto, el gerente de Recursos 
Humanos de dicha empresa, ha iniciado pláticas preliminares con el gerente del Centro 
Electrónico de Cálculo, el cual considera que dicho sistema de información demandaría 
equipo adicional por valor de $500,000. Además, se piensa que se requiere un año para 
desarrollar e iniciar la operación de tal sistema. Se estima que los costos incurridos duran­
teel período de desarrollo serían de $200,000. También suponga que el nuevo sistema que 
origina gastos increméntales de $50,000, realizaría el trabajo que actualmente vienen 
haciendo 4 personas del departamento de Recursos Humanos, las cuales perciben ingresos 
anuales de $150,000 cada una. Por otra parte, dado el gran avance tecnológico de las com­
putadoras y la disponibilidad constante de nuevos equipos de hardware y software, el ge­
rente del C.E.C. considera que el nuevo sistema estaría obsoleto a finales del año 6. Además, 
esta persona considera que en ese tiempo no se tendrá ninguna recuperación monetaria 
por el equipo que demanda el nuevo sistema. Finalmente, considere que esta empresa pa­
ga impuestos a una tasa del 50% y utiliza una TREMA de 20% para evaluar sus nuevos 
proyectos de inversión.
Los flujos de efectivo después de impuestos para este ejemplo aparecen en la tabla 
6-3. En esta tabla se puede apreciar que la inversión en equipo periférico se va a depreciar 
en un período de 8.33 años (12% anual) y los gastos preoperativos en un período de 10 
años (10% anual). Es importante señalar que estos períodos de amortización se obtuvie­
ron de la información presentada en la tabla 6.1.
Por otra parte, suponga que para decidir si se acepta o se rechaza el nuevo sistema 
de información, el método de la tasa interna de rendimiento será utilizado. Por consi­
guiente, el siguiente paso a realizar es encontrar la tasa de interés que iguala a cero el valor 
presente de los flujos de efectivo después de impuestos que aparecen en la tabla 6.3. Tal 
tasa de interés resulta ser de 28.7% y puesto que es mayor que TREMA, entonces, el 
nuevo sistema deberá ser desarrollado.
98 Consideración de impuestos en estudios económicos
TABLA 6.3. Flujos de efectivo después de impuestos para el nuevo sistema de infor­
mación propuesto (miles de pesos).
Ejemplo 6.3
/
Año
Flujo de 
efectivo 
antes de 
impuestos
b
Depreciación
Ingreso
gravable
Impuestos
o ahorros
Flujo de 
efectivo 
después de 
impuestos
0 - $ 500 $ - 500
1 - 200 - 60 - 60 + 30 - 170
2-5 550 - 80 470 -235 315
6 550 -220* 330 -165 385
7 — - 20 - 20 10 10
8 — - 20 - 20 10 10
9 — - 20 - 20 10 10
10 — - 20 - 20 10 10
11 - - 20 - 20 10 10
(3) C3 UJ V)
Suponga que una institución bancaria desea instalar una red de teleproceso, con la 
cual se conectarían a la matriz todas las sucursales distribuidas en el país. Con esta nueva 
red de teleproceso la alta dirección de esta institución piensa resolver los grandes proble­
mas por los cuales actualmente atraviesa. Uno de los principales problemas a los que se en­
frenta la institución es la captación lenta y poco confiable de la información proveniente de 
las sucursales (la información se envía usando el servicio de valija). Obviamente con esta 
nueva red, se piensa que la información se podrá captar y transmitir más rápidamente de un 
lugar a otro. Además, con esta red se podrán generar los reportes financieros que tan 
frecuentemente demandan los altos directivos en una forma más precisa, más confiable, 
más periódica y más oportuna.
Por otra parte, considere que dada la alta importancia y la gran inversión que este 
proyecto representa, la alta dirección ha decidido encargar el estudio de este proyecto a 
un grupo de personas. Suponga que estas personas ya han iniciado las investigaciones per­
tinentes con diferentes proveedores de equipo, y han resumido la información recolectada 
en la forma como aparece en la tabla 6.4. También, suponga que la alta dirección ha mani­
festado en repetidas ocasiones que el horizonte de planeación en este tipo de proyectos
♦220 = 60 (depreciación del equipo periférico) 4- 140 (pérdida en la venta del equipo periférico) 4- 20 
(amortización de los gastos preoperativos). Además, se considera que la tasa de impuestos es la misma 
para utilidades (pérdidas) ordinarias y extraordinarias.
Tasa interna de rendimiento 99
no debe ser ma^or de 5 años, dado el gran avance tecnológico de las computadoras y la 
disponibilidad constante de nuevos equipos de hardware y software. Además, considere 
que esta institución deprecia este tipo de equipo en 4 años, y amortiza los gastos preope­
rativos (arranque y desarrollo) en 10 años. Finalmente, asuma que esta institución paga 
impuestos a una tasa del 50% y utiliza una tasa de interés de 25% para evaluar los nuevos 
proyectos de inversión.
TABLA 6.4. Costos de diferentes proveedores de equipo (miles de pesos).
Proveedor
A B C
Inversión en equipo $ 2,000 $ 2,500 $ 3,000
Arranque y desarrollo 700 500 400
Operación y transmisión 800 600 500
Valor de rescate 400 500 600
Para esta información, la tabla 6.5 muestra los flujos de efectivo después de im­
puestos de cada una de las alternativas consideradas. De acuerdo a estos flujos, el valor 
presente (miles de pesos) de cada alternativa sería:
VPNC = - $3,017
= 2,700
(1-25) (1.25)2 (1.25)3 (1.25)4 (1.25)!
vpna = - $2,995
VPNd = - 3,000 + 37 + 37 + 37 + 37 4 +
42
D (1.25) (1.25)2 (1.25/ (1.25)4 (1.25)s
vpnb = -$2,899
VPNC - _ 3,400 +
145 .+ 145 + 145 + +
124
(1-25) (1.25)2 (1.25)3 (1.25)4 (1.25)5
lo cual significa que la alternativa B debe ser seleccionada, es decir, el equipo requerido 
por la nueva red de teleproceso deberá ser comprado al proveedor B.
100 Consideración de impuestos en estudios económicos
TABLA 6.5. Flujos de efectivo después de impuestos para cada una de las tres al­
ternativas consideradas (miles de pesos).
/
Flujo de 
efectivo 
antes de
Año impuestos Depreciación
Ingreso 
gravable A horros
Flujo de 
efectivo 
después de 
impuestos
Proveedor A
0 - $2,700* - $2,700
1 - 800 - 570 - 1,370 685 1 15
2 - 800 - 570 - 1,370 685 115
3 - 800 - 570 - 1,370 685 1 15
4 - 800 - 570 - 1,370 685 1 15
5 - 800 - 70 - 870 435 365
5 400 2942 ■J ■
Proveedor B
0 -$3,000 -$3,000
1 - 600 - 675 - 1,275 637 37
2 - 600 - 675 - 1,275 637 37
3 - 600 - 675 - 1,275 637 37
4 - 600 - 675 - 1,275 637 37
5 - 600 - 50 - 650 325 275
G~+5 500 317
Proveedor C
0 - $3,400 - $ 3,400
1 - 500 - 790 - 1,290 645 + 145
2 - 500 -790 - 1,290 645 4- 145
3 - 500 -790 - 1,290 645 4- 145
4 - 500 - 790 - 1,290 645 4- 145
5 - 500 - 40 - 540 270 230 1
5 600 354
■ i......... Z-i
Ejemplo 6.4
Suponga que cierta corporación desea incursionar en un nuevo negocio cuya inver­
sión inicial requerida es de $100,000,000 (70 millones de activo fijo y 30 millones de 
activo circulante). Asimismo, suponga que el activo fijo se va a depreciar en línea recta en 
un período de 5 años, y que el valor de rescate al final de los 5 años es un 20% del activo
1 incluye la inversión en equipo y los gastos prcopcrativos de arranque y desarrollo.
2 Incluye el valor de rescate después de impuestos (400-0.5 (400)) y el valor presen­
te de los beneficios fiscales de los gastos preoperativos amortizados en los últimos 5 
años (6-10).
Certificados de pro moción fiscal 101
fijo y un 100% del activo circulante. Si los flujos de efectivo que se esperan de este pro­
yecto antes de depreciación e impuestos son de 45 millones, la tasa de impuestos es de 
50% y la TREMA utilizada es de 20%, ¿debería la corporación emprender este nuevo 
proyecto de inversión?
La diferencia de este ejemplo con los anteriores, estriba en el hecho de que en este 
caso particular se está suponiendo que el nuevo proyecto de inversión requiere de una 
inversión adicional en activo circulante. Esta situación es más real puesto que todo 
proyecto de inversión trae consigo un aumento en las necesidades de activo circulante 
(caja, cartera, inventarios, etc.). También, en este ejemplo se supone que el activo circu­
lante puede ser recuperado en un 100% al término del horizonte de planeación considera­
do. Finalmente, conviene señalar que en el ejemplo se consideran inversiones en activo 
circulante y no en capital de trabajo. La razón de esto como más adelante se verá (capítu­
lo 12), es muy obvia, puesto que es necesario distinguir y hacer en forma separada las 
decisiones de inversión y las decisiones de financiamiento.
Tomandoen cuenta las consideraciones anteriores y la información presentada en el 
ejemplo, la tabla 6.6 muestra los flujos de efectivo después de impuestos que se esperan 
obtener con el nuevo proyecto. De acuerdo a estos flujos, el valor presente neto del pro­
yecto sería:
- 100,000 + 29,500 (P/A, 20%, 5) + 37,000 (P/F, 20%, 5) = 3,099 
y puesto que este valor es positivo, el proyecto debe ser emprendido.
TABLA 6.6. Flujo de efectivo después de impuestos (miles de pesos).
A no
Flujo de 
efectivo 
antes de 
impuestos
Depre­
ciación
Ingreso
gravable Impuestos
Flujo de 
efectivo 
después de 
impuestos
0 - $ 100,000 — $ 100.000
1 45,000 - 14,000 31,000 - 15,500 29,500
2 45,000 - 14,000 31,000 - 15,500 29,500
3 45,000 - 14,000 31,000 - 15,500 29,500 /
4 45,000 - 14,000 31,000 - 15,500 29,500
5 45,000 - 14,000 31,000 - 15,500 29,500
5 44,000 - 7,000* 37,000
ZL _
6.5 CERTIFICADOS DE PROMOCION FISCAL (CEPROFI)
En las últimas décadas, el país ha logrado un ritmo de crecimiento económico ade­
cuado. Sin embargo, este crecimiento se ha concentrado sectorial y regionalmente en un
*Corresponden al impuesto que se paga por la ganancia extraordinaria del activo fijo ($14,000,000).
102 Consideración de impuestos en estudios económicos
número reducido de ciudades del territorio nacional. Además, se han generado graves 
desequilibrios reflejados en un desordenado crecimiento de los centros de población, en la 
inadecuada distribución de la población en el territorio nacional y en el incremento incon­
trolable del fenómeno de migración de la población hacia ciertas regiones del territorio 
nacional.
Para eliminar o reducir en cierto grado lós problemas antes señalados, el gobierno a 
través de la Secretaría de Hacienda y Crédito Público, ha introducido una serie de reformas 
fiscales entre otras, los certificados de promoción fiscal (CEPROFI). Estos incentivos 
fiscales que fueron introducidos en 1979, tienen como objetivo: aumentar el empleo, 
promover la inversión, impulsar el desarrollo de la mediana y pequeña industria, fomentar 
la producción de bienes de capital, propiciar la mayor utilización de la capacidad instalada, 
promover un desarrollo regional equilibrado y la promoción de exportaciones.
Un resumen de los nuevos estímulos fiscales, se muestra en lá tabla 6.7. Como se 
puede observar en esta tabla, los estímulos fiscales dependen básicamente de dos cosas: 
Del tipo de industria en que se está o se desea invertir y del lugar donde se está o se 
pretende ubicar. Por otra parte, la magnitud de los beneficios fiscales, depende de:
fl
I
IIw
• Inversión. La realización de inversiones de empresas industriales destinada a 
iniciar o ampliar una actividad prioritaria dará lugar al otorgamiento de un crédito 
contra impuestos federales, cuyo importe se determinará aplicando al monto de 
las inversiones beneficiadas, el porcentaje que corresponda de la aplicación de las 
bases que a continuación se señalan:
Actividad 
industrial 
prioritaria
Ubicación
de las 
inversiones
Porcentaje 
de 
estímulos
A. En cualquier lugar del 
territorio nacional excepto
20%
Categoría 1. en la Zona III.
B. En la Zona III B, sólo 
ampliaciones.
20%
A. En la Zona I.
B. En la Zona II? ^iWo
Categoría 2. C. En el resto del país, 
excepto en la Zona III
A, sólo amplificaciones.
10%
los estímulos fiscales que se muestran en la tabla anterior, se determinan toman­
do como base la inversión total en activo fijo.
• Empleo. Toda actividad industrial destinada a iniciar o ampliar una actividad 
prioritaria, que redunde en nuevos empleos generados o en el establecimiento de 
tumos adicionales de trabajo, dará lugar a un crédito contra impuestos federales, 
equivalente al 20% del salario mínimo anual de la zona económica correspon­
diente, multiplicado por el número de empleos generados directamente por la 
inversión. Este estímulo se otorgará durante dos años, y su monto se calculará 
sobre una base anual.
TABLA 6.7. Plan de estímulos fiscales.
BENEFICIOS FISCALES
PEQUEÑA INDUSTRIA
TODA LA INDUSTRIA 
MANUFACTURERA
TODAS LAS ACTIVIDADES 
ECONOMICAS
PLAN NACIONAL DE DESARROLLO INDUSTRIAL
ZONA IA 
Desarrollo
portuario 
industrial
Zona IB 
Desarrollo
urbano 
industrial
ZONA II 
Prioridades
estatales
RESTO
DEL
PAIS
ZONA III B 
Area de 
consolidación
ZONA III A 
Crecimiento
controlado
20% 20% 20% 20% 20%
No hay 
estímulode la inversión
de la inversión 
para ampliación
20% 20% 20% 20% 20%
No hay 
estímulodel empleo generado por la inversión
15% 15% 10% 10% 10%
No hay 
estímulode la inversión de la inversión para ampliación
20% 20% 20% 20% 20%
No hay 
estímulodel empleo generado por la inversión
25% 25% 25% 25% 25%
• No hay 
estímulode la inversión de la inversión para ampliación
20% 20% 20% 20% 20%
No hay 
estímulodel empleo generado por turnos adicionales
5% 5% 5% 5% 5% 5%
x de la adquisición de bienes de capital nacionales y nuevos
C
ertificados de prom
oción fiscal 103
104 Consideración de impuestos en estudios económicos
• Maquinaria. La adquisición de maquinaria y equipos nuevos de producción 
nacional que formen parte del activo fijo de las empresas, destinadas al des­
arrollo de cualquier actividad económica en el territorio nacional, dará origen 
a un crédito contra impuestos federales, equivalente al 5%del valor de adquisición 
de dichos bienes.*
Finalmente, conviene señalar que el período que la Secretaría de Hacienda y Crédito 
Público otorga para la bonificación de los estímulos fiscales, tiene una duración máxima 
de 5 años. Sin embargo, el plazo para acreditar los estímulos fiscales, depende del tipo de 
inversión, de la actividad industrial y de la ubicación de la Planta.
Ejemplo 6.5
Un grupo industrial desea incursionar en el negocio de industrialización de frutas y 
legumbres. Para hacer uso de ciertas franquicias fiscales, el grupo piensa instalar la nueva 
planta en Linares, N.L., el cual está catalogado como Zona II. La inversión requerida por 
este huevo negocio se estima en:
Activo fijo:
Edificio
Maquinaria*
Mobiliario
Terreno
Activo circulante:
Activo total
$ 13,200,000
16,500,000
990,000
1,310,000
$ 32,000,000
8,000,000
$ 40,000,000
Los gastos esperados anuales se estiman en:
Materia prima
Sueldos y salarios**
G.G. de fabricación
$ 19,800,000
20,000,000
5,200,000 
$ 45,000,000
Si los ingresos anuales que generará este negocio son de 65 millones, la TREMA es- 
de 20%, la tasa de impuestos es de 50%, el valor de rescate en el año 10 es un 10% del ac­
tivo fijo más un 100% del activo circulante. ¿Debería este grupo emprender este proyecto 
de inversión?
Para esta información, los estímulos fiscales serían:
♦En Junio de 1981, se publicó en el diario oficial una modificación que permite un crédito contra 
impuestos federales del 15% del valor de adquisición de los bienes, si los fabricantes se encuentran 
inscritos en un programa de fomento otorgado por la secretaría de patrimonio y fomento industrial 
(SEPAFIN).
♦El 50% de la maquinaria es de importación y el resto es nacional, y además se asume que el fabrican­
te no está inscrito en el programa de fomento.
**La nueva empresa se estima que generará 40 empleos de mano de obra directa e indirecta.
Depreciación acelerada 105
• Inversión. Puesto que la inversión en activo fijo es.
Activo fijo: I
Edificio
Maquinaria
Mobiliario
Terreno
Total
/
$ 13,200,000 
16,500,000 
990,000
1,310,000
$ 32,000,000
El estímulo fiscal a que da origen esta inversión sería de $6,400,000.
• Empleo. Si se considera un salario mínimo anual en la zona de $360,000, en­
tonces, el estímulo fiscal a que da origen la creación de 40 empleos sería de 
$2,880,000. Puesto que este estímulo se otorga durante dos años, se estima que 
esta mismacantidad se bonifica en el primer y segundo año de operación de la 
empresa.
• Maquinaria. Puesto que la inversión en maquinaria nacional es de $8,250,000, 
entonces, el estímulo fiscal a que da origen esta inversión sería de $412,500. Ade­
más, esta cantidad se considera que se acreditaen el primer año de operación déla 
empresa.
Tomando en cuenta las bonificaciones anteriores, la tabla 6.8 muestra los flujos de 
efectivo después de impuestos que origina esta inversión. Para estos flujos de efectivo, el 
valor presente resulta ser de $19,402,350. Puesto que el valor presente es positivo, enton­
ces, se justifica emprender el nuevo proyecto de inversión.
TABLA 6.8. Flujo de efectivo de impuestos (Miles de Pesos).
Ano
Flujo de 
efectivo 
antes de 
impuestos Depreciación1
Ingreso 
gravable Impuestos CEPROFIS
Flujo de 
efectivo 
después de 
impuestos
0 - $ 40,000 - $ 40,000.00
1 20,000 - 2,409 17,591 - 8,795.5 9,692.5 20,897.00
2 20,000 - 2,409 17,591 - 8,795.5 2,880.0 14,084.50
3-10 20,000 - 2,409 17,591 - 8,795.5 11,204.50
10 11,200 + 3,355.02 14,555.00
6.6 DEPRECIACION ACELERADA
Una de las reformas fiscales más importantes que entraron en vigor en 1984 fue, sin 
lugar a dudas, el otorgamiento de la depreciación acelerada en las nuevas inversiones rea­
lizadas. Las inversiones que se realicen en 1984 tendrán derecho a una depreciación del
1 La depreciación se asume en 10% de la maquinaria y mobiliario, y en 5 % del edificio.
2 Para esta situación no se toma en cuenta el costo ajustado porque en el ejemplo no se considera la in­
flación. La perdida fiscal es de $3,200 — $9,910.00 = — $6,710.
106 Consideración de impuestos en estudios económicos
75%; las que se hagan en 1985 tendrán derecho a un 50% y, por último, las que se realicen 
en 1986 gozarán de un 25%, o de un 50% si se realizan en Zonas de Máxima Prioridad 
Nacional.
Sobre los tipos de inversiones que tienen derecho al estímulo, se incluyen todas las 
inversiones en activos fijos, con excepción de las inversiones en terrenos (que no se depre­
cian) y las referentes a mobiliario y equipo de oficina.
En cuanto a los requisitos que hay que cumplir para tener derecho ál estímulo se 
pueden mencionar los siguientes:
• Que sean bienes nuevos o que no hayan sido utilizados y que además se adquie­
ran directamente del fabricante o de personas que realicen actividades comercia­
les. Lo anterior significa que los bienes importados tienen derecho al estímulo 
aunque sean usados.
• Que las empresas no gocen de ningún estímulo o subsidio sobre sus bienes de 
activo fijo o porja realización de sus actividades. Cabe señalar que la aplicación 
de este estímulo no se puede aplicar conjuntamente con los CEPROFIS, es de­
cir, la empresa deberá seleccionar de acuerdo con un análisis económico, cuál de 
los dos estímulos fiscales (depreciación acelerada y CEPROFIS) representa ma­
yores ventajas económicas en las nuevas inversiones que realice.
• Que los bienes que vayan a gozar de estímulo, permanezcan en el activo fijo du­
rante los cinco ejercicios siguientes a aquel en que se adquirieron,£on excepción 
de aquellos bienes en que la ley establece un factor de depreciación superior al 
15%. En estos casos la permanencia exigida se reduce a tres años.
También es necesario señalar que si la aplicación de este estímulo fiscal origina que 
la empresa incurra en pérdida fiscal, ésta podrá amortizarse en los cinco ejercicios poste­
riores.
Finalmente, conviene describir el procedimiento para depreciar el saldo remanente, 
que queda después de haber aplicado el estímulo, el cual se obtiene de acuerdo con la si­
guiente expresión:
donde:
„ (1-A0
d = --------------n
y
d = % de depreciación anual del bien.
n' = Número de ejercicios donde se deprecia el saldo remanente de la inversión. 
Da = % de depreciación acelerada autorizada.
d’ = % de depreciación anual corregida.
Problemas 107
Ejemplo 6.6
Considere que la inversión requerida por el proyecto presentado en el ejemplo 6.5, 
fue realizada a principios de 1984. Si toda la demás información es similar, ¿qué estímulo 
fiscal seleccionaría?
Para esta información, primeramente es qecesario determinar la depreciación anual 
que resulta en condiciones normales y la depreciación anual acelerada:
Año
Depreciación
normal (miles)
Depreciación
acelerada (miles)
1 S 2,409. $ 23,017.50
2-10 2,409. 659.51
11-20 660. 173.68
De acuerdo con la tabla anterior, el beneficio fiscal de la depreciación acelerada 
sería:
Beneficio fiscal = 0.5 {[23.017.5 (P/F, 20%. 1) + 659.51 (P/^,.20%, 9) (P/F, 20%, 1) 
+ 173.68 (P/A, 20%, 10) (P/F, 20%, 10]
- [ 2,409 (P/A, 20%, 10) 4- 660 (P/A, 20%, 10) (P/F, 20%, 10)]}
Beneficio fiscal = 0.5 [21,513 - 10,546] = 5.483.500
Puesto que el beneficio fiscal de los CEPROFIS es mayor, entonces no se justifica utilizar 
depreciación acelerada, y por consiguientes-la solución de este-problema es-la presentada 
en el ejemplo 6.5.»
Finalmente, es necesario señalar quemo todas las inversiones que emprende una em­
presa pertenecen a un nuevo proyecto de inversión. Lo anterior significa que, en estos ca­
sos específicos (automóviles por ejemplo), la empresa optará por depreciar estos activos 
de acuerdo con las tasas de depreciación acelerada que prevalezcan en el momento de ad­
quirirlos.
PROBLEMAS
6.1. Equipos utilizados en una determinada operación son evaluados periódicamente. 
El método de análisis compara el valor actual del activo con el valor presente de 
los flujos de efectivo que el equipo generará en el-futuro/ En base a este análisis, 
se puede continuar con el equipo^ venderlo o reemplazarlo por una unidad más 
eficiente.
Si se utiliza una TREMA de 25% y una tasa de impuestos de 50%, ¿con cuál de 
los siguientes equipos se recomienda seguir operando? (Suponga que los equipos 
se compraron hace tres años y que de acuerdo a la ley del impuesto sobre la renta 
se deben depreciar en un período de 10 años).
108 Consideración de impuestos en estudios económicos
6.4.
,6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
Equipo I Equipo II
Costo original
Depr. acumulada
Valor en libros (actual)
Valor realizable (actual)
Vida remanente
$ 200,000 $ 500,000
60,000 150,000
140,000 350,000
190,000 250,000
7 años 7 años
Valor de rescate
Ingresos netos del año K 
(Asuma K = 0 para el año 3)
20,000 „ 60,000
30,000 (1.08)Á’_1 60,000 (1.1)^-1
Considere que cierta compañía compró hace 5 años una propiedad a un costo de 
$5,000,000 de los cuales $1,000,000 correspondían al terreno y $4,000,000 a edifi­
cios y construcciones. Asimismo suponga que esta compañía vende la propiedad 
ahora en una cantidad de $30,000,000. Si la tasa de impuestos de esta compañía 
es el 50% ¿cuáles serían los impuestos que se tienen que pagar por la ganancia de 
capital que resulta de la venta de la propiedad? (Estime que los edificios y las cons­
trucciones se deprecian en un período de 20 años.)
Resolver el problema 3.3 suponiendo que el período de depreciación de las má­
quinas es de 10 años y la tasa de impuestos es de 50%. (Utilice el método del valor 
anual.)
Resolver el problema 3.5 suponiendo una tasa de impuestos de 40%, y un período 
de depreciación de las máquinas de 5 años. (Utilice el método del valor presente.) 
Resolver el problema 3.6 suponiendo que: 1) La cuota diaria es de $2,000, 2) La 
razón de ocupación diaria es de 90%, 3) La tasa de impuestos es de 50%, 4) Los 
edificios del hotel se deprecian en un período de 20 años y 5). Los muebles y equi­
po de oficina se deprecian en un período de 10 años. (Utilice el método de la TIR.) 
Resolver el problema 3.7 suponiendo una tasa de impuestos de 40%, y un período 
de depreciación para las bombas de 5 años. (Utilice el método de la TIR.)
Resolver el problema 3.10 suponiendo que: 1) El equipo actual se deprecia en 
un período de 10 años, 2) El equipo actual se compró hace 2 años a un costo de 
$300,000, 3) La renta en caso de que el equipo sea arrendado es totalmente dedu- 
cible, 4) El equipo nuevo se deprecia en un período de 10 años y 5) La tasa de 
impuestos es de 50%. (Utilice el método del valor presente con un enfoque incre- 
mental.)
Resolver el problema 3.11 suponiendo que: 1) Las computadoras se deprecian en 
un período de 4 años y 2) La tasa de impuestos es de 40%. (Utilice el método del 
valor anual equivalente.)
Ciertacompañía se encuentra analizando un nuevo proyecto de inversión. Dicho 
proyecto de inversión requiere de una inversión inicial en activo fijo de $5,000,000 
y de una inversión inicial en activo circulante de $2,500,000. El horizonte de pla- 
neación que utiliza esta compañía para evaluar sus proyectos de inversión es de 10 
años. Al término de este tiempo la compañía estima que va a recuperar un 12% de 
la inversión inicial en activo fijo y un 100% de la inversión inicial en activo circulante. 
Por otra parte, la compañía estima que la capacidad inicial instalada sería utiliza­
da en su totalidad durante el año 5. Por consiguiente, la compañía piensa que para 
satisfacer la demanda creciente de los últimos 5 años, es necesario hacer al final 
del año 5 una inversión adicional en activo fijo de $2,000,000, y una de $ 1,000,000
Problemas 109
en activo circulante. Además, la compañía estima que los ingresos y costos en los pri­
meros 5 años serían de 54,000,000 y $2',000,000 respectivamente ;y de $6,000,000 
y $3,000,000 en los últimos 5 años. Si la TREMA de esta compañía es de 25%, su 
tasa de impuestos de 40%, y las inversiones en activo fijo se deprecian en un pe­
ríodo de 10 años, ¿debería esta compañía emprender este nuevo proyecto de inver­
sión? (considere que los valores de rescate en el año 10, de las inversiones hechas 
en el año 5, son 20% del activo fijo y 100% del activo circulante.)
6.10. La alta administración de una compañía ha decidido introducir al mercado un 
nuevo producto a un precio de $200 por unidad. De acuerdo a investigaciones pre­
liminares del mercado, la compañía estima que la demanda anual para este nuevo 
producto sería de 50,000 unidades. Por otra parte, la compañía se encuentra ana- 
.lizando dos tipos de equipo que podrían ser utilizados en la producción de este 
nuevo producto. Con el primer tipo, solamente se pueden producir 10,000 unidades 
al año. Por consiguiente, si este tipo de equipo es adquirido, sería necesario com­
prar cinco equipos idénticos para poder garantizar satisfacerla demanda anticipada. 
El costo de cada uno de estos equipos es de $2,000,000, su vida útil se estima en 5 
años, su valor de rescate al término de 5 años es despreciable y su período de de­
preciación es de 5 años. Los costos de operación de cada uno de estos equipos es 
como sigue:
Capacidad de producción/año
Razón d,e producción/hora
10,000 unidades
5 unidades
Costos por unidad de producto:
Materiales directos s $ 40
Accesorios 10
Costos por hora de operación:
w
Mano de obra 20
Mantenimiento 10
Energía 10
Costos fijos por año 50,000
Con el segundo tipo de equipo es posible producir 50,000 unidades de producto al
^ño. El costo de este equipo es de $12,000,000, su vida útil se estima en 5 años, su 
valor de rescate al término de estos cinco años es de $1,500,000, y su período de 
depreciación es de 5 años. Los costos de operación para este equipo son como sigue:
Capacidad de producción/año 50,000 unidades
Razón de producción/hora 25 unidades
Costos por unidad de producto:
Materiales directos $ 40
Accesorios 10
Costos por hora de operación
Mano de obra 20
Mantenimiento 5
Energía 15_.
Costos fijos por año 20,000
110 Consideración de impuestos en estudios económicos
Además, la alta administración estima que si el nuevo producto se lanza al merca­
do, una inversión adicional en activo circulante de $3,000,000 es requerida, la cual 
sería totalmente recuperada al final del año 5. Si la TREMA de esta compañía es 
de 30%, su tasa de impuestos de 50%, ¿debería la compañía producir este nuevo 
producto?
6.11. La corporación X desea invertir en un nuevo negocio cuya inversión inicial reque­
rida es de $200 millones (150 millones de activo fijo y 50 millones de activo cir­
culante). Esta corporación estima que los flujos de efectivo que se esperan de este 
proyecto antes de depreciación e impuestos son de $ 100 millones para el primer 
año y se espera que estos flujos crezcan en lo sucesivo a una razón del 20% anual.
Puesto que los ingresos crecen a una razón anual del 20%, la corporación ha esti­
mado que sus necesidades adicionales de activo circulante también crecerán en lo 
sucesivo a una razón del 20% anual. Además se sabe que el período de deprecia­
ción de los activos fijos es de 10 años, y el valor de rescate al término de este 
período se estima en un 10% del activo fijo y un 100% del activo circulante acu­
mulado. Si la tasa de impuestos es de 50% y la TREMA que utiliza para eva­
luar nuevos proyectos es de 25%, ¿debería la corporación X aceptar este nuevo 
proyecto de inversión?
6.12. La compañía Z produce 40,000 unidades/año de un cierto producto. El costo de 
producción de estas unidades se desglosa como sigue:
Materiales directos $ 40
Mano de obra directa 7
G.G. de fabricación var. __________3
Costo unitario variable 50
Actualmente esta compañía tiene la posibilidad de comprar este producto a un 
precio unitario de $55. Si la compañía decide comprar a un proveedor este pro­
ducto, el equipo actual que se utiliza para producirlo puede ser vendido en $350,000 
(considere que este valor coincide con el valor en libros) Además, la compañía es­
tima que la vida remanente para el activo es de 5 años, su valor de rescate al térmi­
no de este tiempo es despreciable, y su depreciación anual es de $70,000. Si la tasa 
de impuestos es de 50% y la TREMA es de 30%, ¿debería Ja compañía/ contL 
nuar produciendo dicho producto?
6.13. El grupo industrial “B” desea emprender un nuevo negocio relacionado con la 
fabricación de harina de soya y trigo (categoría 1). Para hacer uso de ciertas fran­
quicias fiscales, el grupo piensa instalar la nueva planta en Piedras Negras, Coahuila, 
el cual está catalogado como zona 1. La inversión requerida por este nuevo negocio 
se estima en:
Problemas 111
Activo fijo:
Edificio 
Maquinaria*
Mobiliario 
Terreno
Activo circulante: 
Activo total:
Y los gastos anuales en:
Materia prima
Sueldos y salarios 
G.G. de fabricación
$ 8,800,000
11,000,000
1,100,000
1,000,000
21,900,000
6,000,000
27,900,000
13,200,000
9,900,000
3,900,000
27,000,000
Si los ingresos anuales que generará este negocio son de S45 millones, la TREMA 
es de 25%, la tasa de impuestos es el 5(3%, el valor de rescate en el año 10 es un 
10% del activo fijo más un 100% del activo circulantes ¿debería este grupo empren­
der el nuevo proyecto de inversión? (Considere que la nueva empresa va a generar 
100 empleos y que el salario mínimo de la zona es de S360,000 anuales. Además, 
suponga que la maquinaria y el mobiliario se deprecian un 10% anual y el edificio 
un 5% anual).
*£l 20% de la maquinaria es de ’mpoitación, y el fabricante de equipo nacional está inscrito 
en el programa de fomento de SEPAFIN.
7
Técnicas de análisis en estudios de 
reemplazo
La formulación de un plan de reemplazamiento juega un papel muy importante en 
la determinación de la tecnología básica y el progreso económico de una empresa. Un 
reemplazamiento apresurado o indebido origina en la empresa una disminución en su capi­
tal y por lo tanto una disminución en la disponibilidad de dinero para emprender proyectos 
de inversión más rentables. Por otra parte, un reemplazamiento retardado origina excesivos 
costos de operación y mantenimiepto para la empresa. Es por estas razones que toda em­
presa debe de establecer una política eficiente de reemplazo para cada uno de los activos 
que utiliza. No hacerlo, significa estar en desventaja con respecto a las empresas competi­
doras que sí han establecido políticas efectivas y económicas de reemplazo.
7.1 CONSIDERACIONES DE UN ESTUDIO DE REEMPLAZO
7.1.1 Causas que originan la necesidad de un estudio de reemplazo
Las causas principales que llevan al reemplazo de un activo se pueden clasificar como: 
insuficiencia e ineptitud, mantenimiento excesivo, eficiencia decreciente y antigüedad. 
Cualquiera de las causas anteriores puede indicar la necesidad de un estudio de reemplazo, 
sin embargo, por lo general son dos o más causas las queindican la urgencia de tal estudio.
A. Reemplazo por insuficiencia
Un activo físico cuya capacidad sea inadecuada para prestar los servicios que se es­
peran de él, es un candidato lógico para la substitución. Por ejemplo, suponga que una 
empresa compró hace dos años una mini-computadora con la cual se pretendía resolver 
principalmente el problema de la nómina. También suponga que actualmente esta empresa 
ha crecido considerablemente, por lo cual nuevos sistemas de información tales como: 
distribución del producto, inventarios, altas y bajas de personal, etc., requieren ser mane­
jados por medio de una computadora. En este caso, el factor a tomar en cuenta al estudiar 
113
114 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo 
el reemplazo de la computadora, es la insuficiencia. Aunque la computadora que la em­
presa tiene en este momento es moderna, eficiente y se encuentra en magníficas condicio­
nes, es imperativo estudiar su reemplazo por la necesidad de mayor capacidad.
B. Reemplazo por mantenimiento excesivo
En muy pocas ocasiones se dañan al mismo tiempo todas las partes de una máquina. 
La experiencia ha demostrado que es económico reparar muchos tipos de activos para 
mantener y extender su utilidad. Sin embargo, puede llegar un momento en que los de­
sembolsos por las reparaciones de la máquina se hacen tan excesivos, que vale la pena hacer 
un análisis cuidadoso para determinar si el servicio requerido podría ser suministrado más 
económicamente con otras alternativas.
C. Reemplazo por eficiencia decreciente
Generalmente, un equipo trabaja con máximo rendimiento en los primeros años de 
su vida, y este rendimiento va disminuyendo con el uso y edad. Por ejemplo, un motor 
de gasolina alcanza generalmente su rendimiento máximo después de un cierto período de 
ajuste, con posterioridad al cual su rendimiento disminuye a medida que se deterioran los 
cilindros, pistones, anillos, carburador y el sistema de encendido.
Cuando los costos que origina la ineficiencia de operación de una máquina son ex­
cesivos, conviene investigar si existen otras máquinas en el mercado con las cuales se pueda 
obtener el mismo servicio a un costo menor.
D. Reemplazo por antigüedad (obsolescencia)
La obsolescencia surge como el resultado del mejoramiento continuo de los activos, 
es decir, en el mercado siempre existirán activos con características tecnológicas más ven­
tajosas que las de los activos actualmente utilizados. Con frecuencia el mejoramiento tec­
nológico es tan rápido que resulta económico reemplazar un activo en buenas condiciones 
de operación. Por consiguiente, la obsolescencia se caracteriza por cambios externos al 
activo, y es utilizado como una razón para justificar el reemplazo cuando éste se considere 
necesario y conveniente.
E. Reemplazo por una combinación de factores
En la mayoría de los casos es una combinación de factores, más que una sola causa, 
lo que conduce al reemplazo. A medida que aumenta la edad del equipo, es de esperar que 
disminuya su eficiencia y rendimiento mientras aumenta el mantenimiento requerido. 
Además, entre más antiguo sea un equipo, más modernos y ventajosos serán los equipos 
disponibles en el mercado.
Independientemente de la causa o combinación de causas que llevan a un estudio de 
reemplazo, el análisis y la decisión deben de estar basadas en estimativos de lo que ocurrirá 
en el futuro. El pasado no debe tener importancia en este análisis, es decir, el pasado.es 
irrelevante.
pasado.es
Consideraciones de un estudio de reemplazo 115
7.1.2 Factores a considerar en un estudio de reemplazo
En un análisis de reemplazo es necesario considerar una serie de factores sin los cua­
les la decisión a la que se llega con tal estudio, no produce los resultados deseados. A con­
tinuación se explican brevemente algunos de estos factores.
A. Horizonte de planeación
El horizonte de planeación en un estudio de reemplazo, es el lapso de tiempo futuro 
que se considera en el análisis. A menudo, un horizonte de planeación infinito es usado 
cuando es difícil o imposible predecir cuándo la actividad bajo consideración será termi­
nada. Sin embargo, es importante señalar que tal suposición no es muy adecuada, puesto 
que es muy difícil predecir las ventajas tecnológicas que tendrán los equipos en un futuro 
distante con respecto a los equipos actualmente utilizados. Además, los flujos de efectivo en 
un futuro muy distante es muy probable que se comporten de manera muy diferente a 
os actuales. Por otra parte, sobre todo cuando la duración del proyecto es predecible, es 
más realista y se recomienda basar el estudio en un horizonte de planeación finito.
B. La tecnología
Es muy importante en un análisis de reemplazo, sobre todo para ciertos tipos de 
equipos, considerar las características tecnológicas de los equipos que son candidatos a 
reemplazar a aquellos bajo análisis. No hacerlo, supone que los equipos futuros serán igua­
les a los actualmente utilizados, y esto implica que no hay progreso tecnológico para ese 
tipo de equipo. Sin embargo, es más realista esperar alguna obsolescencia del equipo viejo 
con respecto a los nuevos equipos disponibles. El ejemplo prototipo para esta situación 
son las computadoras, las cuales continuamente se están mejorando a un ritmo bastante 
acelerado, es decir, nuevas computadoras con mayor capacidad de Hardware y Software 
originan que las computadoras que se usan actualmente estén en amplia desventaja. En 
tales situaciones, vale la pena analizar si la reducción en tiempo y el aumento de eficien­
cia de la nueva computadora justifican reemplazar a la actual.
C. Comportamiento de los ingresos y los gastos
Es práctica común asumir que el comportamiento de los ingresos y los gastos a lo 
largo del horizonte de planeación es constante, o bien, en algunas ocasiones se estima que 
tienen un comportamiento lineal ascendente o descendente. Sin embargo, es muy impor­
tante señalar que cuando se ha detectado un cierto patrón de comportamiento en los 
gastos o se vislumbra cómo la inflación va afectar a los ingresos y los gastos, tales consi­
deraciones deben ser incluidas en el estudio de reemplazo.
D. Disponibilidad de capital
Es necesario dentro de un análisis de reemplazo considerar la disponibilidad de ca­
pital de la compañía, puesto que es obvio que las fuentes de financiamiento que la empresa 
utiliza para emprender sus proyectos de inversión (utilidad que genera, capital social y 
capacidad de endeudamiento) no son ilimitadas. No tomar en cuenta estas consideraciones
116 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo 
puede originar que un reemplazo que ya ha sido justificado no se pueda emprender por 
falta de fondos.
E. Inflación
Otro factor muy importante que se debe de considerar en un estudio de reemplazo 
es la inflación. En épocas inflacionarias el acceso a pasivos de largo plazo es muy limitado, 
puesto que la inflación al ser mayor que el rendimiento que ofrecen las instituciones ban­
cadas en los diferentes tipos de inversión (cuenta de ahorros, certificados, bonos financieros, 
etc.), disminuye la captación por parte de éstas. Al disminuir la oferta de préstamos hipo­
tecarios de largo plazo, las empresas tienen que crecer al ritmo de crecimiento de sus uti­
lidades generadas. Esto significa que en situaciones inflacionarias las decisiones de inversión, 
en este caso reemplazo de equipo, deben ser realizadas cuidadosamente, ya que una mala 
decisión puede significar una reducción en la disponibilidad de capital de períodos futuros.
7.1.3 Tipos de reemplazo
Los estudios de reemplazo son de dos Tipos Generales. El primer tipo busca deter­
minar por adelantado el servicio de vida económica (período durante el cual se optimiza 
el valor anual equivalente) de un activo. Para este problema como luego se verá, se han 
desarrollado una serie de modelos matemáticos con diferentes suposiciones, todas ellas 
tendientes a determinar por adelantado el período óptimo de reemplazo del activo.
El segundotipo analiza si conviene mantener el activo viejo (algunas veces llamado 
defensor) o reemplazarlo por uno nuevo (algunas veces llamado retador). Este problema 
como más adelante se verá, puede ser resuelto con diferentes enfoques. El primero de ellos 
establece como horizonte de planeación la vida económica del activo nuevo. En el se­
gundo enfoque se selecciona un horizonte de planeación mayor que la vida remanente del 
activo viejo y se obtiene mediante programación dinámica la serie de activos que se uti­
lizarán durante tal período.
7.2 DETERMINACION DE LA VIDA ECONOMICA DE UN ACTIVO
Para determinar la vida económica de un nuevo activo se deben de considerar los 
siguientes costos: a) inversión inicial, b) costos inherentes del activo (operación y mante­
nimiento) y c) costos relativos a modelos mejorados. Los costos más difíciles de evaluar de 
los tres anteriormente mencionados son sin duda los costos relativos a modelos mejorados, 
puesto que es muy difícil predecir con exactitud sobre todo para tiempos futuros muy 
distantes, el grado de mejoramiento tecnológico que sufrirá un activo. Sin embargo, este 
costo es muy importante considerarlo en estudios de reemplazo de activos sujetos a obso­
lescencias muy aceleradas. Por otra parte, hay que tener presente que los costos anteriores 
son costos de oportunidad (lo que se deja de ahorrar [ganar] por no tener el mejor activo 
disponible en el mercado) y por lo tanto no constituyen un desembolso real para la com­
pañía.
En la figura 7.1 se muestra en forma gráfica el comportamiento teórico de los costos 
inherentes y de los relativos de un activo. Como se puede apreciar en dicha figura, los 
costos inherentes del activo siguen una tendencia ascendente, lo cual se debe principal-
La vida económica de un activo 117
mente al mantenimiento excesivo y a la eficiencia decreciente que la edad de un activo 
origina. Por otra parte, en dicha figura también se muestran los costos que se tendrían en 
cada uno de los años si se dispusiera del mejor activo que en ese momento existe en el 
mercado. Como puede observarse, estos costos disminuyen con el tiempo, dependiendo 
del grado de obsolescencia del activo en cuestión. Finalmente, en esta misma figura se 
puede apreciar que los costos relativos (costos de oportunidad) crecen con la edad del 
activo, es decir, entre más viejo sea un activo mayor será la cantidad que se deja de ahorrar 
(ganar) por no disponer del mejor activo que actualmente exista en el mercado.
FIGURA 7.1. Comportamiento de los costos inherentes y relativos del activo bajo 
análisis.
Por otra parte, en la figura 7.2, se muestra el comportamiento del costo anual equi­
valente de los costos inherentes y relativos del activo. También, en dicha figura se muestra 
la curva del costo total a partir de la cual se obtiene el período óptimo de reemplazo (TV*).
Finalmente, a continuación se presenta un modelo matemático que determina la 
vida económica del activo. Cabe hacer la aclaración de que hay una variedad infinita de 
modelos matemáticos para analizar situaciones de reemplazo. Los resultados obtenidos 
con estos modelos dependen del tipo de suposiciones y del grado de complejidad de los 
mismos. El modelo matemático que se propone es el siguiente:
donde:
(7.1)
P = inversión inicial en el activo.
D. = depreciación del activo en el año /.
118 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
t = tasa de impuestos.
Cjj - costos inherentes del activo en el año/.
C.R- = costos relativos del activo en el año/.
Fn = valor realizable del activo al final del año N.
= valor en libros del activo al final del año N.
N = período óptimo de tiempo a permanecer con el activo.
te = tasa de impuestos que grava pérdidas o ganancias extraordinarias de capital.
en el cual se probarán diferentes valores de/V hasta encontrar aquel que minimiza el costo 
total anual equivalente.
FIGURA 7.2. Costo total equivalente del activo para diferentes tiempos de 
permanencia.
Con el propósito de ilustrar una aplicación de este modelo matemático, suponga 
que una empresa desea adquirir cierto equipo para reemplazar el actualmente utilizado. 
El costo del equipo se estima en S50,000 y los valores de rescate, valores en libros, costos 
inherentes y costos relativos, para los diferentes años de vida del activo se muestran en la 
tabla 7-1. También, considere que la tasa de impuestos es de 50% y que esta misma tasa 
se aplica para gravar ganancias o pérdidas extraordinarias de capital. Por último, supon­
ga que la empresa utiliza una TREMA de 20% para evaluar sus proyectos de inversión.
TABLA 7-1
Final del 
año
Valor en 
libros
Valor 
realizable
Costos 
inherentes
Costos
relativos
1 $40,000 $36,000 $ 5,000 $ 0
2 30,000 28,000 6,000 2,000
3 20,000 24,000 7,000 2,500
4 10,000 16,000 9,000 4,000
5 0 2,000 1 1,000 6,000
La vida económica de un activo 119
diferentes períodos de permanencia_en elTABLA 7-2. Flujos de efectivo para
Año
215 
Flujo de 
efectivo 
después de 
impuestos
activo .7
CtoSr inWr*
4 rddfr.
Flujo de 
efectivo 
an tes de
(D
5o;oo° 
5 2+3Cantidad
plt*)
A horro en
impuestos Depreciación gravable impuestos
^Permanecer un año con el activo
0 -50,000
1 - 5,000
1 36,000
-10,000
/ Permanecer dos años con el activo
0 -50,000
1 - 5,000
2 - 8,000
2 28,000
-10,000
-10,000
permanecer tres años con el activo
0 -50,000
1 - 5,000 -10,000
2 - 8,000 -10,000
3 - 9,500 -10,000
3 24,000
^permanecer cuatro años con el activo
-50,000
-15,000 7,500 2,500
- 38,000
-15,000 7,500
-50,000
2,500
-16,000 8,000 0
- 2,000 29,000
-15,000 7,500
-50,000
2,500
-16,000 8,000 0
-17,000 8,500 -1,000
-2(c^ 22,000
0 -50,000 -50,000
1 - 5,000 -10,000 -15,000 7,500 2,500
2 - 8,000 -10,000 -16,000 8,000 0
3 - 9,500 -10,000 -17,000 8,500 - 1,000
4 -13,000 -10,000 -19,000 9,500 - 3,500
4 16,000 tfooo ~ 5,000 13,000
Permanecer cinco años con el activo
0 -50,000 -50,000
1 - 5,000 -10,000 -15,000 7,500 2,500
2 - 8,000 -10,000 -16,000 8,000 0
3 - 9,500 -10,000 -17,000 8,500 - 1,000
4 -13,000 -10,000 -19,000 9,500 - 3,500
5 -17,000 -10,000 -21,000 10,500 - 6,500
5 2,000 2,000 -loco 1,000
120 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
A partir de esta información, primeramente se muestran en la tabla 7-2 los flujos de 
efectivo después de impuestos para los diferentes períodos de permanencia con el activo. 
Debe ser notado en esta tabla que en la cantidad gravable sólo se incluyen los costos in­
herentes y la depreciación. Los costos de oportunidad por ser no-desembolsables no se 
pueden considerar como deducibles. A partir de la tabla 7-2 se obtiene la tabla 7-3 en la 
cual se trata de mostrar principalmente el costo anual equivalente que se tendría si se per­
manece con el activo 1,2, 3, 4 ó 5 años. En esta tabla se puede apreciar que el costo anual 
equivalente es mínimo para un período de 4 años. Esto significa que el período óptimo de 
reemplazo del activo es de 4 años.
En este ejemplo y en el próximo se supuso que los costos relativos son conocidos. 
Sin embargo, los costos relativos por ser costos de oportunidad son muy difíciles de eva­
luar en la práctica. Por consiguiente, si en un problema específico no es posible determinar 
los costos relativos, con considerar los costos inherentes es suficiente.
TABLA 7-3. Costo anual equivalente para diferentes períodos de permanencia con 
el activo.
Año
Costos 
totales 
después de 
impuestos
Valores realizables 
después de 
impuestos
Valor presen te 
si se permanece 
N años con 
el activo
Factor de 
anualidad 
equivalen te
Costo anual 
equivalente
0 — $50,000
1 2,500 38,000 -16,250 1.2000 -19,500
2 0 29,000 -27,779 0.6546 -18,184
3 - 1,000 22,000 -35,764 0.4747 -16,977
4 - 3,500 13,000 -43,913 0.3863 1—16,963 |
5 - 6,500 1,000 -52,393 0.3344 -17,520
7.3 ANALISIS DE REEMPLAZO DEL ACTIVO ACTUAL
En el inciso anterior se analizó el problema de determinar por adelantado la vida 
económica de un activo. Este tipo de problema surge cada vez que se desea adquirir un 
nuevo activo por primera vez. Sinembargo, existen ocasiones en las cuales se tiene actual­
mente un activo en uso, y lo que se desea es determinar el tiempo adicional que se debe 
permanecer con dicho activo, es decir, se trata de determinar su fecha de reemplazo. Puesto 
que en este tipo de situaciones el principal problema es fijar el horizonte de planeación, a 
continuación se describen algunas reglas que pueden ser utilizadas en la fijación de éste.
A. Horizonte de planeación igual a la vida económica del retador.
Para el caso en que la vida remanente del defensor sea mayor o igual a la vida eco­
nómica del retador, se recomienda fijar ésta como el horizonte de planeación. Esta idea 
es bastante lógica, puesto que el tiempo a permanecer con el activo nuevo es precisamen­
te su vida económica.
I
Análisis de reemplazo del activo actual 121
B. Horizonte de planeación igual a la vida remanente del defensor
Cuando la vida remanente del defensor es menor a la vida económica del retador, se 
pueden hacer dos cosas: fijar el horizonte de planeación igual a la vida remanente del de­
fensor, lo cual no es muy aconsejable, o bien fijar un horizonte mayor o igual a la vida 
económica del retador y determinar la serie de activos que se deben de tener durante este 
período de tiempo de tal modo que se optimice algún criterio económico (aplicación de 
programación dinámica).
Estas reglas deben de tomarse muy en cuenta puesto que no fijar horizontes de 
planeación en estudios de reemplazo puede llevarnos a realizar análisis incorrectos. Por 
ejemplo, si en un estudio de reemplazo de un defensor con vida remanente de dos años y 
un retador con una vida económica de 10 años, se utiliza el método del valor anual para 
decidir si se hace ahora o dentro de dos años el reemplazo, entonces se está implicando al 
utilizar este método, que en el período de 10 años se pueden utilizar: un solo activo nuevo 
o cinco activos exactamente iguales al defensor. Sin embargo, es obvio que esta suposición 
es incorrecta, puesto que no es posible comprar dentro de dos, cuatro, seis y ocho años, un 
activo con características similares al que actualmente se está utilizando. Lo correcto 
sería, o fijar el horizonte de planeación en 2 años lo cual no es muy aconsejable, o bien si el 
horizonte de planeación se fija en diez años, comparar la alternativa de permanecer diez 
años con el activo nuevo con la alternativa de permanecer los próximos dos años con el 
defensor y luego ocho años con el retador.
7.3.1 Vida del defensor mayor o igual a la vida económica del retador
Para ilustrar el caso que se presenta cuando la vida remanente del defensor es mayor 
o igual a la vida económica del retador, suponga que una empresa actualmente está utili­
zando un activo que compró hace dos años. Se estima que el valor realizable y el valor en 
libros de este activo en este momento es de $30,000 y $25,000 respectivamente. Los va­
lores en libros, valores realizables, costos inherentes y relativos para los próximos 5 años 
de vida remanente del activo se muestran en la tabla 7-4. Por otra parte, esta compañía 
tiene la alternativa de reemplazar este activo por uno con características idénticas al pre­
sentado en la sección anterior, el cual tiene una vida económica de 4 años. Por último, 
considere que la tasa de impuestos que grava utilidades o pérdidas ordinarias y extraordi­
narias es de 50% y la TREMA = 20%.
Puesto que la vida económica del retador es de 4 años, este período de tiempo se 
considerará como el horizonte de planeación en el análisis de reemplazo de estos activos.
TABLA 7-4. Flujos de efectivo del defensor.
Año
Valor 
en libros
KaZor 
realizable
Costos 
inherentes
Costos 
relativos
0 $25,000 $30,000
1 20,000 24,000 $ 4,000 $2,000
2 15,000 18,000 7,000 3,000
3 10,000 15,000 11,500 3,500
4 5,000 8,000 13,500 4,500
5 0 4,000 18,000 6,000
122 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
Por consiguiente, el primer paso en la comparación de estas dos alternativas es evaluar sus 
flujos de efectivo después de impuestos. Tal información aparece en la tabla 7-5. Ahora, 
para determinar cuál de las dos alternativas es la mejor, se obtiene el flujo de efectivo di­
ferencial entre estas dos alternativas, el cual aparece en la tabla 7-6. En seguida, para de­
terminar si el incremento en la inversión del nuevo activo se justifica, se obtiene el valor 
presente del flujo de efectivo diferencial: 
VPN = - 22,500 + 4,000
(1.2)
4,000 5,750
(1.2)2 (1.2)3
11,750
(1.2)4
el cual después de algunas simplificaciones resulta ser de — 7,395. Por consiguiente, la de­
cisión es permanecer tres años más con el activo viejo.
TABLA 7-5. Flujos de efectivo después de impuestos del retador y del defensor.
Año
Flujo de 
efectivo 
antes de 
impuestos Depreciación
Cantidad
gravable
A horro en 
impuestos
Flujo de 
efectivo 
después de 
impuestos
Defensor
0 -30,000 -27,500 :
1 - 6,000 - 5,000 - 9,000 4,500 - 1,500
2 -10,000 - 5,000 -12,000 6,000 - 4,000
3 -15,000 - 5,000 -16,500 8,250 - 6,750
4 -18,000 - 5,000 -18,500 9,250 - 8,750
4 8,000 6,500
Retador
0 -50,000 -50,000
1 - 5,000 -10,000 -15,000 7,500 2,500
2 - 8,000 -10,000 -16,000 8,000 0
3 - 9,500 -10,000 -17,000 8,500 - 1,000
4 -13,000 -10,000 -19,000 9,500 - 3,500
4 16,000 13,000
7.3.2 Horizonte de planeación conocido
Cuando la vida remanente del defensor es menor a la vida económica del retador, o 
bien cuando se conoce con exactitud el período de tiempo durante el cual se va a requerir 
el servicio que proporciona el activo (horizonte de planeación conocido), es conveniente 
aplicar una metodología completamente diferente a la anteriormente explicada. Tal téc­
nica, es el algoritmo de programación dinámica, el cual permite eliminar la suposición de 
que el servicio proporcionado por el activo será requerido indefinidamente.
Análisis de reemplazo del activo actual 123
TABLA 7-6. Flujo de efectivo diferencial entre el defensor y el retador.
Ano
Flujo de efectivo 
después de impuestos 
(defensor)
Flujo de efectivo 
después de impuestos 
(retador)
Diferencia
( re tado r-d efenso r)
0 -27,500 -50,000 -22,500
1 - 1,500 2,500 4,000
2 - 4,000 0 4,000
3 - 6,750 - 1,000 5,750
4 -8,750 - 3,500 5,250
4 6,500 13,000 6,500
Puesto que el algoritmo de programación dinámica que se recomienda aplicar en 
estudios de reemplazo, es hacia adelante, el primer paso para la aplicación de este algo­
ritmo es obtener tanto para el defensor como para el retador, el valor futuro de los flujos 
de efectivo respectivos para cada uno de los próximos años. En seguida, después de fijar 
el horizonte de planeación que se utilizará en el estudio de reemplazo, se empieza a ana­
lizar para el primer año, si vale la pena continuar un año más con el defensor o se adquie­
re el nuevo activo. Para el segundo año las alternativas serían: hacer el último reemplazo en 
el año cero, lo cual significa que se vende inmediatamente el defensor, o bien hacer el 
último reemplazo en el año 1, y finalmente otra alternativa a analizar sería la permanencia 
de los dos años adicionales con el activo viejo. Para los siguientes años, la lógica de la ge­
neración de alternativas es idéntica.
Una vez analizadas todas las alternativas de cada uno de los años que comprende el 
horizonte de planeación, el problema se reduce a determinar la solución óptima, es decir, 
a determinar la serie de activos que maximizan el valor futuro al final del horizonte de pla­
neación utilizado. La determinación de esta serie de activos se obtiene a partir de la si­
guiente fórmula de recurrencia:
Máx {FSA(Tur) (1 + ij“a + FNA(Tua) } para Tua = 0, 1,2,. . . t
donde:
J ua 
mutual =
tiempo en el cual se hizo el último reemplazo.
tiempo de permanencia con el último activo de la serie, 
valor futuro del nuevo activo si se permanece con él un tiempo igual 
valor futuro en el tiempo tur de uno o una secuencia de activos, los 
cuales pueden ser: el defensor, el retador, el defensor y una serie de 
retadores, o bien esta secuencia puede estar formada por puros reta­
dores.Una explicación gráfica de esta fórmula se muestra en la figura 7-3. En esta figura, t 
es un período de tiempo menor o igual al horizonte de planeación seleccionado, tur es el 
tiempo en el cual se va a introducir el último activo de la serie y tua es el tiempo que se 
va a permanecer con este activo.
124 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
Para ilustrar la aplicación de este algoritmo, suponga que actualmente se tiene ope­
rando un activo el cual se compró hace dos años. Cuando este activo se adquirió, el valor
F£4(rur)
Serie de activos
FIGURA 7.3 Serie de activos a utilizar durante un tiempo t.
de rescate y la utilidad neta como una función del tiempo, se representaba por las siguien­
tes expresiones:
VR(t) = 100(.75)í para t = 0, 1,2,3, ...
UN(t) = 50(.85)M parar = 1,2,3,4,...
ahora, después de dos años se cree que estas funciones siguen siendo válidas para el caso 
de comprar nuevamente el activo (retador). Para esta información, suponiendo que no 
hay mejoramiento teconológico, inflación e impuestos y considerando un horizonte de 
planeación de seis años, el primer paso en la aplicación de este algoritmo, sería obtener 
el valor futuro para diferentes períodos de tiempo, tanto del defensor como del retador. 
Esta información aparece en la tabla 7-7. A partir de esta tabla se puede obtener el valor 
futuro al Anal del período t de cada una de las combinaciones posibles. Estos cálculos 
aparecen en la tabla 7-&. Como se puede apreciar en esta tabla, en el último año (período 
seis) el análisis indica hacer el último reemplazo en el año dos y en el año dos el análisis in­
dica hacer el último reemplazo en el año cero. Lo anterior significa que la solución a este 
problema es permanecer dos años adicionales con el activo actual y entonces comprar un 
nuevo con el cual se permanecerá los cuatro años restantes.
TABLA 7-7. Valores futuros para diferentes tiempos de permanencia con el defen­
sor y con el retador.
Ano Defensor Retador
1 16.4375 15.0000
2 34.0219 32.7500
3 52.4501 52.4625
4 73.6494
5 96.0404
6 119.5241
En el ejemplo anterior se supuso que no existe mejoramiento tecnológico para ese 
tipo de activo, también se supuso que no había impuestos y a la inflación no se tomó en 
cuenta. Sin embargo, si estas consideraciones son introducidas al modelo, la lógica del al­
goritmo seguiría siendo la misma.
Conclusiones 125
TABLA 7-8. Combinación óptima de activos para cada período de tiempo analizado.
t Jur FSA(f) = FSA(íU(.)'(l.l)íua + FNA(t ) v ua'
2 1 1 33.0813 = 16.4375(1.1)* + 15.0000
2 0 32.7500 = 0 + 32.7500
3 1 2 52.4241 = 34.0219(1.1) + 15.0000
2 1 52.6394 = 1 6.4375(1.1)2 + 32.7500
3 0 52.4625 = 0 + 52.4625
4 1 3 72.9033 = 52.6394(1.1) + 15.0000
2 2 73.9165 = 34.0219(1.1)2 + 32.7500
3 1 74.3408 = 16.4375(1.1)3 + 52.4625
4 0 73.9464 = 0 + 73.9464
5 1 4 96.7749 = 74.3408(1.1) + 15.0000
2 3 96.4437 = 52.6394(1.1 )2 + 32.7500
3 2 97.7456 = 34.0219(1.1)3 + 52.4625
4- 1 97.7155 = 16.4375(1.1)4 + 73.6494
5 0 96.0404 = 0 + 96.0404
6 1 5 122.5202 — 97.7456(1.1) + 15.0000
2 4 122.7024 — 74.3408(1.1)2 + 32.7500
3 3 122.5255 = 52.6394(1.1)3 + 52.4625
4 2 123.4609 = 34.0219(1.1)4 + 73.6494
5 1 122.5132 = 16.4375(1.l)s + 96.0404
6 0 1 19.5241 = 0 + 119.5241
*La TREMA que se utilizó en este ejemplo es de 10%.
Nota: Para t = 1 y 2 la mejor alternativa es continuar con el activo viejo.
7.4 CONCLUSIONES
A lo largo de este capítulo se han presentado una serie de consideraciones y de mo­
delos matemáticos que se recomienda utilizar en estudios de reemplazo. Sin embargo, el 
punto más importante de este capítulo es comprender la necesidad de establecer dentro 
de una compañía, políticas óptimas de reemplazo para cada uno de los activos utilizados.
Otra cuestión muy importante a enfatizar en estudios de reemplazo es la dificultad 
de predecir con exactitud los valores realizables del activo a través de su vida útil, así como 
también los mejoramientos tecnológicos a que estaría sujeto dicho activo. Estas dificultades 
generalmente obligan al analista a hacer suposiciones muy simples sobre estos factores. 
Sin embargo, conviene hacer un esfuerzo por predecir el futuro lo más correctamente 
posible, ya que de esta forma los resultados que se obtengan con tales estudios de reem­
plazo, irán más de acuerdo a las metas y objetivos fijados por la organización.
126 Técnicas de análisis en estudios de reemplazo
PROBLEMAS
7.1 El costo iníGial requerido por un cierto equipo es de $ i 00,000. Sus gastos de ope­
ración y mantenimiento son de $30,000 para el primer año y se espera que estos 
gastos se incrementen en lo sucesivo a una razón de $10,000/año. El valor reali­
zable de este activo en los próximos años se espera que se comporte de la siguiente 
manera:
VRk = 100,000 - 15,000 (k) para A: = 1,2, ...5
Si el período de depreciación del activo es de 5 años, la tasa de impuestos que 
grava utilidad (pérdidas) ordinarias y extraordinarias es de 50%, y la TREMA que se 
utiliza es de 20% , determine el período óptimo de reemplazo de este activo.
7.2 La inversión inicial requerida por una nueva máquina es de $500,000. Sus gastos 
de operación y mantenimiento son de $150,000 para el primer año y se espera que 
estos gastos se incrementen en lo sucesivo a una razón de 10% anual. El valor rea­
lizable de este activo en los próximos años se espera que se comporte de la siguiente 
manera:
VRk = 500,000 (.90)* para A: = 1,2, ... 10
Si el período de depreciación del activo es de 10 años, la tasa de impuestos que 
grava utilidades (pérdidas) ordinarias y extraordinarias es de 40%, y la TREMA 
que se utiliza es de 30%, determine el período óptimo de reemplazo del activo.
7.3 Un cierto tipo de máquina fue instalada hace 5 años a un costo de $840,000. Ac­
tualmente esta máquina tiene un valor realizable de $740,000. Si se continúa 
operando con esta máquina se estima que su vida remanente sea de 10 años, sus 
gastos de operación y mantenimiento se estiman en $200,000, y su valor de res­
cate en los próximos años se espera que se comporte de acuerdo a la siguiente 
expresión:
VRk = 740,000 - 20,000 (k) para A; = 1, 2,... 10
Además, esta máquina está siendo depreciada en línea recta usando una vida de 
12 años.
La máquina vieja puede ser reemplazada por una versión mejorada que cuesta 
$1,200,000, tiene gastos de operación y mantenimiento de $100,000 y un valor 
de rescate de $150,000 al término de su vida económica de 8 años. Si el reemplazo 
se realiza, la máquina nueva será depreciada de acuerdo a la ley en un período de 
10 años. Si la tasa de impuestos que grava utilidades (pérdidas) ordinarias y extra­
ordinarias es de 50%, y la TREMA utilizada es de 25%, determine usando el método 
del valor anual equivalente la mejor alternativa. ¿Cuál sería la TIR del incremento 
en la inversión que demanda la máquina nueva?
7.4 Una compañía utiliza en su proceso productivo una mezcladora automática que 
compró hace 5 años. La mezcladora originalmente costó $800,000. Actualmente la 
mezcladora puede ser vendida en $500,000. Además, con esta mezcladora se pue­
de seguir operando por 10 años adicionales al final de los cuales el valor de rescate
Problemas 127
se estima en $100,000. También, se estima que los costos anuales de operación y 
mantenimiento en los próximos 10 años serían del orden de $250,000. Finalmente, 
considere que el período de depreciación de esta máquina es de 10 años. 
Puesto que la demanda que enfrenta esta compañía ha sufrido un incremento 
significativo, una nueva mezcladora es requerida. Si se continúa operando con la 
mezcladora actual, solamente sería requerido adquirir una mezcladora cuyo costo 
inicial es de $750,000, sus gastos de operación y mantenimiento son de $200,000/ 
año y su valor de rescaté después de 10 años de uso se estima en $100,000. Además, 
el período de depreciación de esta máquina de acuerdo a la ley es de 10 años.
Por otra parte si la mezcladora actual es vendida, una mezcladora de mucha ma­
yor capacidad sería adquirida. El costo inicialde ésta se estima en $2,000,000, su 
valor de rescate al final de su vida fiscal de 10 años se estima en $200,000, y sus 
gastos anuales de operación y mantenimiento se estiman en $250,000. Si la tasa 
de impuestos que grava utilidades (pérdidas) ordinarias y extraordinarias es de 50%, 
y la TREMA utilizada es de 30%, determine usando el método de la TIR la mejor 
alternativa.
7.5 La compañía X actualmente utiliza una máquina que tiene un valor de mercado de 
$500,000 (considere que este valor realizable es igual al valor en libros del activo) 
Los costos anuales de operación y mantenimiento y el valor de rescate de la má­
quina para los próximos 8 años pueden ser expresados respectivamente en la ¡forma- 
siguiente:
C0Mk = 80,000 + 20,000(^-1) para k = 1,2,...8
y
VRk = 500,000 - 50,000fc para k - 1,2,... 8
Además, se sabe que la depreciación anual de esta máquina en los próximos 5 años 
será de $80,000.
La máquina actual puede ser reemplazada por una versión mejorada cuyo costo 
inicial es de $800,000, sus gastos anuales de operación y mantenimiento y el valor 
de rescate en los próximos 8 años pueden ser expresados respectivamente para las 
siguientes funciones:
COMk = 50,000(1.1)*'1 para k = 1,2,... 8
y
VRk = 800,000(0.8)* para k = 1,2,. . . 8
Si la vida fiscal de la nueva máquina es de 8 años, la tasa de impuestos que grava 
utilidades (pérdidas) ordinarias y extraordinarias es de 50%, y la TREMA utilizada 
es de 25%, ¿qué alternativa de acción recomendaría?
7.6 Un conjunto de cintas magnéticas que se utilizan en la operación del sistema compu- 
tacional de la compañía X, tuvieron un costo inicial hace dos años de $500,000. 
Sin embargo, debido al gran avance tecnológico que existe en esta área, actualmen­
te existen en el mercado cintas magnéticas que pueden incrementar significativa-
128 Técnicas 'de análisis en estudios de reemplazo
mente la velocidad de procesamiento del sistema computacional. La reducción en 
el tiempo de procesamiento de la información se estima que sea del orden de 20%. 
Si las cintas actuales son vendidas su valor realizable se estima en $300,000. Además, 
se sabe que el costo inicial del nuevo conjunto de cintas magnéticas es de $ 1,000,000. 
Por otra parte, se anticipa que la actual computadora será reemplazada dentro de 
4 años cuando entren al mercado las computadoras de la siguiente generación. Los 
valores de rescate de las cintas magnéticas actuales y del nuevo conjunto al tér­
mino de 4 años se estiman en $100,000 y $500,000 respectivamente. También, se 
sabe que la computadora trabaja 8 horas diarias durante 20 días al mes. Si el costo 
de operación de la computadora es de 500/hora, la vida fiscal de las cintas magné­
ticas es de 8 años, la tasa de interés que grava utilidades (pérdidas) ordinarias y ex­
traordinarias es de 50% y la TREMA utilizada es de 20%, ¿debería reemplazarse 
el conjunto actual de cintas magnéticas?
7.7 Un hospital está considerando la posibilidad de reemplazar una de sus máquinas 
artificiales para el riñón. La máquina que actualmente se utiliza, costó hace cuatro 
años $800,000. Si se continúa con esta máquina sus costos anuales de operación y 
mantenimiento y los valores de rescate en los próximos años serían:
C0Mk = 400,000(1.15)*_1 para A: = 1,2,... 5
y
VRk = 400,000 - 60,000 A para A = 1,2,... 5
La máquina nueva que se está considerando para reemplazar a la actual tiene un 
costo inicial de $1,400,000, gastos anuales de operación y mantenimientp de 
$350,000, una vida económica de 5 años, y un valor de rescate al término de este 
período de $300,000. Si el valor de mercado de la máquina actual es de $400,000, 
la vida fiscal de las máquinas es de 8 años para la vieja y 5 años para la nueva, la tasa 
de impuestos que grava utilidades (pérdidas) ordinarias y extraordinarias es de 50% y 
la TREMA que se utiliza es de 25%, ¿debería reemplazarse la máquina actual?
7.8 Para un valor de TREMA de 10%, encuentre la vida económica del siguiente activo 
cuyos ingresos netos anuales y valores de rescate en los próximos años se com­
portan de acuerdo a las siguientes funciones:
INk = 50(.85)^_1 para A = 1,2,...
y
VRk = 100(.75)* para k = 0,1,...
7.9 Para el activo presentado en el problema 7-8, determine aplicando programación 
dinámica, la política óptima de reemplazo si se considera un horizonte de planea- 
ción de 6 años.
7.10 Suponga que actualmente se tiene operando un activo idéntico al del problema 7-8, 
el cual se compró hace 3 años. Para este tipo de activo, determine por medio de 
programación dinámica, la política óptima de reemplazo si se usa un horizonte 
de planeación de 8 años.
8
Selección de proyectos en condiciones 
limitadas de presupuesto
La optimización del uso de los recursos dentro de una corporación es un problema 
de bastante alcance. Para resolverlo se requiere determinar los flujos de efectivo que cada 
división genera, sus capacidades de endeudamiento, las fuentes de financiamiento a las 
cuales se tiene acceso y los flujos de efectivo que son transferidos de una división a otra. 
Una vez conocida esta información se pueden desarrollar modelos aproximados y exactos, 
los cuales tendrán como objetivo maximizar el valor presente de la corporación.
En el presente capítulo se habla primero del proceso de generación de alternativas 
mutuamente exclusivas, haciendo énfasis en los diferentes tipos de interrelaciones que 
pueden existir entre todas las propuestas que se generan dentro de una corporación.
En seguida se explica cómo debe hacerse el proceso de selección entre muchos 
proyectos cuando existen limitaciones económicas. Es importante señalar que en esta 
sección se explica solamente el procedimiento manual.
La tercera sección muestra cómo el problema de restricciones en el presupuesto 
puede ser resuelto a través de modelos matemáticos de programación entera. En esta sec­
ción, primero se analiza un modelo que no permite endeudamiento en ninguna de las divi­
siones que forman la corporación. En seguida, se presenta un modelo más generalizado, el 
cual permite endeudamiento por parte de las divisiones y además asume que el exceso de 
efectivo que se pueda presentar en una división puede ser destinado a inversiones líquidas 
de corto plazo.
Como el uso y aplicación de modelos matemáticos requiere del dominio y entendi­
miento de éstos, así como de un sistema de información eficiente, en la cuarta sección se 
muestran los diferentes métodos aproximados que una corporación puede utilizar en el 
proceso de selección y asignación de recursos. Estos métodos aproximados tienen algunas 
deficiencias teóricas, pero la compensan con su sencillez, su facilidad de cómputo y su 
fácil entendimiento.
Finalmente, en la quinta sección se analiza el grado de efectividad que se logra cuan­
do las decisiones se hacen en forma secuencial y cuando se hacen en forma periódica.
129
130 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
8.1 GENERACION DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUSIVAS
Las interdependencias que pueden existir en un conjunto de propuestas de inver­
sión, pueden ser de los siguientes tipos:
• Mutuamente exclusivas
• Independientes
• Contingentes
Conociendo el tipo de interdependencias que pueden existir entre las propuestas de 
inversión, es posible desarrollar una metodología que facilite la formación o agrupación 
de propuestas en alternativas mutuamente exclusivas. Todo lo que ésto requiere es la enu­
meración de todas las combinaciones factibles de las propuestas bajo consideración. Cada 
combinación de propuestas representa una alternativa mutuamente exclusiva puesto que 
cada combinación es única y el aceptar una combinación de propuestas elimina la acepta­
ción de cualquier otra combinación. Los flujos de efectivo de cada alternativa son obteni­
dos, período por período, al sumar los flujos de efectivo de cada propuesta contenida en 
dicha alternativa.
Para ilustrar el proceso de generación de alternativas mutuamente exclusivas, consi­
dere una corporación formadapor 3 divisiones (ver figura 8.1). Ahora, para propósitos de 
ilustración, suponga que en un período de tiempo determinado se genera una propuesta 
de inversión en cada división. Para este caso particular, el número de alternativas mutua­
mente exclusivas que se pueden formar son mostradas en la tabla 8.1. En dicha tabla se 
puede observar que cada renglón representa una alternativa mutuamente exclusiva. Ade­
más, en esta tabla se utilizan números binarios: el cero que significa rechazo de la pro­
puesta, y el uno que significa aceptación.
FIGURA 8.1. Corporación formada por tres divisiones.
Ahora suponga que existen dos alternativas de llevar a cabo la propuesta generada 
en la división 1 y la generada en la división 2. Además, suponga que en esta ocasión, la 
división 3 no genera ninguna propuesta de inversión. Para esta nueva situación, la tabla 8.2 
muestra el conjunto de alternativas mutuamente exclusivas que se pueden formar. Con­
viene señalar que tanto las propuestas?! j y >12 como B t y B2 son mutuamente exclusivas. 
Sin embargo, la selección de cualquier propuesta del conjunto de propuestas A i yyl2 es 
independiente de la selección de cualquier propuesta del conjunto de propuestas Bx y B2-
Generación de alternativas mutuamente exclusivas 131
TABLA 8.1. Alternativas mutuamente exclusivasparatrespropuestasindependientes.
Alternativas 
mutuamente exclusivas
Propuestas
División 1 División 2 División 3
1 0 0 0
2 1 0 0
3 0 1 0
4 0 0 1
5 1 1 0
6 1 0 1
7 0 1 1
8 1 1 1
TABLA 8.2. Alternativas mutuamente exclusivas para dos conjuntos independientes 
de propuestas mutuamente exclusivas.
Alternativas 
mutuamente exclusivas
División 1 División 2
A i A 2 52
1 0 0 0 0
2 1 0 0 0
3 0 1 0 0
4 0 0 1 0
5 0 0 0 1
6 1 0 1 0
7. 1 0 0 1
8 0 1 1 0
9 0 1 0 1
Si las propuestas son contingentes, también es posible agruparlas en un conjunto de 
alternativas mutuamente exclusivas. Suponga que en una determinada división se generan 
tres propuestas: A, B y C, donde la propuesta Ces contingente a la aceptación de la pro­
puesta A y B, y la propuesta B es contingente a la aceptación de la propuesta A. La tabla
8.3 muestra las alternativas mutuamente exclusivas que pueden formarse para el grupo de 
propuestas con las relaciones de contingencia descritas.
TABLA 8.3. Alternativas mutuamente exclusivas para propuestas contingentes
Alternativas 
mutuamente exclusivas
Propuestas
A B C
1 0 0 0
n 1 0 0
3 1 1 0
4 1 1 1
132 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
Hasta ahora, los ejemplos que se han explicado son demasiado sencillos. Sin embar­
go, es obvio que en una división existen muchas áreas de inversión (producción, distribu­
ción, mercadotecnia, etc.), y dentro de cada área de inversión pueden existir varias propues­
tas mutuamente exclusivas. Esta nueva situación implica que la enumeración exhaustiva de 
alternativas mutuamente exclusivas podría ser impráctica y tediosa. Sin embargo, como 
más adelante se verá, la programación lineal o entera alivian esta gran dificultad. La figura
8.2 muestra en forma de diagrama la situación más general que se podría presentar en una 
corporación formada por 2 divisiones. Para este caso, es obvio que el número total de 
alternativas mutuamente exclusivas que se forman, puede ser obtenido con la siguiente 
expresión.
donde:
Pj . = cantidad de propuestas mutuamente exclusivas del área / dentro de la divi­
sión 1.
= cantidad de propuestas mutuamente exclusivas del área / dentro de la divi­
sión 2.
n j = cantidad de áreas de inversión dentro de la división 1.
n2 = cantidad de áreas de inversión dentro de la división 2.
Para ilustrar la aplicación de la fórmula anterior, suponga que en la división 1 hay 5 
áreas de inversión, cada una con 2, 3, 4, 2 y 2 propuestas mutuamente exclusivas respecti­
vamente, y en la división 2 hay 4 áreas cada una con 2, 3, 3 y 2 propuestas mutuamente 
exclusivas respectivamente, entonces, de acuerdo a la fórmula 8.1 el número total de al­
ternativas mutuamente exclusivas sería:
N= ( (2 + 1)*(3 + 1) (4 + 1) (2 + 1) (2 + 1) ) ( (2 + 1) (3 + 1) (3 4-1) (2 + 1) )
TV =77,760
Por consiguiente, es claro que un análisis manual de esta cantidad de alternativas sería 
prácticamente imposible. Además, conviene señalar que el ejemplo ilustrado no es repre­
sentativo de lo que ocurre en una corporación, esto es, generalmente en una corporación 
existen más divisiones, y dentro de cada división pueden existir una gran cantidad de áreas 
de inversión. Finalmente, se muestra la fórmula que se utiliza para determinar el número 
total de alternativas mutuamente exclusivas que se pueden formar en una corporación que 
tiene muchas divisiones:
/ n niN - i 7F 7T
V= 1 >1
donde:
P¡ j = cantidad de propuestas mutuamente exclusivas del área j dentro de la divi­
sión i.
FIGURA 8.2. Generación de alternativas en una corporación.
G
eneración de alternativas m
utuam
ente exclusivas 133
134 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
n¡ = cantidad de áreas de inversión dentro de la división i. 
n = cantidad de divisiones.
La generación de alternativas mutuamente exclusivas en condiciones limitadas de 
presupuesto difiere un poco del procedimiento explicado anteriormente. Al igual que an­
tes, todas las posibles combinaciones de propuestas son listadas y los flujos de efectivo de 
estas alternativas mutuamente exclusivas son determinados. El único procedimiento adi­
cional requerido es la eliminación de todas las alternativas mutuamente exclusivas que 
requieran más dinero del que se dispone.
8.2 SELECCION ENTRE MUCHOS PROYECTOS CON RESTRICCIONES
Cuando estamos frente a un grupo de muchas áreas de inversión con interrelaciones 
técnicas dentro de ellas y además limitaciones económicas, se presentan problemas com­
plicados computa cionalmente.
Para ilustrar la aplicación de la técnica que considera limitaciones económicas, es 
necesario formar todas las combinaciones posibles de propuestas tomando en cuenta rela­
ciones técnicas, eliminando aquellas a las cuales los recursos las hagan no factibles, y esco­
giendo aquellas para las que se obtenga mayor valor presente. Ahora por simplicidad, 
suponga que en una división determinada de la corporación se tienen únicamente dos 
áreas de inversión, separadas y bien definidas (ver tabla 8.4). Además, suponga de que se 
disponen de $400,000 para inversiones.
Es claramente visible que en el primer grupo de proyectos (área 1), la propuesta 
P1 4 puede ser descartada, puesto que cuesta $200,000 y rinde $76,000, cuando existe, 
en la misma área, un equipo que cuesta menos (180,000) y rinde más ($80,000). Las 
otras propuestas rinden mayor valor presente neto, a mayor costo, lo cual hace posible 
incluirlas en la formulación. Además, existe la opción “hacer nada” o sea, no tomar nin­
guna propuesta de ese grupo.
En la tabla 8.5 se enumeran todas las alternativas mutuamente exclusivas que se 
pueden generar (todas las alternativas incluyen una propuesta del área obligada) con su 
costo total y se marcan con un * las alternativas cuyo costo excede el presupuesto total.
La mejor alternativa consiste en aceptar la propuesta Pj } j del área 1 y las propues­
tas/^,3 Y^2,3 del área 2.
Usualmente el valor presente de la inversión total es el criterio más eficiente y el 
que más se utiliza para resolver el problema de selección de proyectos en condiciones 
limitadas de presupuesto. Es importante señalar que sería igualmente válido y correcto 
utilizar alguna otra base de comparación como: anualidad equivalente, valor futuro o 
tasa interna de rendimiento.
8.3 FORMULACION CON PROGRAMACION ENTERA
Muchas corporaciones evalúan la deseabilidad económica de sus propuestas usando 
métodos tradicionales de presupuestos de capital como el período de recuperación y la 
tasa interna de rendimiento. Estos métodos tradicionales pueden ser satisfactorios cuando 
se está analizando un solo proyecto en un punto particular en el tiempo. Sin embargo, 
estos métodos no son adecuados cuandoen la corporación se generan muchas propuestas
Formulación con programación entera 135
TABLA 8.4. Inversión inicial y valor presente neto de cada propuesta.
Area
Propuestas 
mutuamente 
exclusivas
Inversión 
inicial
Valor 
presente 
neto
A,1 $ 150,000 $ 68,000
Pl,2 180,000 80,000
1 Pl,3 300,000 137,000
^1.4 200,000 76,000
P2,l S 60,000 - 30,000
2 p2,2 100,000 20,000
(obligada) *^2,2 20,000 15,000
p2.3 
*^2.3
208,000 100,000
32,000 28,000
^2,2 y ^2,3 son contingentes a ^2,2 y ^2,3 respectivamente.
de inversión. Las limitaciones en dinero, las interrelaciones técnicas entre las propuestas y 
las tendencias de crecimiento de cada una de las divisiones que integran la corporación, 
requiere de la formulación y el desarrollo de un modelo de programación entera. Por con­
siguiente, el objetivo de esta sección es desarrollar un modelo de programación entera que 
resuelva el problema de selección de propuestas en condiciones económicas limitadas.
8.3.1. Construcción del modelo sin considerar pasivo
Un modelo matemático de programación entera tiene 3 componentes principales: 
1) la función objetivo, la cual puede ser maximizada o minimizada; 2) restricciones y 3) 
condición de no-negatividad de las variables de decisión. En nuestro modelo la condición 
de no-negatividad se restringe a que las variables de decisión sólo pueden tomar el valor de 
cero (cuando la propuesta es rechazada) y el valor de 1 (cuando la propuesta es aceptada). 
La función objetivo puede ser matemáticamente expresada como sigue:
• m n T $jkt
MAX VPN = X E 2 ------------------- 1 Xfk
7=i = l r=0 (i+zy
donde;
KR7V = valor presente neto.
Sjkt = flujo de efectivo neto del proyecto / en la división k durante el período í. 
Xjk = variable de decisión la cual puede tomar un valor de cero cuando el proyec­
to j de la división k es rechazado o un valor de uno cuando el proyecto es 
aceptado.
i = tasa de recuperación mínima atractiva (TREMA).
Por otra parte, las restricciones más comunes que se presentan en este tipo de mode­
los matemáticos son las siguientes:
TABLA 8.5. Combinaciones factibles.
Alternativas 
mutuamente 
exclusivas
Propuestas Inversión
inicial
Valor 
presente 
netopl.l P1.2 P1.3 P2,l P2,2 p
1 2, 2 ^2,3 P
1 r 2, 3
1 0 0 0 1 0 0 0 0 $ 60,000 $- 30,000
2 0 0 0 0 1 0 0 0 100,000 20,000
3 0 0 0 0 1 1 0 0 120,000 35,000
4 0 0 0 0 0 0 1 0 208,000 100,000
5 0 •0 0 0 0 0 1 1 240,000 128,000
6 1 0 0 1 0 0 0 0 210,000 38,000
7 0 1 0 1 0 0 0 0 240,000 50,000
8 0 0 1 1 0 0 0 0 360,000 107,000
9 1 0 0 0 1 0 0 0 250,000 88,000
10 0 1 0 0 1 0 0 0 280,000 100,000
11 0 0 1 0 1 0 0 0 400,000 157,000
12 1 0 0 0 1 1 0 0 270,000 103.000
13 0 1 0 0 1 1 0 0 300,000 115,000
14 0 0 1 0 1 1 0 0 420,000* 172,000 ■
15 1 0 0 0 0 0 1 0 358,000 168,000
16 0 1 0 0 0 0 1 0 388,000 180,000
17 0 0 1 0 0 0 1 0 508,000* 237,000
18 1 0 0 0 0 0 1 1 390,000 196,000*
19 0 1 0 0 0 0 1 1 420,000* 208,000
20 0 0 1 0 0 0 1 1 540,000* 265,000
Alternativa óptima.
136 Selección de proyectos en condiciones lim
itadas de presupuesto
Formulación con programación entera 137
A. Restricción financiera
n T
S X 
r=0
donde:
Ajkt = necesidades de efectivo (nuevas inversiones) del proyecto j en la división k 
durante el período t
bfct = disponibilidad de capital en la división k durante el período t. Conviene 
señalar que estas disponibilidades de dinero tendrán que ser pronosticadas.
B. Propuestas mutuamente exclusivas
Pueden existir propuestas que se consideren mutuamente exclusivas, esto es, la 
aceptación de una de ellas implica el rechazo del resto. Por ejemplo, suponga que los pro­
yectos 1, 2 y 3 de la división 1 son mutuamente exclusivos, entonces, matemáticamente 
esta relación puede ser expresada como sigue:
En esta restricción, sólo una de las variables puede tomar el valor de 1 y el resto estarán 
forzadas a tomar el valor de cero. Además, en esta restricción no se descarta la posibilidad 
de rechazar todas las propuestas.
C. Relaciones de contingencia
Existen situaciones en las cuales la aceptación de un proyecto depende de la acepta­
ción previa de otro proyecto al cual se está relacionado. Por ejemplo, no se puede justifi­
car la compra de equipo periférico mientras no se haya comprado una computadora. Para 
ilustrar la expresión matemática que representa a este tipo de restricción, suponga que el 
proyecto 1 de la división 1 es contingente al proyecto 2 de la división 1 (el proyecto 1 só­
lo se puede aceptar si el proyecto 2 ha sido aceptado), entonces:
-*1,1 +*2?l>0
En esta restricción, no se permite que X^i valga 1 a menos que X2j valga 1. Pero 2,1 
puede ser uno con Xy igual a cero. También queda abierta la posibilidad de que tanto 
Aij como A 2i sean cero.
D. Area obligada
Es posible que en algunas ocasiones, existan dentro de alguna división “áreas obliga­
das”, esto es, áreas en las cuales es forzoso escoger una propuesta de entre las varias que 
pertenecen a dicha área. Por ejemplo, suponga que en el área de almacén de producto ter­
138 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
minado se requiera urgentemente comprar un montacargas, el cual agilizaría grandemente 
el traslado del producto terminado del departamento de inspección y empaque al almacén. 
Ahora, suponga que en el mercado sólo existen tres tipos de montacargas: el A, el B y el 
C, entonces, la expresión matemática que representa a este tipo de restricción sería:
^1,1 + ^2,1 + ^3,1 = 1 
donde:
Xi i = comprar el montacargas tipo A para la división 1
X2 1 = comprar el montacargas tipo B para la división 1
X$ 1 = comprar el montacargas tipo C para la división 1
E. Restricción de no-negatividad
La condición de no-negatividad restringe los valores de las variables de decisión a: 
cero cuando el proyecto se rechaza o 1 cuando el proyecto se acepta. Lo anterior significa 
que cada variable de decisión puede tomar sólo dos valores. Sin embargo, si la condición 
de no-negatividad se expresa en la forma siguiente:
0<Xy¿< 1
implica la posibilidad de aceptar sólo una parte del proyecto y rechazar el resto. Este tipo 
de formulación (programación lineal) es factible de utilizar sólo en los casos en los cuales 
los tipos de proyectos son bonos, acciones, etc. Sin embargo, si el proyecto que se está 
analizando es la adquisición de un torno, entonces, el uso de programación lineal sería 
inadecuado.
8.3.2 Construcción del modelo considerando incrementos en el pasivo 
e inversiones líquidas
En el modelo anterior no se considera la posibilidad de aumentar el pasivo de cada 
una de las divisiones. Sin embargo, cuando esta situación es factible es obvio que proyec­
tos que antes eran rechazados por falta de recursos, ahora podrán ser aceptados. También, 
es necesario señalar que a pesar de que la mejor forma de financiarse generalmente es a 
través de pasivos, éstos no deben de aumentarse en forma desmedida debido a los peligros 
que implica una palanca financiera excesiva.
Además de la posibilidad de aumentar el pasivo, en este nuevo modelo se considera 
factible invertir toda la disponibilidad de dinero ocioso en inversiones líquidas de corto 
plazo.
Bajo estos nuevos supuestos, el modelo de programación entera queda como se mues­
tra en la figura 8.3. Las variables diferentes que aparecen en este nuevo modelo son:
Pk t = cantidad de dinero obtenido a través de pasivo por la división k durante el 
período t (Los plazos de estos pasivos se asumen de 1 período).
= cantidad de dinero que la división k destina a inversiones líquidas de corto 
plazo durante el período t (la vida de estas inversiones se asumen de 1 pe­
ríodo).
t = nivel máximo de pasivo que la división k puede tener durante el período t.
Métodos de selección aproximados 139
ib = costo de las fuentes de financiamiento (pasivo).
= rendimiento obtenido en las inversiones líquidas de corto plazo.
Por otra parte, es necesario señalar que en este nuevo modelo se pueden tener el 
mismo tipo de restricciones que se explicaron en el modelo anterior, tales como: propues­tas mutuamente exclusivas, relaciones de contingencia y áreas obligadas.
8.3.3 Utilidad y aplicabilidad
Para situaciones en que haya muchas áreas de inversión con muchas alternativas, ca­
da una de poco monto, el uso de programación entera resulta inútil pues la obtención de 
“la mejor solución” puede no justificar los gastos de tiempo de computadora (los algorit­
mos de programación entera que existen actualmente son un tanto ineficientes computa- 
cionalmente). En tal caso, será mejor usar algún método de selección aproximado.
En casos en que haya números medianos de áreas de inversión con algunos proyec­
tos requiriendo inversiones fuertes de dinero o recursos, el uso de estas formulaciones per­
mite explorar ordenadamente todas las combinaciones posibles de propuestas y obtener la 
mejor combinación.
8.4 METODOS DE SELECCION APROXIMADOS
A pesar de los grandes y recientes avances que han ocurrido en el campo de la inves­
tigación de operaciones, la alta administración ha mostrado poco o ningún interés en el 
uso de programación lineal o programación entera para resolver el problema de selección 
de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto. Esto no significa que no se tenga 
conciencia de los beneficios potenciales de estas herramientas, sino que es posible utilizar 
otros métodos de selección aproximados tales como: ordenado por tasa interna de rendi­
miento, ordenado por valor presente por peso invertido, etc., los cuales tienen alguna des­
ventaja teórica pero la compensan con su facilidad de cómputo.
Al igual que con otras nuevas técnicas, un tiempo de aprendizaje insuficiente puede 
ser la causa del desuso de la programación matemática en los problemas en los cuales exis­
ten limitaciones económicas. Cualquiera que sea la causa, su difusión como herramienta 
útil en el proceso de toma de decisiones sería un proceso lento, puesto que suimplemen- 
tación a nivel staff requiere no solamente entendimiento, sino además un sistema de infor­
mación capaz de proporcionar la información veraz, oportuna y actualizada que el modelo 
matemático requiere.
Por las razones mencionadas anteriormente, existen pocos motivos para pensar que 
los métodos de selección aproximados, van a ser reemplazados en lo sucesivo por métodos 
más exactos tales como: programación lineal o programación entera. Además, en una 
empresa real es imposible medir el efecto de tomar decisiones por uno u otro método, 
pues esto tendría que basarse en puras conjeturas de “loque hubiese pasado si hubiésemos 
tomado la otra decisión”. Sin embargo, se han realizado algunos estudios en situaciones 
simuladas*, en los cuales se ha comprobado que no existe mucha diferencia en la efectivi­
dad entre los métodos aproximados y los métodos exactos.
*A.S. Parra Vázquez y R.V. Oakford, “simulations as a technique for comparing decisión procedures”, 
the Engineering Economist, volumen 21, número 4, pp. 221-236.
O
m
MAX VPN = X 
7=1
n
X
¿=1
T
x 
7=0 ¡L
s V AC*.< 
k = l 7=0 (1 + í)*
Sujeto a:
rn
X
7=1
Aíkl Xjk S Pk 1 fc=l ’
n 
+ X ACk i ¿ = 1
< X bk i £=l ’
m
X
7=1
n
X
fc=l
S Ajkt %jk + 0 + zó) 
7=2
X X - (1 + /¿)
fc=l 7=2
n T
- S X Pkt + 
fc=l 7=2
n T
X X 
£=1 7=2
^Cfc,7
n T 
¿ bk,t
k=\ t=2
n T
¿ ¿ ^Q:,7-l
k = l t=2
Pk,t LPk,t
X¡k puede ser cero o uno
Pkft yACk>t > 0 para k = 1,2, . . . n y T= 1, 2. . . T
FIGURA 8.3. Modelo matemático de programación entera que considera incrementos en el pasivo e inversiones líquidas.
Selección de proyectos en condiciones lim
itadas de presupuesto
Métodos de selección aproximados 141
8.4.1 Ordenado por tasa interna de rendimiento
Bajo esta idea, se procede a escoger dentro de cada área de inversión, la mejor alter­
nativa. En seguida se ordenan las mejores alternativas en orden descendente de acuerdo a 
su tasa interna de rendimiento y se aceptan propuestas hasta que se agoten las propuestas 
o se agota el dinero dedicado a inversión.
Este método simplificado es muy conocido, y ha recibido muchas simpatías por su 
sencillez, y también porque casi siempre da unas selecciones bastante buenas si se le com­
bina con un poco de criterio del analista. En pruebas simuladas opera obteniendo selec­
ciones con valores presentes cercanos a los de la selección óptima.
Para ilustrar el proceso de selección utilizando este método aproximado, considere que 
en una determinada división dentro de la corporación se generaron las propuestas mostra­
das en la tabla 8.6. También, suponga que la cantidad de dinero disponible para invertir 
es de Si000. Bajo estos supuestos en la figura 8.4 se muestra en forma gráfica el ordena­
miento de las propuestas de acuerdo a su tasa interna de rendimiento. Como puede apre­
ciarse en dicha figura, las propuestas que deben ser seleccionadas son de la A a la E. Es 
obvio que esta selección no es la óptima ya que es preferible ganar un rendimiento del 
26% sobre una inversión de $350 (propuesta F) a ganar un rendimiento de 37% sobre 
una inversión de $100 (propuesta B). Esta es precisamente una de las desventajas teóricas 
del método de ordenado por tasa interna de rendimiento.
En el ejemplo anterior se supuso que el dinero disponible para nuevas inversiones 
provenía netamente de las utilidades generadas por la división. Sin embargo, es práctica 
común que todo negocio utilice pasivo para financiar parte de las nuevas inversiones (la 
mejor forma de financiarse es con pasivo, siempre y cuando el rendimiento obtenido en
TABLA 8.6. Generación de propuestas independientes.
Propuesta A B C D E F G
Inversión inicial 150 100 300 250 200 350 175
TIR (%) 40 37 35 30 28 26 25
las nuevas inversiones sea mayor que el costo del pasivo). Con estas nuevas suposiciones, 
el proceso de selección sería como se muestra en la figura 8.5. En esta figura se puede ob­
servar que todos los proyectos antes del punto X serían aceptados si el incremento en 
pasivo permitido es mayor que (X— ¿sUR). Por el contrario, si el incremento en pasivo 
permisible es muy raquítico, entonces, ciertos proyectos tendrán que ser rechazados a 
pesar de tener un rendimiento aceptable. Lo anterior es consecuencia del hecho de no 
poder aumentar el pasivo en forma irracional y desmedida, sino de acuerdo a una cierta 
estructura financiera previamente establecida. Finalmente conviene señalar que el 1 en el 
eje de las abscisas puede estar a la izquierda o a la derecha del punto X, dependiendo del 
incremento en pasivo permitido.
A. Asignación de recursos en una corporación formada por dos divisiones
El proceso de selección y de asignación de recursos que hasta ahora se ha discutido, 
corresponden al caso de tener solamente una división. Sin embargo, es conveniente expli­
car cómo se haría el proceso de selección y de asignación de recursos en una corporación
142 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
FIGURA 8.5. Proceso de selección considerando apalancamiento financiero.
Métodos de selección aproximados 143
formada por dos divisiones. La figura 8.6 ilustra tal procedimiento. En esta figura se ob­
serva que del presupuesto disponible, la proporción OX se deberá asignar a la división 1. 
También, es posible considerar en este caso incrementar el pasivo para financiar parte de 
las nuevas inversiones.
FIGURA 8.6. Asignación de recursos en una corporación formada por 2 divisiones.
B. Asignación de recursos en una corporación formada por muchas divisiones
Para el caso de tener una corporación formada por muchas divisiones, el proceso de 
selección y de asignación de recursos puede realizarse al recopilar las propuestas indepen­
dientes de cada una de las divisiones y ordenarlas en orden descendente de acuerdo a su 
tasa interna de rendimiento tal como lo muestra la figura 8.7. Para poder hacer la selec­
ción, es necesario determinar el monto real de las utilidades generadas por cada una de las 
divisiones, así como sus incrementos en pasivos permisibles. Con esta información, el pro­
ceso de selección es similar al descrito en el inciso 8.4.1 para elcaso de una división. Una 
vez realizado el proceso de selección, se determina cuántas y cuáles propuestas se acepta­
ron de cada división, para finalmente determinar la cantidad de recursos que se asignarán 
a cada división.
8.4.2 Ordenado del valor presente por peso invertido
La mecánica de este método es similar al anterior, con la diferencia de que se obtie­
ne la relación de valor presente a inversión requerida para las mejores alternativas dentro 
íe cada área de inversión, y esa relación se usa para ordenar las propuestas, poniendo pri-
144 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
IIk = Inversión inicial requerida por la propuesta k.
Z &UR¡ 
í
? IIk K.
&URj= Incremento en las utilidades retenidas 
de la división j.
= Incremento en el pasivo de la división /.
S &URj + S AP;
i 
i 
i 
_i— 
X
FIGURA 8.7. Asignación de recursos en una corporación formada por muchas divisiones.
mero a las de mayor índice. Lo anterior significa que tendrán mayor prioridad aquellos 
proyectos que ofrezcan mayor “ganancia por peso invertido”, y el cómputo es muy simple, 
más aún que en el ordenado por tasa interna de rendimiento.
Este índice no tiene un atractivo intuitivo tan grande como la tasa interna de rendi­
miento, pero en pruebas simuladas opera al menos tan bien como el anterior, y con menos 
cálculos.
En la tabla 8.7 se muestra un ejemplo en el cual se utiliza este método aproximado. 
Para la solución de este problema se supuso que el dinero disponible para nuevas inversio­
nes es de $400 y que la división cuenta con dos áreas de inversión. Finalmente, es impor­
tante señalar que la solución obtenida con este método es la misma que se hubiera obtenido 
al utilizar programación entera, es decir, la solución que se obtuvo es la óptima.
8.4.3 Ordenados combinados
Ofrecen la ventaja de permitir tres o cuatro ordenamientos y selecciones lo que nos 
dará, en general, mejores soluciones que en los casos en que se usa un solo índice.
Específicamente, se definen varios índices, por ejemplo tasa interna de rendimiento, 
valor presente por peso invertido o relación beneficio costo (para casos en que haya pro­
yectos con desembolsos netos en más de un período).
En seguida, se generan todas las alternativas mutuamente excluyentes dentro de ca­
da área de inversión para todas las divisiones que integran la corporación.
Luego, se ordenan todas las alternativas generadas con respecto a uno de los índices, 
intercalándolas a medida que sea necesario.
Se empiezan a seleccionar alternativas en su orden de aparición respecto al índice en 
tumo. Al aceptar una alternativa dentro de una área de inversión, se eliminan todas las 
otras alternativas dentro de esa área que aparezcan posteriormente. En caso de que algunas 
alternativas no se puedan aceptar por falta de fondos, se brinca a la siguiente que sí se 
pueda aceptar. El proceso continúa hasta que se acaben las alternativas o se acabe el dine­
ro. Se anota cuál fue la selección y cuál es la suma de los valores presentes de los proyec­
tos seleccionados.
Decisiones secuenciales vs. decisiones en grupo 145
TABLA 8.7. Ordenado por relación de valor presente a inversión requerida.
Area Propuesta VPN Costo VPN/Costo Decisión
Costo 
acumulado
2 b5 128 240 0.533 A 2402 • b4 100 208 0.481 ra 240
1 a3 137 300 0.457 AS 2401 Aí 68 150 0.453 A 390
1 ^2 80 180 0.444 ra 3902 ¿3 35 120 0.242 ra 390
2 b2 20 100 0.200 ra 3902 Bí - 30 60 - 0.500 ra 390
donde:
A = Aceptar
= Rechazar por falta de dinero
R¿ = Rechazar porque otro proyecto de la misma 
área de inversión ha sido aceptado
Decisión recomendada:
Aceptar la propuesta y la A j con las cuales se 
obtiene un valor presente de $196.
El proceso se hace para todos los índices que parezca oportuno y se selecciona aquella 
alternativa con la cual se maximiza el valor presente.
Esta ligera complicación (fácil de hacer manualmente en casi todos los casos) rinde 
muy buenas selecciones, que en muchos casos coinciden con las obtenidas por medio de 
la programación entera.
Finalmente, es importante señalar los problemas que se pueden presentar cuando 
una área de inversión es obligada. Para este caso se puede hacer lo siguiente:
• Si las áreas obligatorias tienen alternativas únicas, adoptarlas de antemano (son 
decisiones ya hechas).
• Si las áreas obligatorias tienen varias alternativas, establecer límites al dinero que 
se pueda gastar antes de seleccionar alguna alternativa del área obligada, de tal 
modo que el proyecto más pequeño del área se pueda tomar.
8.5 DECISIONES SECUENCIALES vs. DECISIONES EN GRUPO
Tanto los modelos de programación entera como los métodos aproximados que fue­
ron presentados en las secciones anteriores, suponen que al tomador de decisiones se le 
presenta un grupo de proyectos, los cuales están actualmente disponibles o lo estarán en 
un tiempo específico del futuro. Sin embargo, es obvio que los proyectos aparecen gene­
ralmente en forma secuencia!-. Ante esta discrepancia en el proceso real de generación de
146 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
propuestas, es conveniente analizar qué procedimiento de decisión es más efectivo: deci­
siones secuenciales o decisiones en grupo.
Tomar decisiones en forma secuencial a medida que las propuestas de inversión van 
surgiendo, tiene la ventaja aparente de que no habrá ningún retraso en la aceptación e im­
plantación de propuestas altamente productivas. Por otra parte, tomar decisiones en 
forma periódica sobre un grupo de propuestas, tiene la ventaja de que el tomador de deci­
siones rechazará aquellas propuestas que no presenten ningún atractivo, sobre todo en el 
caso de tener fondos limitados para inversión.
Una comparación entre estos dos procedimientos de decisión sería un tanto difícil 
de realizar, ya que esto implicaría pronosticar los resultados que se hubieran logrado con 
cada uno de ellos. Sin embargo, aparentemente tomar decisiones en forma periódica es 
más efectivo que hacerlo en forma secuencial. Esta conclusión se deriva del hecho de que 
al tomar decisiones en forma secuencial, se pueden aceptar propuestas que a pesar de te­
ner un rendimiento superior al mínimo requerido, son peores que otras propuestas que se 
van a presentar posteriormente. Lo anterior significa, que una propuesta atractiva se acep­
taría independientemente del procedimiento de decisión utilizado, sin embargo, una pro­
puesta no muy atractiva (con rendimiento superior al mínimo requerido) puede ser aceptada 
si las decisiones son hechas en forma secuencial, pero probablemente sería rechazada si la 
decisión estuviera basada en un grupo de propuestas.
Hasta la fecha se han realizado varios estudios, entre otros, la disertación doctoral 
de A. Sabino Parra Vázquez en la cual se trata de determinar mediante simulación, cuál de 
los siguientes procedimientos de decisión es el más efectivo:
• Las decisiones son hechas anualmente sobre un grupo de propuestas.
• Similar al anterior excepto que las decisiones son repetidas ocho veces por año.
• Las decisiones son hechas en forma secuencial a medida que las propuestas se van 
generando. Bajo este procedimiento de decisión, alternativas económicamente 
aceptables que no pueden ser aceptadas por insuficiencia de fondos, no son con­
sideradas posteriormente.
• Las decisiones son hechas en forma secuencial como en el punto anterior, excep­
to que las alternativas económicamente atractivas que fueron rechazadas por fal­
ta de fondos, podrán competir con las propuestas que se generen durante el 
próximo año.
Los resultados de tal estudio revelaron que de los procedimientos de decisión anali­
zados el más efectivo es el primero, esto es, cuando las decisiones son hechas anualmente 
sobre un grupo de propuestas se logran mayores rendimientos. Sin embargo, es convenien­
te señalar que las diferencias en los rendimientos que se obtuvieron con cada uno de estos 
procedimientos de decisión son insignificantes.
PROBLEMAS
8.1. Suponga que la corporación“B” está formada por tres divisiones. Si en la división 
1 hay 3 áreas de inversión cada una con 3, 2 y 1 propuestas mutuamente exclusi­
vas respectivamente, en la división 2 hay 2 áreas de inversión cada una con 3 y 4 
propuestas mutuamente exclusivas respectivamente, y en la división 3 hay una
Problemas 147
área de inversión con una sola propuesta, determine el número total de alternati­
vas mutuamente exclusivas que se pueden formar.
8.2. La compañía X actualmente está analizando 4 propuestas de inversión. La pro­
puesta A es contingente a la aceptación de la propuesta C o la propuesta D. La 
propuesta C es contingente a la aceptación de la propuesta D, mientras que la pro­
puesta D es contingente a la aceptación de la propuesta A o la propuesta B. Si el 
presupuesto disponible de esta compañía es de $2,000,000, y la TREMA es de 
10%, ¿qué alternativa debe ser seleccionada?
Año A B C D
0 - $ 400,000 -$ 500,000 - $ 100,000 -$ 60,000
1 100,000 75,000 30,000 10,000
2 100,000 85,000 30,000 15,000
3 100,000 95,000 30,000 20,000
4 100,000 105,000 30,000 25,000
5 200,000 300,000 30,000 30,000
8.3. Cuatro propuestas de inversión están siendo consideradas por la compañía Y. Las 
propuestas B y D son mutuamente exclusivas. La propuesta C es contingente a la 
aceptación de la propuesta B o la propuesta D. Las propuestas A y C son mutua­
mente exclusivas. Además, la propuesta B o la D debe ser incluida en la alternativa 
seleccionada (propuesta obligatoria). Si el presupuesto disponible de esta compa­
ñía es de S2,000,000, y la TREMA es de 20% , determine mediante el método de 
la TIR la mejor alternativa.
Año A B C D
0 -$1,000,000 -$1,250,000 -$ 900,000 -$1,000,000
1-8 300,000 500,000 250,000 200,000
8 400,000 100,000 1,200,000 1,000,000
8.4. La compañía W actualmente se encuentra analizando tres propuestas de inversión. 
Las propuestas B y C son mutuamente exclusivas, y la propuesta C es contingente 
a la aceptación de la propuesta A. Si la cantidad de dinero que dispone esta com­
pañía es de $1,250,000 y la TREMA es de 10%, determine mediante el método 
del valor presente la mejor alternativa.
Ano A B C
0 -$1,000,000 -$500,000 -$200,000
1 200,000 200,000 50,000
2 300,000 200,000 50,000
3 400,000 200,000 50,000
4 500,000 200,000 50,000
5 600,000 200,000 150,000
8.5. La compañía Z se encuentra actualmente analizando cuatro propuestas de inver­
sión. Las propuestas A y B son mutuamente exclusivas, así como A y D. La pro­
148 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
puesta C es contingente a la aceptación de la propuesta D. Si el presupuesto 
disponible que tiene esta compañía para nuevas inversiones es de $7,500,000, y la 
TREMA es de 25%, ¿qué propuestas debería la compañía seleccionar?
A B C D
Inversión inicial $4,500,000 $6,000,000 $3,500,000 $3,000,000
Ingresos anuales 3,000,000 4,500,000 2,000,000 3,500,000
Gastos anuales 1,000,000 2,000,000 500,000 2,000,000
Valor de rescate 500,000 1,000,000 500,000 500,000
Vida 10 años 10 años 10 años 10 años
8.6. La compañía “B” se encuentra actualmente analizando cuatro propuestas de in­
versión. Las propuestas A y C son mutuamente exclusivas, y la propuesta D es 
contingente a la aceptación de la propuesta B. Si la compañía dispone de un fondo 
de $4,000,000 para emprender nuevos proyectos de inversión, y la TREMA es de 
20%, ¿qué propuestas deben ser seleccionadas?
A B C D
Inversión inicial $2,000,000 $2,000,000 $3,000,000 $1,500,000
Ingresos anuales 1,400,000 1,600,000 2,000,000 2,000,000
Gastos anuales 1,100,000 1,250,000 1,200,000 1,500,000
Valor de rescate 500,000 500,000 1,000,000 500,000
Vida 10 años 10 años 10 años 10 años
8.7. El director de producción de la compañía X ha recibido un conjunto de propues­
tas que provienen de tres actividades independientes de producción. Las propuestas 
que pertenecen a una misma área de producción se identifican con la misma letra 
y son mutuamente exclusivas. Si las vidas de las propuestas son de 10 años, los 
valores de rescate al término de este tiempo son despreciables y la TREMA es de 
25%, ¿qué propuestas deben seleccionarse si la cantidad de dinero disponible para 
nuevas inversiones es: ¿7) ilimitada, ti) $ 500,000 y c) $200,000?
Propuesta Inversión inicial Ingreso neto anual
Actividad A
A1 $ 100,000 $ 30,000
^2 200,000 65,000
>Í3 300,000 85,000
Actividad B
B\ 50,000 10,000
b2 100,000 50,000
b3 150,000 60,000
b< 200,000 70,000
Actividad C
Cv 150,000 45,000
C2 300,000 80,000
Problemas 149
8.8. Una corporación ha recibido propuestas de inversión de sus cuatro divisiones. Las 
propuestas de cada división se consideran mutuamente exclusivas y sus vidas espe­
radas son de 10 años. Las propuestas de una división son independientes de las 
propuestas de otras divisiones. Si los valores de rescate de las propuestas son des­
preciables, y la TREMA es de 15%, ¿qué propuestas deben seleccionarse si la can­
tidad de dinero disponible para nuevas inversiones es a) ilimitada, b) $7,000,000, 
c) $4,500,000 y d) $3,500,000? (Utilice el método aproximado de ordenado por 
tasa interna de rendimiento.)
Propuesta Inversión inicial Ingreso neto anual
División 1
£l.l $ 1,000,000 $ 200,000
^1.2 1,200,000 240,000
^1.3 1,300,000 220,000
fll,4 1,400,000 300,000
División 2
^2,1 1,500,000 350,000
°2,2 1,800,000 400,000
División 3
¿>3,1 2,000,000 320,000
n3,2 2,400,000 500,000
División 4
^4,1 4,000,000 900,000
^4,2 5,000,000 1,200,000
8.9. Resolver el problema 8.7 utilizando el método aproximado de ordenado del valor 
presente por peso invertido.
8.10. La compañía X está evaluando un grupo de propuestas de investigación relaciona­
das con 3 de sus productos. Ya se ha decidido que una propuesta del conjunto de
Propuesta Inversión inicial Costo neto anual
Producto A
A¡ $ 400,000 $ 50,000
600,000 20,000
Producto B
5i 200,000 60,000
b2 250,000 50,000
b3 300,000 40,000
Producto C
Ci 150,000 100,000
c2 200,000 90,000
C3 400,000 50,000
C4 500,000 35,000
. 150 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto
propuestas relacionadas a un producto debe ser seleccionada. Las propuestas para 
un mismo producto son mutuamente exclusivas, e independientes de las propues­
tas de otros productos. Además, la vida esperada de estas propuestas de investiga­
ción es de 5 años, al término de los cuales los valores de rescate de las propuestas 
son nulos.'.Si la TREMA es de 25%, y todas estas propuestas producen a la compa­
ñía los mismos beneficios ($300,000/año), ¿qué propuestas deben ser seleccio­
nadas si la cantidad de dinero disponible para nuevas inversiones es a) ilimitada, 
b) $1,150,000, c) $950,000? (Utilice el método aproximado de ordenado del va­
lor presente por peso invertido.)
8.11. Formular el modelo de programación entera para los problemas 8.7, 8.8 y 8.10.
8.12. La compañía W se encuentra actualmente analizando las propuestas de inversión 
de cuatro de sus áreas más importantes. Las propuestas de inversión del área A son 
mutuamente exclusivas. El área B es obligada, es decir, es obligatorio seleccionar 
una propuesta de inversión de esta área. En el área Cía propuesta C2 es contingen­
te a C\ y la C3 es contingente a Q o C2. En el área D la propuesta D2 es contin­
gente a Dj o D3. Si el dinero disponible de esta compañía para nuevas inversiones 
es de $1,000,000, y la TREMA es de 30%, ¿cuál sería el modelo de programación 
entera que maximiza el valor presente de estas propuestas? (Considere que la vida 
de las propuestas es de 5 años).
Propuesta Inversión inicial Ingreso neto anual Valor de rescate
Area A
Ai $ 300,000 $ 120,000 $ 50,000
a2 400,000 140,000 80,000
a 3 500,000 200,000 100,000
Area B
Bi 700,000 300,000 200,000
b2 800,000 340,000 250,000
Area C
Ci 350,000 140,000 80,000
Ci 100,000 40,000 30,000
C3 80,000 35,000 20,000
Area D
Di 380,000 160,000 80,000
d2 150,000 60,000 40,000
d3 250,000 90,000 60,000
9
Evaluación de proyectos de inversión 
en situaciones inflacionarias
_ Incrementos significativos en el nivel general-de precios tanto delos artículos como 
de los servicios, han originado la necesidad de modificar los procedimientos tradicionales 
de evaluación de propuestas de inversión, con el objeto de lograr una mejor asignación. deU 
capital. Un ambiente crónico inflacionario disminuye notablemente el poder de compra 
de la unidad monetaria, causando grandes divergencias entre flujos de efectivo futuros 
reales y nominales. De esta forma, puesto que estamos interesados en determinar rendi­
mientos reales, debemos incluir explícitamente el impacto de la inflación al hacer un aná­
lisis económico.
El propósito de este capítulo es presentar una estructura, que explícitamente incor­
pore una cierta inflación, anticipada en los flujos de efectivo. No considerar el efecto de 
la inflación, tiende a producir decisiones cuyos resultados no van de acuerdo a las metas 
y objetivos fijados por una organización. Además, es un hecho que la inflación merma sig­
nificativamente los ahorros-en impuestos atribu ib les _a. la ..depreciación, puesto que ios 
procedimientos tradicionales basan los cálculos de depreciación en los costos históricos de 
los activos.
Decisiones subóptimas también pueden resultar al no considerar la disminución en 
el rendimiento real debido a impuestos e inflación. Sin inflación, una tasa de impuestos 
del 50% y una tasa interna de rendimiento antes de impuestos de 4%, se obtiene un ren­
dimiento real después de impuestos de aproximadamente 2% . Sin embargo, si una tasa de 
inflación del 4% es considerada, el rendimiento antes de impuestos debe ser incrementado 
a 12% para poder compensar los efectos combinados de impuestos e inflación. Incremen­
tar en 4% el rendimiento antes de impuestos para contrarrestar el 4% de inflación es insufi­
ciente y causaría una reducción del 2% en el rendimiento real, ya que los impuestos son 
pagados sobre ingresos nominales y no sobre ingresos reales.
9.1 INFLACION-QUE SIGNIFICA
Aunque la palabra inflación es utilizada todos los días, mucha gente encuentra 
difícil definirla. La mayoría de_las personas-están-concientesq ue una-determinada-can - 
151
152 Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
tidad de dinero compra cada vez menos cantidad de artículos y servicios a-medidarpie.el 
tiempo transcurre. Sin embargo, muy probablemente esta gente nc está capacitada para 
expresar este conocimiento cuantitativamente.
Antes de discutir el impacto de la inflación en la tasa interna de rendimiento, es 
conveniente decir algunas ideas sobre cómo medir la inflación. En términos simples, los 
resultados de las actividades de un negocio son expresados en pesos. Sin embargo, los pe­
sos. son una unidad imperfecta de medida, puesto que su valor cambia a través del tiempo. 
La inflación es el término que se usa para expresar esa disminución en valor. Por ejemplo, 
si se depositan SI ,000 en una cuenta de ahorro que paga el 10% anual, y el dinero es reti­
rado después de un año, se puede decir que la tasa interna de rendimiento es 10% . Lo an­
terior es cierto siempre y cuando el poder adquisitivo del dinero retirado sea el mismo del 
año anterior, o expresado en otras palabras, el rendimiento es 10% si con el dinero obtenido 
puedo comprar un 10% más de bienes y servicios. Sin embargo, si la inflación ha reducido 
el valor del dinero en un 20% , entonces, el rendimiento real resulta en una pérdida econó­
mica en el poder de compra de un 10% . Por consiguiente, se puede decir que la inflación 
es la medida de la disminución en el poder de compra del peso. f ;
^Existen dos.clases de inflación que pueden ser considerada.s.:. general o inflación abier- 
ta-y reprimida Q.j4flacióa4ifer^nciaL En el primer caso,..todos los precios y .GQ.Stos.sein^ 
crementan en la misma proporción^ Para el segundo caso, la tasa de inflación dependerá 
del sector económico involucrado. Por ejemplo, los costos de mano de obra y materia pri­
ma dentro de una empresa, pueden incrementarse a distintas tasas de inflación.
Finalmente, es necesario mencionar que el efecto de la inflación en el valor real de 
los flujos de efectivo futuros de un proyecto no debe ser confundido con los cambios 
de valor que el dinero tiene a través del tiempo. Las dos situaciones anteriores producen 
el mismo efecto; un peso el próximo año tiene un valor menor que un peso ahora. Sin 
embargo, el cambio del valor del dinero a través del tiempo surge debido a que un peso 
ahora puede ser invertido a la tasa de interés prevaleciente en el mercado y recuperar ese 
peso y los intereses el próximo año. Por el contrario, el efecto de la inflación surge simple­
mente porque con un peso se compra más ahora que en el próximo año, debido a la alza 
general de los precios. Esta distinción se comprenderá mejor en las siguientes secciones.
9.2 EFECTO DE LA INFLACION SOBRE EL VALOR PRESENTE
El valor presente de los flujos de efectivo generados por un proyecto (ver figura 9.1) 
pueden ser calculados utilizando la siguiente fórmula:
VPN = -S + v Si o ---------
r=l (1 + /)'
(9.1)
donde Sz es el flujo de efectivo neto del período t y So es la inversión inicial. Sin embargo, 
la expresión anterior sólo es válida cuando no existe inflación. Para el caso de que exista 
una tasa de inflación general (ver figura 9.2), los flujos de efectivo futuros no tendrán el 
mismo poder adquisitivo del año cero. Por consiguiente, antes de determinar el valor pre­
sente, los flujos deberán ser deflactados. Una vez hecho lo anterior, la ecuación de valor 
presente puede ser escrita en la forma siguiente:
Efecto de la inflación sobre la tasa interna de rendimiento 153
n
r=l (i+ Of
(9.2)
Esta última ecuación corrige el poder adquisitivo de los flujos de efectivo futuros. Si la 
tasa de inflación es cero, entonces, la última ecuación se transforma idéntica a la primera.
Finalmente, es conveniente señalar que los flujos de efectivo que aparecen en las 
figuras 9.1 y 9.2 no son iguales. Lo anterior es obvio, puesto que en épocas inflacionarias 
los flujos de efectivo se están incrementando de acuerdo a las tasas de inflación prevale­
cientes.
Si S2 Sn
i
2 n
FIGURA 9.1. Flujos de efectivo sin considerar inflación.
S’i/Í’ + Í,-) S-2/(l + ¡z)2
L
1 2
FIGURA 9.2. Flujos de efectivo considerando inflación.
9.3 EFECTO DE LA INFLACION SOBRE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
Un flujo de efectivo X tendría un valor de X(1 + i) al final del próximo año si es 
invertido a una tasa de interés i. Si la tasa de interés es tal que el valor presente es cero, 
entonces, a dicha tasa de interés se le conoce como la tasa interna de rendimiento.
Si hay una tasa de inflación anual i¡, entonces, una tasa interna de rendimiento efec­
tiva, ¡e, puede ser obtenida por la siguiente ecuación:
154 Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
x(i+ie)
X(l + z) 
(l + zf)
y simplificando:
(9-3)
ie “ (Z~Z/) / (1 + Z/) (9.4)
En esta ecuación, i puede ser vista como la tasa interna de rendimiento nominal (sin 
considerar inflación) y ie se puede considerar como la verdadera o real tasa interna de ren­
dimiento.
Es práctica común en vez de usar la ecuación 9.3, tratar de obtener el valor real de 
la tasa interna de rendimiento de la forma siguiente:
(9.5)
La ecuación (9.3) muestra que la ecuación (9.5) es sólo una aproximación, que de­
bería usarse sólo en el caso de que tanto las tasas de interés y de inflación sean bajas.
Las fórmulas presentadas anteriormente es obvio que solamente son válidas para 
inversiones de un período, es decir, si se hace por ejemplo una inversión a un año en la 
cual el rendimiento esperado es 20%y la tasa de inflación anual es 20%, entonces, el ren­
dimiento real o efectivo es cero. Por el contrario, las fórmulas anteriores no son válidas 
para inversiones cuyas vidas sean mayores a un período (mes, trimestre, año, etc.). Para 
estos casos, es necesario primero deflactar los flujos de efectivo después de impuestos y 
luego encontrar la tasa de interés efectiva que iguala a cero su valor presente.
9.4 EFECTO DE LA INFLACION EN INVERSIONESDE ACTIVO FIJO
Básicamente el efecto nocivo de la inflación en inversiones de activo fijo, se debe 
principalmente al hecho de que la depreciación se obtiene en función del costo histórico 
del activo. El efecto de determinar la depreciación en esta forma, es incrementar los im­
puestos a pagar en términos reales y disminuir por ende los flujos de efectivo reales des­
pués de impuestos.
Para ilustrar y aclarar el impacto de la inflación en una inversión de activo fijo, ana­
licemos el siguiente ejemplo; suponga que una empresa está considerando la posibilidad 
de reemplazar una máquina vieja por una nueva. Su TREMA es de 10%. El precio actual 
de la nueva máquina instalada es de $3.000. Esta máquina se piensa que ahorrará en los 
próximos cinco años una cantidad anual de $1,000. Al término de la vida económica esta 
máquina tendrá cero valor de rescate. Además, la tasa de impuestos es de 50%y la empre­
sa va a depreciar al activo en línea recta. Finalmente, es asumido que las personas involu­
cradas en esta evaluación, podrán proyectar en una forma aproximada la tasa de inflación 
de los próximos cinco años.
Efecto de la inflación en inversiones de activo fijo 155
Primeramente, la decisión de reemplazar el activo debe ser analizada bajo la influen­
cia de diferentes niveles de inflación. La tabla 9-1 muestra los resultados del análisis sin 
que la inflación sea considerada. En este caso el valor presente de los flujos de efectivo es 
de $32. Por consiguiente, el rendimiento sobre la inversión es mayor que 10% y la máqui­
na vieja debe ser reemplazada.
TABLA 9.1. Opción de compra sin considerar inflación
Flujo de Flujo de
efectivo efectivo Valor
antes de Ingreso después de presente
Año impuestos Depreciación gravable Impuestos impuestos (10%)
32
0
1
-$ 3,000
1,000 600 400 200
-$ 3,000
800
-$ 3,000
727
2 1,000 600 400 200 800 661
3 1,000 600 400 200 800 601
4 1,000 600 400 200 800 546
5 1,000 600 400 200 800 497
Ahora, si se modifica este ejemplo y se supone que hay una tasa general de inflación 
del 5% y 10% por año, y se aplica erróneamente la ecuación 9.1 (ver tablas 9-3 y 9.5), los 
resultados que se obtienen son demasiado engañosos puesto que el rendimiento que se ob­
tiene en dicha inversión parece ser mayor de lo que realmente es. Sin embargo, si la infla­
ción es correctamente considerada (ver tablas 9-2 y 9-4) los resultados son estrictamente 
diferentes. La figura 9.3 muestra los resultados obtenidos cuando la inflación es o no co­
rrectamente considerada.
Es evidente de los ejemplos analizados que el valor presente obtenido utilizando la 
ecuación (9.2) es menor al obtenido uulizando la ecuación (9.1). Más aún, entre mayor 
sea la tasa de inflación, mayor será la diferencia en los resultados obtenidos con ambos 
métodos. La razón de esta diferencia puede ser explicada al examinar la forma en que la 
depreciación es calculada y los impuestos son pagados. Las deducciones por depreciación 
son calculadas tomando como base los valores históricos de los activos, no sus valores de 
mercado, y por otra parte los impuestos son función directa de los ingresos, no del poder 
adquisitivo de ellos. Por consiguiente, a medida que los ingresos se incrementan como un 
resultado de la inflación y las deducciones por concepto de depreciación son mantenidas 
constantes, el ingreso gravable crece desmesuradamente. Esto origina que una empresa no 
pueda recuperar a través de la depreciación, el costo de reemplazo de un activo en tiempos 
de altas tasas inflacionarias.
La disminución en el valor presente considerando correctamente la inflación (ver 
tablas 9-2 y 9-4), se debe exclusivamente a los impuestos pagados. La depreciación es un 
gasto deducible el cual reduce los impuestos a pagar y por consiguiente aumenta el flujo 
de efectivo en esa cantidad ahorrada. Sin embargo, el gasto por depreciación de acuerdo 
a la Ley del Impuesto sobre la Renta, debe ser calculada de acuerdo a los costos históricos -de. 
los activos. Lo anterior significa que a medida que el tiempo transcurre, la depreciación
156 Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
que se está deduciendo está expresada en pesos con menor poder de compra; y como resul­
tado, el costo “real” de los activos no está totalmente reflejado en los gastos por deprecia­
ción. Los gastos por depreciación por consiguiente están subestimados y el ingreso gravable 
está sobreestimado.
Para ilustrar el efecto de la inflación en los impuestos pagados, la tabla 9-6 muestra 
cómo los impuestos en términos reales se están incrementando en proporción directa a la 
tasa de inflación y a la vida del activo. Desde luego, a medida que la tasa efectiva o real 
de impuestos se incremente, la tasa interna de rendimiento disminuye.
Finalmente, en la tabla 9-7 se muestra cómo los ahorros que origina la depreciación,, 
en términos reales, disminuyen en proporción directa a la tasa de inflación y a la vida del 
activo.
TABLA 9.2. Opción de compra con 5% de inflación y deflactando los flujos de efectivo 
después de impuestos-.
-111
O o
Flujos de Flujos de ’ i
- efectivo efectivo 
después de ’Flujos de 4 0 después de
efectivo i.
Ingreso <
impuestos impuestos ¿ Valor
antes de (pesos co- (pesos consi. presente
Año impuestos Depreciación
- 
gravable Impuestos rrientes) tan tes) f-f (10%)
0 -$ 3,000 -$ 3,000 -$ 3,000 / ’ -$ 3,000
1 1,050 <7 600 450 ^ -225 (825 "786 ¿ 715
2 1,102 r 600 503-^ -251 851 772/ 638
3 1,158 600 558 _279 879 . 759 570
4 1.216 600 616 -308 908 747 510
5 1,276 600 676 - 338 938 735 456
TABLA 9.3. Opción de compra con 5% de inflación y sin deflactar los flujos de efectivo 
después de impuestos.
Flujos de 
efectivo
Flujos de después de
efectivo impuestos Valor
antes de Ingreso (pesos co- presente
Año impuestos Depreciación gravable Impuestos rrientes) <20% J
0 -$ 3,000 -$ 3,000 -$ 3,000
1 1,050 600 450 225 825 750
2 1,103 600 503 251 851 703
3 1,158 600 558 279 879 660
4 1,216 600 616 308 908 620
5 1,276 600 676 338 938 582
315
Efecto de la inflación en inversiones de activo fijo 157
TABLA 9.4. Opción de compra con 10% de inflación y deflactando los flujos de efectivo
después de impuestos.
Año
Flujos de 
efectivo 
antes de 
impuestos
Ingreso
Flujos de 
efectivo 
después de 
impuestos 
(pesos co­
rrientes)
Flujos de 
efectivo 
después de 
impuestos 
(pesos cons­
tantes)
Valor 
presente 
(10%)Depreciación gravable Impuestos
0 -$ 3,000 -$ 3,000 -$ 3,000 -$ 3,000
1 1,100 600 500 250 850 773 703
2 1,210 600 610 305 905 748 618
3 1,331 600 731 366 965 725 545
4 1,464 600 864 432 1,032 705 482
5 1,610 600 1,010 505 1,105 686 426
-226
TABLA ^.5. Opción de compra con 10% de inflación y sin deflactar los flujos de efectivo 
después de impuestos.
Flujos de 
efectivo
Flujos de después de
Año
efectivo
antes de 
impuestos
Ingreso
Depreciación gravable Impuestos
impuestos
(pesos co­
rrientes)
Valor 
presente 
(10%)
0
1
-$ 3,000
1.100 600 500 150
-$ 3,000
850
-$ 3,000
773
-> 1,210 600 610 305 905 748
3 1,331 600 731 366 965 725
4 1,464 600 864 432 1,032 705
5 1,610 600 1,010 505 1,105 686
639
TABLA 9-6. Efecto de la inflación en los impuestos pagados.
A ño
Impuestos 
sin considerar 
inflación
Impuesto con
5% de inflación
Pesos Pesos
corrientes constantes
Impuesto con
10% de inflación
Pesos Pesos
corrientes constantes
1 $200 $225 $214 $250 $ 227
-> 200 251 228 305 252
3 200 279 241 366 275
4 200 308 253 432 295
5 200 338 264 505 314
158 Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
TABLA 9-7. Efecto de la inflación en los ahorros atribuibles a la depreciación.
A horro por
depreciación Ahorro por depreciación en términos reales
jzn considerar Con 5% de Con 10% de
Ano inflación inflación inflación
1 $ 300 $ 286 $ 273
2 300 272 248
3 300 259 225
4 300 247 205
5 300 235 186
Figura 9.3. Valor presente como una función de tasa de inflación.
Efecto de la inflación en inversiones de activo circulante 159
9.5 EFECTO DE LA INFLACION EN INVERSIONES DE ACTIVO CIRCULANTE
Se ha visto cómola inflación afecta o incide significativamente en el rendimiento de 
una inversión de activo fijo. Sin embargo, las inversiones en activo circulante también son 
tremendamente afectadas por la inflación. Proyectos que requieren mayores niveles de ac­
tivo circulante son afectados por la inflación porque dinero adicional debe ser invertido 
para mantener los artículos a los nuevos niveles de precios. Por ejemplo, si el inventario 
es igual a 3 meses de ventas y si el costo de los inventarios se incrementa, se requiere de 
una inversión adicional que mantenga este nivel de inventarios. Un fenómeno similar ocu­
rre con los fondos invertidos en cuentas por cobrar. Estas inversiones adicionales de activo 
circulante, pueden reducir seriamente la tasa interna de rendimiento del proyecto de in­
versión.
Para ilustrar el efecto de la inflación en el rendimiento de una inversión en activo 
circulante: suponga que cierta empresa piensa que incrementar su inversión de activo cir­
culante (caja, inventarios, cuentas por cobrar, etc.) en $100,000 originará un aumento en 
utilidades de $40,000 anuales, durante 5 años, al final de los cuales la inversión inicial sería 
recuperada en un 100% . Finalmente, suponga que la tasa de impuestos es de 50% y la tasa 
de inflación puede ser pronosticada.
Primeramente, como se muestra en la tabla 9.8, esta inversión tiene una tasa intema 
de rendimiento de 20% cuando la inflación no es considerada. Sin embargo, si una tasa de 
inflación de 10% anual es introducida, el rendimiento de la inversión baja a 10.9% (ver 
tabla 9-9) y si la tasa de inflación es de 20% anual, entonces, el rendimiento de la inversión 
baja a 3.33% . Esto significa que la tasa interna de rendimiento de una inversión en activo 
circulante disminuye en proporción directa a la tasa de inflación, es decir, si la tasa de in­
flación es de 5% , entonces, el rendimiento disminuye 5% y así sucesivamente. Lo anterior 
es más exacto entre más pequeña sea la tasa de inflación.
Finalmente, conviene señalar que a medida que la tasa de inflación se incrementa, 
el rendimiento de una inversión en activo circulante es mayormente afectado que el ren­
dimiento de una inversión en activo fijo. Lo anterior es obvio puesto que las inversiones 
adicionales de activo circulante castigan más el rendimiento del proyecto que la disminu­
ción en los ahorros atribuibles a la depreciación y el aumento en los impuestos reales 
pagados que origina una inversión en activo fijo.
TABLA 9-8. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación.
A ño
Flujos de 
efectivo 
antes de 
impuestos
Incremento 
en utilidades
Incremento 
en impuestos
Flujos de 
efectivo 
después de 
impuestos
0 -$ 100,000 -$ 100,000
1 40,000 40,000 20,000 20,000
2 40,000 40,000 20,000 20,000
3 40,000 40,000 20,000 20,000
4 40,000 40,000 20,000 20,000
5 40,000 40,000 20,000 20,000
5* 100,000 100,000
*VaIor de rescate.
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 20%
160 Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
TABLA 9.9. Flujos de efectivo después de impuestos considerando una inflación del 10% 
anual.
Año
Inversión 
adicional 
en activo 
circulante
Flujos de 
efectivo
antes de • 
impuestos
Incremento 
en utilidades
Incremento 
en impuestos
Flujos de 
efectivo 
después de 
impuestos 
(pesos co­
rrientes)
Flujos de 
efectivo 
después de 
impuestos 
(pesos cons­
tantes)
0 -$ 100,000 -$ 100,000 -$ 100,000
1 -10,000 7 44,000 44,000 •22,000 12,000 10,909
2 H 1,000 [ 48.400 48,400 -24,200 13,200 10,909
3 -12,100 y 53,240 53,240 -26,620 14,520 10,909
4 —13,310 / 58,564 58,564 -29,282 15,972 10,909
5 -14,641^ 64,420 64,420 .-32,210 17,569 10,909
5 161,051 161,051 100.000
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 10.9 %
TABLA 9.10. Flujos de efectivo después de impuestos considerando una inflación del 
20% anual.
TASA INTERNA DI. RENDIMII NTO = 3.33%
A no
In versión 
adicional 
en activo 
circulante
Flujos de 
efectivo 
antes de 
impuestos
Incremento 
en utilidades
Incremento 
en impuestos
Flujos de 
efectivo 
después de 
impuestos 
(pesos co­
rrientes)
Flujos de 
efectivo 
después de 
impuestos 
(pesos cons­
tantes)
0 -$ 100,000 -$ 100,000 -$ 100,000
1 20,000 48,000 48,000 24,000 4,000 3,333
2 24,000 57,600 57,600 28,800 4,800 3,333
3 28,800 69,120 69,120 34,560 5,760 3,333
4 34,560 82,944 82,944 41,472 6,912 3,333
5 41,472 99,533 99,533 49,767 8,294 3,333
5 248,832 248,832 100,000.
9.6 EFECTO DE LA INFLACION EN NUEVAS INVERSIONES CON DIFERENTES 
PROPORCIONES DE ACTIVO CIRCULANTE
En párrafos anteriores se ha enfatizado que las inversiones en activo circulante son 
mayormente afectadas por la inflación que las inversiones en activo fijo. Esto significa que 
dos empresas con el mismo nivel de inversión total (activo fijo 4- activo circulante), el mis­
mo nivel de ingresos y gastos, pero diferente proporción de activo circulante, verán afec­
tados susrendimientos en diferentes proporciones; teniendo la inflación un mayor impacto 
en el rendimiento déla empresa con mayor nivel de activo circulante. Lo anterior es obvio.
\Efecto de la inflación en nuevas inversiones 161
puesto que empresas con altos niveles de activos circulantes requieren de inversiones adi­
cionales futuras, capaces de mantener los inventarios de seguridad requeridos y el adecuado 
nivel de cuentas por cobrar, mientras que las empresas intensivas en activo fijo, no requie­
ren de inversiones adicionales sino hasta el momento de reemplazar a los activos. Además, 
es perfectamente claro que es menos rentable hacer inversiones cada año a hacer inversio­
nes cada cinco o diez años. Por otra parte, ya se ha explicado que daña menos el rendi­
miento de un proyecto, el pagar más impuestos en términos reales, que las inversiones 
adicionales periódicas requeridas por una inversión en activo circulante.
Para ilustrar el efecto de la inflación en empresas con la misma inversión total, el 
mismo nivel de ingresos y gastos y diferentes proporciones de activo circulante; suponga 
que cierto grupo industrial desea incursionar en un nuevo negocio, el cual requiere de 100 
millones de inversión inicial (50 millones deactivo circulante y 50 millones de activo fijo). 
Los flujos antes de depreciación e impuestos que se anticipan para los próximos cinco 
años son del orden de 40 millones por año. Por otra parte, asuma que el valor de rescate 
se estima en 20% del activo fijo y 100% del activo circulante, la depreciación del activo 
fijo es en línea recta y la tasa de impuestos es de 50% . Finalmente, suponga que la inflación 
promedio anual de los próximos 5 años es de 10%.
Con la información anterior, primeramente se muestan en la tabla 9.11 los flujos de 
efectivo después de impuestos y la tasa interna de rendimiento que se obtienen si la infla­
ción no es considerada. En seguida, la tabla 9.12 muestra el nuevo rendimiento obtenido 
si una inflación del 10% anual es introducida. Como se puede apreciar en dichas tablas, 
una inflación del 10% anual redujo el rendimiento del proyecto de 18.8% a 12.3%.
Veamos ahora qué le pasa al rendimiento del proyecto, si de los 100 millones: 75 
corresponden a activo fijo y 25 a activo circulante. Para esta nueva situación, la tabla 9.13 
muestra el rendimiento que se obtiene si una tasa de inflación de 10% anual es considera­
da. Como se puede observar en las tablas 9-12 y 9-13, dos proyectos de inversión con la 
misma inversión total, el mismo nivel de ingresos y gastos, pero diferentes proporciones 
de activo circulante; presentan diferentes rendimientos, correspondiendo el menor al pro­
yecto con mayor nivel de activo circulante.
TABLA 9.11. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación (mi­
les de pesos).
A ño
Flujos de 
efectivo 
antes de 
impuestos Depreciación
Ingreso 
grava ble Impuestos
Flujos de 
efectivo 
después de 
impuestos
0 -S 100,000 -$ 100,000
1 40,000 10,000 30,000 15,000 25,000
2 40.000 10,000 30,000 15,000 25,000
3 40,000 10,000 30,000 15,000 25,000
4 40,000 10,000 30,000 15,000 25,000
5 40,000 10,00030,000 15,000 25,000
5* 60,000 5,000 55,OOO:
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 18.8%
*Sc pagaron 5 millones por concepto de ganancias extraordinarias de capital.
162 Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
Tabla 9-12. Flujos dé efectivo después de impuestos considerando una tasa de inflación 
anual de 10% (miles de pesos).
Flujos de Flujos de 
efectivo efectivo
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 12.3%
Año
Inversión 
adicional 
en activo 
circulante
Flujos de 
efectivo 
antes de 
impuestos
Ingreso
Depreciación gravable Impuestos
después de 
impuestos 
(pesos co­
rrientes)
después de 
impuestos 
(pesos cons­
tantes)
0 -$ 100,000 -$ 100,000 -$100,000
1 5,000 44,000 10,000 34,000 17,000 22,000 20,000
2 5,500 48,400 10,000 38,400 19,200 23,700 19,587
3 6,050 53,240 10,000 43,240 21,620 25,570 19,211
4 6,655 58,564 10,000 48,564 24,282 27,627 18,870
5 7,321 64,420 10,000 54,420 27,210 29,889 18,559
5 96,636 8,055 88,581 55,000
TABLA 9.13. Flujos de efectivo después de impuestos considerando una tasa de inflación 
de 10% (miles de pesos).
Inversión 
adicional 
en activo
Año circulante
Flujos de 
efectivo 
antes de 
impuestos
Flujos de
efectivo
después de 
impuestos
Ingreso (pesos co~
Depreciacióngravable Impuestos rrientes)
Flujos de 
efectivo 
después de 
impuestos 
(pesos cons­
tantes)
0 -$ 100,000 -$ 100,000 -$ 100,000
1 2,500 44,000 15,000 29,000 14,500 27,000 24,545
2 2,750 48,400 15,000 33,400 16,700 28,950 23,926
3 3,025 53,240 15,000 38,240 19,120 31,095 23,362
4 3,327 58,564 15,000 43,564 21,782 33,455 22,850
5 3,660 64,420 15,000 49,420 24,710 36,050 22,384
5 64,421 12,079 52,342 32,500
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 13.2%
Finalmente, en la figura 9.4 se muestra una serie de curvas que muestran el compor­
tamiento de la tasa interna de rendimiento, para diferentes tasas de inflación y diferentes 
proporciones de activo circulante en la inversión total.
9.7 EFECTO DE LA INFLACION EN ACTIVOS NO DEPRECIABLES
Muchas inversiones de capital pueden consistir parcialmente de terrenos que aumen­
tan de precio de acuerdo al ritmo de la inflación. Aparentemente estas inversiones no sufren
Efecto de la inflación en activos no depreciables 163
1
TIR (%)
FIGURA 9.4. Variación de la TIR para diferentes tasas de inflación y para diferentes 
proporciones de activo circulante en la inversión total.
el efecto de la inflación y se les considera como inversiones atractivas en épocas inflaciona­
rias. Sin embargo, ni estas inversiones son inmunes al efecto nocivo de la inflación, puesto 
que si el valor del activo se incrementa con el nivel general de precios, esto ocasionará una 
ganancia extraordinaria de capital al momento de venderlo. Como las ganancias extraordina­
rias son gravables, entonces, el rendimiento que se obtiene en la adquisición de un terreno, 
disminuye significativamente debido a los impuestos que se pagan sobre dichas ganancias.
Para apreciar el efecto de la inflación en inversiones de activos no depreciables; su­
ponga que se ha adquirido un terreno a un precio de $100, el cual se piensa vender dentro 
de 5 años a un precio estimado de $161. También, asuma que la tasa de impuestos que 
grava las ganancias extraordinarias de capital es de 50%. Para esta información, la figura 
9.5 muestra el flujo de efectivo antes y después de impuestos sin considerar inflación. Si 
consideramos el flujo de efectivo después de impuestos y se obtiene la tasa de interés que 
iguala a cero el valor presente de dicho flujo, entonces, lo que se obtiene es la tasa interna 
de rendimiento de la inversión en el terreno. Dicha tasa de interés resulta ser en este caso 
de 5.46%.
Por otra parte, veamos qué le pasa al rendimiento de 5.46%, si una inflación anual 
de 50% es introducida (ver figura 9.6). Con este nivel de inflación el valor de rescate del 
terreno en el año 5 es de $ 1,223 (161 (1.5)s ). Esto significa que los impuestos por concep­
to de ganancias extraordinarias de capital serían de $561.50 en lugar de $30.5. Por con­
siguiente, el flujo de efectivo después de impuestos a pesos corrientes sería de $662 y a 
pesos constantes de $87. Tomando en cuenta este último flujo, el rendimiento que se 
obtiene es de — 2.7%. Como se puede apreciar, la inflación redujo el rendimiento del pro-
164 Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
1
y
100
llujo de efectivo 
antes de impuestos
130.5
5
100
Flujo de efectivo 
después de impuestos
FIGURA 9.5. Flujos de efectivo antes y después de impuestos para la compra de un te­
rreno sin considerar inflación.
1
' 1,223
5
662
l
100
l lujo de electivo 
antes de impuestos
100
Flujo de efectivo 
después de impuestos 
(pesos corrientes)
100
Flujo de efectivo 
después de impuestos 
(pesos constantes)
FIGURA 9.6. Flujos de efectivo antes y después de impuestos para la compra de un te­
rreno considerando una inflación del 50% anual.
l
1,223
1
970
1
128
5 5 5
100 1()0 1 00
Flujo de electivo Flujo de efectivo Flujo de efectivo
antes de impuestos después de impuestos después de impuestos
(pesos corrientes) (pesos constantes)
FIGURA 9.7. Flujos de efectivo antes y después de impuestos para la compra de un te­
rreno considerando una inflación del 50% anual y ajustando el costo futuro del terreno.
yecto de 5.46% a — 2.7%. La explicación a este hecho, son los impuestos que se pagan 
por las ganancias de capital, los cuales son mayores en términos reales (561 equivalen a 
74 que es mayor que 30.5).
En párrafos anteriores se mostró cómo la inflación castiga las inversiones en activos 
no dcpreciables. Sin embargo, en las reformas fiscales a la ley del impuesto sobre la renta 
de 1979, las ganancias extraordinarias de capital se calculan de una manera diferente. An­
teriormente, las ganancias o pérdidas de capital se obtenían como la diferencia entre el 
valor de rescate del activo al momento de la venta y su valor en libros. Sin embargo, a par­
Inflación diferencial 165
tir de las reformas fiscales de 1979, las ganancias o pérdidas extraordinarias de capital se 
deben obtener como la diferencia entre el valor de rescate del activo al momento de la 
venta y un costo ajustado. Este costo ajustado depende de la edad del activo y se obtiene 
al multiplicar el valor en libros al momento de la venta por un factor de ajuste*. Para el 
caso particular que se está analizando, el factor de ajuste es de 7.17. Para este factor de 
ajuste, la ganancia extraordinaria de capital es de $506 y los impuestos correspondien­
tes de $253. Por consiguiente, el flujo de efectivo después de impuestos a pesos corrientes 
es de $970 y a pesos constantes de $128 (ver figura 9.7). Tomando en cuenta este último 
flujo, el rendimiento que se obtiene es de 5.1%.
En resumen, se puede decir que la reforma fiscal de 1979 beneficia considerablemen­
te las inversiones en activos no depreciables, puesto que los rendimientos obtenidos en 
épocas inflacionarias, son similares a los que se obtienen cuando no existe inflación.
9.8 INFLACION DIFERENCIAL
En los ejemplos presentados anteriormente se utiliza inflación general, es decir, se 
supone que todos los elementos que intervienen en un mismo proyecto de inversión, se in­
crementan en la misma proporción. Sin embargo, es obvio que la mano de obra directa e 
indirecta, la materia prima, los gastos generales de fabricación, etc., se pueden incrementar 
a diferentes tasas de inflación.
Para ilustrar el caso que se presenta cuando inflación diferencial es introducida; su­
ponga que la corporación 0 se encuentra analizando la posibilidad de entraren el negocio 
de fabricación de plataformas marinas, las cuales se utilizan en la exploración y explotación 
del petróleo en la región del Golfo de México. Investigaciones preliminares indican que la 
inversión requerida para este tipo de negocio será de 200 millones (100 millones de activo 
circulante y 100 millones de activo fijo). Por otra parte, considere que la producción anual 
esperada en los próximos 5 años será del orden de 5,000 toneladasanualesjascualesscrán 
vendidas a un precio de $40,000/tonelada. También, se sabe que cada tonelada de produc­
to terminado requiere de S2,500 de mano de obra (directa e indirecta), $7,500 de material, 
$1 1,000 de maquila y $1,000 de fletes. Además, suponga que la inversión en activo fijo se 
deprecia en 5 años en línea recta, la tasa de impuestos es de 50% y el valor de rescate 
se supone en 20% del activo fijo y 100% del activo circulante. Por último, suponga que se 
ha pronosticado que el precio de venta se va a incrementar en 10%, la mano de obra en 
10%, el material en 15%, la maquila en 1 2% y los fletes en 5%, y además, la tasa de infla­
ción promedio anual de los próximos 5 años será de 15%.
Para la información anterior, primeramente se muestra en la tabla 9.14 el rendimien­
to que se obtiene si la inflación no es considerada, el cual resulta ser de 21 .6% . Por eí 
contrario, si las tasas de inflación de los diferentes suministros son introducidas, es ob­
vio que el rendimiento del proyecto se verá afectado. Para determinar el rendimiento que 
se obtiene cuando inflación diferencial es tomada cri cuenta, primeramente en la tabla 
9.15 se muestran los márgenes de contribución por tonelada antes de depreciación c im­
puestos para los próximos 5 años. En seguida, en la tabla 9.1 6 se muestra una ponderación 
de los porcentajes de inflación de los diferentes suministros utilizados. Esta ponderación 
es la que se utiliza para determinar las inversiones adicionales de activo circulante de los 
próximos cinco años. Finalmente, en la tabla 9.17 se muestra el rendimiento obtenido 
cuando inflación diferencial es introducida, el cual resulta ser de 7.9%
Para los factores de ajuste ver el artículo 70 de la Ley del Impuesto sobre la Renta o la tabla 6.2.
166 Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
TABLA 9-14. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación (mi­
les de pesos).
Flujos de Flujos de
efectivo efectivo
antes de Ingreso después de
Año impuestos Depreciación gravable Impuestos impuestos
0 -$ 200,000 -$ 200,000
1 90,000 20,000 70,000 35,000 55,000
2 90,000 20,000 70,000 35,000 55,000
3 90,000 20,000 70,000 35,000 55,000
4 90,000 20,000 70,000 35,000 55,000
5 90,000 20,000 70,000 35,000 55,000
5 120,000 10,000 110,000
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 21.6%
TABLA 9-15. Márgenes de contribución por tonelada antes de depreciación e im­
puestos para los próximos 5 años.
1 2 3 4 5
Precio $44,000 $48,400 $53,240 $58,564 $64,420
Costo:
Mano de obra 2,750 3,025 3,327 3,660 4,026
Material 8,625 9,919 11,407 13,118 15,085
Maquila 12,320 13,798 15,454 17,308 19,386
Fletes 1,050 1,103 1,158 1,216 1,276
M.C./Ton. $19,255 $20,555 $21,894 $23,261 $24,647
TABLA 9.16. Ponderación de los porcentajes de inflación de los diferentes suminis­
tros considerados.
Costo por 
tonelada
%del
total
%de 
in Ilación Po nd eració n (% )
Mano de obra $2,500 11.36 10 1.1360
Material 7,500 34.09 15 5.1135
Maquila 11,000 50.00 12 6.0000
Fletes 1,000 4.55 5 0.2275
Total $22,000 100.00 12.4770
Conclusiones 167
TABLA 9.17. Flujos de efectivo después de impuestos considerando inflación diferencial 
(miles de pesos).
TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 7.9%
A ño
Inversión 
adicional 
de activo 
circulante
Flujos de 
efectivo 
antes de 
impuestos Depreciación
Ingreso
gravable Impuestos
Flujos de 
efectivo 
después de 
impuestos 
(pesos co­
rrientes)
Flujos de 
efectivo 
después de 
impuestos 
(pesos cons­
tantes)
0
1 12,480
-$ 200,000
96,275 20,000 16,215 38,138
-$ 200,000
45,657
-$ 200,000
39,702
2 14,038 102,775 20,000 82,775 41,388 47,349 35,803
3 15,789 109,470 20,000 89,470 44,735 48,946 32,183
4 17,760 116,305 20,000 96,305 48,153 50,392 28,812
5 19,976 123,235 20,000 103,235 51,618 51,641 25,675
5 220,270 20,114 200,156 99,513
9.9 CONCLUSIONES
Aunque es difícil evaluar propuestas de inversión en tiempos de altas tasas infla­
cionarias, es importante predecirlas y considerarlas en los estudios económicos.
Hasta hace relativamente poco tiempo, los negocios han tendido a ignorar el efecto 
inflacionario en la evaluación de sus nuevos proyectos de inversión, por considerarla de 
poco impacto en los rendimientos reales obtenidos. Muchos otros ejecutivos creen que ig­
norar la inflación es adoptar una postura conservadora. Sin embargo, se ha demostrado 
que la realidad es muy diferente, puesto que la mayoría de las inversiones son castigadas 
duramente por la inflación y se puede decir que casi no existen inversiones de capital in­
munes al efecto nocivo de la inflación.
Aunque es muy recomendable considerar el impacto de la inflación en los estudios 
económicos, esta alternativa presenta la dificultad de predecir los niveles generales de 
precios que van a prevalecer en el futuro. Sin embargo, si no se tiene la certeza del nivel de in­
flación de los próximos años, se puede utilizar la técnica de simulación o un enfoque pro- 
babilístico que determine la distribución de probabilidad déla tasa interna de rendimiento, 
para las diferentes tasas de inflación consideradas, es decir, se pueden hacer estimaciones 
optimistas, pesimistas y más probables para las tasas de inflación, y en base a ello, deter­
minar y definir la distribución de probabilidad déla tasa interna de rendimiento de acuerdo 
a cualquiera de la técnicas antes mencionadas.
Finalmente, cabe mencionar que en tiempos de altas tasas inflacionarias, los diferen­
tes cursos de acción que se pueden tomar son: 1) incrementar los precios a una tasa mayor 
que la inflacionaria; 2) incrementar la tasa de recuperación mínima atractiva; 3) de ser 
posible arrendar el equipo en lugar de comprarlo; 4) incrementar las inversiones en acti­
vos no depreciables (terrenos, acciones) las cuales de acuerdo a las nuevas reformas fiscales 
de 1979 lucen bastante atractivas al inversionista racional.
168 Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
PROBLEMAS
9.2
9.3
9.4
Suponga que cierta empresa está considerando la posibilidad d~ remplazar una má­
quina vieja por una nueva. El precio actual de la nueva máquina instalada es de 
$100,000. Los beneficios antes de depreciación e impuestos (suponiendo que no 
hay inflación) se estiman en $40,000 para los próximos cinco años. Al término de 
este tiempo el valor de rescate será de $30,000. Si la inflación promedio anual de los 
próximos años es de 15% , la vida fiscal del activo es de 5 años, y la tasa de impues­
tos es de 50%, ¿cuál es la TIR que esta empresa obtiene en la adquisición de este 
activo sin considerar y tomando en cuenta la inflación?
Para el problema anterior determine una gráfica que relacione la TIR con inflacio­
nes de 5% , 10% , 15% y 20%anual.
¿Cuál es la TIR que se obtiene en el problema 9-1 si la inflación en los próximos 5 
años es de 10%, 12% , 14%, 16% y 18% respectivamente?
La compañía W desea seleccionar la mejor de las máquinas que se muestran a con­
tinuación. Si la tasa de inflación de los próximos 5 años es de 20% anual, la TREMA 
es de 20% y la tasa de impuestos es 50%, ¿cuál máquina representaría la mejor alter­
nativa para la compañía W?
Máq. 1 Máq. 2 Máq. 3 # /
Inversión inicial $100,000 $150,000 $250,000
Costos en el año K 40,000(1.10)k_1 30,000(1.08)k"^ 15,000(1.05)k_1
Valor de rescate 30,000 40,000 60,000
Vida fiscal 5 años 5 años 5 años
9.5 Resuelva el problema anterior suponiendo que la inflación en los próximos 5 años 
es de 14% , 16% , 18%, 20% y 22% respectivamente.
9.6 La compañía Z desea incrementar su inversión en activo circulante (caja, inventarios,^ 
cuentas por cobrar, etc.), en un millón de pesos. Con esta inversión la compañía 
piensa que sus utilidades se van a incrementaren $450,000 anuales, durante 5 años, 
al final de los cuales la inversión inicial será recuperada en un 100% . Si la tasa de im­
puestos es de 50% , y la inflación promedio anual de los próximos 5 años es de 18% , 
¿cuál es la TIR que la compañía obtiene en esta inversión?
9.7 Resolver el problema 6-9 suponiendo que la inflación en los próximos 10 añoses 
de 20% anual.
9.8 Resolver el problema 6-11 suponiendo que la inflación en los próximos 10 años es 
de 15% anuaL
9.9 La compañía X acaba de comprar un terreno a un precio de $5,000,000, el cual
piensa vender dentro de 5 años en $10,000,000. Si la tasa de impuestos es de 50%, 
y la tasa de inflación promedio anual es de 40%, ¿cuál es la TIR que se obtiene si 
a) no se considera inflación, b) se considera inflación pero no se ajusta el valor del 
activo al momento de la venta, y c) se considera inflación y se ajusta el valor del ac­
tivo al momento de la venta?
Problemas 169
9.10 El grupo industrial “B” desea incursionar en el negocio de jarabe 75 ° BX (producto 
substituto del azúcar). La producción anual esperada de producto terminado para 
el primer año de operaciones es de 27,941 toneiadas y se espera incrementar esta 
cantidad en un 10% anual (se asume que todo lo que se produce se vende). La capa- 
' cidad inicial instalada de la nueva planta será de 45,000 toneladas. Puesto que la 
capacidad inicial instalada se agota al final del año 6, el grupo industrial aumentará 
la capacidad de producción a 75,000 toneladas a partir del año 7.
Por otra parte, la inversión iniciaren este tipo de negocio se estima en $70 millones 
(50 millones de activo fijo y 20 millones de activo circulante). Además, al final del año 
seis el grupo industrial estima que el aumento en capacidad de 30,000 toneladas costará 
$20 millones^También, puesto que las ventas están creciendo a una razón del 10% anual, 
el grupo ha determinado que las inversiones adicionales en activo circulante crecerán a 
una razón de $800 por tonelada adicional vendida.
C^\ ¡ Con respecto a los gastos administrativos y de operación, el grupo industrial ha,de­
terminado lo siguiente:
Costos fijos por año:
Administrativos
Generales de fabricación 
(primeros cinco años)
Generales de fabricación 
(últimos cinco años)
$ 2,000,000
1,750,000
3,000,000
Costos var. por ton.:
Materia prima $ 3,000
Distribución 300
Energía 180
Mano de obra directa 60
Ventas 50
Finalmente, suponga que la tasa de impuestos es de 50%, y la vida fiscal de las inver­
siones en activo fijo es de 10 años, al término de los cuales el, valor de rescate es de$10 
millones para la primera inversión en activo fijo y de $5 millones para la inversión a realizar 
al final del año 6. También, estime que la inversión inicial en activo circulante y las inversio­
nes adicionales posteriores, son recuperables al final del año 10 en un 100%. Si la inflación 
promedio anual de los próximos 10 años es de 20%, ¿cuál es la TIR que el grupo industrial 
obtendría al emprender este proyecto de inversión?
Si suponemos una tasa de inflación promedio anual de 20% , y el precio y los costos 
de operación crecen de acuerdo a las siguientes tasas de inflación:
Precio 15%
Gastos administrativos 10%
Gastos generales de fabricación 10%
Materia prima 15%
Distribución 12%
Energía 20%
170 Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias
Mano de obra directa
Ventas
14%
12%
¿cuál es la TIR que se obtendría en este proyecto de inversión? (Considere que las inver­
siones adicionales en activo circulante dependen únicamente de los costos variables y que 
el precio de venta por tonelada es de $5,000).
ií
í
10
Costo de capital
El conocimiento que del costo de,capital debe tener una empresa es muy importante, 
puesto que en toda evaluación económica y financiera se requiere tener una idea aproxi­
mada de los costos de las diferentes fuentes de financiamiento que la empresa utiliza para 
emprender sus proyectos de inversión. Además, el conocimiento del costo de capital y 
cómo es éste influenciado por el apalancamiento financiero, permiten tomar mejores de­
cisiones en cuanto a la estructura financiera de la empresa. Finalmente, existe otro gran 
número de decisiones tales como: estrategias de crecimiento, arrendamientos y políticas 
de capital de trabajo, las cuales requieren del conocimiento del costo de capital de la em­
presa, para que los resultados obtenidos con tales decisiones sean acordes a las metas y ob­
jetivos que la organización ha establecido.
Actualmente existen un gran número de definiciones de este concepto entre las 
cuales podemos mencionar las siguientes:
• La tasa de interés que los inversionistas tanto acreedores como propietarios, de­
sean le sea pagada para conservar e incrementar sus inversiones en la empresa.
• Ponderado de las diferentes fuentes de financiamiento.
• La tasa de interés que iguala el valor presente de los flujos netos recibidos por la 
empresa, con el valor presente de los desembolsos esperados (interés, pago del 
principal, dividendos, etc.).
• El límite inferior de la tasa interna de rendimiento que un proyecto debe rendir 
para^que se justifique el empleo del capital para adoptarlo.
Obviamente, todas estas definiciones son equivalentes. Lo importante es desarrollar 
una metodología específica que determine el costo de cada una de las fuentes de finan- 
ciamiento (externas e internas) que la empresa utiliza para fmanciar sus proyectos de 
inversión. Por consiguiente, el objetivo de este capítulo es presentar en forma clara y con­
cisa cómo el costo de capital de cada fuente de financiamiento es evaluado.
171
172 Costo de capital
10.1 COSTO DE CAPITAL -COMO SE CALCULA
Antes de proceder al cálculo del costo de capital de cada fuente de financiamiento, 
es conveniente describir en forma genérica el procedimiento a seguir en la evaluación del 
costo de capital de cualquier fuente.
Toda fuente de financiamiento implica un desembolso inicial para el inversionista 
(bancos, accionistas, obligacionistas, etc.) y una captación para la empresa. También, 
dicha fuente de financiamiento implica recepciones periódicas para el inversionista y de­
sembolsos de la misma magnitud para la empresa. Esta explicación se puede comprender 
mejor al examinar la figura 10.1. En esta figura se puede apreciar que la cantidad aportada 
por el inversionista no necesariamente es igual a la cantidad captada por la empresa. Esta 
diferencia se puede deber al hecho de que en algunos tipos de financiamiento, la empresa 
incurre en ciertos gastos (emisión, comisiones, etc.), lo cual origina que la captación por 
parte de la empresa sea menor a la cantidad aportada por el inversionista (P' < P).
1 n
2 3
Empresa
S2 S3
1
sn-1
n
Inversionista
FIGURA 10.1. Flujo de efectivo que origina una fuente de financiamiento desde 
el punto de vista empresa y desde el punto de vista inversionista.
Por consiguiente, de la figura 10.1, es obvio que el costo de cualquier fuente de 
financiamiento, se obtiene al encontrar la tasa de interés que satisface la siguiente ecuación:
n
P' - S 
r=l (1 + o'
= 0
Proveedores 173
COSTO DE CAPITAL
DE FUENTES EXTERNAS
10.2 PROVEEDORES
Una de las fuentes de financiamiento más utilizadas por una empresa son los pro­
veedores, los cuales se pueden clasificar en dos tipos: aquellos que conceden descuentos 
por pronto pago y aquellos que no lo conceden. Si además estos últimos no cobran in­
tereses, entonces, su costo de financiamiento es cero.
Como el costo de los proveedores que no conceden descuentos por pronto pago y 
además no cobran intereses, no necesita ser evaluado, entonces, en el presente inciso se 
enfatiza la forma como debe ser calculado el costo de los proveedores que sí lo otorgan. 
Para este último caso se va a analizar el costo en que una empresa incurre al no aprovechar 
los descuentos, puesto que es muy importante señalar que cuando una empresa los apro­
vecha, querrá decir que la empresa no quiso utilizar el plazo de crédito ofrecido o sea la 
forma de financiamiento propuesto y por lo tanto no existirá un costo explícito por este 
concepto.
Para evaluar lo que a una empresa le cuesta no aprovechar un descuento, suponga­
mos que una empresa ha recibido mercancía, la cual, si es pagada al final del período de 
descuento cuesta P y si se paga al final del período de financiamiento cuesta F (P<F). 
Tal situaciónse muestra en forma gráfica en la figura 10.2.
P
Período de 
descuento
Período de financiamiento (x días)
F
FIGURA 10.2. Flujo de efectivo que resulta de no aprovechar un descuento por 
pronto pago.
/
Como no se aprovecha el descuento, la figura 10.2 se puede interpretar como que la empresa 
recibe al final de período de descuento, mercancía por valor de P pesos, a cambio de pagar 
al final del período de financiamiento, una cantidad de F pesos. Por consiguiente, el costo 
antes de impuestos de no aprovechar el descuento sería:
F~P
K
Pr = ~y-
F 
--------- 1
P
(10.1)
Sin embargo, el interés anterior es por un período de x días, lo cual significa que si qui­
siéramos evaluar el costo anual efectivo de no aprovechar el descuento, éste vendría dado 
por la siguiente expresión:
174 Costo de capital
TEA = (F/P)36s/X - 1 (10-2)’
Para aclarar la evaluación del costo de no aprovechar un descuento, supongamos que los 
términos de un proveedor en una compra de $100 sean: 3% de descuento por pronto pago 
si la factura es liquidada dentro de los 10 días.siguientes a la fecha de compra o el neto si 
lo pagamos a treinta días (3/10, n/30).
Para esta situación, la aplicación de la ecuación (10.1) arroja un valor de 3.093%. 
Sin embargo, este costo es para un período de 20 días (período de financiamiento). El 
costo anual efectivo vendría dado por la ecuación que sigue:
JEA = (l-031)365/2° - 1 = 74.35%
Como puede apreciarse, no aprovechar el descuento representa un costo anual efectivo 
de 74.35%. Esto significa, que cuando los descuentos por pronto pago no se aprovechan, 
el crédito de proveedores es una de las fuentes de financiamiento más caras que podemos 
encontrar. Ante esta situación vale la pena preguntarnos cuánto costaría un préstamo que 
cubriese nuestro pasivo promedio con proveedores. Obviamente el costo sería menor. 
Sin embargo, en términos generales conviene financiarse con proveedores siempre y cuando 
su costo no sea mayor al costo de un préstamo, es decir, cuando se detecta un costo de 
proveedores excesivamente alto, conviene solicitar un préstamo por la cantidad que nues­
tra capacidad de crédito y liquidez lo permita.
Finalmente, como la subcuenta de “descuentos por pronto pago no utilizados” es 
deducible, el costo anual efectivo después de impuestos de no aprovechar un descuento, 
se obtiene con la expresión:
(F-(F-P)t )36S/JC _ 1 (10.3)
10.3 PRESTAMOS BANCARIOS DE CORTO PLAZO
En cuanto a los créditos bancarios a corto plazo, la mayoría de las veces éstos se 
otorgan en forma directa, esto es, sin ninguna garantía real y después de que la institución 
de crédi^) ha considerado que la empresa es sujeta de crédito.
El costo principal de este recurso es el interés que la empresa habrá de pagar a la ins­
titución de crédito por utilizar sus fondos. Normalmente, estos intereses son cobrados por 
anticipado por el otorgante del crédito. Además de este costo, es frecuente que las insti­
tuciones bancarias soliciten a sus clientes que mantengan un nivel promedio en cuentas de 
cheques como “reciprocidad” o “compensación”. Este factor que para la empresa signi­
fica inmovilización de recursos, también se deberá tomar en cuenta al evaluar el costo de 
este recurso. Finalmente, es posible que al solicitar un préstamo se incurra en gastos, los 
cuales normalmente son por cuenta del cliente, tales como comisiones de apertura de cré­
dito y otro tipo de cargos que pudieran ser de importancia.
Tomando en cuenta los factores antes mencionados, el flujo de efectivo para la em­
presa que origina un préstamo bancario de corto plazo, es como sigue:
Préstamos bancarios de corto plazo 175
donde:
P = Cantidad solicitada.
I = Intereses que genera la cantidad solicitada.
GR = Gastos bancarios de apertura de crédito.
RE = Nivel promedio en cuentas de cheques como reciprocidad o compensación.
Por consiguiente, el costo antes de impuestos que esta fuente de financiamiento repre­
senta para la empresa, se obtiene al encontrar la tasa de interés (Kpcp) que satisface la 
ecuación:
P-I-GB-RE P — RE 
d +KPCpy
(10-4)
Como la tasa de interés (Kpcp) que satisface la ecuación anterior es el interés real mensual 
del préstamo, entonces, si se quiere determinar el interés efectivo anual que el préstamo 
significa, se utilizaría la ecuación siguiente;
(10.5)
Para ilustrar la aplicación de las fórmulas previamente desarrolladas, supongamos que una 
empresa solicita un préstamo bancario directo a seis meses por la cantidad de $500,000. 
La institución bancaria exige: una reciprocidad de 10% del valor del préstamo, intereses 
al 1% mensual simple pagados anticipadamente y gastos bancarios por $50,000. Para esta 
información, la aplicación de la ecuación (10.4) produce lo siguiente:
500,000-30,000-50,000-50,000
450,000
a +KPCP?
(1 + Á" )6 =
pcp 370,000
y simplificando la ecuación anterior se obtiene Kpcp = 3.32% mensual, el cual repre­
senta un interés efectivo anual de 47.92%.
Antes de concluir este inciso, es conveniente señalar que la ecuación (10.4) es el 
caso general, es decir, esta ecuación considera que todo préstamo bancario origina gastos 
176 Costo de capital
y reciprocidad, sin embargo, si un préstamo no los origina GB y RE serían eliminados de 
dicha ecuación.
Finalmente, como algunos de los gastos que se incurren en un préstamo bancario 
son deducibles, el costo después de impuestos de un préstamo de corto plazo se puede 
obtener al encontrar la tasa de interés K1pcp que satisface la siguiente ecuación:
p /(l f) - GB (1 - í) - RE = (10.6)
donde t es la tasa de impuestos.
10.4 PASIVO A LARGO PLAZO
Obligaciones
Las obligaciones son alternativas de financiamiento a largo plazo (5 o más años) por 
medio de las cuales se captan fondos del público inversionista al cual se le garantiza a cam­
bio, un rendimiento determinado. Estas obligaciones representan para la empresa emisora 
una deuda a largo plazo, la cual se pagaría en varias amortizaciones periódicas.
El costo principal de esta alternativa de financiamiento son los intereses que pagarán 
las obligaciones a sus tenedores. Sin embargo, toda emisión de obligación lleva implícitos 
una serie de gastos entre los cuales podemos resaltar los siguientes:
• Honorarios de un profesionista independiente por la elaboración del estudio téc­
nico económico-financiero que por ley requiere la Comisión Nacional de Valores.
• Impresión del prospecto de la emisión.
• Honorarios al notario por la protocolización del acta de la emisión.
• Registro del acta en el registro público.
• Comisión del colocador primario.
• Inscripción en bolsa de valores y registro de valores.
• Impresión de certificados provisionales en papel seguridad.
• Impresión de los títulos definitivos y sus cupones.
Tomando en cuenta los costos antes mencionados, el flujo de efectivo neto que para
la empresa si una emisión de obligaciones, es como sigue: 
P + I
Pasivo a largo plazo 177
donde:
P' = Es la cantidad neta obtenida de la emisión. 
I = Intereses percibidos por el inversionista. 
P = Valor nominal de la emisión.
GT = Gastos totales que origina la emisión.
Es obvio que este diagrama de flujo de efectivo no es el único que puede resultar de 
una emisión de obligaciones, puesto que es posible pagar el valor de la emisión en varias 
amortizaciones periódicas. Sin embargo, el pagar la emisión en amortizaciones periódicas 
de igual magnitud, originaría un flujo de efectivo idéntico al que origina un crédito hipo­
tecario industrial. Por consiguiente, en esta sección solamente se analiza el caso de amor­
tizar el valor nominal de las obligaciones en un solo pago.
Considerando el diagrama de flujo de efectivo mostrado, es obvio que: el costo antes 
de impuestos de una emisión de obligaciones, es la tasa de interés (Xo) que satisface la
ecuación:
i. I(1+W ——V (1+KO)" 7 o (10-7)
y puesto que los intereses y los gastos originados por la emisión son deducibles, el costo 
después de impuestos de esta fuente de frnanciamiento, sería la tasa de interés (Á?'o)que 
satisface la ecuación:
/ n{P-GT(1-r)}-( S
V=1
VQ-0 f\ 
(i +roy (i +ror )
o (10.8)
con el propósito de ilustrar la evaluación numérica del costo de esta alternativa de finan- 
ciamiento, suponga que una empresa emite $1,000,000 en obligaciones al 12% anual con 
vencimiento a 10 años. También, considere que los gastos que esta emisión origina son de 
$100,000, y la tasa de impuestos es de 50%. Para esta información, la tabla 10-1 muestra 
los flujos de efectivo después de impuestos que origina la emisión. Para estos flujos, la 
aplicación de la ecuación (10.8) arroja un valor de 6.7%.
Finalmente, dada nuestra situación económica actual (ambiente crónico inflacio­
nario), conviene señalar cómo la inflación afecta el costo de esta alternativa de financia- 
iniento. Para este propósito el diagrama de flujo de efectivo previamente presentado se 
transforma a:
d+9n
P' = P - G1
1 2
\
n-1 n
f r
I I I
(l + íf) (l-zf)2 P +
178 Costo de capital
TABLA 10-1. Flujos de efectivo después de impuestos para una emisión de obliga­
ciones sin considerar inflación (miles de pesos).
Ano
Flujo de 
efectivo 
antes de 
impuestos Deducciones
A horro en 
impuestos
Flujo de 
efectivo 
después de 
impuestos
0 $ 900 -100 50 $ 950
1 - 120 -120 60 - 60
2 - 120 -120 60 - 60
3 - 120 -120 60 - 60
4 - 120 -120 60 - 60
5 - 120 -120 60 - 60
6 - 120 -120 60 - 60
7 - 120 -120 60 - 60
8 - 120 -120 60 - 60
9 - 120 -120 60 ' - 60
10 - 120 -120 60 - 60
10 -1000 -1000
* COSTO REAL = 6.7%
i
donde:
i. = tasa de inflación promedio por período.
y el costo de la emisión después de impuestos se obtendría al encontrar la tasa de interés 
(Koi) que satisface la ecuación:
{P—GT (1 -í)}-( S 
\7=1
Ai -0/(1 +pz
(i +*0,y
F/(l + Z.)" \
— - 1 | = 0. (10.9)
(i +Koiy I
Para ilustrar la obtención del costo después de impuestos de una emisión de obliga­
ciones en épocas inflacionarias, suponga que la emisión descrita previamente, se hizo en 
un ambiente inflacionario del 10% promedio anual. Para esta información, la tabla 10-2' 
muestra los flujos de efectivo después de impuestos (a pesos constantes) que resultan de la 
emisión. Para estos flujos, la aplicación de la ecuación (10.9) artoja un valor de —3%.
Como puede advertirse, en ambientes crónicos inflacionanos, los financiamientos a 
largo plazo son muy atractivos, sobre todo cuando las emisiones son a tasas fijas. La ex­
plicación lógica de esta aseveración, se basa en el hecho de que los pagos futuros que ori­
gina el financiamiento se harían con pesos superdevaluados.
Pasivo a largo plazo 179
TABLA 10-2. Flujos de efectivo después de impuestos para una emisión de obliga­
ciones, considerando una inflación del 10% anual (miles de pesos).
COSTO REAL = -3%
Año
Flujo de 
efectivo 
antes de' 
impuestos Deducciones
Ahorro en 
impuestos
Flujo de 
efectivo 
después de 
impuestos
( pesos 
corrientes)
Flujo de 
efectivo 
después de 
impuestos
pesos 
constantes)
0 S 900 -100 50 $ 950 $ 950.00
1 - 120 -120 60 - 60 - 54.54
2 - 120 -120 60 - 60 - 49.58
3 - 120 -120 60 - 60 - 45.08
4 - 120 -120 60 - 60 - 40.98
5 - 120 -120 60 - 60 - 37.25
6 - 120 -120 60 - 60 - 33.86
7 - 120 -120 60 - 6G - 30.78
8 - 120 -120 60 - 60 - 27.99
9 - 120 -120 60 - 60 - 25.44
10 - 120 -120 60 - 60 - 23.13
10 -1000 -385.54
Crédito hipotecario industrial
Los créditos hipotecarios son créditos que las instituciones bancarias otorgan a un 
plazo mayor de un año (3 a 10) y en los cuales los activos de la empresa son utilizados 
para garantizar la devolución del préstamo.
En la evaluación de esta alternativa de financiamiento se van a considerar diferentes 
situaciones tales como: tasas flotantes, ambientes inflacionarios y cambios de paridad; las 
cuales afectan significativamente el costo de este pasivo. Además, en el apéndice, al final 
de este capítulo, se analiza esta alternativa de financiamiento bajo un esquema de pasos 
crecientes.
Crédito hipotecario normal
En este inciso se evalúa el costo de un crédito hipotecario sin considerar las situa­
ciones antes mencionadas. En tales circunstancias, el flujo de efectivo para la empresa que 
origina un crédito hipotecario es como sigue:
T
P/n+Pf(l -(/-l)/n)
P/n +
180 Costo de capital
donde:
P = Magnitud del préstamo solicitado.
GT = Gastos totales que origina el préstamo. 
n = Plazo concedido para pagar el préstamo.
i = Tasa nominal de interés sobre saldos insolutos.
y puesto que los gastos e intereses que origina el préstamo son deduciblés, el costo des­
pués de impuestos de esta alternativa de financiamiento, sería la tasa de interés (Á^) que 
satisface la ecuación:
- G -1)/») (i -
a+V
Para ejemplificar la utilización de esta fórmula, suponga que una empresa ha obte­
nido un préstamo de $1,000,000 a 10 años de una institución bancaria que le cobraría el 
20% sobre saldos insolutos. También, considere que la obtención de tal préstamo le oca­
sionó a la empresa gastos del orden de $100,000. Finalmente, considere que la tasa de 
impuestos es de 50%. Para esta información, la tabla 10.3 muestra los flujos de efectivo 
después de impuestos que origina la captación de este pasivo. Para los flujos mostrados en 
dicha tabla, la aplicación de la ecuación (10.10) produce un resultado de 11.4%.
TABLA 10-3. Flujos de efectivo después de impuestos de un crédito hipotecario 
normal sin considerar inflación (miles de pesos).
Flujo de Flujo de
Año
efectivo
antes de 
impuestos Deducciones
Ahorro en 
impuestos
efectivo 
después de 
impuestos
COSTO REAL = 11.4%
CAP. INT.
0 $ 900 -100 50 $ 950
1 -100 -200 -200 100 -200
2 -100 -180 -180 90 -190
3 -100 -160 -160 80 -18(T
4 -100 -140 -140 70 -170
5 -100 -120 -120 60 -160
6 -100 -100 -100 50 -150
7 -100 - 80 - 80 40 -140
8. -100 - 60 - 60 30 -130
9 -100 - 40 - 40 20 -120
10 -100 - 20 - 20 10 -110
Crédito hipotecario con inflación
Si el crédito hipotecario se obtiene en épocas inflacionarias, es obvio que el costo 
de esta fuente de financiamiento disminuye considerablemente. Además, cuando una in-
Pasivo a largo plazo 181
ilación (zp es introducida, el diagrama de flujo de efectivo previo se transforma en:
P/n + Pittln)
P/n + Pi(l-l/n)
P/n+Pi(l-G-l)/n) (1 + '\
P/n + Pi 
(1 + i ó
(1+ I,)3
y el costo después de impuesto de esta fuente de financiamiento, sería la tasa de interés 
(A^p que satisface la ecuación:
/ n
{P -G7(l S
\/=l
W (1 - (/ - 1)M) (1 - t) + P/n } /(I + 
(i
o
(10.11)
Para ilustrar la aplicación de esta ecuación, la tabla 10.4 muestra los flujos de efec­
tivo después de impuestos que se obtendrían si en el ejemplo previo se considera una in­
flación promedio anual de 10%. Como se puede apreciar en dicha tabla, la aplicación de 
la ecuación (10.11) arroja un resultado de 1.2%. En resumen, se puede decir que los re­
sultados mostrados en las tablas 10.3 y 10.4 indican que el costo real de un crédito hipo­
tecario en épocas inflacionarias, se reduce en una cantidad aproximadamente igual a la 
tasa de inflación promedio anual.
Crédito hipotecario con tasas flotantes e inflación
Si el costo o interés del crédito hipotecario pactado en el contrato, es a base de ta­
sas variables con ajustes periódicos dependiendo del entorno económico en el cual se de­
senvuelve la empresa, entonces, el diagrama de flujo de efectivo para esta situación sería:
182 Costo de capital
i
P/n + Pitl-g-DIn)
TT (1 + !,,) 
/=1
n
donde:
ij — Tasa de interés que se cobra en el período /. 
iij = Tasa de inflación promedio del período j.
y el costo después de impuestos de esta alternativa de financiamiento, sería la tasa de in­
terés que satisface la ecuación:
{P(fl(H(/-l)/n)(l“t)+P/n} / ¿
__ _____________________/=!
(1 +Kvf)'
Para ilustrar un ejemplo de este tipo, suponga que cierta empresa ha solicitado un 
préstamo de $1,000,000 a una institución bancaria del país a un plazo de 10 años. Tam­
bién, suponga que la inflación en los próximos 2 años sería de 10%, en los próximos 4 
años de 15% y en los 4 restantes de 20%. Por otra parte, considere que la institución ban­
caria pensandoen las tasas de inflación que van a prevalecer en el futuro, ha pronosticado 
que las tasas de interés que se van a cobrar en los próximos 2 años serán de 20%, 25% en 
los próximos 4 años y 30% en los 4 restantes. Finalmente, considere que la captación de 
este pasivo le originó a la empresa gastos del orden de $50,000 y que la tasa de impuestos 
de esta empresa es de 50%.
Para esta situación, la tabla 10.5 muestra los flujos de efectivo después de impuestos 
(a pesos constantes) que se originan. Para estos flujos, la aplicación de la ecuación (10.12) 
produce un resultado de —0.8%.
Es muy importante señalar que la evaluación del costo de un crédito hipotecario 
considerando tasas flotantes e inflación, es una mera aproximación, puesto que se están 
usando estimaciones de las tasas de interés que se pagarán en el futuro y de las tasas de 
inflación que existirán en lo sucesivo. Por consiguiente, para los ejemplos presentados 
anteriormente y los que se presentarán más adelante, vale la pena mencionar que cuando 
existe incertidumbre con respecto al valor que una variable (inflación, tasas de interés, 
tipo de cambio, etc.), tomará en el futuro, el uso de simulación es recomendable. Con el 
uso de simulación es posible obtener la distribución de probabilidad del costo real de las 
fuentes de flnanciamiento más utilizadas por una empresa.
í«{/>-GT(l -r)} - s
V=1
(10.12)
Pasivo a largo plazo 183
TABLA 10-4. Flujo de efectivo después de impuesto de un crédito hipotecario
suponiendo una inflación de 10% anual (miles de pesos).
Flujo de Flujo de
efectivo efectivo
Flujo de después de después de
efectivo impuestos impuestos
antes de Ahorro en (pesos (pesos
Año impuestos Deducciones impuestos corrientes) constantes)
COSTO REAL = 1.2%
CAP. INT.
0 $ 900 -100 50 $ 950 $ 950
1 -100 -200 _^r200 100 -200 -182
2 -100 -180 -180 90 -190 -157
3 -100 -160 -160 80 -180 -135
4 -100 -140 -140 70 -170 -116
5 -100 -120 -120 60 -160 - 99
6 -100 -100 -100 50 -150 - 85
7 -100 - 80 - 80 40 -140 - 72
8 -100 - 60 - 60 30 -130 - 61
9 -100 - 40 - 40 20 -120 - 51
10 -100 - 20 - 20 10 -110 - 42
TABLA 10-5. Flujos de efectivo después de impuestos considerando tasas flotantes 
e inflación (miles de pesos).
* Flujo de Flujo de
efectivo efectivo
Flujo de después de después de
efectivo impuestos impuestos
antes de Ahorro en (pesos (pesos
Año impuestos Deducciones impuestos corrientes) constantes)
CAP. INT.
0 $ 950 - 50 25 $ 975 $ 975
1 -100 -200 -200 100 -200 -182
2 -100 -180 -180 90 -190 -157
3 -100 -200 -200 100 -200 -144
4 -100 -175 -175 88 -187 -117
5 -100 -150 -150 75 -175 - 95
6 -100 -125 -125 63 -162 - 77
7 -100 -120 -120 60 -160 - 63
8 -100 - 90 - 90 45 -145 - 48
9 -100 - 60 - 60 30 -130 - 36
10 -100 - 30 - 30 15 -115 - 26
COSTO REAL -0.8%
184 Costo de capital
Crédito hipotecario con cambios de paridad e inflación
En ambientes crónicos inflacionarios, la devaluación es un hecho natural y necesa­
rio. Es por esta razón que conviene analizar como cambios en la paridad de un finan cia- 
miento en moneda extranjera, afectan el costo de esta alternativa de financiamiento. Para 
este propósito, suponga que TCj sea el tipo de cambio en el período j y P la magnitud del 
préstamo en moneda extranjera. Bajo este supuesto, el diagrama de flujo de efectivo que 
resulta sería:
y como los cambios de paridad originan pérdidas considerables para la empresa, las cuales 
son deducibles (en el período en que se incurren), el costo después de impuestos cuando 
hay cambios en la paridad, se obtendría al encontrar la tasa de interés que satisface
la ecuación:
/ {/XTCp(l-(/-l)/n)(l-í)¿+/>(rc/-(rc/-TC0)í)/n} / i (l+i,y)\
{P(TCo)-GT(l -r)} - S --------------------------------------------------------- ---------------------------- Lll----------- =0 (]0 13)
V"1 a+W' /
Para ilustrar el caso de cambios en la paridad: considere que cierta empresa ha soli­
citado un préstamo a una institución bancaria de los Estados Unidos. La magnitud del 
préstamo es de un millón de dólares, el plazo para pagarlo es 10 años, y la tasa de interés 
es de 10% anual sobre saldos. También, considere que la obtención de este préstamo ori­
ginó gastos del orden de un millón de pesos y la tasa de impuestos es de 50%. Finalmente, 
suponga que la paridad y la inflación en los primeros 5 años es de $23 y 10% respectiva­
mente, y de $30 y 15% en los 5 años restantes.
Para la información anterior, la tabla 10-6 muestra los flujos de efectivo después de 
impuestos (a pesos constantes) que origina la captación de este pasivo en moneda extran­
jera. Para tales flujos, la tasa de interés que satisface la ecuación (10.13) es de —3.8%.
Finalmente, es importante señalar que la ecuación (10.13) es aplicable a cualquier 
finan ciamiento en moneda extranjera (dólares, yens, francos suizos, libras, etc.). También, 
vale la pena volver a señalar que si existe incertidumbre con respecto a las tasas de infla­
ción y tipos de cambio que va a prevalecer en el futuro, se establezcan las distribuciones 
Pasivo a largo plazo 185
de probabilidad de estas variables y en función de ello, determinar mediante simulación 
la distribución de probabilidad del costo real de este tipo de financiamiento.
TABLA 10-6. Flujos de efectivo después de impuestos para un préstamo en moneda extranjera 
. con cambios en la paridad (miles de pesos).
Año
Flujo de 
efectivo 
antes de 
impuestos Deducciones
Ahorro en 
impuestos
Flujo de 
efectivo 
después de 
impuestos 
(pesos 
corrientes)
Flujo de 
efectivo 
después dé 
impuestos 
(pesos 
constantes)
CAP. INT. INT. PERD.
0 $ 22,000 -1,000 500 $ 22,500 $ 22,500
1 - 2,300 —2,300 -2,300 - 1,150 - 3,450 - 3,136
2 - 2,300 -2,070 -2,070 - 1,035 - 3,335 - 2,756
3 - 2,300 -1,840 -1,840 - 920 - 3,220 - 2,419
4 - 2,300 -1,610 -1,610 - 805 - 3,105 - 2,121
5 - 2,300 -1,380 -1,380 - 690 - 2,990 - 1,857
6 - 3,000 -1,500 -1,500 - 700 1,100 - 3,400 - 1,834
7 - 3,000 -1,200 -1,200 - 700 950 - 3,250 - 1,526
8 - 3,000 - 900 - 900 - 700 800 - 3,100 - 1,266
9 - 3,000 - 600 - 600 - 700 650 - 2,950 - 1,047
10 - 3,000 - 300 - 300 - 700 500 - 2,800 - 864
COSTO REAL = -3.8%
Crédito hipotecario con deslizamiento e inflación
En el inciso anterior se analizó el caso de devaluación repentina. Sin embargo, sería 
interesante estudiar la mecánica a seguir cuando la devaluación de nuestra moneda es a 
través de un deslizamiento diario d. Para este caso particular, el diagrama de flujo efectivo 
de la sección anterior y la ecuación (10.13) siguen siendo válidas, con la salvedad de que 
TCj estaría expresada de la siguiente manera: TQ = TCO 4- j (365 d)..
Para ilustrar el caso de devaluación a través de deslizamiento, asuma que cierta em­
presa ha solicitado un préstamo a una institución bancaria de Estados Unidos. La mag­
nitud del préstamo es de un millón de dólares, el plazo para pagarlo es de 10 años, y la 
tasa de interés es de 10% anual sobre saldos. También considere que la obtención de este 
préstamo originó gastos del orden de un millón de pesos y que la tasa de impuestos es 
de 50%. Finalmente asuma que la paridad en este momento es de $23, el deslizamiento 
diario será de $.02 centavos y la inflación en los próximos 10 años será de 10% anual.
Para la información anterior, la tabla 10.6.1 muestra los flujos de efectivo después 
de impuestos (a pesos constantes) que origina la captación de este pasivo en moneda ex­
tranjera. Para tales flujos, la tasa de interés que satisface la ecuación (10.13) es de 9.1%.
186 Costo de capital
TABLA 10.6.1. Flujos de efectivo después de impuestos para un préstamo en moneda extranjera con 
deslizamiento diario (miles de pesos)
COSTO REAL = 9.1%
Ano Paridad
Flujo de 
efectivo 
antes de 
impuestos Deducciones
Ahorro en 
impuestos
Flujo de 
efectivo 
después de 
' impuestos 
(pesos 
corrientes)
Flujo de 
efectivo 
después de 
impuestos
(pesos 
constantes)
CAP. INT. INT. PERD.
0 $23.0 $22,000 $-1,000 $ 500 $22,500 $ 22,500
1 30.3 -3,030 -3,030 -3,030 - 730 1,880 -4,180 -3,800
2 37.6 -3,760 -3,384 -3,384-1,460 2,422 -4,722 -3,902
3 44.9 -4,490 -3,592 -3,592 -2,190 2,891 -5,191 -3,900
4 52.2 -5,220 -3,675 -3,675 -2,920 3,298 -5,597 -3,822
5 59.5 -5,950 -3,570 -3,570 -3,650 3,610 -5,910 -3,670
6 66.8 -6,680 -3,340 -3,340 -4,380 3,860 -6,160 -3,477
7 74.1 -7,410 -2,964 -2,964 -5,110 4,037 -6,337 -3,252
8 81.4 -8,140 -2,442 -2,442 -5,840 4,141 -6,441 -3,005
9 88.7 -8,870 -1,774 -1,774 -6,570 4,172 -6,472 -2,745
10 96.0 -9,600 - 960 - 960 -7,300 4,130 -6,430 -2,479
Crédito hipotecario con tasas flotantes, inflación y cambios de paridad
Para finalizar la sección de créditos hipotecarios, a continuación se muestra el dia­
grama de flujo de efectivo que resulta: cuando el financiamiento es en moneda extranjera, 
las tasas de interés son flotantes y los pagos se hacen en un ambiente económico inflacio­
nario:
P(TC0)-GT
1 2 / M
------------- q--------------- ------------------------------------------------ 1
P(TC„)(l/n)«„ +P(TC„)/n
( n
. ATCp» -(/ - l)/n)iy +P(TCp/n ¡ " j(1 +
P(7€2)(l ~ 1/Z)Z2 +P(rC2)/n ’ í1 +iij>
n (1+^)
PÍTCQii +PÍTCQ/n ¡'i
(i + v
y el costo después de impuestos de este tipo de financiamiento (captado en las condiciones 
antes mencionadas) sería la tasa de interés (Khfip) que satisface la ecuación:
Pasivo a largo plazo 187
{P(rC0)-GT(l-f) } -
i
7T C1 +/;/) 
n {PÍTCpd-a-D/^Cl-O^ P{TCj-(TCj-TCQ)t}ln}lj = i . lJ 
s ■
; = i w
(10.14)
Para aclarar la evaluación del costo de un crédito hipotecario en el caso general, es 
decir, suponiendo tasas flotantes, inflación y cambios en la paridad; suponga que una em­
presa ha solicitado un préstamo a una institución bancaria de los Estados Unidos por la 
cantidad de un millón de dólares, el cual va a originar gastos del orden de un millón de 
pesos. Suponga además que la paridad pronosticada para los próximos 10 años es de $23 
pesos por dólar en los primeros 5 años y $30 pesos por dólar en los 5 restantes. Asimismo, 
considere que la tasa de interés que se cobrará en los próximos 3 años es de 20% y 30% 
en los años restantes. Finalmente, considere que la tasa de impuestos es de 50% y la in­
flación en los próximos 10 años será de 10% en los primeros 5 años y 15% en los últimos.
Para esta información, la tabla 10.7 muestra los flujos de efectivo después de im­
puestos (a pesos constantes) que se obtienen en este pasivo captado en moneda extran­
jera, con cambios de paridad, tasas flotantes e inflación. La aplicación de la ecuación 
(10.14) a estos flujos arroja un valor de 1.9%.
TABLA 10-7. Flujos de efectivo después de impuestos para un préstamo en moneda extranjera 
con cambios de paridad, tasas flotantes e inflación (miles de pesos). *
COSTO REAL = 1.9%
Flujo de Flujo de
efectivo efectivo
Flujo de después de después de
efectivo impuestos impuestos
antes de Ahorro en (pesos (pesos
Ano impuestos Deducciones impuestos corrientes} constantes)
CAP. INT. INT. PERD.
0 $ 22,000 -1,000 500 $ 22,500 $ 22,500
1 - 2,300 -4,600 -4,600 - 2,300 - 4,600 - 4,282
2 - 2,300 -4,140 -4,140 - 2,070 - 4,370 - 3,612
3 - 2,300 -3,680 -3,680 - 1,840 - 4,140 - 3,110
4 - 2,300 -3,220 --3,220 - 1,610 - 3,910 - 2,671
5 - 2,300 -2,760 -2,760 - 1,380 - 3,680 - 2,285
6 - 3,000 -4,500 -4,500 - 700 2,600 - 4,900 - 2,646
7 - 3,000 -3,600 -3,600 - 700 2,150 - 4,450 - 2,089
8 - 3,000 -2,700 -2,700 - 700 1,700 - 4,000 - 1,633
9 - 3,000 -1,800 -1,800 - 700 1,250 - 3,550 - 1,260
10 - 3,000 - 900 - 900 - 700 800 - 3,100 - 957
Arrendamiento financiero
Otra forma que la empresa utiliza para financiarse a largo plazo, es lo que se conoce 
como arrendamiento financiero. Mediante esta forma de financiamiento, la empresa ad-
188 Costo de capital
quiere los servicios de un activo a cambio de una renta, la cual es pagada al arrendador 
durante un período previamente establecido en el contrato. Al término de éste, la empresa 
tiene la opción de: 1) Prorrogar el contrato por un plazo cierto, con pagos inferiores a los 
del contrato inicial, 2) Adquirir el equipo por una cantidad inferior al valor del mercado, 
3) Enajenar el equipo a un tercero y 4) Alguna otra opción, con autorización de la Secre­
taría de Hacienda y Crédito Público. Por consiguiente, el flujo de efectivo que para la 
empresa resulta de arrendar un activo, es como sigue:
P
1 2 3 n
R R R R
R + VR
donde:
P = Costo inicial del activo.
R* = Renta anual.
ER = Valor de rescate del activo al final del período n. Esta cantidad es percibida 
por el arrendador puesto que es el dueño del activo.
n = Plazo del contrato en años.
(10.15)0P -
Por otra parte, si se quisiera evaluar el costo después de impuestos de estatúente, el 
flujo de efectivo que resulta para la empresa es como sigue:
y el costo antes de impuestos de esta alternativa de financiamiento es la tasa de interés 
que satisface la ecuación:
R + Dt R + Dt R + Dt
n
*Las rentas pactadas en los contratos de arrendamiento generalmente son mensuales. Sin embargo, 
para propósitos de ilustrar la evaluación del costo de esta fuente, se supone anual.
Pasivo a largo plazo 189
Como se puede observar en este diagrama, a diferencia del anterior, el arrendador recibe 
además de la renta (R), el beneficio fiscal de la depreciación (Dt) puesto que es el dueño 
del activo. A pesar que el ahorro en impuestos atribuible a la depreciación.(Di) no es un 
gasto desembolsable sino un costo de oportunidad para el arrendatario, es necesario tomarlo 
en cuenta en la evaluación del costo real de esta fuente de financiamiento. Lo anterior 
significa que el arrendatario, además de la renta (A) que paga al arrendador, le propor­
ciona a éste un beneficio indirecto equivalente a Dt.
Además del diagrama de flujo anterior, la evaluación del costo después de impuestos 
de un arrendamiento financiero, implica conocer la forma en que la renta deberá ser 
amortizada. Para este propósito, el artículo 21 de la ley del impuesto sobre la renta espe­
cifica que del total de pagos convenido en el término forzoso inicial del contrato, el 70% 
se considerará como costo de adquisición de los bienes, por lo que la cantidad que resulte 
de aplicar dicho porcentaje sería amortizada en el mismo período que dicha ley permite 
depreciar al activo. El 30% restante, se amortizará en anualidades iguales durante el plazo 
inicial del contrato. Por otra parte, si el plazo del contrato es menor al período de depre­
ciación del activo, y si el arrendatario ejerciera la compra, o bien se prorrogará el contrato 
por un plazo cierto, el monto total de las mismas se considera complemento del costo del 
bien y se depreciará en el tiempo que falte para que el bien se termine de depreciar con­
forme a las tasas que indica la ley. Finalmente, si el plazo del contrato es igual al período 
de depreciación del activo, y el arrendatario ejerce la opción de compra, el monto tota1 
es completamente deducible en el período fiscal en que se originó la compra.
Tomando en cuenta lo expresado en párrafos anteriores, el costo después de im­
puestos cuando el plazo del contrato es igual al período de depreciación del activo, vendría 
dado por la siguiente expresión: 
{P + XCU-r)}
n
S -
7 = 1
Dt + R(\ -t) 
(1 +v
VR(\ -Q
(1 + */
0 (10.16)
donde:
AC = .Gastos de apertura de crédito. 
t = Tasa de impuestos.
D = Depreciación anual de! activo.
Para ilustrar una aplicación de la ecuación (10.16); considere que se desea arrendar 
un activo que tiene un precio de mercado de $1,000,000 y el cual de acuerdo al artículo 
21 de la Ley del Impuesto sobre la Renta se debe depreciar en un período de 5 años. 
También suponga que el plazo del contrato es de 5 años y la renta anual de $400,000. Si 
en el contrato se estipula comprar el activo al término de éste a un costo de $70,000, los 
gastos de apertura de crédito son de $10,000 y la tasa de impuestos es de 50%, ¿cuál es el 
costo de arrendar el activo?
Para esta información, la tabla 10.8 muestra los flujos de efectivo después de im­
puestos que se obtienen en el arrendamiento. Para tales flujos, la aplicación de la ecua­
ción (10.16) resulta en un valor de 15.7%.Por otra parte, el costo después de impuestos de un arrendamiento financiero cuando 
una tasa de inflación (q) es introducida, y el plazo del contrato es igual al período de de­
preciación del activo, vendría dado por la siguiente expresión:
190 Costo de capital
0(10.17){P+>1C(1 -r)J-
l
Por ejemplo, si en el caso presentado en la tabla 10-8 una tasa de inflación de 10% anual 
es considerada, la aplicación de la ecuación (10.17) produce un resultado de 5.2% (ver 
tabla 10.9).
TABLA 10.8. Flujos 
(miles de pesos).
de efectivo después de impuestos sin considerar inflación
Ano
Flujo de 
efectivo 
antes de 
impuestos
Beneficio
de la 
depreciación 
(arrendador) Deducible
A horro en 
impuestos
Flujo de 
efectivo 
después de 
impuestos
0 $ 1,010 - 10 5 $ 1,005
1 - 400 -100 -400 200 - 300
2 - 400 -100 ... 4OQ 200 - 300
3 - 400 -100 -400 200 - 300
4 - 400 -100 -400 200 - 300
5 - 470 -100 -470 235 - 335
COSTO REAL = 15.7%
TABLA 10.9. Flujos de efectivo después de impuestos considerando una inflación 
del 10% anual (miles de pesos).
Ano
Flujo de 
efectivo 
antes de 
impuestos
Beneficio
de la 
depreciación 
(arrendador) Deducible
A horro en 
impuestos
Flujo de 
efectivo 
después de 
impuestos
(pesos 
corrientes)
Flujo de 
efectivo 
después de 
impuestos 
(pesos 
constantes)
0 $ 1,010 - 10 5 $ 1,005 $ 1,005
1 - 400 -100 -400 200 - 300 - 273
2 - 400 -100 -400 200 - 300 - 248
3 - 400 -100 -400 200 - 300 - 225
4 - 400 -100 -400 200 - 300 - 205
5 - 470 -100 -470 235 - 335 - 208
COSTO REAL = 5.2%
En el ejemplo anterior, se determina el costo de arrendamiento cuando el plazo del 
contrato es igual al período de depreciación del activo. Sin embargo, sería interesante ana­
lizar el caso de un arrendamiento cuando el plazo del contrato es menor a la vida fiscal del 
activo. Para este caso, puesto que al concluir el contrato, no existe ningún desembolso del 
Pasivo a largo plazo 191
arrendatario, ni beneficio fiscal de la depreciación por parte del arrendador, y puesto que 
parte de la renta y el desembolso que hace el arrendatario si ejerce la opción de compra, 
se amortizan en el tiempo que falta para que el bien se termine de depreciar conforme a 
las tasas que indica la ley, entonces, el flujo de efectivo después de impuestos en los úl­
timos períodos será positivo. Lo anterior significa que el flujo de efectivo después de 
impuestos que resulta en este tipo de arrendamiento, es no-simple, y por consiguiente 
existe el fenómeno de “múltiples costos de arrendamiento”. Para resolver este proble­
ma, es necesario aplicar el algoritmo de James C. T. Mao presentado en el capítulo 5. Sin 
embargo, para aplicar este algoritmo al caso de arrendamiento con múltiples costos, es 
necesario hacer las siguientes modificaciones:
• Multiplicar por - 1 el flujo de efectivo después de impuestos.
• Calcular los saldos no recuperados en la forma siguiente:
Ft(Kafi TREMA) = F, x (1 + Kaf) + < 0
Ft(Kaf, TREMA) = Ft _ x (1 + TREMA) 4- St > 0
• Determinar el valor de Kaj que satisface:
Fn(Kaf, TREMA) = 0
Si Kaf < TREMA, entonces, el arrendamiento es atractivo, puesto que su costo es 
menor que la tasa de recuperación mínima atractiva que ofrece el proyecto que va a ser fi­
nanciado a través de esta fuente.
Para ilustrar un ejemplo de este tipo: suponga que se desea arrendar un activo que 
tiene un precio de mercado de SI,500,000 y cuya tasa de depreciación anual es de 20%. 
También, suponga que el plazo del contrato es de 3 años, durante los cuales el arrendatario 
pagará una renta anual de $800,000. Si en el contrato se establece adquirir el activo al final 
de su duración a un costo de S500.000, los gastos de apertura de crédito son de $15,000, 
la tasa de impuestos es de 50% y la TREMA es de 30%, ¿cuál es el costo de arrendar el 
activo?
Para esta información y aplicando el método de Mao con las modificaciones señala­
das anteriormente, se obtiene un valor para el costo del arrendamiento de 17.75% (ver 
tabla 10-10). Puesto que el costo del arrendamiento es menor que TREMA, entonces, 
conviene aceptar esta fuente de financiarmento. Por otra parte, si en este mismo problema 
una tasa de inflación de 10% anual es introducida, la aplicación del algoritmo de Mao arro­
ja un valor de 8.1% (ver tabla 10-11), y puesto que este costo disminuye, entonces, esta 
fuente de financiamiento se hace más atractiva.
192 Costo de capital
TABLA 10-10. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación (mi­
les de pesos).
Año
Flujo de 
efectivo 
an tes de 
impuestos
Beneficio
de la depr. 
(arrendador)
Deducible A horro en 
impuestos
Flujo de 
efectivo 
despuésde 
impuestos70% 30% Compra
0 $1,515 - 7.5 $1,507.5
1 - 800 - 150 ~ 336 - 240 288.0 -662.0
2 - 800 - 150 - 336 - 240 288.0 - 662.0
3 -1,300 - 150 - 336 - 240 288.0 - 1,162.0
- 4 - 336 - 250 293.0 293.0
5 - 336 - 250 293.0 293.0
COSTO REAL =17.75%
TABLA10-11. Flujos de efectivo después de impuestos considerando inflación 
(miles de pesos).
Flujo de FLujo de 
efectivo efectivo
COSTO REAL = 8.1%
Año
Flujo de 
efectivo 
antes de 
impuestos
Beneficio
de la depr. 
(arrendador)
Dedu c ib le 
70% 30% Compra
A horro en 
impuestos
después de 
impuestos 
(pesos co­
rrientes)
después de 
impuestos 
(pesos 
constantes)
0 $1,515 -7.5 $1,507.5 $1,507.5
1 - 800 - 150 336 -240 288.0 - 662.0 - 601.8
2 - 800 - 150 - 336 -240 288.0 - 662.0 - 547.1
3 -1,300 - 150 - 336 -240 288.0 - 1,162.0 - 873.0
4 - 336 - 250 293.0 293.0 200.1
5 - 336 - 250 293.0 293.0 181.9
COSTO DE CAPITAL 
DE FUENTES INTERNAS
10.5 ACCIONES PREFERENTES
Se conoce como acciones preferentes aquellas que representan una parte del capital 
social de una compañía pero que, a diferencia de las acciones comunes, tiene su rendi­
miento o dividendo garantizado y a cambio de este privilegio tienen limitaciones en la 
participación de la administración de la empresa.
La garantía del rendimiento o dividendo a este tipo de acción, permanece aun cuando 
en algún ejercicio la empresa no haya tenido utilidades, ya que en cuanto ésta vuelva a 
generarlas se aplicarán preferentemente al pago de los dividendos de las acciones preferentes.
Esta forma de financiamiento es utilizada en los casos en que no se desee o no se 
puedan aumentar los pasivos de la empresa (capacidad de crédito limitada) y los actuales 
accionistas no quieran perder o compartir su control sobre la misma.
Como hemos mencionado, estas acciones tienen un dividendo garantizado y ñjo 
por lo cual el flujo de efectivo que se origina en la empresa después de una emisión de 
acciones de este tipo, es como sigue:
Acciones preferentes 193
P = IB - GT
1 2 3
D D O
donde:
P = Cantidad neta recibida.
IB = Ingresos brutos recibidos de la emisión.
GT = Gastos de colocación, emisión, descuentos, etc.
D = Dividendo percibido por el poseedor de la acción.
Por consiguiente, el costo de esta alternativa de financiamiento es la tasa de interés (Kap) 
que satisface la ecuación:
P - S ----------- -- ------ - = 0 (10.20)
7=1 <1+V7
y resolviendo la ecuación anterior encontramos que Kap = D/P.
Es muy importante señalar que en la ecuación (10.20) se está considerando que 
siempre se reparten los dividendos. Sin embargo, si en un período no se reparten dividen­
dos y éstos se acumulan para futuros ejercicios, entonces, el costo de esta fuente dismi­
nuye y su valor se obtendría de acuerdo a la siguiente expresión:
P - S --------------- ------- r- = 0 (10.21)
; = i u+V7
donde Dj es el dividendo que se reparte en el período j el cual puede ser cero o un múl­
tiplo de D.
También, como los dividendos tanto de las acciones preferentes como de las comu­
nes no son deducibles, pero sí lo son los gastos que origina la emisión, entonces, el costo 
después de impuestos de esta fuente se obtiene con la expresión:
IB - GT (1 - i) S
7=1
D
V+K'apV
0
y resolviendo la ecuación anterior encontramos que:
K'ap = D/(IB - GT — t)}
(10.22)
194 Costo de capital
Finalmente, vale la pena mencionar cómo la emisión de acciones preferentesen 
ambientes económicos inflacionarios, afecta considerablemente el costo de las mismas. 
Para tal propósito, considere que z) es la tasa promedio de inflación por período. Por 
consiguiente, el costo después de impuestos de esta alternativa de financiamiento sería 
la tasa de interés K'ap que satisface la ecuación:
IB- GT(\ -r) = 0 (10.23)
y resolviendo la ecuación anterior encontramos que:
k, = DIQ +/,•) _ íz
ap (IB-GTO-tS) (1+9
I
Para ilustrar cómo el costo después de impuestos de esta alternativa de financiamiento es 
evaluado en épocas inflacionarias, suponga que una empresa emitió acciones preferentes 
por valor de $1,000,000 y los gastos de emisión incurridos fueron de $100,000. Considere 
también que: el dividendo anual garantizado es un 15% del valor nominal de la acción y 
que el dividendo siempre será repartido, es decir, considere que la empresa va a generar 
siempre utilidades. Por otra parte, la empresa considera que la inflación promedio anual 
en los próximos años es del orden del 10%. Por último suponga que la empresa paga im­
puestos a una tasa del 50%.
Para la información anterior, la aplicación de la ecuación (10.23) arroja un valor de:
10.6 ACCIONES COMUNES
150,000/(1.1) _ .1
950,000 1.1
-
0OO
= 5.26%
■o |__ _ i ¿ ¿
V1 " c\{ 3
El capital común está formado por las aportaciones de capital y/o de especie de los 
accionistas. Estas aportaciones por parte de los accionistas son generalmente motivadas 
por cualquiera de las siguientes razones:
• Percepción de dividendos.
• Especulación, es decir, las acciones son compradas con la intención de venderlas 
posteriormente y obtener una fuerte utilidad en la venta.
• Obtención de fuente de trabajo, esto es, con la adquisición de acciones comunes 
se puede aspirar a un puesto (consejero, asesor, etc.) con el cual se obtendría un 
sobre-sueldo y parte de los gastos personales del accionista serían absorbidos por 
el negocio.
También, los accionistas esperan en estas inversiones, además de un rendimiento 
libre de riesgo, una prima por el riesgo del negocio. Es precisamente esta incertidumbre 
con respecto al futuro del negocio lo que dificulta el cómputo del costo del capital común,
Acciones comunes 195
el cual algunos autores lo han definido como “El rendimiento requerido por los accionistas 
comunes”, o bien como “El rendimiento mínimo que la compañía debe garantizar a fin 
de que el valor de mercado de las acciones permanezca inalterable.
Como se puede advertir, el costo de las acciones comunes es uno de los más difíciles 
de evaluar. Tal dificultad se debe precisamente al hecho de no poder pronosticar con 
exactitud los dividendos que en el futuro la empresa pagaría a sus accionistas. No obstante 
estas dificultades, se han desarrollado algunos métodos para evaluar el costo de esta alter­
nativa de fínanciamiento. Entre estos métodos podemos mencionar aquél que considera 
que los dividendos futuros son conocidos y crecen a una razón constante “g”. Con esta 
suposición, el flujo de efectivo para la empresa que resulta de una emisión de acciones 
comunes, és como sigue:
+ g)7'1
donde
D = Dividendo neto del primer período.
g = Razón de crecimiento del dividendo por período.
y el costo antes de impuestos de esta fuente, es la tasa de interés (Áflc) que satisface la 
ecuación:
P 2 ¿>(1 +g)
M
7 = 1
0 (10.24)
y resolviendo la ecuación anterior encontramos que:
Por otra parte, como los gastos totales que origina la emisión son deducibles, el 
costo después de impuestos de esta fuente, es la tasa de interés (K’ac) que satisface la 
ecuación:
196 Costo de capital
IB — GT - i)
oo
s
7 = 1
£(1 +g)M
(1 + K'v ac'
0 (10.25)
y resolviendo la ecuación anterior encontramos que:
K'ac = D/(IB-GT(l-t)) + g
Finalmente, como esta fuente de finan ciamiento es de largo plazo, el costo después 
de impuestos considerando una tasa de inflación promedio por período de i., se obten­
dría al resolver la ecuación:
IB - GI\\ - i)
; p(i +gy-1/(i +¿,y
7=1 (1 + V
o (10.26)
y la tasa de interés que satisface la ecuación anterior es:
¿>/(l +/,-)
(IB - G7(l - 7) )
+ S~Íl 
(1+9
Para aclarar la aplicación de esta última ecuación, suponga que una empresa ha emitido 
acciones comunes por valor de $1,000,000. Tal emisión originó gastos totales del orden 
de $50,000. La empresa espera repartir en el primer año $200,000 en dividendos, los cua­
les se espera que crezcan a una razón del 5%. Además, la empresa ha pronosticado que la 
inflación promedio en los próximos años será de 15% anual. Por último, la tasa de im­
puestos de esta empresa es de 50%.
Para la información anterior, la aplicación de la ecuación (10.28) arroja un valor 
para K'ac de:
, = 200,000/(1,15) , (.05 -.15) g J4%
ac (975,000) (1.15)
Por último, antes de terminar el inciso conviene mencionar que, además del método ex­
plicado, se han desarrollado otros métodos para medir el costo del capital común tales 
como: Simulación del rendimiento obtenido por el accionista y razón de utilidad a capital 
contable. Sin embargo, estos métodos al igual que el anteriormente explicado, implican 
pronosticar una serie de eventos futuros (precios por acción, utilidades, etc.) cuyo grado 
de seguridad es muy relativo.
10.7 UTILIDADES RETENIDAS
Las utilidades retenidas son recursos generados internamente por la empresa. Este 
hecho ha originado que muchas empresas consideren su costo erróneamente como cero.
Costo ponderado del capital 197
Sin embargo al evaluar el costo de estos recursos debemos considerar los posibles usos 
que éstos pueden tener como son: ser reinvertidos en la empresa, o ser repartidos a los ac­
cionistas. Para el primer caso, se espera que el rendimiento obtenido sea el mismo que el 
del capital común, ya que para el accionista representan una inversión similar.
Para el segundo caso, el costo de las utilidades retenidas puede ser considerado 
como un costo de oportunidad el cual está representado por el rendimiento que podría 
lograr el accionista al haber invertido el dividendo no recibido en otra alternativa de inver­
sión. Si este fuere el caso, el costo de las utilidades retenidas se podría encontrar con la 
expresión:
Kur = R(\ — t) (1-c) (10.27)
donde:
R = Rendimiento bruto obtenido.
t = Tasa marginal de impuestos del accionista.
c = Comisiones (expresadas en porcentaje).
La idea anterior se basa en el supuesto de que si la compañía no puede generar oportuni­
dades de inversión atractivas para sus accionistas, éstos podrían encontrar otros proyectos 
para invertir con el mismo grado de riesgo y con un rendimiento mayor.
Por las dificultades obvias que esta segunda alternativa de cálculo implica, la prác­
tica común es considerar el costo de las utilidades retenidas, igual al del capital común.
10.8 COSTO PONDERADO DEL CAPITAL
Una vez que hemos determinado el costo individual de cada una de las diferentes 
fuentes de financiamiento (externas e internas) que forman el capital de la empresa, po­
demos proceder a calcular el costo ponderado del capital. Ese cálculo se puede hacer sobre 
bases históricas, sin embargo, el pasivo y el capital contable actual de la empresa ya se 
encuentran invertidos, por lo cual evaluar su costo sería irrelevante. Lo que vale la pena 
es determinar el costo ponderado de las diferentes fuentes que se van a captar en el fu­
turo y compararlo con el rendimiento esperado de los proyectos de inversión que se tienen 
en cartera. Si dichos proyectos de inversión generan un rendimiento mayor al costo pro­
medio ponderado del capital, el precio de mercado de la acción aumentará.
• Conociendo las fuentes de financiamiento que se van a captar, sus costos después 
de impuestos y el porcentaje que cada una representa del total obtenido, entonces, el 
costo ponderado de capital vendría dado por la expresión:
n
K = Y K.Xi (10.28)
i = 1
donde:
K = Costo promedio ponderado del capital.
= Costo después de impuestos de la fuente i.
198 Costo de capital
X¿ = Porcentaje que la fuente i representa del total de fondos próximosa recabarse. 
n - Número de alternativas de financiamiento próximas a obtenerse.
Para finalizar este capítulo se explica cómo el costo ponderado del capital es evaluado. Pa­
ra esto, suponga que una empresa piensa obtener fondos a través de un préstamo banca- 
rio, una emisión de obligaciones y otra de acciones comunes. Además, para que la empresa 
mantenga una estructura financiera 1:1 se ha pensado en solicitar un préstamo bancario 
pór $25,000, emitir obligaciones por $25,000 y finalmente emitir acciones comunes por 
valor de $50,000. El costo después de impuestos de estas fuentes de financiamiento son 
de: 10%, 11% y 15% respectivamente.
Para la información anterior, la aplicación de la ecuación (10.28) produce un valor 
para el costo ponderado del capital de 12.75% (ver tabla 10.12). Lo anterior significa que 
todos los proyectos que se van a emprender utilizando parte del capital obtenido a través 
de estas fuentes, deberán tener un rendimiento mayor al costo ponderado de las mismas.
TABLA 10-12. Costo ponderado del capital
Cantidad 
obtenida 
por fuente
Proporción 
con respecto 
al total
Costo
después de 
impuestos
Costo 
ponderado
Préstamo bancario $ 25,000 25% .10 2.50
Obligaciones 25,000 25 .11 2.75
Acciones comunes 50.000 50 .15 7.50
$100,000 12.75%
10.9 CONCLUSIONES
A lo largo de este capítulo se ha explicado la forma de evaluar el costo de las dife­
rentes fuentes de financiamiento (externas e internas) que la empresa utiliza para financiar 
sus proyectos de inversión. Sin embargo, el punto más importante de este capítulo es com­
prender que un proyecto de inversión debe ser aceptado si su tasa interna de rendimiento 
supera el costo ponderado del capital utilizado para emprenderlo. Otra cuestión muy 
importante a enfatizar, es el hecho de que el conocimiento del costo de las diferentes al­
ternativas de financiamiento a las cuales una empresa tiene acceso, permite tomar mejores 
decisiones en cuanto a estructuras financieras, puesto que es obvio que el problema de 
seleccionar la fuente de financiamiento más adecuada debe ser resuelto independiente­
mente de la utilización que se les den a los fondos obtenidos.
Comprender con exactitud el costo que cada fuente de financiamiento implica, per­
mite también en algunas ocasiones substituir una fuente por otra, por ejemplo, si nos 
percatamos que el costo de no aprovechar un descuento es demasiado alto, entonces, vale 
la pena preguntarnos cuál sería el costo de un préstamo que cubriese el saldo promedio 
que normalmente se tienen con los proveedores. Si el costo del préstamo es menor, signi­
fica que en lo sucesivo se deberían pedir préstamos y aprovechar siempre los descuentos 
por pronto pago.
Problemas 199
También, de este capítulo se puede concluir que la mejor forma de financiarse siem­
pre será con pasivo, puesto que los intereses son deducibles. Además, si los pasivos se 
captan a tasas fijas y en ambientes inflacionarios, entonces el costo de esta fuente se reduce 
considerablemente. Por otra parte, es bien sabido que los dividendos no son deducibles, 
además, generalmente éstos crecen de acuerdo a las tasas de inflación prevalecientes. Lo 
anterior origina que el costo de las fuentes internas de la empresa sea generalmente supe­
rior al costo de las fuentes externas. Sin embargo, a pesar de saber que el pasivo es más 
barato que el capital contable, una empresa no puede aumentar en forma desmedida su 
nivel de pasivo, ya que éste debe ser regulado de acuerdo a su liquidez y capacidad de 
endeudamiento.
Finalmente, es importante resaltar el hecho de que si bien la inflación castiga enor­
memente 'los méritos económicos y financieros de un proyecto de inversión, también 
disminuye considerablemente el costo real de las fuentes de financiamiento de largo plazo, 
es decir, si un proyecto es financiado con un crédito hipotecario en una época en la cual 
la tasa de inflación promedio anual es mayor que el costo anual fijo pactado para este 
préstamo, entonces, el costo real de esta alternativa de financiamiento es negativa. Bajo 
este supuesto el proyecto deberá ser aceptado si su tasa interna de rendimiento es positiva.
PROBLEMAS
10.1. Los términos de venta de un proveedor para un producto con valor de $1,000 son:
1) 2% de descuento por pronto pago si la factura es liquidada dentro de los 10 días 
siguientes a la fecha de compra, ó 2) el neto si se paga a treinta días. ¿Cuál es el 
interés efectivo anual de no aprovechar el descuento?
10.2. Una persona ha solicitado un préstamo bancario directo a seis meses por la can­
tidad de $100,000. La institución ban caria exige un interés de 1% mensual simple 
pagado anticipadamente, y los gastos bancarios incurridos en la captación de este 
préstamo son de $10,000. ¿Cuál es el interés efectivo anual que pagaría esta per­
sona si acepta el préstamo?
10.3. Una empresa ha solicitado un préstamo ban cario directo a seis meses por la canti­
dad de un millón de pesos. La institución ban caria exige: una reciprocidad del 10%, 
intereses al 1.5% mensual simple pagados anticipadamente y gastos bancarios por 
$50,000. ¿Cuál es el interés efectivo anual que pagaría esta empresa si acepta el 
préstamo?
10.4. La compañía IV ha emitido $20,000,000 en obligaciones al 22% anual con venci­
miento a cinco años. Los gastos de emisión se estiman en $1,000,000. Si la tasa de 
impuestos es de 50%, y la inflación en los próximos años es 20%, ¿cuál es el costo 
de esta fuente de financiamiento sin considerar y tomando en cuenta la inflación?
10.5. La compañía X ha obtenido un préstamo de $50 millones a 5 años de una institu­
ción bancaria del país, la cual le cobrará el 20% sobre saldos insolutos. También, 
considere que la obtención de tal préstamo le ocasionó a la empresa gastos del or­
den de $2,000,000. Si la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación promedio 
anual en los próximos años es de 18%, ¿cuál es el costo de este pasivo a largo plazo 
sin considerar y tomando en cuenta la inflación?
10.6. Una empresa ha solicitado un préstamo de $40 millones a una institución bancaria 
del país a un plazo de 10 años. Además, la gerencia de planeación estratégica de 
esta empresa estima que la inflación en los próximos 3 años será de 15%, en los
200 Costo de capital
3 años subsiguientes será ,de 18%, y en los últimos 4 años se estima que será de 
22%. Por otra parte, la gerencia de planeación considera que la institución ban- 
caria pensando en las_ta§as_de inflación que van a prevalecer en el futuro, cobrará 
intereses de 20% en los tres primeros años, de 25% en los siguientes 3 añosy~28% 
en los últimos cuatro años."Si la captación de este pasivo le originó a la empresa 
gastos del orden de $1,500,000, y la tasa de impuestos es de 50%, ¿cuál sería el 
costo real de esta fuente de financiamiento?
10.7. Una empresa ha solicitado un préstamo a una institución bancaria de los Estados 
Unidos. La magnitud del préstamo es de $5 millones de dólares, el plazo para pa­
garlo es 10 años, y la tasa de interés es de 12% sobre saldos. Además, esta empresa 
estima que la paridad en el año t puede ser obtenida de acuerdo a la siguiente ex­
presión:
t
7T (1 + INM^
Pt = Po -------------------------------------- yPo =23 pesos
7r (X+INUSA?)
j = 1
donde:.
INMj = tasa de inflación en México para el año /.
INUSAj = tasa de inflación en Estados Unidos para el año /.
Si las tasas de inflación en México y Estados Unidos páralos próximos 10 años son:
Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
México 15 18 20 22 25 28 30 35 40 50
U.S.A. 8 10 12 Í4 16 18 20 22 24 25
Los gastos que origina la obtención del préstamo son de dos millones de pesos y 
la tasa de impuestos es de 50% , ¿cuál es el costo real de este pasivo de largo plazo 
en moneda extranjera?
Ano 123456789 10
\
10.8. Resolver el problema anterior suponiendo que las tasas de interés que cobra la 
institución bancaria en los próximos 10 años son:
Tasa de interés 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
Problemas 201
10.9. La compañía X desea establecer un contrato