Flexão Pura

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DESCRIÇÃO
A aplicação e o entendimento das principais expressões matemáticas e dos
conceitos físicos no estudo de elementos prismáticos simétricos sob ação
da flexão pura.
PROPÓSITO
No dimensionamento de estruturas, seja na Engenharia Mecânica, seja na
Engenharia Civil, o fenômeno da flexão é recorrente. Dessa forma, o
conhecimento das relações matemáticas é fundamental para o
desenvolvimento profissional.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma
calculadora científica, ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar a distribuição de tensões em função do momento
MÓDULO 2
Formular a determinação de tensões máximas e mínimas, e módulo de
resistência
MÓDULO 3
Calcular a linha elástica
MÓDULO 4
Formular o cisalhamento na flexão
APRESENTAÇÃO DO FENÔMENO DA
FLEXÃO PURA EM ELEMENTOS
PRISMÁTICOS E SUAS APLICAÇÕES.
Será feita um breve resumo dos aspectos apresentados no tema,
destacando-se: tensões normais por flexão, cálculo da linha elástica e
tensões cisalhantes na flexão.
AVISO: orientações sobre unidades de medida
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.:
25km) por questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro
estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25
km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você
devem seguir o padrão internacional de separação dos números e das
unidades.
 
Foto: Shutterstock.com
MÓDULO 1
 Identificar a distribuição de tensões em função do momento
javascript:void(0)
A DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM
FUNÇÃO DO MOMENTO;
Apresentação dos efeitos de tensão sob um elemento prismático (viga).
INTRODUÇÃO
A primeira parte do estudo da tensão apresentará as seguintes hipóteses:

I
O regime do fenômeno é o elástico;
II
A peça é um prisma reto com simetria;


III
O momento fletor atua em torno de um eixo perpendicular ao eixo de
simetria.
A partir das premissas adotadas, serão apresentadas as principais
expressões matemáticas aplicáveis.
DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO
Para abordar tal conteúdo de uma forma prática, vamos considerar um
elemento estrutural prismático reto e simétrico, como mostra a figura 1, que
possui uma malha em sua superfície para auxiliar no entendimento da
deformação por flexão.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 201.
 Figura 1 – Elemento prismático.
A malha é composta por linhas paralelas ao eixo longitudinal do prisma e
linhas paralelas às arestas da seção reta.
QUANDO UM PAR DE MOMENTOS
FLETORES É APLICADO NAS
EXTREMIDADES DO ELEMENTO
REPRESENTADO, AS LINHAS
LONGITUDINAIS SE DEFORMAM,
ENQUANTO AS LINHAS TRANSVERSAIS
PERMANECEM SEM DEFORMAÇÃO.
Na figura 2, temos a representação da atuação dos momentos fletores e a
deformação da barra. É importante ressaltar que as linhas longitudinais se
deformam segundo uma curva e as seções transversais sofrem uma
rotação.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 201.
 Figura 2 – Elemento prismático deformado.
 ATENÇÃO
Cabe ressaltar (Figura 2) o eixo de simetria da seção reta e o momento
fletor sendo aplicado em torno de um eixo, perpendicular ao de simetria.
Qualitativamente, é fácil perceber que, sob a ação de um par de momentos
fletores, nas condições já discutidas, as regiões inferior e superior
apresentarão deformações contrárias. Uma dessas regiões estará diminuída
(contração) e a outra, aumentada (tração). Observe a figura 3.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 3 – Elementos prismáticos sob ação de momento fletor.
As deformações compressivas serão associadas a valores negativos, e as
trativas a valores positivos. Ao longo da seção, o sinal das deformações
varia e é possível inferir que nessa transição houve uma região onde as
deformações foram nulas. Observando-se a seção reta, essa região é a
linha neutra (ou eixo neutro). Ao longo do elemento prismático, tem-se um
plano neutro ou uma superfície neutra. Observe a figura 4.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 202.
 Figura 4 – Superfície neutra e eixo neutro.
EXPRESSÃO PARA DEFORMAÇÃO
POR FLEXÃO
A demonstração da distribuição de deformações em uma seção de um
elemento submetido à flexão pura supõe que as premissas adotadas no
início do módulo sejam respeitadas. É possível demonstrar que essas
deformações normais (εx) variam linearmente ao longo do eixo y.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 204.
 Figura 5 – Deformação normal.
Da figura 5, conclui-se que acima do eixo x as deformações normais são
compressivas (negativas) e, abaixo, são trativas (positivas). Ademais, a
variação das deformações por flexão é linear, sendo o valor máximo, em
módulo, associado ao maior afastamento da linha neutra. Da semelhança
de triângulos (Figura 5), é possível relacionar os módulos das grandezas
envolvidas.
Ε 
ΕMÁX = 
Y
C → ⃓
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
A fim de que as deformações trativas e compressivas sejam apresentadas
pela expressão anterior, será feito um ajuste para adequação à orientação
do conjunto de eixos adotados. Assim, tem-se a equação 1:
Ε=-YC·ΕMÁX 
(equação 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Em que εmáx é o maior valor absoluto da deformação e c a maior distância,
em módulo, a partir da linha neutra. Ainda sobre a Figura 5, perceba que
para valores positivos de y, como c e εmáx na equação 1 são valores
positivos, e apresentará valor negativo, ou seja, uma deformação
compressiva. De maneira oposta, para valores negativos de y, como c e
εmáx na equação 1 são valores positivos, e ε terá um valor positivo, ou seja,
uma deformação trativa.
 EXEMPLO
Suponha a vista lateral de uma barra submetida à flexão pura. A distribuição
de deformações está representada na figura. Considere a deformação
máxima em módulo igual a 1800 μm.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Determine:
A deformação na parte inferior da barra.
A deformação na parte superior a 30mm do eixo neutro.
A deformação no eixo neutro.
Solução
A deformação máxima (εmáx) em módulo é igual a 1800 μm.
a) Pela semelhança de triângulos, ε1800=3090 → ε=600m. Do
desenho, a deformação é positiva.
b) Da equação 1, ε=-yc·εmáx → ε=-3090·1800 → ε=-600m.
c) No eixo neutro, a deformação é nula.
EXPRESSÃO PARA TENSÃO POR
FLEXÃO
Considerando que a flexão ocorra dentro do regime elástico, é possível
utilizar a Lei de Hooke, descrita na equação 2, para determinar a tensão
normal (σ) por flexão.
Σ=E.Ε
(equação 2)
Onde E é o módulo de Young e ε é a deformação.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Para a situação de deformação máxima σmáx, a equação 2 pode ser escrita
da seguinte maneira:
ΣMÁX=E.ΕMÁX
(equação 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Dividindo-se as equações 2 e 3:
 Σ ΣMÁX=E. Ε E. ΕMÁX 
 
 
 Σ ΣMÁX= Ε ΕMÁX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Mas, a partir da equação 1:
ΕΕMÁX=-YC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Assim:
 Σ=-YC·ΕMÁX
(equação 4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
A partir da equação 4, é possível inferir que a tensão normal por flexão varia
linearmente a partir da linha neutra. Veja esquematicamente essa variação:
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 327.
 Figura 6 – Tensão normal por flexão.
MÃO NA MASSA
1. UMA VIGA ESTÁ SUBMETIDA À FLEXÃO PURA. O
REGIME É O ELÁSTICO E A VIGA APRESENTA EIXO DE
SIMETRIA. SABE-SE QUE A SEÇÃO RETA DA VIGA TEM
150MM DE ALTURA. AS FIBRAS SUPERIORES ESTÃO
DEFORMADAS DE MANEIRA COMPRESSIVA, ENQUANTO
AS FIBRAS INFERIORES DE FORMA TRATIVA. A
DEFORMAÇÃO COMPRESSIVA MÁXIMA VALE, EM
MÓDULO, O DOBRO DA DEFORMAÇÃO TRATIVA MÁXIMA
EM MÓDULO. A PARTIR DA BASE DA SEÇÃO, A QUE
ALTURA SE ENCONTRA O EIXO NEUTRO?
A) 60mm
B) 50mmC) 80mm
D) 100mm
E) 15mm
2. A FIGURA APRESENTA UM ELEMENTO PRISMÁTICO
SOB A AÇÃO DE UM PAR DE MOMENTOS FLETORES.
SÃO FEITAS AS SEGUINTES AFIRMATIVAS:
AS FIBRAS SUPERIORES ESTÃO TRACIONADAS E AS
INFERIORES COMPRIMIDAS.
NA SITUAÇÃO MOSTRADA NÃO EXISTE A LINHA
NEUTRA.
AS SEÇÕES TRANSVERSAIS SOFREM ROTAÇÃO
DURANTE A ATUAÇÃO DO MOMENTO.
SÃO CORRETAS:
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas as afirmativas I e II.
D) Apenas as afirmativas I e III.
E) Apenas as afirmativas II e III.
3. UM EIXO MACIÇO ENCONTRA-SE BIAPOIADO EM
EQUILÍBRIO SOB DETERMINADO CARREGAMENTO. UMA
SEÇÃO CIRCULAR É ESTUDADA E CONSIDERA-SE A
FLEXÃO PURA COMO O PRINCIPAL EFEITO. NA
PERIFERIA DA SEÇÃO OCORRE A TENSÃO MÁXIMA POR
FLEXÃO EM MÓDULO IGUAL A 20MPA. CONSIDERANDO O
RAIO DA SEÇÃO IGUAL A 80MM, DETERMINAR, EM
MÓDULO, A TENSÃO NORMAL POR FLEXÃO EM UM
PONTO A 20MM DO EIXO NEUTRO.
A) 20MPa
B) 12MPa
C) 10MPa
D) 6MPa
E) 5MPa
4. UMA VIGA APRESENTA SEÇÃO RETANGULAR DE
LADOS 80MM E 100MM E ESTÁ SUBMETIDA A UM
MOMENTO FLETOR M, PARALELO À BASE (80MM), DE
TAL FORMA QUE AS FIBRAS SUPERIORES FICAM SOB
COMPRESSÃO. SABENDO QUE O REGIME É O ELÁSTICO,
A ESTRUTURA ESTÁ EM EQUILÍBRIO, E A LINHA NEUTRA
PASSA PELO CENTROIDE DA SEÇÃO RETA, A RAZÃO
ENTRE AS TENSÕES NORMAIS ATUANTES A 20MM
ACIMA DA LINHA NEUTRA E A TENSÃO NORMAL
ATUANTE A 30MM ABAIXO DA LINHA NEUTRA
(CONSIDERAR OS SINAIS DA COMPRESSÃO E DA
TRAÇÃO).
A) 13
B) -13
C) 1
D) 23
E) -23
5. UMA VIGA ESTÁ SOB FLEXÃO PURA. A DEFORMAÇÃO
NORMAL POR FLEXÃO É APRESENTADA NO GRÁFICO A
SEGUIR. O EIXO NEUTRO DA SEÇÃO EM ESTUDO DIVIDE
O EIXO Y EM DUAS PARTES: 40MM NA PARTE SUPERIOR
E 20MM NA PARTE INFERIOR.
É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) As fibras na parte superior (acima do eixo neutro) estão comprimidas.
B) Todas as fibras apresentam-se tracionadas.
C) A 10mm acima do eixo neutro a deformação normal é 1000 μ.
D) A 20mm abaixo da linha neutra a deformação normal é 2000 μ.
E) A seção é retangular de base 60mm.
6. UMA ESTRUTURA ENCONTRA-SE SOB A AÇÃO DE UM
MOMENTO FLETOR, EM EQUILÍBRIO NO REGIME
ELÁSTICO. O GRÁFICO A SEGUIR MOSTRA A VARIAÇÃO
DA TENSÃO NORMAL NA SEÇÃO AO LONGO DO EIXO Y
DE SIMETRIA. SUPONDO QUE A ESTRUTURA ESTÁ EM
EQUILÍBRIO SOB FLEXÃO E NO REGIME ELÁSTICO,
DETERMINE A TENSÃO NORMAL POR FLEXÃO MÍNIMA:
A) - 28MPa
B) - 30MPa
C) - 40MPa
D) - 50MPa
E) - 70MPa
GABARITO
1. Uma viga está submetida à flexão pura. O regime é o elástico e a
viga apresenta eixo de simetria. Sabe-se que a seção reta da viga tem
150mm de altura. As fibras superiores estão deformadas de maneira
compressiva, enquanto as fibras inferiores de forma trativa. A
deformação compressiva máxima vale, em módulo, o dobro da
deformação trativa máxima em módulo. A partir da base da seção, a
que altura se encontra o eixo neutro?
A alternativa "B " está correta.
A variação da tensão normal por flexão ao longo da altura da seção reta é
linear, sendo zero na linha neutra e trativa ou compressiva nas regiões
superiores ou inferiores (ou vice-versa), dependendo da orientação do
momento aplicado. Dessa forma, é possível considerar a figura seguinte.
Da semelhança de triângulos:
 ε 2.ε= y 150-y →2y=150-y→y=50mm
2. A figura apresenta um elemento prismático sob a ação de um par de
momentos fletores. São feitas as seguintes afirmativas:
As fibras superiores estão tracionadas e as inferiores
comprimidas.
Na situação mostrada não existe a linha neutra.
As seções transversais sofrem rotação durante a atuação do
momento.
São corretas:
A alternativa "D " está correta.
A partir da figura, é possível concluir que as fibras superiores estão
alongadas, isto é, tracionadas, e as fibras inferiores, comprimidas. Como
existem duas regiões com deformações de sinais opostos, essa transição
ocorre com a existência da linha neutra (deformação e tensão nulas). As
seções retas sofrem apenas a rotação.
3. Um eixo maciço encontra-se biapoiado em equilíbrio sob
determinado carregamento. Uma seção circular é estudada e
considera-se a flexão pura como o principal efeito. Na periferia da
seção ocorre a tensão máxima por flexão em módulo igual a 20MPa.
Considerando o raio da seção igual a 80mm, determinar, em módulo, a
tensão normal por flexão em um ponto a 20mm do eixo neutro.
A alternativa "E " está correta.
Um elemento estrutural sob flexão pura, apresentando eixo de simetria, tem
a distribuição de tensão e normas lineares, a partir do eixo neutro, de
acordo com a equação.
σ=-yc·σmáx
Utilizando a equação em módulo, tem-se:
σ=2080·20 → σ=5MPa
4. Uma viga apresenta seção retangular de lados 80mm e 100mm e
está submetida a um momento fletor M, paralelo à base (80mm), de tal
forma que as fibras superiores ficam sob compressão. Sabendo que o
regime é o elástico, a estrutura está em equilíbrio, e a linha neutra
passa pelo centroide da seção reta, a razão entre as tensões normais
atuantes a 20mm acima da linha neutra e a tensão normal atuante a
30mm abaixo da linha neutra (considerar os sinais da compressão e da
tração).
A alternativa "E " está correta.
Na questão, as fibras superiores são compressivas, ou ainda, apresentam
valores negativos. As fibras inferiores (abaixo da linha neutra) estão sob
tração, ou ainda, apresentam valores positivos. A partir da equação σ=-
yc·σmáx, é possível inferir que as tensões são diretamente proporcionais às
distâncias do eixo neutro. Assim: σ=-20K e σ'=30K, com K um número real
positivo. Logo, a razão será -23.
5. Uma viga está sob flexão pura. A deformação normal por flexão é
apresentada no gráfico a seguir. O eixo neutro da seção em estudo
divide o eixo y em duas partes: 40mm na parte superior e 20mm na
parte inferior.
É correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
A partir do gráfico e do enunciado da questão, os 40mm acima do eixo
neutro (ou linha neutra) estão tracionados (valores positivos de
deformação), e os 20mm abaixo da linha neutra, comprimidos (valores
negativos de deformação). O gráfico mostra uma relação linear entre a
deformação e a distância y. Assim, a 10mm acima do eixo neutro, tem-se:
1040= ε4000 →ε =1000 μ
Abaixo da linha neutra, as deformações são negativas.
O gráfico informa sobre a dimensão vertical, não sobre a forma e a
dimensão da base.
6. Uma estrutura encontra-se sob a ação de um momento fletor, em
equilíbrio no regime elástico. O gráfico a seguir mostra a variação da
tensão normal na seção ao longo do eixo y de simetria. Supondo que a
estrutura está em equilíbrio sob flexão e no regime elástico, determine
a tensão normal por flexão mínima:
A alternativa "A " está correta.
CÁLCULO DA TENSÃO MÍNIMA DE UMA
ESTRUTURA, SOB FLEXÃO.
A partir do gráfico que relaciona a tensão por flexão e a altura da seção
reta, será determinada a tensão mínima da seção de uma estrutura em
equilíbrio, sob flexão.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um engenheiro está dimensionando uma estrutura e utilizará um perfil I
(com dupla simetria) em uma das vigas, sujeita à flexão pura. Na figura,
tem-se as dimensões do perfil utilizado. Ele pede ao seu estagiário que
determine as tensões em alguns pontos (B e C), sabendo que em A a
tensão é normal, compressiva, de módulo 40MPa. Ele informa ao estagiário
que o eixo neutro é horizontal e passa pelo centroide do perfil I. Além disso,
o ponto C está na metade da altura da aba inferior.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
DETERMINAR AS TENSÕES NORMAIS POR
FLEXÃO EM UM PERFIL I.
A partir do conhecimento da distribuição linear das tensões por flexão, serão
determinadas tensões em alguns pontos de uma seção, sejam elas
compressivas ou trativas.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (CETRO - 2015 - AMAZUL - ENGENHEIRO MECÂNICO)
EM UM CORPO, AS FORÇAS PODEM SER APLICADAS DE
DIFERENTES MANEIRAS, ORIGINANDO DIFERENTES
TIPOS DE SOLICITAÇÃO. LEIA A DESCRIÇÃO ABAIXO E,
EM SEGUIDA, ASSINALE A ALTERNATIVA QUE
APRESENTA A “SOLICITAÇÃO QUE TENDE A MODIFICAR
O EIXO GEOMÉTRICO DE UMA PEÇA”.
A) Tração
B) CompressãoC) Cisalhamento
D) Flexão
E) Torção
2. UMA ESTRUTURA TEM UMA VIGA RETANGULAR DE
DIMENSÕES 80MM (BASE) E 120MM (ALTURA). O EIXO
NEUTRO ESTÁ LOCALIZADO PARALELAMENTE À BASE,
PASSANDO PELO CENTROIDE DA SEÇÃO RETA. SOB
FLEXÃO, AS FIBRAS SUPERIORES ESTÃO
COMPRIMIDAS. CONSIDERANDO DOIS PONTOS
QUAISQUER, DISPOSTOS SIMETRICAMENTE EM
RELAÇÃO AO EIXO NEUTRO, A SOMA DAS TENSÕES
NORMAIS ATUANTES NOS PONTOS:
A) É igual, em módulo, ao dobro da tensão que ocorre em um dos pontos.
B) É igual, em módulo, à metade da tensão que ocorre em um dos pontos.
C) É igual a zero.
D) Depende do momento fletor aplicado na seção.
E) É igual, em módulo, ao triplo da tensão que ocorre em um dos pontos.
GABARITO
1. (CETRO - 2015 - AMAZUL - Engenheiro Mecânico) Em um corpo, as
forças podem ser aplicadas de diferentes maneiras, originando
diferentes tipos de solicitação. Leia a descrição abaixo e, em seguida,
assinale a alternativa que apresenta a “Solicitação que tende a
modificar o eixo geométrico de uma peça”.
A alternativa "D " está correta.
 
Um elemento estrutural sob tração ou compressão preserva seu eixo
geométrico, ocorrendo apenas aumento ou diminuição da peça. Na torção,
a deformação ocorre em torno do eixo geométrico. A flexão deforma a
estrutura, mudando o seu eixo geométrico. Observe:
 Figura 4 – Superfície neutra e eixo neutro.
2. Uma estrutura tem uma viga retangular de dimensões 80mm (base) e
120mm (altura). O eixo neutro está localizado paralelamente à base,
passando pelo centroide da seção reta. Sob flexão, as fibras
superiores estão comprimidas. Considerando dois pontos quaisquer,
dispostos simetricamente em relação ao eixo neutro, a soma das
tensões normais atuantes nos pontos:
A alternativa "C " está correta.
 
A parir da equação 4 (σ=-yc·σmáx) é possível determinar a tensão por
flexão em qualquer ponto y afastado da linha neutra. Dois pontos A e B,
simétricos em relação à linha neutra estarão a distância +d e -d da linha
neutra. Logo:
σA=-dc·σmáx 
 
 
σB=--dc·σmáx → σB = dc·σmáx
Assim, a soma das tensões será:
σA+ σB=-dc·σmáx +dc·σmáx= 0
MÓDULO 2
 Formular a determinação de tensões máximas e mínimas, e módulo
de resistência
A DETERMINAÇÃO DE TENSÕES MÁXIMAS
E MÍNIMAS, E MÓDULO DE RESISTÊNCIA.
Partir de uma viga sob tensão pura, em equilíbrio e no regime elástico,
serão apresentadas as tensões máxima e mínima e o parâmetro geométrico
módulo de resistência.
INTRODUÇÃO
Até aqui, a apresentação da flexão pura em barras prismática fez a
consideração da linha neutra (tensão nula) e as distâncias a partir dessa e,
com isso, foi possível escrever duas relações matemáticas: a da
deformação e a da tensão. Contudo, não foi feita a localização da linha
neutra. Neste módulo, o estudo será inicializado a partir de sua localização.
LINHA NEUTRA OU EIXO NEUTRO
DE UMA SEÇÃO
 
Foto: Shutterstock.com
Neste tópico, mais uma vez a condição de equilíbrio no regime elástico será
assumida. Na flexão pura, ao escolhermos uma seção reta para estudo, o
esforço normal atuante na linha neutra é neutro. A próxima figura
esquematiza a distribuição, estando a região acima da linha neutra
comprimida e, abaixo, tracionada, conforme a figura 7.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 327.
 Figura 7 – Tensão normal por flexão.
O objetivo é determinar o posicionamento da linha e da superfície neutra.
Tomando-se um pequeno elemento de área dA na face em estudo, existe
uma tensão associada σ. A tensão é dada pela expressão σ=FA. Ajustando-
a para a área infinitesimal, determina-se o infinitésimo da força (dF), ou
seja:
DF=Σ.DA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Porém, a equação 4 afirma que σ=-yc·σmáx. Substituindo na expressão de
dF:
DF=-YC·ΣMÁX.DA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Como c e σmáx são valores constantes, ao se integrar a equação anterior,
tem-se:
DF=-YC. ΣMÁX.DA 
 
 
∫DF=∫-YC. ΣMÁX.DA 
 
 
FX=-ΣMÁXC·∫Y·DA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
No entanto, a resultante das forças na direção x é nula, logo 0=-
σmáxc·∫y·dA, o que implica que a integral é nula. A interpretação é que o
momento estático da área A da seção reta, em relação ao eixo neutro
horizontal é nulo. Dessa forma, a linha neutra passa pelo centroide da
seção reta. No caso apresentado, horizontal.
 RELEMBRANDO
Lembrando que a situação de flexão pura tem a premissa que y é eixo
simétrico. Caso a seção apresente um eixo horizontal simétrico, pelo
teorema de simetria, o centroide estará na interseção dos eixos. De outra
maneira, os eixos são centroidais e vale a conclusão anterior, ou seja, a
linha neutra será o eixo de simetria x.
DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES
MÁXIMA E MÍNIMA POR FLEXÃO
A demonstração da expressão que determina as tensões máxima e mínima
será apoiada na figura 8:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 204.
 Figura 8 – Distribuição de tensão na flexão pura.
Inicialmente, deve-se lembrar que o momento fletor é um vetor na direção
do eixo z. Na figura, o momento fletor M é positivo, e um elemento de força
dF é mostrado na figura. O momento exercido por esse elemento, em
relação ao eixo z, é dado por dM=dF·y.
Note que dM é um pequeno vetor no sentido crescente de z, logo, positivo.
A partir da definição de tensão normal média, σ=FA, é possível escrever
que dF=σ.dA.
Utilizando apenas o módulo na equação 4 σ=yc·σmáx, tem-se:
DM=Y2C. ΣMÁX.DA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Integrando-se a equação anterior:
∫DM=∫Y2C. ΣMÁX·DA 
 
 
M=ΣMÁXC∫Y2DA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
O momento de inércia da seção reta da viga, em relação ao eixo neutro é
dado por ∫y2dA. Substituindo na expressão anterior, tem-se para o módulo
da tensão normal máxima a equação 5:
ΣMÁX=M·CI
(equação 5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Lembrando que c é a distância mais afastada da linha neutra e M o módulo
do momento fletor.
 EXEMPLO
Considere a figura em que a linha neutra da seção reta se encontra a 50mm
da parte inferior da viga e o momento fletor na seção tem valor 2.000N.m.
Considere o momento de inércia em relação ao eixo neutro igual a 4·10-
5 m4. Determine as tensões máximas compressiva e trativa.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Solução
Da figura, é possível inferir que as fibras acima da linha neutra estão
comprimidas por ação do momento fletor, e as fibras inferiores, tracionadas.
Para cada situação (compressão e tração), maior afastamento da linha
neutra será 100mm e 50mm. Aplicando-se a equação 5:
σmáx=M·cI 
 
 
σmáx= M·cI→ σmáx=2000·(0,1)4·10-5=5MPa (compressiva) 
 
 
σmáx=M·cI→ σmáx=2000·(0,05)4·10-5=2,5MPa (trativa) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Obs.: A equação 5 σmáx=M·cI, utilizada para a determinação da tensão por
flexão máxima, pode ser reescrita como:
σmáx=M·cI 
 
 
σmáx=MIc
A razão Ic é função apenas de parâmetros geométricos da seção reta em
que atua o momento fletor M. A essa razão denomina-se módulo resistente
à flexão ou módulo de resistência da flexão (W). Reescrevendo a equação
5, tem-se:
ΣMÁX=MW
(equação 6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Obs.: A unidade no S.I. para o módulo resistente é m³, e significa a
resistência da viga a sofrer flexão.
 EXEMPLO
Determine o módulo resistente de uma seção retangular de dimensões b
(base) e h (altura).
Solução
Considere a figura da seção retangular e a linha neutra (LN).
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
O momento de inércia do retângulo em relação ao eixo centroidal horizontal
(coincide com a linha neutra) é dado pela expressão I=b.h312. O maior
afastamento da linha neutra c é igual a h2. O módulo resistente W é
calculado a partir da razão Ic. Assim:
W=Ic=b.h312h2W=b.h26
DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES
POR FLEXÃO
Aqui falaremos sobre a determinação da tensão por flexão em um ponto
genérico da seção reta.
AS PREMISSAS ADOTADAS NO INÍCIO DO
ESTUDO DA FLEXÃO PURA CONTINUAM
VÁLIDAS, OU SEJA, REGIME ELÁSTICO,
EQUILÍBRIO E SEÇÃO COM EIXO Y
SIMÉTRICO.
A figura 9 mostra a variação da tensão ao longo do eixo y:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 204.
 Figura 9 – Distribuição de tensão normal por flexão pura.
Observe o momento fletor M na seção e um ponto genérico, distante y
unidades da linha neutra, submetido à tensão normal de flexão
(compressão) denominada σ. Considerando as equações 4 e 5, tem-se:
Σ=-YC·ΣMÁX 
 
 
E 
 
 
ΣMÁX=M·CI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Substituindo a expressão de σmáx, tem-se a equação 7 para determinar a
tensão em um ponto genérico afastado y unidades da linha neutra:
Σ=-Y·MI
(equação 7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Em que I é o momento de inércia da seção em relação à linha neutra.
 ATENÇÃO
Obs.: Considere uma viga biapoiada de comprimento L com carregamento
uniformemente distribuído q. O momento fletor máximo ocorre na seção
localizada no ponto médio da viga e tem módulo Mmáximo=q·L28.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE DUAS ESTRUTURAS FEITAS DO MESMO
MATERIAL E COM AS MESMAS DIMENSÕES. ADMITINDO-
SE QUE A SEÇÕES SÃO RETANGULARES COM
DIMENSÕES B (BASE) E H (ALTURA), TAL QUE H = 2B.
QUAL A RAZÃO ENTRE OS MÓDULOS RESISTENTES DA
SEÇÃO EM CADA SITUAÇÃO 1 OU 2?
A) 12
B) 1
C) 2
D) 23
E) 32
2. CONSIDERE UMA VIGA CIRCULAR MACIÇA DE 2M DE
COMPRIMENTO E RAIO 40MM. EM DADA SEÇÃO DESSA
VIGA, O MOMENTO FLETOR TEM MÓDULO 2KN.M.
CONSIDERANDO O EQUILÍBRIO NO REGIME ELÁSTICO E
A FLEXÃO PURA, DETERMINE O MÓDULO DA TENSÃO
NORMAL MÁXIMA:
A) 25,6MPa
B) 32,0MPa
C) 36,8MPa
D) 39,8MPa
E) 46,8MPa
3. (FCC - 2014 - TCE-RS - AUDITOR PÚBLICO EXTERNO -
ENGENHARIA CIVIL - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS).
CONSIDERE A VIGA PRISMÁTICA DE SEÇÃO
TRANSVERSAL RETANGULAR REPRESENTADA NA
FIGURA ABAIXO:
CONSIDERANDO QUE O MATERIAL DA VIGA SEJA
HOMOGÊNEO E ELÁSTICO LINEAR, A TENSÃO MÁXIMA
DE COMPRESSÃO DEVIDO À FLEXÃO, EM MPA, É:
A) 175
B) 250
C) 125
D) 75
E) 50
4. EM UMA ESTRUTURA, UMA VIGA ESTÁ CARREGADA
DE TAL FORMA QUE O PRINCIPAL EFEITO É O DA
FLEXÃO PURA. SUPONDO O MÓDULO DE RESISTÊNCIA À
FLEXÃO DA SEÇÃO RETA IGUAL A 12.000MM³ E A
TENSÃO ADMISSÍVEL DO MATERIAL 80MPA, QUAL O
MÓDULO DO MOMENTO FLETOR MÁXIMO QUE PODE
ATUAR NA SEÇÃO DE ESTUDO?
A) 1500N.m
B) 960N.m
C) 750N.m
D) 480N.m
E) 150N.m
5. CONSIDERE QUE UMA VIGA OCA (VER FIGURA) DE
SEÇÃO QUADRANGULAR ESTEJA SUBMETIDA À FLEXÃO
PURA. EM DADA SEÇÃO, O MOMENTO FLETOR ATUANTE
TEM MÓDULO 6KN.M. CONSIDERANDO AS DIMENSÕES
DA SEÇÃO RETA DA VIGA COMO 100MM E 80MM,
DETERMINE A TENSÃO POR FLEXÃO MÁXIMA EM
MÓDULO:
A) 61MPa
B) 52MPa
C) 45MPa
D) 31MPa
E) 28MPa
6. (VUNESP - 2018 - PREFEITURA DE SÃO BERNARDO DO
CAMPO - SP - ENGENHEIRO CIVIL). CONSIDERE A VIGA
SIMPLESMENTE APOIADA COM VÃO DE 8M E SEÇÃO
TRANSVERSAL RETANGULAR REPRESENTADA NA
FIGURA A SEGUIR:
A TENSÃO NORMAL MÁXIMA, DEVIDO À FLEXÃO NA
FIBRA MAIS TRACIONADA DA VIGA, EM MPA, É:
A) 60
B) 80
C) 100
D) 120
E) 150
GABARITO
1. Considere duas estruturas feitas do mesmo material e com as
mesmas dimensões. Admitindo-se que a seções são retangulares com
dimensões b (base) e h (altura), tal que h = 2b. Qual a razão entre os
módulos resistentes da seção em cada situação 1 ou 2?
A alternativa "C " está correta.
O módulo resistente do retângulo é dado por:
W=b·h26
Do enunciado, h = 2b.
Para a situação 1, base é b e altura h = 2b. Assim, W1=b·(2b)26=2·b33.
Para a situação 1, base é h = 2b e altura b. Assim, W2=2b·(b)26=b33.
Logo, W1W2=2.
2. Considere uma viga circular maciça de 2m de comprimento e raio
40mm. Em dada seção dessa viga, o momento fletor tem módulo
2kN.m. Considerando o equilíbrio no regime elástico e a flexão pura,
determine o módulo da tensão normal máxima:
A alternativa "D " está correta.
O raio da seção circular é 40mm = 0,04m. O momento de inércia do círculo
em relação ao eixo centroidal horizontal (coincidente com o eixo neutro) é
dado pela expressão I=π·R44=π·(0,04)44=2,01.10-6 m4. O maior
afastamento da linha neutra é igual ao raio (0,04m). Substituindo na
equação 5, tem-se:
σmáx=2000·(0,04)2,01·10-6=39,8MPa
3. (FCC - 2014 - TCE-RS - Auditor Público Externo - Engenharia Civil -
Conhecimentos Específicos). Considere a viga prismática de seção
transversal retangular representada na figura abaixo:
Considerando que o material da viga seja homogêneo e elástico linear,
a tensão máxima de compressão devido à flexão, em MPa, é:
A alternativa "B " está correta.
A carga distribuída ao longo da viga é de 2kN/m = 2.000N/m. As dimensões
da seção reta são b = 0,06m e h = 0,10m. O momento fletor interno máximo
ocorre no ponto médio da viga e tem módulo Mmáximo=q·L28. Logo:
Mmáximo=2000·(10)28=25.000Nm
O momento de inércia da seção retangular em relação ao eixo neutro é
igual a:
I=b·h312=0,06·(0,10)312=5·10-6 m4
A tensão máxima de compressão ocorre na parte superior da viga, ou seja,
a 0,05m da linha neutra. Substituindo na equação 5, tem-se:
σmáx=25000·(0,05)5.10-6→σmáx=250MPa (compressão)
4. Em uma estrutura, uma viga está carregada de tal forma que o
principal efeito é o da flexão pura. Supondo o módulo de resistência à
flexão da seção reta igual a 12.000mm³ e a tensão admissível do
material 80MPa, qual o módulo do momento fletor máximo que pode
atuar na seção de estudo?
A alternativa "B " está correta.
Homogeneizando as unidades, a tensão admissível (máxima) é 80·106 Pa e
o módulo resistente (W) igual a 12·10-6 m3.
A tensão máxima em função do módulo resistente é apresentada a seguir:
σmáx=MW
Substituindo os valores, tem-se:
80·106=M12·10-6→M=960N.m
5. Considere que uma viga oca (Ver figura) de seção quadrangular
esteja submetida à flexão pura. Em dada seção, o momento fletor
atuante tem módulo 6kN.m. Considerando as dimensões da seção reta
da viga como 100mm e 80mm, determine a tensão por flexão máxima
em módulo:
A alternativa "A " está correta.
O momento de inércia da seção quadrangular de lado L em relação ao eixo
neutro é igual a:
I=L412
Para a seção “vazada”, o momento de inércia em relação ao eixo neutro
será igual a:
I=L412-l412
Em que L e l são as arestas dos quadrados externo e interno. Dessa forma:
I=L412-l412= 0,1412-0,08412=4,92.10-6 m4
A tensão máxima ocorre para o maior afastamento c da linha neutra, ou
seja, 0,12=0,05m. Substituindo na equação 5, tem-se:
σmáx=6000.(0,05)4,92.10-6→σmáx=61MPa
6. (VUNESP - 2018 - Prefeitura de São Bernardo do Campo - SP -
Engenheiro Civil). Considere a viga simplesmente apoiada com vão de
8m e seção transversal retangular representada na figura a seguir:
A tensão normal máxima, devido à flexão na fibra mais tracionada da
viga, em MPa, é:
A alternativa "E " está correta.
DETERMINAÇÃO DA TENSÃO NORMAL
TRATIVA MÁXIMA DE UMA VIGA SOB
CARREGAMENTO UNIFORME
DISTRIBUÍDO.
Aplicação do momento fletor em vigas biapoiadas sob carregamento
uniforme para a determinação da tensão por flexão máxima.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um projeto apresentará uma pequena viga de seção quadrada maciça de
comprimento L = 4m biapoiada em A e B, conforme a figura. Os apoios são
de 1º e 2º gêneros.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
No dimensionamento da viga, seu peso próprio será desprezado. O
carregamento a que a viga ficará submetida é uniformemente distribuído, tal
que q = 2400N/m. A viga será constituída de um material que suporta uma
tensão de flexão máxima equivalente a 100MPa σadmissível. O engenheiro
deseja saber o valor mínimo, em milímetros, da aresta da seção reta da
viga.
RESOLUÇÃO
DIMENSIONAMENTO DE UMA VIGA, SOB
FLEXÃO, COM CARREGAMENTO
DISTRIBUÍDO UNIFORME.
Aplicação do momento fletor máximo em uma viga sob carregamento
distribuído para seu dimensionamento, considerando a flexãopura.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (FUNCAB - 2015 - PC-AC - PERITO CRIMINAL -
ENGENHARIA MECÂNICA). A FÓRMULA DA FLEXÃO É
DADA POR: Σ=-Y.MI E É UTILIZADA PARA DETERMINAR A
TENSÃO NORMAL EM UM MEMBRO RETO, COM SEÇÃO
TRANSVERSAL SIMÉTRICA EM RELAÇÃO A UM EIXO, E
NO QUAL O MOMENTO SEJA APLICADO NO SENTIDO
PERPENDICULAR ÀQUELE EIXO. A MÁXIMA TENSÃO
NORMAL OCORRERÁ NO(S):
A) Ponto mais próximo do eixo neutro.
B) Eixo neutro.
C) Ponto mais afastado do eixo neutro.
D) Pontos acima do eixo neutro.
E) Pontos abaixo do eixo neutro.
2. (FADESP - 2019 - CPC-RENATO CHAVES - PERITO
CRIMINAL - ENGENHARIA CIVIL – ADAPTADA).
CONSIDERE A VIGA BIAPOIADA DE SEÇÃO RETANGULAR
CONSTANTE, SUBMETIDA A UMA CARGA
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA, REPRESENTADA NA
FIGURA A SEGUIR:
A TENSÃO NORMAL POR FLEXÃO MÁXIMA EM MÓDULO
É IGUAL A:
A) σ=4·q·L23·b·h2
B) σ=3·q·L28·b·h2
C) σ=8·q·L23·b·h2
D) σ=3·q·L24·b·h2
E) σ=q·L23·b·h2
GABARITO
1. (FUNCAB - 2015 - PC-AC - Perito Criminal - Engenharia Mecânica). A
fórmula da flexão é dada por: σ=-y.MI e é utilizada para determinar a
tensão normal em um membro reto, com seção transversal simétrica
em relação a um eixo, e no qual o momento seja aplicado no sentido
perpendicular àquele eixo. A máxima tensão normal ocorrerá no(s):
A alternativa "C " está correta.
 
A partir da expressão apresentada no problema, e como M e I são valores
constante, a tensão por flexão varia linearmente com a distância y do eixo
neutro. Sendo assim, no eixo neutro a tensão é nula e terá valor máximo no
ponto mais afastado do eixo neutro.
2. (FADESP - 2019 - CPC-RENATO CHAVES - Perito Criminal -
Engenharia Civil – adaptada). Considere a viga biapoiada de seção
retangular constante, submetida a uma carga uniformemente
distribuída, representada na figura a seguir:
A tensão normal por flexão máxima em módulo é igual a:
A alternativa "D " está correta.
 
Momento fletor máximo em módulo é dado por:
Mmáximo=q·L28
O momento de inércia da seção retangular em relação ao eixo neutro é
I=b·h312, e o afastamento máximo da linha neutra é c=h2.
O módulo da tensão por flexão máxima é calculado por:
σmáx=M·cI 
 
 
σmáx=q·L28·h2b·h312→ smáx=3·q·L24·b·h2
MÓDULO 3
 Calcular a linha elástica
A LINHA ELÁSTICA.
A linha elástica de uma viga sob tipos distintos de vinculações e de
carregamento será apresentada. Aplicação das linhas elásticas para
determinação das deflexões e inclinações máximas.
INTRODUÇÃO
A partir deste ponto, o estudo de uma viga prismática ganha um elemento a
mais a ser considerado: a sua deflexão sob determinado carregamento.
Particularmente, como foi para o cálculo da tensão, o valor máximo da
deflexão é de interesse para projetos. A figura 10 apresenta dois exemplos
de linha elástica de uma viga.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 421.
 Figura 10 – Linha elástica de uma viga.
DEFLEXÕES EM UMA VIGA
 
Imagem: Shutterstock.com
Aqui será considerado um carregamento transversal à viga para a
determinação de sua deflexão ao longo do eixo longitudinal.
DE ACORDO COM HIBBELER (2010), O
DIAGRAMA DA DEFLEXÃO DO EIXO
LONGITUDINAL QUE PASSA PELO
CENTROIDE DE CADA ÁREA DA SEÇÃO
TRANSVERSAL DA VIGA É DENOMINADO
LINHA ELÁSTICA.
A concavidade da linha elástica está associada ao “sinal” do momento e a
convenção a ser adotada no estudo é que momentos fletores positivos
comprimem as fibras superiores e tracionam as fibras inferiores. Para
momento fletor negativo, ocorre o inverso. A figura 11 mostra a convenção
adotada.
Veja a convenção adotada:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 11 – Convenção de sinais para o momento fletor.
Momentos fletores positivos levam a uma linha elástica com concavidade
voltada “para cima” (abertura para cima); momentos negativos levam a linha
elástica a ter concavidade voltada “para baixo” (abertura para baixo). Veja,
na figura 12, o diagrama do momento fletor (DMF) para um
carregamento pontual e a associação à concavidade da linha elástica:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 422.
 Figura 12 – DMF e concavidade da linha elástica de uma viga.
 ATENÇÃO
Note que, na linha elástica, existe um ponto denominado de inflexão cuja
definição matemática revela a transição de concavidade. O ponto de
inflexão está associado ao valor nulo do momento fletor. Atente também
para a convenção de sinais para o deslocamento (positivo acima da barra) e
para a inclinação (positiva para ângulos agudos).
Considere uma viga tendo sua seção reta com simetria no eixo vertical e o
regime elástico. O raio de curvatura (ρ) é uma função do momento fletor
interno (M), do módulo de elasticidade (E) do material, e do momento de
inércia (I) em relação à linha neutra. Supondo que o momento fletor (M), ao
longo do eixo longitudinal (x), seja uma função M(x) com I e E constantes,
tem-se a equação 8 relacionando as grandezas descritas:
1Ρ=M(X)E·I
(equação 8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Obs.: A quantidade 1ρ é denominada de curvatura.
Para o momento fletor constante ao longo do eixo x, tem-se M(x)=M, e a
equação 8 pode ser escrita como a equação 9:
1Ρ=ME·I
(equação 9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
 SAIBA MAIS
O produto E·I é denominado rigidez à flexão e depende do tipo de material
(E) e da geometria da seção reta (I).
A figura 13 mostra duas situações para o raio de curvatura da linha elástica.
O raio de curvatura segue o sinal do momento fletor positivo (convenção
adotada). Assim, o raio de curvatura será positivo para M positivo, e
negativo, para M negativo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 13 – Raio de curvatura da linha elástica.
LINHA ELÁSTICA
Para efeitos de nomenclatura, a linha elástica será apresentada com a letra
y, que é uma função da abscissa x, ou seja, y(x). A inclinação da reta
tangente à linha elástica será definida como θ. Observe:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 422.
 Figura 14 – Linha elástica de uma viga.
 VOCÊ SABIA
A determinação da equação da linha elástica é feita a partir da resolução de
uma equação diferencial ordinária (EDO). A técnica empregada é a
separação de variáveis, ou seja, integrações sucessivas. Assim, constantes
genéricas surgirão. Para a determinação de constantes particulares
(associadas ao carregamento particular), as condições de contorno devem
ser satisfeitas.
Fisicamente, tais condições são provenientes dos tipos de apoios da viga.
Cada apoio impedirá ou não deslocamentos verticais da viga e/ou rotações
(inclinações). Ademais, podemos utilizar condições para o momento fletor
(M) e esforço cortante (V) no ponto. Observe na figura 15, as condições de
alguns apoios em relação aos deslocamentos vertical (Δ) e rotacional (θ) do
ponto da linha elástica e M e V:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 425 - modificada.
 Figura 15 – Condições de contorno.
Obs.: A inclinação θ é igual dydx
É possível demonstrar que a EDO associada à linha elástica de uma viga é
a EDO da equação 10, ou seja:
D2YDX2=M(X)E·I
(equação 10)
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As equações do momento fletor M(x), do esforço cortante V(x) e do
carregamento w(x) se relacionam, conforme expressões a seguir:
VX=DM(X)DX 
 
 
E 
 
 
-WX=DV(X)DX
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Assim, é possível reescrever a equação 10.
D3YDX3=V(X)E·I
(equação 11)
D4YDX4=-W(X)E·I
(equação 12)
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EXEMPLO 8.1 DO LIVRO RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS, BEER; JOHNSTON JR., 1995, P.
822.
Considere uma viga engastada em uma das extremidades e livre na outra
(ver figura). A seção reta é constante ao longo da viga e o material
homogêneo:
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 822.
Supondo o regime elástico, determine:
A equação da linha elástica da viga quando uma carga constante e de
módulo P é aplicada na extremidadelivre.
O deslocamento na extremidade livre.
A rotação (inclinação) na extremidade livre.
Solução
Inicialmente, é necessário escrever a função que descreve o momento fletor
ao longo de x. A partir do DCL (ver figura) de uma parte da barra, e
aplicando-se a condição de equilíbrio rotacional, tem-se:
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 822.
Equilíbrio rotacional
∑MC=0 →P·X+M=0 →MX=-P·X
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Na figura a seguir, há um croqui da linha elástica para a situação
apresentada e as condições de contorno na extremidade engastada:
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 824.
Equação da linha elástica (equação 10):
D2YDX2=M(X)E·I
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Substituindo M(x) e integrando:
D2YDX2=-P.XE·I →E·ID2YDX2=-P·X 
 
 
E·IDYDX=-P.X22+ C1 (*)
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DETERMINAÇÃO DE C1:
Na extremidade engastada (x = L), a inclinação dydx é nula. Substituindo na
equação (*):
E·I·0=-P.L22+ C1→ C1= P·L22
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Logo, a equação será:
E·Idydx=-P·x22+ P·L22 (**)
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Integrando a equação (**), tem-se:
E·I·y=-P·x36+P·L22·x+C2 (***)
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DETERMINAÇÃO DE C2:
Na extremidade engastada (x = L), o deslocamento (y) é nulo. Substituindo
na equação (***):
E·I·0=-P·L36+ P·L22·L+ C2 → C2= - P·L33
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Assim, a equação da linha elástica é:
y=1E.I·-P·x36+ P·L22·x- P.L33 
 
 
y=P6·E·I·(-x3+ 3·L2·x-2·L3) (****)
Deslocamento vertical na extremidade livre: Substituindo x = 0 na
equação da linha elástica (****), tem-se: yA=-P·L33·E·I
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Rotação na extremidade livre: Substituindo-se x = 0 na equação (**)
E·I·θA=-P·022+ P·L22
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θA= P·L22·E·I
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MÃO NA MASSA
1. (CESGRANRIO - 2015 - PETROBRAS - PROFISSIONAL
JÚNIOR - ENGENHARIA MECÂNICA) A LINHA ELÁSTICA
DE UMA VIGA ENGASTADA-LIVRE, SUJEITA A UM
CARREGAMENTO TRANSVERSAL UNIFORME AO LONGO
DE TODO O SEU VÃO, É REPRESENTADA POR UM
POLINÔMIO DE ORDEM:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
2. UMA VIGA PRISMÁTICA DE MATERIAL HOMOGÊNEA,
DISPOSTA HORIZONTALMENTE, ENCONTRA-SE
ENGASTADA EM UMA DAS EXTREMIDADES. NA
EXTREMIDADE LIVRE É APLICADA UMA FORÇA
VERTICAL PARA BAIXO DE 1.200N. SUPONDO QUE O
MATERIAL QUE CONSTITUI A VIGA POSSUI MÓDULO DE
ELASTICIDADE 80GPA E A SEÇÃO RETA MOMENTO DE
INÉRCIA, EM RELAÇÃO À LINHA NEUTRA, 8·10-5 M4,
DETERMINE EM MÓDULO O DESLOCAMENTO VERTICAL
DA EXTREMIDADE LIVRE. CONSIDERE O COMPRIMENTO
DE 4M DA VIGA.
A) 4mm
B) 4,5mm
C) 5mm
D) 6mm
E) 7mm
3. SUPONHA UMA VIGA DISPOSTA HORIZONTALMENTE
ENGASTADA EM UMA DAS EXTREMIDADES COM O
COMPRIMENTO DE 2M. NA EXTREMIDADE LIVRE É
APLICADA UMA FORÇA VERTICAL PARA BAIXO DE 4KN.
SUPONDO A RIGIDEZ À FLEXÃO (E.I) CONSTANTE E
IGUAL A 8·106 EM UNIDADES DO S.I., DETERMINE EM
MÓDULO AS INCLINAÇÕES NAS EXTREMIDADES DA
VIGA:
A) 0 e 0,002 rad
B) 0,001 e 0,001 rad
C) 0 e 0,0001 rad
D) 0 e 0,001 rad
E) 0,0001 e 0,001 rad
4. UMA VIGA ENCONTRA-SE BIAPOIADA E COM UM
CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO (Q) AO
LONGO DE SEU COMPRIMENTO L. SUPONDO QUE A
SEÇÃO RETA SEJA CONSTANTE E O MATERIAL
HOMOGÊNEO, DETERMINE A EQUAÇÃO DA LINHA
ELÁSTICA PARA A SITUAÇÃO DESCRITA. CONSIDERE A
RIGIDEZ À FLEXÃO IGUAL A E.I.
A) y=q4.E.I·(-x4+ 2·L·x3-L3·x)
B) y=q12.E.I·(-x4+ 2·L·x3-L3·x)
C) y=q24.E.I·(-x4+ 2·L·x3-L3·x)
D) y=3q8.E.I·(-x4+ 2·L·x3-L3·x)
E) y=q6.E.I·(-x4+ 2·L·x3-L3·x)
5. CONSIDERE UM ELEMENTO ESTRUTURAL PRISMÁTICO
(VIGA) BIAPOIADO, DISPOSTO HORIZONTALMENTE E
COM CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO Q
AO LONGO DE SEU COMPRIMENTO L. SUPONDO QUE A
SEÇÃO RETA SEJA CONSTANTE, O MATERIAL
HOMOGÊNEO E O REGIME ELÁSTICO, DETERMINE EM
MÓDULO O MAIOR DESLOCAMENTO VERTICAL DA VIGA.
CONSIDERE A RIGIDEZ À FLEXÃO IGUAL A E.I.
A) y=5q·L424·E·I
B) y=5q·L4120·E·I
C) y=q·.L4120·E·I
D) y=3·q·L4384·E·I
E) y=5q·L4384·E·I
6. CONSIDERE UMA ESTRUTURA METÁLICA QUE POSSUI
ELEMENTOS HORIZONTAIS E VERTICAIS. UM DOS
ELEMENTOS HORIZONTAIS APRESENTA-SE BIAPOIADO
(APOIOS DE PRIMEIRO E SEGUNDO GÊNEROS NAS
EXTREMIDADES) SOB CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO Q,
AO LONGO DE SEU COMPRIMENTO. O MATERIAL
UTILIZADO É O AÇO A 36 COM SEÇÃO RETA CONSTANTE,
TAL QUE O PRODUTO DO MOMENTO DE INÉRCIA (I) PELO
MÓDULO DE ELASTICIDADE (E) DO AÇO É CONSTANTE.
ASSIM, EM MÓDULO, AS INCLINAÇÕES NAS
EXTREMIDADES ONDE ENCONTRAM-SE OS APOIOS
VALEM:
A) θ1=q.L324.E.I e θ2=3q.L324.E.I
B) θ1=q.L312.E.I e θ2=q.L324.E.I
C) θ1=q.L324.E.I e θ2=q.L324.E.I
D) θ1=q.L312.E.I e θ2=q.L312.E.I
E) θ1=q.L3120.E.I e θ2=q.L3120.E.I
GABARITO
1. (CESGRANRIO - 2015 - Petrobras - Profissional Júnior - Engenharia
Mecânica) A linha elástica de uma viga engastada-livre, sujeita a um
carregamento transversal uniforme ao longo de todo o seu vão, é
representada por um polinômio de ordem:
A alternativa "E " está correta.
A partir da EDO que descreve a linha elasticidade (equação 10), tem-se:
d2ydx2=M(x)E·I
Para um carregamento uniformemente distribuído, o momento fletor atuante
ao longo da viga é uma função polinomial do 2º grau. Como serão feitas
duas integrações, a linha elástica será do 4º grau.
2. Uma viga prismática de material homogênea, disposta
horizontalmente, encontra-se engastada em uma das extremidades. Na
extremidade livre é aplicada uma força vertical para baixo de 1.200N.
Supondo que o material que constitui a viga possui módulo de
elasticidade 80GPa e a seção reta momento de inércia, em relação à
linha neutra, 8·10-5 m4, determine em módulo o deslocamento vertical
da extremidade livre. Considere o comprimento de 4m da viga.
A alternativa "A " está correta.
Seja uma viga engastada (comprimento L) e sob a ação de uma força
concentrada P na extremidade livre, com rigidez à flexão (E.I) constante. O
deslocamento vertical é em módulo igual a:
ymáx=P·L33·E·I
Substituindo os valores apresentados na questão:
ymáx=1200·433.80.109·8·10-5=0,004m=4mm
3. Suponha uma viga disposta horizontalmente engastada em uma das
extremidades com o comprimento de 2m. Na extremidade livre é
aplicada uma força vertical para baixo de 4kN. Supondo a rigidez à
flexão (E.I) constante e igual a 8·106 em unidades do S.I., determine em
módulo as inclinações nas extremidades da viga:
A alternativa "D " está correta.
Considere uma viga engastada (comprimento L) e sob a ação de uma força
concentrada P na extremidade livre, sendo a rigidez à flexão (E.I) constante.
A inclinação na extremidade engastada é zero e, na extremidade livre, tem
módulo igual a:
θA= P.L22·E·I
Substituindo os valores apresentados na questão:
θA= 4000·222·8·106=0,001 rad
4. Uma viga encontra-se biapoiada e com um carregamento
uniformemente distribuído (q) ao longo de seu comprimento L.
Supondo que a seção reta seja constante e o material homogêneo,
determine a equação da linha elástica para a situação descrita.
Considere a rigidez à flexão igual a E.I.
A alternativa "C " está correta.
DETERMINAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA DE
VIGA BIAPOIADA SOB CARREGAMENTO
UNIFORME.
Demonstração da linha elástica para viga biapoiada com carregamento
uniforme, a partir da EDO e condições de contorno.
5. Considere um elemento estrutural prismático (viga) biapoiado,
disposto horizontalmente e com carregamento uniformemente
distribuído q ao longo de seu comprimento L. Supondo que a seção
reta seja constante, o material homogêneo e o regime elástico,
determine em módulo o maior deslocamento vertical da viga.
Considere a rigidez à flexão igual aE.I.
A alternativa "E " está correta.
Para a situação descrita, a linha elástica é:
y=q24.E.I·(-x4+ 2·L·x3-L3·x)
O deslocamento vertical máximo ocorre para x=L2. Substituindo na equação
da linha elástica, tem-se:
y=q24·E·I·L24+2·LL23-L3·L2 
y=q24·E·I·(-L416+ L44-L42)
y=-5q·L4384·E·I
Em módulo, y=5q·L4384·E·I.
6. Considere uma estrutura metálica que possui elementos horizontais
e verticais. Um dos elementos horizontais apresenta-se biapoiado
(apoios de primeiro e segundo gêneros nas extremidades) sob
carregamento distribuído q, ao longo de seu comprimento. O material
utilizado é o aço A 36 com seção reta constante, tal que o produto do
momento de inércia (I) pelo módulo de elasticidade (E) do aço é
constante. Assim, em módulo, as inclinações nas extremidades onde
encontram-se os apoios valem:
A alternativa "C " está correta.
A situação de carregamento e apoios apresenta a seguinte linha elástica:
y=q24.E.I·(-x4+2.L.x3-L3.x)
Derivando em relação a x, tem-se:
dydx=q24.E.I·(-4.x3+ 6.L.x2-L3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
A inclinação θ é dada por dydx. Nas extremidades, x = 0 e x = L.
Substituindo na equação anterior:
θ1=q24.E.I·-4.03+6.L.02-L3→θ1=-q.L324.E.I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
θ2=q24.E.I·-4.L3+6.L.L2-L3→θ2=q.L324.E.I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Em uma empresa de Engenharia, o projeto que está em desenvolvimento
prevê uma viga AB, de comprimento L, engastada em uma das
extremidades e livre na outra com carregamento uniformemente distribuído,
conforme a figura:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
A viga a ser utilizada é prismática com seção reta constante de material
homogêneo de módulo de elasticidade E. O momento de inércia da seção
em relação à linha neutra é I (constante) e o regime de trabalho desse
elemento estrutural é o elástico. O engenheiro quer determinar a linha
elástica para o carregamento proposto e o deslocamento máximo.
RESOLUÇÃO
DETERMINAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA DE
UMA VIGA ENGASTADA E SOB
CARREGAMENTO UNIFORME.
A partir da equação diferencial (EDO) que rege a deformação elástica de
uma viga, será demonstrada a linha elástica e calculada a deflexão máxima.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SUPONHA AS DUAS SITUAÇÕES APRESENTADAS NA
FIGURA. CONSIDERANDO QUE AS BARRAS 1 E 2
APRESENTAM A MESMA RIGIDEZ À FLEXÃO (E.I) E O
COMPRIMENTO DA SEGUNDA É O DOBRO DO
COMPRIMENTO DA PRIMEIRA, A RAZÃO ENTRE OS
DESLOCAMENTOS DAS EXTREMIDADES LIVRES É:
A) 12
B) 13
C) 14
D) 18
E) 116
2. SEJA UMA VIGA SOB UM CARREGAMENTO GENÉRICO,
TAL QUE O MOMENTO FLETOR QUE ATUA NAS SEÇÕES
INTERNAS É DESCRITO POR UMA FUNÇÃO POLINOMIAL
DO 3º GRAU. ADOTANDO-SE AS PREMISSAS DE REGIME
ELÁSTICO, SEÇÃO CONSTANTE E MATERIAL UNIFORME,
A LINHA ELÁSTICA SERÁ DESCRITA POR UMA
A) função exponencial.
B) função constante.
C) função polinomial do 5º.
D) função polinomial do 4º.
E) função polinomial do 3º.
GABARITO
1. Suponha as duas situações apresentadas na figura. Considerando
que as barras 1 e 2 apresentam a mesma rigidez à flexão (E.I) e o
comprimento da segunda é o dobro do comprimento da primeira, a
razão entre os deslocamentos das extremidades livres é:
A alternativa "D " está correta.
 
Para uma viga engastada de comprimento L e sob a ação de uma força
concentrada F na extremidade livre, com rigidez à flexão (E.I) constante, o
deslocamento vertical em módulo da extremidade livre é igual a:
yextremidade livre=F.L33.E.I
Para cada situação, apenas o comprimento varia. Assim:
y1=F.L33.E.I e y2=F.(2L)33.E.I
A razão será:
y1y2=F.L33.E.IF.8.L33.E.I= 18
2. Seja uma viga sob um carregamento genérico, tal que o momento
fletor que atua nas seções internas é descrito por uma função
polinomial do 3º grau. Adotando-se as premissas de regime elástico,
seção constante e material uniforme, a linha elástica será descrita por
uma
A alternativa "C " está correta.
 
A equação diferencial ordinária (EDO) que descreve a linha elasticidade é:
d2ydx2=M(x)E.I
O carregamento apresentado é tal que o momento fletor atuante ao longo
da viga é uma função polinomial do 3º grau. Como serão feitas duas
integrações numa função do 3º grau, a linha elástica será do 5º grau.
MÓDULO 4
 Formular o cisalhamento na flexão
O CISALHAMENTO NA FLEXÃO.
Apresentação da tensão cisalhante em uma seção de uma viga sob flexão.
INTRODUÇÃO
Este módulo apresentará a tensão de cisalhamento ao longo de uma seção
reta de uma viga submetida à flexão. Individualizando um elemento
infinitesimal cúbico, percebe-se que a tensão cisalhante atua nas quatro
faces do cubo, conforme figura 16.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 262.
 Figura 16 – Distribuição cisalhante em uma viga sob flexão.
CISALHAMENTO EM ELEMENTOS
PRISMÁTICOS
A Figura 16 mostra que a tensão cisalhante de um elemento prismático sob
flexão ocorre também no plano perpendicular ao da seção reta. O
entendimento físico dessa atuação pode utilizar uma analogia, como faz o
autor Hibbeler, em sua obra.
Suponha três tábuas empilhadas sem nenhum tipo de atrito entre elas. Ao
se aplicar uma carga concentrada P, o conjunto sofrerá uma flexão, e como
as tábuas estão soltas, é possível o deslizamento entre elas.
Caso as tábuas estivessem unidas, o deslizamento não ocorreria (haveria
uma tendência). Esse impedimento ao movimento é a ação da tensão
cisalhante nas superfícies de união das tábuas. Observe a figura 17.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 262.
 Figura 17 – Cisalhamento no plano longitudinal.
No estudo do cisalhamento de uma viga sob flexão, as seguintes premissas
serão utilizadas: regime elástico e deformação desprezível das seções
transversais, mantendo-se planas. A figura 18 mostra uma viga com a
deformação real em que as seções retas deixam de ser planas.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 263.
 Figura 18 – Cisalhamento no plano longitudinal.
EXPRESSÃO MATEMÁTICA PARA
O CISALHAMENTO
A demonstração da expressão que determina a tensão cisalhante ao longo
da seção reta de uma viga prismática, sob flexão, apresenta maior
dificuldade matemática, visto que a deformação por cisalhamento e a
tensão cisalhante não apresentam, por exemplo, um comportamento linear.
Seja a viga com um carregamento genérico, conforme ilustra a figura 19.
Além, será inicialmente considerada uma seção com geometria genérica:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 264.
 Figura 19 – Carregamento genérico em uma viga biapoiada.
Da figura 19, isolando-se um comprimento infinitesimal dx da viga, tem-se a
figura 20, que apresenta uma série de informações:
LINHA NEUTRA (LN).
ESPESSURA T ONDE DESEJA-SE
DETERMINAR A TENSÃO CISALHANTE.
ÁREA A DA SEÇÃO TRANSVERSAL.
ÁREA A' DA SEÇÃO ACIMA DA LINHA T.
DISTÂNCIA (Y¯') DO CENTROIDE DA ÁREA
A' À LINHA NEUTRA.
DISTÂNCIA (Y') DA LINHA DE ESPESSURA
T À LINHA NEUTRA.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 264.
 Figura 20 – Cisalhamento no plano longitudinal
Assim, a expressão que determina a tensão cisalhante ao longo da linha de
espessura t é dada pela equação 13.
Τ=V.QI.T
(equação 13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Em que V é o esforço cortante resultante na seção de estudo, e Q é o
momento estático da área A’, em relação à linha neutra. Relembrando, a
expressão que calcula Q é dada pela equação 14:
Q=∫YDA'= Y¯'.A'
(equação 14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
OBS.: A TENSÃO CISALHANTE AO LONGO
DA LINHA DE ESPESSURA É UM VALOR
MÉDIO, CONSIDERANDO-SE, ASSIM, COMO
CONSTANTE.
 EXEMPLO
Suponha uma viga biapoiada sob o carregamento mostrado na figura. A
seção reta da viga é um retângulo de base 100mm e altura 200mm.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Considerando o corte indicado na figura, determine a tensão numa linha
paralela ao eixo neutro, a 50mm desse eixo.
SoluçãoInicialmente, deve-se encontrar as reações nos apoios A e B a partir do
equilíbrio da viga. Pela simetria, RA = RB = 3.000N. Fazendo o “corte” na
região indicada e mostrando apenas o esforço interno cortante, tem-se:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Do equilíbrio translacional do DCL, V = 3kN = 3.000N
Seção reta:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Determinação do momento de inércia da seção reta em relação à linha
neutra:
I=0,1.(0,2)312=6,67.10-5 m4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Espessura da linha: t = 100mm = 0,1m
Área acima da linha t: A' = (0,1).(0,05) = 5. 10-3m2
Momento estático Q da área A’ em relação à linha neutra:
Q=y¯'·A'→Q=(0,075).5.10-3=3,75.10-4m3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Substituindo na equação 13, tem-se:
τ=3000.(3,75. 10-4)6,67.10-5.(0,1)=0,16875MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
TENSÃO DE CISALHAMENTO EM
SEÇÕES USUAIS
No item anterior, foi apresentado o cálculo da tensão cisalhante para uma
seção reta genérica. A partir da expressão determinada na equação 13, é
alcançada uma expressão que mostra, por exemplo, como a tensão
cisalhante varia ao longo de uma seção retangular/quadrangular. Além
disso, a partir da expressão matemática, será percebida a variação da
tensão, ao longo da altura da seção, além dos seus valores máximo e
mínimo.
A SEÇÃO RETA A SER ESTUDADA É A
RETANGULAR DE BASE B E ALTURA H.
NOTE QUE UM QUADRADO É UM CASO
PARTICULAR DO RETÂNGULO EM QUE B =
H = L.
Suponha a seção retangular de base (b) e altura (h) submetida à resultante
dos esforços cortantes V. Ademais, o momento de inércia da seção
retangular em relação à linha neutra e dado por I=b.h312. A figura a seguir
apresenta um esboço da seção reta e alguns elementos importantes:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
A linha t, em destaque, tem espessura t = b. A área A’ acima dessa linha é
determinada por:
A'=H2-Y.B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Da geometria da figura é possível escrever a expressão para y¯':
Y¯'=Y+ 12·H2-Y=12·H2+Y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
O momento estático Q da área A’ em relação à linha neutra é dado por:
Q=Y¯'·A'→Q=12·H2+Y·H2-Y·B 
 
 
Q=B2·H24-Y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Substituindo na equação 13:
Τ=V·B2·H24-Y2B.H312·B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Assim, tem-se a equação 15:
Τ=6VB.H3·H24-Y2
(equação 15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
A partir da equação 15, é possível inferir que nas extremidades da seção
reta da viga (y=h2 ou y=-h2) as tensões cisalhantes são nulas. Observe:
Τ=6VB.H3·H24-(H2)2→Τ=0 
 
 
Τ=6VB.H3·H24-(-H2)2→Τ=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Além disso, a expressão da equação 15 representa a função de uma
parábola, ou seja, a tensão cisalhante varia segundo uma função do 2º
grau.
 ATENÇÃO
Para se determinar o valor máximo da tensão cisalhante, deriva-se a
expressão 15 em relação à variável y e iguala-se a zero.
dτdy=6Vb.h3·0-2y→6Vb.h3·0-2y=0→y=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Valor máximo da tensão cisalhante: substituir y = 0 (maximante) na equação
15, ou seja:
τmáxima=6Vb.h3·h24-02=6Vb.h3·h24=3.V2.b.h=3.V2.A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
A figura 21 tem um esboço da variação da tensão cisalhante ao longo da
altura da seção reta (equação 15):
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 265.
 Figura 21 – Distribuição da tensão cisalhante.
MÃO NA MASSA
1. UMA VIGA BIAPOIADA DE 3M DE COMPRIMENTO
ENCONTRA-SE SOB UM CARREGAMENTO
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO Q = 2 KN/M. A SEÇÃO
RETA DA VIGA É UM RETÂNGULO DE BASE 120MM E
ALTURA 300M. A FLEXÃO SOFRIDA PELA VIGA PROVOCA
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA SEÇÃO DE ESTUDO.
SOBRE ESSAS TENSÕES, SÃO FEITAS AS SEGUINTES
AFIRMATIVAS:
A VARIAÇÃO DA TENSÃO AO LONGO DO EIXO
VERTICAL Y É LINEAR, SENDO MÁXIMA NAS
EXTREMIDADES E MÍNIMA NA LINHA NEUTRA.
A VARIAÇÃO DA TENSÃO CISALHANTE AO LONGO DO
EIXO Y VARIA SEGUNDO UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA.
OS VALORES MÍNIMOS DAS TENSÕES DE
CISALHAMENTO ENCONTRAM-SE NAS FIBRAS
SUPERIOR E INFERIOR DA VIGA.
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas as afirmativas I e II.
C) Apenas a afirmativa I e III.
D) Apenas a afirmativa II e III.
E) Apenas a afirmativa III.
2. UMA VIGA RETANGULAR DE ÁREA COM DIMENSÕES
50MM POR 100MM ENCONTRA-SE BIAPOIADA COM
CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO NA FORMA TRIANGULAR.
UMA SEÇÃO FOI DEFINIDA PARA O ESTUDO DAS
TENSÕES CISALHANTE E O ESFORÇO CISALHANTE É DE
3KN. DETERMINAR A TENSÃO DE CISALHANTE MÁXIMA:
A) 0,90MPa
B) 0,80MPa
C) 0,75MPa
D) 0,60MPa
E) 0,50MPa
3. CONSIDERE UMA VIGA BIAPOIADA DE SEÇÃO
CIRCULAR E ÁREA A. O ESFORÇO CORTANTE NA
REGIÃO ANALISADA APRESENTA MÓDULO V.
DETERMINE A TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA, EM
MÓDULO:
A) 2V3A
B) 3V2A
C) 4V3A
D) 3V4A
E) VA
4. CONSIDERE A VIGA MOSTRADA NA FIGURA COMO
PARTE DE UMA ESTRUTURA EM EQUILÍBRIO. A SEÇÃO
RETA DA VIGA É CONSTANTE E TEM A FORMA DE UM
RETÂNGULO DE BASE B E ALTURA H. EM DADA SEÇÃO É
FEITO UM “CORTE” PARA ESTUDO E O ESFORÇO
CORTANTE TEM MÓDULO V. QUE EXPRESSÃO
DETERMINA A TENSÃO CISALHANTE NUM PONTO
LOCALIZADO A UMA DISTÂNCIA DE H3 DA LINHA
NEUTRA?
A) 3.V2.b.h
B) 4.V3.b.h
C) 6.V5.b.h
D) 5.V6.b.h
E) 1.V6.b.h
5. DUAS VIGAS MACIÇAS E DE SEÇÕES RETAS COM
MESMA ÁREA A ESTÃO SUBMETIDAS A
CARREGAMENTO PARTICULARES. A PRIMEIRA VIGA TEM
SEÇÃO RETANGULAR, E A SEGUNDA VIGA, SEÇÃO
CIRCULAR. CONSIDERE QUE NAS DUAS SEÇÕES DE
ESTUDO OS ESFORÇOS CORTANTE TENHAM MESMO
VALOR V. QUAL A RAZÃO ENTRE AS TENSÕES
CISALHANTES MÁXIMAS ATUANTES (NA SEÇÃO
CONSIDERADA) NA PRIMEIRA E NA SEGUNDA VIGAS:
A) 916
B) 94
C) 1
D) 98
E) 169
6. (QUESTÃO 7.4 DO LIVRO RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS. HIBBELER, 2010, P. 272) SE A VIGA DE ABAS
LARGAS FOR SUBMETIDA A UM CISALHAMENTO V =
125KN, CONFORME A FIGURA, DETERMINE A TENSÃO DE
CISALHAMENTO MÁXIMA:
A) 8,74MPa
B) 10,25MPa
C) 14,89MPa
D) 16,52MPa
E) 19,87MPa
GABARITO
1. Uma viga biapoiada de 3m de comprimento encontra-se sob um
carregamento uniformemente distribuído q = 2 kN/m. A seção reta da
viga é um retângulo de base 120mm e altura 300m. A flexão sofrida
pela viga provoca tensões de cisalhamento na seção de estudo. Sobre
essas tensões, são feitas as seguintes afirmativas:
A variação da tensão ao longo do eixo vertical y é linear, sendo
máxima nas extremidades e mínima na linha neutra.
A variação da tensão cisalhante ao longo do eixo y varia segundo
uma função quadrática.
Os valores mínimos das tensões de cisalhamento encontram-se
nas fibras superior e inferior da viga.
A alternativa "D " está correta.
A equação 15 rege a distribuição da tensão cisalhante ao longo da seção:
τ=6Vb.h3·h24-y2
A função é do 2º grau e não linear, e para y=h2 ou y=-h2 (extremos da viga)
a tensão cisalhante é zero, logo mínima.
2. Uma viga retangular de área com dimensões 50mm por 100mm
encontra-se biapoiada com carregamento distribuído na forma
triangular. Uma seção foi definida para o estudo das tensões
cisalhante e o esforço cisalhante é de 3kN. Determinar a tensão de
cisalhante máxima:
A alternativa "A " está correta.
A área A da seção retangular é A=0,05×0,1 = 5.10-3 m2. A expressão para
tensão máxima numa seção retangular é dada por:
tmáxima=3.30002.(5.10-3)=0,90MPa
3. Considere uma viga biapoiada de seção circular e área A. O esforço
cortante na região analisada apresenta módulo V. Determine a tensão
cisalhante máxima, em módulo:
A alternativa "C " está correta.
Considere a seção circular a seguir. A tensão de cisalhamento ocorre no
diâmetro da seção:
Espessura da linha: t = 2R
Área A'=π.R22
Momento estático Q – lembrando queo centroide do semicírculo, em
relação ao diâmetro, está na posição y¯'=4R3π. Logo,
Q=4R3π·π.R22→Q=2R33
Momento de inércia I do círculo em relação ao eixo neutro: I=π.R44
Substituindo na equação 13, tem-se:
τ=V.QI.t→τ=V·2R33π.R44·2R→τmáxima=V·2R33π.R44·2R=4.V3.A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
4. Considere a viga mostrada na figura como parte de uma estrutura
em equilíbrio. A seção reta da viga é constante e tem a forma de um
retângulo de base b e altura h. Em dada seção é feito um “corte” para
estudo e o esforço cortante tem módulo V. Que expressão determina a
tensão cisalhante num ponto localizado a uma distância de h3 da linha
neutra?
A alternativa "D " está correta.
A equação 15 determina a tensão cisalhante em qualquer ponto para uma
seção retangular.
τ=6Vb.h3·h24-y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
y é medido a partir da linha neutra. Para a questão, y=h3. Substituindo-se
na equação anterior, tem-se:
τ=6Vb.h3·h24-(h3)2→τ=6Vb.h3·h24-h92=5.V6.b.h
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
5. Duas vigas maciças e de seções retas com mesma área A estão
submetidas a carregamento particulares. A primeira viga tem seção
retangular, e a segunda viga, seção circular. Considere que nas duas
seções de estudo os esforços cortante tenham mesmo valor V. Qual a
razão entre as tensões cisalhantes máximas atuantes (na seção
considerada) na primeira e na segunda vigas:
A alternativa "D " está correta.
A tensão cisalhante máxima para a seção retangular é dada por τ=3V2A, e
para a seção circular é dada por τ'=4V3A. Assim, a razão entre as tensões
será:
ττ'=3V2A4V3A=98
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
6. (Questão 7.4 do livro Resistência dos Materiais. Hibbeler, 2010, p.
272) Se a viga de abas largas for submetida a um cisalhamento V =
125kN, conforme a figura, determine a tensão de cisalhamento
máxima:
A alternativa "E " está correta.
CÁLCULO DA TENSÃO CISALHANTE
MÁXIMA NUMA VIGA DE PERFIL T.
Determinação do local da seção T em que ocorre a tensão cisalhante
máxima, e sua determinação, a partir da expressão geral.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Uma estrutura metálica com seção circular reta de raio R será utilizada com
uma viga em um projeto. A fim de conhecer a distribuição das tensões
cisalhante na seção reta dessa viga, o engenheiro quer desenvolver uma
expressão. Considere que para dada seção o esforço cortante seja V.
RESOLUÇÃO
DEMONSTRAÇÃO DA EXPRESSÃO DA
TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA EM
SEÇÕES CIRCULARES. APLICAÇÃO PARA
A TENSÃO MÁXIMA.
A partir da fórmula geral para tensão cisalhante, será demonstrada uma
expressão da tensão cisalhante ao longo do raio de uma seção circular.
Será utilizada a ferramenta matemática integração.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE QUE UMA VIGA DE SEÇÃO CIRCULAR DE
RAIO 20MM ESTÁ SOB FLEXÃO, NO REGIME ELÁSTICO. A
TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA É IGUAL A 6,00MPA. SE A
VIGA FOR TROCADA POR OUTRA DE RAIO 40MM, SOB AS
MESMAS CONDIÇÕES, A TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA
SERÁ:
A) 6,00MPa
B) 4,50MPa
C) 3,00MPa
D) 1,50MPa
E) 0,50MPa
2. UMA VIGA BIAPOIADA COM 2M DE COMPRIMENTO
ESTÁ SOB UM CARREGAMENTO UNIFORME. EM DADA
SEÇÃO O ESFORÇO CORTANTE É DE 12KN. SUPONDO
QUE A SEÇÃO RETA SEJA UM RETÂNGULO DE BASE
200MM E ALTURA 250MM, DETERMINE A TENSÃO
CISALHANTE MÁXIMA:
A) 1,00MPa
B) 0,80MPa
C) 0,50MPa
D) 0,36MPa
E) 0,25MPa
GABARITO
1. Considere que uma viga de seção circular de raio 20mm está sob
flexão, no regime elástico. A tensão cisalhante máxima é igual a
6,00MPa. Se a viga for trocada por outra de raio 40mm, sob as mesmas
condições, a tensão cisalhante máxima será:
A alternativa "D " está correta.
 
Para uma seção circular, a tensão máxima é dada por:
τmáxima= 4.V3.π.R2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
A razão entre as tensões cisalhantes é:
6τ'=4V3.π.(20)24V3.π.(40)2→6τ'=1600400→τ'=1,50MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
2. Uma viga biapoiada com 2m de comprimento está sob um
carregamento uniforme. Em dada seção o esforço cortante é de 12kN.
Supondo que a seção reta seja um retângulo de base 200mm e altura
250mm, determine a tensão cisalhante máxima:
A alternativa "D " está correta.
 
Para uma seção retangular, a tensão máxima é dada por:
τmáxima= 3.V2A 
 
 
τmáxima= 3.(12.000)2.200.(250)=0,36 Nmm2=0,36MPa
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horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Vimos os principais aspectos da flexão pura em elementos prismáticos
(vigas). Inicialmente apresentamos os efeitos nas fibras (compressão e
tração) e a região de transição, a linha neutra ou eixo neutro.
Na sequência, as expressões para o cálculo das tensões mínima e máxima
por flexão foram apresentadas, além da variação linear dessa tensão ao
longo da altura da seção reta submetida à flexão.
Posteriormente, vimos a equação da linha elástica de vigas sob flexão, e a
exemplificação de várias situações, como vigas biapoiadas e engastadas
com carregamentos distintos; além disso, inclinações e deflexões máximas
foram determinadas.
Por fim, fizemos a análise das tensões cisalhantes em elementos sob flexão
e para seções usuais, e apresentamos expressões particulares.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos Materiais. 3. ed. São
Paulo: Pearson Makron Books, 1995.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson,
2010.
MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: Conceitos e métodos básicos. 2 ed.
Rio de Janeiro: Elsevier, 2010.
EXPLORE+
Para desenvolver os conceitos aqui abordados:
Pratique os exercícios (páginas 339 a 343) da terceira edição do livro
Resistência dos Materiais (indicado nas referências).
Complemente o estudo de tensões cisalhantes em elementos sob
flexão (páginas 493 a 495) do livro Mecânica Vetorial para Engenheiros
– Estática, de Johnston Jr. e Ferdinand P. Beer.
Complemente o estudo da linha elástica nas tabelas (páginas 586 e
587) do livro Resistência dos Materiais, de R. C. Hibbeler (indicado nas
referências).
CONTEUDISTA
Julio Cesar José Rodrigues Junior