1-Estatica dos Pontos Materiais (1complementyado

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1.1- Equilíbrio de um ponto material 
1.2- Primeira lei de Newton 
1.3- Problemas relacionados ao equilíbrio de um 
ponto material 
1.4 – Diagrama de corpo livre (DCL) 
1- Estática dos Pontos 
Materiais 
Definições: 
Mecânica: Ramo da ciências físicas que estuda os corpos em 
repouso ou em movimento uniforme (a=0) sujeitos a ação de 
forças. 
 
 1- Mecânica dos corpos rígidos; - Estática 
 - Dinâmica 
 2- Mecânica dos corpos deformáveis; 
 3- Mecânica dos fluidos. 
 
Estática  Estuda os equilíbrio dos corpos sob a ação de 
 forças; 
Dinâmica  Estuda o movimento acelerado dos corpos. 
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Mecânica 
Na linha do tempo 
• 287-212 aC – Princípio da alavanca – Arquimedes 
• 1564 - 1642 – Experiências com pêndulo e queda livre – 
Galileu Galilei 
• 1642 – 1727 – Contribuição mais significativa para a 
dinâmica Issac Newton 
- Tres Leis fundamentais do movimento; 
- Lei universal da atração gravitacional 
- Leonard da Vinci, Euller, D’Alembert, Lagrange e outros 
 
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Conceitos 
• Leis newtonianas: 
• Primeira lei: Um ponto material inicialmente em repouso ou movendo-se 
em linha reta, com velocidade constante, permanece nesse estado 
desde que não seja submetido a uma força desequilibradora. 
• Segunda lei: Um ponto material sob a ação de uma força 
desequilibradora (F) sofre uma aceleração (a) que tem a mesma direção 
da força e grandeza diretamente proporcional a ele  F = m.a 
• Terceira lei: As forças de ação e reação entre os pontos que se 
interagem são iguais em valores, opostas na direção e colineares (atuam 
na mesma linha). 
• Lei da atração gravitacional: F: G (m1.m2/r2) 
• F= força da gravidade entre os dois corppos , m1 e m2 = massa dos 
corpos, r = distância entre os corpos, G = Const. Gravitacional 
 
• Ponto material – tem massa, mas dimensões desprezíveis 
 
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Conceitos: 
• Massa (m): quantidade de materia de um corpo (kg) – não se 
altera de um local para o outro. 
• Peso (W): é força de atração gravitacional que a Terra exerce 
sobre o volume dos objetos (N) 
• Força Peso  W = m . g 
• g – aceleração da gravidade – 9,806 m/s2 - nível do mar 
• Direção do raio da Terrra 
• Sentido para o centro da Terra 
• Módulo depende da altitude em que a massa esteja 
localizada. 
 
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Unidades no SI (Sistema Internacional) 
• Ângulo plano (radiano) rad 
• Comprimento (metro) m 
• Massa (Quilograma) kg 
• Tempo (segundo) s 
• Temperatura (kelvin) K 
• Força (newton) N (1 kg . 1m/s2) 
• Pressão (pascal) Pa (N/m2) ou MPa (N/mm2) 
• Potência (watt) W 
• Frequência (hertz) Hz 
• velocidade angular rad/s 
• aceleração angular rad/s2 
• velocidade escalar m/s 
• aceleração escalar m/s2 
• Energia, trabalho, quantidade de calor (joule) J 
• Momento de uma força, torque N.m 
 
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Fatores de conversão: 
1 lb  4,4482 N 
1 pé  0,3048 m 
1 pol  0,0254 m 
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Alguns Enganos muito comuns 
ERRADO CERTO 
• Km km 
• Kg kg 
• μ μm 
• a grama o grama 
• 2 hs 2 h 
• peso de 10 quilos massa de 10 kg (quilogramas) 
• 80 KM 80 km/h 
• 250 °K (250 graus kelvin) 250 K (250 kelvin) 
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• O avião sem combustível 
Em 1983, um avião da Air Canada ficou sem combustível enquanto 
voava sobre a província canadense de Manitoba. Não havia 
acontecido nada de incomum que justificasse a falta de combustível, a 
não ser mais um clássico erro de cálculo causado pela confusão com 
o sistema de medida. 
 
O Canadá havia recentemente adotado o sistema métrico decimal. O 
indicador de combustível a bordo do avião não estava funcionando e 
a tripulação foi responsável por fazer o cálculo do reabastecimento. 
Resultado: o avião, que deveria ter sido abastecido com 22300 kg de 
combustível, levantou voo com apenas 22300 libras, menos de 
metade. 
 
Felizmente, o piloto conseguiu aterrissar na pista de Gimli. Apenas 10 
pessoas ficaram levemente feridas, mas não houve nenhuma morte 
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Exercícios: 
1- Transformar unidades: 
a) 2 km em m  e) 5000 N/mm2 em N/m2 
b) 1,5 h em s f) 3 kgf em N 
c) 10 km/h em m/s  g) 2kN em N  
d) 1.500.000 N em GN 
2- Qual o peso de uma carga com 10 tijolos, sabendo que 
o tijolo tem massa de 0,10 kg, qual esta sendo utilizado na 
construção de casa na Terra. (g=9,82 m/s2). 
3- Considerar os mesma situação do ex.02 porem a 
construção sera na Lua onde o g=1,622 m/s2 
4- Uma mulher pesa 70 N na Terra. Qual sera o seu peso 
na Lua. 
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Equilíbrio de 
um Ponto 
Material 
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Equilíbrio estático 
• Satisfazer a primeira lei de Newton 
• Força resultante atuante no ponto material deve ser igual a Zero 
• ΣF= 0 
 
 
 
 
Diagrama de corpo livre  representação gráfica do ponto 
material com todas as que atuam sobre ele. 
 - Dois tipos de conexões encontradas nos problemas de 
 equilíbrio do ponto material: 
 a- Molas; 
 b- Cabos e Polias 
 
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Molas elástica linear: 
• o comprimento da mola variará em proporção direta com a força 
que atua sobre ela. 
• Constante da mola ou rigidez (k), caracteristica da mola 
• F = k.s , onde s = l – lo 
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k = 500 N/m 
lo - comprimrnto livre da mola 
(sem carga) = 0,4 m 
l – comprimento final da mola 
com deformação. 
Cálculo da força F 
1- l = 0,6m 
F= k.s  500.(0,6-0,4) = +100N 
(tração) 
2- l = 0,2m 
F=k.s  500.(0,2-0,4) = -100N 
(compressão) 
Cabos e Polias: 
• Cabos têm peso desprezível e são indeformáveis. 
• O cabo suporta apenas uma força de 'tração', que atua sempre 
na direção do cabo contínuo que passa sobre uma polia sem 
atrito. Portanto, para qualquer ângulo (θ) o cabo está 
submetido a uma tensão constante T ao longo de todo o seu 
comprimento. 
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Exemplo de aplicação A caçamba é mantida em equilíbrio pelo 
cabo, sabemos que a força no cabo deve ser 
igual ao peso da caçamba. Desenhando o 
diagrama de corpo livre da caçamba mostra 
que há apenas duas Forças atuando sobre a 
caçamba, seu peso W e a força T do cabo. 
Para manter o equilíbrio, a resultante dessas 
forças deve ser igual a zero e, assim, T = W. 
 
 
 
 
 
 
Representação do Diagrama de corpo livre (DCL) 
• Desenhe o contorno do ponto material a ser estudado. 
• Mostre todas as forças. 
• Identifique cada força. 
 
• Ex. A esfera tem massa de 6 kg e está apoiada como mostrado. 
Desenhe o DCL da esfera, da corda CE e do nó em C. 
 
 
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FCD = Fm 
FCE = W 
Sistema de forças coplanares: 
• Cada força podera ser desdobrada em seus componentes i e j. 
• 
 
 
 
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cosθ = cat.adj. / hipot. 
senθ = cat.op. / hipot. 
Exercícios: 
1- Determine a tensão nos cabos AB e AD para o equilíbrio do motor de 250 kg 
mostrado na figura 
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Condição de equilíbrio: 
Σ Fx = 0;  TBi – TD = 0 
Σ Fy = 0;  TBj – W = 0 
 
TB cos 30° - TD = 0 
 
 TB sen 30° - 2452 N = 0 
TB = 2452 / sen 30° 
TB = 4904 N 
 
TB cos 30° - TD = 0 
4904.cos30° = TD 
TD = 4247 N 
2- Se o saco da figura tiver peso de 20 N em A, determine o peso dele em B e 
a força necessária em cada corda para mantero sistema na posição de 
equilíbrio mostrada. 
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Condição de equilíbrio em E: 
Σ Fx = 0;  TECi – TEGi = 0 (1) 
Σ Fy = 0;  TEGj – TECj - W = 0 (2) 
 
TECi = TEC.cos 45° 
TEGi= TEG.sen 30° 
 
 TEGj= TEG.cos 30° 
 TECj= TEC.sen 45° 
WA= 20 N 
 
Σ Fx = 0 
TEC.cos45° - TEG.sen30°=0 
TEC = (TEG.sen30°) / cos45° 
TEC= 0,707.TEG 
 
TEC = 0,707.54,6 
TEC = 38,6 N 
 Σ Fy = 0 
 TEG.cos30° - TEC.sen45° - 20 = 0 
 TEG.0,866 – 0,707.TEG.0.707 = 20 
 0,866.TEG – 0,5.TEG = 20 
 0,366.TEG = 20 
 TEG = 54,6 N 
• Usando-se o resultado obtido para TEC, o equilíbrio do anel em 
C é então investigado para determinar a tensão em CD e o 
peso de B. 
• Ação e reação (terceira lei de Newton) 
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ΣFx = 0 
TCDi – 38,6.cos45° = 0 
TCD.4/5 – 27,3 = 0 
 TCD = (27,3 . 5 / 4) 
 TCD = 34,2 N 
ΣFy = 0 
38,6.sen45°+ TCDj - WB = 0 
 27,3 + TCD.3/5 = WB 
 27,3 + 34,2.0,6 = WB  WB = 47,8 N 
Triangulo 3,4,5: 
Cosθ=4/5 
Senθ=3/5 
θ 
3- Determine o comprimento da corda AC da figura abaixo, de modo que a 
luminária de 8 kg seja suspensa na posição mostrada. O comprimento não 
deformado da mola AB é LAB = 0,4 m e a mola tem rigidez kAB = 300 N/m. 
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ΣFx = 0 
 TAB – TAC.cos30° = 0 
ΣFy = 0 
 TAC.sen30° - 78,5 = 0 
 TAC=78,5/sen30° TAC=157 N 
 
 TAB – 157.cos30° = 0 
 TAB = 136 N 
Cálculo do alongamento da mola: 
TAB = kAB . s  s = 136/300  0,453 m 
 
 compr.inicial da mola = 0,4 m 
 compr.c/carga = 0,4+0,453 = 0,853 m 
cos30° = 1,147 / LAC 
LAC = 1,147/cos30° 
LAC = 1,32 m 
4- Uma carga de 1000 N está suspensa conforme mostra a figura abaixo. 
Determinar as forças normais atuantes nas barras 1, 2 e 3. 
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ΣFx=0 
 F1.sen60° - F2.sen45° = 0 
 F1 = F2.sen45° / sen60° (I) 
ΣFy=0 
 F1.cos60° + F2.cos45 – 1000 = 0 
 F1.cos60° + F2.cos45° = 1000 (II) 
Subst. Eq. I em II: 
 (F2.sen45°/sen60°).cos60° + F2.cos45°=1000 
 (F2.0,707/0,866).0,5 + 0,707.F2 = 1000 
 1,115.F2 = 1000 
 F2 = 897 N 
Subst.F2=897N na eq.I 
temos: 
F1=897.sen45°/sen60° 
F1 = 897 . 0,707/0,866 
F1 = 732 N 
F3 
F3 = F4 = 1000 N 
5- Determinar a força resultante aplicado no eixo da polia que 
tem as respectivas forças F1 e F2 aplicadas na correira. 
 
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6- O motor, em B, enrola a corda presa à caixa de 65 N com velocidade 
constante. Determine a força na corda CD que suporta a polia e o ângulo e 
para equilíbrio. Despreze as dimensões da polia em C. 
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ΣFx = 0 
 65.5/13 – FCD.cosθ = 0 
FCD = 25 / cosθ (I) 
ΣFy = 0 
FCD.senθ – 65.12/13 - 65 = 0 
FCD = 125/senθ (II) 
 
Subst. Eq. (I) em (II) temos: 
25/cosθ = 125/senθ 
senθ/cosθ = 125/25 
 tanθ = 5 
θ = 78,6° 
 
Subst. θ na eq. (I) temos: 
FCD = 25 / cos78,6° 
FCD = 127 N 
Exercícios propostos: 
1- Determine a intensidade e o ângulo e de F de modo que o ponto material 
esteja em equilíbrio. 
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2-Determine o deslocamento d da corda 
em relação à parede quando uma força 
F = 175 N é aplicada à corda. 
3- Determine o peso máximo W do 
bloco que pode ser levantado na 
posição mostrada, se cada corda 
suporta uma força de tração máxima 
de 80 N. Determine também o 
Ângulo e para equilíbrio. 
Sistemas Forças Tridimensional 
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Repesentação matemática de um vetor V: 
 = V.n 
 
 - Soma vetorial das componentes nas direções 
X, y e z. 
V = módulo 
n = vetor unitário cuja magnitude vale um e cuja 
direção coincide com a do vetor . 
l = cos θx, m = cos θy, n = cos θz 
 Forças na forma vetorial cartesiana: 
Sistemas Forças Tridimensional 
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 Par se obter equilibrio de um ponto material é necessário: 
 
 
 Se as forças estiverem decompostas em seus respectivos componentes 
i, j, e k teremos: 
 
 
 As três equações escalares dos componentes devem ser satisfeitas: 
Exercícios resolvidos: 
1- Uma carga de 90 N está suspensa pelo gancho mostrado abaixo. A carga 
é suportada por dois cabos e por uma mola com rigidez k = 500 N/m2. 
Determine a força nos cabos e a deformação da mola para a condição de 
equilíbrio. O cabo AD está localizado no plano x-y e o cabo AC, no plano x-z. 
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Diagrama de 
corpo livre 
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Fc = (90.5) / 3  Fc=150 N (3) 
(2) 
(1) 
Substituindo Fc na equação (1)  FD 
FD .sen30° = (150.4)/5  FD = 120 / 0,5  FD = 240 N 
 
Substituindo FD na equação (2)  FB 
 -240.cos30° = - FB  FB = 240. 0,866  FB =207,8 N 
 
Alongamento da mola: 
Fm = K.s 
Força na mola = FB 
207,8 = 500 . s 
s = 0,416 m 
 
 
2- Determine a intensidade e os ângulos dos sentidos das coordenadas da 
força F da figura abaixo necessários para o equilíbrio do ponto material O. 
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1- Coordenadas do ponto B: 
X= -2 , y= -3 e z= 6 
 
2- Forças na forma vetorial cartesiana: 
F1 = {400i} N 
 
F2 = {-800k} N 
3- Equação de equilíbrio: 
 
 
 
4- Igualando a zero os componentes i, j e k, temos: 
 
 
 
 
5- Equação de F: 
 
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 F = {200i – 100j + 200k} 
6- Cálculos dos ângulos: 
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Referente ao eixo y 
Referente ao eixo x 
Referente ao eixo z 
Cos α = Fx / F 
Cos ß = Fy / F 
Cos Ɣ = Fz / F 
3- Determine a força desenvolvida em cada cabo usado para suportar 
a caixa de 40 N mostrada na figura. 
Cazetta_2sem/2014 32 
Diagrama de 
corpo livre 
1- Coordenadas dos pontos: 
 B: X= -3 , y= -4 e z= 8 
 C: X= -3 , y= 4 e z= 8 
 
2- Forças na forma vetorial cartesiana: 
 FD = {FDi} N 
 W = {40k} N 
3- Equação de equilíbrio: 
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4- Igualando a zero os componentes i, j e k, temos: 
(j e k=0) 
(i e k=0) 
(i e j=0) 
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- Pela equação (2) temos FB = FC, então resolvendo a equação (3) 
FC = 0,424 FB / 0,424 
FC = FB 
Substituindo FB por FC na equação (3) temos FC: 
 
0,848. FC + 0,848. FC - 40 = 0 
FC = 40 / (0,848+0,848)  FC = 23,6 N e FB = 23,6 N 
 
Substituindo FB e FC na equação (1) temos FD: 
 
 - 0,318.23,6 – 0,318.23,6 + FD = 0 
FD = 15 N 
 
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4- A caixa de 100 kg mostrada na figura é suportada por três cordas, uma 
delas acoplada a uma mola. Determine a força nas cordas AC e AD e a 
deformação da mola (k = 1,5kN/m). 
Diagrama de corpo livre 
1- Cálculo do peso da caixa: 
 W = 100.(9,81) = 981 N 
2- Coordenadas dos pontos: 
D: x= -1, y= 2 , z= 2 
C: x= cos120°, y= cos135°, z= cos60° 
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3- Forças na forma vetorial cartesiana: 
4- Equações de Equilíbrio: 
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5- Igualando a zero as componentes i, j e k, temos: 
Resolvendo a equação (2) determinar FD em função de FC: 
 FD = 0,707.FC / 0,667  FD = 1,06.FC 
 
Substituindo FD na equação (3) determinamos FC: 
 0,5.FC + 0,667.(1,06 FC) – 981 = 0 
 FC = 981 / 1,207  FC = 812,7 N 
 
Substituindo FC na equação (2) determinamos FD: 
 -0,707.812,7 + 0,667.FD = 0 
 FD = 574,6 / 0,667  FD = 861,4 N 
 
Substituindo FC e FD na equação (1) determinamos FB: 
 FB – 0,5.812,7 – 0,333.861,4 = 0 
 FB = 693,2 N 
 
 
6- Cálculo da 
deformação da mola 
FB = k . s 
693,2 = 1,5.103 . s 
s = 0,462 m 
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Diga em voz alta: 
Insisto! Persisto! Não Desisto! 
Lutar sempre, Vencer talvez, 
Desistir Jamais!!!