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Ensino Médio
ANGLO
Manual do Professor • Matemática
9
ª- série3
296061_CAPA_EM_CA_MP_REGULAR_Mat.indd 1 10/13/17 11:38
Manual
do Professor
Matemática 
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)
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Direção de inovação e conteúdo: Guilherme Luz
Direção executiva: Irina Bullara Martins Lachowski
Direção editorial: Luiz Tonolli e Renata Mascarenhas
Gestão de conteúdo: Henrique Braga
Gestão de projeto editorial: Duda Albuquerque e Rodolfo Marinho
Supervisão pedagógica: Roberto Teixeira Cardoso
Gestão e coordenação de área: Julio Cesar Augustus de Paula 
Santos e Juliana Grassmann dos Santos
Edição: Tadeu Nestor Neto
Gerência de produção editorial:  Ricardo de Gan Braga
Planejamento e controle de produção editorial: Paula Godo (ger.), 
Adjane Oliveira, Geórgia Der Bedrosian, Paula P. O. C. Kusznir e 
Mayara Crivari (estagiária)
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Kátia Scaff Marques (coord.), 
Rosângela Muricy (coord.), Adriana de Rinaldi, Ana Paula C. Malfa, Célia 
Carvalho, Danielle Modesto, Larissa Vazquez, Marília Lima, Maura Loria, 
Tayra Alfonso e Vitória T. Martini (estagiária)
Edição de arte: Daniela Amaral (ger.), André Vitale (coord.), 
Antonio Cesar Decarli e Catherine Saori Ishihara
Diagramação: Casa de Tipos
Iconografia e licenciamento de texto: Sílvio Kligin (ger.), 
Claudia Bertolazzi (coord.), Cristina Akisino (coord.), Denise Kremer (coord.), 
Roberto Silva (coord), Evelyn Torrecilla, Fernanda Regina Sales Gomes, 
Karina Tengan, Rodrigo dos Santos Souza (pesquisa iconográfica), 
Angra Marques (licenciamento de textos)
Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin
Ilustrações: Alexandre Koyama e Casa de Tipos
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Foto de capa: Keith Ladzinski/National Geographic Creative/Getty Images
Projeto gráfico de miolo: Talita Guedes da Silva
Editoração eletrônica: Casa de Tipos
Todos os direitos reservados por SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Rua Gibraltar, 368 – Santo Amaro
São Paulo – SP – CEP 04755-070
Tel.: 3273-6000
© SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Rosso Junior, Antonio Carlos
 Ensino médio regular : Anglo : matemática
3ª série : cadernos 9 e 10 : manual do professor /
Antonio Carlos Rosso Junior, Glenn Albert Jacques
Van Amson, Roberto Teixeira Cardoso. -- 1. ed. --
São Paulo : SOMOS Sistemas de Ensino, 2018.
 1. Matemática (Ensino médio) I. Amson, Glenn
Albert Jacques Van. II. Cardoso, Roberto Teixeira.
III. Título.
17-09011 CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino médio 510.7
2018
ISBN 978 85 4681 293 6 (PR)
Código da obra 826351118
1a edição
1a impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
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Apresentação
Caro professor,
Reescrever um material que, com o excelente trabalho dos conveniados, tem alcançado os melhores resultados 
do Brasil no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) não foi tarefa fácil, mas um desafio que enfrentamos e ven-
cemos, como você poderá constatar. 
Nesse processo, buscamos produzir um material didático capaz de aliar motivação dos alunos, qualidade de 
ensino e elevados padrões acadêmicos – uma tríade que representa um trabalho de excelência nas escolas.
As inovações e os aperfeiçoamentos foram feitos tomando como referência as conversas realizadas nos diversos 
encontros com os autores e as preciosas colocações feitas no Fale com o Autor, buscando também olhar para o futuro.
O material dos alunos é composto de Caderno do Aluno, Livro-texto e Caderno de Exercícios. Além disso, eles 
também podem contar com a Plataforma de Estudo Adaptativo, com objetos digitais e outras ferramentas no 
portal do sistema. Você, professor, tem acesso a tudo isso e ainda ao Fale com o Autor, à TVWeb, às Separatas, aos 
Comunicados e muito mais!
Agora, vamos falar de cada parte separadamente.
CADERNO DO ALUNO
No Caderno do Aluno, as disciplinas estão agrupadas em função da área de conhecimento a que pertencem: 
Redação, Gramática e Texto, Literatura e Língua Inglesa na área de “Linguagens, Códigos e suas Tecnologias”; Ma-
temática em sua própria área, “Matemática e suas Tecnologias”; Biologia, Física e Química na área de “Ciências da 
Natureza e suas Tecnologias”; e, finalmente, História e Geografia na área de “Ciências Humanas e suas Tecnologias”. 
Na abertura de cada área há um quadro com as competências e habilidades correspondentes.
Enem – Para cada aula, é apresentado o objeto de conhecimento da Matriz de Referência do Enem relacionado 
com o assunto estudado.
A Matriz de Referência do Enem apresenta os eixos cognitivos (comuns a todas as áreas do conhecimento), 
as matrizes de referência das áreas do conhecimento (divididas em competências e, estas, em habilidades) e 
os objetos de conhecimento associados às matrizes de referência.
Além dessa nova organização, cada disciplina conta com uma série de seções em comum.
Nesta aula – Esta seção, que traz os tópicos que serão trabalhados na aula, permite aos alunos prestar atenção 
na explicação do professor e fazer registros complementares em função do conteúdo apresentado. Isso evita aquela 
frase “ou eu copio, ou presto atenção” e favorece o desenvolvimento da aula, já que o professor ganha tempo. 
Em classe – Seção de exercícios para serem feitos em sala de aula, em nível crescente de dificuldade. A maioria 
deles apresenta o selo com as habilidades da Matriz de Referência do Enem. Esse selo permite a alunos e professo-
res dar atenção diferenciada à atividade. Quanto mais diferenciada é essa atenção, melhor é a preparação do aluno 
para provas como as do Enem – quanto mais ele aprender, mais bem preparado vai estar e mais motivado para a 
aprendizagem vai ficar, melhorando assim a aula do professor.
Em casa – Esta seção traz atividades que devem ser realizadas pelos alunos para complementar a aprendizagem. 
De nada adiantam intermináveis horas de aula se o aluno não tiver a oportunidade do estudo individualizado para 
aplicar seu conhecimento. Esta seção está dividida em:
• Tarefas Mínimas – É um conjunto de orientações de estudo para que o aluno domine os pré-requisitos que pos-
sibilitarão dar continuidade à aprendizagem na aula seguinte. É importante dizer que a quantidade de exercícios 
propostos corresponde a uma adequada carga de trabalho, sem sobrecarregar ou exigir algo que sabemos ser 
impossível cumprir.
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• Tarefas Complementares – É a continuidade dos estudos propostos nas Tarefas Mínimas e permite ao aluno apro-
fundar-se nos conteúdos em que sentir necessidade, ou tiver possibilidade, ou ainda se for orientado pelo professor. 
Rumo ao Enem – Ao final de cada setor, há um conjunto de questões elaboradas pelos autores seguindo padrão 
semelhante ao do Enem e também retiradas das provas oficiais. Em alguns momentos são indicadas pelos autores 
como parte das tarefas. Esta seção serve como fonte de exercícios extras para a sala de aula, dependendo da inten-
ção do professor de cada disciplina, e dá aos alunos a possibilidade de aplicar seus conhecimentos nesse tipo de 
questão e de avaliar sua performance.
Atividade Interdisciplinar – Atividade envolvendo diversas áreas e que pode ser aplicada em certo número de 
aulas, a critério dos professores das disciplinas envolvidas. A principal intenção desta seção é permitir ao aluno uma vi-
são múltipla de determinados assuntos, motivando ainda mais o estudo e o aprofundamento de seus conhecimentos.
LIVRO-TEXTO
Com linguagem envolvente, mesmo nas áreas consideradas mais difíceis, o Livro-texto traz o texto didático de 
cada conteúdo trabalhado, dando ao aluno mais embasamento, com muitos exemplos que servirão de modelo em 
exercícios.
CADERNO DE EXERCÍCIOS
No Caderno de Exercícios temos os exercícios solicitados nas Tarefas Mínimas(TM) e Complementares (TC) 
e também exercícios extras, não pedidos nem na TM nem na TC, prontos para o aluno que quer estudar mais ou 
para o professor que deseja passar mais exercícios de determinado conteúdo. Assim, não será necessário recorrer à 
impressão de listas de exercícios, poupando tempo e recursos de todos os atores: professores e escolas.
Atenção para mais uma novidade: o Caderno de Exercícios dos alunos não vem com respostas, como acontecia 
na edição anterior. Agora, elas estão no final do Manual do Professor. Isso significa que você, ao trabalhar com as 
tarefas em sala de aula, perceberá com tranquilidade quais alunos fizeram ou não os exercícios e poderá dar os 
melhores encaminhamentos para que a aprendizagem seja ampliada e aperfeiçoada.
E O MANUAL DO PROFESSOR?
Um aspecto que ajuda a classificar uma escola como de boa qualidade é o desenvolvimento profissional dos 
professores, para o que o Manual do Professor (MP) é instrumento que colabora muito.
No MP você encontrará os objetivos de cada aula (para ajudar a elaborar o planejamento escolar) e as sugestões 
de encaminhamento da aula. Encontrará ainda sugestões de objetos digitais, de exercícios extras e de textos de 
aprimoramento e de atualização, que podem, também, ser utilizados no trabalho com os alunos.
A partir do entendimento da estrutura de nosso material, podemos apresentar nossa fundamentação pedagó-
gica, baseada no momento que é o ponto central deste sistema de ensino: a aula! E também em nosso lema: “Aula 
dada, aula estudada”!
A estrutura foi pensada com base no Círculo Virtuoso da Aprendizagem:
Aula bem 
estudada
Aula bem 
assistida
Aula bem 
proposta 
(Autor)
Aula bem 
preparada
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Aula bem proposta – O programa está distribuído criteriosamente pelas aulas de que dispomos para desenvolver 
cada curso. Procuramos dimensionar cada uma delas com tempo suficiente para a exposição teórica e a realização 
de exercícios pelos alunos em classe. 
Aula bem preparada – Os planos de aula são bem detalhados, fornecendo as informações necessárias para a 
preparação de seu trabalho. É importante que você observe bem o material do aluno, veja as questões propostas 
e considere a possibilidade de introduzir objetos digitais. Examine as Tarefas Mínimas e Complementares e resolva 
com antecedência todos os exercícios envolvidos.
Aula bem assistida – Sempre que conseguir motivar a classe, mantendo um diálogo constante com os alunos, 
e eles sentirem que estão aprendendo, a aula terá sido eficiente. Não pactue com os dispersivos. Exija dos alunos 
concentração, participação nos diálogos e muita garra durante as atividades de aula.
Aula bem estudada – É o resultado da resolução diária de todas as Tarefas Mínimas e de pelo menos parte das 
Tarefas Complementares. Os alunos devem ser orientados a fazer a avaliação de seu desempenho após cada prova 
e procurar o Plantão de dúvidas para esclarecimentos sobre as atividades propostas para casa.
Estamos à disposição para tirar dúvidas, ouvir opiniões e sugestões em nossos Encontros Presenciais e no Fale 
com o Autor.
Um espetacular ano letivo para todos!
Fábio Aviles Gouveia
Coordenador pedagógico
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Sumário
Matemática ............................................................................................................................................................ 7
Setor A ..................................................................................................................................................................... 8
Aula 1 – Funções: uma retomada .......................................................................................................................... 8
Aulas 2 e 3 – Funções: composição ....................................................................................................................... 8
Aulas 4 e 5 – Funções: construção de gráfi cos ..................................................................................................... 9
Aulas 6 e 7 – Funções: injeção, sobrejeção e bijeção .......................................................................................... 9
Aula 8 – Funções: exercícios .................................................................................................................................... 10
Aulas 9 e 10 – Funções: inversão ............................................................................................................................ 10
Aula 11 – Funções: arccos (x) ................................................................................................................................. 11
Aulas 12 e 13 – Funções: arcsen (x) e arctg (x) .................................................................................................... 11
Aula 14 – Números complexos: revisão .................................................................................................................. 12
Aulas 15 e 16 – Números complexos: plano de Argand-Gauss e módulo .......................................................... 12
Aulas 17 e 18 – Números complexos: argumento e forma trigonométrica ........................................................ 13
Setor B ...................................................................................................................................................................... 15
Aulas 1 e 2 – Tronco de pirâmide ............................................................................................................................ 15
Aulas 3 e 4 – Tronco de cone .................................................................................................................................. 16
Aulas 5 e 6 – Inscrição e circunscrição de sólidos (1) .......................................................................................... 17
Aulas 7 e 8 – Inscrição e circunscrição de sólidos (2) .......................................................................................... 17
Aulas 9 e 10 – Estatística: medidas de tendência central ..................................................................................... 18
Aulas 11 e 12 – Estatística: medidas de dispersão ................................................................................................ 18
Atividades Interdisciplinares ................................................................................................................................ 19
Respostas – Caderno de Exercícios 5 ................................................................................................................... 20
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Matemática
Caderno 9
O material do terceiro ano do Ensino Médio Regular, que é composto dos Cadernos 9 e 10, tem por objetivos ampliar, complementar 
e aprofundar o estudo de temas que foram trabalhados nos dois primeiros anos deste curso. Neste caderno, esses objetivos ficam claros 
tanto no setor A como no setor B.
No setor A, retomaremos nas 13 primeiras aulas o estudo de funções, mas agora com o foco em composição, translações, bijeção 
e funções inversas, ocasião em que também trabalharemos com as funções trigonométricas inversas. Escolhemos deixar este estudo 
para o terceiro ano, pois é um momento em que o aluno já teve contato com diversos modelos de funções e está mais maduro do que 
no primeiro ano do Ensino Médio, quando geralmente esse assunto é estudado. Nas cinco últimas aulas desse setor vamos retomar os 
conceitos de números complexos, mas dessa vez trabalharemos com sua representação geométrica e sua forma trigonométrica.
No setor B, daremos continuidade ao estudo da Geometria métrica do espaço, trabalhando com troncos de pirâmide e de cone, 
finalizando esse estudo com inscrição de sólidos. Nas aulas finais, retomaremos o estudo da Estatística, agora com medidasde dispersão.
Note que tanto no setor A como no setor B os temas escolhidos nos permitem integrar conteúdos e fazer uma conclusão dos 
assuntos estudados anteriormente.
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Setor A
aula 1
Funções: uma retomada
Objetivos
Rever os conceitos iniciais da teoria das funções.
Encaminhamento
Para rever o conceito de função, pode-se começar usando o 
seguinte exemplo:
O domínio A é o conjunto dos alunos presentes, e o con-
tradomínio B é o conjunto dos dias do ano. A função f de A 
em B associa a cada aluno o seu dia de aniversário: f(x) 5 o dia 
de aniversário de x. Mostre que não há aluno associado a dois 
ou mais dias nem aluno sem um dia de aniversário. A cada alu-
no corresponde um e apenas um dia de aniversário. Exemplo: 
f(Theo) 5 12/08. Pode haver dois ou mais alunos que fazem ani-
versário no mesmo dia ou um dia sem aluno aniversariante. Aliás, 
isso é altamente provável. Explique que o conjunto imagem é o 
subconjunto do contradomínio formado pelos dias em que há 
pelo menos um aluno fazendo aniversário. (Este exemplo é bom 
para que os alunos se reapresentem.)
Em seguida, dê o exemplo do resumo da aula, explicando a 
notação f(x). É importante que o aluno entenda que uma função 
é um conjunto de pares ordenados com as duas condições apre-
sentadas no resumo.
Sugestão de exercícios extras
1. Sendo f(x) 5 a ? bx, em que a e b são constantes tais que 
f(0) 5 50 e f(1) 5 200, obtenha f(2).
Resposta: 800
2. Em cada caso, considere f como sendo uma função real 
de variável real e obtenha seu domínio e seu conjunto 
imagem.
a) f(x) 5 3x 1
x 2
2
2
Resposta: D 5 R 2 {2}, I 5 R 2 {3}
b) f(x) 5 1
2x 12
Resposta: D 5 R 2 { }12 , I 5 R*
c) f(x) 5 x2 2 2x 1 5
Resposta: D 5 R, I 5 [4, 1`[
aulas 2 e 3
Funções: composição
Objetivos
Apresentar o conceito de função composta e técnicas de com-
posição.
Encaminhamento
Comece utilizando o seguinte exemplo para introduzir o con-
ceito de função composta:
A energia cinética é dada pela fórmula E 5 
1
2
mv2, em que m é a 
massa, e v, a velocidade. Suponhamos que a massa seja constante e 
que a velocidade seja dada por v 5 2 1 10t. Temos aí duas funções: 
a energia em função da velocidade e a velocidade em função do 
tempo. A composição dessas duas funções surge naturalmente, e 
podemos colocar a energia em função do tempo.
Ao dar o exemplo do resumo da aula, é fundamental que o 
aluno compreenda que nos cálculos de f(x) usamos o processo de 
substituição. Assim, dado que f(x) 5 x 1 1, podemos afirmar que 
f(t) 5 t 1 1 e, com isso, não podemos concluir que t 5 x, pois 
f(3) 5 3 1 1 e f(4) 5 4 1 1, porém 3 não é igual a 4. Pode ser inte-
ressante apresentar o processo de substituição sempre com duas 
fases. Por exemplo: f(x) 5 x 1 1 → f(...) 5 ... 1 1 → f(3) 5 3 1 1. 
Assim, fica mais claro que x foi substituído por 3.
Sugestão de exercícios extras
1. Dado que f(x) 5 2x 1 1 e g(x) 5 3x 2 1, obtenha f(g(x)) 1 
1 g(f(x)).
Resposta: 12x 1 1
2. Dado que f(x) 5 5x 2 1 e f(g(x)) 5 20x 1 9, obtenha g(x).
Resposta: 4x 1 2
3. Dado que f(x) 5 2x 1 3 e f(g(x)) 5 sen x, obtenha g(f(x)).
Resposta: 
3 sen (2x 3)
2
2 1 1
4. Dado que g(x) 5 4x 1 2 e f(g(x)) 5 20x 1 9, obtenha f(x).
Resposta: 5x 2 1
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aulas 4 e 5
Funções: construção de gráficos
Objetivos
Apresentar técnicas importantes para a construção de gráficos 
de funções.
Encaminhamento 
Comece a aula diretamente pelo resumo teórico, apresentando 
os casos de translação (vertical e horizontal) mediante exemplos. Os 
demais casos podem ser abordados posteriormente. Em seguida, 
resolva os exercícios 1 e 2 da aula. Nos exercícios 3 e 4, devemos “re-
bater” a curva em torno do eixo das abscissas, além de transladá-la 
verticalmente ou horizontalmente. O caso de dilatação vertical, por 
sua vez, deve ser explicado na resolução do exercício 5.
aulas 6 e 7
Funções: injeção, sobrejeção e bijeção
Objetivos
Apresentar os conceitos de função injetora, função sobrejetora 
e função bijetora.
Encaminhamento
Volte ao exemplo de associar a cada aluno o respectivo dia de 
aniversário, dado na aula 1. Tome o conjunto A como o conjunto 
dos alunos da turma e o conjunto B como o dos dias do ano no 
formato dd/mm. Considerando a função f: A → B, f(x) é o dia do 
aniversário de x. Se não há coincidência de aniversários, f é uma 
função injetora: não há dois ou mais elementos de A com a mesma 
imagem em B. Se, pelo contrário, há coincidência de aniversários, f 
não é injetora e dificilmente será uma função sobrejetora, pois, para 
isso, em todos os dias deveria haver um aniversariante.
Vamos ver outro exemplo. Mantenha o conjunto A (dos alunos) 
e fixe o conjunto B como sendo o conjunto das carteiras da sala; f(x) 
é a carteira em que o aluno x está sentado. Como não há dois ou 
mais alunos sentados na mesma carteira, f é uma função injetora. 
Se há carteiras desocupadas, a função não é sobrejetora. Se, ao 
contrário, todas as carteiras estão ocupadas, a função é sobrejetora. 
Nesse caso, f é injetora e sobrejetora, e com isso podemos dizer 
que f é uma função bijetora, ou seja, temos uma relação biunívoca 
entre os alunos e as carteiras.
Na resolução dos exercícios, pode ser conveniente voltar aos 
exemplos acima ou considerar outros do cotidiano. Assim, com 
f: R → R, f(x) 5 x
2
, temos f(3) 5 9 e f(23) 5 9; logo f não é injetora, 
e “3 e 23 seriam como os alunos que fazem aniversário no mesmo 
dia”. Por outro lado, há elementos em B que não são imagens de 
algum elemento x de A; os números negativos em B seriam “os dias 
em que ninguém faz aniversário”.
Sugestão de exercícios extras
1. Considere a função f: A → B, em que A 5 [21, 2] e 
B , R, tal que f(x) 5 x2. Obtenha B de modo que f seja 
sobrejetora.
Resposta: [0, 4]
2. Considere a função f: Z → N, tal que:
• se x , 0, então f(x) 5 2(2x 1 1);
• se x > 0, então f(x) 5 2x.
a) Complete a tabela:
x f(x)
23
22
21
0
1
2
3
b) Resolva a equação f(x) 5 2 021.
c) Classifique as proposições a seguir em (V) verdadeira 
ou (F) falsa.
( ) f é sobrejetora. ( ) f é bijetora.
Respostas:
a) 
x f(x)
23 5
22 3
21 1
0 0
1 2
2 4
3 6
b) Podemos concluir que x , 0, pois 2 021 é um número 
ímpar.
Nesse caso, f(x) 5 2(2x 1 1) e, de 2(2x 1 1) 5 2 021, 
temos:
2x 1 1 5 22 021
2x 5 22 022
∴ x 5 21 011
c) ( V ) f é sobrejetora. ( V ) f é bijetora.
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aula 8
Funções: exercícios
Objetivos
Fazer exercícios que envolvem os conceitos de função injetora, 
função sobrejetora e função bijetora e apresentar, em uma aplica-
ção, o Princípio das Casas dos Pombos.
Encaminhamento
Inicie a aula pelo resumo teórico e resolva o primeiro exercício. 
Logo após a resolução, dê a seguinte explicação aos alunos:
Sejam A e B dois conjuntos finitos e sejam n(A) e n(B), nessa 
ordem, o número de elementos de A e o número de elementos de 
B. Se n(A) . n(B), então não existe uma função injetora de A em 
B. Em outras palavras, se f é uma função de A em B, então haverá 
elementos distintos de A com a mesma imagem em B; existirão 
x
1
 e x
2
 em A, tais que x
1
 ± x
2
 e f(x
1
) 5 f(x
2
). Na Matemática, esse 
teorema é conhecido como Princípio das Casas dos Pombos, ou 
Princípio de Dirichlet. Assim, por exemplo, havendo mais do que 
12 pessoas em um grupo, podemos garantir que pelo menos duas 
delas fazem aniversário no mesmo mês.
aulas 9 e 10
Funções: inversão
Objetivos
Apresentar o conceito de função inversa.
Encaminhamento
Explique o conceito de função inversa, seguindo o resumo da 
aula, depois mostre que a condição necessária e suficiente para a 
existência da função inversa de f é que f seja uma função bijetora. 
Nessas condições, (u, v) pertence a f se, e somente se, (v, u) per-
tence a f 21.
Assim, por exemplo, se (2, 5) [ f, então (5, 2) [ f 21. Nesse caso, 
também podemos dizer que, se f(2) 5 5, então f 21(5) 5 2. 
Noteque, sendo f: A → B uma função bijetora, temos 
f 21(f(x)) 5 x para todo x pertencente a A e f(f 21(y)) 5 y para todo 
y pertencente a B.
Se uma função bijetora é dada por uma equação da forma 
y 5 f(x), obtemos sua inversa simplesmente trocando os nomes 
das variáveis x e y. Por exemplo, com y 5 f(x) 5 x3 1 3x2 1 3x, 
temos, em f 21, x 5 y3 1 3y2 1 3y. A dificuldade pode surgir ao 
tentar explicitar y nessa equação. Nesse caso, podemos somar 1 a 
cada membro da igualdade e obter x 1 1 5 y3 1 3y2 1 3y 1 1, 
ou seja, x 1 1 5 (y 1 1)3. Logo, y 1 1 5 x 13 1 e, portanto, 
y 5 f 21(x) 5 21 1 x 13 1 .
É importante destacar que em muitos casos é impossível “isolar” 
a variável y. Isto é, f é bijetora, existe f 21 e não podemos explicitar 
f 21(x).
No cotidiano, não trocamos os nomes das variáveis. Assim, 
por exemplo, se temos a velocidade em função do tempo com a 
equação v 5 2 1 10t, então, na inversa, temos o tempo em função 
da velocidade com a equação t 5 v 2
10
2 .
Sugestão de exercícios extras
1. Consideremos a bijeção f: R 2 {1} → R 2 {2}, f(x) 5 2x
x 12
. 
Obtenha f 21(x).
Resposta: x
x 22
2. Considere os conjuntos A 5 [3, 1`[ e B 5 [1, 1`[. 
A função f: A → B, f(x) 5 x2 2 6x 1 10, é bijetora.
a) Obtenha f 21(x).
b) Esboce, no mesmo plano, os gráficos de f e f 21.
c) Obtenha a intersecção desses gráficos.
d) Qual é o valor de f 21(f(10))?
Resoluções:
a) Em f, temos y 5 x2 2 6x 1 10, com x > 3 e y > 1.
Em f 21, temos:
x 5 y2 2 6y 1 10, com y > 3 e x > 1.
x 5 y2 2 6y 1 9 1 1
x 2 1 5 (y 2 3)2
y 2 3 5 ± x 12
y 5 3 1 x 12 ou y 5 3 2 x 12
Da condição y > 3, temos f 21(x) 5 3 1 x 12 .
b) 
0 1 2
1
2
3
4
5
6
y
3 4 5 6 x
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EM_REG_07a14_MAT_A_MP9.indd 10 10/23/17 18:30
c) Com x > 3, a equação f(x) 5 f 21(x) é equivalente à 
equação f(x) 5 x. (*)
De x > 3 e x2 2 6x 1 10 5 x, temos x2 2 7x 1 10 5 0, 
ou seja, x 5 5.
Os gráficos intersectam-se no ponto (5, 5).
(*) Isso é verdade em todos os casos em que f(x) não 
é idêntico a f 21(x).
d) De f(10) 5 k, temos f 21(k) 5 10. Logo, f 21(f(10)) 5 10.
aula 11
Funções: arccos (x)
Objetivos
Apresentar a inversa da função cosseno.
Encaminhamento
Comece a aula explicando o resumo dela, com ênfase nas se-
guintes condições:
y 5 arccos x ⇔ 






2 < <
< < p
5
1 x 1
0 y
cos y x
Nessas condições, as funções dadas por f(x) 5 cos x e f 21(x) 5 
5 arccos x são bijetoras, a existência e a unicidade são garantidas; 
para cada valor de x existe um único valor de y e para cada valor 
de y existe um único valor de x.
Sugestão de exercício extra
Calcule: sen arccos 3
5
arccos 5
13
1


Resolução:
Com arccos 3
5
 5 a e arccos 5
13
 5 b, temos:
0 < a < p, 0 < b < p, 
cos a 5 
3
5
, sen a 5 
4
5
, 
cos b 5 
5
13
 e sen b 5 
12
13
.
sen(a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a
 5 
4
5
 ? 
5
13
 1 
12
13
 ? 
3
5
 5 
56
65
aulas 12 e 13
Funções: arcsen (x) e arctg (x)
Objetivos
Apresentar a inversa da função seno e a inversa da função tan-
gente.
Encaminhamento
Siga o resumo da aula, apresentando as duas funções inversas, 
arco seno e arco tangente. Como na aula passada, é conveniente 
enfatizar as condições que garantem a sua existência, unicidade e 
qualidade de funções bijetoras e inversas.
y 5 arcsen x ⇔ 
2 < <
2p
< <
p
5






1 x 1
2
y
2
sen y x
 
e
y 5 arctg x ⇔ 
R
2p
, ,
p
5






x
2
y
2
tg y x
[
Sugestão de exercícios extras
1. Simplifique:
a) sen (arcsen 0,6)
b) cos (2arcsen 0,6)
Resolução:
a) sen (arcsen 0,6)
arcsen 0,6 5 a ⇒ sen a 5 0,6
sen (arcsen 0,6) 5 sen a 5 0,6
Observação: f(f 21(x)) 5 x, para todo x pertencente ao 
domínio de f 21.
b) cos (2arcsen 0,6)
arcsen 0,6 5 a ⇒ sen a 5 0,6 e a [ 
2
,
2
2p p



sen a 5 0,6 e a [ 
2
,
2
2p p



 ⇒ cos a 5 0,8
cos (2arcsen 0,6) 5 cos 2a 5 cos2 a 2 sen2 a 5 0,28
11
EM_REG_07a14_MAT_A_MP9.indd 11 10/23/17 18:30
2. Esboce o gráfico de y 5 sen (arcsen x)
Resolução:
y 5 x, com 21 < x < 1
y
x
1
21
21
1
3. Resolva em R: sec2 (arctg x) 5 10
Resolução:
arctg x 5 a ⇒ tg a 5 x 
2
,
2
a
2p p








[
sec2 (arctg x) 5 10
sec2 a 5 10
1 1 tg2 a 5 10
1 1 x2 5 10
S 5 {23, 3}
aula 14
Números complexos: revisão
Objetivos
Rever os conceitos iniciais dos números complexos.
Encaminhamento
Siga o resumo da aula, dando exemplos numéricos ao apresentar 
os conceitos, e resolva os exercícios de aula.
Sugestão de exercício extra
Resolver em C:
a) x2 5 24
Resposta: {2i, 22i}
b) x4 5 16
Resposta: {2, 22, 2i, 22i}
c) x3 5 1
Resposta: 






1, 1 i 3
2
, 1 i 3
2
2 1 2 2
d) x4 1 x2 2 12 5 0
3, 3, 2i, 2i2 2{ }Resposta:
aulas 15 e 16
Números complexos: plano de 
Argand-Gauss e módulo
Objetivos
Apresentar o plano de Argand-Gauss e o conceito de módulo.
Encaminhamento
Assim como recorremos à reta para representar o conjunto R 
dos números reais, recorra ao plano (cartesiano) para representar o 
conjunto C dos números complexos. Sendo a e b números reais, o 
número complexo a 1 bi é identificado no plano de Argand-Gauss 
pelo ponto P(a, b), chamado de afixo de a 1 bi. A todo elemento 
de C corresponde um único ponto, e a todo ponto corresponde 
um único número complexo. 
Em seguida, apresente o conceito de módulo de um número 
complexo (real ou imaginário) e mostre sua interpretação gráfica: 
a distância da origem ao afixo do número.
Sendo x e y números reais quaisquer, temos por definição 
|x 1 yi| 5 1x y
2 2
. Assim, por exemplo, |3 1 4i| 5 3 42 21 e, 
portanto, |3 1 4i| 5 5. Desse modo, deve ficar claro para o aluno 
que, dada a condição |z| 5 5, não podemos concluir que z é 5 ou 
25. Na verdade, a equação |z| 5 5 tem infinitas soluções. De |z| 5 5, 
podemos concluir que z pode ser qualquer número complexo cujo 
afixo dista 5 unidades da origem.
Sugestão de exercícios extras
1. Represente no plano de Gauss os números complexos 
z, w, u e v e obtenha seus módulos: 
z 5 3 1 4i, w 5 3 2 4i, u 5 21 1 i e v 5 2i.
Resolução:
I
m
R
e
0 2
2
w
v
u
z
|z| 5 5, |w| 5 5, |u| 5 2 e |v| 5 21.
12
EM_REG_07a14_MAT_A_MP9.indd 12 10/23/17 18:30
2. Na figura, P e Q são os afixos de z e w. Obtenha as formas 
algébricas de z e w.
I
m
R
e
2
608
1
Q
P
Resposta: z 5 1 1 i 3 e w 5 
3
2
2
 1 
i
2
aulas 17 e 18
Números complexos: argumento 
e forma trigonométrica
Objetivos
Apresentar o conceito de argumento de um número complexo 
não nulo e a forma trigonométrica.
Encaminhamento
Siga o resumo da aula mostrando que existe outro modo 
de identificar os números complexos z, com z ± 0. Todo pon-
to P(a, b) do plano de Argand-Gauss, com exceção da origem 
O(0, 0), pode ser identificado por um par (r, u), em que r e u são, 
nessa ordem, o módulo (distância até a origem) e o argumento 
(ângulo) do número z, cujo afixo é o ponto P. 
No Livro-texto 5, Unidade 16, item 5 do capítulo 1, há um texto 
que mostra uma aplicação desses conceitos com o uso de um radar 
marítimo. Há pelo menos uma diferença com a teoria. Na prática o 
ângulo é tomado no sentido horário, a partir do sentido que indica 
o norte geográfico.
Mostre como passar da forma algébrica para a forma trigono-
métrica. Dado o número complexo z, z ± 0, identifica-se a parte 
real e a parte imaginária. Localizamos o afixo (P) de z no plano de 
Argand-Gauss e calculamos na figura a distância de P à origem: 
trata-se do módulo r de z. Em seguida, calculamos o argumento 
u com o uso da Trigonometria. Com r e u, temos a forma trigo-
nométrica r(cos u 1 i sen u), ou, na sua forma abreviada, r cis u.
Demonstre aos alunos que essa tarefa fica mais fácil fazendo 
sempre um esboço da figura e lembrando que devemos ter r . 0 
e 0 < u , 2p (com r 5 0, não existe argumento nem forma 
trigonométrica). 
Em muitas provas de vestibulares, o argumento é dado em 
graus. Teoricamente isso não é o certo, mas neste nível não causará 
erros.
Sugestão de exercícios extras
1. Dê a forma trigonométrica de z:
a)z 2 cos 13
6
isen 13
6
5
p
1
p

 


z 2 cos
6
isen
6
5
p
1
p




Resposta:
b) z 2 cos
2
isen
2
5
2p
1
2p





z 2 cos 3
2
isen 3
2
5
p
1
p

 

Resposta:
c) 5 2p 1 2pz 2 cos
6
isen
6






z 2 cos 11
6
isen 11
6
5
p
1
p




Resposta:
d) z 2 sen
3
icos
3
5
p
1
p





z cos
6
isen
6
5
p
1
p




Resposta:
2. Considere o conjunto dado por l 5 {z [ C : |z 2 4 2 3i| 5 2}.
a) represente l no plano de Argand-Gauss;
b) obtenha o valor máximo da parte real de z;
c) obtenha o valor máximo da parte imaginária de z;
d) obtenha o valor máximo do módulo de z;
e) obtenha o módulo do número z, z [ l, que tem argu-
mento máximo.
Resoluções:
a) Com z 5 x 1 yi, x e y reais, temos:
|x 1 yi 2 4 2 3i| 5 2
|x 2 4 1 (y 2 3)i| 5 2
(x 4) (y 3) 22 22 1 2 5
(x 2 4)2 1 (y 2 3)2 5 22 → circunferência de centro 
(4, 3) e raio 2.
I
m
R
e
C
raio: 2
4
3
O
13
EM_REG_07a14_MAT_A_MP9.indd 13 10/23/17 18:30
a
n
o
ta
ç
õ
e
s
b) A projeção da circunferência sobre o eixo das abscis-
sas fornece o intervalo dos possíveis valores da parte 
real de z. Como o raio é 2, o valor máximo da parte 
real é 6 (5 4 1 2).
c) A projeção da circunferência sobre o eixo das or-
denadas fornece o intervalo dos possíveis valores 
da parte imaginária de z. O valor máximo da parte 
imaginária é 5 (5 3 1 2).
d) A intersecção da reta OC com a circunferência de-
termina dois pontos A e B, conforme a figura.
I
m
R
e
C
raio: 2B
A
4
3
O
OC 5 5, CA 5 2, OA 5 7 ∴ O valor máximo de |z| é 7.
e) Os números complexos com argumento máximo e 
com argumento mínimo são dados pelas intersec-
ções das retas tangentes à circunferência. O ponto T 
correspondente é o afixo do número com argumento 
máximo.
I
m
R
e
C
T
raio: 2
4
3
O
OC 5 5, CT 5 2
∴ OT 5 21
14
EM_REG_07a14_MAT_A_MP9.indd 14 10/23/17 18:30
Setor B
aulas 1 e 2
Tronco de pirâmide
Objetivos
Apresentar os troncos de pirâmides regulares de bases paralelas, 
determinar as áreas de suas superfícies e calcular seu volume. 
Encaminhamento
Como esta é a primeira aula do ano, é muito importante fazer 
uma revisão sobre pirâmides; relembre seus elementos e os cálculos 
da área lateral e do volume, bem como as propriedades de sólidos 
semelhantes. Assim, inicie a aula apresentando o tronco de pirâ-
mide, dê exemplos de situações em que ele está presente, como 
alguns vasos e potes de pipoca, e, em seguida, faça essa revisão.
Após a revisão, apresente os elementos de um tronco de pirâmi-
de e comente que trabalharemos neste curso apenas com troncos 
de pirâmides regulares de bases paralelas. 
Caso as aulas 1 e 2 sejam dadas em dias diferentes, convém 
destacar que na aula 1 serão tratados os elementos e o cálculo de 
áreas e, na aula 2, o cálculo do volume do tronco.
É importante que os alunos percebam que muitos resultados 
sobre troncos podem ser obtidos a partir da semelhança entre a 
pirâmide original e a pirâmide menor, gerada ao retirar-se o tronco. 
Ressalte também que o tronco não é semelhante à pirâmide origi-
nal, pois alguns alunos podem confundir os conceitos.
Caso tenha tempo disponível, utilize os exercícios da seção a 
seguir.
Sugestão de exercícios extras
1. (Udesc) Considere um tronco de pirâmide regular, cujas 
bases são quadrados com lados medindo 4 cm e 1 cm. 
Se o volume deste tronco é 35 cm³, então a altura da 
pirâmide que deu origem ao tronco é:
a) 5 cm
b) 5
3
 cm
 cc) 20
3
 cm
d) 20 cm
e) 30 cm
2. (UFF-RJ) No teto de um centro de convenções será 
instalada uma luminária que terá a forma da figura a 
seguir, onde estão representados:
T
S
P
N
R
V
Q
M
U
• o tronco de pirâmide reta NPQRUVST de bases retan-
gulares;
• a pirâmide reta MNPQR de base retangular e altura 
igual a 1 m;
• o ponto M localizado no centro do retângulo VSTU.
Sabe-se que UT 5 2 m, UV 5 1 m, NP 5 1 m e PQ 5 0,5 m.
Determine o volume do sólido exterior à pirâmide MNPQR 
e interior ao tronco de pirâmide NPQRUVST. 
Resposta: 1
3. (ITA) Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, 
cujo apótema da base mede 3 cm. Secciona-se a 
pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um 
tronco de volume igual a 1 cm3 e uma nova pirâmide. 
Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é 
1
2
, 
a altura do tronco, em centímetros, é igual a
a) 
−6 2
4
.
b) −6 3
3
.
 cc) −3 3 6
21
.
d) −3 2 2 3
6
.
e) −2 6 2
22
.
15
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aulas 3 e 4
Tronco de cone
Objetivos
Apresentar os troncos de cones circulares retos de bases 
paralelas, determinar as áreas de suas superfícies e calcular seu 
volume.
Encaminhamento
Sugerimos que o percurso das aulas 3 e 4 seja similar ao das aulas 
1 e 2, ou seja, inicie a aula apresentando o tronco de cone, fazendo 
uma analogia com os troncos de pirâmide, e dê alguns exemplos 
de situações em que ele está presente, fazendo em seguida uma 
revisão sobre cones circulares retos. 
Após a revisão, apresente os elementos de um tronco de cone 
e explique que trabalharemos neste curso apenas com troncos de 
cone circulares retos de bases paralelas. 
Caso as aulas 3 e 4 sejam dadas em dias diferentes, convém 
destacar que na aula 3 serão tratados os elementos e o cálculo de 
áreas e, na aula 2, o cálculo do volume do tronco.
Assim como orientado nas aulas 1 e 2, é importante que os 
alunos percebam que muitos resultados sobre troncos podem 
ser obtidos a partir da semelhança entre o cone original e o cone 
menor, gerado ao retirar-se o tronco. 
Caso tenha tempo disponível, utilize os exercícios da seção a 
seguir.
Sugestão de exercícios extras
1. (UFG-GO) Em um período de festas, pretende-se decorar 
um poste de uma praça com fios de luzes pisca-piscas. 
A estrutura da decoração possui o formato de tronco 
de cone circular reto com 2,4 m de altura e diâmetros 
de 2 m na base e 0,6 m no topo. Os fios de luzes serão 
esticados, do aro superior ao inferior, ao longo de 
geratrizes do tronco de cone e, para distribuí-los de 
maneira uniforme, marcam-se na circunferência da 
base pontos igualmente espaçados, de modo que o 
comprimento do arco entre dois pontos consecutivos 
seja no máximo 10 cm.
De acordo com os dados apresentados, determine o 
número mínimo de fios de luzes necessário para cobrir 
a superfície lateral do tronco de cone e a soma total de 
seus comprimentos.
Dado: p < 3,14. 
Resposta: 157,5 m
2. (UFPA) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de 
frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de um 
tronco de cone, com diâmetro de base 28 cm, diâmetro 
de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos afirmar, 
utilizando p 5 3,14, que a capacidade da rasa, em litros, 
é aproximadamente:
a) 18
 cb) 20
c) 22
d) 24
e) 26
3. (Mack-SP) Um frasco de perfume, que tem a forma de 
um tronco de cone circular reto de raios 1 cm e 3 cm, 
está totalmente cheio. Seu conteúdo é despejado em 
um recipiente que tem a forma de um cilindro circular 
reto de raio 4 cm, como mostra a figura.
8 cm
4 cm
d
Se d é a altura da parte não preenchida do recipiente 
cilíndrico e adotando-se p 5 3, o valor de d é:
a) 10
6
 cb) 11
6
c) 12
6
d) 13
6
 
e) 14
6
4. (UFMG) Um funil é formado por um tronco de cone e um 
cilindro circular retos, como representado na figura abaixo
E
H
g
h
M
r
R
Sabe-se que g 5 8 cm, R 5 5 cm, r 5 1 cm e h 5 4 3 cm.
Considerando essas informações,
a) Calcule o volume do tronco de cone, ou seja, do 
corpo do funil.
b) Calcule o volume total do funil.
c) Suponha que o funil, inicialmente vazio, começa a 
receber água a 127 ml/s. Sabendo que a vazão do 
funil é de 42 ml/s, calcule quantos segundos são ne-
cessários para que o funil fique cheio. 
Respostas:
a) 124 3
3
p cm3 b) 136 3
3
p cm3 c) 2,9 s
16
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aulas 5 e 6
Inscrição e circunscrição de sólidos (1)
Objetivos
Apresentar as relações de inscrição (e circunscrição)envolvendo 
prisma e cilindro, octaedro e cubo, e cilindro e cone. 
Encaminhamento
As aulas 5 a 8 concluem, no Ensino Médio, o estudo da Geo-
metria métrica do espaço e são uma oportunidade de retomar os 
principais conceitos do curso. 
Nas aulas 1 a 4 foram revisadas as pirâmides e os cones; assim, 
após apresentar a noção de inscrição de sólidos, retome prismas 
e cilindros e explique o que é um octaedro regular. Em seguida, 
apresente exemplos e construa com eles as relações existentes. 
Um cuidado especial deve ser tomado com cilindro inscrito em 
cone. Nesse caso, mostre as semelhanças de triângulo que podem 
ser construídas entre os raios das bases e as alturas destes sólidos. 
Dê algum tempo para que os alunos resolvam os exercícios 
antes de corrigi-los.
Caso tenha tempo disponível, utilize os exercícios da seção a 
seguir.
Sugestão de exercícios extras
1. (Imed-RS) Um reservatório de água tem o formato de 
um cilindro reto de volume igual a 54p m³. Supondo que 
esse cilindro está inscrito em um cubo de aresta igual ao 
dobro do raio, o volume desse cubo, em m³, é igual a:
a) 108.
b) 144.
 cc) 216.
d) 225.
e) 343.
2. (Mack-SP) A razão entre os volumes dos cilindros inscrito 
e circunscrito num prisma triangular regular é:
a) 1
2
 cb) 1
4
c) 1
8
d) 1
3
e) 2
3
3. (Uerj) Um cilindro circular reto é inscrito em um cone, de 
modo que os eixos desses dois sólidos sejam colineares, 
conforme representado na ilustração abaixo. A altura 
do cone e o diâmetro da sua base medem, cada um, 
12 cm. Admita que as medidas, em centímetros, da 
altura e do raio do cilindro variem no intervalo ]0, 12[ de 
modo que ele permaneça inscrito nesse cone. Calcule 
a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua 
área lateral seja máxima.
Resposta: 6 cm
4. (Ufscar-SP) A figura mostra um prisma retangular reto de 
base quadrada com um cilindro circular reto inscrito no 
prisma. O lado da base do prisma mede 4 dm e a altura 
é dada por h(x) 5 x³ 2 5x² 1 8x dm, com x . 0.
h(x)
4
4
a) Calcule o volume do prisma para x 5 3 dm.
b) Para x 5 1 dm o volume do cilindro inscrito é 16p dm³. 
Encontre os outros valores de x para os quais isto 
acontece. 
Respostas:
a) 96 dm³
b) 2 dm
aulas 7 e 8
Inscrição e circunscrição de sólidos (2)
Objetivos
Apresentar as relações de inscrição (e circunscrição) envolvendo 
esferas e outros sólidos.
Encaminhamento
Como estas aulas finalizam o estudo da Geometria neste Ca-
derno (as aulas 9 a 12 são sobre Estatística), é conveniente resolver 
eventuais dúvidas sobre aulas anteriores, especialmente sobre as 
17
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aulas 5 e 6. Isso também serve para introduzir o tema desta aula, 
pois o assunto é o mesmo, mudando apenas o fato de que um dos 
sólidos envolvidos será uma esfera.
Por este motivo o percurso é similar ao das aulas 5 e 6, ou seja, 
retome os resultados principais sobre esferas e construa com os 
alunos as relações existentes envolvendo inscrição com esferas e 
cubos, esfera e cilindros e esfera e cones. 
Também tenha um cuidado especial com esfera inscrita em 
cone. Sugerimos que a relação de semelhança de triângulos seja 
feita com os alunos antes dos exercícios.
Disponibilize algum tempo para que os alunos trabalhem com 
os exercícios antes de corrigi-los.
Caso tenha tempo disponível, utilize os exercícios da seção a seguir.
Sugestão de exercícios extras
1. (PUC-PR) A área total de um octaedro regular inscrito 
numa esfera de área 36p cm² é:
a) 18 3 cm2
b) 24 3 cm2
 cc) 36 3 cm2
d) 48 3 cm2
e) 54 3 cm2
2. (Fuvest-SP) Um cubo de aresta m está inscrito em uma 
semiesfera de raio R de tal modo que os vértices de 
uma das faces pertencem ao plano equatorial da 
semiesfera e os demais vértices pertencem à superfície 
da semiesfera. Então, m é igual a
 ca) R 2
3
b) R 2
2
c) R 3
3
d) R
e) R 3
2
3. (UFRN) Um artista esculpiu a metade de uma esfera de 
pedra-sabão, transformando-a num cone, ilustrado na 
figura a seguir.
Supondo que a esfera tem raio R e a altura do cone 
esculpido também é R, calcule:
a) o volume do cone esculpido;
b) o volume do material retirado da metade da esfera 
para formar o cone.
Respostas:
a) R
3
3
p
b) R
3
3
p
4. (UFMG) Dois cones circulares retos de mesma base estão 
inscritos numa mesma esfera de volume 36p. A razão 
entre os volumes desses cones é 2. A medida do raio 
da base comum dos cones é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 2
 ce) 2 2
aulas 9 e 10
Estatística: medidas 
de tendência central
Objetivos
Retomar e praticar os conceitos de média, moda e mediana.
Encaminhamento
Inicie a aula relembrando com os alunos os conceitos iniciais de 
Estatística; fale sobre população, amostra e rol.
Justifique a importância das medidas de tendência central, 
usando como base as notas de provas e avaliações dos alunos. Em 
seguida, apresente os conceitos de média, moda e mediana.
aulas 11 e 12
Estatística: medidas de dispersão
Objetivos
Apresentar os conceitos de desvio médio, variância e desvio 
padrão.
Encaminhamento
Inicie a aula mostrando uma situação de dois alunos com mesma 
média em quatro provas, mas um bem regular e o outro não. Utilize 
valores que sejam práticos para realizarem as contas. Com base nesse 
exemplo, pergunte a eles qual dos alunos foi o mais regular.
A partir da discussão sobre regularidade, conceitue medidas de 
dispersão e apresente os três conceitos da aula.
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Atividades Interdisciplinares
Proposta pedagógica e objetivos gerais
Esta atividade tem como eixo uma reflexão geopolítica sobre a Segunda Guerra Mundial e analisa com mais especificidade as questões 
relativas à tecnologia de guerra e à Física implícitas na força submarina alemã do período. 
Inicialmente, recomenda-se que o professor de História contextualize a importância estratégica do Atlântico diante da evolução da 
guerra: a reconquista da Europa pelos Aliados ocidentais era vista como prioritária, envolvendo até o slogan Europe first!, utilizado pelos 
estrategistas e pela imprensa norte-americana após os ataques a Pearl Harbor.
A prioridade europeia ganhou cada vez mais relevância diante do crescimento do poder soviético durante a guerra, notadamente 
após Stalingrado. Nesse sentido, já se configurava o enfrentamento que seria característico do mundo pós-guerra: a Guerra Fria.
O plano de reconquista da Europa tinha como ponto de partida a Inglaterra, e, para isso, era fundamental a manutenção de uma 
rota segura com o continente americano. Daí a importância essencial da guerra antissubmarina contra os alemães. Nas palavras do 
historiador inglês Paul Kennedy:
Em janeiro de 1943, Churchill, Roosevelt e os chefes de Estado-maior reuniram-se em Casablanca para decidir o futuro 
da guerra, e foi a partir daqueles intensos debates que as diretrizes tanto políticas quanto operacionais emergiram para con-
solidar a grande estratégia anglo-americana. Em termos políticos, o inimigo deveria oferecer rendição incondicional. Com a 
Alemanha sendo reconhecida como a mais poderosa inimiga, a vitória na Europa significaria a primeira etapa na exigência 
das forças aliadas [...]. De maneira mais imediata, os navios ocidentais, as forças aéreas e os exércitos teriam que calcular 
como efetuar a tripla missão operacional: (1) ganhar o controle das rotas marítimas do Atlântico, para que os comboios rumo 
à Grã-Bretanha pudessem chegar com segurança a seu destino; (2) conquistar o domínio aéreo de todo o centro-oeste da 
Europa [...]; (3) forçar a passagem através das praias sob domínio do Eixo, levando a luta até o coração da Europa.
KENNEDY, Paul. Engenheiros da vitória. São Paulo: Companhia das Letras, 2014. p.16-17. Adaptado.
Para o componente disciplinar Física é conveniente lembrar que a guerra antissubmarina foi essencialmente tecnológica, por isso, 
vale destacar o impacto das novas tecnologias no campo de batalha desde a Primeira Guerra Mundial – quando ossubmarinos foram 
utilizados operacionalmente pela primeira vez. A atividade proposta explora as características e o desempenho dos submarinos enquanto 
submersos, e deve ser trabalhada por um professor da disciplina. A dinâmica desses veículos depende do princípio de Arquimedes e do 
teorema de Stevin; trata-se, então, de uma boa oportunidade para recordar os conceitos de empuxo e de pressão hidrostática. É pelo 
controle do empuxo, admitindo ou exaurindo a água nos tanques de lastro, que a movimentação vertical da embarcação é controlada.
Na segunda parte da atividade, preferencialmente sob condução do professor de História, é importante observar as mudanças trazi-
das pela guerra, não apenas com a criação dos dois blocos, capitalista e socialista, mas também com as mudanças no sistema capitalista 
promovidas pelo New Deal. Para muitos, o fim da guerra era a oportunidade de criar um “New Deal mundial”, e o Plano Marshall parecia 
indicar essa possibilidade. O crescimento econômico nos países capitalistas e a existência de uma alternativa socialista levaram a uma 
generalização das práticas de distribuição de renda nos países capitalistas avançados. O capitalismo parecia evoluir para um regime mais 
justo, descartando a alternativa da revolução como forma de mudança. A nova situação gerou um questionamento nos movimentos e 
partidos de esquerda desses países, conforme proposto na atividade de História.
Uma reflexão sobre os conceitos de mudança e progresso (e, indiretamente, evolução e revolução) está presente na proposta de 
redação, que fecha esta atividade. 
A proposta de dissertação destaca uma afirmação de Bertrand Russell: “A mudança é inevitável, mas o progresso é uma questão 
controversa” –, que distingue mudança e progresso, dois sentidos que, conforme se afirma na própria coletânea, estão usualmente 
associados à palavra “evolução”. 
Aos alunos cabe enfrentar a controvérsia: as mudanças que se verificam na natureza e, de modo especial, na história humana repre-
sentam necessariamente um progresso? Espera-se que a leitura atenta da coletânea, bem como o conjunto da atividade interdisciplinar, 
levem os alunos a apreender os diversos dados e argumentos que podem ser considerados, dependendo do ponto de vista que decidam 
assumir. 
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Respostas – Caderno de Exercícios 5
1. A
2. B
3. E
4. A
5. A
6. A
7. C
8. D
9. A
10. D
11. A
12. D
13. D
14. B
15. C
16. B
17. D
18. E
19. A
20. D
21. D
22. C
23. A
24. D
25. C
26. A
27. B
28. B
29. C
30. D
31. B
32. D
33. A
34. B
35. D
36. D
37. A
38. B
39. B
40. B
capítulo 2
Invertendo funções
1. E
2. A
3. A
4. E
5. A
6. A
7. D
8. D
9. C
10. D
11. E
12. E
13. A
14. B
15. B
16. D
17. C
18. C
19. C
20. C
21. B
22. E
23. C
24. A
25. C
capítulo 1
Compondo funções
Unidade 15
Funções – Complementos
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26. A
27. A
28. C
29. C
30. D
31. A
32. E
33. E
34. B
35. D
36. C
37. B
38. A
39. A
40. E
41. E
42. E
43. D
44. B
45. C
46. A
47. C
48. D
49. A
50. A
51. D
52. E
53. A
54. A
55. C
Unidade 16
Números complexos – Complemento
capítulo 1
Números complexos na forma trigonométrica
1. A
2. D
3. C
4. A
5. B
6. A
7. B
8. A
9. B
10. B
11. A
12. E
13. D
14. D
15. B
16. C
17. B
18. E
19. D
20. B
21. A
22. A
23. B
24. E
25. A
26. E
27. D
28. A
29. A
30. D
31. C
32. E
33. B
34. C
35. A
36. B
37. C
38. A
39. D
40. A
41. B
42. D
43. A
44. A
45. A
46. B
47. E
48. A
49. B
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50. B
51. A
52. D
53. A
54. B
55. E
56. A
57. B
58. C
59. C
60. C
61. E
62. C
63. D
64. C
65. B
66. A
67. D
68. C
69. D
70. A
71. E
72. B
73. D
74. D
75. B
76. A
77. C
78. D
79. D
80. E
Unidade 17
Teoria dos números e lógica matemática
capítulo 1
Teoria dos números
1. C
2. D
3. D
4. D
5. D
6. A
7. D
8. A
9. B
10. E
11. D
12. A
13. B
14. A
15. C
16. D
17. C
18. B
19. E
20. A
21. B
22. C
23. A
24. C
25. E
26. D
27. A
28. D
29. A
30. B
31. A
32. C
33. D
34. D
35. E
36. B
37. B
38. C
39. C
40. E
41. B
42. B
43. C
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44. C
45. A
46. C
47. D
48. B
49. D
50. E
51. B
capítulo 2
Introdução à lógica matemática
1. D
2. C
3. D
4. B
5. D
6. D
7. B
8. C
9. C
10. A
11. E
12. D
13. E
14. C
15. B
16. A
17. C
18. E
19. E
20. C
21. C
22. E
23. E
24. C
25. D
26. C
27. E
28. C
29. A
30. B
31. A
32. C
33. A
34. D
35. A
36. D
37. C
38. B
39. C
40. C
41. D
42. A
43. B
44. D
45. B
46. D
47. E
Unidade 18
Posições, formas e medidas no espaço – 
Complementos
capítulo 1
Troncos
1. C
2. A
3. C
4. A
5. E
6. A
7. E
8. D
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9. E
10. C
11. E
12. a) 36 cm2
 b) 228 cm3
13. B
14. E
15. A
16. D
17. C
18. B
19. A
20. B
21. a) 3:5:7
 b) 
3 5  1
22
1
22. E
23. C
24. D
25. D
26. C
27.  V
h
3
R Rr r2 25 p 1 1 2 
4 r
3
e
3
p
 e h 5 8,25 cm.
Sendo r
e
 o raio da esfera.
28. E 
29. a) 
21
4
 m3
 b) 2 m
30. a) y 5 
9
4
 dm
 b) h 5 
83
8
 dm
31. 9
32. 
7
3
cap’tulo 2
Inscrição e circunscrição de sólidos
1. E
2. D
3. C
4. D
5. 34 cm
6. A
7. 
a
3
8. B
9. B
10. E
11. B
12. 517,5 cm3
13. D
14. 
1
4
15. D
16. C
17. E
18. A
19. a) 8 u.c.
 b) 66p u.a. 
 c) ( )

2 r r 2 25 r
2
p 1 2 u.a. 
20. C
21. E
22. E
23. B
24. 38%
25. A
26. C
27. C
28. D
29. a) 32
3
p m3.
 b) 16p m3.
 c) 8
3
 m.
30. D
31. C
32. r
2
p
33. B
34. D
35. C
36. a) 9 6
2
 u.v.
 b) 6 u.c.
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Unidade 19
Geometria analítica – Complemento
capítulo 1
Cônicas
1. A
2. C
3. E
4. C
5. D
6. E
7. A
8. C
9. C
10. C
11. B
12. a) 
x
y
0 10
10
20
30
40
50
60
70
80
20 30 40 50 60 70 80
 b) 40 
 c) (16, 40)
13. y 5 x e y 5 2x
14. C
15. B
16. A
17. C
18. D
19. C
20. B
21. B
22. C
23. A
24. A
25. A
26. 











x
10
3
y 8
3
2
2
2
2 1 5
27. B
28. a) =d(P, S ) 11 ; d(P, S )1 5 13
 b) Para y > 2: y 5 x ou y 5 2x; para y , 2: y x
4
1
2
5 1 .
29. E
30. D
31. A
32. Figura 1: 
( ) ( )x 5
25
y 4
9
1
2 2
2
1
2
5
Figura 2: 
( ) ( )x 4
4
y 4
9
1
2 2
2
1
2
5
Figura 3: 
x
36
y
4
1
2 2
1 5
Figura 4: 
x
4
y
16
1
2 2
1 5
33. B
34. A
35. C
36. C
37. E
38. C
39. E
40. C
41. E
42. B
43. A
44. C
45. Figura 1: 
( ) ( )x 4
9
y 3
16
1
2 2
2
2
2
5
Figura 2: 
( ) ( )y 4
1
x 2
8
1
2 2
2
2
1
5
Figura 3: x
9
y
7
1
2 2
2 5
Figura 4: 
y
1
x
3
1
2 2
2 5
46. B
47. B 
48. E 
49. B
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 E
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s
50. C
51. E
52. 10
53. C
54. (21, 0) e (1, 0)
55. A
56. a) 2 2
 b) hipérbole
57. B
58. Figura 1: (x 1 4)2 5 4(y 2 4)
Figura 2: (x 2 3)2 5 24(y 2 3)
Figura 3: (y 2 1)2 5 6(x 1 0,5)
Figura 4: y2 5 24x
59. A
60. B
61. (y 2 2)2 5 8(x 2 2)
62. x 5 1
63. A
64. ⇒ ⇒(y 2) 4(0 2) y 2 8 y 2(1 2).p
2
p p2 5 1 2 5 5 1 
65. A
66. A
67. C
68. 



0, 
1
4
69. B
70. B
71. A
72. (22, 22) e (2, 2)
73. a) (1, 2) e (4, 8);
 b) m 5 27 ou m 5 1
74. 0,2
75. A
76. B
77. D
78. E
79. A
80. A
81. A
82. D
83. E
84. D
Unidade 20
Estatística – Complementos
capítulo 1
Retomando medidas de tendência central
1. D
2. A
3. D
4. C
5. D
6. A
7. A
8. D
9. D
10. B11. A
12. E
13. B
14. A
15. B
capítulo 2
Medidas de dispersão
1. C
2. C
3. D
4. C
5. A
6. D
7. D
8. B
9. A
10. E
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prof.:
aula 1
aula 8
P. 100
P. 111
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 2
aula 9
P. 102
P. 112
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 3
aula 10
P. 102
P. 112
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 4
aula 11
P. 104
P. 115
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 5
P. 104
 AD TM TC 
aula 12
P. 117
 AD TM TC 
aula 13
P. 117
 AD TM TC 
aula 14
P. 121
 AD TM TC 
aula 15
P. 123
 AD TM TC 
aula 16
P. 123
 AD TM TC 
aula 17
P. 125
 AD TM TC 
aula 18
P. 125
 AD TM TC 
aula 6
P. 108
 AD TM TC 
aula 7
P. 108
 AD TM TC 
Índice-controle 
deestudo
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)Matemática Setor A
V
C
H
A
L
/S
H
U
T
T
E
R
S
T
O
C
K
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aula 1
Enem: Conhecimentos algébricos
Funções: uma retomada
em classe
100
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
nesta aula
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função de A em 
B é um conjunto f de pares ordenados (x, y), com as seguintes 
condições:
A
B
I
m
f
• todos os pares (x, y) do conjunto f são tais que x pertence a 
A e y pertence a B;
• para cada elemento x de A, corresponde um único par (x, y) 
em f.
O conjunto A é o domínio de f, e o conjunto B é o contrado-
mínio de f. Usamos a notação f: A → B (leia-se f de A em B).
Sendo f uma função de A em B, chamamos conjunto imagem 
de f, ou, simplesmente, imagem de f, o subconjunto de B formado 
por todos os segundos elementos y dos pares (x, y) que pertencem 
à função f.
Consideremos, como exemplo, a função f: R 2 {2} → R, em 
que os pares (x, y) são tais que y 5 1 1 1
(x 2)22
. Alguns dos 
pares ordenados que pertencem a essa função são 


0,
5
4
, (1, 2) e 
(3, 2). Usando a notação f(x), temos f(0) 5 
5
4
, f(1) 5 2 e f(3) 5 2, e 
o conjunto imagem de f é {y [ R | y . 1}.
1. Dado que f(x) 5 x2 2 x 2 c, em que c é uma constante 
tal que f(4) 5 0, obtenha o valor numérico de f(24).
f(4) 5 0
42 2 4 2 c 5 0
12 2 c 5 0 ∴ c 5 12
f(x) 5 x2 2 x 2 12
f(24) 5 (24)2 2 (24) 2 12
f(24) 5 8
2. Considere a função real de variável real dada por 
y 5 f(x) 5 2x 1
x 5
2
2
. Obtenha:
a) o domínio de f;
y [ R ⇔ x 2 5 Þ 0 ∴ x Þ 5
D
f
 5 {x [ R | x Þ 5}
b) uma expressão que fornece x em função de y;
De y 5 2x 1
x 5
2
2
, com x Þ 5, temos:
(x 2 5)y 5 2x 2 1
xy 2 5y 5 2x 2 1
xy 2 2x 5 5y 2 1
x(y 2 2) 5 5y 2 1 (*)
Com y 2 2 Þ 0, ou seja, y Þ 2, temos x
5y 1
y 2
5
2
2
.
Observe que em (*), com y 5 2, temos o absurdo 0 5 9.
c) o conjunto imagem de f.
Do item anterior, podemos concluir que para todo y, y Þ 2, existe 
x, tal que f(x) 5 y.
O conjunto imagem de f é dado por I
f
 5 {y [ R | y Þ 2}.
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ti
c
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3. (Enem) Uma cisterna de 6 000 L foi esvaziada em um período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma bom-
ba, mas nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de esvaziamento, outra bomba foi ligada junto com a 
primeira. O gráfico, formado por dois segmentos de reta, mostra o volume de água presente na cisterna, em função 
do tempo.
Tempo (h)31
5
 
000
6
 
000
Volume (L)
A
B
C
0
Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora?
a) 1 000
b) 1 250
 c c) 1 500
d) 2 000
e) 2 500
No intervalo [0, 1], o volume diminuiu 1 000 litros (de 6 000 L a 5 000 L). Portanto, na primeira hora, a vazão foi de 1 000 L/h.
No intervalo [1, 3], o volume diminuiu 5 000 litros (de 5 000 L a 0 L). Portanto, nesse intervalo de duas horas, a vazão foi de 
5000
2
 L/h, ou seja, 
2 500 L/h. Houve um aumento de 1 500 L/h.
Logo, a bomba que foi ligada no início da segunda hora tem uma vazão de 1 500 L/h.
H22
em casa
Consulte:
Livro-texto 5 – Unidade 15
Caderno de Exercícios 5 – Unidade 15
Tarefa Mínima
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 1 a 3, cap. 1.
Tarefa Complementar
• Leia o item 1, cap. 1.
• Faça os exercícios 4 a 7, cap. 1.
• Faça os exercícios 1 e 2 da seção Rumo ao Enem.
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102
em classe
Dadas duas funções f: A → B e g: B → C, dizemos que g 8 f: A → C é a função composta de g com f se, e somente se, 
(g 8 f)(x) 5 g(f(x)), para todo elemento x de A.
Exemplo:
Consideremos as funções reais de variáveis reais dadas por f(x) 5 x 1 1, g(x) 5 x2, e a composta g 8 f.
x
x
3
x 1 1
4
(x 1 1)2
16
f(x)
f g
g 
8
 f
g(f(x))
(g 8 f)(x) 5 g(f(x)) 5 [f(x)]
2 5 (x 1 1)2
• f(3) 5 3 1 1 5 4
• g(4) 5 42 5 16
• g(f(3)) 5 g(4) 5 16
aulas 2 e 3
Enem: Conhecimentos algébricos
Funções: composição
nestas aulas
1. Responda os itens a seguir:
a) A função dada por u
C
 5 5
9
 ? (u
F
 2 32) pode ser usada para transformar graus Fahrenheit em graus Celsius. A fun-
ção dada por u
K
 5 u
C
 1 273 permite a transformação da escala Celsius para a escala Kelvin. Obtenha a função 
composta dessas duas que permite converter graus Fahrenheit em Kelvin.
De u
K
 5 u
C
 1 273 e u
C
 5 5
9
 ? (u
F
 2 32), temos u
K
 5 5
9
 ? (u
F
 2 32) 1 273. 
b) Dado que f(x) 5 5
9
 ? (x 2 32) e g(x) 5 x 1 273, obtenha (g 8 f)(x).
(g 8 f)(x) 5 g(f(x))
g(...) 5 ... 1 273
g(f(x)) 5 f(x) 1 273
g(f(x)) 5 5
9
 ? (x 2 32) 1 273
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2. O gráfico a seguir foi encontrado numa página da internet 
e descreve, em reais (BRL), a evolução do valor do dólar 
americano (USD) em função do tempo no dia 12/12/2016.
09h 10h 11h 12h 13h 14h 15h 16h 17h
3,33
3,34
3,35
3,36
3,37
3,38
3,39
3,40
3,41
Disponível em: <http://economia.uol.com.br/cotacoes/ 
cambio/dolar-comercial-estados-unidos/>. Acesso em: 12 dez. 2016.
Na mesma página em que encontramos o gráfico, havia 
também uma calculadora conversora de moedas que 
informava o valor do peso argentino (ARS) em função 
do dólar americano, às 14 horas desse mesmo dia.
Conversor de moedas >
>
Argentina – Peso
Resultado: 0,06
>
Estados Unidos – Dólar Americano
1 Converter
H20
Qual era o valor aproximado, em reais, de 1 peso argen-
tino, às 14 horas desse dia?
a) R$ 0,12
 c b) R$ 0,20
c) R$ 0,30
d) R$ 1,20
e) R$ 2,00
Do peso para o dólar e do dólar para o real, temos:
1 ? 0,06 ? 3,35 5 0,201
3. Dado que f(x) 5 2x 1 3, obtenha (f 8 f)(x).
(f 8 f)(x) 5 f(f(x))
Temos f(x) 5 2x 1 3 e f(...) 5 2(...) 1 3
f(f(x)) 5 2f(x) 1 3
f(f(x)) 5 2(2x 1 3) 1 3
∴ (f 8 f)(x) 5 4x 1 9
4. Dado que f(x) 5 2x 1 3 e f(g(x)) 5 4x2 1 11, obtenha 
g(f(x)).
f(g(x)) 5 2g(x) 1 3
De f(g(x)) 5 2g(x) 1 3 e f(g(x)) 5 4x2 1 11, temos:
2g(x) 1 3 5 4x2 1 11
2g(x) 5 4x2 1 8 ⇒ g(x) 5 2x2 1 4
Logo,
g(f(x)) 5 2[f(x)]2 1 4
g(f(x)) 5 2(2x 1 3)2 1 4
∴ g(f(x)) 5 8x2 1 24x 1 22
em casa
Consulte:
Livro-texto 5 – Unidade 15
Caderno de Exercícios 5 – Unidade 15
Tarefa Mínima
Aula 2
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 8 a 10, cap. 1.
Aula 3
• Faça os exercícios 13 a 17, cap. 1.
Tarefa Complementar
Aula 2
• Leia o item 2, cap. 1.
• Faça os exercícios 11 e 12, cap. 1.
Aula 3
• Faça os exercícios 18 a 22, cap. 1.
• Faça o exercício 3 da seção Rumo ao Enem.
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1. Translações verticais
Neste item, como nos próximos, k representa uma constante 
positiva.
• Se, na equação y 5 f(x), substituirmos y por y 2 k, teremos 
y 2 k 5 f(x), ou seja, y 5 f(x) 1 k. Obtemos a curva y 5 f(x) 1 k 
transladando a curva y 5 f(x) em k unidades para cima. 
• Se, na equação y 5 f(x), substituirmos y por y 1 k, teremos 
y 1 k 5 f(x), ou seja, y 5 f(x) 2 k. Obtemos a curva y 5 f(x) 2 k 
transladando a curva y 5 f(x) em k unidades para baixo. 
Exemplo:
x
y
0
0
21
1
2
3
4
5
y 5 x2 1 1
y 5 x2
y5 x2 2 1
212223 321
2. Translações horizontais
• Se, na equação y 5 f(x), substituirmos x por x 2 k, teremos 
y 5 f(x 2 k). Obtemos a curva y 5 f(x 2 k) transladando a 
curva y 5 f(x) em k unidades para a direita. 
• Se, na equação y 5 f(x), substituirmos x por x 1 k, teremos 
y 5 f(x 1 k). Obtemos a curva y 5 f(x 1 k) transladando a 
curva y 5 f(x) em k unidades para a esquerda. 
Exemplo:
x
y
0
0
21
1
2
3
4
5
y 5 (x 1 1)2
y 5 (x 2 1)2
y 5 x2
212223 321
3. Dilatação e contração vertical
Obtemos a curva y 5 k ? f(x) tomando, para cada ponto 
(a, b) da curva y 5 f(x), o ponto (a, kb). Assim, todas as ordenadas 
(y) serão multiplicadas por k. 
• Com k . 1, a curva será dilatada (alongada) verticalmente.
Exemplo:
x
y
0
0
21
1
2
y 5 2f(x)
y 5 f(x)
21 321
6
54 87
22
• Com 0 , k , 1, a curva será contraída (achatada) vertical-
mente.
aulas 4 e 5
Enem: Conhecimentos algébricos
Funções: construção de gráficos
nestas aulas
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em classe
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Exemplo:
x
y
0
0
21
1 y 5 f(x)
21
321
654
87
y 5 f(x)1
2
4. Dilatação e contração horizontal
Obtemos a curva y 5 f(k ? x) tomando, para cada ponto (a, b) da curva y 5 f(x), o ponto 


 

a
k
, b . Assim, todas as abscissas (x) são 
multiplicadas por 1
k
.
• Com k . 1, a curva será contraída (comprimida) horizontalmente.
Exemplo:
x
y
0
0
21
1
y 5 f(x)
y 5 f(2x)
2122 321
65
4
8
7
• Com 0 , k , 1, a curva será dilatada (esticada) horizontalmente.
Exemplo:
x
y
0
0
21
1
y 5 f(x)
21
321 654 8
7
y 5 f x
1
2 ))
1. Na figura a seguir, temos o gráfico da função f, que é dada pela equação y 5 
1
x
. Esboce na mesma figura as curvas 
dadas por y 5 
1
x
 1 1 e y 5 
1
1
x 1
.
x
y
0
0
21
1
2
3
4
5
212223
321 54
2425
22
y 5
1
x
y 5 1 1
1
x
y 5 1 1
1
x
y 5
1
x 1 1
y 5
1
x 1 1
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2. No plano cartesiano xOy, as curvas dadas por y 5 f(x), 
y 5 f(x 2 2) e y 5 f(x 2 4), com f(x) 5 x2, têm duas a duas 
um ponto em comum (A, B e C). O ponto D é dado pela 
intersecção da curva de equação y 5 f(x 2 2) com o 
eixo y.
x
y
0
0
A B
CD
A área, em unidades de área, do paralelogramo ABCD 
é igual a:
a) 5,0
b) 5,5
 c c) 6,0
d) 6,2
e) 6,4
As curvas são dadas pelas equações y 5 x2, y 5 (x 2 2)2 e y 5 (x 2 4)2.
A(1, 1) é dado por y 5 x2 e y 5 (x 2 2)2.
B(3, 1) é dado por y 5 (x 2 2)2 e y 5 (x 2 4)2.
C(2, 4) é dado por y 5 x2 e y 5 (x 2 4)2.
D(0, 4) é dado por y 5 (x 2 2)2.
AB 5 2 (base do paralelogramo)
y
D
 2 y
A
 5 3 (altura do paralelogramo)
Logo, a área do paralelogramo é 2 ? 3 5 6.
3. A intersecção dos gráficos das funções f e g, dadas por 
f(x) 5 |x| e g(x) 5 2 2 f(x 2 2), é o segmento de reta AB. 
Calcule a medida desse segmento.
x
y
A
B
y 5 2 2 |x 2 2|
y 5 |x|
Dado g(x) 5 2 2 |x 2 2|, pelo gráfico conseguimos identificar que 
o segmento começa na origem dos eixos. Resta agora determinar 
onde termina; para isso vamos igualar as duas equações e, com o 
auxílio do gráfico, podemos retirar os módulos:
g(x) 5 f(x)
2 2 |x 2 2| 5 |x|
2 2 x 1 2 5 x
2x 5 4 ∴ x 5 2
Os extremos do segmento são dados pelos pares (0, 0) e (2, 2). En-
tão o segmento AB mede 2 2 .
H20
4. (UPE) No sistema cartesiano representado a seguir, têm-
-se os gráficos das funções reais f e g.
x
y
3
0
f
g
Qual das igualdades representa uma relação entre as 
duas funções?
a) g(x) 5 f(x 1 3)
b) g(x 2 3) 5 f(x)
c) g(x) 5 f(2x 2 3)
d) g(2x) 5 f(2x 1 3)
 c e) g(3 2 x) 5 2f(x)
Note que g é uma função par; portanto, para qualquer t, g(t) 5 g(2t). 
Em particular, temos g(x 2 3) 5 g(3 2 x).
3
y 5 g(x 2 3)
y 5 f(x)
y 5 2f(x)
y 5 g(x)
x
y
Transladando a curva y 5 g(x) em 3 unidades para a direita, segue 
que g(x 2 3) 5 2f(x).
De g(x 2 3) 5 g(3 2 x), temos g(3 2 x) 5 2f(x). 
H20
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5. No gráfico a seguir, temos as parábolas de equações y 5 ax2, y 5 bx2 e y 5 cx2, sendo a, b e c constantes positivas.
x
y
0
0
y 5 ax2 y 5 cx2 y 5 bx2
212223 321 542425
21
2
3
4
5
6
1
Podemos afirmar que:
 c a) a , c , b
b) a , b , c
c) b , c , a
d) b , a , c
e) c , b , a
Considerando em cada curva o ponto de abscissa 1, temos os pontos (1, a), (1, c) e (1, b).
Podemos concluir daí que a , c , b.
em casa
Consulte:
Livro-texto 5 – Unidade 15
Caderno de Exercícios 5 – Unidade 15
Tarefa Mínima
Aula 4
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 23 e 24, cap. 1.
Aula 5
• Faça os exercícios 27 e 28, cap. 1.
Tarefa Complementar
Aula 4
• Leia o item 3, cap. 1.
• Faça os exercícios 25 e 26, cap. 1.
Aula 5
• Faça os exercícios 29 a 32, cap. 1.
• Faça os exercícios 4 a 6 da seção Rumo ao Enem.
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Im 5 {e, g}
Caso 2Caso 1
a
f
b
e
BA
g
h
Im 5 {e, g}
a
f
b
e
BA
g
hc
d
b
ea
g
x f(x)
b
ea
e
d
ec
g
x f(x)
Caso 3 Caso 4
Im 5 {e, g, h}
a
f
b
e
BA
g
hc
d
b
ea
g
d
hc
h
x f(x)
b
ea
g
hc
x f(x)
Im 5 {e, g, h}
a
f
b
e
BA
g
hc
f: A → B é uma função injetora se, e somente se, quaisquer dois elementos distintos de A têm imagens distintas em B. Isto 
é, sendo x
1
 e x
2
 elementos de A, temos x
1
 Þ x
2
 ⇒ f(x
1
) Þ f(x
2
). Em outras palavras, não há elementos distintos de A com a mesma 
imagem em B. Também são usados os termos função injetiva e injeção.
Os casos 2 e 4 acima são exemplos de funções injetoras.
f: A → B é uma função sobrejetora se, e somente se, B é o conjunto imagem de f. Em outras palavras, todo elemento de B é 
imagem de pelo menos um elemento de A. Também são usados os termos função sobrejetiva e sobrejeção.
Os casos 3 e 4 acima são exemplos de funções sobrejetoras.
f: A → B é uma função bijetora se, e somente se, ela é uma função injetora e sobrejetora. Também são usados os termos 
função bijetiva e bijeção.
O caso 4 é um exemplo de uma função bijetora.
O caso 1 é um exemplo de uma função que não é injetora nem sobrejetora.
aulas 6 e 7
Enem: Conhecimentos algébricos
Funções: injeção, sobrejeção e bijeção
nestas aulas
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em classe
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c
a
1. Em cada caso, classifique a função f com (4) se ela for 
bijetora, com (3) se ela for sobrejetora e não injetora, 
com (2) se ela for injetora e não sobrejetora e com (1) 
se ela não for injetora nem sobrejetora. Justifique cada 
um dos casos.
a) ( 1 ) f: R → R, f(x) 5 x2
b) ( 4 ) f: R → R, f(x) 5 x3
c) ( 2 ) f: N → N, f(x) 5 x3
d) ( 3 ) f: R → R
1
, f(x) 5 x2
e) ( 4 ) f: R
1
 → R
1
, f(x) 5 x2
a) f: R → R, f(x) 5 x2
f não é sobrejetora, pois seu conjunto imagem é R
1
, e não R.
f não é injetora, pois existem elementos distintos em R com a 
mesma imagem, por exemplo: 1 e 21.
Temos f(21) 5 f(1) 5 1.
b) f: R → R, f(x) 5 x3
f é sobrejetora, pois seu conjunto imagem é R; para todo número 
real y, existe um número real x, tal que x3 5 y.
f é injetora, pois não existem elementos distintos em R com a 
mesma imagem; sendo x
1
 Þ x
2
, temos, em R, x
1
3 Þ x
2
3.
Logo, f é uma função bijetora.
c) f: N → N, f(x) 5 x3
f não é sobrejetora, pois seu conjunto imagem é 
{0, 1, 8, 27, ..., n3, ...}, e não N.
f é injetora, pois não existem elementos distintos em N com a 
mesma imagem; sendo x
1
 Þ x
2
, temos, em N, x
1
3 Þ x
2
3.
d) f: R → R
1
, f(x) 5 x2
f é sobrejetora, pois seu conjunto imagem é R
1
.
f não é injetora, pois existem elementos distintos em R com a 
mesma imagem, por exemplo: 1 e 21. Temos f(21) 5 f(1) 5 1.
e) f: R
1
 → R
1
, f(x) 5 x2
f é sobrejetora, pois seu conjunto imagem é R
1
; para todo número 
real y, y > 0, existe um número real x, x > 0, tal que x2 5 y.
f é injetora, pois não existem elementos distintos em R
1
 com a 
mesma imagem; sendo x
1
 > 0, x
2
 > 0e x
1
 Þ x
2
, temos x
1
2 Þ x
2
2.
Logo, f é uma função bijetora.
2. Obtenha o conjunto M, dado que f: R → M, f(x) 5 x2 2 2x 1 
1 3 é uma função sobrejetora.
A parábola de equação y 5 ax2 1 bx 1 c tem vértice V b
2a
,
4a
2 2D


 .
A parábola de equação y 5 x2 2 2x 1 3 tem vértice V(1, 2).
x
y
0
0
V
21 1 2 3
2
3
4
1
f é sobrejetora se, e somente se, seu contradomínio é igual a seu 
conjunto imagem.
Resposta: M 5 {y [ R | y > 2}.
3. Obtenha as constantes a e b, de modo que 
f: R 2 {a} → R 2 {b}, f(x) 5 3x 1
x 7
2
2
.
Com x [ R, temos 3x 1
x 7
2
2
 [ R ⇔ x Þ 7.
O domínio é R 2 {7}, com isso a 5 7.
De y 5 3x 1
x 7
2
2
, temos:
y(x 2 7) 5 3x 2 1
xy 2 7y 5 3x 2 1
xy 2 3x 5 7y 2 1
x(y 2 3) 5 7y 2 1
Com y 5 3, temos x ? 0 5 20; não existe x que valide essa igualdade.
Com y Þ 3, temos x 5 
7y 1
y 3
2
2
.
Portanto, o conjunto imagem é R 2 {3}, logo b 5 3.
Resposta: a 5 7 e b 5 3.
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4. Considere uma semirreta (s) com origem no ponto O e um segmento de reta AB de medida 1. Seja f uma fun-
ção cujo domínio é (s) e o contradomínio é AB e que associa a cada ponto P de (s) um ponto Q de AB , 
tal que AQ 5 1
1 OP1
. No caso em que P ; O, temos Q ; B.
f(P) 5 Q
Q BA
1
d
O P
(s)
1
1 1 d
Podemos concluir que:
a) o ponto A pertence ao conjunto imagem de f.
b) o ponto B não pertence ao conjunto imagem de f.
c) existem em (s) dois pontos distintos P
1
 e P
2
, tais que f(P
1
) 5 f(P
2
).
 c d) f é injetora.
e) f é sobrejetora.
• O ponto A não pertence ao conjunto imagem de f, pois 1
1 OP1
 Þ 0, para todo P, P [ (s).
• Sendo P
1
 Þ P
2
, temos OP
1
 Þ OP
2
 e, consequentemente, 
1
1 OP
1
1
 Þ 1
1 OP
2
1
, ou seja, f(P
1
) 5 f(P
2
); logo, a função é injetora.
H22
em casa
Consulte:
Livro-texto 5 – Unidade 15
Caderno de Exercícios 5 – Unidade 15
Tarefa Mínima
Aula 6
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 1 a 3, cap. 2.
Aula 7
• Faça os exercícios 8 a 10, cap. 2.
Tarefa Complementar
Aula 6
• Leia os itens 1 e 2, cap. 2.
• Faça os exercícios 4 a 7, cap. 2.
Aula 7
• Faça os exercícios 11 a 14, cap. 2.
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em classe
111
M
a
te
m
‡
ti
c
a
Definições
• f: A → B é uma função injetora se, e somente se, quaisquer dois elementos distintos de A têm imagens distintas em B. Isto é, sendo 
x
1
 e x
2
 elementos de A, temos x
1
 Þ x
2
 ⇒ f(x
1
) Þ f(x
2
). 
• f: A → B é uma função sobrejetora se, e somente se, B é o conjunto imagem de f. 
• f: A → B é uma função bijetora se, e somente se, ela é uma função injetora e sobrejetora. 
aula 8
Enem: Conhecimentos algébricos
Funções: exercícios
nesta aula
1. Sejam A 5 {1, 2, 3, 4, 5} e B 5 {1, 2, 3, 4}. Sendo f: A → B 
uma função, podemos afirmar corretamente que:
a) f(1) 5 1.
b) f é sobrejetora.
 c c) f não é injetora.
d) f pode ser bijetora.
e) f(x) < x.
Se f fosse injetora, então todos os elementos distintos de A seriam 
associados a elementos distintos de B. Nesse caso, como A tem 
5 elementos, B deveria ter, no mínimo, 5 elementos. Como B tem 
apenas 4 elementos, podemos concluir que f não é injetora.
Observação: Sejam A e B dois conjuntos finitos e sejam n(A) e n(B), 
nessa ordem, o número de elementos de A e o número de elemen-
tos de B. Se n(A) . n(B), então não existe uma função injetora de 
A em B. Em outras palavras, se f é uma função de A em B, então 
haverá elementos distintos de A com a mesma imagem em B; exis-
tirão x
1
 e x
2
 em A, tais que x
1
 Þ x
2
 e f(x
1
) 5 f(x
2
). Na Matemática, 
esse teorema é conhecido como o Princípio das Casas dos Pombos, 
ou Princípio de Dirichlet. Assim, por exemplo, com um grupo de n 
pessoas escolhidas ao acaso, só podemos garantir que, entre elas, 
há duas que fazem aniversário no mesmo mês, se n . 12.
2. (Fuvest-SP) Uma floresta tem um milhão de árvores e 
nenhuma delas tem mais de 300 mil folhas em sua copa. 
É CORRETO concluir que
 c a) certamente existem árvores com copas de mesmo 
total de folhas nessa floresta.
b) somente por acaso haverá árvores com copas de 
igual total de folhas na floresta.
c) certamente existem árvores com menos de 300 mil 
folhas em sua copa.
d) o número médio de folhas nas copas é de 150 mil.
e) nada do que foi dito pode ser concluído dos dados 
apresentados.
Seja A o conjunto {1, 2, 3, ..., 1 000 000}, representando as árvores 
dessa floresta, e seja B o conjunto {0, 1, 2, ..., 300 000}. Não existe 
uma função f: A → B que seja injetora, pois o número de elementos 
de A é maior do que o número de elementos de B. Logo, existem 
elementos distintos em A associados a um mesmo elemento em 
B. Note que f pode representar perfeitamente uma função que as-
socia a cada árvore dessa floresta o número de folhas na sua copa. 
Portanto, certamente, existem nessa floresta árvores com copas de 
mesmo total de folhas.
H2
em casa
Consulte:
Livro-texto 5 – Unidade 15
Caderno de Exercícios 5 – Unidade 15
Tarefa Mínima
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 15 a 17, cap. 2.
Tarefa Complementar
• Faça os exercícios 18 a 21, cap. 2.
• Faça o exercício 7 da seção Rumo ao Enem.
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112
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
Para toda função bijetora f: A → B, existe uma função 
g: B → A, tal que, se (u, v) [ f, então (v, u) [ g. Nessas condi-
ções, g é chamada de função inversa de f
 
 e é denotada por f 21. 
Portanto, se f(u) 5 v, então f 21(v) 5 u.
Note que se g é a função inversa de f, então f é a função inversa de g.
b
ea
g
hc
x y
a
f
b
e
BA
g
hc
b
e a
g
h c
x y
a
f21
b
e
BA
g
hc
Exemplo:
Vamos tomar a função f: R → R, y 5 2x 1 3. Ela, como toda função afim de R em R, é bijetora. Para obter sua inversa, basta 
substituir x por y e y por x, na equação y 5 2x 1 3. Obtemos, assim, x 5 2y 1 3.
Segue que x 2 3 5 2y, ou ainda, y 5 x 3
2
2 . Logo, f 21(x) 5 x 3
2
2 .
No plano cartesiano xOy, os pares ordenados (a, b) e (b, a) correspondem a pontos simétricos em relação à reta y 5 x, bissetriz dos 
quadrantes ímpares. Como isso ocorre para quaisquer valores reais de a e b, podemos concluir que o gráfico de uma função bijetora real 
de variável real e o gráfico da sua inversa são curvas simétricas em relação à reta y 5 x.
Exemplo:
x
y
0
0
1 2 3 4 521
2
3
4
5
1
21
y 5 x2 (com x > 0)
y 5 x
y 5 x
aulas 9 e 10
Enem: Conhecimentos algébricos
Funções: inversão
nestas aulas
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M
a
te
m
‡
ti
c
a
1. Aparentemente, um general romano criptografava algumas das suas mensagens usando a seguinte função bijetora.
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c
Para cifrar, cada letra (de a até w) deve ser substituída por aquela que, na ordem alfabética, vem três posições depois. 
As letras x, y e z devem ser substituídas, nessa ordem, por a, b e c.
Assim, por exemplo, criptografando desse modo a palavra “tarefa”, obtemos “wduhid”. Codifique a palavra “roma” 
e decodifique a palavra “crdgr”.
r → u, o → r, m → p, a → d ∴ roma → urpd
c → z, r ← o, d ← a, g ← d, r ← o ∴ crdgr ← zoado
Resposta: urpd e zoado.
2. Seja f 21 a função inversa de f. Dado que f(5) 5 12, temos:
a) f 21(5) 5 1
12
b) f 21(5) 5 5
 c c) f 21(12) 5 5
d) f 21(12) 5 12
e) f 21(12) 5 1
5
Se (5, 12) [ f, então (12, 5) [ f21, logo f21(12) 5 5.
3. Supondo, em cada caso, que f seja uma função bijetora, obtenha f 21(x).
a) f(x) 5 5x 1 2
y 5 5x 1 2; trocando x por y e y por x, temos:
x 5 5y 1 2
x 2 2 5 5y
x 2
5
2
 5 y
∴ f21(x) 5 x 2
5
2
b) f(x) 5 4 2 x
y 5 4 2 x; trocando x por y e y por x, temos:
x 5 y 2 4
x 2 4 5 y
∴ f21(x) 5 x 2 4
c) f(x) 5 2x 3
x 1
2
2
y 5 2x 3
x 1
2
2
; trocando x por y e y por x, temos:
x 5 
2y 3
y 1
2
2
x(y 2 1) 5 2y 2 3
xy 2 x 5 2y 2 3
xy 2 2y 5 x 2 3
y(x 2