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ANGLO
ENSINO FUNDAMENTAL
ANGLO
ano6
º-
3
caderno
MANUAL 
DO 
PROFESSOR
MATEMÁTICA
capa_final_ANGLO_SOMOS_MP_matematica.indd 3 3/13/17 1:24 PM
6º ano
Ensino Fundamental
Manual do 
Professor
Matemática
Adair Mendes Nacarato 
Cármen Lúcia B. Passos
Fábio Orfali
Heimar Aparecida Fontes
3
caderno
MP_AngloEFII_Matematica_6.3_001a068.indd 1 3/4/16 11:03 AM
Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Coordenação pedagógica: Ricardo Leite
Gerência editorial: Bárbara M. de Souza Alves
Coordenação editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edição: Fernando Manenti Santos (coord. Biologia, Física, Matemática e Química), 
Tadeu Nestor Neto (Matemática), Walter Catão Manoel (Matemática)
Coordenação de produção: Fabiana Manna da Silva, (coord.); 
Daniela Carvalho, Karina Andrade
Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Danielle Modesto, 
Edilson Moura, Letícia Pieroni, Marília Lima, Marina Saraiva, 
Tayra Alfonso, Vanessa Lucena
Edição de arte: Daniel Hisashi Aoki
Diagramação: Fernando Afonso do Carmo, Kleber de Messas, 
Lourenzo Acunzo, Luiza Massucato
Iconografia: Silvio Kligin (superv.), 
Denise Durand Kremer (coord.), Claudia Bertolazzi, Claudia Cristina Balista, 
Ellen Colombo Finta, Fernanda Regina Sales Gomes, Jad Silva, 
Marcella Doratioto, Roberta Freire Lacerda Santos, Sara Plaça, 
Tamires Reis Castillo (pesquisa)
Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin
Licenças e autorizações: Patrícia Eiras
Cartografia: Eric Fuzii
Capa: Daniela Amaral
Foto de capa: Eric Isselee/Shutterstock/Glow Images
Ilustração de capa: D’Avila Studio
Projeto gráfico de miolo: Daniela Amaral
Editoração eletrônica: Casa de Tipos
 
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Ensino fundamental, 6º ano : matemática : caderno
 3 : manual do professor / Adair Mendes Nacarato... [et
 al.] -- 1. ed. -- São Paulo : SOMOS Sistemas de Ensino, 
 2016.
 Outros autores: Cármen Lúcia B. Passos, Fabio 
Orfali, Heimar Aparecida Fontes
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Nacarato, 
Adair Mendes. II. Passos, Cármen Lúcia B.. 
III. Orfali, Fabio. IV. Fontes, Heimar Aparecida
15-11493 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
2017
ISBN 978 85 7595 475 1 (PR)
Código da obra 824651317
1a edição
1a impressão
Impressão e e acabamento
Uma publicação
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SUMÁriO
O Caderno 3 ........................................................................................... 4
23. Classificação de quadriláteros ............................................................................................. 5
24. Possibilidades .................................................................................................................... 20
25. Divisão de números decimais ............................................................................................. 26
26. Medidas ..................................................................................................................... 33
27. Medidas de superfície ........................................................................................................ 37
28. Áreas do retângulo e do quadrado ..................................................................................... 43
29. A fração como quociente .................................................................................................... 49
30. Outros contextos de números racionais ............................................................................. 57
31. Investigações matemáticas e resolução de problemas ....................................................... 61
Módulo Interdisciplinar............................................................................................................ 69
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4 Ensino Fundamental
O CAdErNO 3
Este Caderno está organizado em 9 Módulos. No campo Aritmética, daremos continuidade ao estu-
do de números racionais, explorando a divisão de números decimais (Módulo 25) e os significados de 
números racionais na representação fracionária (Módulos 29 e 30). 
No campo Espaço e Forma, a ênfase será em classificação de quadriláteros (Módulo 23) e áreas do 
retângulo e do quadrado (Módulo 28). Esse módulo será precedido pelo de Medidas e Medidas de 
Superfície (Módulos 26 e 27), dentro do campo Grandezas e Medidas. Nele retomamos as principais 
unidades de medida e as respectivas conversões de unidades.
No campo Tratamento da Informação, a ênfase será no trabalho com possibilidades (Módulo 24), 
retomando o princípio da contagem em situações de combinatória.
Finalizamos o Caderno com o módulo de Investigações Matemáticas e resolução de problemas (Mó-
dulo 31), cujas situações abordadas não estão diretamente relacionadas aos conteúdos anteriores, mas 
são situações que exigem a criação de estratégias por parte dos alunos.
Como ocorreu nos Cadernos anteriores, intercalamos módulos dos diferentes campos para não dei-
xar o curso tão cansativo para os alunos, trabalhando-se apenas um deles. No entanto, se você preferir 
trabalhar os Módulos de um mesmo campo sequencialmente, poderá fazê-lo, desde que em comum 
acordo com a coordenação de sua escola, no início do bimestre e mantendo a sequência dos Módulos 
num mesmo campo.
Recomenda-se certificar-se dos materiais de que irá precisar em alguns Módulos para o desenvolvi-
mento das aulas, providenciando-os com antecedência para cada um dos alunos. Neste sentido, desta-
camos alguns materiais que precisam ser providenciados:
•	 Material de contagem (palitos, fichas ou botões).
•	 Geoplano e elásticos coloridos.
•	 Tiras de papel para o trabalho com frações.
•	 Papel quadriculado, caso os alunos não disponham do caderno quadriculado como material de uso 
constante. Você também poderá usar o material disponível no site do convênio, no link “Conteúdo 
Digital”. Nele você dispõe de malhas e geoplano.
•	 Calculadora. 
Os autores
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AULAS 61 a 65
Objetivos 
•	 Compreender, numa classificação qualquer, as relações de inclusão entre as diferentes categorias e representá-las 
em um diagrama de Venn. 
•	 Utilizar corretamente quantificadores lógicos como: todo, algum e nenhum.
•	 Identificar, em diversas figuras, os cinco quadriláteros notáveis: quadrado, retângulo, losango, paralelogramo e trapézio.
•	 Compreender as definições de cada um dos cinco tipos de quadriláteros notáveis.
•	 Identificar as relações de inclusão existentes entre os cinco quadriláteros notáveis.
•	 Conhecer a definição de diagonais de um polígono.
•	 Investigar, sem a necessidade de uma demonstração formal, a validade ou não de algumas propriedades para os 
vários tipos de quadriláteros estudados.
roteiro de aulas (sugestão) 
Aula Descrição Anotações
61
Abertura do módulo
Estabelecendo classificações
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
62
Retorno das tarefas 1 e 2
Quadriláteros notáveis (itens 1 a 5)
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 a 5 (Em casa)
63
Retorno das tarefas 3 a 5
Quadriláteros notáveis (itens 6 a 9)
Teste (item 3)
Orientações para as tarefas 6 a 8 (Em casa)
64
Retorno das tarefas 6 a 8
Exercício 1
Teste (item 4)
Orientações para as tarefas 9 e 10 (Em casa)
65
Retorno das tarefas 9 e 10
Diagonais de um quadrilátero
Exercício 2
Teste (item 5)
Desafio
Orientações para as tarefas 11 a 13 (Em casa)
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 1 a 4.
23. CLASSiFiCAÇÃO dE QUAdriLÁTErOS
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Material
•	 Régua e esquadro (um jogo por aluno).
Noções básicas 
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos sejam 
capazes de:
•	 identificar os cinco quadriláteros notáveis (quadrado, 
retângulo, losango, paralelogramo e trapézio), bem 
como conhecer suas definições;
•	 perceber as relações de inclusão existentes entre as 
cinco categorias citadas, rompendo com concepções 
baseadas somente na percepção visual, comum a 
alunos de menor faixa etária, e passando a perceber, 
por exemplo, que todo quadrado é também retângulo. 
Estratégias e orientações 
O estudo dos quadriláteros abre uma perspectiva para 
relacionar a Matemática com a Arte. Especialmente na pin-
tura abstrata, figuras geométricas como os quadriláteros 
são usadas para compor a realidade da obra. O texto de 
abertura do Módulo faz uma breve referência aos padrões 
visuais que podem ser obtidos pela composição de qua-
driláteros, destacando o pintor holandês Piet Mondrian, 
um dos criadores do Neoplasticismo. Dependendo do 
tempo disponível, você pode propor uma discussão mais 
aprofundada sobre o tema, buscando, se possível, uma 
parceria com o professor de Arte. 
Serão trabalhados, ao longo do Módulo, importantes 
conceitos lógicos, mais especificamente a compreensão 
de alguns quantificadores lógicos: todo, algum, nenhum. 
O desenvolvimento dessas ideias é fundamental não só 
para o estudo da Geometria, mas também para pratica-
mente todas as demais áreas da Matemática. Para repre-
sentar as relações decorrentes do uso desses quantifica-
dores, serão utilizados diagramas de Venn.
Observação:
A classificação dos quadriláteros notáveis já foi discu-
tida com os alunos que usaram o material do sistema no 
4º- e 5º- anos. Por isso, a maioria deles já deve conhecer 
a nomenclatura utilizada neste Módulo. Mesmo assim, 
muitos deles podem ainda trazer uma concepção basea-
da somente na percepção visual sobre os quadriláteros 
notáveis. De acordo com essa concepção, um quadrado 
não é um retângulo, um losango não é um paralelogramo, 
e assim sucessivamente.
Por isso, é preciso adequar o trabalho do Módulo de 
acordo com a realidade de cada turma. Dependendo da 
familiaridade dos alunos com o assunto, alguns tópicos 
podem ser tratados como revisão. O mais importante 
é que, ao final do Módulo, a maioria dos alunos tenha 
se habituado a analisar os quadriláteros a partir de sua 
definição matemática, e não apenas por meio da per-
cepção visual.
Ao final deste Manual há a sugestão de uma atividade 
complementar com o uso do GeoGebra. Leia a seção e 
avalie sua pertinência, o seu tempo de aula e as condi-
ções de sua escola (sala de informática, por exemplo) 
para desenvolver o trabalho proposto. 
Atividades de construção de conceitos
Estabelecendo classifcações (página 283)
Procure organizar os alunos em grupos para realizar 
a atividade proposta nesta seção. Os conceitos de ma-
mífero, animal terrestre e felino são bem familiares aos 
alunos. Isso facilita para eles a compreensão do fato de 
existirem categorias mais abrangentes que outras dentro 
de uma mesma classificação. Assim, espera-se que eles 
percebam que o fato de um gato ser um felino não in-
valida sua condição de mamífero.
Também é importante, nesta atividade, o trabalho 
com o diagrama de Venn como meio de visualizar 
essas relações.
Ao final da seção, propomos que os alunos escolham 
um critério para classificar, em duas categorias, um con-
junto de quatro quadriláteros fornecidos. Não é neces-
sário que eles escolham um critério usual. O objetivo 
da atividade é que eles explorem características desses 
quadriláteros e criem uma classificação coerente com o 
critério estabelecido. Ao final, procure socializar com a 
classe as classificações criadas por dois ou três grupos. 
Quadriláteros notáveis (página 285)
Nesta seção, os alunos analisarão as definições formais 
dos cinco tipos de quadriláteros notáveis para construir 
as relações de inclusão existentes entre eles. Para isso, 
vamos dividir o trabalho nas seguintes partes:
1a- parte: partindo de observações de retas paralelas 
e perpendiculares, os alunos deverão relacionar os cinco 
tipos de quadriláteros notáveis às suas respectivas defini-
ções, que lhes são apresentadas. Nessa parte, aconselha-
-se que eles trabalhem em grupos.
2a- parte: utilizando as definições, os alunos deverão 
encontrar as relações de inclusão entre os vários qua-
driláteros notáveis. É importante que eles discutam as 
ideias entre si. Por isso, novamente aconselhamos que 
trabalhem em grupo.
3a- parte: trata-se do fechamento das ideias, com a ela-
boração do diagrama de Venn para os quadriláteros. Por 
isso, sugere-se que essa parte seja conduzida pelo professor.
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Trata-se de um trabalho relativamente extenso, con-
duzido ao longo de duas aulas (segunda e terceira aulas 
do Módulo). Por isso, é importante que você auxilie 
os grupos que estejam apresentando mais dificuldade. 
Também aconselhamos que, ao final da primeira aula, 
você faça um fechamento das ideias desenvolvidas até 
ali, orientando os alunos para a tarefa.
A quarta aula do Módulo é dedicada a exercícios 
sobre essa seção. Assim, você poderá fazer retomadas e 
verificar se todos os alunos, de fato, compreenderam as 
relações de inclusão descritas pelo diagrama de Venn.
Professor: existem autores que consideram que 
os paralelogramos não são trapézios. Isso significa 
adotar a seguinte definição:
Trapézio é todo quadrilátero que apresenta um 
único par de lados paralelos.
Por tratar-se de uma definição, não podemos ques-
tionar sua correção: em Matemática, desde que sejam 
coerentes, duas ou mais definições podem coexistir.
Consideramos, no entanto, mais conveniente usar 
a definição de trapézio adotada no Caderno, que per-
mite dizer que todo paralelogramo é também trapézio. 
Com isso, toda propriedade provada para um trapézio 
vale automaticamente para um paralelogramo.
Ressaltamos, mais uma vez, que nenhuma das 
duas definições pode ser considerada incorreta. 
Trata-se de opção dos autores.
diagonais de um quadrilátero (página 290)
A finalidade desta seção é definir diagonal de um 
quadrilátero (e, mais genericamente, de um polígono 
qualquer). Partimos, porém, de uma investigação geomé-
trica interessante: qual é o maior segmento que podemos 
traçar de modo que ele esteja totalmente contido em um 
retângulo? Espera-se que os alunos concluam tratar-se 
das duas diagonais do retângulo.
Por isso, sugerimos que esse tópico seja desenvolvido 
em grupos, com o professor fazendo o fechamento com 
a leitura do boxe De olho nas diagonais, em que se 
define formalmente diagonal de um polígono.
respostas e comentários 
Estabelecendo classifcações (página 283)
1. a) B, D, E, F
 b) A, B, E, F
 c) B, F 
2. Porque pertencem a mais de uma categoria ao mesmo 
tempo. Por exemplo: o tigre é, ao mesmo tempo, um 
animal terrestre, um felino e um mamífero.
3. a) V
 b) F
 c) V
 d) V
 e) V
 f) F
 g) F
 h) V
4. Chame a atenção dos alunos para o fato de que cada 
letra deve ser utilizada uma única vez.
Animais
Terrestres
Felinos
C
E
B FA D
Mamíferos
5. As respostas são pessoais. É importante que os alunos 
escolham um critério geométrico e façam a classifica-
ção de forma coerente. Por exemplo, se o critério for 
“possui pelo menos um ângulo reto”, os quadriláteros 
serão divididos nos seguintes grupos:
A) Possuem ângulo reto: 3 e 4
B) Não possuem ângulo reto: 1 e 2
Quadriláteros notáveis (página 285)
1. a) paralelas
 b) paralelas
 c) perpendiculares
 d) perpendiculares
 e) perpendiculares
 f) paralelas
2. a) Sim, pois todos eles possuem pelo menos um par de 
lados paralelos, já que as retas r e s são paralelas.
 b) Apresentamos a seguir uma possível resposta, 
que deve ser a mais comum entre os alunos. Há 
outras possibilidades, uma vez que o quadrado, 
por exemplo, também pode ser identificado como 
retângulo oulosango.
a
V IV III I II
r
s
b c d e f
Alguns alunos podem ter dificuldade para identifi-
car o losango, pois ele está em uma posição em que 
habitualmente não é desenhado. Caso isso acon-
teça, chame a atenção para a definição de losango 
(deve ter todos os lados com a mesma medida).
 c) Verifique os desenhos feitos pelos alunos.
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3. a) 1, 2, 4, 5, 6, 7
 b) 3
 c) 1, 2, 4, 5, 7
4. a) 4, 7 b) 4, 7
5. a) Confira as respostas com os alunos.
 b) 1 e 4
Conclusão dos itens 4 e 5
Todo quadrado é retângulo e, além disso, losango.
6. a) 1, 2, 4, 7 b) 1, 2, 4, 7
Conclusão do item 6
Os quadrados, os retângulos e os losangos têm dois 
pares de lados paralelos. Portanto, também são pa-
ralelogramos. 
7. a) 1, 2, 4, 5, 7 b) 1, 2, 4, 5, 7
Conclusão do item 7
Os quadrados, os retângulos, os losangos, e os pa-
ralelogramos apresentam um par de lados paralelos. 
Portanto, também são trapézios.
Observação: note que, se um quadrilátero tem dois 
pares de lados paralelos, então, ele apresenta um par 
de lados paralelos, pois não foi dito um único par.
8. Uma possível resposta:
c
a
b
9. 
Quadriláteros convexos
Retângulos
Quadrados
Losangos
Paralelogramos
Trapézios
Exercício 1 (página 289)
1. a) F
 b) F
 c) V
 d) V
e) F
f) F
g) V
h) V
2. a) 
 b)
 
3. Se julgar necessário, peça para os alunos fabricarem, 
em papel, peças com o formato indicado no enun-
ciado, para que possam explorá-las na tentativa de 
formar os quadriláteros pedidos.
 a) 2 peças c) 4 peças
 b) 2 peças d) 3 peças
Diagonais de um quadrilátero (página 290)
1. 
2. 15,1 cm. Confira a medida com os alunos, pois pode 
haver variação na impressão do material. 
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3. a) c)
 b) d)
4. Com o quadrilátero EFGH (item C). Ele é o único 
quadrilátero não convexo entre os quatro.
Exercício 2 (página 292)
Este exercício não tem como finalidade sistematizar as 
propriedades das diagonais dos quadriláteros notáveis. 
Seu objetivo é habituar os alunos a fazer investigações 
em figuras, usando material de Geometria (régua e es-
quadro). Tais propriedades serão apresentadas ao longo 
dos 8º- e 9º- anos.
 a) 3, 4 e 5.
 b) 1 e 5.
Teste (página 292)
1. Alternativa D. Como Paulo não é professor de Mate-
mática, ele deve ser representado fora do diagrama 
verde. Além disso, ele deve estar na interseção dos 
conjuntos dos professores e dos funcionários que 
usam barba. Portanto, deve estar na região identifica-
da pela letra D. Durante a correção, peça aos alunos 
que identifiquem as características que uma pessoa 
deve ter para ser representada em cada região do 
diagrama. Isto ajudará os alunos que erraram o teste 
a perceber o motivo do erro.
2. Alternativa B. O quadrilátero formado por Luíza tem 
todos os lados com a mesma medida, pois os palitos 
são idênticos. Logo, é um losango. É provável que os 
alunos que tenham assinalado a alternativa C (qua-
drado) não tenham percebido que é possível que o 
quadrilátero formado seja um quadrado, mas não é 
certo. Isto ocorre porque não temos como garantir, 
apenas com os dados do enunciado, que o quadri-
látero terá os ângulos retos. Este é um importante 
aprendizado para os alunos no que diz respeito a 
resolver questões tipo teste. Para que uma alternativa 
seja correta, é preciso que ela seja necessariamente 
correta nas condições dadas pelo enunciado, e não 
possivelmente correta. 
A
B
D
C
E G
H
F
I L
J K
M
N
P
O
3. Alternativa A. Cada lado do quadrilátero rosa mede 
o dobro da medida do lado dos triângulos da ma-
lha. Logo, os seus quatro lados têm a mesma me-
dida, tratando-se de um losango. Já o quadrilátero 
azul tem dois lados opostos paralelos e dois lados 
opostos não paralelos. Portanto, é um trapézio, mas 
não é paralelogramo. Os alunos que assinalaram a 
alternativa C consideraram que o quadrilátero rosa é 
um paralelogramo, mas não um losango. Trata-se de 
uma evidência de que eles ainda estão se orientando 
apenas pelo aspecto da figura, sem levar em conta as 
definições dos quadriláteros notáveis. Para incentivá-
-los a usar as definições, procure trabalhar com os 
quadriláteros em posições diferentes das convencio-
nais (por exemplo, um quadrado com os lados não 
paralelos aos contornos da página). 
4. Alternativa B. Nesta questão, espera-se que os alunos 
desenhem a figura a partir de sua descrição textual. 
Uma possível figura é dada a seguir.
A
D X
B
C
Verifique, entre os alunos que erraram, se a dificul-
dade foi na elaboração do desenho ou no conceito 
de trapézio.
5. Alternativa D. Para resolver a questão, é necessário 
identificar e nomear as duas diagonais do losango, 
além de dois lados opostos desse quadrilátero. Uma 
possível fonte de erro é o uso da notação formal de 
segmento nas alternativas, que pode ter dificultado a 
leitura de alguns alunos. Outro aspecto a considerar 
é se os alunos reconhecem que os lados opostos de 
um losango são necessariamente paralelos.
desafo (página 293)
Há linhas paralelas nas três figuras.
Em casa (página 294)
1. a) Falsa, pois Bolívia e Paraguai não são banhados 
por oceano.
 b) Verdadeira, pois Chile, Peru, Equador e Colômbia 
são banhados pelo oceano Pacífico.
 c) Verdadeira, pois Argentina, Brasil e Bolívia fazem 
fronteira com o Paraguai.
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 d) Verdadeira, pois o México, localizado na América 
do Norte, não faz fronteira com nenhum país da 
América do Sul.
 e) Falsa, pois Equador e Chile não fazem fronteira 
com o Brasil.
2. 
Brasil
Salvador Minas GeraisBahia
3. a) Quatro peças (uma tem formato de triângulo e as 
outras três, de quadrilátero).
 b) Há três peças com formato de quadrilátero notável: 
um quadrado, um paralelogramo e um trapézio.
4. a) Losangos: ABDC, CDGF e FGJI (os quadrados 
BDGE e EGJH também são losangos, podendo 
ser indicados neste item).
 b) Quadrados: BDGE e EGJH.
 c) Retângulo: BDJH (os quadrados BDGE e EGJH 
também são retângulos, podendo ser indicados 
neste item).
 d) Paralelogramo: CDJI (os losangos, retângulos e 
quadrados indicados nos outros itens também 
são paralelogramos).
Observação: essas respostas consideram a figura de-
senhada como plana. Alguns alunos, porém, poderão 
pensar na figura como uma representação em pers-
pectiva. Neste caso, os quadriláteros ABDC, CDGF e 
FGJI poderiam ser considerados retângulos.
5. Respostas possíveis:
b
a
d
ec
6. a)
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
Observação: 
 a) Trata-se, necessariamente, de um trapézio não 
paralelogramo.
 b) Trata-se, necessariamente, de um quadrado.
 c) Trata-se, necessariamente, de um retângulo.
 d) O quadrilátero desenhado pode ser obtido a partir 
de dois esquadros de 60° idênticos, fazendo coin-
cidir suas hipotenusas.
 e) Trata-se, necessariamente, de um losango.
 f) Trata-se, necessariamente, de um quadrado.
7. 
A B C D E
F G H
 a) São retângulos as figuras A, B, D, F, H.
 b) São quadrados as figuras A e D.
 c) Precisaria de mais duas figuras, ou seja, o próximo 
retângulo estaria na figura J.
 d) Não, não é possível obter outros quadrados. Observe 
que, a partir da figura B, todas as figuras apresen-
tam 2 quadradinhos de altura. Porém, a partir da 
figura E, a largura das figuras é sempre maior do 
que 2 quadradinhos.
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10 Ensino Fundamental
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8.
Mapa conceitual da classificação dos quadriláteros convexos
PARALELOGRAMOS
polígonos convexos que 
têm 4 lados e 4 ângulos
TRAPÉZIOS NÃO TRAPÉZIOS
QUADRILÁTEROS CONVEXOS
LOSANGOSRETÂNGULOS
trapézios não 
paralelogramos
paralelogramos 
não retângulos e 
não losangos
QUADRADOS
apenas um par de 
lados paralelos
se não tiverem ângulos 
retos nem todos os lados 
com medidas iguais
dois paresde 
lados paralelos
se tiverem os 
4 ângulos retos
se tiverem os 
4 lados com a 
mesma medida
se tiverem os 
4 lados com a 
mesma medida
se tiverem os 
4 ângulos retos 
exemplo
definição
podem ser
podem ter
exemplo
exemplo
exemplo
exemplo
exemplo
9. Afirmações verdadeiras: A, C, D, F.
Afirmações falsas, com os respectivos contraexemplos:
b) e) g) 
 
10. a) O quadrilátero BFJP.
 b) Os lados AE e IO e os lados AO e EI.
 c) Não é possível desenhar tal paralelogramo. Em todo paralelogramo, os lados opostos têm medidas iguais.
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11. a) b) c)
Diagonais: BL e EO
 Diagonais: AT e LO 
Diagonais: AO e GT 
12. a) AB e CD.
 b) Sim, aos lados AD e BC .
 c) Não. Pode-se obter dois retângulos, mas eles não serão quadrados, pois não terão os lados com medidas 
iguais (dois terão medidas iguais às dos lados do quadrado original e dois terão medidas menores).
 d) Sim, basta que a reta intercepte dois lados opostos do paralelogramo em pontos que não sejam suas extre-
midades e seja paralela aos outros dois, como exemplificado na figura abaixo.
13. Verifique as anotações no glossário. Se julgar necessário, socialize as informações com a classe.
Atividade complementar
A atividade sugerida a seguir tem por objetivo complementar o trabalho com os quadriláteros notáveis desen-
volvido neste Módulo. Trata-se de uma atividade de investigação geométrica realizada com auxílio de um software 
de Geometria Dinâmica, o GeoGebra. Ele é um programa gratuito, de uso livre, que pode ser obtido no endereço: 
<www.geogebra.org/download>.
Para esta atividade, os alunos deverão, necessariamente, realizar suas próprias construções geométricas no 
software GeoGebra. Assim, é necessário que a escola disponha de, pelo menos, um computador para cada dois 
alunos. Também é possível realizar a atividade em tablets, já que o GeoGebra apresenta uma versão para esse 
tipo de dispositivo.
Atividade de investigação geométrica: as diagonais de um retângulo
Sugerimos que você programe duas aulas para a realização dessa atividade. Na primeira aula, os alunos irão se 
habituar com o ambiente do programa GeoGebra, conhecendo e explorando os seus principais comandos e recursos. 
Trata-se de um investimento de tempo interessante, pois permitirá que você, posteriormente, crie outras atividades 
de investigação usando o GeoGebra, em sala de aula ou como tarefa de casa, dado que os alunos já terão desen-
volvido autonomia para trabalhar com o programa. Na segunda aula, eles realizarão a atividade de investigação 
sobre as diagonais de um retângulo.
1a- parte: construção de um retângulo e exploração dos recursos do GeoGebra
Recomendamos que esta parte da atividade seja realizada em duplas, para que todos os alunos tenham a opor-
tunidade de manusear e se familiarizar com a ferramenta.
Para realizar esta atividade, feche a janela de álgebra que aparece quando abrimos o programa GeoGebra. Além 
disso, na janela de visualização, oculte o sistema de coordenadas cartesianas, deixando a tela vazia como na ilus-
tração a seguir.
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T
G
O
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Tela inicial do programa GeoGebra
Apresentamos a seguir um roteiro sugerido para a construção de um retângulo e exploração de alguns recursos 
do GeoGebra.
1. Construa um segmento de reta. Para isso, vá até o menu (veja figura a seguir), escolha a opção “Segmento” e 
clique em dois pontos distintos da tela.
Construção de um segmento de reta
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Você pode nomear o segmento construído. 
Para isso, posicione o cursor perto de uma 
das extremidades do segmento e clique com 
o botão direito. Escolha a opção “Exibir rótu-
lo”. Você terá, então, o segmento AB, como 
indicado na figura ao lado.
2. Construa uma reta perpendicular ao seg-
mento AB, passando pelo ponto B. Para 
isso, vá ao menu, escolha a opção “Reta 
perpendicular”, clique no ponto B e, em 
seguida, no segmento AB.
3. Marque um ponto C sobre a reta que 
você acabou de construir. Para isso, vá 
ao menu, escolha a opção “Ponto em 
objeto” e clique na reta. Não se esqueça 
de indicar a opção “Exibir rótulo” para 
que apareça o nome do ponto.
Segmento AB. 
B
A
Reta perpendicular ao segmento AB 
Ponto C sobre a reta perpendicular ao segmento AB 
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4. Construa uma reta perpendicular à reta
s ruu
BC, construída no passo 2, passando pelo ponto C. Para isso, vá ao 
menu, escolha a opção “Reta perpendicular”, clique no ponto C e, em seguida, na reta 
s ruu
BC.
5. Construa uma reta perpendicular ao segmento AB, passando pelo ponto A. Para isso, vá ao menu, escolha a 
opção “Reta perpendicular”, clique no ponto A e, em seguida, no segmento AB. 
6. Marque o ponto D, interseção das duas retas construídas nos passos 4 e 5. Para isso, vá ao menu, escolha a 
opção “Interseção de dois objetos”, clique na primeira reta e, em seguida, na segunda. 
Ponto D, interseção das retas construídas nos passos 4 e 5
7. Oculte o segmento AB e as três retas construídas. Para isso, aproxime o cursor do objeto que deseja ocultar, 
clique com o botão direito, escolha a opção “Propriedades” e desabilite a opção “Exibir objeto”. Após fazer isso, 
a sua tela deverá ter apenas os pontos A, B, C e D.
A
D
B
C
Tela mostrando apenas os quatro vértices do retângulo ABCD
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8. Crie o polígono ABCD. Para isso, vá ao menu, escolha a opção “Polígono” e vá clicando nos quatro vértices, na 
ordem A, B, C e D.
Retângulo ABCD
9. Agora que o retângulo ABCD está criado, você pode modificá-lo, movimentando-o pela tela a partir de seus 
vértices. Para isso, vá ao menu e escolha a opção “Mover”. Em seguida, aproxime o cursor de um dos vértices, 
clique sobre ele e movimente-o pela tela.
O comando “Mover” permite movimentar um objeto pela tela
É importante que os alunos percebam que, mesmo movimentando os vértices, o polígono obtido nunca deixa 
de ser um retângulo. Isso ocorre graças às construções realizadas, que se basearam em retas perpendiculares, 
garantindo a presença de quatro ângulos retos no quadrilátero ABCD. Além disso, não é possível movimentar o 
vértice D, já que ele representa a interseção de duas retas.
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Peça aos alunos que gravem o retângulo construído, pois ele será utilizado na segunda atividade. Utilize o restante 
da primeira aula para que os alunos explorem livremente o GeoGebra. Por exemplo, na opção “Propriedades”, 
obtida clicando com o botão direito do cursor sobre um objeto, eles podem alterar a cor, a espessura, o tipo do 
contorno e o tipo de preenchimento desse objeto, como mostrado a seguir. 
Retângulo ABCD com contorno e preenchimento modificados
2a- parte: exploração das diagonais de um retângulo
Nesta parte da atividade, os alunos deverão trabalhar de maneira mais livre, de modo que possam levantar hipó-
teses e testá-las com auxílio da ferramenta. Por isso, recomendamos que seja realizada em grupos maiores, de três 
ou quatro alunos, para que eles possam discutir com os colegas as descobertas que forem fazendo. 
Os alunos deverão recuperar os arquivos que produziram na primeira parte da atividade, com o retângulo ABCD. 
Em seguida, peça a eles que:
 a) construam as duas diagonais do retângulo ABCD, usando a opção “Segmento” do menu;
 b) movimentem os vértices do retângulo e observem o que ocorre com as suas diagonais;
 c) registrem suas descobertas sobre as propriedades das diagonais de um retângulo.
À medida que os grupos trabalham, circulepela sala e procure acompanhar as discussões. Você pode ajudar os 
grupos que estejam encontrando dificuldades propondo questões do seguinte tipo:
•	 o que vocês observam sobre os comprimentos das duas diagonais à medida em que movimentam os vértices 
do retângulo?
•	 o que vocês observam sobre o ponto de encontro das duas diagonais à medida em que movimentam os vértices 
do retângulo?
•	 o que vocês observam sobre o ângulo formado pelas duas diagonais à medida em que movimentam os vértices 
do retângulo?
O GeoGebra oferece uma ferramenta de medida, que pode ajudar os grupos a observarem as propriedades 
das diagonais. Escolha, no menu, a opção “Distância, comprimento ou perímetro” e clique sobre as diagonais 
do retângulo. Com isso, o programa passa a exibir as medidas das diagonais, como mostrado na figura a seguir. 
Porém, não indique essa ferramenta logo no início da atividade, para não direcionar demais as observações 
dos grupos.
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Medidas das diagonais do retângulo ABCD
Forneça um tempo razoável para que os grupos explorem a figura e discutam entre si suas observações. Em 
seguida, reserve ao menos 15 minutos para fazer a socialização das conclusões com a classe. 
⇒ Possíveis conclusões
As conclusões registradas pelos grupos nesta atividade não têm uma caráter lógico-dedutivo, uma vez que elas 
não são obtidas mediante uma demonstração formal. O trabalho formal será feito no 8º- e 9º- anos, a partir do estudo 
da congruência de triângulos.
Dessa forma, a atividade trabalha mais com o raciocínio indutivo. Espera-se que os alunos sejam capazes de 
formular hipóteses a partir da observação de diferentes configurações do retângulo ABCD e descubram maneiras 
de validá-las usando a ferramenta. 
De acordo com esse enfoque, citamos algumas conclusões a que os alunos podem ter chegado, sugerindo uma 
maneira de validar cada uma delas.
•	 As duas diagonais de um retângulo têm sempre o mesmo comprimento.
Essa conclusão pode ser validada a partir da mera observação. Porém, a ferramenta de medida apresentada acima 
pode ajudar os alunos a se convencerem de sua validade. 
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18 Ensino Fundamental
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Vale a pena destacar que, ao movimentar os vértices A e B, o retân-
gulo ABCD mantém a mesma forma, ou seja, os diferentes retângulos 
obtidos nesse caso são semelhantes entre si. Para alterar a forma, 
é necessário movimentar o vértice C. Comente com os grupos que 
pode ser interessante “achatar” o retângulo e observar se as diagonais 
continuam mantendo o mesmo comprimento.
•	 O ponto de encontro das duas diagonais fica no seu ponto médio.
Para usar a ferramenta de medida neste caso, é preciso criar o 
ponto de encontro das duas diagonais. Na figura ao lado, mostramos 
a distância do ponto de encontro das diagonais (E) até cada um dos 
vértices do retângulo. 
•	 O ângulo formado pelas diagonais de um retângulo varia de re-
tângulo para retângulo.
À medida que alteramos a forma e o tamanho do retângulo, pode-
mos perceber que o ângulo formado por suas diagonais também se 
modifica. A ferramenta “Ângulo” do GeoGebra permite acompanhar a 
medida de um ângulo, como indicado na figura abaixo. Ao usar essa 
ferramenta, é conveniente, no menu “Opções”, definir o arredonda-
mento com 0 casas decimais.
 
Medida de um dos ângulos formado pelas diagonais do retângulo ABCD em duas configurações diferentes
A
B
110ºE
C
D
A
B
75ºE
C
D
Mais uma vez, se movimentarmos apenas os vértices A e B, não observaremos alteração na medida do ângulo. 
Isso só ocorre quando movimentamos o vértice C, pois causamos uma deformação no retângulo.
⇒ investigação fnal
Depois de socializar as conclusões dos grupos, proponha a seguinte pergunta como investigação final:
Existe algum retângulo cujas diagonais sejam perpendiculares entre si? Em caso afirmativo, qual condi-
ção deve ser satisfeita para que isso aconteça?
Os alunos poderão perceber que, para que um retângulo tenha as diagonais perpendiculares, é necessário que 
ele tenha todos os lados com medidas iguais, ou seja, deve ser um quadrado.
A
B
E
C
D
AE 5 3.5
DE 5 3.5
BE 5 3.5
CE 5 3.5
Distância do ponto de encontro das diagonais 
até cada vértice do retângulo ABCD
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AULAS 66 a 68
Objetivos 
•	 Desenvolver o raciocínio combinatório (princípio fundamental da contagem).
•	 Explorar diferentes representações para a contagem de possibilidades.
•	 Explorar situações de Geometria não euclidiana como a Geometria do taxista.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
66
Retorno das tarefas 11 a 13 do Módulo 23
A escolha do lanche
Contagem de possibilidades: formas de representação
Exercício 1 (item 1)
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
67
Retorno das tarefas 1 e 2
Exercício 1 (itens 2 a 6)
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 a 5 (Em casa)
68
Retorno das tarefas 3 a 5
A Geometria do taxista
Exercício 2
Teste (item 3)
Desafio
Orientações para as tarefas 6 e 7 (Em casa)
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 5 e 6.
Noções básicas 
Ao final do Módulo, espera-se que os alunos sejam capazes de:
•	 determinar o número de possibilidades de dada situação, utilizando diferentes representações (forma descritiva, 
tabela de dupla entrada, árvore de possibilidades);
24. POSSiBiLidAdES
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•	 perceber o significado da multiplicação de números 
naturais como raciocínio combinatório, utilizado em 
problemas de contagem;
•	 analisar as possibilidades de deslocamentos num 
plano, com princípios de Geometria não euclidiana.
Estratégias e orientações
No Módulo 22 (Caderno 2), os alunos já tiveram a 
oportunidade de resolver duas situações envolvendo 
raciocínio combinatório. Esse tipo de contexto tem sido 
explorado no material do Sistema de Ensino desde a 
Educação Infantil. Neste Caderno 3, haverá a retomada 
da árvore de possibilidades, bem como a exploração 
de possibilidades de deslocamentos num plano, na pers-
pectiva da Geometria do taxista.
Atividades de construção de conceitos
A escolha do lanche (página 298)
Estabeleça um tempo para que os alunos resolvam 
a situação inicial e, durante a correção, explore as di-
ferentes representações que eles utilizaram, introduzin-
do as que faltarem. No texto são apresentadas as três 
mais comuns; no entanto, os alunos poderão pensar 
em outras. Analise-as, discutindo com eles o quanto 
cada uma delas facilita (ou não) a contagem de todas 
as possibilidades. Destaque: em todas elas o resultado 
tem de ser 8 (2 3 4 ou 4 3 2).
Oriente os alunos para que, a cada situação proposta, 
registrem a expressão numérica correspondente a fim de 
que percebam que são situações de multiplicação, nas 
quais os fatores correspondem ao número de elementos 
de cada atributo.
Os alunos poderão escolher a representação que qui-
serem. Apresentamos aqui a tabela de dupla entrada.
 Tipos de 
pão
Recheio
Francês Integral
Presunto e queijo
Pão francês 
com presunto 
e queijo
Pão integral 
com presunto 
e queijo
Queijo quente
Pão francês com 
queijo quente
Pão integral com 
queijo quente
Salsicha
Pão francês 
com salsicha
Pão integral 
com salsicha
Natural (alface, 
tomate, cenoura, 
beterraba)
Pão francês com 
recheio natural
Pão integral com 
recheio natural
Contagem de possibilidades: formas de 
representação (página 299)
Faça a leitura coletiva do texto informativo, com as 
complementações que julgar necessárias. No caso da 
árvore de possibilidades, promova uma discussão com a 
turma para introduzir a informação de que ela também 
poderá ser construída a partir das saias; a árvore será 
diferente, mas as possibilidades serão as mesmas.
Espera-seque, ao final dessa discussão, os alunos 
tenham a compreensão de que esses contextos de 
possibilidades sempre podem ser representados por 
uma multiplicação. Durante a realização dos exercí-
cios, circule pela classe e verifique se tal compreen-
são aconteceu.
A Geometria do taxista (página 304)
Na Geometria do taxista ou Geometria táxi, a me-
nor distância entre dois pontos de um plano não é a 
linha reta. A distância entre dois pontos é medida como 
a viagem de um táxi numa cidade, cujas ruas estendem-
-se vertical e horizontalmente em uma quadra ou malha 
urbana, que convenientemente pode ser associada ao 
plano cartesiano. Ela é considerada uma Geometria não 
euclidiana. Por exemplo, sejam os pontos A e B de co-
ordenadas: A (a1, a2) e B (b1, b2).
•	 A distância euclidiana é dada por: 
d
AB
 5
 
a b a b1 1
2
2 2
2
( ) ( )2 1 2
•	 A distância na Geometria do taxista é dada por: 
d
AB
 5 
a b1 12 1 a b2 22
Enquanto na Geometria euclidiana há apenas uma 
distância entre A e B, na Geometria do taxista existem 
vários valores que representam essa distância.
Evidentemente, neste Módulo os alunos terão apenas 
noções iniciais sobre essa geometria, traçando as diferen-
tes possibilidades de ir de um ponto a outro no plano. 
Nestes contextos, não há como os alunos criarem uma 
forma de sistematização dos resultados, como ocorreu 
com as seções anteriores, em que era possível relacionar 
a uma multiplicação.
respostas e comentários
Exercício 1 (página 300)
1. Na escrita dos resultados possíveis, você pode orien-
tar os alunos a registrar as possibilidades usando 
parênteses.
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 a) A árvore de possibilidades será:
Cara
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Coroa
Moeda
1º- lançamento 2º- lançamento
 b) Os resultados possíveis são: (cara, cara), (cara, 
coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa).
 c) São 4 resultados possíveis. Sentença matemática 
correspondente: 2 3 2 5 4.
 d) Há apenas uma cara em dois resultados: (cara, 
coroa) e (coroa, cara).
 e) Há duas coroas em apenas um resultado: (coroa, 
coroa).
2. a) Uma árvore de possibilidades pode ser:
Cara
Cara
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Coroa
Cara
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Coroa
Moeda
1º- lançamento 3º- lançamento2º- lançamento
Coroa
 b) Os resultados possíveis são: (cara, cara, cara), 
(cara, cara, coroa), (cara, coroa, cara), (cara, coroa, 
coroa), (coroa, cara, cara), (coroa, cara, coroa), 
(coroa, coroa, cara), (coroa, coroa, coroa).
 c) Os resultados possíveis são 8. Expressão numérica 
correspondente: 2 3 2 3 2 5 8.
 d) Há duas caras em 4 resultados: (cara, cara, cara), 
(cara, cara, coroa), (cara, coroa, cara), (coroa, 
cara, cara).
 e) Há apenas uma cara em 3 resultados: (coroa, cara, 
coroa), (coroa, coroa, cara) e (cara, coroa, coroa).
 f) Espera-se que os alunos respondam que é na 
combinação de 1 cara com 2 coroas, pois nos 8 
resultados possíveis essa combinação aparece em 
3 resultados, enquanto há apenas um resultado 
com 3 caras e um com 3 coroas.
3. a) A tabela de dupla entrada é:
 2º- lançamento
1º- lançamento
1 2 3 4 5 6
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
 b) São 36 resultados possíveis. Expressão numérica 
correspondente: 6 3 6 5 36.
 c) Entre os resultados possíveis, apenas um tem a 
soma 12: (6, 6).
 d) Em 9 resultados há dois números pares: (2, 2), (2, 4), 
(2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4) e (6, 6).
 e) Em 15 resultados possíveis, o primeiro número é 
menor que o segundo: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), 
(1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), 
(4, 5), (4, 6), (5, 6).
Observação: nos itens d e e, os alunos não precisam 
citar os pares, mas discuta-os no momento da correção.
4. Vamos considerar as iniciais dos nomes: Pati: P; Mateus: 
M; Júlia: J; Rafael: R.
 a) Uma árvore de possibilidades pode ser:
J
MP
M
J
R
R
J
P
R
M
P
R
M
P
J
M
R
J
R
M
J
P
R
J
R
J
P
P
R
M
R
M
P
J
P
M
J
M
P
1º- lugar 2º- lugar 3º- lugar
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22 Ensino Fundamental
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 b) Para o 1º- lugar, existem 4 resultados possíveis 
(4 nomes); para o 2º- lugar, existem 3 resultados 
possíveis (pois o nome que figura no 1º- lugar está 
“impedido”); para o 3º- lugar, existem 2 resultados 
possíveis (pois 2 nomes estão “impedidos”). Logo, 
ao todo temos: 4 3 3 3 2 5 24, ou seja, há, ao 
todo, 24 resultados possíveis.
 c) Júlia poderia ser a segunda colocada em 6 resul-
tados possíveis: (P, J, M), (P, J, R), (M, J, P), (M, J, R), 
(R, J, M) e (R, J, P).
 d) Rafael poderia ser o terceiro colocado em 6 resulta-
dos possíveis: (P, J, R), (P, M, R), (M, J, R), (M, P, R), 
( J, M, R) e ( J, P, R).
5. a) Existem 4 possibilidades de algarismos para 
cada uma das ordens, porque são duas ordens: 
4 3 4 5 16. Logo, podem ser formados 16 nú-
meros de dois algarismos.
 b) Se começarmos a pensar no número, a partir 
das dezenas, há 4 possibilidades de algarismos 
para a ordem das dezenas e 3 para a ordem 
das unidades, uma vez que não podem ser re-
petidos. Assim, 4 3 3 5 12. Se começarmos a 
pensar a partir da ordem das unidades, também 
será 4 3 3 5 12. Logo, podem ser formados 
12 números de dois algarismos distintos.
 c) Há 9 algarismos possíveis para serem colocados 
na ordem das dezenas (uma vez que não se pode 
começar um número natural pelo algarismo zero) 
e 10 algarismos para serem colocados na ordem 
das unidades. Assim: 9 3 10 5 90. Logo, existem 
90 números de dois algarismos.
 d) Há 9 algarismos possíveis para serem colocados 
na ordem das dezenas (uma vez que não se pode 
começar um número natural pelo algarismo zero) 
e 9 algarismos para serem colocados na ordem 
das unidades (uma vez que não se pode repetir o 
algarismo já usado na ordem das dezenas). Assim: 
9 3 9 5 81. Logo, existem 81 números de dois 
algarismos distintos.
 e) Há 9 algarismos possíveis para serem colocados 
na ordem das centenas (uma vez que não se pode 
começar um número natural pelo algarismo zero) 
e 10 algarismos para serem colocados na ordem 
das dezenas e 10 na ordem das unidades. Assim: 
9 3 10 3 10 5 900. Logo, existem 900 números 
de três algarismos.
 f) Há 9 algarismos possíveis para serem colocados 
na ordem das centenas (uma vez que não se 
pode começar um número natural pelo algaris-
mo zero); 9 algarismos para serem colocados 
na ordem das dezenas (uma vez que não se 
pode repetir o algarismo já usado na ordem das 
centenas) e 8 algarismos para serem colocados 
na ordem das unidades (uma vez que não se 
podem repetir os dois algarismos já usados). 
Assim: 9 3 9 3 8 5 648. Logo, existem 648 
números de três algarismos distintos.
6. a) MAR, MRA, RAM, RMA, ARM, AMR. São 6 ao todo. 
Imaginando a montagem de uma árvore de pos-
sibilidades, percebe-se que, para a 1ª- letra, há 
3 possibilidades; para a 2ª- letra, duas; e para a 
3ª- letra, uma possibilidade. Logo, 3 3 2 3 1 5 6.
 b) AMOR – AMRO OAMR – OARM
AROM – ARMO ORAM – ORMA
AORM – AOMR OMAR – OMRA
MAOR – MARO ROMA – ROAM
MRAO – MROA RMOA – RMAO
MOAR – MORA RAMO – RAOM
Há 24 possibilidades. As possibilidades para a 
1ª- letra são 4; para a 2ª-, 3; para a 3ª-, 2; e para 
a 4ª-, 1. Logo, 4 3 3 3 2 3 1 5 24.
A Geometria do taxista (página 304)
Leia o texto com os alunos, chamando a atenção para 
a ideia de percurso que eles fazem pela cidade quando 
estão de carro.
1. Há diferentes possibilidades. Destacamos algumas, 
indicando pontos para facilitar a distinção entre esses 
caminhos: APB, AQFB, AGB, AQSHIB, AQFB, etc. 
2. 
P
Q
A
R
S
H
G
F
B
I
3. Todos os caminhos considerados no item 1 são os mais 
curtos. Cada um deles mede 2 200 m (113 200 5 2 200). 
Se considerássemos o caminho ARSQPB, por exemplo, 
teríamos 2 600 m.
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Exercício 2 (página 305)
1. Respostas pessoais. Considerando que o ponto P está 
localizado no cruzamento da av. Cel. Silva Teles e rua 
Coronel Quirino e que o ponto H está no cruzamento 
da av. Júlio de Mesquita com av. Benjamin Constant, 
indicamos uma possibilidade:
• Sair da rua Silva Teles, pegar rua Maria Monteiro 
até rua Sampaio Ferraz, pegar rua Coronel Quirino, 
entrar na rua Guilherme da Silva e depois na Júlio 
de Mesquita.
2. Sugere-se o uso de lápis de cor para facilitar a vi-
sualização na malha dos diferentes caminhos traça-
dos. Para as respostas vamos incluir alguns pontos 
intermediários.
a) e b) Há vários caminhos mais curtos que Bia po-
derá fazer para ir à casa de Arthur, num total 
de 5 quadras. Traçamos dois: BPA e BQA.
Q B C
F
E
S
A P D
 c) Há várias possibilidades. Traçamos dois possíveis 
caminhos (CBTD e CBFD). Em ambos, Caio andará 
10 quadras.
B C
F
E
S
A T D
 d) Há várias possibilidades. Em todas David irá percor-
rer 5 quadras. Traçamos dois caminhos possíveis: 
DAE e DVWE.
B C
F
E
W V S
A D
 e) Bia irá percorrer 6 quadras até o supermercado 
caminhando pelo percurso mais curto. Entre as 
várias possibilidades, traçamos duas: BKYS e BZS.
B Z C
K F Y
E
S
A D
 f) Caio caminhará 7 quadras. Entre as várias possibi-
lidades, traçamos duas: CQFJE e CMJE.
B Q C
J F M
E
S
A D
824
Ensino Fundamental
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Teste (página 307)
1. Alternativa A. Os cubos vermelhos são mais numero-
sos, por isso devemos saber onde colocá-los. A estra-
tégia é colocá-los em posições nas quais o número de 
vizinhos é o menor. Por exemplo, nas pontas. Veja, na 
figura, o que acontece quando colocamos na fileira 
de baixo o cubo vermelho nas pontas. A montagem 
com quatro vermelhos só é possível nesse esquema, 
ficando evidente que, no cubo marcado com a inter-
rogação, a cor é vermelha. 
2. Alternativa D. Só há o algarismo 8 que poderá ocu-
par a ordem das unidades. Assim, haverá um total 
de 3 3 3 3 1 5 9 números pares de três algarismos 
(338, 358, 388, 538, 558, 588, 838, 858, 888).
3. Alternativa D. Como não haverá repetição na senha, 
ela terá duas opções para as letras (começando com 
AB ou com BA) e 24 possibilidades para combinar os 
algarismos sem repetição: 2 3 4 3 3 3 2 3 1 5 48.
desafo (página 307)
Lembre-se de que os alunos poderão criar diferentes 
estratégias. Aqui será apresentada uma, por tentativas. 
Consideramos mais fácil começar pelas dentaduras do 
tipo MO e organizar as informações em uma tabela.
MO ME DU Soma
1
2
4 5 (1 1 3)
5 5 (2 1 3)
2 5 (2 3 1)
4 5 (2 3 2)
7
11
Logo, o vampiro possuía 2 dentaduras do tipo MO, 
5 do tipo ME e 4 do tipo DU. Ele tinha mais dentaduras 
do tipo ME.
Em casa (página 308)
1. Os alunos irão montar a árvore de possibilidades, 
concluindo que há 27 maneiras diferentes para 
Mateus montar sua programação com o pai, pois: 
3 3 3 3 3 5 27.
2. 8 3 4 3 5 5 160. Raquel dispõe de 160 opções para 
seu lanche.
3. No momento da correção, se julgar necessário, faça 
um esquema para a situação proposta. Se no edifício 
há 3 portas para entrar e não se quer sair pela mesma 
que entrou, então, há 3 possibilidades para entrar e 
2 para sair, ou seja: 3 3 2 5 6. Assim, há 6 maneiras 
diferentes de entrar nesse prédio e sair dele.
4. a) SAL, SLA, ASL, ALS, LAS e LSA.
 b) CASA, CAAS, CSAA, ACSA, ACAS, AACS, AASC, 
ASCA, ASAC, SACA, SAAC e SCAA.
5. a) Em nosso sistema de numeração, existem 9 000 
números naturais de quatro algarismos, pois: 
9 3 10 3 10 3 10 5 9 000. Chame a atenção 
para o fator 9 (nove algarismos possíveis para a 
ordem das unidades de milhar), pois não existe 
número natural começado pelo algarismo zero.
 b) Há 4 536 números naturais de quatro algarismos 
distintos em nosso sistema de numeração, pois: 
9 3 9 3 8 3 7 5 4 536. Chame a atenção para 
os dois fatores 9: o primeiro porque não existe 
número natural começado pelo algarismo zero, 
o segundo porque não se pode repetir o alga-
rismo que já foi usado (o que também explica 
os fatores 8 e 7).
 c) Podem ser criadas, no total, 175 760 000 placas de 
automóveis, pois: 
26 3 26 3 26 3 10 3 10 3 10 3 10 5 175 760 000.
6. a) Como não é solicitado o menor caminho possível, 
há várias possibilidades. No momento da correção 
discuta isso com os alunos.
 b) No menor caminho possível, Rogério irá caminhar 
10 quadras.
7. Verifique o registro no glossário. Se necessário, so-
cialize os registros da turma.
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AULAS 69 a 72
Objetivos 
•	 Compreender o algoritmo da divisão de números decimais.
•	 Explorar as características do produto e do quociente de números decimais.
•	 Resolver situações-problema com o uso da calculadora.
•	 Resolver expressões numéricas com números naturais e com números decimais.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
69
Retorno das tarefas 6 e 7 do Módulo 24
Procedimentos para a divisão de dois números decimais
Síntese das ideias trabalhadas
Aplicação da propriedade fundamental na divisão de 
números decimais
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
70
Retorno das tarefas 1 e 2
Síntese das ideias trabalhadas
Exercício 1
Análise de produtos e quocientes de números decimais
Características do produto e do quociente de números 
decimais
Exercício 2
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 a 5 (Em casa)
71
Retorno das tarefas 3 a 5
Resolução de situações-problema com o uso da calculadora
Teste (item 3)
Orientações para as tarefas 6 a 8 (Em casa)
72
Retorno das tarefas 6 a 8
Expressões numéricas
Exercício 3
Teste (item 4)
Desafio
Orientações para as tarefas 9 a 11 (Em casa)
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 7 a 10.
25. diViSÃO dE NÚMErOS dECiMAiS
826 Ensino Fundamental
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Material
•	 1 calculadora por aluno.
Noções básicas
Ao final do Módulo, espera-se que os alunos sejam 
capazes de:
•	 associar a divisão à ideia de repartição ou medida;
•	 perceber que algumas propriedades da multiplicação e 
da divisão dos números naturais não são válidas para 
os números decimais;
•	 resolver expressões numéricas envolvendo potenciação.
Estratégias e orientações
Inicialmente será abordado o algoritmo da divisão de 
números decimais e explorado o seguinte fato: o quocien-
te de uma divisão não se altera quando o dividendo e o 
divisor são multiplicados por um mesmo número natural 
diferente de zero. Além disso, será trabalhado o fato de 
que é sempre possível, por meio de uma multiplicação 
por 10, 100, 1 000…, transformar um número decimal em 
um número natural formado pelos mesmos algarismos.
Em nenhum momento será utilizada a expressão “igua-
lar casas”, mas os alunos sempre farão a multiplicação 
do dividendo e do divisor por uma mesma potência de 
10. No início, recomende que eles indiquem as multipli-
cações. Exemplo:
Não dá para dividir 8 unidades por 
20 e obter unidades inteiras. Então, 
coloca-se o 0 no quociente para in-
dicar unidades. As 8 unidades são 
transformadas em 80 décimos.
 3 10 3 10
0,8 : 2 → 0,8 : 2 → 8 : 20
8 0 20
28 0 0,4
0 0
u dec
u dec
A divisão pode traduzir a ideia de repartição ou en-
tão a ideia de medida. Assim, em 8 : 2, tanto faz dizer 
“8 dividido em 2 partes iguais” como “quantas vezes o 
2 cabe no 8”. Se o divisor é um número decimal, só é 
possível a ideia de medida: “quantas vezes o divisor cabe 
no dividendo”. Por exemplo, em 1 : 0,5, pergunta-se: 
“quantas vezes 0,5 cabe em 1?”. A resposta é 2 (2 vezes, 
e não 2 inteiros).
Sendo o dividendo decimal e o divisor natural, usa-se 
a ideia de repartição. Por exemplo,0,2 : 2 significa dividir 
0,2 em 2 partes iguais.
No início do trabalho com esse algoritmo, é comum 
os alunos cometerem alguns equívocos:
•	 não multiplicar o dividendo e o divisor por um 
mesmo número, confundindo com o algoritmo da 
multiplicação;
•	 ao fazer a transformação de uma ordem para a ordem 
imediatamente inferior, colocar zero no quociente. Indi-
car as ordens no quociente (como no exemplo anterior) 
é uma estratégia que pode evitar esse tipo de erro.
Cada aluno tem o seu tempo para chegar à abstração. 
Enquanto alguns, logo no início do processo, já fazem 
diretamente as multiplicações do dividendo e do divisor 
por um mesmo número, outros ainda necessitam fazer 
os registros das multiplicações por certo período. É fun-
damental permitir que cada um siga seu próprio ritmo.
Seria interessante o professor conversar com os alunos 
sobre a questão do resto em se tratando de divisão com 
números decimais. Por exemplo, quando dividimos 24 
por 11, encontramos quociente 2 e resto 2; ao dividirmos 
2,4 por 1,1, transformamos o dividendo e o divisor em 
números naturais; no entanto, o resto será alterado, pois 
será 0,2, e não 2. Dessa forma, as transformações feitas 
no dividendo e no divisor não alteram o quociente, mas 
alteram o resto.
Na segunda aula do Módulo, serão exploradas algu-
mas multiplicações e divisões, por meio das quais os 
alunos poderão tirar conclusões sobre o comportamento 
do produto em que um dos fatores é um número com-
preendido entre 0 e 1, bem como do quociente, quando 
o divisor tem essa mesma característica. A sistematização 
desse fato se faz necessária para que os alunos percebam 
que alguns fatos válidos para números naturais não são 
para os decimais. Por exemplo, fatos como “o produto 
é sempre igual ou maior que os fatores” ou “quando se 
divide, obtém-se um número menor que o dividendo” são 
válidos apenas para números naturais diferentes de zero.
Na terceira aula, serão exploradas situações-problema 
com o uso da calculadora. É fundamental que os alunos 
utilizem apenas a calculadora para resolvê-las e registrem 
as estratégias elaboradas.
Na quarta aula, será retomada a resolução de expres-
sões numéricas, já trabalhadas no ano anterior, com a 
ampliação para o uso da potenciação, bem como de 
números decimais.
Atividades de construção de conceitos
Procedimentos para a divisão de dois números 
decimais (página 310)
Os exercícios estão sequenciados com o objetivo de 
conduzir os alunos às conclusões sobre os procedimen-
tos, devendo ser corrigidos um a um, à medida que forem 
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realizados, para não haver distorções. Sugerimos que a 
turma trabalhe em duplas e que o professor circule pela 
classe conferindo cada resultado.
Síntese das ideias trabalhadas (página 311)
O texto traz uma síntese dos procedimentos explora-
dos nos itens 1 e 2. Faça a leitura com os alunos, com 
as devidas complementações. O terceiro procedimento 
refere-se a uma propriedade que, dada a sua importân-
cia para a divisão de números decimais, é chamada de 
propriedade fundamental.
Aplicação da propriedade fundamental na 
divisão de números decimais (página 311) 
Esta seção visa aplicar a propriedade fundamental da 
divisão, sintetizada anteriormente, visando à construção 
de uma ideia fundamental para a compreensão de quais 
transformações feitas no dividendo e divisor podem al-
terar ou não o quociente. 
Síntese das ideias trabalhadas (página 311)
Leia o texto síntese com os alunos, verificando se 
ainda existem dúvidas quanto ao procedimento utiliza-
do. Como destacado anteriormente, alguns alunos irão 
perceber rapidamente a multiplicação que precisará ser 
feita ao dividendo e ao divisor, não havendo necessidade 
de indicá-la. O importante, em cada correção que você 
fizer, é chamar a atenção dos alunos para isso.
Se julgar conveniente, neste momento, poderá ex-
plorar o fato de que, ao multiplicar o dividendo por um 
número diferente de zero, o resto fica alterado. Ilustre 
com alguns exemplos.
Ao término desta seção de construção, os alunos de-
verão realizar o Exercício 1.
Análise de produtos e quocientes de números 
decimais (página 314)
Libere o uso da calculadora nesta atividade, visto que 
o objetivo é fazer com que os alunos percebam regulari-
dades nas multiplicações de números decimais.
Características do produto e do quociente de 
números decimais (página 316)
Leia o texto coletivamente com os alunos, fazendo as 
intervenções necessárias. Os quadros ao lado de cada 
explicação têm como objetivo ajudar os alunos a perceber 
as regularidades quando se mantém o primeiro termo 
(primeiro fator ou dividendo) fixo e o segundo termo 
(segundo fator ou divisor) varia.
Ao final do texto, há uma pergunta em destaque. 
Após as possíveis respostas dos alunos, busque explicar 
essa impossibilidade pela operação inversa. Considere 
os dois casos:
1. divisor 5 0 e dividendo ? 0 → nesse caso não 
existe quociente, pois, aplicando a operação inversa, 
teríamos um número multiplicado por zero, resultando 
num produto diferente de zero, o que é impossível.
2. divisor 5 0 e dividendo 5 0 → nesse caso, qual-
quer número serve como quociente, pois, pela opera-
ção inversa, qualquer número multiplicado por 0 resulta 
em 0, o que contradiz a exigência de resultado único.
Comente ainda que a divisão é possível no caso de di-
videndo nulo e divisor não nulo. Nesse caso, o quociente 
é zero. Use também a operação inversa para justificar.
Ao final desta seção, os alunos deverão fazer o Exer-
cício 2.
resolução de situações-problema com o uso da 
calculadora (página 317)
Situações como as propostas neste tópico estimulam 
os alunos a criarem estratégias de resolução com base 
nas propriedades e nos fatos estudados anteriormente. 
Eles poderão trabalhar em pequenos grupos para que 
haja a troca de ideias. É fundamental que as estraté-
gias utilizadas sejam registradas, para o momento 
da socialização. Nesse momento, registre as estratégias 
que surgiram nos pequenos grupos e discuta-as com 
toda a classe. Em situações como essa, é importante 
que o professor também crie sua estratégia e, caso ela 
não apareça na classe, registre-a juntamente com a dos 
alunos, explicando seu raciocínio.
Para cada situação proposta, estamos indicando uma 
ou duas possibilidades. Lembre-se de que, em situações 
de resolução de problemas, os alunos nos surpreendem 
com as estratégias que eles próprios criam. Intervenha 
apenas naqueles grupos em que constatar que os alunos 
estão apresentando alguma dificuldade.
Expressões numéricas (página 317)
O texto pretende retomar as convenções para a reso-
lução das operações em uma expressão. Explore-o com 
a turma, fazendo as intervenções necessárias. Como já 
destacado anteriormente, essas convenções já foram traba-
lhadas no material do Sistema de Ensino no 5°- ano, com 
o uso de números naturais. As novidades estão no uso 
da potenciação e em expressões com números decimais.
Ao final desta seção, os alunos farão o Exercício 3.
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Ensino Fundamental
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respostas e comentários
Procedimentos para a divisão de dois números 
decimais (página 310)
1. a) O quociente ficará multiplicado por 2.
 b) O quociente ficará dividido por 2.
 c) O quociente permanecerá o mesmo.
2. a) O quociente ficará multiplicado por 10.
 b) O quociente ficará dividido por 10.
 c) O quociente permanecerá o mesmo.
 d) O quociente ficará dividido por 10. 
Aplicação da propriedade fundamental na 
divisão de números decimais (página 311)
1. a) O quociente permanecerá o mesmo.
 b) 200 : 5 5 40
 c) 20 : 0,5 5 40. O quociente é o mesmo de 200 : 5, 
pois o dividendo e o divisor foram multiplicados 
por 10.
2. a) Multiplicando-o por 10, 100, 1 000…
0,6 3 10 5 6
 b) Multiplicá-lo por 10 (10 3 3 5 30).
 c) 6 : 30 5 0,2
 d) 0,6 : 3 5 0,2. O quociente é o mesmo de 6 : 30,pois o dividendo e o divisor foram multiplicados 
por 10.
3. a) 1,5 : 0,03
 3100 ↓ ↓3 100
 150 : 3 5 50
 b) 1,5 : 0,03 5 50, ou seja, 0,03 cabe 50 vezes em 1,5.
4. Incentive os alunos a utilizarem cálculo mental para 
realizar as divisões propostas.
 a) 2 b) 0,2 c) 20 d) 2 e) 30
Exercício 1 (página 313)
1. a) 30
 b) 30
 c) 0,22
 d) 0,02
 e) 4,8
 f) 2 000
 g) 5
 h) 1,5625
2. a) 3,75 b) 0,08 c) 2,15
3. O divisor dessa divisão é 12, e o quociente é 3,75.
Análise de produtos e quocientes de números 
decimais (página 314)
Inicialmente, oriente-os a realizar as multiplicações 
indicadas para, posteriormente, responderem às ques-
tões propostas.
1. a) 100
 b) 10
 c) 1
 d) 0,1
 e) 6
 f) 0,6
 g) 0,06
 h) 0,006
Espera-se que os alunos percebam que o produto 
pode ser menor que os fatores. Isso vai ocorrer toda vez 
que um número for multiplicado por outro compreendido 
entre 0 e 1. Se necessário, dê-lhes outras multiplicações 
para que as realizem na calculadora e constatem a vera-
cidade dessa conclusão.
2. Proceda de maneira análoga para a divisão.
 a) 0,16
 b) 1,6
 c) 16
 d) 160
 e) 0,24
 f) 2,4
 g) 24
 h) 240
Espera-se que os alunos concluam que, toda vez que 
o divisor for um número compreendido entre 0 e 1, o 
quociente será maior que o dividendo.
Exercício 2 (página 316)
As situações aqui propostas são de estimativa. Cer-
tifique-se de que os alunos irão resolvê-las sem a reali-
zação do algoritmo ou o uso da calculadora. Sugerimos 
que as calculadoras sejam recolhidas. Dê-lhes um tempo 
para a realização individual, depois poderá ser feita uma 
discussão em pequenos grupos. É importante que os 
alunos deixem registrado como pensaram. No momento 
da correção, é fundamental que esses raciocínios sejam 
discutidos e socializados.
1. Alternativa B: 5,8. Como o segundo fator é um núme-
ro compreendido entre 0 e 1, o produto será menor 
que 8 (o primeiro fator).
2. Alternativa C: 3,90. A explicação pode ser baseada 
na parte inteira de cada fator: o primeiro fator está 
compreendido entre 2 e 3; o segundo, entre 1 e 2, 
logo, o produto estará compreendido entre 2 e 6.
3. Alternativa D: 6. Pode-se argumentar que o segundo 
fator é um número compreendido entre 0 e 1, mas 
próximo a 1 (0,8); logo, o produto será um número 
próximo a 6,25.
4. Alternativa B: 20. Pode-se argumentar que o divisor é 
um número entre 0 e 1, logo o quociente será maior 
que 8,4; como 0,4 é menor que meio (0,5), o quo-
ciente será maior que 16. O número mais próximo 
de 16 é 20.
5. Alternativa D: 320. Pode-se argumentar que o divi-
sor é um número compreendido entre 0 e 1. Nesse 
caso, trata-se de centésimo, o que implica multiplicar 
dividendo e divisor por 100 para torná-los naturais; 
ao proceder assim, passa-se a ter 3 600 : 12 5 300. 
Evidentemente, espera-se que se faça cálculo mental.
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6. Alternativa A: 0,02. Uma justificativa possível é que 
a divisão se refere a um número próximo da metade 
de 5 centésimos (que seria 0,025). O número mais 
próximo é 0,02.
resolução de situações-problema com o uso da 
calculadora (página 317)
1. Neste primeiro item, os alunos deverão determinar 
o quociente e o resto de cada uma das divisões, 
utilizando a calculadora. Uma estratégia possível é 
realizar a divisão, inicialmente obtendo o quociente 
e desprezando as ordens decimais. Multiplicando esse 
quociente pelo divisor, a diferença entre esse produto 
e o dividendo será o resto da divisão. Ou seja, eles 
poderão aplicar a propriedade:
Outra estratégia possível é usar estimativas para a 
multiplicação. Os alunos poderão estimar quantas 
vezes o divisor cabe no dividendo e obter os produtos 
usando a calculadora.
 a) Quociente 7 e resto 6.
 b) Quociente 20 e resto 5.
 c) Quociente 22 e resto 6.
2. Neste item, os alunos não poderão utilizar a tecla da 
divisão. Eles poderão efetuar as divisões indicadas ou 
como subtrações sucessivas ou utilizando estimativas 
e cálculo mental (ou seja, primeiro os alunos precisam 
pensar nas estratégias e depois aplicá-las na calcu-
ladora). Se preferirem aplicar a ideia das subtrações 
sucessivas, podem indicar a primeira subtração na 
calculadora e apertar sucessivamente a tecla igual, 
contando quantas vezes foi utilizada. Por exemplo, 
na alternativa A teríamos: 143 2 15 5 5 5 5 5 5 5 
5 5. Apertando 9 vezes a tecla 5 , vai aparecer 
8 no visor, o que não permite continuar subtraindo 
15 (lembrando que estamos operando com números 
naturais). Neste caso, o quociente é 9 e o resto, 8.
 a) Quociente 9 e resto 8.
 b) Quociente 13 e resto 25.
 c) Quociente 4 e resto 200.
3. Para resolver as multiplicações indicadas, sem o uso 
da tecla da multiplicação, os alunos poderão utilizar 
cálculo mental ou fazer decomposições e depois usar 
a calculadora para os cálculos escolhidos.
 a) 250 3 12 5 3 000. Pode-se pensar em 
(250 3 10 1 250 3 2), que é um cálculo mental 
fácil de ser realizado. Nesse caso, basta indicar 
Dividendo 5 divisor 3 quociente 1 resto 
2 500 (pois já conhecem a multiplicação por 10) 
na calculadora e acrescentar 250 duas vezes. 
Ou ainda: 
1 000 3 12 5 12 000 (multiplicando o primeiro 
fator por 4)
12 000 : 4 5 3 000 (dividindo o produto por 4 para 
compensar o resultado).
Assim, na calculadora, os alunos digitam 12 000 
(pois já conhecem a multiplicação por 1 000) e 
fazem 12 000 : 4, obtendo 3 000.
 b) 120 3 0,5 5 60.
Pode-se pensar em 120 : 2 5 60, ou seja, como 
0,5 é a metade de 1, então, o quociente será a 
metade de 120. 
Ou ainda: 
120 3 1 5 120 (multiplicou-se o segundo fator 
por 2)
120 : 2 5 60 (dividiu-se o produto por 2 para 
compensar o resultado)
Assim, na calculadora, eles devem digitar direta-
mente 120 : 2, obtendo 60.
 c) 2,5 3 8 5 20.
Pode-se pensar que 2,5 é a quarta parte de 10. 
Assim:
10 3 8 5 80
80 : 4 5 20
Nesse caso, digitam diretamente na calculadora 
80 : 4, obtendo 20.
Ou ainda: 2 3 8 5 16
0,5 3 8 5 4 (multiplicar por 0,5 é o mesmo que 
encontrar a metade)
16 1 4 5 20
Assim, na calculadora, digita-se diretamente 16 1 4, 
obtendo 20.
Exercício 3 (página 318)
1. a) 145 – 2 3 25 5 145 – 50 5 95
 b) 20 1 27 3 7 5 20 1 189 5 209
 c) 49 – 24 5 25
 d) 3 3 92 5 3 3 81 5 243
 e) 180 – (25 – 15)2 5 180 2 102 5 180 – 100 5 80
 f) 13 3 (20 2 13)2 5 13 3 72 5 13 3 49 5 637
 g) 1,06 1 1,75 5 2,81
 h) 3,6 : 0,6 5 6
 i) (0,28)2 1 2,0125 5 0,0784 1 2,0125 5 2,0909
 j) (1,5 – 1,2)3 5 (0,3)3 5 0,027
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2. a) 50,00 – 2 3 (8,50 1 3,80) 5
5 50,00 – 2 3 12,30 5
5 50,00 – 24,60 5 25,40
Júlia recebeu R$ 25,40 de troco.
 b) Espera-se que os alunos percebam que a adição 
entre parênteses indica o quanto cada uma gastou: 
R$ 12,30.
 c) As duas gastaram juntas, R$ 24,60. É o resultado 
da multiplicação de 2 por 12,30.
3. As respostas são pessoais. Se julgar conveniente, peça 
aos alunos que elaborem as situações-problema e 
depois troquem os cadernos para que os colegas 
confiram os contextos criados.
Como os números estão com duas ordens decimais, 
vamos apresentar uma situação possível para cada 
item usando dinheiro.
 a) Marta e sua filha Talita, durante um passeio no 
parque da cidade, pararam na lanchonete para um 
lanche. Cada uma escolheu um suco por R$ 2,50 e 
um pão com manteiga na chapa por R$ 2,30. Mar-
ta deu uma nota de R$ 20,00 para pagar a conta. 
Quanto recebeu de troco?
20,00 – 2 3 (2,50 1 2,30) 5 
5 20,00 – 2 3 4,80 5
5 20,00 – 9,60 5 10,40
 b) Talita comprou 2 sorvetes – um para ela mesma e 
outro para sua mãe. Pagou R$ 2,50 cada um. Deu 
uma nota de R$ 20,00 para pagar. Em seguida, sua 
mãe lhe deu R$ 4,30 que tinha no seu bolso. Com 
quanto Talita ficou?
20,00 – 2 3 2,50 1 4,30 5 
5 20,00 – 5,00 1 4,30 5
5 15,00 1 4,30 5 19,30
Teste (página 320)
1. Alternativa B. Oriente os alunos a, inicialmente,ana-
lisarem a veracidade de cada afirmação. Por exemplo:
 I. 0,0205 . 0,025 é falsa, pois 0,0205 , 0,0250
 II. 100 3 0,0205 5 20,5 é falsa, pois 
100 3 0,0205 5 2,05.
III. 0,025 : 10 5 0,0205 é falsa, pois 
0,025 : 10 5 0,0025.
Logo, apenas as três afirmações são falsas (alterna-
tiva B).
2. Alternativa A. Os alunos poderão fazer os cálcu-
los; no entanto, no momento da correção discuta 
com eles as relações entre as duas operações, sem 
necessidade de fazer os cálculos. Para a primeira 
multiplicação é válida a divisão: 25 488 : 177 5 144. 
Comparando essa divisão com a segunda, constata-se 
que o dividendo foi dividido por 100 (254,88) e 
o divisor por 1 000 (0,177), portanto, o dividendo 
terá que ser multiplicado por 10 para se efetuar a 
nova divisão. Assim, o quociente vai aumentar 10 
vezes, ou 254,88 : 0,177 5 1 440.
3. Alternativa C. O cálculo a ser feito é: 
(2,5 3 14) : (25 3 1,4) 5 35 : 35 5 1
4. Alternativa B. Os alunos deverão transformar em 
expressão numérica a encomenda do cliente consi-
derando a quantidade de caixas e a quantidade de 
cupcakes de cada uma.
desafo (página 321)
1. A multiplicação indicada é:
 415
3 382
830
33 200
124 500
158 530
2. O vidro estará pela metade às 14 horas, 59 minutos 
e 59 segundos, pois os micróbios duplicam a cada 
segundo.
Em casa (página 321)
1. Esta tarefa tem como objetivo explorar algoritmos 
em que pelo menos um dos fatores tenha mais do 
que dois algarismos. No momento da correção, cer-
tifique-se de que os alunos deixaram os algoritmos 
indicados, ou seja, não usaram a calculadora para os 
cálculos dando apenas as respostas.
 a) 4
 b) 1 440
c) 90
d) 83,968
2. Nesta tarefa também exija o registro do algoritmo 
utilizado.
 a) 12,6
 b) 10,25
c) 20
d) 0,05
3. No momento da correção, solicite aos alunos que 
expliquem como pensaram para resolver a sequência 
de cada um dos itens.
 a) 3 – 30 – 0,3 – 3
 b) 2 – 2 – 0,2 – 20
 c) 3 – 3 – 30 – 0,3
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4. a) 2,4
 b) 200
 c) 400
d) 0,015625
e) 8
f) 15
5. a) Qualquer número maior que 1.
 b) 1
 c) Qualquer número compreendido entre 0 e 1.
 d) 0
6. a) Maior que 1.
 b) Igual a 1.
 c) Compreendido entre 0 e 1.
 d) Maior que 1.
 e) Igual a 1,2.
7. O objetivo desta tarefa é reforçar os algoritmos da 
multiplicação e da divisão de números decimais.
 a) 
0,05
0,001
0,002
0,02 0,1 5 20
0,5 100
50
0,3888
0,72
1,2
1,5 0,8 0,75 1,2
0,6 0,9
0,54
 b)
8. O objetivo desta tarefa é retomar os algoritmos das 
operações com números decimais.
 a) 0,05 0,5 0,87 87
3 10 1 0,37 3 100
 b) 40 20 100 92,2
3 0,5 : 0,2 – 7,8
 c) 78,75 2,95 5,9 10
– 75,8 : 0,5 1 4,1
 d) 5 4 2 4
3 0,8 : 2 : 0,5
9. Nesta tarefa os alunos irão ler, interpretar as situações 
propostas e escrever a expressão numérica corres-
pondente.
 a) 52 – 2 3 17 5 18. Rafael ainda tem 18 jogos para 
agrupar.
 b) 120 1 2 3 27 5 174. O parque aquático ficou com 
174 jovens.
 c) (132 1 144) : 12 5 23. Cada um dos colegas de 
Sílvio receberá 23 revistas (independentemente 
dos títulos).
 d) 5 3 64 1 4 3 56 1 3 3 50 5 694. A confeitaria 
entregou 694 doces.
10. a) 22
 b) 111
 c) 68
 d) 30
 e) 16
 f) 1,5
 g) 0,02
 h) 0,5636
11. Verifique as anotações no glossário. Se julgar neces-
sário, complemente as informações. 
8
32 Ensino Fundamental
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AULAS 73 a 75
Objetivos 
•	 Retomar as unidades de medida de comprimento, massa e capacidade.
•	 Identificar a unidade de referência em cada sistema de medida.
•	 Converter unidades de medida.
•	 Conhecer a grafia dos símbolos que expressam medidas.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
73
Retorno das tarefas 9 a 11 do Módulo 25
As medidas em nosso cotidiano
Mas o que é medir?
De olho na grafia dos símbolos
Exercício 1
Teste (item 1)
Orientações para a tarefa 1 (Em casa)
74
Retorno da tarefa 1
Medidas de comprimento
Exercício 2
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 2 a 6 (Em casa)
75
Retorno das tarefas 2 a 6
Medidas de capacidade
Medidas de massa
Exercício 3
Teste (item 3)
Orientações para as tarefas 7 a 11 (Em casa)
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 11 a 19.
26. MEdidAS
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Noções básicas 
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos sejam 
capazes de:
•	 identificar, em contextos diversos, a unidade de me-
dida mais adequada a ser utilizada;
•	 escolher os procedimentos necessários para realizar 
a conversão de unidades;
•	 utilizar corretamente os símbolos que expressam as 
unidades de medida.
Estratégias e orientações
É importante destacar que os alunos do Sistema de 
Ensino já têm contato com as unidades de medida de 
comprimento, massa e capacidade (seus múltiplos e 
submúltiplos) desde os anos iniciais do Ensino Fun-
damental. Portanto, este Módulo visa a uma retomada 
dessas unidades de medida, e a maioria de seus textos 
informativos poderá ser trabalhada em forma de re-
visão, sugerindo-se aos alunos que os consultem em 
caso de dúvida.
Atividades de construção de conceitos
As medidas em nosso cotidiano (página 324)
Em grupo, proponha aos alunos que leiam o texto, 
sublinhem as unidades de medida nele contidas e, em 
seguida, organizem-nas no quadro proposto.
Mas o que é medir? (página 325)
Neste texto é importante destacar que a grandeza a 
ser medida e a unidade de medida escolhida precisam 
ser da mesma natureza, ou seja: comprimento se mede 
com comprimento, massa com massa, superfície com 
superfície, etc.
Discuta com eles o fato de se ter usado o corpo 
como unidade de referência por muitos anos. Dessas 
medidas corporais, a polegada ainda permanece na 
nossa cultura.
de olho na grafa dos símbolos (página 327)
É fundamental trabalhar com os alunos esse boxe, 
uma vez que, frequentemente, encontramos os símbolos 
relativos às unidades de medida grafados erroneamente.
Embora os símbolos sejam grafados em letras mi-
núsculas, no caso do litro, utiliza-se L, pois com a grafia 
dessa letra no computador, ela se assemelha a 1, podendo 
gerar confusão. 
Medidas de comprimento (página 328)
Faça a leitura do texto e retome com os alunos o 
quadro de unidades com o metro e suas unidades 
múltiplas e submúltiplas. Embora a maioria dos auto-
res utilizem a nomenclatura múltiplos e submúltiplos 
do metro (de forma análoga, para o litro e o grama), 
optaremos por utilizar a nomenclatura “unidades múl-
tiplas e submúltiplas”. Destacamos que ambas estão 
corretas. Retome, ainda, os procedimentos para a 
conversão de uma unidade em outra. No caso da 
leitura, pode-se usar o modo corrente de realizá-la. 
Por exemplo: 2,5 m poderá ser lido como “2 vírgula 
5 metros”, ou “2 metros e meio”.
É importante destacar que, em nossa cultura, as unida-
des mais utilizadas são o quilômetro, o metro, o centíme-
tro e o milímetro. Discuta com a turma alguns contextos 
que podem ser medidos com essas unidades.
Medidas de capacidade (página 330)
Proceda de forma análoga às medidas de compri-
mento, destacando as unidades de capacidade de uso 
corrente e outras regionais, se existirem.
Medidas de massa (página 331)
Explore o quadro de unidades de massa, destacando 
que a unidade de referência é o quilograma.
Discuta com os alunos a existência de outras unida-
des que não pertencem a esse quadro, mas são próprias 
da região. Por exemplo, dependendo da região de sua 
escola, a arroba é uma unidade utilizada para a massa 
de animais de grande porte.
respostas e comentários
As medidas em nosso cotidiano (página 324)
1. Os alunos devem sublinhar as unidades de medida: 4 
metros, 200 quilogramas, 22 meses, 100 quilogramas, 
90 centímetros, 11 litros e 70 anos.
2.
Grandezas Medidas
Tempo 22 meses e 70 anos
Comprimento 4 metros, 90 centímetros
Massa 200 quilogramas,