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SERIE
NUEVAS
MIRADAS
Solucionario
Matemática
1
Gerente general
Claudio De Simony
Directora editorial
Alina Baruj
Autores
Liliana Kurzrok (Coord.)
Manuela Gutiérrez Böhmer
Editora
Nora Manrique
Jefa de arte
Eugenia Escamez
Coordinadora de arte y
diseño de maqueta
Lorena Morales
Diagramación
Sergio Israelson
Asistente editorial
Carolina Pizze
Producción editorial
Gustavo Melgarejo
Solucionario Matemática 1
Gutiérrez Böhmer, Manuela
Solucionario matemática 1 : serie
nuevas miradas / Manuela Gutiérrez
Böhmer ; coordinación general de
Liliana Edith Kurzrok. - 1a ed . -
Ciudad Autónoma de Buenos Aires :
Tinta Fresca, 2018.
72 p. ; 28 x 21 cm.
ISBN 978-987-759-127-9
1. Guía del Docente. I. Kurzrok,
Liliana Edith, coord. II. Título.
CDD 371.1
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escritura. En efecto, la fotocopia de
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En español, el género masculino
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de ambos géneros dificulta la lectura,
los responsables de esta publicación
emplean el masculino inclusor en todos
los casos.
© Tinta fresca ediciones S. A.
Corrientes 534, 2do piso
(C1043AAS)
Ciudad de Buenos Aires
Hecho el depósito que establece
la ley 11.723.
Libro de edición argentina.
Impreso en la Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-759-127-9
Matemática 1 Solucionario 3
Capítulo 1. Los números naturales ....................... 4
Capítulo 2. Ángulos y triángulos ......................... 12
Capítulo 3. Los números racionales .................... 17
Capítulo 4. Los polígonos ................................... 23
Capítulo 5. Operaciones con números
racionales ........................................................... 30
Capítulo 6. Iniciación a las prácticas
algebraicas ......................................................... 38
Capítulo 7. Iniciación al estudio de funciones ..... 43
Capítulo 8. Relaciones de proporcionalidad ...... 50
Capítulo 9. Perímetros y áreas de figuras ........... 56
Capítulo 10. Cuerpos geométricos ..................... 61
Capítulo 11. Estadística y probabilidad .............. 66
Índice
4
Capítulo 1
Los números naturales
Páginas 8 y 9.
Lectura y escritura de números grandes
1. a. 20.500.000
b. 2 × 10 6 ; 20.000.000; 20,5 millones; 42.000.000.
c. i. 12.000.000. ii. 19.024.
2. a. 1869: Un millón ochocientos mil. 1895: Cuatro
millones. 1914: Siete millones novecientos mil. 1947:
Quince millones ochocientos mil. 1960: Veinte millones.
1970: Veintitrés millones trescientos mil. 1980: Veinti-
siete millones ochocientos mil. 1991: Treinta y dos mi-
llones seiscientos mil. 2001: Treinta y seis millones dos-
cientos mil. 2010: Cuarenta millones ciento diecisiete
mil noventa y seis.
b. Entre 1914 y 1947 creció más la población. Porque
la cantidad de habitantes aumentó 7.900.000, que es la
mayor diferencia entre un censo y el siguiente.
c. El país que tiene la mayor cantidad de habitantes es
Brasil con 190.572.694 y el país con menor cantidad es
Uruguay con 3.286.314 habitantes.
d. Uruguay (3.286.314). Paraguay (6.672.631). Bolivia
(10.059.856). Chile (16.572.475). Brasil (190.572.694).
3. a. 4.725.123: cuatro millones setecientos veinticin-
co mil ciento veintitres. 676.174: seiscientos seten-
ta y seis mil ciento setenta y cuatro.150 mil: 150.000.
1,79 millones: 1.790.000, un millón setecientos noven-
ta mil. 1,26 millones: 1.260.000, un millón doscientos
setenta mil. 382 mil: 382.000, trescientos ochenta y
dos mil. 347 mil: 347.000, trescientos cuarenta y sie-
te mil.130.026: ciento treinta mil veintiseis. 4,39 millo-
nes: 4.390.000, cuatro millones trescientos noventa mil.
535.000: quinientos treinta y cinco mil.
b. Se usó esa forma de escribir para ocupar menos es-
pacio, no escribir tantos ceros y que la lectura sea más
directa o sencilla.
4. a. 99.990. b. 999.900. c. 10.100.000.
d. 900.000. e. 9.999.999. f. 4.200.043.
5. a. Por ejemplo: 100.000.039, 10.000.043, 10.000.050.
b. Por ejemplo: 100.000.009, 100.000.070, 100.000.099.
6. a. ii. 3.090.010. b. iii. 85.040.253.
7. a.
1.000.000 1.200.000 1.600.000 1.750.000 2.000.000
Solucionario
b.
c.
Páginas 10 y 11.
Composición y descomposición en
potencias de 10
1. a. Ganó Camilo porque sacó 1.322 puntos, en cam-
bio Martina sacó 521 puntos.
b. Martina tiene que sacar 801 puntos y debe clavar
8 dardos en la zona de 100 puntos y un dardo en la
zona que suma 1 punto. En total debe tirar 9 dardos
para igualar el puntaje de Camilo.
2. a. Beatriz sumó más, porque obtuvo 10.900 puntos;
en cambio Alberto sumó 7.030.
b. Beatriz tiene que hacer como mínimo 896.130. Sí,
ella tiene una única forma porque puede responder
hasta 9 preguntas en cada nivel.
c. Sergio obtiene 2.222.222 puntos.
d.
Participante Horacio Luisa Eduardo Estela Alejandro
Nivel 1 4 2 0 0 6
Nivel 2 5 6 2 4 6
Nivel 3 6 7 0 0 8
Nivel 4 4 8 8 6 7
Nivel 5 5 3 0 8 9
Nivel 6 2 0 3 1 0
3. a. 3.802.009. b. 5.008.040.
4. Dan como resultado 4.789.563 las cuentas b. y d.
5. Ordenados de menor a mayor: a, b, d y c.
6. a. 500.000. b. 80.000.000. c. 21.000. d. 345.000.
7. a. 7 × 10 6 . b. 1,8 × 10 7 . c. 4,5 × 10 10 . d. 2,3 × 10 8 .
8. a. La tierra está más cerca del Sol, a 150.000.000 de
kilómetros y Marte, a 228.000.000 de kilómetros.
b. Neptuno está más lejos del Sol, a 4.495 millones de
kmilómetros y Saturno, a 1.430 millones de kilómetros.
Página 11.
Aprender con la calculadora
1. 1.300.000 + 536. 2.300.000 + 10.536.
2.300.000 – 1.190.000.
2. 37.486 + 100.
3.000.000 3.500.0003,08 millones 3,8 millones 4.000.000
5.999.9995.000.000
5.075.000 5.750.000
7.000.000
Matemática 1 Solucionario 5
3. Por ejemplo: 247.586 + 1.000. 247.586 – 10.000.
4. 875.987 – 75.900; 875.987 – 5.987; 875.987 – 75.987.
5. 1.985.653 – 985.053.
6. 8.974.123.515 – 974.023.510.
7. 567.789.987 – 7.009.080.
8. 470.000 + 1.000.000.
9. Resolución personal.
Páginas 12 y 13.
Multiplicación y división entre números
naturales
1. a. Se ubican 36 deportistas en cada fila.
b. Sí, es posible. Se ubican en 30 filas de 60 deportistas
cada una. Sí, en 40 filas de 45 deportistas cada una. No
es posible que se ubiquen en 80 filas porque 1.800 no
es múltiplo de 80.
2. a. Por ejemplo: 48 × 10, 240 × 2. Hay 12 productos
diferentes porque 480 tiene 24 divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 80, 96, 120,
160, 240 y 248. b. 137 × 1 es la única multiplicación
posible porque 137 tiene solo 2 divisores: 1 y 137.
3. a. 16 baldosas por fila. b. 64 baldosas por fila.
c. Alcanza para 8 filas. d. Por ejemplo: 192 filas de
4 baldosas, 6 filas de 128 baldosas.
4. a. i. 92 × 42 = (184 : 2) × 42 = (184 × 42) : 2 = 7.728 : 2 =
3.864.
ii. 184 × 7 = 184 × (42 : 6) = (184 × 42) : 6 = 7.728 : 6 = 1.288.
iii. 184 × 1 = 184 × (42 : 3) = (184 × 42) : 3 = 7.728 : 3 = 2.576.
iv. 92 × 84 = (184 : 2) × (42 × 2) = [ (184 × 42) : 2] × 2 =
[7.728 : 2] × 2 = 7.728.
v. 46 × 21 = (184 : 4) × (42 : 2) = (184 × 42) : 4 : 2 =
7.728 : 8 = 996.
b. Por ejemplo: 184 × 6; 92 × 21; 364 × 42.
5. El número es 20 porque 540 : 27 = 20, entonces
27 × 20 = 540.
6. El número que se dividió es 6.750 porque 450 × 15 =
6.750, entonces 6.750 : 15 = 450.
7. a. 945 : 27 = 35.
b. 945 : 35 = 27.
c. 35 × 27 = 35 × 9 × 3 = ( 35 × 3 ) × 9 = ( 105 )× 9 = 945
entonces 945 : 9 = 105.
d. 35 × 27 = (7 × 5) × 27 = (27 × 5) × 7 = 135 × 7 = 945,
entonces 945 : 7 = 135.
e. 35 × 27 = (7 × 5) × (3 × 9) = (5 × 9) × (7 × 3) =
54 × 27 = 945, entonces 945 : 27 = 54
8. a. Sí. Como 18 = 9 × 2 entonces
24 × 18 = 24 × 9 × 2 = ( 24 × 2 ) × 9 = 432.
b. No, ni 24 ni 18 son múltiplos de 7, y 7 es un núme-
ro primo, no se puede componer con factores de 24
y de 18.
c. Sí, porque 24 × 18 = ( 12 × 2 ) × 18 = 12 × ( 2 × 18 ) =
12 × 36 = 432 .
d. Sí, porque 24 × 18 = 3 × 8 × 9 × 2 = 27 × 8 × 2 =
27 × 18 = 432.
e. No, porque 21 es múltiplo de 7, pero ni 24 ni 18 son
múltiplos de 7, y 7 es un número primo, no se puede
componer con factores de 24 y de 18.
9. Se puede dividir por todos los divisores de 48: 1, 2,
3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48.
10. i. El dividendo es 165. Es la única posibilidad por-
que 9 × 17 + 12 = 165.
ii. Por ejemplo: el dividendo es 43 y el resultado 1. Se
pueden proponer infinitas cuentas, porque el cociente
puede ser cualquier número natural y el dividendo se
obtiene multiplicando el cociente por 39 y sumando 4
al resultado.
iii. Por ejemplo: el divisor es 48 y el resultado 1. Hay
3 divisiones porque el producto entre el cociente y el
divisor tiene que ser 63 – 15 = 48, y el divisor tiene que
ser mayor que 15, que es el resto. Los únicos posibles
son: 88 y 1, 24 y 2, y 16 y 3.
iv. Ninguna, porque el producto entre el cociente y el
divisor tiene que ser 160 – 94 = 66, con lo cual el mayor
divisor posible es 66, pero el divisor tiene que ser ma-
yor que 94, que es el resto.
v. Por ejemplo: el dividendo 503 y el divisor 18. Hay in-
finitas divisiones porque, el divisor debe ser mayor que
17 y el dividendo = divisor × 27 + 17.
vi. Por ejemplo: 43 el divisor y 3 el resultado. Hay 2 di-
visiones posibles, porque el divisor por el cociente tiene
que dar por resultado 134 – 4 = 129 y el divisor tiene que
ser mayor a 5 que es el resto, las únicas multiplicaciones
que cumples estas condiciones son: 43 × 3 y 129 × 1.
11. El mínimo número que se le puede sumar es 11 por-
que, al sumárselo al resto anterior, el resultado es 25,
que es el divisor. Entonces el nuevo cociente será una
unidad mayor al anterior y el nuevo resto será 0.
12. a. El cociente 17 y el resto 14.
b. El cociente 23 y el resto 14.
13. a. El cociente 18 y el resto 19.
b. El cociente es 26 y el resto 1. Como 19 = 18 + 1,
el cociente es 25 + 1 = 26 porque 18 entra una vez
más y el resto es 1. 18 × 25 + 19 = 18 × 25 + 18 + 1 =
18 × (25 + 1) + 1 = 18 × 26 + 1 = 469.
6
14. a. El resto es 12.
b. El resto es 18. Porque 24 × 18 + 12 + 6 = 24 × 48 +
12 = 1.170.
c. El cociente es 72. Porque 24 × 48 + 12 = 6 × 4 × 4 ×
12 + 12 = 4 × 4 × 4 × 12 + 12 = 16 × 72 + 12.
d. El cociente es 2. Porque 24 × 48 + 12 = 2 × 2 × 2 ×
3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 + 12 = 576 × 2 + 12.
e. El resto es 8. Porque: 24 × 48 + 12 – 964 = 200,
24 × 48 + 12 – 964 = 24 × 48 – 964 + 12 = 188 + 12 =
48 × 3 + 44 + 12 = 48 × 3 + 56 = 48 × 3 + 48 + 8 =
48 × 4 + 8 = 200.
f. El resto es 48. Porque: 24 × 48 + 12 = 2 × 2 × 2 × 3 ×
2 × 2 × 2 × 2 × 3 + 12 = 1.164 y 24 × 48 + 12 + 36 = 2 × 2 ×
2 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 + 12 + 36= 64 × 18 + 48 = 1.200.
Página 13.
Aprender con la calculadora
1. Son infinitas las opciones porque para obtenerlos
hay que multiplicar 35 por un número y sumarle 16. Por
ejemplo: 35 × 1 + 16 = 51.
2. Julián obtuvo el cociente y el resto de la división pero
no siempre pasará lo mismo. Porque 43,5 no quiere de-
cir que tenga resto 5, esto solo sucede si se divide por
10, ya que la mitad de 10 es 5:
43,5 × 10 = (43 + 0,5) × 10 = 43 × 10 + 0,5 × 10 = 43 × 10 + 5 .
Por ejemplo: 15 : 2 = 7,5, pero
3. a. No, el resto es 1.
b. Porque 546 = 545 + 1 = 5 × 109 + 1, entonces el
resto de dividir 546 por 5 es uno.
4. El resto de la división es 11. Si resuelven en la calcu-
ladora 487 : 17 = 28,647…. y 17 × 28 = 476. Entonces
17 × 28 + 11 = 486. Por lo tanto el resto de la división es 11.
Páginas 14 y 15.
Propiedades de las operaciones
1. a. 25.500. Porque 150 × 170 = 15 × 10 × 17 × 10 =
15 × 17 × 10 × 10 = 255 × 10 × 10 = 25.500.
b. 510. Porque 30 × 17 = 15 × 2 × 17 = 15 × 17 × 2 =
255 × 2 = 510.
c. 5.100. Porque 150 × 34 = 15 × 10 × 17 × 2 =
255 × 10 × 2 = 15 × 17 × 19 × 2 = 255 × 2 × 10 =
510 × 10 = 5100.
d. 25.500. Porque 750 × 34 = 75 × 10 × 17 × 2 =
15 × 5 × 10 × 17 × 2 = 15 × 17 × 10 × 5 × 2 =
15 × 17 × 10 × 10 = 255 × 10 × 10 = 25.500.
15
1
2
7
2. a. Hizo 12 × 15 = 180 y 2 × 180 = 360.
b. Resolución personal. c. Daría el mismo resultado
porque 2 × 2 = 4 entonces: 360 × 2 × 2 = 360 × 4.
3. a. Verde: 10 × 5. Rojo: 10 × 4. Naranja: 3 × 5. Celeste:
3 × 4. b. 13 × 9.
c.13 × 9 = 10 × 5 + 10 × 4 + 3 × 5 + 3 × 4 =
50 + 40 + 15 + 12 = 90 + 27 = 117.
4. a. Sí, se pueden usar estas maneras para resolver
cualquier cuenta de multiplicar por 9 y 99.
b. La propiedad distributiva y el producto por la unidad
seguida de ceros.
c. i. 3.700 × 9 = 3.700 × ( 10 - 1 ) = 3.700 × 10 - 3.700 × 1 =
37.000 - 3.700 = 33.300.
ii. 4.500 × 99 = 4.500 × ( 100 - 1 ) = 4.500 × 100 - 4.500 =
450.000 - 4.500 = 445.500.
iii. 640 × 999 = 640 × ( 1.000 - 1 ) = 640 × 1.000 - 640 =
640.000 - 640 = 639.360.
5. a. 7.500 × 900 = 7.500 × ( 1.000 - 100 ) = 7.500 ×
1.000 - 7.500 × 100 = 7.500.000 - 750.000 =
6.750.000.
b. 256 × 1.001 = 256 × ( 1.000 + 1 ) = 256.000 + 256 =
256.256
256 × 1.001 = ( 250 + 6 ) × 1.001 = 250 × 1.001 + 6 ×
1.001 = 250 × ( 1.000 + 1 ) + 6 × ( 1.000 + 1 ) = 256.256.
c. 850 × 990 = 850 × (1.000 - 10) = 850 × 1.000 -
850 × 10 = 850.000 - 8.500 = 841.500.
850 × (990) = (900 - 50) × (990) = 900 × 990 -
50 × 990 = 900 × (1.000 - 10) - 50 × (1.000 - 10) =
(900 × 1.000 - 900 × 10) - (50 × 1.000 - 50 × 10) =
(900.000 - 9.000) - (50.000 - 500) = 891.000 - 49.500 =
841.500.
d. 345 × 111 = 345 × (100 + 10 + 1) = 345 × 100 +
345 × 10 + 345 × 1 = 34.500 + 3.450 + 345 =
31.050 + 345 = 38.295.
345 × 111 = 345 × (101 + 10) = 345 × 101 + 345 × 10 =
34.845 + 3.450 = 38.295.
e. 970 × 999 = 970 × (1.000 - 1) = 970 × 1.000 - 970 =
970.000 - 970 = 969.030
970 × 999 = (1.000 - 30) × 999 = 1.000 × 999 -
30 × 999 = 999.000 - 30 × (1.000 - 1) = 999.000 -
(30 × 1.000 - 30) = 999.000 - (30.000 - 30) = 999.000 -
29.970 = 969.030
f. 246 × 901 = 246 × (1.000 - 100 + 1) = 246 × 1.000 -
246 × 100 + 246 = 246.000 - 24.600 + 246 = 221.400 +
246 = 221.646.
246 × 901 = (250 - 4) × 901 = 250 × 901 - 4 × 901 =
225.250 - 3.604 = 221.646.
Matemática 1 Solucionario 7
Se usó la propiedad distributiva de la multiplicación
respecto de la suma y la resta.
6. Los cálculos b. y e. Como 15 = 5 × 3. Entonces
128 × 15 = 128 × 5 × 3. También 128 × 15 = 128 ×
( 10 + 5 ) = 128 × 10 + 128 × 5 y como 10 : 2 = 5, en-
tonces 128 × 10 + 128 × 5 = 128 × 10 + 128 × 10 : 2.
7. a. Sí. El resultado será 90 × 2 = 180.
b. Sí. El resultado será 90 : 3 : 3 = 30 : 3 = 10.
c. Sí. El resultado será 90 : 3 × 3 = 90.
d. No es posible. Porque necesito saber cuál es el pri-
mero de los números.
8. a. Aumentará en 50. b. Aumentará en 500.
9. Por ejemplo 34 × 101 = 34 × ( 100 + 1 ) = 34 × 100 +
34 = 3.400 + 34 = 3.434 . La particularidad es que el
resultado será esas mismas cifras repetidas dos veces y
esto sucederá con cualquier otro número de dos cifras.
10. a. 76 × 11 × 13 × 7 = 76 × 1.001 = 76 × 1.000 +
76 × 1 = 76.000 + 76 = 76.076. El resultado es un
número de 5 cifras formado por las dos cifras que for-
man el número seguido por un cero y nuevamente las
mismas dos cifras. Esto sucederá también con cual-
quier otro número de dos cifras que se multiplique por
11 por 13 y por 7.
b. 123 × 7 × 13 × 11 = 123 × 1.001 = 123 × ( 1.000 + 1 ) =
123 × 1.000 + 123 = 123.000 + 123 = 123.123 .
El resultado es un número de 6 cifras que está forma-
do por las tres cifras que forman el número seguido
de las mismas dos cifras. Esto sucederá también con
cualquierotro número de tres cifras que se multiplique
por 7 por 13 y por 11.
c. Ocurrirá lo mismo porque al multiplicar por 13, el re-
sultado por 11 y el resultado por 7, es igual que multipli-
car por 7 al resultado por 13 y el resultado 11, porque la
multiplicación es conmutativa.
Página 15.
Aprender con la calculadora
1. a. Con la calculadora común el resultado obtenido
es 115,5 y con la calculadora científica el resultado
obtenido es 183. b. Lo que ocurre es que la calcula-
dora común resuelve las operaciones en el orden en
que están, en cambio la calculadora científica resuelve
primero la multiplicación y la división para luego sumar
ambos resultados.
2. 1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 – 10 – 1 – 1 – 1.
3. a. i. 422. ii. 577,5.
b. En i. se puede guardar el resultado de la multiplica-
ción y el de la división presionando la tecla M+ luego
de resolver cada uno de esos cálculos por separado y
finalmente presionar la tecla MR para obtener la suma
de ambos resultados guardados. En ii. se puede resol-
ver primero la división, al resultado obtenido sumarle
12 y al resultado obtenido multiplicarlo por 35.
Páginas 16 y 17.
Situaciones de conteo
1. 36.
2. 24.
3. 60.
4. Sí, es cierto, alcanza con hacer 3 × 5 × 4 = 60.
5. 720
6. 1.200.
7. a. 60. b. 6.840.
8. El cálculo b., porque hay 10 opciones por cada cifra
(del 0 al 9). Como el número tiene que ser de 3 cifras,
la primera cifra no puede ser cero. Por lo tanto hay 9
posibilidades para la primera cifra, la segunda cifra
puede ser cero pero no la cifra ya usada, y hay ocho
posibilidades para la tercera si no se cuentan las dos
cifras ya usadas.
9. a. 10. b. 1.140.
10. a. 24. b. 12.
11. a. 125. Porque cada cifra tiene 5 opciones, entonces
hay 5 × 5 × 5 números de tres cifras con esos 5 dígitos.
b. 25. Porque, como la primera cifra está fija, se pue-
den variar solamente las otras dos y hay 5 posibilida-
des para cada una, por lo tanto hay 5 × 5 opciones.
c. 25. Porque la primera y la última cifra deben ser igua-
les. Entonces se puede pensar que solo se pueden va-
riar la primera y la segunda cifra, con cinco opciones
cada una, mientras que la tercera queda determinada
por la primera. Por lo tanto hay 5 × 5 opciones.
12. 648. Porque de los 6 dígitos totales, 3 de ellos son
impares. Las tres primeras cifras tienen 6 posibilidades
cada una, mientras que la última tiene solamente 3 po-
sibilidades. Entonces hay 6 × 6 × 6 × 3 posibilidades.
13. a. 720. b. No, porque la letra A se repite, entonces
se pueden armar la mitad de las posibilidades: 360.
14. 26.244. Porque hay 9 posibilidades para las pri-
meras 4 cifras y solo 4 para la última. Entonces son
9 × 9 × 9 × 9 × 4 números totales.
15. 6.561.
16. 16.
17. 66.
8
Páginas 18 y 19.
Potenciación y radicación
1. a. 81. b. 1.093.
2. a. 2 4 . b. 3 6 c. 10 5 .
3. a. 1. b. 1.000.000.000. c. 512. d. 4096.
e. 2.401. f. 32.
4. a. i. 128. ii. 128. iii. 16.384. iv. 97. v. 625. vi. 390.625.
vii. 625.
b. i. y el ii. son iguales porque:
2 3 × 2 4 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 2 7 .
También son iguales v. y vii. porque:
(2 + 3) 4 = (5) 4 = 5 4 .
5. El a. porque:
( 5 7 ) 2 = 5 7 × 5 7 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 ×
5 × 5 × 5 × 5 = 5 14 .
O bien porque: ( 5 7 ) 2 = 5 ( 7 × 2 ) = 5 14 .
El b. porque: ( 5 2 )
7
= 5 2 × 5 2 × 5 2 × 5 2 × 5 2 × 5 2 × 5 2 =
5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 =
5 14 .
O bien porque: ( 5 2 ) 7 = 5 2 × 7 = 5 14 .
El e. porque:
5 7 × 5 7 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 ×
5 × 5 = 5 14 .
O bien porque 5 7 × 5 7 = 5 7 + 7 = 5 14 .
Y el g. porque 5 28 : 5 14 = 5 28 - 14 = 5 14 .
6. a. i. 81. ii. 27. iii. 81. iv. 10.000. v. 10.000. vi. 100.
b. Tienen el mismo resultado el i. y el iii. porque:
3 6 : 3 2 = 3 6 - 2 = 3 4 .
El iv. y el v. también tienen el mismo resultado porque:
10 8 : 10 4 = 10 8 - 4 = 10 4 .
7. a. Falsa. Por ejemplo (2 + 3) 2 = 5 2 = 25 , pero
2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13 .
b. Verdadera, porque:
(a × b)c = (a × b) × (a × b) ×… … …× (a × b)
c veces
= a × a × … … × a × b × b × … … × b = ac × bc
c veces c veces
c. Verdadero, porque:
( a __ b )
c = ( a __ b ) × (
a __ b ) × … … × (
a __ b ) = a × a × … … ×
a __ b ×
b × … … × b = a
c ___ b c
d. Verdadero, porque:
a m x a n = a × a × … … × a × a × a × … … × a = a m+n
8. a. y e. dan el mismo resultado porque:
(23 + 15) 4 = (23 + 15) 2 + 2 = (23 + 15) 2 × (23 + 15) 2 .
También b. y f. dan elmismo resultado porque:
18 5 × 18 2 = 18 5 + 2 = 18 7 .
9. a. ii y iv.
b. Sí, es correcto. Como 4 = 3 + 1, entonces, aplicando
la propiedad distributiva:
4 2 = (3 + 1) 2 = (3 + 1 ) × ( 3 + 1) = 3 × 3 + 3 × 1 + 1 × 3 + 1 × 1
donde los primeros tres términos son múltiplos de 3 y se le
suma 1, entonces el resultado será un múltiplo de 3 más 1.
4 3 = (3 + 1) 3 = (3 + 1 ) × ( 3 + 1) × (3 + 1) = (múl-
tiplo de 3 + 1) × (3 + 1) = múltiplo de 3 × 3 + múlti-
plo de 3 × 1 + 3 × 1 + 1 × 1 = otro múltiplo de 3 +1.
Si continúan así, concluyen que pueden escribir cual-
quier 4 n como un múltiplo de 3 +1.
10. a. 3. b. 10. c. 2. d. 6.
12. a. √
_
64 = 8 . b.
3
√
_
262.144 = 64 . c.
3
√
_
27 = 3.
d.
4
√
_
16 = 2.
13. a. 9. b. 20. c. 20. d. 7. e. 2. f. 5.
El b. y el c. dan el mismo resultado.
14. a. Porque la radicación es distributiva respecto del
producto entonces:
√
_____________
( 55.255 × 16 ) = √
_______
55.255 × √
___
16 = 235 × 4.
c. Porque la radicación es distributiva respecto de la
división entonces:
√
___________
55.255 : 16 = √
_
55.255 : √
_
16 = 235 : 4 .
e. Porque la radicación es distributiva respecto del pro-
ducto entonces:
√
_
2.209 × √
_
25 = √
_
2.209 × 25 = √
_
55.255 = 235.
15. No es cierto, porque la potenciación y la radicación
no son distributivas de la suma y la resta.
Páginas 20 y 21.
Múltiplos y divisores
1. Sí, son correctas. Paula determina si un número es
divisor de otro mirando el resto del cociente entre am-
bas. Nico analiza si un número es múltiplo de otro a
partir de los valores de las tablas.
2. a. y c., a. porque 1.200 = 12 × 1.000 y c. porque
360 = 12 × 30.
3. Por ejemplo: 34, 68, 340, 1.700. Se pueden encontrar
infinitos múltiplos de 17 porque se los obtiene multipli-
cando 17 por cualquier número natural.
4. a. Sí, porque 18 es par o porque 42 es par.
b. Sí, porque 25 es múltiplo de 5.
c. Sí, porque 42 es múltiplo de 7.
d. Sí, porque:
25 × 42 × 18 = 5 × 5 × 2 × 21 × 18 = 5 × 10 × 21 × 18.
e. Sí, porque:
25 × 42 × 18 = 25 × 14 × 3 × 9 × 2 = 25 × 14 × 27 × 2.
f. Sí, porque:
25 × 42 × 18 = 5 × 5 × 3 × 14 × 18 = 5 × 15 × 14 × 18.
Matemática 1 Solucionario 9
g. No, porque 25, 42 y 18 no son múltiplos de 11 y 11
es primo.
h. No, porque 26 = 213, con lo cual como 25, 42 y
18 no son múltiplos de 13, y 13 es primo, entonces el
producto no es múltiplo de 13, con lo cual tampoco lo
será de 26.
5. No es múltiplo de 6 porque el primer sumando lo es,
pero, al sumarle 2, este será el resto de dividir el resul-
tado de toda la cuenta por 6.
6. El resto es 5.
7. Sí es múltiplo de 7, porque:
25.478 × 4 + 25.478 × 3 = 25.478 × ( 4 + 3 ) = 25.478 × 7 .
8. a. No, porque es mayor que 48.
b. Sí, porque 48 =12 × 4.
c. No, porque es mayor que 48.
d. y e. Sí, porque 6 × 8 = 48.
f. Sí, porque 1 es divisor de todos los números.
g. Sí, porque 48 = 24 × 2.
h. No, porque es mayor a 48.
9. a. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
b. Por ejemplo: 360, 6.000, 480.000.
c. Hay infinitos números que tienen más divisores que
60, basta con multiplicar 60 por cualquier otro número
naturalpara obtenerlos.
10. Sí, son ciertas ambas afirmaciones, porque los nú-
meros pares van de 2 en 2, y si se le suma 4 a un núme-
ro par se obtiene el siguiente par del siguiente.
11. Sí, porque en la justificación no se usan los núme-
ros como ejemplos, sino que se analiza la relación en-
tre ellos.
12. a. Falsa, por ejemplo 3 y 5 son impares y su suma
(3 + 5) = 8 es par.
b. Verdadera, porque un número par es el producto de
2 por otro número, al multiplicar dos pares entre sí el
producto se va a poder escribir siempre como 2 por
algún número natural.
c. Falsa, multiplicar por un número par da por resultado
un número par.
d. Falsa.
13. Es siempre impar porque como ninguno de los nú-
meros es múltiplo de 2, el producto entre ellos no se
podrá escribir como 2 por algún número natural.
14. Los números impares se pueden obtener como el
siguiente de un número par, es decir 2 un número na-
tural +1. Al sumar tres impares, los tres números pares
sumados van a dar par, pero al sumar tres veces 1, se
obtiene un impar y sumado al resultado anterior va a dar
impar. Lo mismo sucede si se suman 5 números o cual-
quier cantidad impar de números impares. Si se suman 4
números impares, los cuatro pares sumados darán par,
y los cuatro 1 sumados también, al sumarlos, se obtiene
un número par.
15. 60 y 90, tienen 12 divisores.
16. a. Es correcto porque analiza todos los posibles di-
visores y verifica que ninguno tenga resto 0.
b. 83, 37, 57 y 29.
c. 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
1.200 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5.
49 = 7 × 7.
68 = 2 × 2 × 17.
77 = 7 × 11.
1.235 = 5 × 13 × 19.
Hay una única manera porque los factores son núme-
ros primos y estos no se pueden escribir como produc-
to de otros primos.
Páginas 22 y 23.
Problemas y cuentas
1. Dentro de 28 días.
2. Tendrá que distribuirlas en 28 sobres de 6 figuritas
cada una.
3. a. Los equipos pueden estar formados por 8 chicos.
b. Se formarán 7 equipos.
4. 25 chicos tenían que formar para este acto.
5. Por ejemplo: 45 y 24. Para hallarlos se puede des-
componer 360 como producto de números primos.
Los números propuestos son el producto de algunos
de ellos de forma tal que aparezcan todos los factores
primos tantas veces como en 360 en alguno de los dos
números. En el ejemplo: 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5,
45 = 3 × 3 × 5 y 24 = 2 × 2 × 2 × 3, donde los 3 factores
2 del 360 aparecen en el 24, los dos factores 3 apare-
cen en el 45, y el único factor 5 aparece en el 45.
6. a. 22 y 55. Cada uno es el producto entre 11 por otro
número primo. b. Sí, se pueden encontrar infinitos por-
que los números primos son infinitos. c. Por ejemplo: 3 y
5. Se pueden encontrar infinitos porque cualquier par de
números primos tienen como divisor común mayor el 1.
7. a. mcm (18.000, 16.200) = 243.453 = 162.000.
b. 15.200 = 255.219 y 57.500 = 225.423. mcm (15.200,
57.500) = 25.541.923 = 8.740.000 Es el producto de
todos los factores primos que aparecen en ambos nú-
meros, con el mayor exponente.
DCM (15.200, 57.500) = 2.252 = 100, es el producto de
10
todos los factores primos comunes a ambos números,
con el mínimo exponente.
8. Para que dos números sean coprimos, en su escri-
tura como producto de factores primos, no tienen que
tener ningún primo en común, con lo cual, el único divi-
sor común a ambos es el 1.
9. a. 148.800 : 2 : 5. b. 163.700 – 148.800. c. iii. y iv.
10. a. iii. b. 1.153,6.
c. ( 5.780 + 350 x 6 + 12.450 x 4 ) : 50.
d. Tienen que venderlas a $576,8 cada una.
e. ( 5.780 + 350 x 6 + 12.450 x 4 ) : 100 .
11. Por ejemplo:
a. Entre 8 hermanos decidieron comprarle una tele al
padre. Tienen que pagar $ 9.000 al contado y 20 cuotas
de $ 4.500 cada una. ¿Cuánto aporta en total cada uno?
b. Un comerciante debe a un banco 12 cuotas de
$ 8.700, a otro 12 cuotas de $ 3.800 y a un amigo $ 800.
¿Cuánto debe en total?
c. Una tienda de ropa para hombres va a comprar 50
camisas a $1.200 cada una, 80 sacos a $ 1.300 cada
uno, pero le devuelven al mayorista 30 corbatas que
están falladas, con un costo de $ 200 cada una. ¿Cuán-
to tienen que pagar?
d. Julieta tiene en el banco $ 10.000 e hizo cuatro extrac-
ciones de $ 1.300 cada una, ¿cuánto dinero le queda?
Página 24.
Cálculo estimativo
1. a. No alcanza, porque, por ejemplo,
385 × 10 = 3.850 y 385 × 5 = 3.850 : 2 = 1.925.
Entonces 385 × 15 = 3.850 + 1.925 = 5.775. Si las
carpetas costasen $15 ya no alcanzaría el dinero para
15 carpetas.
b. No alcanza, porque 1.250 × 4 = 5.000 y las campe-
ras cuestan más de $ 1.250.
c. Si alcanza porque 500 × 5 = 2.500, y los pantalones
cuestan más de $ 500 y hay más dinero que $2.500.
2. c .
3. b., d. y e.
b. Porque al agregarle 100 a 6.006 se supera este nú-
mero y entonces también se supera el 6.000, y como
100 es menor a 1.000 – 6 , que la diferencia entre 6.006
y 7.000, al sumarlo el resultado será menor a 7.000.
c. Porque al restarle 10 a 6.600 el resultado será menor
a 6.600 y por lo tanto será menor a 7.000. Y como 10 es
menor a 300 que es la diferencia entre 6.600 y 7.000,
entonces el resultado dará mayor a 6.000.
d. Porque al restarle a 7.600 un número mayor a 600 el
resultado será menor a 7.000 y, como se le resta menos
que 1.600, que es la diferencia entre 7.600 y 6.000, el
resultado es mayor a 6.000.
4. a. 100. b. 9.010. c. 8.900. d. 1.200. e. 2.110.
5. a. iii. 589.987:10 porque entre las cuentas con ma-
yor dividendo es el que menor divisor tiene.
b. iv. Por la misma razón que a.
c. 198 × 10 8 . Porque la única multiplicación con una po-
tencia de 10 mayor es 4 × 10 9 , pero, si bien su exponente
es uno más, el número 4 tiene dos cifras menos que 198.
Página 25.
El sistema sexagesimal
1. Don Juan debe cobrar $760.
2. 16:41.
3. a. Falso, porque media hora es 0,5 horas, por lo tanto
7 horas y media son 7,5 horas.
b. Verdadero, porque como una hora equivale a 60 mi-
nutos, entonces media hora equivale a 30 minutos.
c. Falso, porque 0,10 horas es 1 _ 10 de hora, no
1 _ 6 .
d. Falso, porque 20 minutos es equivalente a 20 _ 60 hora,
que es igual a 1 _ 3 de hora y no
2 _ 3 .
e. Falso, porque 0,5 de hora son 30 minutos, no 50.
f. Verdadero, porque 0,75 = 75 _ 100 =
3 _ 4 .
4. Entrenó más Ariel porque 3 __ 4 de hora equivale a 45
minutos.
5. a. 30. b. 15. c. 1 _ 3 . d.
5 _ 6 . e.
7 _ 12 . f. 45.
6. Mide 13° 30´. Porque el doble de 13 es 26 y el doble
de 30´ es 60´ y equivale a 1°.
7. a. 370´ < 3.600´ = 60° .
b. 28° 54´=1.734´>1.600´.
c. 245.000´´ = 68° 3´ 20´´ < 68° 29´ 19´´.
d. 126.000´´ = 35º < 35º 18´´.
8. 35° 14´.
9. En un octavo de vuelta gira 45° y en media vuelta
gira 180°.
b. Si giró 90° recorrió 1 _ 4 giro porque 360° : 4 = 90°.
10. La medida de cada uno de ellos es 139° 35´.
Página 26.
Aprender con la computadora. El
programa Scratch
1. Resolución personal, por ejemplo:
Pasos para subir una escalera.
• Pararse frente a la escalera.
• Levantar la pierna derecha.
Matemática 1 Solucionario 11
• Mover el pie derecho hacia adelante hasta que quede
a la altura del primer escalón.
• Bajar el pie derecho hasta pisar el primer escalón.
• Levantar la pierna izquierda.
• Mover la pierna izquierda hasta la altura del segundo escalón.
• Bajar el pie izquierdo hasta pisar el segundo escalón.
• Repetir pasos b-g hasta que termine la escalera.
2. Resolución personal. Por ejemplo:
Pasos a seguir para cocinar fideos.
• Agarrar una olla.
• Colocarla sobre una hornalla de la cocina.
• Encender el fuego de esa hornalla.
• Esperar que el agua hierva.
• Abrir el paquete de fideos.
• Colocar el contenido dentro de la olla con agua hirviendo.
• Esperar 8 minutos.
• Apagar el fuego.
• Agarrar un colador.
• Colocar el colador en la pileta de lavar de la cocina.
• Verter el contenido de la olla en el colador.
• Verter el contenido del colador en recipiente para servir.
3. Pasos necesarios para hacer una multiplicación de
un número de 3 cifras por 15.
• Descomponer el número de 3 cifras como la suma de
sus unidades, decenas y centenas.• Multiplicar por 10 cada uno de los tres números resul-
tantes de la descomposición anterior, para hacer esto
basta con agregarle un cero a cada uno de los núme-
ros anteriores.
• Multiplicar por 10 nuevamente cada uno de los tres
números resultantes de la descomposición anterior y
calcular la mitad de cada uno de ellos.
• Sumar los 6 resultados de los dos pasos anteriores.
4. Abrir sesión en Scratch con un usuario y una contraseña.
5. Crear proyecto.
6. Resolución personal.
7. Pasos para que camine 100 pasos, gire 90° y camine
100 pasos hacia abajo:
• Al presionar.
• Caminar 100 pasos.
• Rotar 90%.
• Caminar 100 pasos.
Página 28.
Integrar lo aprendido
1. a. 5.079.099. b. 49.500.230.
c. 1.923.000. d. 150.580.420.
2. Por ejemplo:
a. 8 × 10 5 + 7 × 10 4 + 6 × 10 3 + 4 × 10 2 + 2 × 10 + 6.
b. 7 × 10 7 + 5 × 10 6 + 5 × 10 5 + 9 × 10 4 + 7 × 10 3 + 3 ×
10 2 + 2 × 10 + 5 .
c. 3 × 10 8 + 6 × 10 7 + 9 × 10 6 + 569 × 10 3 + 5 × 10 2 + 69 .
d. 98 × 10 6 + 26 × 10 + 2.
3. a. i. 36 × 1.000.
ii. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
iii. 3 × 10 4 + 6 × 10 3 .
b. i. 539 × 1.000 .
ii. 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 7 × 7 × 11.
iii. 5 × 10 5 + 3 × 10 4 + 9 × 10 3 .
c. i. 1.911×1.000.
ii. 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 5 × 7 × 91.
iii. 1 × 10 6 + 9 × 10 5 + 1 × 10 4 + 1 × 10 ³ .
4. Por ejemplo:
a. 432 × 100 : 2 = 432 : 2 × 100 =
[ ( 400 + 30 + 2 ) : 2] ×100 =
(400 : 2 + 30 : 2 + 2 : 2) × 100 = (200 + 15 + 1) × 100 =
216 × 100 = 21.600.
b. 586 × (10 + 2) = 586 × 10 + 586 × 2 = 5.860 +
(500 × 2 + 80 × 2 + 6 × 2) = 5.860 + 1.000 + 160 + 12 =
6.860 + 100 + 72 = 6.960 + 72 = 6.960 + 40 + 32 =
7.000 + 32 = 7.032.
c. 650 × (20 + 5) = 650 × 20 + 650 × 5 =
650 × 10 × 2 + 650 × 5 = 6.500 × 2 + 650 × 10 : 2 =
6.500 × 2 + 6500 : 2 = 13.000 + 3.250 = 16.250.
d. 1.250 × 99 = 1.250 × (100 - 1) = 1.250 × 100 - 1.250 =
125.000 - 1.250 = 12.375.
5. 45.
6. 28.
7. a. 24. b. 256. c. 12. d. 128. e. El b. porque todos los
dígitos pueden ocupar todas las ubicaciones.
8. Los números que tienen una cantidad impar de divi-
sores son cuadrados perfectos.
9. a. Por ejemplo: 75. b. La respuesta no es única. Hay
infinitos que se pueden obtener multiplicando 25 por un
número que sea coprimo con 4, de modo que no tenga
otros factores en su descomposición que sean comu-
nes con el 100 además del 25, dado que 100 = 25 × 4.
10. a. Por ejemplo: 32.
b. La respuesta no es única. 600 = 2 3 × 3 × 5 2 y 2.400 =
2 5 × 3 × 5 2 , se puede ver que 160 = 2 5 × 5 y 96 = 2 5 × 3
son otras respuestas posibles.
12
11. Tiene 95 figuritas.
12. Sí, es cierto. Pasa con todas las fechas porque un
año que no es bisiesto hay 365 días y al dividir 365 : 7
se obtiene 52 como cociente y 1 como resto. Este quie-
re decir que 365 días son 52 semanas y 1 día.
13. b. 468 es el doble de 234. Como se suma 2 veces
más, lo que hace es restarle el doble de 234.
c. Sí. Porque 234 × 100 es sumar 234 veces el 100, que
es igual a 234 centenas, y da por resultado 23.400.
d. i. 368 × 98 = 368 × (100 - 2) = 368 × 100 - 368 × 2 =
36.800 - (300 + 60 + 8) × 2 = 36.800 - 600 - 120 - 16 =
36.200 - 120 - 6 = 36.080 - 6 = 36.074 .
ii. 458 × 998 = 458 × (1.000 - 2) = 458 × 1.000 -
(458 × 2) = 458.000 - (400 + 50 + 8) × 2 = 458.000 - 800 -
100 - 16 = 457.200 - 100 - 16 = 457.100 - 16 = 457.084.
iii. 975 × 980 = 975 × (1.000 - 20) = 975.000 - 975 × 20 =
975.000 - 975 × 10 × 2 = 975.000 - 9.750 × 2 =
975.000 - (9.000 + 700 + 50) × 2 = 975.000 - 9.000 - 1.400 -
100 = 966.000 - 1.400 = 964.600.
iv. 365 × 890 = 365 × (1.000 - 100 - 10) = 365 × 1.000 -
365 × 100 - 365 × 10 = 365.000 - 36.500 - 3.650 = 365.000 -
36.000 - 500 - 3.000 - 600 - 50 = 329.000 - 3.000 - 500 - 600 -
50 = 326.000 - 1.000 - 150 = 325.000 - 150 = 324.850.
Capítulo 2
Ángulos y triángulos
Páginas 30 y 31.
Las primeras construcciones
1.
2.
3. a. Los puntos que están a 2 cm del centro.
b. Los puntos que están a una distancia menor a 1,5 cm
del centro.
c. Los puntos que están a una distancia mayor a 1 cm
del centro.
d. Los puntos marcados están a una distancia menor o
igual a 1,5 cm del centro del círculo de la izquierda y me-
nor o igual a 1 cm del centro del círculo de la derecha.
4. a. y b. Sí se puede construir. Hay un único triángulo
en cada caso.
c. No se puede construir porque si se traza el lado de
8 cm, los otros dos no se juntan. La suma de los lados
de 3 cm y 4 cm es menor a 8 cm.
d. Hay infinitos triángulos, porque el tercer lado tiene que
medir menos de 6 cm y hay infinitas medidas posibles.
árbol
1 m
Este punto está a 50 km de las dos plazas
Distancia entre las plazas: 80 km
Plaza principal
del pueblo
Plaza principal
del otro pueblo
Este punto está a 50 km de las dos plazas
50 km
50 km
Matemática 1 Solucionario 13
5. Sí, la circunferencia de 0,7 cm de radio marca todos
los posibles puntos que están a esa distancia de ese
centro que es vértice del triángulo; la circunferencia de
1,4 cm de radio marca todos los puntos que están a esa
distancia de ese centro que es otro vértice del triángulo.
Y no hay ningún otro punto que esté a 0,7 cm de un
vértice y a 1,4 cm del otro. Por lo tanto no se forma un
triángulo porque falta el tercer vértice para que las me-
didas de los lados sean las del enunciado.
6. a. Uno solo, porque con esos tres datos el triángulo
queda determinado. Se traza un lado, luego se miden
50° a partir de un extremo de este y se traza una se-
mirrecta, se marca sobre esta el tercer vértice a una
distancia igual que la medida del otro lado. Por último,
se unen los vértices.
b. Hay infinitas posibilidades. Falta algún otro dato, o la
medida de un lado o la amplitud de otro ángulo.
c. Uno solo, porque con esos tres datos el triángulo
queda determinado. Se construye el lado de 4 cm y so-
bre cada uno de sus extremos se marca un ángulo de
40° y 30° respectivamente, trazando dos semirrectas.
El punto donde se cruzan las semirrectas es el tercer
vértice.
d. Hay infinitas posibilidades. Falta algún otro dato, o la
amplitud del ángulo que forman esos lados o la medida
del otro lado.
e. No se puede construir. Si se traza el lado de 3 cm,
sobre el extremo B se traza una circunferencia de radio
1,5 cm y sobre el vértice A se traza una semirrecta con
un ángulo de 40°. La circunferencia y la semirrecta no
se cortan formando el tercer vértice.
7. a. Lo que dicen los chicos es correcto, porque tres
datos que cumplan ciertas condiciones determinan un
único triángulo.
b. Se necesitan las longitudes de los tres lados, cada
lado tiene que ser menor a la suma de los otros dos
y mayor que su diferencia. Se necesitan dos ángulos,
cuya suma sea menor que 180°, y la longitud de un
lado. Se necesitan las longitudes de dos lados y el án-
gulo común a ellos que sea menos que 180°.
Páginas 32 y 33.
Construir triángulos
1. a. Se puede construir un único triángulo. Porque los
tres lados y los tres ángulos quedan determinados por
los datos.
b. Resolución personal.
2. a. Resolución personal.
b. Sí, es cierto, porque la recta s es perpendicular a la
recta r, y la recta r es perpendicular al segmento ‾ CD .
Por lo tanto la recta s es paralela al segmento ‾ CD .
c. Sí, es cierto porque: un lado es igual a ‾ CD , los seg-
mentos ‾ CK y ‾ CJ miden igual que ‾ AB por ser radios de
un círculo con radio ‾ AB y la distancia entre la recta s y
la recta que pasa por los puntos C y D es igual a ‾ GH , y
cómo K y J están sobre la recta s, los segmentos per-
pendiculares al segmento ‾ CD que pasan por K y por J
miden igual que ‾ GH y son las alturas correspondientes
a ‾ CD en cada triángulo.
d. Los triángulos no son iguales porque uno tiene sus
tres ángulos agudos y el otro tiene un ángulo obtuso.
3. a. y b. Resolución personal.
c. Queda dividido en dos triángulos rectángulos.
d. Los dostriángulos rectángulos son iguales.
e. Siempre se forman dos triángulos rectángulos e igua-
les. Los triángulos formados son rectángulos porque la
altura es perpendicular al lado diferente. Los triángulos
son iguales porque tiene el ángulo recto igual, el lado
formado por la altura lo comparten y, como es un trián-
gulo isósceles, los lados iguales son, cada uno, lado de
uno de los triángulos formados por la altura.
f. No sucede lo mismo con cualquier triángulo. Por
ejemplo:
4. a. Se pueden construir infinitos, porque los ángulos
dados suman 180°. Se puede elegir cualquier número
como longitud de un lado, determinar cuáles son los
ángulos con vértices en sus extremos y, a partir de
esas elecciones, construir un único triángulo.
14
b. No se puede construir ninguno, porque esos ángulos
suman 170°, menos de 180°.
c. Se pueden construir infinitos. Es el mismo argumento
que en a.
d. No se puede construir ninguno, porque esos ángulos
suman 200°, más de 180°.
e. Se pueden construir infinitos, porque el tercer ángulo
mide 30° y podemos argumentar de igual manera que
en a.
f. No se puede construir ninguno, porque la suma de
esos ángulos es 180° y no puede haber un tercer ángu-
lo que mida más de 0° porque la suma de los tres sería
más de 180°.
5. Es cierto lo que dicen ambos porque, se puede elegir
cualquier número como longitud de un lado, determinar
cuáles son los ángulos con vértices en sus extremos y,
a partir de esas elecciones construir un único triángulo.
6. a. Uno solo, porque, como el triángulo es isósceles,
los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales y,
como el tercer ángulo mide 120°, los otros miden 30°
cada uno. Si se traza el segmento ‾ AB y en cada uno
de sus extremos se marcan semirrectas formando un
ángulo de 30° con ese lado, el vértice opuesto quedará
determinado.
b. Infinitos, porque la información brindada solo permite
averiguar la amplitud de los ángulos interiores, que se-
rán 90°, 45° y 45°, no se da la longitud de ningún lado.
c. Ninguno, porque en los triángulos equiláteros, los
tres ángulos miden 60°.
d. Infinitos, porque la información brindada solo permite
averiguar la amplitud de los ángulos interiores, que serán
100°, 40° y 40°, no se da la longitud de ningún lado.
e. Uno solo, porque, como el triángulo es isósceles, el
ángulo opuesto al lado desigual mide 80°. Si se traza el
segmento ‾ AC y en cada uno de sus extremos se mar-
can semirrectas formando un ángulo de 50° con ese
lado, el vértice opuesto quedará determinado.
f. Uno solo, porque los tres datos que se dan determi-
nan un triángulo. Si se traza el segmento ‾ AB y en B se
marca una semirrecta formando un ángulo de 90° con
ese lado y sobre la semirrecta se ubica el punto C a
5 cm de B. Los tres vértices del triángulo quedan de-
terminados.
7. a. Miden 60° cada uno, porque como los tres la-
dos son iguales, los tres ángulos también son iguales.
Como tienen que sumar 180°, entonces cada uno mide:
180° : 3 = 60°.
b. Uno solo, porque si tuviera más de uno, la suma de
los tres ángulos daría más de 180°.
c. Uno solo, por la misma razón que en b.
d. Puede tener 2 o 3, porque la suma puede dar 180°.
8. Miden 50°, porque si un ángulo mide 80°, los otros
dos suman 100°, y como son iguales, cada uno mide
la mitad, 50°.
9. Los ángulos de un triángulo isósceles miden 90°, 45°
y 45°. Porque si es un triángulo rectángulo, uno de
sus ángulos mide 90°, los otros dos tienen que su-
mar 180° - 90° = 90°. Además, como es isósceles,
esos ángulos tienen que medir lo mismo, por lo tan-
to, cada uno medirá 90° : 2 = 45°.
10. 90°, 45° y 45°. Porque la suma de los dos ángulos
iguales más el desigual da 180°; como el ángulo que mide
el doble que los otros dos es igual a la medida de uno de
los otros por dos, entonces si se suma 4 veces la medida
de los ángulos iguales, el resultado es 180°, y cada uno de
los dos ángulos iguales medirá 180° : 4 = 45° y el desigual,
que es el doble, medirá 90°.
Páginas 34 y 35.
Marcar puntos particulares
1. Porque hay infinitos puntos que están a la misma dis-
tancia de las dos casas. En general, dados dos puntos,
hay infinitos puntos del plano que equidistan de ellos.
2. b. Es cierto, porque los puntos sobre los que trazó
la recta están a la misma distancia de los puntos A y
B, porque las circunferencias tienen ambas el mismo
radio ( ‾ AB ).
3. a. Resolución personal.
b. Porque cualquier punto de la semirrecta
⟶
OE cons-
truida en a. con un punto de cada lado del ángulo, tales
que estén a la misma distancia del vértice, quedan de-
terminados dos triángulos iguales. Porque tienen dos
lados iguales entre sí y un ángulo de 90° cada uno.
4. Tracen una circunferencia con centro O que corte a
la semirrecta
⟶
OA en M y a la semirrecta
⟶
OB en N. Tra-
cen desde N un arco con radio ‾ MN . Llamen C al punto
de intersección del arco con la circunferencia inicial. La
semirrecta
⟶
OC es el otro lado del ángulo.
5. Sí, es cierto, porque, eligiendo cualquier punto de
la bisectriz y uniéndolo con un punto de cada lado del
ángulo que esté a la misma distancia del vértice, que-
dan determinados dos triángulos iguales. Esto es así
porque tienen dos lados iguales entre sí y un ángulo de
90° cada uno. En particular, tiene iguales los ángulos
Matemática 1 Solucionario 15
que están formados por cada lado del ángulo y la bi-
sectriz y forman el ángulo total, entonces cada uno de
esos lados es la mitad del ángulo total.
6. a. Resolución personal.
b. O es el centro de la circunferencia.
Página 36.
El programa Geogebra
1. Resolución personal.
2. Por ejemplo: Trazar una recta perpendicular a la rec-
ta r por el punto A con el comando “Recta perpendicu-
lar”, nombrarla s. Marcar el puntos de intersección de
ambas rectas con el comando “intersección” y nom-
brarlo C. Trazar una circunferencia con centro en C y
radio ‾ AC . El punto de intersección de la circunferencia
con la recta s es el punto B buscado.
3. Se pueden construir infinitos triángulos, porque no se
tienen más datos que uno de los lados.
4. Por ejemplo: Trazar el segmento con el comando
“Segmento”. Con centro en A trazar una circunferencia
de radio ‾ AB con el comando “Circunferencia (centro-
radio). Con centro en B trazar una circunferencia de ra-
dio AB con el comando “Circunferencia (centro-radio).
Marcar la intersección de las dos circunferencias con
el comando “Intersección”, llamar C a uno de esos pun-
tos. El triángulo ABC es el triángulo buscado.
5. a. b. Producción de los alumnos en el programa.
c. d. Sí, las tres alturas se cortan en un solo punto.
e. Las alturas de cualquier triángulo se cortan en un
único punto.
6. a. b. Resolución personal.
c. d. Sí, las tres mediatrices se cortan en un solo punto.
e. Las mediatrices se cortan en un mismo punto. Este
punto está a igual distancia de los 3 vértices del trián-
gulo, por lo tanto será el centro de una circunferencia
que pase por los tres vértices del triángulo.
7. a. b. Resolución personal.
c. d. Sí, las tres bisectrices se cortan en un solo punto.
e. Las bisectrices se cortan en un mismo punto. Este
punto está a igual distancia de los 3 lados del triángulo,
por lo tanto será el centro de una circunferencia que
corta a cada uno de los lados del triángulo en un único
punto.
8. Por ejemplo: Trazar un segmento ‾ AB con el coman-
do “Segmento”. Trazar con centro en A una circunfe-
rencia de radio ‾ AB con el comando “Circunferencia
(centro,radio) y con centro en B una circunferencia con
radio ‾ AB con el comando “Circunferencia (centro,radio).
Marcar los puntos donde se cortan las dos circunferen-
cias y llamarlos C y D. La recta que pasa por C y D es
la mediatriz del segmento ‾ AB .
9. Por ejemplo: Trazar un ángulo A ^ B C con el comando
“Ángulo” y las semirrectas que forman sus lados. Tra-
zar con centro en el vértice B del ángulo, una circun-
ferencia con cualquier radio. Marcar las intersecciones
de esas circunferencias con cadauno de los lados del
ángulo. Llamarlas D y E. Con centro en D y radio ‾ DE
una circunferencia y otra con centro en E y radio ‾ DE .
Marcar los puntos donde estas dos circunferencias se
cortan. Llamarlos F y G. La semirrecta
⟶
BF es la bisectriz
del ángulo A ^ B C.
Página 37.
Programar en Scratch
1. Cambiar el objeto a lápiz:
2. a. Pasos para construir un triángulo equilátero:
• Al presionar “bandera verde”.
• Bajar lápiz (para empezar a dibujar).
• Mover 100 pasos (100 pasos para que sea visible, no
por algo en especial).
• Girar 120 grados.
• Mover 100 pasos.
• Girar 120 grados.
• Mover 100 pasos.
• Subir lápiz (cierra el dibujo).
b.
16
c. Se trata de un triángulo equilátero también.
d. Porque el giro completo es de 360° y para que se cons-
truya un triángulo equilátero, el giro completo queda dividi-
do en 3 partes iguales, por lo tanto: 360° : 3 = 120°.
Página 38.
Integrar lo aprendido
1. a. Para la construcción hay que trazar dos rectas
perpendiculares y sobre ellas segmentos de 7 cm y
5 cm. Hay un único triángulo posible porque los 3 vérti-
ces quedan determinados con los datos.
b. Para la construcción hay que trazar un segmento ‾ AB
de 6 cm, trazar una semirrecta
⟶
AP que forme un ángulo
de 40° con el segmento ‾ AB y una recta perpendicular
al segmento ‾ AB que pase por B. El punto donde se cor-
tan la recta y la semirrecta trazadas es el tercer vértice
del triángulo. Hay un único triángulo posible porque los
tres vértices quedan determinados con los datos.
2. b. ‾ BD es un segmento sobre la bisectriz del ángulo ^ B .
c. ‾ DE es un segmento sobre la mediatriz del segmento
‾ BC .
d. PJ es un arco de circunferencia con centro en A y
radio 2 cm, ‾ DE es un segmento sobre la mediatriz del
segmento ‾ BC .
A
D
B
rojo
C
A
E
D
B
C
azul
A
E
J
D
B
P
2
C
verde
3. Para dibujar el ángulo de 42° basta con trazar la bi-
sectriz del ángulo de 84° como en 3. a.
4. a. Construyan un triángulo equilátero, sus ángulos
miden 60°. Tracen la bisectriz de uno de sus ángulos.
Esta determina dos ángulos de 30°.
b. Construyan un ángulo de 90°, que puede ser a partir
de un segmento y su bisectriz. Al ángulo anterior có-
pienle y agréguenle, el ángulo de 30° construido en 4.a.
c. Construyan un ángulo de 90°, que puede ser a partir
de un segmento y su bisectriz. Tracen la bisectriz que
determina dos ángulos de 45°.
5. a. No se puede construir porque no cumple con la
propiedad triangular. b. Sí, se puede construir uno solo.
Dibujen un segmento de 6 cm. Sobre cada extremo
midan un ángulo de 70°. Donde se unen los lados de
los ángulos queda determinado el tercer vértice. c. Sí,
se puede construir uno solo. Dibujen un segmento de
8cm. Con centro en uno de sus extremos tracen una
circunferencia de radio 6 cm y sobre el otro, una de
radio 3 cm. Donde se cortan las circunferencias queda
determinado el tercer vértice. d. No se puede construir.
Los triángulos equiláteros tiene sus tres ángulos igua-
les, y como tienen que sumar 180°, cada uno mide 60°.
6. Prolongar la semirrecta
⟶
CM . Con centro en M trazar
una circunferencia con radio ‾ CM . Llamar A el punto
donde se corta la circunferencia trazada con la
semirrecta.
7. a. Se traza la mediatriz del lado ‾ AD , E y F son los
puntos donde la mediatriz corta los lados ‾ AD y ‾ CB . Los
puntos que cumplen la condición son los puntos inte-
riores del rectángulo DEFC.
b. Se traza la mediatriz del lado ‾ AD , E y F son los pun-
tos donde la mediatriz corta a los lados ‾ AD y ‾ CB . Los
puntos que cumplen la condición son los puntos inte-
riores del rectángulo ABFE.
c. Se traza la mediatriz del lado ‾ AD , E y F son los pun-
tos donde la mediatriz corta a los lados ‾ AD y ‾ CB . Se
A
azul
E F
D
B
C
Matemática 1 Solucionario 17
traza una circunferencia con centro en A y radio de 2cm,
G y J son los puntos donde la circunferencia corta a los
lados AD y al segmento de la mediatriz que está dentro
del cuadrado. Los puntos que cumplen la condición son
los puntos interiores de la figura GDCFJ. (En caso de que
el cuadrado tenga un lado mayor a 4cm, los puntos que
cumplen la condición serán los mismos que en 7. a.).
8. Sí, es correcto. La mediatriz del lado distinto en un trián-
gulo isósceles determina dos triángulos rectángulos igua-
les, porque siempre se forman dos triángulos rectángulos
e iguales. El vértice opuesto al lado diferente está a igual
distancia de los otros dos vértices porque el triángulo ori-
ginal es isósceles y pertenece, entonces, a la mediatriz
de ese lado. Por esto se puede asegurar que las figuras
formadas son dos triángulos y no otras figuras. Los trián-
gulos formados son rectángulos porque la mediatriz es
perpendicular al lado diferente. Los triángulos son iguales
porque tiene los tres lados iguales entre sí. Entonces sus
ángulos son iguales, en particular son iguales los ángulos
que están formados por uno de los lados y la mediatriz, es
decir, será la bisectriz del ángulo opuesto al lado desigual.
9. Sí, es cierto, tanto para el cuadrado como para el rom-
bo, ya que el cuadrado es un rombo. Al trazar una diago-
nal en un rombo, quedaban determinados dos triángulos
isósceles, como las diagonales del rombo son perpen-
diculares, la otra diagonal resulta la mediatriz del ángulo
opuesto y, por lo tanto, la bisectriz de su ángulo opuesto,
por lo expuesto en 8.
10. En los paralelogramos, los ángulos consecutivos su-
man 180°. Al trazar las bisectrices, los ángulos que deter-
minan cada una de ellas con los lados del paralelogramo
son iguales por lo tanto, la suma de cada una de las mita-
des dará 90°. Las dos bisectrices se cortan en un punto
formando un triángulo con los vértices A y D, donde dos
de sus ángulos ya suman 90°, por lo tanto, por la propie-
dad de suma de ángulos internos de un triángulo, el otro
ángulo medirá 90°.
A
E
G
F
D
B
2
J
C
verde
Capítulo 3
Los números racionales
Páginas 40 y 41.
Los repartos
1. a. Le dará a cada uno 7 globos. Le quedan 2 globos
sin repartir. b. No, porque los globos no se pueden di-
vidir en partes.
2. a. Le dará 7 a cada uno y sobran 2. b. Los que so-
bran pueden repartirse, porque los alfajores sí pueden
dividirse en partes.
3. a. Pondrá 15 en cada caja y quedarán sin guardar
2 libros. b. Cada pulsera usará 15 y 1 _ 2 cm y no sobra
alambre. c. Las chicas tienen razón porque los pro-
blemas anteriores se resuelven ambos con la cuenta
62 : 4. Pero en el primero no se puede seguir dividien-
do el resto de la división y, en el segundo, sí. d. Dana
puede repartir el alambre que sobra porque el metro de
alambre puede cortarse, en cambio los libros no pue-
den cortarse.
4. a. Lleva 22 huevos a cada pizzería y quedan 2 hue-
vos sin repartir. b. Llevará 22 y 1 _ 2 huevo a cada pizzería.
c. Cuando los huevos están hervidos pueden dividirse
en parte más pequeñas, cuando están crudos, no es
tan fácil.
5. a. i. 250 botellas. ii. 334 botellas.
b. En i. Se llenan todas completamente. En ii. queda
una sin llenar completamente, para que se llenen todas
hay que agregar 2 litros.
6. El cociente de la división indica la cantidad de cho-
colates enteros que le da a cada chico. Como sobran
4, para repartirlos va a tener que dividir esos cuatro
que sobraron entre los 7 chicos. Por lo tanto, cada chi-
co recibirá 3 y 4 _ 7 .
7. a. Los dos tienen razón. Porque, si cada maestra se
lleva 8 panes enteros, luego los 2 que sobran se divi-
den en 6, y cada una se lleva dos de esas partes; es la
misma cantidad de pan que si cada uno de los panes
se divide en 6 partes y cada maestra se lleva una de
esas partes de cada pan, por lo tanto se estaría llevan-
do 50 _ 6 . b. 8 y
2 _ 6 . Porque 50 dividido 6 da por resultado 8
y sobran 2. Esos 2 que sobran se tienen que dividir en
6 para poder repartir el resto. c. Sí, es cierto porque si
un pan se divide en 6 partes iguales y una maestra se
lleva2 de esas partes, se está llevando lo mismo que
si al pan se lo divide en 3 partes iguales y la maestra
se lleva una de esas partes. Esto es así porque al par-
18
tir el pan en 3, cada una de las partes es el doble de
grande que las partes que quedan si el pan se corta
en 3 partes.
8. a. 21 y 6 _ 7 . b. Sí, es el resultado exacto de la cuenta.
9. a. 9. b. 9. c. 7. d. 3. e. 6 _ 13 . f. 4. g. 9.
Páginas 42 y 43.
Repartos equivalentes
1. a. Resolución personal. b. Cada uno le dio la misma
cantidad a cada persona, pero Julián no terminó de
repartir toda la pizza, se quedó con 4 porciones de 1 _ 2 .
c. 9 porciones de 1 _ 4 es igual a 8 porciones de
1 _ 4 y una
porción más de 1 _ 4 . Las 8 porciones de
1 _ 4 son 2 pizzas
enteras. Entonces quedan 2 pizzas enteras y 1 _ 2 .
Lo de Julián no es correcto, no le quedó la misma can-
tidad que a los otros. En este reparto, 1 _ 2 es lo mismo
que 2 _ 4 , por lo tanto cada persona recibe una pizza en-
tera y 3 _ 4 .
2. Por ejemplo: 2 y 1 _ 2 pastafrolas para cada uno o
15 _ 6 de
pastafrola para cada uno.
3. a. Tiene que partirlos en 3 partes, porque hay que re-
partirlos entre 3 chicos, le da 2 _ 3 a cada uno. b. Es cierto,
porque 6 _ 3 forman dos chocolates enteros, y le da
2 _ 3 más
para cada uno. c. Le dio un entero a cada uno, des-
pués repartió los otros 5 en 3 partes iguales cada uno y
le dio 5 de esas partes a cada chico.
4. a. Resolución personal. b. Sí, porque cada porción
de Julián tiene dos barritas, entonces Julián le dio, en
total, 6 barritas a cada uno, que es lo mismo que les
dio Natalia.
5. Sí, Para repartir 30 alfajores entre 8 personas se pue-
de dar 3 alfajores enteros a cada uno y a los 6 restantes
partirlos en 8 partes iguales, se les da una parte de
cada alfajor a cada uno, por lo tanto cada uno recibe
3 6 _ 8 . Para repartir 15 alfajores entre 4 personas se pue-
de: dar 3 alfajores enteros a cada uno y partir los 3 que
sobran, cada uno en 4 partes iguales y entonces cada
uno recibirá 3 y 3 _ 4 . Los
3 _ 4 representan 3 partes de
1 _ 4 .
Pero si a cada parte de 1 _ 4 se la divide en dos partes
iguales, se obtienen 2 partes de 1 _ 8 . Entonces cada uno
recibe 3 veces 2 partes de 1 _ 8 . Es decir,
6 _ 8 , cada uno re-
cibe 3 6 _ 8 de alfajor, que es lo mismo que en el otro caso.
6. a. c. y e. En el a. al repartir 4 alfajores entre 3 chicos,
se le puede dar un alfajor a cada uno y el que queda
partirlo en 3 partes iguales. Cada uno recibe 1 1 _ 3 . En c.
al repartir 12 alfajores entre 9 chicos, se le puede dar
un alfajor entero a cada uno y a los 3 que quedan, partir
en 3 a cada uno, quedan así 9 partes de 1 _ 3 . Cada uno
recibe entonces 1 1 _ 3 . En el e. al repartir 20 alfajores entre
15 chicos, se le puede dar uno entero a cada uno y a
los 5 restantes, partirlos en 3 partes iguales a cada uno,
quedan así 15 partes de 1 _ 3 . Cada uno recibe entonces
1 1 _ 3 .
b. y d. Al repartir 21 alfajores entre 8, se le puede dar 2
enteros a cada uno y partir los 5 restantes, en 8 partes
cada uno, y se le da a una parte de cada alfajor a cada
chico. Entonces cada uno recibe 2 5 _ 8 .
Al repartir 42 alfajores entre 16, se le puede dar 2 en-
teros a cada uno y partir los 10 restantes, en 8 partes
cada uno, quedan entonces 16 partes de 1 _ 8 y se le da
una de esas partes a cada uno. Entonces cada chico
recibe 2 5 _ 8 .
7. Son equivalentes: a. y d., b. y e., c. y f.
a. y d. en ambas se tiene la mitad del total.
En e. al repartir 5 entre 40 se puede dividir cada uno de
los 5 en 8 partes, quedando 40 partes de 1 _ 8 , entonces
cada uno recibe 1 _ 8 que es lo mismo que en b.
En f. al repartir 9 entre 45, se puede partir en 15 cada
uno de esos 9, quedando 135 partes de 1 _ 15 , se le da a
cada uno 3 de esas partes. Por lo tanto cada uno reci-
be 3 _ 15 , que es lo mismo que en c.
8. Hay infinitos números fraccionarios equivalentes
para cada número. Por ejemplo: a. 26 _ 18 y
39 _ 27 . b.
7 _ 4 y
14 _ 8
c. 142 _ 48 y
710 _ 240 . d.
13 _ 11 y
650 _ 550 . e.
1 _ 17 y
3 _ 51 .f.
46 _ 182 y
230 _ 910 .
Página 44.
Los números fraccionarios para medir
1. En los rectángulos a. b. y c. se sombrearon 3 _ 8 .
En todos los casos hay que dividir los rectángulos en
partes iguales y analizar cuántas de esas partes están
sombreadas.
a. Se pintaron 3 partes de 8 partes iguales.
b. Se pintaron 3 partes de 8 partes iguales.
Matemática 1 Solucionario 19
c. Se pintaron 3 partes de 8 partes iguales.
d. En este rectángulo se pintaron 3 _ 4 y una parte que es
menor a 1 _ 4 , entonces no se sombreó lo mismo que en
los rectángulos anteriores.
2. En a., b., d., y f. En a. y en d. se pintó 1 parte de 3
partes iguales. Por lo tanto se pintó 1 _ 3 .
En b. se puede dividir el rectángulo en 6 partes iguales
a las sombreadas, y como hay 2 partes sombreadas de
6 partes iguales, se pintaron 2 _ 6 que es equivalente a
1 _ 3 .
En c. hay una de 4 partes iguales, por lo tanto se pintó 1 _ 4
y no 1 _ 3 .
En e. se dividió el círculo en 3 partes pero no son igua-
les.
En f. se puede dividir el rectángulo en 12 partes iguales
a las pintadas, y como hay 4 partes sombreadas de 12
partes iguales, se pintaron 4 _ 12 que es equivalente a
1 _ 3 .
3. a. 2 _ 9 . b.
5 _ 12 . c.
3 _ 16 .
4. Resolución personal. Por ejemplo:
a.
b.
c.
5. a. Resolución personal. b. Lo que dice Bruno es
correcto, pero la medida de Natalia es mucho más
exacta que la de él. Cuando se mide hay que elegir una
unidad de medida que se toma como referencia, en
este caso la unidad que usaron para medir el segmento
es el palito. Entonces Denise tiene razón, la unidad de
medida es el palito.
6. b. i. ‾ AB = 2 unidades. ii. ‾ CD = 1 _ 2 de unidad.
iii. ‾ EF = 2 unidades y 2 _ 5 de unidad.
7. a. i. 1 unidad. ii. 2 unidades. iii. 1 y 1 _ 2 unidades.
iv. 1 _ 2 de unidad. v.
1 _ 4 de unidad.
b. 1 _ 2 .
c. No, entra una vez y media.
d. i. 4 unidades. ii. 8 unidades. iii. 6 unidades.
iv. 2 unidades. v. 1 unidad.
8. a. y b. Resolución personal.
9. a. B entra 2 _ 3 vez en A. b. A entra 1 y
1 _ 2 veces en B.
Página 46.
Las partes y los enteros
1. Le quedaron 4 _ 5 del total de caramelos. 50 entra 5 ve-
ces en 250, como su hermano se queda con 50, enton-
ces Manuel se queda con 4 de estas partes.
2. 18 huevos.
3. Le sobraron $50.
4. a. Resolución personal. b. Bruno no tiene razón por-
que no se sabe cuánta plata tenía Julián ni cuánta plata
tenía Natalia.
5. 17 panqueques.
6. Entre 5 amigos porque, 28 _ 5 es el resultado exacto de
la división 28 : 5. Por lo tanto repartió los 28 chocolates
entre 5 amigos.
7. a. y b. No hay una única opción porque no se sabe
cuántos amigos ni cuántos alfajores repartieron. Por
ejemplo, podrían haber sido 5 alfajores y 4 amigos, en-
tonces recibe un alfajor entero cada uno y el que sobra
lo parten en 4 partes iguales y cada uno se queda con
una de esas partes. Cada uno recibe 1 1 _ 4 de alfajor.
También podría haber sido 10 alfajores y 8 amigos, en-
tonces recibe un alfajor entero cada uno y a los 2 res-
tantes se los parte en 4 porciones cada uno. Quedan
así 8 porciones de 1 _ 4 . Si cada uno recibe una de esas
porciones, entonces en total recibe 1 1 _ 4 alfajor cada uno.
Página 47.
Las fracciones decimales
1. a. Los que pueden escribirse como fracciones equi-
valentes con denominador 10, 100, 1.000, etcétera,
son: i. 2 _ 5 =
4 _ 10 , iii.
3 _ 8 =
375 _ 1.000 , v.
7 _ 25 =
28 _ 100 y viii.
63 _ 45 =
14 _ 10 .
b. Los que pueden escribirse como expresión decimal
con una cantidad finita de decimales son los que puedenescribirse como fracción decimal. Es decir, los de ítem a.
20
2. a. Hay diferentes formas de resolver el proble-
ma. Por ejemplo: 2 jugos y 3 chupetines, que suma
9,25 × 2 + 1,50 × 3 = 33. Le alcanza justo y por lo tan-
to no le dan vuelto. O 1 alfajor, 1 paquete de figuritas,
1 chupetín y 12 caramelos, que suman 14,50 + 4,50 +
1,50 + 12 × 0,20 = 21,90. Le dan $ 0,10 de vuelto.
b. No le alcanza, le faltan $ 2,25.
3. a. Resolución personal, por ejemplo:
i. 5 monedas de $ 1 y 7 de 1 centavo o 10 monedas de
50 centavos y 7 de 1 centavo.
ii. 3 monedas de $ 1 y 1 moneda de 25 centavos o
6 monedas de 50 centavos, 2 de 10 centavos y 5 de
1 centavo.
iii. 2 monedas de $ 1, 3 de 10 centavos y 4 de 1 centavo
2 monedas de $ 1, 1 de 25 centavos y 9 de 1 centavo.
iv. 8 monedas de $ 1, 1 de 50 centavos y 4 de 1 cen-
tavo o 3 monedas de $ 1, 11 de 50 centavos y 4 de
1 centavo.
v. 4 monedas de $ 1, 2 de 10 centavos y 4 de 1 centavo
u 8 monedas de 50 centavos, 4 de 5 centavos y 4 de
1 centavo.
b. La opción subrayada de las anteriores es la que usa
la menor cantidad de monedas.
4. a. 72,8 décimos. 728 centésimos.
b. 2,8 décimos. 28 centésimos.
c. 34 décimos. 340 centésimos.
d. 982,3 décimos. 9823 centésimos.
e. 1,43 décimos y 14,3 centésimos.
5. Es cierto. Se podría pensar en que para pagar justo
$0,39 se usan 39 monedas de 1 centavo.
6. a. 7. b. 74. c. 7. d. 5; 73. e. 57. f. 457.
Página 48.
Ubicar en la recta numérica
1. a. 3 1 _ 3 o
10 _ 3 . b. 7
2 _ 3 o
23 _ 3 . c. 7.
2.
3.
4.
5. a. A = 3 _ 5 , B =1. b. A = 0,33, B = 0,36.
1
2
1
4
9
10
0 1
0 0,31
6
1
3
1
2
0 0,2 0,54
10
6.
7. a. 20 cm, para que 1 _ 20 sea 1 cm, porque 20 es el
múltiplo común menor entre todos los denominadores.
b. 18 cm, para que 1 _ 18 sea 1 cm, porque 18 es el múlti-
plo común menor entre todos los denominadores.
c. 12 cm, para que 1 _ 12 sea 1 cm, porque 12 es el múlti-
plo común menor entre todos los denominadores.
Página 49.
Comparar números racionales
fraccionarios
1. Juan comió más porque comió tres porciones como
la que comió Florencia, comió 3 de 1 _ 5 .
2. Lucas dividió el chocolate en 9 partes y Pedro divi-
dió un chocolate igual en 7 partes. Pedro comió más
porque, a pesar de que ambos comieron 2 porciones,
como Pedro dividió el chocolate en menos partes, esas
porciones son más grandes que las de Lucas.
3. ii. Porque son 16 porciones de un total de 27 partes
en las que se dividió el entero. No se llega a completar
el entero.
iv. Porque son 63 porciones de un total de 90 partes en
las que se dividió el entero. No se llega a completar el
entero.
En las demás, la cantidad de porciones es más que
el total de partes en la que se dividió el entero, por lo
tanto, esos números son mayores a 1.
4. i. 3 _ 20 >
3 _ 40 . ii.
67 _ 18 <
67 _ 85 . iii.
2 _ 9 =
18 _ 81 . iv.
1 _ 27 <
5 _ 12 .
v. 3 _ 7 >
2 _ 5 . vi.
2 _ 3 <
5 _ 6 . vii.
9 _ 4 >
25 _ 81 . viii.
13 _ 27 <
3 _ 5 .
Páginas 50 y 51.
Orden y densidad
1. i. 98 y 99. ii. 56 y 57. iii. 23 y 24. iv. 45 y 46.
2. a. 2,55; 2,555; 23 _ 9 ; 2,65.
b. 1,0253; 1,205; 1,25401; 1,254.
c. 153 _ 20 = 7,65 = 7,650; 7,065.
d. 18 _ 8 = 2,25; 2,205; 2,025; 2,0025.
e. 6,01; 5,83; 291 _ 50 = 5,82.
f. 3,25; 3,0045; 2,54.
3. a. 2,5 = 2,50. b. 0,15 > 0,015. c. 100 ______ 1.000 = 0,1.
d. 0,59 < 0,6. e. 44 _ 100 > 0,43. f. 8,002 > 8,01.
4. Resolución personal, por ejemplo:
a. 1,9; 2, y 2,5.
b. 4,28; 4,29 y 4,295.
0 1
0,57
6
10
Matemática 1 Solucionario 21
c. 0,402; 0,403 y 0,409.
d. 3,074; 3,076 y 3,078.
e. 0,022; 0,027 y 0,029.
f. 1,00354; 1,00357 y 1,00359.
g. 10,02; 10,07 y 10,08.
h. 0,00254; 0,00256 y 0,00259.
5. a. y b. i. No existen tres números naturales entre 8
y 10, porque solamente el 9 es un número natural que
está entre 8 y 10.
ii. 8 = 72 _ 9 y 10 =
90 _ 9 . Los números fraccionarios que se
encuentran entre 8 y 10, con denominador 9 son:
73 _ 9 ;
74 _ 9 ;
75 _ 9 ;
76 _ 9 ;
77 _ 9 ;
78 _ 9 ;
79 _ 9 ;
80 _ 9 ;
81 _ 9 ;
82 _ 9 ;
83 _ 9 ;
84 _ 9 ;
85 _ 9 ;
86 _ 9 ;
87 _ 9 ;
88 _ 9
y 89 _ 9 . Son 17 en total.
iii. Hay infinitos números fraccionarios entre 8 y 9. Por
ejemplo: 17 _ 2 ;
18 _ 2 y
19 _ 2 . Al buscar fracciones equivalentes
a 8 y a 9 con otros denominadores en común, vamos
a encontrar, en cada caso, más números fraccionarios
que se encuentren entre 8 y 9.
6. a. i. 6 _ 4 ;
7 _ 4 y
9 _ 4 . No hay más números fraccionarios en-
tre 5 _ 4 y
9 _ 4 que tengan denominador 4.
ii. Desde 11 _ 8 hasta
17 _ 8 , con el numerador entre 11 y 17.
Son 7 en total.
b. Hay infinitos números fraccionarios entre 5 _ 4 y
9 _ 4 . Al
buscar fracciones equivalentes a 5 _ 4 y a
9 _ 4 con otros de-
nominadores en común, vamos a encontrar, en cada
caso, más números fraccionarios que se encuentren
entre estos dos.
7. a. i. 4 _ 9 . Es el único número fraccionario que cumple lo
pedido. ii. Por ejemplo: 7 _ 18 . Hay infinitos.
b. Hay infinitos. Al buscar fracciones equivalentes a 1 _ 3 y
a 5 _ 9 con otros denominadores en común, vamos a en-
contrar, en cada caso, más números fraccionarios que
se encuentren entre estos dos.
8. a. i. No hay ninguno porque 2 _ 3 =
6 _ 9 , y entre
6 _ 9 y
5 _ 9 no
hay números fraccionarios con denominador 9, ya que
no hay un numerador entre 6 y 5.
ii. 11 _ 18 . Es el único porque
5 _ 9 =
10 _ 18 y
2 _ 3 =
12 _ 18 , y el único
numerador entre 10 y 12 es 11.
b. Hay infinitos. Al buscar fracciones equivalentes a 2 _ 3 y
a 5 _ 9 con otros denominadores en común, vamos a en-
contrar, en cada caso, más números fraccionarios que
se encuentren entre estos dos.
9. Entre dos números fraccionarios cualesquiera hay
siempre infinitos números fraccionarios. Basta con bus-
car fracciones equivalentes con otros denominadores
en común, para hallar cada vez más números que es-
tén entre ellos.
10. a. Resolución personal. Se pueden encontrar infini-
tos. Por ejemplo: i. 1,4. ii. 1,2. iii. 1,1. iv. 1,08.
b. Hay infinitos números fraccionarios entre otros dos.
Basta con cambiar la cifra correspondiente a los déci-
mos por un número menor a 5 o agregar al menor de
los números cifras decimales iguales a cero, salvo la
última y manteniendo las primeras cifras iguales.
11. a. 0,254. Se pueden encontrar infinitos, basta con
agregar al menor de los números cifras decimales, man-
teniendo las primeras cifras. b. No hay ninguna expresión
decimal con dos cifras decimales entre 0,25 y 0,26.
12. a. Por ejemplo:
3,25 = 325 _ 100 =
3.250 _ 1.000 y 3,26 =
326 _ 100 =
3.260 _ 1.000 .
Por lo tanto 3.256 _ 1.000 está entre 3,25 y 3,26.
b. Por ejemplo: 3,254 y 3,259.
c. Por ejemplo: 3,258.
13. Es incorrecto lo que dice Julián porque hay infinitos
números decimales entre ellos, por ejemplo: 4,500002;
4,59 y 4,50000000007.
14. a. i. 1,5 y 1,6. Hay infinitos. ii. 1,4. Hay infinitos.
iii. 1,1. Hay infinitos.
b. No, porque siempre se podrán agregar al 1 cifras
decimales iguales a 0 menos la última y se conseguirá
un número mayor a 1. También será menor al número
hallado antes si, conservando las primeras cifras igua-
les, le agregamos más cifras decimales iguales a cero
en el número que propongamos.
c. Entre 1,6 y 2 podemos encontrar, por ejemplo, el
número 1,9. Entre 2 y 1,9 podemos encontrar, por
ejemplo, al número 1,92. Y entre el número 1,92 y el
2, podemos encontrar, por ejemplo, el número 1,9204.
Podemos concluir que entre dos números cualesquiera
podemos encontrar infinitos números decimales.
15. Hay infinitos. Si A y B son dos números cualesquiera
y A es menor a B, siempre se podrán agregar a A cifras
decimales iguales a 0 menos la últimay se conseguirá un
número mayor a A y a la vez será menor a B, si se conser-
van las primeras cifras iguales a las de A y le se le agregan
más cifras decimales iguales a cero que las que tiene B
antes de su última cifra decimal distinta de cero.
Página 52.
Programar en Scratch
1. Siguiendo los pasos indicados sucede que: El unicor-
nio dice “Hola” avanza unos pasos, luego dice “Hola”
de nuevo y, por último, el globito “Hola” desaparece.
2. a. La herramienta “repetir” repite n cantidad de ve-
ces las instrucciones que encierra. En nuestro caso la
22
cantidad de veces es 2. Y las instrucciones que repite
son “Decir hola por 1,5 segundos”, “Mover 100 pasos”
y “borrar” (borrar es una herramienta que permite bo-
rrar del pizarrón lo “dibujado” hasta el momento).
b. Si cambiamos el 2 por el 6, lo que se logra es que el
unicornio diga hola y avance 6 veces.
c. Si cambiamos el 2 por 3.5 repite 5 veces.
3. La herramienta “decir” muestra un texto en pantalla.
a. Si cambiamos el texto, en vez de “Hola” aparece el
texto escrito.
b. Si cambiamos el tiempo con distintos números el tex-
to permanece en pantalla la cantidad de segundos in-
dicados, recién al terminar esa cantidad de segundos
se pasa a la siguiente instrucción que es “mover 100
pasos”.
c. Si cambiamos 1,5 por 3, el texto permanece 3 se-
gundos.
4. a. La herramienta “mover pasos” mueve el objeto la
cantidad de pasos ingresados.
b. Cuanto mayor es el número más distancia se mue-
ve, cuanto menor es el número el paso se hace más
pequeño.
5. Variable: “Repetir”.
6. Variables: tiempo, mover, decir.
7. a. La diferencia es que hay variables que son dis-
cretas y variables que son continuas. Si son discretas
entonces están representadas por números enteros y si
son continuas pueden ser representadas por cantida-
des fraccionarias.
b. Los números naturales son un conjunto de números
no densos, entre dos consecutivos no hay otro número
natural. El conjunto de los números racionales, o el con-
junto de los números que se pueden representar con
expresiones decimales, es denso, entre dos números
cualquiera hay infinitos.
8. El cambio de disfraz es un cambio de imagen en el
objeto, al hacer el cambio reemplaza una imagen por la
otra, por ejemplo, si al unicornio le pongo un disfraz con
anteojos (por ejemplo) en el momento que agrego la he-
rramienta “Cambiar disfraz” le “aparecen” los anteojos.
Página 54. Integrar lo aprendido
1. a. 41 _ 5 = 8 y
1 _ 5 . b.
1 _ 7 . c.
28 _ 4 = 7 . d.
89 _ 3 = 29 y
2 _ 3 .
2. a. Por ejemplo:
b. Hay infinitas posibilidades. Como el triángulo repre-
senta 2 _ 5 , para completar el entero le faltan
3 _ 5 . Hay que
agregar, o tres triángulos más iguales a la mitad del
triángulo del enunciado que representan 1 _ 5 cada uno,
o bien un triángulo y medio igual al del enunciado. Hay
infinitas formas de ubicar esos triángulos.
3. 105 figuritas.
4. Se queda con 1 _ 4 . Porque es
1 _ 2 de la mitad del premio.
5. No se puede saber cuánta plata le queda porque ha-
bría que saber cuál es el sueldo. Solo podemos saber
que le quedan 4 _ 15 del sueldo, pero no sabemos cuánta
plata es.
6. a. y f. 2 _ 5 = 0,40 . b. y c.
3 _ 9 =
2 _ 6 =
1 _ 3 .
7. a. Dos cifras, porque 9 _ 50 =
18 _ 100 , que al dividir por 100
se corren dos lugares la coma quedando dos cifras de-
cimales. b. Una cifra como 73 no es divisible por 2, en-
tonces el resultado dará un número entero y una mitad,
por lo tanto el resultado tendrá solo un 5 en el lugar de
los décimos. c. Tres cifras. Porque 97 _ 8 =
12.125 _ 1.000 .
d. Una cifra. Porque 8 _ 5 =
16 _ 10 .
8. a. 2 _ 10 = 0,2. b.
47 _ 10 > 0,48.
c. 5 _ 1.000 < 0,05. d.
70 _ 10 > 0,7.
9. a. 2 _ 3 ;
7 _ 3 ;
15 _ 3 ;
231 _ 3 . b.
3 _ 231 ;
3 _ 15 ;
3 _ 7 ;
3 _ 2 . c.
1 _ 4 ;
5 _ 15 ;
3 _ 8 ;
1 _ 2 .
d. 3 _ 15 ;
1 _ 4 ;
13 _ 8 ;
7 _ 3 .
10. No, porque hay infinitos números entre 1,8 y 1,85.
11. Por ejemplo:
a. 0,65; 0,7 y 0,73.
b. 1,32; 1,37 y 1,39.
c. 4,891; 4,895 y 4,898.
d. 0,33; 0,35 y 0,39.
e. 7,0311; 7,035 y 7,0388.
f. 7 _ 8 ,
10 _ 12 y
11 _ 12 .
g. 5 _ 12 ;
6 _ 12 y
5 _ 9 .
h. 111 _ 1.000 ;
23 _ 1.000 y
97 _ 1.000 .
i. 65 _ 100 ;
67 _ 100 y
69 _ 100 .
12. a. i. 234 _ 1.000 . ii.
154 _ 100 . iii.
25 _ 10 . iv.
205 _ 100 . v.
25 _ 10 . vi.
234 _ 100 .
vii. 9.203 _ 1.000 . viii.
9.203 _ 100 . ix.
154 _ 100 .
b. iii. y v. Son equivalentes.
ii. y ix. Son equivalentes.
Matemática 1 Solucionario 23
Capítulo 4
Los polígonos
Página 56 y 57.
Los cuadriláteros
1. Resolución personal.
2. a. Hay infinitas construcciones posibles.
b. Hay una única figura posible.
c. Hay una única figura posible.
d. Hay infinitas construcciones posibles.
e. Bruno tiene razón porque los cuadrados son rombos
por ser paralelogramos con todos sus lados iguales.
Natalia tiene razón porque el cuadrado es un paralelo-
gramo, rombo y rectángulo, por tener todos sus ángu-
los rectos. Julián tiene razón porque los cuadrados tie-
nen todos sus ángulos determinados y los rombos no.
3. a. Paralelogramo: dos lados consecutivos y un án-
gulo comprendido; o dos lados consecutivos y la dia-
gonal correspondiente; o dos diagonales y el ángulo
comprendido entre ellas; o un lado, una diagonal y el
ángulo comprendido. b. Un rectángulo: dos lados; o un
lado y una diagonal; o la diagonal y el ángulo que forma
con un lado; o la diagonal y el ángulo comprendido en-
tre las diagonales. c. Rombo: un lado y un ángulo inte-
rior; o un lado, una diagonal y el ángulo comprendido; o
las dos diagonales. d. Cuadrado: El lado o la diagonal.
4. a. Resolución personal. b. Rectángulo. Cuadrado.
Rectángulo.
5. a. Resolución personal. b. Sí, porque la circunferen-
cia tiene infinitos diámetros, si el ángulo entre ambas
diagonales cambia, entonces voy a tener diferentes
rectángulos posibles.
6. a. Tracen un segmento ‾ AC de 6 cm. Tracen la media-
triz y llamen O al punto medio del segmento ‾ AC . Tracen
una circunferencia de centro O y cualquier radio. Lla-
men B y D a los puntos de intersección de la circunfe-
rencia y la mediatriz. ABCD es el rombo pedido. Hay
infinitos posibles porque la medida de la otra diagonal
puede tomar cualquier longitud. b. Tracen un segmen-
to ‾ AC de 6 cm. Tracen la mediatriz y llamen O al punto
medio del segmento ‾ AC . Tracen una circunferencia de
centro O y radio 2 cm. Llamen B y D a los puntos de
intersección de la circunferencia y la mediatriz. ABCD
es el rombo pedido. Hay un único rombo. c. Tracen un
segmento ‾ AC de 5 cm. Tracen la mediatriz y llamen O
al punto medio del segmento ‾ AC . Tracen una circun-
ferencia de centro O y radio 2,5 cm. Llamen B y D los
puntos de intersección de la circunferencia y la media-
triz. ABCD es el cuadrado pedido. Hay un único cua-
drado. d. Tracen un segmento ‾ AC de 8 cm. Llamen O
el punto medio del segmento ‾ AC . Tracen una circunfe-
rencia de centro O y radio de 6 cm. Tracen un diámetro
de la circunferencia que no esté sobre el segmento ‾ AC
. Llamen B y D los puntos de intersección del diámetro
con la circunferencia. ABCD es el paralelogramo pedi-
do. Hay infinitos paralelogramos porque el ángulo entre
las diagonales puede variar.
7. a. Falso. En 6. d. se construyó un paralelogramo con
diagonales que miden 6 cm y 8 cm. b. Verdadera. Con-
sideren el paralelogramo ABCD y llamen O el punto de
intersección de las diagonales ‾ AC y ‾ BD .
Los triángulos BAD y BCD son iguales porque tienen
sus tres lados iguales entre sí. Por lo tanto los ángulos
A
^
D B y D
^
B C son iguales. Los triángulos ADC y CBA son
iguales porque tienen sus tres lados iguales entre sí.
Los ángulos D
^
A C y A
^
C B son iguales.
Los triángulosADO y CBO son iguales porque tienen
dos pares de ángulos iguales y sus respectivos lados
comprendidos iguales por ser lados opuestos del para-
lelogramo. Entonces ‾ DO = ‾ BO y ‾ AO = ‾ CO , es decir, O
es el punto medio de ‾ AC y de ‾ BD . c. Verdadera. Como
un rombo tiene sus cuatro lados iguales, cada una de
sus diagonales los divide en dos triángulos iguales. En-
tonces, el rombo queda dividido en cuatro triángulos
que tienen dos ángulos y el lado comprendido iguales
entre sí, por lo tanto son iguales. Como los cuatro trián-
gulos son iguales, entonces el ángulo de cada uno de
ellos que tiene vértice en la intersección de las diago-
nales es el mismo y forman un giro completo, de 360°,
luego cada uno mide 90°. d. Verdadera. Cada diagonal
determina con los lados dos triángulos rectángulos igua-
les, y estos cuatro triángulos son iguales entre sí. Por lo
tanto las diagonales miden lo mismo. Por otro lado, estas
se cortan en sus puntos medios porque el rectángulo es
un paralelogramo. e. Verdadero. Porque los cuadrados
son rombos y también son rectángulos.
D C
A B
O
24
Páginas 58 y 59.
Construir cuadriláteros
1. a. Resolución personal. b. Tracen el segmento ‾ AB . Tras-
laden el ángulo ^ E con vértice en A. Tracen una cir-
cunferencia con radio ‾ CD y centro en A. Llamen D la
intersección de la circunferencia y el lado del ángulo.
Tracen una circunferencia, con centro en D y radio ‾ AB
y una circunferencia con centro B y radio ‾ CD . Llamen
C el punto de intersección de ambas circunferencias.
ABCD es el paralelogramo buscado. c. Trasladen el
segmento ‾ AB . Tracen una circunferencia con centro en
B y radio ‾ CD . Llamen P a un punto de la circunferencia.
Tracen una circunferencia con centro en P y radio ‾ AB
y otra con centro en B y radio ‾ AP . Llamen Q a la inter-
sección de ambas circunferencia. ABQP es el parale-
logramo pedido. Hay infinitos porque el punto P puede
ser cualquier punto de la primera circunferencia traza-
da. Hay infinitos porque la circunferencia tiene infinitos
puntos y hay infinitas posibilidades para ubicar el punto
P. d. Trasladen el segmento ‾ AB y llamen O el punto me-
dio. Tracen una circunferencia con centro en O y radio
‾ CD . Marquen un diámetro de la circunferencia y llamen
‾ CD la intersección del diámetro con la circunferencia.
ACBD es el paralelogramo buscado. Hay infinitos por-
que la circunferencia tiene infinitos diámetros y hay infi-
nitos ángulos posibles entre ‾ AB y ‾ CD .
e. Trasladen el segmento ‾ AB . Trasladen el ángulo E
con vértice en A. Tracen una circunferencia con centro
en O y radio ‾ CD . Llamen D a la intersección de la cir-
cunferencia con el lado del ángulo trasladado. Tracen
una circunferencia con centro en B y radio ‾ CD y otra
con centro en D y radio ‾ AB . Llamen c la intersección
de ambas circunferencias. ABCD es el paralelogramo
buscado. Hay una única construcción posible.
2. Tres datos: dos lados y el ángulo comprendido o un
lado, la diagonal y el ángulo comprendido.
3. a. Resolución personal. b. Tracen dos rectas perpendi-
culares. Con centro en la intersección de las rectas traza-
das, tracen una circunferencia con radio igual al segmento
dado. Los puntos de intersección entre la circunferencia y
las dos rectas perpendiculares son los vértices del cua-
drado buscado.
4. a. No existe un paralelogramo con esos datos. Las
diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto
medio. No se puede formar un triángulo con los vérti-
ces correspondientes al lado de 9 cm y el punto de in-
tersección de las dos diagonales, porque las medidas
de los lados son: 9, 4 y 4, 5. Estas medidas no cumplen
con la desigualdad triangular. b. Dibujen un segmento
de 4 cm. Con centro en uno de sus extremos tracen
una circunferencia de 4 cm de radio y con centro en
el otro extremo, una circunferencia de 2 cm de radio.
El punto donde ellas se intersecan es el punto de in-
tersección de las diagonales. Tracen semirrectas con
origen en los extremos del primer segmento que pasen
por ese punto. Con centro en el punto de intersección
de las diagonales, tracen dos circunferencias, una de
2 cm de radio y otra de 4 cm de radio. Al cortar las se-
mirrectas determinarán los vértices que faltan. Se pue-
de construir un solo paralelogramo. c. Tracen un seg-
mento ‾ AB de 4 cm y llamen O el punto medio. Tracen
una circunferencia con centro en O y radio ‾ AB . Mar-
quen otro diámetro de la circunferencia y llamen ‾ CD la
intersección del diámetro con la circunferencia. ACBD
es el paralelogramo buscado. Hay infinitos porque la
circunferencia tiene infinitos diámetros y hay infinitos
ángulos posibles entre ‾ AB y ‾ CD .
5. a. Tracen un segmento de 6 cm, los extremos de
este segmento serán dos vértices del rombo. Tracen
la mediatriz del segmento y llamen O el punto medio
del segmento trazado. Con centro en O tracen una cir-
cunferencia con radio de 4 cm. Los puntos de intersec-
ción entre la circunferencia y la mediatriz determinan
los otros dos vértices del rombo buscado. b. Hay un
único rombo que cumpla con estos datos porque los 4
vértices quedan determinados.
6. a. Dibujen un segmento ‾ AB de 7 cm y marquen su
punto medio, M. Construyan un ángulo de 120° con
centro en M, y que uno de sus lados sea la semirrecta
con origen en M y que contiene el segmento ‾ AB . Tra-
cen una circunferencia de centro M y radio 2,5 cm. El
punto donde la circunferencia corta el lado del ángulo
es un vértice del paralelogramo, C. Tracen la semirrec-
ta opuesta a
⟶
MC . El punto donde esta semirrecta corta
a la circunferencia es el cuarto vértice del paralelogramo
buscado. Se puede construir un único paralelogramo, por-
que los 4 vértices quedan determinados con los datos.
b. Dibujen un segmento ‾ AB de 6 cm y un ángulo de 80°
con centro en A y un lado que contenga el segmento
‾ AB . Tracen una circunferencia con centro en A y radio
7 cm. Llamen C al punto donde la circunferencia corta
el lado del ángulo. Unan C con B. Con centro en C tra-
cen una circunferencia de radio de 6 cm y con centro
en A una de radio ‾ BC donde ambas circunferencias se
cortan está el cuarto vértice, D. ABCD es el paralelo-
Matemática 1 Solucionario 25
gramo buscado. Se puede construir uno solo, porque
los 4 vértices quedan determinados con los datos.
c. Dibujen un segmento ‾ AB de 4 cm. Tracen un ángulo
de 70° con vértice en A y un lado que contenga el seg-
mento ‾ AB . Tracen una circunferencia de centro en A y
radio 4 cm. Llamen D el punto donde la circunferencia
corta el lado del ángulo. Con centro en B y en D tracen
circunferencias de radio 4 cm, llamen C el punto don-
de ambas se cortan. ABCD es el rombo buscado. Se
puede construir uno solo, porque los 4 vértices quedan
determinados con los datos. d. No es posible construirlo,
porque con el dato del lado y la diagonal queda un rombo
determinado, el ángulo que conforman no es de 40°.
4
α = 48,59º
β = 41,41º
4
6
44
7. Es cierto. Por un lado, los cuatro lados miden lo mis-
mo porque los triángulos EAH, FBE, GCF y HDG son
iguales. Por otro, los ángulos son rectos porque si uno
de los ángulos de los triángulos iguales mide α, enton-
ces el otro mide 90° - α , por lo tanto para completar los
180° del ángulo llano, el ángulo del cuadrilátero tiene
que medir 90°.
8. a. El cuadrilátero MNPQ es un rombo.
Por un lado, los cuatro lados miden lo mismo porque
los triángulos EAH, FBE, GCF y HDG son iguales. Por
otro, los ángulos opuestos miden lo mismo, porque si
uno de los ángulos de los triángulos iguales mide α, el
otro mide 9 0° – α . Dos de los ángulos llanos es 180° – 2α
y los otros dos miden 180° – (90° – 2α) .
b. Queda determinado un paralelogramo porque los
triángulos son iguales de a pares, porque los ángulos
opuestos del paralelogramo miden lo mismo. c. Queda
determinado un paralelogramo porque los triángulosson iguales de a pares, porque los ángulos opuestos
del paralelogramo miden lo mismo y los lados opuesto
del paralelogramo miden lo mismo.
9. Queda determinado un paralelogramo porque los
D
Q N
C
A
P
M B
triángulos son iguales de a pares, porque los ángulos
opuestos del paralelogramo miden lo mismo.
10. Sí, porque cada diagonal determina con los lados
del cuadrado un triángulo rectángulos isósceles. Los
ángulos iguales miden lo mismo, y la suma da 90°, por
lo tanto, cada uno mide 45°.
11. No, porque los triángulos que determina cada dia-
gonal con lados de un rectángulo cualquiera, no son
isósceles.
12. Un romboide o un paralelogramo. Si dos lados con-
secutivos miden lo mismo, queda formado un romboi-
de, porque hay un par de ángulos opuestos que miden
igual; y si los lados iguales son los opuestos, queda
formado un paralelogramo porque hay dos pares de
ángulos opuestos iguales.
Página 60.
Ángulos interiores de los cuadriláteros
1. Tiene razón porque al trazar una diagonal en un cua-
drilátero siempre se determinan dos triángulos.
2. a. α = 63°. b. β = 111°. c. δ = 95°.
3. Sí, porque en un paralelogramo los ángulos opues-
tos son iguales,
^
C mide 110° y, como la suma de los
ángulos de un cuadrilátero es 360°, ^ B + ^ D = 140° , y
al ser iguales por ser opuestos, miden 70° cada uno.
4. No, porque los ángulos opuestos miden lo mismo y
dos consecutivos tienen que sumar 180°, 40° y 120° no
suman 180°.
5. El rombo tiene otro ángulo de 80°, porque los ángu-
los opuestos miden lo mismo, y dos ángulos de 100°,
porque como es un paralelogramo, los ángulos conse-
cutivos son suplementarios.
6. ^ A = 120° y ^ B = 60° .
7. B ^ O C = 80° porque es suplementario al A ^ O B. El án-
gulo O ^ C D = 40° porque el triángulo DOC es isósceles.
Como D ^ C B es un ángulo recto y O ^ C D = 40°, entonces
O ^ C B = 50°.
8. a.
A B
D
P
C
θ = 30º
α = 75º γ = 75º
ε = 150ºζ = 15º η = 15º
δ = 30º
β = 75º σ = 75º
26
Los ángulos interiores del triángulo ABP miden cada
uno 60° porque el triángulo es equilátero.
θ = ϕ = 30°, porque los ángulos DAB y ABC son rec-
tos. α = β = δ = g = 75° porque los triángulos ADP y
CBP son isósceles y el ángulo desigual mide 60°.
Los ángulos cuyo vértice es P suman un giro com-
pleto (360°) y tres de ellos suman 210°, por lo tan-
to el cuarto mide 150°. PDC = PCD = 15° porque el
triángulo PDC es isósceles y el ángulo desigual mide
150°. b. En un paralelogramo no sucede lo mismo
porque los ángulos D ^ A B y A ^ B C no son rectos. c. En
un cuadrilátero cualquiera tampoco, porque tampoco
se cumple, porque aunque los ángulos D ^ A B y A ^ B C
fuesen rectos, los triángulos DAP y PBC no serían isósceles.
Página 61.
Los trapecios
1.
2. No es cierto, porque las bases de un trapecio tienen
distintas medidas y los lados no paralelos no necesaria-
mente son iguales. Por lo tanto, los triángulos determi-
nados por las diagonales tendrían un único lado igual.
3. a. Tracen un segmento ‾ AB de 4 cm. Con centro en
B tracen una circunferencia de radio 3 cm. Marquen un
punto C de dicha circunferencia.Tracen una recta m
perpendicular al segmento ‾ AB por B. Tracen una recta
p, perpendicular a m, que pase por C. Tracen una cir-
cunferencia de centro en C y radio 6 cm; el punto donde
esta circunferencia corta la recta p es el cuarto vértice
(D) del trapecio ABCD buscado. Hay infinitos que cum-
plen con estas condiciones porque hay infinitos puntos
C sobre la circunferencia. b. Tracen un segmento ‾ AB
de 5 cm. Con centro en B tracen una circunferencia
de radio 4 cm. Marquen un punto C de dicha circunfe-
rencia. Tracen una recta m perpendicular al segmento
‾ AB por B. Tracen una recta p, perpendicular a m, que
pase por C. Tracen una circunferencia de centro en C y
radio 8 cm; el punto donde esta circunferencia corta la
recta p es el cuarto vértice (D) del trapecio ABCD bus-
cado. Hay infinitos que cumplen con estas condiciones
porque hay infinitos puntos C sobre la circunferencia.
c. Tracen un segmento ‾ AB de 3 cm. Tracen una recta
m perpendicular al segmento ‾ AB por B. Marquen un
punto C sobre esta recta. Tracen una recta p perpen-
dicular a m, que pase por C. Tracen una circunferen-
cia de centro en C y radio 7 cm; el punto donde esta
circunferencia corta la recta p es el cuarto vértice (D)
del trapecio ABCD buscado. Hay infinitos que cumplen
con estas condiciones porque hay infinitos puntos C
sobre la recta p. d. No se puede construir un trapecio,
porque si los lados paralelos tienen la misma longitud,
entonces los otros dos también y sería un paralelogra-
mo. e. Tracen un segmento ‾ AB de 3 cm. Con centro en
B tracen una circunferencia de radio 6 cm. Marquen
un punto D sobren la circunferencia. Tracen una rec-
ta m perpendicular al segmento ‾ AB por B. Tracen una
recta p perpendicular a la recta m por D. Tracen una
circunferencia con centro en D y radio 8 cm. El punto C
donde esta circunferencia corta a la recta p es el cuarto
vértice del trapecio ABCD buscado.
4. a. Como MBCN es un rectángulo, ‾ BM = ‾ CN y, como
el trapecio es isósceles, ‾ BA = ‾ CD , por lo tanto ABM
y CDN son triángulos rectángulos y tienen dos lados
iguales. Luego son iguales. b. Los ángulos que se apo-
yan sobre la misma base son iguales. Como los trián-
gulos AMB y DNC son iguales, entonces los ángulos
B ^ A M y C ^ D N lo son. Por el mismo motivo, los ángulos
A ^ B M y N ^ C D son iguales, y como los ángulos del rec-
tángulo miden todos 90°, entonces los ángulos A ^ B C y
B ^ C D miden los mismo.
5. a. B ^ A D = 20°. b. D ^ C B = 122° y C ^ B A = 58°.
6. a. Puede construirse si el lado de 6 cm es uno de
los lado paralelos, porque los ángulos que se apoyan
en los lados no paralelos tienen que sumar 180°. Hay
infinitos trapecios que cumplan con estos datos. Tra-
cen un segmento ‾ AB de 6 cm y con vértice en cada
uno de los extremos, tracen los ángulos de 70° y 80°
respectivamente. Sobre el lado de uno de los ángulos,
que no contiene el segmento ‾ AB , marquen un punto
C. Tracen una recta m perpendicular al segmento ‾ AB
por B. Tracen una recta p perpendicular a m por C. El
punto D donde la recta m corta el lado del otro ángulo
es el cuarto vértice del trapecio ABCD buscado. Hay
infinitos porque hay infinitos puntos C sobre el lado de
uno de los ángulos. b. Puede construirse si el lado de
6 cm es uno de los lado paralelos, porque los ángulos
que se apoyan en los lados no paralelos tienen que
sumar 180°. Hay infinitos trapecios que cumplan con
estos datos. Tracen un segmento ‾ AB de 6 cm y con
vértice en cada uno de los extremos, tracen los ángulos
de 110° y 120° respectivamente. Sobre el lado de uno
de los ángulos, que no contiene el segmento ‾ AB , mar-
Matemática 1 Solucionario 27
quen un punto C. Tracen una recta m perpendicular al
segmento ‾ AB por B. Tracen una recta p perpendicular
a m por C. El punto D donde la recta m corta el lado
del otro ángulo es el cuarto vértice del trapecio ABCD
buscado. Hay infinitos, porque hay infinitos puntos C
sobre el lado de uno de los ángulos.
Páginas 62 y 63.
Los polígonos.
1. Son polígonos las figuras b., c. y e. porque son figu-
ras cerradas y tienen todos sus lados rectos.
2. b., e. y f.
3. a. y c. no se pueden completar para cumplir lo pedi-
do, porque si se ubican vértices a un lado o a otro de
la poligonal, igualmente habrá puntos que delimiten un
segmento que no quede todo dentro de la figura.
b. d.
e. f.
4. b., d. y f.
5. Por ejemplo:
6. Ezequiel.
7. a. y b.
i. ii.
iii.
i. Tiene 5 diagonales desde el vértice elegido.
ii. Tiene 3 diagonales desde el vértice elegido.
iii. Tiene 4 diagonales desde el vértice elegido.
No sería distinto si se hubiera elegido otro vértice, por-
que una diagonal une un vértice con otro que no sea
consecutivo, y eligiendo cualquier otro vértice, siempre
habrá la mismacantidad de vértices no consecutivos.
8. a. Un hexágono puede cubrirse, como mínimo con 4
triángulos que no se superponen. Y un pentágono con 3.
Ya que se trazan las diagonales correspondientes a uno
de los vértices, quedando 4 vértices no consecutivos a
ese en el hexágono y, 3 en el pentágono. b. Un polígono
que tiene n lados puede cubrirse como mínimo con:
n – 2 triángulos que no se superponen.
Páginas 64 y 65.
Ángulos interiores y exteriores de los
polígonos
1. Sí, las dos formas son correctas. Julieta dividió el
pentágono en 5 triángulos que no se superponen des-
de un punto interior, en cambio Micaela lo dividió en 4
desde un vértice.
2. Hay que dividir el polígono en diferentes triángulos
que no se superpongan, multiplicar la cantidad de
triángulos por 180° y restar los ángulos que no son án-
gulos del polígono.
3. a.
^
B = 270°. b.
^
A =
^
H = 178°. c.
^
A = 270° .
4. a. 108°. Porque todos los ángulos interiores son igua-
les. Cada ángulo interior mide (3 × 180°) : 5 = 108° .
b. 120°. Porque todos los ángulos interiores son igua-
les. Cada ángulo interior mide (4 × 180°) : 6 = 120° .
5. 11 lados. Porque al dividir 1.620° por 180° que es la
suma de los ángulos interiores de cada triángulo en el
que se lo puede dividir, da 9, y la cantidad de triángu-
los mínima en la que se puede dividir es 2 menos que
la cantidad de vértices del polígono. Por lo tanto tiene
9 + 2 = 11 lados.
6. Es cierto, porque la suma de los ángulos interiores
de un polígono siempre es múltiplo de 180 y 11.355 no
lo es.
7. 20 lados. Porque (18 × 180) : 20 = 162°.
8. a. y c. porque son múltiplos de 180.
9. A ^ B C = 87°.
10. a. 360°. Como la suma de los cinco ángulos interio-
res es 540°, y cada exterior es la diferencia entren 180°
y el ángulo exterior, la suma de ellos es:
5 × 180° - 540° = 360° .
b. Resolución personal.
28
c. Si los ángulos interiores son ^ A , ^ B , ^ C , ^ D , ^ E , ^ F , ^ G y ^ H ,
los ángulos exteriores miden 180°– ^ A , 180°– ^ B , 180°– ^ C ,
180°– ^ D , 180°– ^ E , 180°– ^ F , 180°– ^ G y 180°– ^ H .
180°– ^ A + 180°– ^ B + 180°– ^ C + 180°– ^ D + 180°– ^ E +
180°– ^ F + 180°– ^ G + 180°– ^ H = 1.040°– ( ^ A + ^ B + ^ C + ^ D +
^ E + ^ F + ^ G + ^ H ) =1.040° – 1.080° = 360°.
d. Sí, es cierto:
180° × n – 180° × (n – 2) =180° × n – 180° × n + 360° = 360°.
11. a. 72°. b. 45°. c. 60°.
Página 66.
Figuras inscriptas en una circunferencia
1. a. Dibujen un segmento ‾ EB de 5 cm y tracen su
mediatriz. El punto donde se corta la mediatriz con el
segmento es el punto medio, llámenlo A. Tracen, con
centro en A, un arco de circunferencia de radio 2,5 cm.
Llamen D el punto donde la circunferencia corta a la me-
diatriz. Tracen dos circunferencias con radio de 2,5 cm,
una con centro en B y la otra con centro en D. Llamen
C al punto donde se cruza. ABCD es el cuadrado de la
figura. Tracen la diagonal del cuadrado y su mediatriz
para obtener su punto medio que es el centro de la cir-
cunferencia. Unan los puntos donde la mediatriz corta
los lados del cuadrado con los vértices del lado opuesto.
b. Dibujen un segmento ‾ EB de 7 cm y tracen su media-
triz. El punto donde se corta la mediatriz con el segmento
es el punto medio, llámenlo A. Tracen, con centro en A,
un arco de circunferencia de radio 3,5 cm. Llamen D el
punto donde la circunferencia corta la mediatriz. Tracen
dos circunferencias con radio de 3,5 cm, una con centro
en B y la otra con centro en D. Llamen C el punto donde
se cruza. ABCD es el cuadrado de la figura. Tracen las
mediatrices del cuadrado. Unan los puntos medios de
los lados consecutivos del cuadrado. Y con centro en
el punto donde se cortan las mediatrices y radio 3,5 cm
tracen una circunferencia.
2. La circunferencia que pasa por todos los vértices de
una figura tiene su centro en el punto de intersección
de las mediatrices de los lados. Se pueden trazar en
todos los triángulos y en el rectángulo, pero no en las
otras figuras, porque solo en los triángulos y rectángu-
los las mediatrices de todos los lados se cortan en un
único punto.
3. Sí, porque las diagonales del rectángulo miden lo
mismo y se cortan en su punto medio, al igual que los
diámetros de la circunferencia.
4. a. Un triángulo rectángulo.
b. Sí, siempre es un triángulo rectángulo, porque al trazar
el diámetro que contiene el punto, quedan dos diámetros
y, como se analizó en 3, al unir los cuatro puntos queda
determinado un rectángulo, cuyos ángulos son rectos.
Página 67.
Cubrir el plano
1. No podrían, porque no cubrirían todo el plano.
2. a. y c. Solo sirven los polígonos regulares cuyos án-
gulos interiores son divisores de 360°.
3. Deberían tener medidas que sean divisores de 360°,
porque deben completar un giro completo para que no
dejen partes sin cubrir.
4. Se puede combinar a. con b., y c. con d.
5. a. Falsa. No se puede cubrir con pentágonos regula-
res porque cada ángulo mide 108° que no es divisible
por 180.
b. Falsa. No se puede cubrir con dodecágonos regula-
res porque cada ángulo mide 150° que no es divisible
por 180.
c. Verdadera. Se puede cubrir con hexágonos regulares
porque cada ángulo mide 120° que es divisible por 180.
d. Verdadera. Porque no se conocen sus ángulos. e.
Falsa. Los pentágonos regulares tienen ángulos de
108° y los triángulosequiláteros de 60°, su suma no
puede ser 360°.
Páginas 68 y 69.
Aprender con la computadora.
1. a. Resolución personal.
b. Trazar un segmento con el comando “segmento”.
Trazar dos rectas perpendiculares al segmento con el
comando “Recta perpendicular”, una por cada uno de
sus extremos. Con centro en cada uno de los extremos,
trazar dos circunferencias de radio igual a la longitud del
segmento trazado con el comando “Circunferencia cen-
tro y punto”. Los puntos donde ambas circunferencias
corten a las rectas paralelas serán los dos vértices que
restan para construir el cuadrado.
3. Dibujar un segmento con la herramienta “segmento
de longitud dada”, elegir luego un punto y de medida
6 cm. Con la herramienta “Polígono regular” se eligen
los dos puntos extremos del segmento antes trazado y
se elige 6 como la cantidad de lados.
4. a. Resolución personal.
b. Cada uno medirá 60° porque el giro completo queda
dividido en 6 ángulos iguales, por lo tanto cada uno
medirá 360° : 6 = 60°.
Matemática 1 Solucionario 29
c. Resolución personal. d. Un hexágono regular. Por-
que se forman 6 triángulos equiláteros. Los lados que
se unen en el vértice que coincide con el centro de la
circunferencia son iguales por ser radios de la circunfe-
rencia. Y el ángulo comprendido es de 60°, por lo tanto
los otros dos ángulos medirán iguales entre sí y cada
uno 60°. Quedan formados 6 triángulos equiláteros.
Como sus lados son todos iguales, el hexágono que se
forma es regular.
5. Por ejemplo: Trazar una circunferencia, elegir un
punto sobre ella y trazar el radio correspondiente, ese
punto elegido es un vértice del pentágono. Construir un
ángulo de 72° con vértice en el centro de la circunfe-
rencia y un lado que contenga al radio trazado, el punto
de intersección entre el lado del ángulo y la circunfe-
rencia es otro de los vértices del pentágono. Tomar con
la herramienta “compás” la distancia entre los dos vér-
tices obtenidos y trasladar esa distancia a lo largo de
la circunferencia obteniendo sucesivamente los demás
vértices en las intersecciones de la circunferencia con
cada uno de los arcos trazados. Unir los 5 vértices.
6. b. Por ejemplo: Trazar un heptágono regular con el
comando “polígono regular”. Trazar las mediatrices co-
rrespondientes a dos de sus lados. El punto donde se
cortan las mediatrices es el centro de la circunferencia
buscada. El radio de la circunferencia será la distancia
entre este punto y el punto donde la mediatriz corta el
lado del heptágono.
7. a. y b. Resolución personal. c. Sepuede hacer como
en 1. b.
8. a. Trazar un segmento. Con centro en cada uno de
sus extremos usar el comando “compás” eligiendo
como radio la distancia entre los extremos del seg-
mento. Unir con un segmento los puntos donde am-
bos arcos se intersecan. b. Trazar un segmento. Con
centro en cada uno de sus extremos usar el comando
“compás” eligiendo como radio la distancia entre los
extremos del segmento. Uno de los puntos donde am-
bos arcos se cortan es el tercer vértice de un triángulo
equilátero, por lo tanto sus tres ángulos medirán 60°.
10. a. y b. Resolución personal. c. Se puede usar la
herramienta “compás” para que todos los segmentos
marcados tengan la misma medida.
d. La figura es un cuadrado, se puede explicar de ma-
nera análoga que en la actividad 7 de la página 59.
11. a. y b. Resolución personal. c. Se puede usar la he-
rramienta “compás” para que todos los segmentos mar-
cados tengan la misma medida. d. La figura PQRSTU es
un hexágono regular porque, los triángulos APU, UFT,
TES, SDR, RCQ y QBP son todos iguales por tener dos
lados iguales y el ángulo comprendido igual. Por lo tan-
to, los otros lados serán iguales entre sí.
Página 70.
Integrar lo aprendido.
1.
Polígono Suma de los ángulos interiores
Triángulo 180°
Cuadrilátero 360°
Pentágono 540°
Octógono 1.080°
Polígono de n lados 180° × (n - 2)
2.
Polígono regular Amplitud de cada ángulo interior ¿Cubre el plano?
Triángulo equilátero 60° Sí
Cuadrado 90° Sí
Pentágono 108° No
Hexágono 120° Sí
Heptágono 128,57° No
Octógono 135° No
3. Sí, porque se puede trazar un triángulo más.
4. 152,31°. Porque tiene 13 lados y la suma de sus án-
gulos interiores es 1.980°.
5. 10 lados. Porque los ángulos interiores miden 144°, y
si tiene n lados, 180° × (10 - 2) : 10 = 144.
6. a. y b. porque son múltiplos de 180.
7. a. Hay que sumarle o restarle 180 o cualquier otro
múltiplo de 180, de acuerdo con la cantidad de lados
que el nuevo polígono tenga con relación al polígono
original, porque se pueden agregar o sacar triángulos.
b. Hay infinitas respuestas posibles, porque no se sabe
cuántos triángulos más o cuántos menos se pueden
trazar en el nuevo polígono.
8. ^ A = 62,5°, ^ E = 125°.
9. a. Resolución personal.
b. Hay infinitos posibles porque los ángulos no están
definidos.
10. Hay infinitos posibles porque los ángulos no están
definidos.
11. No es posible. Si tienen las diagonales perpendicu-
lares resulta un rombo, porque se cortan en los puntos
30
medios y los cuatro triángulos que se forman resultan
equivalentes. Por lo tanto, los cuatro lados del paralelo-
gramo son iguales.
12. a. Resolución personal.
b. Hay un único paralelogramo porque los cuatro vérti-
ces quedan determinados.
13. b. Trazar un segmento ‾ AB de 3 cm. Con centro en A
y radio 5 cm trazar una circunferencia. Con centro en B
y radio 8 cm trazar otra circunferencia. El punto donde
ambas se cortan es el vértice C del paralelogramo. Tra-
zar con centro B una circunferencia de 5 cm de radio
y con centro en C otra circunferencia con un radio de
3 cm. El punto donde ambas se cortan es el vértice D,
y ABCD es el paralelogramo buscado.
16.
^
C =
^
A = 70 °, ^ D = ^ B = 110° .
Capítulo 5
Operaciones con números
racionales
Páginas 72 y 73.
Estrategias para sumar y restar
1. El tercero se llevó 5 _ 12 de la pizza.
2. a. Resolución personal. b. El resultado de la cuenta
es: 61 _ 60 =
122 _ 120 =
183 _ 180 =
366 _ 360
c. Pedro buscó fracciones equivalentes a 13 _ 30 y
7 _ 12 con
denominador 360. El 360 surge de multiplicar 30 × 12
y 12 × 30. d. Los demás chicos hacen lo mismo que
Pedro, pero buscan fracciones equivalentes con otro
denominador en común. e. Nicolás multiplica 13 × 4 y
30 × 4. f. Hay infinitos múltiplos en común entre 30 y 12,
se puede elegir cualquiera de ellos. El más chico es 60.
Como 13 _ 30 =
26 _ 60 y
7 _ 12 =
35 _ 60 , entonces
13 _ 30 -
7 _ 12 =
26 _ 30 -
35 _ 30 .
Es un número negativo lo que indica que no tiene solución.
3. a. Son correctos todos los procedimientos. Sebastián
descompone los números en la suma del entero por un
lado y la parte decimal por otro, Martín descompone los
números en enteros, décimos y centésimos; Iael suma
por un lado los centésimos, que al formar 1 décimo y
3 centésimos, suma el décimo formado junto con los
décimos y luego suma los enteros. b. Sebastián des-
compone los números en la suma del entero por un lado
y la parte decimal por otro, pero como los centésimos se
pasan de 10, separa 3 centésimos para sumarlos aparte.
c. Porque 13 centésimos = 10 centésimos + 3 centésimos
= 1 décimo + 3 centésimos. d. Significa que al sumar los
centésimos se forma 1 décimo, por eso lo suma junto
con los décimos, en la cuenta de Iael también aparece
ese décimo. En la de Martín ese décimo ya está conta-
do dentro de los 70 centésimos.
4. 3,246 + 0,5 = 3,743. 4,23 + 1,1 = 5,33. 2,547 + 7,453 = 10.
5. a. 5 _ 4 -
1 _ 3 da mayor resultado porque a
5 _ 4 se le resta un
número menor que en la otra cuenta. b. 2 _ 3 -
1 _ 5 da mayor
resultado. 1 _ 5 =
2 _ 10 y, como
2 _ 10 es menor que
2 _ 9 , a
2 _ 3 se le
resta un número menor en esta cuenta que en la otra.
6. a. 4 _ 5 . Porque 1 =
5 _ 5 , y al restarle
1 _ 5 quedan
4 _ 5 .
b. 11 _ 9 . Porque 1 =
9 _ 9 , y al sumarle
2 _ 9 quedan
11 _ 9 .
c. 3 _ 4 . Porque 2 =
8 _ 4 , y al restarle
5 _ 4 quedan
3 _ 4 .
d. 3 _ 4 . Porque 1 =
4 _ 4 , y al restarle
4 _ 4 a
7 _ 4 quedan
3 _ 4 .
e. 1 _ 4 . Porque
1 _ 2 =
2 _ 4 y al restarle
1 _ 4 a
2 _ 4 queda
1 _ 4 .
f. 1 _ 10 . Porque
1 _ 5 =
2 _ 10 y al restarle
1 _ 10 a
2 _ 10 queda
1 _ 10 .
7. a. 1 _ 5 +
6 _ 5 =
7 _ 5 . Porque a
1 _ 5 le faltan
6 _ 5 para llegar a
7 _ 5 .
b. 11 _ 4 +
3 _ 4 =
7 _ 2 . Porque
7 _ 2 =
14 _ 4 y a
3 _ 4 le faltan
11 _ 4 para
llegar a 14 _ 4 .
Matemática 1 Solucionario 31
c. 4 _ 9 -
1 _ 9 =
1 _ 3 . Porque
1 _ 3 =
3 _ 9 y la diferencia entre
4 _ 9 y
3 _ 9
es 1 _ 9 .
d. 17 _ 35 -
1 _ 5 =
2 _ 7 . Porque
2 _ 7 =
10 _ 35 y
1 _ 5 =
7 _ 37 . La diferencia
entre 17 _ 35 y
1 _ 5 es
2 _ 7 .
8. a. Falso, porque 23 _ 9 es menor que 3, por lo tanto 8 -
23 _ 3
es mayor que 5.
b. Falso, porque 7 _ 8 es menor a 1, y 3 +
7 _ 8 no llega a 4.
9. a. Recibió $25,05 de vuelto.
b. i. Gastón y Damián. Gastón calcula por un lado el
vuelto de los centavos y, por otro, el vuelto de los $100.
Damián, al cambiar el 3 por el 2, está pensando los 30
centavos como 20 centavos + 10 centavos.
ii. Damián consideró los 30 centavos como 20 centa-
vos+10 centavos. El 1 con el 9 forman el 10, al que le
resta 5, y el 2 es el que cambia el 3, al que le resta 2.
10. a. 3,243 - 0,2 = 3,043.
b. 4,23 - ( 1,43 + 0,458 ) = 2,342.
c. 4,25 + 1,25 - 2,05 = 3,45.
d. 7 _ 3 - ( 1 _ 5 + 1 _ 2 ) = 49 _ 30 .
e. 4 _ 9 +
1 _ 3 -
5 _ 18 =
1 _ 2 .
f. 8 _ 3 - 3 +
1 _ 2 =
1 _ 6 .
Páginas 74 y 75.
Multiplicación entre expresiones
fraccionarias
1. a. 1 _ 3 × 3 = 1 .
b. 5 _ 2 ×
2 _ 5 = 1.
c. 4 × 1 _ 4 = 1.
d. 2 × 1 _ 2 = 1.
e. 5 × 1 _ 5 = 1.
2. b. Luis usó la propiedad del inverso. Al multiplicar 1 _ 5
por 5 obtiene uno, y ya sabe que tiene que multiplicar
por 4 para obtener 4.
c. i. 1 _ 4 × 24 = 6 .
ii. 1 _ 9 ×
45 _ 8 =
5 _ 8 .
iii. 7 × 1 _ 28 =
1 _ 4 .
iv. 18 × 2 _ 3 = 12.
v. 81 _ 50 ×
5 _ 9 =
9 _ 10 .
vi. 12 _ 35 ×
5 _4 =
3 _ 7 .
3. Para obtenerlos se puede usar el método de Luis.
El número buscado es el resultado de multiplicar el in-
verso del número dado por el resultado que se quiere
obtener. Al multiplicar el número dado por su inverso se
obtiene 1 y para obtener el resultado que se necesita,
basta con multiplicar 1 por dicho resultado.
a. 7 _ 3 . b. 21. c.
1 _ 2 . d.
4 _ 15 .
4. a. Es cierto, porque 3 por 1 _ 3 , que es su inverso, da por
resultado 1 y para obtener el número que quiero, basta
con multiplicar 1 por ese número. El número por el que
tengo que multiplicar 3 es el resultado de 1 _ 3 por ese nú-
mero. b. Si, pasa lo mismo, porque todo número natural
tiene su inverso.
5. a. Falso. El doble de 1 _ 2 es 1.
b. Verdadero, porque 2 _ 5 +
2 _ 5 +
2 _ 5 =
6 _ 5 .
c. Falso, el doble de 3 _ 2 es
6 _ 2 .
d. Verdadero, porque para completar el entero se ne-
cesitan 4 _ 4 .
6.
Cantidad de pintura blanca (litros) 1 3 _ 2
1 _ 2
2 _ 5
Cantidad de pintura roja (litros) 2 3 1 4 _ 5
7. Lo que dice Julián es cierto porque se puede obser-
var en el dibujo que proviene de dividir el largo en 8 par-
tes iguales y el ancho en 5 partes iguales, luego cuenta
la cantidad de cuadraditos que ocupará la pileta, sobre
un total de 40 partes en que quedó dividido el terreno.
b. Lo que hace Natalia se deduce del área del rectán-
gulo ocupado por la pileta, este rectángulo mide 5 _ 8 del
largo del terreno por 3 _ 5 del ancho. El área del predio es
L × A , y la de la pileta es:
5 _ 8 × L ×
3 _ 5 × A = ( 5 _ 8 × 3 _ 5 ) × (L × A) .
c. Sí, lo que hizo Julián asegura que el resultado de esta
cuenta es 15 _ 40 .
d. Sí, por ejemplo se puede tomar 1 _ 2 del ancho y
3 _ 4 del
largo.
e. Ocupa 2 _ 12 , porque
2 _ 3 ×
1 _ 4 =
2 _ 12 .
8. Si, porque multiplicar por 1 _ 2 es considerar la mitad del
número.
9. Multiplicar agranda si se multiplica por un número
mayor a 1; si se multiplica por un número menor a 1, en-
tonces multiplicar achica, porque es equivalente a con-
siderar una parte del número que se está multiplicando.
10. a. 2 _ 3 ×
1 _ 5 <
2 _ 3 .
b. 2 _ 3 ×
6 _ 5 >
2 _ 3 .
c. 2 _ 3 ×
5 _ 5 =
2 _ 3 .
d. 2 _ 3 × 4 >
2 _ 3 .
e. 2 _ 3 × 4 < 4.
f. 2 _ 3 ×
4 _ 4 < 4.
En a. y e. se multiplica por un número menor a 1.
En b. y d. se multiplica por un número mayor a 1.
En c. y f. se multiplica por 1.
32
Páginas 76 y 77.
Multiplicación entre expresiones
decimales
1. a. i. 1. ii. 0,1 .iii. 23,4. iv. 122,345. v. 10.vi. 1. vii. 234.
viii. 1.223,45. ix. 100. x. 10. xi. 2.340. xii. 12.234,5.
b. Cuando se multiplica por una potencia de 10, se co-
rre la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros
tenga el número.
2. a. Sí, es correcto. Julián escribe el número racional
como fracción y Denise piensa que la décima parte de un
número se puede calcular dividiendo el número por 10.
b. i. 23. ii. 42. iii. 35,5.
c. i. 84. ii. 219. iii. 177,5.
3. a. Porque ya sabe multiplicar fracciones y todos los
números racionales pueden escribirse de manera equi-
valente como fracción.
b. Divide el numerador por el denominador.
c. Para que ambos resultados sean dos números natu-
rales y así no tener que multiplicar con decimales.
d. Sí, podría haberlo hecho, y le hubiera dado equivalente.
e. Porque multiplicó por 1.000 y por 100, o sea que se
multiplicó por 100.000.
f. El razonamiento de Ian es correcto, porque si en un
producto se multiplica uno de los factores por un nú-
mero, el resultado también queda multiplicado por ese
número.
4. a. Por ejemplo: 1 × 5, 1 _ 2 × 10 ,
1 _ 4 × 20 , etcétera.
b. No. Hay infinitas opciones. Todas las de la for-
ma a _ b ×
b × 5 _ a , con a y b ≠ 0.
c. El resultado no cambia, porque 0,1×10=1.
5. a. Por ejemplo: 19 × 1 _ 5 o 38 ×
1 _ 10 .
b. Hay infinitas posibilidades, todas las de la for-
ma: a _ b ×
b × 19 _ a × 5 , con a y b ≠ 0.
c. No, no es cierto, el resultado queda multiplicado por
4, porque 0,2 × 20 = 2 _ 10 × 20 = 4 .
6. 0,25 × 38 = (2,5 : 10) × (3,8 × 10) = (2,5 × 1 _ 10 ) × (3,8 ×
10) = (2,5 × 3,8) × ( 1 _ 10 × 10) = (2,5 × 3,8) × 1 = 9,5 .
7. a. 328 × 5,312 = (3,28 × 100) × 5,312 = (3,28 ×
5,312) × 100 = 17,42336 × 100 = 1.742,336 .
b. 0,328 × 53,12 = (3,28 : 10) × (5,312 × 10) =
(3,28 × 1 _ 10 ) × (5,312 × 10) = (3,28 × 5,312) × ( 1 _ 10 × 10)
= (3,28 × 5,312) × 1 = 17,42336 × 1 = 17,42336.
c. 3.280 × 5,312 = (3,28 × 1.000) × 5,312 = (3,28 × 5,312)
× 1.000 = 17,42336 × 1.000 = 17.423,36.
8. a. 32 × 0,912.
b. 5,89 × 0,0912.
9. $364.
10. a. $ 10,95.
b. Sí, porque 1 _ 4 = 0,25 . Para calcular el precio de
1 _ 4 kg
de pan se multiplica el precio de 1 kg por 1 _ 4 , que es
igual que multiplicar por 0,25.
11. a.
Cantidad
de carne
(kg)
1 3 _ 4 1 1
_ 2 1 _ 2 3 5,5 6,5 7,25 10,75
Precio a
pagar ($)
116,40 87,30 174,60 58,20 349,20 640,20 756,6 843,9 1251,3
b. i., iii. y iv.
Páginas 78 y 79.
División entre expresiones fraccionarias
1.
Personas que comen 1 2 3 6
Cantidad de acelga (kg) 1 _ 8
1 _ 4
3 _ 8
3 _ 4
2. Lo que hacen los 3 es correcto. Natalia piensa 3 _ 4
como 6 _ 8 y lo desarma en la suma de 6 veces
1 _ 8 . Julián
piensa 3 _ 4 como
18 _ 24 y como tiene 18 partes, las reparte
entre 6, quedando 3 partes de 24. Natalia piensa que
calcular la sexta parte es igual que multiplicar por 1 _ 6 .
3. a. 1 _ 8 . Porque
1 _ 4 =
2 _ 8 =
1 _ 8 +
1 _ 8 . Entonces
1 _ 4 : 2 =
1 _ 8 .
b. 2 _ 15 . Porque
2 _ 5 : 3 =
2 _ 5 ×
1 _ 3 =
2 _ 15 .
4. a. 1.000. Porque 1.000 : 1 = 1.000.
b. 2.000. Porque con dos frascos de 1 _ 2 se utiliza 1 litro,
para envasar los 1.000 litros necesitará 1.000 × 2 envases.
c. 4.000. Porque con cuatro frascos de 1 _ 4 se utiliza 1 litro,
para envasar los 1.000 litros necesitará 1.000 × 4 envases.
d. 2.000. Porque con dos frascos de 1 _ 2 se utiliza 1 litro,
para envasar los 1.000 litros necesitará 1.000 × 2 envases.
5. Se usará 2 _ 5 del largo. Porque
1 _ 3 ×
2 _ 5 =
2 _ 15 .
6. a. Resolución personal. b. 10 _ 21 :
5 _ 7 =
2 _ 3 y
10 _ 21 :
2 _ 3 =
5 _ 7 .
7. a. Resolución personal. b. Sí, porque 15 _ 12 es equiva-
lente a 5 _ 4 . c. Primero multiplica
1 _ 3 por su inverso, porque
sabe que el resultado es 1, y a ese resultado lo multi-
plica por 5 _ 12 que es el resultado de la división. Luego
aplica la propiedad asociativa de la multiplicación y re-
suelve 3 × 5 _ 12 para obtener el número que multiplicado
por 1 _ 3 da por resultado
5 _ 12 . El resultado de la división es,
entonces, 15 _ 12 . d. Como
1 _ 3 es equivalente a
4 _ 12 , Denise
piensa que dividir por 1 _ 3 es lo mismo que dividir por
4 _ 12 .
Al dividir 5 _ 12 por
4 _ 12 es dividir 5 partes de un total de 12,
en 4 partes de un total de 12. Entonces el resultado será
5 : 4 que es 5 _ 4 .
e. i. 9 _ 7 . ii.
4 _ 5 . iii.
8 _ 15 . iv.
20 _ 21 . v.
28 _ 13 . vi. 1.
8. a. Necesita 71 envases, pero el último no queda com-
Matemática 1 Solucionario 33
pletamente lleno. b. Necesita 36 envases, pero el último
no queda completamente lleno. c. Necesita 24 envases,
pero el último no queda completamente lleno.
9. a. 27 _ 8 . b.
3 _ 10 . c.
16 _ 35 . d.
123 _ 115 . e.
15 _ 13 .
Páginas 80 y 81.
División entre expresiones decimales
1. a. i. 45. ii. 375,4. iii. 1.222,345. iv. 312.754.
v. 122.223,45.
b. i. 3.127,54. ii. 1.222,2345. iii. 37,54. iv. 122,2345.
v. 4,5.
2. a. Están usando que 0,1 =1 _ 10 y que multiplicar por un
número es lo mismo que dividir por su inverso.
b. i. 2.300. ii. 420.000. iii. 35.500.000.
c. i. 420 : 0,2 = 420 : ( 2 _ 10 ) = 420 : ( 1 _ 10 × 2) = 420 : 1 _ 10 : 2 =
420 × 10 : 2 = 4.200 : 2 = 2.100.
ii. 7.300 : 0,03 = 7.300 : ( 3 _ 100 ) = 7.300 : ( 1 _ 100 × 3) =
7.300 : 1 _ 100 : 3 = 7.300 × 100 : 3 = 730.000 : 3 =
243.333,333…
iii. 35.500 : 0,005 = 35.500 : ( 5 _ 1.000 ) =
35.500 ( 1 _ 1.000 ×5) = 35.500: 1 _ 1.000 :5 = 35.500×1.000:5 =
35.500.000 : 5 = 7.250.000.
3. a. 5,01. Porque dividir 12,6753 por 2,53 es buscar
un número que multiplicado por 2,53 dé por resultado
12,6753; y ese número es 5,01 por el cálculo dado.
b. 2,53. Porque dividir 12,6753 por 5,01 es buscar un
número que multiplicado por 5,01 dé por resultado
12,6753; y ese número es 2,53 por el cálculo dado.
4. 13,81536 : 3,28 = 4,212 y 13,81536 : 4,212 = 3,28.
5. Lo que ambos hacen es correcto, Julián considera
que no se puede dividir lo que sobró en la división y
Bruno, sí. En la división de Bruno el cociente es 2 unida-
des y le sobraron 2 unidades, para dividirlas en 4 pien-
sa que 2 unidades son 20 décimos, que al dividirlos por
4 obtiene 5 décimos. Por lo tanto, el resultado de la divi-
sión es 2 enteros y 5 décimos.
6. a. Para multiplicar dos números enteros.
b. También podría haber elegido multiplicar por 1.000, pero
no por 10 porque no hubiese dividido dos números enteros.
c. 23 es el resultado de dividir por 253 los centésimos
que le sobraron a Miguel en la primera división más los
19 centésimos de 311,19. Por lo tanto, 23 son los centé-
simos del resultado de dividir 311,19 por 253.
d. Es cierto porque 58 = 5.800 _ 100 . Pero el dividendo tenía
otros 19 centésimos, entonces suma ambos para luego
dividir por 253.
e. Porque estaría sumando unidades y centésimos.
f. Son los décimos que obtiene en la división.
g. Porque va a dividir los décimos y centésimos.
h. El 581 es el resultado de sumar 580 décimos que es
igual a 58 enteros que le habían sobrado y 1 décimo del
311,19. Y el 759 es el resultado de sumar los 750 cen-
tésimos que es igual a los 74 décimos que le sobraron
más los 9 centésimos de 311,19.
i. i. 15,318. ii. 0,2612. iii. 489,35. iv. 458,65. v.15,25.
vi. 23,45. vii. 48,35. viii. 36,53.
j. Resolución personal.
Páginas 82 y 83.
Estrategias de cálculo mental
1. a. 10. Porque multiplicar un número por 1 _ 10 es igual
que dividirlo por 10.
b. 34. Porque multiplicar un número por 1 _ 2 es igual a cal-
cular su mitad.
c. 18. Porque multiplicar un número por 1 _ 4 es igual que
dividirlo por 4.
d. 52. Porque multiplicar un número por 2 _ 3 es igual que
multiplicarlo por 2 y por 1 _ 3 , y multiplicar por
1 _ 3 es igual a
dividirlo por 3. Entonces 52 × 2 = 156 y 156 : 3 = 52 .
2. a. 1 _ 5 ×
1 _ 3 <
1 _ 5 .
b. 1 _ 5 ×
7 _ 4 <
7 _ 4 .
c. 11 _ 7 ×
4 _ 23 <
11 _ 7 .
d. 11 _ 7 ×
4 _ 23 >
4 _ 23 .
En a., b. y c. Porque multiplicar por un número menor
a 1 achica. Y en d. por que multiplicar por un número
mayor a 1 agranda.
3. a. Verdadera, porque los números naturales distintos
de 1 son todos mayores a 1. b. Verdadera, porque los
números naturales distintos de 1 son todos mayores a 1.
c. Falsa, porque hay números fraccionarios distintos a
1 que son menores a 1. d. Falsa, porque hay números
fraccionarios distintos a 1 que son menores a 1.
4. a.
i. 3 _ 5 :
1 _ 7 >
3 _ 5 porque dividir por
1 _ 7 es igual a multiplicar
por 7, y 7 es mayor a 1.
ii. 5 _ 4 :
2 _ 9 >
5 _ 4 porque dividir por
2 _ 9 es igual a multiplicar
por 9 _ 2 y
9 _ 2 es mayor a 1.
iii. 8 _ 7 :
12 _ 5 <
8 _ 6 porque dividir por
12 _ 5 es igual a multiplicar
por 5 _ 12 y
5 _ 12 es menor a 1.
iv. 3 _ 7 :
12 _ 5 <
3 _ 7 porque dividir por
12 _ 5 es igual a multiplicar
por 5 _ 12 y
5 _ 12 es menor a 1.
b. No. Porque si se divide por un número menor a 1, es
lo mismo que multiplicar por su inverso que es un núme-
ro mayor a 1 y agranda.
34
5. a. Verdadero, porque dividir por un número natural
es igual que multiplicar por su inverso, y los inversos de
los número naturales distintos a 1 son menores que 1.
b. Falso, porque dividir por un número fraccionario en-
tre 0 y 1 es igual que multiplicar por su inverso, y los
inversos de los números fraccionarios entre 0 y 1 son
mayores que 1.
6. a. Correcta. Porque hacer 7 veces 3 es igual que 3
veces 7.
b. Incorrecta. Porque la primera cuenta da más de 9 por-
que a 9 se le suma un número, pero la segunda es menor
que 4 porque a 3 se le suma un número menor a 1.
c. Correcta. Porque 4 _ 5 es igual a 4 veces
1 _ 5 .
d. Correcta. Porque:
7 _ 8 ×
2 _ 3 = (7 × 1 _ 8 ) × (2 × 1 _ 3 ) = (7 × 1 _ 3 ) × (2 × 1 _ 8 ) = 7 _ 3 × 2 _ 8 .
e. Incorrecta. Porque 5 _ 3 es menor a 5.
f. Incorrecta. Porque 10 _ 7 es menor a 10.
g. Correcta. Porque: 5 × 9 _ 2 = 5 × (9 × 1 _ 2 ) = 5 × ( 1 _ 2 × 9) =
(5 × 1 _ 2 ) × 9 = 5 _ 2 × 9 = 9 × 5 _ 2 .
h. Incorrecto. Porque 5 _ 3 es menor a 5.
7. a. Puede ser cualquier número mayor a 3. Por ejem-
plo: 10 _ 3 . b.
19 _ 8 .
8. 1 _ 2 =
5 _ 10 ;
1 _ 4 =
25 _ 100 ;
2 _ 5 =
4 _ 10 ;
3 _ 6 =
1 _ 2 =
5 _ 10 y
3 _ 8 =
375 _ 1.000 .
9. a. Tienen una cantidad finita de decimales.
b. Son infinitas y periódicas.
10. Es verdadero, porque como el numerador es múl-
tiplo de 2 y el denominador es 4, se puede encontrar
una fracción equivalente con denominador 2 y numera-
dor impar ya que el numerador no es múltiplo de 4, no
puede dividirse dos veces por 2. Como la fracción re-
presenta una cantidad impar de mitades, entonces será
siempre una cantidad entera más una mitad, y 1 _ 2 = 0,5 .
11. Sí, porque en el denominador queda un múltiplo de
3 y ninguna de las potencias de 10 son múltiplo de 3.
12. i. Por ejemplo: 2 _ 8 ,
3 _ 3 ,
7 _ 7 ,
9 _ 9 ,
1 _ 25 ,
19 _ 19 ,
8 _ 5 ,
6 _ 10 ,
16 _ 5 ,
23 _ 25 .
ii. No se puede, 1 _ 3 ,
2 _ 7 ,
2 _ 9 . No se puede,
3 _ 19 ,
8 _ 6 ,
6 _ 9 ,
16 _ 9 ,
33 _ 3 .
iii. Por ejemplo: 16 _ 8 ,
3 _ 3 ,
14 _ 7 ,
27 _ 9 ,
100 _ 25 ,
19 _ 19 ,
8 _ 4 ,
6 _ 2 ,
16 _ 4 ,
23 _ 23 .
b. Hay infinitas formas de completarlos.
13. a. Verdadera. Porque el denominador es múltiplo de
3 y las potencias de 10 ninguna es múltiplo de 3.
b. Falsa. Si el numerador el múltiplo de 3, se puede
encontrar una fracción equivalente con denominador
5, y las potencias de 10 son múltiplos de 5. Por ejem-
plo: 3 _ 15 =
1 _ 5 =
2 _ 10 .
c. Falsa. El denominador puede ser múltiplo de 5 y de
otro número que no sea 2 y si el numerador no es tam-
bién múltiplo de ese número, la expresión decimal no es
finita. Por ejemplo: 2 _ 35 = 0,0571428571428571….
d. Verdadera. Si el denominador es 8, siempre se podrá
hallar una fracción equivalente con denominador 1.000,
porque 8 × 125 = 1.000.
Página 84.
Problemas y resoluciones
1. 3 _ 5 del camino realiza el tercer día.
2. 2.681 km tiene el camino completo.
3. 48 figuritas.
4. Queda sin vender 128 _ 560 de la pieza.
5. Juntaron $38.500.
6. a. El segundo. b. El primero. c. Al segundo le faltaba menos.
7. a. 11 _ 20 del sueldo. b. $6.750.
Página 85.
Potenciación y radicación
1. a. 1 _ 4 . b.
1 _ 16 c.
32 _ 243 . d. 0,01. e. 5,832. f. 0,000001.
g. 81 _ 16 . h. 1,331. i.
1 _ 81 . j. 65,61.
2. a. 1 _ 3 porque ( 1 _ 3 )
2
es multiplicar 1 _ 3 por
1 _ 3 y multiplicar
por 1 _ 3 que es un número menor a 1, achica.
b. 7 3 porque al multiplicar a 7 por símismo 3 veces,
como 7 es mayor a 1, agranda.
c. 9 _ 10 porque ( 9 _ 10 )
3
es multiplicar a 9 _ 10 por
9 _ 10 , y multipli-
car por 9 _ 10 que es un número menor a 1, achica.
d. 5
2 __ 3 porque el numerador resulta ser mayor a 5, por-
que se multiplica a 5 por sí mismo, y como es mayor a
1, agranda, y como resultado se obtiene un numerador
mayor a 5, como el denominador es el mismo, la frac-
ción es mayor.
e. ( 10 _ 9 )
3
porque ( 10 _ 9 )
3
es multiplicar a 10 _ 9 por sí mismo 3
veces, y multiplicar por 9 _ 10 que es un número menor a 1
agranda.
f. 8 _ 7 , porque es mayor a 1, y ( 7 _ 8 )
2
es menor a 1, porque 7 _ 8
es menor a 1 y al multiplicarse por sí mismo se obtiene
un número menor.
g. 2,3 5 , porque (2,3) 5 es multiplicar a 2,3 por sí mismo
5 veces, y multiplicar por 2,3 que es un número mayor
a 1 agranda.
h. 1,5 3 , porque (1,5) 3 es multiplicar a 1,5 por sí mismo
3 veces, y multiplicar por 1,5 que es un número mayor
a 1 agranda.
i. 0,32 porque 0,32 2 es multiplicar 0,32 por sí mismo, y
como es menor que 1, achica.
j. 1,84, porque 0,84 es menor a 1, y al multiplicarlo por sí
mismo 10 veces, el resultado obtenido es menor porque
multiplicar por un número menor a 1 achica.
3. a. 1 _ 3 . b.
1 _ 8 . c.
5 _ 11 . d.
2 _ 3 . e. 0,1. f. 1,1.
Matemática 1 Solucionario 35
4. Si un número es menor que 1 y positivo, al calcularle
la raíz, se agranda. Porque se busca un número que
multiplicado por sí mismo dé por resultado ese número
menor a 1, y como multiplicar por un número menor a 1
achica, entonces el número buscado tiene que ser ma-
yor al número al cuál se le calcula la raíz. En cambio, si
es mayor que 1, se achica. Porque se busca un núme-
ro que multiplicado por sí mismo dé por resultado ese
número mayor a 1, y como multiplicar por un número
mayor a 1 agranda, entonces el número buscado tiene
que ser menor al número al cuál se le calcula la raíz.
a. √
_
1 _ 25 . b. √
_
27 _ 64 . c. √
_
121 _ 169 . d. 1,44. e. √
_
0,25 . f.
3
√
_
0,008.
g.
3
√
_
1,030301 porque es mayor a 1, y √
_
0,09 es menor a
1. h. √
_
1,69 porque es mayor a 1, y
3
√
_
0,064 es menor a 1.
5. a. Falso, porque 1 2 = 1 × 1 = 1 y el resultado no es
mayor.
b. Falso, porque ( 1 _ 2 )
2
= 1 _ 4 y es menor a
1 _ 2 .
c. Falso, porque (0,1) 2 = 0,01 y es menor a 0,1.
d. Falso, es siempre menor. Porque se busca un número
que multiplicado 3 veces por sí mismo dé por resultado
un número mayor o igual a 1, y como multiplicar por un
número mayor a uno agranda, ese número buscado no
puede ser mayor al número al que se le calcula la raíz.
e. Verdadero, si el número fraccionario es menor a 1, su
raíz cúbica dará mayor, y si es mayor a 1, la raíz cúbica
será menor.
f. Verdadero, si el número fraccionario es menor a 1, su
raíz cúbica dará mayor, y si es mayor a 1, la raíz cúbica
será menor.
6. a. 1561 _ 1500 . b.
73 _ 144 . c.
1601 _ 40 . d.
167 _ 300 . e.
11 _ 20 .
Páginas 86 y 87.
Aprender con la calculadora
1. 2,37 × 100.
2. 32,5 × 10; 32,5 : 100 ; 32,5 : 1.000; 32,5 × 100.
3. 345,123 – 40.
4. 32,0085 – 0,008. 32,0085 + 0,1.
5. Por ejemplo: 20,0043 × 100. No es la única posibili-
dad, cualquier multiplicación o división por una poten-
cia de 10.
6. 12,543 – 0,54.
7. 0,337 × 1.000.
8. 0,337 : 100.
9. 38 : 10; 380 : 100; 3.800 : 1.000; 38.000 : 10.000.
10. a. 78 : 10; 780 : 100; 7.800 : 1.000; 78.000 : 10.000.
b. 78 __ 10 ;
780 ___ 100 ;
7.800 _____ 1.000 ;
78.000 ______ 10.000
c. Sí, son los resultados de las divisiones escritos en
forma de fracción.
11. Hay muchas maneras de resolverlos. Por ejemplo:
a. 1 + 1 + 3 + 0,1 + 0,1.
b. 1,11 + 1,11 + 1,111 + 1,111.
c. 30,03 + 1 + 1 + 0,1 + 0,1 - 1,11 - 0,11.
d. 1,33 + 1,33.
e. 40,43 × 5 + 40,43 × 0,1 + 40,43 × 0,1 + 5 + 0,1 + 0,1 +
5 + 0,1 + 0,1.
12. a. 1,11 + 1,11 + 1 + 0,01 + 0,01.
b. 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0,11 + 0,11 +
0,11 + 0,11 + 0,11 + 0,11.
c. 11,111 + 11,001 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 1.
d. 0,0001111.
13. a. 1 : 10. b. 1 : 100. c. 5 : 10. d. 32 : 10.
e. 9.823 : 100.
14. a. 1 _ 2 . b.
2 _ 5 . c. 1
1 _ 4 . d. 5 _ 4 .
15. No, son iguales, están expresados de otra manera.
16. a. 128 _ 5 . b. 12. c.
127 _ 100 . d. 499,26. e. 0.
17. Es correcto lo que dice Denise. Cuando se usa una
calculadora hay que ser precavido en cómo ingresar
los datos.
18. a. 8 _ 27 . b.
2 _ 27 . c.
8 _ 3 . d.
4 _ 14 . e.
4 _ 196 . f.
16 _ 14 .
Página 88.
Aprender con la computadora.
Programar en Scratch
1. - Elegir las fracciones a sumar.
- Si son de igual denominador, el resultado será una
fracción con ese mismo denominador y el numerador
de la suma será la suma de los numeradores.
- Si los denominadores son diferentes, hay que buscar
una fracción equivalente a las que se quieren sumar,
pero con un denominador en común. Este denominador
tiene que ser un múltiplo de ambos denominadores. Se
puede elegir el producto entre ambos denominadores.
- Para buscar fracciones equivalentes a cada una de las
fracciones que se quiere sumar, hay que elegir como
denominador el producto de ambos denominadores. Y
el numerador 1 será el resultado del producto del nu-
merador 1 por el denominador 2, y el numerador 2 será
el resultado del producto del numerador 2 por el deno-
minador 1.
- Finalmente el resultado de la suma será una fracción
cuyo denominador es el producto de los denominado-
res de cada sumando y el numerador será la suma de
los numeradores obtenidos en el paso anterior.
36
2. Fe de erratas: Hay un error en la imagen del libro, en
el anteúltimo renglón debe decir:
“decir---unir ---la suma es ---unir ---unir ---Numerador
1 × Denominador 2 (…)". (Se puso un signo + en lugar
de un signo ×. La imagen correcta que refleja los pa-
sos es la siguiente:
La resolución de la actividad es la siguiente:
3. Lo que hay que cambiar es que en lugar de sumar
los numeradores, la calculadora debe restar los deno-
minadores.
4. Porque no se puede dividir por cero.
5. El resultado da igual solo que se obtienen fracciones
equivalentes. Para estar seguros hay que verificar que
la fracción obtenida por la calculadora sea equivalente
a la hallada cuando se resolvió mentalmente.
6. Habría que proponer la simplificación de los resulta-
dos. Para eso hay que programar una instrucción “SI...
entonces” pensando que si hay un divisor común entre
el numerador y el denominador, es necesario proponer
que se divida cada uno por ese número.
7. a. - Elegir las fracciones a multiplicar.
- El producto será una fracción que tenga por numera-
dor el producto de ambos numeradores y por denomi-
nador, el producto de ambos denominadores.
- Para que el resultado quede escrito de modo irredu-
cible, hay que buscar el divisor común mayor entre nu-
merador y denominador de la fracción obtenido como
producto y dividir a ambos por ese divisor encontrado.
Matemática 1 Solucionario 37
b. Por ejemplo:
8. a. - Elegir las fracciones a dividir.
- El cociente será una fracción que tenga por numera-
dor el producto entre el numerador de la primera y el
denominador de la segunda, y por denominador, el pro-
ducto entre el numerador de la segunda y el denomina-
dor de la primera.
- Para que el resultado quede escrito de modo irredu-
cible, hay que buscar el divisor común mayor entre nu-
merador y denominador de la fracción obtenida como
cociente y dividir a ambos por ese divisor encontrado.
b. Por ejemplo:
9. Por ejemplo:
Página 90.
Integrar lo aprendido
1. Pueden tomar, por ejemplo, 8 _ 9 ×
2 _ 3 , es decir
8 _ 9 de un
lado y 2 _ 3 del otro. Hay infinitos pares de números que
multiplicados dan 16 _ 27 , pero eneste caso, los dos núme-
ros deben ser menores a 1.
2. Por ejemplo:
27 _ 5 =
27 _ 5 × 1 =
217 _ 5 × ( 3 _ 8 × 8 _ 3 ) = ( 27 _ 5 × 3 _ 8 ) × 8 _ 3 = 81 _ 40 × 8 _ 3 .
3. Por ejemplo:
a. 6. b. 0,3. c. 3 _ 2 . d. 0,25. e. 1,01. f. 0,23.
4. a. 155. b. 250. c. 1.528. d. 7.
5. a. 10 veces. b. 1.000 veces para obtener 1, 10 veces
para obtener 0,01 y 100 veces para obtener 0,1.
6. a. 42 kilómetros. b. 4 horas y 12 minutos.
7. a. 1.312. Porque 24×55 da por resultado 1.320 y de
los tres números el más cercano es 1.312. b. 150. Por-
que se puede aproximar al resultado de 30 × 5, ya que
29,9 es próximo a 30, 0,2 = 2 _ 10 =
1 _ 5 y dividir por
1 _ 5 es
igual que multiplicar por 5 que es el inverso.
8. a. Por ejemplo: 0,1. b. Hay infinitos, basta con tomar
cualquier número menos el 1.
9. Hay infinitos, basta con tomar cualquier número me-
nor que 1. Porque dividir es igual que multiplicar el pri-
mero por el inverso del segundo, si el segundo es me-
nor que 1, su inverso será mayor que 1, y multiplicar por
un número mayor que 1 agranda.
10. a. 32,76 : 5 = 32,76 × 1 _ 5 = 32,76 ×
2 _ 10 =
32,76 × 2 : 10 = (32,76 × 2) : 10 = 65,52 : 10 = 6,552.
b. Lo que dicen Julián y Natalia es correcto. Están usan-
do fracciones equivalentes, multiplicación y división de
fracciones y la propiedad asociativa de la división.
38
Capítulo 6
Iniciación a las prácticas
algebraicas
Páginas 92 y 93.
Cuentas equivalentes
1. 917 : 36 tiene cociente 25 y resto 17, 917 : 25 tiene
cociente 36 y resto 17.
2. a. 928 : 36 tiene cociente 25 y resto 28. Como 28 es
mayor que 25, 28 no puede ser el resto de la división
por 25, entonces 928 = 25 × 36 + 25 + 3 = 25 × 37 + 3 .
Entonces 928 : 25 tiene cociente 37 y resto 3.
b. i. Julián está pensando que el resto de la división tie-
ne que ser menor que el divisor, y 28 es mayor que 25.
ii. Significa escribir otras operaciones con el mismo
resultado. Esto permite analizar qué valores tomarán
el cociente y el resto, manteniendo el mismo divisor,
como se hizo en a.
iii. Es lo mismo porque: 928 = 25 × 36 + 25 + 3 = 25 ×
( 36 + 1 ) + 3 = 25 × 37 + 1 .
3. 72 × 38 + 77 = 72 × 38 + 72 + 5 = 72 × ( 38 + 1 ) +
5 = 72 × 39 + 5 , entonces la división 2.813 : 72 tiene co-
ciente 39 y resto 5.
72 × 38 + 77 = 72 × 38 + 38 + 38 + 1 =
38 × ( 72 + 1 + 1 ) +1 = 38 × 74 + 1, entonces la división
2.813 : 38 tiene cociente 74 y resto 1.
4. Por ejemplo: En 4.112 : 75 , el cociente es 54 y el
resto es 62. Y en 4 .112 : 54 , el cociente es 76 y el
resto es 8.
5. Solo el cálculo d. es múltiplo de 4.
a. No es múltiplo de 4, porque:
12 × 252 + 1 = 4 × 3 × 252 + 1 , entonces el resultado
de esta cuenta tiene resto 1, y no 0, al dividirlo por 4.
b. No el múltiplo de 4, porque: 12 × 252 + 7 = 4 × 3 ×
252 + 4 + 3 = 4 × ( 3 × 252 + 1 ) + 3 , que es un múltiplo
de 4 más 3, con lo cual tiene resto 3 al dividirlo por 4.
c. No es múltiplo de 4, porque como 488 = 122 × 4 y 11 = 2 ×
8 + 3, entonces 15 × 288 + 11 = 15 × 122 × 4 + 2 × 4 + 3 ,
donde los dos primeros sumandos son múltiplos de 4
y el tercero es 3, luego tiene resto 3 al dividirlo por 4.
d. Sí es múltiplo de 4, porque: 12 × 252 + 480 = 4 ×
( 3 × 252 + 120 ) .
6. El b. y el d.
a. No tiene resto 8, porque: 99 × 8 + 9 = 9 × ( 11 × 8 + 1 )
entonces es múltiplo de 9, esto quiere decir que tiene
resto 0 al dividirlo por 9. b. Tiene resto 8 al dividirlo por
9, porque: 99 × 2 + 8 = 9 × 11 × 2 + 8 , el primer suman-
do es múltiplo de 9 y se le suma 8. c. No tiene resto 8
al dividirlo por 9, porque: 81 × 98 + 27 = 9 × 9 × 98 + 9 × 3 =
9 × ( 9 × 98 + 3 ) , entonces es múltiplo de 9, tendrá resto
0 al dividirlo por 9. d. Tiene resto 8 al dividirlo por 9,
porque: 4.265 × 18 + 17 = 4.265 × 2 × 9 + 9 + 8 = 9 ×
( 4.265 × 2 + 1 ) + 8 , el primer sumando es múltiplo de 9
y se le suma 8.
7. a. Por ejemplo: 23 × 75 + 10 . Hay infinitas formas de
completarlo porque se puede completar con cualquier
número que resulte de la suma de 10 con la multiplica-
ción de un número natural cualquiera por 23.
b. Por ejemplo: 85 × 23 + 33 . Hay infinitas maneras de
completarlo porque se puede elegir cualquier múltiplo
de 23, y al sumarle 33 que es 23 + 10, el resto de la
división por 23 va a ser 10.
c. Por ejemplo: 56 × 23 + 10 . Hay infinitas maneras de
completarlo porque se puede elegir cualquier múltiplo
de 23 para el primer número, y cualquier múltiplo de 23
+ q para el segundo.
8. a. Falso, por ejemplo 5 es múltiplo de 5 y 14 es múl-
tiplo de 7, pero 19 no es múltiplo de 12.
b. Verdadero, porque cualquier múltiplo de 5 es 5 por
algún número natural y cualquier múltiplo de 7 es 7 por
algún número natural. Al multiplicar ambos, el resultado
puede escribirse como 5 × 7 = 35 por algún número
natural, por lo tanto será múltiplo de 35.
c. Falso, por ejemplo 20 es múltiplo de 10 y 7 es múlti-
plo de 7, pero 20 - 7 = 13 no es múltiplo de 3.
d. Verdadero, porque cualquier múltiplo de 12 es 12
por algún número natural y cualquier múltiplo de 15
es 15 por algún número natural. Al multiplicar ambos,
el resultado puede escribirse como 12 × 15 = 180
por algún número natural, por lo tanto será múltiplo
de 180.
9. a. Si, es cierto porque un múltiplo de 12 puede escri-
birse como 12 por algún número natural, y 12 = 6 × 2
por lo tanto, también será múltiplo de 6.
b. No es cierto, por ejemplo 18 es múltiplo de 6 pero no es
múltiplo de 12.
10. a. Si, es cierto porque un múltiplo de 6 puede escri-
birse como 6 por algún número natural, y 6 = 3 × 2 , por
lo tanto también será múltiplo de 3 y de 2.
b. Si, es cierto porque si el número es múltiplo de 2 y
de 3 puede escribirse como 2 × 3 por cualquier núme-
ro natural, y como 2 × 3 = 6 , también podrá escribirse
como 6 por algún número natural.
11. a. Los términos que seguro son múltiplos de 9 son:
4 × 999, 5 × 99 y 7 × 9 .
Matemática 1 Solucionario 39
b. Debe averiguar si la suma de los demás términos
también es múltiplo de 3. Como los demás términos
suman 9 y 15, ambos múltiplos de 3, el resultado de
la suma será múltiplo de 3 y por lo tanto 4.578 lo es. c.
Los mismos que en a. d. Debe averiguar si la suma de
los demás términos también es múltiplo de 9. Como los
demás términos suman 9 y 15, el resultado de la suma
no será múltiplo de 9 y porque 9 lo es, pero 15 no.
12. a. Porque sabe que 100 es múltiplo de 4 porque
24 × 4 = 100. b. Le falta decidir si 87 es múltiplo de 4.
c. No, no sirve porque 100 no es múltiplo de 8.
d. Si, le sirve porque 1.000 es múltiplo de 8 porque 1
25 × 8 = 1.000.
13. a. Termina en un número par.
b. La suma de sus dígitos es un múltiplo de 3.
c. Los últimos dos dígitos forman un número múltiplo de 4.
d. Termina en 0 o 5.
e. Termina en un número par y la suma de sus dígitos
es múltiplo de 3.
f. Los últimos 3 dígitos forman un número múltiplo de 8.
g. La suma de sus dígitos es múltiplo de 9.
h. Termina en 0.
14. a. Verdadero porque los múltiplos de 5 van de 5 en
5. Además la suma de dos números son múltiplos de 5
puede escribirse como 5 × m + 5 × n = 5 × ( m + n ) que
es un múltiplo de 5.
b. Falso, por ejemplo: 7+8=15 que es múltiplo de 5
pero ni 7 ni 8 son múltiplos de 5.
c. Falso, por ejemplo: 18 es múltiplo de 3 y de 6, pero
no es múltiplo de 54 porque es menor.
d. Verdadero, porque un múltiplo de 54 puede escribir-
se como 54 × n = 6 × 9 × n , con los cual será también
múltiplo de 6 y de 9.
e. Falso, siempre será par porque la suma de dos im-
pares puede escribirse como 2n + 2 + 2m + 1 = 2n +
2m + 1 + 1 = 2n + 2m + 2 = 2 × ( n + m + 1 ) , como es 2
por un número, entonces es un múltiplo de 2.
f. Falso, siempre será par porque la suma de
dos pares puede escribirse como 2n + 2m = 2 ×
( m + n ) que es un número par.
Páginas 94 y 95.
¿Se cumple para todos los números?
1. a. Los dos chicos tienen razón, no alcanza con poner
ejemplospara demostrar una propiedad válida para to-
dos los números naturales. El ensayo con algunos ejem-
plos puede resultar útil para encontrar regularidades.
b. Propiedad distributiva. c. Se puede usar la misma
propiedad que en b. cualquiera sea el número por el
que se empiece porque no depende del número, sino
de las operaciones de multiplicar por 2, por 3, por 4.
Sumar un número más su doble más su cuádruple es
lo mismo que sumar 10 veces el número, por lo tanto
es una multiplicación por 10, que siempre termina en 0.
2. a. Por ejemplo: 3 + 4 + 5 = 12; 50 + 51 + 52 = 153;
102 + 103 + 104 = 309.
b. El consecutivo de un número es dicho número más
1, su consecutivo es el primer número más 2, al sumar-
los se obtiene el triple del primer número más 3, este
número es, entonces, múltiplo de 3.
3. a. Por ejemplo: 2 × 2 + 1 = 5 y 3 × 3 + 1 = 10.
b. Paula tiene razón porque 4 × 4 + 1 = 17 y 17 no es
múltiplo de 5.
4. a. La cantidad de cuadraditos que tiene que pintar
es 16.
b. Tiene que pintar 112 cuadraditos. c. La cantidad de
cuadraditos que tiene que pintar serían 396.
d. Por ejemplo:
(cantidad de cuadraditos por lado) × 4 – 4.
e. Por ejemplo:
(cantidad de cuadraditos por lado – 2) × 4 + 4, o
(cantidad de cuadraditos por lado – 2) + (cantidad de
cuadraditos por lado) × 2, o
(cantidad de cuadraditos por lado) × (cantidad de cua-
draditos por lado) − (cantidad de cuadraditos por lado
– 2) × (cantidad de cuadraditos por lado – 2).
f. Sí, porque es múltiplo de 4.
g. No, porque no es múltiplo de 4.
h. Se puede saber verificando que el número que se
le da a la computadora es múltiplo de 4. Será correcta
si es múltiplo de 4. Al analizar las fórmulas de las pro-
puestas puede deducirse que el número total de cua-
draditos a pintar es siempre múltiplo de 4.
i. Lo que dice Natalia es correcto, pero hay que aclarar
que se pueden contar la cantidad de cuadraditos me-
nos las puntas y eso es la misma cantidad para cada
lado, y por lo tanto será múltiplo de 4, al sumarle los
4 puntos, entonces la cantidad total de cuadraditos a
pintar también será múltiplo de 4.
j. i., iii., iv. y vi.
i. Sí, sirve. Se consideran los cuadraditos de cada lado
menos uno, 4 veces, porque contándolos de esta ma-
nera se va recorriendo todo el contorno del cuadrado,
que tiene 4 lados.
40
ii. No sirve, porque da por resultado números mayores ya
que se están contando dos veces las cuatro esquinas.
iii. Sí sirve. Se están contando el total de cuadraditos
por lado 4 veces. Al contarlos de esta manera los 4
cuadraditos de los vértices se cuentan dos veces cada
uno, por eso se resta 4.
iv. Sí, sirve. Se consideran los cuadraditos del medio
de cada lado y los multiplica por 4 porque hay 4 lados.
Finalmente se le suman los 4 cuadraditos de los vérti-
ces que no se habían contado.
v. No sirve, es igual que hacer n - 4 , y si a la cantidad
de lados del cuadrado se le resta 4 no se obtiene el
total de cuadraditos pintados.
vi. Sí sirve. Se están contando los cuadraditos de dos
lados opuestos completos. Contándolos así, quedan
sin contar los cuadraditos del medio de los otros dos
lados, entonces se consideran 2 veces todos los cua-
draditos menos los de los vértices.
Páginas 96 y 97.
Búsqueda de regularidades
1. a. 25 pétalos.
b. 106 pétalos.
c. Por ejemplo: Número de lentejuelas × 3 + 1 .
d. No, porque no puede ser múltiplo de 3 y 30 lo es.
La cuenta propuesta en c. muestra que el número de
pétalos tiene resto 1 al dividirlo por 3, por lo tanto no
puede ser múltiplo de 3.
e. Sí, porque 9 × 3 + 1 = 28 . Le corresponderían 9 len-
tejuelas.
2. a. 20 fósforos.
b. 179 fósforos.
c. Sí, porque 9 × 3 + 2 = 29 .
d. Las únicas fórmulas que lo permiten son ii. y iii.
i. No sirve. Para dos triángulos con esta fórmula calcula
que se necesitan 7 fósforos, pero contando en el dibujo
se observa que tiene 8 fósforos.
ii. Sí, sirve. Esta fórmula cuenta que por cada triángulo
siempre hay 3 fósforos, que se pueden contar de dere-
cha a izquierda, contando dos de una diagonal y uno
horizontal. Al final quedan dos fósforos diagonales sin
contar, entonces hay 3 fósforos por cada triángulo más
dos que cierran el último.
iii. Sí sirve. Esta fórmula cuenta 5 fósforos del primer
triángulo y luego va contando 3 fósforos por cada trián-
gulo de los siguientes, sin el primero. Entonces hay
3 fósforos por todos los triángulos menos el primero,
más 5 fósforos que corresponden al primer triángulo.
iv. No sirve. Para dos triángulos con esta fórmula cal-
cula que se necesitan 10 fósforos, pero contando en el
dibujo se observa que tiene 8 fósforos.
3. a. 19 baldosas blancas. 118 baldosas blancas.
b. Sí, con 13 baldosas marrones.
c. Por ejemplo: m × 2 + 6 = b , donde m es la cantidad
de baldosas marrones y b es la cantidad de baldosas
blancas.
4. a. El área será el doble de 64 cm 2 porque como
a × (b × 2) = (a × b) × 2 = 64 × 2 por lo tanto es 128 cm 2 .
b. El área será 256 cm 2 que es el cuádruple del rectán-
gulo que construyó Julián. Esto es así ya que para cal-
cular el área del rectángulo hay que multiplicar la base
por la altura (b × h), y si la base y la altura se duplican
se obtiene (2 × b) × (2 × h) = 2 × b × 2 × h = (2 × 2) ×
(b × h) = 4 × ( b × h ) = 4 × 64 = 256 .
c. Sí se puede, será 6 veces 64, porque (2 × b) ×
(3 × h) = (2 × 3) × (b × h) = 6 × ( b × h ) = 6 × 64 = 384 .
Entonces el área será 384 cm 2 .
5. a. 120. Porque si a × b = 60 entonces ( 2 × a ) × b =
( a × b ) × 2 = 60 × 2 .
b. 30. Porque si a × b = 60 entonces a × ( b : 2 ) =
( a : 2 ) × b = ( a × b ) : 2 = 60 : 2 = 30 .
c. 60. Porque si a × b = 60 entonces a × 2 × b : 2 =
a × b × 2 : 2 = a × b = 60 .
d. Lo que dice Bruno es correcto porque por las propieda-
des de la multiplicación, lo mismo sucederá en cualquier
producto. Si uno de los factores se duplica, se duplicará
el producto; si un factor se reduce a la mitad el producto
obtenido será la mitad del anterior; y si un factor se duplica
y el otro se reduce a la mitad, el producto será igual.
6. a. El cuádruple de 4.326 : 17.304.
b. 6 veces el producto original: 25.956.
c. Las dos operaciones se compensan porque multi-
plicar y dividir por el mismo número son operaciones
inversas, entonces queda igual: 4.326.
7. a. Sí, será 144 porque, si m × n = 36 entonces
2 × m × 2 × n = 2 × 2 × m × n = 4 × 36 = 144 .
b. Sí, será 216 porque, si m × n = 36 entonces
3 × m × 2 × n = 3 × 2 × m × n = 6 × 36 = 216 .
c. No es posible. Porque si m × n = 36 entonces
m × ( n + 1 ) = m × n + m = 36 + m , pero no se conoce el
valor de la m.
8. a. Sí, se podrá saber. El área será 144 cm 2 porque,
si a × b = 36 entonces 2 × a × 2 × b = 2 × 2 × a × b =
4 × 36 = 144 (a es la medida de la altura y b la me-
Matemática 1 Solucionario 41
dida de la base). b. Sí, se podrá saber. El área será
216 cm 2 porque, si a × b = 36 entonces 3 × a × 2 × b =
3 × 2 × a × b = 6 × 36 = 216 (a es la medida de la altura
y b la medida de la base).
c. No es posible. Porque si a × b = 36 entonces
a × ( b + 1 ) = a × b + a = 36 + a , pero no se conoce el
valor de a. Siendo a la medida de la altura y b la medi-
da de la base.
9. Las soluciones son las mismas, solo cambia el con-
texto. Sí se puede usar la información del 7 para resol-
ver el 8 porque para averiguar el área de un rectángulo
hay que multiplicar la base por la altura que es equiva-
lente a multiplicar m × n.
Página 98.
Aprender con la computadora
1. a. y b. Resolución personal.
c. No, no se modificará, porque en la celda B1 se intro-
dujo el resultado de 7 × 4, que será 28 aún cuando se
modifique el número de la celda A1.
d. Resolcuión personal.
e. Sí, se modifica. En la celda B1 aparece el resultado
de multiplicar el número de la celda A1 por 4. Porque
el resultado está asociado al número de la celda A1.
d. Las completa calculando el cuádruple de cada una
de las celdas A en cada una delas filas.
2. a. Por ejemplo:
b. A*3
3. a. Por ejemplo:
b. Puede tener infinitas filas.
c. En las divisiones:
Dividendo = Divisor × cociente + resto, y si sabemos
que Dividendo = Divisor × 25 + 18, el divisor puede ser
cualquier número mayor a 18, porque el resto es siempre
menor al divisor. Y el dividendo se calcula haciendo Divi-
sor × 25 + 18, para cualquier divisor mayor a 18.
Página 99.
Integrar lo aprendido
1. Hay que sumarle 3, porque 8 × 17 = 2 × 4 × 17 es
múltiplo de 4 y como mínimo faltan sumarle 3 al 1 para
que sea múltiplo de 4.
2. a. Resolución personal. b. Es correcto porque la suma
de 10 números consecutivos empezando por el n se pue-
de escribir como 10 × n + 45 y multiplicar a un número
natural por 10 es lo mismo que agregarle un 0 al final.
3. a. Sí, se puede, porque:
p × 3 × q × 3 = p × q × 9 = 90 × 9 = 810 .
b. Sí, se puede, porque:
p × 4 × q × 3 = p × q × 12 = 90 × 12 = 1.080 .
c. No se puede, porque ( p + 2 ) × q = p × q + 2 × q ;
entonces es necesario conocer el valor de q.
4. a. Sí, se puede, porque: a × 3 × b × 3 = a × b × 9 =
90 × 9 = 810 .
b. Sí, se puede porque a × 3 × b × 4 = a × x × 12 =
90 × 12 = 1.080.
c. No se puede, porque ( b + 2 ) × a = b × a + 2 × 2a y
entonces es necesario conocer el valor de a.
42
5. a.
Lugar que
ocupa
la figura
Cuenta para calcular
la cantidad de
fósforos necesarios
Cantidad de
fósforos
4 4 × 2 + 1 9
7 7 × 2 + 1 15
10 10 × 2 + 1 21
18 18 × 2 + 1 37
23 23 × 2 + 1 47
34 34 × 2 + 1 69
46 46 × 2 + 1 93
169 169 × 2 + 1 339
230 ( 461 - 1 ) : 2 461
358 ( 717 - 1 ) : 2 717
654 ( 1.309 - 1 ) : 2 1.309
b. Por ejemplo: n × 2 + 1 = cantidad de fósforos.
c. i. Falsa, porque por ejemplo, si el lugar que ocupa
es 23, se necesitan 47 fósforos, cantidad que no es
múltiplo de 3.
ii. Verdadera, porque, por ejemplo, en la figura que
ocupa el lugar 4 se necesitan 9 fósforos que es una
cantidad múltiplo de 3; en cambio, en el lugar 18 se
necesitan 47 fósforos, y no es múltiplo de 3.
iii. Verdadera, porque si se analiza la fórmula estable-
cida en b., n × 2 es par y al sumarle 1 el resultado es
impar.
iv. Verdadera.
Las afirmaciones iii. y iv. son equivalentes: si la canti-
dad de fósforos que se necesitan nunca es un número
par, entonces siempre es un número impar, ya que no
hay números que no sean ni pares ni impares.
6. Sí, porque 4 × n + 3 × n = 7 × n.
7. a. 8 cerámicos blancos.
b. 18 cerámicos blancos.
c. Sí, porque 60 + 4 = 64 . Le corresponderían 60 cerá-
micos marrones.
d. Sí, porque 81 + 4 = 85 . Le corresponderían 81 cerá-
micos marrones.
e. i. Es falsa, porque si el número de cerámicos marro-
nes es impar, al sumarle 4 va a dar un número impar.
ii. Verdadera, porque si a ese número par se le
suman 4, que también es par, el resultado será
par. Un número par puede escribirse como 2 × n .
Entonces 2 × n + 4 es siempre un número par.
iii. Verdadera, porque si a ese número impar le suma-
mos 4, que es par, el resultado será impar. Un núme-
ro impar puede escribirse como 2 × n + 1 , entonces al
sumarle 4 queda: 2 × n + 1 + 4 = (2 × n + 4) + 1 , donde
el primer sumando es par y se le suma 1, con lo cual el
resultado será impar.
f. ii. y iii.
i. No, porque cuenta el total de cerámicos y no solo los
blancos.
ii. Sí, porque cuenta todos los cerámicos como en la i.
pero luego le resta los cerámicos marrones, con lo cual
quedan solo los blancos.
iii. Sí, porque los cerámicos blancos son la misma can-
tidad que los marrones, salvo por los 4 que siempre se
agregan, 2 en cada uno de los extremos.
8. Sí, es cierto. Al primer número se le suma el mismo
número más 2, que es el siguiente par, y luego se le
suma el mismo más 4, que es el siguiente par del si-
guiente par. Entonces se está sumando el primer nú-
mero tres veces, más 3, más 4, queda así el triple del
primer número que es par, más 6, es decir la suma de
un múltiplo de 6 más 6, que es múltiplo de 6.
9. Sí, funciona siempre. Como:
d × 20 × 5 + m = d × 100 + m
Al hacer d × 100 el resultado es un número que con-
tiene el número del día en las dos primeras cifras y
ceros en las dos últimas, al sumarle el número del
mes, que tiene dos cifras, resulta un número cuyas
dos primeras cifras son el día y las dos últimas, el mes
del cumpleaños.
Matemática 1 Solucionario 43
Capítulo 7
Iniciación al estudio de
funciones
Página 102.
Las cataratas del Iguazú
1. En el mapa se pueden ver senderos y lugares para
recorrer en el parque, se indica el modo en que se
pueden recorrer esos senderos, hoteles, comercios y
lugares para comer y de atención de la salud. Carteles
de restricciones para el visitante, señalizaciones de lu-
gares importantes.
2. Los caminos anaranjados significan que son circui-
tos con dificultad alta.
3. Las flechas blancas indican el sentido de la circulación.
4. Los distintos circuitos están representados en dife-
rentes colores.
5. Resolución personal.
Página 103.
El portero eléctrico
1. Hay dos opciones, en la columna 3 fila 2, o en la
columna 2 fila 3.
2. a. En la columna 4, fila 5. b. En la columna 5, fila 4.
3. a. Columna 7, fila 2. b. Columna 4, fila 6. c. Columna
6, fila 4. d. Columna 2, fila 3.
4. (2 ; 3), (4 ; 5), (7 ; 2), (4 ; 6), (6 ; 4).
5. Para que no sea necesario aclarar qué número co-
rresponde a los pisos y qué número a los departamen-
tos y sea más fácil reconocer cada información.
Página 104.
Recorridos horizontales y verticales
1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 4 4
B 1 1 1 1
C 2
D 2
E 2 4 3 3
F 3
G 3 4
H 2
I 3 2
J 3 2
Submarino: 1. Barcazas: 2. Barquitos: 3. Lanchas: 4.
2. a. Resolución personal. Por ejemplo:
(1 ; 1), (1 ; 2), (1 ; 3), (1 ; 4), (1 ; 5), (1 ; 6), (1 ; 7),
(2 ; 7), (3 ; 7), (4 ; 7), (5 ;7), (6;7), F.
b. Resolución personal. Por ejemplo:
(2 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 2), (4 ; 2), (4 ; 3), (4 ; 4), (4 ; 5),
(5 ; 5), (5 ; 6), (6 ; 6), (6 ; 7), (6 ; 8), (6 ; 9), (7 ; 9),
(8 ; 9).
3. b. Tiene que subir un casillero, desde el (8 ; 8) al (8 ; 7).
Página 105.
Ubicar puntos en el plano
1.
2. A: (1 ; 5), B: (3 ; 5),C: (0 ; 3), D: (3 ; 2), E: (5 ; 3),
F: (6 ; 1), G: (4 ; 0), H:(7 ; 0).
3. a. Resolución personal. Por ejemplo:
(0 ; 1),(0 ; 2),(0 ; 3),(1 , 3),(2 ; 3),(4 ; 3),(5 ; 3),(6 ; 3),
(6 ; 4),(6 ; 5),(6 ; 6),(6 ; 7),(7 ; 7),(8 ; 7), (9 ; 7).
b. Hay infinitos recorridos posibles, porque se puede
subir, por ejemplo, todo lo que se quiera por el eje x
y luego bajar, pasar por el punto (5 ; 3) y hacer algún
camino hasta el (9 ; 7).
4. Por ejemplo: (1 ; 5),(1 ; 4),(1 ; 3),(2 ; 3),(3 ; 3),(3 ; 2),
(4 ; 2),(5 ; 2),(5 ; 3),(6 ; 3),(6 ; 2),(6 ; 1).
Páginas 106 y 107.
Buscar puntos en el plano
1. a., b. y c. Para que los puntos A, B, C y D formen
un paralelogramo, hay tres posiciones posibles para
D: (9 ; 7), (7 ; 1) y (1 ; 5). Se pueden encontrar tres pa-
ralelogramos.
1.
(1 ; 3)
y
x
1
1 2 3 4 5
2
3
4
5
(1 ; 0)
(4 ; 5)
(4 ; 2)(3 ; 2)
(2 ; 2)
(3 ; 1)
(5 ; 4)(0 ; 4)
(5 ; 3)
C
B
A
y
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D
D
D
44
2. a. Resolución personal. b. Todos tienen x = 3.
3. a. Resolución personal. b. Todos tienen y = 1.
4. a. Resolución personal. b. Discusión en clase.
c. Se pueden marcar infinitos puntos que tengan la pri-
mera coordenada igual a 5, por ejemplo: (5 ; 7), (5 ; 0),
(5 ; 9), (5 ; 18), (5 ; 234), etcétera.
d. Sí, pueden unirse con una recta vertical.
5. a. Resolución personal. b. Discusión en clase.
c. Hay infinitos puntos. Por ejemplo: (1 ; 2), (5 ; 2),
(23 ; 2), (430 ; 2), etcétera. d. Sí, todos forman una recta
horizontal.
6. a. b. Sí, están alineados porque por cada unidad que
aumenta la x, la y aumenta siempre 3.
c. (4 ; 16), porque en la coordenada x se aumenta 1,
desde 3 hasta 4, entonces en la coordenada y hay que
aumentar 3, desde 13 hasta 16.
7. a. Por ejemplo: (2 ; 1),(4 ; 2),(6 ; 3) y (8 ; 4).
b. No, porque en este punto es al revés, la primera
coordenada es el doble de la segunda.
c. Sí, porque 2,25 =1,125 ×2 . d. (x ; x : 2). e. (2 × r ; r).
8. a. Resolución personal. Por ejemplo: (1 ; 5), (3 ; 7),
(4 ; 8 ) y (5 ; 9). b. y = 2 + 4 = 6. c. x = 7 - 4 = 3.
d. Julián tiene razón, porque el enunciado dice 4 unida-
des más y no 4 veces más.
9.
10. Queda una recta porque cada unidad que aumen-
ta la primera coordenada, la segunda coordenada au-
menta 3.
11. a. Por ejemplo: (6 ; 9), (8 ; 12), (10 ; 15).
b. Hay infinitos. Todos los que están en la recta que
pasa por M y N.
c. Por ejemplo: (5 ; 7), (3 ; 6) y (8 ; 8).
d. Hay infinitos. Todos los que no están en la recta que
pasa por M y N.
12. No, no están alineados, porque desde (2 ; 3) hasta
(3 ; 4), la primera coordenada aumenta 1 y la segunda
también 1. Pero desde (3 ; 4) hasta (4 ; 7), la primera
coordenada aumenta 1 y la segunda aumenta 3. La va-
riación no es constante que es la característica de los
puntos alineados.
13. Por ejemplo: (4 ; 0,5) y (1 ; 2,75). Porque cada 2 que
aumenta la x, la y disminuye 1,5. Entonces cada 1 que
aumenta la x, la y disminuye la mitad de 1,5 que es 0,75.
14. (6 ; 7). Porque como cada 4 que aumenta la x, la
y aumenta 4, entonces para hallar las coordenadas de
punto que está en el medio hay que aumentar el punto
(4 ; 5) 2 en x, y por lo tanto, 2 en y.
15. (3,375 ; 5,25). Porque por cada unidad que aumen-
ta la x , y aumenta 34 _ 9 , como la diferencia de las primeras
coordenadas es 2,25 = 9 _ 4 , la mitad es
9 _ 8 . La diferencia
de las segundas coordenadas es 8,5 = 17 _ 2 , la mitad
es 17 _ 4 . Por lo tanto si x aumenta
9 _ 8 , y debe aumentar
17 _ 4 .
Luego x = 2,25 + 9 _ 8 = 3,375 e y = 1 +
17 _ 4 = 5,25 .
16. No hay solución.
Páginas 108 y 109.
Lectura de gráficos
1. a. El punto A = (4;9) indica que a las 11 horas la tem-
peratura era de 9°.
b. La mínima fue de 5° y se produjo a las 8 horas.
c. La máxima se produjo entre las 15 y las 16 horas.
d. De 1 a 2, de 5 a 7, de 10 a 11, de 15 a 16, de 17 a 18
y de 19 a 21 horas.
e. 14°.
f. A las 14 horas y entre las 17 y las 18 horas.
g. Entre las 13 aproximadamente y las 19 hs.
h. De 0 a 1, de 2 a 5, de 7 a 8, de 16 a 17, de 18 a 19 y
de 21 a 24 horas.
2. a. El eje x representa el tiempo transcurrido desde
que se comenzó a medir la velocidad; la unidad utili-
zada son las horas. El eje y representa la velocidad; la
unidad utilizada son los kilómetros por hora (km/h).
Matemática 1 Solucionario 45
b. El punto A = (8 ; 150) indica que 8 horas luego de
iniciada la medición, la velocidad era de 150 km/h.
c. 250 km/h. Porque la gráfica contiene el punto
(5 ; 250) que indica que luego de 5 horas la velocidad
era de 250 km/h.
d. A las 3:30 aproximadamente y a las 7:30 luego de
comenzada la medición. Porque la gráfica contiene los
puntos (3,5 ; 200) y (7,5 ; 200). Ambos muestran que la
velocidad era de 200 km/h).
e. Desde 1 hora hasta 3 horas desde que comienza la
medición, desde 4 a 7 horas de comenzada la medi-
ción y de 11 a 12 horas de comenzada la medición. Los
segmentos horizontales muestran que la coordenada y
es siempre igual, y por lo tanto no cambia la velocidad
en esos momentos.
f. De 50 en 50. Porque los valores son 0, 50, 100, 150,
200 y 250. Cada cuadradito representa 50.
g. De 0 a 1, de 3 a 4 y de 10 a 11 horas de comenzada
la medición.
3. a. En el año 2016. 542 toneladas. b. 2014, 2016 y
2017. c. Aumentaron desde: 2013 a 2014 y de 2015 a
2016. Disminuyó desde 2014 a 2015 y de 2016 a 2017.
d. En 2013. e. 169.600 toneladas. f. Hay que marcar los
puntos (2012 ; 600.000) y el (2018 ; 550.000).
4. a. 10 km. b. Marta 65 minutos y Juana 70 minutos.
c. Sí, desde la partida hasta los 25 minutos y desde los
33 minutos hasta la llegada.
d. Marta: 10/65 kilómetros por minuto. Juana: 10/70 ki-
lómetros por minuto.
Páginas 110 y 111.
Relaciones entre variables
1. a. La cantidad de leche depende de la cantidad de
medicamento. Variable dependiente: cantidad de leche.
Variable independiente: cantidad de medicamento.
b.
2. a. La cantidad de pizzas vendidas depende de la
cantidad de volantes repartidos. Variable dependiente:
cantidad de pizzas vendidas. Variable independiente:
cantidad de volantes repartidos.
b.
c. Que reparta no más de 500 volantes, porque por
más que reparta más cantidad, las ventas no siguen
aumentando.
3. a. Variable independiente: Milímetros de lluvia caída.
Variable dependiente: Cantidad de manzanas que pro-
duce una hectárea.
b. Variable independiente: Ingesta de proteínas. Varia-
ble dependiente: desarrollo cerebral.
c. Variable independiente: Horas de exposición al sol
por año. Variable dependiente: Manchas en la piel.
d. Las variables no dependen una de la otra.
4. La mejor la evolución del precio se muestra en el
gráfico a. porque se puede ver cuánto sube o baja el
precio a medida que transcurre el tiempo, compara de
izquierda a derecha cómo sube y baja el gráfico.
5. El a. es el que tiene mayor rendimiento porque con
1 litro recorre 12 km, mientras que los autos correspon-
dientes a b. y a c., recorren 10 km con 1 litro y del d. no
se puede decir nada porque faltan las escalas.
6. a. El primer día a las 11:00 y, el segundo, a las 8:00.
b. El primer día a las 12:40 y el segundo a las 9:00.
c. El primer día camina hasta los 6 km y después toma
un colectivo, el segundo día va en colectivo.
d. El primer día llega a su casa a las 16:00, mientras
que el segundo llega a las 12:20.
e. El primer día se queda 1 hora y 20 minutos, el segun-
do día 2 horas.
f. El primer día vuelve caminando, el segundo día cami-
na hasta 6 km de la casa y luego se toma el colectivo.
46
Páginas 112 y 113.
Analizar relaciones
1. a. El primer día sale a las 9:00, se aleja 8 kilómetros,
vuelve a su casa, llega a las 11:40. Se queda 20 minu-
tos, sale a las 12:00. A las 12:20 llega al kilómetro 12,
se queda hasta las 16:00 y vuelve a su casa, llega a
las 16:20. El segundo día sale a las 9:00, a las 12:00
llega al kilómetro 6 y lo que sigue tiene que estar mal
porque queda representada una situación imposible:
a las 15:20 debería estar a la vez, en dos lugares: en
el kilómetro 6 y en su casa. b. No se sabe qué sucede
porque el gráfico está mal hecho, representa una situa-
ción imposible, como se explicó en a.
2. Para llamar al restaurante se debe marcar:
0-800-2662-2496.
3. a. Resolución personal. b. No hay una única opción
porque a cada número le corresponde más de una le-
tra. c. Sí, porque las letras de esas palabras están en
cada una de las teclas correspondientes a los números
del número de teléfono de ese restaurante.
4. Denise tiene razón porque a cada número le corres-
ponde más de una letra.
5. Porque a cada número le corresponde más de una
palabra y en una función, a la variable dependiente,
que en este caso sería el número de teléfono, le debe
corresponder un único valor de la variable dependien-
te, y en este caso las palabras posibles de formar son
más de una.
6. a.
Largo (cm) 1 3 2,5 4 15,4 24 24,8 30
Ancho (cm) 24 22 22,5 21 9,6 1 0,2 No es posible
b.
c. Sí, porque las medidas pueden ser números fraccio-
narios. d. Cualquier valor mayor a 0 y menor a 25.
7. a.
Cantidad de vacas 0 3 4 10 14 15 30
Cantidad de ñandúes 60 54 52 40 32 30 0
b.
c. No tiene sentido unir los puntos, porque la cantidad
de vacas y de ñandúes tiene que ser un número natural
o 0. d. Entre 0 y 30 vacas.
8.
Manzanas (kg) 1 1,5 2 4 6,5 10 12,5 25 30
Precio ($) 15 22,5 29 58 94,5 145 181,5 348 435
b.
c. Sí, tiene sentido unir los puntos porque los kg de
manzana pueden ser números fraccionarios. Pero to-
dos no forman una línea recta, porque el precio del kg
de manzana no es siempre el mismo, porque la verdu-
lería tiene una promoción.
d. Los kilogramos de manzana pueden ser cualquier
número positivo.
e. Las dos formas de cobrar las manzanas son posibles.
Sin embargo, si la única información es la de la imagen, lo
más probable es que se interprete como lo hizo Natalia,
que es como se respondió a los ítems anteriores.
Matemática1 Solucionario 47
Páginas 114 y 115.
Fórmulas, tablas y gráficos
1. a.
Cantidad de cuadernos 1 3 5 6 7 8 9 10
Precio a pagar ($) 50 150 250 300 350 400 450 500
b. Hay que multiplicar la cantidad de cuadernos por 50,
porque $50 es el precio de cada cuaderno.
c.
No tiene sentido unir los puntos, porque la cantidad de
cuadernos es un número natural.
2. a. $25. b. Es cierto, pero como los puntos quedan
muy unidos, el gráfico queda una recta con agujeros
pequeños. c. No, no es cierto, porque hay que multi-
plicar la cantidad de kilogramos de café a comprar por
$25, que es el valor de 1 kilogramo de café.
3. a.
Metros recorridos 10 200 300 400 500 1.000 2.100 3.500
Tarifa ($) 25 27,5 27,5 30 30 37,5 50 67,5
b. No es cierto, porque para cada distancia recorrida
hay una sola tarifa. La variable independiente son los
metros recorridos.
c. Tiene sentido unir los puntos porque la distancia re-
corrida por el taxi puede ser cualquier número posi-
tivo. Pero todos no van a formar una línea recta, sino
segmentos horizontales, porque la tarifa se mantiene
constante por cada 200 metros que se recorren.
4. El primero, porque la fiebre disminuye, entonces se
cura, mientras que en el segundo la producción baja, lo
que se puede considerar como una situación negativa.
5. a. Los años: 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013,
2014, 2015, 2016 y 2017. b. Que en el año 2013 los ingresos
fueron del 18% del PBI. c. En 2010. d. En 2013. e. Cuanto
menor es la diferencia, mayor es el déficit que se produce.
Porque los gastos están muy cerca de los ingresos.
6. En el gráfico de Mariano el eje x comienza en 15.000 y
usa una escala mayor mientras que el eje x ambos gráfi-
cos tienen la misma escala. Por eso las diferencias pare-
cen más notables que en el gráfico de sus compañeros.
7.
Página 116.
Análisis de gráficos y boletas
1. a. Cargo fijo, consumo de agua potable, recolección
de aguas servidas y tratamiento de aguas servidas.
b. Es un importe que paga el cliente siempre y no de-
pende de los consumos. c. $ 0,421 d. Informa la canti-
dad de metros cúbicos consumidos en cada bimestre
desde enero de 2016 hasta febrero de 2017. e. Hay que
multiplicar la cantidad de metros cúbicos por 0,421que
es el precio unitario. f. Más de 2.969 m3.
Página 117.
Aprender con la computadora. La planilla
de cálculo
1. Resolución personal. 2. a. y b. Resolución personal.
c.
30
25
20
15
10
5
0
Suiza Japón Holanda Rusia
Exportación de carne
(en millones de dólares)
Italia Francia Alemania
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10 12
48
3. Por ejemplo:
4. Une los puntos en el mismo orden en que se carga-
ron en la tabla.
5. Lo que dice es cierto. Si se ordenan los puntos de la
tabla queda un gráfico como el siguiente:
Página 118.
Aprender con la computadora
1. b.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8 103 5 7 9 111
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10 12
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10 12
2. Se formó un paralelogramo. Se puede corroborar
con la herramienta “Relación entre dos objetos”, que
indica que los lados opuestos tienen la misma longitud.
3. b. D= (6 ; 4)
c. Se puede corroborar con la herramienta “Relación
entre dos objetos”, que indica que los lados opuestos
tienen la misma longitud.
4. b. Por ejemplo: Trazar un segmento con extremos
en a y b con la herramienta “Segmento entre dos pun-
tos”. Trazar una recta r por B y perpendicular al seg-
mento trazado. Marcar un punto C sobre la recta r con
la herramienta “Punto en Objeto”. El triángulo ABC es
rectángulo. Se puede verificar que el ángulo A
^
B C es de
90° con la herramienta “Ángulo”.
c. Por ejemplo: Trazar un segmento con extremos en a
y b con la herramienta “Segmento entre dos puntos”.
Trazar la mediatriz del segmento ‾ AB . Trazar una circun-
ferencia c de centro b y radio AB. Marcar un punto D
sobre la mediatriz del segmento, que no coincida con
la intersección de la mediatriz con la circunferencia c.
El triángulo ABD es isósceles con ‾ AD = ‾ BD . Se puede
corroborar con la herramienta “Relación entre dos obje-
tos”, que indica que los lados ‾ AD y ‾ BD tienen la misma
longitud y el lado ‾ AB no.
d. Por ejemplo: Trazar un segmento con extremos en a
y b con la herramienta “Segmento entre dos puntos”.
Trazar con centro en A una circunferencia con radio
‾ AB y otra con centro en B y radio ‾ AB . Llamar E el pun-
to donde ambas circunferencias se cortan. El triángulo
ABE es equilátero. Se puede corroborar con la herra-
mienta “Relación entre dos objetos”, que indica que los
lados miden todos iguales.
5. b. Por ejemplo:
Matemática 1 Solucionario 49
d. Por ejemplo:
e. Por ejemplo
:
6. a. Resolución personal.
b. Pueden no haber escrito todos los mismos puntos
porque la imagen no muestra los ejes, y no se saben
las coordenadas de ninguno de los puntos.
7.
e. Sí, porque la recta es la mediatriz del segmento y
cualquier punto de la mediatriz equidista de los extre-
mos del segmento. Por lo tanto los segmentos ‾ AC y ‾ BC
tienen la misma longitud. Y el triángulo ABC es isósceles.
Página 120.
Integrar lo aprendido
1. a. 2014.
b. Entre 2011 y 2012 y entre 2014 y 2016.
2. a. Variable independiente: nivel de alfabetización.
Variable dependiente: salario percibido.
b. Variable independiente: cantidad de fertilizante co-
locado. Variable dependiente: cantidad de toneladas
que se cosechan en unan hectárea.
3. a.
Cantidad de cable (m) 5 7,5 10 15,5
Precio a pagar ($) 43 51,75 60,5 79,75
b. Sí, tiene sentido unir los puntos porque la cantidad
de cable puede ser cualquier número positivo.
c. Precio a pagar ($) = Cantidad de cable (m) × 3,50 + 25,50.
4. a. Resolución personal.
b. No tiene solución.
5. b. Por ejemplo: (2 ; 11). Hay infinitas posibilidades,
tiene que respetarse que el incremento en x y en y
guarden la misma proporción que 4 y 14, pero ambos
números deben ser menores.
6. a. Resolución personal.
b. No tiene solución.
7. a. Todos los cálculos sirven para completar la tabla.
132 × 5: Permite averiguar la cantidad de cinta para 5
mantelitos. Porque para un mantelito se necesitan 132.
660 × 2: 660 Es la cantidad de cinta que se usa para 5
mantelitos. Al multiplicar por 2, se calcula la cantidad
de cinta para 10 mantelitos.
660+1.320: 660 es la cantidad de cinta para 5 manteli-
tos, y 1.320 es la cantidad para 10 mantelitos. Si sumo
ambas obtengo la cantidad de cinta para 15 mantelitos.
660×5: 660 Es la cantidad de cinta que se usa para 5
mantelitos, al multiplicar esa cantidad por 5, obtengo la
cantidad necesaria para 25 mantelitos.
50
b. No tiene sentido unir los puntos porque la cantidad
de mantelitos es un número natural.
8. a. Por ejemplo: (3;6), (2; 4), (6;12) y (9; 18).
b. Hay infinitos puntos.
c. Sí, porque hay un solo valor que corresponde a la
mitad de la segunda coordenada.
9. a. Por ejemplo:(3; 9), (1;1), (2;4) y (5;25).
b.
X 1 0,5 2 1,4 6 3 7 1,5 4
y 1 0,25 4 1,96 36 9 49 2,25 16
Capítulo 8
Relaciones de
proporcionalidad
Páginas 122 y 123.
Relaciones de proporcionalidad directa
1. a. Para 12 porciones: 600 gramos de frutillas y 12 cu-
charadas de azúcar. Para 14 porciones: 700 gr de frutillas
y 14 cucharadas de azúcar.
b. 15 porciones = 6 porciones + 6 porciones + 3 por-
ciones, para 6 porciones necesita 1 _ 3 de taza de jugo de
naranja y para 3 porciones se necesita la mitad: 1 _ 3 : 2 .
c. Se pueden hacer 24 porciones de Copa Imperial.
d. Sí, es cierto porque 3 kg + 3 kg = 6 kg entonces
como 6 kg es dos veces 3 kg, se podrá hacer la can-
tidad de porciones que se preparan con 3 kg multipli-
cada por 2.
2. a. Sí, le sirve. Porque se fija en la información de
aporte calórico de cada marca para cierta cantidad de
leche (250 ml en el caso de la leche Serena y 200 ml
en la leche Verona). Para comparar, lo hace para la
misma cantidad de leche en ambas marcas. Al dividir
la información obtenida de la leche Serena, calcula que
para 50 ml, el aporte calórico es de 31,6kcal y para la
misma cantidad de leche Verona el aporte calórico es
de 22,25 kcal.
b. Le conviene comprar la leche Verona.
c. Sandra incorpora 316 kcal si consume 0,5 ml de le-
che Serena y 222,5 kcal si consume 0,5 litro de leche
Verona. Para calcular la cantidad de calorías que incor-
pora con la leche Serena podemos resolver:
31,6 kcal × 10 = 316 kcal porque 31,5 kcal son la can-
tidad de calorías por 50 ml de esa leche, al multiplicar
esa cantidad por 10, calculamos la cantidad de calo-
rías para 500 ml = 0,5 litro. Para calcular la cantidad de
calorías que incorpora con la leche Verona podemos
resolver: 22,25 kcal × 10 = 222,5 kcal porque 22,25
kcal es la cantidad de calorías por 50 ml de esa leche,
al multiplicar esa cantidad por 10, calculamos la canti-
dad de calorías para 500 ml = 0,5 litro.
d. Cantidad de calorías con leche Serena = 0,632 × canti-
dad de leche (medida en mililitros).
Cantidad de calorías con leche Verona = 0,445 × cantidad
de leche (medida en mililitros).
Matemática 1 Solucionario 51
3.
Cantidad de jugo
de naranja (l) 0,5 0,25 (ii)1,5 (iii) 0,2 0,75
Cantidad de jugo
de manzana (ml) 200 (i)100 600 80 (iv)300
Para completar cada uno de los casilleros de la tabla
se pueden realizar los siguientes cálculos:
(i) 200 : 2.
(ii) 0,5 × 3.
(iii) 0,5 : 104.
(iv) 200 + 100.
b. Sí, porque si una cantidad se reduce a la mitad, la
otra también; si una se duplica, la otra también. La rela-
ción es que por cada litro de jugo de naranja se nece-
sitan 400 ml de jugo de manzana.
c. Usando las siguientes cuentas:
400 × cantidad de litros de jugo de naranja = cantidad
de ml de jugo de manzana.
Cantidad de ml de jugo de manzana: 400 = cantidad
de litros de jugo de naranja.
d. No, no saldrá igual, porque tendría 100,5 litros de jugo
de naranja y 300 ml de jugo de manzana, 400 × 100,5 da
más de 300 ml, queda una mezcla con más naranja que
la receta original.
e. El gráfico iii, porque para 0,5 litro de jugo de naranja
hay 200 ml de jugo de naranja y para 1 litro de jugo de
naranja hay 400 ml de jugo de manzana.
El gráfico i. no es porque muestra que para cero litros
de jugo de naranja hay 100 ml de jugo de manzana y
no puede ser porque 400 × 0 = 0.
El gráfico ii. no es, porque muestra que hay 400 ml de
jugo de manzana para menos de un litro de jugo de
naranja y en la receta original son 400 ml de jugo de
manzana por 1 litro de jugo de naranja.
4. i.
Medida del lado de
un cuadrado (cm) 10 0,25 11 8 0,7
Área del cuadrado
(cm2) 100 0,0625 121 64 0,49
i.
Perímetro del
pentágono regular 50 cm 426 mm 17,5 cm 5 cm 1 m
Longitud de su
lado 10 cm 85,2 mm 3,5 cm 1 cm 0,2 m
iii.
Longitud de la
circunferencia 31,4 cm 25,4 cm 105 m 3,14 cm 52 mm
Longitud de su
diámetro 10 cm 8,09 cm 33,44 m 1 cm 16,56 mm
iv. No es posible completar la tabla ya que no hay nin-
guna relación numérica que permita saber el peso de
una persona a partir de su edad.
52
v. No es posible completar la tabla ya que en un trián-
gulo escaleno de cierta medida de perímetro los lados
pueden tomar cualquier valor mientras su suma sea el
valor del perímetro dado, y si sabemos la información
de un lado, como el perímetro depende de la medida
de los otros dos lados, no se puede determinar.
b. i. Tiene sentido unir los puntos del gráfico porque el
lado del cuadrado puede ser cualquier número positivo.
ii. Tiene sentido unir los puntos del gráfico porque el
lado del pentágono puede ser cualquier número positivo.
iii. Tiene sentido unir los puntos del gráfico porque el
diámetro de la circunferencia puede ser cualquier nú-
mero positivo.
d. ii. Directamente proporcional porque: perímetro del
pentágono regular = 5 longitud del lado.
iii. Directamente proporcional porque: longitud de la
circunferencia = longitud del diámetro.
Páginas 124 y 125.
Los porcentajes
1. a. i. Juan pagó $85,2.
ii. Pagó cada paquete $28,4.
iii. Se ahorra 13 de la compra.
iv. Representan un 33,33…%.
b. i. El primer paquete lo paga $12,80 y el segundo
paquete lo paga $6,40.
ii. En el primer paquete no le hacen descuento y en
el segundo le hacen un 50% de descuento. Por llevar
ambos paquetes a Laura le descuentan 1 _ 4 del valor que
pagaría si lleva los dos paquetes sin descuento, lo que
representa un 25% sobre el precio total de los dos pa-
quetes.
iii. No, si lleva 3 paquetes el descuento no será igual,
porque solo le descontarían el 50% del segundo pa-
quete y no le descontarían nada por el tercero ya que
no lo compra de a dos.
c. A Laura le conviene comprar tres paquetes el martes
en lugar del miércoles, porque le descontarían 1 _ 6 del va-
lor que pagaría si lleva los 3 paquetes sin el descuen-
to, lo que representa aproximadamente un 16,66…%
sobre el total de la compra; y el miércoles le harían un
15% de descuento sobre el total de la compra.
2. b. Porque 15% es equivalente a 15 _ 100 = 0,15 .
c. 85% = 100% – 15%.
d. Bruno calcula directamente el monto a abonar, que es
el 85% del precio original. Y como 85 % = 85 _ 10 = 0,85 ,
directamente multiplica el precio por 0,85.
3. Las cuentas que permiten calcular son:
340 × 80 : 100, porque si hay un descuento del 20%,
lo que resta es el 80%, lo que da el valor con un des-
cuento del 20%.
340 – 0,2 × 340, porque al total se le resta 0,2 × 340 y
multiplicar por 0,2 es calcular el 20% de ese valor. Por
lo tanto, al total se le está descontando el 20%.
La única cuenta que permite calcular el 20% de $340
es 340 × 20 : 100, porque es equivalente a resolver
340 × 20 _ 100 que equivale a calcular el 20% de 340.
4. Ambas opciones son iguales porque, si se quiere apli-
car primero el 15% de descuento, Susana debe abonar el
85% del precio original, si luego le aplican el 2% de recar-
go hay que calcular el 102% sobre el valor anterior; para
esto hay que hacer: ($5.670 × 0,85) × 1,02. Si en lugar
del descuento, primero le hacen el recargo, la cuenta que
habría que resolver es ($5.670 × 1,02) × 0,85. Ambos cál-
culos son equivalentes por las propiedades conmutativa y
asociativa de la multiplicación.
5. Le devolverán $13.156,468.
6. $120 : 0,9 = $133,333…. Porque descontar el 10%
es calcular el 90%, que resulta de multiplicar por 0,9
el precio original, para hacer el procedimiento inverso
hay que hacer la operación inversa.
7. $120 : 1,05 = $114,285714… Porque aumentar el 5%
es calcular el 105%, que resulta de multiplicar por 1,05 el
precio original, para hacer el procedimiento inverso hay
que hacer la operación inversa, o sea dividir por 1,05.
8. El 25%.
9. a. 120. b. Cumbia: el 5%, le corresponde el sector me-
nor (color azul). Pop: 25%, le corresponde el sector ver-
de. c. 25% d. 60% : 216°, 10% : 36°, 5% : 18°, 25% : 90°.
10. a. Deberá venderlo a $150. b. El costo fue de $144.
11. a. Al final hace un descuento del 5,5%. Porque: pre-
cio × 0,90 × 1,05 = precio × 0,945. Como se multiplica
el precio por un número menor a 1, el resultado será
menor al precio original. Como 0,945 = 94,5%, el des-
cuento será del 100% – 94,5% = 5,5%. b. $150 × 0,945.
c. Cobra lo mismo. Porque: (precio × 1,05) × 0,90 =
(precio × 0,90) × 1,05, por propiedad asociativa y con-
mutativa de la multiplicación.
Página 126.
Aprender con la calculadora
1. 4.320 × 0,15 = 648.
2. $ 5.000 × 1,18 = $ 5.900.
3. El comerciante hizo $ 426 × 0,87, porque si la rebaja
Matemática 1 Solucionario 53
es de 13%, el porcentaje a abonar es del 100 – 13 =
87% = 0,87.
4. La cuenta b.
5. 120 × 100 : 80 = 15 %.
6. a. 1.458 × 1,35. b. 2.000 × 1,20. c.150 × 1,85.
d. 1.689 × 3.
7. a. Sí, divide por 100. b. Sí, está usando la calculadora
común. Al presionar la tecla %, divide por 100 el resultado de
48 × 13, por lo tanto la cuenta que realiza es + 48 × 13 : 100 =
48 × 0,13, lo que equivale a calcular el 15 % de 48.
8. a. Las cuentas i., iv. y v.
La i. Porque (1.250 + 125) : 100 = (125 × 10 + 125) : 100 =
[125 × (10 + 1) : 100] = (125 × 11) : 100 = 125 × 0,11.
La ii. no porque da resultado mayor que 125.
La iii. no porque 125 : 100 + 11 :100 = (125 + 11) : 100
y no es equivalente a 125 × 11 : 100.
La iv. sí porque, 1.250 + 125 = 125 × (10 + 1) = 125 × 11 y
si luego se presiona la tecla %, se divide por 100 a este
resultado, se estaría calculando 125 × 11 : 100, que
equivale a calcular el 11% de 125.
La v. también porque es equivalente a la d. pero usan-
do calculadora científica.
La vi. no porque es lo mismo que hacer 125 :1 00.
b. Por ejemplo: 12,50 + 1,25 porque, 12,50 es el 10%
de 125 y 1,25 es el 1% de 125.
9. Julián tiene razón porque, al obtener 6,6666667 en
la división 20 : 3, implica que no se llegan a llenar por
completo 7 paquetes, con lo cual se llenarán totalmen-
te solo 6 paquetes.
10. a. Mide 10:9=1,11111….
b. Denise tiene razón porque 10:9 = 10 _ 9 y no es igual a
1,1. Además al resolver 9 ×1,1 se obtiene 9,9 cm2 que
no es el área del rectángulo del enunciado.
Página 127.
Armar mapas y planos
1. Como la escala en la esquina inferior derecha del
mapa dice que 1 cm representa 50 km reales, hay me-
dir la distancia entre Las Flores y La Plata con regla y
luego multiplicar ese número por 50. Como la distancia
es de 3,8 cm en el mapa, entonces en la realidad será
de 3,80 × 50 = 190 km.
2. a. 0,75 cm. b. 900 km.
c. Distancia real en km = 600 × distancia en el mapa
en cm. d. Sí, la constante de proporcionalidad es 600.
3. Duplicando cada medida, porque varían proporcio-
nalmente.
4. a. No, porque las medidas de plano que representa
la habitación de Bruno son 1,9 cm y 1,4 cm, los cuales,
dado que 0,5 cm del plano representan 1 metro real,
deberían representar 3,8 m y 2,8 m, respectivamente,
pero entonces el área de su habitación es de 3,8 × 2,8 =
10,64 m2 y no 12 m2.
b. Hay infinitas posibilidades, además de que hay infi-
nitos rectángulos con área de 12 m2.
Página 128.
Relaciones de proporcionalidad inversa
1. a.
Número de cajas 6 10 40 12 4 5
Número de camisas por caja 20 12 3 10 30 24
b. Si el número de cajas se duplica, el número de cami-
sas por caja se reduce a la mitad. Si el número de cajas
se triplica, el número de camisas por caja se reduce a
la tercera parte.
c. No, no es posible, porque para calcularlas hay que ha-
cer: 120:9 y el resultado no es un número natural, y no pue-
de haber una cantidad de camisas que no sea un número
entero. d. Sí, número de camisas por caja × cantidad de
cajas = 120.
2. a. Pudo comprar 200 kg de frutillas con $100.
b. Pudo comprar 50 kg con $100. c. $2.600.
d.
Precio de 1
kilogramo de
frutillas ($)
26 13 1 52 78
Cantidad de
frutillas que se
compran (kg)
100 200 2.600 50 33,33…
e. Si, es cierto. Porque, como la cantidad de dinero
destinada para la compra es siempre la misma, si au-
menta el precio de cada kilogramo de frutilla, va a al-
canzar para comprar menos cantidad. f. Por ejemplo:
$26 × 100 y $12 × 200. g. Si, existe una relación. Se
puede expresar así:
Precio de 1 kilogramo de frutillas ($) × Cantidad de fru-
tillas que se compran (kg) = 2.600.
3. a.
Cantidad de jugo por botellas (l) 1 _ 4 2 2,5
Cantidad de botellas 200 25 20
b. Cantidad de botellas = 50: capacidad de cada bo-
tella. c. Se relacionan de manera inversamente propor-
cional.
54
4. a.
Tiempo que
tarda la pileta en
llenarse (minutos)
100 500 200 250 125 1.000
Velocidad de
extracción de la
bomba (litros por
minuto)
10 2 5 4 8 1
b. Es el único que para 10 minutos la velocidad es 100
litros/minuto, dato que muestra la tabla.
c. Si, es cierto. Porque si la bomba extrae el agua el
doble de rápido, tardará la mitad de tiempo en vaciar
la pileta. d.1.000: velocidad de la bomba = tiempo que
tarda en vaciar la pileta. e. 1.000: tiempo que tarda en
vaciar la pileta = velocidad de la bomba.
5. a. i. Cuadrado. ii. Decágono (10 lados). v. Tiene
36 lados. vii. Eneágono (9 lados). viii. Icoságono (20
lados). iii. iv. y vi. No son posibles, porque el ángulo
central debe ser divisor de 360°, dado que el resultado
de dividir 360° por el ángulo central es la cantidad de
lados del polígono, debe ser un número natural.
b. Cantidad de lados del polígono × Amplitud del ángu-
lo central = 360°.
Página 130.
¿Es proporcional?
1. Nota: Se considera que paga 1 minuto hasta llegar al
1 minuto y medio, que paga por 2 minutos.
a. Si habla 5 minutos y 10 segundos para $62,5. Si ha-
bla 6 minutos paga $75. b. No siempre es cierto porque
si una persona habla 2 minutos paga lo mismo que una
persona que habla 1,5 minutos. c. No hay proporciona-
lidad. Porque por ejemplo, si una persona habla 1,5 mi-
nutos paga $25 y una que habla 3 minutos paga $37,5.
La cantidad de minutos es el doble pero lo que paga no
es ni el doble ni la mitad.
2. a.
Precio de la compra ($) 250 440 680 750
Pago con envío a
domicilio ($) 350 540 730 800
b. No siempre es cierto porque si una persona gasta
$450 y realiza el envío a domicilio, paga un total de
$550. Si otra persona gasta $500 y realiza en envío,
también paga $550. Ambas pagan la misma cantidad
de dinero pero la segunda persona compra por más
cantidad. c. No es una relación de proporcionalidad,
por el mismo motivo expuesto en b.
d. Si el precio de la compra es menor a $500 la cuenta
que hay que hacer es:
Precio de la compra ($) + $100 = Pago con envío a
domicilio.
Si el precio de la compra es igual o mayor a $500 la
cuenta que hay que hacer es:
Precio de la compra ($) + $50 = Pago con envío a do-
micilio.
3. a. Es directamente proporcional en el caso que le
ofrecen la tercera parte de las ventas. b. La propuesta
que más le conviene depende de las ventas que reali-
ce. Si realiza ventas por más de $21.428,57, le convie-
ne más la segunda propuesta y si realiza ventas por
menos de ese monto, le conviene la primera propues-
ta. Esto es así porque, para ese monto, ambas ofertas
son equivalentes, y para montos inferiores, le conviene
la primera oferta en la que le pagan un sueldo fijo de
$5.000, pero para montos superiores le conviene la se-
gunda propuesta porque le pagan más por las ventas
que realice.
4. La conveniencia de una u otra empresa dependerá
del tiempo de conexión. Para menos de 1,5 horas, la
propuesta B es la más conveniente. Para más de 1,5
horas y menos de 15 horas, le conviene la propuesta
C; y para más de 15 horas le conviene la propuesta A.
5. La más económica es la primera porque 100 g
cuestan $1,04 y 100 gramos de la segunda cuentan
$1,388…
Matemática 1 Solucionario 55
Página 132.
Integrar lo aprendido
1. a.
Cantidad de galletitas (g) 250 1 1.000 17,24
Precio a pagar ($) 14,50 0,058 58 1
b. Sí, porque al no haber ofertas, al doble de galletitas
se paga el doble, a la mitad se paga la mitad, etcétera.
c. Precio a pagar ($) = 0,058 × cantidad de galletitas (g)
2. a. Sí, porque1,25 × 230 = (1 + 0,25) × 230 = 230 +
230 × 0,25 como 0,25 = 25% entonces se le agrega el
25% de 230.
b. Sí, porque 230 + 230 × 25 : 100 = 230 + 230 × 0,25.
c. Sí, porque 230 × 125 : 100 = 230 × 1,25, y se puede
hacer el mismo análisis que el realizado para el cálculo
a. f. Sí, el análisis es similar al realizado para el cálculo
b. El d. y el e. no, porque en ambos se está calculando
el 25% de 230 y no el 25% de aumento sobre 230.
3. a. Quedó sin cortar el 63,75%. b. 80 m2.
4. 24 días.
5. Si se mueve a 140 km/h tarda 2,5 horas. Si se mue-
ve a 90 km/h tarda 3,888… horas, porque la distancia
recorrida es 70 × 5 = 350 km. Como distancia = veloci-
dad × tiempo, entonces distancia: velocidad = tiempo.
6. a. 314,16 m aproximadamente, porque 1 vuelta =
π × 20 m.
b. Si el diámetro es de 4 m, tiene que dar 25 vueltas. Si
el diámetro es de 3 m, tiene que dar 33,333… vueltas.
c. Sí, hay una relación de proporcionalidad inversa,
porque:
Cantidad de vueltas = 100 × π ___________ diámetro × π =
100 _ diámetro
7. $120.
8.
9. a.
Cantidad de remeras 2 4 6 8
Precio de las remeras ($) 200 400 600 800
La cantidad de remeras y el precio se relacionan de ma-
nera directamente proporcional. La constante es 100.
b. Sí, porque el precio de cada remera es $100. Por lo
tanto 15 remerastendrán un precio de $1.500.
c. No es posible porque: 2.300 : 15 no da un número
natural, y la cantidad de remeras es siempre un número
natural.
d. Sí, es posible. Porque 1.230 : 15 = 82. El comerciante
compró 82 remeras.
10. a.
Velocidad constante a la
que viaja un auto (km/h) 80 106,66… 100 53,33…
Tiempo que tarda el
auto en recorrer una
distancia de 160 km (h)
2 1,5 1,6 3
Se relacionan de manera inversamente proporcional.
b.
Distancia que recorre un
auto en 1,5 horas (km) 120 141 300 150
Velocidad constante a la
que viaja un auto (km/h) 80 94 200 100
No se relacionan de manera inversamente proporcio-
nal. La relación entre la distancia que recorre un auto
en 1,5 horas y la velocidad constante a la que viaja es
de proporcionalidad directa.
56
Capítulo 9
Perímetros y áreas de figuras
Páginas 134 y 135.
Perímetros de figuras
1. 2.250 cm de puntilla.
2. 9,9 m de madera.
3. No cumplió su objetivo. Aún le faltan caminar 5,24 km.
4. a. 52,6 m de burletes. b. 3 rollos de burletes.
5. 34 postes y 757,5 m de alambre.
6. 59,31 cm.
7. a.
Lado del
cuadrado de
Nacho (l)
3 cm 10 cm 400 cm 1,5 cm 1.000 cm
Perímetro del
cuadrado de
Nacho (p)
12 cm 40 cm 1600 cm 6 cm 4.000 cm
b.
Lado del
cuadrado de
Nacho (l)
3 cm 10 cm 400 cm 1,5 cm 1.000 cm
Lado del
cuadrado de
Irene (L)
9 cm 16 cm 406 cm 7,5 cm 1.006 cm
Perímetro del
cuadrado de
Irene (P)
36 cm 64 cm 1.624 cm 30 cm 4024 cm
c. i. iii. y iv.
i. Porque el lado del cuadrado de Irene mide 6 cm más
que el de Nacho. Entonces a la medida del cuadrado
de Nacho (l) hay que sumarle 6 para obtener la medida
del cuadrado de Irene (L).
ii. Como Irene le sumó 6 cm a cada lado del cuadrado
de Nacho, entonces al perímetro se le suma un total de
6 × 4 = 24 cm, por lo tanto, si al perímetro del cuadrado
de Irene se le restan esos 24 cm, se obtiene el períme-
tro del cuadrado de Nacho.
iii. Porque el lado del cuadrado de Irene mide 6 cm
más que el lado del cuadrado de Nacho, entonces, si
a la medida del cuadrado de Irene se le restan 6 cm,
se obtiene la medida del lado de cuadrado de Nacho.
d. Ninguna de las variables son directamente proporcionales.
i. Cuando l = 1,5, P = 30. Y cuando l = 3, P = 36. La
medida de l aumentó el doble pero la medida de P no.
ii. Cuando l = 10, L = 16. Y cuando l = 1.000, L = 1.006.
La medida de l aumentó 100 veces y la de L no.
iii. Cuando p = 6, P = 30. Y cuando p = 12, P = 36. La
medida de p aumenta el doble y la de P no.
8. a. i.
Largo del
rectángulo
original (l)
4 cm 10 cm 400 cm 1,5 cm 2,5 cm
Largo del nuevo
rectángulo (L) 8 cm 20 cm 800 cm 3 cm 5 cm
ii.
Ancho del
rectángulo
original (a)
2 cm 3 cm 37,5 cm 1 cm 50 cm
Ancho del nuevo
rectángulo (A) 4 cm 6 cm 75 cm 2 cm 100 cm
iii.
Perímetro de
los rectángulos
originales (p)
12 cm 26 cm 875 cm 5 cm 105 cm
Ancho del nuevo
rectángulo (P) 24 cm 52 cm 1.750 cm 10 cm 210 cm
b. i., porque las medidas del rectángulo nuevo son el
doble de las del rectángulo original.
iv., porque como p = (l + a) × 2, y P = (L + A) × 2=
[(l + a) × 2] × 2=p × 2.
c. Todas, porque: P = 2 × p, por lo explicado en el b. iv. ,
L = 2 × l y A = 2 × a por lo explicitado en el enunciado. La
constante es siempre 2.
Páginas 136 y 137.
Unidades de medida de áreas
1. a. i. 3,5 unidades A, 14 unidades B y 7 unidades C.
ii. 9 unidades A, 36 unidades B y 18 unidades C.
iii. 4 unidades A, 16 unidades B y 18 unidades C.
2. Amarillo: 49,5 unidades C= 49,5 cm2. Marrón: 8 uni-
dades C= 8 cm2. Azul: 4 unidades C= 4 cm2. Verde: 15
unidades C= 15 cm2.
3. a. Resolución personal
b. 100.
c. 100 cm2 = 1 dm2.
4. 1 m2 es equivalente al área de un cuadrado que mide
1 metro por un metro. Ese mismo cuadrado, medido
en centímetros, mide 100 cm por 100 cm. Si compara-
mos un cuadrado de 1 cm de lado, este entra 100 por
100 veces en el cuadrado anterior. Por lo tanto, entra
10.000 veces. Por lo tanto 1 m2 = 10.000 cm2.
Matemática 1 Solucionario 57
5. a.
Superficie
campo en km2 2 5 10 0,00015
Superficie
campo en m2 2.000.000 5.000.000 10.000.000 150
Superficie
campo en km2 15,28 0,00013847 251
Superficie
campo en m2 15.280.000 138,47 251.000.000
b. Cantidad de km2 × 1.000.000 = Cantidad de m2.
c. Cantidad de m2 : 1.000.000 = Cantidad de km2.
d. Sí, porque la constante es siempre 1.000.000.
6. a. i.
Medida
en dam2 0,28 153 18,37 0,02597 0,000087
Cuenta
que hago
0,28 ×
1.000 =
280
153 ×
1.000 =
153.000
18,37 ×
1.000 =
18.370
25,97 :
1.000 =
0,02597
0,087 :
1.000 =
0,000087
Medida
en m2 280 153.000 18.370 25,97 0,087
ii.
Medida
en dam2 14,78 156,87 89 298 978.000
Cuenta
que
hago
14,78 :
1.000 =
0,01478
156,87 :
1.000 =
0,015687
0,089 ×
1.000 =
89
298 :
1.000 =
0,298
978 ×
1.000 =
978.000
Medida
en ha 0,01478 0,015687 0,089 0,298 978
b. Sí, ambas tablas. Porque las siempre a una de las
magnitudes se la multiplica por un mismo número para
obtener la otra magnitud. La constante en ambas ta-
blas es 1.000.
7. Sí, es cierto. Porque 0,25 cm ² = 1 __ 4 cm ² .
8. No, no es cierto. Porque 1 dm2 es un área equiva-
lente al área de un cuadrado de 1 dm de lado. Medido
en centímetros, ese cuadrado mide 10 cm de lado. Si
comparamos el cuadrado de 1 cm de lado con el cua-
drado de 1 dm de lado, aquel entra 10 × 10 veces en
este. Por lo tanto 1 dm2 = 100 cm2.
Páginas 138 y 139.
Áreas de polígonos
1. a. Resolución personal. b. 15. c. 15 cm2. d. Hay que
multiplicar la medida de la base por la medida de la altura,
porque para calcular el área hay que averiguar cuántos
cuadrados de 1 cm de lado entran en el rectángulo. Para
calcularlo se puede averiguar primero cuántos cuadrados
de 1 cm de lado entran uno al lado del otro en el ancho y
cuántos en el alto. Y luego multiplicar estas cantidades,
porque serán la cantidad de filas y columnas que formarán
los cuadraditos que cubren el rectángulo.
2. a. Resolución personal. b. 25. c. 25 cm2. d. De igual
manera que en el 1. d. porque un cuadrado es un rectángulo.
3. Es correcto, porque al recortar y rearmar el paralelo-
gramo, no quitó ni agregó superficie a la figura.
4. El área del triángulo es la mitad del área del paralelo-
gramo que tiene la misma base y la misma altura.
5. a. 1,5 cm2. b. 100 mm2. c. 6 cm2. d. 15 dm2.
6. El área del trapecio es la mitad del área del paralelo-
gramo con la misma altura y con base igual a la suma
de las bases del trapecio. Por lo tanto, para hallar el
área del trapecio hay que hacer: ( B + b ) × h _ 2 , donde B y
b representan las medidas de las bases y h la altura.
7. El área del romboide es la mitad del área del rec-
tángulo cuya base tiene igual medida que una de las
diagonales y la altura tiene igual medida que a otra de
las diagonales. Por lo tanto, para hallar el área del rom-
boide hay que hacer: D × d _ 2 , donde D y d representan
las medidas de las diagonales.
8. Es cierto porque un rombo es un paralelogramo, pero
también se puede hacer lo mismo que en el problema
7. Porque las diagonales son perpendiculares.
9. Desde el centro se trazan segmentos con extremos
en los vértices y quedan triángulos cuyas bases son
los lados del polígono y cuyas alturas son siempre la
misma, la que está marcada. Entonces:
a. lado × altura _ 2 × 5. b.
lado × altura _ 2 × 6.
10. a. 10,5 cm2. b. 4,8645 m2. c. 240cm2 .
Páginas 140 y 141.
Perímetro y área de circunferencias y
círculos
1. Entra 3 veces y un poquito más, ese número se llama
pi y se escribe π.
2. Es cierto, porque si el diámetro entra π veces en la
longitud de la circunferencia, entonces: Longitud de
circunferencia = π × diámetro.
58
3. a. 11,25°. b. La base de la figura mide la mitad de la
longitud de la circunferencia, y el otro lado mide igual
que el radio. c. Es cierto porque el ángulo de cada una
de las partes es cada vez menor entonces, el ángu-
lo entre la base de la figura y el otro lado será cada
vez más próximo de 90°. d. El área se calculará con la
cuenta: 1 _ 2 × (2 × π × r)× r = π × r × r = π × r
2 .
4. a. 19,625 cm2. b. 28.338,5 mm2. c. 176,625 cm2.
d. 78,5 cm2.
5. a. Falsa, el área del círculo de 10 cm de radio es
314,159 cm2 y la de 15 cm de radio es 706,858 cm2. La
diferencia es mayor a 5 cm2. b. Falsa, la longitud de la
circunferencia de 10 cm de radio es 62,832 cm2 y la de
15 cm de radio es 94,248 cm2. La diferencia es mayor
a 5 cm2.
6. a. Falsa, si el radio mide un 10% menos que el ante-
rior, radio nuevo = 0,9 × radio original = 9 × r _ 10 . El área
del nuevo círculo = ( 9 × r _ 10 )
2
× π = 81 × r
2 _ 100 × π = 0,81 ×
r 2 × π , que es el 81% del área del círculo original, por lo
tanto disminuye un 19%. b. Verdadera, si el radio mide
un 10% menos que el anterior, el diámetro también me-
dirá el 10% menos que el diámetro anterior. Por lo tan-
to: diámetro del nuevo círculo = d × 0,9. La longitud de la
nueva circunferencia medirá d × 0,9 × π = d × π × 0,9 , que es
el 90% de la longitud de la circunferencia original. Por
lo tanto disminuye un 10%.
7. a. Tiene que dibujar una con la mitad del diámetro.
b. Área del nuevo círculo = r
2 × π _ 4 =
r 2 _ 4 × π = (
r _ 2 )
2 × π .
Por lo tanto, el nuevo radio tiene que medir la mitad del
radio que tenía antes.
8. Están diciendo lo mismo, porque si al radio se lo re-
duce a su tercera parte, entonces el diámetro, que es
su doble, también se reduce a su tercera parte. Y esto
permite dibujar una circunferencia con un perímetro
igual a la tercera parte de la original porque,
(d × 1 _ 3 ) × π = ( d × π ) × 1 _ 3 .
9. a.
Medida del
radio en cm (r) 3 6 15 18 24 30 36
Medida del
diámetro (d) 6 12 30 36 48 60 72
Perímetro
de la
circunferencia
(L)
18,84 37,68 94,2 113,04 150,72 188,4 226,08
Área del
círculo (S) 28,26 113,04 706,5 1.017,36 1808,64 2826 4.069,44
b. i. y ii.
Página 142.
Variación del área al variar los datos
1. a.
Lado del
cuadrado
original (l)
3 cm 1 dm 4 m 5,2 dam 3 _ 2 dam 1,5 cm
Medida
de la
superficie
del
cuadrado
original (a)
9 cm2 1 dm2 16 m 2 27,04 dam2
9 _ 4 dam
2 2,25 cm2
Lado del
cuadrado
nuevo (L)
12 cm 1,9 dm 4,09 m 5,209 dam
1.509 _ 1.000 dam 10,5 cm
Medida
de la
superficie
del
cuadrado
nuevo (A)
144 cm2 3,36 dm2 16,73 m2 27,13 dam2
2,277081
dam2
110,25
cm2
b. ii. Porque el área del cuadrado se calcula multipli-
cando la medida de la base y de la altura, y en el nuevo
cuadrado ambas medidas son 9 cm más que las me-
didas del cuadrado original. iii. Como 90 mm = 9 cm,
y el problema plantea que el lado del nuevo cuadrado
mida 9 cm más que el cuadrado original, entonces si
se le restan 9 cm = 90 mm a la medida del lado del
cuadrado nuevo, se obtendrá la medida del lado del
cuadrado original.
c. Ninguna.
2. a.
Largo del
rectángulo
original (l)
8 _ 3 cm 1 dm 4 m
14 _ 3 cm 20 m 1,5 cm
Ancho del
rectángulo
original (a)
2 cm 3 dm 50 m 29 _ 21 cm 2 m
10 _ 3 cm
Área del
rectángulo
original (a)
16 _ 3 cm
2 30 dm 20.000 m2 58 _ 9 cm
2 40 m2 50 cm2
Largo del
nuevo
cuadrado (L)
8 cm 3 dm 12 m 14 cm 60 m 4,5 cm
Ancho
del nuevo
cuadrado (A)
6 cm 9 dm 150 m 29 _ 7 cm 6 m 10 cm
Área del
nuevo
cuadrado (A)
48 cm2 270 dm2 180.000 cm2 58 cm2 360 m2 450 cm2
b. i. Porque las medidas del nuevo rectángulo son el
triple de las medidas del rectángulo original.
Matemática 1 Solucionario 59
iii. Porque el área del nuevo rectángulo se calcula mul-
tiplicando ancho por largo que son el triple del ancho y
del largo del rectángulo original.
iv. Porque de iii. se deduce que el área del nuevo rec-
tángulo es 9 veces el área del rectángulo original.
c. Todas, por lo explicado en b.
3. Sí, hay infinitos. Por ejemplo: 26 cm de largo y 10 cm
de ancho o 12,5 cm de largo y 20,8 cm de ancho.
Página 143.
Relación entre el área y el perímetro
1. a.
Largo en
cm (l) 12 5 4 15 25 9 18 30
Ancho en
cm (a) 33 40 41 30 20 41 36 15
Área en
cm2(A) 396 200 164 450 500 368 648 450
b. Es cierto lo que dice del perímetro, este se mantiene,
pero no es cierto lo que dice del área, ya que en la ta-
bla se observa que las áreas son diferentes.
c. ii. es la fórmula del área del rectángulo. iii. resulta de
la fórmula del perímetro, como:
2 × l + 2 × a = 2 × ( l + a) = 90, entonces l + a = 45.
iv. resulta de combinar las dos fórmulas anteriores.
2. No hay un rectángulo con menor área, porque siem-
pre se puede conseguir uno de menor área que cual-
quiera dado achicando cada vez más el largo.
3. a.
Largo (cm) 1 2 4 5 10 20 25 50
Ancho (cm) 100 50 25 20 10 5 4 2
b. El de 1 cm por 100 cm tiene mayor perímetro, 202 cm.
c. El cuadrado, de 10 cm por 10 cm, tiene menor perí-
metro, 40 cm.
4. a.
Largo en cm (l) 12 5 4 15 25 9 18 30
Ancho en cm (a) 40 _ 3 32 40
32 _ 3 6,4
160 _ 9
80 _ 9
16 _ 3
Perímetro (P) 152 _ 3 74 88
154 _ 3 62,8
482 _ 2
484 _ 9
212 _ 3
b. Son inversamente proporcionales, la constante es
160. c. i., ii. y iv. d. Es un valor entre 12 y 13 cm, porque
hasta 12 cm el perímetro va disminuyendo, y a partir de
13, aumenta.
Páginas 144 y 145.
Figuras raras
1. a. 31 m2. b. 20 m2. c. 29,625 cm2. d. 6296,75 mm2.
e. 57,87 cm2. f. 105 cm2. g. 257 cm2. h. 136,69 cm2.
i. 20,375 cm2.
2. a. Perímetro: 15,83 cm. Área: 16,03 cm2.
b. Perímetro: 33,2 cm. Área: 74,69 cm2.
c. Perímetro: 25,12 cm. Área: 22,28 cm2.
d. Perímetro: 16,72 cm. Área: 13,625 cm2.
e. Perímetro: 27 cm. Área: 9,4514 cm2.
f. Perímetro: 18,76 cm. Área: 13,57 cm2.
Página 146.
Aprender con la computadora
1. a. b.
Trazar un segmento ‾ AB . Trazar una recta r perpendicu-
lar al segmento ‾ AB por A y otra recta s perpendicular
al segmento ‾ AB por B. Elegir un punto sobre la recta s
y llamarlo C. Trazar una recta t paralela al segmento
‾ AB por C. Llamar D a la intersección de las rectas t y r.
ABCD es un rectángulo.
c. d.
e. Con el comando “Recta paralela” se trazan rectas
paralelas a cada uno de los lados.
f. Sí, siguen siendo paralelas si se usa el comando
mencionado en e.
g.
h. Para que el programa reconozca los rectángulos hay
que trazarlos con el comando “Polígono”.
i. Las áreas son iguales.
D Q
M O N
C
A P B
D Q
M O N
C
A
Área de APOM = 3,11
Área de ONCQ = 3,11
P B
60
j. Área de APOM = Área de DAB – Área de DMO – Área de
OPB y Área de QCNO = Área de DBC – Área de DQO – Área
de ONB. Y como los triángulos DAB y DBC son congruentes
por tener sus tres lados iguales. DMO = DQO y OPB = ONB
por la misma razón. Entonces: Área de DAB – Área de DMO –
Área de OPB = Área de DBC – Área de DQO – Área de ONB.
Por lo tanto el Área de APOM = Área de ONCQ.
2. a. b. c. d. Con el comando “Polígono regular” se pue-
de trazar un cuadrado.
e. f. El área del cuadrilátero MNPQ es la mitad del área
del cuadrado ABCD.
g. Si se trazan las diagonales del cuadrado, quedan
determinados 8 triángulos, de los cuales los 4 que for-
man el cuadrilátero MNPQ son iguales a los 4 que que-
dan por fuera de este cuadrilátero, por ser los triángu-
los formados por la diagonar de un rectángulo. Por lo
tanto, el área de MNPQ es la mitad del área de ABCD
ya que son 4 triángulos de un total de 8 donde son
iguales de a 2.
A
B
D P
M
Q
N
C
A
Área de ABCD = 24,4
Área de QPNM = 12,2
B
D
P
M
Q N
C
A B
D
P
M
Q N
C
h. Es un cuadrado.
3. a. Trazar un segmento ‾ AB . Trazar una recta r perpen-
dicular al segmento ‾ AB por A y otra recta s perpendicu-
lar al segmento ‾ AB por B. Elegir un punto sobre la recta
s y llamarlo C. Trazar una recta t paralela al segmento
‾ AB por C. Llamar D a la intersección de las rectas t y r.
ABCD es un rectángulo.
Marcar un punto M sobre ‾ AB . Con centro en B,C y D,
trazar 3 circunferencias de radio AM. Marcar la inter-
sección de cada una de las tres circunferencias ante-
riores con los lados ‾ BC , ‾ CD y ‾ DA respectivamente, y
llamar a esos puntos N, P yQ.
b. Sí. Es cierto. Por un lado, los cuatro lados miden lo
mismo porque los triángulos QMN, MBN, NCP y DPQ
son iguales. Por otro, los ángulos son rectos porque
si uno de los ángulos de los triángulos iguales mide α,
entonces el otro mide 90°– α, por lo tanto para comple-
tar los 180° del ángulo llano, el ángulo del cuadrilátero
tiene que medir 90°.
A
3,49
3,49
3,49
3,49
B
D
P
M
Q N
C
δ = 90º
β = 90º
α = 90º
γ = 90º
D
Q
M
N
C
A
P
B
Matemática 1 Solucionario 61
Página 148.
Integrar lo aprendido
1. a. 12 cm de largo y 6 cm de ancho. b. El doble de las
medidas anteriores. c. 16 cm de largo y 8 cm de ancho.
2. a. 96.000 litros. b. 8.000 litros. c. 10 m de largo, 40 m
de ancho y 20 m de profundidad.
3. a. Aumenta un 44% . Porque si las medidas base = b y
altura = a, aumentan un 20%, entonces las nuevas medi-
das serán B = b × 1,20 y A = a × 1,20. El área nueva será
B × A = b × 1,20 × a × a, 20 = b × a × 1,20 × 1,20 = b × a ×
1,44. Y como 1,44 = 144 _ 100 = 100 % + 44% .
b. El doble de las medidas anteriores.
4. a. Área: 87,25 cm2 y Perímetro: 43,96 cm.
b. Área: 793,72 cm2 y Perímetro: 125,96 cm.
c. Área: 346,87 cm2y Perímetro: 70,8 cm.
5. 131,085 cm2.
Capítulo 10
Cuerpos geométricos
Página 150.
Clasificación de cuerpos geométricos
1. a. ii., iii., iv., v., vi., vii., x. y xi.
b. vii. y xi.
c. iii. y xi.
d. ii., iv., vi., vii., ix. y xi.
e. i., viii., ix. y xii.
f. i., iii., v. y x.
g. iii., v., y x.
h. ii., iv., vi., vii. y xi.
i. ii., iv., vi., vii. y xi.
2. a. Verdadero, porque tienen todas sus caras planas.
b. Falso. Pueden ser pirámides también. c. Falso. No
tienen todos dos caras paralelas e iguales, ni las de-
más caras son todas rectangulares.
3. a. Sí, es un prisma de base hexagonal, tiene 2 bases y
6 caras laterales, en total 8 caras. b. Sí, es un prisma con
una base de 12 lados, tiene 2 bases y 12 caras laterales,
en total 14 caras. c. Sí, es un prisma con una base de
15 lados, tiene 2 bases y 15 caras laterales, en total 17
caras.
4. Tiene 3 caras, dos bases y una cara lateral.
5. Tiene 3 caras, una base y una cara lateral.
6. a. Puede ser un cilindro o una esfera. Se puede pregun-
tar: ¿tiene dos caras paralelas e iguales?, si la respuesta
es sí, entonces es un cilindro. b. Puede ser una pirámide
con una base de más de 4 lados. Se puede seguir pregun-
tando por determinado número de lados de la base o de
caras laterales. c. Es una esfera. d. Puede ser un prisma
de base triangular o con una base de 4 lados. Se puede
preguntar si tiene todas sus caras de 4 lados.
Página 152.
La relación de Euler
1.
Cuerpo geométrico
Cantidad de
caras
Cantidad de
aristas
Cantidad de
vértices
Prisma de base triangular 5 9 6
Cubo 6 12 8
Prisma de base rectangular 6 12 8
Prisma de base pentagonal 7 15 10
Prisma de base hexagonal 8 18 12
62
2. Es cierto porque cada lado de la base se une con
una cara lateral por medio de una arista, en total, la
cantidad de caras laterales es igual a los lados de la
base y, además, el prisma tiene 2 bases. Por lo tanto
el total de caras es dos más que los lados de la base
porque a las caras laterales se le suman las dos bases.
3. Armó un prisma con una base de 10 lados. Necesitó
20 bolitas de plastilina.
4. Hay que multiplicar la cantidad de lados de la base
por 2.
5.
Cuerpo geométrico Cantidad de caras
Cantidad de
aristas
Cantidad de
vértices
Pirámide de base
triangular 4 6 4
Pirámide de base
cuadrada 5 8 5
Pirámide de base
pentagonal 6 10 6
Pirámide de base
hexagonal 7 12 7
6. a. Una pirámide con una base de 4 lados y usa 5
bolitas de plastilina. b. Puede armar una pirámide con
una base de 8 lados. Porque en la base hay 8 vértices
y hay que contar también la punta.
7. En 3. Cantidad de caras + 20 = 30 + 2, entonces:
Cantidad de caras + 20 = 32 = 12 + 20, por lo tanto, la
cantidad de caras es 12.
En 6. a. Cantidad de caras + 5 = 8 + 2, entonces: Canti-
dad de caras + 5 = 10 = 5 + 5, por lo tanto, la cantidad
de caras es 5.
En 6. b. Cantidad de caras + 9 = 16 + 2, entonces: Can-
tidad de caras + 9 = 18 = 9 + 9, por lo tanto, la cantidad
de caras es 9.
Páginas 154 y 155.
Volúmenes de cuerpos
1. a. 37.500 cubitos de 1 cm de arista. b. 37.000 cm3.
2. a. 59.625 cm3. b. 9.670 cm2. c. 492 cm.
3. Con 17.628 no se logra llenar la caja y con 17.629 se
sobrepasa la capacidad de la caja.
4. a. Es verdad lo que dice Julián, porque para calcular
el volumen hay que averiguar cuántos cubitos entran.
Si averiguo cuántos entran en la base y luego los mul-
tiplico por la cantidad que entran en el alto, averiguo el
total. Para eso hay que averiguar el área de la base y
multiplicarla por la altura, por eso hay que multiplicar
las medidas del largo, el ancho y el alto.
b. Natalia no tiene razón, porque 1 dm = 10 cm, enton-
ces para averiguar el volumen hay que hacer:
10 × 25 × 10 = 2.500 cm3.
5. a. 105 m3. b. 31 m. c. 114,5 m2. d. 105.000 litros.
6. Lo que dice Julián no es cierto. 1 m3 equivale al volu-
men de un cubo de 1 m de arista. Si medimos las aris-
tas en centímetros, cada arista mide 100 cm, por lo tan-
to, el volumen medido en cm3 será 100 × 100 × 100 =
1.000.000 cm3. Por lo tanto. 1 m3 o 1.000.000 cm3.
7. 1.000 cm3.
8. 1.000 dm3.
9. a. 44 cm2 de papel. b. 42 cm.
10. Con 10 cubitos se puede armar uno con mayor área
que el cuerpo de 13 cubitos de Martina. Sí se puede
armar uno con menor área, por ejemplo colocando los
10 cubitos uno al lado del otro, tendrá 42 cm2 y 48 cm
de arista.
11. a. 15 cm2. b. 54 cm. c. 20 cm3.
12. Se pueden colocar los 20 cubitos uno al lado del
otro, pegados por una cara uno con otro. El área del
cuerpo formado será 42 cm2. La suma de sus aristas
será de 48 cm y su volumen 20 cm3.
13. a. No puede hacer ningún otro, todos los cuerpos
formados por 12 cubos, y que sean diferentes al que
hizo Marta, tendrán mayor área.
b. No.
c. Sí, el anterior.
Páginas 156 y 157.
Relación entre las medidas de los cuerpos
geométricos
1. a. 16 dm2.
b. Debería reducirse a su cuarta parte, porque si se
duplican los lados de la base, el área de la base se
cuadruplica. Como el volumen es el área de la base
por la altura, si se cuadruplica el área de la base, para
que el volumen se mantenga, la altura tiene que ser la
cuarta parte de lo que era.
2. a.
Lado de la
base (l) 10 cm 15 cm 5 cm 3 cm 2 cm
Altura (h) 9 cm 4 cm 36 cm 100 cm 225 cm
Suma de
las arista
(P)
116 cm 136 cm 184 cm 424 cm 916 cm
Área total
del cuerpo
(A)
560 cm2 690 cm2 770 cm2 1.218 cm2 1.808 cm2
Matemática 1 Solucionario 63
b. i. Porque para calcular el área total, hay que calcular
el área de las bases: l × l = l2 y como son iguales, hay
que multiplicar ese resultado por 2. También hay que
calcular el área de las 4 caras laterales, el área de cada
cara lateral es l × h, y como son 4 caras iguales, se
multiplica ese resultado por 4. Finalmente sumar todo:
2 × l2 + 4 × l × h .
iii. Para calcular la suma de las aristas, se puede mul-
tiplicar por 8 la medida del lado de la base porque hay
8 aristas con esa medida, son las 4 aristas de cada
base. Se tiene que multiplicar por 4 la medida de la
altura, porque hay 4 aristas de esa medida, son las que
unen los vértices de una base con los vértices de la
otra. Finalmente se suman ambos resultados.
c. Ninguna, porque en las dos primeras una variable
depende del cubo de la otra y de otros dos sumandos,
mientras que en la tercera a una variable siempre se
le suma la misma cantidad para obtener la otra, con lo
cual no pueden ser proporcionales.
3. a. El volumen aumenta un 12,41%. b. No se puede saber,
es necesario conocer las medidas de las aristas.c. No se pue-
de saber, es necesario conocer las medidas de las aristas.
4. a. Volumen de un cubo = l × l × l . Si se aumenta
un 15% la medida de las aristas, cada arista medirá
l × 1,15, entonces el volumen será 1,15 × l × 1,15 × l ×
1,15 × l = 1,521 × l × l × l = 1,521 × volumen del cubo
original. El volumen aumenta entonces un 52,1%.
b. Aumenta un 32,25%. Sise aumenta un 15% la medi-
da de las aristas, cada arista medirá l × 1,15, entonces
el área de las 6 caras será 1,15 × l × 1,15 × l × 6 =
l × l × 6 × 1,15 × 1,15 = (l × l × 6) × 1,3225 = área
original × 1,3225. El área aumenta 32,25%.
c. 15%. Porque si se aumenta un 15% la medida de
las aristas, cada arista medirá l × 1,15. Las 12 aristas
medirán l × 1,15 × 6 = (l × 6) × 1,15 = suma de aristas
del cubo original × 1,15. La suma de aristas aumenta
entonces un 15%.
5. 0,375 kg.
6. La mitad de la altura que la lata original.
7. El doble de altura, porque el volumen de un prisma
se calcula multiplicando el área de la base por la altu-
ra; si ambos paquetes tienen la misma base, para que
tenga el doble de volumen, la altura debe ser el doble:
Volumen del paquete de medio kilogramo = a × h .
Volumen del paquete de un kilogramo = a × (2 × h) =
a × (h × 2) = (a × h) × 2, que es el doble del volumen del
paquete original, por lo tanto pesará el doble.
8. a.
Arista del
cubo
de Nacho
(a)
5 cm 1 dm 15 cm 3 dm 50 mm 500 mm 5 dm
Volumen
del cubo
de Nacho
(v)
125 cm3 1 dm3 3.375 cm3 27 dm
3 125.000
mm3
125.000.000
mm3
125
dm3
Arista del
cubo
de Matías
(A)
10 cm 1,5 dm 20 cm 3,5 dm 100 mm 550 mm 10 dm
Volumen
del cubo
de Matías
(V)
1.000
cm3
3,375
dm3
3.375
cm3
42,875
dm3
1.000.000
mm3
166.375.000
mm3
1000
dm3
b. Son verdaderas: i. porque la medida de la arista del
cubo de Matías es 5 cm más que las aristas del cubo
de Nacho, y iii. porque el volumen de un cubo se cal-
cula multiplicando la medida de la arista por sí misma
3 veces. Y por lo dicho en b., el volumen del cubo de
Matías se calculará elevando a la potencia 3 la medida
a+5. c. Ninguna, porque en las dos primeras una varia-
ble depende del cubo de la otra y de otros dos suman-
dos, mientras que en la tercera a una variable siempre
se le suma la misma cantidad para obtener la otra, con
lo cual no pueden ser proporcionales.
9. a. 11.250 cm3 y 720.000 cm3. b. 3.450 cm2 y
55.200 cm2. c. 320 cm y 1.280 cm.
10. a. Hay infinitos, por ejemplo:
Largo en cm 6 6 3 0,5 0,25
Ancho en cm 2 20 40 24 24
Altura en cm 10 1 1 10 20
Suma de las aristas en cm 72 108 176 138 177
Área en cm2 184 292 326 514 982
11. a. Solo hay 1, con arista de 5 cm. b. 60 cm. c. 150 cm2.
12. a. Aumenta un 44%. b. Aumenta un 20%. c. Sí. El
volumen original determina la medida de las aristas del
cubo, si el volumen aumenta, la medida de sus aristas
también y por ende el área y la suma de sus aristas.
13. a. Aumenta un 177,78%. b. 66,67%. c. Sí.
Página 158.
Cálculo de volúmenes de cuerpos.
1. a. Volumen: 5.400m3. Área: 1.800 m2. Suma de las
aristas: 220 m.
b. Volumen: 90 m3. Área: 143 m2. Suma de aristas: 65 m.
2. a. Es cierto. b. Sí.
3. 7.068,58 cm3. 28.125 m3. 4.687,5m3.
64
Página 159.
Desarrollos planos de cuerpos.
1. Pueden armarse dados con a. y con d.
2. Es posible armar un prisma de base triangular con b.
y con d. Con el a. al plegarlo se superponen dos caras
y al prisma que se forma le falta una base y al desarro-
llo de c. le falta una base triangular.
3. Por ejemplo:
4.
5. El rectángulo lateral tiene que medir de largo la mis-
ma longitud que la circunferencia de los círculos usados
para las bases, la altura puede ser cualquier medida.
Página 160.
Aprender con la computadora
1. a. Un cuadrado. Porque los puntos A, D y B, C están
alineados de forma vertical y los puntos A, B y C, D de
forma horizontal y entre sí distan 3 unidades.
b.
c. Se ven distintas perspectivas del cuadrado trazado.
e.
f. Se forma un prisma de base cuadrada. Porque la
base es el cuadrado trazado en a. y se eligió el coman-
do prisma para trazarlo.
g.
h. Representa el volumen del prisma medido en cm3.
i. Sí. ii. Sí, es una relación de proporcionalidad directa,
la constante es el área de la base.
2. a. Aparece un desarrollo plano que corresponde al
prisma.
b. Varían las caras laterales.
Matemática 1 Solucionario 65
c. No, porque el área que corresponde a las bases es
una constante que se suma a las áreas de las caras la-
terales. El área de las bases no depende de la medida
altura.
3. a. b. c.
d. Se formó una pirámide de base cuadrada.
e.
f. Representa el volumen de la pirámide medido en
cm3. g. Sí. h. Sí, es de proporcionalidad directa. La
constante es un tercio del área de la base.
4. a. Aparece un desarrollo plano de la pirámide.
b. Varían las caras laterales.
c. No, porque el área de la base es una cantidad fija
que se suma al área de las caras laterales. El área de
la base no depende de la medida de la altura.
Página 162.
Integrar lo aprendido
1. Un prisma de base pentagonal.
2. a. Sí, un prisma con base de 4 lados.
b. Sí, una pirámide con base hexagonal.
3. a. 8 vértices. 7 vértices.
b. 6 caras. 7 caras.
4. 5 caras, porque la base puede tener un mínimo de
3 lados, por lo tanto el prisma tendrá 3 caras laterales
más las dos bases.
5. 4 vértices y 9 aristas.
6. 4 caras, porque la base puede tener un mínimo de
3 lados, por lo tanto el prisma tendrá 3 caras laterales
más la base.
7. 4 vértices y 6 aristas.
8. a. Sí. Un prisma de base octogonal.
b. No, la cantidad de vértices de un prisma es par, por-
que en los prismas la cantidad de vértices es el doble
de la cantidad de lados de la base. 17 no es un número
par.
c. Sí, con base de 16 lados.
d. Sí, un prisma con base hexagonal.
e. No, la cantidad de aristas de un prisma siempre el
triple de la cantidad de lados de la base, entonces es
un múltiplo de 3 y 20 no lo es.
f. No, la cantidad de aristas de una pirámide es el doble
de la cantidad de los lados de la base, entonces tiene
que ser un número par y 17 no lo es.
g. Sí, una pirámide con base decagonal.
9. 10 caras, 24 aristas y 16 vértices.
10. Por ejemplo:
b. Es un prisma de base pentagonal.
11. 81 dm2.
12. a. 38.151 cm3.
b. 6.499,8 cm2.
66
13. Por ejemplo: colocar un cubito al lado del otro. La
superficie será: 42 cm2. O dos filas de 5 cubitos cada
una arriba de la otra. La superficie será: 49 cm2.
14. a. Superficie: 92cm2. Volumen: 48 cm3.
b. Superficie: 34 cm2. Volumen: 12 cm3.
c. 4. Porque 12 cm3 entra 4 veces en 48 cm3.
15. a. 864 cm3.
b. No; a × l × h=500 entonces:
(1,20 × a) × (1,20 × l)×(1,20 × h) = 1,20 × a × 1,20 × l ×
1,20 × h = 1,20 × 1,20 × 1,20 × a × l × h = 1,728 × (a ×
l × h) = 1,728 × 500 = 864 cm3.
Capítulo 11
Estadística y probabilidad
Páginas 164 y 165.
Recolectar y organizar datos
1. a. 40 familias.
b. 2 hijos.
c. 32,5%.
d. Con una tabla:
Cantidad de hijos 0 1 2 3 4 5 6
Cantidad de respuestas 6 9 13 6 3 1 2
2. El segundo grupo, porque encuesta a más gente y
tienen en cuenta distintas zonas del barrio. La gente
que pasa cerca del mercadito tendrá más tendencia a
comprar allí, por eso no es una muestra representativa
de toda la población.
3. a. 2 chicos. b. 26 chicos.
c.
Número de
novelas
0 1 4 6 10 13 14
Frecuencia 2 6 16 2 3 3 1
Cantidad de
chicos que
tienen esa
cantidad de
novelas o
menos.
2 8 32 34 37 40 41
Porcentaje
de chicos
que tienen
esa cantidad
de novelas o
menos
4,87% 19,51% 78,05% 82,93% 90,24% 97,56% 100%
Parte de los
chicos que
tienen esa
cantidad de
novelas o
menos.
2 _ 41
8 _ 41
32 _ 41
34 _ 41
37 _ 41
40 _ 41
41 _ 41
4. a. 318 personas. b. 190,8° para No lectores. 46,8°
para Lectores esporádicos. 122,4° para Lectores fre-
cuentes. Estos ángulos corresponden al porcentaje de
cada uno de los sectores circulares sobre un total de
360°, que es el ángulo del giro completo.
c.
350
300
250
200
150
100
50
0
Lectores
frecuentes
No lectoresLectores
esporádicos
Matemática 1 Solucionario 67
d. No, porque no se sabe en qué lugar se realizó la en-
cuesta y la encuesta se basó en una muestra, la infor-
mación puede permitir una estimación pero no valores
exactos.
5.
Modo de
obtener los
libros Co
m
pr
a e
n
lib
re
ría
s
Pr
és
tam
os
d
e
fam
ili
ar
es
y
am
ig
os
Pr
és
tam
os
d
e
bi
bl
io
tec
as
Rega
lo
s
Fo
to
co
pi
as
In
ter
ne
t
Ot
ro
s
Frecuencia 200 ___ 282 1667282
8 ___ 282
90 ___ 282
16 ___ 282
36 ___ 282
10 ___ 282
6. a. 68% aproximadamente en 1869 y 35% aproxima-
damente en 2001. b. De hombres en las franjas: 10-14
y 20-30. De mujeres: 0-4, 14-20 y 20-24. c. Porque la
tasa de mortalidad era mayor en 1969 que en 2001.
d. El porcentaje de habitantes de las edades más pe-
queñas es menor respecto del año 1869 y el porcen-
taje de edades más grandes es mayor. e. No se sabe,
porque el gráfico muestra el porcentaje de cada franja
sobre el total.
Página 166.
Medidas de tendencia central.
1.
Nota 2 5 6 7 10
Frecuencia absoluta 3 12 9 3 3
Frecuencia
porcentual 10% 40% 30% 10% 10%
Frecuencia relativa 3 __ 30
12 __ 30
9 __ 30
3 __ 30
3 __ 30
b. 0%. c. 5 d. 5,70.
e.
f. Dado que el 70% estuvo entre 5 y 6 puntos, es posi-
ble decir que el promedio, que es de 5,7, es bastante
representativo, aunque no muestra la situación de los
alumnos de 2, 7 o 10 puntos.
2. No, en este curso aprobó el 45% de los alumnos.
Puede parecer que el rendimiento es mejor porque una
cantidad mayor de los alumnos aprobó, 18 en vez de
2 puntos10%
30%
40%
10%
10% 5 puntos
6 puntos
7 puntos
10 puntos
Cali�caciones
15, pero en 1° B hay 10 alumnos más que en 1° A.
3. a. Los empleados de la empresa.
b.
Sueldo 15.980 20.000 25.000 30.000 40.000 45.000 50.000
Frecuencia 6 3 5 3 1 1 1
c. 30%. d. Promedio: 25.294. Mediana: 25.000. Moda:
15.980. e. La mediana, porque 17 de los 20 empleados
cobran entre $15.980 y $30.000.
f.
g. El promedio se reducirá en $1.701. Será de $23.593.
Proyecto interdisciplinario.
Las características de la población
mundial
Resolución personal o en grupo.
Página 168.
Experimentos aleatorios.
1. a. Se sorprendió porque sacar el par negro es el su-
ceso menos “esperable”, ya que hay uno solo entre 20
pares, mientras que hay 15 blancos y 4 azules. b. El
color más esperable es el blanco ya que hay mayor
cantidad.
2. Uno de gabardina, porque hay una mayor cantidad
de ellos.
3. Ambos tienen la misma posibilidad de ganar ya que
“cara y cualquier número en el dado” es un suceso que
tiene 6 elementos, y “múltiplo de 3 y cualquier cosa en
la moneda” también.
4. a. E = {(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1), (2;2),
(2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5),
(4;1), (4;2), (4;3), (4;4), (4;5), (4;6), (5;1), (5;2), (5;3),
(5;4), (5;5), (5;6), (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6)}.
b. (2;2), (2;4), (2;6), (4;2), (4;4), (4;6), (6;2), (6;4), (6;6).
c. (3;3), (3;6), (6;3), (6;6). d. Todo el espacio muestral
E. e. Ninguno, el suceso es imposible, es un conjunto
vacío. f. Los elementos que pertenecen a a. y b. son
los elementos de b. ya que b. es un subconjunto del
espacio muestral que es a.
5. a. Julián, ya que su suceso tiene la mitad de los
7
6
5
4
3
2
1
0
15.980 20.000 25.000 30.000 40.000 45.000 50.000
68
elementos del espacio muestral. Mientras que los ele-
mentos del suceso de Natalia tienen la cuarta parte de
los elementos del espacio muestral, y el de Denise, la
duodécima parte (considerando que el mazo tiene 48
cartas). b. Por ejemplo: que salga una carta menor a
12, ya que es todo el espacio muestral. c. Por ejemplo:
que salga una carta mayor a 13, que es un suceso im-
posible.
Página 169.
Cálculo de probabilidades.
1. 3 _ 6 ; 1;
1 _ 6 ; 0; 0.
2. a. Bruno, porque la probabilidad de su suceso es 4 _ 36 ,
mientras que la de Denise es 1 _ 36 y la de Julián es
2 _ 36 .
b. Natalia, porque la probabilidad de ganar es menor.
c. Por ejemplo: que salga un número menor a 13, ya
que es todo el espacio muestral.
3. a.
Cara
1
Ceca
1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
b. i. 3 _ 12 . ii.
3 _ 12 . iii.
1 _ 36 . iv. 0.
4. a. 6 _ 36 . b.
1 _ 36 . c.
2 _ 36 .
5. a. 12 _ 50 . b.
1 _ 50 . c.
12 _ 50 . d.
4 _ 50 . e.
12 _ 50 .
f. Un as, porque la probabilidad es 4 _ 50 y la de sacar un
comodín 2 _ 40 .
Página 170.
Aprender con la computadora.
1. La frecuencia relativa de cada suceso.
2. a. hasta h. Los alumnos siguen las consignas que
llevan a confeccionar lo pedido.
i.
70
60
50
40
30
20
10
0
Cara
Experimento: Tirar 100 veces la moneda
Ceca
Experimento: Tirar 100 veces la moneda
Cara Ceca
j. 500 caras y 500 cecas. Es un experimento donde
ambos sucesos son equiprobables. Cuanta mayor can-
tidad de veces se repita, más cerca a los valores espe-
rables van a estar los resultados obtenidos.
3. En la celda A1 escriban =ALEATORIO.ENTRE(1;6).
Ubiquen el mouse en el vértice inferior derecho; el mou-
se se convertirá en un +, arrastren hacia abajo, hasta la
celda que quieran. El experimento se repetirá una vez
por cada celda que completen con esta fórmula. Los
números que aparecerán son entre 1 y 6.
Página 172.
Integrar lo aprendido.
1. a. Las variables consideradas son la edad de los en-
cuestados y la cantidad de horas que miran televisión.
b. 27,3%. c. El porcentaje de personas de 51 años o
más que miran de 16 a 20 horas semanales de televi-
sión. d. No, la moda es “21 y más horas”. e. Azul: de 18
a 29 años, rojo: de 30 a 50 años, amarillo: de 51 años o
más. 1: de 0 a 5 hs, 2: de 5 a 10 hs, 3: de 11 a 15 hs, 4:
de 16 a 20 hs y 5: de 21 hs y más. f. 0,052. Porque es el
20,8% de un cuarto de la muestra. Luego es:
0,208 × 0,25 = 0,052.
2. a.
Edad 10 11 12 13 14 23 33 35 42 56 64 71 82
Frecuencia 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
b. Media aritmética: 27,95. Mediana: 15. Moda 12.
c. No, porque hay valores muy dispersos.
3. Por ejemplo:
a. Que saque un número menor que 13.
b. Que saque un número múltiplo de 15.
c. Que saque figura y que saque 15.
d. Que saque una figura y que saque espada.
e. Que saque oro y que no saque oro.
4. a. Par. b. Menor que 7. c. Múltiplo de 5. d. Son igual
de probables. e. Son igual de probables.
5. a. 19 _ 63 . b. Es más probable extraer un libro de biogra-
fías, ya que hay más.
Matemática 1 Solucionario 69
NOTAS
70
NOTAS
Matemática 1 Solucionario 71
72
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